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59

Leyes de Semejanza de las Turbinas

3) Similitud Dinámica.- Todas las fuerzas generadas en el modelo deben ser iguales en dirección y sentido a las fuerzas generadas en el prototipo. 4.3. LEYES DE SEMEJANZA Son parámetros que se utilizan para el estudio de los diversos fenómenos que ocurren en un experimento particular. Sirven para garantizar la semejanza geométrica y dinámica entre el modelo y el prototipo. Los parámetros más comunes son:

4.3.1. El número de Froude. Relaciona:

fuerzas de inercia fuerzas de gravedad

L2V 2 L3 g

V2 Lg

Fr

V Lg

Se utiliza en el estudio de presas, estructuras hidráulicas, flujo en superficie libre, flujo en turbomáquinas (turbinas de acción), etc.

4.3.2. El número de Reynolds. Relaciona:

Re

VL

fuerzas de inercia fuerzas viscosas

L2V 2 VL

LV

VL

, L es una longitud representativa.

En Turbomáquinas L = D, diámetro del rodete y V = u, velocidad periférica. Se utiliza en el estudio de turbomáquinas (turbinas de reacción, bombas), resistencias de flujo, etc.

4.3.3. El número de Euler. Relaciona:

Eu

V 2 p/

fuerzas de inercia fuerzas de presiones

Se utiliza, por ejemplo, en el estudio de flujos alrededor de pilares.

4.3.4. El número de Mach. Relaciona:

Ma

V C

fuerzas de inercia fuerzas elasticas

60

4.3.5. El número de Weber.

We

Relaciona:

V

fuerzas de inercia fuerzas de tension superficial

L

Para una perfecta semejanza dinámica deberán cumplirse las cinco condiciones:

Frm

Frp ; Re m

Re p ; Eum

Eu p ; Mam

Ma p ; Wem

We p

Sin embargo es imposible el cumplimiento de todas las condiciones (salvo con eL = 1); razón por la cual solo se escoge un número que se ajuste más al fenómeno bajo estudio. En los ensayos con turbomáquinas la fuerza preponderante se debe a la viscosidad, por tanto el parámetro representativo es el número el Reynolds.

Entonces para lograr una

similitud dinámica se debe cumplir que:

Re m

Re p

Pero en la práctica aún esto no es posible pues, por ejemplo si se construye un modelo a escala reducida de una bomba a escala eL = 1/5, siendo n = 1 000 rpm la velocidad angular en prototipo entonces se deduce que: Rem = Re Si el fluido

Dpu p

Dmum

p

m

. utilizado en el modelo es el mismo que el utilizado en el prototipo, entonces:

m

p

y por tanto :

Por otro lado, u m

Dpu p Dm nm 60

y

Dmum

up

Dpnp 60

nm

Dp Dm

2

np

Reemplazando los datos se obtiene nm = 25 x 1000 = 25 000 rpm!!! Es decir, en el modelo se requeriría una bomba que girase a 25 000 rpm. En las turbinas el problema que se genera se debe a las proporciones entre el salto en el modelo y el prototipo. Por ejemplo, si se desea ensayar en modelo reducido eL = 1/10 un salto de H = 100 m, usando agua en ambos casos:

61

Leyes de Semejanza de las Turbinas

La velocidad de salida de flujo en el prototipo es: V p

Vm

2 g Hm

De Re m

Re p se tiene que

Vm Lm

V p Lp

m

Vm Lm

y en el modelo

2 g Hp

2 gH m Lm

Vp Lp

, como el fluido es el mismo

m

=

p

entonces:

p

2 gH p L p

Hm

Luego, la altura neta necesaria en el modelo sería:

2

Lp

Hp

Lm

Hm

2

100 x 10

1000 m

Por tanto es imposible mantener la semejanza de Reynolds.

