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FISICA Teo ría

t

y Problemas

Carlos V. Moreno Medina Profesar Principal del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Naturates y Matemáticas de la Escuela Superior Politécnica del Litoral t

Bolívar C. Flores Nicolalde Profesor Titular del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas de ta Escuela Superior Politécnica del Litoral

i* I

Guayaquil -Ecuador :)

I

f

ACERCA DE LOS AUTORES. Carlos Y. Moreno Medina, es profesor principal de la Escuela Superior Politécnica del Litoral en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas. Realizó sus estudios en la Escuela Superior

Politécnica del Litoral donde obtuvo el título de Ingeniero Mecánico. Sus estudios de Maestría en Física Teórica los realizó en Ohio University (1,-.S.A.). Allí investigó en el fuea de Acústica Submarina. Como profesor obruvo la distinción de Mejor Profesor del Instituto de Ciencias Físicas. Como estudiante, fue Ayudante Académico por muchos años en el área de Laboratorios de Física así como en Física Teórica. Dictó materias a nivel secundario y universitario así como de postgrado como mecánica analítica, relatividad, terrnodinámica estadística entre otras. Se desempeñó como Director de la Oficina de Admisiones desde el añro 1993 hasta el año 1998 y luego como Director de Instituto de Ciencias Físicas de la ESPOL desde el año 2003 hasia el año 2\ll.Nació en la ciudad de Milagro de la Provincia del Guayas. Decidí escribir un libro de física debido a 1a gran dificultad que presentan los estudiantes en entender esta materia que está acorde con 1as necesidades y exigencias que demandan los estudios secundarios y superiores. El texto escrito consta de muchos problemas resueltos donde se aplican los conceptos teóricos y su desarrollo en forma claray precisa.

Bolívar C. Flores Nicolalde, es profesor Titular cle 1a EscLrela Superior Politécnica del Litoral en el Depafiamento de Físrca de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas. Realizó sus estudios en 1a Escuela S'.rperior Politécnica del Litoral donde obtuvo el Título de lngeniercr Mecático y su post-srado en Enseñanza de la Física obteniendo el -srado de Magister. Como méntos académicos recibió el Diploma de Honor al Mérito Docente por haber obtenido altas calificaciones en sus labores clocentes en los años 2010 y 201 1. Presentó trabajos científicoseducativos en la Décima Conferencia Interamericana de Educación en Física, organizado por la Universidad de Antioquia en Colombia en el año 2009, así como también en el Primer Congreso Binacional de Investigación en Ciencia y Tecnología de la Universidades del Norte del Perú y Sur del Ecuador., en Piura, Perú en el año 2011. Presentó kabajos en o'International Conference Of Physics Education" en México-ICPE 201 1. Publicó su trabajo en Física Educativa titulado " The effects of the application of cognitive strategies for problem solving and the implementation of Gowin's V in electric field point charges" en Latin American Journal in Physics Education Volumen

6, Agosto deL2012.

Decidí escribir este libro conociendo que

el

estudio de las ciencias en general y la Física en particular

requiere un texto en el que los alumnos desarrollen habilidades de aprenüzaie significativo y resolución de problemas para que los estudiantes estén siempre listos para rendir y aprobar los exámenes de exoneración o ingreso en las distintas universidades y escuelas politécnicas a nivel nacional e internacional.

W_

\

,1gr ade cimi"ento

C-¿rI6 Y-

tlort¡o

Medina:

lfi agredcimilm a todas las personas que me apoyaron en escribir esta obra y en especial a mi espma y

*i* hilx

quienes fueron mi soporte para culminar con éxito este texto.

Bolír ar C. Flores \icolalde: Agradezco en especial a mi esposa Mirella y a mis pequeños hijos Carlos. David y Andrés quienes en todo momento fueron mi apoyo y mi 1-uente de inspiración para culminar con éxito esre 1ibro. También a mis estimados colegas quienes coll sus sugerencias acertadas corrtiibuveron para 1a culminación de esta obra.

v íNoICE cAPiruuo

1. slsrEMAS DE UNIDADES

1.1 Medición.... y

1.2

Magnitudes fundamentales

1,3

Magnitudes fundamentales en el S.l

1.4

Magnitudes suplementarias en el

1.5

Magnitudes derivadas en el

1.6

Análisis

1.7

Principio de

1

.8

1.9 1

.10

1.11 1

.12

1.13

1.14 1 .1

5

1.16

1.17

derivadas.

............

..........

..............."3 ..-.-.-.-.-.-...--...'....4

S.1...........

'.---------...---...-.-.'4

S.1......

..-------..-......-.4

dimensional

..-...-..'......-.'.'..6

Homogeneidad........

.--..-...-.-.........-.7

Relación entre unidades del sistema internacional S.l con otros sistemas de unidades..............8 Notación

científica.....

Prefijos y

sufijos

......................9 .-...'..-11

taOla de prefijos y sufijos Reglas de C¡fras

=rror

-.......--.-.12

redondeo...............

.-.....12

significativas.................

absoluto o incertidumbre

Operaciones con cifras

Multiplicación y

..........17

..............'.

significativas.................

división

Error o incertidumbre

....'.16

absoluta

Oeterminación del número de cifras significativas

1,16.2

I

...'.......'.'.....3

relativa.

--....'..---.-.-17

.....'.....'....'18

""""""

19

.."...20

a--

CAP TULO

2

VECTORES

2-1 Ctirlartesescdares

...................28

vectoriales

.--.-.-.....-----28

2-2 crffi 2-3

nepresenta

Posición inicial de P1= 100m = yo1

Nivelde I

tuoz=SOm/

referencia i

\!O'./

Fondo del acantilado

I

roz=o

piedra2 Figura3.5

Aplicando la ecuación:

y = yo + l)oyt -int'

Piedra Pr

:

Tt: lot -)nt'

Piedra P2

:

lz:uoyt-;gt"

a las dos piedras, se tiene que:

1"

lt = lz Por lo tanto: L^1^vn,100m

Cuando las piedras se cruzan.

lot-Zgt- =,out rgt'

t=:=

Unr=2s

101

)

dos piedras se cruzan' Es decir. después de 2s de haberse iniciado el movimiento, las pu ha subid ot

lz = uout -)o*

=

5s 3 (2s)

- i (ro 3) trt>'

= B0'0m

m' Y podemos comprobar que en el tiempo de 2^i, P7 debe haber bajado 20.0 La distancia que cae la piedra P,

.r, ] g* = ! x

lOi x (2'0s)2 =20'0 nt

I. ACTIVIDAD 3.6 I

¿Cúl de los dos objetos llegan al mismo llega primero al suelo? ¿El más pesado, el más liviano, o ambos

Desde Una altura h se sueltan dos objetos de masas diferentes. I

tiempo?

ACTIVIDAD 3.7 mt ! TrL2,con la misma Suponga que se lanza bacia atiba dos objetos cle masas suponiendo que velocidad inicial. Indique ¿cuál de los dos objetos llega más alto m1) m2? ACTIVIDAD 3.8 verticalmente hacia suponga que usted está viajanrlo en un globo que se está moviendo -con altura con rapidez constante. Cuando ét gtobo se encuentra a una cierta *¡Uu en que el tiempo El respecto alaiienausted lanza un objeto verticalmente hacia arnba' objeto regresa a su mano será:

i

lt

I

a) b)

c) d) e)

I :

El mismo que si 1o hubiera Lanzado en el laboratorio' Menor que si 1o hubiera lanzado en el laboratorio' Mayor que si 1o hubiera lanzado en el iaboratorio' El tiempo depende de la velocidad del globo' Falta informaciónpararesponder a esta pregunta'

il ,i

I

ACTIVIDAD 3.9 valor de la aceleración Si usted lanzaunapiedra verticalmente hacia atiba, ¿cuál es el donde la velocidad se hace de la piedra cuando llega a su altura máxima? (en el punto cero)

t02

^\.

cnÁrrcos

3.7

EN r,l

rÍsrca

Gu"¿o una parlcula se mueve en una dirección (movimiento unidimensional) es r. --r:> :-i> J-¡t-l\eniente resolver el problema mediante el uso de gráficos. -i: -=r=:rtenCerqueenelgráficosóloserepresentaelmovimientodelapartículaalo

: l t:

.,na 1ínea recta ya sea en una dirección o en la dirección opuesta. Por ejemplo, :, .,, :::i-.ula se mueve sobre el eje de las ¡ su movimiento puede ser hacia la derecha o r.:- -; rzqurerda. Así como se puede mover la partícula a 1o largo del eje de 1as x, .-..r.r,;n puede hacerlo a lo largo del eje de las -r,'o a lo largo de cualquier línea recta.

:

3.8 CNÁTTCO POSICIÓN VS. TIEMPO .rt.

gráfico se 1o denomina usualmente: gráfico ,r-r. La posición está representada a 1o largo de un eje vertical y en la abscisa se representa el tiempo. El gráfico x us.t muestra cómo la posición de la partícula varía con el tiempo. En todo momento la partícula se mueve en línea recta.

,'4

PARTÍCULA QUE PARTE DEL ORIGEN Y SE MUEVE CON VELOCIDAD CONSTANTE x(m) Este gráfico indica que la partícula sale del origen (punto 0), y que recoffe 10 metros en 5 segundos. Se sabe que se mueve con rapidez constante porque la línea inclinada es una línea recta.

t(s) Fi.gura3.6 [-a pendiente de la recta inclinada nos da el valor de la velocidad y como es una pendiente positiv4 indica que la velocidad es positiva. En el gnáfico de la ñgura 3.6, la pendiente es igual a 2 mls. Es decir , la partícula se mue\-e en lÍnea recta durante 5 segundos con una velocidad de 2 mls, y en ese tiempo recorre l0 metros. En el gnáfico de la ñgur a 3.J, se muestra el movimiento de una partícula en línea recta cuya velocidad es negativa. Se observa que la partícula también parte del origen y que recorre 10 metros en los primeros 5 segundos. Debe notarse que se mueve hacia la izquierda del origen. Por lo tanto, debido a que la partícula se mueve hacia el lado negativo (hacia la izquierda), su velocidad es negativa. Además, la pendiente de 1a gráfica de la figura3.J es negativa lo que implica que la velocidad es negativa. Debe entenderse como negativa que se mueve hacialaizquierda.

103

moverse hacia la -\¡nque la partícula se encuentre en la zona positiva. polel hecho de rzclurerda su velocidad es negativa'

x(m) t(s

)

Fígura3.7 INTERPRETACIÓN DEL GRÁFICO DE LA FIGURA 3.7 En la figura 3.8, se muestra el eje x, el origen 0 y la flecha roja que indica la dirección del movimiento de la partícula. Observe que la pafícula parte del origen y se mueve hacia la izquierda del éje de las x. En este caso la pendiente, que es la velocidad, tiene un valor de -2 m/s.

t=5s -x

-10m

parfícula

k

Dirección del movimiento

Fígura3.8 Ojemplo 3.t9 Interprete el gráfico mostrado a continuación.

x(m)

l,4s

Figura

4

que su velocidad es Positiva

Y

metros hacia la derecha del origen y se lrlueve en línea recta durante 4s. Cuando liega a los 4 segundos, la paftícula se encuentra a l0 metros del origen. Es decir que tuvo un despiazamiento de 6 metros durante un tiempo de ,l segundos. Observe

+10

+4

En este caso la Partícula Parte a

constante. La pendiente de esta recta nos da el valor de la velocidad'

t(s)

j.9

104

CÁLCULO DE LA PENDMNTE DE LA RECTA. pendiente =

cateto vertical cateto hortzontal

6m 4s

t.Sm/s

La velocidad de la partícula tiene un valor de L5 nt/s.

A partir del gráfico anterior, calcule la velocidad media de la partícula. Si ia partícuia inicia su movimiento en x = 4m y se mueve hasta-r = l)nt, su desplazamiento es y'.r : +6m. en un intervalo de tiempo de 4 segundos.

um=

desplazamtento ínterualo de tiempo

+6m 4s

= *1.5

mf

,

hacia la derecha.

Se observa que cuando Llna partícula se mueve con velocidad constante. su velocidad tiene la misma magnitud y dirección que su velocidad media. Esto siempre es válido si la partícula se mueve en una sola dirección.

Para el gráfico de la figura 3.10, calcule \a yelocidad de la partícula para r = Js, su velocidad ntedia para todo el recorrido y el valor del tiempo cuando pasa por ei origen.

x(m)

La partícula inicia su movimiento a

20

metros atrás del origen. Lue-eo continua su movimiento con velocidad constante. pasa por ei origen y continúra hasta llegar a ,10 r-r-retros delante del origen. Todo el movimiento lo realiza durante 30 segundos.

