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´ LIBRO GU´IA DE CIRCUITOS ELECTRICOS II CON APLICACIONES EN MATLAB

´ MILTON CESAR MARULANDA OLARTE URIEL RU´IZ CRUZ

´ UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA ´ FACULTAD DE INGENIER´IA ELECTRICA PEREIRA 2005

´ LIBRO GU´IA DE CIRCUITOS ELECTRICOS II CON APLICACIONES EN MATLAB ´ MILTON CESAR MARULANDA OLARTE URIEL RU´IZ CRUZ

Tesis profesional presentada como requisito parcial para obtener el t´ıtulo de Ingeniero Electricista

Director y coautor Julio C´esar V´asquez Ceballos Ingeniero electricista Profesor Titular circuitos el´ectricos

´ UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA ´ FACULTAD DE INGENIER´IA ELECTRICA PEREIRA 2005

i

Nota de aceptaci´on

Firma del presidente del jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

ii

AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo est´a dedicado a la memoria de mi madre Ymelda Cruz de Ruiz, a mi hermano William y a mi familia as´ı como a Doranc´e Mar´ın, do˜ na Blanca su se˜ nora esposa, sus hijos y a su nieta Ang´elica.

iii

Dedicado a mis padres y su inquiebrantable f´e, mi hermano, Gogo, as´ı como al Ingeniero Julio por la confianza depositada. Libertad: La madre, no la hija del orden.

iv

CONTENIDO

´ INTRODUCCION ´ 1. NUMEROS COMPLEJOS

1

´ GRAFICA ´ 1.1. REPRESENTACION Y ANAL´ITICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. SUMA COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

´ 1.3. MULTIPLICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. DIVISION

5

1.5. RA´IZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6. CONJUGADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.6.1. Negativo u opuesto de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . .

6

1.6.2. Inverso o rec´ıproco de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . .

7

´ COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. ECUACION

7

´ DE LA ONDA 1.8. REPRESENTACION SINUSOIDAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

11

´ DE LA FUNCION ´ 1.9. REPRESENTACION COMPLEJA V(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

´ 1.10. METODO FASORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.10.1. Ley de corrientes en forma compleja . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.10.2. Ejemplo 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.10.3. Aplicaci´on al an´alisis de circuitos de corriente alterna en r´egimen permanente sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.10.4. Empleo de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

29

1.10.5. Relaciones fasoriales de los elementos b´asicos . . . . . . . . . . .

31

1.10.6. Impedancia y admitancia para un dipolo general . . . . . . . . .

34

1.10.7. Impedancia y admitancia equivalentes

. . . . . . . . . . . . . .

37

1.10.8. Ejemplo 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.10.9. Ejemplo 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.10.10.Ejemplo 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.10.11.Ejemplo 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.11. ALTERNATIVAS PARA EL PLANTEAMIENTO DE NODOS Y MALLAS EN CIRCUITOS CON FUENTES IDEALES . . . . . . . . . . . . . .

50

1.11.1. Ejemplo 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.11.2. Ejemplo 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

1.11.3. Ejemplo 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

vi

1.12. DIAGRAMAS FASORIALES DE ALGUNAS REDES SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

´ METODO ´ 1.13. UTILIZACION FASORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

1.13.1. Ejemplo 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

1.13.2. Ejemplo 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

1.13.3. Ejemplo 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

1.13.4. Ejemplo 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

´ 1.14. POTENCIA INSTANTANEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

1.14.1. Dipolo resistivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

1.14.2. Combinaci´on LC paralelo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

1.14.3. Dipolo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

1.15. POTENCIA PROMEDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

1.16. VALOR EFICAZ DE UNA CORRIENTE O DE UN VOLTAJE . . . .

91

1.17. POTENCIA COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

´ DE POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18. REDUCCION

96

1.18.1. Dipolos en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

1.18.2. Conexi´on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

1.18.3. Direcci´on del flujo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

1.18.4. Ejemplo 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

´ DEL FACTOR DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . 1.19. CORRECCION

106

1.19.1. Ejemplo 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

vii

1.19.2. Factor de potencia en atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

1.19.3. Factor de potencia en adelanto

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

1.19.4. Ejemplo 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

1.19.5. Ejemplo 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

1.19.6. Ejemplo 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

1.20. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

1.20.1. Ejercicio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

1.20.2. Ejercicio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

1.20.3. Ejercicio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

1.20.4. Ejercicio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

1.20.5. Ejercicio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

1.20.6. Ejercicio 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

1.20.7. Ejercicio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

1.20.8. Ejercicio 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

1.20.9. Ejercicio 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

1.20.10.Ejercicio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

1.20.11.Ejercicio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

1.20.12.Ejercicio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

2. CIRCUITOS ACOPLADOS Y TRANSFORMADORES ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. DESCRIPCION

viii

129 129

´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. LEY DE INDUCCION

129

´ v − i PARA UNA ESPIRA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. RELACION

131

´ v − i PARA UNA BOBINA AISLADA . . . . . . . . . . . 2.4. RELACION

132

2.5. RELACIONES PARA DOS INDUCTORES ACOPLADOS . . . . . . .

133

2.6. CIRCUITO EQUIVALENTE EMPLEANDO MARCAS DE POLARIDAD135 ´ CON FUENTES 2.7. REPRESENTACION INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

2.7.1. Ejemplo 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

2.7.2. Ejemplo 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

2.7.3. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

2.7.4. Ejemplo 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

2.7.5. Ejemplo 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

2.7.6. Ejemplo 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

2.8. TRANSFORMADOR IDEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

2.8.1. Propiedad de cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

2.8.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

2.8.3. Ejemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

2.8.4. Ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

2.9. TRANSFORMADOR LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

2.9.1. Circuito equivalente de un transformador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

158

2.9.2. Circuito equivalente del transformador lineal a partir del flujo de dispersi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

2.10. CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN ´ TRANSFORMADOR CON NUCLEO DE HIERRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

2.10.1. Ejemplo 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

2.11. CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO DEL TRANSFORMADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

2.11.1. Prueba en vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

2.11.2. Ensayo de cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

2.11.3. Ejemplo 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

2.12. TRANSFORMADORES EN POR UNIDAD (P.U.) . . . . . . . . . . .

178

2.12.1. Ejemplo 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

´ 2.13. IMPEDANCIA EN P.U. DE UN TRANSFORMADOR MONOFASICO 181 2.13.1. Circuito equivalente referido a baja. . . . . . . . . . . . . . . . .

181

2.13.2. Ejemplo 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

2.13.3. Ejemplo 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188

2.14. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

2.14.1. Ejercicio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

2.14.2. Ejercicio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

2.14.3. Ejercicio 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

x

2.14.4. Ejercicio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

2.14.5. Ejercicio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

´ 3. SISTEMAS TRIFASICOS

194

´ 3.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

´ 3.2. SISTEMA POLIFASICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

´ 3.3. SISTEMA BIFASICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

3.3.1. Ejemplo 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

´ 3.4. SISTEMA MONOFASICO TRIFILAR . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

3.4.1. Teorema de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

3.4.2. Sistema monof´asico trifilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

3.4.3. Ejemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

3.4.4. Ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

3.4.5. Ejemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

3.4.6. Ejemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

3.4.7. Ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

´ 3.5. SISTEMAS TRIFASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216

3.5.1. Generador trif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

3.5.2. Generador conectado en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

3.5.3. Generador conectado en ∆ o tri´angulo . . . . . . . . . . . . . .

221

3.5.4. Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

xi

3.5.5. Concepto de secuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

223

3.5.6. C´alculo de los voltajes de l´ınea a partir de los voltajes de fase .

225

3.5.7. Determinaci´on de los voltajes de fase a partir de los voltajes de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229

3.5.8. Ejemplo 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

3.5.9. Ejemplo 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234

3.5.10. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

3.5.11. Sistema trif´asico general b´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

3.5.12. Ejemplo 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240

3.5.13. Ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

3.5.14. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

3.5.15. Ejemplo 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249

3.5.16. Ejemplo 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

3.5.17. Relaci´on entre la corriente de l´ınea y la corriente por cada una de las ramas de una conexi´on delta, en un sistema trif´asico equilibrado256 3.5.18. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

3.5.19. Ejemplo 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260

´ 3.6. POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS . . . . . . . . . . . . . . .

263

3.6.1. Potencia inst´antanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

3.6.2. Potencia compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

3.6.3. Ejemplo 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

xii

3.6.4. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

3.6.5. Potencia consumida o recibida por la carga

. . . . . . . . . . .

272

3.6.6. Ejemplo 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

3.6.7. Ejemplo 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275

3.6.8. Comparaci´on entre los sistemas monof´asico, monof´asico trifilar, y trif´asico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277

3.6.9. Sistema monof´asico (1φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277

3.6.10. Sistemas trif´asicos (3φ, 4h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

3.6.11. Ejemplo 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

3.6.12. Ejemplo 3.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283

3.6.13. Ejemplo 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

3.6.14. Ejemplo 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

3.6.15. Ejemplo 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

3.6.16. Medici´on de potencia trif´asica en redes equilibradas. . . . . . . .

301

3.6.17. Ejemplo 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308

3.6.18. Ejemplo 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

3.7. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

3.7.1. Ejercicio 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

3.7.2. Ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

3.7.3. Ejercicio 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

3.7.4. Ejercicio 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

xiii

3.7.5. Ejercicio 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

3.7.6. Ejercicio 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

318

BIBLIOGRAF´IA

320

CONCLUSIONES

322

A. Anexo A ´ ANALISIS

DE

REDES

UTILIZANDO

MATRICES

DE

INCIDENCIA

323

A.0.7. Voltajes de nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

A.0.8. Corrientes de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325

A.0.9. Ejemplo Matrices de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

A.0.10. Programa que resuelve un circuito por matrices de incidencia. .

334

xiv

LISTA DE FIGURAS 1.1. Representaci´on gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Suma en forma vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Ejemplo ecuaci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Diagrama vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Onda sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6. Desplazamiento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7. Ondas seno para tres tipos de eje real . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8. Ondas seno para tres tipos de eje real . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.9. Variaci´on en la posici´on de V(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.10. V(t) contra el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.11. Ley de corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.12. Ejemplo 1.1 ley de voltajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.13. Verificaci´on por Matlab utilizando funci´on en el tiempo . . . . . . . . .

26

1.14. Verificaci´on por Matlab utilizando fasores . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.15. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

xv

1.16. Caso resistivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.17. Caso inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.18. Dipolo (Red de dos terminales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.19. Caso capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.20. Dipolo en forma compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.21. Dipolos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.22. Voltaje en el dipolo k − e´simo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.23. Dipolos en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.24. Representaci´on circuital de Yeq

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.25. Representaci´on circuital ejemplo 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.26. Representaci´on circuital ejemplo 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.27. Aplicando un voltaje de prueba V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.28. Circuito puente ejemplo 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.29. Circuito ejemplo 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.30. Simulaci´on por Matlab circuito AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.31. Simulaci´on por Matlab circuito DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.32. Circuito ejemplo 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.33. Ejemplo 1.5 en impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.34. Transformaci´on fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.35. Reducci´on del circuito figura 1.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.36. Soluci´on por Th´evenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

xvi

1.37. Soluci´on por Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.38. Soluci´on por corrientes de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.39. Soluci´on mediante voltajes de nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.40. Simulaci´on Matlab ejemplo 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

1.41. Red con fuentes ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

1.42. Red con fuentes ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1.43. Simulaci´on ejemplo fuentes ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

1.44. Circuito ejemplo 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

1.45. Simulaci´on circuito ejemplo 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

1.46. Circuito ejemplo 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

1.47. Voltajes de nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1.48. Corrientes de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

1.49. Simulaci´on ejemplo 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

1.50. Interconexi´on RL

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

1.51. Diagramas fasoriales: a. I como referencia, b. V como referencia . . . .

62

1.52. Red simple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

1.53. Diagrama fasorial red simple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

1.54. Red simple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

1.55. Diagrama fasorial red simple 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.56. Circuito RLC paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.57. Circuito RLC paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

xvii

1.58. Circuito RLC paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

1.59. Circuito ejemplo 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

1.60. Diagrama fasorial circuito ejemplo 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

1.61. Circuito ejemplo 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

1.62. Diagrama fasorial ejemplo 1.10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

1.63. Comprobaci´on mediante Simulink ejemplo 1.10 . . . . . . . . . . . . . .

71

1.64. Circuito ejemplo 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

1.65. Circuito ejemplo 1.11 en impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

1.66. Diagrama de impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

1.67. Diagramas fasoriales en el instante t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

1.68. Circuito del ejemplo 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

1.69. Diagrama fasorial ejemplo 1.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

1.70. Tri´angulo de corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

1.71. Simulaci´on parte a ejemplo 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

1.72. Parte b del ejemplo 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

1.73. Simulaci´on parte b ejemplo 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

1.74. Circuito equivalente Th´evenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

1.75. Simulaci´on parte c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

1.76. Dipolo resistivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

1.77. Esquema voltajes y potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

1.78. Dipolo LC paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

xviii

1.79. Diagrama de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

1.80. Gr´aficas de tiempo contra: a. corriente, b. potencia . . . . . . . . . . .

88

1.81. Gr´aficas de tiempo contra energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

1.82. Dipolo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

1.83. Potencia en una resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

1.84. Potencia compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

1.85. Dipolos en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

1.86. Dipolo en forma compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

1.87. Conexi´on general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

1.88. Conexi´on serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

1.89. Reducci´on conexi´on serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

1.90. Direcci´on corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

1.91. Dipolo suministrando energ´ıa reactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

1.92. Dipolos en paralelo ejemplo 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

1.93. Diagrama fasorial ejemplo 1.13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

1.94. Diagrama de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

1.95. Representaci´on ejemplo 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

1.96. Circuito sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

1.97. Esquema factor de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

1.98. Diagrama de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

1.99. Circuito ejemplo 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

xix

1.100.Diagrama fasorial factor de potencia en atraso . . . . . . . . . . . . . .

109

1.101.Diagrama fasorial factor de potencia en adelanto . . . . . . . . . . . . .

111

1.102.Diagrama fasorial factor de potencia en adelanto en la carga . . . . . .

112

1.103.Circuito del ejemplo 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

1.104.Circuito ejemplo 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

1.105.Circuito ejemplo 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

1.106.Circuito ejercicio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

1.107.Circuito ejercicio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

1.108.Circuito ejercicio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

1.109.Circuito ejercicio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

1.110.Circuito ejercicio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

1.111.Circuito ejercicio 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

1.112.Circuito ejercicio 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

1.113.Circuito ejercicio 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

1.114.Circuito ejercicio 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

1.115.Circuito ejercicio 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

1.116.Circuito ejercicio 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

1.117.Circuito ejercicio 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

2.1. Espira en medio de un campo magn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

2.2. Relaci´on v − i para una espira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

xx

2.3. Bobina aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

2.4. Inductores acoplados magn´eticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

2.5. Circuitos equivalentes para los inductores de la figura 2.4. . . . . . . . .

135

2.6. Representaci´on compleja de los inductores de la figura 2.3. . . . . . . .

136

2.7. Circuito equivalente con fuentes dependientes. . . . . . . . . . . . . . .

136

2.8. Representaci´on compleja de la conexi´on serie. . . . . . . . . . . . . . .

138

2.9. Esquema ejemplo 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

2.10. Conexi´on paralelo de dos arrollamientos del ejercicio 2.1. . . . . . . . .

140

2.11. Circuito del ejemplo 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

2.12. Soluci´on mediante mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

2.13. Soluci´on mediante Th´evenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

2.14. Soluci´on mediante Th´evenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

2.15. Simulaci´on Matlab ejemplo 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

2.16. Red ejemplo 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

2.17. Circuito equivalente figura 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

2.18. Transformador ejemplo 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

2.19. Transformador con dos arrollamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

2.20. Representaci´on compleja del transformador ideal. . . . . . . . . . . . .

151

2.21. Transformador con dos arrollamientos marcas enfrentadas . . . . . . . .

151

2.22. Representaci´on compleja del transformador ideal marcas enfrentadas . .

152

2.23. Transformador ideal conectado a una red.

152

xxi

. . . . . . . . . . . . . . . .

2.24. Circuito equivalente al de la figura 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

2.25. Red del ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

2.26. Representaci´on circuital ejemplo 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

2.27. Red del ejemplo 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

2.28. Circuito referido a alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

2.29. Circuito referido a baja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

2.30. Simulaci´on en Matlab ejemplo 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

2.31. Modelo circuital del transformador lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

2.32. Circuito equivalente parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

2.33. Modelo f´ısicamente realizable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

2.34. Modelo realizable f´ısicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

2.35. Circuito equivalente final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

2.36. Circuito referido parcialmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

2.37. Circuito referido al lado 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

2.38. Circuito equivalente realizable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

2.39. Transformador lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

2.40. Circuito referido parcialmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

2.41. Circuito equivalente de un transformador con n´ ucleo de hierro. . . . . .

167

2.42. Sistema del ejemplo 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

2.43. Sistema con el circuito del transformador incorporado. . . . . . . . . .

168

2.44. Circuito referido a baja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

xxii

2.45. Circuito equivalente aproximado del transformador. . . . . . . . . . . .

170

2.46. Circuito aproximado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

2.47. Prueba de circuito abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

2.48. Ensayo de cortocircuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

2.49. Circuito aproximado referido al lado uno.

. . . . . . . . . . . . . . . .

173

2.50. Circuito del ejemplo 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

2.51. Circuito ejemplo 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

2.52. Sistema en p.u. ejemplo 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180

2.53. Circuito equivalente apr´oximado desde baja . . . . . . . . . . . . . . .

182

2.54. Circuito equivalente visto en alta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

2.55. Sistema monof´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

2.56. Circuito equivalente del sistema de la figura 2.55 . . . . . . . . . . . . .

184

2.57. Circuito equivalente referido a alta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

2.58. Circuito en p.u. para el sistema de la figura 2.55 . . . . . . . . . . . . .

186

2.59. Simulaci´on ejemplo 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

2.60. Circuito del ejercicio 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

2.61. Circuito del ejercicio 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

2.62. Circuito del ejercicio 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

2.63. Circuito del ejercicio 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

3.1. Fuente m-f´asica: a. en estrella, b. en delta . . . . . . . . . . . . . . . .

195

xxiii

3.2. Sistema bif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

3.3. Sistema bif´asico vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

3.4. Sistema bif´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

3.5. Circuito para ilustrar el Teorema de Millman. . . . . . . . . . . . . . .

198

3.6. Sistema monof´asico trifilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

3.7. Sistema monof´asico trifilar desequilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

3.8. Sistema monof´asico trifilar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202

3.9. Circuito con neutro ejemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

3.10. Circuito sin neutro ejemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

3.11. Simulaciones Matlab ejemplo 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

3.12. Circuito con neutro ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

3.13. Circuito sin neutro ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205

3.14. Simulaci´on circuito sin neutro ejemplo 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . .

206

3.15. Circuito ejemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

3.16. Corrientes de malla ejemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

208

3.17. Circuito ejemplo 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210

3.18. Circuito ejemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

3.19. Transformaci´on ∆ − Y ejemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

3.20. Simulaci´on ejemplo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

3.21. Circuito ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

3.22. Corrientes de malla ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

xxiv

3.23. Circuito ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

3.24. Circuito ejemplo 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215

3.25. Representaci´on esquem´atica de un trif´asico elemental . . . . . . . . . .

216

3.26. Esquema de la m´aquina s´ıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

3.27. Generador de 2 polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

3.28. Rotor de 4 polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218

3.29. Sistema equilibrado de voltajes generados . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

3.30. Conexi´on en Y

219

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.31. Diagrama fasorial conexi´on en Y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

3.32. Suma vectorial de voltajes de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

3.33. Generador conectado en ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

3.34. Circuitos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222

3.35. Sistema equilibrado de voltajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225

3.36. Obtenci´on gr´afica de un voltaje de l´ınea. . . . . . . . . . . . . . . . . .

226

3.37. Diagrama fasorial de voltajes de l´ınea y fase. . . . . . . . . . . . . . . .

228

3.38. Diagrama fasorial inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232

3.39. Diagrama fasorial buscado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

3.40. Ilustraci´on del m´etodo del tri´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

3.41. Diagrama fasorial ejemplo 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

3.42. M´etodo del tri´angulo ejemplo 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

3.43. Sistema de fuentes del ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

xxv

3.44. Sistema trif´asico general b´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

3.45. Circuito monof´asico equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239

3.46. Sistema equilibrado del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

3.47. Simplificaci´on inicial del circuito de la figura 3.46 . . . . . . . . . . . .

241

3.48. Transformaci´on Y − ∆ en el u ´ltimo circuito . . . . . . . . . . . . . . .

242

3.49. Circuito simplificado del de la figura 3.46 . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

3.50. M´etodo del tri´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

3.51. Circuito monof´asico equivalente de la fase a . . . . . . . . . . . . . . .

244

3.52. Circuito monof´asico a partir de la figura 3,46 . . . . . . . . . . . . . . .

244

3.53. Red equilibrada ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246

3.54. Equivalente monof´asico ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

3.55. Tri´angulo de voltajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

3.56. Simulaci´on Ejemplo 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

3.57. Red equilibrada del ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

3.58. Circuito del ejemplo 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

249

3.59. Voltajes de fase y de l´ınea-l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

250

3.60. Simulaci´on ejemplo 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

3.61. Circuito ejemplo 3.12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

3.62. Triangulo de voltajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

3.63. Circuito monof´asico equivalente fase A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

3.64. Simulaci´on circuito monof´asico ejemplo 3.12 . . . . . . . . . . . . . . .

254

xxvi

3.65. Introducci´on de desequilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

254

3.66. Tri´angulo de voltajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

3.67. Carga equilibrada conectada en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

3.68. Diagrama fasorial para la red de la figura 3.67 . . . . . . . . . . . . . .

256

3.69. Carga equilibrada conectada en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258

3.70. Carga equilibrada conectada en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258

3.71. Red equilibrada en delta del ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

3.72. Red combinada ejemplo 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260

3.73. Transformaci´on en ∆ del ejemplo 3.13

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

3.74. Reducci´on circuito ejemplo 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

3.75. Red trif´asica simple en Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

3.76. Red trif´asica en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

3.77. Circuito monof´asico equivalente ejemplo 3.14

. . . . . . . . . . . . . .

