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Jhonny Albitres Infantes

Derivadas y sus Aplicaciones

DERIVADAS Definición de derivada. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

f ( a)  lím h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación instantánea. Ejemplo 1: Halla la derivada de la función f ( x) 

2 en el punto x  3 x 1

Podemos seguir los siguientes pasos: 1. 2. 3.

4.

2 2 1   ; 3 1 4 2 2 2 f (3  h)   3  h 1 4  h 2 1 4  1.(4  h) h f (3  h)  f (3)     4h 2 2( 4  h) 2(4  h) h 2(4  h) h 1 1 lím  lím  lím  h0 h  0 h  0 h 2 h( 4  h ) 2(4  h) 8 f (3) 

Ejemplo 2: Dada la función f ( x)  x 2 , halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 2. La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada:

m  f (2)  lím h0

f ( 2  h )  f ( 2) ( 2  h) 2  2 2 4h  h 2  lím  lím  lím( 4  h)  4 h0 h 0 h 0 h h h

Las coordenadas del punto son: Para x = 2, f(2) = 4 luego P(2, 4) Aplicando la fórmula de la ecuación punto-pendiente: y  y 0  m( x  x 0 )  Ejemplo 3: Calcular f ' ( 1) Si f ( x )  x 2 Por definición se tiene:

f ' ( 1) = lim h 0

f (1  h)  f ( 1) h

(1  h) 2  (1) 2 h0 h

f ' ( 1) = lim

1  2 h  ( h) 2  1 h 0 h

f ' ( 1) = lim

f ' ( 1) = lim h 0

h(2  h) h

f ' ( 1) =  2

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Interpretación geométrica de la derivada.

y  f (x)

f(a+h)

s

P f (a  h)  f ( a )

t

 f(a)



A

B

h a

a+h

La recta secante s, corta a la curva y = f(x), en los puntos A y P. Su pendiente es: tg 

PB f ( a  h)  f (a)  AB h

Si el punto P se va acercando al punto A, hasta confundirse con él, la recta secante s, se transforma en la recta tangente t y el ángulo  se transforma en el ángulo , es decir, Cuando P  A, que es equivalente a decir que h0, el límite de la recta secante s, es la recta tangente t Pero cuando   , tg  tg que es equivalente a Por tanto, tg  pendiente de t  lim tg  lím h 0

h 0

lím tg  tg h 0

f ( a  h)  f ( a )  f (a ) h

Queda probado que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Derivadas laterales. Las definimos por las siguientes fórmulas: Derivada por la derecha:

Derivada por la izquierda:

f (a  )  lím h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

f (a  )  lím h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

Para que una función sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales y estas ser iguales.

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x  2 si x  0 Ejemplo: Calcular la derivada f (0) si f ( x)   x  3 si x  0

f (0) si

Solución:

I)

Calculamos la derivada por la izquierda de x=0

f (0  )  lím h0

f (0  h)  f (0) sería la forma de calcular la derivada por la izquierda de cero. Para h

ello, seguimos la regla de los cuatro pasos. 1º) Calculamos f(0+h) y f(0): f(0+h)=0+h+2=h+2

y

f(0)=2 (ten en cuenta que h0)

2º) Calculamos f(x+h)–f(x). f(x+h)–f(x)=h–3–2=h–5. 3º) Calculamos f (0  h)  f (0)

h f (0  h)  f (0) h  5  h h 4º) Calculamos

f (0  )  lím h 0

f ( 0  h )  f ( 0) h

3

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f (0  )  lím h 0

Derivadas y sus Aplicaciones

f (0  h)  f (0) h5 5  lim     h  0 h h 0

es decir, no existe la derivada a la derecha de cero. Por lo tanto se concluye que la derivada f (0) no existe. Función derivada. La derivada de una función en un punto de abscisa x = a, asigna a dicho punto un número real, que es el valor de la derivada en dicho punto. También podemos considerar una función que asocie a cada punto x, el valor de la derivada en ese punto. Recibe el nombre de función derivada o simplemente derivada.

f ( x)  lím h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Ejemplo 4: Si f ( x )  x 2  1 Hallar f ' ( x ).

Solución Por definición de derivada se tiene: Si x  Df

f ' ( x)  lim

x  0

f ( x  h)  f ( x ) h

[( x  h) 2  1]  ( x 2  1) h0 h

f ' ( x)  lim f ' ( x)  lim h 0

x 2  2 xh  h 2  1  x 2  1 h

f ' ( x)  lim h 0

h( 2 x  h) h

f ' ( x)  lim( 2 x  h) h 0

f ' ( x)  2 x Derivación y continuidad. Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Ejemplo 3 f ( x)  x  2

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Derivadas y sus Aplicaciones

Veamos que esta función es continua en x = 2:

x  2 si x  2  0, es decir, si x  2 f ( x)  x  2    x  2 si x  2  0, es decir, si x  2 lim f ( x)  lim ( x  2)  0

x2

x2

lim f ( x)  lim ( x  2)  0

x 2

x 2

Los límites laterales son iguales. Y como f ( 2)  2  2  0 , la función es continua en x  2 Sin embargo no es derivable en dicho punto como vamos a ver:

f (2  )  lim

f ( 2  h )  f ( 2)  ( 2  h)  2  0  lim  1 h 0 h h

f (2  )  lim

f (2  h)  f (2) ( 2  h)  2  0  lim 1 h 0 h h

h 0

h 0

Existen las derivadas laterales pero como no son iguales, la función no es derivable en el punto x = 2. Derivadas de operaciones con funciones. Aplicando la definición de derivada se obtienen las siguientes fórmulas: Derivada de una suma o diferencia: ( f  g )   f   g 

( f .g )   f .g  g . f

Derivada de un producto:

 f g

Derivada de un cociente: 

  f .g  g . f   g2 

Ejemplo 4: Sean las funciones f ( x )  x 2 ;

f ( x)  lim h0

g ( x)  4 x

f ( x  h)  f ( x ) ( x  h) 2  x 2 x 2  2 xh  h 2  x 2  lim  lim h0 h0 h h h

es decir,

2 xh  h 2  lim(2 x  h)  2 x h 0 h 0 h g ( x  h)  g ( x ) 4( x  h)  4 x 4h g ( x)  lim  lim  lim 4 h 0 h0 h 0 h h h f ( x)  lim

Si sumamos las funciones y hallamos la derivada de la suma, resulta:

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  x 2  4 x

( f  g )( x  h)  ( f  g )( x) f ( x  h )  g ( x  h)  f ( x )  g ( x )  lim h 0 h 0 h h

( f  g ) ( x)  lim es decir,

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Derivadas y sus Aplicaciones

( x  h) 2  4( x  h)  x 2  4 x 2 xh  h 2  4h  lim  lim(2 x  h  4)  2 x  4 res h 0 h 0 h 0 h h

( f  g ) ( x)  lim

ultado que es la suma de las derivadas de las funciones por separado.