/.\t

Fígura 3.10 Solución: Como el movimiento es con velocidad constante, entonces la velocidad de 1a partícula es igual a la velocidad media. La velocidad se la encuentra calculando la pendiente de la recta.

40m

- (-Zlm) 30s

.. /J 'in -'rm/

oTfL t _ - L /5,

La velocidad de la partícula para t = 3s es de 2

m/s.

De hecho, la velocidad para

cualquier tiempo entre 0 y 30 s es de 2 m/s. Para calcular el valor de r (para el cual la partícuia pasa por el ori-gen) se realiza una relación de triángulos semejantes.

105

i

CITCuI-O DE LA PEI§DIENTE DE LA RECTA.

pendiente:

cateto uertícal 6m = 1.5m/s cateto hortzontal 4s

[¿ r-elocidad de la partícula tiene un valor de 1.5 m/s. gnáfrco anterior, calcule la velocidad media de la partícula. Si la partícula inicia su movimiento en x = 4m y se mueve hasta x = l)m, su desplazamiento es +6m. enun inten-alo de tiempo de 4 segundos.

A partir del

;z _

lx :

des?tazanie-¡Lto__

: *:T: 4s

interttalo de tiempo

*L.5

m/,

haciala derecha.

Se observa que cuando una partícula se mueve con velocidad constante, su velocidad tiene la misma magnitud y dirección que su velocidad media. Esto siempre es válido si la partícula se mueve en una sola dirección.

Ejemplo 3.20 Para el gráfrco de la figura 3.10, calcule la velocidad de la partícula para t = 3,i, su velocidad media para todo el recorrido y el valor del tiempo cuando pasa por el origen.

x(m)

La partícula inicia su movimiento a

20

metros atrás del origen. Luego continua sn movimiento con velocidad constante. p¿lsa por el origen y continúa hasta llegar a 40

metros delante

t(s)

movimiento

1o

del origen. Todo

realiza durante 30 segundos.

Figura 3.10 Solución: Como el movimiento es con velocidad constante, entonces la velocidad de la partícula es igual a la velocidad media. La velocidad se la encuentra calculando la pendiente de la rect L

3l-.

. L lSt -- "tml

um

= Zm/s

[^a velocidad de la partícula pata t = 3s es de 2 m/s. De hecho, la velocidad para cualquier tiempo entre 0 y 30 s es de 2 m/s. Para calcular el valor de r (para el cual la partícula pasa por el origen) se realiza una relación de triángulos semejantes.

105

el

t

cÁr,cwo

DE LA PEI\DmNTE DE LA RECTA. 6m cateto uertical pendtente = cateto hori.zontal 4s

:1.5m/s

La r elocidad de la partícula tiene un valor de I .5 n'L/s.

A partir del gráfico anterior, calcule Ia velocidad media de la partícula. Si la partícula inicia su movimiento en x = 4nt y se mueve hasta,r = l)nt. su desplazamiento es zll.t :

I

+6tn. en un intervalo de tiempo de 4 segundos. 1):

desplazamiento

interualo de ttempo=

ry: +1.5m/s 4s

lr

I

I

hacia Ia derecha.

I

l

Se observa que cuando Llna pafiícula se mneve con velocidad constante. su velocidad

I

tiene la misma magnitud y dirección que sll velocidad media. Esto siempre es válido si la partícula se mueve en una sola dirección. I

I l

Para el gráfico de la figura 3.10, calcule la velocidad de \a partícula para r = js, stt t'elociclacl ntedia para todo el recorrido y el valor del tiempo cuando pasa por el origen.

x(m)

La partícula inicia su

movimiento ¿i 20 metros atrás del origen. Lue-eo continua su movimiento con velocidad constante. pasa por el origen y continúa hasta llegar a 40

nretros delante

¡/.\/

del origen. Todo

movimiento lo realiza durante 30 se,uundos.

Figura 3.10 Soluciótt: Como el movimiento es con velocidad constante, entonces la velocidad de la partícula es igual a la velocidad media. La velocidad se la encuentra calculando la pendiente de la recta.

40m U_

-

(-20m)

30s

L /5, -- 1m/

La velocidad de la partícula para t = 3s es de 2

Lnt -.¡Tllt - L /S

m/s.

De hecho, la velocidad para

cuaiquier tiempo entre 0 y 30 s es deZ m/s. Para calcular el valor de t (paru el cual la partícula pasa por el origen) se realiza una relación de triángulos semejantes.

105

el

lr

40 30-r

z0

40t:600-20t

t

f:

-=para t: Resolviendo

10s.

Para t = l1s ia partícula pasa por el origen y continúa mor-léndose en la misma dirección. Bajo ningún concepto, la partícula cambia 1a dirección de1 movimiento.

ll tl

!

il

ll

El gráfico mostrado representa el movimiento de una partícula en 1ínea recta.

a) Calcule la velocidad entre 0 y 5 segundos. b) Calcule la velocidad para t = 6s c) Calcule el tiempo f cuando la partícula pasa por e1 origen. d) Calcule la velocidad media de la partícula para todo e1 recomdo e) Calcule la velocidad para el intervalo entre 201'30-i. x(m)

Figura 3.11 Solución:

a)

La velocidad de la partícula entre 0 y 5s es la misma que entre 0 y 10s. 40m (-20m)

-

u-

:

10s

b)

Paru

c)

Relacionandotriángulos equivalentes:

6m/s

t = ós es la misma que para el inten'alo de 0 a 70s v eso es 6m/s

60 10 -=-

2A

t

ú

=

3.3s

dl Se obserr.'a que el desplazamiento entre 0 y j0 s es *20m. Por 1o tanto:

,e)

=

La pendiente está dada por: u =

*20m

J0, -

6.7

"'/s

-|P - -4m/s

106

E

,:.,,-;,., ie :.i iisura 3.12, representa el movimiento de una partícula en línea recta.

- - - - :l

, '¡ ¡ ,i

El ialc¡rde x panat = 20 s La r elocidad de la partícula para t : L7.5s La posición de la partícula para t = 16s E1 desplazamiento entre 10 y 60s La r,elocidad media en el intervalo entre 20 y 50s El desplazamiento entre 0.r, 60s La distancia totai recorida durante todo e1 intervalo de tiempo Larapidez media en el intervalo entre l0 y 50s Las veces que Ia partícula pasa por e1 origen y el valor de esos tiempos.

r

r fl ) e

-s

h)

i)

i

tl

x(m)

¿t0

50

60

t(s)

-5

-10 Figura 3.12

Solución;

(a)Para calcular el ualor de x realizatnos las relaciones entre triángulos semejantes

x*10 ::20

10

Resoluiendo para x: = := 10

x=

1-0m

(b) Laueloctdad de lapartícula es lqmisma entre 0 y 20 s,por lo tanto lauelocidad

para

(c)

M

1-7 .5

s es: u :

!!*!9

20s

= 1m/ s que es lo pendiente de la recta.

ediante triángulo s s emej ante s

10 x 106 -:-

:

x:6m -

Ftgura

3.1.3

t07

É:

)

(d) Del gráfico

se obserua que el desplazamiento entre 10

(e)El desplazamiento entre 20 y ,l

um

50s es de -15m,

es: -l0m

y 60s

por lo tanto la velocidad media será:

:-:-desplazamtento -\5m _ _0.5m/ s tíempo

50s-20s

,rl

(f)Del gráf ico se observa que el desplazamiento

es cero

(g) Observando detenidamente el gráfico, la distctncia recorrida es igual a 40m I

i

(h) La distancia recorrida

durante media en ese intervalo de tiempo es:

l

rapid"ez med"ia

l0 y 50 s es igual a 25tn, por lc tctnto la rapidez

- Y intervalo de ttempo-

25m 40s

:

0.625m/ s

(i)

La partícula pasa por el origen dos veces, la primera cuando t segunda de acuerdo a la relación de triángulos equivalentes

L05 r-30 = 4A-t -

resoluiendo oara

= I0s y la

t: t :

36.7 s

La partícula A se mueve a una velocidad de 8 m/s mientras que la partícula B a -6m/s . Ambas partículas se mueven en 1ínea recta. En el gráfico de la fi-sura 3.11 se observa que las partículas se cruzan cuando t = l)s. Calcule la distancia entre 1as partículas cuando el tiempo es igual a cero.

x(m)

pide calcular la distancia x, * x, \' esto 1o podemos hallar usando la pendiente de las dos rectas A y B

En este

t

,r.

e.1emp1o se

pendiente

t

A=BYs10 -*i

xz=}Om

-6T=hi

xt -6Om

pend"ienteB

I

ü r(s) Figura 3.11

108

Distancia entre las partículas = 140 m a t=0.

t

Otra lorma de resolver el ejemplo 3.23 es colocando. sobre una línea recta, las pafiículas A y B a una distancia de x7 * x, entre ellas como se muestra en la 1i-eura 3 15.

'uA

:

uB

Bm/s

= 6*/t

#

l.

lll

tl\

t(t

I

lir

lll Figurct 3.15 ilt

Aplicando las ecuaciones de cinemática: x2 = u¿t = x1

= l)st =

6!X .s

10s

BTx s

10s

=

ll! ii

B}m

trt

= 60m xrJ-x2=l40mat=0

Se obserr.,a que con ambos procedimientos se lle-sa al mismo resultado.

3.9

CNÁT CO \IELOCIDAD YS. TIEMPO

EJ movimiento de una partícula en línea recta puede obtenerse

usando un gráfico

I

velocidad vs. úempo. En la ordenada se grafica la velocidad y en la abscisa el tiempo. En este tipo de gráfico la pendiente de la curva representa la aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento. En el gráfrco de la figura 3.16, una partícula parte con velocidad inicial u¡ para t = 0 y el movimiento es con aceleración constante" Se observa que para un tiempo posterior t,Ia partícala úcanza la velocidad ,f .Como la línea que representa este movimiento es una recta, indica que la aceleración es constante.

l

La pendiente de la aceleración.

't1g:

O.t

1a

curva

pendi.ente =

u vs. f nos da

a:ut -uo t

El á¡ea bajo la curva nos da el desplazamiento: L

Ax=uot*1at¿ Figttra 3.16 109

.

:

El gráfico de la figura 3.11 representa el movimiento de una partícula en línea recta. Suponga que para t = 0La partícula parte del origen y tiene una velocidad inicial de +30 m/s. Después de recorrer 10 segundos su velocidad es de -20 m/s Calcule:

a) b) c)

la aceleración de Ia partícula. el valor del tiempo en que la partícula cambia de dirección. el desplazamiento y la distancia recorrida durante 1os 10 s.

v(m/s)

t(s

)

Figtrra 3.17

a)

La aceleración es igual a la pendiente de la recta. a -.,

-

l-Zo-3o)m/s

ÉmtI . ts'

10s

-

b) La partícula cambia de dirección para i se-eundos. Por relación de tnán-eulos: 30 50

t=1,0 c)

t=6s

El áreabajo la curva .r,]22SO x 6m - 1+ ZOm :50nt = desplctzamiento. " La distancia recorrida = 130

x 6m +! + x

ZOm

=

130m

En el gráfico de la figura 3.1J, el desplazamiento se calcula midiendo el área bajo la curva considerando que, las áreas que están sobre el eje del tiempo son positivas y las que están debajo del eje del tiempo son negativas. Sin embargo, para calcular la distancia recorrida simplemente se suman todas las áreas sin considerar los signos de las áreas. La partícula parte en / = 0 con una velocidad inicial de 30 ,n/t y empieza a 110

.-

(TI

elo¡iiad llegando a cero después de 6s y habiendo recorrido 90 m (el área de1 triánuu1o supenorr .\ partir de los 6s lapartícula adquiere una velocidad negativa por 1o tanto. ésta regre:a \ este desplazamiento es negativo. Sin embargo la distancia

Ji:minrrr

>u

,,

recorrida es la suma de todl-rs 1os desplazamientos sin importar el signo de los mismos.

Aquí la partícula se detiene

v=3)m/s

y

hasta

ese

momento ha recorrido

+

1l

{{l

inicio llr

Lapartíctla inicia su regreso y se dirige

desplazamiento

hacia la izquierda

90m- 10m=50m

ll 1l

En este tramo la partícula ha recorrido 40 metros hacia la izquierda

l

Figura 3.18 l

Se debe recordar que el desplazamiento es el vector que va desde el punto inicial hasta el punto final a donde llega la partícula t-a distancia recorrida es la suma de todos los

desplazamientos. En este caso es %)m+40mlo que da un total de 130m.

I

ll

Ejemplo 3.25 En un diagrama y vs.f grafique el movimiento de un cuerpo en caída libre. El cuerpo se suelta desde una altura de L25.0m sobre el suelo.

v(m/s) l

0

t(s

) El área de este tnángulo es igual

I

a

125.0m. Se puede comprobar que la pendiente de la recta es i_eual a -10.0 m/s' que es la

-50

aceleración de la gravedad.

Figura 3.19

111

Desde lo alto de un edificio se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s llegando al suelo después de ó segundos de haber sido lanzada.

Calcule:

a) b)

La altura del edificio La distancia total recomida por la piedra.

v(m/s)

6.0-2.0s:4.0s

20mls

r(s)

Figura 3.20

La altura del edificio es el desplazamiento de Ia piedra que está dado por la suma algebraica de las dos áreas (Ar Y A2). Primero hallaremos el tiempo f .Debido a que la pendiente de la recta es la aceleración de la gravedad g:

lomr/ s.--zom/s t

t-z.os

Por relación de triángulos equivalentes:

10

U¡

: * i 4.0

L'f

- -40.0m/s

La alturadel edificio es igual aA1*,42 consrderando que el área42 es negativa.

o, ='i(z.os) (ro ?) - ]

rn.o,t @o.om/ s)

L,x

Por lo tanto,la altura del edif tcío es de

= -60.0m

*

60.0m

La di.rtancia recorrida por la piedra es A1* A2 considerando que el área A2 posrtir

a.

112

f I

es

d

=;(z os) (roT)* ] rn o,t @o.om/s)

d = 1,00.0m

Ahora estudiaremos un caso en el que es más fácil utilizar un gráfico para resolver un problerna que usar el método analítico. Este problema ya fue resuelto usando el método gráfico (ejemplo 3.24), por lo tanto aquí utilizaremos el método analítico. I

Una partícula parte con una velocidad inicial de +J0 ruls y después de 10s su velocidad es de -20 m/s, manteniendo aceleración constante durante todo ei trayecto. Calcule la distancia recorida por la partícula.

ll

Si la velocidad iniciai es positiva. esto implica que la partícula se mueve hacia la derecha. Si luego su velocidad es negativa, implica qlle se mueve hacia la izquierda. Por

lo tanto en algún momento la partícula cambió de dirección. Pero, para cambiar la dirección de su movimiento, su velocidad llegó a cero.

útramol.: ul

ur

- üo ú10

-20m/s

-

30mis

a

m

= -5.

z(-:*t i7)*'' =vfi+Zax, o=(eoI)'* \-- 5 ) '-r

xt=

90m

La partícula se movió hacia la derecha 90m. Ahora se regresa desde el reposo. Su r elocrdad final es -20m/s.

tt'atno

z:

t'i = ui

t

2ax2;

(-ro|)'

=

o

+

z(-r3) -,

xz

'

= -40m 1

El si-eno nesatir o es porque xz. qrLe es el desplazamiento del tramo 2, es negativo ya que la partícu1a se mueve hacia la izquierda. Por esa razón el signo del vector desplazarniento es negatir o.

Para calcular

la distancia total recorrida por la partícula

debemos surnar los dos

desplazamientos sin considerar el signo de x2.

distancia recorrtda:

Si ahora deseamos calcular y

x2

e1

d = 90m

desplazarriento de

1a

*

40m -- 1,30m

partícula. debemos sumor ,r1

respetando el :igno.

despLazamtento:

A,x

= 90m - 40m = 50m

Como la partícula regresó después de haber alcanzado su velocidad cero, se encuentra a 50 metros del origen. Supon-sa que ahora se ie pide que calcule el valor de1 tiempo para cuando la partícula se

*etiene.

113

l,

a=-5m/s'

Losdatosserían: uo=*3om/s, uf =0;

v¡=us*At remplazand"o datos: 0 despejando l¡

= 30m/s* (-5 *lrr)t

elttemPo: t = 6s

Lo cual es correcto si comparamos con el resultado encontrado en ei ejemplo 3.24por el método gráfico.

lt I

rl

Como podrá ver el estudiante, los problemas de cinemática en una dimensión pueden resolveise por el método analítico así como por el método grático. Sólo que en unos casos resulta más sencillo usar ei método gráfico y en otros el método analítico.

Ejentplo 3.28

El gráfico y vs. f de la figura 3.21 representa el movimiento de una partícula en línea recta. Analice el gráfico y calcule las aceleraciones, el desplazamiento y la distancia recorrida.

v(m/s)

+10 r(s)

0

Figura 3.2J Este gráfico representa el movimiento de una partícu1a en línea recta. Se observa que purul = 0la partícula se mueve con velocidad constante igual a +10 m/s y lo hace áurante 10 s. iuego, la partícula empieza a aumentar su r,'elocidad y se sigue alejando del origen. Entre t0s y 20.s,la partícula incrementa su velocidad uniformemente y la pendiente de la recta que es constante representa la aceieración. En este caso la pendiente se calcula de la siguiente forma:

-w-

EoT s

- nT

m

a=2-

S

2os-Los

La partícula mantiene esta aceleración constante hasta que el tiempo llega a

20s.

Después, a partir de los yeinte seqtmdos empieza a disminuir su velocidad de forma

ll4 \

\ \

\

-r-r-,-,l:r- h.ista que a 1os J0 segundos su velocidad se hace cero. Inmediatamente t;>:-rcs su relocidad se hace negativa y esto implica que cambió la dirección de su rrnienro. por 1o tanto empieza a moverse hacia el origen (en dirección opuesta). Se ,rb:er\-o que a los J7s, cuando ha alcanzado una velocidad de -2lm/s, la partícula enrpieza a disminuir su rapidez hasta que a los 40 segundos se detiene ya que su relocidad es cero. Después de los 40 segundos se observa que la línea es horizontal lo que quiere decir que ia partícula se quedó en reposo. 1-,--,r

i

De 0 a 10 segundos como la partícula se rnueve con velocidad constante, su aceleración es igual a cero.

De 10 a 20s es similar a lo que ya se hizo anteriormenle, es decir se calcula

I

su

pendiente, y esto es:

eo3s s to3

uf-uo

20s

tt-tn tv

m

.*-- ^-)st

- 10s

De 20.s a -l7s la aceleración es negativa. Igualmente se calcule el valor de la pendiente, y su r alor es:

a-

uf-uo tf-to

a=

De los 37s a los 40s su aceleración hasta llegar a cero- Su valor es:

o: tf-to

-ztLss- 30 a 37s - 20s es

u-

a = -3m/sz

positri'a pero va disminuyendo paulatinamente

- (-zir) 40s - 37s

o

a=7ffi/ t s',

Dé los 40s en adelante la gráfica muestra una línea horizontal 1o que indica que su reldcidad es constante, pero en este caso la velocidad constante es igual a cero. Es decir la partícula peñnanece en reposo. C

{LCL LO DEL DESPLAZAN{IENTO Y DISTANCIA RECORRIDA

I-a gráfica velocidad vs. tiempo también nos permite calcular el desplazamiento y la distancia recorrida por la partícula.

En el caso del gráfico anterior, se puede calcular el desplazamiento si medimos el área bajo 1a curva. De 0 a 10s, el área es igual a 100m. Esta cantidad indica que la partícula se ha movido 100m durante los 10 primeros segundos.

De I}s a20s, eláreaes igual Esto representa

1o que

a:

10

x 10m +;Oq(20)m

-

200m

la partícula se ha movido durante el intervalo de

De los 20s alos 30s eI áreaes igual a: ] tiempo la partícula se ha movido l5Am.

{fO){SO)r,

-

l0 a20s. '

LSOrr-. En este intervalo de

115

,4

Todos los movimientos de la partícula desde 0s hasta JOs han sido hacia la derecha (dirección positiva del eje de las x). Se debe notar que a pafiir de este momento, la velocidad de la partícula es ne-sativa. Es decir que a partir de los JOs la partícula se estará moviendo hacia 1a izquierda. Estos desplazamientos por lo tanto serán negativos. De lcrs 30s a los 40s. el área es igual a: I Cf Ol G21)m = -L05m. Esta cantidad de metros es 1o que la partícula se ha regresado. es decir. se ha mo'"ido hacia la izquierda. li

Por lo tanto el desplazamiento

il

La distancia recorrida

será:

¡¡ = (100 + 200 + 150 -

será: ¿ = (100 + 200 + 150 +

1.05)m; Lx = 345m

d:555m

1-05)m

I

NI

Se deja al estudiante para que calcule el desplazamiento y la distancia recorrida durante el intervalo de l)s a 37s.

3.10 CNÁTTCO ACELERACIÓN VS. TIEMPO €ste tipo de gráfico muestra la aceleración de una partícula que se mueve en línea recta con relación al tiempo . El área bajo la curva del gráf,co a vs. t representa el cambio de velocidad en ese periodo de tiempo. Igual que antes, las áreas que están arriba del eje del tiempo se consideran positivas, mientras que las áreas que se encuentran debajo del eje del tiempo se consideran negativas.

movimiento de una partícula que se mueve en línea recta. Calcule el cambio de velocidad que sufre la partícula entre 0 y 10s.

El siguiente gráfico representa l, I

rl

e1

a(m/s2 )

10

il I I

i

il

ll ¡r

t(s) Figura 3.22 En este gráfico aus.t el área bajo la curva (en este caso es una recta horizontal) es igual a: 1,0\x l-Os :1004. Esta cantidad de 100 m/s es la diferencia entre la velocidad cuando lapartíctla está en t = 0s y t = l1s.

i

Con referencia a la figura 3.22, si la velocidad para ¿cuál será la velocidad de la partícula para t = l0sl

t = 0s es igual a 20 m/s, entonces

mm 'uto - = - uo) ú70 = u6 * mmm uto = 20- + 100- uto = 1,20-

área bajo la curua

=

100

100

-

También se puede hallar la velocidad cuando / = 8s por ejemplo. Supongamos que 1a velocidad a t = 0s sigue siendo de 20 ru/s. En este caso, el área baSo la cun'a sería:

tt6

^^m esta cantidad - .-' d-t - 8U; es la diferencia de velocidad entre t = 0s v r = 8.r. Así: 803 - 0e - uo; ue:8011+ZO!; ue = looT - -.':"J'-' una partícula se mueve en Iínea recta y con aceleración constante, en la gráfica : representada por medio de una línea recta y, como la pencliente de una línea :-': i: 'sconstante, implica que la aceleración sería constante. Poilo tanto, siempre que '*':it¡cidad de una partícula varíe unifornemente y por tanto en la gráfica y ys. 1el ::-';r".r esté representado por una línea recta, en la gráfica a vs. ¡ debe ser una línea : :zontal. Debe recordarse que el área bajo la curva áe este último gráfico representa el -:nbio de velocidad en un intervalo de tiempo y no simpleñente representa la ..:locidad.

i

{1

il,

t

Realice el gráfico velocidad vs. tiempo y aceleración vs. tiempo de un objeto que lanzado desde la superficie de la Tierra y que regresa al punto donde fue lanzado.

es l

El obieto sale con velocidad inicial hacia arriba, por lo tanto su velocidad positiva es y cuando regresa al suelo su velocidad tiene la misma magnitud con la que salió pero su signo es negativo. uoy

0

_uoy

lr

Figura 3.23

l,i

Debido a que la aceleración de la gravedad es aproximadamente constante sobre la >uperficie de la Tiera. la gráfica a vs. t debe ser urá lír.u horizontal. por convención de .r,snos ia aceleración es negativa debido a que se dirige hacia abajo.

l!

l',,

il

0

-LAm//s'" Figura3.24

-

- :r _:rático t.elocidad

il ll

tts. tiempo, de la figura 3.25, realice er diagrama aceLeració,

j

117

ü

I

Ahora, para cada tramo de la cun a velocidad vs. tiempo, se analizará la torma de la gráfica para representar 1a ¿rceleración. Se puede observar que para todos ios tramos de la gráficat,eloc'icluclvs. Íiempo. tenemos línáas rectas. 1o que implica que ia aceleroción para cada tramo es constante. Se debe

recorclar que la pendiente de la curva velocidacl vs. fientpo representa la aceieracitin. llil

Analice la curr a v vs. /. tt'atno a tralno.

v(m/s)

rIt

+30

/: l

I

+10 i

t(s)

0

I

l

I

-2t

t¡

a

(m/s2

)

rl,i

.-l

1 I' I I

t (s) i

;i' I

ll

-J Figurct 3.25

En el sigr.riente ejemplo, se nos proporciona el movimiento de una partícula que se ntueve en línea recta en el gráfico v-t y a partir de éste. se debe gr:aficar el rnismo nlor inliento en

Lrn

diagrama

.\'-1.

Se debe observar que las líneas fectas en ei gráfico u-f se convierten en curvas en el diagrama.r-r. Se debe recordar que la pendiente de la curva en el gráfico v-r replesenta la aceleración cle la partícula. Siempre se debe tener en mente de que la partícula se

118

\

liu.\ \

¡1

e en una sola dimensión, es decir que la partícula se mueve siempre en línea recta.

sea aiejándose del origen o acercándose hacia é1.

En ia flgura 3.26 se muestran dos gráficos, el primero es un gráfico velocidad vs. tiempo, y para obtener un gráfico posición vs. tiempo, se debe tener presente que la pendiente de la gráfica x - ü es la velocidad de la partícuia. Por lo tanto, en aquellos tramos en el que la velocidad de la partícula es constante, en el gráfico x - ú será una línea recta e inclinada.

\

Ejentplo 3.31

Dada la siguiente figura y vs. /, construya el diagrama x ys.

t

v(m/s)

+30

+10 0

t0

20

r(s)

-2t x 450 345 300

100

I

0

203

r(s)

\

?

Figura 3.26 Se deja para el estudiante compruebe que la distancia total recorrida por la partícula es de 555m y que el desplazamiento es 345m. Use solamente el gráfico para realizar esta

comprobación.

It9 /rlt _;4 ,

ACTIVIDAD

3.10

ü

En la gráfica xus.t de la figura3.27, se muestra el movimiento de una partícula en línea recta. Se observa que la curva (que es una línea rccta) cruza e1 eje del tiempo. Entonces, ¿la pafiícula, en algún instante, cambia la dirección del movimiento? Explique.

x

Graf ico 3.27

ACTIVIDAD 3.11 En la gráfic a u us.ú mostrada, indique cuál de las siguientes alternativas es correcta.

a) La acelerución de ia partícula es variable. b) El desplazamiento es negativo

c) Lapartícula cambia la dirección de la velocidad. d) La aceleración de la particlula es cero. e) Lapartícula no se mueve en línea recta.

Gráf ico 3.28

ACTIVID AD 3.I2 En un gráfico a vs . t, ¿cuál de las siguientes alternativas es correcta?

a) El área bajo la curva representa el desplazamiento. b) El fueabajo 1a curva representa la velocidad final. c) El área bajo la curva representa el cambio de velocidad. d) La pendiente de la curva es la aceleración. e) La pendiente de la curva es la velocidad. 120

l,L L

PROBLENIAS

' 3'1'

Desde el filo de una azotea selanzauna piedra P1 con una rapidez hacia arriba de u6. Desde el mismo lugar, se lanza otrá piedra P2 con una rapidezhacia abajo de uo. ¿Qué se puede afirmar acerca de la rapidez con que golpean la Tierra.

3'2

¿Cuando un objeto se mueve hacia ariba positiva o negativa? Explique.

la aceleración de la gravedad

3'3

¿Cuando un cuerpo se mueve hacia abajo positiva o negativa? Explique.

la aceleración de.la gravedad es

3.4

Cuandounapiedra queesl¿tnzadahaciaarrit,i,illegaaslialturarnárirna;cuál el valor de su aceleración?

es

es

3.5

Suponga que usted lanza una piedra rápidamente hacia abajo. Entonces la aceleración con que se mueve 1a pieclra ¿,ser.á mayor.. lgLral L) menor que el valor de la aceleración de la gravedad?

3.6

[Jn objeto de masa tn¡= ) /rg y otro objeto de masa tn2- 4 Ég son lanzaclos hacia arriba con la misma inicial. ¿cuái cle ellos alcanzama)/or altura? 'elociclad

i. /

un

la derectra y sLr rapidez v¿l disminr_ryendo paulatinamente. entonces su aceleración es ¿positir-a o ne-rativa? Erplicir,ie.

3.8

un cuerpo se mueve hacia la izquiercla 1, su rapidez se va incrementando paulatinarnente, entonces ¿su aceleración es positir,a o ne_sativa? Explique.

-t

+1s

cuerpo se mueve hacia

Un cuerpo parte con una velociclacl inicial de -10 nt/s.5' después cle 40 segurttlcts, su velocidad es de -10 nt/s. c{cure ra cristancia total recomida por el cuerpá. 3.10

Un cano parte de la ciudacl .{ r se dirige hacia ia ciuclad B con velociclad ktn/lt A1 misrno tiempo. otro camo sale de la ciudad B y se dirige

constante de 80

hacia la ciudad A con velocidad constante cle 60 kmlh. Cuando los carros estén a 6 minutos de cruzarse, ¿qué distancia hay entre ellos?

3 11 Una piedra es Lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de-2¡,0. mk. Después de 3.0 segundos se deja caer una segunda piedra desde et ¿.cuál es el tiempo en Que ra segunda piedra lega_pliuelo?

*ir.rro lugar.

-1'12

Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacía arnba con r;narapidez inicial de 20.0 ot/t y tarda 8 segundos en llegar al suelo, es la distancia ¿cuál toErecorri da por la pi e dra?

1-1

Desde una altura de 500 metros se deja caer un objeto. ¿A cuántos metros desde el punto donde el objeto cae debe encontrarse un camión para que el objeto caiga sobre dl? Suponga que el camión se mueve con velocidad consiant e de-20 m/s.

'i'

-l'l-t

Un carro sale de la ciudadA con una rapidez de 60krn/h y se muevehaciala ciudad B- A-1 mismo tiempo un c¿rro sale de la ciudad r y se mueve hacia la ciudad A a8\lcm/h. Suponga que la distancia entre las dos ciudades es de 2g0km. Calcule

la

distancia, con respecto a la ciudad A, en que los carros se cruzan.

121

I

L 15 Un avión vuela horizontalmente a una altura de 1000 nt con una velocidad constante de 500 r¡,-rs cuando suelta una bomba ¿Cuántos segundos toma la bomba en llegar al blanco?

3.16

Sobre un vagón que se mueve horizontalmente a una rapidez de 100 krn/h' se encuentran un ho*bta que coffe sobre el vagón y una mujer que Se mantiene sentada.

a) b)

respecto a 1a mujer? ¿,Cuál es la velociclad de1 hombre con

c)

al hombre que está en el ¿Cuál es la velocidad de la mujer con respecto suelo?

al homble que está en el ¿Cuál es la velocidad del hombre con respecto suelo?

.120km/h 100km/h

(d

ft.E qt

et.-

t

Ftgura 3.29

3.11

Si la longitud del Vagón del problema 3.16 es de 100 m. ¿en cuántos se-eundos el hombre llegará al otro extremo del vagón? con una rapidez de 200 m/s hacia un árbol. El tiempo que la bala tarda en llegar al reposo dentro del árbol es de 0.25 s. bala? ¿Cuá1fue la aceleración prornedio de 1a

3.18 IJna bala de 20 gramos es disparada 3.19

Una partícula se mueve en 1ínea recta. A1 tiempo ¡ = 0 :e haila a 10 metros hacia modo que 1a izquierda del origen r, lueso se mue\ e con \ elocidad constante de del se acerca al origen. Después de 5 segundos se ha1la a -l metros a la derecha el en partícula la de media origen. Realice un gráfico r-r 1' calcuie ia r elocidad intervalo entre, = 0 y t = 5s.

3.20

Desde 1o alto de una acantilado de 200 m de altura se lanza un objeto verricalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcule la distancia total recorida por el objeto usando un gráfico v-r

3.11

Un globo se mueve velticalmente hacia arriba a 20 m/s' si una persona que.se encllentra dentro del globo suelta un objeto en el instante en que el globo está a 300 m del suelo, ¿cuál es el tiempo en que

r22

e1

objeto lle-eará al suelo?

\*

El grrífico de la figura 3.30 muestra el movimiento

de una

pafiícula en línea

recta. A partir del gráfico calcule:

a) b) c) d)

El desplazamiento para todo el recorrido. [¿ disrrncia total recorrida. La velocidad media para todo el recorrido. I.a,ruEdez media para todo el recorrido.

u(n/ s)

r(s)

3.13 Usando el _crático 3.31, calcule la velocidad a jos

10.0 segundos sabiendo que la

r,elocidad a los dos se-Eundos es cle -1.i.0 nVs.

o(m/sr) 0

r

(s)

-3.0 Figura

-l-l+

3.3L

Una persona se rnueve 100 metros hacia el Norte y luego regresa 20 m. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del desplazamiento?

a) l2ümhacia el Norte b) 100 m hacia el Norte c) 8Om hacia el Norte ffi e) Z}m'baqaéfSur.

:

123

3.15 Un objeto da media vuelta a lo largo de una pista de 100 metros de radio. Calcule Ia rapidez media del objeto si tarcló 3.14s en el recorrido.

a) 628 m/s b) 200 m/s

ltt

c)

100 m/s

d) e)

80 m/s

31.4 mis

objeto A se mueve a 10 m/s hacia ia derecha. Después de que han trascurrido 5 segundos, otro objeto B parte del mismo punto desde e1 reposo e imprime una aceleración de 3 m/s2. ¿Después de cuántos segundos de que salió el objeto B

3.26 LIn

'ii

alcanza al objeto ,47

a)4s

re_ c)8s

l

$\

@

3.27 El gráfico de la f,gura3.32 muestra sl msvimiento de una partícula en línea recta. Calcule la distancia total recorrida por la partícula durante todo el recorrido.

rii

10

¿(s)

0

-10 Ftgura 3.32

3.28

para el gráfico del problema# 3.27 calcule 1a magnitud de la velocidad media durante todo el recorrido.

3) I

u(m/s)

a) 150 m b) 125 m c) 100 m d) 15m e) 50m

b)

5 m/s

6 m/s 8 m/s 10 m/s

c) d) e) 12 m/s 3.2g Un objeto se mueve hacia la izquierda deteniento. entonces la

(hacia el eje

aceleración:

a) Está dirigida hacia la izquierda .b)

a la trayectoria

124 I ¡

\:.rr

\

Ao

Está dingida hacia la derecha

c) Está dingida perpendicularmente d) La aceleración es cero

,i

-x) y poco a poco se *a

t

\L'

3.30

Una partícula parte del origen con una velocidad inicial de +10 m/s y se mueve en la dirección del eje positivo de las x con aceleración constante de -1 m/s2. ¿Cuáles su desplazemiento después que han transcurrido 20 segundos?

a) 400m b) 300m

c)

-400

d) cERo lt ,¿ l:

ilr

l

I

I

125

F

,

r

OilffiEMATilGA

Tffi DO$ DIffiEffi$IONT$

a

:

€i

=i

-.=.=-:=:=

a

==

%

F'3

# ffi ffi= ===

'=:===-:# '..:.-':'-::=.=:

#

=

:.=::=-a:a:..

'==

-.:-aa:::=::=-.=

=:.===é ==:=.a:.a:::.-.=

'42*:

':?¿.É

.:..

¡-7

IJ

GAPITULO 4

126

..€:-=.:.

==

:'l INTRODUCCIÓN

.f3

toOo se mueve en línea recta. en la naturaleza muchos cuelpos y partícr-rlas. se mueven en

l.s

rr

tres dimensiones, donde la velocidad

la aceleración no

la misma línea de ,,:---ón Pero muchos de los movimientos de los cuerpos pueden ser estudiados con buena i:f,:'\inración en el plano, es decir, en dos dimensiones. Así por ejernplo, cuando orientamos -.1 .rtrrit'tr de aglia hacia las plantas para re-uarlas. cuando se observa el choro de agua que :¡i¡ p.,r un orificio de un reservorio. cuando un deportista lanza la jabalina en Lln¿I .-r)rrpe IiDCia. cuando un bote trata de cruzar un río. cuando analizamos el movimiento de las rueda: de Lrr-r auto. Todos estos son ejemplos de movimientos en dos dimensiones y algunos 1,'

están en

llr

llt

pueden obsei'r'arse en las figuras 4.1 y 4.2. {(

l

1l

!l

t.....

lr

Figura 4.2

1

l11

{{ 4.1

il

MO\IMIENTO EN DOS DIMENSIONES

11i

U,

.uro del mor imiento en dos dimensiones es el movimiento de proyectiles cuando

son

1l

lanzados sobre la superticie terrestre. Este es un movimiento importante en el cual el proyectil se mueve en dos o en tres dimensiones. En este capítulo analizaremos sólo e1 movimiento en dos dimensiones. Este movimiento tiene aceleración constante. es decir, su magnitud y su dirección perrnanecen invariables en el espacio y en el tiempo siempre v cuando se desprecie la resistencia de aire.

1l'

En este capítulo en el plano 11.

el

I

I

movimiento de proyectiles será analizado en dos dimensiones, es decir,

Si se lanza un proyectil en el campo gravitacional teffestre con una velocidad inicial ro , formando un ángulo con respecto a Ia horizontal 06, las componentes de la velocidad inicial en el eje ,ry en el eje ,y son y0( y v,r, ,respectivamente.

t27

-1, -á/?

En el punto de altura máxima el provectil tiene I elocidad y aceleración diferente de cero 1'r.- = 1 co: d = r-'oll:t3flte '

v,.:0ya:g{

L'¡.1,

uyi...."

.'3

uoy

-.----'59--- ]lFvt

;==

ux

,"1 "..-.

72r_

,rTT

Figura

4.3

La velocidad en x es constante (Despreciando la resistencia del aire)

-liot La r elocidad en

r

r

aría con el tiempo

Debido a que vefiicalmente existe una aceleración llamada gravedad, que está siempre dirigida hacia ai centro de la tierra, la componente de la velocidad en y v., será variable con respecto al tiempo.

Como en el eje horizontal se desprecia la resistencia del aire, entonces, no existe aceleración en esa dirección. Así, la componente de la velocidad en el eje x peñnanece invariable.

I

La trayectoria que describe un cuefpo lanzado con un ángulo respecto a la horizontal, en el campo gravitacional de la Tierra, puede ser descrita en un plano ríy como se indica en la figura 4.3.

4.2 E'CU ACIONES A UTTLIZARSE verticalmente está influenciando la aceleración de 1a srar edad en ei eje vertical, el movimiento será analizado usando las ecuaciones de1 movimiento uniformemente acelerado o de caída libre.

Crno

1r,.

,,?

: tvu., - gt

=ú, -2sO -

t - lo -

*Yort

(4.1)

yo)

(1.2)

1

4.3)

-irf

Como horizontalmente no existe aceleración en el eje horizontal .1 . se analtzará con las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforne con velocidad constante. srempre y cuando se desprecie la resistencia del aire. 128

I

X-Xo:V*t

(4.4) (4.s)

X- Xo:VoCOSext L¡ i elocrdad del cuerpo en cualquier posición puede escribirse

como:

v=f.i*r. i

(4.6)

!

t

L; r-L¡gnitud de 1a velocidad

está dada por la siguiente ecttación. ir

(4.7 )

Y el ángulo con respecto alahorizontal de0

se determina por la función trigonométrica tangente

(

l

,*rr:V)

(4.8)

l"-l

4.2.1 Demostración de la ecuación de la trayectoria

/.aentación de la trayectoria descrita por una partícula lanzada con una 7s con la horizontal, resulta de combinar las ecuaciones 4.3 y 4.5: Considerando

-\'-

-Io =

-r-rir

=

+Ib,f

:¡ = g Y

'¿-:

1b oos

v^senQ

,:;."**'-

¡,,o

:

) un ángulo?

0

1,gt-

áxr I

Despejando r :

x

rs v:

-L;, vo cos á

x2 cas,

paraluego reemplazaf en la ecuación 4.3

Simplificando vo y usando la identidad trigonométrica

o

I

t i

cos' 0

= (tair2 0 +1) Reemplazando se tiene

-y

:

(taná)x

-

0 + 1).rl

*ftan

1

é.e) I

La ecuación 4.9 se Ia conoce como ecuación de la trayectoria-

La ecuación 4.9 tiene lnforma

!:

ax+bx' qu,

es

ln ecuación de

l"a

parábola'

4,2.2 Calculo del alcance máximo horizontal. El alcance máximo está dado poti x

:

üocos) X tuueto

Donde el tiempo de vuelo paralafigura 4.4 estádado por: tuueto

Así. el alcance horizontal máximo

es:

xmdx

=ry 129

='-f (4.10)

,

tl

lil ll

4.2.3 fljercicios de aplicación Ejempl* 4.1 m/ s Y formando un Úr, pioy"ctll es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial de 10'0 ángulo de 300 con la horizontal como se muestra en la flgura 4-4. Calcule: a) El tiempo en que el proyectil llega a su máxima altura. b) El tiempo en el que el proyectil vuelve al suelo

c) La aitura máxima

que

Vo!

alcanza ei proyectil.

t)

I

I ii rl ll

I

d) El alcance máximo. e) La velocidad del proyectil al suelo.

I I

I I

"t*' :'o'I --voseno I Remplazando los datos dados en el ejercicio,

IO.TLx sen3}o -----_--------/lom/. .§

f:

/s'

f = 0.50s b) Para calcular e1 tiempo vuelo del proyectil, se puede usar la ecuación del desplazamiento: y = voyt -)nt' , y como el proyectil llega al plano honzontal, entonces, ! = 0. De este modo se calculará el tiemPo total.

Así. 0^ -,ont I

-Uo)

Solución: a) Cuando el proyectil llega a su altura máxima, su velocidad en la dirección vertical es cero, es decir, uy = 0. De la expresión: uy = ugy _ §t y haciendo Üy = 0, el tiempo de subida es:

lll I

1.4

cuando lle-ea

tl

il ll ll

Fíotu'a

1 .)

- rgt'

,r----:^--r^

Y desPejando

t,,

r

.

.. --: -T -= =

Ii.--railI

y, remplazando datos del problema queda:

t-

z(to.oy,)Gu"zo')

firy/

/ = 1.0s

tz

Por 1o ranto. el tiempo de vuelo será la dos veces el tiempo de subida. En este ejernplo se puede apreciar que

e1

tiempo de subida es i,sual ai tiempo de bajada.

c) En el punto de altura máxima. ia velocidad en la dirección vertical, uy es cero. r)r''r -'-

r

-

/

Oa\

130

t\

despejando lmax, se tiene'.

y*o* =

W

=

e#

(to.om/ r)2 xsen2 zoo

rÉmpliLzando datos: lmax =

)*

=

l25m

d)Para calcular el alcance máximo, usaremos la ecuación x ='üs¡t en donde el tiempo será el tiempo de vuelo. Considerando que el tiempo de vuelo es de 1.0s como se demostró en el li,eral b cie este ejemplo, entonces:

x^* =vo"xtrurto Remplazando datos: xmax

=

yo cos

10.0 A cos300

x

0xturrto

lll

1.0s

li'

x^r* =8.7m

-llcance mdxima también puede calcularse con la siguiente ecuación 1.10 siempre que describa una parábola simétrica, es decir, que la altura del punto de lanzatniento coincida con la ulturo del punto de llegada. Ver ecuación 1.10 vlsen20 óo

(lom/s)2 senZx3}o

1q

:8.Jm

.9

e) Cuando la partícu1a 1lega al suelo, y considerando que el suelo es una superficie horizontal, las componentes de la velocidad serán iguales a ias componentes de la velocidad al momento

que el proyectil salió desde ei punto de partida. El único cambio es que la componente de la velocidad en 1a dirección vertical será negativo en el instante que golpea el suelo. La componente enx mantiene su magnitud y su dirección sin cambio alguno. La componente en y es: uoo = -ussen? y la componente eS .x eS: ü0, = uscos?

vo.,:-10.0/sen3O' uo,

:lO.O/rcos

3Oo

v^:-5.0m,/ ul' /S vox:8.7m/ /s

I-a velocidad de la partícula al llegar al suelo será:

¡:

I

(B.Tt-5.0j)m/s

El lector puede comprobar que el módulo de esta velocidad es igual a 10.0, y que su dirección es de

-30o.

131

lt

de Una pelota se lanza desde laterrazade un edificio de 60.0 m de altura con una componente

velocidad

inicial

's=25Í1

vo.

y con un ángulo de

300 con respecto a

la horizontal, como

se

indica en 1a figura 4.5.Lapelota asciende 1'lue-so ba,ja impactando en el piso. Determinar: a) La componente de la velocidad inicial usr. b) La altura máxima que alcanza

1a

pelota con respecto a

1a

terraza del edificio.

c) El tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. d) La magnitud de la velocidad de la

pelota en e1 punto Q'

e) La velocidad de la pelota cuando llega al sue1o.

f) La distancia horizontal a la que llega la pelota. g) La magnitud de la velocidad media desde que 1a pelota fue lanzada ha-ita liegar al suelo.

,---T---.lH-o

) t u 60.0m

".

- -:...q

i =e.s

n

l Figura 4.5 Sohtción: a) La componente de la velocidad vo,

para determinar la componente yor , llsamos la función trigonométrica tanT se despeja

:H,luego

la componente de velocidad uox Y se tiene:

25T

ltoy , ffi uox-ffi-ñ-43.3; b) La altura máxima que alcanza la pelota. Si colocamos el siitema de referencia sobre laterrazadel edificio y aplicamos la siguiente ecuación r2y :v2oy-2,O- )o) entonces, 0 : (25)z -Ze'Ü@* -0) por 1o tanto' I I

Hrr^r:31'9m

ti I

I

rl

ti ll il t; l, I,

132

Ii If ,ti

ir 1

,\.. :-

-._

'

J'

.

El tiernpo que tarda ia pelota en llegar al suelo

11

.I

-ó0- 0:+25t-1tg.St,' 2

- -)o= vo,t - rqt'

4.9t2-25t-60=0

i I

De la solución de la ecuación cuadrática se tiene fr =6.88s toma como solución el valor positivo /r = 6.88s .

d) La magnitud

y tz:-1.78s , entonces. l

de la velocidad de la pelota en el punto Q.

h I

El

punto Q se halla al mismo nivel que el punto de lanzamiento de la

t'

=-25mls.entonces. v=

eI

pelota. v, :43.3m1

.s

t(

tO:

La velocidad de la partícula cuando ilega al suelo.

.\

I-a componente de la velocidad en

es -13.3

n1

-.s"1

la componente de la velocidad en y.

v, =_vor- §t t,, = +25n1/ /s

- 19.8m/ /s')(6.88s) = 42.4m1 s y:43.3i-42.4f

(rnls). También puede ser expresada con la magnitud de la velocidad resultante y su ángulo: v:6O.6ml sy 0: -44.40 . Por lo tanto la velocidad es

f) La distancia horizontal a la que llega la pelota x u

r

:

v

)

'-) A, r "^-- Lr

r,

+

L,r

t

es:

,t = 43 .3(6.8

La magnitud de la velocidad media desde que

1!

1a

8')

:

297 .9m

I

pelota fue lanzada hasta lle-uar al suelo.

: J(A)' + (297.9)2 =3O3.9m y

r!

lt

a¡

:

6.88s l

-

.'

1.r 3O3.9m - :-: lr 6.88s-t11

-m

fi ¡

s

l!

133

)

ACTIVIDAD 4.1 Un bloque es lanzado sobre una superficie horizontal lisa con una velocidad

v

como se indica en la

figura 4.6. Si el bloque impacta en el piso a 10 m de la base, entonces: a) Calcular el tiempo de vuelo.

b)

Calcular. bloque.

la velocidad inicial

del

Figura. 4.6

c)

Calcular la velocidad de impacto.

ACTIVID AD 4.2 Se lanza un proyectil desde la terraza de un edificio de 100 m de altura con una velocidad inicial de 8 m/s y formando un ángulo de 300 con la horizontal. El proyectil impacta en un blanco a ,50 m de altura, como se muestra en la figura z[.7. a) CaicL¡ial' el fretnpo de vuelo ciel provectil hasta itrlpactat' en ei hlanco'

ti

ll

b) Calcular el alcance del proyectil.

Y

I 100

-a I

m

I

50m i

I

]c)Caicular

1¿r

I

velocidad de irnpacto del proyectil.

t34

Figura. 1.7

4.3 DESPLAZAMIENTO ANGULAR Es el cambio de la posición angular que presenta un cuerpo en todo su recorrido Aá. Las unidades más comunes en las que se puede representar el desplazamiento angular son: radianes. grados y revoluciones. El desplazamiento angular es el ángulo comprendido entre dos posiciones angulares 0z Y 01 ] su relación es Aá = 0z-0r. de arco (s): Es la distancia o recorrido circular entre dos puntos de una trayectoria ckcular 1- puede determinarse con la siguiente ecuación.

Itrgi¡gd

(4.11)

5:BxR donde

0

lr i

estáen radianes.

I

Radian (rad): Es el ángulo comprendido entre la longitud del arco (S) donde S = R, como se muestra en la figura 4.8. Otra forma cle determinar el desplazamiento angular Ad . es despejando de la ecuación 4.1 1

1' se

obtiene la siguiente ecuación á^S =

i

Figura 4.8 y grados se toma una longitud de arco S igual a Ia longitud cle una circunferencia de 2¡iR con un radio igual a R, lue-Po, se despeja el Para determinar la relación entre radianes

desplazamiento angular de la ecuación 4.1 1

d=

I

.

o=2oR =2n rad R

: '.ti

.L:r.: ,. ue

lt:

(t Llnt re\ (l1r:ctón

-',i.,- =]

iien¡

-16r

I . itlirlil.-e !.

-16{-r

-:^- rrd.

P, rf 1t'i t3I.ltO.

Irev:3600 -Ztr rad

-'

Ejemplo 1.3 Un deportista mrre en una pista circular una üstancia de 800 m, la pista tiene un radio de 200 m, entonces, determine: a) El desplazamiento angular en radianes. b) El desplazamiento angular en revoluciones. c) El desplazamiento angular en grados. Datos: S= longitud del arco (es la distancia que ha recorrido el deportista) S= 800 m R= radio de la trayectoria circular. 135

,\ \4-:-

R= 200 m.

a)

Determine el desplazamiento angular en radianes' El desplazamiento angular se despeja de la ecuación 4.1 1, como se muestra a continuación.

, /)tz il

il

I I

,:

8oorn

,O*

rod :4t'ttcl

b)

Determine desplazamiento angular en revoluciones. Para cleterminar el desplazamiento angular en revoluciones se utiliza el factor de conversión

lrevolución

il

»

s :

Znrad

_o:4rad"#*=y

=?,n,

c)

Determine el desplazamiento angular en grados. Para determiiral el desplazamiento angular en grados se utiliza Lreuolución = 3600

el factor de conversión

rl

e=?revx36oo :zz9.2o

l

7T

lt

lrev

il

4.4 RAPIDEZ ANGULAR

MEDIA

Rapidez angular media( ro*): es la relación entre el módulo del desplazamiento angular y el tiempo, es un escalar y representa la magnitud de la velocidad angular. Ver figura 4.9.

1

tl

0"-e, a^= ' tr-tt

Ad (D =-

,,,

A1

(4.12)

I

I

Figura 4.9 il I

Ejentplo 1.1 Una partícula se mueve desde el punto Pr hasta el punto P2 en una pista circtilar de radio R:3m en 0.50 s, como se indica en la figura 4.9. Si 0t=!50 Y 0. = 45'''. se Pide' determinar:

a)

El desplazamiento angularAá. L0 = 0z - 0, =

450

-I5'

=-JO" x

')¡

360'

-:-rad

b)

Larupidezangular. (L'

:-

0, -o, t, -tt

,T

6 O.5Os

136

,lt\

§-riu

r racl 3.t

6

C

) La distancia recorrida por ia partícula

La drstancia recorrida por la partícula es el arco de la circunf-erencia q

Aá: i ,S : R62

Entonces

ACTTVIDAD 4.3 D¡¡:nninar

1a

rapidez angular del minutero de

r-rn

S.

Aá * R:Lx3m.: Lrr:1-.57

m.

reloj.

Rapidez angular instantánea (ol) se la obtiene al aplicar el límite a la velocidad angular media (a*) ctando At tiende a cero. Es la rapidez angllar en un instante determinado de

tiempo.

Le (D=ttmN-+o

velocidad angular media

lt

l¡

(r

«.13)

Lt

4.5 VELOCIDADES ANGULARES MEDIA E INSTANTÁNBA.

.f¡

lr

ll

(á)

deun cuerpo que está rotando es un vector que representa el desplarqmiento angular A0 en un intervalo de tiempo Ar y esLá expresado como:

Le

a):-

N

(e, - e,) (t, - tr)

(4.14)

La velocidad angular instantáne a ti ¡ se la representa como el límite de la velocidad angular media en un intervalo de tiempo muy pequeño At ( Ar -> 0 ) y está expresada como:

,.

ll

,¡

l I,

L0

attl\1 -hm_ 1¡-0

il

t

[¡

La velocidad angular es un vector perpendicular al plano y cumple la regla de Ia mano derecha. Ver figura 4.10 y 4.11

Si ei cuerpo de la figura 4.10 está girando en contra de las manecillas del reloj, la regla de la mano derecha consiste en colocar los dedos de la mano derecha en la dirección de rotación del cuerpo, el pulgar extendido muestra la dirección del vector velocidad angular. La figura 4.I0 muestra que el yector velocidad angular está saliendo del plano de la hoja del papel.

fi ,tr

.N A,0(+)

=

L0(-)

a¡(+)

Figura.4.10

-

Figura. 131

ú)(-) 4.1

I

c) t¿ distancia recorrida

por la partícula

I-a distancia recorrida por la partícula es el arco de la circunferencia S.

Aá: §

Enonces

ACTTVIDAD 43

::

-*

..

.

*:,..2

S

R

:

Lox

R

: - a*3m 62

a, : r.57rt

¡nqular del minutero de un reloj. Ji

Rapidez angular instantánea (o) se la obtiene a1 aplicar el límite a la velocidacl angular media (co^) atarrdo At tiende a cero. Es la rapidez angular en un instante determinacio de tiempo.

ú):

Le

l7m ^1'_)0

{i I

( (4.13)

-A/

1

4.5 VELOCIDADES ANGULARES

f,a velocidad angular

media

(ó)

MEDIA E INSTANTÁNEA

deun cuerpo que está rotando es un vector que representa

el desplazamiento angular A0 en un intervalo de tiempo

o--

li

L0

Lt y

n)-

Lr

estáexpresado como:

(e.-o,) -

(4.11)

'

(t. - tt)

La velocidad angular instantáne a (;)se la representa como el límite de la velocidad angular media en un intervalo de tiempo muy pequeño At (Ar -+ 0 ) y está expresada como: ainrt=

..

Le

H.;

La velocidad angular es un vector perpendicular al plano y cumple la regla de la mano derecha. Ver figura 4.10 y 4.11

Si el cuerpo de la figura 4.10 está girando en contra de las manecillas del reloj, la regla de la mano derecha consiste en colocar los dedos de la mano derecha en la dirección de rotación del clleq)o. el pulgar extendido muestra la dirección del vector velocidad angular. La figura 4.10 mue§tra que el yector velocidad angular está saliendo del plano de la hoja del papel.

'i\. )ñ\

Aá(+)

=

L0(-)

c,\+)

Figura.4.10

)

a(-¡

Figttra.4.ll 131

De forma vectorial la velocidad lineal o tangencial se obtiene por el producto Vectorial

o

producto cruz

Y:(DXT De forma escalar se obtiene la rapidez lineal

v:

o

(1.15 )

tangencial de la si-suiente manera'

(Dr

(4.16)

lI

illI )t)

lil ,tl rll ril

lll 1!

.X

---> vl)

irl

lll 'lr ,it

Il,!, ttl ltr

lil tt

il tl

Figura.4.12

Nota: El signo de G) ¿s positivo cuando A,0 (desplazamicnto angular) es contrario a las manecill^as del reloj y es negativo cuando es en la misna dirección de lns rnanecillas del

reloj. La unidad de la vel.ocida.d angula,

El radinn no es una escribirse en t: l

unidad

,, 14¡. s

y tas uni.dades ite ln vel.oci.dad angular también. puede

1

4.6 PARÁMETROS QUE AYUDAN A DESCRIBIR EL MOVIMIENTO

CIRCULAR lEn el movimiento circular encontramos parámetros como el período, la frecuencia y la frecuencia angula que se describen a continuación. 4.6.1 Peúodo (T)

peíodó es el tiempo que tarda un cuerpo en rcalizar una revolución o una vuelta completa. Su unidad es el segundo (s) y su símbolo es T.

{El

T-

tiernpo N útne r o de r ev

138

=;r,l oluciones

(4.17)

4.6.2 Frecuencia (f) Lafrecaencia es el número de revoluciones que da un cuerpo en un segundo y su unidad I

1 l. flu-uda también Hz.Elsímbolo

es

de la frecuencia es f.

Lr.l'

t^-

revoluciones

Número de

N It-tI L;l

-7

,ir*p,

I

(4.18) t,

Nota: Una revolución es una vuelta completa, entonces Trev = 2r rad

11

I

4.63 Relación entre el períodor la frecuencia y la frecuencia angular

{t

frl período es el inverso de la frecuencia .

r:l

l

(4.1e)

f

I-a frecuencia angular en (raüs) se relaciona con la frecuencia f(1/s) mediante la expresión.

a=2n

f

(4.20)

2zr 7-

a)t :

l

(4.21)

4.7 ACELERACIÓN CENTNÍPBTI. l

.li ,n cuelpo se mueve con rapidez constante W

enuna trayectoria circular corlo se muestra

en Ia figura 4.13. su velocidad cambia de dirección constantemente, y este cainbio constante del vector velocidad da origen a una aceleración llamada aceleración centrípeta que estít dirigida hacia el centro de su trayectoria.

l*l ' =t=r', r Lr'-l

o

l

ii

(4.22)

En la frgura 4.I3 puede observarse que:

1!r

t _-->

tra¡-ectoria

dfuigda hacia

a. el centro de la trayectoria

o

circular-

La aceleración centrípeta es perpendicular

a

la velocidad tangencialFigttrct. 4.1 3

139

t

Ejemplo 1.5

Un ciclista viaja a una velocidad constante de 60'0

ktn _.5l

el diámetro de las llantas de la

h

bicicleta es 80 cm.

a)

Calcule la rapidez angular de una llanta de la bicicleta

para determinar la rapidez angular primero se procede a realizar la conversión de unidades de metros' km/h a m./s, como se indica a continuación. También se detennina e1 radlo en

rli ,ll i

l))

6oY!-.

h

l

? -41.68'ud ,o:l:ro'o; s r 0.'10m

I

b) 't

Calcule el período de rotación de una llanta'

-l--2n: u)

ú)--2zr T

c)

rrll

d)

f

llanta Calcule Ia magnitud de la aceleración centrípeta de un punto de la periferia de la 2 V2

4.8

15s

I -6.6i!:6.6tHz "¡=!= T 0.15s s

1

A,.:-:co r

riir

'n , --o. 4r.681S

Calcule la frecuencia de rotación de una lianta

T':-

r

a" = ú)2r= (41.681/s)2 x0.4om=694.89+ s

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

le corresponde movimiento circular uniforme es aquel que a iguales intervalos de tiempo iguales desplazamientos angulares y su velocidad angular peñnanece constante'

El

i,l

Jttr t,

2

Luego se utiliza la ecuación 4.13 para despejar la rapidez angular

i

rfl

lm :o.4om Í,=4-8ocm -- orm, (--¿ loocm

* h :16.ú t!s km 3600s

looo¡z

l

Ecuaciones a utilizarse en el movimiento circular uniforme.

r{+) = e"-e,

Aá(+)

Lee)) @(-)

O^: T:gonst¿Ulte rz-tt

Or:4+att 140

(4.23 )

Ejemplo 4.6

t

k

Con relación al ejemplo 4.5. Si el ciclista se mueve a velocidad constante durante 40 minutos. Calcular:

a)

El desplazamiento angular el radianes.

Comoenelejemplo4-5 sedeterminólarapidezangular de41.68 radls,luego, serealizala conversión de unidades de minutos a segundos para finalmente utllizar la ecuación 4.19 para calcular el desplazamiento angular en ese tiempo.

ll

ll li

L0

b)

-

coLt

:

11.68'ad x 40 min ,tor

s

r. 60' : l minuto

rooo32racl

f il li

El desplazamiento angular en grados

Para determinar el desplazamiento angular se utiliza el factor de conr.'ersión entre radianes y

ll

grados 2m'ctd:360':'

ll

c

)

lOOA32radx

3600 :5.730 x 10ó 2mad

El desplazamiento ansular en revoluciones

1r

Para determinar el desplazamiento an-su1ar en revoluciones se utiliza eI factor de conversión entre revoluciones y -erados lrey :2mad looo32rad,"

d) La distancia total recorrida

ii

lrev 2mad

ll

-l592o.6rey ll

por el ciclista en ese tiempo

l

La distancia recorrida por el ciclista se puede calcular como la rapidez lineal o tangencial de la periferia de la rueda multiplicada por el tiempo. d = v x r =L6.61 !

x2400s

:

ir

40008ii¡

s

ACTTVTDAD 4.4

,

{(

ACTIVIDAD 4.5 revoluciones Las llantas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro y las mismas re¿rlizan '10 mientras el automóvil se desplaza a velocidad constante durante 10 s' Se pide:

a) Determinar

el período de rotación de las llantas

b) La frecuencia de rotación

I

de las llantas

c)

Larapidez angular de las llantas

d)

Larapideztangencial de un punto de la periferia de 1as llantas

e)

La magnitud de aceleración centrípeta de una partícula de la periferra de las ruedas.

i

i

ACTIVIDAD 4.6

I

muestra la rueda moscovita en un parqr-re de diversiones que gira a una rapidez angular constante de n r -AA m. Determinar: '"* v tiene un diámetro der 20.0 " rad

I

15 s '

I

a)

Lafrecuencia (ResP.: Il30Hz'¡

b)

El período (Resp. : 30 s)

I I

ri

Figura 4.14 :

i

c)

2m La rapideztangencial que una persona experimenta en la rueda moscovita' (Resp': ; z -

''

I

-- -l'.' ¿

d) El tiempo que tarda Llna persona en dar 20 vueltas ( Resp: 600 s)

e)

La aceleración centrípeta que experimenta una persona en la rueda moscovita 0.439 m/sr)

1-+2

(Resp':

ACTIVIDAD 4.7 LIn satélite artiflcial está en órbita alrededor de la Tierra con un periodo de 5302 s, a una altitud de 200 Km. El radio de la tierra es de 6370 km.

a)

Deteminar ia rapidez angular del satélite alrededor de la Tierra.

l

i

b

I

Determinar la rapidez tangencial del satélite.

ii

tlt

c)

11

Determinar la aceleración centrípeta qlle erperimenta el satélite. i

4.9 MOYIMMNTO CIRCT]LAR T]NIFORMEMENTE VARIADO 4.9.1 Aceleración Angular

La

1

(a )

aceleración angular es el cambio de la velocidad angular (co) con respecto al tiempo.

Para iltrstrar este movimiento podemos observar en una bicicleta cuando empezamos a pedalear en un tiempo t1 las ruedas tienen una velocidad angular 4.r,, luego en un tiempo t: tienen una veiocidad angular

o.

y por lo tanto la aceleración media es

,l l

i

a 1j1

La aceleración angular media se presenta como c(,,,:

l l

itl

a

La

(O:-

cl

-Lf

,,=-

(D:

t.-t,

(1.24) ,,

Ecuaciones para el Movimiento Circular Lniformemente Yariado ilt lil r{(

ú)=

aoldt

0=

@ot*-at-

(4.2s)

I

(4.26)

*' : d +2ao

(427)

t43

r

Si una partícula cambia su rapidez angular, aparece una aceleración producida por

[a

variación de la rapidez,la cual se denomina aceleración tangencral. Se debe tener presente que para este caso la aceleración resultante ya no es radial \ está dada por 1a ecuación:

;-.,*r+

a) De forma vectorial

donde d es la aceleración tangencial. b) t-a magnitud

(1.28)

total; G lu aceleración centrípera

>'

la aceleración

al +al

de la aceleración es:

(4.2e)

I

Figura.

4.1 5

ACTIVIDAD 4.8 Un carrito de juguete a control remoto de 200 g de I

I

I

masa

describe una trayectoria circular de 4 m de radio, a una rapidez constante de 5 m/s y se mueve sobre una superficie plana, como se muestra en la figura 4.16. a) Calcular la frecuencia de rotación del carrito

5 m/s

ft'I ,

I t

It \

,i'

b)

Calcular la magnitud de 1a aceleración medla de1 carritt-¡ después que ha recorrido un cuarto de vuelta

Figura.4.16

)

c)

Calcular la magnitud de la aceleración centrípeta del carrito

t44

t&=--

n engranaje A es impulsado por un motor eléctrico 1750 RPM y este engranaje A transmite movimiento

L

a a

un engranaje B, como se indica en la figura 4.17.

Indicar si cada alternativa es verdadera o falsa y escribir sujustificación respectiva en cada casa.

a) En el punto de contacto entre los engranajes A y B las rapideces tangenciale¡ son diferentes.

Figura.4.17

b)

ü

)

El engranaje A tiene mavor rapidez an-eular que el engranaje B.

En el centro del engranu.L" B. Ia rapidez lineal

es cero.

d) En el centro del engranaje B, la rapidez angular es cero. l

e)

Una partícula ubicada en la periferia del engranaje A tiene mayor aceleración centrípeta que una partícula ubicada en la periferia del engranaje B.

--'?..

ACTTYIDAD 4.10 Andrés recorre en línea recta en su bicicleta una distancia de 50 m en un tiempo de 20 segundos. Sabiendo que Andrés se movió en su bicicleta a rapidez constante y que larapidez angular de las llantas de la bicicleta es 10 rad/s. Determinar el radio de las llantas de la bicicleta. a) 50 cm

I {

bl 15 crn c, --5 cm

di 60 cnr e) 30 crn

r45

I

ACTIVIDAD 4.11. En una caja de transmisiones de automóvil se tiene el siguiente

un

sistema

de engranajes mostrado en la figura 4.18..

Si el engranaje A rota a 1750 RPM. Considere que R¡ = 0.10 m; Rr: 0.30

mi

Rc

:

0.20 m

a)

Calcular la rapidez tangencial de una partíclula ubicada en el punto P en el engranaje C. Resp.: 18.3 m/s

Figura 4.18

fr

b) Calcular la magnitud Resp.:

ll

e

la

aceleración centrípeta de una partícula ubicada en e1 punto I.

16 m/s2

I

I

li

c) Con relación a escoja la alternaf, a) a¡ ) aa: ?l b) a¡ = a¡-1

itud de la aceleración centrípeta en este problema (figura 4.18)

c)as)a

lr

i Ir

,. f,

t16

{.10 \TLOCIDAD RELATIVA

E¡ ter*ioo

movimiento o reposo es relativo a los sistemas de referencia, es decir, una persona {panícula) que viaja en un bus, püede estar en reposo con respecto al bus, si se considera un sistema de referencia en el bus (S'); pero esa misma persona puede estar en moriniento con respecto a otra persona que está en la tierra a orilla de la carretera , es decir, u-or respecto a un sistema de referencia ubicado en la tierra ( S).

Es impwtante indicar que para el entendimiento de velocidad y aceleración relativa deben identiñcarse tres aspectos importantes, que son: reconocer cual es la partícula, dónde está el sistema de referencia S', y S. Decimos que el sistema de referencia S está movimiento con relación a,S.

fijo en la Tierra y que el sistema

,S' está en

t

i

(

Si se tienen dos sistemas de referencia ^9', S y la partícula como se observa en la figura 4.19.

La partícula puede ser: Un insecto, un auto, un pájaro, Superman, etc.

1l

{ Figura.4.19 y'

es el vector

posición delapartícula con respecto a S. ,

/

es el vector posición de la partícula con respecto

a

ñ representa el vector posición del origen del sistema

S' de coordenadas S' con respecto S.

ir

I

Si realizamos la suma de

rR-r'

vectores V ,

í'

y

ñ.

.

entonces Ar=Ar'+AR ydividiendopara Ar

Lr Lr' AR NLtLt l:i'+rt donde,

t41

[\

_--

queda:

(4.2s )

I i

es la velocidad relativa de S' con respecto al sistema de referencia que

está

fijo

en la Tierra

(s). ü'es la velocidad de la partícula relativa al sistema de referencia S'.

I

es

la velocidad relativa de Ia partícula relativa al sistema de referencia que está en la Tierra

S.

Una recomendación importante para resolver problemas relacionados con velocidad relativa es identificar donde está S', S y cuál es la partícula. 4.10.1 Aceleración Relativa

Usando la expresión vectorial parala velocidad relativa v:v'+t¿ y considerando que ues constante, es decir, la velocidad del sistema S' se mantiene constante, y dividiendo la expresión de la velocidad relativapara el intervalo de tiempo, se tiene:

Aü Aü' Lil N_ N- N Por lo tanto: á : á' . La aceleración es la misma en el sistema de referencia fijo en la Tierra ,S así como en el sistema de referencia movible S'. Esto es válido si el sistema de referencia movible §'_se mueve con velocidad constante con respecto al sistema de referencia fijo en la Tierra,S.

Es decir, ia aceleración de la partícula con respecto a partícula con respecto a S, "considerando U constante".

S'. es la misma aceleración de la

Ejemplo 4.7

1.

Un helicóptero que se mueve orientado hacia el Norte con una velocidad de 50 km/h con respecto al aire. El aire se mueve con una velocidad de 15 km/h del Este al Oeste. Calcular la velocidad del helicóptero con respecto a un observador que está en reposo en la Tierra.

Helicóptero Soluci.ón.

Datos:

ü'= 50 7

t-it,

ú= - 15 imrn

i:i'+il ü=5oj

mn- 15i km/h

; = (-tsl+ soi)kfií

v:52.2/,

Figura 4.20

con 0^:Ia6.7o i+8

Ejemplo 1.8 IJna persona intenta cruzar elrío Guayas que fluye a una velocidad de 2 rrls de Sur a Norte como se indica en la figura 4.21. Si la persona puede nadar a 3 m/s en aguas tranquilas. Se pide: a ) ¿En qué dirección debe orientarse el nadador para llegar justo a la orilla opuesta frente al punto de partida? Solución

I

,,

¡ a calcular el ángulo e ionnado entre los vectores

I

I

r-

I d:SOOOw l1

^u 1-->o=41.80 sen9=-= ')

v'

ü':3

-)

Figura. 1.21

t

b)

c)

ir

¿Cuál es la velocidad del nadador con respecto a la tierra?

,=J[;=t-,%=Ji%

I ri

Si el ancho del río Guayas es aproximadamente 5000 m. deteminar el tiempo

que

tarda el nadador en cruzar el río.

d:vxt

ll-|-

d v

t-

500012

_

J5

t :2236s

'r.,

I

!i

t49

)

-

ACTIVIDAD 4.11 Con relación al ejemplo 4.8. Si el nadador decide orientarse a favor de la corriente hasta un pueblo situado a2000 m de distancia y luego regresar, se pide: Resp. : 400 s a) Calcular el tiempo que tarda en ir.

it ri

b)

Calcular el tiempo que tarda en regresar.

c)

Calcular el tiempo total que tarda en ir

Resp.: 2000

s

Resp: 2400

s

,r

It

l) lt ll

r

regt'e:ar'.

ll Ir

ll

ACTIYID AD 4.I2

lrr

ii fl th

Andrés usa una escalera eléctica en un centro comercial como se indica en la figura 4.22. Con las siguientes observaciones: 1.- Si Andrés usa la escalera eléctica y sólo se deja llevar por la misma, tarda 30 s en llegar al siguiente piso. 2.- Si la escalera eléctrica NO funciona y Andrés camina en la misma, se demora 60 s en llegar al siguiente piso. Con ias observaciones mencionadas. Calcular el tiempo que tarda la persona en llegar al otro piso, si la persona camina y la escalera eléctrica está en funcionamiento. Resp.: 20 s

tl rri

lr ,tr

;i

l,i iilr

ili

lil

,ii

Figut'tt. 1.22

150

'l

I

.{CTTVIDAD 4.13 /'

./'

mono viaja en el balde de una camioneta que se mueve a 60 kmftr en una carretera largay El mono decide lanzar una banana con una rapidez de 20 km/h con respecto a la camionet¿, en dirección opuesta al movimiento de la misma, entonces. Se pide:

L-n

recta.

atCalcular la velocidad de la banana con respecto a Pedro, que está en la tiera a orilla de la carretera.

l

ACTIVTD AD 4.I4

,

I

David trata de cruzarel río Daule que fluye a una rapidez z . Andrés lo espera justo al frente del punto de partida de David. David nada a una rapidez de 5 m/s y tiene que hacerlo con una orientación de 600 con respecto a la línea que une a David con Ancrés. Se pide: a) Calcularlavelocidad delrío u. Resp.: 2.5 m/s

^ :.Il, ,, -l

.-rt'l,r

-


0.10m

a) x --O.Lcos(r0Yx b)

[*"{

,

0.1cos(5¡rad)

Ss) =

x =O.O96m=9.6cm

Cuando se cuelga el peso de 36.0 frg el resorte se estira 10.0 cm y llega al reposo. Luego. se estiran 10.0 cm adicionales, por 1o tanto la amplitud es de 10.0 cm

radf

umox

= t'\m/s

amax

= 10mf ,z

umax

= Aa = 0.1'0m x

c)

amax

=

d)

En el literal (a) se encontró que a los 5.0 s, el desplazamiento es de 0.096 nt.

A,'2

10.0

= 0.1,0m* (f

O

,

radlr)2

329

I

,=f#:ss"4

L sando la ecuación (

,

/'360c,,\' : .,/ -#0.

!

la ecuación'.

-(to.o.

"1/,)'

f[-¡ v = tlo.oTBm/s

0.096' »?'

-

02

36.Oks

e) Llsando

,:

1

10.31,,':

q: -a2x a

xo.oe6m

:

-9.6m/sz

Ejemplo 10.10

Un bloque de 3.6 kg se une al extremo de un resorte liviano y se observa que vibra a S.OHz. ¿Cuál será la frecuencia de vibración si se une al mismo resorte una masa de 10.0kg?

Tomemos TrLr

= 3.6kg

Como se trata

c1el

." - 2r\lrtr .tl'

-

+

= 1'0.0k9 Y ft = 5.0H2

mismo resorte las constantes del resorte son iguales. Aplicando

para la masa mr

1a

ecuación

:

m

Dividiendo f2 para =

TrL2

ff

/, se obtiene:

despejando

/2

se

obtiene:

f,

= f,

fr

fz = S.oHz

fz = 3'0Hz Ejemplo 10.11 ¿Cuál debería ser la longitud de un péndulo simple para que su periodo sea de superficie de 1a Tierra?

l.0s en la

330

-a

\

t'I

Solución: Aplicando la ecuación (10.18) T =2tr

,

,

2

y depejando / se tiene:

o

)5 l:am

gT, 48,

L

412

7T-

Una masa m -- 1,.0kg atada a un resorte vibra con una frecuencia de 20 máxima del resorte es de 50n2 J, ¿Cuál es la amplitud de oscilación?

Primero debemos calcular la frecuencia angular o) = 2¡r

K* :

i*n*:S}nz

c,-r

¡z

flz. Si la energía cinética

luego aplicar la reiación urno,

= Aa

f = 2r "20+ = 49¡ rcrcl/,

despejando umaxi

umax

¡

=

-emax @

ürnax

'o*-!t, uu/ g - 4ottt

A:

=

1,0rtm/g

o.Zsm

n resorte que se encuentra sobre una superficie horizontal tiene una constante de fuerza de 100NAn. Una masa de 0.5 kg se une a un extremo del resorte mientras el otro extremo se encuentra fijo. Si la masa se comprime una distancia de 10.0 cm a partir de su posición de equilibrio y se suelta, L

a) ¿Cuál es su energía potencial elástica para x : l}cm? b) ¿Cuál es su energía cinética máxima? c) Cuando el resorte pasa por la posición x = 0.5m ¿ a qué es igual la suma de su energía cinética potencial más su energía potencial elástica?

Para responder la pre-sunta (a) se debe usar la

fórmula: ¡¡

a) u = :Qoox l*)(o.1om)2 = o.s/

331

= L¡rkx'

7 Para responder la pregunta (.bi)

k*o* = )*ulro*

donde umax =

Aa = ZrAf ,1o cual irnplica

realizar algunos cálculos ya que la frecuencia no es un dato del problema sino que hay que

,f : *J# ", lugar de hacer todo esto, se puede usar el concepto de que:

calcularla.

b),

K

+u

:!kA' 2

donde K es energía cinética y k es la constante del resorte. De esto se deduce que si Ia energía potencial elástica es cero, entonces la energía cinética es

máxima.

c)

K,,o.

Así'.

=

K*o*

: !kA'. 2

lftoo* Y*|o.ro-;'

:0.5./ (esta es la energía máxima dei m.a.s.)

Observe que en el literal (a) se calculó la energía potencial para x = 1,0 cm. Aquí, 10cm es igual a la amplitud. La energía potencial que se halló fue de 0.5/, y como la energía máxima es 0.5 J de acuerdo al literal (c), se concluye que para x = 1O cm,la energía cinética es cero.

1. Z.

Un resorte se cuelga de un soporte y su posición es vertical. Si del extremo libre se cuelga una masa de 5.00kg, y se observa que el resorte se estira una distancia x = 2.00cm, calcule la N constante elástica del resorte. Exprese su respuesta en /m. Se coloca un resorte sobre una mesa horizontal sin fricción. Una masa m es colocada en su posición de equilibrio (cuando el resorte está sin deformación). Si la masa es movida hacia la derecha una distancia de 5.00 cm a partir de la posición de equilibrio y es soltada desde el

reposo, la masa ejecuta un movimiento armónico simple. Se pide:

k=

N

5.jcm

209m

iI

x:0 Posición de equilíbrto

Figura

332

1,0.14

I I

a) b) c) d) e) f) c)

3.

amplitud del movimiento. lndicar en qué punto la velocidad de la masa es máxima' lndicar en qué punto la velocidad de la masa es mínima. La

lndicar en qué región la velocidad es positiva. lndicar en qué región la velocidad es negativa, lndicar en qué región la aceleración es positiva.

lndicar en qué región la aceleración es negativa. Para el gráfico del problema 2: a) ¿Cuál es la fuerza externa que se ejerce sobre el bloque para que se mantenga en reposo

a

5.0 cm a partir de su punto de equilibrio?

b)

¿Cu¿l es la fuerza que ejerce el resorte sobre el bloque en la posición mostrada en la figura?

c) Calcular la frecuencia angular del movimiento. d) ¿Cuál es el valor de la aceleración en x = l2.0cm; x = 0'0cm; x = -2.0cm. e) Calcular el periodo del movimiento.

4.

f)

[Para qué valor de x la velocidad de la masa es )*rflr*Z

g)

¿Para qué valor de

x

la aceleración de la masa es

a*o*?

Sik es la constante elástica de un resorte y.4 es la amplitud, entonces la energía cinética máxima será: .1

a) L\ OI

,mu' 1-

't,2_KA

Al

1.

c) ;,t.t: ingh

5 6. 7. 8.

De gráfico de croblema # 2, caLcule la energía potencial elástica para x = 2.00cm, y la energía cinética para x = 2.00cm. Luego, calcule la energía total para x = 2.00cm' De gráfico del problema # 2, calcule la energía total máxima del movim¡ento. Compare esta respuesta con aquella del problema # 5. Suponga que en el laboratorio usted tiene un péndulo simple (masa y longitud conocidas) y un cronómetro. éQué debería hacer para medir la aceleración de la gravedad? éCuáles la longitud que debería tener un péndulo simple para que su periodo sea igual a una hora? m

= l.Okg; k =

20ON /m

9. éCuáles la longitud de un péndulo simple de masa 3.0 kq sieltiempo que demora en realizar una oscilación completa es de 1.0s? 10. Un sistema masa - resorte oscila con una frecuencia de 5.0 Hz, LCUá\ es la Amplitud del movimiento si la velocidad máxima del oscilador es de 12.6.m/s? 11. Un oscilador armónico vibra de acuerdo al movimiento dado por: .r = (3.0

senl\n t)cm

Calcule, la amplitud del movimiento, la frecuencia, y el periodo.

12. Un oscilador armónico vibra de acuerdo a la ecuación;

, :Qoo.orto/or)r% 333

Calcule la velocidad máxima. 13. Un oscilador armónico vibra de acuerdo

a:

a = (l500se ntO¡r

rY'y

,

Calcule la aceleración máxima.

el desplazamiento x es máximo si un oscilador armónico vibra de y acuerdo a: = (3.\sen2ttt) cm 15. Para qué valor del tiempo la velocidad es máxima si un oscilador armónico vibra de acuerdo a: cm/s y = (s.ocos ttf ,t) 1,4. Para qué valor del tiempo,

16. Para qué valor del tiempo la aceleración a es cero, si un oscilador amónico vibra de acuerdo

q=

a:

(tzosennl+t)r^lr,

17. En la Vía Láctea, (nuestra galaxia), se ha encontrado un planeta en la que un péndulo de 2.0 metros de longitud tiene un periodo de r segundos. ¿Cuál la aceleración de la gravedad en ese pla neta?

L8. Un sistema masa-resorte oscila con un periodo de 0,1;¡ segundos cuando una masa de 200 gramos es unida a uno de sus extremos. Si su energía totai es de 0 4.1 a) Calcule la constante del resorte b) Calcule la amplitud del movimiento ,

c)

Calcule la máxima velocidad

19. Suponga que el periodo de un péndulo simple en la Tierra es de 1.0 s. ¿Cuál será el periodo del mismo péndulo en la Luna donde la gravedad el de la Tierra?

"tllOque

334

\

-\

)

RESPUESTAS C.\PÍTULO

1

1. d 8.d 9. c

1. d ).d 3. c l.d 5. c 6.c

t3.

a

14.2.88lb. ; 1307.5g 15. a

16. c 17. b 18. b t2. b 19. Ordenar las siguientes cantidades físicas de menor a mayor y completa ia tabla adjunta. Írr, cm. dm,m. dam,hm. km

10. 11.

10-2 m cm

10-3 m Mm 20.

a)2.04m b)2.01

m 21. a) 1.02

m

b) 4.00

1b

22. a) 1.10 g b) 4.08 m 23. a) 3.11 kg b) 2.15 s c) 15.21 m d) s.01 N

C

\PÍTT LO

a

a

10-1 m dm

m

2.r3 2.t4

2.15 2.16

2.I7

2.18 2.19 2.20 2.21. 2.22 2.23 2.24. 2.25.

l-0+2 m

10+3 m

hm

km

31. 32. 33. 34.

24. a 25. a 26. l6m;lm 2 x lOrmz

3;3:4;2;2;6 c

d b

27.a)2;b)2;c)-3; d)6 28. c 29. a

30b

]

?.1. d 2.2 ,/, 2-3 d 2.4 NO 2.5 c 2.6 c 2.8 c 2.9 e 2.r0 b 2.Il e 2.12

10+1 m dam

100 m

1.16.

b

).21. 705m: 56.60 al sur del oeste.

2.28. 360.6m: 56.30 al norte de1 este 2.29. T" =717.4 N; Tu= 878.6 N 2.30. 2418N; l8ocon respecto a F, 2.31. 3464m 0; 1464m. 2.32. 19.2u2 2.33. -30i + 35R o cualquier múltiplo o submúltiplo.

2.34. 56.10 2.35. 39.6u2:

ü:65.90; : 35.30; Y 65.90 2.36. 3Oi - 1.2i - 21.k

e

d

b

2.37. 10.54 N; 348.60 2.38. 10 u: 20Oo 2.39. 800

a a a e

2.40. 42.20; a: 21.40

d c

d

-t-. YLt A 764.80 s

zoi-3.si-?tk c 335

2.41.

94.10 Y = 69.00 4.L6i-5.64j+3,86R

1

26.60

/11

2.43. 2.44.

7.661

1 ¡< L.+J

59. /u-

-3.87i-3.27j -^ - )

+ 8.63R

p=

B=

,\

C,\PÍTULO

-1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

3

Las dos piedras llegan con la misma rapidez.

17. 18s 18. a : -800m/rz

Negativa N;gativa

19. v- = *6m/s 20.240m

-g

21. 10 s 22. A) 180 m; b) 198 m; c) +9mls; d)

Igual a -g Alcanzan igual altura.

9.9 m/s

Es negativa

23.v=-38m/s

Negativa

24. (c) 25. (c) 26. l0s 27. (a) 28. (a) 29. (b) 30. (d) 31. (e) 32. (b)

500 m

10. 14km

ll.

l.5s

12. 200 m 13. 200 m

14.120km 15. 15 s 16. a) 20 km/h;

b)

120

km/h; c)

100

km/h

CAPÍTULO 4

l.

c) 25.00 m/s

2. d) 5.00 s 3. a) No sufre daño alguno

c) 0:6.250 d) La segunda canica porque

e) 0.75

f)

rapidez de impacto es 67mls b) 200 m

9.

,1. a) No

b) 5.

613.14 m

0:

6. a)

7.

a')

79.60

16.65 m/s

b)

1.67

a)76.0o

10.a) 30

a) 0:79.50 o 0:14.10

b)

25.60

s

flz

b)

60mrad/s

c)

6002r rad

d)

360r.2 rr,tsz

II.a) 2radlsz b) 100 rads

9.13 m/s; 36.90

b) 2m c.¡ 0.55 s d) 7.30 m/s

c) 3m/s d) 60 m/s2 e) 0.3 m/s2

8.

a) La primera canica

b) 114 a) 33.72 m/s; 0:510 al Norte del Este.

12.

I

336 I

I

lqa

:-\ \-

;is

,-

CAPÍTULO 5

5.1

a=S.}mfrz

5.2

a=2.5mfrz

s.23.

6mf

T = 12N

,z

5.5 a=LSmfrz Fc

5.7

F. = 60N; a=4m/s2

5.8 5.9

F

=

a

= 4mf ,z

Fs

5.26.

ran0

= u'lGO):

5.30. vs = 4.0 m/s

50.0N

5.31.

5.0m/sz

s.32.

^,

= 4n'R/T,

(a)

5.11

5 personas

5.33. v=300m/s

5.12

75.0 N

< lr ,, rnlTIr \ -:lu---lS; 2

5.14 a=Zmfrz

no se rompe. ,',2

I

,"

r,,2

\

(':f + ms)

5.37 a=20mfrz 5.38

5.19 F = 22.0N

(c)

-5.39 ( a ) (c)

5.40(d)

5.21. a, = 4.0mf ,z

s.41

T=4.0N

(b)

5.42 (c )

337

\

-S);

5.36. v=6.0x10-3m/s

5.17 F = 75.0N 5.18 100 N

5.22.

5N;

'T'I _

-i.-r-