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.J -1

1

··_1

.1 I

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

I

1.1

Introducción. Estudio de la ecuación y' + ay = b . le ecuación de caída de los cuerpos viene dada por m v'(t) =mg

(1)

cuando no se toma en cuenta la resistencia del aire· _Si suponemos que la velocidad inicial vIO) es nula, una simple integración de (1) conduce al resultado

(2)

. vIl) =g t Una ecuación más acorde con la realidad será

(3)

m v'(t} = mg - k v(t)

donde se ha con:iderado el término -k v(t) que se opone al movimiento y es proporcional a la velocidad. Supongamos"que v(t} es solución de (3) que cumple la condiciÓ!'! vIO) = O . luego v'(t) = g -!.v(t)

m

Dividiendo e integrando arribamos a . - ~ v'U)

_ !!! 1. t k O

(\5

m

k

= f.

t

ds

O

g--V(5)

m

La tilde encima de una funcibn denota la derivada de la-misma_

, , '4

Introducción a las ecuacionesdiftmenciales

, es decir _!!![In{g-Js.v(s) k m

que surgen en el estudio de la radioactividad, crecimiento de bacterias, cinética química de primer orden e intercambio de temperaturas respectivamente. Estamos frente a ecua· ciones diferencia/es, en el sentido que son ecuaciones en las que aparecen una O más derivadas de la incógnita. Todas lasecuaciones mencionadas son casos especiales de

llt=t o

Evaluamos V aplicamos la función exponencial a limbos términos, lo que nos permite k

afirmar

v(t)

--t m

=!!!i _!!!9. e k k

y'(t)

(4)

Es fácil verificar que la función '(4) es,en efecto, .solución de (3) y más aún vIO) = O. Por la forma .como hemos prOcedido podemos aseverar que (4) es la única solución de

(3) Que en el instante t =0 adopta el.valor cero. Conslderemo5 a continuación el circuito de la figura, sometido a una fuerza electro· motriz constante Eo y por el que no circulaba corriente en el instante t = Ü ,i.e. 1(0) = O.

La 2 8 ley de Kirchhoff· asegura .que

(5)

L I'{t) + R I{t) = Eo

¡;

ecuación.diferencial idéntica a (3) si intercambiamos los símbolos por y • L por m, R por le , Eo por mg • hecho que se acostumbra denotar mediante elsimbolismo R I-y

+ a y(t) = b ,

R -

L

k

--- Eo -mg

CP'(t)

+ a CP{t) = b

para

t>O •

En todo el capítulo trabajaremos con ecuaciones de primer orden, significando con ello que no aparecerán derivadas superiores a la primera. A diferencia de ecuaciones algebrai· cas simples como 5 x + 2 = 7, .cuya incógnita denota un número, ahora la incógnita y(t) en (7) denota.una función, hecho que determina un cambio radical frente a nuestra experiencia previa con la matemática elemental. La tarea que tenemos frente a nosotros es encontrar, de ser posible, todas las soluciones de (7). De antemano ni siquiera sabemos si por lo menos existe una solución. Analicemos en primer lugar el caso particular

=O

(B)

A simple vista se observa que toda función constante es solución de (8) y que a su vez tod¡¡ solució!] d_e (BLdet>~_s_er una función constante. Veamos la ecuación . (9)

y'(t) =b

Luego Eo

.

Eo

I(t)=- - - - e

R

R

-"[ t

(6)

R·

(7)

donde a, b f ái . Por solución de (7) entenderemos cualquier función con derivada contín~a. tal que

y'{t}

L- m

t;;;' O

Si...cp es solución de (9) entonces cp'{t) (t ~o

La intensidad -de corriente no crece sin limite, sino tiende al vaior Eo/R. Muchas otras ecuaciones del mundo 'real son similares a (3) Y (5) , mencionaremos entre ellas a

=b.Luego

cp'(s) ds

=.cto

b ds

donde 10 es un punto fijo (arbitrario) del intervalo en consideración. Por ende

x'(t)

+ k x(t} =O ¡¡(¡(t)

N'(t) -

=b t + (cp (10) -

bto 1 ,

íl

a N{t} = O De otro lado es fácil verificar que para cualquier constante C é 6\ la función'

dt)

+ le c(t) := O

Ver Apéndice A PíVe:un resumen de algunas leyes básic85 de la mecánica, electricidad Y cinética [(- ji

...

-

t~bt+

C

(10)

.r -f.,

~ ~rra trabajar con un intervalo arbitrario de la recte en lu¡¡ar de [O. oc!. Nos concretamos a dICho Intervalo porque 11$ el que aparece con mayor frecuencia en las aplicaciones.

qu ímica que utiliZaremos en el texto.

-----,.--------.:...:..------------1

~:

. ". f

...

~I

f

'----:;JI'i~," ",

-1 1 I ,1

!í

¡I"" 1, '

•

¡}

Ecuaciones lineeles de primer orotJn

Introducción a fas ecuaciones diferenciales

16

"

17

I¡

es solución de (9), De esta manera podemos aseverar que (10) constituye la solución general, en el sentido que todas las soluciones están comp,endidas en la fórmula (10). Hay infinitas soluciones pues para cualquier e € 61. la función t .... bt + C constituye una

(11 )

+ ay = O

Supongamos que ¡P es sclución de ("). Luego ¡P' = -a rp . Si dividimos por do que ti> (t)

>O

es de u " es cero entoncesa I f;Pila misma, ,. d A,slmlsmo no olvidemos que si la dorivada na f unclon

~be

solución de (9). Consideremos a continuación la ecuació01 y'

, Veamos en qué consiste el nuevo en f oque prometido, La aparición de la fun ., exponencial en (12) sugiere que dicha función juega un rol importante en las e . clon dduer¡clales, Recordemos qué exp goza de la prop'edad' ' . I muy singular de que sucuaClones derivad "

4>, ,asumien-

". 0nClon ser constante, consecuencia importante del Teorema del Valor cdlculú diferencial. Todo ello sugiere multiplicar (11) por eat . Supongamos que guiente

c/J

es solución de (11). Luego c/J'(t)

+ a'¡'

(t)

= O,

Me~io do

'

,1

Por consi-

'1'

para todo t, llegamos a la igualdad ea! (9'(t)

--_o

.fi!l = 000

a

+ a .p(t)) = O

Pero, y ef.sto es fundamental, tomando en cuenta las reglas elementales de derivac'loo' po

.p(t}

d emos a Irmar

-

Por consiguiente'

I I I I I~ I 1 I 1

I

Luego existe una constante

[In~ (s) 1\0 = - a(t - to}

Luego

e

tal que

y por ende ep(t} = C e-at

Le. rp(t)

In-- = - a(t-te) érirrientalesl. De esta forma lareacciorl_quÍmica...en-rliSCllsión resiste una prueba cruéia!:una de las consecuencias delrricdelo -Concuerda con los datos experimentales. Una que aceptaJa vigeÍlcia del proceso reversible

i

LTiempo.!min.L

0,1328 _'= 0.0095358 0.1328-0.0241

~ In ' 0.1328 = 0.0094241 50 0.'328-0.0499

-1. In

La fórmula (31) predice que la expresión

i ' , .36

In

21

donde 0.08468 es la suma de los Be = k¡ [A]o/O.009409 tendremos

0.08468 = 0.009409 9

~u~ve 'valores encontradosanteri~rm;nte. Como

k = (O.00S409)O.' 328 =0.oooá541 -----1 - , - 0.1823 -- -

{5J pág, 168.

Similarmente se obtiene k2

=0.0025548.

I

_ -_

¡I

------------------------r----...-~--_:__-

. . - . . -.-----

j" .

J

28

I

Ecuacione,

In rrodvcción B lBS ecuBcion~s d ifer~nciBles

Por el momento· vamos a dejar de lado el estudio de problemas de cinética química para pasar a considerar otros fenómenos de las ciencias naturales. Sólo deseamos enfa· tizar que los qu ímicos, y en verdad todos los científicos, aceptan un modelo en la medida que las consecuencias que de él se deriven no contradigan a los datos experimentales. Se cumple el ciclo triangular:

I

mundo real

:1

I

modelo

I-----~~ 11

b

A estas alturas enector habrá notado la diferencia entre verdad matemática y verdad científica. La primera es fácil de definir y comprobar; sólo se aceptan proposiciones que se deducen estrictamente de los axiomas, teoremas, proposiciones anteriores, etc. En cuanto·~..la nrdad científica,ésta es mlJcl,o má~ difícil de definir . Este aspecto está intimám~nte ligado al rol que juegan los modelos matemáticos en las ciencias expe· rimentales, tema que se encuentra tratado con singular calidad en Bunge ([4]). No perder de vista que lbs modelós son útiles no sólo porque sistematizan y explican datos conoci· dos en base a: leyes generales, sino porque predicen fenómenos que de otra manera difíI . . cilmente.a al~iense le ocurriría. En el capitulo 2, .cuando estudiemos la variación del sus· trato con el tiempo en una reacción enzimática, Podremos analizar un ejemplo concreto de lo anteriorh,ente aseverado; circunstancia análoga se presentará en el capítulo 3 bajo el contexto dJI análisis de un.a re.acción enzimática antes del estado estacionario. I t

J..ln x(O) t x(tl mantiene un valor casi constante. Muchas otras consecuencias del modelo también han sido cotejadas con los experimentos y se ha enco~trado una concordancia satisfactoria.

Luego - In 2 = - k T ,es decir T = In 2/1k2 se procede en forma análoga. Los cálculos precedentes han supuesto que "1 =:'''2; se deja al lector el análisis del caso k) = k 2 (observar que en tal circunstancia B(II = k 1 [AJo te- k21 ). La hipótesis [C]o=[B]o=Oevitacálculosaritméticos,pinono

con jo

C'(t)=k:k] [Ajo (e-kIt _ e-k2t) k2

-

k)

con condi,ción .inicial C(O) = O. Integrando ambos miembros entre O y t obtenemos

n t::.~r¡('iaL.

l'n

Es interesante mencionar que los procesos radioactivos frecuentementE proceden cadena. Una cadena simple como

(las ecuaciones y'(t) = bIt) bIt) contínua. se resuelven mediante una simple integración). Algunas gráficas correspondientes al sistema en estudio son Q2], pg_ 54):

~

43

A

~

.

C

8 kl

ind,ca que el elemento radioactivo A se descompone en el elemento radioactivo B. Que

a su turno se descompone para llegar al compuesto estable C. De acuerdo a las leyes de

C(t)

lara::lioactividad tendremos

8(t)

Observar que en todo momento la suma de las ordenadas correspondientes a A, B Y C es [Ajo. Se puede, de otro lado, determinar el valor exacto en el ,gue 8(t) adoptasu máximo. Para ello tomamos la primera derivada de B(t) e igualamos a cero:

A'(t)

=-k)

B'(t)

=k)

C'(t)

= k 2 B(t)

A(t)

A(t) - k2 B(t)

justamente las ecuaciones que gobiernan el sistema cinético irreversible recientemente es· tudiado. Cadenas más complicadas como Al -+ A 2 -+ •••. .:.. An Ó

l

~

Luego

t

= __ '_ In ~ es el punto donde B(t) puede adoptar un máximo o mínimo. "2 -k l k)

Resta aplicar la 2a. derivada:

Suponiendo' que k 2

>

k)

tenemos

_~

sedesprendé

k~ (~) k2- k ¡ k)

_~

k k 22 e k2- )

~ k1

>1.

Entonces ki /ki

> k 2 /k),

de donde

también pueden ser analizadas usando los mismos métodos.

k1

> k~ (~) - k 2 -k1,

es decir

A continuación estudiaremos el sistema cinético

k).

k2

• In-k)

>

k~ e-

k] k 2 -k)

.In~ k)

A

+

k¡

B

C

D

[eJo = [O Jo = O

.

44

Introducción

6

las ecueciones.diferencia/es

A'(t) = - k¡ A{t)B(t)

Como (Ajo

=[BJo

=k¡ A(tlB(t) .:.. k 2 C(t)

se desprende que A(t)

=B(t)

una ecuación lineal de primer orden cuya solución, que se obtiene usando las técnicas conocidas; es

"1:·

(46)

Desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales hemos llegado a la respuesta. Sin embargo queda abierta la interrogante: ¿cómo calcular valores con (48)? Estamos ante una integral no explicitable, Debemos tratar de expresar (48) en términos de una función tabulada convenientemente.

(47)

en todo instante t. Luego

Una simple integración por partes conduce a

J,t

Esta es una típica ecuación en variables separables, que constituye el tema del segundo capítulo. Felizmente su solución se logra a través de un simple proceso de integración:

k2u

e du o 1 + k¡ [Al o U)2

=_'___'___ k¡ [Al o

e k2t +~ 1.t k¡ {Alo 1 + [Al o k¡ t k¡ [Alo o ,

~t A-2 (s) A'(s) ds = - k¡ J~ ds f(u)

- [-'-t =-k¡ t A(s) o ..

e

k2u

+ kl

du (Ajo u

y definimos

Hacemos

Luego

=-'--. In u "

~(u)

~

=ek ¡(Ajo ~

+k 2 U

+k2 iJ

rp'(ul=k 2 ek¡[Alo

- k¡ t

1

Por ende

f(rp(u))=

' In rp(u)

¡

f

A(t) 1

=

i

[Ajo

, + k¡

[AJo t

-

valor que reemplazado en (47) conduce a

1

i

Una integral es no explicitable si es imposible expresarla en término de funciones elementales a través de las operaciones usuales de suma, resta, multiplicación, división, radicación, composi. ción, etc. Las funciones elementales son las trigonolnétricas, trigonométricas inversas, polino. mios, exponenCial, logaritmo.

"1·',·-: ..'