269

3.78. Circuito del ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

3.79. Carga en ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

3.80. Carga en estrella o en Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273

3.81. Circuito ejemplo 3.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

3.82. Circuito ejemplo 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275

3.83. Circuito monof´asico ejemplo 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

276

3.84. Simulaci´on circuito monof´asico ejemplo 3.16 . . . . . . . . . . . . . . .

277

3.85. Sistema monof´asico.

278

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii

3.86. Sistema monof´asico trifilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278

3.87. Sistema trif´asico equilibrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

3.88. Circuito ejemplo 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

3.89. Circuito monof´asico ejemplo 3.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

3.90. Circuito del ejemplo 3.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283

3.91. Tri´angulo de voltajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284

3.92. Direcci´on corrientes de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285

3.93. Simulaci´on ejemplo 3.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

3.94. Circuito del ejemplo 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

3.95. Equivalente monof´asico ejemplo 3.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

3.96. Equivalente monof´asico simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

290

3.97. Circuito del ejemplo 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

291

3.98. Equivalente monof´asico del ejemplo 3.20 . . . . . . . . . . . . . . . . .

291

3.99. Diagrama fasorial de los voltajes de fase . . . . . . . . . . . . . . . . .

293

3.100.Circuito trif´asico equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

3.101.Impedancia vista por la fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

3.102.Circuito del ejemplo 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

3.103.Triangulo de voltajes ejemplo 3.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

3.104.Equivalente monof´asico del circuito equilibrado

. . . . . . . . . . . . .

297

3.105.Tri´angulo voltajes primados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297

3.106.Tri´angulo corrientes primadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

298

xxviii

3.107.Tri´angulo corrientes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

299

3.108.Medici´on de potencia activa en la fase a. . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

3.109.M´etodo del neutro ficticio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

3.110.Medici´on de P con 2 impedancias auxiliares. . . . . . . . . . . . . . . .

302

3.111.Diagrama fasorial del sistema de la figura 3.110. . . . . . . . . . . . . .

303

3.112.M´etodo de los dos vat´ımetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

305

3.113.M´etodo de los dos vat´ımetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

3.114.Diagrama fasorial del sistema de la figura 3.113 . . . . . . . . . . . . .

307

3.115.Medici´on de Q en carga desequilibrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308

3.116.Medici´on de Q en red balanceada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308

3.117.Sistema equilibrado del ejemplo 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

3.118.Diagrama fasorial para secuencia ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

3.119.Diagrama fasorial para secuencia ACB. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

3.120.Circuito ejemplo 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

3.121.Diagrama fasorial ejemplo 3.23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

312

3.122.M´etodo de los dos vat´ımetros ejemplo 3.23 . . . . . . . . . . . . . . . .

313

3.123.Red ejercicio 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

3.124.Circuito ejercicio 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

3.125.Circuito ejercicio 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

3.126.Circuito ejercicio 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

3.127.Circuito ejercicio 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

318

xxix

A.1. Red gen´erica del gr´afico de una red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

A.2. Red utilizada para solucionar mediante matrices de incidencia . . . . .

327

´ A.3. Arbol para la red del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

A.4. Simulaci´on ejemplo matrices de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . .

333

xxx

´ INTRODUCCION En la actualidad el curso de an´alisis de circuitos II soporta su bibliograf´ıa en el libro y las conferencias del profesor titular, sin embargo no se cuenta con un libro gu´ıa, y que tenga adem´as aplicaciones desarrolladas en Matlab, un paquete computacional que se ha convertido en una s´olida herramienta. A pesar de contar con una extensa bibliograf´ıa, ´esta no es acorde con el curr´ıculo que maneja actualmente la Facultad para llevar a cabo su misi´on; el presente trabajo de grado ser´a llevado de la mano con aplicaciones en Matlab para que dicho curso sea lo m´as vigente posible y de constante consulta. Para llevar a cabo un estudio de las condiciones normales y de las condiciones extraordinarias de un sistema el´ectrico es necesario que haya familiarizaci´on en el an´alisis de circuitos el´ectricos entre los cuales merecen un especial inter´es los circuitos trif´asicos. De la fundamentaci´on adquirida en el an´alisis de circuitos el´ectricos dependen otras asignaturas de car´acter particular tales como: An´alisis de l´ıneas de transmisi´on, an´alisis de sistemas de potencia, protecci´on, generaci´on, distribuci´on; estas asignaturas pueden llegar a definir un perfil vocacional en el estudiante de Ingenier´ıa El´ectrica. Es decir, la importancia del presente proyecto de grado radica en que establecer´a ideas fundamentales acerca de circuitos de corriente alterna arbitrarios conformados por elementos pasivos, lineales, bilaterales, invariantes con el tiempo y de par´ametros

concentrados para excitaciones sinusoidales, as´ı como, el an´alisis de su respuesta en r´egimen permanente en el dominio del tiempo, utilizando el m´etodo fasorial y mediante aplicaciones novedosas del paquete computacional Matlab. Las aplicaciones se desarrollaran en el lenguaje Matlab debido a que este paquete se utiliza en una amplia gama de asignaturas, adem´as de ser una potente herramienta en la soluci´on de problemas y su lenguaje es muy asequible. As´ı pues el prop´osito de este trabajo es entregar en un solo texto todas las herramientas necesarias para el aprendizaje de circuitos el´ectricos II (algunas de ellas no existentes otros textos) y la ayuda que proporciona Matlab en el an´alisis de dichos circuitos.

´ 1. NUMEROS COMPLEJOS En el a˜ no de 1839 Charles Proteus Steinmetz ingeniero electricista de la General Electric present´o el m´etodo fasorial para resolver problemas de circuitos A.C., sin duda alguna dicha ponencia sobre n´ umeros complejos signific´o un paso adelante en el an´alisis circuital El m´etodo fasorial empleado en el an´alisis de circuitos en r´egimen permanente sinusoidal implica el manejo de cantidades complejas; por lo que se har´a un repaso de las propiedades de los n´ umeros complejos, fundamentalmente, los que se utilizar´an en el siguiente trabajo.

1.1.

´ GRAFICA ´ REPRESENTACION Y ANAL´ITICA

Para la representaci´on gr´afica se utiliza el plano cartesiano bidimensional correspondiendo un n´ umero complejo a cada punto del plano que se llamar´a plano complejo. Se dice entonces que un n´ umero complejo est´a compuesto de una parte real que se representa sobre el eje de las abcisas y una parte imaginaria que se representa sobre el eje de las ordenadas, como se indica en la figura 1.1. Se tiene entonces que el complejo Z1 (se utilizar´a doble raya para representar el complejo y la letra simple para indicar su modulo o magnitud), est´a representado por

1

Figura 1.1: Representaci´on gr´afica

b

Z

a

un vector (muchas de las propiedades de los vectores en dos dimensiones son aplicables a los complejos), dirigido del origen al punto correspondiente; de acuerdo con la figura se tienen las siguientes representaciones anal´ıticas:

CARTESIANA Z1 = a + jb con j =

√

−1

POLAR Z1 = Z1 ∠θ1 Donde Z1 es el m´odulo. La norma o la magnitud del complejo Z1 y es una cantidad real positiva y θ1 es la fase o ´angulo del complejo y es positivo cuando se mide a partir del eje de las abcisas en sentido antihorario (negativo en sentido horario).

2

EXPONENCIAL Z1 = a + jb = Z1 cos θ1 + jZ1 sen θ1 = Z1 (cos θ1 + j sen θ1 ) = Z1 ejθ1

1.2.

SUMA COMPLEJA

Dados: Z1 = a1 + jb1

y

Z2 = a2 + jb2 . Se define Z3 = Z1 + Z2 = a3 + jb3 . En la

figura 1.2 se representa la suma en forma vectorial. Figura 1.2: Suma en forma vectorial

a1 a2 1

b2 Z2

Z

3

b3 2

Z1

b1

1

a1

a2 a3

De la gr´afica se concluye que: a3 = a1 + a2

y b3 = b1 + b2 3

O sea: Z3 = a3 + jb3 = a1 + a2 + j(b1 + b2 ) = Z3 ejθ3 p = (a1 + a2 )2 + (b1 + b2 )2 −1



θ3 = tan

b1 + b2 a1 + a2



Tambi´en: Z32 = Z12 + Z22 − 2Z1 Z2 cos[180 − (θ2 − θ1 )] En general: Z3 6= Z1 + Z2 Consid´erese el caso θ2 = θ1 (complejos en fase). Se tiene: Z32 = Z12 + Z22 + Z1 Z2 Z3 = Z 1 + Z2 S´ı θ2 = θ1 ± 180◦ (complejos en contrafase) Z3 =| Z1 − Z2 |

1.3.

´ MULTIPLICACION

Z3 = Z1 Z2 = (a1 + jb1 )(a2 + jb2 ) = a1 a2 − b1 b2 + j(a1 b2 + a2 b1 ) = a3 + jb3

4

Z32 = (a1 a2 − b1 b2 )2 + (a1 b2 + a2 b1 )2 = a21 a22 + b21 b22 + a21 b22 + a22 b21 = a21 (a22 + b22 ) + b21 (a22 + b22 ) = (a21 + b21 )(a22 + b22 ) Z 3 = Z 1 Z2 

tan θ3

 b2 b1 + (a1 b2 + a2 b1 ) b3 a2 a1   = = = b1 b2 a3 (a1 a2 − b1 b2 ) 1− a1 a2 (tan θ2 − tan θ1 ) = (1 − (tan θ2 tan θ1 )) θ3 = θ2 + θ1

Empleando la representaci´on exponencial Z3 = Z1 Z2 = Z1 ejθ1 Z2 ejθ2 = Z1 Z2 ej(θ1 + θ2 ) Z3 = Z1 Z 2

1.4.

y θ3 = θ1 + θ2

´ DIVISION

Z3 =

Z1 Z2

Se deja como ejercicio el an´alisis utilizando la representaci´on cartesiana. Empleando la representaci´on exponencial:   Z1 e(jθ1 ) Z1 j(θ1 − θ2 ) Z3 = = e Z2 Z2 ejθ2 Z1 Z3 = θ3 = θ1 − θ2 Z2 5

1.5.

RA´IZ

Dado: Z3 = a1 + jb1 = Z1 ejθ1 θ1 + 2πk q p p j n n n n Z1 = Z1 ejθ1 = Z1 e k = 0, 1, 2, .....n1

1.6.

CONJUGADO

Z1 = a1 + jb1 = Z1 ejθ1 Z∗1 = a1 − jb1 = Z1 e−jθ1 Sumando y restando: Z1 + Z∗1 2 √ |Z| = ZZ∗ a1 =

1.6.1.

b1 =

Z1 − Z∗1 2j

Negativo u opuesto de un n´ umero complejo

Z1 = a + jb = Zejθ1 Opuesto de Z1 ◦ −Z1 = −a − jb = Zej(θ ± 180 )

6

1.6.2.

Inverso o rec´ıproco de un n´ umero complejo

Dado Z = a + jb = Z∠θ1 Rec´ıproco de Z 1 1 = Z a + jb Resolviendo: a − jb a − jb 1 · = 2 = a + jb a − jb a + b2

√

1∠−θ1 a2 + b2 ∠−θ1 =√ 2 2 a +b a2 + b 2

1 1 = ∠−θ1 Z1 Z

1.7.

´ COMPLEJA ECUACION

Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito en serie de la figura 1.3, resulta la siguiente ecuaci´on: 50∠θ = V1 ∠30◦ + 20∠60◦ Se desea calcular θ y V1 . Figura 1.3: Ejemplo ecuaci´on compleja V1

+

-

+

+

-

-

7

Se partir´a de la igualdad de dos complejos. Z1 = Z2

Si:

a1 = a2

y

b1 = b2

(1.1)

´o Z1 = Z2

y

θ1 = θ2

(1.2)

Empleando la siguiente relaci´on: 50 cos θ = V1 cos 30◦ + 20 cos 60◦

(1.3)

50 sen θ = V1 sen 30◦ + 20 sen 60◦

(1.4)

Elevando al cuadrado y sumando: 502 = V12 + 202 + 40V1 cos 30◦ cos 60◦ + 40V1 sen 30◦ sen 60◦ Resolviendo y desechando la soluci´on negativa: V1 = 31,67V Reemplazando en (1.4):

sen θ = 0,663

y

θ=

   41,53◦   180◦ − 41,53◦ = 138,46◦

Para escoger la soluci´on correcta se puede recurrir al diagrama vectorial, si se desea evitar chequear las dos soluciones en la ecuaci´on compleja original. El diagrama vectorial respectivo se representa en la figura 1.4. Del diagrama se observa que θ < 90◦ , por lo cual la soluci´on correcta es θ = 41,53◦ .

8

60o

50

15

0

o

Figura 1.4: Diagrama vectorial

V1

30o

Si se hubiera construido desde el comienzo el diagrama vectorial, a partir del mismo se hubiera encontrado f´acilmente V1 y θ de la siguiente manera:

   α = 11,537◦

20 50 = sen 150 sen α   β = 18,463◦    50 V1 V1 = 31,67V = sen 150 sen β   θ = 30◦ + α = 41,53◦ Se deja como ejercicio obtener V1 y θ empleando la relaci´on (1.2).

9

Soluci´ on empleando Matlab Las ecuaciones 1.3 y 1.4 se pueden resolver utilizando el comando solve de Matlab. Haciendo t = θ y v = V1 . >> [t, v] = solve(0 50 ∗ cos(t) = v ∗ 0,8660 + 100 ,0 50 ∗ sin(t) = v ∗ 0,5 + 20 ∗ 0,86600 ) t= [−2,8193256241880959973035919158757] [,72495592613824153637755416611986] v= [−66,311769502989817775529551344337] [31,670245275923826871929792954967] >> rad2deg(t)

% Expresa el valor de t en grados

ans = [−507,47861235385727951464654485763/pi] [130,49206670488347654795974990157/pi] >> 130,49/3,1416

% Se escoge el valor positivo

ans = 41,5362 Valor encontrado anal´ıticamente.

10

1.8.

´ DE LA ONDA REPRESENTACION SINUSOIDAL

Los fen´omenos f´ısicos asociados a los circuitos el´ectricos, as´ı como la facilidad en el manejo matem´atico son las dos caracter´ısticas principales de la onda sinusoidal, debido a ello mismo, es considerada como la onda fundamentalmente usada en la corriente alterna. Aunque como luego se ver´a guarda una estrecha relaci´on con la onda cosenoidal y por lo tanto todo aquello que se realice con la onda sinusoidal ser´a aplicable a la onda cosenoidal. Figura 1.5: Onda sinusoidal

Vm

v(t )

2

-V m T

De la figura 1.5 tenemos lo siguiente: v(t) = Vm sen(wt) Vm : Amplitud de la onda [V ] w : Frecuencia angular [

rad ] s 11

wt

w = 2πf f=

1 T

T : Peri´odo de la onda Para: V1 = Vm1 sen (ωt − α) V2 = Vm1 sen (ωt + β)

Figura 1.6: Desplazamiento angular

v

v2

Desfase = ω∆t = 2πf ∆t = θ En grados Desfase = 360◦ f ∆t = θ

12

v1

t (wt)

En general: sen (ωt + 90◦ ) = cos ωt cos (ωt − 90◦ ) = sen ωt sen (θ + 180◦ ) = − sen θ cos (θ + 180◦ ) = − cos θ

13

% script que genera ondas senos para tres tipos de eje real A = linspace(0, 4 ∗ pi, 200); B = 5 ∗ sin(A); C = 4 ∗ sin(A − 60 ∗ pi/180); D = A ∗ 180/pi; subplot(2, 2, 1); plot(A, B, A, C,0 r−0 ); grid on ylabel(0 voltios0 ); xlabel(0 radianes0 ); subplot(2, 2, 2); plot(D, B, D, C,0 r−0 ); grid on xlabel(0 grados0 ); tseg = A/(100 ∗ 2 ∗ pi); subplot(2, 2, 3); plot(tseg, B, tseg, C,0 r−0 ); grid on xlabel(0 segundos0 )

14

Figura 1.7: Ondas seno para tres tipos de eje real

Figura 1.8: Ondas seno para tres tipos de eje real

15

1.9.

´ DE LA FUNCION ´ REPRESENTACION COMPLEJA V(t)

Se tiene que V(t) = Vm ejθ ejωt = Vejωt En t = 0 V(0) = Vm ejθ Estrictamente θ debe estar en radianes, especialmente si se efectuan c´alculos instant´aneos, pero como represntaci´on se puede aceptar θ en grados. En un instante t = t1 . V(t1 ) = Vm ejθ ejωt1 = Vm ej(θ + ωt1 ) La posici´on de V(t)en el instante t = t1 , se obtiene girando el fasor en la posici´on t = 0 un ´angulo ωt1 y de la misma manera se procede para otros instantes, como se indica en la figura 1.9. O sea, se tiene un vector de m´odulo Vm que gira con una velocidad angular ω en el sentido positivo trigonom´etrico. Se acostumbra llamar fasor al complejo V que corresponde a V(t) evaluada en el instante t = 0. Obs´ervese que para t3 =

2π ω

V(t3 ) = Vm e(jθ + 2π) = Vm ejθ = V(0) Si para un n´ umero suficiente de instantes se gr´afica la componente vertical de V(t) contra el tiempo (en la figura 1.9 se indican tres puntos: v(0), v(t1 ), v(t2 )), se obtendr´a la figura 1.10. 16

Figura 1.9: Variaci´on en la posici´on de V(t)

Vm V

m

Vm

A partir de t3 la onda se repite por lo que a t3 se le denomina el per´ıodo de la onda : T =

2π 2π 1 = = ω 2πf f

La funci´on de la figura 1.10 corresponde a: v(t) = Vm sen(ωt + θ) ya que: v(t) = =[V( t)] = =[Vm ej(ωt + θ) ] = =[Vm cos(ωt + θ) + j sen(ωt + θ)] = Vm sen(ωt + θ) donde: > pc=v.*ic; >> p=v.*i; >> subplot(2,1,1) >> plot(t,ir,’*’,t,il,’+’,t,ic,’-’,t,i,’.’) >> plot(t,ir,’.’,t,il,’.’,t,ic,’.’,t,i,’.’) >> subplot(2,1,2) >> plot(t,pr,’.’,t,pl,’.’,t,pc,’.’,t,p,’.’) >> close >> wr=(100^2/(2*R))*t+(100^2/(4*R*2*pi*500))*sin(2*2*pi*500*t); >> wl=0.5*L*(il.^2); >> wc=0.5*C*(v.^2); >> plot(t,wr,’.’,t,wl,’.’,t,wc,’.’)

87

Las figuras 1.80 y 1.81, son presentadas por el anterior programa. Figura 1.80: Gr´aficas de tiempo contra: a. corriente, b. potencia

Figura 1.81: Gr´aficas de tiempo contra energ´ıa

1.14.3.

Dipolo general

Sup´ongase un dipolo formado por una interconexi´on arbitraria de elementos, el cual puede presentar una carga determinada.

88

Sea para la figura 1.82 v(t) = Vm cos ωt

i(t) = Imx cos(ωt − θ) =

Vm cos(ωt − θ) Z

p(t) = Imx Vm cos ωt cos(ωt − θ) Vm Imx [cos(2ωt − θ) + cos θ] 2 Vm Imx Vm Imx = cos(1 + cos 2ωt) + sen θ sen 2ωt 2 2

=

Figura 1.82: Dipolo general

=⇒ Observese que s´ı θ = 0 (dipolo resistivo puro) p(t) =

Vm Imx cos(1 + cos 2ωt) 2

por lo que el primer sumando de p(t)es el t´ermino asociado con la disipaci´on de energ´ıa del dipolo y se denomina potencia activa o u ´til instant´anea. Si θ = 90◦ (dipolo inductivo puro) p(t) =

Vm Imx sen 2ωt 2

El segundo sumando de p(t) corresponde entonces a la potencia reactiva instant´anea.

89

1.15.

POTENCIA PROMEDIO

S´ı se toma el valor medio de la potencia instant´anea durante un per´ıodo de la onda de potencia o voltaje se obtiene, tomando por ejemplo el per´ıodo de la onda de potencia: Pprom

1 = T

Z 0

T

ω p(t)dt = π

Z

π ω

p(t)dt 0

como el valor medio de una sinusoide en un per´ıodo o m´ ultiplo del per´ıodo es cero (´areas positivas iguales a las ´areas negativas), se tiene que: Pprom

ω = π

Z 0

π ω

Vm Imx Vm Imx cos θdt = cos θ 2 2

Esta figura se utiliza ampliamente en ingenier´ıa, tiene unidades de vatios (s´ımbolo,W , o sus m´ ultiplos kW , M W : kilovatios y megavatios), y corresponde al dato de la placa que traen los aparatos el´ectricos o cargas para indicar su consumo. En la pr´actica la potencia promedio se mide con un vat´ımetro. La potencia promedio se designa con el s´ımbolo P y se conoce tambi´en con los nombres de potencia activa o u ´til. O sea:

Pprom = P =

Vm Imx cos θ 2

Es importante recordar que θ es el ´angulo entre el voltaje y la corriente, o sea la fase de la impedancia compleja. De la expresi´on para las potencias instant´aneas para el condensador y la inductancia se concluye que la potencia promedio para ´estos elementos es cero, por lo que en ingenier´ıa se tiene en cuenta su existencia a trav´es de su valor m´aximo. Se tiene que: preac (t) =

Vm Imx sen θ sen 2ωt 2 90

El valor m´aximo corresponde a

Vm Imx sen θ, se representa con el s´ımbolo Q y se 2

denomina potencia reactiva. Q=

Vm Imx sen θ 2

Las unidades corresponden a los voltios-amperios reactivos, abreviadamente VAres o VArs, con sus respectivos m´ ultiplos, kVAres, MVAres.

1.16.