Por estos motivos, en la práctica se supone que “La semejanza geométrica garantiza la semejanza dinámica o mecánica”. Entonces:

Eficiencia m = Eficiencia

p

m

p

Nota.- Las leyes de similitud para turbomáquinas se basan en que las eficiencias del modelo y del prototipo son iguales; pero en la práctica no es cierto pues una máquina más grande es más eficiente porque disminuye la rugosidad relativa de sus conductos. 4.4. EFICIENCIAS DE TURBINAS BASADAS EN LA EXPERIMENTACIÓN EN MODELOS. Conocida la eficiencia en modelo se puede conocer la eficiencia del prototipo según:

MOODY.- Para turbinas Francis y Kaplan:

HUTTON.- Para turbinas Francis y Kaplan:

p

1

1

1

p

Dm Dp

m

1

m

p

1

Hm Hp

D 0,3 0,7 m Dp

CAMERER. - Para turbinas Pelton: 1

1 4

2,3 D p 0,5 m

2,3 Dm0 ,5

1 10

1 5

Hm Hp

1 10

62

Para turbinas Francis y Kaplan:

p

1

1

m

1,4

D p0,5

1,4

D m0 , 5

4.5. Usos de las leyes de semejanza o similitud Las leyes de semejanza sirven para: a) Predecir el comportamiento de una misma máquina cuando varía alguna de sus características. Por ejemplo, en una turbina cuando varía la altura neta cómo se espera que varíe el caudal; en una bomba cuando varía el número de revoluciones cómo variará la altura efectiva. b) Predecir el comportamiento de una máquina de distinto tamaño (prototipo) pero geométricamente semejante a otra (modelo) cuyo comportamiento se conoce (caudal, potencia, etc.) trabajando en las mismas condiciones.

4.6. LEYES DE SEMEJANZA PARA TURBINAS Las tres primeras leyes se refieren a una misma turbina (Dm = Dp) y expresan “La variación de las características de una misma turbina o de turbinas iguales cuando varía la altura neta H”, por ejemplo cuando se usa una rueda Pelton de una central en otra. 1era ley.- “Los números de revoluciones son directamente proporcionales a la raíz cuadrada de las alturas netas”.

nm np

Hm Hp

2da ley.- “Los caudales son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las alturas netas”.

Qm Qp

Hm Hp

3ra ley.- “Las potencias útiles o potencias en el eje son directamente proporcionales a la alturas netas elevadas a 3/2”.

Pam Pa p

3/ 2

Hm Hp

63

Leyes de Semejanza de las Turbinas

Las siguientes tres leyes se refieren a dos turbinas geométricamente semejantes pero con diámetros distintos Dm

Dp y expresan: “La variación de las características de las turbinas

geométricamente semejantes si se mantiene la misma altura neta”

4ta ley.- Los números de revoluciones son inversamente proporcionales a los diámetros

nm np

Dp

u

Dn

Dm

u

H

cte

5ta ley.- “Los caudales son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros”. 2

Qm Qp

Dm Dp

6ta ley.- “Los potencias útiles son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros”. 2

Pam

Dm Dp

Pa p

Las seis fórmulas se pueden relacionar dos a dos de acuerdo a:

nm np

Hm

Dp

Hp

Dm

2

Hm

Qm Qp

Dm Dp

Hp

3/ 2

Pam

Hm Hp

Pa p

Dm Dp

Despejando el término Dm/Dp de la ecuación de nm/np se tiene:

Reemplazando en

3/ 2

Pa m

Hm Hp

Pa p 2

Pam n m H m

5/ 2

Llamando al término

2

Pa p n p H p

Pa

1/2

np

Hm

nm

Hp

2

np

Hm

Pam

np Hm

nm

Hp

Pa p

nm H p

5/ 2

nH

2

Dm Dp

Pam 1/2 nm H m

5/4

ns

5/ 4

2

5/ 2

2

5/ 2

Pa p 1/2 n p H p

5/4

número específico de revolucion es

64

Entonces:

ns m

ns p

Lo que significa que todas las turbinas geométricamente semejantes tienen el mismo número específico de revoluciones. Todas las turbinas geométricamente semejantes constituyen una serie y dentro de ella cada turbina se caracteriza por su tamaño, convencionalmente por un diámetro característico: * Para turbinas Pelton, el diámetro D del rodete. * Para turbinas Francis, el diámetro máximo D 1. * Para turbinas Kaplan, el diámetro exterior del rodete D 1 = D2.

