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• Hernán Delgado

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Eduardo Mancera Martínez Eduardo Basurto Hidalgo

MATEBLOQUEMÁTICA D.R. 2016 por SIRVE S.A. de C.V. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico, de fotoreproducción, de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin previo y expreso permiso por escrito de SIRVE S. A. de C. V. ISBN: En trámite Número de registro: 03-2016-102010081900-14 SERVICIOS INTEGRADOS PARA RENOVAR Y VITALIZAR LA EDUCACIÓN S.A. DE C.V. Domicilio: Maricopa No. 10-201 Col. Nápoles CP 03810 México D.F.

MATEBLOQUEMÁTICA La forma de aprender matemáticas haciéndose la vida de cuadritos

Eduardo Mancera Martínez Eduardo Basurto Hidalgo

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Índice Introducción

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Una explicación del surgimiento del enfoque tradicional

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Bases de una forma diferente de enseñar matemáticas

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Los Bloques de Dienes

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Los números naturales

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Los números enteros

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Las fracciones

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Multiplicación y división de números enteros y expresiones algebraicas

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Ecuaciones lineales

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Ecuaciones de segundo grado

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Consideraciones finales

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Bibliografía

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Introducción Las nociones y procedimientos de las matemáticas parecen ser conocimientos reservados para quienes poseen cualidades especiales, buen razonamiento o memoria ¡así lo consideran muchos! Es lamentable esta idea errónea y difundida.

Tal vez por lo anterior, varios estudiantes transitan por sus cursos de matemáticas con la idea de que lo que logren es bueno, aprobar ya será un éxito aunque sea con la calificación mínima. Así que será mejor buscar continuar estudios en carreras u opciones de formación que no incluyan matemáticas.

Esto crea un ambiente que dificulta mucho la enseñanza de la asignatura, el maestro enfrenta frecuentemente grupos de estudiantes vencidos antes de abordar los temas y reactivos ante toda invitación a trabajar, su interés principal es aprobar a como sea.

Los alumnos en un acto de férrea disciplina, o por no tener opciones, se resignan a cursar la materia. Es algo por superar para seguir sus estudios. Pero no entienden la molesta conspiración en su contra.

La enseñanza de la matemática se ha caracterizado como una actividad docente donde se combate no sólo carencias de conocimientos previos, los alumnos parecen no haber asimilado nada de cursos anteriores, también se lucha contra la apatía y desinterés.

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Sin embargo, la tarea docente, sobre todo en la educación básica, va más allá de proporcionar conocimientos a los estudiantes, en la actualidad se considera una actividad destinada a crear en los estudiantes actitudes favorables hacia el conocimiento.

Cuando un maestro interactúa con estudiantes bien formados en la materia, con mínimas deficiencias, y con disposición al estudio, puede ser anulado por sus propios alumnos. En efecto, su influencia puede disminuirse casi totalmente por las características especiales de sus alumnos, quienes podrán avanzar con poca o sin la intervención del profesor.

Así tanto la sociedad, como el maestro y los alumnos tienen ideas incorrectas sobre lo que se requiere en los cursos de matemáticas y lo que implica la enseñanza y la construcción de nociones y procedimientos matemáticos.

La labor docente positiva se constata al observar que estudiantes, a pesar de no comprender los contenidos matemáticos, al final del curso pueden interactuar con dicho contenido con cierta eficiencia. Sólo así el maestro puede mostrar el nivel de profesionalización que posee. La enseñanza está destinada a atender, no solamente a los “buenos” estudiantes, sino a formar a los que tienen deficiencias e ideas distorsionadas sobre el conocimiento o carecen de éste, desafortunadamente constituyen la mayoría, pero son el principal objetivo de la labor docente.

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No es muy claro en que procedimientos podemos apoyarnos para tener éxito, en educación no hay caminos definitivos ni “recetas” exitosas, lo único ampliamente comprobado es que la situación actual no es la adecuada, es decir la clase tipo conferencia y la ejercitación indiscriminada.

Enseñar matemáticas no es sólo trasmitir información, implica desarrollar diversas estrategias y perspectivas para abordar el conocimiento. No es memorizar, este aspecto es en realidad mínimo, pues debe recordarse lo más importante y no cada aspecto aislado, resulta más importante desarrollar la imaginación, la intuición matemática o estrategias para resolver problemas.

La matemática no se generó por inspiraciones especiales o sortilegios divinos, implicó la involucración del individuo con su medio ambiente para entenderlo y modificarlo en su provecho, este es el secreto de toda didáctica. Encontrar actividades escolares que permitan al estudiante encontrar un contexto en el cual con sus herramientas personales puede abarcar diversas problemáticas y avanzar en la sistematización de elementos conceptuales y procedimentales para enfrentar sus problemáticas.

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5 En estas notas el maestro encontrará una forma, sólo una opción, para realizar su labor, partiendo de elementos muy sencillos para conducir la construcción del pensamiento aritmético y algebraico.

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Una explicación del surgimiento del enfoque tradicional La historia de la introducción de mejoras para la enseñanza de las matemáticas no ha sido tan compleja ni tan creativa. Realmente se sigue haciendo lo mismo y siguiendo esquemas tradicionales: 1. Informar cómo se denominan y hacen las cosas 2. Dar ejemplos de lo que se informó 3. Dejar amplias listas de ejercicios para entrenar a los estudiantes. 4. Si se puede, mostrar alguna aplicación. Esta es la secuencia de enseñanza que domina el ámbito escolar. A pesar de lo que se diga sobre la resolución de problemas, las aplicaciones, el alejamiento del enfoque memorístico, entre otras afirmaciones que generalmente se incluyen en planes y programas de estudio, en los cuales la permutación de temas o denominaciones diferentes de éstos suele ser la que dicen es la mayor aportación o innovación de los diseñadores. Aunque hay otros asuntos que se refieren a incorporar materiales educativos de manera obligatoria o el uso de dispositivos producto del avance tecnológico. Pero a pesar de todo, la enseñanza sigue el rumbo de las deficiencias y los fracasos escolares, creando problemas sociales importantes. La historia de la matemática o de las matemáticas nos ofrece elementos para reconsiderar nuestra perspectiva sobre la disciplina. En efecto ¿quién enseñó a quién? Cómo se difundieron los contenidos matemáticos en épocas donde no había ni lenguaje común, ni escuelas, ni maestros, ni otros recursos actuales en el ámbito de la docencia? Sin entrar en muchos detalles hay que reconocer que en un primer momento la matemática se iba desarrollando sin orden pues se generaban conocimientos para abordar diversas situaciones de interés personal o de una comunidad. En realidad no había matemáticos, eran personas más ligadas a la filosofía o a a otros campos del saber que les interesaban las relaciones cuantitativas y/o espaciales y se dedicaron a entenderlas, crear notaciones y procedimientos y a divulgarlas, si era necesario. Fue una etapa de creación sin consensos ni rigores lógicos necesariamente:

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7 Paralelamente las ideas que surgieron sobre explicar los sucesos a partir de elementos como el agua, el fuego, la tierra el aire, fueron motivando la reorganización del conocimiento con esa perspectiva lo cual dio origen a los Elementos de Euclides o la ética de Spinoza, pues fue un período que abarcó desde los presocráticos hasta el renacimiento.

Es así que se fue desarrollando paralelamente una idea de la matemática que se podría generar a partir de postulados y con ayuda de la lógica generar todo el conocimiento. Efue así que personajes como Arqímedes organizó su leyes de hidrodinámica a partir de postulados y demostró varias afirmaciones de la teoría y en “El método” hace una discusión sobre la manera de obtener “intuitivamente las relaciones entre los volúmenes de la esfera y, el cilindro y el cono, pero que después “formaliza” usando la geometría de su época. Es una etapa que tendía a la formalización del conocimiento matemático pero que tardó muchos años en ser desarrollada.

Las matemáticas de los siglos XVIII y XIX generalmente eran estudiadas de manera aislada o en cursos de las facultades o escuelas de ingeniería, como contenidos especiales y ligados fuertemente a problemáticas de la ciencia, pero también fue una época donde los contenidos matemáticos mostraron su potencial y la vida propia que tenían fue creciendo de manera importante, la comunicación entre personajes importantes en la historia de la matemática permitió ir formalizando y avanzando en conocimientos y procedimientos más rigurosos y sobre todo, más abstractos. El siglo XX fue la época donde el rigor matemático floreció y dio a la disciplina una importancia que mantiene hasta el momento. Un impulso fuerte para crear las escuelas y departamentos de matemáticas fueron las conflagraciones

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8 dada la importancia de generar nuevos artefactos militares y estrategias de guerra, lo cual impulsó también a la medicina y otras ciencias, así fue como los matemáticos se fueron organizando e incrementando sus reuniones y comunicaciones para difundir avances y polemizar en distintos temas. Fue la época del rigor en la matemática y la búsqueda de unidad en el conocimiento matemático.

Esta etapa del desarrollo de las matemáticas fue dominada por el grupo Bourbaki, formado por matemáticos de primera línea en el mundo, quienes se dieron a la tarea de reorganizar la matemática en una obra que recuerda a “los Elementos” de Euclides y que se denominó “Elementos de matemáticas”:

El grupo Bourbaki, tiene una historia fascinante y desarrolló sus actividades con reglas muy precisas y con la renovación constante de sus integrantes, pero este es un tema fuera del alcance de este texto. Alrededor de las ideas del grupo Bourbaki se expresaron aspectos de la nueva forma de ver a las matemáticas y se fue difunfiendo una idea del surgimiento de una “matemática moderna”, con la cual se terminaba una tradición y se iniciaba una nueva era, en esa época se sustentaban las nuevas ideas en expresiones como:

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Fue así que en la matemática reorganizada se trabajó en un esquema simple y atendió al desarrollo propio sin necesariamente tener que referirse a la relación con la realidad y haciendo de lado su génesis. Este pudo ser el principal motivo para no incluir a la matemática en los campos del conocimiento merecedores de un premio Nobel, pues dicho premio se dedica a personas que hayan llevado a cabo investigaciones, descubrimientos o contribuciones importantes a la humanidad, lo cual, aunque sea un tema polémico, no es el caso de la matemática, pues parte importante de los descubrimientos y contribuciones se orientan a su a su propio desarrollo (incluso hay una importante corriente de matemáticos que consideran que las matemáticas deben ser abstractas desligadas de todo y desdeñan lo que se trabaja en física o en otros campos del saber, aunque la International Mathematical Union, el IMU, la organización mundial más prestigiada de matemáticos, entrega premios a matemáticos sobresalientes en campos relacionados con la matemática aplicada). Ciertamente la matemática tiene un fuerte impacto en otros campos de estudio independientes, por ello se ha reconocido con el premio Nobel el trabajo de matemáticos en campos de estudio como la economía y la física. Hay varias historias sobre el tema, que incluyen infidelidades o la falta de interés o capacidad de Nobel en la disciplina, pero no es el caso discutir el tema en este espacio. El esquema de la “nueva matemática” es simple, se parte de términos indefinidos y se establecen axiomas, de los cuales, con ayuda de la lógica, se puede probar la validez de afirmaciones y se les da el estatus de teoremas, pero en lo que es importante llamar la atención es en lo siguiente:

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10 Esta afirmación es la base para desarrollar un sistema axiomático, que sigue un esquema como:

Fue así que para hacer sencillo este manera de hacer matemáticas se impulsaron “pequeños sistemas axiomáticos” vinculados con la realidad”:

Este esquema se introdujo en el ámbito educativo y se ha traducido en una forma de enseñar matemáticas, que se identifica como enseñanza tradicional:

Muchos docentes inician con un tema que parece no tener relación con nada de lo anterior o si la tiene no se entiende la relación entre lo anterior y lo nuevo, Se dice: Este tema es así, … estas son las reglas para encontrar tales resultados, … veamos algunos ejemplos y al terminar les queda de tarea hacer los siguientes ejercicios. Todo basado en símbolos y reglas que parecen salir de la nada, por eso hay que aprender todo de memoria y de ahí surge la creencia de que el buen matemático tiene una memoria muy buena. El símbolo no es el concepto, solamente es una representación de éste, pero se les identifica a concepto y símbolo, puede ser posible escribir símbolos con ciertas reglas de ordenación, pero eso no quiere decir que se esté trabajando algún concepto.

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Nada se puede avanzar si no se modifican las ideas sobre lo que es la disciplina y que de ella se requiere en las aulas, los especialistas luchan porque desde la educación básica se aprenda todo lo posible o lo que ellos juzgan más relevante, sin considerar que lograr eso les costó mucho esfuerzo y dedicación, asuntos que no es posible asegurar en la población estudiantil general. Se dice: “para enseñar matemáticas, hay que saber matemáticas”, verdad de Perogrullo engañosa, porque la disciplina tiene una historia que ha transitado por distintas versiones de lo que ahora se conoce como matemática, aunque la historia muestra una pluralidad de matemáticas ¿A cuáles de las matemáticas se refieren? De seguro no es a la que manejan los ganadores de medallas Fields (premio que entrega el IMU y se le ha dado un estatus similar al premio Nobel) ni la que deben estudiar quienes desean ser matemáticos profesionales, porque la matemática de las aulas se refiere a conocimientos comunes que comparten como bien cultural los ciudadanos y que les permite resolver algunos asuntos cotidianos y comunicarse adecuadamente en distintos campos del saber, además de lo que requieren para seguir avanzando en su preparación para obtener un grado escolar específico. La componente social en la educación es algo insoslayable que va más allá de los intereses disciplinarios. La forma de trabajo y el enfoque que se le ha dado a la matemática, fue parte principal en la educación con la denominada Reforma de la Matemática Moderna que afecto a los países de casi todo el mundo, pero que poco a poco se fue abandonando. Entre los críticos de esta tendencia está Morris Kline, quien la introducción de uno de sus libros platea que a Juanito le pregunta su maestra: ¿Cuánto es 3 + 2? Y el niño responde: 3 + 2 = 2 + 3, lo cual sirve de tema para una reflexión de Morris Kline: Lo cual es estrictamente cierto, pero casi siempre inútil si se trata de hacer el cálculo. La conclusión implícita es que Juanito conoce la ley de la conmutatividad de la suma, pero no tiene idea de cómo llegar a 5 pasando por 2 más 3. El énfasis en las estructuras matemáticas alejó a la educación de sus fines sociales más importantes, fue un duro golpe a la enseñanza de las matemáticas.