(48)

A'(t) = - k¡ A 2 (t)

--'+-'A(t) [Ajo

I ;'

que presenta particular interés porque nos dará una idea de la manera como los científi. cos afrontan la tar:ea de efec;tuarcálculos con las integrales no explicitables' que surgen en el proceso de solución de una ecuación diferencial. De~eamos obtener una fórmula para C(t) . Si aceptamos la vigencia de una cinética de prime} orden tendremos

C'(t)

45

EC'.JBciones lineales de primer orden

l

1 ¡

¡, i

¡

t

I¡ [

L

La conocida fórmula de cambio de variables del cálculo integral permite afirmar que

46

Introducci6n a laS .ecuaciones diferenciales

Luego

La función

t

li(x)=fX~

e Jto

x>O , x:;&1

o In u

es muy conocida y existen buenas tablas para evaluarla·, Observamos que Ii es una primitiva de 1/ln x, Lu.ego

___ k2_ kt{A

k2

[li(ek¡(A]o

Jt

)_li(ek¡[A]ol]

+ a(t)

ESTUDIO DEL CASO GENERAL: LA ECUACION y'

a(s)dS

(e to

k¡(A]o 1.3

(4)'(t)

Jt

+ a(t) (b(t»

a(s).ds

= bIt) e to

.

donde to es cualquier punto de [O, o:ol. fijo arbitrario, Por ende

k _ _2_

- - + k2!

lo

I=e

d o(s) s

y = bIt)

'

Js

a(O)dO

ro

a(O)dO

(b(t) )' = (J t bIs) e to

ds)'

to

Por consiguiente existirá L tal que

Consideremos la ecuación diferencial y'(t)

+ a(t) y(t) = bIt)

Jt

(49)

e to

donde tanto' a(t) como bIt) son funciones real valoradas continuas en [O, = ), Guiados pélr el método aplicado en la solución de y' + ay = b(tl. nos preguntamos si será posible hallar J.I. (t) tal que eP(!)

(y'(t)

+ a(t) y(t)

i.e,

) ~ ( e P(!) y(t) )'

.I.(t) =e

_Jt

a(s)ds

-

(b(t) = Jt bIs) e to

a(s)ds

to

'1'

ft S

Jtto bIs) e o

t

ds

+L

-

ltt a{s)ds


1

li (x)

y'

+ (-cos t)y = e-sen

t

~] In u

Leib"iz llegó a esta fórmula alrededor del año 1693!! .

Ver Rankin ([8] PIIS, 516 - 518l.

(~i

(51)

para seleccionar to·

SupongamOs que 4>(t) es solución de (49). Por ende ~'(tl

s C· ,.~ - f fa¡O)dU ds b(s.) -e o. -:

f to

es solución de (49)" :--Nuevamente hemos consegúido obtener la fórmula genéral de la qu'e se desprenden todás 'Iás soluciones de la ecuación diferÉmclal. La fó~rmula (50) impresiona por su complejidad pero, afortunadamente, en los casos prácticos no se la utiliza sino se repite el proceso que condujo a (50). Deseamos también hacer hincapié que no tiene importancia cual punto to se escoja para construid 50) ; un razonamiento análogo-al empleado en 1.2 lleva a la concl~siÓn que;como fórmúla general, tenemos entera libertad

es decir, cualquier primitiva de. a(t) aparece como buen candidato. Hechas estas consideraciones preliminares, que lo 6nico que hacen es sugerir herramientas pero no son parte del desarrollo en si ni menos dem'ostración de algo, entremos de lleno a la tarea de resol-

'c, e

la

función

Aceptando que. y(t) :;& O para todo t (lo que es razonable en vista de nuestra .experiencia anterior) tendremos p'(t) = a(t). Luego· p(t)

€ 6{

1 ¡

i

___ .L_._

_._------_._-_., ..

---------

I

I

Introducción BIas ecUlJcioi,esdiferenciales

Ecuaciones lineales de primer orden

Solución: e

sen

(y' +

t

(COS

I I

= (t)'

esen t y(t) = t

+H

y(t) = te-sen

2)

y' - 2t y

Veamos que podemos decir respecto del PVI t

+ He-sen t

+ a(t)

y'(t)

=1

.

y(t) = bIt)

(52)

y(to)=o

Solución:

Una simple observación de (50) nos permite afirmar que

11 I I

. Nuevamente estamos ante una integral no explicitable. Se puede tratar de expresarla e~ términos de otras integrales no explicitables que se encuentran tabuladas ó en sude· fec10 aplicar directamente métodos de 'aproximación de integrales, tema que usualmente se eS1udia en un primer curso de cálculo integral.

t)y(t)) = 1

(e sen t y(t))'

49

(e-

2 t

2

y(t))' = (J t e-S ds)'

o

.

I/J

2

v{t) = e

t2

f

t e-S

2

Luego

.

1. .Jrr

°

ds + H e t

¡jI(t) = e

vrr

=..L J.ot

s

)

Vrr o

.

.

=l

Solución: I L'; -

"'" !:...." .,. i

-'.x. e

t

, :e2 'tv' (t)

+t

-

Jt t

a(s)d.

o

(53)

a(s)ds

-

/ 0 a(s)d.

to

Jtto

J'

bis) e to

a(O)dO

-

ds + L e

J/o

a(s)ds

2

y(t) ).:: e 2

~ (e 2 V(t))' = ( f

s2 t

o

e2

to

r JOb(s)e to t

,

t

a(O)dO.

ds+le

to

-

ft

°

a(s)dl

Este problema de existencia y unicidad de solución de los PVI's aparecerá también en otros contextos, no sólo para los PVl's ligados a las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Por el momento puede llamar la atención que se dé tanta importancia a un concepto aparentemente intrascendente, sin embargo a medida qüé progresemos en el estudio de las ecuaciones diferenciales veremos que la existencia y unicidad de solución de los PVI desempeña un rol central en toda la teoría. Desde el punto de vista de las aplicaciones, lá existencia y unicidad ásegÚra que ef modelo en discusión tiene uná solución y que partiendo de las mismas condi~iones iniciales se llega al mismo resultado. Difícilmente se podrían aplicar las ecuaciones diferenciales al mundo real si tal cosa no ocu· rriera.

¡

Y'+t Y

ds + o e

Por consiguiente .L = o , demostrando de esta manera que ¡JI(t) = If¡ (t) para todo t. Hemos conseguido justificar la existencia y unicidad de solución del PVI (521.

Comparar lo realizado con la utilización de la función Ii(x) en 1.2.2:

3)

- 1.t

o=¡JI(to)=e

2".

.

a(O)dO

Luego

2

2

r

t

f.to bIs) e t o

2

e-s d

t 2 2· 2, I 2 ' 2 y{t' = - e'. ~-j4S ds + H e t =.Y! et • erf(t) + H et

:

a(s)ds

es una solución de (52) ¿Es (53) la única solución del PVI? Si IÍI (t) es cualquier solución de (52) entonces existe L tal que

2

Recordemos qu~ la conocida función error, erf, está definida por'

. -erf (t)

- fo

2

e- t y(t) = f t e-s ds + H o

,

(t) = e

ds)'

Ejemplos 1)

V(t)

=e

_~ 2

f

~ t

o

e

2

Encontrar la solución de y'(t)

+t

y(t) = t • y(O) = O.

Sin dificultad se encuentra la solución general de la ED, que resulta ser:

t2

ds + Le-2"

1

¡

l_

y(t) = 1 + Le

2

2

50

Introducción e lBs tteueciones diferenciales

,..---

Ecuaciones lineales de primer orden ""

l == -1.

es decir y(t)

2)

y' (t)~;2t y(t) == 1

=1 -

e

51

Por lo tanto la solución del PVbes

-~

de donde se desprende

6 x(t) ==

2

_!:. x(tf

6t

y(O) =3

V

En el I imite tendremos

Ség.Jn hemos visto anteriormente, la solución general es

x'(tJ ==

_E.. x(t) V

Por consiguiente

Si en lugar de agua pura, entra una solución con concentraclon constante de e grs/lt, un análisis semejante a1 anterior conduce a la ecuación diferencial

3 == y(O) == H, de tal manera que - I

2

y(tl =~ el . erf(t)

2

+ 3 el

x'(t) = bc

2

-~ x(t)

(54)

V

las múltiples posibilidades que se presentan en los problemas de dilución pueden ser siso tematizadas si tomamos en cuenta que

Comúnmente se dice que al resolver un PVI a partir de la ecua::ión diferencial se "levanta la indeterminación" entendiendo por elle. que el parámetro que aparece en ía solución general de la ecuación diferencial adopta un valor bien determinado. Otro aspecto sobre el que deseamos hacer hincapié es el siguiente: la teoría desarrollada en 1.1 y 1.2 se desprende como caso, particular del estudio del PVI más general (52); hemos preferido ir de lo particular a lo general por rnzones didácticas.

x'lt) = e(t) - s(t} donde e(t) es la velocidad de entrada de soluto mientras que s(t) es la velocidad de salida de soluto (ambas velocidades tienen unidades de grs/unidad de tiempo). Por ejemplo, para el tanque de la figura adjunta se cumple agua pura

1.3.1 El pr"oblema de la diluCión ~ 1

Consideremos el recipieQte de la figura, de V litros de bapacidad, enel que se encuen. tra perfectam:ente homogenizada una solu. ción (por ejemplo, agua y sal). Se aa:ionan si. multáneamente las llaves- - A _.y B. haciéndose ! ingresaragl:la pura por A a razón de b 115/min. y se extrae solución por B en la misma proporción. Tratemos de "describir el sistema

eh) == O A

xl t) ..i!:!.b.!!L

s(tl

V-(b-alt It

a~ mln

min

donde podemos observar que

~

-.

x(t)

B

b~ mln

V-lb-ah

mediante unaecu~ci?n diferencia!: en un minuto salen" bits., luego en Á t minutos saldr~n b 6 t Its. ~e solución. Denotemos con x(t) la cantidad de sol uta en el instante t. Supongamos Q,ue t. t,!~ .muy pequeño, de tal manera que sea una suposición válida afirmar que x(t) es constante eneli.ntervalo t. ,t. luego, en ~se intervaloÁt hay x(t)N grs. de soluto por I\tro. Quiere decir que en Á t minutos se pierden

es la concentración de 5OIuto en el instante t. Por consiguiente x'(tl == - . b xlt) V-lb - alt

(55)

!

Si por el mismo tanque no entra agua pura sino una solución de c grs/lt entonces

x(t) . b 6 t V

e(t)=c~.a~ It

gramos de soluto, de tal manera que

6 x(t) == _.E.x(tl. 6 t V

s(t) -

.¡ I1

"

--------------~~---_._-~~--

min

x(t) grs . b~ V-lb-a) t It min

-+ e 9,s/lt

Int~· .,..

a mm

b>a

,

b

..!.!L mIo

~,.

IncrOOUCCIOn • las (tcu8ciones diferenciales

E cva,ciones lineales dI! primer Orr:Jltn

53

Luego X'(t)

=BC -

b X(t) V-lb-a) t .

Siguiendo los mismos criterios (velocidades de entrada y salida, tenIendo siempre pre. sente las unidades con que se trabaja) se puede demostrar que I~s tanqué,: interconecta· . dos de la figuráestán gobernados por las ecuaciones

(56)

~a

Por primera vez nos vemos frente a modelos cuy f 1" . . d'f '. .- . a ormu aCtOn matemat/ca .' es . una '. ecu a· clOn I erenclal lineal Con coeficientes var: b t ' la solución de (55): la es, como es el caso de (55) y (56). Veamos o

I I I I I I I I I

:

.

X'I

(t) =

-~

XI

pura

(t)

VI

b Its/min

(60)

x'(t)

+

b

.

VI

x(t) = O

b Its/min.

(57)

V-lb-a) t

De acuerdo a la teoría general la técnica de solu . por ' c/on conSiste en multiplicar la igualdad o

f. 1 e o V

mientras que para el sistema de tanques

•

bd. (b-e)s

(58)

Pero

fol

b ds =~ In V-(b-a! t V-lb-a) s a-b V

=1

n

-

b Its/min

-

b Its/min.

;its/min VI

(V-Ib-alt a~b V }

Luego (58) queda convert;do en tenemos las ecuaciones b

(V-(b-alt) i=b V

1

Por

consiguient~

(61) b

(V-(b-a) t) a::b ( '(tI V x

+

b . X(t)) =0 V-(b-alt

.:

¡ t

¡

b

( (V-(b-a) t) ;=-¡, x(t) )'= O V". '.

1

'de tal manera que existe una constante H -tal que

La solución del sistema (60) no ocasiona m~yores dificultades. Se resuelve la primera ecuación y su resultado SE! reemplaza en la segunda, tal como se procedió con el sistema cinético irreversible A -+ B ~ Canalizado im 1.2. la solución de (61) tiene que ser pos· tergada hasta que conOZcamos los desarrollos del Capítulo 6, porque a diferencia de (60) ahora no es posible despejar una incOgnita y reemplazar sU'valor en 1a siguiente ecuación diferencia'''. .1

_. t.'r-. ,.

b

1

xl!)

=H { V-lb-a) t ) b=i V

.

(59)

I

usualmente se conoce x(O} , evaluamos (59) en

I I

Veamos un problema concreto de apli· cación: ¿Cuánto tiempo d.eberá el sistema 'de ~ml!min . . . , . . agua .V I = 2ml! ,. V l =2 hs .. la figüra estar en funcionamiento para que . pura min lit.. por el púnto C 'comience' a salir solución 2ml/min; por debajo de una éoncentración de 1 mgr/lt? x2(OI =6 mgr . XI (O) =5 mgr o

t =

O

para obtener finalmente

•

Estrictamente hablando, conociendo los desarrollos del capítulo 3 se podría encontrar su solu· ción.

._-----~

. ~.

54

Introducción a las ecuaciones diferenci8les

Solución:

1.4

\iii' ' ~,(Z',tenemos frente a nosotrOs las ecuaciones /ti

xí(t) = - _2_ x

'000

X2 {tI = _2_'Xl (t) .

-

'000

De inmediato se concluye

Xl (t)

=5 e

En todas las secciones anteriores hemos trab'ajado COf'lfunciones real-valoradas.Pa· reCt'riaque es innecesaria la introducción de las funcione's,complejo-valoradas, especialmente a la luz del hecho que los modelos que hemos estuchado tienen coeficientes reales, ya sean números o funciones. Sin embargo~ los números complejos aparecen ligados a las lineales de primer orden en dos contextos:

x¡{O) =5

1

-L X2 (t)

2000

__l_t SOO

. Luego

=_'100_ e-50"0 1

X2 (t) + _'_ x: (t) 1000 _l__ t

t

_1_t

Por tanto existe L tal que l~Ot ___ 1_t 'x2(t)=-10e lO~O +L

.'