VALOR EFICAZ DE UNA CORRIENTE O DE UN VOLTAJE

Sup´ongase una resistencia alimentada como se indica en los siguientes esquemas (figura 1.83). Figura 1.83: Potencia en una resistencia

i(t)

+

R

v(t)

I cc

R

V cc

La potencia disipada en la resistencia con la alimentaci´on de corriente continua ser´a: Pcc =

Vcc2 2 = Icc R R

La potencia media en un intervalo dado ∆t, consumida por la resistencia alimentada con v(t) estar´a dada por: 91

Pprom

1 =P = ∆t

Z 0

t

v 2 (t) dt R

Si se igualan Pprom y Pcc , el valor obtenido para Vcc se define como el valor eficaz o valor efectivo de v(t): Z ∆t 2 1 Vcc2 v (t) = dt R ∆t 0 R s Z 1 T 2 Vef = v (t)dt T 0 o sea el valor eficaz es la ra´ız del valor cuadr´atico medio, en ingl´es: root-mean-square, por lo cual se acostumbra el s´ımbolo Vrms para designarlo, o Irms en el caso de la corriente. En el caso sinusoidal: v(t) = Vm cos(ωt + α) Z 2π ω 2 ω V 2 cos2 (ω + α)dt Vrms = m 2π 0 Z 2π 2 ω ω Vm [1 + cos(2ωt + 2α)]dt = 2π 0 2 2 V2 Vm ω 2π = m = 4π ω 2

Vm Vrms = √ 2 Similarmente para la corriente:

Imx Irms = √ 2 92

En la pr´actica, los valores eficaces son los que se miden con los volt´ımetros y amper´ımetros AC. En t´erminos de valores eficaces, las potencias activa y reactiva quedar´an expresadas como: Vm Imx Vm Imx cos θ = √ √ cos θ = Vrms Irms cos θ 2 2 2 Vm Imx sen θ = Vrms Irms sen θ Q = 2 P =

Se acostumbra escribir: P = V I cos θ Q = V I sen θ Sobreentendi´endose que V , I son valores eficaces. Es usual por lo anterior representar los fasores por su valor eficaz y no por su valor m´aximo, es decir: S´ı

v(t) = Vm cos(ωt + α)

es el voltaje aplicado a un dipolo, caracterizado por una impedancia compleja Z; entonces:

Vm V = √ ∠α = V ∠α 2 V V ∠α V I = = = ∠α − θ = I∠α − θ Z Z∠θ Z

i(t) =

√

2I cos(ωt + α − θ)

√ V 2 cos(ωt + α − θ) Z Vm = cos(ωt + α − θ) Z =

93

De ac´a en adelante se supondr´a que el fasor est´a caracterizado por el respectivo valor eficaz, mientras no se especifique lo contrario.

1.17.

POTENCIA COMPLEJA

Las potencias activa y reactiva se pueden obtener f´acilmente a partir de los fasores V e I, introduciendo un concepto nuevo. Si se efect´ ua el producto VI∗ se tiene que: VI∗ = V ∠α(I∠β)∗ = V I∠α − β = V I cos(α − β) + jV I sen(α − β) = V I cos θ + jV I sen θ = P + jQ Al producto VI∗ se le denomina potencia compleja y se le designa con el s´ımbolo S, o sea: S = VI∗ = P + jQ = S∠θ p P 2 + Q2 S = θ = tan−1

Q P

N´otese que en ´esta definici´on si θ es positivo (circuito inductivo) Q ser´a positivo y negativo en el caso capacitivo. El comportamiento contrario de las potencias inductiva y capacitiva exige asignar un signo a la inductiva y el contrario para la capacitiva. La definici´on dada para S, establece la convensi´on potencia reactiva inductiva positiva, capacitiva negativa. 94

Raramente se utiliza la definici´on: S = V∗ I que implica Q inductiva negativa y Q capacitiva positiva. Se tienen entonces las siguientes representaciones del complejo S.(figura 1.84) Figura 1.84: Potencia compleja P

s

s

QL

QC

P

El m´odulo S se denomina potencia aparente, con unidades de voltios-amperios, abreviadamente VA, kVA, M VA, y es la especificaci´on usual para transformadores y generadores. Recu´erdese que el ´angulo θ de los tri´angulos de potencia es el mismo θ, de los tri´angulos de impedancia y es el desfase entre voltaje y corriente asociados con la carga. De la figura 1.84 se tiene que: P = S cos θ

Q = P tan θ

A la carga se le suministran S VA, de los cuales se utilizan S cos ω por lo cual cos θ es denominado factor de potencia; el m´aximo aprovechamiento corresponde a cos θ = 1. Para diferenciar el factor de potencia de las cargas inductivas y capacitivas se denomina 95

factor de potencia en atraso al caso inductivo y factor de potencia en adelanto para el caso capacitivo, indicando que la corriente atrasa y adelanta al voltaje respectivamente. A partir de: S = VI∗ Se puede obtener: S = V(VY)∗ = V 2 Y∗ = = IZI∗ = I 2 Z =

1.18.

I2 Y

V2 Z∗

´ DE POTENCIAS REDUCCION

Dada una interconexi´on arbitraria de dipolos caracterizados por su respectiva potencia compleja se puede remplazar por un dipolo equivalente caracterizado por una potencia compleja equivalente.

1.18.1.

Dipolos en paralelo

La potencia suministrada en los terminales a − b de la figura 1.85 es: S = VI∗ = V(I1 + I2 .....In )∗

S = VI∗1 + VI∗2 + .....VI∗n = S1 + S2 + .....Sn = Seq La conexi´on original se puede reemplazar entonces por la de la figura 1.86 96

Figura 1.85: Dipolos en paralelo

a

b

Figura 1.86: Dipolo en forma compleja a

b

Seq =

n X

Si

i=1

1.18.2.

Conexi´ on general

Sup´ongase una red como la de la figura 1.87. Como consecuencia del Teorema de Tellegen (Ver Desoer: “Basic Circuit Theory”), se puede establecer: V1 I∗1 − V2 I∗2 + V3 I∗3 + V4 I∗4 + V5 I∗5 − V6 I∗6 − V7 I∗7 + V8 I∗8 + V9 I∗9 + V10 I∗10 + ..... = 0

97

Figura 1.87: Conexi´on general

O sea: V2 I∗2 + V6 I∗6 + V7 I∗7 + ..... = V1 I∗1 + V3 I∗3 + V4 I∗4 + V5 I∗5 + V8 I∗8 + V9 I∗9 + V10 I∗10 + ..... Los dipolos 2,6,7 est´an operando como fuentes (la corriente entrando por el terminal de polaridad negativa), y los dipolos 1,3,4,5,8,9,10 como cargas (corriente entrando por el terminal de polaridad positiva), se tiene entonces que: X

Sfuentes =

X

Scargas

La anterior expresi´on corresponde al principio de la conservaci´on de la energ´ıa. Se tiene tambi´en que: X

P fuentes =

X

P carga

X

Q fuentes =

X

Q carga

98

En la conexi´on serie indicada en la figura 1.88, la aplicaci´on de las expresiones establecidas anteriormente conduce a: Sfuentes =

n X

Si

i=1

VI∗ = V1 I∗2 + V2 I∗2 + .....Vn I∗n = (V1 + V2 + .....Vn )I∗ Se verifica as´ı el Teorema de Tellegen para la conexi´on serie. Figura 1.88: Conexi´on serie

El sistema de la figura 1.88 se puede entonces reemplazar por el de la figura 1.89 Figura 1.89: Reducci´on conexi´on serie

Seq =

n X i=1

99

Si

1.18.3.

Direcci´ on del flujo de potencia

Sup´ongase un dipolo que puede operar como fuente o como carga (como el caso de los motores y generadores). A partir del conocimiento de los fasores V e I, se puede establecer su comportamiento, por ejemplo el dipolo de la figura 1.90 se ha supuesto como carga (corriente entra por el “ + ”), si se efect´ ua el producto VI∗ , se tiene que: S´ı 0 efectivamente opera como carga, pero s´ı: 0 recibe reactiva S´ı Im (VI∗ ) < 0 entrega reactiva Para ilustrar los conceptos anteriores, sup´ongase los siguientes valores de la figura 1.90. V = 120∠30◦

I = 10∠160◦

entonces: ◦ ◦ vfc=[-12;12;0;2]; >> iv=mc\vfc; >> ia=iv(1)

ia =

115

0.0000 + 0.6667i

>> ib=iv(2)

ib =

-0.6667 - 2.6667i

>> ic=iv(3)

ic =

-2.0000 + 0.6667i

>> v1=iv(4)

v1 =

12.0000 + 1.3333i

>> %Calculo de la corriente de la fuente de voltaje >> i2=ib-ia

i2 =

116

-0.6667 - 3.3333i

>> %potencia de los generadores >> sg=16.000+42.6667i; >> %potencia pasiva >> sp=abs(ia)^2*2+abs(ib)^2*2+abs(ib-ic)^2*(4i)+abs(ic)^2*(-2i)

sp =

16.0000 +42.6667i

1.19.6.

Ejemplo 1.17

El siguiente ejemplo sirve para llevar a cabo un an´alisis a las potencias activas y reactivas, conocer las fuentes y las cargas. Figura 1.105: Circuito ejemplo 1.17

+

1

0 .5 W

j1 . 5

500Ð - 30o

2

+

450Ð 0 o

-

-

117

Primero se supone un sentido de corriente en este caso fluye de 1 a 2, de esta forma al mismo tiempo se suponen como potencia activa, aquella donde la corriente sale y pasiva aquella donde la corriente entra.

S1 = 500∠−30◦ I∗ S2 = 450∠0◦ I∗ V1 − V 2 Z 500∠−30◦ − 450∠0◦ = 0,5 + j1,5

I =

= 158,4785∠−165,4523◦ Ahora se hallan S1 y S2 y de los c´alculos se deduce I en otro sentido. S1 = 79239,24∠135,45◦ = −56468 + j55588 S2 = 71311∠165,45◦ = −69024 + j17915 De la informaci´on hallada, se tiene: 1. Flujo de activos Puerta 1: Recibe 56.47 kW Puerta 2: Entrega 69 kW P´erdidas en la l´ınea: P2 − P1 = 12.53 kW P´erdidas= (158,5)2 0,5 = 12,5 kW

2. Flujo de reactivos Puerta 1: Suministra 55.59 kVAres 118

Puerta 2: Recibe 17.92 kVAres P´erdidas reactivas: Q1 − Q2 = 37.67 kVAres

119

1.20.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.20.1.

Ejercicio 1.1

Para el circuito de la figura 1.106, hallar I usando nodos y mallas. Figura 1.106: Circuito ejercicio 1.1 j4

8W 2Ð0o 6Ð0

o

8W

4W

j4

- j2

I

Respuesta: I = 0.707∠−135◦

1.20.2.

Ejercicio 1.2

Figura 1.107: Circuito ejercicio 1.2

1W

1 H 2 2cos(4t- 30o )

+

1 F 12

2v1

v1 + 5sen4t

-

120

+

v

3W -

Hallar v usando: a) Mallas. b) Nodos. c) Th´evenin (pruebas separadas). Respuesta. v(t) = 4,84 cos (4t + 5,8)

1.20.3.

Ejercicio 1.3

Dado v(t) = 12 cos 377t, hallar v0 (t) utilizando Th´evenin, para el circuito de la figura 1.108 Figura 1.108: Circuito ejercicio 1.3 ix

5 W

+ 20 m H

+

v0

10 W

-

v (t )

200 uF

Respuesta. v0 = 6,64∠−46,5◦

121

2ix

Figura 1.109: Circuito ejercicio 1.4 12mH i

3W

+

v(t)

5W

2v1

+

v1 500uF

-

-

1.20.4.

Ejercicio 1.4

v(t) = 50 cos (500t), hallar i(t) usando: a) Th´evenin (pruebas separadas). b) Nodos. Respuesta i(t) = 1,22 cos (500t − 170,61◦ )

1.20.5.

Ejercicio 1.5

Figura 1.110: Circuito ejercicio 1.5

1W +

j3

j3

60 A

7 kV

1W 80 A

Z

- jX

60 A -

122

Auxili´andose de los respectivos diagramas fasoriales hallar X y Z. Respuesta X = 115,97 Ω Z = 84,2435∠40,743◦

1.20.6.

Ejercicio 1.6

Figura 1.111: Circuito ejercicio 1.6

i (t ) iL (t ) v(t )

5W

i(t) = 10 sin(400π(t) − 30) iL (t1 ) = 3 t1 =

1 seg 600

Encontrar v(t) utilizando diagrama fasorial. Respuesta v(t) = 41,83 sen(400πt + 40,743◦ )

1.20.7.

Ejercicio 1.7

A: Carga de f.p = 0,866 en atraso 123

L

Figura 1.112: Circuito ejercicio 1.7 jx R +

2508

250Ù

- j800

A 2400

-

En los terminales a − b el generador suministra 81.9 kVA. La eficiencia de la l´ınea es 97 por ciento. Hallar R, X y PA (Potencia activa de la carga A). Respuesta R = 2.17 Ω X=4Ω PA = 81960 kW.

1.20.8.

Ejercicio 1.8

Encontrar el factor de potencia de la carga y de la fuente indicando si es en atraso o en adelanto. Respuesta. Factor de potencia del generador = 0,86 ↑ Factor de potencia de A= 0,82 ↑

124

Figura 1.113: Circuito ejercicio 1.8

1 .2

+

j1 .8

1 .5 A

+

1 .2 A 2400 V

C arga,

2400 V

100 K VA

-

1.20.9.

Ejercicio 1.9

El factor de potencia es 0,95 ↓ encontrar la potencia en kW de A y el factor de potencia de A, indicando si es en atraso o en adelanto. Figura 1.114: Circuito ejercicio 1.9 j40

+

8 kV

160

8 kV

-

Respuesta: 125

PA = 549 kW f.pA = 0,87 ↓

1.20.10.

Ejercicio 1.10

El generador suministra 8 MW y recibe 1 MVAr I1 = 300 A A: Carga de f.p = 0,8666 ↓. Hallar VO , potencia compleja de R, potencia compleja del condensador y potencia media de la carga.

Figura 1.115: Circuito ejercicio 1.10

I g j4

I1

+

+

20 kV

R

- jX

-

A

Vo -

Respuesta: IR = 106 A, SR = 2,15∠0◦ MVA IC = 248 A, SC = 5,03∠−90◦ MVA IA = 333 A, PA = 5,85 MW VO = 20263 V 126

1.20.11.

Ejercicio 1.11

Figura 1.116: Circuito ejercicio 1.11

2W 1

j4

I1

I2

2

- j120

jX 1

2'

1'

Vii0 = 2∠0◦ kV La puerta 1 recibe 100 kW y suministra 20 kVAres. Las p´erdidas de la l´ınea son 5408 W. Hallar X1 , V2 , I1 , I2 . Respuesta I1 = 51∠191,32◦ A I2 = 48,7∠4,34◦ A X1 = 82,36 V2 = 2163,9∠4,54◦ V

1.20.12.

Ejercicio 1.12

El factor de potencia es de 0,95 ↓, encontrar la potencia en kW de A y el factor de potencia, indicando si es en atraso o en adelanto. Encontrar adem´as la regulaci´on y la eficiencia de la l´ınea. 127

Figura 1.117: Circuito ejercicio 1.12

j40 + +

8 kV

8 kV -

-

Respuestas PA = 549 kW f.pA = 0,87 ↑

128

2. CIRCUITOS ACOPLADOS Y TRANSFORMADORES

2.1.

´ DESCRIPCION

En el presente cap´ıtulo fundamentalmente se obtiene el circuito equivalente de los transformadores lineal y real (usado en sistemas de potencia). Inicialmente se establecen los conceptos y m´etodos b´asicos implicados en dicha obtenci´on. As´ı como otros de aplicaci´on general.

2.2.

´ LEY DE INDUCCION

Aunque la ley de inducci´on de Faraday se puede realizar para cualquier trayectoria f´ısica o matem´atica, se aplicar´a en este an´alisis a una trayectoria f´ısica conductora. Si en una regi´on del espacio existe un campo magn´etico variable con el tiempo, en cada punto del espacio se induce un campo el´ectrico. La relaci´on entre el campo el´ectrico y magn´etico est´a dado por la ecuaci´on de Maxwell.

∇×E=− 129

∂B ∂t

Figura 2.1: Espira en medio de un campo magn´etico

B( t )

a b

Como B = ∇ × A, se obtiene: E=−

∂A ∂t

Si en la regi´on mencionada se ubica una espira conductora quieta con dos terminales (espira abierta), como se indica en la figura 2.1, en los terminales aparece una fuerza electromotriz dada por: I e=

− → d E • dl = − dt

Z

→ − dφ B • ds = − dt

Si la espira fuera cerrada, se inducir´ıa una corriente. Si la espira se moviese el campo el´ectrico total ser´ıa:

ET otal = −

∂A +∇×B ∂t

y la f.e.m., I

→ ∂A − • dl + ∂t

I

→ − ∇ × B • dl

I

→ ∂B − •ds + ∂t

I

→ − ∇ × B • dl

e = − ´o e = −

130

En cualquier caso (m´ovil o quieta): d e=− dt

Z

→ − B • ds

Como en el presente cap´ıtulo pretende establecer los fundamentos para el an´alisis de circuitos acoplados fijos, como los transformadores no se considerar´a el caso de espira m´ovil. Para el caso de espira fija o quieta,

d e=− dt

2.3.

Z

− → B • ds = −

Z

→ − d B • ds dt

´ v − i PARA UNA ESPIRA RELACION

Figura 2.2: Relaci´on v − i para una espira B(t)

a b

E = Eg + Ef , donde: Ef = − ∂A : Campo de Faraday ∂t Eg : Campo de la fuente E= J σ : Campo que produce la corriente.

131

entonces: J ∂A = Eg − σ ∂t I I I → → ∂ − → − J − • dl = Eg dl − A • dl σ ∂t Z → I − ∂φ dl = vg − sσ ∂t il dφ = vg − sσ dt dφ vg = iR + dt

2.4.

´ RELACION v − i PARA UNA BOBINA AISLADA

Figura 2.3: Bobina aislada

i +

vg (t )

N

-

dφ dt dψ = Ri + dt

vg = Ri + N vg

dψ dψ di = dt di dt 132

ψ , L : inductancia de la bobina o autoinductancia o inductancia propia. di Si la relaci´on ψ − i es lineal B − H es lineal. ψ i

L =

vg = Ri + L

2.5.

di dt

RELACIONES PARA DOS INDUCTORES ACOPLADOS

En la figura 2.4 se representan los inductores (arrollamientos sin resistencias ni capacitancia) devanados sobre un n´ ucleo de material tal que la relaci´on flujo - corriente es lineal.

Figura 2.4: Inductores acoplados magn´eticamente.

M L1

L2

f 11 (t )

f

f 22 (t )

i1 (t )

i2 (t )

+

v1 (t )

+

-

v2 (t )

Para la figura 2.4 se tienen las siguientes especificaciones: 133

-

L1 , L2 : autoinductancias o inductancias propias. M : inductancia mutua. K = pM : coeficiente de acoplamiento magn´etico 0 < K < 1. L1 L 2 Φ1,1 (t) : enlaces totales de flujo del devanado 1 debido a i1 (t). Φ2,2 (t): enlaces totales de flujo del devanado 2 debido a i2 (t). Φ1 (t): enlaces totales de flujo del devanado 1. Φ2 (t): enlaces totales de flujo del devanado 2. Se establecen las siguientes relaciones: Φ1 (t) = Φ11 (t) − Φ22 (t) = L1 i1 (t) − M i2 (t) Φ2 (t) = Φ22 (t) − Φ11 (t) = L2 i2 (t) − M i1 (t) di2 (t) dΦ1 (t) di1 (t) = L1 −M dt dt dt dΦ12 (t) di1 (t) di12 (t) v2 (t) = = L2 −M dt dt dt

v1 (t) =

(2.1) (2.2)

En forma compleja: V1 = jωL1 I1 − jωM I2 V2 = jωL2 I1 − jωM I1      V1   L1 −M  I1    = jω    V2 −M L2 I2 ωL1 ,

ωL2 : reactancias propias de los devanados 1 y 2, respectivamente

ωM : reactancia mutua. 134

(2.3)

2.6.

CIRCUITO EQUIVALENTE EMPLEANDO MARCAS DE POLARIDAD

A partir de la figura 2.4 se construyen los circuitos equivalentes de la figura 2.5, utilizando marcas de polaridad. Figura 2.5: Circuitos equivalentes para los inductores de la figura 2.4. M

.

.

i1 (t )

+

v1 (t )

-

+

v2 (t )

-

Si se desean obtener las relaciones v − i a partir de los circuitos de la figura 2.5, observando las ecuaciones (2.1) y (2.2) se puede concluir que si ambas corrientes entraran o salieran por el terminal marcado el signo del voltaje inducido en un devanado debido a la corriente por el otro devanado es positivo. En forma compleja se tienen los circuitos equivalentes de la figura 2.6.

135

Figura 2.6: Representaci´on compleja de los inductores de la figura 2.3. jwM

jwL 1

.

.

jwL 2

I1

I2

V1

+

2.7.

-

+

-

V2

´ CON FUENTES REPRESENTACION INDEPENDIENTES

A partir de la figura 2.6 se pueden construir los circuitos equivalentes de la figura 2.7. Figura 2.7: Circuito equivalente con fuentes dependientes. jwMI2

jwL 1

jwMI1

jwL 2

I2

I1 +

V1

-

+

V2

-

Las polaridades de las fuentes dependientes que representan el voltaje inducido en un devanado debido a la corriente en el otro se han determinado de la siguiente manera: 136

Si la corriente por el otro devanado entra por el terminal marcado ese terminal ser´a positivo y por lo tanto el otro terminal marcado ser´a tambi´en positivo.

2.7.1.

Ejemplo 2.1

En la figura 2.4 el terminal negativo del devanado 1 se conecta con el terminal positivo del devanado 2. Se desea obtener la inductancia equivalente para tal conexi´on (serie). Se plantear´an dos formas de resolver el problema. a. Usando an´alisis de flujos. Para la figura 2.4 se ha establecido anteriormente: Φ1 (t) = L1 i1 (t) − M i2 (t) Φ2 (t) = L2 i2 (t) − M i1 (t)

(2.4)

Al conectar los arrollamientos en serie se plantea la ley de voltajes como indica la expresi´on (2.5). v(t) = v1 (t) + v2 (t)

(2.5)

donde v(t) es el voltaje aplicado a la conexi´on. A partir de (2.5) se tiene que: Φ(t) = Φ1 (t) + Φ2 (t) donde Φ(t) : enlaces de totales de flujo para la conexi´on. Reemplazando (2.4) en (2.5) y usando i1 (t) = i2 (t) = i(t), en donde i(t) es la corriente que circula por la conexi´on, entonces: Φ(t) = L1 i(t) − M i(t) + L2 i(t) − M i(t) Le q =

Φ(t) = L1 + L2 − 2M i(t)

Le q = inductancia equivalente para la conexi´on 137

b.Utilizando representaci´on compleja La figura 2.8 representa la conexi´on serie obenida a partir de la figura 2,6. En aquella se establece: V1 = jwL1 I1 − jwM I2 V2 = jwL2 I2 − jwM I1

(2.6)

V = V1 + V2

(2.7)

I = I1 = I2

(2.8)

Figura 2.8: Representaci´on compleja de la conexi´on serie. M

jwL 1

.

.

jwL 2

I1

I2

+

V1

-

+

V2

-

I V

+

-

Reemplazando (2-6) y (2-8) en (2-7): V = jwL1 I − jwM I + jwL2 I − jwM I Zeq =

V = jw(L1 + L2 − 2M1 ) I

Leq = L1 + L2 − 2M

138

2.7.2.