Derivada de una función compuesta: Regla de la cadena. Sea la función compuesta ( g  f )( x )  g[ f ( x ) ] Teniendo en cuenta que

( g  f )( x  h)  ( g  f )( x) g[ f ( x  h)] - g[ f ( x)] g[ f ( x  h)] - g[ f ( x)] f ( x  h)  f ( x)   . h h f ( x  h)  f ( x ) h g [ f ( x  h )] - g [ f ( x )] f ( x  h)  f ( x ) ( g  f ) ( x)  lim lim  g [ f ( x)]. f ( x) f ( x  h )  f ( x ) 0 h 0 f ( x  h)  f ( x ) h es decir, la derivada de la composición de f y g es el producto de la derivada de g en el punto f (x ) multiplicada por la derivada de f en el punto x.

( g  f ) ( x)  g [ f ( x)]. f ( x) Cálculo de derivadas. Aplicando la definición, a través del límite, y teniendo en cuenta la regla de la cadena, se obtienen las derivadas de las siguientes funciones: TIPO

FUNCIÓN

Tipo potencial

y  xa

DERIVADA y   ax a 1

y f

y   af

a

a 1

.f 

Ejemplos: y  x 4 ; y   4x 3  

y

x x2

1

;

1 x 2 3 y  2  x 2 .x  2  x 2 ; x

3

5

 3 1 3  3 1 3 1 3 3 y   .x 2   x 2   . 5   .   2 2 2 2 x 2 2 x5 2x x 2 x5 

y  (3 x 2  2) 5 ; y   5(3 x 2  2) 4 .(3 x 2  2)   30 x (3 x 2  2)



y  3 x2  3 ;



y

y  ( x  3) 2

1

1

3;

1 2 1 1 y   ( x 2  3) 3  ( x 2  3) 3 3 3

1 2 ; y  ( 2 x  5) ; (2 x  5) 2

y   2(2 x  5) 3 .(2 x  5)   2(2 x  5) 3 .2 

4 (2 x  5) 3

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TIPO

FUNCIÓN

Tipo raíz cuadrada

y

x

y

f

Ejemplo: 

y

x 2  3x ;

DERIVADA

y 

1

2 x f y  2 f

2x  3

y 

2 x 2  3x

TIPO

FUNCIÓN

ye Tipo exponencial

DERIVADA

y  e x

x

yef

y  e f .f 

y  ax

y  a x .La

yaf

y  a f . f .La

Ejemplos: y  ex ;  

y   e  x .( 1)  e  x y  e 3 x  2 ; y   e 3 x  2 .(3 x  2)   e 3 x  2 .3  3e 3 x  2 y  2 x ; y   2 2 x .L 2



y  5x



2

1

;

y  5 x

2

.( x 2  1) .L5  2 x5 x

1

TIPO

1

.L5

FUNCIÓN y  Lx

y  Lf

Tipo logarítmico

2

DERIVADA

1 y  x f y  f

y  log a x

y 

1 1 . x La

y  log a f

y 

f 1 . f La

Ejemplos:

  

(2 x 3  5 x)  6 x 2  5  3 2 x 3  5x 2x  5x 1 1 1  y  log 2 x ; y   . x L 2 xL 2 (4 x  1)  1 4 1 4 .  .  y  log 3 (4 x  1) ; y   4 x  1 L3 4 x  1 L3 ( 4 x  1).L3 y  L(2 x 3  5 x ) ;

y 

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TIPO

FUNCIÓN

DERIVADA

y  senx

y   cos x

y  senf

y   cos f . f 

Tipo seno

Ejemplos: y  sen(4 x  1) ;    

y   cos(4 x  1).( 4 x  1)   4 cos(4 x  1)

y  ( sen x) 3 ; y   3( sen x) 2 .( sen x)   3sen 2 x. cos x y  sen x 2 ; y   cos x 2 .( x 2 )   2 x cos x 2 y  sen 2 ( 2 x 3  2 x ) ; y  [ sen(2 x 3  2 x)] 2 ; y   2 sen(2 x 3  2 x).[ sen( 2 x 3  2 x )]  2sen(2x 3  2 x). cos( 2 x 3  2 x).(6 x 2  2) y  sen x ; 3

TIPO

FUNCIÓN

DERIVADA

y  cos x

y    senx

y  cos f

y    senf . f 

Tipo coseno

Ejemplos: y  

 cos 5 x ; y   sen5 x.(5 x)   5sen5 x

y  cos

x ; y    sen

x .( x )   

TIPO

1 2 x

sen x  

sen x 2 x

FUNCIÓN

y  tgx

DERIVADA

y 

1  1  tg 2 x = sec2x 2 cos x

y 

1 .f  cos 2 f

Tipo tangente y  tgf Ejemplos:  Y = tg10x;

y   sec 2 10 x.(10 x)   10 sec 2 10 x

y 

1 5 .(5 x)   2 cos 5 x cos 2 5 x



y  tg 5 x ;



y  tg 2 x ; y  (tg x ) 2 ;

TIPO Tipo cotangente

y   2tg x.(tg x)   2tg x.

y  ctgx

2tg x 1  2 cos x cos 2 x

FUNCIÓN

DERIVADA

y 

1 sen 2 x

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y  ctgf Ejemplos: 

y  ctg x 2 ;



y  ctg e x ;

y 

1 .f  sen 2 f

1  2x .( x 2 )   2 2 sen x sen 2 x 2 1  ex x  y  .( e )  sen 2 e x sen 2 e x

y 

TIPO

FUNCIÓN

DERIVADA

y  arcsenx

y 

y  arcsenf

y 

1 1 x2 1 1 f

2

.f 

1

y  arccos x

y 

y  arccos f

y 

y  arctgx

y 

1 1 x2

y 

1 .f  1 f 2

Funciones arco

y  arctgf

1 x2 1 1 f

2

.f 

Ejemplos:

y 



y  arcsen x 2 ;



y  arctg (e x ) ; y  



1 1  (x ) 2

2

.( x 2 )  

2x 1 x4

1 ex x  .( e )  1  (e x ) 2 1  e 2x 1 5 .(5 x)   y  arc cos 5 x ; y   2 1  (5 x) 1  25 x 2

Ecuación de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.

y  f (x)

f (a )

a 9

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Para halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = a, procedemos de la forma siguiente:  Hallamos el valor de la función en dicho punto, f(a) con lo que obtenemos el punto por donde pasa la recta tangente: ( a, f ( a ))  Calculamos la pendiente de la recta que es el valor de la derivada en el punto considerado:

m  f (a )

Aplicamos la fórmula de la ecuación punto – pendiente y  y 0  m( x  x 0 ) , es decir,



y  f ( a )  f ( a )( x  a )

Ejemplo 4: Ecuación de recta tangente a la curva f ( x )  x 2  3 x  1 , en el punto de abscisa x = 4 2 Para x = 4, f ( 4)  4  3.4  1  5 . La recta pasa por el punto ( 4,5)