; _i

; ;~ .

- •

El problema Pide encontrar t ~l-q~~- x (tJ = 2 , 1,

j

: ,

-e

'.

-

.-,1

4

:

. y'(t)

'- . a ar t tal que"

146"

([1

+ 8(t) y(!} = bIt)

.'"

.~~

y(to)=Yo (62)

•

::.".,~

Efect~am~'el Cambio d(variable Li'='e-10o,o t"con'j" r,,' ':" -'.~ ,', r: "J, ' Qu e - 8 u+ 1 ? O. De sus dos raí~ Ul = u ''';' O °136 8 el dProb~ema ,se, reduce a , " . . 2, escartamo I . ra por cuanto da lugar -¡¡ valores negativos_ Un si';'Ple cálculo ~sando la s a Prl~conduce al resultado deseado· t = 1.985 Co· . l' ,segunda ralz, h ' . . nVlene reca car Que no siemp • , acer un cambio de variables como el anteriormente mencionado en re sera POSible de ser resuelto mediante la utilizaci6n de una calculadora electrÓn. ~y~ cas.o (62!pu~­ de métodos de tanteo, lca e ol~IIIo a través

5 u2

fl '(s)ds + i /,a b (1m f) (s) ds

h' 11"

__1 _ t ' 1 2=:-:10e,.500 +'6e-iOoOt

. \.

En la teoría de sistemas lineales (ver cap. 6) frecuentemente es necesario resolver ees. con coeficientes complejos. Quiere decir, un problema que aparece como modelo de un fenómeno, modelo en el que sólo se encuentran involucrados números reales, es resuelto a través de técnicas que en muchos casos involucran resolver ees. di!. simples con coeficientes complejos.

con lo que las funciones complejo-valoradas heredan múltiples propiedades de sus similares reales. Por ejemplo, la solución del PVI

X2(tl=-lOe-r5~0 ~ ~'1'6-s"::.l~Oo,t~-,' ~--

bl

- . - - - - ... ----J.~f(s)ds= f a~·(Re a

Usando la COnd)ción inicial Xl'(O) = 6 llegamos a

..

Para simplificar cálculos extenso;, especialmente en problemas de circuitos eléc· tricos.

Felizmente la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes complejos no es más complicada, pese al nombre tradicional de "complejo", que aquella que hemos desarroliado para coeficientes reales. En verdad sólo es necesario recordar' que siempre el rango de la variable t es un intervalo de los reales y que cualquier función f: I -+ It se puede expresar como f = Re f + i 1m f. La derivaci~n e integración se realiza de la manera "natural": f'::l: (Re f)'+ i(lm f)'

__ 1_t = (_ 1000 e 1000 j' 100

(e lOOO

jJ

a)

1

{e IOOO x21t),=_1_e~iOOOt 100

e

LA ECUACION DIF.ERENCIAL LINEAL DE PRIMER OROEN PARA FUNCIONES COMPLEJO-VALORADAS

donde a, b: ,-+ ct

y(t) =e

Yo € It , está dada p.Of •.

- f:

a(u)Clu rt

o

J

to

~u b(u) e,o

a(s)ds

-

"du + Yo e

ftt

o

a(u)du

Á ~

,~.l

tL\lJ

aJ r

t.·•·,· . ..... ,'

y

1(t)

1.6

(u)), tOe .

·--~'(t) _

l__xl (ti -

para todo

Un cambio'de variables conduce a la igualdad

té/

de lo que se desprende

J t/J(t) ~ =

-L------~""t x'(u) t d I h -2-du= fou u

. l'

t/J(t o) g(u)

Sea G una primitiva de 1/g. Luego

I

__1_+ _'_

I

x(t)

l

......

-x (O)

=t

.

2

.

"~

::"1:.'':"'-'_-~--.--_._--

CV...:: ~---

Jt~ f(u) du

G(I/>(t))= G(xo) _ ".. (13)

Es claro que / ~ (--..f2j; es el mayor intervalo que se puede escoger por cuan. to 2 - 7re = O' Para . f=::t:,l2/rr . Se verifica que x(t) dado por (13) es, en efecto, solución del PVli propuesto. Nadie nos puede asegurar por el momento que (13) es la úni.

,.,¡¡¡;,)

G(9(t») - G(t/J(lo)) =

es decir

• .,...J.;.

x (t) - __2~7r_ _ '2 _1Tt2

i,

I .-

para todo t f 1.

x (u)

Por consiguiente

Luego

'1t ot f¡u-) dU .

I

+ Jto_: t f(u) duo ..

Como G' = l/g =1= O podemos afirmar que G es estrictamente monótona, de ahí que 1 exista G- (la inversa de G). Por tanto

¡

tEl .-..:c~_~

___

~.~~

(14)

.. __ :.._

" obten¡'d a para ',¡, ;no Para demostrar la unicidad resta ver que la expreslon ' .depende de la. . primitiva G considerada. En efecto, sea F otra primitiva . . . . d e 1/g. Luego eXiste una eons

80

.. ,, ,l·.···....

,

Ecuaciones en tíarisbles sspantbles

Introducción a las ecuaciones; diferenciales

tante k tal que. F-G = k. Por otro lado, como E-l. también existe se deberá,t:umplir~'¡ F~l(xl= G..1(x":::'k).; Por lo tanto F-1 (F(xo)+ v) = G-l (F(xo}+v - k) = G"l(G:(xo')+V~ y la unicidad sigu~ cuando v=Jt~ f(s)ds.

1:

Luego.

, es decir

," t

[are tan x(ul] = t o

Para demostrar la existencia bastará ver que, dada una primitiva G de 1/g, esposible'definir

!J¡ (t) =G- {G{xo) + ft~ f(s)ds) 1

l.:

Observar que el proceso nos ha permitido encontrar la solución, incluido el mayor intervalo donde está definida. El lector puede comprobar que ésta es la función dada por (14). El intervalo (:.. 11/2,11/2) también se desprende del t e o r e m a . ' 2)

x',; et + x ¡

Consideremos el PVI

=

f(t)

De ,esto y del hecho que lafunciÓTl h: tE (a,b) -+- G(xo)+J t f(s)ds

nición de !J¡

~~eomos

.

.'

eftág~anti~,~a.,

.....

'-~

1)

,-- .

I

1';-

2.2.2 EJemplO!!

.,.

t

... ...,. . _. -" '".

~+.~

~'"

AnalizanelpVI x' = 1 + Xl , x(O)

~.

=O.

e

x(to)

= Xo'

Haciendo----'-

=et

vemos que las condiciones del teorema son satisfechas para cualquier '(to, Xc). Luego existe una única solución tfi definida en un cierto intervalo I que contiene al punto to· Por ende 2 tfi' (t) = et etfi (t)

G- 1 :,to'ic), G(d)) -+- ,(e, d)

i

para

te J

de donde, derivando (aplicarla regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo) se obtiene !J¡,it):::: t(t) g(\II (t)) y como obviamente !J¡(to) G-1 (G(xo)) = xo, \11 resulta ser solución del PVI considerado. Veamos la demostración de la existencia de \11 . Para fijar ideas c0'1Sideremos G estrictamente creciente (no olvidar que G es estrictamente mon'ótona !),Io que permite escribir

es continua hIto) ='G("o1 e (G(c), G(di): . interva'o'~ 'q\.¡e tontíetlé arpuriTo'tó'y tal que h(J)

Y por lo tanto

x(t) = tan t

dbnde J es un cierto intervalo abierto que contiene ato· Obsérvese que una vez obtenido esto, sigue Inmediatamente . ,~. G(!J¡(t)) =G(xo) + ftt f(s)ds o

I

81

I

etfi2 (t) tfi'(t) =et •

Le.

¡

concluir la existencia" de un (G(c); G(d)). La buena defi-

asevera~ ~ue

.

t

Integrando

lI~gamos

a

I

I

, .

¡

Luego

f

tf¡lt) e-s2 ds = et _ eto I/>It o)

Como el!PVI satisface las hipótesis del teorema pOdemos tiene una úni. ca solución. Para hallarla se~imos los pasos del teorema, que justamente consisten en se . . bl es lII!.Integrar: parar vana '

tE I

La función '1

tEl

I

~

1,

1;

,1

... f

. -

._- G(y)

y _s'2 d' =I.o,e ~ s

' .. '.

. .. d e",...y2, de ah-I que es una pnmltlva •

Sea x arbitrario, en el rango de F. LuegoExiste z talque x-Fez). Evidentemente ~l(x).z. Luego F(z)..,..k-G(z). esdecirx-k-G(z). Porencie G-l(x -k)-z, deahíque G-l(x-k)-

'" ~l(xl.

t ':

iJe

•• Observar que h-l (G(c, dI) (8, b), result~ neralrnente laje~?resi~e, h es complicada.

n

~ue no tiene mucho inter~ p~ácÍi~

'

porque ge_

tel

(15)

Es bien cOIJocido que G no es explicitable, es decir no puede ser expresado en término de funciones elementales y a través de las operaciones básicas de suma, resta, radicación,

82

Introducción a las ecuaciones diferenciales

etc. por ello no es fácil hablar de "despejar" de la relación (15). Desde el punto de vis-..a de las ecuaciones diferenciales se puede .considerar que ha sido un éxito llegar hásta"C1Si: La teorla de la sección2.5ayu'daiá af'ntender meJorcomo es que (15) se aéeptiicom8'la solución del problema.

. tíenf(!cjJna imi~~o¡ución en un cierto intervalo ,al reó ed t;>r de f.o ,¿Cómo cal.cular esta solu, , ~CiQ~?,Veamos que se puede ha,cer; .. . .... la solución del PVI en un ciertointe~valo I que contiene a t o . Si se nota de inmediato que xlt) = Xo paraJC>.::jo t f 1 - es la solución de (16). En efecto, x(to)=x~ y además f(t)~(x(t))=f(t)g(xc)=O=x'(t). Si g(xo)'1'O, es decir (g • ep) (t o ) O, entonces como 9 'ep e¡ contínua podemos aseverar que existe un intervalo Ito que contiene a 10 en el cual ¡¡' ep (t) O para todo t € Ito' Luego Sea

ep (t)

9(;':,,) = O

Ahora bien, felizmente eá los problemas que usualmentE se presentan en las apliéa'

*

ciones no hay dificultad en cuanto se refiere al cumplimiento de las hipótesis del teorema 2.2.1. Tal cosa ocurre con la calda de los cuerpos, el desague del cilindro o con los proble. mas de cinética química vistos al inicio del capítulo. Podemos estar tranquilos en el sentido de Que existe una única solución y de que ésta se obtiene separando variables e integrando. De otro lado, desde el punto de vista matemático se presentan problemas de valor inicial que esperamos tengan una única solución y que sin embargo no cumplen las hipótesis de 2.2.1 determinando la inaplicabilidad del teorema; tal es el caso del PVI x' = tx: x(O) = O analizado anteriormente. Para este y problemas de valor iniciel simio lares, e! siguiente teorema-esoe particular utilidad.

' (t) = f(t) < (t l ~= Jt

(16)

donde f eS,contínua en [a, b]. g Y g' contínuas en [c,d] yademás (to , Xc) f D = {( t, x): t f [to -a,-to'-+ a], x f [xo - b, Xo + b] f • Entonces el PVI tiene una y sólo una solyción definida en un cierto intervalo I que contiene al punto 10'

!@

t

[j~

Haciendo cambio de variables llegamos a la igualdad

Consideremos el PVI 1

•

para todo

(g

2.2.3 Teorema

,

*

[

1;; [to - h, t o + h]' donde h= min (a, b/Ml, M

ep(tol g(uj

t

f(u) du

to

f

I

to

Sea G una primitiva de 1/9. Por consiguiente !

i i

1 t

lt

I

I i

G((tll= G(xo)

+ Jtot f(u) du

(17)

En esto consiste el famoso método de separación de variables: se separa las variables y se -lntegrá, teniendo la esperanza de poder despejarepJje (17). De no ser esto posible; lo único que podremos aseyerar es que ti> cumple con la relación (17). Es necesario enfatizar que el teorema 22.3 no proporciona el mayorintervalo donde está definida' la solución (única) del PVI. Por ejemplo, consideremos el PVI x' = 1 + x2 ,x(O) = O estudiado an·~teriormente~ Sea It l~·~:;""'.::=-;~\.,~:",~~:~,~~-;,o=·~~~~";-~~r~!";~~,~""~,, f:"~·";~-;-...,~.,...,.~~~~~",,~~~~·,"'C•.~~--c-c·~r-;·~·~,,..-,,--C~-~- _,__._._,_~_._ .. ~"~,,,,,,

94

Introducción

B

EcuacionES en va.-ia!:Jles separa!:Jles

las ecuaciones diferenciales

Aplicando.,~racciones

9~

La cantidad de A que se consume es igual a la suma de las cantidades de B y D que se

parciales se llega a

consumen, es decir p

-x(t)) (a 2 -xe x(t))

(Xe

Xe -x(t)

+ -::----::19_ __

A(t) - [A]

(a 2 -X e x(t))

o

= (B(t) - ,[B] ) + (D(t) o

(32)

ID). ) o

Supongamos que nuestro propósito sea estudiar la variación de 8(t) con el tiempo, acepo tando una cinética de primer orden para ambas reacciones. Luego Por consiguiente

xe a2

2

•.

e _ f t x'(u)du _ _ __x_ Xe_ _ f t x'(u)du a2 - Yi o Xe - X(U) (a 2 - X~) o a2 - Xe X(U)

=J. t

~:",'

1.' I~ l~

"M

L ~

_ ,_X_e_

;i -

x;

(35)

o

B'(t) =~ D'(t) k 2 D(t)

k 2 B'(t) k¡ B(t)

Le.

