• Author / Uploaded
• Celeste Brandan

• Categories
• Aritmética
• Ecuaciones
• Álgebra
• Física y matemáticas
• Matemáticas

Citation preview

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática

Los primeros aprendizajes algebraicos. Cuando las letras entran en la clase de Matemática. Informe sobre una investigación en marcha. Trabajo presentado en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina -REM, Rio Cuarto octubre de 1995. Mabel Panizza - Patricia Sadovsky - Carmen Sessa Ciclo Básico Común y Fac. de Cs. Exactas y Naturales. UBA. 1. Introducción - Nuestra investigación busca identificar las condiciones de apropiación del álgebra elemental en alumnos de la escuela media. Inscribimos la misma en el marco teórico y metodológico de la Teoría de Situaciones ( Brousseau,G; 1987) y de la Ingeniería Didáctica (Artigue,M; 1988) . - En el curso de nuestro trabajo -que se encuentra en un estado intermedio- hemos enfrentado ciertas problemáticas específicas, realizado una serie de opciones y elaborado algunas reflexiones, con el aporte de resultados de distintas investigaciones en Didáctica de Algebra. Estas problemáticas, opciones y reflexiones -que consideramos interesantes para quienes quieran realizar o realizan investigación didáctica en el dominio del álgebra- son el objeto de la presente comunicación. - Contribuir al desarrollo de la incipiente comunidad de Investigadores en Didáctica de la Matemática en nuestro país, es también un objetivo de esta comunicación. 2. Análisis previos En el marco de los análisis previos, hemos realizado una encuesta exploratoria destinada a indagar sobre las representaciones de los alumnos acerca de variables e incógnitas (95 alumnos de segundo a quinto año). Relatamos a continuación los resultados más importantes encontrados: 1. Ante la pregunta "Qué diferencia hay entre afirmar que '2+3=3+2' y afirmar que 'a+b = b+a' ?" , el 50% de los alumnos responde que "es lo mismo". Esta respuesta estaría reflejando el carácter general que los estudiantes suelen atribuir a un ejemplo, cuando se trata de leyes aritméticas que ellos vienen poniendo en acto desde los primeros grados; la formulación simbólica no les aportaría entonces, nueva información. (conversado con Guy Brousseau). 2. A partir de las respuestas obtenidas en varias preguntas, se observa que, para una gran parte de los alumnos, una ecuación se identifica con el procedimiento que se debe realizar para resolverla. Pensando en la dualidad proceso- objeto, atribuible a la naturaleza de la adquisición de los conceptos matemáticos ( Sfard, A; 1991), el resultado anterior muestra un fuerte costado procesual en las adquisiciones de los alumnos. 3 . A la demanda específica de decidir si un número dado era solución de una ecuación dada, sólo el 16% de los alumnos reemplazó el valor en la ecuación, mientras que el 80% comparó el valor dado con el obtenido al resolver la ecuación. Estos resultados -que coinciden con los indicados por C. Kieran (1989)- se inscriben en lo señalado en el punto 2 y serían también un índice de la desarticulación que en general tienen los alumnos entre el concepto de ecuación y el de conjunto solución . 4. A la pregunta : "Por qué te parece que se usan letras en la clase de matemática?", se obtuvieron una gran cantidad de respuestas que no otorgan a las letras ningún uso específico, si no más bien un status superior, una mayor complejidad. Las letras aparecen asociadas a la dificultad, al punto donde el trabajo en la clase de matemática se torna incomprensible y ajeno. 1