 

f ( x)  2 x  3 ; m  f (4)  2.4  3  5



y  y 0  m( x  x 0 ) , por tanto, y  5  m( x  4) es la recta buscada. Ejercicios resueltos

1.- Deriva las siguientes funciones: a ) y  x 3 (2 x  1)5 ;

b) y 

2x  1 ; 2x  1

c) y 

2 x x 3

Solución: a) y  x 3 (2 x  1) 5

y   3x 2 (2 x  1) 5  5(2 x  1) 4 .2.x 3  3 x 2 (2 x  1) 5  10 x 3 (2 x  1) 4

2x  1 2x  1 2(2 x  1)  2(2 x  1)

b) y 

y 

c)

y

( 2 x  1)

2



4x  2  4x  2 4  2 (2 x  1) ( 2 x  1) 2

2  2( x 3  x) 1 x x 3

y   2( x 3  x)  2 (3x 2  1) 

 2(3x 2  1) ( x 3  x) 2

2.- Halla las derivadas de las funciones siguientes: a) f ( x )  Ln( 4 x  1) ; b) g ( x )  cos(3 x  1) 2 ;

c) h( x)  senx cos 2 x

Solución: a) f ( x )  L ( 4 x  1)

f ( x) 

4 4x  1

b) g ( x )  cos(3 x  1) 2

g ( x)   sen(3x  1) 2 .[(3x  1) 2 ]   sen(3x  1) 2 .2(3x  1).3  6(3x  1) sen(3 x  1) 2

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Derivadas y sus Aplicaciones

c) h( x)  senx cos 2 x

h ( x)  cos x cos 2 x  ( sen2 x.2) senx  cos x cos 2 x  2sen2 xsenx

3.- Demuestra, aplicando la definición, que la derivada de una constante es 0. Solución: Sea la función constante f ( x )  k Como la función es constante, f ( x  h)  k Entonces,

f ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) k k  lim  lim 0  0 h  0 h o h h

4.- Aplicando logaritmos, halla la derivada de la función y  x x Solución: Sería un error derivar como si fuese una función potencial. Estamos en el caso de derivadas del tipo y  f g que se resuelven aplicando logaritmos neperianos y derivando los dos miembros de la expresión resultante, es decir,

y  xx Aplicando logaritmos, Ly  Lx x  Ly  x.Lx Y derivando los dos miembros,

y y 1  1.Lx  .x   Lx  1 y x y

Despejando la derivada, y   y ( Lx  1) Y como y  x x se obtiene finalmente

y   x x ( Lx  1)

5.- Halla la derivada de la función y  L

x2 1 x2  1

Solución: Antes de derivar es conveniente desarrollar la expresión logarítmica:

yL

x2 1 x2 1

Teniendo en cuenta el logaritmo de un cociente, y  L( x 2  1)  L( x 2  1) Y ahora derivamos;

y 

2 x( x 2  1)  2 x( x 2  1) 2 x 3  2 x  2 x 3  2 x 2x 2x 4x     2 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) ( x  1)( x 2  1)

6.- Deriva y simplifica: y 

2x ( x  1) 2

Solución: Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

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y 

Derivadas y sus Aplicaciones

2.( x  1) 2  2( x  1).2 x ( x  1)[2( x  1)  4 x] 2( x  1)  4 x 2  2x    4 4 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) ( x  1) 3

7.- Deriva y simplifica: y 

e x  e x e x  e x

Solución:

y 

(e x  e  x ) .(e x  e  x )  (e x  e  x ) .(e x  e  x ) (e x  e  x )(e x  e  x )  (e x  e  x )(e x  e  x )  (e x  e  x ) 2 (e x  e  x ) 2

Realizando las operaciones del numerador,

y 

e 2 x  1  1  e 2 x  (e 2 x  1  1  e 2 x ) e 2 x  2  e 2 x  e 2 x  2  e 2 x 4   x x x 2 x x 2 (e  e ) (e  e ) (e  e  x ) 2

8.- Se considera la función

1 si x  0  f ( x)  x  1 si 0  x  2 2 x  1 si x  2 

Estudia si es derivable en los puntos x = 0 y x = 2 Solución:

0 si x  0  f ( x)  1 si 0  x  2 2 si x  2  Punto x = 0:

f (0  )  0 f (0  )  1 Las derivadas laterales existen pero no son iguales luego la función no es derivable en dicho punto. Punto x = 2:

f (2  )  1 f (2  )  2 Ocurre lo mismo, existen las derivadas laterales pero no son iguales. La función no es derivable en x = 2. 9.- Deriva y simplifica la función y  L

1  cos x 1  cos x

Solución: Antes de derivar desarrollamos el logaritmo:

1  cos x  1  cos x  yL  L  1  cos x  1  cos x 

1

2



1  1  cos x  1 1 L   L(1  cos x)  L(1  cos x) 2  1  cos x  2 2

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Derivadas y sus Aplicaciones

Y ahora derivamos:

y 

1  senx 1 senx 1   senx senx  1  senx  sen. cos x  senx  senx cos x .  .     . 2 1  cos x 2 1  cos x 2  1  cos x 1  cos x  2 (1  cos x)(1  cos x)

es decir, y  

1  2 senx  senx 1 .   2 2 2 1  cos x sen x senx

10.- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x)  x 2  x  1 en el punto de abscisa x = 2. Escribe la ecuación de dicha recta. Solución: La pendiente es el valor de la derivada: f ( x)  2 x  1 Pendiente: m  f (2)  2.2  1  5 Ecuación de la recta: y  y 0  m( x  x 0 ) Necesitamos las coordenadas del punto: Para x =2, f (2)  2 2  2  1  7 ; P(2, 7) La ecuación de la recta es, por tanto, y  7  5( x  2)

Ejercicios propuestos 1.- Deriva las siguientes funciones: a) f ( x) 

x3 ; x2 1

b) g ( x) 

2.- Deriva y simplifica: y 

3 : ( x  5) 2

c) h( x )  5 3 x

2

 2 x 1

2x  3 ( x  5) 2

3.- Deriva las siguientes funciones logarítmicas: y  L( 2 x 2  3x  1) ; y  L 2 x  3 ; 4.- Deriva y simplifica: y  L

y  log 2 ( x 2  5 x  6)

1  senx 1  senx

5.- Calcula: a) Derivada de f ( x)  x 4  4 x  1 en el punto de abscisa x = 1 b) Derivada de f ( x )  L( x  3) en x = 2 c) Derivada de f ( x)  cos(5 x  4) en x = 

x 2  2x  3 si x  2 6.- ¿Qué valores han de tener a y b para que la función f ( x)   2 ax  b si x  2 sea derivable en x = 2? 7.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y  3sen 2 x en el punto de abscisa x = 0.