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Es paradójico que un enfoque tan relevante para el desarrollo de una disciplina no haya tenido tanto impacto en la formación educativa. Pero, no resulta extraño, pues el enfoque actual de la matemática tiene que ver con una puesta en orden en la disciplina y fue un trabajo realizado por los mejores representantes del campo de estudio. En la educación el interés no es reconocer esa unidad y fortaleza del rigor matemático, sino difundir la ideas que tienen relación con el pensamiento cuantitativo y espacial, generalmente referido a situaciones presentes en varios contextos de la vida y que tiene una fuerte componente de herencia cultural Pues como indicó Alan Bishop, hay actividades humanas que están presentes en todas las culturas:

Es decir, en educación el interés no es la disciplina y el rigor, sino la formación del pensamiento vinculado a relaciones cuantitativas y espaciales, lo cual tiene fuertes vínculos no sólo con el método deductivo, sino con la inducción la analogía, que si bien son herramientas del matemático para encauzar sus exploraciones antes de formalizar sus hallazgos, no están presentes la presentación acabada y aparentemente completa de las estructuras matemáticas. La formación del individuo es lo que atiende la educación y no es el individuo aislado sino como parte de una sociedad. Es una actividad social que involucra el contenido matemático, pero que las problemáticas internas de la disciplina no están presentes ni tienen sentido necesariamente. La diferencia entre aplicar matemáticas y desarrollar la matemática fue expuesta de forma condensada y muy clara por Albert Einstein:

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Buena parte de las “aplicaciones” que se presentan en la educación tienen consideraciones que se requieren para utilizar matemáticas básicas, fuerzas que actúan sin rozamiento, rayos solares que inciden paralelamente en la superficie terrestre, conejos que se dicen reproducir bajo una secuencia numérica, etc. Situaciones que en la realidad son muy complejas y que con recursos de matemática básica pueden ayudar a enfrentar algunos problemas de manera satisfactoria, pues aunque las respuestas son aproximadas o cercanas al resultado preciso, suelen ser de mucha ayuda en la toma de decisiones y en el conocimiento de aspectos esenciales de la naturaleza. Podemos llamar a este conocimiento “contenidos o principios fundadores”:

Por otra parte, hay contenidos de la matemática cuya relación con la realidad es casi nula, en efecto, en el desarrollo de la teoría fue necesario incorporar a los números con signo o a los números imaginarios o irracionales para darle más fuerza a la teoría, son conceptos y generaron procedimientos para el desarrollo de la propia matemática, a los cuales podremos llamar “contenidos o principios disciplinarios”:

Muestra de ello fueron las discusiones sobre los números con signo que se generaron entre matemáticos distinguidos de diversas épocas: 13

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Pero que de alguna manera tuvieron que imponerse las nuevas estructuras para favorecer el desarrollo de la teoría:

Entonces hay dos tipos de contenidos, unos que se pueden relacionar con algunas problemáticas de “aplicación” y otros que difícilmente se pueden vincular con el mismo tipo de situaciones y responden a necesidades de la teoría. La tarea docente implica hacer plausibles tanto los contenidos o principios fundadores como los disciplinarios. Una forma de lograr este propósito es con el uso de materiales manipulativos, calculadoras y otros dispositivos:

Los materiales que se emplean en clase son un mediador entre el estudiante y el conocimiento matemático pues el material le permite percatarse de relaciones importantes que después constituirán las bases del contenido matemático y simbólico que debe trabajar el estudiante. El papel del maestro es vital, pues es quien diseña la experiencia que deberá tener el estudiante, ya sea de manera individual o grupal y es quien decide los momentos importantes y los señalamientos que se requieren en la construcción del concepto o proceso matemático de interés. Los materiales y dispositivos, sin el maestreo y sin su planeación no tienen sentido.

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Bajo el enfoque tradicional de enseñanza de las matemáticas se han formado varias generaciones y se siguen formando aún, aunque las declaraciones de planes y programas de estudio consignen lo contrario. Su influjo ha sido tal que libros creados en esa tendencia siguen siendo demandados por maestros, padres de familia e incluso alumnos. Sin embargo, los avances científicos, tecnológicos y los cambios económicos requieren más habilidades a las futuras generaciones, es así que el cambio es imprescindible, pero no requiere aspectos que no hayan sido considerados, en parte basta con seguir las recomendaciones pedagógicas básicas y atender prioritariamente el desarrollo de habilidades o competencias en los estudiantes, lo cual lamentablemente no se ha logrado traducir en propuestas docentes viables o fiables, el esfuerzo se ha realizado, pero queda por avanzar y debemos apoyarnos todos, porque la educación es algo tan importante que no puede ser labor de una sola persona, requiere la conjunción de esfuerzos y el trabajo colegiado. Por ello se elaboró este material, para intentar proponer un camino para modificar la enseñanza tradicional a partir de supuestos básicos de las corrientes constructivistas y tratando de ofrecer contextos en donde los estudiantes, con un solo tipo de material manipulativo puedan dar sentido a relaciones, conceptos y procedimientos de la aritmética o el álgebra. Esperamos que para nuestros colegas maestros esto constituya una referencia para su trabajo futuro o, lo que es más importante, para generar ideas propias para el diseño o desarrollo de propuestas didácticas.

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Bases de una forma diferente de enseñar matemáticas Hay consignas pedagógicas que subsisten desde Comenius o Pestalozzi

Son Consignas que todos reconocen como una guía necesaria en la enseñanza y que han sido repetidas hasta el cansancio en la formación de docentes: Ir de lo sencillo a lo complejo Ir de lo particular a lo general, Sin embargo, su aplicación está muy lejos de ser realidad en la didáctica tradicional. Pues al iniciar se parte de símbolos abstractos (es decir, se parte de lo general) luego se dice como se usará o que se hará con esos símbolos (se dan reglas que no se comprenden y no se entienden) para continuar con ejemplos y ejercicios simbólicos (se llega a lo particular pero en un nivel también abstracto).

Hay varias consignas que se deben tomar en cuenta en la elaboración de propuestas didácticas: 1. Lo nuevo debe parecerse a lo anterior. 2. Lo nuevo debe iniciarse con actividades simples y comprensibles, pero sin simbología convencional o estereotipos. 3. Las actividades deben iniciarse con datos sencillos y paulatinamente se van complicando. 4. La búsqueda de caminos cortos es crucial para que el alumno reconozca métodos generales. 5. La simbología debe iniciarse con la que el alumno considere conveniente. 6. El último paso debe ser la incorporación de la simbología tradicional y convencional.

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Supuestos constructivistas El fundamento del uso de materiales manipulativos se puede relacionar con algunas posiciones constructivistas. No es el caso revisar algunas, pero se considerarán, de manera informal, algunos de sus supuestos básicos. Esto siempre trae consigo la simplificación de conceptos importantes o complejos que pueden conducir a interpretaciones inadecuadas, sin embargo, vale la pena un esfuerzo de síntesis para comprender las etapas que se considerarán. Un aspecto principal es que el conocimiento se construye, esto es muy importante, dado que implica que los conceptos y procedimientos no se “aprenden” de manera instantánea y para siempre; esto es, no se “aprenden” de manera definitiva y permanecen estables en nuestra mente. Aprender, proviene del latín apprehendere, se compone por el prefijo ad (hacia), el prefijo prae (antes) más el verbo hendere (atrapar). En este sentido, el conocimiento estaría por ahí, solamente bastaría descubrir dónde está y atraparlo. Estas son ideas que provienen de Platón:

Así aprender y adquisición, en el contexto del conocimiento consiste en tomar un conocimiento para sí, esto trae consigo una idea estática del conocimiento: ahí está, siempre ha estado, descúbrelo y atrápalo. Da lo mismo tomarlo ayer, hoy o mañana, pero una vez que se descubre se toma de una vez y para siempre.

Esta idea platónica permanece aún en los círculos científicos, a pesar de que se sabe que siempre se descubren aspectos nuevos de lo que supuestamente ya se aprendió. A la idea de “aprender” se contrapone la de “construcción de conocimientos”, puede ser como la construcción en arquitectura, implica un proceso de en el cual se hacen los cimientos y sobre esa base se van creando los muros, las

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18 columnas que cargarán la estructura, los pisos, se coloca pinturas y herrajes, pero si los cimientos o las columnas son deficientes todo se viene abajo, aunque quedan partes en buen estado posiblemente y se aprovechan para un nuevo intento. Pero en sentido diferente de la arquitectura no se puede asegurar que se obtenga un resultado final satisfactorio, pues siempre habrá quien imponga cambios en lo que se logró y puede resultar un penoso proceso interminable. Para elaborar cimientos y todos los elementos de la construcción se pueden aprovechar diversos materiales y de acuerdo con la elección de estos el proceso constructivo puede tener buena forma y aproximarse a lo que se tenía pensado. De acuerdo con este ejemplo, cuando se habla de construcción del conocimiento, se parte de una base y se usan diversos recursos (materiales o dispositivos) para construir nociones o procedimientos. En esta analogía se parte de algo que puede ser endeble o no, solamente la experiencia lo podrá establecer o el buen conocimiento que se tenga de las bases empleadas, se realizan acciones para ir colocando piezas y analizar lo que se va desarrollando, si algo se hace mal, habrá que retroceder y hacer las cosas de otra manera, tal vez con otros materiales. Por ejemplo, el concepto de número natural es algo que todos conocemos, sin embargo, no siempre se tiene una idea completa de lo que implica éste. Por ejemplo ¿será posible que los números tengan a relación con formas geométricas? Los pitagóricos ya conocían este tipo de configuraciones:

O que ciertas operaciones con números nos dan regularidades muy interesantes:

¿Sabía que dadas las propiedades de la serie numérica se clasificaron los números de distintas formas, por ejemplo los números amigables, dichos números tienen la propiedad que los divisores de uno suman el otro número:

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19 Mucho a ocurrido con el sistema numérico que manejamos cotidianamente, pero tal vez sabemos poco de las relaciones que se pueden establecer con dichos números y que no van modificando la concepción que tenemos de éstos. El concepto de número no se adquiere de golpe, es algo que se procesa durante períodos largos de tiempo y cada vez que se profundiza en éste se encuentran aspectos nuevos. La historia de la matemática ofrece varios ejemplos sobre este punto. Se renueva constantemente lo que se sabe, cada oportunidad, enriquecemos esos saberes con experiencias nuevas. Otro ejemplo, las fracciones también se comportan como medidas:

Pero si la “m” representa medios ¿de qué? De una medida establecida, el metro en realidad es la referencia a una medida, pero se pudo haber usado cualquiera para “adjetivar” la cantidad o “denominar” la cantidad. Así que si la “m” representa medios tendríamos:

Es así que las fracciones pueden considerarse también como unidades de medida y siguen las mismas reglas que los números naturales “adjetivados” u “denominados” (tal vez esta sea la razón para llamar al número de arriba de la fracción “numerador” y al de abajo “denominador”)

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20 Las nociones se van reformulando con el tiempo y de acuerdo a lo que nos acontece. Esto sucede incluso con nociones que consideramos básicas y pueden resultar sencillas. Se puede decir que nos acercamos al conocimiento por aproximaciones sucesivas, en un camino en el que no necesariamente se tienen avances constantes, puede haber retrocesos. Los conceptos se van construyendo poco a poco, en un proceso que puede no tener fin, son acercamientos sucesivos. Imaginemos esta situación como la construcción de un rompecabezas con muchas piezas, en cierto momento, aún sin terminar, podemos conjeturar cómo será la forma final, pero nos faltan piezas por acomodar para constatar lo que suponemos.

Tenemos una idea de lo que se tiene que lograr pero no necesariamente es definitiva, esta idea será mejor a medida que se coloquen correctamente otras piezas. Otro supuesto importante es que los conceptos se construyen por medio de procesos en los que intervienen acciones. La “actividad” es fundamental, al principio lo mejor es realizarla con objetos definidos, tocarlos, tratar de ver si tienen partes en común, si se pueden aparejar, si ayudan a formas un objeto deseado a su representación, en suma formar con distintas “partes” un “todo” y a la vez describir lo que se formó. Matemáticas es un conocimiento caracterizada por conceptos abstractos, por ello es indispensable seguir las viejas consignas pedagógicas antes mencionadas y comenzar con situaciones que el estudiante pueda realizar directamente sin la preocupación en símbolos y reglas, casi como un juego:

Así paulatinamente realizará indagaciones sobre los materiuales que manipula y paulatinamente conformará ideas o imágenes mentales que darán significado a sus acciones y que en cierto plazo deberá realizar mentalmente o simbólicamente. Es un camino en el cual se transita por diversos planos conceptuales y representaciones. Bruner planteó diversas etapas en este tipo de enfoque:

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Es un camino en el cual el alumno pasa por diversas situaciones en las que va conformando imágenes mentales de los conceptos, hasta llegar a entender las convenciones en simbología y procedimientos que se adoptan en la teoría. Es importante que los alumnos realicen actividades con materiales que puedan “manipular” y que tengan reglas sencillas de manejo, de tal modo que el maestro puede diseñar actividades con ellos que permita al estudiante ir conformando las nociones que interesa abordar, ya se aclarará este punto más adelante. No es un aspecto sencillo, realmente es complicado, pero no imposible y a fin de cuentas es la labor que constantemente se enfrenta en la docencia. Podemos plantear una serie de acciones para el diseño didáctico que pueden ser etapas secuenciales o pueden considerarse como mejor se piense de acuerdo con la situación específica que se enfrente. No son sugerencias rígidas, sólo pretenden mostrar el tipo de acciones docentes que se requieren antes de arribar a los conocimientos abstractos.

Espontaneidad Se le proporcionan materiales a los estudiantes para que libremente los manipulen, se familiaricen con ellos y encuentren relaciones entre ellos y partes de ellos.

En este nivel se maneja el lenguaje coloquial y no se asocian las piezas de los manipulativos a ninguna noción ni símbolo, el lenguaje cotidiano es importante para que describan lo que están haciendo.

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Es importante que redacten instrucciones o descripciones de lo que realizan y se intercambien estos documentos entre ellos a fin de que con dichas instrucciones reproduzcan lo que elaboraron otros estudiantes: Se forma un rinoceronte con el rectángulo mayor, debajo se colocan los cuadrados que siguen de tamaño de los más pequeños, como las patas … No hay reglas explícitas, se trata de una exploración libre. Es una actividad centrada en el material y sus características. Pero es muy importante que describan y argumenten lo que hacen con el material, pues de esta forma tendrán que denominar partes o piezas del material que manipulan y reconocer algunas relaciones entre ellas: con dos de lo cuadrados pequeños se forma el rectángulo más pequeño, …

Indagación En este apartado se intenta que los estudiantes logren identificar regularidades o equivalencias entre las configuraciones que manejan. El maestro indica que elaboren una figura, un diagrama una configuración o lo que se requiera para comenzar el camino de ir identificando y expresando las relaciones que se han encontrado y utilizar pocas palabras o términos propios para referirse a las composiciones que se realicen: coloquen de acuerdo con el tamaño las piezas e indiquen si una tiene relación con otra.

Se trata de propiciar el uso de abreviaturas para dar las instrucciones de lo que el maestro pide que se realice y se comparen los procedimientos, empleando un lenguaje más sintético, pero tratando de que sean los mismos términos o códigos, además de establecer si se puede hacer de varias formas: hay una secuencia de figuras, dos cuadrados pueden formar un rectángulo, por el ejemplo si unimos dos CCH (cuadrados chicos, los más pequeños), se 22

23 forma RCH (el rectángulo más pequeño), con dos RCH se forma el C2RCH, …

Hay una regularidad evidente: cuadrado, rectángulo, cuadrado rectángulo, … y la pieza que sigue se obtiene de las anteriores simplemente juntándola, es decir se pueden detectar entre ciertas combinaciones de piezas algunas equivalencias. Comienza el camino de asignar ciertos significados implícitamente asociados a los materiales, por ello es importante que los datos o condiciones sean imaginables para los estudiantes, es decir que las puedan interpretar y manipular. De no considerar esto, se corre el riesgo de que el estudiante no comprenda y abandone la actividad, por ello la sencillez es relevante. Se permite que el estudiante experimente con éstos para verificar algunas conjeturas sencillas y casi evidentes. Es una actividad con intenciones claras, muy precisas y fácil de realizar, sin decirlo, el estudiante se dará cuenta rápidamente de algunas relaciones y se sentirá cómodo, con la posibilidad de hacer lo necesario y poder conversar sobre lo que hace y descubre.

Convenciones Se complican las relaciones de tal forma que las piezas de los materiales ya no alcancen, esto obliga a poner reglas para determinar lo que sigue y tener nombres comunes para las piezas y las composiciones que se hacen con las piezas. Esto lo puede plantear el maestro: Vamos acordar nombres sencillos y símbolos para las piezas y así poder saber lo que sigue aunque no tengamos suficientes piezas.