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática Cabe preguntarse qué clase de vinculo es posible establecer entre esta representación que tienen los alumnos acerca del uso de las letras en matemática, y el cambio de institución (de primaria a media) que atraviesan en el momento de enfrentarse con lo algebraico. Pensamos que es pertinente analizar esta problemática desde la perspectiva teórica según la cual los objetos matemáticos adquieren ciertas especificidades en función de las instituciones en las que "viven" (Chevallard, Y; 1992). 5. Al requerir a los alumnos que propusieran una ecuación que tuviera al número 5 como solución, gran parte de los estudiantes escribió una expresión del tipo a x + b = 5. Este resultado indica que la mayoría de los alumnos interpreta que "solución de una ecuación" alude a "resultado, escrito a la derecha de un signo igual". Esta interpretación del signo igual, como anuncio de un resultado, fue encontrada por muchos autores (Kieran,C; 1989; Vergnaud,G y otros; 1987) y pone de manifiesto un uso aritmético del signo igual, de alguna manera contrapuesto al uso algebraico como símbolo de la equivalencia entre los lados izquierdo y derecho de una ecuación.(*) 6. Los alumnos de cuarto y quinto año se mostraron totalmente desconcertados cuando se les pidió que escribieran una solución de la ecuación 3 x + 2 y = 7 y casi ningún alumno pudo obtenerla. Algunos estudiantes "agregaron" otra ecuación lineal y resolvieron el sistema. Si bien los alumnos habían estudiado sistemas lineales indeterminados, no pudieron reconocer que las infinitas soluciones de un sistema de dos ecuaciones indeterminado , son también solución de cada ecuación. Nuevamente se hace evidente la falta de recursos de los alumnos frente a tareas para las cuales los procedimientos automáticos que aprendieron no resultan adecuados. 3. Restricción del problema : "los primeros aprendizajes de las herramientas algebraicas": Luego del estudio exploratorio que acabamos de reseñar, hemos restringido la mira de nuestra investigación a los primeros aprendizajes de las herramientas algebraicas. Tres fueron las razones que nos llevaron a tomar esta decisión: a) Los resultados de la encuesta exploratoria muestran que gran parte de los chicos no disponen del recurso algebraico como herramienta útil en la resolución de problemas (tanto externos como internos a la Matemática) y que no hay avances notorios respecto a ésto a lo largo de la distintos años de la escuela media. Pensando en el doble carácter -como instrumento y como objeto- de los conceptos matemáticos (Douady,R; 1984), lo observado mostraría una gran "debilidad" en el polo instrumento y muchísimas confusiones alrededor del objeto . Esto nos llevó a conjeturar que es en los primeros aprendizajes donde se produce una ausencia muy grande de sentido, difícil de remontar a posteriori , cuando el trabajo se encuentra inmerso en una mayor dificultad operatoria. b) Distintos trabajos de investigación hacen referencia a la compleja problemática del pasaje de la aritmética al álgebra (Chevallard,Y;1984, 1989, Vergnaud,G; 1987, Kieran,C;1989 ). De la lectura de éstos surge nuestro interés por aportar a desentrañar algunos aspectos de la misma. c) Esta investigación se propone, entre otras cosas, identificar las relaciones existentes entre condiciones de las situaciones didácticas ( a propósito del álgebra), y los distintos sentidos que los alumnos construyen a través de las mismas. Al no poder controlar los sentidos que los alumnos hubieran adquirido previamente, parecía dificil poder desentrañar estas relaciones mirando en un punto intermedio del aprendizaje del álgebra. (*)

G. Vergnaud señala que el igual "aritmético" no es simétrico ni transitivo. Cuando los alumnos deben resolver un problema a través de, por ejemplo, los cálculos 23 + 31 = 54, 54 - 14 = 40, ellos escriben 23 + 31 = 54 - 14 = 40.