13

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Derivadas y sus Aplicaciones

8.- Deriva la función y  3 (5 x  3) 2 9.- El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función s (t )  3t 2  t  1 donde s se mide en metros y t en segundos. Calcula la velocidad en el instante t = 2 segundos. 10.- Utilizando la definición de derivada, demuestra que la derivada de

y  ax es a.

x 2  1 si x  1 11.- Di si la función f ( x)  es derivable en x = 1.  2x - 2 si x  1 12.- Deriva y simplifica:

yL

(Sol.

1 x ; 1 x

yL

1 ; 1 x2

ax senx 1 x2 ; y ; y  arc sen mx ; y  arc cos ax 1  cos x 1 x2

2a ; a  x2

1 ; 1  cos x

2

m 1 m x 2

2

;

2 ) 1 x2

APLICACIONES DE LA DERIVADA VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Definición.- La función f:D

 R  R, tiene un valor máximo absoluto en f ( c ) donde:

c  D si f (c)  f ( x ), x  D

Definición.- La función f:D  R

 R, tiene un valor mínimo absoluto en f ( c ) donde:

c  D si f (c)  f ( x), x  D

Teorema: Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo absoluto en el intervalo cerrado [a, b]. Ejemplo: Sea y = x2 –2x +3 , x

 [1, 2]

Observación: Si el intervalo no es cerrado, el teorema no necesariamente se cumple. Por ejemplo: La función f(x) = 1/x es continua en < 0, 1> pero no tiene máximo

absoluto.

EXTREMOS DE UNA FUNCION Definición.- Decimos que f(c ) es un valor máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto < c-

 , c +  >, con  >0, tal que f(x) está definida y f(x) 

f( c) para todo x en < c -

 ,c

+ >

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Derivadas y sus Aplicaciones

Definición.- Decimos que f(c ) es un valor mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto < c-

 , c +  >, con  >0, tal que f(x) está definida y f(c) 

f(x) para todo x en < c -

 ,c

+  >.

Nota: Se llama extremo de una función a un valor máximo relativo o mínimo relativo de ella. Teorema: Sea f una función continua en el intervalo abierto y sea c

 < a, b>, si f(c ) es un extremo

relativo de f, entonces f’(c ) = 0 ó f’( c) no existe. Definición: Un numero C para el cual una función f esta definida y además f ' (C )  0 o no existe, le llamaremos Numero Critico o Valor Critico de f . Ejemplo: Encontrar los Puntos Críticos de: 1.

f ( x)  x 3  6 x 2  3

Solución Como f ( x )  x 3  6 x 2  3

f ' ( x)  3 x 2  12 x

Para hallar los números críticos de f , hacemos f ' ( x)  0 es decir:

3 x 2  12 x  0 x(3 x  12)  0

x  0  3 x  12  0 x  0 x  4

Por lo tanto los números críticos son  0,4. 2.

1

f ( x)  ( x  1) 2  2

Solución

f ' ( x) 

1 2 x 1

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Derivadas y sus Aplicaciones

Luego para hallar los Números Críticos se tiene que no existe f ' ( x ) por lo tanto

x  1 es un Número Crítico.

x 1  0

3.

f ( x) 

2x 2  2 x

Solución Como

f ( x) 

2x 2  2 2 2  x 2  1  2x   2  2  2 x x x x2

Los puntos Críticos se encuentran cuando f ' ( x )  0 o no existe. Si f ' ( x )  0

x2 1  0

f ' ( x) No existe cando x 2  0

x  1 (Valores Críticos) x  0 Sin embargo no es un Valor Critico, por que la

función f (x ) no esta definida en x  0 .

FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Las funciones que son continuas en un intervalo cerrado [a, b] y derivables en un intervalo abierto (a, b) tienen propiedades importantes. Teorema de Rolle. Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis: a) Es continua en el intervalo cerrado [a, b] b) Es derivable en el intervalo abierto (a, b) c) Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b) Entonces, existe un punto c(a, b) tal que f´(c) = 0, es decir, con tangente horizontal.

Teorema de Rolle Hipótesis: f es continua en [a, b] f es derivable en (a, b) f(a) = f(b) Tesis:  c(a, b) / f´(c) = 0 Demostración: Como f es continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza en dicho intervalo un valor máximo y otro mínimo. (Teorema de Weierstrass) Pueden darse dos casos:  Si el máximo y el mínimo están en los extremos, estos son iguales, ya que f(a) = f(b). Entonces se trata de una función constante y , por tanto, f (c)  0  Si el valor máximo o mínimo se encuentran en un punto c de (a, b) la función alcanza un máximo y un mínimo (teorema de Weierstrass) y como f es derivable en c, se cumple que f (c)  0 Ejemplo1: La función f: [1, 3]  R definida por f(x) = x2 – 4x + 11 verifica las siguientes hipótesis: a) Es continua en [1, 3] por ser polinómica b) Es derivable en (1, 3) por se polinómica. c) f(1) = 8; f(3) = 8 Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto. Veamos:

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f´(x) = 2x – 4;

Derivadas y sus Aplicaciones

f´(c) = 2c – 4 = 0  2c = 4  c = 2

El punto c esta en el interior del intervalo. Teorema del valor medio Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:  Es continua en el intervalo cerrado [a, b]  Es derivable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, existe un punto c(a, b) tal que

f (b)  f ( a)  f (c) ba

Teorema del Valor Medio Hipótesis: f es continua en [a, b] f es derivable en (a, b) Tesis:

 c(a, b)/

f (b)  f (a )  f (c) ba

Interpretación geométrica: Existe un punto en la curva cuya tangente es paralela a la cuerda. Demostración: Formamos la función h( x)   

f (b)  f (a ) x  f ( x) y aplicamos el teorema de Rolle ya que: ba

Es continua en [a, b] por serlo f. Es derivable en (a, b) por serlo f.

Además h( a ) 

y h(b) 

af (a )  af (b) af ( a)  af (b)  bf (a )  af (a) af (b)  bf (a)  f (a)   ba ba ba

bf (b)  bf (a ) bf (b)  bf (a )  bf (b)  af (b) af (b)  bf (a )  f (b)   ba ba ba

es decir,  h(a) = h(b) Como se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle, existe un punto c  ( a, b) tal que h(c) = 0, por tanto, si h ( x) 

h (c) 

fb)  f (a)  f ( x) , ba

f (b)  f (a ) f (b)  f ( a)  f (c)  0   f (c ) ba ba

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Derivadas y sus Aplicaciones

Ejemplo 2: La función f(x) = 3x2 es continua y derivable en todo R, podemos encontrar un punto, por ejemplo, en el intervalo (0, 4) cuya tangente a la curva sea paralela a la cuerda que une los puntos de abscisas x = 0; x = 4. f(x) = 6x; f´(c) =6c

f (c) 

f(0) = 0; f(4) = 48

f (4)  f (0) 48  0  6c   6c = 12  c = 2 40 40

Teorema de Cauchy. Si f y g son dos funciones continuas en [a. b] y derivables en (a, b), existe un punto c en (a, b) tal que

f (b)  f (a ) f (c)  g (b)  g ( a ) g (c ) Demostración: Nos ayudamos de la función auxiliar h( x )  f ( x)[ g (b)  g ( a )]  g ( x)[ f (b)  f ( a )] A esta función podemos aplicar el teorema de Rolle ya que   