= D'(t) D(t)

~ f t B'(s) ds = J t D'(5) ds. k 1 o B(s) o D(s)

In Xe - x(t) X

e Luego

I¡

.- --- ------·-~1Ih B(sl1t k1

~

.

"

paralel~s

I

'

A

+

, (D

,. -

o

=-k 1 ([A]o + (B(t) -

=-[In

Dlslt;· o

[B1 ) + (D(t) - [D] )) B(t)

o

o

Por último reemplazamos en esta igualdad el valor de D(t) dado por (36): .,

B

~ C

B'(t) = -k¡ ([A]

¡ i.e.

con cantidades ~niciales JAlo ' [B]o ' [D]o

.

De otro lado reemplazamos A(t) en (34); usando para ello (32): B'(t)

2.3.5 Reaccionls paralelas

'

Operando arribamos a

Observar que ei hecho de que las condiciones experimentales son tales que las cantidades de los reactantbs son iguales; simplifica significativamente los cálculos. Para el caso más general de can~idades iniciales distintas, remitimos al lector a la obra de G. Castellan ([2] pgs. 733-41 donde se estudia lareiiééión H2 + 12 ,c¡: 2HI. Al final del capítulo se dejan como ejerCicioS la solución de los sistemas cinéticos A c¡: B + C y A + B c¡: C+D., '

1

j

D'(t) = -k2 A(t) D(t)

Integrando tendremos

considerJmos las reacciones

I ,1,

(34)

Dividimos (34) con (35):

k3 du

II~,

II'~ "

=-k¡

(33)

A(t) B(t)

B'(t)

Luego

II-~

! '

¡

-

A'(t) = -k¡ A(t) B(t) - k 2 A(t) D(t) x'(t) x~ • (xe - x(t) )

arbitrarias y [C] = [E] = O.

o

o

1

I

I

B'(t)

o

+ (B(t)

(lU.!l)k 2/k¡ -

- [B] ) + ([D] o . . o [B)

= -k¡ (B(t) + M) B(t) -

o

[D] )) B(t) o

k¡ ID) (B(t))k 2 / k¡ B(t) o [B) o

(371

96

Introducción a las ecuaciones diferenciales

donde

Ecuaciones en V8f1iltJles separaD/es

M = [A] - [B] - [D] o

o

cuando tes pequeño. Podemos reordenar un poco la igualdad (39) de tal manera que

o

Jar que hemos llegado a una ecuación en variables separables. Cuando ación será

+lE1¡

B'(t) = -k 1 B(t) (('

B(t)

[BJ o

k, = k •

(Sh) - S(O)) (1

B'(s) ds (B(s)

+ M)

B(s)

j2 /k [B]

+ ID] ~B(S)

Le.

+ M)

o

-

k

-- l

¡

o

)

- -

._._ _ _ _ o

m

~._-;______

max

t

o lo que es lo mismo ~(t)

= stO) _

m; t

V

(40)

1 +--!lL StO)

Vmex

~

s(O)

¡¡;:j

1 + Km stO)

O l'·

~

~

Y que intersecta al eje de las ordenadas en el punto StO). Su gráfica es una recta válida t. La aparición de la recta es una '! predicción de la teoría. Ante asta circunstancia 105 bioq\-límicos se vieron motivados a efectuar mediciones de S(t) para valores pequeños de t"diseñando~ps_di$POSitLV.os ____.....;F1oo adecuados. Múltiples experimentos demostraron que aparecía una recta; de esta manera el " modelo básico de la cinética_~e las_ !!nzi.mas.bajo cº.ncii.ct.ºnes de estad() estacionario" no ¡-, sólo explica y sistematiza hechos coriocidos sino también efectúa predicCioríes. El mode~ lo matemático' en forma de ecuaciones diferenciales se convierte así en .un yehículo...que--. permite develar misterios, los cuales sin su concurso difícilmente se : podrían encontrar. . : .

solamente para valores pequeños de la variable

'

S(t) -S(O)+ K

.

-V

1 + Km StO)

-

La inteJacié¡n de la ecuación (24) que aparece en la discusión de la cinética de las conduce a

I

S(t) _ S(O) =

S(t)

enzima~bajo dondiciones de estadoest3cionario o

o

que es la ecuación de una recta con pendiente

t

ALGUNOS METODOS DE APROXIMACION

- i

Km ):= - V t S(O) max

B(s)

Con mucha f1fcuencia la solución de las EVS conduce a integrales difíciles de explicitar, por lo que métodos como el de Simpson u otros más refinados son utilizados para apro.ximar las integrales involucradas. Este es un tema que pertenece al cálculo integral, motivo por el ~ual no lo discutiremos en el'exto.

2.4

+

J

expreSJon dable de ser integrada usando fracciones parciales una vez que se deja _ k¡ como único término a la derecha de la igualdad. De otro lado, k 1 :1= k¡ en (37) obliga a utilizar métodos de aproxim'lción de integrales por cuanto el método de separación de variahles lleva' a ( t '0

':JI

In S(t) = - V t S{O) max

o

(38) o

o- - . -

que _en verdad; es la mJsma que la igualdad (26). De inmediato se plantea el problema de despejar ~(t) I¿Cómo {jebemos proceder? Reiner ([5J pg. 29) da una buena idea al respecto: expeflmenkalmente sabemos que cuando t es pequeño, S(t).., S(O) (el símbolo "" . se d~be er "~proximadamente igual a Un conocido tesultado del cálculo diferencial e Integral aflrm~ que In{' + x) o"" x cuando Ixl < " siendo mejor la aproxi_, • I maclon mlentrlls menor sea el valor absoluto de x. Luego, para t pequeño

Ir

U

).

IJ S(t) =

I

S(O).

~n- (1 + S(~¡ ~ 1) ~ In(1 + S{t) .'

oS(O)·

-

A medida que avanza el experimento ya no podemos afirmar que S(t) ~ StO). Más bien S(t) resulta ser cada vez más pequeño comparado con S(O). Para S(t) pequeño se tiene (propiedad de la función logaritmo): ln Slt)!

~(O)

» IS(~) -

StO) j'o

000

Por consiguiente la ecuación (38) es aproximada por S(t) - S(O) = _ V m stO)' max

S(t)-S(O)+ K .

;...... ... - ... -.---_.-

1 :¡:L:1!.z _____- - - - - - - - - - 0

.

c'o:o,.o~.w,,""7'-o .-oo~oo==~·~-.~~.~~._,.,_._~_·,.,..o_._oo_. -~_~o~~~~

(39)

;,

~

I

S(O)) "" S(t) - S(O) 5(0) StO)

(.

l.eJ)a;;.p~!;nJe,.QJJe;eJ· estado estacionario no se logra de inmediato, El tiempo requerido "aria de reacci6n a reacción pero usualmenté"es'müy -pequeño. Para valores de t antes del estado estaciona,io, todo el análisis efectuado no tiene sentido porque Micaelis-rvienten y sus conse· cuencias rigen durante el estado estacionario.

~.

~o

,

:.JI '"

,

99

Ecuaciones en variables ¡eparables

I

98

Inrroducción B lB. ecuBciontls diferencialtls

¡

"L"

"

»

donde el. símbolo significa "mucno mayor que". Una vez que se desprecia 5(t)5(0), la Igualdad (39) queda aproximada por '

1 I I I

K

I

m

In~ =-v 5(0)

mu:

cuando t es grande. En otras palabras,

I

Le.

-(V

5(t) = 5(0) e

I

, I

mal
,2)H

Como

t k

= k(0.01) n •x " .. 1

Xo

e

tendremos

=xk +Q;Q1 (_ k(0.01) x + x2 n n k k

)

2 fCRMATIIII,30X,tA~RO~I~ACION COH'.2X,J3,2X,·TER~)"OS'.II) ELA"'lEC CE ~ARIAELES "·N+l CC 80 lo 1," x(lI-O.C

0" k I'(il'n . " .. ' 135 -

,

.

t

i.e. W(t) = f 1 (t) f 2 (t} -. f 1 (t)f 2 (t). W = W(f I , 12 ) f., h ..

Te~.ibe

el flombre de

W~~~kiano de

a tres posibles casos: (i)

3A.4 TeOrema

~

I

........

Sean f .,f 2 :1 ......

cr: soluciohesde

nes:

*- O ~

(1LSe

..

-

a:imPlen:1~{ doS~iguientes ~;Pli~iO.' " U. En está circunstancia las raíces de p(r) son reales y distintas,di\lamos

1

es una base real·valorada de . n . r 1 y r 2; Luego {er 1 t, er 2 t 2 ,(U), a - 4b==0.Habr~upara(z realr demuftiplicldad dos. Por consiguiente .- 'fe r! f:~ert l'é; una baserea':valórada den. 2 ¡¡ji) a - 4b ¡ (t) == e(p - Qllt son soluciones de la ecuación diferencial (constituyen una base, pero no nos interesa ese hecho por ser una base de funciones complejo-valoradas). Definimos

j .?:~ }~

,t,

Supong~mos Que c. f ¡ + ~ f 2 = O. Luego Cl f' I + c2 f'2 =0. En particular

c¡f¡(to) +C2f2(tO)=0 CI f'¡(to) + 1:2 f'2 (to) ::;0 Por hipótesis ¡el determinante de la matriz de los coeficientes de esta ecuación, Que no es sino W(lo), es diferente de cero. En otras palabras, estamos frente a un sistema de Cra· mero Por ende c. =C2 =0. . (ii) Procediendo por contradicción supongamos que existe t / W(t) = O.Luego el siste· ma

¡ 1"

'._

~ clt'l (t)+ ~f'2(t)=O.

.

;--:"-

Oo,v"+av'+by=O

't~' ~_:.

raicés del' potlnilmlÓ- -~~

~._- -----~ll1!-Se realvaloraa¡r-~"'''~--~­

ca racter ístico reales distintos

---- -~-- --t-'------- -~------:-- -y(t) =o. y'(i! =O :Perol~ fu~¡bn O ta~~ién sati~f~~ ·est~ pvi. P~r ia u~icidad de s"o'ú¿ióñ de.unPVlliga· -do; 'una ec~ació~- de :zo"orden ~ttineal homogénea) concluimos entonces que f. + r; f 2 =0. De ptro lado, c~rriópor hipótesis f¡ yf2 son linealmente independientes,.e'des· prende que f' =P= O~--üná evidente contradicción con el hecho de que a =1: O ó f3 *- O por ~'-: t • cuanto { 0:, (j es un_~ S~IU~~~~ "? 1;ri~at:

a

j

~ ~~se d~

Podemos r!!sumir estos resultados en una tabla:

. conincógnitas--cl~~-; admite liria solución no trivial (n: , f3). Prestemos atención a la función a f l \+~_~~_:"~_~~aroque diéha función satisface el PVI 1

Obviamente PI' P2 € n (recordar que n tiene estructura de espacio vectorial sobre A su vez es fácil pro~ar que W(PI' P2 ) (t) = e2Pt Q *- O; iuego, de (i) del teorema anterior se desprende Que {PI' P, 1 es un conju~to linealmente independiente en. n y, como dim n = 2, resulta ser una base de n (conocido teorema del algebra Ijneal); QUIere decir:

cr:).

{ ePtcos Q~, ePtsen qt }

_.. -

.,"".

ambas reales

"

complejas conjugadas p+ qi, p~Qi

3.4.5 Construcción de la base real - valorada

Consid~remos la ecuación diferencial v" + ay' + by =0, objeto de estudio del pre· sente capitulo. Mediante el uso del concepto de Wronskiano y un mínimo ·de álgebra lineal, probaremos que es posible construir una base de funciones real-valoradas del espacio solución n . El análisis del polinomio característico p(r) = r 2 + ar + b conduce !

" .1,.. ,

I

CV

ª"ik.4M@@Mm*;;:;m;¡¡;;g;¡¡~;;;¡;¡:¿L;;;;,h;;J,)i?l1$¡ii.w,)"MiW@;;A¡;M)@

¡ J& ¡¡ . 4i4i1iZtLR

;t 2J 4k4¡¡¡;¡¡g¡g;!fiIIM¡:ii,;,m¡¡:;;¡U#WAi&.&iW;:¡¡¡;¡I4lM\JÍ;¡¡¡I\\i$W\\iilhIiidKWiQU;;¡;;¡ ;;w&iiM¡¡¡¡,MiJiiiM/ 4« .:;;;&U; M¡;;

"

"

Se puede prescindir del álgebra lineal para llegar a la soluci6n general al exp(ptl cos qt + 82 exp(ptl sen' qt (cuandó lasraicesdel polinomio Característico son complejasl. Para e,lo basta utilizar la fórmula de Euler: exp(p ± qi)t = exp(ptl (cos qt ± ¡sen qtl. El camino q:Je hemos escog;do tiene interés porque hace uso de herramientas que serán empleadas en el capitul_o, 5.

,r

JJ

'36

Introducción

B

fas ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Nneales de segundt:J orden

137

3.4.6 Ejemplos (i)Hallarla solucióngeneral de y" + y' + y::: O: El pol.inomio característico resulta ser r1 + r + 1 1J3. l r1 = -2"-2 1• uego _.1 t J e 2 IClCOS J.!

+ C2

2

=O

con ra íces

J3

sen - t I

(6)

2

=

es la solución general, entendiendo siempre por ello que dada una solución cualquiera-de la ecuación diferencia! existen escalares CI' ~ de tal manera que (6) es la solución y, a! mismo tiempo, que para escalares cualesquiera Cl, C:2 la expresión (6) representa una solución. Escalares significan números complejos pues estamos trabajando con un espa· cío vectorial sobre los complejos. (jj) Encontrar la solución de y" + y' + y == O vIO) == O, y'(O) = ,: .

_1t 2(Cl

=e

Según siabemos. y(t)

cos ,f3 t +

sen J3 t)

,2

l

2.2

it (J3) (~Cl sen J3 t+ cOs J3 t+c, sen,f3 t )+e2

j

2

+ e,

¡ --.. .

2

.

Por corysigUiente...;.{}.E..V{.O)= Cl, 1 = y;(OI -:_.)-_.,..

_

j ______ .