2

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática

4. Buscando los puntos donde el Algebra es "necesaria" (o conociendo mejor la relación aritmética-álgebra) ¿En qué estamos pensando cuando nos referimos al "álgebra"? Habiendo puesto nuestra mira en alumnos de doce-trece años, estamos pensando fundamentalmente en la utilización de letras como variables e incógnitas. Una de las cuestiones centrales que nos preocupa podría enunciarse de la siguiente manera: ¿Qué situaciones ponen de manifiesto la insuficiencia de la aritmética y la necesidad de representar relaciones que requieran el uso de variables e incógnitas? ¿Cuál es la complejidad máxima de una situación para que ésta sea abordable por quienes recién se están aproximando a la herramienta algebraica? ¿Cuál es la mínima para que tenga sentido dicha herramienta? (***) Aquí aparece una relación interesante entre la aritmética y el álgebra: por una parte estamos buscando una "ruptura" con la aritmética para que tenga sentido poner en funcionamiento el álgebra; por otra parte, la aritmética aparece como el "anclaje" natural en que los alumnos podrían apoyarse para tener alguna representación interna de aquello que expresa el álgebra. (Ver Y. Chevallard (1984)). Desentrañar la naturaleza dialéctica de la relación álgebra - aritmética aparece para nosotras como un problema complejo, sobre el cual surgen muchos más interrogantes que certezas. Y. Chevallard (1984) señala que un elemento importante en esta ruptura pareciera ser el funcionamiento del álgebra como memoria que permite conservar la traza de las operaciones efectuadas y que en ese sentido estaría ligado a la necesidad (o posibilidad) de comunicación de los procedimientos de resolución. G.Vergnaud y A. Cortés (1987), señalan diferencias importantes entre la resolución aritmética y la algebraica de un problema. Mientras que la resolución aritmética de un problema en lenguaje natural consiste en buscar las incógnitas intermedias en un orden conveniente y elegir los datos y las operaciones adecuadas para calcular estas incógnitas, el álgebra consiste en escribir relaciones explícitas entre incógnitas y datos y luego hacer un tratamiento relativamente automático para llegar a la solución. Es necesario así renunciar a calcular las incógnitas auxiliares y evitar preocuparse por la significación ( en términos del enunciado del problema ) de los pasos intermedios que se realizan en la resolución de la ecuación . Ahora bien, esta ruptura del álgebra con la aritmética se juega en muchos de los conceptos que los alumnos deben aprender en la escuela: leyes, funciones, ecuaciones, inecuaciones, expresiones algebraicas ... ¿Qué opciones realizar en el momento de diseñar una ingeniería didáctica? ¿Qué vías de entrada privilegiar? ¿Cómo se relacionan entre sí los distintos sentidos que se pueden ir adquiriendo a partir de "hacer funcionar el álgebra" en cada uno de los conceptos mencionados? ¿Cuáles son los sentidos que los alumnos adquieren a partir de las opciones que se realizan actualmente en el sistema de enseñanza? Estaba claro para nosotras que debíamos respondernos muchos interrogantes antes de diseñar y poner a prueba una propuesta global. Definimos entonces como prioritario: 1) profundizar en el análisis de las diferentes "vias de entrada" y 2) conocer mejor lo que estaba sucediendo en el sistema en relación a la 3