Es continua en [a, b] por ser diferencia de funciones continuas Es derivable en (a, b) por ser derivable de funciones derivables. h(a) = h(b)

Derivando la función, h ( x)  f ( x)[ g (b)  g (a )]  g ( x)[ f (b)  f (a )] Y si h (c )  0 ,

f ( x)[ g (b)  g (a)]  g ( x)[ f (b)  f (a)]  0  f (b)  f (a ) f (c)  g (b)  g (a ) g (c )

(Siempre que g (b)  g ( a )  0 y g (c)  0 ) Ejemplo 3: Halla el valor de c del intervalo (1, 4) donde se cumple la tesis del teorema de Cauchy, siendo f ( x)  3 x  2 y g ( x)  x 2  1 Las funciones son continuas y derivables en todo R por se funciones polinómicas

f ( x)  3 ; f (c)  3 g ( x)  2 x ; g (c)  2c Valores de las funciones en los extremos del intervalo: f(1) = 5; f(4) = 14 g(1) =2; g(4) = 17 luego

14  5 3 9 3 45 5    ;   18c = 45  c  17  2 2c 15 2c 18 2

5  (1,4) 2

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Derivadas y sus Aplicaciones

Regla de L´Hôpital. Es una consecuencia del teorema de Cauchy y nos permite obtener fácilmente ciertos límites que, sin esta regla, resultarían complicadísimos. Esta regla dice: Si

lím f ( x )  0 , lím g ( x )  0 y existe lím xa xa xa lím x a

f ( x) entonces se cumple que g ( x )

f ( x) f ( x)  lím g ( x) x a g ( x)

Demostración: Si f y g son continuas en [a, x] y derivables en (a, x) se cumplirá :

f ( x)  f ( a) f (c)  donde c  ( a, x) (Teorema de Cauchy) g ( x)  g (a) g (c)

Pero

Si

f (a)  lím f ( x)  0 y g (a )  lím g ( x)  0 x a xa f ( x) f (c)  luego g ( x) g (c)

xa

entonces

ca

ya que c  ( a, x )

f ( x) f (c)  lím x a g ( x) c  a g (c ) f ( x) f (c ) Como existe lím por hipótesis, existirá también lím y ambos serán iguales. x  a g ( x ) c  a g (c ) f ( x) f ( x)  lím Queda, por tanto, que lím x a g ( x) x  a g ( x ) luego lím

La regla de L´Hôpital también puede ser aplicada al caso de indeterminaciones del tipo

 

.

Ejemplo 4:

1  cos x x 0 x2

lím

0 por lo que podemos aplicar la regla: 0 1  cos x  0  senx  0  cos x 1 lím     lím     lím  2 x 0 x  0 x  0 2x 2 2 x 0 0

Este es un caso de indeterminación del tipo

La regla puede aplicarse una o más veces, mientras se mantenga la indeterminación.

Ejercicios resueltos

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Derivadas y sus Aplicaciones

1.- La función f: [- 1, 1]  R definida por f ( x)  3 x 2 toma el mismo valor en los extremos del intervalo, f ( 1)  3 ( 1) 2  1 ; f (1)  3 12  1 Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. ¿Contradice esto el teorema de Rolle?.

Solución:

f ( x )  x  ( x) 3

2

2

3;

2 1 2 1 2 1 f ( x)  x 3  . 1  . 3 3 3 x3 3 x

Si intentamos anular la derivada resulta:

2 1  0  2 = 0 ¡absurdo! 33 x Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica. La función no es derivable en todos los puntos del intervalo. Concretamente, en el punto x = 0, no existe la derivada como podemos ver calculándola a través del límite:

f (0)  lím h 0

3 3 f (0  h)  f (0) h2  0 h2 1 3 1  lím  lím  lím  lím   h0 h0 3 h 0 h h h h 3 h 0 h

2.- Calcula b para que la función f(x) = x3 - 4x +3 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, b]. ¿Dónde se cumple la tesis?.

Solución: Por ser una función polinómica, es continua y derivable en todo R. y se cumplen las dos primeras hipótesis. Tercera hipótesis: f(0) = 3;

f(b) = b3 – 4b +3 = 3  b3 –4b = 0  b(b2 – 4) =0

Cuyas soluciones son b = 0; b = 2; b = -2 : La única solución válida es b = 2. ¿Dónde se cumple la tesis?: f´(x) = 3x2 – 4; f´(c ) = 3c2 – 4 = 0 

c 2

3

2x  2 si  1  x  1 2 3.- Comprueba que la función f ( x)   5  ( x  2) 2 si 1  x  4 Cumple las hipótesis del Teorema de Rolle. Averigua dónde cumple la tesis. Solución: En cada uno de los intervalos es una función polinómica que es continua y derivable. El único punto dudoso es x =1, luego hemos de estudiar la continuidad y derivabilidad en dicho punto: Continuidad:





lím f ( x)  lím (2 x  2)  4 ; lím f ( x)  lím 5  ( x  2) 2  4

x 1

x 1

x 1

x 1

Existe límite en dicho punto y vale 4. Además el valor de la función para x = 1, también es 4, luego es continua. Se cumple la 1ª hipótesis.

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Derivadas y sus Aplicaciones

Derivabilidad:

2 si  1  x  1 2 f (x)    2x  4 si 1  x  4 f (1 )  2 f (1 )  2 Las derivadas laterales son iguales, luego es derivable en x = 1 y se cumple la 2ª hipótesis.

1 Además, f ( 1 )  2( )  2  1 ; 2

2

f ( 4)  4 2  4.4  1  1

Como toma el mismo valor en los extremos del intervalo, se cumple la 3ª hipótesis. Veamos dónde se verifica la tesis:

2 si  1  c  1 2 f (c)    2c  4 si 1  c  4 Haciendo f (c)  0 , resulta: 0 = 2 que es absurdo. 0 = –2c + 4, es decir, c=2 La tesis se verifica en c = 2 4.- Siendo f(x) = (x – 2)2(x + 1), hallar un número c, en el intervalo (0, 4) de modo que se verifique el teorema del valor medio.

Solución: Como es una función polinómica, es continua y derivable en todo R, luego podemos aplicar el teorema:

f (b)  f ( a)  f (c) ba f(0) = (0 – 2 )2(0 + 1) = 4 ;

f(4) = (4 – 2 )2(4 + 1) = 20

f´(x) = 2(x – 2 )(x + 1 ) + 1. (x – 2 )2 = (x – 2 )[2(x + 1 ) + (x – 2 )] = (x – 2 )3x f´(c) = (c – 2)3c

20  4  (c  2)3c  3c2 – 6c = 4  3c2 – 6c – 4 = 0 40

21

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Derivadas y sus Aplicaciones

1  6  36  48 6  84 6  2 21  c    6 6 6  1 

5.- Prueba que la función

21 21

3

La solución válida es la 1ª.