4.7. NÚMERO ESPECÍFICO DE REVOLUCIONES O NÚMERO DE CAMERER Se define como el número de revoluciones a la que debería girar una turbomáquina para suministrar al eje de una turbina o al fluido de una bomba una potencia de 1 CV, en un salto de 1m en condiciones de óptimo rendimiento. Para turbinas:

ns con:

n Pa

1/2

H

5/ 4

n - velocidad angular en rpm

Pa =

H – altura neta en m

Pa =

QH

Pa – potencia en el eje en CV.

Pa =

QH

nS – número específico de revoluciones en m CV. Equivalencia: 1 KW = 1,3592 CV.

También:

ns

3,65 n

Q H -3 / 4

donde

- eficiencia total.

En USA, es común utilizar el valor de n q en lugar de ns, definido por:

QH

Watt Kg m/s / 75 CV

65

Leyes de Semejanza de las Turbinas

nq

n Q1/2 H -3/4

nq –número de revoluciones que debería tener una turbina para evacuar un caudal de 1 m3/s bajo un salto neto de 1m, en condiciones de óptimo rendimiento.

Notas: 1.- Una turbomáquina no tiene solo un punto de funcionamiento (P a, H,

) sino todo un

campo; es decir puede funcionar a diversos números de revoluciones, suministrar o absorber más o menos potencia, etc. por tanto a cada punto de funcionamiento le corresponde un valor de nS. 2.- Al punto nominal o punto de diseño (generalmente de óptimo rendimiento) le corresponde un nS característico. Si no se especifica lo contrario, la ecuación se refiere al punto de óptimo rendimiento

Ejemplo 1 En el ensayo de una turbina Francis se obtuvieron los resultados en el punto de óptimo rendimiento. H = 5 m; Q =1,5 m3/s; n =200 rpm; P a= 55 KW; D1 =750 mm; calcule: a) El rendimiento y el número de revoluciones específico de esta turbina. b) n, Q y Pa si esta turbina se instala en otra central bajo un salto neto de H =15 m.

Solución:

H = 5 m; Q = 1,5 m3/s; n = 200 rpm; Pa = 55 KW = 74,76 CV.

Pa P

a)

Pa QH 1/ 2

nS

n Pa H 5/ 4

55 000 9 806 x 1,5 x5

200 x 74,761 / 2 55 / 4

0,75

231,9 m CV

b) Aplicando las leyes 1,2 y 3 por tratarse de la misma turbina:

np

nm

Qp

Qm

Hp Hm Hp Hm

200 x

15 5

346,4 rpm

1,5 x

15 5

2,60 m 3 / s

66

Pa p

Hp

Pa m

3/ 2

Hm

15 55 000 x 5

3/ 2

285,8 KW

Ejemplo 2 Una turbina fue diseñada para trabajar en las siguientes condiciones: H = 40 m; Q = 100 m3/s; n = 200 rpm;

= 0, 85; f = 60 Hz.

Sin embargo una vez construida hubo necesidad de hacer un cambio en el proyecto consistente en alterar la carga a 25 m en lugar de los 40 m originales. En el nuevo proyecto se desea usar la misma turbina, haciendo los ajustes necesarios para que trabaje con la misma eficiencia o lo más cercano posible a ella. a) Determine los valores de Q, n y Pa necesarios. b) Seleccione entre los cinco generadores disponibles el más apropiado: P = 16, 20, 24, 26 y 28 pares de polos c) Ajuste los valores de n, Q y Pa en función al generador seleccionado.

Solución: Se trata de la misma turbina trabajando en saltos diferentes, entonces Dm = Dp y Hm Modelo

Prototipo

Hm = 40 m

Hp = 25 m

Qm = 100 m3/s

Qp = ¿?

nm = 200 rpm

np = ¿?