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática enseñanza de las primeras herramientas algebraicas. Esa fue la tarea que abordamos, en la que nos encontramos actualmente, y que relataremos a continuación. Lo que sigue intenta reflejar los análisis que hemos realizado que, por encontrarse en estado de elaboración, son necesariamente parciales, incompletos y provisorios. 4.1 Las vías de entrada al álgebra El análisis de las distintas vias de entrada al álgebra estuvo orientado por esta cuestión central (***) que señaláramos al comienzo del punto 4: ¿cuál es, para cada uno de los objetos matemáticos señalados, el punto en el que la aritmética se vuelve insuficiente y surge la necesidad del álgebra? 4.1.1 Leyes Se podría pensar , por ejemplo , que las propiedades aritméticas requieren del álgebra para ser formuladas. Sin embargo los chicos "manejan" ciertas leyes (por ejemplo la conmutativa para la adición de naturales) sin que vean la necesidad de expresarla mediante el uso de variables. Como vimos en el resultado de las encuestas, cuando los chicos dicen "vale la propiedad conmutativa porque, por ejemplo, 2+3 =3+2", no piensan en ese único ejemplo sino que utilizan ese ejemplo con un carácter general. En tanto la ley general puede expresarse a través de ejemplos, estos ejemplos representan la ley y dejan sin sentido la necesidad de apelar a las letras para representar "un número cualquiera". Ahora bien, esto no funciona de la misma manera para cualquier ley. Se trata más bien de las propiedades que los chicos vienen poniendo en acto desde muy pequeños y cuya formulación simbólica no les aporta nueva información. Este argumento nos lleva a pensar que, presentar al lenguaje algebraico como una formalización de lo que ya se sabe, no va a contribuir a la construcción de los sentidos del mismo. Es necesario que de entrada aparezca como una herramienta que permita saber cosas nuevas. En relación a esto último Nicolina Malara (1994) propone un trabajo temprano con las letras alrededor de formulaciones y demostraciones en aritmética. El estudio de las propiedades aritméticas puede comenzar con la observación de regularidades numéricas sobre un limitado número de casos y la formulación de la regularidad observada en término generales. El análisis de la validez de las formulaciones obtenidas abre las puertas para un trabajo sobre el rol de los ejemplos, los contraejemplos, y en general sobre las argumentaciones que permiten establecer el valor de verdad de una fórmula. L. Gherpelli y N. Malara (1994) relatan detalles de una experimentación en tal sentido. Un análisis teórico de los sentidos de lo algebraico que se ponen en juego con el trabajo de formulación y argumentación en aritmética puede encontrarse tambien en Y. Chevallard (1984). 4.1.2 Ecuaciones e inecuaciones Tomar el marco teórico de la dialéctica instrumento-objeto (Douady,R; 1986) y de la Teoría de Situaciones nos hace evidente la necesidad de indagar la relación que existe entre las concepciones de los alumnos acerca del objeto "ecuación" y los tipos de problemas que resuelven en la escuela. En este contexto , hemos reformulado nuestras preguntas centrales(***) de la siguiente manera: ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplir los problemas para que las ecuaciones resulten un instrumento "necesario" ( por imprescindible o por económico)?

4

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática ¿Dado un problema que puede resolverse con recursos aritméticos, es posible identificar variables didácticas que lo transformen en un problema algebraico(**)? Un problema a indagar en este contexto será el de la puesta en juego, por parte de quienes se están aproximando a la herramienta algebraica, de recursos de representación "intermedios" que "achiquen la brecha entre la aritmética y el álgebra". Si estos recursos fueran realmente puestos en juego por algunos alumnos ¿sería fructífero propiciar la circulación de estas formas intermedias de representación entre todos los alumnos? Sería imprescindible en ese caso, realizar una indagación acerca de posibles obstáculos que se podrían presentar, cómo se podrían controlar y qué cosas habría que plantear para superarlos. La tradición escolar considera casi exclusivamente a los "problemas verbales" como las situciones que darían sentido al "objeto " ecuación. Pensamos que esto también es motivo de indagación. C. Kieran (1989) señala que "en los estudios llevados a cabo en relación con la resolución de problemas algebraicos verbales, un común denominador es la ausencia de métodos algebraicos en las respuestas de los alumnos entre 12 y 16 años de edad". Kieran interpreta que esto se debe a que los estudiantes no logran integrar el manejo sintáctico del álgebra con la resolución de problemas. Surge entonces para nosotras, la pregunta acerca de las condiciones que hacen posible dicha integración. Cortés, Vergnaud y Kavafian (1990) plantean que el álgebra toma una significación más clara en la resolución de problemas difícilmente resolubles por la aritmética. Estos autores proponen como ejemplo los problemas con dos incógnitas, aunque ellos mismos argumentan que tal vez eso sería ubicar "la barrera demasiado alta". Señalan también que los problemas con una incógnita en los que la puesta en ecuación exige que aparezca la incógnita en ambos miembros de la ecuación (del tipo a x + b = c x + d) plantean serias dificultades a los alumnos principiantes. G. Vergnaud (1986) señala que las ecuaciones del tipo ax + b = c X + d permiten resolver problemas que los alumnos no podrían resolver por la aritmética y al mismo tiempo (ese tipo de ecuación) demanda un manejo algebraico -operar con una cantidad desconocida- que los alumnos rechazan. "De esta manera -dice Vergnaud- enfrentamos una paradoja: el álgebra resulta conceptualmente delicada justamente en el momento en que se torna más operativa que la aritmética. Ubicado ya en la problemática de resolución de ecuaciones, E. Filloy Yague (1993) plantea el uso de modelos concretos para enseñar a resolver ecuaciones lineales. En este trabajo se hace referencia tanto a modelos de áreas rectangulares como a modelos con balanzas en equilibrios. También Cortés, Vergnaud y Kavafian (1990) plantean experiencias de enseñanza en las que se les propone a los alumnos la traducción a ecuación de una balanza en equilibrio. Ahora bien, tanto los modelos de balanzas como los de áreas rectangulares, se asocian a datos y soluciones positivas.¿Sería esto luego un obstáculo para la consideración de problemas en Z? ¿O quizás se podría hacer énfasis en los límites de esta herramienta como para poner de relieve la necesidad de usar otro recurso que permita manipulaciones con juegos de datos más generales? . Inmerso en esta problemática surge la pregunta sobre el momento en el que enseñar los números negativos: ¿antes o después de la resolución de ecuaciones? Actualmente, distintas propuestas de libros de texto comienzan con "resolución de ecuaciones en N ". La problemática específica del aprendizaje de resolución de ecuaciones exige indagar acerca de los procedimientos que los estudiantes ponen en juego frente a su resolución. A partir de la clasificación de los errores que cometen los alumnos al resolver ecuaciones lineales, A. Cortés (**)