Ejemplo 2.2

φ(t) = 2,5 sen 1000t mWebber Figura 2.9: Esquema ejemplo 2.2 500 (t )

a

-

+

b

Para el ejemplo 2.2, hallar: Vab (t), Vabrms = f (φmax ) Soluci´on:

ϕ = 500φ(t) = 1250 sen 1000t Vba =

dϕ = −1250 cos 1000t V dt

Vab = −1250 cos 1000t V Vba = N

dφmax sen ωt dt

= N ωφmax cos ωt Vabmax = φmax (N ω) √ 2Vrms = φmax (N ω) 2π Vrms = √ f N φmax 2 Vrms = 4,44f N φmax 139

2.7.3.

Ejercicio

Figura 2.10: Conexi´on paralelo de dos arrollamientos del ejercicio 2.1.

L 1 =5h a

b L 2 =5h

En la figura 2.10 se representa la conexi´on paralelo de dos inductores. Encontrar la indutancia equivalente entre los terminales a − b, empleando las dos formas establecidas en el ejemplo anterior.

140

2.7.4.

Ejemplo 2.3

Para el circuito mostrado calcular I. Figura 2.11: Circuito del ejemplo 2.3 2W L2

L1

+ - j

36Ð0o -

2W

I

- j

XM = 1 X1 = 2 X2 = 3 Figura 2.12: Soluci´on mediante mallas 2W

j2

2W

+ V1 + o

36Ð0

+ -j -

Ia

+ V2 j3

-

-

Usando mallas, basados en la figura 2.12 141

Ib

-j

V1 = j2Ia + j(Ia − Ib ) V2 = j3(Ia − Ib ) + Ia Malla a: −36∠0◦ + 2Ia + V1 − j(Ia − Ib ) + V2 = 0 Malla b: −V2 + j(Ia − Ib ) + (2 − j)Ib = 0 36 = Ia (2 − j + j2 + j + j3 + j) + Ib (j − j − j3) 0 = Ia (j − j − j3) + Ib (2 − j − j + j3) 36 = Ia (j6 + 2) + Ib (−j3) 0 = Ia (−j3) + Ib (2 + j)       6 + j2 −j3   Ia   36   =  0 −j3 2 + j4 Ib I = Ib = 6,899∠26,56◦ Usando Th´evenin: Voltaje de Th´evenin: 36∠0◦ = Ia (6 + j2) Ia = 1,8 − j5,4 Vth = −jIa + j4Ia j3Ia = 16,2 + j5,4 Impedancia de Th´evenin: 2Ia + j2Ia + j(Ia + 1) − j(Ia + 1) + j3(Ia + 1) + jIa = 0 142

Figura 2.13: Soluci´on mediante Th´evenin

Ia

2W

Ib

j2

+ V1 -

+ + -j -

+ o

36Ð0

Vth

+ V2

-

j3

-

-

Ia =

−j3 = 0,45 − j0,15 2 + j6

Vp = −j(Ia + 1) + j3(Ia + 1) + jIa Vp = Ia (−j + j3 + j) + j2 = 0, 45 + j0, 65 = Vth I=

Vth = 6,899∠26,565◦ Zth + 2 − j

Figura 2.14: Soluci´on mediante Th´evenin 2

j2

-j +

Ia

Vp j3

Utilizando Simulink se obtiene la figura 2.15

143

-

Figura 2.15: Simulaci´on Matlab ejemplo 2.3

2.7.5.

Ejemplo 2.4

El circuito de la figura 2.16 tiene las siguientes caracteristicas: R1 = 200 Ω, R2 = 120 Ω, C=10 µF , R=100 Ω y v(t) = 150 sen 377t. Figura 2.16: Red ejemplo 2.4

i1 (t )

i0 (t )

M

+

+ v(t )

L1

-

L2

v0

-

Hallar: a) i1 , v0 (sin carga) b) i1 , v0 (con carga) 144

C

R

Figura 2.17: Circuito equivalente figura 2.16 200

120

+

+

V1

V -

a

-

I2

..

I1

I0 +

+

V2

b

-

Del circuito equivalente tenemos lo siguiente: x1 = ωL1 = 1885 x2 = ωL2 = 754 xm = ωM = 1131 xc =

1 = 265,25 ωC

V = 150∠0◦ V = I1 200 + I1 jx1 I1 = 0,079∠−83,94◦ =⇒i(t)=0.079sen (377t − 83,94◦ ) V2 = I2 R2 + I2 jx2 + jxm I1 el circuito est´a abierto as´ı que I2 = 0 entonces: V2 = jxm V0 V0 = 89,34∠6,05◦ =⇒v0 = 89,34 sen 377t + 6,05◦ . Ahora se hallan los valores con carga. 145

C

V0

R

j 1 + = 0,1069∠20,66◦ 265,25 100 1 Zeq = = 93,57∠−20,66◦ Yeq

Yeq =

150 = Ia 200 + V1 =⇒V1 = I1 jx1 + jxm I2 −V2 + Ib (120 + Zeq ) = 0 =⇒V2 = I2 jx2 + jxm I1 I1 = Ia ,

I2 = −Ib entonces: V1 = Ia jx1 − Ib jxm V2 = −Ib jx2 + jxm Ia 150 = (200 + j1885)Ia − j1131Ib 0 = −j1131Ia + Ib (120 + 93,57∠−20,66◦ + j7,54) Ia = 209,6∠−20,16◦ mA Ib = I0 = 316,03∠−4,1◦ mA V0 = Ib Ze q = 29,57∠−24,7◦ V V2 = I0 (120 + Zeq ) = 66,4∠−13,3◦ V

2.7.6.

Ejemplo 2.5

El transformador en vac´ıo mostrado en la figura 2.18 tiene: k = 0,7, R1 =10 Ω y demanda una corriente eficaz de I 1 = 2A, cuando se conecta a un generador sinusoidal de 120 Vrms . Hallar: a)Vrms secundario inducido b)La I1 si se conecta a un generador de 120 V DC. 146

Figura 2.18: Transformador ejemplo 2.5

I2 = 0

I1

+

+

R1

V2

120 V X1

-

N1 = 270

N2 = 540

a) v2 (t) = M di1 =⇒V2 = jωM I1 dt dφ v2 (t) = N2 21 = N2 d kφ11 =⇒V2 = jωN2 kφ11 =⇒| V2 |= ωN2 k | Φ11 | dt dt | v |= L di1 =⇒V = jωLI =⇒V = x I =⇒| V |= x | I | x1

1 dt

x1

1

x1

1 1

|V | dφ11 =⇒ Vx1 = jωN1 φ11 =⇒| φ11 |= ωNx11 dt | Vx1 | | V2 |= ωN2 k V ωN1 Vx1 = N1

120∠0◦ = I1 (R1 ) + jx1 I1 = 10 120 + jx1 vR1 = 10Ω(2A) = 20 V vL = v2 =

√

1202 − 202 = 118,32 V

540 ∗ 0,7 ∗ 118,32 = 165,65 V. 270

b) Para v = 120 VDC tenemos que I 1 =

120 = 12 A. 10 147

xi

1

1

2.8.

TRANSFORMADOR IDEAL

Est´a constituido por dos arrollamientos como los de la figura 2.19. Figura 2.19: Transformador con dos arrollamientos.

f1(t)

+

i1(t)

v1(t)

i2(t) N2

N1

-

+ v2(t)

-

Tiene, con relaci´on a los transformadores f´ısicos disponibles en el mercado, las siguientes idealizaciones:

1. No disipa energ´ıa, es decir, la resistencia del cobre de los devanados es cero (R1 = R2 = 0). 2. No tiene flujo de p´erdidas, es decir todo el flujo circula por el n´ ucleo y no hay ning´ un flujo que circule entre los arrollamientos y el medio externo al n´ ucleo (flujo de dispersi´on). Esto implica que el coeficiente de acoplamiento k, vale uno; o sea que el material del n´ ucleo debe ser de permeabilidad infinita (µ → ∞),para lograr la condici´on R = 0 (reluctancia mag´etica cero), necesaria para que todo el flujo circule por el n´ ucleo.

148

3. La auto inductancia de cada devanado es infinita. El transformador ideal es un modelo muy u ´til para c´alculos de circuitos porque con unos pocos elementos adicionales (R, L, C) conectados a sus terminales puede representar muy aproximadamente el comportamiento terminal de los transformadores f´ısicos. Para la figura 2.19: n1 : N´ umero de espiras del devanado 1. n2 : N´ umero de espiras del devanado 2. φ(t): Flujo que atraviesa una espira.

Φ1 (t) = n1 φ(t)

(2.9)

Φ2 (t) = n2 φ(t)

(2.10)

dΦp (t) = dt dΦp (t) V2 (t) = = dt V1 (t) n1 = − V2 (t) n2 V1 (t) =

dφ(t) dt dφ(t) −n2 dt n1

(2.11) (2.12) (2.13)

La expresi´on (2.13) es la relaci´on terminal de voltajes para el transformador ideal. Entonces si el devanado 1 lo excitamos con v1 (t), en el devanado 2 aparecer´a un voltaje n2 V2 (t) = − V1 (t). S´ı n2 < n1 , el transformador ser´a reductor y el devanado 1 ser´a el n1 devanado de alta tensi´on. Para la relaci´on terminal de corrientes se tiene: fmm = Rφ = 0

149

(2.14)

donde fmm es la fuerza magnetomotriz y R la reluctancia magn´etica. n1 i1 (t) − n2 i2 (t) = 0 i1 (t) n2 = i2 (t) n1

(2.15)

La relaci´on (2.15) tambi´en se pudo haber obtenido con base en consideraciones de potencia. Como el transformador ideal no tiene ning´ un tipo de p´erdida entonces toda la potencia suministrada en uno de los devanados la entrega en el otro. v1 (t)i1 (t) = −v2 (t)i2 (t) v2 (t) n2 i1 (t) = − = i2 (t) v1 (t) n1

(2.16)

De (2.16) se concluye que por el devanado de alto voltaje circular´a baja corriente, propiedad utilizada en los sistemas de potencia para trasmitir grandes potencias a baja corriente, disminuyendo as´ı las p´erdidas en las l´ıneas, am´en de los calibres m´as bajos de las l´ıneas. Sup´ongase que el devanado 2 se encuentra desconectado (ip (t) = 0) y el devanado un excitado con un voltaje v1 (t). Seg´ un (2.13) aparecer´a un voltaje v2 (t) = − nn21 v1 (t). Seg´ (2.14), i1 (t) = 0, a pesar de la excitaci´on v1 (t). Necesariamente L1 → ∞. Similarmente, L2 → ∞. O sea las autoinductancias de un transformador ideal tienden a infinito (tercera idealizaci´on). El transformador ideal se representa usualmente como se indica en la figura 2.20, donde las marcas se han puesto a partir de la figura 2.19. F´acilmente se demuestra que para la figura 2.21, se establece la representaci´on de la figura 2.22 y las relaciones correspondientes: V1 n1 I2 = =− V2 n2 I1

150

Figura 2.20: Representaci´on compleja del transformador ideal. I1

+

+

.

V1

I2

IDEAL

.

-

V2

-

N1 : N2

Figura 2.21: Transformador con dos arrollamientos marcas enfrentadas

f1(t ) +

i1 (t )

i2 (t )

v2 (t )

v1(t ) -

-

N1

2.8.1.

+

N2

Propiedad de cambio de escala

Sup´ongase que al trafo de la figura 2.23 se le conecta una red representada por su equivalente Th´evenin, como se indica en la figura 2.24.

151

Figura 2.22: Representaci´on compleja del transformador ideal marcas enfrentadas I1

+

IDEAL

.

V1

.

I2

+ V2

-

N1 : N2

Figura 2.23: Transformador ideal conectado a una red. I1

+

.

V1

I2

IDEAL

.

-

Zth

+

+

V2

-

Vth

-

N1 : N2

V2 = Vth − I2 Zth n1 n1 n1 = − Vth + I2 Zth n2 n2 n2 n1 n1 n1 = −Vth + I1 Zth n2 n2 n2

V1 = − V1

(2.17)

A partir de (2.17) se construye el circuito de la figura 2.25. El circuito de la figura 2.24 se denomina circuito referido al devanado 1 o visto desde el devanado uno; fundamentalmente es el mismo circuito del lado 2 de la figura 1.16, N1 afectada su impedancia por la relaci´on ( )2 y la corriente y el voltaje por las relaciones N2 n2 n1 y , respectivamente. en base a lo anterior, podr´ıa usarse el transformador ideal n1 n2 152

Figura 2.24: Circuito equivalente al de la figura 2.23

I1

æ N ö Z th çç 1 ÷÷ è N2 ø

2

+ V1

+

æ N ö V th çç 1 ÷÷ è N2 ø

-

tambi´en como acoplador de impedancias.

2.8.2.

Ejercicio

Para la red de la figura 2.25, encontrar el equivalente Th´evenin entre los terminales a − b: Figura 2.25: Red del ejercicio a

1W

IDEAL

2W

1W

..

- j 0.5 -

30Ð 60o +

b

N1 : N 2

Refiriendo el circuito elemento por elemento y luego hallando el equivalente de Th´evenin de tal circuito referido. Encontrando primero el equivalente de Th´evenin para el circuito conectado en el lado de baja y despu´es refiriendo tal equivalente. 153

2.8.3.

Ejemplo 2.6

El gr´afico muestra un sencillo sistema de potencia el cual consta de un generador de 480 V, un transformador ideal con relaci´on 1:10, una l´ınea de transmisi´on, un transformador ideal con relaci´on 20:1 y una carga. Calcular La potencia entregada a la carga y la potencia disipada en la l´ınea de transmisi´on. Figura 2.26: Representaci´on circuital ejemplo 2.6

I1 + 480Ð0°

j60

I 2 20

+

+

V1

V2

-

-

I3 +

V '1

V '2

10Ð30°

-

-

20 :1

1:10 j60

I 2 20

4000Ð30°

4800Ð30°

V1 1 = V2 10 V2 = 10V1 V2 = 10 ∗ 480∠0◦ = 4800∠0◦ Refiriendo la carga a alta del transformador 2 se tiene 10∠30◦ ∗ a2 = 4000∠30◦ ; donde a =

20 = 20 1 154

V2 = (20 + j60)I2 + 4000∠30◦ I2 4800∠0◦ = (20 + j60)I2 + 4000∠30◦ I2 4800∠0◦ (20 + j60) + 4000∠30◦ 4800∠0◦ I2 = 63,24∠1,24◦ + 4000∠30◦ I2 =

I2 = 1,18∠−30,59◦ 1 I2 = I3 20 I3 = 20I2 I3 = 23,6∠−30,59◦ La potencia entregada a la carga es PL = I32 ∗ 4000 cos 30◦ PL = (23,6)2 (4000 cos 30◦ ) PL = 343647 W La potencia disipada en la l´ınea es PLIN = I22 (20Ω) PLIN = (1,18)2 (20) PLIN = 28,12 W

155

2.8.4.

Ejemplo 2.7

Para el circuito de la figura 2.27 determinar I1 , V0 . Figura 2.27: Red del ejemplo 2.7.

2W

c 2W

- j2 a

·

+

- j2

·

+

12Ð00

2W

V

0

-

d

b

Refiriendo al lado 1 se tiene la figura 2.28 Figura 2.28: Circuito referido a alta

I1

2W

0.5 W

- j2

- j0.5

a

+

+

12Ð00

0.5 W

0

-

b

I1 =

V

12 = 3,07∠39,8◦ 3 − j2,5

0

V0 = 3,07∠39,8◦ = 1,53∠39,8◦ 0

V0 = V0 ∗ 2 = 3,07∠39,8◦

156

Refiriendo al lado 2 se tiene la figura 2.29 Figura 2.29: Circuito referido a baja.

I'

8W 1

2W

- j8

- j2

c +

24Ð 0

+

0

2W

V -

d

24∠0◦ ∗ 2 = 3,07∠39,8◦ 12 − j10 V1 0 I1 = = 1,53∠39,8◦ 2 V0 =

0

I1 = I1 (2) En la figura 2.30 se ilustra la simulaci´on en Matlab Figura 2.30: Simulaci´on en Matlab ejemplo 2.7

157

0

2.9.

TRANSFORMADOR LINEAL

Est´a constituido por dos arrollamientos devanados sobre un n´ ucleo de material tal que la relaci´on flujo-corriente sea lineal. R1 y R2 diferentes de cero. L1 y L2 finitas y k < 1. La red equivalente para este transformador aparece en la figura 2.31. Figura 2.31: Modelo circuital del transformador lineal.

+ V1

R1

I2

R2

. .

I1

jwL1

jwL2

+ V2

-

-

El transformador de la figura 2.31 puede representar un transformador f´ısico con n´ ucleo de aire .

2.9.1.

Circuito equivalente de un transformador lineal

V1 = I1 (R1 + jωL1 ) + jωM I2

(2.18)

V2 = I2 (R2 + jωL2 ) + jωM I1

(2.19)

Se puede verificar f´acilmente que el circuito de la figura 2.30 satisface las ecuaciones (2.20) y (2.21). Puede suceder que alguna de las inductancias del modelo de la figura 2.24 sea negativa ya que puede ocurrir que M > L1 , ´o M > L2 . Para obviar esta 158

Figura 2.32: Circuito equivalente parcial.

+

I 1 R1

j ( L1  M )

V1

j ( L2  M )

R2

I2

+

V2

j M

-

-

dificultad se modificar´an las ecuaciones (2.20) y (2.21) utilizando la constante a =

q

L1 L2

de la siguiente manera:

I2 )jωM a a

(2.20)

I2 (R2 + jωL2 )a2 + I1 jωM a a

(2.21)

V1 = I1 (R1 + jωL1 ) + ( aV2 =

Se tendr´a entonces un circuito equivalente como el de la figura 2.33. Figura 2.33: Modelo f´ısicamente realizable.

+

I1 R1

j ( L1  aM )

V1

j ( a2L2  aM )

j Ma

-

a2 R2 I 2

a

+

aV2 -

Utilizando: 159

K= √

M L1 L2

Se obtiene: r L1 − aM = L1 −

L1 p K L1 L2 = L1 (1 − K) L2

r L1 p L1 a L2 − aM = L2 − K L1 L2 = L1 (1 − K) L2 L2 L1 p aM = K L1 L2 = KL1 L2 2

El modelo se muestra en la figura 2.34: Figura 2.34: Modelo realizable f´ısicamente.

+

I1

R1

jwL2 (1-k )

jwL1 (1- k )

V1

jw kL1

-

R2

I2

a

+

aV2

-

El modelo anterior representa dos inconvenientes: El voltaje y corriente de la puerta dos del transformador se encuentran afectados por la constante a. No se conserva la propiedad aislante del transformador, es decir, si la excitaci´on V1 tuviera una componente DC, ´esta aparecer´ıa en la salida (puerta dos). Estos inconvenientes se pueden obviar poniendo un transformadorr ideal como se muestra en la figura 2.35. 160

Figura 2.35: Circuito equivalente final.

I1

R1

jw(a2L2 -aM)

jwL1 (1-k)

jwL2 (1-k)

a2R2

2

IDEAL

+

.

+

jw(L1 -aM)

.

1

+ V1

jwkL1

V2

aV2

-

-

2'

N1 : N2

1'

p n1 = a = L1 L2 n2 El circuito de la figura 2.33 se denomina circuito equivalente referido a la puerta uno (terminales 1-1’) del transformador. A partir de este circuito se pueden obtener los esquemas de las figuras 2.36 y 2.37. Figura 2.36: Circuito referido parcialmente.

1

I1

R1

jwLd

I

1

IDEAL

.

a

jwLd

2

R

2

.

+

1

2 +

jwkLd

1

-

-

N :N

1'

1

2

Ld1 = L1 − aM = L1 (1 − K) Ld2 = L1 (1 − K)(

n2 2 (1 − K) ) = L1 = L2 (1 − K) n1 a2 161

2'

Figura 2.37: Circuito referido al lado 2. R

1

aI

IDEAL

1

a

2

jw Ld

jw Ld

1

2

1

R

2

I

2

2

+

.

+

1

.

I

+

V

jw LM

1

-

1'

N:N 1

V

2

-

2'

2

(1 − K) = L2 (1 − K) a2 n2 = KL1 ( )2 = KL2 n1

L0d1 = L1 Lm

El circuito de la figura 2.35 se puede obtener tambi´en a partir de las ecuaciones (2.18) r 1 L2 = , de la siguiente manera: y (2.19) utilizando una constante b = L1 a

I1 (R1 + jωL1 )b2 + I2 jωM b b I1 = I2 (R2 + jωL2 ) + jωM b b

bV1 = V2

(2.22) (2.23)

Se puede verificar que el circuito de la figura 2.38 satisface las ecuaciones (2.22) y (2.23). Introduciendo el transformador ideal para obtener la puerta uno (V1 , I1 ) y conservar la propiedad aislante se obtiene el circuito de la figura 2.37.

162

Figura 2.38: Circuito equivalente realizable. I

1

1

2

b R

b

2

1

+

bV

[ jw (b L - b M ) ]

[ j w ( L - M b) ]

1

2

R

I

2

+

j w L (1 - k )

j w L (1 - k )

2

2

jw M b jw k L

1

2

2

V

2

2

-

-

2'

1'

Figura 2.39: Transformador lineal. m

+ v2 (t )

(t )

i1 (t )

i2 (t )

d1

(t )

+ v2 (t )

d 2 (t )

-

2.9.2.