2

y(t}=..l.e -"2

= ,f3

2

_==_.

t

=

c¡. De esta manera

mínimo rozamiento de tal manera que sea una buena aproximación afirmar que la única fuerza actuante en la dirección del movimiento es la fuerza elásticaoel resorte; dada por la ley de .Hooke: -:~y{t)

ay'

+b~=D~

2·

'

¡

.J-

·fl·

Cl lPl + Cz If>l ? La respuesta casi ~Ilmediata; veremos que Imcl 1m C2 =0 (1m c denota la parte ima· ginaria del COfTlPlej~ En efecto, para cada t el

=

,--_.~

.

.

-+

~

i'

-~'::-

vÚI =0' .

'(7)

es unaecuación1ineal homogénea de 2° orden con polinomio característico r'l' + ~= O. el cual tjene .ra fces ;r ~

±..¡ klm i.

de tal manera Que la solución general es

'SI donde'

I

=

U3 i W iJ _o"

"

.'

tI?:

¡es

"LJ r L

-_·. .:...·_··-:a·""~

donde k -es Ja'constante'del resorte, que es sie~pre pcísitiva--:La ~~dórí-y"(t}

Hace p~ demostramos Que es posible construir una base .{ epI • ~ } del espacio solución- n)--, donde epI' O. En forma similar; si el. cuerpo se desplaza hacia la izquierda tendremos que -ey'(t) >0 y como y~(t} O. Un r~zonamiento similar permite. aseverar que la constante k del resorte es positiva, resultado que en rigor se debió haber probado en la sección 3.5.1, donde imp! ícitamente hemos trabajado suponiendo que k es pOsitivo. Una vez hecha la observación de que tantó c como k son positivos pasemos a encontrar la solución de

c

Su polinomio característico es ? +ñ1 r - o: - f3 ,donde , ._'-" "--a=-s' f3 =

k

+ [ñ= O con

_1_../c

2m

2m

2

raíces rl

=-

a

+

.

Evidentemente; se presentan tres casos según las raíces sean reales distintas, complejas conjugadas ó real con multiplicidad dos, lo que tendrá lugar cuando c2 > 4rrik, c2 < < 4mk. c 2 ~ 4mk respectivamente. 'De acuerdo a la ,eoria estudiada en 3.4.5, la solución general en cada caso tendrá su propia expresión. que se deduce de la tabla pertinente. A cOhtinuación veremos que en cualquier caso la solución tiende hacia cer~, de distinta manera. Por distintos caminos siempre el desplazarr.iento llegará a anularse completamente~, lo q'ue'era' de·~sperar debido a la naturaleza física del problema. Veamos los detalles:

¿. > 4mk; (sobreamortiguamientoJ , ! ~-- .:.:.. Se tiene ~Hr-;Cle (~-iHt + ~

mos que'

1 f32,.:

2

' .

_c -4mk

¡

Luego y(t) = e- Q \ (Cl tos"1t +c 2 sen-Yt) de trigonometría se desprende que y(t) =

Ce -

0\

es la solucióngenera1. Por consideracione¡

cos("1

(11)

t - ó) y(t)

4m2 -"

2

e-( a

+ f3 )tdonde o: , f3

luegof32

Ó =~!cl

lim e-a! = O y t ... cos( 1 t - b) es una función acotada, de l.1 1) se concluye lim y(t) O. La solución va hacia cero, oscilando debido a la presencia del coseno. t -+00

=

(m)

.

c2 =4mk (amortiguamiento crítico) .

En este caso se tiene la'ra'iz O'con multiplicidad dos. luegolasolución general está dada por

+ ~ t-O't e .

-. . .. Aplicando'la regla del'Hospital se tiene que lim te-Q't= O" \~----~..;.< De ahí que lim y(t) =- O. Ahora t,ampoco hay oscilación. ~"" El sistema ~e dirige exPonencialmente hacia cero. En ver· ! ........... ~~.... ~ . dad ..eL.presente.es un QSO límite del sobrearnortiguamien·' ....... too Su gráfica. para velocidad in'ic¡al positiva, cero y negati· ..; .-._,-._._ va' (para un desplazamiento inicial positivo) se muestra L..._ _ _ _ _ _.:-_ _ _ "al có~t~o~ , ;, 0.';:(,

i

a2

4m 'm

k

m - '", . ~."

< cf _

f3 >ó ..

+ c~, tan

'.

son positivos. Nota·

.

= c 2_1=

C=../c~

Un conocido resultado del cálculo diferencial afirma que si una función tiende hacia cero y otra está acotada entono ces el producto tiende hacia cero cuanto t -+ 00, ambas funciones definidas en el intervalo (0,00). Como

Y( t ) -Cl e-0''::

1

o: -

2m

con lo qué!3 =¡i. Ouieredecir. las raíces delpolinomiocaraeleÍ"Ísti co en este caso re~ultari ser r1 ='-0:+ "1 i. r'2 = - o: - Ti dO!lde. o: y 1 son números reales, positivos.

~,r2 =

-4mk.

orden

=.!... v'4mk·..., C2 ,

donde

(10).

(jI

1

~ndo

Como, o: y P son positivos se concluye que f3 < 0:, es decir Si: recordamos gúe" • .!'Tie~~t;= O si~mpre que s> O, podremos concluir

'.

de inmediato 1 , . I

~"".'

¡,......

i ,

. i .... -~.:

~

li~'~(t)=O t-+-

r'~

i

El sistema no ¿scila sino "muere" exponencialmente. Ver la gráfica adjun!ta. donde aparece y(t) cuando la velocidad inicial es positiJa, negativa y cero (para un desplazamiento inicial positivo) (ji)

2

c

'- '

< 4mkJbajo,amortiguamiento)

Efectuamos un pequeño artificio, 'Definimos 1

@

3.5.4 Circuito R~l~ impulsado por una ~uerza electromotriz constante. ylt)

Si suponemos que no circula 'corriente alguna antes d~ cerrar el interruptor, el circuito de la derecha es descrito p o r ' R

~:,'(t) +RI(t)~..1. J t ,C o

I(s)ds = Eo

HO) = O

que tiene exactamente las mismas soluciones que el PVI

L

t .

14;1

. Ecullciones li''/IIIIe, de $#>fIundo orden'

Inrroducción a la. ecuaciones diferenciales

" R . l'. I .(t) +.,- I (t) L

Propo$ición, ,

+-

lit) =,0 . LC '

I(O} = O , I'(O}

..

.

=Eo/L

sistema masa·resorte

circuito eléctrico

y k

I

m

l'

c

R

Demostración: El polinomio característico es r2 + ar.+ b' = O Y tiene por raíces rl = r2 = - o: - f3 donde Q: ="ª- , f3 =1. .J a2 - 4b. De inmediato observamos que

2

2 b 2 /32 =~=.!..

l/C

4

I(t)

=CI

e-'-(Q =-{jJt + c, e-(Q

+ (J, .

2

b0". tiende hacia Cero cuando t-+- 00, La justificación es muy parecida a la desarrollada. para las oscilaciones amortiguadas i por lo Que le presentaremos en forma esquemática. . -

si el coridensador está inicialmente descargado. La ecuación diferencial en discusión es idéntica a (10) si tenemos en mente las siguientes equivalencias:

(j)

143

Se presentan tres casos:

+ /3)t

Tenemos y(t) = cl e -(o: - P)t + e, e -(o: + ~)t,.por solución general, (ii)

R'

=4L e

.'.

La solución vendrá dada por

lit)

(iii) R-2 O, obviamente

lim y(t) =O.

t+-

..

2

acon mUltiplicida'd dos. Luego la solución'generéÍl viene -dada-Po.--

La raíz' és -

2 1 ..J '..~ 4L .. _ .R,·'··é.:.....;c'+c ta f¡- e, ;c/'CI.".. J=-... :tr,.~~-· 2L' e ".. ,'. .,..I . 2 .! .n:., .. ' 1

_

(ii) lor en

(ii)

;ircunsta~ciª-'(t(;:.~-.at~(c;cos-r t + c: sen ")'t) = Ce~?,lcos(")'t -

Para el cálé"üf6 de'c¡y"c,llega a ! .

En

.

+ c¡ te- Q I

Q -

.

."

~

..

=Cl e-at + C, te-at. Aplicando L'Ho$pitalseJI~ga a_JIm y(tl=~· . , .:.... . t -+ oc

a2 -4b < O

;

En este caso hacemos

'Y =.2

.

.

.."

"

..

,..¡ .4b-a2 , Luego:r > O Y las raíces del polinomio

característico son rl = '- a: + 'Y i, r2 = - a: -"(i. p~~ consiguiente y(t)

=e~t(cl cos"(t + ~ sen 1tl J,

_. _

•

~'.".

representa la solución general. Al ser la función t -+- CI cos "(t + ~ sen "(t acota· day lim e-Qt=:.b~:"pOdémóscºn¿luirque:'lim ~(i)=:=o:: '"

t ...

.

- ......

-

h'

;t+-

'o,

,

.. ,... ' . ,,' ..

I

; ; • . • . .,

... ¡~:

,.....

.

--

La proposición matemática que acabamos de discutir tiene' ampliá aplicación. Por ejemplo, Bird, Stewart & Lightfoot ([2J pág. 7·25) llegan a la ecuación (12)

144

Ecuaciones lineales de segundo orden

Introducción • '/u~lJCjones difertmCÍIIllJs

en el estudio de las oscilaciones de Un manómetro amortiguado. Una vez que definimos a = 6p.IR 2 • ti = 3g/2L 'podr~mos afirmar que si (611IR 2 p)" > 6g/L entohces s~pre­ senta el fenómeno del sobreamortiguamiento, el fluido se mueve lentamente hacia sU 'posi;ciónfinaf sin oscilar. Si (Sp/R 2 p)2 6g/L 'caemos en el bajo amortiguamiento; tísica· mente, el sistema oscila alrededor de la posición final con amplitud cada vez más pequeña.' Por último, la: igualdad (6ll/R 2 p)" = 6g/L implica que el sistema está "críticamente amortiguado"_ También veremos el Uso de la proposición precedente cuando se analicen los circuitos R'-L-C bajo corriente alterna. .


2 + ¡JIPl donde C'l = CI + dI ; C'2 = =e¡ +d 2 • j -

1 , ,j

I

j

1

I ,

•

'Ver lista de problemas al final del capítulO, donde se plar1tean diversos casos que se presenta.'1 al aplicarse el método de los coeficientes indeterminados a funciones =mplejo-valorada;, (;;

-,

158

Ecuaciones lineales de segundo orden Introducción a las

8CUIICiontn

efectuanP9 el reemplazo

159

diferencillles

corr~spondiente

lIega TTl os a. ":"wEoC

sen

wt

l-w2 LC . quiere decir La solución general será

I(t)

:= CI COS

f

lt

APLICACIONES

En la sección 3.5.2 estudiamos el comportamiento del circuito de la figura cuando la fuerza electromotriz era constante (en el lenguaje común de la electricidad se dice "corriente contínua"). Veamos ahora que sucede cuando E(t) == Eo cos wt. La segunda ley de Kirchhoff asevera que L I'(t) + ~

J01 1(s)ds == Eo

1

.

w==--

0E

En este caso Ip(t) == at cos wt + bt sen wt. Derivando y reemplazando se t",ene

L

~

t cos wt

A su turno la solución general I(t) =Cl cos _t_ +

-v'LC

cos wt

,

conduce al resultado . - ---- --- -- - ..- -

" . 1 -wEo I (t) + - I(t) =- - sen wt LC .' L

.~-------------

~ sen _t- + §.t cos wt y'[C 2L

---

I(d = ,(3D)

#

~~

Iph) ==

Eo cos wt

ecuación integr~1 que es equivalent~ al PVI

1(0)=0

wEo C sen wt l-w 2 LC

_ (w2 Eo cv'lc + Eo JI)sen _t_ - wEo C sen wt L..¡ce l-w" LC I(t) - l-w~ LC (ji)

3.7.1 Circuito eléctrico Le bajo la presencia de una fuerza electromotriz alterna

_ t_ _

,/lC

Usando las condiciones iniciales se desprende

este método de trabajo en el análisis de los circuitos R-L-C. 3.7

sen

v'lc

-A+ iA+ A= 1 de donde se desprende A = = - i. De ahí que ¡J; p (t) == - ie = sen t - i cos t es so· lución. Luego 1m ¡Jip(t) == - cos t es una solución de y" + y' + y =sen t. Usaremo~

_t_. -+- C2

§.fi. 2

L

sen _ _ t +

.J[C

Eo

t ces wt

2L

1'(O)=Eo/L

una vez que se aplican las condiciones iniciales. Observar que lim I(t) == 00 cuando las condiciones son tales que el condensador está descargado al cerrarse el circuito y no. cir~laba corriente alguna, implicando con ello que 1(0) = O. Tenemos así que resolver un PVI ligado, a .una. ecuación diferencial no·homogénea 'de segundo orden. El polinomio caraéterístico r"2 +..1- =O tiene las raíces r =± ~i. Considerare~os dos

"""" (i)

1 w-:f=

LC

..

LC

1/#

Por el método de los coeficientes indeterminados existe una solución de la forma Ip(t) -;'8 coS wt+ b sen wt. Luego I'p(t) = -wa sen wt + bw cos wt, I"p(t) = = _wl a cos vA - bw 2 sen wt. Reemplazando en la ecuación diferendal llegamos a ¡

(P

:: .

. Estámos frente al conocido fenómeno de Resonancia. En el primer caso la intensi, dad de corriente oscilaba, ahora crece sin.límite (estamos analizando un circuito ideal; en la práctica todo circuito tiene algo de resistencia). Difícilmente se tendrá con exactitud w == l!y'LC desde un comienzt?; más b.iense hace variar w de tal ,manera que se aproxi· me a este valor, en cuyo caSo la intensidad de corriente alcanza valores cada vez mayores. También puede ocurrir que se mantenga w constante, 10 mismo que L. y se haga variar C hasta que se aproxime al valor crítico l/Lw l . En la siguiente sección analizaremos el fenómeno de resonancia desde un punto de vista más realista, cuando el,cirl:ui~o,_ ~,,_C, __,___ . presenta una resistencia R. Veremos que, para el valor crítico. la intensidad de corriente crece pero lo hace dentro de ciertos 1imites.