Llamamos variables didácticas a aquellos elementos de la situación sobre los que el docente puede actuar para provocar modificaciones importantes en las estrategias de resolución de los alumnos.

5

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática (1994) identificó ciertos invariantes operatorios que los estudiantes deben construir en su proceso de aprendizaje: la conservación de la igualdad, el control algebraico de la validez de la transformación y la elección de la operación aritmética prioritaria. Otra problemática que debe ser abordada por quienes estén interesados en comprender el proceso de enseñanza aprendizaje de las herramientas algebraicas, se refiere a la diferencia entre la conceptualización de la letra como variable y como incógnita. En relación a esta cuestión, C. Kieran (1989) reseña un estudio de Kuchemann quien encontró que la mayoría de los estudiantes trataban las letras en expresiones y ecuaciones como incógnitas específicas más que como números generalizados o como variables. Harper, otro autor citado por Kieran señaló que los estudiantes usan los términos literales mucho antes de que sean capaces de conceptualizarlos como variables. Los señalamientos mencionados nos llevan a formularnos otras preguntas: - ¿la conceptualización de las letras como variables, favorece el proceso de ruptura del que venimos hablando? ¿Es posible apuntar a esta coceptualización antes de que los alumnos elaboren la noción de incógnita? ¿A través de qué situaciones? - ¿la conceptualización de las letras como incógnitas específicas, provoca obstáculos (en el sentido de Brousseau)? ¿ Cuál es su naturaleza? - ¿favorece el trabajo con inecuaciones (antes que con ecuaciones) la elaboración de la noción de variable? En fin, tanto este aspecto -el de la relación entre variable e incógnita- como todos los otros que hemos abordado, permiten vislumbrar un campo en el que aun hay mucho por conocer. 4.1.3 Funciones El análisis de las funciones como posibles vias de entrada a lo algebraico es todavía para nosotras muy incipiente. Hemos formulado algunas preguntas sobre las que seguiremos trabajando: ¿Son las letras necesarias para manejarse con el concepto de función? ¿Cuáles son los sentidos de las letras que se ponen en juego con esta entrada? ¿Cómo se relacionarían éstos con otros usos? ¿Cómo jugarán en el momento del trabajo con ecuaciones? 4.2 La relación aritmética-álgebra en el sistema de enseñanza Como señaláramos más arriba, era imprescindible para avanzar en el trabajo, conocer mejor las relaciones entre las distintas propuestas de enseñanza existentes ( que en general abordan el trabajo con variables o incógnitas a partir de las ecuaciones ) y los sentidos que adquieren los alumnos acerca de los objetos algebraicos. Sólo tomando cierta distancia, y definiendo a la enseñanza del álgebra en nuestra escuela hoy, como un objeto a conocer, podríamos trascender la posición de crítica extrema que se limita a señalar los magros logros de los alumnos. Nos propusimos entonces realizar un conjunto de observaciones de clases introductorias de álgebra y analizar las propuestas de los libros de texto que funcionan como referencias importantes para los profesores. Comenzamos por intentar definir grandes problematicas - relevantes para proveer información acerca del tratamiento del álgebra en el sistema de enseñanza - con el objeto de establecer un marco de referencia teórico y práctico para las observaciones. Las problematicas elegidas se centraron en dos aspectos: 6