3

3  x 2 si x  1  2 f ( x)   1 si x  1  x

satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 2] y calcula el o los valores vaticinados por el teorema.

Solución: La función es continua en el intervalo [0, 2]

- x si x  1  f ( x)    1 si x  1  x 2 f´(1-) = -1 f´(1+)= -1 La función es derivable en el punto de abscisa x = 1, único punto dudoso, luego se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio.

Aplicando la fórmula

f (b)  f (a )  f (c) resulta: ba

 c si c  1 f(2) = 1/2 ; f(0) = 3/2 , f (c)   1  c 2 si c  1 22

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luego

Derivadas y sus Aplicaciones

1  3  c si c  1 2 2   1 2  0  2 si c  1 c

De la primera ecuación se obtiene: –1/2 = -c  c = 1/2. Y de la segunda ecuación: -1/2 = - 1/c2  c2 = 2  c 

2

6.- Aplica el teorema de Cauchy a las funciones f ( x)  x 2  2 ; g ( x)  3x 2  x  1 en el intervalo [0, 4]

Solución: Las funciones son continuas y derivables por tratarse de funciones polinómica, por tanto,

f ( x)  2 x ; f (c)  2c g ( x)  6 x  1 ; g (c)  6c  1 Valores de las funciones en los extremos de los intervalos:

f (0)  2 ; f (4)  14 g (0)  1 ; g ( 4)  51 Entonces,

14  ( 2) 2c 16 2c 4 2c      51  (1) 6c  1 52 6c  1 13 6c  1

es decir, 24c + 4 = 26c  2c = 4 c = 2 La tesis se verifica en c = 2 7. – Resuelve el siguiente limite aplicando la regla de L’Hospital:

ax  bx lim x 0 x Solución:

a x  b x  a0  b0 1  1 0  a x .La  b x .Lb       lím  lím(a x La  b x Lb)  x 0 x  0 x 0 x 0 0 0 1 

lím

= a 0 La  b 0 Lb  La  Lb .

23

Jhonny Albitres Infantes

Derivadas y sus Aplicaciones

8.- Calcula los siguientes límites:

lim x 0

x  senx sen 2 x

;

lim ( x ln x)

x 0 

Solución:

1 Lx    x2 x lím ( xLx)  (0.)  lím     lím  lím  lím ( x)  0 x 0  x 0 1    x 0  1 2 x  0   x x  0  x x (Las indeterminaciones de la forma 0. se pueden resolver también aplicando L´Hôpital)

lím x 0

x  senx  0  1  cos x 1  cos x  0  senx 0     lím  lím     lím  0 2 x  0 x  0 x  0 2 senx. cos x sen 2 x cos 2 x.2 2 sen x 0 0

9.- Resuelve el siguiente limite: lim x 0

xsenx 1  cos x

Solución:

cos x  1. cos x  ( senx).x 2 xsenx 1.senx  x cos x  0  0     lím     lím  2 x  0 1  cos x senx cos x 1  0  x 0  0  x 0

lím

10. – Calcula

lim x x

x 0

Solución: Hacemos

A  lím x x x 0

y aplicamos logaritmos:

LA  lím  x.Lx   (0.) , es decir, x 0

1 Lx    LA  lím     lím x  lím ( x)  0 . x0 1    x0  1 2 x 0 x x Si LA  0 entonces e0 = A, es decir A = 1 y, por tanto,

lím x x  1

x 0 

e x  ex  2x x 0 x  senx

11. Calcula lim Solución:

e x  e x  2x  0  e x  ex  2  0  e x  ex  0  e x  ex lím     lím     lím     lím 2 x 0 x  senx 1  cos x 0  x0 senx 0  x0 cos x 0   x 0

Ejercicios propuestos 1.- ¿Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f ( x ) 

x 2  4x en el intervalo [0, 4]?. Razona la x2

contestación.

24

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Derivadas y sus Aplicaciones

2.- Comprueba si se verifica el teorema de Rolle para la función f ( x )  x 2  4 x  11 , en el intervalo [1, 3]. 3.- Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función f ( x )  x 2  3 x  2 en el intervalo [-2, -1]. (Solución: c = -3/2 )

4.- Calcula a y b para que

ax  3 si x  4 cumpla las hipótesis del teorema del valor medio f ( x)   2  x  10x  b si x  4

en el intervalo [2, 6]. ¿Dónde cumple la tesis? (Solución: a = 2; b = 19; c = 9/2 )

x 2  nx si x  2 5.- Se considera la función f ( x)  3 x  m si x  2 a. b.

Determina m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4, 2] Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema.

6.- Calcula lím x 0

x  senx x3

(Solución 1/6 ) 7.- Calcula el siguiente límite aplicando la regla de L´Hôpital:

2arctgx  x x  0 2 x  arcsenx

lím (Solución: 1)

 

2 8.- Calcula lím x 1  cos x 

1 0  transformándolo en un límite del tipo y aplicando después la regla de x 0

L´Hôpital (Solución: ½ ) 9.- Halla los siguientes límites:

lím x

1 1 x

;

x 1

lím x x x

(Solución: e-1; 1 )

APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento.

25

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Derivadas y sus Aplicaciones

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:  Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva  Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. Es decir, Si f (a )  0 

f es creciente en x  a Si f (a )  0  f es decreciente en x  a

f(a+h) t creciente f (a)  lím h 0

f(a) a

f ( a  h)  f ( a ) 0 h

a+h

Como f (a  h)  f ( a)  0  f ( a  h)  f (a ) ,es decir, la función es creciente en

f(a)

xa

decreciente

f (a)  lím

f(a+h)

h0

a

f ( a  h)  f ( a ) 0 h

a+h

En este caso f (a  h)  f ( a)  0  f ( a  h)  f ( a ) , es decir, la función es decreciente en x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente. Se procede de la siguiente forma:  Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante  Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.  Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes. Ejemplo 1. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  2 Hallamos la derivada: f ( x)  3 x 2  12 x  9 La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 3x 2  12 x  9  0  x 2  4 x  3  0

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Derivadas y sus Aplicaciones

4  16  12 4  2 3 x   2 2 1 Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos (,1) , (1,3) y (3,) Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, f (0)  9 , es decir, positiva Para x = 2, f ( 2)  3 , es decir, negativa Para x = 4, f ( 4)  9 , positiva La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + +    Función Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.  Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto c  ( a, b) , entonces

f (c)  0

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal  Si f (c)  0 y existe la segunda derivada, se verifica: Si f (c)  0 , hay un mínimo relativo en el punto c Si f (c)  0 , hay un máximo en dicho punto. Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si f (c)  0 la función y  f (x ) es creciente en c luego f (c  h)  f (c)  f (c  h) Y como f (c)  0 , f (c  h)  0  f (c  h) , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c. Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Consideremos una función f continua en [a, b] y sea c

 < a, b > un número critico y

f (x)

Está definida para todos los puntos de < a, b > excepto posiblemente en c, entonces:

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Derivadas y sus Aplicaciones

f (x)  0; x  a, c  i) Si   f (c) es un valor máximo relativo de f f (x)  0; x  c, b   f ( x)  0; x  a, c  ii) Si   f (c) es un valor mínimo relativo de f f ( x)  0; x  c, b  iii) Si f (x ) no cambia de signo, cuando x pasa por c entonces f( c ) no es un valor máximo ni mínimo relativo.