1 r,O

Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones lineales de segundo orden

3.72 Circuito R-L-C bajo corriente alterna

donde

El circuito adyacente conduce a.la ecuación íntegro. diferencial

R

S=wL--'-. wC

L

rt

es la reactancia del sistema. ~e aC';tumbra escribir Z =_ R + iS (la imp~da~cia c~mPleifl Su valor absoluto 1Z 1= + S es conOCido como le Impedancia. S~ llene Z - I Z le . el número complejo Z expresado en forma polar. Por consiguiente ,e:

VR'

cuando se ve sometido a una fuerza electromotriz E (t) = Ol-E='"(-t-¡- - - ' COS wt. Si se disponen las condiciones experimentales de tal manera que 1(0) = O, Y que la carga inicia! en C es cero, es fácil demostrar que la ecuación precedente es equivalente a! PVI = Eo

Ip(t)

= Eo/l

la solución está dada por I(t) = Ih(t) + Ip(t) donde Ih(t) denota la solución general de la respectiva ecuación diferencial homogénea, solución encontrada cuando se estudió el circuito R-L-C bajo corriente continua, e Iph) denota una solución particular de la no. homogénea. Según se demostró en 3.5.4, como R/l> O Y l/lC >0, necesariamente lim In (t) .. O. De esta manera Ip (t), conocida como solución del estado estacionar io, cobra singular lmpor.tancia. F ísieamente, pasado un cierto lapso la solución I (t) deja h de ejercer influencia sobre el circuito. Esto involucra también que después de un tiempo las condiciones' iniciales dejan de hacerse presentes en el circuito, el cual resulta ser in. dependiente de:ellas. .

~

De inmediato nos abocaremos al estudio de la solución de estado estacionario. Planteamos la ééuación

'.

I"(t) +.!!.I'(t) +_' I(t) = _ Eow e1wt l· LC L.

-

.:i

.c:,-:-: w'2 '~e~wt +~Aiwelwt + ~ e IWl =._

I

..

.

=~ [cos(wt ~ O) + IZ 1

=~cos(wt I ZI

p.c, __ (s,t-----

_ , - wL + iR wC

-Eo i(R + iSl,

i E0 ei( .... t = __ I Z!

-

el

e)

i sen(wt - el]

-~ sen(wt IZ 1

e)

J. ;;~

------._-.-----------_._. Definimos

~i

1 •.. '. . 1 .. ,

¡la amplitud de f(tlcomo función p

= lim f(w) = O. Derivando: w+-

de w, con R,L,C constantes) Observar -que·w+o· lim f(w) = .

. -Eo{Wl - J... )(-L +~) f'{w) = wC Cw (R l + (wL __'_12)3/2 wC

n.·.·

~

,'.'

~" ..

Luego f'(w)= O~ wL = '/wC, Le. f'(w) = O W = l/vIT. Quiere decir que para w 1 / # tenemos un probable máximo o mínimo. Como f'(wl > O para w < 1¡.JLC y f'(w) < O para w> ,/y'LC podemos afirmar que w = 1¡.jCC da origen a un má· ximo de f. La cantidad w constituye eJ \(aJ'O: Qí',J"eS.Dfian.::iaedel circuito. Para este valor de w, la amplitud de Ip (t) toma el valor Eo IR, una cifra considerable· mente grande cuando R es pequeñ~. _

=

A= _ _ -E_ o _ __

I Z ¡eíO

podemos concluir que Imlp(t);Eocos(wt-eIIlZI. Asi t-+Eocos(wt-e)/IZles la solución de estado estacionario del circuito R-L-C, donde como SGb-emos

EtWelwt

Despejando obtfmemos

iE elwt =~

(31)

Como iw no es raíz del polinomio característico de la correspondiente homogénea ( iverificar!) podemCj>s aseve~ar que existe una solución de I~ forma Iph) = Ae iwt, donde A se evalúa reempla~ando Iph) en .Ia ecuación (31), (método de los coeficientes indeterminados para funciones complejo-valoradas, visto en 3.6.5). Luego' ·c.

... ,. ¡. . -.. ......,

- E 0 elwt = - Eo e íwt I (tI = __ p iZ i I Z le íO

La parte imaginaria de Ip (t) es la solución particulardt la ecuación diferencial original. Como

1.. {t)+~I'(t)+_l_ I(t)= -Eowsenwt l lC l 1(0) = O ,1'(0)

161

='lIVEC

..~

...

Ecuaciones finei!/es de segundo orden

162

163

IntroducciÓn 8 las ecuaciones diferenciáles

un máximo) Para responder a ,este interrogante en la afirmativa, bastará demostrar que SI R es muy pequeño" el circuito puede desintegrarse en, el valor de resonanci,a.:Se"puede , tambiénanaliza't laámplitud M' ¡a intensidad decbrriente fijando'w, L, R Y hílciendov~:. riar

e, en cuyo caso se

I

1

. ' •

'.

•

logra resonancia para C = 1/w L • 2

tiene un mínimo, Con este objetivo en mente extraemos la derivada de h(\":\: h'(w) = ='2c 2 w + 2(mw2 _ k). 2wm = 2c 2 w + 4w(mw 2 - k)m. Igualando a cero tendremos

3.7.3 El fenómeno de resonancia para un sistema masa·resorte

I ~I I

I

Supongamos que el sistema masa· resorte de la sección 3.5.3 es sometido a una fuerza de valor Ao cos wt. Estaremos entonces frente a la ecuación diferencial my" + ey' + k Y = Aocos wt

c2

+ 2m(mw 2

-'k)

= O,

luego

(32)

Buscamos una solución particular; como bien sabemos, la solución general de la corres· pondiente ecuación homogénea tenderá a cero con el tiempo. Siguiendo el razonamiento

es un probable mínimo siempre que

k 1m> c' f 2m 2

.

La segunda derivad" implica

de la sección anterior· podemos aseverar que L 1"+ R 1'+J..\=Eowcoswt

e

(33)

tiene la solución particular Eo sen (wt -

e)

2 Luego h"(,.Jk/m _ c 2 /2m2) = 4(2km - c 2 ) > O, siempre que c < 2 km. Por consi· 2 2 2 guiente g(w) tiene un máximo en w max =.Jk/m - e /2m (cuando c < 2 km'). 1 Un simple cálculo permite verificar que g(w max ) = 2m Ao/c ..J4mk - c . El valor w es conocido como el punto de resonancia del sistema. Observar que max

.JR2 + (wL __'_)2

lim g(w) =Ao w" o k

wC

¡

Las equivalencias m - L, c - R, k - ~ ,Ao - Eow permitirán entonces concluir que

, -+¡. . i

W max

1

La di!erenfia con _~ desarrollo de la sección anterior reside en el signo y en el hecho de que al trabajar con _ .. ' ,

! '\"(t)

lwt +l!L I'(t) +-'I(t) = (Eo w) e LC L

se debe ex.raer la parte real. Tendremos y por

=Jl - c 2 /2 ya su vez

g1w ---,:}"-= __2

2 es una sOluciÓ~ particular de (32):Sea g(w) = P.eIJ w'2 e + (mw'2 - k)2. Para cada c> O fijo tendremoS; una curva g(w). A semejanza de los circuitos eléctricos, ¿tiene la curva 9

'l

g(w) tenga un máximo. En ese caso' g(w) =

= = =,.

i

..

4--

Notar también que si e;;;;' 2 km, no podemos asegurar que Estudiemos or e'em lo, qué ocurre cuando P.e m k = 1/ W 2 C2 + (w2 _112-Ytend~emos que

L j

lim g(wl = O

.-w

ende~ Re Ipltl = Eo sen

(wt -

'phl

=1- i Eo caslwt - el + Eo sen (wt -

el/lz 1 , es decir

Eo sen (wt -

l1)

. --'-_. --' .--v"R + (wL _ _ ' '2)

max

r:--T cy4 - c- .

A medida que c decrece, w m ax corre hacia la derecha y g(w ) adopta un mayor valor. Para c muy pequeño, max

dicho término será muy gránde; es decir lim g(w

max

)=

00

e-+ o·

el 1/ 1z 1

. Observar tambié~ que para O(0) Acos O + + B sen O. Luego A = O. A su vez O= ~(71') A cos 271' + 8 sen 271'. Luego Bsen 271' = = O. Esta última igualdad se satisface para cualquier valor de B por cuanto sen 2r. = O. Hemos probadoquesi ~ es solución del PVFentonces existe B tal que ~(x) B sen 2x. Es fácil probar que para B arbitrario,'" B sen 2x ' es solución del PVF. De ah í que tenga, mos infinitas soluciones del problema y todas ellas de la forma antedicha. Basta que varie. diferencial para que la solución sea distinta. mos el coeficiente. de ,la ecuación .' .

c(x) =A exp(v'kiDlx

Al aplicarse las condiciones frontera tenemos A+B=-n/k

=

=

(exp(y'k75)L)A + (exp(-/k/O)L)B = - n/k

=

Un simple cálculo conduce a A =~ exp (- 0!D)L - 1 k' exp( y'k/OIL - exp(-v'k/D)L

Las soluciones del primer PVF eran múltiplos de sen 2x. una soluci6n no-trivial del PVF, mientras que O es la única solución del segundo PVF ¿Son estas las únicas dos posihifidades que se pueden presentar en el estudio de un PVF del tipo V" + Ay' + by =,0 vIal = O y(b) 07 Antes de dar respuesta a esta interrogante analizaremos un ~cOnocicfo problema de la química. '. . "

Luego

=

Para el caso general

, La ecúaci6n:a tratares 't~~~~\:,. . i

¡

[",

¡

+ B exp(-y'kTo)x + n/k

, y" + Ay' + By =f(x) '."

OC

=

+ . (x) - k c(x) = -n J

~'

. .' y(a)=( .

con las condicione~ frontera eCO) O, c(L) O, donde O'es una constante 'que su'rge de la ley de difusión de :Fick, n la velocidad de formación de los átomos de cloro, mientras que la constante de velocidad k aparece en virtud del proceso de remoción de los átomos de cloro; c(x) representa la concentración de átomos de cloro a una distancia x de una de las paredes del sistema constituído por dos paredes paralelas planas a una distancia L una de la otra ([8] pp. 58).

=

V(b) = s

..

veremos que se pueden presentar 3 posibilidades: (i) (ji) (iii)

in:

I

,\~f

existe una única solución existen infinitas soluciones no existe ninguna solución

I

J!&J!&&;;:;¡¡uu;;;;;;:a

a

..

(36)

170

EcuaCIOnes lineale¡ dé se;:.;ndo orden

In traducción a las ecuaciones diferenciales

En efecto, sean ePI y ePl dos soluciones linealmente independientes de y" + Ay' + By"", O,. ~p 'una solución particular de y" +Ay' + By,=f(tI.Seg~:9 sabemos, CI ~I +Cl'~+' + VP es la solución general. Debemos inquirir acerca de 'I}€xistencia d~' c l ,cl tales que

(il (¡i)

(a)

+ e. cPl (a) +

I/!p(a) = r

CI

ljil (b)

+ e. eP2 (b) +

Yp(bj =5

i.e.

Cl c!; -+ \¡(~.~ = l

y(b) =0

VIO)

=O

•

y(21fA/3)

=O

evidentemente sólo mtirán dos posibilidades: . '-. \1i;r- ..

I

..-..

Ecuaciones lineales de seglJndo orden

, 72

173

Intrcxiucción a las ecuaciones difer~nciales

Las raícesdelpolil'lomio característico son (1 ±.J3 il/2. Como a simple vistéLse observa... que . la función constante 1es solUción,es dable afirmar qQ.e ·léisplución :9!lneral. vie!!e;.. . d ada por CI exp(,! x) cos .,,)3 x 2 2

M =e

'i~

.< ,"

>

e

+ ~ exp( ~ x ) sen .,,)3 x + 1. 2

,J..,

-mLc

mL

.'

,."(,.

in L +'; e-ffi L

por consiguiente CA (x) =M 1 e

2

M:i'

AS

mx

e =.___C."-.A.:;:S,--_.--

é'rlL+

+ M: e-mx

(40)

é- mL

·1" d d M M ."- dad s es la so UClon, on e l , 2 es.c , o

por (40).·

3.9.2 Funciones de Green·

Supongamos que t/l es una solución del PVF. Luego 4>(0) = O, 4>(271/.,,)3) = O, de don· de se desprende que exp(71!v'3) + 1 = O, una evidente imposibilidad. Por ello podemos concluir que el PVF en discusión no tiene ninguna solución.

En la sección precedente hemos analizado el PVF y"

El resultado que se obtuvo para (35) también es válido para el PVF y" el:

y(a)

')'Y(b)

+ [¡ y'(b) = s

y(bl = s

y(a) = r

+ Ay' + By = f(x)

+ f3 y'(a) = r

+ Ay' + By =f(x)

,o.. continuación discutiremos el mismo PVF desde una óptica distinta, que resu:ta parti· cularmente útil cuando se mantienen fijos A y B así como las condiciones fronte~a pero

(39)

se varía la función f(x). Por comodidad definimos L(y) = y"

del cual (36) es un caso particular. La demostración sigue los mismos lineamientos. Un ejemplo de (391 viene dado por los fenómenos de difusión, donde aparece la ecuación

+ Ay' +

By. Estudiaremos, en primer luga', el PVF

L(vl=f(xl

diferencial

•

Más adelante consideraremos el PVF L(yl

junto con las c6ndicl()l'\es CA (O) =C AS

e' A(Ll =

o.

eA (x) es una )función qu_~ d_enota._la concentración del reactante, e AS es una constante, mientras que k y O son parámetros del problema ([9] pg. 472). Su solución procede por el camino usual: el polinomio característico Luego

r -'!. = O

tiene por raíces r = ± m, donde m =.";1O

=

. r,:" u(a)

179

','

sOIUció~ de (49).

+ _r_ u 2 (a)

U2

Es fácil verificar que:

(x)

,.

-

B = O nos conduciría a la solución trivial. por ende sen.,f]:. L = O, lo que imPli~a.y0: L =. =n1T n=1.2.3.... ¡, = -.

Luego

n= 1.2 •. ,::.

(52)

\

De est¡¡ manera

.1

I

.

. : u(x)

- -.. "

-.',

r =Ja b G(x. 1")f(1")d 1" + - U 1 (x) + (b) U2 (a) S

U¡

Uz

(x)

(50)

es la solución buscada. Conviene notar que (50)eSjustamente la solución única de (361. prevista como primera posibilidap en la pág. 169. Ahora conocemos explícitamente quien es esa solución. De Young q 141) se ~ ~.> O

y'(to) =0

u(x,O) =0

~~(x, O) = cos

t>O

x

.1

sin nechidad de recurrir a la solución general de la ecuación diferencial*. ·'-·-·AriáliSiS-deeste tipocobra';-imPoriancia porque hay ecuacion~ diferencial~ cuya solución ~ difícil d~ obtener. Aún sin conocer la solución y sólo analizando la ecuación diferencial, se puede logra( valiosZIfrmación.

u(O, t) 20)

=O

t;;' O

u{1I', t) =0

Resolver la ecliatión del potencial con 1as condiciones frontera u{x, O) = O

u(x, b) = O

_--

.

.u(O, y)

-

= g(y)

•

__ o

• ______ ,

u(a, vI = f(y)

-

____

•

--"._

•• -

-. _ _ .'"

,.-

•

,--_._.-.,._.~.,.-----------------

206

/nrroducción a las ecuaciones diferenciales

.}-

Sugerencia: utilizar el método formal de separación de variables para encontrar la solución u 2 de la ecuación del potencial Con condiciones frontera ,', , " u(x~ O) = O , t J ( x ; b ) O' u(O, y) g(y) uta, y) = O y sumarle la solución, de la ecuación del potencial desarrollada en la sección 3,9.3.

=

21)

=

Encontrar la solución de la ecuación del potencial con condiciones frontera u(x, o) = k(x) u(x, b) = h(x) u(o, y) = g(y) uta, y) = f(y) Sugerencia: resolver separadamente la ecuación del potencial con condiciones fron. tera u(x, O) y

=k(x)

u(x,O)=O

u(x, b) =0 u(x, b)

= h(x)

u(O,y)=O

uta, y) = O

=O

u(a, y) = O

u(O, y)

BIBLlOGRAFIA

,t

Sumar ambos resultados a la solución del problema precedente. {el lector atento observará que se sigue el procedimiento utilizado para hallar la solución de (84). Pero a diferencia de (841. donde se pudo haber resuelto el problema sin necesidad de descomponerlo, ahora hay limitaciones propias del método de separación de variables que impiden resolver directamente la ecuación del potencial con más de una condición frontera no . homogénea).

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-..1 1

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I

I

I

,. ~.~

Ir

-

" , - - - - - , - , --.,-- i1,':,

L-

@'--~'"

1

a

4

,

1'1'

.J

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1

INTRODUCCION

Desde él -punto de vista'histórico,la Transformada de Laplace se usó por vez prime·; ra en forma sistemática con la finalidad de resolver problemas de electricidad. Su utiliza·; ción en cierta forma causé> una revolución comparable a la que se produjo cuando se; J inventaron los logaritmos en el siglo 17. Así como los logaritmos "transforman" una multi plicación en suma, la Transformada de Laplace "transforma" un problema de ecuaciones diferenciales ordinarias en otro más simple de álgebra básica y problemas de ecuaciones diferenciales parciales-ernunimilares-de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ambos mé: todos tienen también en.común que para ser operativos requieren el uso de tablas. El nombre de Laplace hace' ho~or al g~an_~. ~ie¡'¡tíficofrancés Pierre Simori1.aplace- (174!Ú ~ .~ 1827), uno de los pioner!ls en el uso de transformadas,' . . ". . '. , .

i

,1

I I

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-_ .. -----_. ~.~~. ~.. -

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r.

,

.

_,

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)

En lo que se refiere a la química, el uso de la Transformada data de hace pocas de· cadas. Estudios básicos como los de Rodiguin & Rodiguina ( [ 711 apárecieron eri los años sesenta. Hoy en día dificilmente se puede leer una obra de cinética química, teoría de controlo análisis y simulación de procesos sin tener un conocimiento sólido sobre esta , .r~rramieñta de la

matemáti~:,' ..

N~ pret~ndemos presentar 'un 'trata;';'iento' exhaustivo del tema. La selección de tópicos ha sido hecha de tal manera que permita leer un libro de teoría de control cOmo Coughanowr & Koppel ( [ 4 ] ) o textos básicos de cinética química como Roberu ( [ 6 1). De otro lado, hemos tratado de no caer en el error de querer demostrar todas las proposiciones que surgen a medida que se avanz.a. En el estudio de la Transformada se presentan resultados que requieren ser utilizados-cle' inmediato 'perO cuya 'demostración no es elemental, sino que necesitan de técnicas delicadas como intercambio de límites,

210

..

.,-,. ,

TransformlKia de LapltJC6

Introducción a las ecuaciones diferet1caJe.

derivación de integrales impropias y en general conocimientos de cálculo avanzado que no, siempre poseen los estudiantes al iniciar sus estudios de ecuaciones difer,enciales. Remos optado por una posición intermedia; se demuestrán algunas propiedades, para, otras damos la referencia bibliográfica pertinente y en el apéndice aparece una demostra· ción de unicidad que ejemplifica'las dificultades teóricas que hay que vencer si Se desea efectuar un estudio riguroso de la materia. Nuestro interés primordial es enseñar como utilizar la transformada, no la naturaleza de su estructura íntima;

4. '_2 EjemplO$

El lector podrá encontrar, desde un comienzo, ejemplos de ecuaciones diferenciales ligadas a funciones seccionalmente contínuas. Se hace un análisis más detallado de lo que es usual para este tipo importante de ecuaciones, Si se trabajara sólo con funciones c~m· tinuas no se Poclría ver la reaí ventaja la transformada frente a métodos como los de coeficientes i~determinados o variación de parámetros. Después de varias secciones introductorias estandar, ,se llega -a-la -transformada inversa y a los dos grandes caminos para su cálculo: fracciones parciales y convolución. A continuación se estudian problemas ligados a un número: finito de discontinuidades y a funciones periódicas, ejemplifi~ando estos conceptos con casos concretos de reactores químicos contínuamente agitados y problemas de' mecánica y electricidad. La sección sobre- el f) de DifélC, relativamente extensa ' , enfatiza la estrecha relación entre la"matemática y el mundo real. Por último se considefan varios ejemplos de la Transformada de Laplace en el contexto de la cinética química y se realiza un breve análisis respecto a la utilidad de la Transformada en relación a las ecuaciones en defivadas parciales. Habiendo realizado .estas consideraciones generales, entremos de lleno' a los désarrollos que motivarán la introducción de los tópicos materia del presente capí~lo_

Supongamos que y(t) es solución del PVI propuesto. Procediendo formalmente se tiern;:

1)

-y'=f!t) yID)

f(t) ==

=Yo

'v¡;:te~"

t

, k2

t;;;' te

fat

f(ul du

+ Jot

f(u) du

,

..

I1. ",'~

¡

J~ y'(s) ds =

1 ,\

,

.,1,

con k 2 > k l

.de

"1' '' k¡1

",

tO

•t

~I!C f-".\

CC'

LueQo ylt) == Yo Para t

< te

Cuando

t

= Yo + Jo k l duo Por ende

se desprende y(t)

t~

y{t}

=Yo + k 1 t.

n--

te se cumple: ,

y(t) = Yo

r] r

-

+ J;o

t - ----.

f(u)du

+ Jt t

f(u)du = Yo

..--.,

+ fo o k) du + Jt~ k 2 -cu = Yo + k l te +

o

---~

,_ ,-,

-

'

En los capítulos 1 y 3 hemos estudiado ecuaciones diferenciales del tipo y' + ay = 1" l , . - ----- --' - - - - --- --- . = f(t), y + ~y + by:= f(t} donde f es una funCión contínuaen un cierto intervalo I de la recta real (generalmente 1= [O, col ). En la práctica muchas veces aparecen funciones qUll pese-anO: séT cOntínuanTenen un comportamiento cercano a la continuidad, las llamadas funciories 'seccionalmeríte corítíriuas. ',~, -: ," - ~ ", -

J~.

y(t)

------'~

t

4.1.1 Definicipn -

.

l'

'

-, - -

--'"

,'..

"

, -'

La funCión f: [ a, b 1-+ 6l, a < b, es seccionalmente contínua (, contínua por trozos I ' en f a, b ] si ,xiste un número finito de puntos a Xci < Xl < ... < xn b de tal manera que f es continua en (x, -1- XI) y los límites laterales f(x,-), f(x,+) existen. Pordefini· ción ' __ , : ' -

=

n

rf(t) dt = ~ a

=

Diremos Qtle--una función f:--'l--+6l, dónde I es un intervalo infinito, es seccionalmente cont inua si elli lo es en ~da intervalo finito [ a, b 1. e I

-.-

,.~

@ -- .----_..

-- -- - .. - ----- -- . o las La solución es continua en [O,co 1y derivable en ( 0,00) excepto en te· Sm e":,barg derivadas laterales, en to, de la solución existen Yson justamente 10

5

2) Consideremos la función Flt)

:'.\

0

s

solución del problema

:g

'-¡;', s se cumple

cE~

t< c

e-s

8· - S

t~ C

Luego Iim

1 •el.-S)tdt =- -'= '-'a-s s-a

.'1 J

at

A diferencia de los ejemplos anteriores, la función uc(t) (denominada función escalón

para s> s, e. decir

r+- o

unitario) es evidentemente discontinua en el punto c. ¿Cuál es su transformada de Lapla· ce?

para s > a.

L(e ) (s) = - ' -

s-a

L .'

4) Sea F(t)

= sen at f(s)

=J;

un número real *- O. Observamos que

a

t> O.

s

e-u sen at dt = lim Jo' e-st sen at dt.

~"!'.

"'~::O

Un. dobl. ,n.¡,,,,,,ón pm '000"'" 1 1 r e-~t sen atO dt =~ .l~~~._--_._.

a

+5

1 8

r e-s ':(a

~os 'ar +

$

I ~

-

sen sr)

+S2

.:;~.

.

,: r

I

.:.

k

]

-sr

-sr

.

-~--2 e-s ~a ces ar + s sen ar) = ~I acosar + s sen arl< _e_ _ (1 al + I si) 2

1a> +

$;

a

+

$2

a2

, \

De ahíque

O ......

lim

r"~

,

-• . _,

"l·'

: :.... ; " .

r-400

•

•..... >.

'.

~-

Por ejemplo,las funciones de la figura pueden ser expresadas convenientemente usando . los escalones. Basta notar que f(!) 1 - U1f(t) y que g(t} = u;(t) - 21f (t).' En 4.3.2 demostraremos la linealidad de la transformada de Laplace. por ello

u

=

.. - 11

.~g

~ e-sr la cos ar + s senar)= o, a

'11

'21T

+s

: . , e-1f• Uf) (s) =- - - s s

1

.. __ ._.~~-----iim-fLe- st sen at dt= __ a_ . o 2 2 \ r .... oo a +5

I

$2

+

! I se desprende que

I~

+

siempre que s> O.

Notar que la transformada de ucltl es una función continua en (0,00) pese a que uc(t) tiene un punto de discontinuidad. Aprovechemos lá oportunidad para hacer algunas con. c--sideraciones-preliminares' Tespecto de las funciones u~{t).· Cuando más adelante (sec. ción 4.7) tratemos ecuaciones diferenciales con funciones de fuerza seccionalmente .continuas, haremos frecuente uso de las funciones.escalón. Mientras tanto es de interés analizar como los escalones unitarios ayudan a encO;'ltrar la transformada de otras fun. dones . discontinuas -y-permiten'trabajarc6tl'iOdámente conja traslación ge funciones.

1

Como

=~-C5

Para

s> O,

s>o

-115

y

,

-21T,

L(g) (s) =_e_ _ _ e _. s . 5

EnCúa~to~I;'traslación d~fu-;;;'¡~~~~: 'd~da una función -digamos sen- c~osíb'e.-'------,·

. ~I¡. ,

1

.[. ,>0

Di":

"

q",

un:x:::,"ó:~:~J:;_::o:en;:onen::::c:u:i~-~.... ..~ .. IF(t)!< Meo:

t

_;'
1o

o como también se dice: !F(t) 1 < Mea t eventualmente, Se puede verificar fácil· mente que toda función acotada es exponencial de orden cero. De la misma manera la función F(t} = eatsen bt es exponencial de -órdérí" a . Aplicando n veces la regla de L'Hospital roe prueba que t lim e- at t" = O (o:> O, arbitrariol, de donde se puede con+...... . cluir que existe M tal que exp(- o: t) t"O'

tenemos

L(e,tF(t)I=L(F) (s-al

para

.s>a+a

I

a E 6t

Transformada de Laplace

Por ejemplo L(e lt senbt)

b

Un resultado de l:épital importancia en la teoría de la Transformada de Laplace viene ..'.dado por

$> a

4.3.5 Teorema (la transformada de la derivada de una función)

L(eatt) =~

s> a

(s - a)2

Sea

c~ntínua

4.3.4 Proposición Sea

223

F; [O, 00) ..... f{ continua por trozos y de orden exponencial a.

F: [ O, 00) -+ 6? una función contínua de orden exponencial .C!. tal que F' eS. por trozos en [ O, oot. Entonces L(F') está definida para s> u" y además L(F') (s)

Entonces

= s L(F)

s> o:

(5) - F(O)

Demostración; presentaremos una prueba bajo la hipótesis adicional de que F' es contí. nua; para F' contínua por trozos consulta'r la lista de ejercicios.

en (0:,00)

10--

Demostración:

, Nos interesa calcular e-st F'(thh, conduce a la .jgualdad;--~·":"---- --. - ..----.

st

Por definición L(F) (s) = Jo - e- F(t)dt, s> o: . Deseamos derivar respecto a la variable s . Aceptaremos el hecho, nada élemental, de que la dérivación se inter~mbia con la integral, bajo las condiciones de la proposición (ver [ 9 ] pg. 446). Luego

I or e-st

F'(t)dt=- F(O)

+ e-sr

Por hipótesis existen M> O, to > O tales que

r> O" ~na integración por partes

Para F(r)

+ s r e-st

F(t}dt

o

I F (t) 1< Meat

(3)

t> 10.

Por consiguiente L(2)

(F) (sI

2 e- st F(t)dt' =• (- 1)2 f-t o

-1 e-SrFÚ)"
a

--- --------------"--'--'------L(eatsen bt) (s) =

b)2

(s - a

+ b2

s> a

.'

De--acuerdo al ~eorerna 4.3.5, aplicado a la función G, se concluye que L(G') está defi· nida para s> y L(G') (sI = sL(G) (s) - G(OI. . Quiere decir

¿

I

i..u. 1 F(r)di) (s) ='L(F(t)l o

-.

s

(s)

\

..

s> a

Usen btl (s)

=~ s +b

.

s> O

-- ce-es

-es

L(tu (t)) (s) =-s- + ~ e

S

$> O

1

Así por ejemPli

I .

.-

"

IL(JoITeT~-r)(s)=

1.:(te l ) (s) s =(s-1)2

s> 1

La verdadera Jtilidad de la fórmula estáe~ resolver las ecuaci?nes integrales e íntegro-di, ferenciales elementales que aparecen en el análisis de los circúitos eléctricos (ver sección

4.;;.2l. ___ Otro resultado ~e impQrtancia está dado por: i (n "._- \&, f

A estas ~Ituras es de interés hacer un resumen de las principales propiedades demostradas en las páginas precedentes: bajo las restricciones del caso se cumple

226

Introducción s·las ea¡aciones diferenciales

L(cFI.(s)

De ahí que Y!tl = (e-t + e t )/2. Fue posible encor"1trar la solución del problema plan· teadodebidb a la forma muy particular de la ecuación íntegro-diferencial.- Cuando más adelante anal icemos el concepto de -convolución, podremos ampl iar el conjunto de las ecuaciones integrales factibles de ser resueltas con rapidez mediante la utilización de la transformada de Laplace. En cuanto a la primera ecuación diferencial planteada cabE mencionar que el uso de la transformada no resultó un método de interés; los métodos tradicionales son más expeditivos. Sin embargo, con la segunda ecuación el panorama varía considerablemente porque la transformada resulta ser una alternativa interesante. Una vez que introduzcamos la transformada inversa de Laplace veremos muchos casos de ecuaciones diferenciales. Haremos un tratamiento sistemático de ellas; especialmente de las ligadas a funciones de fuerza discontinuas.

= c(L(F) (s))

L(uc(t)F(t- e))

= e-CS~F(t))

= L(F(t))

L(eatF(t)) (s) L/tnF(t))

227

(s)

(s - a)

= (- 1)n L{n)(Fltll

(s)

UF') (s) == s L(F) (s) - F(Q) L(F") (s) =s'" L(F) (s) - sF{O) - F'(O}

LUot 4.4

F{r)dr) (s)= L (F(tll (s)

~4.5·

s

UN PRIMER CONTACTO ENTRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES

. Consideremos el PVI Y'(tI ¿3Y(t) , Y(O) =1T. Aplicando la transformada llegamos a Sv(s~ - 1T = .3y(s), donde vis) = L(Y (t» (s). Luego vIs) = n/(s-3) ¿Qué función . Y(t) tiene como transformada V(s)?. Evidentemente Y(t) -- e 3 ! ( mas . ad e Iante enun. ciaremos un hecho clave: dada una función vis) existe a lo m,ás una función continua y(tJ tal que L(Y!t)) (sl= V(s) 1.

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Acabamos de ver que es importante determinar una función F cuya tl'.ansformada sea una función f dada. Eso no será siempre fácil, sin embargo para el tipo de funciones con las que trabajaremos existen métodos que permiten resolver el problema. Con la ayuda de tablas, fracciones parciales V el concepto de convolución -a ser definido más adelante-' conseguiremos una respuesta afirmativa para un número considerable de fun· ciones que se presentan en la práctica. Quiere decir, dada f podremos encontrar F tal que L(F) = f. Surge de inmediato el interrogante: ¿es ésta F la única función que cumple la propiedad antedicha? La pregunta quedará contestada mediante el siguiente 4.5.1 Teorema

. . Veamos ahora la ecuación diferencial y'lt) = 3 u (1) con condición inicial Y(O}·= ,. 1T Tomando la transformada a ambos. miembros obtenemos sV(s) _ 1 = 3 e-1TS j s, es d· eClr '

,

'

•

__ o

1 + 3_ e -11"5 vIs) =_

s

. .._ _...._~e~~~ ~,ª-: .r!l~ ooL. . . §Lcol1 tin Ll ss* ~I gue .LIEL=-.cLjGt en ~I intervalo [11, col • Entonces F = G.

La demostración no es elemental. Consultar el Apéndice. -

5'"

En base al teorema es dable afirmar que, dada una función f ,si existen F V G -. - confinuas-talesqueIIF)·==T;~LlG1~=r -énti:'-nces-::-F= G.~sta-uñicldao-noS·¡)eJ"mlte . definir la transformada inversa de Laplace de la siguiente manera:

Usando la tabla V la lista de fórmulas podemos afirmar

"", .

.

e

:'

¡

.

.'

.

Observar que Y(t) resulta ser una función continua pese a que en la ecuación diferencial aparece una fun~ión discontinua.

F

dada .( L-1 (ti ~ d~nde'- F e~ la UF) == f., En otras palabras·. .'c,

F(t) == L- 1 (f(s)) (t)

í

¿Qué se puede decir respecto de la ecuaciQr¡ integral (más bien dicho I'ntegro.dl·' ferencial)

1. ,

'-.. f¿ Y(r)dr =y'(tl o

Aplicando la transformada tenemos

'.

.

VIO) == 1 ?

-

~j'~

." m;¡nera tenemos . t'lene la caractenstlCa Inco:-porar de ¡n, . . t os .. alternativa Que " de. ' . dt' ", O tal que 1t(t)1

cos t y"(t)

J: (1VIs) \ +. 1Y'(s) 1) ds + \ f3 \ + Jo

+ Jo l f(s) l ds.

< Me

5t

t

~O,

Luego 2 cos t

1

Hay otro aspecto que merece discusión. Desde que comenzamos a aplicar la transo formada a las ecuaciones diferenciales, hemos supuesto que la solución Y de y"

Por consiguiente , M 5t r(t) Q + Ó y además L(Y")(s) está definida para 5 > Q + Ó con LeY") (s) = slllY) (s) - 5YIOl - Y'IOl. 4.8

FUNCIONES PERIODICAS

Recordemos que una función F: f{l, tx» -+ 61 es periódica, con período p> O, si F (t + p) = F(t) para t;;¡' O. Es importante tener un resultado que permita calcular la transformada deF y que solamente utilice los valores de F en el intervalo [O, p j. Con esa finalidad en mente damos el siguiente

(para el último paso hemos aplicado u,n conocido resultado de la teor ia elemental de las serie,s d~ potencia, úoa vez Que observamos que para "s,'p> O se cumple Que e -sp < 1¡. De esta manera queda demostrado el teorema. Es interesa'nte mencionar que existe una demostración más sencilla, basada en la observación siguiente: F(t)

O

"t
E C;

Obsérvese que toda distribución resulta infinitamente derivable, uno de los motivos por los cuales ~ es tan importante en matemática,

b + d)

(a, b) (C,d)= (ac - bd , ad

265

+ be)

¿Qué se puede decir de

U'IO

= lito ?, La afirmación correcta es

¡

Llamando = (O, 1) llegamos a (a, O) + i (b, O) =ta, b), Debido a la identificación de con P, el, lado izquierdo de esta igualdad se escribe simplemente a + ib que es la notación usual de los elementos de It,

6{

!F

Pues bien, para extender cada con la funcional lineal

se considera ~ . Cada función

fE!F

es identifi-

i

I

1

,

tP

-1:,'

------'-----,.--'---

-+

-,-,

,:~.,~I-.,_. '

,"

lit~" C~

'_'0:::",

_,

-+

Re

~.-+ tJ¡(to)

En breve necesitaremos conocer la Transformada de Laplace de lito y por causa de la igualdad precedente no será preciso dar la definición de transformada de Laplace de distribuciones; bastará decir que, como en el caso de la derivada, la definición que se dé debe extender aquella conocida para ¡as funciones, preservando el mayor número de propiedades. Con esto en mente, en el ejercicio 17 obtenemos

t: f(t) tP (t) dt

es decir, tomrmos P =, { T 1 I fE !F 1 ; los elementos de P son llamados distribuciones regulares_ En ~ste contexto lito es la distribución definida por

"~',-V·oooc--,.

como se demuestra fácilmente (ver ejercicio NO 16).

Sólo nos falta justificar la manera c;:lásica ,como se presenta lito a través de tim n(Uto u + 1) cuando n -+ "". Para ello mencionaremos sin demostracion el siguiente to -n resultado:

, "

_

Toda distribución lares· , precisamente

A seguir, debido a su simplicidad, daremos la definición de derivada en ~ que deberá

extender aqu~lIa conOCida para las funciones derivables en !F', Para ver esto consideremos f E !F, derivable y sea f' su derivada; pasando a P debemos tener'que la deri-

¡

'vada (a ser definida)" cumplirse

I

1;; "de' T;

en ~

debe ser precisamente Ti, ,es decir debe

I

para todo Aho¡'-a bien, én ~i5ta de la definición de T f ma q u e ' '

@

,

lim

T

r

n +- -.

es el límite de una ~ucesión

9n (t) c¡'l(t)dt = T(I/I)

La validez de este resultado en el caso particular 18, tomando

n!ln'

de distribuciones regu-

para todo oc¡'l e C~'

T = lito

s.edemuestra en eréjercicio

!p E C6

el ejercicio NO 15 al final del capítulo afir· En el caso general, las 9 n no se limitan a ser seccionalmente c,ontí~,~:...

_,

266

IntrcxJucción

8

Transformada :te L aplace

lBs ecullCionBS d"-ncililes

condensador produce diferencia J:ie potencial y recíprocamente.

No Puede dejar de mencionarse que .. . -,~

L:90 (t) dt = 1

Ahora bien, para el condensador el volta1e V (tI yls corriente i(t):

n~1

es, en cierto sentido, la única y más importante propiedad que se usa para demostrar ,que Tg aproxima Ót o o \ver ejercicio 20). Esto establece de manera'rigurosa la afiitñaéi6ñ: "en las funciones que aproximan '~to t no importa tanto 6U forma como el área que encierran", En vista de lo hecho hasta ahora y la aplicaCión clásica dada a lito,· daremos a con \ 9 la siguiente aplicación. Supongamos que un sistema físico presenta una variación súbita de su estado. de valor l,pr.oduciend.o...en...eUnstante t to una respuesta dable de ser aproximada por funciones. Súpongamos además que es posible determinar experimentalmente "situa· ciones" repre~entables por funciones del tiempo fo (t). que actuando sobre el sistema en intervalos de ~iempo cada vez menores. digamos (to. to + ~). producen la misma varia· ción total (de valor 1) en el sistema y determinan respuestas cualitativamente idénticas gr.(t) que dan la aproximación, cadavez mejor. de la respuesta del problema original. lOto

267

*'

=

tene;"osla'~ig'¿ienterelación

entre la carga q(tl, ".~

q(t} ==CV(tl=J '-i(ol da

o

lo que sugiere considerar, para cada n, el sistema adyacente provisto de un generador de corriente

[]

al

Las leyes básicas de la electricidad aseguran que

;

~

de donde se obtiene fácilmente el PV I

.

"

Asimismo se asumeque las "situaciones" fo(t) Y sus respuestas 90(t) aceptan un mismo modelo matemático. digamos por ejemplo que satisfacen un PVI del tipO

-'

~.,t

I - 9n(0) =r

I

Fina1rrienfesupongamos que eXIsta la función ella es SOI~~iórdel PVI

9(t) = lim go (1)

cuando

n ~ oc y que

.. -'._ a g'(1) +. b g(1) = lOto

!,: l-

,,' ...

.'

En estas circunstancias se dirá que lOto' representa aquella variación instantánéa'-del sistema y que; g(t) es la representación de la respuesta del sistema a tal excitación. El último PVI considerado pasará a ser el modelo matemático del problema original,-:

",

Conside~emos el sistema de la figura.

'.'

El lector lpuede verificar .que el sistema del carrito y el émbolo se eocuadra perfectameote eo esquema ~i ~ c~~ - g;,-;;;'Y~'. a= m ." b= r= V o y g= v.

.

. .. o

=

e,

Iti (1-:- e_~___ ~~ __~t _____ ~ ___

"

----(1 iI

Pardo$.a considerar

111 !

Tnmsformada de LapUtce

268

Introducci6n. las ecuBC/One. diferenciales

.'el Cual,: a través

la que nos da el comportamiento de la concentración saliente (respuesta del sistema). Para terminar veamós gráficanienteque conforme n crece,las soluciones Sn (t) y 5(t) difieren cada vez menos a partir de un cierto instanteU'= 10 + 1/n).' ,"

del~ transfoqnada'deLaplace¡ se verifica que es la solución del PVI

u~

" es conveniente simplificar los cálculos, por ello considere·

~i

e V'(t) + l.V(t)=Oli to

lasidea~

Para fijar mejor

R

remos o: = E = 10 =' 1 ,

VIO) =0 -;

269

n = 10.

Tendremos:

Este será entonces el modelo matemático que describe el fenómeno en consideración. SI

Consideremos a continuación el reac· tor de la figura, de volúmen V, sometido a agitación continua e inicialmente "desear· gado" i.e. con ¡~gua pura circulando con una velocidad c. Supongamos una concentra·

o (t) =

\ 10(1 o_

1.052 e-(t-1)

o

ción entrante. ' slt) =

\

E::;!:O

y denotemos con

sn(t)

o