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática ¿Cómo se juega la relacion aritmética- álgebra? ¿Cómo se juega el cambio institucional primaria-media? 4.2.1 Cómo se juega la relación aritmética-álgebra Buscamos indagar esta relación bajo dos hipótesis: a) la enseñanza usual no tiene por objetivo introducir al álgebra como herramienta que hace posible resolver problemas para los que la aritmética resulta insuficiente; b) las expresiones y relaciones algebraicas son tratadas como generalizaciones de la aritmética. Es natural advertir que este tipo de aproximaciones no permiten gestar una ruptura con la aritmética, en tanto tienden a consolidar solamente los aspectos de continuidad con la misma. En tanto dicha ruptura es inevitable para una apropiacion de los diferentes sentidos del álgebra, es importante el estudio de los diferentes grados en que el sistema de enseñanza se hace cargo didácticamente de la misma. 4.2.2. El cambio institucional primaria-media Los primeros aprendizajes del álgebra se insertan en el comienzo de la escuela media. Es así que, a diferencia de otras rupturas conceptuales que se producen dentro del mismo marco institucional, la ruptura que supone el aprendizaje del álgebra se inserta dentro de otra, la institucional. Desde una perspectiva didáctica, cabe preguntarse por la influencia del cambio institucional en la relación del alumno con los objetos matematicos ( Chevallard,Y; 1992). En relación al tema específico del álgebra, cabe preguntarse si este objeto matemático aparece para el alumno como un conocimiento totalmente nuevo, desvinculado de su conocimiento anterior. Si éste fuera el caso, pensamos que se está ante la otra cara de la moneda de la problemática planteada anteriormente, que se dá cuando el algebra aparece como generalización de la aritmética, es decir como continuidad. Ambos aspectos dejan afuera una cuestión esencial de la noción de ruptura, que consiste en el juego dialéctico entre el nuevo y el viejo conocimiento. 4.2.3. La búsqueda de indicadores relevantes El análisis que hemos realizado, nos llevó a seleccionar ciertas variables que consideramos relevantes en relación a las problemáticas planteadas. Decidimos que un registro apropiado para proveernos de mayor información debería expresar las observaciones en términos cualitativos más que en términos de presencia o ausencia de la variable en cuestión. Las variables seleccionadas son las siguientes : - El docente tiene en cuenta el conocimiento previo de los alumnos tanto a nivel de conceptos como de símbolos y formas de representación. - El docente explicita relaciones entre conceptos ya aprendidos y los que está planteando a) a nivel del sujeto que aprende b) a nivel del objeto matemático. - La letra hereda automáticamente el manipuleo aritmético. - El docente explicita el sentido del signo igual. - Problematización de la actividad a) problema aritmético b) problema algebraico c) la actividad conduce a conceptos que pretenden ser el el contenido de la clase d) las letras como herramientas para resolver problemas e) conflicto cognitivo 7

