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Fase 2 - Planificación Resolver problemas y ejercicios de integrales indefinidas e inmediatas Calculo Integral

Presentado por: LUIS FERNANDO RODRIGUEZ Código: 1193510271 GRUPO: 100411_169

Presentado a: EDWIN ENRIQUE BUCHELY

Cead: Tunja Universidad Nacional Abierta y a Distancia 09 de marzo del 2018

Segunda parte (punto 5 al 8)

El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo

∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C , siendo C la

constante de integración.

Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas de la integración. x 3−5 x 2+2 x+ 8 7.∫ x 2−6 x+ 8

Aplicamos la integración por partes: u=

x 3−5 x 2+2 x +8 ' v =1 x 2−6 x +8

3

¿

2

x −5 x +2 x +8 x−1∗xdx 2 x −6 x +8

x x (¿ ¿3−5 x +2 x +8 ) −∫ xdx x 2−6 x +8 ¿¿ 2

Aplicamos la regla de las potencias:

∫ xdx=

x 1+1 x 2 = 1+1 2

x x (¿ ¿3−5 x 2+2 x +8 ) x 2 − 2 x 2−6 x +8 ¿¿ ¿

x ( x−4 ) ( x +1 ) ( x−2 ) x2 − ( x−2 ) ( x−4 ) 2 2

¿ x (x+1)− Si

x 2

dF( x ) =f ( x ) entonces∫ f ( x ) dx =F ( x )+C se debería agregar una constante. dx

2

¿ x ( x +1 )−

x +C 2

Tercera parte (punto 9 al 12) Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión. El valor promedio de una función f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemann tiene límite, se expresa de la siguiente manera: b

n

1 1 f ( x )=Lim f ( xi ) Δx= ∑ ∫ f ( x ) dx b−a a n→∞ b−a i=1 11. Utilice el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar la derivada de la función: 2

x +1

g ( x) = ∫ 2x

t +1 dt t−1

El teorema fundamental del cálculo nos dice: d dx

[

u ( x)

]

∫ f ( t ) dt = f

v ( x)

[∫

( u )∗du ( v )∗dv −f dx dx

2

d ( ) d [ g x ]= dx dx

g' ( x )= g' ( x ) =

x +1

2x

t+ 1 dt t−1

]

x 2+1+1 2 x +1 ∗2 x− ∗2 2 2 x−1 x +1−1

( ) ( ) ( ) ( ) x2 +2 2 x+1 ∗2 x− ∗2 2 2 x−1 x

g' ( x )=2

2

( ) (

x +2 2 x +1 −2 x 2 x−1

)

12. La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se reemplazan una vez se haya desarrollado el proceso de b

integración, teniendo en cuenta el siguiente criterio:

∫a f (x )dx =F (b )−F (a ),

generalmente conocido como el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Evalúe la siguiente integral: π 2

∫ ( sen ( x ) +1 )2 dx −π 2

( sen ( x ) +1 )2 =sen 2 ( x ) +2 sen ( x )∗1+12 ¿ sen 2 ( x ) +2 sen ( x ) +1

sen (¿¿ 2 ( x )+2 sen ( x )+1) dx π 2

¿∫¿ −π 2

|

π ¿−cos ( x )−2 cos ( x )+ x 2 −π 2

[

][ ( )

( ) ( )]

π π π −π −π −π ¿ −cos −2 cos + − −cos −2 cos + 2 2 2 2 2 2 π π π π π π ¿−cos −2 cos + +cos + 2cos + 2 2 2 2 2 2 ¿

2π 2

¿π