En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x 0. Si has llegado hasta aquí, seguro que sabes hacerlo

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Derivadas y sus Aplicaciones

19. Una ventana tiene la forma que indica la fig. ¿Cuál es la forma de la ventana para que entre el máximo de luz para un perímetro dado?

Solución: Sea: x = ancho; y = altura; A = área; P = perímetro.

A  xy 

2 x  x  x 2 ; P  x  2y     xy  2 2 2 8

Como A debe ser máximo;

dP 0 dx



xy  y 

dA  0 y como P es constante entonces dx

x 0 4

 1  2 y 

 0 2

resolviendo para y e igualando los resultados tenemos: x = 2y ( el ancho del rectángulo debe ser el doble de su altura).  x  2y

20. f(x)  x 4  14x 2  24x  1 Solución: Calculamos los puntos críticos (f’(x) = 0)

f' (x)  4x 3  28x  24 f' (x)  x 3  7x  6  0 (x  1)(x  2)(x  3)  0 Los puntos críticos son: -2, -1, 3 Calculamos los máximos y mínimos relativos f' ' (x)  3x 2  7 f' ' ( 2)  3(4)  7  5  0   mínimo relativo en f( 2)  9 f' ' ( 1)  3(1)  7  4  0   máximo relativo en f( 1)  12 f' ' (3)  3(9)  7  20  0   mínimo relativo en f(3)  -114

La función f(x) es creciente en

 2, 1 ,  3, 

La función f(x) es decreciente en

 ,2 ,  1, 3 

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21. Determinar a, b y c tales que la función definida por f(x) = ax 2 + bx + c, tenga un valor máximo relativo de 7 en 1 y la grafica y=f(x) pase por el punto (2,-2) Solución: Como (1,7) es un extremo relativo f' (1)  0 y'  2ax  b y'  2ax  b  0 f ' (1)  2a  b  0 .......... .......... ....(  )

Además (1,7) pertenece a la gráfica  f (1)  7  a  b  c  7 .................()

Como (2,-2) pertenece a la gráfica  f ( 2)  2  4a  2b  c  2 .................( )

Resolviendo los sistemas de ecuaciones ( )  () : 3a  b  9 ( )  ()  ( ) : a  9 ( )  2( ) : c  2  b  18

22. Se divide un alambre de 100 metros de longitud en dos segmentos de longitudes x y 100-x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. a.

Determinar el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar.

b.

Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo f es creciente y cuando es decreciente.

c.

Indicar razonadamente para qué valor de x se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima

Sol.

El área del triángulo, cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido es:

At 

1 .ladoxladoxsen 2

Es decir,

At 

1 x x x2 3 x2 3 . . sen 60  .  2 3 3 18 2 36

Para el cuadrado será: 2

10,000  200 x  x  100  x  AC  (lado ) 2     4 16  

2

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Derivadas y sus Aplicaciones

La función a minimizar es, por tanto,

f ( x) 

x 2 3 10000  200 x  x 2  36 16

a. El dominio de la función está formado por todos los valores mayores que 0 y menores que 100, es decir, D( f) =(0, 100) b. Primera derivada:

f ( x) 

2 x 3 2 x  200 x x 3 x  100 4 x 3  9 x  900     36 16 18 8 72

Si hacemos la 1ª derivada igual a cero,

x(4 3  9)  900  0  x 

900 4 39

 56,5

f f’

(0, 56’5) 

(56’5, 100) + 

Puede comprobares que eEn cualquier punto del intervalo (0, 56'5) la derivada es negativa , luego la función es decreciente. En el intervalo (56'5, 100) la derivada es positiva, luego la función es creciente c. En el punto x = 56'5 la derivada la función pasa de decreciente a creciente, por tanto, para dicho punto, la suma de las áreas es mínima. 23. a) Definición de derivada de una función en un punto b) Utilizando la definición de derivada, encuentra la derivada de la función

f ( x) 

3 x x2

en el punto x0 = 3. d) Encuentra la ecuación de la tangente a la curva

f ( x) 

3 x x2

en el punto de abscisa x0 = 3 Sol.

a) La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

f (a )  lim h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

33 6 32 3  (3  h) 6  h f (3  h)   3 h 2 1 h

b) f (3) 

f (3)  lim h0

f (3  h)  f (3) 5  lim  5 h 0 1  h h

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Derivadas y sus Aplicaciones

c) Hallamos la ordenada del punto: Para x = 3, y = 6, luego el punto es P(3, 6) Pendiente de la recta tangente: es el valor de la derivada, por tanto, m = -5 Aplicamos la fórmula de la ecuación punto-pendiente: y - y0 = m (x –x0), donde (x0, y0) son las coordenadas del punto La ecuación de la recta tangente queda de la siguiente forma: y -6 = - 5(x -3), o bien en su forma explícita: y = -5x + 21 23. En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto, G(x) en miles de so les, está relacionado con el salario, x en cientos de miles de soles, por medio de la siguiente expresión:

G ( x) 

20 x x2 1

b) Calcular razonadamente la cuantía del salario a la que corresponde el mayor gasto. c) ¿Cómo se comporta el gasto cuando el salario es suficientemente alto? Solución: a)

Se trata de determinar un valor de x para el que la función G(x) presente un máximo.

Para ello, derivamos la función, la igualamos a cero y determinamos los puntos críticos:

G ( x) 

20( x 2  1)  20 x (2 x) x2 1   20 ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2

Para que G (x ) valga cero, será suficiente que se anule el numerador:

x2 1 0

 x  1, x  1 .

La solución x = -1 carece de sentido físico en este problema; por ello, verificamos únicamente la solución x = 1. Para comprobar que se trata de un máximo, analizamos el signo de la segunda derivada:

G ( x)  20

2 x( x 2  1) 2  ( x 2  1)2( x 2  1) 2 x x2  3  40 x ( x 2  1) 4 ( x 2  1) 3

G (1)  0  existe un máximo en

x  1.