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática - El docente favorece resoluciones de los alumnos previas a su intervención. - El docente se refiere a las letras como número desconocido, variable, incógnita. - Cuando el docente manipula ecuaciones a) habla de deshacer operaciones b) se remite a las propiedades de los números. - El docente se refiere al conjunto solución. Explicita que se conserva a través de las transformaciones. - Se verifica la ecuación a posteriori de la resolución. Estas son las problemáticas elegidas previamente a la obsevación. Un análisis efectivo de lo observado será objeto de una próxima comunicación. Hemos querido comunicar ahora las preguntas y las reflexiones que nos han ido surgiendo a medida que avanzábamos en este complejo desafío que es conocer un poco más acerca del aprendizaje y la enseñanza de las primeras herramientas algebraicas. Como dijéramos antes, estas reflexiones se encuentran en pleno estado de elaboración y tienen, por lo tanto, un alto grado de provisoriedad. El objetivo de comunicarlas -vale la pena resaltarlo- es someterlas al debate y a la confrontación. Referencias bibliográficas Artigue,M; (1988): Ingénierie didactique. Recherches en didactique des mathématiques. 9.3 281308 Brousseau,G; (1987): Fondaments et méthodes de la didactique. Recherches en didactique des mathématiques. 7.2 33-115. (Existe versión en español publicada por la Facultad de Matemática Astronomía y Física de la Universidad de Córdoba. Brousseau, G; (1983): Les obstacles epistemologiques et les problemes en mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques. 4.2 164-198 Cortés,A; (1994): Modelisation cognitiviste: invariants operatoires dans la resolution des équations. Vingt ans de didactique des mathematiques en France. La Pensée Sauvage Editions. Cortés,A, Vergnaud,G , Kavafian,N; (1990): De l'arithmetique a l'algebre: la negociation d'une rupture Chevallard,Y; (1984): Le passage de l'arithmetique a l'algebrique dans l'enseignement des mathematiques au college. Primiere partie. Petit X 5 51-94 Chevallard,Y.; (1989): Le passage de l'arithmetique a l'algebrique dans l'enseignement des mathematiques au college. Deuxieme partie. Petit X 19 Chevallard,Y.; (1990): Le passage de l'arithmetique a l'algebrique dans l'enseignement des mathematiques au college. 3eme partie. Petit X 23 5-38 Chevallard,Y.; (1990): Le concept de rapport au savoir. Rapport personnel, rapport institutionnel, rapport officiel. Irem d'Aix Marseille. Faculté des Sciences de Luminy. Douady, R.;(1984): Jeux de cadres et dialectique outil-objet. These d'Etat, Univ. de Paris 7. Filly Yague,E; (1993): Tendencias cognitivas y procesos de abstracción en el aprendizaje del álgebra y de la geometría. Enseñanza de las Ciencias 11.2 160-166 Gherpelli, L. and Malara, N. ; (1994): Argomentaziones en aritmetica .Dip. de Mat. Univ. de Modena. Oral Comunication in SFIDA '94 , Nice, Francia.

8

Material de trabajo para la Escuela Itinerante de Capacitación docente. Matemática Kieran, C y Filloy Yague,E (1989) El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica. Enseñanza de las Ciencias. 7.3 229- 240 Malara,N; (1994) Il pensiero algebraico: como promuoverlo sin dalla scuola dell' abbligo limitandone le difficolta ? "Comunicación orel en SFIDA '94 , Nice, Francia . Sfard, A. ;(1991) On the dual nature of mathematical conceptiones, 22(1), 1-35, Ed. Studies in Math. Sfard, A. and Linchevski,L. ; Equations and inequalities. Processes without objects? The Hebrew Univ. of Jerusalem. Vergnaud,G; (1986) Long terme et court terme dans l'apprentissage de l'algebre. Actes du premier colloque franco-allemand de didactique. Vergnaud,G, Cortes,A, Favre Artigue,P; (1987) Introduction de l'algebre aupres de debutants faibles. Problemes epistemologiques et didactiques. Actes du colloque de Sevres. Didactique et acquisition des connaissances scientifiques.

9