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´ MANUEL GONZALEZ SARABIA

´ EJERCICIOS DE CALCULO VECTORIAL

LISTA 5 1. Escribe seis integrales triples iteradas diferentes para el volumen del tetraedro cortado del primer octante por el plano 6x + 3y + 2z = 6. Eval´ ua una de las integrales. 2. Sea D la regi´on limitada por los paraboloides z = 8 − x2 − y 2 y z = x2 +y 2 . Escribe seis integrales triples iteradas diferentes para el volumen de D. Eval´ ua una de las integrales. 3. Encuentra los vol´ umenes de las regiones indicadas. a) La regi´on en el primer octante limitada por los planos coordenados y los planos x + z = 1, y + 2z = 2. b) La cu˜ na cortada del cilindro x2 + y 2 = 1 por los planos z = −y y z = 0. c) El tetraedro en el primer octante limitado por los planos coordenados y el plano x + y/2 + z/3 = 1. d ) La regi´on en el primer octante limitada por los planos coordenados, el plano y = 1 − x y la superficie z = cos(πx/2), 0 ≤ x ≤ 1. e) La regi´on en el primer octante limitada por los planos coordenados, el plano x + y = 4 y el cilindro y 2 + 4z 2 = 16. f ) La regi´on entre los planos x + y + 2z = 2 y 2x + 2y + z = 4 en el primer octante. g) La regi´on cortada del cilindro el´ıptico s´olido x2 + 4y 2 ≤ 4 por el plano xy y el plano z = x + 2. 4. Eval´ ua las siguientes integrales cambiando el orden de integraci´on de forma apropiada. a)

R4 R1 R2 0 0 2y

b)

GRUPO 1MV4

dx dy dz

R1 R1 lnR 3 πe2x sin(πy2 ) √ 3

0

c)

4 cos(x2 ) √ 2 z

y2

z 0

R 2 R 4−x2 R x 0

0

0

sin 2z 4−z

dx dy dz

dy dz dx

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5. Despeja a en la siguiente ecuaci´on. Z 1 Z 4−a−x2 Z 4−x2 −y dz dy dx = 0

0

0

4 . 15

6. ¿Para qu´e valores de c el volumen del elipsoide x2 +

y2 z2 + 2 =1 4 c

es igual a 8π? 7. Encuentra los l´ımites de integraci´on en la integral triple ZZZ f (x, y, z) dx dy dz D

para los recintos D que se indican a continuaci´on. a) D es un cilindro limitado por las superficies x2 + y 2 = R2 , z = 0, z = H. b) D es un cono limitado por las superficies z2 x2 y 2 + = , z = c. a2 b2 c2 8. Calcula las siguientes integrales. a)

R0 R1 R1 1 0 0

b)

Ra

√

0

9. Calcula

√ dz dy dx . x+y+z+1

2 −x2 aR

0

√

a2 −x2 −y 2

R

√

0

dz dy dx a2 −x2 −y 2 −z 2

ZZZ

.

(x + y + z)2 dx dy dz,

D

si D es la parte com´ un del paraboloide 2az ≥ x2 + y 2 y de la esfera 2 2 2 2 x + y + z ≤ 3a . GRUPO 1MV4

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10. Calcula

ZZZ

z 2 dx dy dz,

D

donde D es la parte com´ un de las esferas x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 y x2 + 2 2 y + z ≤ 2Rz. 11. Calcula

ZZZ 

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 a2 b c

 dx dy dz,

D

donde D es la parte interna del elipsoide

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

12. Calcula la integral Z 0

2r

√

Z

2rx−x2

√ − 2rx−x2

Z √4r2 −x2 −y2 dz dy dx, 0

transform´andola previamente a coordenadas cil´ındricas. 13. Calcula el volumen de la parte del cilindro x2 + y 2 = 2ax, comprendido entre el paraboloide x2 + y 2 = 2az y el plano XOY . 14. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el plano XOY , el cilindro x2 + y 2 = ax y la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 (interno con respecto al cilindro). 15. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide 2a y2 z2 + 2 = 2 b c x y el plano x = a. 16. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por la superficie  2 2 y2 z2 x2 y 2 z 2 x + + = + 2 − 2. a2 b2 c2 a2 b c 17. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por las superficies x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 2, a2 b c GRUPO 1MV4

x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0, a2 b c 3

(z ≥ 0).

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18. Averigua los valores de α para que converja la integral ZZZ dx dy dz , 2 (x + y 2 + z 2 )α D

donde D es la regi´on que se determina por la desigualdad x2 +y 2 +z 2 ≥ 1 (parte exterior de la esfera unitaria). 19. Da los l´ımites de integraci´on para evaluar la integral ZZZ f (r, θ, z) dz r dr dθ D

si D es la regi´on limitada abajo por el plano z = 0, lateralmente por el cilindro r = cos θ y arriba por el paraboloide z = 3r2 . 20. Convierte la integral Z

1

−1

Z √1−y2 Z 0

x

(x2 + y 2 ) dz dx dy

0

a una equivalente en coordenadas cil´ındricas y eval´ ua el resultado. 21. Establece la integral iterada para evaluar ZZZ f (r, θ, z) dz r dr dθ D

sobre la regi´on D indicada. a) D es el cilindro recto s´olido cuya base es la regi´on en el plano xy que se encuentra dentro de la cardioide r = 1 + cos θ y afuera del c´ırculo r = 1, y cuya parte superior se encuentra en el plano z = 4. b) D es el prisma cuya base es el tri´angulo en el plano xy limitado por el eje y y las rectas y = x, y = 1, y cuya parte superior se encuentra en el plano z = 2 − x. 22. Encuentra los l´ımites en coordenadas esf´ericas para la integral que calcula el volumen del s´olido dado y luego eval´ ua la integral. GRUPO 1MV4

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a) El s´olido entre la esfera ρ = cos φ y el hemisferio ρ = 2, z ≥ 0. b) El s´olido encerrado por la cardioide de revoluci´on ρ = 1 − cos φ. c) El s´olido p limitado abajo por la esfera ρ = 2 cos φ y arriba por el cono z = x2 + y 2 . 23. Eval´ ua

ZZZ |xyz| dx dy dz D

si D es la regi´on x2 y 2 z 2 + 2 + 2 ≤ 1. a2 b c Sugerencia: Haz x = au, y = bv y z = cw. Luego integra sobre una regi´on apropiada del espacio uvw. 24. Calcula la integral siguiente pasando a coordenadas cil´ındricas. Z 1 Z √1−x2 Z x2 +y2 21xy 2 dz dy dx. √ − 1−x2

0

−(x2 +y 2 )

25. Calcula la integral siguiente pasando a coordenadas esf´ericas. Z 1 Z √1−x2 Z 1 dz dy dx. √ √ −1

− 1−x2

x2 +y 2

26. Establece una integral en coordenadas rectangulares equivalente a la integral Z π/2 Z √3 Z √4−r2 r3 sin θ cos θ z 2 dz dr dθ. 0

1

1

Coloca el orden de integraci´on en la forma dz dy dx. 27. Integrales triples que implican formas esf´ericas no siempre requieren coordenadas esf´ericas para su evaluaci´on apropiada. Algunos c´alculos pueden llevarse a cabo m´as f´acilmente con coordenadas cil´ındricas. Como ejemplo de esto, encuentra el volumen de la regi´on limitada arriba por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 8 y abajo por el plano z = 2, usando a) Coordenadas cil´ındricas. b) Coordenadas esf´ericas.

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