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Cabe mencionar que en esta exposición se presentan más rápido la secuencia de pasos con resultados ajustados a lo que se quiere llegar, pero en realidad suele ser un poco largo este proceso pues los nombres y relaciones que se ocurren a los estudiantes son muy variadas y algunas se refieren a la cantidad de cuadrados pequeños en las piezas, lo cual no está mal, pero habría que centrar la atención en el total y no en las partes, aunque las partes sirven para establecer relaciones interesantes. Así si con las piezas se podrían realizar 8 agrupamientos el maestro puede hacer preguntas como ¿Qué cantidad de cuadrados pequeños tendrá el agrupamiento 9 o el agrupamiento 14?

Esto obliga a imaginar lo que sucede y en su caso a emplear notaciones y relaciones que permitan “adivinar”, no por tanteo, sino por una reflexión sobre lo que se ha trabajado y descubierto. Sigue siendo importante que comenten, entre los alumnos, lo que están haciendo e intercambien la codificación que hacen. En este caso, el lenguaje y la simbología empieza a tener cierta importancia ya que ayuda a explicar lo que no se puede hacer directamente con el material, esto obliga a encontrar reglas en las que se establecen relaciones entre partes o piezas del material.

Recapitulación Lo que se ha realizado puede ayudar a introducir varios contenidos de los cursos de matemáticas, a cuáles contenidos resaltar, es un asunto que decide el maestro: Por ejemplo con el agrupamiento de cifras de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro, etc, se pueden trabajar diversos sistemas numéricos, incluso se pueden hacer operaciones vía agrupamientos:

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Cabe señalar que con este tipo de materiales se pueden trabajar cifras más a allá de cuatro dígitos, pues con los bloques multibase solamente se pueden representar hasta millares cuando se trabaja con base 10, pues se asocia el orden de magnitud a la forma especial, lo cual, además de ser un desventaje, induce concepciones erróneas.

Otro contenido que se puede trabajar es el de múltiplos y submúltiplos, al trabajar con las fichas composiciones de rectángulos que tengan un lado de magnitud fija:

Con la misma idea se pueden trabajar los números primos, indicando que con cierta cantidad de fichas analizar si se pueden construir varios rectángulos cuyas dimensiones no sean 1 ni el número de fichas. Indicando que los números correspondientes a las fichas donde esto no es posible, serán los números primos:

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Muy asociado a la descomposición de factores de un número y el uso de números primos en este propósito, también puede ayudar a trabajar la divisibilidad o los criterios de divisibilidad:

Otro tema complicado puede ser el de manejo de fracciones ya sea en la forma de obtenerlas, la equivalencia o las operaciones:

La equivalencia y las operaciones se tratarán posteriormente. La idea principal no es iniciar las lecciones con “recetas” y “conocimientos sin sentido”, los materiales manipulativos ayudan a dar forma a imágenes

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27 mentales y a estructuras mentales que asociará el estudiante con diversos temas, de tal modo que si se le olvidan los “algoritmos” o las “recetas”, puede reconstruirlas con cierta facilidad.

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Los Bloques de Dienes Podemos considerar que manipulativos son materiales de uso escolar, porque en realidad cualquier cosa podría ser manipulativo por el sólo hecho de poderse manipular, que ayudan a la construcción de nociones o procedimientos de algún campo del conocimiento. En este sentido, es redundancia decir: materiales manipulativos. En Matemáticas el matemático Dienes se ocupo de plantear en diversas formas la necesidad del uso de manipulativos en la enseñanza. Es así que escribió varias obras donde introducía y justificaba el uso de manipulativos en la construcción de nociones matemáticas como los Bloques Lógicos o los Mosaicos Algebraicos.

Contemporáneo de Bruner fue un promotor importante de las ideas constructivistas, que iniciaron Piaget, Vygotsky y fueron ampliadas por Glasersfeld. Con lo cual se renovaron algunas ideas de otros prestigiados educadores que consideraban a la ejercitación como base para la adquisición de conocimientos matemáticos, se generaron muchas disputas y se polarizaron los bandos o algunos estuvieron en medio, reconociendo a unos y otros:

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29 Es lamentable que las teorías se tomen tan en serio, pues a fin de cuentas son aproximaciones a la realidad no son la realidad, ayudan a comprender y explicar algunos procesos y también a tomar decisiones o armar programas. Muchos maestros son conductistas cotidianamente y usan los premios y castigos indiscriminadamente, aunque se asumen como constructivistas. Es importante entender que el conductismo ha surtido efecto en la cambios de conducta, de comportamiento, pero no en la construcción de estructuras mentales, su tema es otro y no podemos contrastarlo con teorías que se enfocan a otros temas, además de ser injusto, es totalmente absurdo. La ejercitación y la memoria juegan un papel importante aún en la educación y en muchas actividades humanas, pero no son el principal tema, sobre todo si los fines educativos apuntan a la comprensión, pero en ocasiones buena habilidades y destrezas adquiridas por la ejercitación permiten centrar la atención en temas más relevantes y en profundizar el conocimiento, automatizando aspectos secundarios, como el redactar o hacer transformaciones con símbolos. Se pasar por los aspectos operativos y de escritura rápido para dejar a la mente concentrarse en situaciones más interesantes. No es primero una cosa y luego otra, no, van acompañándose y en el desarrollo del conocimiento se apoyan mutuamente. No se pueden lograr éxitos en la operatividad sin una buena comprensión de lo que se está haciendo, pero tampoco se ´puede avanzar sin saber qué tipo de operaciones y como serían sus resultados si se cambian condiciones o requerimientos en un tema. El problema está en inclinarse a un lado olvidando el otro o dejar de lado o con menor atención lo que marca el currículo. Los algoritmos son uno de los objetivos más importantes tanto en la disciplina como en la enseñanza, no deben omitirse del todo, pero no pueden trabajarse sin un adecuado nivel de comprensión sobre el funcionamiento de éstos y lo que nos ayudan a organizar para no desperdiciar nuestro tiempo en asuntos secundarios. Cuando es el caso de comprender y realizar actividades para comprender o profundizar se tienen a los manipulativos o los recursos tecnológicos, que en algunas versiones presentan lo que se puede hacer con manipulativos. Para trabajar con manipulativos, hay que centrarse en algunas ideas y dejar de tomar partido en una posición u otra, porque eso puede deformar nuestra conformación de nuevos métodos, pero lo más efectivo es considerar que se va a trabajar en un aspecto de la enseñanza que no se logra con la ejercitación, aunque al usar los manipulativos también hay repetición de actividades, pero no en automático o en abstracto, sino con reflexión sobre lo que se está haciendo para detectar regularidades o o experimentar diversos aspectos de un tema. En estas notas vamos a usar los Bloques Algebraicos de Dienes (no hay que confundirlos con los denominados “Bloques Lógicos de Dienes”, que se usan en preescolar frecuentemente y que tienen como base la consigna: “pon junto lo que va junto”), con ellos se pueden abordar diferentes temas de matemáticas y son sencillos de elaborar u obtener comercialmente.

29

30 Los Bloques de Dienes consisten de varias fichas que son de formas básicas, dos colores diferentes, cualesquiera que sean, y varios cuadrados grandes y pequeños y regletas de ciertas dimensiones, de cada color:

En algunos países a este material se le conoce como “Algebra Tiles” o “Algeblocks”, pero los segundos incluyen rectángulos de otras dimensiones:

En este material exploraremos las potencialidades de los Bloques de Dienes ampliados, es decir se agregaron otro tipo de fichas que consisten en corters diagonales de los materiales originales:

Se abordarán distintos temas que pueden abarcar desde actividades de preescolar hasta orientadas a los estudios preuniversitarios (K12). Esta es una virtud de estos materiales, que pueden servir para todos los grados escolares previos a la educación superior. Los Bloques de Dienes se pueden elaborar de diversos materiales y dimensiones. Si se les desea utilizar en un retroproyector, dispositivo que ya casi no hay en las escuelas, pueden elaborarse de acrílico trasnparente para que se puedan proyectar en una pantalla, si se trabajará en un pizarrón magnético se pueden construir con cartulina américa y fragmentos de tiras imantadas, hojas imantadas delgadas de colores, También se puede usar con una franela para colocar las piezas que se pueden hacer de lijas u otros

30

31 materiales. Hay muchas maneras de hacer estos materiales o pueden comprarse con distribuidores de materiales didácticos. Los alumnos, pueden elaborarlos con cartulinas, madera, plásticos u otro tipo de materiales. Ya existen versiones para el maestro y el alumno en el mercado que pueden adquirir en diversas casas comerciales. Un aspecto importante en la elaboración de los Bloques de Dienes es que el lado del cuadrado pequeño es el lado menos del rectángulo, al que podemos renominar regleta, el lado mayor de la regleta debe ser de la misma longitud que el del cuadrado mayor.

Otro detalle importante es que con los cuadrados pequeños no se puede cubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con éstas se puede cubrir de manera exacta los lados del cuadrado grande.

Con el uso de estos materiales puede beneficiarse la labor docente, pero es importante tener en cuenta que esto no sucederá con sólo darle el material a los estudiantes. se requiere de:  Monitorear constantemente lo que los estudiantes con los que se trabaja pueden realizar.  Planear cuidadosamente cada sesión de trabajo con los materiales. La improvisación en este tipo de experiencias por lo general provoca experiencias frustrantes.  Estar atento a los planteamientos de los alumnos. Hay que escuchar con detenimiento lo que plantean los estudiantes porque ello permitirá interpretar adecuadamente sus dudas o reflexiones.  Manejar estrategias de enseñanza flexibles. Es decir, sin caer en el desorden permitir el trabajo en equipos orientando las discusiones de éstos. Permitir que los estudiantes se apoyen o corrijan unos a otros. En suma, abandonar la posición del maestro autoritario y totalmente directivo.

31

32  Permitir la participación de los estudiantes, sin importar si se equivocan o proceden de manera correcta, el maestro corregirá lo necesario.  Dosificar adecuadamente los temas del programa por cubrir para dar el espacio requerido al uso de materiales. Es decir, implica un cambio en la enseñanza, pero no es una fórmula mágica, se hace con el interés de contar con elementos para apoyar el desarrollo conceptual y que sea este el punto de partida para propiciar el manejo operativo. Es mejor contar con recursos intuitivos para reconstruir por sí mismo un conocimiento que confiar en la memoria. Si un alumno no recuerda un procedimiento, tendrá ideas para utilizar procedimientos alternos que le permitan resolver satisfactoriamente las situaciones a las que se enfrenta.

32

33

Los números naturales Para una exposición entre especialistas de la disciplina, los números naturales, de acuerdo con la teoría de los conjuntos se puede resumir como sigue:

el matemático

Sin intentar ser exhaustivo en el proceso de construcción de las nociones y procedimientos de números naturales, abordaremos algunas nociones importantes . Acción espontánea Se le proporcionan los materiales a los alumnos para que los manipulen sin ligarlos necesariamente a una actividad determinada, sólo se requiere que se familiaricen con ellos y vean la relación que guardan las piezas.

 Los niós pueden referirse a ellos como “cajitas”, “marquitos” u otras denominaciones.

Se pueden establecer correspondencias entre colecciones de objetos, de tal manera que se pueda determinar, sin conocer los símbolos correspondientes ni siquiera los nombres usuales, si una colección tiene más, menos, o igual número de objetos que otra. Acción indagadora Se pueden comparar colecciones de objetos, por ejemplo, una de ositos con una de cuadrados pequeños.

A partir de estas colecciones se podra determinar si hay más ositos:

o si hay más cuadraditos:

33

34

o si hay tantos ositos como cuadraditos:

De esta manera los niños despúes de hacer intentos se percatan de lo que sucede e inician sus discusiones con situaciones como: A un osito no le tocó un cuadrito ¿me puedes dar uno más? Hay un osito que le tocaron más plásticos Tocó exactamente lo mismo a cada osito, les puedo dar más

Así los niños se van dando cuenta de situaciones en las que falta algo o sobra algo, sin hacer uso de los símbolos o los nombres de los números. Acción intensionada Se pueden incluir colecciones de objetos que no sean del mismo tipo.

En este tipo de actividades se puede inducir a los niños para que realicen la comparación de manera directa o utilicen algún otro recurso como poner marcas en su cuaderno y luego comparar.

Se pueden hacer este tipo de comparaciones con más de dos colecciones, por ejemplo, colocar tantos cuadrados pequeños como ositos y ver si esto es posible con una colección de pelotas. Acción conjetural Es posible mostrar las colecciones a los niños y preguntarles sobre en que colección ven más objetos además de solicitarles que indiquen como es posible determinar donde hay más o menos objetos.

Posteriormente conviene hacer actividades donde sometan a prueba sus conjeturas y se comuniquen de diversas maneras los resultados. Acción contrastativa Cuando se comparan varias colecciones se puede proceder visualmente, pero después se les pedirá a los niños que lo corroboren, lo cual pueden hacer de manera directa o por medio de correspondencias con cuadritos, como una colección auxiliar. Esto puede hacerse pidiendo a algunos niños que comparen los ositos y cuadritos y a otro grupo de niños que hagan lo mismo con las pelotas y que en un papel comuniquen al otro grupo sus resultados.

34

35

Utilizando las marcas en el cuaderno u otros recursos, los niños se pueden dar cuenta de la necesidad de manejar códigos comúnes.

Algunos niños dirán: A cada osito le tocó ya un cuadrito, ahora que nos den los otros niños los suyos. Hago un palito por cada cuadrito que le tocó a un osito.

Es importante que en esta etapa se vayan elaborando códigos simbólicos y nominales comúnes que pueden conducir al establecimiento de los numerales que conocemos. En este caso dirían que: A todos los ositos les tocó cuadradito y pelota pero sobra un cadradito y una pelota, la voy a guardar para cunado tenga más ositos. Los palitos de las pelotas son más que los de los ositos. Si le pego una tarjetita con un número el que le toca al último osito y a la última pelota son diferentes:

1

1

2

2

3

3

4

4

5

Realizando actividades de este tipo podemos llegar a conformar colecciones que tengan más o menos que otras o establerlas de tal manera que tengan lo mismo, pero sin la necesidad de tenerlas presentes a todas. Acción representativa Se puede pedir a los niños que determinen cuántas pelotas se deben tenar para que les toque una a cada uno de los ositos:

Lo sual puede hacerse con cuadritos o con otros objetos, pero lo importante es que utilicen el conteo como una de las estrategias para resolver este tipo de situaciones Posteriormente se le pueden plantear las situaciones sin tener los objetos enfrente tratando de que determinen el número de pelotas que se deberían tener para que hubiera un osito sin pelota o uno con dos pelotas. En este caso cnvendría utilizar números grandes para que no sea fácil recurrir a los objetos.

También podemos hacer comparaciones de este tipo entre muchas colecciones a fin de que los niños puedan constatar que no intervienen las formas, tamaños o colores para determinar si una colección tienen más, menos o igual cantidad de piezas.

35

36 Claro está que todo este trabajo dependerá del nivel de desarrollo de los niños dado que si las pelotas son unas más chicas que otras pueden decir que, aún cuando haya el mismo número de ositos que de pelotas, que: Son menos pelotas que ositos ... a uno le tocó una pelota muy chica

En este momento cada vez más se podrá concentrar la atención en el manejo simbólico y tener nulo contacto con los objetos. Acción independizada Se pueden plantear situaciones de conteo a los niños para que las resulevan sin tener a mano los objetos que se trabajan o que sea imposible tenerlos en el salón como serían colecciones de coches o aviones, ganado, frutos, entre otros a los cuales sólo se podrá evocar con la imaginación. En este momento se pueden afianzar las estrategias de conteo que son indisensables para el tratamiento de las operaciones aritméticas, pero este es un asunto que requiere especial atención y por ello se trabajará un poco más adelantre. Al trabajar las estrategias de conteo el maestro puede indicir al estudiante a que realice varios procesos mentales importantes como conteos al revés, estimación de cantidades, que se realicen conteos de diversas formas, que ‘lantee problemas a sus compañeros, entre otros aspectos.