-

Circuito equivalente del transformador lineal a partir del flujo de dispersi´ on

φm (t): Flujo mutuo (circula por el n´ ucleo) φd1 (t): Flujo de dispersi´on del devanado 1 (circula entre el arrollamiento 1 y el aire, suponiendo que el material del n´ ucleo es diferente del aire). φd2 (t): Flujo de dispersi´on del devanado 2 (circula entre el arrollamiento 2 y el 163

aire). φ1 (t) y φ2 (t): Flujos que circulan por los devanados 1 y 2, respectivamente. Los circuitos equivalentes anteriores se encontraron con base en el concepto de flujo propio (autoinductancia o inductancia propia). Se encontrar´a un circuito equivalente con base en el concepto de flujo de dispersi´on. Mediante un an´alisis simplificado para el circuito de la figura 2.39 se tendr´a: dφ1 (t) dφ1 (t) = R1 i1 (t) + n1 dt dt dφ2 (t) dφ2 (t) v2 (t) = R2 i2 (t) + = R2 i2 (t) + n2 dt dt v1 (t) = R1 i1 (t) +

(2.24) (2.25)

φ1 (t) = φd1 (t) + φm (t) φ2 (t) = φd2 (t) + φm (t) Reemplazando en (2.24) y (2.25) se tiene: dφd1 (t) dφm (t) + n1 dt dt dφd2 (t) dφm (t) v2 (t) = R2 i2 (t) + n2 + n2 dt dt dφd1 (t) dφd1 di1 = dt di1 dt dφd2 (t) dφd2 di2 = dt di2 dt v1 (t) = R1 i1 (t) + n1

(2.26) (2.27)

Definiendo: Ld1 = n1

dφd1 (t) , dt

Ld2 = n2

dφd2 (t) dt

Reemplazando en (2.26) y (2.27) se tiene: di1 + e1 (t) dt di2 v2 (t) = R2 i2 (t) + Ld2 + e2 (t) dt v1 (t) = R1 i1 (t) + Ld1

164

(2.28) (2.29)

donde: e1 (t) = n1

dφm (t) : Fuerza electromotriz inducida en el devanado uno. dt

e2 (t) = n2

dφm (t) : Fuerza electromotriz inducida en el devanado dos dt

Se tendr´a entonces: e1 (t) n1 = e2 (t) n2

(2.30)

En forma compleja se tendr´a: V1 = R1 I1 + jωLd1 + E1

(2.31)

V2 = R2 I2 + jωLd2 + E2

(2.32)

E1 n1 = E2 n2

(2.33)

El circuito de la figura 2.40, satisface las ecuaciones (2.31), (2.32) y (2.33). Figura 2.40: Circuito referido parcialmente.

+

V

1

I1

R1

jw Ld

R

C

jw Ld

IDEAL

1

R

2

I

2

+

V

jw LM

-

2

N :N 1

2

2

La inductancia Lm se interpreta como el elemento asociado a la reactancia que mantiene el flujo circulante en el n´ ucleo y se llama reactancia de magnetizaci´on (si ´esta no existiera y la corriente I2 fuera cero, I1 tambi´en ser´ıa cero para una determinada excitaci´on V1 ;por consiguiente E2 ser´ıa cero, lo cual no ocurre en un transformador no ideal). 165

2.10.

CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN ´ TRANSFORMADOR CON NUCLEO DE HIERRO

En el n´ ucleo de hierro la relaci´on flujo-corriente es no lineal, por lo que la corriente de excitaci´on (corriente que circula por la rama en derivaci´on) es no sinusoidal, pero en un transformador real operando bajo carga esta corriente es muy peque˜ na con relaci´on a la corriente que circula por las reactancias de dispersi´on, por lo que las corrientes I1 e I2 son aproximadamente sinusoidales y se puede entonces utilizar el circuito equivalente desarrollado. Si los arrollamientos est´an devanados sobre n´ ucleo de hierro existir´an unas p´erdidas en dicho n´ ucleo por hist´eresis y por corrientes de Foucault. Se ha encontrado que estas p´erdidas son proporcionales al voltaje inducido al cuadrado, por lo que se representan en el modelo por una resistencia (o conductancia) en paralelo con Lm . A esta rama en paralelo se le denomina usualmente como rama de excitaci´on. Se tendr´a entonces que un modelo circuital aproximado para un transformador real con n´ ucleo de hierro ser´a el que se muestra en la figura 2.41. En el circuito de la figura 2.41 los par´ametros R1 , Ld1 , R2 , Ld2 son los valores propios de cada arrollamiento, es decir, no est´an referidos o vistos o medidos desde la otra puerta o arrollamiento. La rama en derivaci´on (que generalmente se espec´ıfica como una admitancia con s´ımbolo Yd ), debe estar referida o vista desde alguna de las puertas, generalmente la puerta desde la cual se midi´o dicha admitancia. El objetivo fundamental del an´alisis efectuado es interpretar los par´ametros que

166

Figura 2.41: Circuito equivalente de un transformador con n´ ucleo de hierro.

+

V

I1

jw Ld

R1

R

1

C

jw Ld

IDEAL

1

R

2

2

2

+

V

jw LM

-

I

N :N 1

2

2

componen el circuito equivalente, construir dicho circuito e incorporarlo a un sistema de potencia. En la pr´actica los par´ametros de trabajo son los componentes del circuito de la figura 2.41 los cuales se pueden determinar mediante pruebas o ensayos hechos al respectivo transformador.

2.10.1.

Ejemplo 2.8

Figura 2.42: Sistema del ejemplo 2.8

j0.2

0.4 W

+

j0.6 + 208V -

V

0

-

167

10 kW 0.8 ¯

T : Transformador de 30 kVA,

2080 208

V

Z1 = 0,07 + j0,08. Z2 = 7,5 + j1,4. Ym = (0,4 − j0,3)10−5 Ω−1 , vista desde alta.

Para el sistema de la figura 2.42 encontrar el voltaje en terminales de alta (primario), la potencia suministrada por el generador y las fuerzas electromotrices inducidas en alta y baja. Construyendo el circuito equivalente del transformador (referido parcialmente) e incorpor´andolo se tiene el circuito de la figura 2.43. Figura 2.43: Sistema con el circuito del transformador incorporado.

j0.2 W

R1

j0.08 W j0.07 W j0.4 W

j1.4 W

+ 0

-

0.4x10

W

-5

+

j0.3x10 E

a

E

-

-

-5

W

V

+

j0.6 W

+

208 V

b

-

10 kW 0.8 ¯

-

Refiriendo el circuito del transformador al lado de baja se tiene el circuito que se muestra en la figura 2.44.

168

Figura 2.44: Circuito referido a baja. j0.2Ù

75x10-2 Ù

IDEAL

j1.4x10-2 Ù

j0.08 Ù

0.04 Ù

0.07Ù

j0.6 Ù

IL

Vg

-

Eb

Ea

- j0.3x10-3 mho

0.4x10-3 mho

208 V

10 kW 0.8 ¯

2080:208

Tomando el voltaje en la carga como referencia: VL = 208∠0◦ V,

IL =

10000 ∠−36,86◦ = 60,096∠−36,86◦ A 208 · 0,8

Eb = 60,096(0,47 + j0,68)(1)∠−36,86◦ + 208 = 255,6∠3,53◦ = 255,6∠3,53◦ Ea = 255,6∠3,53◦

(Fuerza electrom´otriz inducida en baja) N1 = 2556∠3,53◦ N2

(Fuerza electrom´otriz inducida en alta)

Iφ = Eb Yφ0 = 0,1279∠−33,33◦ I0a = 0,1279∠−33,33◦ + 60,096∠−36,86◦ = 60,2∠−36,9◦ Ia = 60,2∠−36,9◦

208 = 6,02∠−36,9◦ 2080

(Corriente de entrada en los terminales de alta)

V0a = 255,6∠3,53◦ + I0a (7,5 + j1,47 · 10−2 ) = 259,6∠3,02◦ Va = 259,6∠3,02◦

2080 = 2596∠3,02◦ 208

(Voltaje en terminales de alta)

Vg = Ia j0,2 + Va = 2596,77∠3,04◦ Pg = Vg Ia cos ∠Vg , Ia = 2596,77 · 6,02 cos ∠39,94◦ = 11985,748W

(Potencia suministrada por el generador) 169

2.11.

CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO DEL TRANSFORMADOR

Figura 2.45: Circuito equivalente aproximado del transformador.

+

1

R

IDEAL

jxd

I2

+2

I

V1

V2 -jbm

gc

-1'

- 2'

N1 : N2

En los transformadores comerciales la corriente de excitaci´on (circula por Yφ ) es muy peque˜ na comparada con la corriente que circula por las reactancias de dispersi´on, ya que RC y Xm son muy grandes (centenares de veces) con relaci´on a las resistencias de los arrollamientos y a las reactancias de dispersi´on, por lo que se pueden tener los circuitos equivalentes aproximados (referidos por ejemplo a la puerta 2 del transformador) que se muestran en las figuras 2,45 y 2,46.

N1 2 ) + R2 N2 N2 = Xd1 ( )2 + Xd2 N1

R = R1 ( Xd

Los par´ametros R, xd , yφ se pueden obtener a partir de pruebas o ensayos realizados sobre el respectivo transformador. Se analizar´an dichas pruebas como aplicaci´on de la teor´ıa de circuitos en r´egimen permanente sinusoidal. 170

Figura 2.46: Circuito aproximado.

I +

jX

R

IDEAL

1

I

d

I

1 V

g

1

-

2

+

2

f

2

m

1'

2'

-

N:N 1

2.11.1.

V

-- jb

c

2

Prueba en vac´ıo

Con la puerta 2 en circuito abierto (I2 = 0) se excita la puerta 1 con el voltaje nominal respectivo y se colocan medidores de potencia, corriente y voltaje en la puerta 1. Utilizando el circuito de la figura 2,46, se tendr´a el esquema de la figura 2,47. Figura 2.47: Prueba de circuito abierto.

+ V1

I1

±

±

I2=0

I'2

W

A

V

g'

-- jb'

c

-

+

V2 m

N1 : N2

-

En el circuito de la figura 2,47 se ha referido la rama de excitaci´on a la puerta 1. Definiendo:

171

P = Lectura del Vat´ımetro (W) V = Lectura del Volt´ımetro (V) I = Lectura del Amper´ımetro (A) Se tendr´a entonces: P = V 2 gC0 gC0 = I V bm

P V2

q 0 = | Yφ |= gC2 + b2m r I 0 ( )2 − gC2 = V

Por consiguiente: Yφ0 = gC0 − jbm

2.11.2.

Admitancia de excitaci´on vista o referida a la puerta uno.

Ensayo de cortocircuito

Se pone en cortocircuito la puerta 2 y se excita la puerta 1 con un voltaje tal que circule por la puerta 2 la respectiva corriente nominal, poniendo los respectivos medidores en el circuito de la figura 2.46 se tendr´a el esquema de la figura 2.48. A partir de la figura 2.48 se tiene entonces: P = I 2 R0 R0 = V I

=

P I2 q

0

R0 2 + xd2

172

Figura 2.48: Ensayo de cortocircuito. I1

+

±

±

W

V1

jx d '

R'

I2

A

V

-

N1 : N2

Entonces:

x0d

=

q

V I

− R0 2 . donde R0 y x0d son valores vistos o referidos a la puerta uno.

A partir de los valores anteriores se puede entonces construir el circuito equivalente aproximado de la figura 2.49, basado en el esquema de la figura 2.46, pero referido a la puerta uno. Figura 2.49: Circuito aproximado referido al lado uno. +

1

V1

R'

I1

jX 'd

2

+

g 'c

- jb'm

V2

-

N1 : N 2

1'

173

2'

2.11.3.

Ejemplo 2.9

Un transformador de 15 kVA 2400/240 V alimenta una carga nominal con factor de potencia 0,8 ↓, a 240 V, la frecuencia es de 60 Hz. Calcular la eficiencia y el voltaje de la fuente. Para determinar los par´ametros se han realizado las siguientes pruebas que usted debe identificar. Voltaje[V] 240 74.5

Corriente[A] 1.7 6.25

Potencia[W] 84 273

15OOOV A = 6,25 A. 2400V 15000V A = = 62,5 A. 240V

IN 1 = IN 2

Prueba de circuito abierto YOC =

1,7A IOC = = 7,083X10−3 f VO C 240V

2 gOC POC = VOC

POC 84w = = 7,083X10− 3 f 2 2 VOC gOC (240V ) p 2 |= (gOC ) + (bm )2

gOC = | YOC bm =

p

(YOC )2 − (gOC )2

bm = 6,9313x10−3 Prueba de corto circuito VCC 74,5V = = 11,92 Ω ICC 6,25A PCC v Req = = = 6,0622 Ω ICC (6,25A)2 p p Xeq = (Zeq )2 − (Req )2 = (11,92 Ω)2 − (6,0672 Ω)2 Zeq =

174

Xeq = 10,26 Ω Xeq = X1 + X20 X1 = X20 Req = R1 + R20 6,0672 Req = = 3,0336 Ω 2 2 Xeq 10,26 X1 = X20 = = = 5,13 Ω 2 2 R0 R2 = 22 = R”1 a X0 X2 = 22 = X”2 a 5,13 R2 = = 3,0336x10− 2 Ω 100 5,13 = 5,13x10− 2 X2 = 100 R1 = R20 =

Figura 2.50: Circuito del ejemplo 2.9

R ' '2

I2

I '1 = I 1 a

V '1

jX 2

R2

jX 1

+

g

- jb m

V -

I2 = 62,5∠−36,86◦ V = 62,5∠−36,86◦ (3,0336x10− 2 + j5,13x10− 2) + 240∠0◦ V = (50 − j37,49)(3,0336x10− 2 + j5,13x10− 2) + 240 175

V = (3,44 + j1,4277) + 240 V = 243,44 + j1,2777 V = 243,44∠0,33◦ I0 1 = Iy + I2 Iy = VY Iy = (243,44 + j1,2777)(1,458x10− 3 − j6,9313x10− 3) Iy = 0,3648 − j1,6852 = 1,724∠−77,78◦ I0 1 = (0,3648 − j1,6852) + (50 − j37,49) I0 1 = 50,3648 − j39,57 = 63,80∠−37,87◦ V01 = I0 1 (3,0336x10− 2 + j5,13x10− 2) + V V01 = (50,3648 − j39,57)(3,0336x10− 2 + j5,13x10− 2) + 243,44 + j1,4277 V01 = (3,5372 + j1,3954) + (243,44 + j1,4277) V01 = 246,9772 + j2,82315 V01 = 246,99∠0,65◦ V1 a V0 V1 = 1 a V01 =

V1 = 10(246,99∠0,65◦ ) V1 = 2469,9∠0,65◦ I0 1 = I1 a I0 1 a 63,80∠−37,87◦ I1 = 10 I1 =

176

I1 = 6,38∠−37,87◦ Sf = V1 I∗1 Sf = (2469,9∠0,65◦ )(6,38∠37,87◦ ) Sf = 15767,96∠38,52◦ Pf = S cos θ = 12328,8 W PL = 15000 cos 36,86 = 12001,55 W η=

PL 12001,55 x100 = = 97,34 Pf 12328,8

V2 = I2 jx2 + jxm I1

177

2.12.

TRANSFORMADORES EN POR UNIDAD (P.U.)

El manejo de diferentes unidades as´ı como el de las grandes cantidades , el uso de programas computacionales (en este caso Matlab) para resolver redes circuitales tanto como su utilidad comercial hizo necesario escalar o normalizar dichos valores, es as´ı como se plantean el trabajo en valores p.u.. El valor p.u. se define como: Valor(p.u.) =

Cantidad f´ısica Valor base (B)

La cantidad f´ısica se refiere a cantidades utilizadas como voltios, ohmios, impedancia, potencia aparente; el valor base son dos unidades, generalmente el voltaje y la potencia aparente. Seleccionando estas dos u ´ltimas unidades tenemos que:

VB IB (VB2 ) = Ω M V AB Zf´ısico M V AB = = Zf isico p.u. ZB kV 2B

ZB = ZB Zp.u. De manera similar:

If isico IB Vf isico = VB

Ip.u. = Vp.u.

178

As´ı mismo: Potencia compleja: S(p.u.) =

S SB

(2.34)

en donde: S = potencia compleja en VA.

P SB Q Q(p.u.) = SB P (p.u) =

(2.35)

Para convertir valores p.u. a valores f´ısicos bastar´a hacer el producto del valor en p.u. por el valor base, es decir, Zf isico = Zp.u. ZB .

Cambio de base Si se dan los valores en p.u. en una base y se desea pasarlos a una nueva, se tiene: M V ABinicial (kVBinicial )2 (kVBinicial )2 = Zp.u.inicial M V ABinicial

Zp.u.inicial = Zf isica Zf isica

Ahora se refieren a los nuevos valores base as´ı. M V ABf inal (kVBf inal )2 Zp.u.inicial (kVBinicial )2 M V Af inal = M V ABinicial (kVBf inal )2

Zp.u.f inal = Zf isica

Finalmente se tiene: Zp.u.f inal = Zp.u.inicial

M V ABf inal (kVBinicial )2 p.u. M V Ainicial (kVBf inal )2 179

2.12.1.

Ejemplo 2.10

Para el circuito de la figura 2.51 hallar Vg usando p.u.. Figura 2.51: Circuito ejemplo 2.10 0.1 W

j 0.2

+

6 kW

vg

f . p. = 0.5 ¯

220V

-

Se escojen los valores base, en este caso SB = 6 kVA, y VB = 220 V. SB =27.27 A. VB VB V2 ZB = = B = 8.06 Ω . IB SB

IB =

VZp.u. = Ip.u. Zp.u. Figura 2.52: Sistema en p.u. ejemplo 2.10 0.1 8.06

0.2

8.06

1Ð0o

vg ( p.u.)

f.p = 0.5 ¯

1∠−60◦ = 2∠−60◦ 1 ∗ 0,5 (0,1 + j0,2) Vgp.u. = 2∠−60◦ + 1∠0◦ 8,06 I=

180

Vgp.u. = 1,05∠0,18◦ Para hallar Sg : Sgp.u. = 1,05∠0,19◦ ∗ 2∠60◦ = 2,1∠60,18◦ Sg = 2,1 ∗ 6000∠60,18◦ = 12600∠60,18◦

2.13.

IMPEDANCIA

EN

P.U.

DE

UN

´ TRANSFORMADOR MONOFASICO Sup´ongase un trafo que tiene como circuito equivalente una reactancia en serie con la reactancia de dispersi´on, es decir que se desprecia la rama de excitaci´on, lo cual es usual en trafos de gran potencia (superiores a 500 kVA).

2.13.1.

Circuito equivalente referido a baja.

NA = n´ umero de espiras de alta. NB = n´ umero de espiras de baja.

Zeq.b = R + jX en donde Zeq.b es la impedancia equivalente referida a baja. Zeq.b (p.u.) =

R + jX ZBb

en donde ZBb es la impedancia base en el lado de baja. Zeq.b (p.u.) =

(R + jX)SB VBb 181

(2.36)

Figura 2.53: Circuito equivalente apr´oximado desde baja R

jX c

a

d

b Na : Nb

en donde SB es la potencia base (constante en todo el sistema, ya que los trafos ideales no la alteran) en VA y VBb es el voltaje base en el lado de baja en voltios. Figura 2.54: Circuito equivalente visto en alta æN ö Rçç a ÷÷ è Nb ø

2

æN ö jxçç a ÷÷ è Nb ø

2

a

c

b

d Na : Nb

Zeq.a = R(

Na 2 Na ) + jX( )2 Nb Nb

(2.37)

que es la impedancia equivalente referida a alta. Zeq.a =

Zeq.a ZBa

ZBa = impedancia base del lado de alta. Zeq.a (p.u.) =

Zeq.a SB 2 VBa

182

(2.38)

en donde VBa es el voltaje base del lado de alta. VBa = VBb

Na Nb

(2.39)

Reemplazando (2.37) y (2.39) en (2.38) se tiene: a 2 a 2 ) + jX( N ) ]SB [R( N Nb Nb

Zeq.a (p.u.) =

2 Na 2 VBb ( Nb )

=

(R + jX)SB 2 VBb

Zeq.a (p.u.) = Zeq.b (p.u.)

(2.40)

En conclusi´on, la impedancia en p.u. de un trafo referido a alta o baja es la misma, esta es la ventaja principal del sistema p.u. junto con la comodidad para trabajar con cantidades peque˜ nas.

2.13.2.

Ejemplo 2.11

Sup´ongase el esquema de la figura 2.55. Figura 2.55: Sistema monof´asico 0.2

j0.5

j0.01

j0.02

+

j0.2

T + E1

V -

ZL

-

T : transformador de 100 kVA,

7600 120

V.

Zeq = 0,1 + j0,3, referida a alta. ZL = carga que consume 30kW a un factor de potencia de 0.8 en atraso. Calcular el voltaje E1 y la potencia aparente entregada por el generador con y sin utilizar p.u. Suponga V = 110 V. 183

Sin utilizar sistema p.u..

Figura 2.56: Circuito equivalente del sistema de la figura 2.55 0.2

j0.5

I

j0.3

0.1

j0.02

0.01

+

j0.2 ZL +

0

V=110Ð0 -

E1 7600:120

Refiriendo el circuito o sistema al lado de alta del transformador, se tiene: Figura 2.57: Circuito equivalente referido a alta.

0.2

j0.5

j0.3

0.1

0.01

7600 120

2 j0.02

7600 120

2

I

+

j0.2 ZL + E1 -

I=

7600 V =110 120

-

30000 ∠−36,87◦ 7600 110 0,8 120

E1 = 5,3827∠−36,87◦ (40,4 + j81,2) + 110 7600 ∠0◦ 120 E1 = 7406,118∠1,696◦ Sg = E1 I ∗ = 7406,118∠1,696◦ 5,3827∠36,87◦ 184

Sg = 39864,911∠38,566◦ = 31170 + j24852,41 Por lo tanto: Pg = 31,170 kW. Qg = 24,852 kVAres. Sg = 39,864 kVA. E1 = 7406 kV. Utilizando valores por unidad. Para ser consistentes con el m´etodo anterior, se toma como punto base del sistema el lado de alta tensi´on del transformador y como valores base, los nominales de alta del transformador. Es decir: VB = 760 V. SB = 100000 VA (Voltios Amperios) N´otese que estos valores base son cantidades reales y positivas de dimensiones iguales a sus respectivas cantidades el´ectricas asociadas. El voltaje base en el lado de baja tensi´on ser´a: 120 = 120V . VBa = 7600 7600 Impedancia base en el lado de alta: V2 76002 = 577,6 ZBa = SBa = 100000 B Impedancia base en el lado de baja: V2 1202 = 0,144 Ω ZBb = SBb = 100000 B Corriente base en el lado de alta: IBa = VSB = 13,15A BA

El circuito en p.u. se muestra en la figura 2.58, en donde Z1 : carga que consume 300000 100000 (P (p.u.)), factor de potencia 0.8 en atraso.

185

Figura 2.58: Circuito en p.u. para el sistema de la figura 2.55

0.2 577.6

j

j

0.5 577.6

0.1 577.6

j

0.3 577.6

0.01 0.144

j

0.02 0.144

+

0.2 577.6

ZL

+

110 0o 120

-

E1(p.u) -

30000 P (p.u.) 100000 ∠−36,87◦ I(p.u.) = ∠−36,87◦ = 110 ∗ 0,8 V (p.u.)0,8 120 I(p.u.) = 0,409∠−36,87◦ I = I(p.u.)IB = 5,378∠−36,87◦ A. E1 (p.u.) = 0,409∠−36,87◦ (0,07 + j0,1406) + E1 (p.u.) = 0,9744∠1,69◦ E1 = E1 (p.u.)VB = 745,44∠1,69◦ Sg (p.u.) = E1 (p.u.)I ∗ (p.u.) = 0,3985∠38,56◦ Sg (p.u.) = 0,31163 + j0,24841 Por lo tanto: Pg = Pg (p.u.)SB = 31,163 kW.

186

110 ◦ ∠0 120

Qg = Qg (p.u.)SB = 24,841 kVAres. Sg = Sg (p.u.)SB = 39850 VA E1 = E1 (p.u.)VB = 7405,44 V. Una forma alternativa de llegar al circuito en p.u., es construir el circuito en ohmios (Ω), referido al punto del sistema donde se han seleccionado las bases; una vez construido el circuito se dividen todas las impedancias por la impedancia base en el punto donde se escogieron las bases. O sea, en el ejemplo considerado, se dividir´ıan las impedancias del circuito referido al lado de alta, por la impedancia base en el lado de alta, o sea, dividir por 577.6.

En la figura 2.59 se presenta la simulaci´on en Matlab del ejemplo 2.11. Figura 2.59: Simulaci´on ejemplo 2.11

187

2.13.3.

Ejemplo 2.12

Si reactancia del primario = X1 , y X2 = reactancia del secundario, demostrar que: XSp.u. = XP p.u. . Se tiene que: XP = X1 + a2 X2 XS = X2 +

X1 a2

Ahora se hallan los valores en p.u.: XP p.u. XSp.u.

XSp.u.

X1 + a2 X2 X1 + a2 X2 = = SB ZP B (VP B )2 a2 X2 + X1 a2 X2 + X1 = SB = VP2B 2 a2 ZSB VSB 2 VSB X1 + a2 X2 SB = (VP B )2

Como se puede observar las expresiones (2.41) y (2.42) son iguales.

188

(2.41)

(2.42)

2.14.

EJERCICIOS PROPUESTOS

2.14.1.

Ejercicio 2.1

Para el circuito mostrado, la resistencia de las bobinas es despreciable. Figura 2.60: Circuito del ejercicio 2.1

i2 (t ) +

L1

v(t )

L2

R

-

Hallar v(t) usando Th´evenin. R = 5Ω, L = 30 mH, L1 = 0,1 H, L2 = 0,06 H, K = 0,8. i2 (t) = 10 cos (500t − 30◦ ) A Respuesta: V = 211∠40◦ V

2.14.2.

Ejercicio 2.2

i(t) = 20 sen 100t A L1 = 30 mH L2 = 50 mH 189

L

Figura 2.61: Circuito del ejercicio 2.2

i

L1

L2

L3

R

L3 = 80 mH R = 2Ω K12 = K13 = K23 = 1 Encontrar la potencia media de R Respuesta: Potencia media=158 W

2.14.3.

Ejercicio 2.3

Un trafo de 10 kVA, 2400/240 V, 60 Hz, se excita con 2500 V, para alimentar en baja una carga de 5 kW y f.p = 0,8 ↓. En estas condiciones, cuando el circuito equivalente est´a referido a baja, la ca´ıda en la resistencia de dispersi´on es 4 V y cuando est´a referido a alta, la ca´ıda en la impedancia de dispersi´on es 100 V. Usando circuito aproximado y despreciando la rama de excitaci´on, encontrar: a) Rd y Xd . b)Si K=0.96, encontrar las autoinductancias de alta y baja. 190

Respuesta: Rd = 15.44 Ω Xd = 35.58 Ω Vista en alta.

2.14.4.

Ejercicio 2.4

Figura 2.62: Circuito del ejercicio 2.4

R

L1 L3

v(t)

L

L2

v(t) = 50 cos 1000t V L1 = 0,1 mH L2 = 0,6 mH L3 = 0,08 mH K12 = 0,9 K13 = 0,8 K23 = 0,6 191

R = 3Ω L = 2 mH Encontrar la potencia media de la resistencia, usando: a) Mallas b) Th´evenin. Respuesta 39.4 W

2.14.5.

Ejercicio 2.5

Figura 2.63: Circuito del ejercicio 2.5

i1

a

N2

+

v1 (t )

N1

N3

-

b

N1 = 500 N2 = 250 N3 = 1000 L1 = 50 mH

192

Cuando se aplican 240 V de corriente continua al devanado, circulan 60 A. Cuando se aplican 240 V eficaces a 60 Hz, un volt´ımetro colocado en el devanado 2 mide 94 V. √ Hallar L2 si el voltaje sinusoidal aplicado es v1 (t) = 240 2 sen (377t) y K31 =0.9, hallar vab (t). Respuesta: L2 =12.5 mH, vab = 597.6 sen(377t − 108◦ )

193

´ 3. SISTEMAS TRIFASICOS

3.1.

´ INTRODUCCION

En el siguiente an´alisis se estudiar´a preferentemente el sistema trif´asico, ya que es el m´as comunmente utilizado para la transmisi´on y distribuci´on de grandes cantidades de potencia el´ectrica.

3.2.

´ SISTEMA POLIFASICO

Nicola Tesla considerado el fundador de la industria el´ectrica, una vez m´as con la invenci´on de los sistemas polif´asicos contribuy´o a posibilitar el aprovechamiento a gran escala de la energ´ıa de origen hidra´ ulico. Se describir´an brevemente algunos sistemas que tienen aplicaci´on pr´actica, haciendo un poco de ´enfasis en el sistema monof´asico trifilar, el cual es empleado para instalaciones de alumbrado, usos dom´esticos (hornillas, calentadores, etc.) y peque˜ nas potencias. Los sistemas polif´asicos se basan en un sistema construido con n fuentes en una misma estructura. V1 , V2 , V3 ,....., Vn son los voltajes complejos asociados a cada fuente de voltaje.

194

Figura 3.1: Fuente m-f´asica: a. en estrella, b. en delta

m

1

1

+

-

V

V

12

m1

m

n

-

+

2 +

2

-

V

V

23

mn- 1

+

3

a.

b.

-

n - -1

3

a) Se dice balanceado o sim´etrico s´ı: | V1n |=| V2n |=| V3n |= ..... | Vmn | = Vf

(Voltaje de fase)

V1n + V2n + V3n + .....Vmn = 0 b) Balanceado o no: V12 + V23 + .....Vm1 = 0 Pero si adicionalmente, | V12 |=| V23 |= ..... | Vmn | = VL

(Voltaje entre lineas)

se llama delta equilibrada. 360◦ (para n ≥ 3), n la suma compleja V1 + V2 + V3 + ..... + Vn = 0 formar´a en un diagrama fasorial un Si la fuente es equilibrada (Y ´o ∆), el desfase entre los voltajes ser´a

pol´ıgono regular de n lados. Si no se presenta equilibrio el desfase ser´a arbitrario. 195

Los circuitos de 6, 12 o m´as fases, se obtienen a partir de los secundarios de transformadores trif´asicos y se utilizan en circuitos electr´onicos de rectificaci´on, para proveer alimentaci´on de corriente directa con bajo rizado.

3.3.

´ SISTEMA BIFASICO

Est´a basado en dos fuentes de voltaje, se considera sim´etrico si est´as dos fuentes son de igual magnitud y desfasadas noventa grados, dichos voltajes se pueden obtener a partir de un transformador trif´asico, mediante conexiones llamadas Taylor y Scott. Se utiliza en el an´alisis te´orico de m´aquinas de corriente alterna. En la pr´actica se utiliza en sistemas de control autom´atico en los servomotores de control de posici´on. Figura 3.2: Sistema bif´asico 1 Zg

E1

+

N

E2

+

Zg

N

2

El sistema bif´asico puede ser de dos o de tres hilos, esto depende de s´ı se lleva el neutro a la carga o no, adem´as un sistema bif´asico puede manejar tres tipos de carga 1 − N , 2 − N , 1 − 2. De la figura 3.2 se tiene: V12 = E1 − E2 = V1N − V2N = E1 + (−E2 ) 196

Gr´aficamente: Figura 3.3: Sistema bif´asico vectorial V12 -- E2 2E

E

E1

E

E2

3.3.1.

Ejemplo 3.1

Si para el sistema anterior V1N = 115 V, V2N = 115 V entonces: Figura 3.4: Sistema bif´asico V 12

115 2

- V 2n 0

45

115 115 V 2n

197

V12 = V1N − V2N | V12 | = 163V

3.4.

´ SISTEMA MONOFASICO TRIFILAR

Para analizar este sistema, se utilizar´a un teorema denominado Teorema de Millman, el cual en realidad es consecuencia de aplicar el m´etodo de voltajes de nodo. El Teorema es muy simple, pero muy u ´til sobre todo para el an´alisis de circuitos trif´asicos .

3.4.1.

Teorema de Millman

Figura 3.5: Circuito para ilustrar el Teorema de Millman. 1

x0

V 1X V 2X V3 X

I1

2 I2

Z1 + V Z1 Z2 +V

3 I3

-

Y

Z3

Vn x

+V n In

Z2

Z3

-

Zn +V

Z4

-

El Teorema se deduce para una configuraci´on como la de la figura 3.5, o sea para n terminales entre los que existen n potenciales con respecto a un nodo com´ un x; en serie con estos potenciales est´an unas impedancias conectadas en estrella , siendo y el punto com´ un de estas impedancias. 198

Inicialmente se expresar´an los voltajes en las impedancias, en funci´on de los potenciales dados y del voltaje Vyx . Se tiene: VZ1 = V1X − VY X VZ2 = V2X − VY X . . . VZn = VnX − VY X

(3.1)

Aplicando la Ley de corrientes en el nodo y se tiene: I1 + I2 + I3 + .....In = 0 VZ1 Y1 + VZ2 Y2 + ..... + VZn Yn = 0

(3.2)

en donde: Y1 =

1 1 1 , Y2 = , .....Yn = . Z1 Z2 Zn

Reemplazando (3.1) en (3.2) se tiene: V1X Y1 − VY X Y1 + V2X Y2 − VY X Y2 ..... + VnX Yn − VY X Yn = 0 O sea:

n X

VY X

V1X Y1 + V2X Y2 + ..... + VnX Yn = = Y1 + Y2 + ..... + Yn

VkX Yk

k=1 n X k=1

199

Yk

3.4.2.

Sistema monof´ asico trifilar

Se obtiene a partir del secundario de un transformador monof´asico, sacando una derivaci´on del punto medio, como se indica en el esquema de la figura 3.6. Figura 3.6: Sistema monof´asico trifilar

+ E + E -

+

2E

-

Por consiguiente; el sistema monof´asico trifilar provee dos voltajes gracias a las caracter´ısticas del transformador: un voltaje inducido E entre cada una de las l´ıneas externas (usualmente llamadas “vivas”) y el punto central (llamado neutro) y un voltaje 2E entre las l´ıneas externas; o sea, se puede alimentar por ejemplo cargas a 110 y a 220 V. Consid´erese el esquema que se muestra en la figura 3.7: Figura 3.7: Sistema monof´asico trifilar desequilibrado Ia

a

Z1

+ Z

E n +

In

Z2 n' Z

E b

-

Ib

Z3

200

El circuito de la figura 3.7 corresponde a un sistema monof´asico trifilar desequilibrado, donde Z1 , Z2 , Z3 representan las impedancias equivalentes de cada una de las l´ıneas externas de conexi´on, Zn representa la impedancia equivalente de el conductor central o neutro y Za , Zb las impedancias de las cargas conectadas entre las vivas y el neutro. Si las impedancias de las l´ıneas externas son iguales, es decir, Z1 = Z2 = Z3 y las cargas entre cada una de las vivas y el neutro son iguales (Za = Zb = Z), el sistema es equilibrado. Para el sistema de la figura 3.7, cumpliendo las condiciones de equilibrio se tendr´a entonces, aplicando Millman:

Vn0 n

(−E) E Z1 + Z + Z1 + Z =0 = 1 1 1 + + Z1 + Z Zn Z1 + Z

Si no existiera el conductor entre los neutros, simplemente no existir´ıa el t´ermino

1 Zn

en el denominador (ser´ıa cero), y de todas maneras Vn0 n = 0 Se pueden determinar Ia , Ib as´ı: E = Ia (Z1 + Z) + Vn0 n = Ia (Z1 + Z) Por lo tanto, Ia =

E Z1 + Z

−E = Ib (Z1 + Z) + Vn0 n = Ib (Z1 + Z) Ib = −

E Z1 + Z

Entonces, In = −Ia − Ib = 0 Se puede concluir que si el sistema es equilibrado no es necesario el conductor entre los neutros; pero en la pr´actica se lleva, por motivos de seguridad, ya que por ejemplo, 201

si una de las cargas Z se desconecta y no existe el conductor neutro, la otra carga Z queda tambi´en desconectada. El conductor neutro generalmente se aterriza para proveer camino a tierra para una posible descarga atmosf´erica. Consid´erese el sistema de la figura 3.8, un sistema monof´asico trifilar que alimenta cargas entre las vivas y el neutro (representadas por Z) y cargas entre las vivas representadas por Z2 . se deja como ejercicio el c´alculo de Ia , Ib , In (utilizando Millman y transformaci´on tri´angulo-estrella, preferiblemente el m´etodo de corrientes de malla). Con base en los resultados determinar si el sistema es equilibrado o desequilibrado. Figura 3.8: Sistema monof´asico trifilar.

Ia

a

Z1

+ Z

E n+

In

Zn n' Z

E b

-

Ib

Z1

202

Z2

3.4.3.

Ejemplo 3.2

Figura 3.9: Circuito con neutro ejemplo 3.2 I

1

1

+

j40

11 0 30 W I +

n

n

n' 50 W

11 0 I

-

2

2

Para el circuito de la figura 3.9 se tiene: 110∠0◦ = 2,2∠−53,13◦ 30 + j40 −110∠0◦ = = −2,2∠0◦ = 2,2∠180◦ 50

I1 = I2

In = I1 + I2 = 1,96∠−116◦ Si se quita n se obtiene la figura 3.10: Figura 3.10: Circuito sin neutro ejemplo 3.2 1

I

1

+

j40

30

220

W

·

n' 50

-

I

2

203

W

De la figura 3.10: I1 =

220∠0◦ = 2,46∠−26,67◦ 80 + j40

I2 = −I1 I2 = −2,46∠−26,67◦ + 180◦ V1n0 = 123∠26,57◦ V2n0 = 123∠153,43◦ Vn0 n = 55∠−90◦ El voltaje en el neutro es considerable y presenta un alto grado de peligrosidad. Ahora se presenta las respectivas simulaciones: a. Circuito con neutro, b. Circuito sin neutro. Figura 3.11: Simulaciones Matlab ejemplo 3.2 2.461

magnitude signal

i

angle

-53.33

magnitude

1.973

+

122.9 26.54

angle

v

-

-

signal

63.54

angle

+

i -

+

magnitude signal angle

i -

-

2.193

magnitude v

signal

123.1

angle

153.4

magnitude

2.461

0.05244

signal

+

angle

i -

a.

magnitude signal

signal

+

-26.58

-

2.2

magnitude

angle

i

+

b.

204

+

-26.58

3.4.4.

Ejemplo 3.3

Figura 3.12: Circuito con neutro ejemplo 3.3 I

1

+

30

W

11 0 j40 I

+

n

-

11 0 I

-

n' j5 0

2

Analisis circuito con neutro:

I1 =

110∠0◦ = 2,2∠−53,13◦ 30 + j40

−110∠0◦ = −2,2∠0◦ = 2,2∠90◦ −j50

I2 =

In = I1 + I2 = 4,17∠−71,57◦ Sin neutro se obtiene: Figura 3.13: Circuito sin neutro ejemplo 3.3 I

1

+

30 W

j40

220

n' - j50 -

I

2

205

De la figura 3.13, se tiene: I1

220∠0◦ = 6,96∠18,43◦ = 30 − j10

I2 = −I1 = 6,96∠−161,56◦ V1n0 = 347,85∠71,57◦ V2n0 = 347,85∠108,43◦ Vn0 n = 330∠−90◦ Nuevamente se observa un considerable voltaje en el neutro. En la figura 3.13 se presenta la simulaci´on para el circuito sin neutro. Figura 3.14: Simulaci´on circuito sin neutro ejemplo 3.3 6.893

magnitude signal

17.93

angle

i

+

-

345.7

magnitude signal +

+ -

magnitude v

signal angle

magnitude signal angle

i -

72.2

angle

v

-

330.5 90.72

6.893 17.93

+

De los anteriores ejemplos se puede ratificar el hecho de s´olo cuando el sistema es 206

totalmente equilibrado el neutro no conduce y por lo tanto puede sobrar.

207

3.4.5.

Ejemplo 3.4

Existen varios m´etodos para analizar estos sistemas, por ejemplo mediante mallas y teorema de Millman. Resolver el circuito de la figura 3.15 mediante corrientes de malla y verificar los resultados por teorema de Millman. Figura 3.15: Circuito ejemplo 3.4 1

I1

2 W

I n'n

4 W

I2

2 W

+

+

250 V

n

+

n'

250 V -

3 + j4

3 + j4

v1 +

v2 -

2

Primero se resolver´a mediante corrientes de malla siguiendo la figura 3.16. Figura 3.16: Corrientes de malla ejemplo 3.4 1 +

+

a

4W

I n'n

I2

3 + j4

n' I

250 V -

+

I

250 V

n

2W

I1

b

3 + j4

2W

v1 +

v2 -

2

208

250∠0◦ = 2Ia + (3 + j4)Ia + 4(Ia − Ib ) 250∠0◦ = 4(Ib − Ia ) + (3 + j4)Ib + 2Ib Reuniendo t´erminos se tiene: 250∠0◦ = Ia (2 + 3 + 4 + j4) − 4Ib = Ia (9 + j4) − 4Ib 250∠0◦ = −4Ia + Ib (2 + 3 + 4 + j4) = −4Ia + Ib (9 + 4j) Resolviendo: Ia = 39,0434∠−38,6598◦ Ib = 39,0434∠−38,6598◦ V1 = (3 + j4)Ia = 195,2172∠14,47◦ = V2 Ahora se verifica el resultado mediante el teorema de Millman.

Vn0 n

250 250 − 5 + j4 5 + j4 = =0 1 1 1 + + 5 + j4 4 5 + j4

Para encontrar corrientes, se hace un corto en n0 n (dada la simetr´ıa) y con una malla: 250∠0◦ = I1 (2 + 3 + j4) + Vn0 n I1 =

250 5 + j4

250∠0◦ = −I2 (2 + 3 + j4) − Vn0 n I2 = −

250 = −I1 5 + j4 209

De lo anterior se tiene: V1 = V2 = I1 (3 + j4) = 195.217∠14,47◦ Ahora se presenta la respectiva simulaci´on en Matlab en la figura 3.17. Figura 3.17: Circuito ejemplo 3.4

210

3.4.6.

Ejemplo 3.5

Para el circuito de la figura 3.16, calcular I1 , I2 , In Figura 3.18: Circuito ejemplo 3.5 2 W

1

+

30 W 110 V j 40

2 W

-

n

60 W

n'

+

30 W 110 V j 40

2 W

-

2

Si se realiza transformaci´on ∆ − Y : Figura 3.19: Transformaci´on ∆ − Y ejemplo 3.5 1

2 W +

30 W Z

110 V j 40

n

-

2 W

n'

Z

a

b

60 W

+

30 W 110 V

Z

c

j 40 -

2 W

2

De la figura 3.19, se hallan las impedancias Za =

30 + j40 60 = Zc 120 + j80

Za = −Zc = 19,61 + j6,92 = 20,8∠19,44◦ Zb =

(30 + j40)2 = 17,33∠72,57◦ 120 + j80 211

El sistema continua siendo equilibrado:

I1 =

110∠0◦ = 4,85∠−17,7◦ 2 + Za

I2 = 4,85∠−17,7◦ + 180◦ = 4,85∠162,3◦ In = 0 Ahora se presenta la respectiva simulaci´on en Matlab: Figura 3.20: Simulaci´on ejemplo 3.5

4.857

magnitude signal angle

i

+

-17.99

-

magnitude

5.903e-016

signal

61.98

angle

+

i -

magnitude signal angle

i -

4.857 -17.99

+

Se deja como ejercicio resolver el problema original (sin transformaci´on Y − ∆) utilizando mallas.

212

3.4.7.

Ejemplo 3.6

Para el circuito de la figura 3.21, hallar: I1 , I2 , IN , VN 0 N Figura 3.21: Circuito ejemplo 3.6 A

1W

a

40 W

0

115Ð0

10 W

2W N

N' j10

60 W

0

115Ð0

1W B

b

40

En la figura 3.22, se presentan las direcciones de las corrientes de malla. Figura 3.22: Corrientes de malla ejemplo 3.6 A

0

115Ð0

1W

a

I 1

40 W

2W N

N' I

0

115Ð0

10 W

I

3

60 W

2

j10

1W B

b

Basados en las corrientes de malla de la figura 3.22: 115∠0◦ = 43I1 − 2I2 − 40I3 115∠0◦ = −2I1 + 63I2 − 60I3 0 = −40I1 − 60I2 + (110 + j10)I3

213

Resolviendo el sistema anterior: I1 = 16,322∠−33,67◦ I2 = 15,734∠−35,43◦ I3 = 14,453∠−39,9◦ IN 0 N = I1 − I2 = 0,77∠5◦ VN 0 N = 1,54∠5◦ En la figura 3.23 se presenta la simulaci´on en Matlab del ejemplo. Figura 3.23: Circuito ejemplo 3.6 16.3

magnitude signal

-33.92

angle

Fourier2

i

+

-

0.7678

magnitude signal

-174.9

angle

Fourier3 i

+

-

15.71

magnitude signal

-35.68

angle

Fourier4 +

magnitude

v

+

-

-

i

signal angle

1.536 -174.9

Fourier1

De manera did´actica se aplica la siguiente modificaci´on, se transforma la malla 3 de ∆ a Y , como se observa en la figura 3.24, para un sistema equilibrado. 214

Figura 3.24: Circuito ejemplo 3.6 1W

A

a

I 1

0

115Ð0

40 W

10 W

Z 1 Z

2W N

I

N' I

0

115Ð0

3

60 W

2

3

N ''

j10

Z

2

1W B

b

40

Z3 40(10 + j10) = 6,2469∠38,36◦ 90 + j10 = 40(40) = = 17,669∠−6,34◦ 90 + j10 Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z 3 = = 40∠0◦ Z3

Z1 = Z2 ZaN 0

Ahora, utilizando la simetr´ıa; VN 00 N 0 = 0 = VN 0 N , as´ı que: I1 =

115 = −I2 = 16,299∠−33,58◦ 1 + Z1

Se deja como ejercicio la simulaci´on en Matlab de esta u ´ltima modificaci´on..

215

3.5.

´ SISTEMAS TRIFASICOS

Como se mencion´o anteriormente el sistema m´as utilizado para la generaci´on, transmisi´on, distribuci´on y utilizaci´on es el trif´asico. Un sistema trif´asico simple estar´ıa constituido por una fuente o generador trif´asico, tres o cuatro conductores para transmisi´on de energ´ıa y una carga trif´asica constituida por tres cargas conectadas en estrella o delta. Esquem´aticamente se puede representar un sistema trif´asico elemental de la manera como se muestra en la figura 3.25. Figura 3.25: Representaci´on esquem´atica de un trif´asico elemental a

GENERADOR

b

Zf

CARGA TRIFÁSICA

TRIFÁSICO

c

En la figura 3.25 se ha representado por un c´ırculo el generador trif´asico (se utilizar´a el s´ımbolo 3φ para indicar “trif´asico”) y a un lado se indica la conexi´on del generador, en estrella (Y ) que es el m´as usual y aterrizado a trav´es de una impedancia ZF , limitadora de corriente, en casos de fallo. La carga tambi´en se ha representado a trav´es de un c´ırculo y puede estar conectado en delta (∆) o en estrella (Y ). Si se interconectan diferentes sistemas trif´asicos, utilizando l´ıneas y transformadores, se obtiene lo que se denomina un sistema de potencia. Inicialmente se estudiar´an los conceptos b´asicos de un sistema trif´asico simple. 216

Inicialmente se har´a una breve descripci´on del generador trif´asico. Figura 3.26: Esquema de la m´aquina s´ıncrona a

b

e WR

cc

+

V

f -

c

3.5.1.

d

Generador trif´ asico

Est´a compuesto esencialmente por dos estructuras sobre las cuales se han devanado un n´ umero determinado de arrollamientos. Una de las estructuras (denominada rotor) es giratoria y sobre ella se devana un arrollamiento, el cual se excita con un voltaje continuo o constante (Vcc ). La otra estructura (denominada estator) es fija y sobre ella se encuentran devanados tres arrollamientos sim´etricamente. Figura 3.27: Generador de 2 polos a b'

i

Acero c'

N

w S

c

b a'

217

El rotor se encuentra acoplado a una turbina, sobre cuyos ´alabes o paletas se aplica usualmente un chorro de agua (central hidroel´ectrica), de vapor (central t´ermica si el vapor es producido por agua calentada utilizando combustible, o central nuclear si el vapor es producido por agua calentada mediante el calor producido por la fisi´on nuclear), de aire (e´olica), etc. Figura 3.28: Rotor de 4 polos N

S

S

N

rad ), se generan voltajes sinusoidales en los s arrollamientos de frecuencia proporcional a la frecuencia de giro del rotor (ωR ) y desfase

Si el rotor gira a una velocidad ωR (

de 120◦ entre ellas; es decir se generar´ıan por ejemplo, voltajes de la forma: Vab (t) = Vm cos ωt Vcd (t) = Vm cos ωt + 120◦ Vef (t) = Vm cos ωt − 120◦ La representaci´on fasorial se muestra en la figura 3.29. Si los arrollamientos se conectan en estrella (Y ) o en delta (∆) se tendr´a entonces un generador trif´asico conectado en estrella o delta respetivamente. Se considerar´a inicialmente la conexi´on en estrella del generador, ya que es la m´as com´ un en los generadores componentes de un sistema de potencia. 218

Figura 3.29: Sistema equilibrado de voltajes generados

V cd

30

0

V ab

30

0

V ef

3.5.2.

Generador conectado en estrella

Los generadores utilizados en sistemas de potencia se conectan en estrella (Y ). El punto com´ un de la conexi´on llamado neutro, se aterriza a trav´es de una reactancia, para limitar las corrientes en caso de alg´ un fallo en el sistema. La conexi´on en Y debe hacerse de tal manera que se obtenga un sistema equilibrado de voltajes de fase. Se entiende por voltaje de fase el voltaje existente entre cada uno de los terminales de los arrollamientos (fase) y el neutro. Figura 3.30: Conexi´on en Y a

V cn

30o

n

V an

e 30o

c

V en

219

Basados en el esquema de la figura 3.30, se conectar´an los terminales a0 , b0 y c0 para formar el neutro del generador que como se ver´a m´as adelante ser´a el neutro del sistema. Se tendr´an entonces los esquemas que se muestran en la figura 3.31. Figura 3.31: Diagrama fasorial conexi´on en Y V cn

30o

V an 30o

V bn

Los voltajes representados en la figura 3.31 se denominan voltajes de fase (voltaje fase -neutro). Es costumbre obviar la letra n en la expresi´on para los voltajes de fase, es decir se dir´ıa que los voltajes de fase del sistema de la figura 3.31 son Va , Vb , Vc y forman un sistema equilibrado ya que, los voltajes son de igual magnitud y desfasados 360◦ = 120◦ , por lo que Va + Vb + Vc = 0. 3 Entonces la representaci´on de la suma compleja debe ser un pol´ıgono regular de n = 3 lados, o sea un tri´angulo equil´atero, como se indica en el esquema de la figura 3.32. Se deja como ejercicio comprobar anal´ıticamente que la suma de voltajes es cero, o sea comprobar que:

◦

◦

◦

Vm ej0 + Vm ej120 + Vm e−j120 = 0

220

Figura 3.32: Suma vectorial de voltajes de fase Vc 30o

30o

Va

Ve

3.5.3.

Generador conectado en ∆ o tri´ angulo

Aunque es muy poco utilizado en la pr´actica tambi´en existen generadores conectados en ∆, donde no hay neutro. Figura 3.33: Generador conectado en ∆ 1,R ,a VmÐ 00

a'

b

a

b' 2,S,b

c

c' 3,T,c

Como se observa en la figura 3.33, existen diferentes nomenclaturas para identificar las fases, por ejemplo: 1, 2, 3 ´o a, b, c ´o R, S, T .

3.5.4.

Circuitos equivalentes

En vac´ıo o en condiciones balanceadas se obtendr´an los circuitos de la figura 3.34, este modelo es v´alido s´olo para regimen sinusoidal permanente. 221

Figura 3.34: Circuitos equivalentes a

+

Van

Z

-

V bn

-

n

Z

b

+

-

Vcn

Z

+

c

Z

Ia

1

a Zg Z

E an + -

E cn -

n

Zg

I

+

Z b

2

b

-

E cn

Z

1

2

+

Z Zg Z

Ic

c

De la figura 3.34 se obtiene la siguiente relaci´on:

Van = Ean − Zg Ia Vbn = Ebn − Zg Ib Vcn = Ecn − Zg Ic

222

1

2

De manera matricial:        Van  Ean  Zg 0 0  Ia         V  = E  −  0 Z  I  0 g  bn   bn     b        Vcn Ecn 0 0 Zg Ic [Vabc ] = [Eabc ] − [Z][Iabc ] En condiciones desbalanceadas, se tendr´a  Z1  [Z] =  Z3  Z2

3.5.5.

en cuenta:  Z2 Z3   Z1 Z2    Z3 Z1

Concepto de secuencia

Los voltajes generados tienen un determinado orden o secuencia de aparici´on en el tiempo; es decir, para el caso que se est´a considerando, el primer m´aximo lo alcanza Va (t) en t = 0, el segundo m´aximo que aparece es el de Vb (t) a los 120◦ , y el tercer m´aximo el de Vc (t) a los 240◦ . se dir´ıa entonces que el orden de aparici´on de los voltajes es Va (t) → Vb (t) → Vc (t), este orden de voltajes se refleja l´ogicamente en el diagrama fasorial de la figura 3.31. Si un observador se sit´ ua en el primer cuadrante y observa los fasores girando en el sentido positivo trigonom´etrico, ver´a inicialmente a Va , luego a Vb y finalmente a Vc . se dice entonces que la secuencia de los voltajes es Va − Vb − Vc . Se acostumbra indicar la secuencia utilizando simplemente las letras asociadas a los respectivos voltajes;es decir en el caso considerado se dir´ıa que la secuencia u orden de voltajes es a − e − c.

223

Esta misma secuencia se puede especificar de distintas maneras, pero siempre refiri´endose al mismo sistema de voltajes, es decir si por ejemplo el observador se sit´ ua en el tercer cuadrante, ver´a una secuencia c − a − b, o situado en el cuarto ver´ıa una secuencia b − c − a, aparentemente son secuencias diferentes, pero en realidad son una sola ya que todos se refieren al sistema de fasores de la figura 3.31. Una manera simple de determinar la secuencia, empezando con cualquier voltaje es construir una cualquiera de las secuencias y repetirla a continuaci´on, es decir, por ejemplo: a − b − c − a − b − c.

Aqu´ı, escogiendo grupos de tres letras seguidas se obtienen las diferentes maneras de especificar el orden de voltajes de el sistema de la figura 3.31, por ejemplo c − a − b. Con base en lo anterior un sistema trif´asico equilibrado de voltajes puede especificarse, a trav´es de uno de los voltajes y de la secuencia; es decir, por ejemplo, se tiene un sistema trif´asico equlibrado compuesto por VX , VY , VZ , especificado como: ◦

VX = Vm ej60 ,

secuencia y − z − x

El diagrama fasorial correspondiente ser´ıa como el que se muestra en la figura 3.35. Se hab´ıa definido anteriormente como voltajes de fase los existentes entre cada una de las fases o l´ıneas y el neutro. Similarmente a los voltajes existentes entre las fases, se les denomina voltajes de l´ınea, es decir para la figura 3.31 se tendr´ıa los voltajes de l´ınea: Vab , Vcb , Vac .

224

Figura 3.35: Sistema equilibrado de voltajes. Vx 30o Vz

30o Vy

3.5.6.

C´ alculo de los voltajes de l´ınea a partir de los voltajes de fase

Se puede obtener un sistema equilibrado de voltajes de l´ınea, a partir del sistema equilibrado de voltajes de fase de la siguiente manera: Se calcula inicialmente, por ejemplo, el voltaje Vab . Observando la figura 3.31 se tiene: Vab = Van − Vbn = Va − Vb la representaci´on vectorial de esta suma se muestra en la figura 3.36. Se tiene entonces que: ◦ Vae = VL ∠30◦ = VL ej30

donde VL : m´odulo del voltaje de l´ınea.

225

(3.3)

Figura 3.36: Obtenci´on gr´afica de un voltaje de l´ınea. Vc

Vm

-V b

V ab

30 o

30o 30o

Va

Vm

30o Vm

Va

30o Vb

VL se puede determinar anal´ıticamente de la siguiente manera: Vae = Va − Ve = Vm ∠−120◦ = Vm ∠0◦ + Vm ∠60◦ = Vm [1 + 1∠60◦ ] √ = Vm 3∠30◦ Tambi´en a partir de la figura 3.36 se tiene: VL Vm ◦ = sen 120 sen 30◦ entonces:

√ Vm ( VL =

3 ) 2

1 2

o sea: VL =

√

3Vm

En conclusi´on, el m´odulo del voltaje de l´ınea es

√

3 veces el m´odulo del voltaje de fase y

existe un desfase de 30◦ entre el voltaje de l´ınea y el voltaje de fase asoc´ıado a la primera letra sub´ındice del voltaje de l´ınea (adelantado o atrasado seg´ un sea la secuencia). 226

En seguida se determinar´an los otros dos voltajes, que componen el sistema equilibrado. Se pueden determinar simplemente obteniendo dos fasores de m´odulo VL y desplazados 120◦ con relaci´on al voltaje Vae ya obtenido. se tendr´ıa entonces observando la figura 3.36 que estos voltajes ser´ıan: √

◦ 3Vm e−j90

y

√

◦ 3Vm ej150

Tambi´en se podr´ıan determinar los voltajes de l´ınea a partir de la condici´on del sistema √ equilibrado de voltajes, o que tengan el mismo m´odulo (en este caso 3Vm )y que su suma sea cero, o sea que si se llaman V1 y V2 los dos voltajes a determinar, se tendr´ıa que: Vae + V1 + V2 = 0 De la figura 3.31, se observa que los voltajes de l´ınea forman una malla cerrada; aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a esta malla y escogiendo las polaridades de tal manera que los voltajes se sumen, se tiene que: Vab + Vbc + Vca = 0 Por lo tanto:

V2 = Vca

√

3Vm ∠−90◦ √ = Vc − Va = 3Vm ∠150◦

V1 = Vbc = Ve − Vc =

En la figura 3.37 aparecen los dos sistemas equilibrados de voltajes de fase y de voltajes de l´ınea. En la figura 3.37 se han construido adicionalmente tres fasores Vx , Vy , Vz . Se tiene que: V b + V x = Va 227

Figura 3.37: Diagrama fasorial de voltajes de l´ınea y fase. V ab

V ca

Vy Vc Va

V

b

Vx

Vz

V bc

entonces: Vx = Va − Vb = Vab Similarmente: Vy = Vca Vz = Vbc En el tri´angulo equil´atero que forma la suma vectorial de los voltajes de l´ınea, las medianas corresponden a los voltajes de fase. Este resultado ser´a de utilidad en la determinaci´on de los voltajes de fase a partir de los voltajes de l´ınea. As´ı como los voltajes de fase tienen una determinada secuencia, los voltajes de l´ınea que forman el conjunto equilibrado, tambi´en tienen su correspondiente secuencia. observando la figura 3.37 se concluye que la secuencia de los voltajes de l´ınea (en el primer cuadrante, por ejemplo) ser´a : ab − bc − ca. Se observa que las dos primeras letras de cada componente de la secuencia de voltajes de l´ınea, corresponde a la secuencia de voltajes de fase, es decir a − b − c. 228

3.5.7.

Determinaci´ on de los voltajes de fase a partir de los voltajes de l´ınea

Si en un sistema trif´asico se conocen los voltajes de l´ınea puede ser importante y necesario (sobre todo si se van a hacer c´alculos en dicho sistema, como se ver´a posteriormente) determinar los voltajes de fase. Se plantear´an tres m´etodos como se indica a continuaci´on.

M´ etodo anal´ıtico Se trata de obtener un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas, siendo ´estas los respectivos voltajes de fase. En la figura 3.31 se tiene que: Vae = Va − Vb Vec = Vb − Vc Vca = Vc − Va En el anterior conjunto de ecuaciones se suponen conocidos Vab , Vbc , Vca (los voltajes de l´ınea). Aparentemente ser´ıa el sistema de ecuaciones para despejar Va , Vb , Vc , pero dicho sistema no es un conjunto de ecuaciones l´ınealmente independiente, ya que como puede verificarse f´acilmente, de dos cualesquiera de ellas se obtiene la otra. Por consiguiente, se pueden tomar dos ecuaciones cualesquiera de las tres y buscar otra ecuaci´on; esta ecuaci´on resulta de utilizar una de las condiciones que debe cumplir un sistema equilibrado de fasores, o sea: V a + Vb + Vc = 0 229

Se resolver´ıa entonces el sistema de las tres ecuaciones para Va , Vb , Vc .

M´ etodo de rotaci´ on de diagrama Simplemente se toma uno de los voltajes de fase como referencia; se construyen los otros dos voltajes de fase. En seguida se obtiene uno de los voltajes de l´ınea dados, y se rota el diagrama hasta acomodar el ´angulo del voltaje de l´ınea dado.

M´ etodo del tri´ angulo equil´ atero Se construye el tri´angulo que forma la suma vectorial de los voltajes de l´ınea, con sus v´ertices marcados. Con las letras asociadas a las fases, siguiendo la secuencia de voltajes de fase dada u obtenida a partir de la secuencia de voltajes de l´ınea. Como se mostr´o anteriormente, las medianas de el tri´angulo as´ı formado ser´an los respectivos voltajes de fase.

3.5.8.

Ejemplo 3.7

Sup´ongase que en una secci´on de un sistema trif´asico, con las fases denominadas arbitrariamente R, S, y T se tiene el siguiente sistema de voltajes de l´ınea: VRS = 220∠60◦ Secuencia RS − T R − ST . Se desea obtener el conjunto equilibrado de voltajes de fase.

230

M´ etodo anal´ıtico De las especificaciones dadas se tiene que el sistema equilibrado de voltajes de l´ınea ser´a: VRS = 220∠60◦ V VT R = 220∠−60◦ V VST = 220∠180◦ V Se puede formar, tomando las dos primeras ecuaciones junto con la suma de voltajes, el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas: VR − VS = 220∠60◦ V VT − VR = 220∠−60◦ V VT + VR + VS = 0 Despejando VS y VT en funci´on de VR de las dos primeras ecuaciones y reemplazando en la tercera se tiene: VR + 220∠−60◦ + VR + VR − 220∠60◦ = 0 resolviendo se obtiene:

220 VR = √ ∠90◦ V 3 Con base en la secuencia dada de los voltajes de l´ınea se tiene que la secuencia de voltajes de fase ser´a R − T − S. 231

Entonces los otros dos voltajes de fase ser´an: VT atrasando 120◦ a VR , por consiguiente, 220 √ ∠−30◦ V 3 220 = √ ∠−150◦ V 3

VT = VS

M´ etodo de rotaci´ on 220 Se puede suponer, por ejemplo, VR como referencia; es decir VR = √ ∠0◦ V 3 √ (obviamente se est´a partiendo de la relaci´on 3 entre los voltajes de l´ınea y de fase). Utilizando la secuencia obtenida para los voltajes de fase, se tiene entonces el diagrama inicial de la figura 3.38, donde se ha construido el voltaje VRS . Figura 3.38: Diagrama fasorial inicial. VS 30o

VR 30o 30o

V RS

VT

En el diagrama de la figura 3.38 se tiene que VRS = 220∠−30◦ V. Como voltaje especificado es VRS = 220∠60◦ , es necesario rotar el diagrama de la figura 3.38, 90◦ en el sentido positivo trigonom´etrico, obteni´endose el diagrama de la figura 3.39.

232

Figura 3.39: Diagrama fasorial buscado. V RS VR 30o V ST

VS

VT

V TR

M´ etodo del tri´ angulo Se construye el tri´angulo equil´atero, inicialmente situando el fasor VRS , a 60◦ ; en la cabeza del vector se pone la letra R y en la cola la letra S. La letra T , que estar´a en el tercer v´ertice del tri´angulo, se pone, de tal manera que los v´ertices del tri´angulo sigan la secuencia de los voltajes de fase, o sea R − T − S. esto se indica en el diagrama de la figura 3.40. Figura 3.40: Ilustraci´on del m´etodo del tri´angulo R 30o

30o 30

30o

o

30o

T

S

233

El diagrama de la figura 3.40 es exactamente el mismo de la figura 3.39, simplemente que los vectores (a excepci´on de VRS ) se encuentran desplazados paralelamente a s´ı mismos.

3.5.9.

Ejemplo 3.8

VRS = VL ∠0◦ Secuencia RS − ST − T R.

M´ etodo anal´ıtico

VRS = VL ∠0◦ = VRN − VSN

(3.4)

VST = VL ∠−120◦ = VSN − VT N

(3.5)

0 = VRN + VSN − VT N Resolviendo las ecuaciones (3.4), (3.5), (3.6) se tiene;

VL + VSN + VSN + VSN − VL ∠−120◦ = 0 as´ı que: VSN =

VL (1∠−120◦ − 1) VL ∠−150◦ √ = 3 3

234

(3.6)

Figura 3.41: Diagrama fasorial ejemplo 3.8

VTN

VTR 0

30

VRS 0

30

VSN

VRN 0

30 VST

Figura 3.42: M´etodo del tri´angulo ejemplo 3.8 T

R

S

M´ etodo de rotaci´ on M´ etodo del tri´ angulo De la figura 3.42, VL ∠−30◦ √ 3 VL ∠−150◦ √ = 3 VL ∠−90◦ √ = 3

VRN = VSN VT N

235

3.5.10.

Ejercicio

Figura 3.43: Sistema de fuentes del ejercicio

a

b

c

d

e

f

En la figura 3.43 se dan tres fuentes ideales cuyos vectores representativos son Vab = V ∠0◦ , Vcd = V ∠60◦ , Vef = V ∠−60◦ . ¿C´omo deben conectarse estas fuentes para constituir una fuente trif´asica equilibrada a)en estrella, b)en tri´angulo ? Dar en cada caso, la secuencia de fases.

3.5.11.

Sistema trif´ asico general b´ asico

Figura 3.44: Sistema trif´asico general b´asico Z1

R Z2

N'

S Z3

T ZN

N DE RETORNO

En Z1 , Z2 , Z3 , se incluyen la impedancia de la carga y de la l´ınea. 236

Si no se llevase el neutro ZN =⇒ ∞. Aplicando Millman al diagrama de la figura 3.44 se tiene:

VN 0 N

VRN VSN VT N + + Z1 Z2 Z3 = 6= 0 1 1 1 1 + + + Z1 Z2 Z3 ZN

La anterior expresi´on es general, pero si VRN , VSN , VT N son balanceados y Z1 = Z2 = Z3 = Z se obtiene la siguiente expresi´on particular:

VN 0 N

1 (VRN + VSN + VT N ) =0 = Z 1 3 + Z ZN

Ahora se procede a analizar las corrientes: 1 (VRN − VN 0 N ) Z1 1 = (VSN − VN 0 N ) Z2 1 (VT N − VN 0 N ) = Z3

IR = IS IT

IN = IR + IS + IT Si se particulariza de nuevo para el caso balanceado de VL´ınea e impedancias, VN 0 N = 0, as´ı que: VRN VRN 0 VR = = Z Z Z VSN VSN 0 VS = = = Z Z Z VT N VT N 0 VT = = = Z Z Z

IR = IS IT

Puesto que los VL son balanceados y las impedancias son iguales, se concluye que en este caso las corrientes son un sistema balanceado, as´ı que si existiese neutro IN = 0 237

En el caso desequilibrado obviamente las corrientes no formar´an un sistema equilibrado de voltajes y por tanto existir´a una corriente por el neutro de valor: IN = IR + IS + IT Si no existiese el conductor neutro, l´ogicamente IR + IS + IT = 0 pero, VN 0 N 6= 0

C´ alculo de las corrientes de l´ınea Las corrientes que circulan por las l´ıneas o fases que transmiten la energ´ıa se denominan muy l´ogicamente corrientes de l´ınea; estas corrientes se pueden calcular f´acilmente, utilizando el voltaje Vn0 n encontrado anteriormente. Planteando la ley de voltajes de Kirchhoff para cada una de las mallas de formadas por cada fase y cerrando con el voltaje Vn0 n , se tiene: Va = Ia Z1 + Ia Z2 + Vn0 n Vb = Ib Z1 + Ib Z2 + Vn0 n Vc = Ic Z1 + Ic Z2 + Vn0 n Para el caso equilibrado: Va = Ia (Z1 + Z2 ) Vb = Ib (Z1 + Z2 ) Vc = I( Z1 + Z2 ) 238

Se puede construir un circuito equivalente que satisface, por ejemplo, la expresi´on anterior para la fase a, como se muestra en la figura 3.31. Similarmente se pueden Figura 3.45: Circuito monof´asico equivalente

+

Z1

Ia

Z2

Va

-

construir circuitos equivalentes para las fases b y c; cada uno de estos circuitos por fase se denomina circuito equivalente monof´asico, o directamente a partir de las expresiones de las cuales se establecieron los circuitos monof´asicos equivalentes, se tiene que las corrientes de l´ınea ser´an. Va Z1 + Z2 Vb Ib = Z1 + Z2 Vc Ic = Z1 + Z2

Ia =

S´ı Z1 + Z2 = Z = Z∠θ y se expresa Vb y Vc en funci´on deVa , se tiene que: Va Z Va ∠−120◦ = Z Va ∠120◦ = Z

Ia = Ia Ia

239

Se observa que las corrientes de l´ınea forman un sistema equilibrado de fasores cuya secuencia es la misma de los voltajes generados. La corriente por el neutro ser´a: In = Ia + Ib + Ic = 0 Resultado al que ya se hab´ıa llegado anteriormente. Una observaci´on importante que se deduce del an´alisis anterior es el hecho de que el conductor neutro no afecta los c´alculos, raz´on por la cual, en principio, se podr´ıa omitir dicho conductor. En un sistema de potencia pr´actico el voltaje generado de l´ınea es del orden de los 13.8 kilovoltios, mediante transformadores se eleva este voltaje a valores del orden de 115, 220 y hasta 500 kilovoltios, bajando a su vez la corriente, dadas las caracter´ısticas de los transformadores. Se transmite entonces la energ´ıa a alto voltaje y baja corriente para fundamentalmente disminuir las p´erdidas en las l´ıneas, que como se sabe son proporcionales al cuadrado de la corriente; esta etapa inicial se llama transmisi´on. Posteriormente se va reduciendo gradualmente el voltaje en etapas que se llaman subtransmis´on hasta llegar a los centros de consumo. En las ciudades se tienen voltajes de l´ınea del orden de los 13.2 kV, el cual a su vez se reduce al voltaje de l´ınea residencial de 220 V. En los centros de consumo la etapa de alimentaci´on se denomina distribuci´on. En un sistema de potencia pr´actico no se lleva el neutro en las etapas de transmisi´on y subtransmisi´on, solo se lleva en la etapa de distribuci´on, en niveles de 220 V.

3.5.12.

Ejemplo 3.9

Consid´erese el sistema un poco m´as complejo de la figura 3.46. Sup´ongase que en los terminales marcados a, b y c se tienen voltajes equilibrados as´ı: Vab = VL ∠0◦ , secuencia a − c − b. Se desea encontrar las corrientes de l´ınea Ia , Ib e Ic . 240

Figura 3.46: Sistema equilibrado del ejemplo Ia

a

Z1

Z3

Z2 Ib

b

Z4

Z2

Z1

Z3 Z4

Z2 Ic

c

Z4 Z3

Z1

n

Inicialmente se tratar´a de reducir el sistema de la figura 3.46 a un sistema como el de la figura 3.44. Lo primero ser´a, utilizando la transformaci´on delta - estrella de impedancias, reducir las cargas Z4 que est´an en delta a una configuraci´on en estrella. Se tendr´a entonces un esquema como el de la figura 3.47, en donde: Z5 = Z3 +

Z4 . 3

Figura 3.47: Simplificaci´on inicial del circuito de la figura 3.46 a

Z1

Z5

Ia Z2

b

Z1

Ib

Z2

Z5

Z2 c

Z1

Z5

Ic

n

241

A continuaci´on las dos configuraciones, se transformar´an en dos tri´angulos como indica la figura 3.48. donde las dos conexiones delta est´an en paralelo; Figura 3.48: Transformaci´on Y − ∆ en el u ´ltimo circuito Z1

a

Ia

3Z 5

Z1

b

Ib

3Z 2

3Z 5 3Z 5

Z1

c

Ic

n

reduciendo las dos a un equivalente y transformando esta a su vez a una conexi´on estrella, se tiene el diagrama de la figura 3.49, en donde:   1 (3Z5 )(3Z2 ) Z5 Z2 Z6 = = 3 3Z2 + 3Z5 Z2 + Z5

Figura 3.49: Circuito simplificado del de la figura 3.46 a

Z1

Ia

Z6 b

Z1

Ib

Z6

Z6

c

Z1

Ic

n

242

En seguida se encontrar´an los voltajes de fase, para aplicar el m´etodo del circuito monof´asico equivalente,establecido anteriormente. Utilizando el m´etodo del tri´angulo se tiene el esquema de la figura 3.50. Figura 3.50: M´etodo del tri´angulo

a

b

c

En la figura 3.50 se tiene que: VL Va = √ ∠30◦ 3 VL Vc = √ ∠−90◦ 3 VL Vb = √ ∠150◦ 3 Utilizando el circuito monof´asico de la fase a, por ejemplo, se tiene el de la figura 3.51. Del circuito de la figura 3.51 se tiene que: Ia =

Va Va (Z2 + Z5 ) Va = = Z Z Z1 + Z2 Z1 Z2 + Z1 Z5 + Z2 Z5 2 Z1 + Z 5+ Z 2

5

y por consiguiente: ◦ Ib = Ia ej120 ◦ Ic = Ia e−j120

243

Figura 3.51: Circuito monof´asico equivalente de la fase a

Z1

Ia

a +

Z6

Va b -

Tambi´en se podr´ıa utilizar el hecho de que como el sistema es equilibrado entre los neutros de las configuraciones estrellas (suponiendo que las configuraciones delta que existen en el sistema se han transformado en sus correspondientes estrellas equivalentes), el voltaje ser´a cero, por lo que se puede construir un circuito equivalente a partir del diagrama sin reducir; tomando nuevamente la fase a, se tendr´a el circuito de la figura 3.52. Figura 3.52: Circuito monof´asico a partir de la figura 3,46

Ia

a

Z3

Z1

+

Z2 b

-

244

Z4 3

La corriente Ia ser´a entonces, la relaci´on entre el voltaje Va y la impedancia de entrada del circuito monof´asico. Llamando nuevamente: Z5 = Z3 +

Z4 3

Se tiene que: Zin =

Z5 Z2 Z5 Z2 + Z1 Z5 + Z1 Z2 + Z1 = Z5 + Z2 Z2 + Z5

entonces Ia =

Va (Z2 + Z5 ) Va = Zin Z5 Z2 + Z1 Z5 + Z1 Z2

El coseno del ´angulo de Zin , o sea el coseno del desfase entre Va e Ia en el monof´asico equivalente, es el factor de potencia del sistema en cuestion, que en algunos textos aparece como factor de potencia trif´asico.

3.5.13.

Ejemplo 3.10

Las impedancias del circuito de la figura 3.53a, podr´ıan representar por ejemplo un motor, se desea conocer I1 . Para presentar la utilidad y la igualdad en los resultados del equivalente monof´asico, primero se resolver´a mediante corrientes de malla, se tomar´a a VAB como referencia y SECpositiva De la direcci´on de las corrientes de malla figura 3.53b se tiene: VAB = I1 (30 + j40) + (30 + j40)(I1 − I2 ) VBC = I2 (30 + j40) + (30 + j40)(I2 − I3 ) 245

Figura 3.53: Red equilibrada ejemplo 3.10 C N A B

IB

I IA 30 W

j 40

a.

30 W

A

+

IC 30 W

j 40

30 W

j 40

N'

B

- +

220

-

IB

I IA

30 W

j 40

220

b.

C

N

IC 30 W

j 40

j 40

N'

VCA = I3 (30 + j40) + (30 + j40)(I3 − I1 )

Resolviendo el sistema:

IA = 2,54∠−83,13◦ A IB = 2,54∠−83,13◦ − 120◦ A IC = 2,54∠−83,13◦ + 120◦ A Ahora mediante el equivalente monof´asico. Debido a que VAB es la referencia, se necesitan los voltajes de fase, para ello se utiliza el tri´angulo de voltajes.

246

Figura 3.54: Equivalente monof´asico ejemplo 3.10 +

30 W VA

j 40

-

Figura 3.55: Tri´angulo de voltajes C

B

A

◦ √ De la figura 3.55 se obtiene VA = 220∠−30 V. 3

IA =

220∠−30◦ √ 3 30 + j40

= 2,54∠−83,13◦ A Para hallar IB y IC bastar´a aplicar las condiciones de un sistema balanceado,

IA =

220∠−30◦ √ 3 30 + j40

= 2,54∠−83,13◦ A IB = 2,54∠−83,13◦ − 120◦ A IC = 2,54∠−83,13◦ + 120◦ A En la figura 3.56 se presenta la respectiva simulaci´on. 247

Figura 3.56: Simulaci´on Ejemplo 3.10

3.5.14.

Ejercicio

En los terminales a, b y c se tienen voltajes equilibrados. S´ı Vab = 173∠0◦ V , Ia = 5∠−45◦ A, encontrar Z para ambas secuencias, dibujando en cada caso un diagrama mostrando Va ,Vb ,Vc ,Vab ,Vbc ,Vca , Ia , Ib ,Ic . Figura 3.57: Red equilibrada del ejercicio a

Ia

Z

b

Ib

Z

Z

c n

Ic

248

3.5.15.

Ejemplo 3.11

Figura 3.58: Circuito del ejemplo 3.11 a

I1

100Ù 346V

1

I2 - j100

j173

c 100Ù

2

j173 j173

173Ù 100Ù b

En los terminales acb voltajes balanceados: sec abc. Encontrar V12 . Los voltajes de l´ınea-l´ınea son Vab = 346∠0◦ V Vbc = 346∠−120◦ V Vca = 346∠120◦ V Por lo tanto los voltajes de fase ser´an Van = 199,76∠−30◦ V Vbn = 199,76∠−150◦ V Vcn = 199,76∠90◦ V En la figura 3.59 se pueden ver los voltajes de fase y de l´ınea-l´ınea 249

Figura 3.59: Voltajes de fase y de l´ınea-l´ınea

Vca Vbn

Vab Vcn

Van

Vbc

La corriente I1 =

Van 100 + j173

I1 = 0,99∠−89,97◦ A La corriente I2 = I2 =

Vab 173 − j100

346∠0◦ 173 − j100

I2 = 1,73∠30,02◦ A VR1 = 100I1 = 100 ∗ 0,99∠−89,97◦ V VR1 = 99∠−89,97◦ V VC2 = −j100I2 = −j100 ∗ 1,73∠30,02◦ VC2 = 173∠−59,98◦ V V12 = VR1 + VC2 V12 = 99∠−89,97◦ + 173∠−59,98◦ V 250

V12 = 100,3∠30,39◦ V V12 = 100,3 V En la figura 3.60 se presenta la simulaci´on del ejemplo 3.11. Figura 3.60: Simulaci´on ejemplo 3.11

magnitude +

+ -

signal

i -

angle

90.18

magnitude

0.9965

100.1

magnitude v

1.001

signal

-89.82

angle

+

signal

i

angle

-

magnitude +

251

i -

signal angle

-150

1.001 -30.14

3.5.16.

Ejemplo 3.12

Para el circuito de la figura 3.61, hallar IA ,IB ,IC . VBC = 400∠0◦ V secACB. Figura 3.61: Circuito ejemplo 3.12 I

A

I

A2 I

A

6

30 W 30 W j 40 I

B

B

30 W

j 40

j 40 I

C N

C

40 W

40 W

40 W

N'

◦ √ = Utilizando el tri´angulo de la figura 3.62, claramente se observa que VA = 400∠−90 3 230.94 ∠−90◦ V

Figura 3.62: Triangulo de voltajes C

B

A

A

252

El circuito monof´asico equivalente de la fase A se presenta en la figura 3.63, Figura 3.63: Circuito monof´asico equivalente fase A IA2

IA

+ 10 W 40 W

VA

j

40 3

IA1

-

IA2 =

VA 10 + j 40

= 13,85∠−143,13◦ A

3

IA1

VA = = 5,77∠−90◦ A 40

I = IA1 + IA2 = 17,92∠−128,2◦ A Siguiendo la secuencia, se obtienen IB e IC . IB = 17,92∠−128◦ + 120◦ = 17,92∠−8◦ A IC = 17,92∠−8◦ + 120◦ = 17,92∠−112◦ A VN 0 N = 0 V

Al introducir un desequilibrio como se presenta en la figura 3.65, no se puede construir un circuito monof´asico completo, sin embargo los valores de IA2 , IB2 , IC2 no cambian. Se construye un nuevo tri´angulo de voltajes como se presenta en la figura 3.66,

253

Figura 3.64: Simulaci´on circuito monof´asico ejemplo 3.12

Figura 3.65: Introducci´on de desequilibrio I

A

I

A

A2

3 0W I

A1

j40

3 0W

3 0W

j40

B

j40

C I

N

I

C1

40 W

B1

- j40

I

A1

- j40

N '

400 √ 3 230,94∠150◦ = 40

VF = IC1

= 5,77∠150◦ A IB1

230,94∠30◦ = j40

IB1 = 5,77∠−60◦ A IA1 =

230,94∠−90◦ −j40

IA1 = 5,77∠0◦ A 254

Figura 3.66: Tri´angulo de voltajes

V C

V 150 B 30 V A 0

0

Debido al desequilibrio, se hace necesario conectar el conductor neutro ya que, IN = IA1 + IB1 + IC1 = 4,22∠−30◦ A Las corrientes de entrada ser´an: IA = IA1 + IA2 = 9,86∠−122,6◦ A IB = IB1 + IB2 = 19,79∠−33,8◦ A IC = IC1 + IC2 = 17,9∠111,8◦ A

255

3.5.17.

Relaci´ on entre la corriente de l´ınea y la corriente por cada una de las ramas de una conexi´ on delta, en un sistema trif´ asico equilibrado

. Figura 3.67: Carga equilibrada conectada en delta Ia

a

Z I1

Ib

b

I2

Z

Z Ic

c n

Sup´ongase en el diagrama de la figura 3.67 que en los terminales a, b y c se tiene el sistema de voltajes de la figura 3.50. Con Z = Z∠θ = Zejθ se tiene el diagrama fasorial de la figura 3.68. Figura 3.68: Diagrama fasorial para la red de la figura 3.67 Vac 30o

Vb

Va 30o

30o

Vab

Ia Vc

256

En la figura 3.67 se ha utilizado el hecho de que el desfase entre Va e Ia es el ´angulo de la impedancia de entrada del circuito monof´asico equivalente, en este caso, el ´angulo de Z , o sea θ; ´este se ha asumido, como correspondiente a una carga de factor de potencia 3 atrasado y mayor que 30◦ . Se tiene que: Va 3VL ∠30◦ Ia = = √ = Z 3Z∠θ 3

√

3VL ∠30◦ − θ Z

De la figura 3.67 se tiene; I=

Vab VL ∠0◦ VL = = ∠−θ Z Z∠θ Z

Se deduce entonces que la corriente de l´ınea tiene como m´odulo

√

3 veces el m´odulo de

la corriente que circula por las ramas de la conexi´on delta, y adelanta o atrasa 30◦ a la misma seg´ un la secuencia, en este caso, Ia adelanta 30◦ a I1 . Se podr´ıa haber encontrado Ia directamente a partir de la figura 3.67 (es decir, sin utilizar el concepto de circuito monof´asico equivalente), aplicando ley de corrientes as´ı: Ia = I1 + I2 Vab VL VL + Vac Z = ∠−θ + ∠60◦ − θ Z Z Z VL −jθ VL −jθ √ = e [1 + 1∠60◦ ] = e [ 3∠30◦ ] Z Z √ 3VL = ∠30◦ − θ Z

Ia = Ia Ia

Para ilustrar mejor esta relaci´on entre corriente de l´ınea y de carga en ∆, se tiene la figura 3.68. En esta figura se han escogido los sentidos de las corrientes en la carga, de manera tal que, tengan igual sentido de recorrido por la ∆, ya que as´ı quedar´an directamente 257

Figura 3.69: Carga equilibrada conectada en delta Ia

a

I4 Z Ib

b

Z I5 Z

I6

Ic

c n

asociadas al conjunto de voltajes balanceados y para el caso de voltaje balanceado y carga balanceada, formar´an un sistema balanceado de corrientes. Por comodidad, se toma I4 como referencia, secuencia positiva, el voltaje de l´ınea tendr´ıa la secuencia ab − bc − ca, esto implica un sentido de corrientes I4 , I5 , I6 . De la figura 3.68, Ia = I4 − I6 la construcci´on gr´afica ser´a: Figura 3.70: Carga equilibrada conectada en delta

I6

ID

I4

30o IL Ib

I5

Ia = I4 -I6

Aplicando ley de senos al diagrama de la figura 3.70,

IL I∆ = ◦ sen 120 sen 30◦ Resolviendo: 258

IL =

√

3I∆

3.5.18.

Ejercicio

Figura 3.71: Red equilibrada en delta del ejercicio a

Ia Z

b

Ib

I1 Z

Z c

Ic

En la figura 3.71, en los terminales a, b, c se tienen voltajes balanceados con secuencia b − a − c. S´ı Ia = 10∠0◦ encontrar I1

259

3.5.19.

Ejemplo 3.13

En este ejemplo se presenta una combinaci´on de carga equilibrada con desequilibrada en un sistema no balanceado. Para el circuito de la figura 3.72, VRS = 13.2∠0◦ kV , secuencia positiva. Figura 3.72: Red combinada ejemplo 3.13 I

R

I

S

R

IR2

I

S

R1

80 W

40 W

- j6 0

j20

IT

T

30 W

j40

30 W

30 W

j40

j40

N N '

´ an´alisis siempre se hace por cargas. Nota: El La primera carga est´a balanceada, la segunda carga no lo est´a. Se aprovecha la carga balanceada para evitar el uso de de las leyes de Kirchhoff. La Y balanceada se transforma en una ∆ balanceada y se reducen las deltas en paralelo a una sola ∆ Z1 , Z2 y Z3 .

260

Figura 3.73: Transformaci´on en ∆ del ejemplo 3.13 I

R

I

R

3(30+ j 40) I

S

Z

Z

I

R1

R2

80 W

S

40 W

- j 60

Z j 20

T

I T

30 W

30 W

30 W

j 40

j 40

j 40

N

Reduciendo el circuito se llega a: Figura 3.74: Reducci´on circuito ejemplo 3.13 R

IR Z2

S

IS

Z2 Z2

T

IT

Donde:

Z1 = 80(90 + j120) = 170 + j120 = 57,67∠17,91◦ Z2 = (40 + j20)(90 + j120) = 130 + j140 = 35,11∠32,57◦ Z3 = −j60(90 + j120) = 90 + j60 = 83,21∠−70,5◦ 261

Se calcula suma de corrientes en una ∆ y se obtiene: 13200∠0◦ 13200∠120◦ − Z1 Z3 13200∠−120◦ 13200∠0◦ = − Z2 Z1

IR = IS

IT = −IS − IR Volviendo al circuito de la figura 3.72,

IR = IR1 + IR2 IR1 IR2

13200 √ VRN 3 = = = 152,42∠−83,13◦ 30 + j40 30 + j40 13200∠0◦ 13200∠120◦ − = 80 −j60

IR1 + IR2 = IR = 376,29∠−64◦ A

262

3.6. 3.6.1.

´ POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS Potencia inst´ antanea

Figura 3.75: Red trif´asica simple en Y

a b c

ia (t )

Za

ib (t )

Zb

ic (t )

Zc

N'

N

La potencia instant´anea suministrada a la red trif´asica tendr´a como expresi´on: P3φ (t) = VaN (t)ia (t) + VbN (t)ib (t) + VcN (t)ic (t)

(3.7)

La ecuaci´on (3.7) es una expresi´on general para sistemas equilibrados o desequilibrados. Para el caso equilibrado en los terminales a, b y c se tiene un sistema de voltajes baalanceados de l´ınea (voltajes entre fases o l´ıneas) o de voltajes balanceados de fases (voltajes entre l´ıneas y el neutro), por consiguiente VaN (t) = Va (t), VbN (t) = Vb (t) y VcN (t) = Vc (t).

263

Asumiendo secuencia a − b − c, se tendr´a Va (t) = Vm cos wt   2π Vb (t) = Vm cos wt − 3   2π Vc (t) = Vm cos wt + 3 Como el circuito es equilibrado, Za = Zb = Zc = Z∠θ. Circular´an entonces corrientes de l´ınea balanceadas: Ia (t) = Im cos(wt − θ) 2π − θ) 3 2π Ic (t) = Im cos(wt + − θ) 3 Ib (t) = Im cos(wt −

Se tendr´a entonces: 2π ) cos(wt − 3 2π +Vm Im cos(wt + ) cos(wt + 3

P3φ (t) = Vm Im cos(wt − θ) + Vm Im cos(wt −

2π − θ) 3 2π − θ) 3

Utilizando 1 cosAcosB = [cos(A + B) + cos(A − B)] 2 se obtendr´a: P3φ (t) =

Vm Im 4π [cos(2wt − θ) + cos θ + cos(2wt − − θ) 2 3 4π + cos θ + cos(2wt − − θ) + cos θ] 3

en donde: cos(2wt − θ) + cos(2wt −

4π 4π − θ) + cos(2wt + − θ) = 0 3 3 264

ya que son tres cosenoides de igual amplitud y desfasadas 120◦ . Por consiguiente: 3 P3φ (t) = Vm Im cos θ = 3V I cos θ 2

(3.8)

en donde V e I son valores eficaces. Se puede concluir entonces que la potencia trif´asica instant´anea suministrada a una red es constante (independiente del tiempo), a diferencia de la potencia instant´anea monof´asica que es pulsante, ´esta representa una ventaja del sistema trif´asico, ya que por ejemplo en los motores monof´asicos el torque es pulsante, mientras que en los motores s´ıncronos (trif´asicos) el torque ser´a constante.

3.6.2.

Potencia compleja

Para la misma figura 3.75, se tendr´a en general (suponiendo valores eficaces de corrientes y voltajes): S3φ = VaN 0 Ia∗ + VbN 0 Ib∗ + VcN 0 Ic∗

(3.9)

La anterior expresi´on es v´alida siempre, tanto para sistemas trif´asicos equilibrados y desequilibrados, ya sean de 3 o 4 hilos.

265

Si tanto los voltajes como la red son balanceados, entonces: VaN 0 = VaN = Va VbN 0 = VbN = Vb VcN 0 = VcN = Vc Za = Zb = Zc = Z∠θ P3φ + jQ3φ = S3φ = Va Ia∗ + Vb Ib∗ + Vc Ic∗ Vb Vc a P3φ =