m

= 0,85

p

fm = 60 Hz

= 0,85

fp = 60 Hz

La potencia en el eje del modelo se calcula según: Pam =

QH

= 9806 x 100 x 40 x 0,85 = 33 340,4 KW

Utilizando las tres primeras leyes de semejanza para turbinas se obtiene:

np

Qp

nm

Qm

Hp Hm Hp Hm

200

100

25 40

25 40

158,11 rpm

79,06 m 3 / s

Hp

67

Leyes de Semejanza de las Turbinas

Pa p

3/ 2

Hp

Pa m

33 340,4

Hm

25 40

3/ 2

16 473,7 KW

Pero para mantener una frecuencia de 60 Hz es necesario que se cumpla que:

n

60

f P

P

60

60 158,11

22,8 pares de polos

El generador más cercano tiene P = 23 por lo que se usará éste, cambiando n al valor real

n 60

f P

Hp

Hm

Qp

Qm

Pa p

60

60 23

np

Los valores de H, Q y Pa deberán reajustarse también:

2

nm np nm

Pa m

156,52 rpm

Hp Hm

40

100

156, 62 200

2

24,52 m

156, 62 200

78,31 m3 / s

33 340, 4

24,52 40

3/ 2

3/ 2

16001,5 KW

Ejemplo 3 Una turbina Pelton trabaja con los siguientes datos: H = 480 m; Q = 2,8 m3/s; n = 360 rpm;

= 0,82; f = 60 Hz., D = 2,10 m

Determine Q, n y Pa para otra turbina Pelton de la misma fábrica pero que tiene un diámetro de 250 mm y una carga de 600 m, de manera que trabaje en condiciones semejantes a la primera. Si es necesario ajuste el diámetro para obtener un valor factible de n.

Solución: Se trata de turbinas diferentes trabajando en saltos diferentes, entonces D m Modelo

Prototipo

Hm = 480 m

Hp = 600 m

Qm = 2, 8 m3/s

Qp = ¿?

nm = 360 rpm

np = ¿?

Dp y Hm

Hp

68

m

= 0, 82

p

= 0, 82

fm = 60 Hz

fp = 60 Hz

Dm = ¿?

Dp = 2,50 m

La potencia en el eje del modelo se calcula según: Pam =

QH

= 9806 x 2,8 x 480 x 0,82 = 10 807 KW = 14 688,9 CV

La velocidad de giro del generador del prototipo debería ser: np

nm

Hp

Dm Dp

Hm

360

600 480

2,10 2,5

338,09 rpm

lo que exigiría un generador con P

60

60 n

60

60 338,09

10,64 pares de polos

Es decir, habrá que tomar P = 11, que es el valor factible más cercano y n tendrá que valer:

n 60

60 P

60

60 11

327.27 rpm

Como no pueden mantenerse las 338,09 rpm indispensables para mantener la carga de 600m y el diámetro de 2,50m, se permite alterar este último lo necesario para dar la velocidad de giro factible de 327,27 rpm. El diámetro de la turbina deberá ser:

Qp

El caudal necesario será:

La potencia útil será:

Dp

Pa p

Pam

Hp Hm

3/2

Dm

Qm

Dp Dm

Hp Hm

nm np

Hp

Dp

Hm

Dm

2

10 807

2,10

600 480

2,8

600 2,58 480 2,10

2

600 480

3/2

2,58 2,10

360 327,27

2,58 m

4, 78 m3 / s

22 796, 65 KW

Ejemplo 4 Se dispone de un aprovechamiento hidráulico con caudal constante en una corriente que fluye a 750 litros/s; utiliza un salto neto H = 24 m con un grupo turboalternador en acoplamiento directo de 7 pares de polos, siendo el rendimiento global de la instalación del

69

Leyes de Semejanza de las Turbinas

86%, y absorbiendo el referido grupo la aportación diaria del caudal citado durante 4,5 horas ininterrumpidamente, a caudal constante. Con el fin de incrementar la potencia del aprovechamiento hidráulico se incrementa el salto neto utilizado, y se acopla a la misma turbina otro alternador de 6 pares de polos que sustituye al primero. Suponiendo que el rendimiento global no se modifica, se pide: a) La potencia en CV del primer grupo, y el caudal. b) El salto neto a utilizar en el nuevo grupo y nueva potencia. c) El número de horas ininterrumpidas de funcionamiento a caudal constante del nuevo grupo. d) La capacidad de regulación del embalse que necesita el nuevo grupo.

Solución: Modelo

Prototipo

Hm = 24 m

Hp = ¿?

Qm = ¿?

Qp = ