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• Dorian Ballas

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CAPITULO 1 INTRODUCCION

Las maquinas o computadoras no tienen inteligencia propia, por lo que no pueden resolver problemas sin la intervención de un programador (o usuario). Es justamente aquí, donde interviene el programador que utiliza la potencia de un determinado lenguaje para desarrollar métodos adecuados en la solución de problemas específicos. Para que una computadora pueda resolver un problema concreto, el programador y no como muchos piensan (la computadora) debe diseñar un método que lleve a la solución u obtención de resultados; ya que la computadora simplemente lleva acabo paso a paso, la lista de instrucciones que el programador formula con anterioridad mediante un algoritmo o diagrama de flujo. 1.1

ALGORITMO. Un algoritmo es una lista paso por paso de las instrucciones que se han de ejecutar en un orden especifico que conducirá a una solución de un tipo de problema concreto. En un algoritmo se utiliza seudo código para señalar el tipo de operaciones a realizar. Se llama seudo código a la combinación que utilizan frecuentemente los programadores entre el lenguaje humano y un código de computadora al señalar los diferentes pasos que debe seguir la computadora.

1.2

DIAGRAMA DE FLUJO. Es una representación gráfica de la secuencia de pasos que debe realizar una computadora; señalando específicamente a través de fórmulas (y no con palabras como en un algoritmo) las operaciones necesarias a realizar.

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

Para llevar acabo una tarea de programación es necesario seguir cuatro etapas o pasos fundamentales (aunque se puede dividir en muchas más). Las etapas a realizar son: 1. ENTENDER EL PROBLEMA. Es muy importante entender el problema, ya que sí el programador no comprende que es lo que se le solicita realizar, peor aun, no podrá enfocar o diseñar de manera adecuada un algoritmo o diagrama de flujo. En resumen, si no se comprende el problema, comenzar a diseñar un programa es una completa perdida de tiempo. 2. DISEÑO DEL PROGRAMA. Como cada persona tiene su propia forma de pensar, por tanto, un problema también tendrá diferentes formas de ser resuelto. Para diseñar un programa se debe en principio buscar un método sencillo, preciso y lo mas corto posible que lleve a resolver un determinado problema, ya que a partir del método seleccionado, se diseñará el correspondiente algoritmo u diagrama de flujo. 3. CODIFICACION. Traducir un algoritmo o diagrama de flujo en forma apropiada a un lenguaje que entienda la computadora, se lo conoce como codificación. En un principio los programas de computadora se escribían en lenguajes de maquina. Sin embargo, hoy en día se puede realizar programación en lenguajes de alto nivel como ser Turbo Pascal, BASIC, FORTRAN, etc. En un lenguaje de alto Nivel sus instrucciones se expresan en forma parecida a las frases del idioma común (usualmente en ingles). 4. PROBAR Y DEPURAR.

2

Introducción

El intentar hacer correr un programa, nos permite determinar los posibles errores cometidos ya sea en sintaxis como en interpretación (obtener resultados erróneos). Si existen errores de sintaxis en un determinado proceso, se debe realizar la corrección del mismo y no su eliminación (caso muy frecuente). Cabe señalar que es muy importante diseñar un diagrama de flujo, ya que al diseñar el mismo no solamente se traza un plan gráfico en sí mismo de las instrucciones para la computadora, sino que también comunica dicho plan a los demás. 1.3

SIMBOLOS PARA EL DISEÑO DE DIAGRAMAS DE FLUJO. A fin de eliminar posibles confusiones en la representación gráfica de los diferentes procesos en el diseño de diagramas de flujo, el presente libro adopta los siguientes símbolos: INICIO O FIN.

Su función es la de indicar donde comienza un diagrama de flujo y donde termina el mismo.

INIC IO

FIN

PROCESO.

Representa una función de proceso. Dicho proceso puede ser de asignación o calculo de alguna fórmula o función.

FX=4*X^3 + 3*X

ENTRADA.

Este símbolo es muy útil para señalar las variables que debe inicializar el usuario a través del ingreso de datos por teclado.

A,N,B

3

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

SALIDA POR PANTALLA.

Representa la salida por pantalla de las variables o contenidos que son solicitados. En forma general este símbolo se utilizara para señalar cualquier tipo de salida; ya sea numeral o alfabética.

A(F,C) , A, "B"

SALIDA A OTRO MEDIO.

Este símbolo es muy práctico cuando se trata de enviar la información a otro medio de salida que no sea la pantalla, por ejemplo: cinta magnética, impresora, fax módem, etc.

D, F, A

LINEAS DE FLUJO.

Señalan el camino y secuencia en el que van a ser realizados los distintos procedimientos del programa.

CONECTORES DE FLUJO DE SECCION.

Nos permite realizar la conexión de dos puntos muy separados en un diagrama de flujo. También es utilizado para continuar el diagrama de flujo en otro sector de la misma pagina. 4

F F

Introducción

CONECTORES DE PAGINA.

Es utilizado para la conexión de un mismo diagrama de flujo que ocupa más de una pagina.

G G

TOMA DE DECISION.

Señala el camino que tomara el flujo del programa al realizar una comparación lógica.

SI

C=D

NO

Este símbolo cuenta simplemente con dos salidas: una salida por SI y otra por NO (aunque muchas personas desearían que también contara con el tal vez y el quizás). La salida por SI se ejecutara si la condición o afirmación que se indica se cumple. Por otro lado, se ejecutara la salida por NO, si la afirmación o condición que se indica no se cumple. TOMA DE DECISION MULTIPLE.

Realiza un análisis lógico entre una determinada condición y los múltiples caminos posibles a seguir. Este símbolo es mas conocido como sentencias CASE (Tomas de decisión anidadas).

D c1

c2

....

cN

5

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

CONTADOR AUTOMATICO.

Representa a una variable que tiene la finalidad de irse incrementando o decrementando automáticamente de uno en uno hasta alcanzar un valor final.

F=1- 6 F

FUNCION O PROCEDIMIENTO.

Representa una opción de llamada a un procedimiento o función (subprogramas), indicando de ser necesario, una lista de los valores o variables a ser enviadas y en ocasiones las variables a ser recepcionadas.

NOTA.-

SUMAR

A,B,C

Cabe señalar que el conocimiento de cómo escribir diagramas de flujo no implica el conocimiento de cómo programar.

A continuación se presenta un diagrama de flujo el mismo que si bien no tiene una aplicación matemática como podría ser un diagrama para la obtención de las raíces de una ecuación no lineal u otro problema. En el arte de la programación el presente diagrama de flujo permitirá al estudiante observar la forma de cómo se deben utilizar los diferentes símbolos ilustrados con anterioridad. Para una mejor compresión del diagrama en la secuencia o utilización de los respectivos símbolos, se realizará un seguimiento e interpretación de los procesos realizados, así:

6

Introducción

INICIO A=5 B=1 NO

SI

B=A

B

A

A=A-1 B=B+1

A=1 NO SI

FIN

El símbolo de inicio muestra o señala el comienzo del diagrama de flujo y por tanto del programa desarrollado. De acuerdo a la línea de flujo, el siguiente paso a realizar se encuentra expresada en el símbolo de proceso, el cuál indica que se debe asignar el número 5 a la variable A (se denota como variable ya que en el transcurso del programa se le asigna diferentes valores ). Seguidamente, se advierte que una línea de flujo proveniente de la parte inferior corta a la línea de flujo vertical. Este hecho señala que existe un determinado sector o bloque del programa que debe ser repetido (bloque delimitado por el cruce de las líneas de flujo y una toma de decisión).

7

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

La repetición del respectivo bloque debe realizarse hasta cumplir alguna condición lógica señalada en el símbolo de toma de decisión, condición que en el presente ejemplo es hasta que la variable A alcance el valor de uno (bloque final de toma de decisión). El sector o bloque de repetición comprende de acuerdo al diagrama, un símbolo de proceso en el cual se señala que se asignara el valor de 1 a la variable B, una toma de decisión (toma de decisión debido a que las líneas de flujo de la salida por SI y la salida por NO, se unen en un punto común) la cual realiza la consulta lógica de: si el valor de B es igual al valor de A. Si la respuesta resulta ser verdadera (salida por SI) se debe mostrar por pantalla el valor que se encuentra almacenado en A, pero si la respuesta a la consulta es falsa (salida por NO) se mostrara en pantalla el valor que tiene almacenado la variable B. Posteriormente se advertirá, que la línea de flujo señala al símbolo de toma de decisión, símbolo que controla las repeticiones a realizarse. Este símbolo al ser componente de una serie de repetición, cambia de nombre por sentencia repetitiva. Una forma de determinar si el respectivo símbolo de toma de decisión forma parte de una sentencia de repetición es observar si la línea de flujo de la salida por SI y la línea de flujo de la salida por NO nunca llega a unirse en un punto común. En el diagrama presentado, la línea de flujo de la salida por NO retorna a la parte superior del diagrama, no sin antes de efectuar dos procesos: un proceso de incremento en la variable B y un proceso de decremento de la variable A. El ciclo de repetición concluye, como ya se ha mencionado, cuando la variable A alcance el valor de uno. Finalmente la línea de flujo en su salida por SI, nos lleva hasta el símbolo de finalización, lo cual indica el final del respectivo diagrama de flujo. 1.4

RECOMENDACIONES. Las siguientes recomendaciones son de gran utilidad en el diseño de diagramas de flujo, las cuales se basan en los errores que casi siempre comete un programador que se esta iniciando en el arte del diseño de diagramas de flujo.

8

Introducción

CASO 1.

INCORRECTO

B=10

CORRECTO

B=10

A

ß NO

NO

R

R ß

ß

R=N*B

R=N*B

Si se utilizan conectores de sección, tanto el conector de salida como el conector de entrada deben llevar el mismo nombre o símbolo. CASO 2.

INCORRECTO

CORRECTO

A=5

A=5 NO

NO

B=A

B=A

SI

SI

B B=B+1

B B=B+1

A=1 NO

A=1 NO

Todas las líneas de flujo deben conectarse a algún sector del diagrama de flujo, no pudiendo existir líneas de flujo sin destino.

9

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

CASO 3.

INCORRECTO

CORRECTO

NO

NO

B=B+1

A=1

B=B+1

A=1

B

B SI

SI

B=A

B=A

NO

NO

A=5

A=5

Las líneas de flujo nunca deben cruzarse una con otra ya que este hecho ocasionara problemas en la legibilidad del diagrama como la imposibilidad de su codificación. CASO 4.

INCORRECTO

CORRECTO

B=D

B=D SI

B=8-F

A

B=8-F

A

F=7

NO

A

NO

F=7 NO

A NO

SI

SI

D=D+INF

D=D+INF A

B

SI

A

B

Puede existir uno o más conectores de salida con el mismo nombre, pero todos ellos deben unirse para formar un solo conector de entrada. 10

Introducción

CASO 5.

INCORRECTO

CORRECTO

B=D

B=D B=B+1

B=8-F

SI

B=B+1

NO SI

F=F+1

F=7

F=F+1

SI

F=7

NO

D=D+INF B

NO

D=D+INF B

No puede existir una división de una línea de flujo sin la intervención de un símbolo de toma de decisión.

11

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

12

Introducción

13

CAPITULO 2 DIAGRAMAS DE FLUJO

Los diagramas de flujo que se presentan en esta sección no tienen otra finalidad más que ayudar al lector, a practicar e incentivar a diseñar sus propios diagramas de flujo, realizando en cada ejemplo una interpretación de los problemas planteados y su posterior análisis, a partir del cual se busca una forma de resolución. Cabe señalar que todos los diagramas de flujo diseñados en el presente texto, no son de ninguna manera las únicas formas o maneras de resolver los respectivos problemas, ya que, como cada persona posee su propia forma de razonar y analizar un determinado problema, por tanto, existirá la misma cantidad de diagramas de flujo que conlleven a una solución. El grado de dificultad que presentan los diferentes problemas se va incrementando a medida que se aumenta el número del ejemplo. Para cada problema se realiza un análisis, que en muchos casos es bastante detallado, esto en el afán de poder interpretar con mayor facilidad la lógica empleada en el diseño de los diferentes diagramas de flujo y además para determinar y orientar el por qué de la utilización de algunas variables. De igual forma, el análisis que se realiza es menos riguroso a medida que se incrementa el número del problema a resolver, esto se debe principalmente a que como el lector cada vez amplía más sus conocimientos en la manera de analizar, interpretar y diseñar un diagrama de flujo, no es necesario repetir algo que con anterioridad ya se habría analizado, o que se tratase de algo trivial. Finalmente, cabe recalcar que todos los problemas tienen por objeto incentivar y enseñar al lector a utilizar su propia lógica, para lo cual en principio se pretende impulsar al lector a determinar la lógica inmersa en cada diagrama diseñado y en segundo caso, a poder generar su propio análisis y por ende a crear sus propios diagramas de flujo.

Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 1 DISEÑAR

UN

DIAGRAMA

DE

FLUJO

QUE

PERMITA

MULTIPLICAR LOS NÚMEROS ENTEROS 5 Y 8.

ANALISIS. El programa solicitado, debe multiplicar dos números conocidos (5 y 8), por tanto, se necesitará declarar una sola variable en la cual se almacenará el resultado de dicha operación, así: R=5*8 Una vez realizada la operación de multiplicación, es lógico y necesario mostrar el respectivo resultado por lo que se deberá utilizar necesariamente el símbolo de salida por pantalla.

VARIABLES A UTILIZAR R

: VARIABLE DE ALMACENAMIENTO.

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO R=5*8 R FIN 15

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 2 TRAZAR UN PROGRAMA PARA OBTENER EL RESULTADO DE LA

MULTIPLICACION

DEL

NÚMERO

5

Y

OTRO

NÚMERO

INTRODUCIDO POR TECLADO.

ANALISIS. El diagrama a desarrollar es relativamente el mismo que el anterior, con la diferencia que previamente de realizar la operación de multiplicación, el programa debe solicitar al usuario la introducción de un número por teclado, este hecho ocasiona que el programa necesite de dos variables: -

Una variable para almacenar el dato introducido por teclado. Una segunda variable para almacenar el resultado de la operación de la multiplicación.

VARIABLES A UTILIZAR N R

: VARIABLE QUE ALMACENARA EL DATO INTRODUCIDO POR TECLADO. : VARIABLE DE ALMACENAMIENTO DEL RESULTADO.

DIAGRAMA DE FLUJO

16

Diagramas De Flujo

INICIO

A R = 5*A R FIN EJEMPLO N° 3 DISEÑAR UN

PROGRAMA

QUE

PUEDA

MULTIPLICAR DOS

NÚMEROS CUALESQUIERA.

ANALISIS. Para el análisis del programa, asúmase los números a multiplicar 5 y 8, por tanto se tiene: 5 x 8 = 40 Como los números que se utilizaron son un ejemplo muy particular: sea A una variable que represente al número 5 u otro número, y B la variable que represente al número 8 u otro valor, por tanto, la operación en forma general será: R=A *B Por otro lado, del análisis se puede determinar que serán necesarias tres variables fundamentales; una variable que se encargue de almacenar el valor o resultado de la operación de la multiplicación y dos variable que almacenen los números a introducir A y B.

17

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

VARIABLES A UTILIZAR A B R

: PRIMER NÚMERO A INTRODUCIR POR TECLADO. : SEGUNDO NÚMERO A INTRODUCIR POR TECLADO. : RESULTADO DE LA OPERACIÓN.

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

A,B R=A*B R FIN

18

CAPITULO 3 CONTADORES AUTOMATICOS.

Un contador automático es un programa o sentencia que pertenece a un determinado lenguaje de programación que incrementa una variable de forma automática. Por ejemplo, en el caso de Turbo Pascal, los contadores con que cuenta solo se pueden incrementar o decrementar en una unidad cada vez, no pudiéndose modificar este incremento a ningún otro valor. El diagrama o símbolo que representa a esta sentencia automática de repetición en forma general es:

A = ........

A

En los diagramas de flujo que se presentan a continuación, se emplearan en todo momento, los mencionados contadores automáticos para generar los números secuenciales en los sectores donde sean necesarios.

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 4 DISEÑAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA GENERAR LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL NÚMERO 5.

ANALISIS. Por lo señalado en el enunciado, se trata de un programa que debe generar específicamente la tabla de multiplicar del 5, por lo tanto, no es necesario solicitar al usuario ningún dato adicional. En tal sentido se tiene: 5x 1= 5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 20 5 x 5 = 25 5 x 6 = 30 …….…….. 5 x 10 = 50 5x B= R Del desarrollo; se trata de un proceso repetitivo del programa anteriormente desarrollado, multiplicación de dos números. La diferencia radica que en el presente programa uno de los números a multiplicar es el número constante 5 y el otro número es una variable, variable que será representada por la letra B. Esta variable B, como se puede apreciar, deberá comenzar en a 1 e ir incrementándose de uno en uno hasta alcanzar un valor final igual a 10. Como los números a ser generados por la variable B (1, 2, 3 ...) son secuenciales, por tanto los valores de la variable B pueden ser generados a través de un contador automático. Este contador no solo se ocupará de generar los respectivos números a ser utilizados en la multiplicación, sino, además se encargará de controlar el número de repeticiones que se debe realizar, el cual es igual a 10. 20

Contadores Automáticos

VARIABLES A UTILIZAR B R

: CONTADOR AUTOMATICO : RESULTADO DE LA OPERACION

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO B= 1 -- 10 R=5*B R B FIN

21

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 5 DELINEAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA GENERAR LA TABLA DE MULTIPLICAR DE UN DETERMINADO NÚMERO.

ANALISIS La diferencia que presenta el programa solicitado en relación al anterior programa (tabla de multiplicar del 5), radica; en lugar de asumir el número 5 de forma directa, este número u otro debe ser solicitado al usuario. Una vez introducido el respectivo valor o número de la tabla a desarrollar, se debe proseguir como en el anterior programa. VARIABLES A UTILIZAR N A R

: VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. : CONTADOR AUTOMATICO : RESULTADO DE LA OPERACION

DIAGRAMA DE FLUJO

22

Contadores Automáticos

INICIO

N A= 1 -- 10 R=N*A R A FIN

EJEMPLO N° 6 DISEÑAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA GENERAR LAS TABLAS DE MULTIPLICAR DEL 1 AL 10.

ANALISIS. Para una mejor interpretación del problema planteado, se realizará un desarrollo de las tablas a ser generadas y de esta manera determinar alguna secuencia de concepción entre las mismas, así: 1x 1= 1 1x 2= 2 1x 3= 3 1x 4= 4 . . . . . . 1 x 10 = 10

2x 2x 2x 2x . . 2x

1= 2 2= 4 3= 6 4= 8 . . . . 10 = 20

1x C= R

2x C= R

3x 3x 3x 3x . . 3x

1= 3 2= 6 3= 9 4 = 12 . . . . 10 = 30

3x C= R

. .

. .

. .

. . .

. . .

. . .

10 x 1 = 10 10 x 2 = 20 10 x 3 = 30 10 x 4 = 40 . . . . . . 10 x 10 = 100 FxC= R 23

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

Del desarrollo se observa que serán necesarias dos contadores, un primer contador externo (denotado como F) que se encargará de señalar los números de las tablas a desarrollar del 1 al 10 (multiplicando) y un segundo contador interno (llamado C) encargado de generar los números multiplicadores (multiplicador). De igual forma, se puede observar que el programa a desarrollar no es más que repetir 10 veces el programa anteriormente desarrollado, donde el número introducido por teclado será reemplazado por un contador automático F. En relación a las variables, es necesario utilizar una tercera variable R para almacenar los resultados de las operaciones de la multiplicación. NOTA.- La utilización de contadores automáticos en forma ramificada, es decir;

un contador externo juntamente con contadores internos se conoce como contadores anidados o ciclos anidados. VARIABLES A UTILIZAR F C R

: CONTADOR DE LA TABLA A DESARROLLAR. : CONTADOR INTERNO. : RESULTADO DE LA OPERACIÓN.

DIAGRAMA DE FLUJO

24

Contadores Automáticos

INICIO F= 1 -- 10 C= 1 -- 10 R=F*C R C F FIN

EJEMPLO N° 7 BOSQUEJAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA GENERAR LA SECUENCIA: 1 2 3 4 5

1 2 3 4

1 2 3

1 2

1

25

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

ANALISIS. Para la manipulación de una terminología comprensiva en la interpretación y manipulación de los números y posiciones en el respectivo programa a desarrollar, la serie se asemejará en notación a una matriz, por tanto, la misma estará constituida por filas y columnas. Este tipo de interpretación, lleva a tener que utilizar dos contadores automáticos, donde un primer contador se encargará de controlar el número de filas a desarrollar, es decir: 1 2 F= 3 4 5

1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 2 2 3 3 4

Un segundo contador que se encargará de controlar el número de veces que se debe repetir un determinado número, así: 1 1 2 3 4 5

2 1 2 3 4

C 3 1 2 3

4 1 2

5 1

Como el contador de columnas C debe ir variando en relación al número de veces a repetirse, es decir: en la primera fila se deberá contar hasta 5, en la segunda fila solo hasta el 4 y así sucesivamente, por tanto, se ha buscado la forma de poder relacionar las veces que debe repetirse el contador de columnas con la respectiva fila, la misma que responde a la forma: 6–F Esta expresión permite generar (como ya se mencionó) el número de repeticiones a realizarse por parte del contador, ya que cuando F asume el valor de 1 la expresión da como resultado 5, que es justamente el número de

26

Contadores Automáticos

repeticiones que debe realizar C, si F es 2 la expresión dá como resultado 4 y así sucesivamente. El programa el forma general no debe realizar ninguna operación, por el contrario su trabajo es simplemente mostrar a través de la pantalla el número que se encuentra almacenado en F en una cantidad igual a 6-F. VARIABLES A UTILIZAR F C

: CONTADOR DE FILAS. : CONTADOR DE COLUMNAS.

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO F= 1 -- 5 C = 1 - - (6 - F )

F C F FIN

27

CAPITULO 4 TOMA DE DECISIÓN

Como es ya de nuestro conocimiento, una toma de decisión permite dirigir el flujo de un programa en relación a dos posibles direcciones a ser tomadas. El cambio de dirección se consigue a través de una comparación lógica (toma de decisión ). El símbolo gráfico que se emplea para este hecho es:

SI

Cond

NO

Los siguientes programas que se presentan, permitirán comprender y practicar en la utilización de este símbolo y sobre todo, en la formación de expresiones que se utilizaran como tomas de decisión.

Tomas De Decisión

EJEMPLO N° 8 ESBOZAR

UN

DIAGRAMA

DE

FLUJO

QUE

PERMITA

DETERMINAR SI UN NÚMERO INTRODUCIDO POR TECLADO ES POSITIVO.

ANALISIS De acuerdo al planteamiento del problema, se necesitará en principio introducir un número por teclado, el mismo que deberá ser almacenado necesariamente en una variable para su posterior utilización. Por definición, un número es positivo si el mismo es mayor a cero, por tanto la condición que se debe cumplir para que sea positivo es: Cond  ( Numero > 0 ) VARIABLES A UTILIZAR A

: VALOR A SER INTRODUCIDO POR TECLADO.

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO A SI

A > 0

NO

POSITIVO

29 FIN

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 9 DISEÑAR UN

DIAGRAMA

QUE PERMITA

DETERMINAR EL

MAYOR DE DOS NÚMEROS.

ANALISIS Para el desarrollo del programa, como es lógico, se necesitará dos variables para almacenar los números introducidos por el usuario. Una vez conocidos los números y para determinar cuál de ellos es el mayor, se debe realizar una comparación entre los mismos, es decir: A>B

Si el resultado de la consulta es verdadero, el valor almacenado en A es el número mayor, pero si el resultado es falso, el número almacenado en B es el mayor. VARIABLES A UTILIZAR A B

: PRIMER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. : SEGUNDO VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO

DIAGRAMA DE FLUJO

30

Tomas De Decisión

INICIO

A, B

SI

A >B

EL MAY OR ES A

NO EL MAY OR ES B

FIN

EJEMPLO N° 10 DETERMINAR SI DOS NÚMEROS INTRODUCIDOS POR TECLADO SON CONSECUTIVOS EN FORMA ASCENDENTE.

ANALISIS Para poder desarrollar este diagrama, en principio se debe conocer qué se entiende por números consecutivos, por razonamiento: 1, 2, 3, 4, 5 ... son números consecutivos Por tanto, un número es consecutivo de forma ascendente de A, si al sumar la unidad a una determinada cantidad A se reproduce el número B. Por ejemplo, si se introduce dos variables A = 2 y B = 3, para que B sea consecutivo de A debe cumplirse: B = A +1

De no cumplir esta condición, los números introducidos no son consecutivos de forma ascendente

31

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

VARIABLES A UTILIZAR A B

: PRIMER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. : SEGUNDO VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO.

DIAGRAMA DE FLUJO

32

Tomas De Decisión

INICIO

A, B

SI

B = A+1

SON CONSEC UTIV OS

NO NO S ON CONSEC UTIV OS

FIN

EJEMPLO N° 11 DADOS TRES NÚMEROS ENTEROS. DETERMINAR CUÁL DE ELLOS ES EL NÚMERO MAYOR.

33

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

ANALISIS Como el programa en su inicio no conoce los números a ser comparados, por tanto, estos datos deberán ser solicitados al usuario. Este hecho, obliga a tener que utilizar tres variables (A, B, y C), que tienen por objeto almacenar los correspondientes números. Para determinar el mayor número introducido, por lógica, se deben realizar comparaciones entre los diferentes números, así: Si el número almacenado en A es el mayor, debe cumplirse qué: 1) A > B

y

2) A > C

En el caso de que solo se cumple la primera condición y no así la segunda, por lógica el número mayor se encuentra almacenado en C. Por otro lado, si los números no cumplen la primera condición y sí cumplen una tercera condición 3) B > C el mayor es B. Por el contrario, si no cumple la primera condición y no cumple la tercera condición, por tanto, el mayor número se encuentra almacenado en C. Empleando este análisis, ahora sí se puede diseñar el respectivo diagrama de flujo.

VARIABLES A UTILIZAR A B C

34

: PRIMER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. : SEGUNDO VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. : TERCER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO.

Tomas De Decisión

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

A, B, C

A>B

SI

A>C

NO

B>C

SI

NO NO

EL M AY O R ES C

SI EL M AY O R ES B

EL M AY O R ES A

FIN

EJEMPLO N° 12

35

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

ESTABLECER SI DOS NÚMEROS INTRODUCIDOS POR TECLADO SON

CONSECUTIVOS,

YA

SEA

EN

FORMA

ASCENDENTE O

DESCENDENTE. ANALISIS. Para el análisis se tomará como variables a introducir A y B, las mismas que se introducirán en forma correlativa, es decir; A es el primer número a ser introducido y B el segundo, en tal sentido, se pueden presentar los siguientes casos de números consecutivos: A=1 y B=2

ó

A=4 y B=3

El programa por tanto, deberá tener la capacidad de mostrar un mensaje indicando que los números introducidos son consecutivos, siempre y cuando se cumpla una de las siguientes condiciones: B = A + 1 si los números introducidos son consecutivos en forma ascendente. A = B + 1 si los números introducidos son consecutivos en forma descendente. En caso de no cumplir ninguna de las condiciones anteriormente señaladas, el programa mostrará el mensaje „No son consecutivos‟. VARIABLES A UTILIZAR A B

36

: PRIMER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. : SEGUNDO VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO.

Tomas De Decisión

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

A, B

B = A+1

NO

A = B+1

SI SON CONSEC UTIV OS

SI

NO NO S ON CONSEC UTIV OS

SON CONSEC UTIV OS

FIN

37

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 13 BOSQUEJAR UN DIAGRAMA DE FLUJO QUE PERMITA GENERAR LA SECUENCIA. 1 A 3 4 5

1 1 1 1 A A A 3 3 4

ANALISIS Como es de conocimiento, el programa necesitará dos contadores; el primer contador se encargara de controlar el número de filas a realizar y el segundo contador, el número de repeticiones internas o columnas. Como se puede observar, la serie no solo esta compuesto de números, por el contrario, también cuenta con caracteres alfabéticos (letras), por tanto, se deberá realizar una toma de decisión que permita diferenciar cuando se debe mostrar una letra y cuando un número, así: C 1

F

2

3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 A A A A 3 3 3 3 4 4 4 5 5

Del desarrollo, la presentación de los caracteres alfabéticos en la serie se debe realizar cuando el contador de filas alcance el valor de dos.

38

Tomas De Decisión

VARIABLES A UTILIZAR F C

: CONTADOR AUTOMATICO DE FILAS. : CONTADOR AUTOMATICO DE COLUMNAS.

DIAGRAMA DE FLUJO

39

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

INICIO F= 1 -- 5 C= 1 -- (6-F) SI

NO

F=2 'A'

F

C

F

FIN

EJEMPLO N° 14 TRAZAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA GENERAR LA SERIE. 5 4 3 2 1 4 3 A 1 3 2 1 40

Tomas De Decisión

2 1 1 ANALISIS Al igual que en problemas anteriores se utilizaran dos contadores en la generación de la serie. Como no existe ninguna normatividad de que los contadores de fila o columna necesariamente deben irse contando en forma ascendente, por tanto, en el presente problema cada contador se inicializará en cinco, los mismos se irán decrementando en uno hasta alcanzar un valor final de uno. Un desarrollo de la serie juntamente con los contadores a utilizar se tiene:

5 4 X 3 2 1

5 5 4 3 2 1

4 4 3 2 1

Y 3 2 1 3 2 1 A 1 1

Del desarrollo se observa que el carácter alfabético debe ser mostrado o presentado cuando el contador de filas x alcance el valor de 4 y el contador de columnas y asuma el valor de 2. Es en este sentido que para lograr la presentación del respectivo carácter se debe realizar dos tomas de decisión, la primera para determinar si el contador de filas presenta el valor de 4 y la segunda para determinar si el contador de columnas ya alcanzó el valor de 2. De resultar verdaderas las consultas realizadas, por tanto, se debe realizar la impresión del respectivo carácter. Por otro lado, para lograr que se cumpla la condición señalada, el valor de inicio del contador de columnas debe ser igual al valor almacenado en el contador de filas. VARIABLES A UTILIZAR X Y

: CONTADOR AUTOMATICO DE FILAS. : CONTADOR AUTOMATICO DE COLUMNAS.

41

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO X= 5 -- 1 Y= X -- 1 SI

X=4 NO

SI

Y=2 NO

Y

Y

'A'

Y X FIN

Hasta el presente sector, se ha realizado un gran avance en la compresión y diseño de diagramas de flujo, es así, que los conocimientos básicos adquiridos en relación:

42

Tomas De Decisión

-

al número de variables a utilizar.

-

cuando realizar una toma de decisión.

-

cuantas repeticiones deben efectuarse (Contadores automáticos).

nos abren las primeras puertas para poder desarrollar programas de utilidad o que presenten alguna aplicación práctica, aunque nuestros conocimientos por el momento solo nos permiten desarrolla problemas que presentan un grado mínimo de dificultad. En el afán de incentivar al estudiante y mostrar el grado de conocimiento adquirido, los siguientes dos problemas que se proponen son problemas de aplicación.

EJEMPLO DE APLICACIÓN N° 15

43

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

PLANTEAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA RESOLVER UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA: Ax2 + Bx + C = 0

ANALISIS Para resolver este tipo de ecuación, lo más práctico es el uso de la ecuación cuadrática: Ri 

 b  b 2  4ac 2a

El principal problema en la utilización de esta fórmula se encuentra en la expresión: b2 – 4ac De la cual se obtiene dos posibles situaciones: 1.Si el resultado de la evaluación de dicha expresión es un valor negativo, al tratar de realizar el cálculo de la raíz cuadrada, ocasionará que la computadora muestre un mensaje de error. Error que se debe (como es de suponer) a que no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Por tanto se concluye que la ecuación en cuestión presenta raíces imaginarias. 2.Por el contrario, si el resultado de la evaluación es igual o mayor a cero, se podrá calcular la raíz cuadrada y por tanto se concluye que las raíces que presenta la ecuación son reales. Del análisis; se deberá realizar una toma de decisión en el afán de conocer el camino a seguir, ya que si el resultado de la expresión (b 2 – 4ac) es menor a 0, las raíces son imaginarias, caso contrario se debe proceder al calculo de las raíces. El programa no se podrá ejecutar hasta que no se conozcan los valores de los coeficientes A, B y C, los mismos que deberán ser introducidos por el usuario. 44

Tomas De Decisión

VARIABLES A UTILIZAR A B C R R1 R2

: : : : : :

2

COEFICIENTE DE X . COEFICIENTE DE X COEFICIENTE INDEPENDIENTE CALCULO DEL RADICAL. PRIMERA RAÍZ. SEGUNDA RAÍZ.

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

A,B,C R=B^2-4AC

NO

R >= 0

IMAGINARIAS

SI

R=R^(1/2) R1=(-B-R)/(2A) R2=(-B+R)/(2A) R1, R2

FIN

45

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO DE APLICACIÓN N° 16. DISEÑAR

UN

DIAGRAMA

QUE

PERMITA

REALIZAR

UNA

SIMULACIÓN DEL SIGUIENTE PROBLEMA. Una bola se lanza para arriba con una velocidad inicial de 30 (m/s) a partir de una altura inicial de 5 (m). En un lugar donde h(t )  h(0)  Vo * t 

1 * g *t 2 2

la aceleración de la gravedad es igual a 9.81 (m/s 2). Sabiendo que: Determinar el tiempo necesario, para que la bola toque el suelo.

ANALISIS De acuerdo al problema planteado y en relación a la ecuación presentada, se trata de desarrollar un diagrama de flujo que permita resolver una ecuación de segunda grado. Reemplazando los valores de las diferentes variables en la ecuación, se tiene: h(t )  5  30 * t 

1 * 9.81* t 2 2

La generalización del problema, se puede conseguir a través de la manipulación de los datos señalados en el enunciado como variables, es decir: velocidad inicial, gravedad, altura inicial y altura final, valores que al ser reemplazados en la fórmula señalada, formarán en cada caso una nueva ecuación de segundo grado a resolver (ecuación que puede ser resuelta a través del diagrama de flujo anteriormente diseñado). A este proceso de generalización 46

Tomas De Decisión

o manipulación SIMULACIÓN.

de valores

constantes

como variables,

se denomina

VARIABLES A UTILIZAR 2

A B C V G Ho Hf R

: : : : : : : :

COEFICIENTE DE X . COEFICIENTE DE X COEFICIENTE INDEPENDIENTE VELOCIDAD INICIAL. GRAVEDAD. ALTURA INICIAL. ALTURA FINAL. CALCULO DEL RADICAL

T1 T2

: PRIMERA RAIZ : SEGUNDA RAIZ

DIAGRAMA DE FLUJO

47

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

INICIO

V,G,Ho, Hf A=(1/2)*G B=V C=Ho-Hf R=B ^2-4AC NO

R >= 0

IMAGINAR IAS

SI

R=R^(1/2) T1=(-B-R)/(2A) T2=(-B+R)/(2A) T1, T2

FIN

48

CAPITULO 5 OTRAS ESTRUCTURAS REPETITIVAS

En el diseño de diagramas de flujo, en muchas ocasiones uno se encuentra con la necesidad de realizar la repetición de un determinado bloque del diagrama hasta cumplir alguna condición. A este tipo de secuencias repetitivas se las conoce como SENTENCIAS REPETITIVAS. El tipo de condición a ser cumplida da origen a dos formas de sentencias repetitivas, así: -

Si la condición a cumplir para terminar la secuencia de repetición es de tipo numeral y entera, se las denomina CONTADORES MANUALES.

-

Si la condición a cumplir es diferente al numeral entero, se conoce simplemente como SENTENCIAS REPETITIVAS.

CONTADOR MANUAL. Un contador manual es una secuencia de números que deben ser generados por incremento o decremento de una cantidad a un determinado valor inicial, hasta alcanzar un valor final entero. La estructura que presenta un contador manual en forma gráfica puede ser una de las siguientes:

C=0

C = 0

C = C + 1

C=8

C = C+1 NO

C > 20 NO

SI SI

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

La diferencia entre las dos formas gráficas presentadas de un contador manual es: -

En el primer contador, primero se efectúa la toma de decisión y posteriormente se realiza el incremento o decremento de la respectiva variable consulta.

-

Por su parte, en el segundo contador primero se realiza el incremento o decremento de la variable consulta y posteriormente se realiza la toma de decisión.

SENTENCIAS REPETITIVAS. En una sentencia repetitiva, un determinado bloque se debe repetir hasta que se cumpla una determinada condición, condición que no necesariamente deben ser de tipo numérico, es decir: hasta que la respuesta a una consulta realizada se cumpla. Este tipo de sentencias son muy utilizadas cuando no se conoce el número de veces que debe ser repetido un determinado bloque. La estructura que presenta dicha sentencia en forma gráfica es la siguiente:

Resp N=N + 0.01 N > 0.35

Resp = 'Si' SI

NO

SI

NO

El conocimiento de este tipo de estructuras por parte del programador, le permitirá desarrollar diagramas de flujo mucho más íntegros y complicados.

50

Otras Sentencias Repetitivas

El objetivo que se persigue en los próximos programas, es realizar la práctica de este tipo de estructuras en la forma y de su utilización y nuevamente en las tomas de decisión a ser realizadas. EJEMPLO N° 17 PLANTEAR

UN

MULTIPLICAR

DIAGRAMA

DOS

DE

NÚMEROS.

FLUJO

QUE

PROGRAMA

PERMITA

QUE

DEBE

FINALIZAR SOLO SI SE INTRODUCE LA PALABRA ‘NO’ POR TECLADO.

ANALISIS El diagrama a desarrollar deberá basarse específicamente en la utilización de una sentencia repetitiva, esto se debe a dos situaciones fundamentales: 1. No se conoce de antemano la cantidad de veces que el usuario va a repetir el programa. 2. La condición para terminar el programa debe ser diferente al tipo numérico entero, esto debido a que el programa debe finalizar al introducirse por teclado la palabra „NO‟. Del análisis, en el desarrollo del diagrama se utilizaran cuatro variables; dos variables para almacenar los números a ser multiplicados, una tercera variable para almacenar el resultado y finalmente una cuarta variable para almacenar la respuesta introducida por el usuario al ser consultado “Continuará ? Si / No “. VARIABLES A UTILIZAR A B R RESP

: : : :

PRIMER NÚMERO. SEGUNDO NÚMERO. VARIABLE DE ALMACENAMIENTO. RESPUESTA DEL USUARIO.

51

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

A,B R=A*B R Continuara Si/No

RESP NO

RESP='NO' SI

FIN

52

Otras Sentencias Repetitivas

EJEMPLO N° 18 PLANTEAR

UN

DIAGRAMA

DE

FLUJO

QUE

PERMITA

DETERMINAR LA SUMA DE LA SIGUIENTE SERIE NUMÉRICA. S = 2 + 4 + 6 + 8 +10 + . . . N

ANALISIS En el desarrollo del siguiente programa, se utilizará un contador manual en el afán de tomar conocimiento de la forma de su utilización. Para un diseño adecuado del respectivo diagrama de flujo, es conveniente realizar un desarrollo del estilo de su generación o formación, así: S

=

2

+2 +2 +2 +2 + 4 + 6 + 8 + 10 ...

Del desarrollo: se hará uso de tres variables; la primera que deberá ser introducido por el usuario e indicará al programa el último número a ser generado (N). La segunda variable se encargará de formar los respectivos números o términos de la serie (2, 4, 6...), los mismos que se obtienen por incremento de un valor constante 2 al término anterior y finalmente, una tercera variable que será utilizada para almacenar el resultado de la suma de los diferentes términos formados (a este tipo de variable se la conoce comúnmente como acumulador).

53

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

VARIABLES A UTILIZAR S N T

54

: ACUMULADOR DE TÉRMINOS. : ULTIMO TÉRMINO A GENERAR. : TÉRMINO A INCREMENTAR.

Otras Sentencias Repetitivas

INICIO

N S=0 T=2

S=S+T NO

T=N

T=T+2

SI

S FIN

DIAGRAMA DE FLUJO

EJEMPLO N° 19

55

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

DISEÑAR UN DIAGRAMA DE FLUJO PARA OBTENER LA SUMA DE N TÉRMINOS DE LA SERIE.

S = 1 + 2 + 4 + 7 +11...

ANALISIS Para el desarrollo del diagrama, en principio debemos conocer como se forman los respectivos términos de la serie, por tanto, realizando un seguimiento de la misma se tiene:

S Térm.

=

+1 1 +

2

1

2

+2 +

4 3

+3 +

7 4

+4 + ... ...

N

Del desarrollo se puede concluir que serán necesarias cuatro variables: una primera para solicitar al usuario el número de términos a generar, una segunda variable para almacenar la suma de los términos generados (acumulador), una tercera variable para el término generado (1, 2, 4...) y una cuarta variable para generar los números del incremento (1, 2, 3, 4...). De igual forma se puede observar que cada término a generar proviene de la suma de un término anterior con un incremento determinado, es decir: si se suma al primer término (valor inicial 1) la variable de incremento (valor inicial de incremento 1), se obtendrá el segundo término de la serie (1 + 1 = 2). Esta secuencia de generación es la misma para todos los demás términos, ya que, si se toma el término generado 2 como valor inicial y se añade la variable incremento (incremento aumentado en uno, obteniéndose 2), se conseguirá el tercer término 4 y así sucesivamente. La secuencia termina cuando el número de términos generados (que en el presente caso es igual al valor del incremento) sea igual al valor solicitado por el usuario.

56

Otras Sentencias Repetitivas

VARIABLES A UTILIZAR N S INCR T

: : : :

NÚMERO DE TÉRMINOS A GENERAR. ACUMULADOR DE TÉRMINOS INCREMENTO DE LA SERIE. TÉRMINO A GENERADO.

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

N S=0 T=1 INCR = 1

S =S + T T=T+INCR NO

INCR=N

INCR=INCR+1

SI

S FIN

57

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

EJEMPLO N° 20 DISEÑAR

UN

DIAGRAMA

DE

FLUJO

QUE

PERMITA

DETERMINAR LA SUMA DE LA SERIE. S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13. . . HASTA ALCANZAR UN VALOR DE S = 500.

ANALISIS Un análisis de la forma de cómo se genera la serie nos permitirá determinar el número de variables a utilizar y la manera de proceder en el diseño del respectivo diagrama de flujo. Así: S = 1 + 2 + 3 + 0 + 1 = 1 A B C 1 + 1 = 2 A B C 1 + 2 = 3 A B C

5

Del desarrollo; un determinado término C, se obtiene a través de la suma de dos variables generatrices (A y B) las mismas que deberán inicializarse en A = 0, B = 1 y de esta forma generar el término inicial de la serie 1. Para la generación del próximo término 2, se debe realizar en principio la reasignación de los valores a las variables genéricas, es decir: la variable A deberá asumir el valor de B y B asumirá el valor del resultado C, este proceso se debe repetir hasta que la suma de los términos alcance un valor mayor o igual a 500.

58

Otras Sentencias Repetitivas

La toma de decisión debe ser mayor o igual a 500, debido a que en la generación y posterior acumulación de los respectivos términos de la serie, el programador no puede estar seguro de que la suma de los respectivos términos sea exactamente igual a 500, por tanto, para evitar esta indecisión es conveniente asumir que la suma será mayor a lo establecido o en el mejor de los casos el resultado será igual al valor señalado.

VARIABLES A UTILIZAR S A B C

: : : :

ACUMULADOR DE TÉRMINOS. PRIMERA VARIABLE GENERICA. SEGUNDA VARIABLE GENERICA. TÉRMINO A GENERAR.

DIAGRAMA DE FLUJO

59

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

INICIO S=0 A=0 B=1 C=A+B B=C S=S+C A=B S>=500

NO

SI

S FIN

EJEMPLO N° 21 DADOS

TRES

NÚMEROS

ENTEROS

INTRODUCIDOS

POR

TECLADO, DETERMINAR CUANTOS SON CONTINUOS YA SEA EN FORMA ASCENDENTE O DESCENDENTE.

60

Otras Sentencias Repetitivas

ANALISIS. Al igual que en anteriores ejemplos tomemos como variables a introducir A, B y C, las mismas que se introducirán en forma correlativa, es decir: A es el primer número, B el segundo y C el tercer número. De forma hipotética, si los valores introducidos por el usuario son: A=1 B=2 C=3 ó A=4 B=3 C=2 El programa deberá responder indicando que existen tres números consecutivos, por tanto se debe cumplir que: B=A+1yC=B+1

si los tres números son consecutivos en forma ascendente.

B=A-1 yC=B- 1

si los tres números son consecutivos en forma descendente.

Si por otro lado los valores introducidos son: A=3

B=4

C = 7.

A=4

B=3

C = 7.

O su variante El programa responderá que existen dos números consecutivos, debiéndose cumplir por tanto que: B = A + 1 para el primer caso B = A - 1 para el segundo caso Este mismo análisis se puede realizar para cualquier otra posición de dos números consecutivos, así: C=B+1

ó

C=B -1

Por otro lado, de los ejemplos tomados y analizados se observa que si los números son ascendentes se debe sumar la unida al valor anterior, pero si los números son descendentes se debe restar dicha unidad, por tanto, en el 61

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

diagrama este incremento se tomará como una variable en el afán de utilizar el mismo programa para determinar cuantos números son ascendentes o descendentes. VARIABLES A UTILIZAR A B C D E INC

62

: : : : : :

PRIMER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. SEGUNDO VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. TERCER VALOR A INTRODUCIR POR TECLADO. CANTIDAD DE NÚMEROS ASCENDENTES O DESCENDENTES. VARIABLE DE REFERENCIA. VARIABLE DE INCREMENTO.

Otras Sentencias Repetitivas

DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

A,B,C INC=1 E=0 SI

B=A +INC NO

C=B +INC

SI

NO

D=3

SI

C=B +INC

D=2

NO

D=0

NO

D=0

E=2

SI

E=E +1 INC=(-1 ) NO

E=2 SI EXIST EN D

FIN

EJEMPLO DE APLICACIÓN N° 22

63

El Mundo Perdido De Los Diagramas De Flujo

DISEÑAR UN

DIAGRAMA DE FLUJO PARA

RESOLVER LA

SIGUIENTE ECUACION NO LINEAL POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON. x

1 f ( x)  * e 3  Sen( x) 2

ANALISIS La iteración de Newton Raphson es un método para encontrar la raíz o raíces de una ecuación no lineal, este método utiliza la fórmula:

xi 1  xi 

f ( xi ) f ' ( xi )

Donde: f(xi ) es la función evaluada en xi f ‟(xi ) es la derivada de la función evaluada en xi El proceso se inicia con un valor inicial x0, el cual debe ser introducido por el usuario. Con ayuda de este valor y la fórmula se determina un próximo valor xi valor que genera dos posibilidades: 1. El valor obtenido es una raíz de la respectiva ecuación, y por tanto ya no es necesario realizar ninguna otra operación. 2. El valor x1, no es raíz de la ecuación. En tal sentido, se deberá repetir el anterior proceso pero tomando como valor inicial al valor calculado, es decir x1. Este proceso se repite hasta que la diferencia en valor absoluto (distancia) entre un valor calculado (xi+1) y un valor anterior a este (xi) sea menor o igual a un determinado error. d =  xi+1 - xi 