Luego el gasto será máximo cuando el salario sea 100 000 soles. b) Se trata de determinar Lim G ( x )  Lim x 

x

20 x 0 x2 1

Es decir, cuando el salario sea lo suficientemente alto, el gasto en ese producto tenderá a cero. EJERCICIOS PROPUESTOS I. Calcular las siguientes derivadas, usando definición 01. f ( x )  x 2  3x  2

02. f ( x ) 

03. f ( x ) 

04. f ( x ) 

4  x2

x 1

Ax  B Cx  D

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05. f ( x ) 

Derivadas y sus Aplicaciones

06. f ( x ) 

4  2x

2x  3

3

II. Calcular la derivada en el punto indicado usando la definición 01. f ( x )  1  x ,

02. f ( x ) 

a 7

III. Encuentre la expresión para f ( x ) o

dy dx

x6  3x 2  2 x 3 5 3. f ( x )  x 4

2. f ( x ) 

1. f ( x ) 

4. f ( x )  25x 2 

( x  4x ) ( x 5  8x 2 ) 2x  3 7. y  2 x  5x  5 1 x 9. y  1 x

x

 x3  1 

6. f ( x )  x 2 3 x 2 8.

f (x) 

10.

y

14. y 

15. y  ( x  1)( x  2 x)

a  x2

4x  6 x  3x  4 2

16. y  sen2 x  x 2 cos 2 3 x

2

 x 2  1  17. y    1  2x 

x 2

12. y  (3x 2  4 x  8) x  1

1  x3 1  x3 2

a b  3 x x x

4

 11. y   3  2x  1  3

6 x3

3

5. f ( x ) 

13. y 

x 3 , a2 2x  5

3

18. y 

1  2x 1 x2

IV. Determinar los puntos críticos, intervalos donde la función es creciente y decrecientes, los máximos y mínimos relativos.

1) f ( x )  x 4  14x 2  24 x  1

2)

3) f ( x )  x 3  3x  2 5) f ( x ) 

4)

x x 1

f (x) 

3

x 1 x  x 1 2

f ( x )  1  ( x  2)

4

5

3 2 6) f ( x )  2 x  6 x  18x  7

2

7) f ( x )  x ln x 9)

f (x) 

8)

f (x) 

( x  2)(8  x ) x2

(x 2  a 2 )2 .

V. Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada función, los puntos extremos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica y la dirección de la concavidad.

a) y = x3 - 3x2

b) y 

6x 2  x 4 9

c) y  ( x  1) 2 ( x  2)

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d) y 

Derivadas y sus Aplicaciones

( x  2) 2 ( x  4) 4

f) y  ( x  1) 2 ( x  3)3

f ( x )  4 x 3  3x 2  18x

i)

e) y 

x3 x 2   6x  8 3 2

g) y 

ex x

4 j) f ( x )  x 

h) f ( x )  3x 2  2 x  1

1 3 3 2 x  x 3 2

VI. Resolver los siguientes problemas 10)

Determinar los coeficientes “p” y “q” del trinomio cuadrado y  x 2  px  q , de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1.

11)

Determine a, b y c tales que la función definida por f ( x )  ax 2  bx  c , tenga un valor máximo relativo de 7 en 1 y la grafica y = f(x) pase por el punto (2, -2).

12)

Determinar los coeficientes a, b, c y d de tal forma que la función f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d tenga un máximo en (-1, 10) y un punto de inflexión en (1, -6)

a tenga un mínimo en x = 3. x

13)

2 Determinar la constante a de modo que la función f ( x )  x 

14)

Verificar que la función f ( x )  x  x 3 satisface a las condiciones del teorema de Rolle en los segmentos  1  x  0 , y 0  x  1 . Hallar los valores correspondientes de z.

15)

La función f ( x ) 

f (0)  f (4)  16)

3

3

( x  2) 2 en los extremos del segmento [0, 4] toma valores iguales

4 .¿ Es valido para esta función el teorema de Rolle en el segmento [0, 4]?

En el segmento de la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1, 1) y B(3, 9). Hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda AB.

17)

Hallar un valor x0 que cumpla las condiciones del T.V.M para las funciones:

 [0, 6] y = lnx ; x  [0, 2e]

a) y = x3 ; c)

x

b) y = ax2 + bx + c ; x

 [x ; 1

x2 ]

18) Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, de tal forma que su producto sea el mayor posible. 19) Torcer un trozo de alambre de longitud L, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor posible. 20) Un deposito abierto, de hoja de lata con fondo cuadrado, debe tener capacidad para 4 litros. ¿ Qué dimensión se debe tener dicho deposito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de hoja de lata.

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21)

Derivadas y sus Aplicaciones

Si un lado de un campo rectangular va a tener como limite natural un rió, halle las dimensiones del terreno rectangular mas grande que puede cercarse usando 240m de valla para los otros tres lados.

22)

Halle el número en el intervalo [0, 1] tal que la diferencia entre el número y su cuadrado sea un máximo.

23)

Determinar el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados, inscrito en la elipse de ecuación

x 2 y2   1 , y que tenga área máxima. a 2 b2 24)

Calcular las dimensiones (radio y altura) de una lata cilíndrica de un litro de capacidad cuya superficie total sea mínima.

25)

Se necesita construir un depósito de acero de 500 m 3, de forma rectangular con base cuadrada y sin tapa. Tu trabajo, como ingeniero de producción, es hallar las dimensiones del depósito para que su costo de producción sea mínimo.

26)

Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio ( a > 0)

27)

Hallar el volumen del cono circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio ( a >0).

28)

Calcular la distancia mínima del punto (6, 3) a la parábola de ecuación y = x2.

29)

Una empresa tiene 100 casas para alquilar. Cuando la renta es de 80 dólares al mes, todas las casas están ocupadas. Por cada 4 dólares de incremento de la renta una casa queda deshabitada. Cada casa alquilada supone a la empresa un coste de 8 dólares para reparaciones diversas. ¿Cuál es la renta mensual que permite obtener mayor beneficio?. 30) La compañía Envases de cartón S.A. ha recibido un pedido para hacer cajas para pizzas. Las cajas deben ser rectangulares y con tapa. El Licenciado Manuel Portillo, diseñador de la empresa, desea utilizar piezas de cartón de 20 por 50 pulgadas, haciendo recortes de cuadrados iguales como se muestra en la figura y doblando las líneas punteadas. El Licenciado Portillo necesita saber cual debe ser la medida del lado de los cuadrados que se van a recortar para obtener las cajas con el mayor volumen posible.

31)

Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?.

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32)

Derivadas y sus Aplicaciones

Un alambre de 100 cm. de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?.

33)

Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 Km. del punto B mas cercano de la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 Km. de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?.

34)

Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posible de material.

35)

Se divide un alambre de 100 metros de longitud en dos segmentos de longitudes x y 100-x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. d.

Determinar el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar.

e.

Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo f es creciente y cuando es decreciente.

f.

Indicar razonadamente para qué valor de x se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima

37) . Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesitan exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. Calcular

dy si: dx 01) y  x 2 2 x  3

02) y 

2  cos x 2  senx

2 03) y  x sen

1 1  x cos x x

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