Conviene insistir en que antes de iniciar a introducir la simbología o la introducción de la nomenclatura, que no son otra cosa que convenciones (que por cierto tardaron cientos de años en ser aceptadas por varios pueblos de la antigüedad), conviene solicitar a los niños que den por sí mismos nombres a las cantidades, casi siempre utilizan los que ya conocemos porque eso lo aprenden fuera de la escuela, pero en caso de no ser así no importa, la idea central es que planteen una nomenclatura que para ellos tiene sentido. Cuando existan colecciones que tienen la misma cantidad de objetos, los niños pueden proceder a darle un nombre para referirse a ellas, sin importar el tipo de objetos con los cuales están formadas. Al confrontar los diferentes nombres que se les asignen a esa propiedad de las colecciones se podrá constatar la necesidad de convenir un nombre común, uno que todos entiendan de la misma manera. Posteriormente, y sólo hasta entonces, se podrá introducir las convenciones simbólicas, pero previamente se puede también pedirles que den un símbolo (una grafía) que represente a la situación, lo cual puede ser un dibujo o líneas en apariencia al azar. De nada sirve darles los nombres usuales de golpe, no entenderán porque hay que hacerlo ni porque deben tener nombres que no conocían y se les hacen extraños. El aprendizaje de la serie numérica es complejo, la siguiente lista intenta resaltar las diversas componentes que deben ser contruidas y darles sentido:  Relaciones de correspondencia entre colecciones de objetos del mismo tipo (colecciones homegéneas).  Relaciones de correspondencia entre colecciones de objetos que no necesariamente son del mismo tipo (colecciones heterogéneas).  Nombres de los números básicos (uno, dos, ...nueve, cero).  Símbolos básicos del sistema de numeración (0, 1, 2, ..., 9).  Tipos de agrupamientos en los que se basa el sistema.  Nombres de los diferentes agrupamientos (unidades, decenas, centenas, millares, ...). 36

37  Reglas de composición de números básicos para formar otros números (entre ellas la de escribirlos de derecha a izquierda pero interpretarlos de izquierda a derecha).  Nomenclatura para la cosntrucción de nuevos números (el uso de los nombres de agrupamientos y los otros que ya se tienen para determinar el nombre de un nuevo número)  Nombres de números muy grandes  Simbología para los números muy grandes Como vemos el camino es largo y no se puede preveer que todos los niños adquieran las nociones correspondientes con sólo decirles las convenciones que tarde o temprano deben asumir. Para el desarrollo de laserie numérica se puede trabajar también con los Bloques de Dienes, dado que las partes se pueden hacer corresponder con procesos en la construcción de los números. Los cuadrados pequeños se pueden hacer corresponder con unidades, las regletas con decenas y los cuadrados mayores son centenas.

UNIDAD

DECENA CENTENA

De tal manera que 10 cuadrados pequeños se pueden intercambiar por una regleta y 10 regletas se pueden intercambiar por un cuadrado grande:

10 UNIDADES SON UNA DECENA 10 DECENAS SON UNA CENTENA Así podemos representar algunas cantidades con los Bloque de Dienes:

37

38

17

4 30

105

232 En el tratamiento de los números naturales el cero significa ausencia de cantidad, por eso cuando no hay decenas o unidades no se colocan bloques de ningún tipo. Cualquier colección con objetos se podrá relacionar con una colección de cuadrados pequeños, de tal modo que tenga el mismo número de cuadrados y de objetos en la colección:

0

1

2

3

4

5

Pero cuando se trata de números grandes resulta engorroso hacer dichas representaciones solamente con los cuadraditos.

Estrategias de conteo Las estrategias de conteo son muy importantes para el manejo de la serie numérica y el desarrollo de habilidades como la estimación o el cálculo mental. Con los números naturales podemos desarrollar diversas estrategias de conteo: De uno en uno y en una secuencia dada, es decir siempre se inicia por un lado y en el mismo orden: 1 2 3 4 5 6 7 8 1

2

3

4

5

6

7

8

Este es el nivel de conteo más bajo, que implica repetición en un orden dado. Puede contarse primero en una dirección y luego en otra: 1 2 3 4 5 6 7 8 8

7

6

5

4

3

2

1

38

39 Este nivel implica rompre el orden inicial del conteo y centrarse en la cantidad y no en el orden de los objetos en la colección. Puede también contarse en cualquier orden: 1 2 3 4 5 6 7 8 1

7

5

4

2

6

3

8

En este nivel se logra centrar de manera plena la atención en la cantidad, sin importar el tipo de objetos y el orden en que se encuentren. Por bloques:

2

4

6

8

Este nivel implica una redefinición de la unidad, en vez de considerar a la unidad como el “1” se redefine ésta como el “dos” o el “3” según se agrupen los objetos para realizar el conteo. De un número y hacia adelante:

 4

5

6

7

8

¡Hay tres cuadrados ocultos!

En este nivel, que es uno de los esenciales para el tratamiento de las operaciones aritméticas, se trata de evitar que se centre el conteo en el inicio de la serie numérica. De un número dado y hacia atrás:

 8

7

6

5 4

Si en total son 8 ¡Hay tres cuadrados ocultos!

Este nivel también resulta importante para el desarrollo de las operaciones aritméticas, ambos implican un manejo importante de la serie numérica, veamos por que: En la suma: 7 + 6, algunos niños proceden diciendo:

39

40

7 y 1 son 8 7 y 2 son 9 7 y 3 son 10 7 y 4 son 11



Tenemos 7 ...

7 y 5 son 12

7 y 6 son 13



En la resta 15-9, también suelen decir:

9 y 1 son 10 9 y 2 son 11 9 y 3 son 12 9 y 4 son 13



Tenemos 9 ...

9 y 5 son 14

9 y 6 son 15



Es decir tienen que realizar conteos de manera más eficiente para no confundirse, por ello es importante el tipo de ejercicios antes propuestos. De manera combinada:

2

4

5

6

7

En ciertas condiciones, como el contar dinero se debe proceder de manera combinada para establecer la cantidad que se tiene. Pero esto también es importante en oteras operaciones como la multiplicación y la división, aunque también los es cuando se hacen estimaciones. Por exceso o defecto:

Son como 8 pero falta 1, o sea son 7 Este tipo de conteo resulta fundamental al hacer estimaciones y cálculos mentales. Agrupando:

¡10, 10 y 4, son en total 24! Desagrupando: 40

41

¡Son 24, se pueden separar en dos grupos uno de 10 y otro de 14! Ambos procesos son muy importantes para establecer los algoritmos de las operaciones de suma y resta. Como vemos si no se han desarrollado importantes avances en el desarrollo de las estrategias de conteo resulta difícil que los niños se desempeñen adecuadamente en el manejo de las operaciones aritméticas.

Operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Como se ha dicho las operaciones se apoyan fuertemente en el conocimiento que se tenga de la serie numérica lo que generalmente se hace implica contar desde un número hacia adelante o atrás, de dos en dos o de cinco en cinco, agrupar o desagrupar, entre otros aspectos. Las operaciones con numeros enteros, se pueden trabajar con los bloques de Dienes, para ilustrar los reagrupamientos, recordando que los cuadrados pequeños son unidades, las regletas son decenas y los cuadrados mayores son centenas.

UNIDADES

DECENAS

CENTENAS

También hay que tener en cuenta que 10 cuadrados pequeños se pueden intercambiar por una regleta y 10 regletas se pueden intercambiar por un cuadrado grande:

41

42

10 UNIDADES SON UNA DECENA 10 DECENAS SON UNA CENTENA

La suma Veamos como se puede proceder en la enseñanza de la suma, claro está que estamos suponiendo que no se está en el inicio si no que ya se ha avanzado con situaciones más sencillas de las que se presentan a continuación. Consideremos la suma:

128 295

Se puede representar cada sumando con los bloques:

128 295

de los cuadrados pequeños, que representan las unidades, se agrupan 10 de ellos y se intercambian por una regleta, esto es, “8 y 5 son 13, se escribe 3 y nos sobra una decena”

42

43

1

128 295 3 Ahora 10 regletas se agrupan y se intercambian por un cuadrado, es decir: “son 1, 2 y 9 decenas, lo cual da 12 decenas, se escribe 2 y se tiene una cantena más”

1 1

128 295 23 de tal modo que el resultado final sería 423

1 1

128 295 423 Como se puede observar aquí se han aplicado diversas estrategias de conteo, por otra parte los niños pueden intentar agrupamientos de diversas maneras, no necesariamente iniciando por la derecha, lo cual puede resultar beneficioso dado que al trabajar diferentes tipo de sumas se convencerán de que iniciar por las unidades esw la forma más conveniente. El maestro debe planear sus actividades considerando esta situación.

43

44 La resta Para el caso de la resta:

321 132 Procederíamos de la misma manera, representando las cantidades involucradas con los bloques:

321 132 Como “a 1 no se le pueden quitar 2, entonces “se pide prestada” una decena para completar 11 unidades y quitar entonces las 2 que se requieren”, esto hace que las dos decenas del 321 se reduzcan a una.

1 11

321 132 9

Como a una decena no se le pueden quitar tres decenas, pedimos prestada una centena y se realiza esta operación en la columna de las decenas”, esto hace que las tres decenas de 321 se reduzcan a dos.

44

45

2 11 1 11

321 132 89

De tal modo que el resultado es: 189.

2 11 1 11

321 132 189

Observe que nuevamente se vuelven a recuperar las estrategias de conteo. La multiplicación Para la multiplicación podemos recurrir a la asociación de esta operación con el área de un rectángulo. o a considerar que se “toma tantas veces” un número como lo indica otro. Por ejemplo, en una multiplicación sencilla, con cantidades menores que diez.

3 2

Podemos considerar el área de un rectángulo cuyos lados son dos y tres unidades:

45

46

3 2 6

3 2

O tambien considerar que se toma tres dos veces

3 2 6

2 veces 3

Si los factores implican un resultado mayor que 10, por ejemplo:

13 5

también se puede proceder de la misma manera, como el área de un rectángulo de lados 13 y 5:

13 5 65

13

5

Incluso también como tomas 5 veces 13:

13 5 65

5 veces 13

El resultado se obtiene del arreglo antes considerado.

46

47 No todas las multiplicaciones se pueden realizar de esta manera o seria muy complicado tratar de reducirlas a estos casos sencillos, por ello conviene intentar el desarrollo de un algoritmo, como el que se conoce y que se describirá a continuación: Primero se realiza la operación a partir de las unidades:

13 5

5 X 3 = 15

¡5 por 3 son quince o sea cinco unidades y una decena! Es decir se coloca un cinco como las unidades del resultado y se cuenta con una decena más que se tendrá que agregar al resultado de la multiplicación de 5 por la decena de 13:

1

13 5 5

¡5 por 3 son quince, se escribe 5 y "se lleva una decena!

Después se procede con las decenas: 1

13 5 5

5 X 10 = 50

¡5 por 1 cinco, son 5 decenas pero tenemos una de la operación anterior! Así tenemos 5 decenas que junto con la decena que “llevamos” nos dan 6 decenas. De esta manera se obtine el resultado deseado:

47

48 1

13 5 65

¡El resultado es 65!

Como se puede observar se puede relacionar este procedimiento con el algoritmo usual. Existen otras formas de realizar la operación que pueden trabarse pero que resultan limitadas en algunas situaciones o pueden distorsionar el algoritmo general como es el siguiente caso: Se procede multiplicando las unidades de 13 por 5 y se coloca el resultado completo debajo de la raya.

13 5 15

5 X 3 = 15

Después continuamos multiplicando las decenas de 13 por 5, lo cual nos da cincuenta pero que podemos considerar como 5 decenas, de lo cual podemos escribir esto con un sólo 5 en el lugar de las decenas:

13 5 15 50

5 X 10 = 50

Posteriormente se realiza la suma de 15 y 50 para obtener el resultado:

48

49

13 5 15 50 65 Es importante tratar de realizar la operación de varias formas y generar algoritmos alternativos por que lejos de desviarnos proporcionan elementos para el cálculo mental o estimaciones y permiten convencer a los niños de que los métodos que se les proponen son los más adecuados. Es mejor convencer que las cosas deben suceder de cierta manera que imponen, al fin y al cabo debemos propiciar la reflexión y el análisis desde las primeras experiencias escolares. Cuando intentamos multiplicaciones cuyo resultado es un número mayor que 100 y menor que 1000, podemos proceder de manera análoga. Para ilustrar el procedimiento consideremos la multiplicación:

21 14

Podríamos intentar tomar 14 veces 21, pero ello sería engorroso:

21 14 294 14 veces 21 También se puede construir un rectángulo cuyos lados tengan dimensiones de acuerdo a los factores, esto 21 y 14:

49

50

21 14 294

1 10

21 10 10

1 1 1 1

14 Esto induce una idea importante, se considera la multiplicación de 21 por las unidades y por las decenas de 14, lo cual se puede considerar de manera separada:

21 14 10 X 21

4 X 21

Lo cual nos permite considerar el algoritmo colocando los resultados de cada una de las multiplicaciones de la manera adecuada, considerando que la multiplicación de 10 X 21 dará como resultado decenas y por lo tanto no ocupará lugares de las unidades:

50

51

21 14 84 21 0 294

10 X 21

4 X 21

En este momento podemos ver lo complejo que resulta utilizar procedimientos intuitivos para cantidades muy grandes, incluso que rebasen las cantidades que podemos considerar con los Bloques de Dienes, por ello será necesario encontrar un algoritmo: Consideremos la multiplicación:

36 24

Se iniciará multiplicando primero las unidades de 36 y de 24, es decir, multiplicando 6 y 4:

36 24 4 veces 6 Lo cual es 24, es decir dos decenas y cuatro unidades, esto implica colocar las cuatro unidades en su lugar y considerar las dos decenas para añadirlas a la multiplicación de las unidades por las decenas:

51

52

2

36 24 4 Posteriormente se multiplican las decenas de 36 por las unidades de 24, es decir, 3 decenas por 4.:

2

36 24 4

4 veces 3 decenas

Estas 12 decenas con las dos que se obtuvieron de la primera multiplicación son en total 14 decenas que se convierten en 1 centena y cuatro decenas:

2

36 24 4

14 decenas en total

Lo cual se puede considerar como 1 centena y 4 decenas:

52

53

2

36 24 14 4 Ahora se pasa a multiplicar las unidades de 36 por las decenas de 24, o sea 2 X 6:

2

36 24 14 4

2 decenas de veces 6 (es decir, 20 veces 6)

Esto se traduce a 120 unidades, o 12 decenas o 1 centena y 2 decenas:

53

54

2

36 24 14 4

De tal modo que se deben considerar una centena y dos decenas que se colocan en el lugar correspondiente, no hay unidades:

1 2

36 24 14 4 2 Posteriormente se multiplican las decenas de 36 por las decenas de 24 o sea 2X3

54

55

1 2

36 24 14 4 2 2 decenas de veces 3 decenas Lo cual nos da 60 decenas, es decir 6 centenas:

1 2

36 24 14 4 2

De tal manera que se colocan las seis centenas en el lugar correspondiente, a las cuales se les tiene que agragar la centena que “llevamos” del proceso inmediato anterior:

55

56

1 2

36 24 14 4 72 De lo cual resulta que el producto es: 864

1 2

36 24 14 4 72 864 Este proceso trabajado con los niños no resulta tan laborioso dado que muchos pasos se realizan de manera inmediata. La división La división se puede inducir como una operación inversa a la multiplicación, esto lo podemos aprovechar para tratar los aspectos relativos a su algoritmo más conocido. Por ejemplo, la división:

3 6 Se puede abordar considerando una colección de seis objetos que se deben agrupar de tres en tres, la pregunta sería ¿Cuántos de éstos se pueden formar? Así consideramos seis cuadritos y formamos grupos de tres: 56

57

Es decir de seis objetos se pueden formar dos grupos de tres. Por tanto el resultado de la división será dos.

2 3 6

3 6

Puede haber residuo, como en el caso de la división:

3 7 En este caso de una colección de siete objetos se forman bloques de tres:

De tal modo que el resultado de la división es dos y se tendrá un residuo de uno:

3 7

2 3 7 1

57

58 Cuando se tienen una división un poco más complicada como sería el caso en que las cantidades incluidas son más grandes procedemos de manera similar, por ejemplo, la división:

5 65 Procedemos entonces a utilizar seis regletas y cinco cuadraditos para tratar de agruparlos en bloques de 5, lo cual implicará canjear cada regleta por 10 cuadraditos:

De tal modo que el resultado de la división es 13:

13 5 65

Esto también se podría intentar de otra forma, para ello podríamos haber considerado las 6 decenas y las cinco unidades para tratar de formar un rectángulo en el que uno de los lados sea 5:

13

5

Como se puede observar el otro lado del rectángulo es 13, lo cual nos conduce al mismo resultado: También esta situación se puede detectar el residuo:

58

59

5 69

13 5 69 4 En relación al algoritmo podemos hacer la siguiente relación:

5 69 Iniciamos la construcción del rectángulo, que tiene uno de sus lados como 5, para lo cual se agrupan inicialmente las regletas (decenas) en bloques de 5.

1 5 69 1 como se observa sobra una. Convertimos la decena que nos sobró a unidades

59

60

1 5 69 19 Se forman entonces tres grupos de cinco unidades y sobran cuatro

13 5 69 19 Por tanto se forma el rectángulo de lados 5 y 13, con cinco bloques y nos quedan cuatro unidades.

13 5 69 19 4 De tal forma que el cociente el resultado de la división es 13 y sobran cuatro. Recordemos que el camino a seguir es utilizar primero los bloques sin simbolizar las operaciones, luego tratar de que los estudiantes generen sus propios algoritmos y notaciones, para que al final se desarrollen los algoritmos de manera tradicional. Podemos realizar el proceso anterior sin problemas cuando el dividendo es mayor o igual que 100 y menor que 1000, y si el divisor mayor que 10 y menor que 99: Veamos el caso de la división:

21 296 se consideran las piezas con las que se representa a 294

60

61

21 296 Se procede posteriormente a formar el rectángulo donde uno de los lados es 21.

1 21 296 86 Se formó un rectángulo como el que se desea con las centenas y una decena, sobraron 8 decenas y 6 unidades, con estas piezas completamos el rectángulo:

14 21 296 86 2

De este modo obtenemos que el resultado de la división es 14 y sobran 2. Como se puede observar de lo anterior se puede deducir el algoritmo y se justifica el inicio en la división por la izquierda en vez de por la derecha como se hace en las otras operaciones. Elevar al cuadrado Podemos entonces proponernos introducir la forma en que se elevan al cuadrado los números, solamente con decir que dado un número hay que formar un cuadrado con las piezas que lo representan y posteriormente determinar que número es representado por las piezas empleadas.

61

62 Por ejemplo el cuadrado de 3 será 9:

2

3=9 El cuadrado de 7 será 49:

2

7 = 49 El cuadrado de 11 será 121:

2

11 = 121 El cuadrado de 25 es 625

2

25 = 625 Así se pueden calcular manualmente los cuadrados de diversos números, este ejercicio lejos de ser rutinario prepara a los estudiantes para abordar otro tipo de situaciones que en el álgebra son muy importantes. Raíz cuadrada De manera inversa de lo anterior podemos tratar de extraer raíces cuadradas tratando de formar con las piezas que representan a un número dado, un cuadrado y posteriormente determinar cual es el lado de dicho cuadrado. Por ejemplo, la ríz cuadrada de 16 es 4:

62

63

2

16 = 4

La raíz cuadrada de 36 es 6:

2

36 = 6

La raíz cuadrada de 258 será aproximadamente 16: Para convencernos de ello conviene considerar la representación de 258:

258 Con estas piezas dificilmente se podrá construir un cuadrado, por ello se hacen unos cambios para lograrlo como sería cambiar una centena por 10 decenas:

63

64

2

258 = 1 158

Ahora se comienza a formar el rectángulo con las piezas existentes tratando de ocupar todo lo que esta disponible, se observa que se pueden incorporar dos rectángulos de lados 10 y 6:

2

258 = 1 158

En este momento se observa que se pueden colocar seis de los cuadrados pequeños:

2

258 = 1 158 26

64

65 Rellenando el espacio restante con tiras de 6 unidades tendríamos 6 veces 26, o sea 156, lo cual puede conseguirse cambiando las tres decenas por 30 cuadraditos, al final sólomquedarán dos cuadrados pequeños libres:

2

258 = 16 158 26 2

Claramente esto implica al algoritmo de la raíz cuadrada: Veamos otro ejemplo . la raíz cuadrada de 969 es alrrededor de 31:

969

Se trata de formar un cuadrado con las piezas y se observa que se pueden acomodar bien los nueve cuadrados grandes, con lo cual sobran 6 decenas y 9 unidades:

65

66

2

969 3 69

Las seis decenas se pueden acomodar tres en cada lado, por lo que sólo sobrarían 9 unidades, de las cuales se puede acomodar una:

2

969 31 69 61 8

Este tipo de actividades ayudan a lograr alguna comprensión de algoritmos tan complicados como lo es el de la raíz cuadrada, la relación qye se establezca entre las acciones y los pasos del algoritmo pueden desarrollarse de manera diversa pero lo que es importante es que sea razonable y comprobable con el material.

Algunos significados de las operaciones En las partes que siguen y que se refieren a los números enteros se hará mucho énfasis en los diversos significados implicados en las operaciones, por ejemplo la suma está asociada a la idea de “añadir”, “juntar”, “poner”, entre otros.

66

67 La suma de números naturales De esta forma si trabajamos la suma de números naturales tendríamos que:





Para sumar

1+2

A 1 se le agrega o pone 2 De tal forma que 1 + 2 = 3

La resta de números naturales En la resta de números naturales tendríamos:



Para restar

2-1

A 2 se le quita 1 De tal forma que 2 - 1 = 1

Hay que notar que en este caso la operación no se puede realizar si se desea quitar algo más grande de lo que se tiene. La multiplicación de números naturales Vimos que la multiplicación de números naturales se puede considerar como una suma reiterada o sea “poner tantas veces” un número según lo indica otro:



Para multiplicar  2 3 se piensa como 3 + 3 es decir, poner dos veces tres De tal forma que 2 3 = 6

La división de números naturales La división de números naturales se relaciona con la operación contraria a multiplicar o sea en vez de poner un número tantas veces como indica otro, se piensa como dado un número determinar cuantas veces hay que poner otro para que me dé el primero:

67

68 Para dividir 6 3

 

se piensa como el núero de veces

Una vez 3

que hay que poner 3 para obtener 6

Dos veces 3

De tal forma que 6 3 = 2 Una vez Dos veces

Conviene realizar ejercicios con o sin los bloques donde los niños encuentren los factores o sumandos que se conduzcan bajo cierta operación al resultado dado y que se manejen algunos aspectos como los números figurativos o las series numéricas. Esto es, las configuraciones: 12 = 1 2

2 =1+3

32 = 1 + 3 + 5

42 = 1 + 3 + 5 + 7

Lo cual nos permite observar que la suma de impares consecutivos siempre será un cuadrado. Esto es:

1  3  5  7...(2n  1)  n 2 De la misma forma podemos observar que la suma de números pares consecutivos será igual a un rectángulo de lados n y n+1, es decir:

68

69 2(1) = 2

3(2) = 2 + 4

4(3) = 2 + 4 + 6

5(4) = 2 + 4 + 6 + 8

2  4  6  8...2n  n(n  1) Lo cual nos da la fórmula para la suma de los primeros números consecutivos: 1 =1 2(3) =1+2 2

3(4) 2

=1+2+3

4(5) 2

=1+2+3+4

n(n  1) 1  2  3  4...n  2 Las modificaciones que se hagan a lo aquí expuesto dependerán de las decisiones de los maestros, la opción de presentación que se decidió sólo dependió de hacer la exposición lo más sencillo posible.

69

70

Los números enteros En la construcción formal de los números naturales S, en el contexto de la teoría de conjuntos, se parte de la existencia de lo que se llama conjunto sucesor, que es un conjunto infinito en el cual se puede definir una función, del conjunto a sí mismo:

f: S  S tal que a cada elemento le corresponde otro al que se le denomina sucesor

n  S(n) y es tal que si n  m, entonces S(n)  S(m). La intersección de toda la familia de conjuntos sucesores es precisamente el conjunto de números naturales N. Se comprueba después que dicho conjunto satisface los axiomas de Peano y se pueden identificar a sus elementos de la siguiente forma: 

0

{}

1

{, {}}

2

{, {}, {, {}}}

3

y así sucesivamente. En este caso queda claro que el 0 representa ausencia de cantidad, cardinalidad cero. Sin embargo en el caso de los números enteros las interpretaciones deben ser diferentes. En efecto, en la construcción de los números enteros con el producto cartesiano equivalencia:

NN

Z se trabaja

en el cual se define una relación de

(n,m)  (u,v) si y solo si n+v = u+m de tal forma que el conjunto de números enteros Z es el conjunto cociente:

Z = NN /  lo cual tiene implicaciones interesantes, dado que los elementos de Z son clases de equivalencia, graficamente podemos observar esto de la siguiente manera:

70

71

-4

0

+3

[0,4]

[0,0]

[3,0]

(0,6)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

(7,6)

(0,5)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(7,5)

(0,4)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(7,4)

(0,3)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(7,3)

(0,2)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(7,2)

(0,1)

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(7,1)

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

(4,0)

(5,0)

(5,0)

(7,0)

De esta forma vemos que los números enteros son denominaciones de las clases de equivalencia, representadas por franjas en el diagrama anterior, de esta forma tenemos:

Miembros de la clase de equivalencia

Representante Número de la clase de entero equivalencia asociado

. . .

. . .

. . .

(0,3) (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9) ... (0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,8) ... (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) ... (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) ... (1,0) (2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (7,6) (8,7) ... (2,0) (3,1) (4,2) (5,3) (6,4) (7,5) (8,6) ... (3,0) (4,1) (5,2) (6,3) (7,4) (8,5) (9,6) ...

0,3 0,2 0,1 0,0 1,0 2,0 3,0

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

. . .

. . .

. . .

Desde la perspectiva matemática, los números enteros pueden ser interpretados como clase de equivalencia, lo cual indica que un aspecto importante. En este sentido el cero en los números enteros no representa ausencia de cantidad si no un equilibrio. Desde una perspectiva sicológica también se tiene esta dualidad con el símbolo del cero que por un lado es ausencia de objetos en una colección y por otra parte es la realización de una operación como “añadir” y su contraria “suprimir”.

71

72 La creación de la serie numérica de los números naturales como actualmente la conocemos tardó mucho tiempo en formarse, todavía tuvieron que pasar cientos de años antes de que se incorporaran los números negativos. Desafortunadamente, se comete el error común al pensar que los números enteros se pueden aprender de manera rápida dado que sólo implica colocarles signo a los números naturales y ya. Por comodidad se identifican a los números +3 y 3, pero en realidad corresponden a situaciones diferentes, por ello cada vez que se considere un número entero se presentará con un paréntesis y en cursivas negritas para distingirlo de un número natural. Para poder identificar con claridad que +3 y 3 se pueden manejar de la misma manera debe pasar algún tiempo, pero en la enseñanza es frecuente que esto se trate de hacer a la brevedad posible. De esta forma las operaciones con los números enteros deben ser interpretadas de maneras diferentes a lo que se ha hecho con los números naturales, por ello utilizaremos los mismos signos pero en cursivas negritas para ser distinguibles. Para el desarrollo de este apartado utilizaremos los cuadraditos de colores, de tal forma que a los obscuros se les identifique con una unidad positiva, mientras que los blancos correspondan con una unidad negativa.

Unidades Negativas

Unidades Positivas

Representaciones del cero Como se ha dicho el cero en los números enteros 0 es un equilibrio, por ello se puede representar conmlos cuadritos de la siguientes maneras:

0 Diferentes representaciones de números enteros De esta manera también los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo, +1 se puede representar de las siguientes maneras:

72

73

+1 También -1 puede ser representado como sigue:

-1 La idea central es poner un “creo” adyacente al número que se trabaja con el fin de obtener diversas representaciones, este es en esencia el truco algebraico de “restar y sumar la misma cantidad”. Veamos como esto se presenta en representación de (+3) y (-3)

(+3)

0

(+3)

0

(+3)

(+3) (+3)

Diferentes representaciones de (+3)

(-3)

(-3)

0

(-3)

(-3)

0 (-3)

Diferentes representaciones de (-3) Al signo del número se le asocia con el significado como “ganar” o “perder”; también suelen mencionarse los de “poner” y “quitar”. La suma de números enteros Utilizando estas representaciones se puede realizar la suma de números enteros. Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las siguientes adiciones:

73

74 (+1) + (+2) (+1) + (-2) (-1) + (+2) (-1) + (-2) Al signo de la operación se le asocia con agregar





Para sumar

(+1) + (+2)

A (+1) se le agrega o pone (+2) De tal forma que (+1) + (+2) = (+3)

Observe que se parte de un cero y que el resultado no depende del cero empleado:

  

  









Es decir si ganó uno y pongo otra ganancia de dos, al final gané tres.





Para sumar

(+1) + (-2)

A (+1) se le agrega o pone (-2) De tal forma que (+1) + (-2) = (-1)

Tampoco depende del cero que se utilice:

74

75

  

  









Es decir si ganó uno y luego añado una pérdida de dos , al final perdí uno.





Para sumar

(-1) + (+2)

A (-1) se le agrega o pone (+2) De tal forma que (-1) + (+2) = (+1)

Veamos que el resultado no se altera si se utiliza otro cero:

  

  









Es decir si perdí uno y pongo una ganancia de dos, al final gané uno.





Para sumar

(-1) + (-2)

A (-1) se le agrega o pone (-2) De tal forma que (-1) + (-2) = (-3) 75

76 Nuevamente no importará el cero que se emplee:

  







  



Es decir si perdí uno y pongo otra pérdida de dos, al final perdí tres. De esta forma el estudiante se percata de lo que sucede y se evita que se aprenda como dogma aquello de que “para sumar dos números enteros del signo diferente ....”, lo va poder constatar y podrá establecer sus propios procedimientos para interpretar lo que sucede. La diferencia de números enteros Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las siguientes adiciones: (+1) + (+2) (+1) + (-2) (-1) + (+2) (-1) + (-2) Iniciemos con mel primer caso:



Para restar

(+1) - (+2)

A (+1) se le quita (+2)

De tal forma que (+1) - (+2) = (-1)

En este caso no importa el cero utilizado:

76

77

  

  





Es decir si habíamos ganado 1 y luego quitamos una ganancia de dos, en realidad estamos perdiendo 1. Es decir si ganó y quito una ganancia de dos , al final perdí uno. En el segundo caso tendríamos:

? 

Para restar

(+1) - (-2)

A (+1) se le quita (-2)

¡No se puede quitar (-2)! ¿Qué sucede?

Cuando un cero no alcanza para realizar la operación se puede otro cero que resulte conveniente para el caso que enfrentamos (es decir sumamos y restamos de manera conveniente). Veamos como completar la operación con otro cero: Para restar (+1) - (-2)





¡Más vale que sobre que falte! A (+1) se le quita (-2)

De tal forma que (+1) - (-2) = (+3)

El resultado no se alteraría si se emplea otro cero que permita realizar la peración:

77

78

  

  





Es decir si ganó uno y quito una pérdida de dos, al final gané tres. Para el tercer caso procedemos como sigue: Para restar

? 

(-1) - (+2)

A (-1) se le quita (+2)

¡Tenemos que modificar la situación inicial!

Tenemos que hacer “crecer” nuestro cero: Para restar

 

(-1) - (+2)

A (-1) se le quita (+2)

De tal forma que (-1) - (+2) = (-3)

Como se ve a veces es necesario tomar en cuenta si la situción inicial, el cero, es adecuada para la operación que nos proponemos. Sin embargo, no importa que nos suceda que no es suficiente la cantidad de ciertas fichas por que ello nos obliga a replantear la situación u buscar otros caminos, a veces equivocarse es más interesante que hacer las cosas de manera correcta, como sucede con mucho software educativo. Constatemos nuevamente que el cero, si es suficiente, no influye en la operación anterior:

78

79

   

   

Es decir si perdí uno y quito una ganancia de dos, al final perdí tres. El último caso de la diferencia de enteros que analizaremos es el siguiente:



Para restar

(-1) - (-2)

A (-1) se le quita (-2) De tal forma que (-1) - (-2) = (+1)

Veamos lo que sucede con otros ceros:

   

   

Es decir, si perdí uno y quito una pérdida de dos, al final gané uno.

79

80 La multiplicación de números enteros Para multiplicar números enteros nos tenemos que enfrentar a la temible “regla de los signos” que generaciones van y vienen y no se la aprenden. Sin embargo, veremos que si se procede de manera similar como se hizo con los números naturales podemos hacer evidente y plausible dicha regla. Sólo hay que tener cuidado que el número del signo se interpreta como “ganar” o “perder” o como “poner” o “quitar”. Veamos a continuación como se realiza esto a partir de considerar todas las siguientes multiplicaciones: (+2)  (+3) (+2)  (-3) (-2)  (+3) (-2)  (-3) Consideremos el primer caso:

cero

 



un (+3) un (+3)

cero

Para multiplicar

(+2)  (+3)

se piensa como poner dos veces (+3) De tal forma que (+2) (+3) = (+6)

(+6) (+6)

Es decir, si pongo dos veces (ganar dos veces), ganancias de tres, al final habré ganado seis. En el segundo caso tenemos:

 



un (-3)

un (-3)

Para multiplicar

cero

(+2)  (-3)

se piensa como poner dos veces (-3)

De tal forma que (+2) (-3) = (-6) (-6)

cero

(-6)

80

81 Es decir, si pongo dos veces (ganar dos veces), pérdidas de tres, al final habré perdido seis. Para el tercer caso podemos proceder como sigue:

 



un (+3) un (+3)

Para multiplicar

(-2)  (+3)

se piensa como quitar dos veces (+3)

cero

(-6)

De tal forma que (-2)  (+3) = (-6)

cero

(-6)

Como se hará dado cuenta el lector aquí se debía tener un cero suficientemente grande. El último caso, es crucial, es el que siempre causa problemas con los estudiantes:

 un (-3)

Para multiplicar (-2)  (-3) se piensa como quitar dos veces (-3)

un (-3)

 

cero De tal forma que (-2)  (-3) = (+6)

cero

(+6) (+6)

Como se puede observar se constata sin problemas la famosa y desprestigiada “regla de los signos”. Por otra parte las interpretaciones usuales de gara y perder en este tipo de situaciones se vuelven verdaderos trabalenguas, incluso en los casos anteriores donde hemos incorporado estas interpretaciones el lector debería haber sentido repulsa o por lo menos una sensación de mareo ante semejantes absurdos. Nos quedamos con el manejo de las fichas que conforman los Bloques de Dienes, para evitar introducir metáforas que a veces complican más la situación.

81

82 La división de números enteros La división de números enteros es un asunto que también resulta complicado para los estudiantes, en parte por que se tiene que trabaja rde nuevo la “regla de los signos”. Veremos a continuación como los Bloques de Dienes nos puedes ayudar para trabajar este tema. Para ello consideremos las siguientes divisiones de números enteros: (+2)  (+3) (+2)  (-3) (-2)  (+3) (-2)  (-3) Para efectuar dichas divisiones recordemos que esta operación se puede manejar como la inversa de la multiplicación, en la que se “toma tantas veces” un número (uno de los factores) según lo indique otro (el otro factor). Es decir, la división se podrá interpretar como determinar “el número de veces (el cociente) que se debe tomar” un número (el divisor) para obtener otro dado (el dividendo). Analicemos el primer caso: Para dividir (+ 6)  (+3)

 Cero

Cero

  Se pone una vez (+3)



se trata de encontrar el número de veces que hay que poner o quitar (+3) para obtener (+6) Como se observa poniendo dos veces (es decir (+2)) el divisor (+3) logramos obtener (+6)

Se pone dos veces (+3)

De tal forma que (+6)  (+3) = (+ 2) Cero Una vez Dos veces

El problema aquí es determinar silo que se tiene que hacer es “poner” o “quitar” cierta cantidad, dado que esto determina el signo del resultado (cociente), supongámonos que nos equivocamos y en vez de poner se inicia quitando de un cero y veamos a que nos conduce esta decisión.

82

83 Para dividir (+ 6)  (+3) supongamos que se inicia

Cero

Se quita una vez (+3)

Se quita dos veces (+3)

 

quitando (+3) una y otra vez

Como se observa esto no nos conduce a obtener (+6)

Por lo tanto, ésta no es una forma correcta de proceder

Si se sigue al pie de la letra el procedimiento nos damos cuenta si vamos o no en la dirección correcta, sin necesidad de aprenderse de memoria algunas reglas. Veamos lo que sucede en el segundo caso: Para dividir (+ 6)  (-3)

 

Cero

Se quita una vez (-3)

Se quita por segunda vez (-3)

se piensa como el número de veces que hay que quitar o poner (-3) para obtener (+6) Si se pusiera varias veces (-3) la parte negativa crecería y no podríamos obtener (+6) por tanto lo que hay que hacer es quitar varias veces (-3) Se quitó dos veces (-3) esto indica que el resultado es (-2) De tal forma que (+6) (-3) = (- 2)

Para el tercer caso tenemos:

83

84 Para dividir (- 6) (+3) Cero

se piensa como el número de veces

 

Se quita una vez (+3)

Se quita por segunda vez (+3)

que hay que quitar o poner (+3) para obtener (-6) Si se pusiera varias veces (+3) la parte positiva crecería y no podríamos obtener (-6) por tanto lo que hay que hacer es quitar varias veces (+3) Se quitó dos veces (+3)

esto indsica que el resultado es (-2) De tal forma que (-6) (+3) = (- 2)

En el último caso procedemos como sigue: Para dividir (- 6) (-3)

 

Cero

Se pone una vez (-3)

Se pone por segunda vez (-3)

se piensa como el número de veces que hay que quitar o poner (-3) para obtener (-6) Si se quitara varias veces (-3) la parte positiva crecería y no podríamos obtener (-6) por tanto lo que hay que hacer es poner varias veces (-3) Se puso dos veces (-3) esto indica que el resultado es (+2) De tal forma que (-6) (-3) = (+ 2)

Después de manejar a los números enteros de esta manera se les puede ir induciendo a los estudiantes a que por sí mismos conjeturen el comportamiento de los signos en las operaciones, hasta llegar a establecer las reglas de los signos. Después de haber manejado a satisfacción los números enteros con paréntesis se puede ilustrar como en algunos casos éstos se pueden omitir sin perder claridad en lo que se hace, además de aprovechar las reglas de los signos para suprimir de manera definitiva el paréntesis. Varios estudios se han hecho sobre la interpretación de los niños sobre los los números enteros, lo que se ha encontrado es que están más relacionados con la representación de estados o tranformaciones, es decir, comparaciones (como “tienes más que” o “debes tanto a”) y modificaciones a situaciones dadas (como lo es el “ganar” o “perder” o el “recibir” o “dar”), esto hace que los niós se 84

85 confundan sobre todo por que estas interpretaciones no son tan frecuentes y diversas cuando se maneja solamente números naturales. Esta pronlemática tiene que ver con la resolución de problemas que no es un punto sonbre el cual se discute en este trabajo, pero conviene tenerla presenta siempre que se desee manejar a los números enteros. No obstante a los matemáticos de primera línea se les hacían números extraños que no se tenían que aceptar. La comunidad matemática tardó cientos de años para incorporarlos de manera definitiva al conocimiento matemático. No tratemos que los estudiantes los acepten en una o dos clases, sólo por decirles quienes son, se requiere una preparación muy cuidadosa para convencerlos de sus propiedades y lograr un manejo efectivo de este tipo de números. Los modelos como los del elevador o las temperaturas pueden ser de utilidad para ciertos aspectos como la suma o la resta, pero no pueden ser aplicados a otras operaciones con los enteros, esto confunde a los estudiantes quienes tienden a utilizar o generalizar todo lo que se maneja en las clases, por ello se ha propuesto el modelos de los Bloques de Dienes que guardan cierta coherencia en el trabajo de los números enteros sobre todo asumiendo que se utilizan también algunas propiedades y situaciones establecidas para los números naturales.

85

86

Las fracciones En la construcción formal de los números racionales Q, en el ámbito de la teoría matemática, en particular de la teoría de conjuntos, se parte de trabajar con el producto cartesiano relación de equivalencia:

Z(Z-{0})

en el cual se define una

(p,q)  (r,s) si y solo si ps = rq donde q y s son diferentes de cero, de tal forma que el conjunto de números racionales Q es el conjunto cociente:

Q = Z(Z-{0}) /  lo cual tiene implicaciones importantes, porque en este sentido los elementos de Q son clases de equivalencia, graficamente podemos observar esto de la siguiente manera:

1/2

0

1

[1,2]

[0,0]

[1,1]

(-3,3)

(-2,3)

(-1,3)

(0,3)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(-3,2)

(-2,2)

(-1,2)

(0,2)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(-3,1)

(-2,1)

(-1,1)

(0,1)

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(-3,-1)

(-2,-1)

(-1,-1)

(0,-1)

(1,-1)

(2,-1)

(3,-1)

(-3,-2)

(-2,-2)

(-1,-2)

(0,-2)

(1,-2)

(2,-2)

(3,-2)

(-3,-3)

(-2,-3)

(-1,-3)

(0,-3)

(1,-3)

(2,-3)

(3,-3)

De esta forma vemos que los números racionales que conocemos son denominaciones de las clases de equivalencia, representadas por franjas en el diagrama anterior, de esta forma tenemos:

Miembros de la clase de equivalencia

Representante Número de la clase de racional equivalencia asociado

. . .

. . .

. . .

(-2,6) (2,-6) (-1,3) (1,-3) (-3,9) (3,-9) (-100,300) ...

-1,3

-1/3 86

87 (-1,2) (1,-2) (-2,4) (2,-4) (4,-8) (-4,8) (-50,100) ... (-2,2) (2,-2) (-3,3) (3,-3) (4,-4) (5,-5) (-6,6) ... (0,1000) (0,1) (0,2) (0,3) (0,-4) (0,5) (0,-6) ... (2,2) (12,12) (30,30) (13,13) (40,40) (55,55) ... (1,2) (10,20) (2,4) (22,44) (4,8) (-4,-8) (-5,-10) ... (2,6) (20,60) (1,3) (-1,-3) (-3,-9) (3,9) (100,300) ...

-1,2 -1,1 0,1 1,1 1,2 1,3

-1/2 -1 0 +1 +1/2 +1/3

. . .

. . .

. . .

En el contexto matemático los números racionales pueden ser interpretados como clases de equivalencia, lo cual es importante considerar cuando se trabaja con ellos. Las fracciones surgieron como una necesidad para hablar de partes de un total, al inicio sólo se manejaban fracciones senciallas como una mitad o un tercio, posteriormente se fueron requiriendo otro tipo de fracciones y se desarrolló una herramienta matemática que permitía su uso. Esto también llevó cientos de años, no fue un proceso que se realizara de manera espontánea. Desafortunadamente, se considera que a los estudiantes les basta conocer las reglas de operación de las fracciones para manejarlas adecuadamente, por otra parte se realiza la enseñanza a partirde modelos como la recta numérica, el del “pastel” y otros más que han resultado ser los más complejos de manejar. En lo que sigue vamos a manejar exclusivamente fracciones en colecciones para constatar que los Bloques de Dienes pueden ser de utilidad también en los desarrollos de este tipo de números, lo cual permitirá basarnos exclusivamente en técnicas de conteo y no en conocimientos de medición o de áreas como sucede con otros modelos. Para el desarrollo de este apartado utilizaremos los cuadraditos de colores, la interpretación que se da a cada uno de ellos se explicará en su momento. Relación parte y total, fracciones equivalentes Uno de los aspectos importantes en la enseñanza de las fracciones es que los estudiantes entiendan al símbolo: en un cierto arreglo.

a b

como un número, no como dos números

Esto se puede trabajar de la siguiente manera: Consideremos una colección de 24 cuadraditos:

La tercera parte de esta colección son 8 piezas: 87

88

8 24

1 3

TERCERA PARTE

TOTAL

8 1  24 3

Es decir, 8 de 24, representan la relación 1 de 3: Si la colección fuera de doce fichas, tendríamos:

4 12

TERCERA PARTE

1 3

TOTAL

Esto es, 4 de 12, representan la relación 1 de 3:

4 1  12 3

Ahora, si la colección fuera de 6 objetos, se tendría:

TERCERA PARTE

2 6

1 3

TOTAL

De ahí que también la relación 2 de 6 representa la tercera parte:

2 1  6 3

De esta forma hemos cosntatado que:

1 8 4 2 = = = 3 24 12 6

Esto es, la misma relación entre una parte y un total, puede ser representada por diferentes formas: Con lo cual se muestra que “la tercera parte” es una noción que se refiere a una situación genérica y que se puede representar de diversas maneras. Esto permite dar un sentido y resaltar la equivalencia de fracciones.

88

89 Se pueden realizar actividades en las que los estudiantes se enfrenten con colecciones que no pueden dividirse de manera exacta, lo cual ayuda a repasar temas como los referidos a múltiplos y divisores de un número entero. Por otra parte se puede analizar cuando es posible que con una colección se puedan separar dos partes diferentes dadas, como sería el caso de tercios y los quintos:

Admite terceras partes Admite quintas partes Admite terceras partes

Admite quintas partes

En símbolos podríamos decir que esta situación se identifica cuando se el mismo denominador:

1 2 3 4 5 = = = = 3 6 9 12 15 1 2 3 4 5 = = = = 5 10 15 20 25 Esto permitirá encotrar reglas como la de fijarse en el mínimo común múltiplo que en algunos casos resulta ser el producto de los números considerados. Adición de fracciones Lo anterior se puede aprovechar para la suma de fracciones, consideremos nuevamente una colección de 24 objetos y señalaremos la suma de una mitad más una tercera parte:

89

90

1 1 8 12 20 + = + = 3 2 24 24 24 Como vemos el resultado se encontró solamente contando y sin ningún problema. Si la colección consistiera de doce objetos se tendría:

1 1 4 6 10 + = + = 3 2 12 12 12 Nuevamente el resultado se puede encontrar sñolo contando, no existe ninguna dificultad adicional. Si la colección consistiera de seis objetos se tendría:

1 1 2 3 5 + = + = 3 2 6 6 6 Si la colección consistiera de tres objetos no se podría realizar esta operación sin cortar uno de los cuadritos, esto nos ayudaría a reconocer que se debe utilizar en la suma los menores denominadores posibles y el uso de denominadores comúnes además de que este puede obtenerse con la multiplicación de los denominadores. El algoritmo para sumar fracciones 90

91 surge de manera inmediata, sin problemas ni actos de fe, absolutamente prohibidos en matemáticas. Veamos otro ejemplo, sumar un tercio con un quinto. Apoyados en lo realizado con anterioridad vemos que una colección de quince objetos sirve muy bien para nuestros propósitos:

1 1 5 3 8 + = + = 3 5 15 15 15 Esto puede aplicarse en caso de que el resultado sea mayor que la unidad, por ejemplo, para efectuar la suma de dos tercios más tres cuartos:

2 3 + 3 4

Tenemos que representar esta situación con una colección que sea susceptible de dividirse en tercios y cuartos de manera simultánea, esto nos conduciría a analizar varios casos, una de tres, una de cuatro, una de seis, una de ocho y así hasta ver que la adecuada esla de doce:

2 3 8 + = + ... 3 4 12 Se podrían separa de una colección de doce los dos tercios pero faltarian fichas para separar los tres cuartos, por ello nos veremos en la necesidad de tomar otra unidad o sea otros doce cuaditos:

91

92

2 3 8 9 + = + 3 4 12 12 Por lo tanto el resultado sería 17 de los cuadritos, de una unidad de doce, lo cual es razonable porque requerimos de tomar otra unidad, así que el resultado es una unidad más cinco doceavos:

2 3 8 9 17 5 + = + = =1 3 4 12 12 12 12 Todos los problemas catastróficos con las fracciones se pueden resolver contando, el único aspecto por considerar es que las fracciones que se manejan estén en las mismas unidades, lo cual es natural, recordemos que si sumaramos: 2m + 3m el resultado sin dudar sería 5m, si consideramos unidades de peso 2Kg + 3 Kg = 5 Kg, entonces por uqe no anticipar que: 8 doceavos + 9 doceavos = 17 doceavos Es decir la palabra “doceavos” esta siendo interpretada como una unidad de medida. Diferencia de fracciones Para restar fracciones se procede de la isma manera que la suma de fracciones. Consideremos otra vez una colección de 24 objetos y señalaremos la resta de una mitad menos una tercera parte:

92

93

1 2

-

tercio

mitad

1 12 = 3 24

-

8 4 = 24 24

Contando se volvió a encontrar el resultado. Si la colección consistiera de doce objetos se tendría:

1 2

1 6 4 2 = = 3 12 12 12

Nuevamente el resultado se puede encontrar sólo contando, no existe ninguna dificultad adicional. Si la colección consistiera de seis objetos se tendría:

1 2

1 3 2 1 = + = 3 6 6 6

Reconocemos de nuevo la necesidad de utilizar los menores denominadores posibles y el uso de denominadores comúnes. El algoritmo para restar fracciones emerge inmediatamente. Como se dijo con anterioridad, resulta inmediato que 2m + 3m = 5m o en otro caso 2Kg + 3 Kg = 5 Kg, entonces por que no pensar los denominadores comúnes como unidades de medida, de hecholo son: 93

94 11 doceavos + 7 doceavos = 4 doceavos Multiplicación de fracciones Llegamos ahora a un punto interesante que es el de la multiplicación de fracciones. Consideremos para esta sección al producto de dos números como el área de un rectángulo, como ya se utilizó con anterioridad. Iniciemos nuestra discusión con la multiplicación:

1 1  2 3

Para ello consideremos un rectángulo con lados en los que se de la relación expresada en los factores: 1/2

1/2

1/3

1/3

Luego se completa el rectángulo con cuadros blancos

En un lado se marca un medio y en el otro un tercio, al completar el rectángulo se observa que el área obscura es 1/6 del total, por lo tanto:

1 1 1   2 3 6 Veamos otro ejemplo

2 4  3 5

4/5

4/5

2/3

2/3

Luego se completa el rectángulo con cuadros blancos y obscuros según corresponda

Por tanto:

2 4 8   3 5 15

Con estas ideas el algoritmo salta a la vista. Cabe mencionar que en el caso de la suma y la resta de fracciones se procedia a transformar las cantidades que se tenían con el mismo denominador y por tanto lo que se hacía era operar solamente los numeradores conservando el mismo denominador.

2 4 10 12 22     3 5 15 15 15

o

4 2 12 10 2     5 3 15 15 15

lo cual se asemejaba a decir: 10 m + 12 m = 22 m o 12 m - 10 m = 2m 10 Kg + 12 Kg = 22 Kg o 12 Kg - 10 Kg = 2Kg

94

95 10 quinceavos + 12 quinceavos = 22 quinceavos o 12 quinceavos - 10 quinceavos = 2 quinceavos En el caso de la multiplicación ¿esto podría hacerse? Si, en efecto, recordemos que 10 m  12 m = 22 m2 10 ft  12 ft = 22 ft2 3 quinceavos  5 quinceavos = 15 quinceavos2 Veamos que si se puede hacer así:

1 1 3 5 15     2 5 3 15 15 15 Entonces parece perfilarse como regla general que si se suman, restan o multiplican fracciones se puede transformar cada elemento de la operación al mismo denominador y sólo operar los numeradores, cuidando dar el tratamiento adecuado a las unidades que se estén manejando y que están representadas por el denominador común. División de fracciones Después de lo anterior no resulta difícil considerar a la división como una operación invesrsa de la multiplicación. Por lo cual tenemos que encontrar un lado de un rectángulo del cual sabemos el área total (dividendo) y uno de los lados (divisor). Veamos algunos ejemplos:

1 1  6 3 1/2 1/6

1/6

1/3

1/3

Luego se completa el rectángulo con cuadros blancos

Por tanto:

1 1 1   6 3 2

Veamos otro ejemplo

8 2  15 3

4/5

8/15 2/3

8/15 2/3

Luego se completa el rectángulo con cuadros blancos y obscuros según corresponda

95

96 Por tanto:

8 2 4   15 3 5

En el caso de la división ¿podría hacerse como si se manejaran unidades? Si, en efecto, recordemos que 10 m  5 m = 2 36 ft  12 ft = 3 ¿36 veinticuatravos  12 veinticuatravos = 36  12 = 3? Veamos que si se puede hacer así:

9 2 36 12 36     6 4 24 24 12 Entonces, sin duda, sólo hay un algoritmo para realizar operaciones con fracciones: Transformar cada elemento de la operación al mismo denominador y sólo operar los numeradores, considerando a los denominadores como unidades y sujetándose a las reglas para éstas. ALGORITMOS

ANALOGÍAS

a c ad cb ad  cb     b d bd bd bd

ad m + cb m = (ad + cb) m

a c ad cb ad  cb     b d bd bd bd

ad m - cb m = (ad - cb) m

a c ad cb ad  cb     b d bd bd bd 2

ad m  cb m = (ad  cb) m

a c ad cb ad     b d bd bd cb

ad m  cb m = (ad  cb)

96

97

Multiplicación y división de números enteros y expresiones algebraicas Repaso Convienen hacer un breve repaso de lo que se realizó con los números enteros para ubicar la utilidad de este esfuerzo en la atención al problema de algunos polinomios. La multiplicación Recordemos como se realiza esto a partir de las siguientes multiplicaciones: (+2)  (+3)=

(+2)  (-3)=

(-2)  (+3)=

(-2)  (-3)=

Consideremos el primer caso:

cero

 



un (+3) un (+3)

cero

Para multiplicar

(+2)  (+3)

se piensa como poner dos veces (+3) De tal forma que (+2) (+3) = (+6)

(+6) (+6)

En el segundo caso tenemos:

 



un (-3)

un (-3)

Para multiplicar

cero

(+2)  (-3)

se piensa como poner dos veces (-3)

De tal forma que (+2) (-3) = (-6) (-6)

cero

(-6)

Para el tercer caso podemos proceder como sigue:

97

98

 

Para multiplicar

(-2)  (+3)

se piensa como quitar dos veces (+3)



un (+3) un (+3)

cero

(-6)

De tal forma que (-2)  (+3) = (-6)

cero

(-6)

En el cuarto caso se procede como sigue:

 un (-3)

Para multiplicar (-2)  (-3) se piensa como quitar dos veces (-3)

un (-3)

 

cero De tal forma que (-2)  (-3) = (+6)

cero

(+6) (+6)

Daremos en adelante por conocida a la regla de los signos, esto es como si ya se conociera de manera eficaz y por tanto no tengamos que recurrir a introducirla nuevamente:

Multiplicación de polinomios Entonces, para la multiplicación de polinomios podemos recurrir a la asociación de esta operación con el área de un rectángulo. Si tratamos de considerar el caso en el que se multiplica una constante por un polinomio de primer grado podríamos proceder como sigue:

2(3x-1) Utilizamos los bloques para representar lo que está dentro del paréntesis:

98

99

2(3x-1) y en seguida lo duplicamos según indica la constante

2(3x-1) por lo tanto el resultado será:

2(3x-1)= 6x-2 lo importante es que se puede hacer explícita la distributividad dado que se puede hacer notar que se duplica el primero de los términos del paréntesis y luego se duplica el segundo:

2(3x-1)=2(3x)-2(1)

En el caso de que la constante sea negativa se procede de manera similar. Por ejemplo realicemos la siguiente operación:

99

100

-3(2x+4) Iniciamos representando con los bloques lo que está dentro del paréntesis:

-3(2x+4) en seguida consideramos que la operación con la constante indica que hay que quitar tres veces lo del paréntesis, lo cual hacemos partiendo de un cero que lo permita, tal y como se hizo en el caso de los números enteros, para ello primero consideramos un cero adecuado para cada sumando:

-3(2x+4) Posteriormente se procede a quitar lo que se indica, de tal modo que nos queda:

-3(2x+4) por lo tanto el resultado será:

-3(2x+4)=-6x-12 nuevamente queda claro que se tiene que operar cada sumando por separado y ello refuerza la propiedad distributiva.

100

101 También se puede hacer haciendo la convención de que primero se trabaja como si el factor fuera positivo y luego, por el hecho de tener un signo negativo, se cambiarán de color todas las fichas. Veamos como se puede realizar esto. Iniciamos representando con los bloques lo que está dentro del paréntesis:

3(2x+4) en seguida consideramos que la operación indica triplicar lo que hay dentro del paréntesis:

3(2x+4) Posteriormente se cambian cada una de las piezas por unas del otro color:

-3(2x+4) por lo tanto el resultado será:

-3(2x+4)=-6x-12 El caso que resulta más complejo es cuando se multiplican dos polinomios de primer grado, por ejemplo:

101

102

(2x+1) (3x+4) En este caso tenemos que recurrir a la interpretación de la multiplicación como el área de un rectángulo, cuyos lados miden lo que indican cada uno de los factores:

(3x+4) (2x+1) Esto puede lograrse utilizando los Bloques de Dienes:

x

(3x+4) x x 1111

x (2x+1)

x 1

De este modo se observa que el resultado se obtendría con el conjunto de piezas utilizadas:

102

103

2 (3x+4) = (2x+1) 6x +11x+4

Si analizamos la configuración del rectángulo a partir de cierto orden en las piezas también podemos resaltar la ley distributiva:

(2x+1) (3x+4) = =(2x+1)(3x)+(2x+1)(4)

También en el siguiente paso se puede resaltar la ley distributiva:

103

104

(2x+1) (3x+4) = =(2x+1)(3x)+(2x+1)(4) =(2x)(3x)+(1)(3x)+(2x)(4)+(1)(4)

Se recomienda que en este tipo de situaciones se trabaje solamente con polinomios cuyos coeficientes sean positivos y después se trate de generalizar los procedimientos a partir del manejo de la regla de los signos. Sin embargo, en estas situaciones también será posible utilizar los Bloques de Dienes: Veamos el siguiente caso:

(x+1) (2x-3) Esto puede lograrse utilizando los Bloques de Dienes, pero se debe tener algún cuidado en el primer factor se consideran piezas positivas y en las segundas piezas positivas y negativas:

104

105

(x+1) (2x-3) Se completa en este caso el rectángulo con cuadrados pequeños asociados a los negativos, como si consideraramos que uno de su lado es positivo y otro negativo, de tal modo que no sería un resultado positivo sino negativo:

(x+1) (2x-3) Por lo tanto el resultado sería:

105

106

(2x-3) (x+1) = 2x -x-3 2

Si los términos constantes de cada polinomio fueran negativos, se tendría:

(2x-3) (x-1)

= 2x -5x+3 2

Si uno de los factores tiene el coeficiente de las x negativo se puede hacer notar que:

(-2x+3) = - (2x-3) (2x-3) - (2x-3) 106

107 Utilizando este hecho se puede proceder como sigue cuando uno de los coeficientes de las x es negativo:

(-2x+3) (x+1) = 2 -(2x-3) (x+1) = - (2x -x-3) 2 = - 2x +x+3

Cuando los coeficientes de las x´s son negativos se procede como si fueran positivos:

(-2x+3) (-x+1) = 2 (2x-3) (x-1) = 2x -5x+3

Áreas de figuras geométricas y el álgebra El uso de los bloques partidos en mitades nos ofrece una gran cantidad de posibilidades para trabajar algo de geometría a la vez que se trabaja con álgebra, veamos como se puede realizar esta parte: Se pueden trabajar expresiones equivalentes las cuales se obtengan por la consideración del total de las piezas o el desarrollo dela expresión correspondiente a partir de la fórmula del área de la figura correspondiente, las siguientes situaciones ilustran lo dicho: Triángulo ( 2 x )( 2 x ) 1  2 x 2  x 2  2 x 2   x 2  x 2  2  2

107

108

Paralegramo 1  2 x 2  x 2  2 x 2   x 2  x 2  ( x )( 2 x ) 2 

2 x 2  2 x  ( 2 x  1)( x )

Trapecio

x2 

1 2 (2x  x )x x  2 2

 1  ( 3x  x ) x 2 x 2  x 2  2 x 2   2  2

3 2 1 1 1 (( 2 x  1)  x ) x x  x  x2  x2  x  2 2 2 2 2

108

109

(( 2 x  2)  2 x ) x 1  2 x 2  2 x   2 x 2  x  2  2

Rombo ( 2 x )( 2 x ) 1  4 4 x 2   x 2  2 x 2  2  2 2

Las posibilidades de formar diferentes figuras con los bloques son muchas, pero lo más importante es que el estudiante puede escribir las relaciones que observa considerando las piezas por separado o la configuración total de la cual puede calcular su área en términos de x. Este tipo de ejercicios permitirán a los alumnos reconocer la equivalencia de las expresiones algebraicas y superar muchos errores frecuentes en el manejo de éstas.

Productos notables Esto nos puede ayudar a trabajar los famosos productos notables, cuyo nombre tal vez se debe a que es notable que pocos se los sepan:

109

110

2

(x-1) (x+1) = x - 1

2

2

(x-1) = x - 2x+1

2

2

(x+1) = x +2x+1

Factorización de polinomios Algunos resultados importantes se pueden resaltar con este tipo de procedimientos. Por ejemplo, lo referente a la factorización, por ejemplo sabemos que:

110

111

2 (3x+4) = (2x+1) 6x +11x+4

Podríamos plantearnos si con las piezas del resultado se puede construoir otro rectángulo que tenga diferentes dimesiones, esto es que los lados midan diferente del rectángulo anterior:

6x 2+11x+4

Después de muchos intentos veremos que la respuesta es no, lo cual coincide con lo que sabemos respecto a la unicidad de la factorización de polinomios, la diferencia es que aquí se hace plausible y el aceptarla es más sencillo para quienes no conocen la demostración, si se realiza esta actividad. Por otra parte podemos intentar “completar binomios cuadrados” como sigue: Considérese el caso:

x + 8x 2

Tratando de conformar un cuadrado con dichas piezas obtendremos:

111

112

x + 8x 2

Como no se puede formar el cuadrado solamente con esas piezas tendremos que completarlo con 16 cuadrados pequeños:

x + 8x + 16 2

lo cual nos hace ver que dicho polinomio se puede obtener del cuadrado de otro polinomio:

x 2+ 8x + 16 = ( x+4)

2

Lo mismo podría hacerse si el binomio con el que se inicia es tiene el segundo miembro negativo:

x - 6x 2

Al intentar formar el cuadrado tendríamos:

112

113

x - 6x 2

Por tanto deberíamos emplear cuadrados pequeños de colo para completar el cuadrado y ser consecuente con la regla de los signos:

x - 6x + 9 = ( x-3) 2

2

División de polinomios Por lo anterior resultaría natural que la división de polinomios pueda desarrollarse a partir de los realizado en lo referente a la multiplicación de polinomios. Esto es, se trata de formar un rectángulo del cual conocemos el total de piezas y uno de los lados: Por ejemplo en el caso:

2x+1

6x 2+11x+4

Entonces en este caso tendríamos seis cuadrados grandes, once regletas y 4 cuadrados pequeños con los cuales debemos formar un rectángulo en el cual uno de sus lados sea 2x+1:

113

114

2x+1

6x +11x+4 2

Después de algunos intentos llegaríamos a:

2x+1

6x +11x+4 2

Lo cual nos indica que el cociente de esta división es: 3x  4

2x+1

3x+4 2 6x +11x+4

Puede resultar que sobre algunas piezas como el siguiente caso:

2x+1

6x +11x+7 2

Con el cual al tratar de formar el rectángulo tendríamos:

114

115

2x+1

6x +11x+7 2

En cuyo caso el resultado se escribiría:

2x+1

3x+4 6x 2+11x+7 3

En el caso de que algunos términos de los polinomios involucrados sean negativos se procede de manera similar teniendo cuidado en los signos correspondientes, por ejemplo: En la divisdión:

2x-1

6x -11x-7 2

Se representa el dividendo con lo bloques y se trata de formar un rectángulo en el cual uno de sus lados sea el divisor:

115

116

2x-1

6x -11x-7 2

Nótese que se agregó un cero formado por cuatro cuadros de cada color para poder completar el rectángulo. De tal modo que el resultado será:

2x-1

3x-4 2 6x -11x-7 -11

De la misma manera que se planteó en Matebloquemática I, se pueden desarrollar explicaciones para inducir el algoritmo de las operaciones con polinomios, este asunto se deja al lector dada la falta de espacio para incluir las explicaciones respectivas.

Ecuaciones lineales Ecuaciones de primer grado Otra ventaja de los Bloques de Dienes se tiene cuando se introducen los temnas referidos a las ecuaciones de primer grado, dado que nos posibilitan realzar acciones con los materiales que después se pueden representar simbólicamente después de haberles dado sentido: Veamos algunos ejemplos sobre este punto, consideremos como primer caso, la solución de la ecuación: 3x=6 Representamos dicha ecuación con las barras y los cuadrados pequeños, en este momento haremos la convención de que una ralla podrá ser utilizada 116

117 para establecer la igualdad o diferenciar ambos lados de la igualdad de la ecuación.

3x = 6

Posteriormente, formamos grupos de una regleta y repartimos lo cuadrados pequeños entre las regletas:

x

= 6/3

De ahí que el resultado es x=2.

x

= 2

Esto puede llevarse a cabo aún sin que el reparto sea exacto:

117

118

5x = 8

Se reparten los cuadritos a cada regleta.

x

= 8/5

3 De ahí que el resultado es x  1 . 5 Se pueden tambvién atender los casos en que alguna de las cantidades sean negativas:

3x = -6

En este caso se hace la repartición de la misma forma y se obtiene el resultado:

118

119

x

= -2

Veamos también la siguiente situación:

-3x = 6

El cual se puede resolver argumentando que si se cambia de color en el lado derecho también habrá que hacerlo del lado izquierdo:

3x = -6

Con lo cyual reducimos la situación al caso antes analizado. Hay otro tipo de ecuaciones que deberemos considerar y que se pueden reducir a los casos anteriores:

119

120

4x + 4 = 12

Lo que estorba en este caso es el 4 del lado derecho el cual podemos neutralizar si agregamos cuatro cuadraditos del color contrario, pero si lo hacemos de un lado lo tendremos que hacer también del otro:

4x + 4 - 4 = 12 - 4

De esto podemos netralizar las piezas que sean necesario:

4x = 8

Posteriormente procedemos con el reparto y obtenemos:

120

121

x = 8/4

De ahí que el resultado es:

x = 2

Consideremos ahora el siguiente caso con números negativos y positivos:

-5x - 3 = 12

Primero quitamos los tres cuadraditos de color blanco:

121

122

-5x - 3 + 3 =

12 +3

Se equilibran las piezas y obtenemos:

-5x

=

15

Ahora se cambia el color de cada lado:

5x

=

-15

Se hace entonces el reparto:

x

=

-15/5

Finalmente el resultado es:

122

123

x

=

-3

Cálculo de la raíz cuadrada con ecuaciones de primer grado Resulta sencillo calcular raíces cuadradas con la simple aplicación de una ecuación de primer grado si se utilizan algunas configuraciones con los Bloques de Dienes. Consideremos el siguiente caso:

586 De algunos ensayos o por estimación sabemos que 242 es igual a 576 y 252 es 625, luego entonces podemos considerar un cuadrado de lado 24 sería el cuadrado de lados enteros que se acercaría más un cuadrado de área 586. ? 586 ?

24

24

los espacios que faltan llenar del cuadrado grande lo podemos cubrir con dos regletas y un cuadrado pequeño, considerando que el lado de este es x. x x 24

?

? x

576

?

24

x

De este modo el área del cuadrado mayor (586) se puede cubrir con el área del cuadrado de lado 24 (576), el àrea de dos rectángulos de lados 24 y x (es decir, 24x) y el área de un cuadrado de lado x (esto es, x2): 123

124

586  576  2( 24 x )  x 2 Pero se llena más espacio con los dos rectángulos que con el cuadrado, por ello, en una aproximación podemos despreciar el cuadrado pequeño y nos quedaría:

586  576  2( 24 x ) lo cual da una ecuación de segundo grado que se resuelve de la siguiente manera: 586  576  2( 24 x ) 48 x  586  576 48 x  10 x

10 48 x .208

así pues, el lado del cuadrado de área 586 es aproximadamente: 24+x = 24+.208=24.208 Si calculamos con una calculkadora la raíz cuadrada de 586 obtendríamos: 586  24.2074

Como vemos este método es muy corto y nos puede ayudar a obtener una buena aproximación.

Ecuaciones de segundo grado Ya que hemos abordado lo referente a las raíces cuadradas se puede entonces trabajar algunas ecuaciones de segundo grado sencillas con las que será ensayaremos algunos métodos a partir del manejo de los Bloques de Dienes. Para ello consideraremos la siguiente ecuación:

x 2=25 En este caso bastará tratar de formar con 25 cuadrados pequeños un cuadrado:

x =25 2

El cuadrado quedaría conformado así:

124

125

x 2=25 Por lo que la solución sería:

x=5 Claro está que se debe dar otro tratamiento a las raíces negativas. También se le podría dar un tratamiento como en las ecuaciones de primer grado formando dos áreas de trabajo con los bloque que corresponderán a ambos lados de la igualdad: En un lado se tendrían los 25 cuadrados pequeños y en la parte izquiera un cuadrado:

x =25 2

Al formar el cuadrado se tendría:

x =25 2

Obviamente se podría razonar que para que los dos cuadrados tengan la misma área se requiere que el de la derecha tenga las mismas dimensiones que el de la izquierda, o sea que su lado debe ser igual a 5:

x=5 En el mismo orden de ideas se puede abordar la solución de la ecuación:

125

126

x -9=0 2

Lo cual lo podemos representar con un cuadrado grande y otros cuadrados pequeños:

x 2-9=0

para dejar sola a la incógnita se tendrían que eliminar los cuadrados del lado izquierdo, lo cual se hace añadiendo de cada otros nueve cuadraditos del otro color:

x 2-9=0

Así se quedaría que:

x 2= 9

formando el cuadrado del lado izquierdo se tendría:

126

127

x 2= 9 3

?

De tal forma que el cuadrado del lado derecho debe tener una longitud de 3 para lograr la igualdad de las áreas, lo cual indica que:

x=3 Podemos complicar un poco la ecuación, como es el siguiente caso:

x 2+5x=0 En esta situación consideramos las fichas correspondientes para establecer las dos áreas de trabajo:

x +5x=0 2

En cuyo caso no se podría formar un cuadrado, pero si un rectángulo:

x 2+5x=0

127

128 Pero esta área debe ser cero lo cual solamente se lograría si alguno de los lados es cero:

x=0

x+5=0

"o"

de lo cual se deduce que las soluciones serían:

x=0

x = -5

"o"

dado que en esta altura de tratamiento de contenidos ya se habrán trabajado las ecuaciones de primer grado. Un caso un tanto más complicado sería:

x 2-5x+6=0 podemos intentar formar un rectángulo con las piezas y tendríamos:

x 2-5x+6=0

En cuyo caso el área sería cero si alguno de los lados fuera cero:

x - 3 =0 x-2=0 Así que las soluciones serían:

x = -3

"o"

x = -2

Obsérvese que de este tipo de caso queda clara aquella regla de que se “deben buscar dos números que sumados den -5 y multiplicados den 6, lo cual resulta obvio de la manera de formar el rectángulo:

128

129 sumados

multiplicados

También esto puede conducir a la formación de un cuadrado como es el caso:

x +6x=7 2

Representamos cada parte con los Bloques de Dienes:

x +6x=7 2

Se intenta formar un cuadrado con las piezas del lado izquierdo:

x +6x=7 2

Pero se obseva que está “incompleto”, para completarlo hay que agregar justamente nueve cuadrados pequeños:

129

130

x +6x+9=7+9 2

Se puede hacer notar en este paso que se agregaron tantos cuadrados como la mitad del coefciente de la x al cuadrado, lo cual se puede hacer evidente despúes de analizar varios ejercicios similares De tal modo que se forman en cada lado dos cuadrados:

(x+3) =2 16

De tal modo que para la igualdad de las áreas se de, será necesario que el lado del cuadrado del lado izquierdo sea 4:

x+3

4

De ahí que una solución se obtendría de:

x+3 = 4 Es decir:

x=1 Con un tratamiento numérico se puede enfocar el caso de la otra raíz. 130

131 Vale la pena resaltar que en este tipo de manipulaciones se puede reflejar fielmente lo que se hace con los símbolos matemáticos sin emplearlos y esto con toda seguridad ayudará al estudiante a formarse imágenes mentales que le ayudarán mucho a entender los procedimientos simbólicos.

Sistemas de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas Para trabajar este tema tendríamos que hacer nuevas convenciones consideremos que los cuadrados grandes representan x y las regletas y, quedando los cuadrados pequeños para las unidades como los hemos estado utilizando:

para las x

para las y

para las unidades

+

+

+

-

-

-

De este modo podemos abordar sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, como el siguiente:

x+y=3 x - y = -1 representamos la situación con los bloques y obtenemos:

x+y=3 x - y = -1 Ahora sumemos lo que tenemos de cada lado: 131

132

x+y=3 + x - y = -1 El resultado será:

x+y=3 + x - y = -1 2x =2 Y repartiendo cada unida a cada x tenemos:

x=1

De la primera ecuación podemos substituir la parte de x por las unidades que se encontraron y obtenemos:

1+y=3 132

133 Lo cual resolviendo nos da un valor para y de:

y=2 Como podemos observar se siguen desarrollando los mismos pasos que el método de suma y resta, pero veamos otro ejemplo:

x + 2y = 7 x- y =1 Al representar con los bloques este caso obtenemos:

x + 2y = 7 x- y =1 Para cancelar sumando debemos tener las mismas y en la primera y segunda ecuación, para lograr este propósito se duplican las y de la ecuación de abajo, pero esto implica duplicar todo lo de esta ecuación ¡Hay que ser parejos!

x + 2y = 7 2x - 2y = 2 Ahora sumamos:

133

134

x + 2y = 7 + 2x - 2y = 2 El resultado será:

x + 2y = 7 + 2x - 2y = 2 3x = 9 De ahí que:

x=3 y sin muchos problemas obtendríamos:

y=2 Es posible desarrollar esta parte de otra forma si construimos regletas de cuatro colores, dos de ellos destinados a las x “positivas” y “negativas” y los otros dos a las y “positivas” y “negativas”.

para las x + -

para las y + -

La forma de trabajo sería muy similar a la expuesta anteriormente y evitaría modificar las convenciones sobre el papel de los cuadrados grandes. En realidad es cuestión de gustos y de probar una y otra forma.

Consideraciones finales El maestro tiene que diseñar sus actividades, no puede dejar a la imaginación el caso que se va a analizar por que esto puede provocar problemas fuertes, esto hace muy importante la planeación que se haga del manejo de los

134

135 materiales y las secuencias que conformarán la actividad, dado que no se puede dejar a los estudiantes que exploren con libertad por la libertad misma, se debe orientar de alguna manera su actividad para obtener los resultados que se esperan y luego ellos mismos harán otro tipo de exploraciones lo queramos o no, olo cual generará algunas preguntas. Conviene señalar que un inicio muy bueno es el pedir a los estudiantes, antes de iniciar la búsqueda de la solución que planteen una estimación y la argumenten, esto permitirá que analicen las relaciones que se expresan en las ecuaciones y les ayudará a comprender lo que se plantea. Vale la pena insistir que el material no substituye la intervención del maestro, sólo es un posible apoyo, el cual puede resultar contraproducente si no utiliza con una planeación adecuada. Por otra parte, el material en sí no genera los conceptos matemáticos, ayuda a que éstos se conformen, pero no es un substituto de la matemática dado que tienen posibilidades de aplicación limitadas. Sería un error quedarnos en lo que se puede hacer con el material, la matemática es algo más amplio y este tipo de sugerencias sólo son aconsejables para tener algunos referentes para la construcción de conceptos o procedimientos, después se deben realizar actividades con otros materiales o pasar al manejo operativo, lo cual será establecido sobre otras bases, dado que el estudiante tuvo la oportunidad de “dar sentido” a algunos procesos abstractos. Existen diversos materiales para impulsar el aprendizaje de la aritmética y el álgebra, los Bloques de Dienes son sólo una opción, por ello queda al lector ensayar nuevos procedimientos, incluso en torno a los mismos manipulativos. A pesar de ello, hemos insistido en matebloquemática I y II en el manejo de los Bloques de Dienes por que es un material que se puede aplicar en diversos temas y eso ayuda a tener una continuidad en la enseñanza, dado que se trabajan desde temas de aritmética sencillos hasta temas de álgebra como los que se han trabajado en esta parte y que presenta grados de dificultad altos para los estudiantes. También es importante mencionar que los Bloques se deben manipular, es decir, no es conveniente trabajar este tipo de actividades por medio de figuras o dibujos en el pizarrón sin que los estudiantes los puedan tocar y hacer ensayos con ellos, de hacerlo así tanto el maestro como los estudiantes se enfrentarán a situaciones engorrosas y traumantes que terminarán por abandonar en la primera oportunidad. Se aconseja que el maestro diseñe sus propios bloques y pida a los estudiantes que elaboren los suyos, lo único que se requiere es de material rígido como cartón, madera, acrílico y otro tipo de material. ¡Pasar la clase dibujando cuadrados y regletas puede ser odioso y no vale la pena, lo divertido será manejar los materiales en vivo y en directo! Buscar otras formas de realizar las actividades es fundamental para realizar la labor docente. En este punto tal vez no se nos ocurran nuevas formas de trabajo pero si observamos lo que hacen los estudiantes obtendremos con 135

136 seguridad muchas ideas y procedimientos alternativos que seguramente enriquecerán nuestros conocimientos y estrategias.

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137 Bibliografía: Dienes, Z (1972); Algebra; Varazán Howden, H.; Algebra Tiles for the Overhead Projector; Cuisenaire Dreyfous, R.; Algebloks, user´s manual; Dreyfous & Assoc.

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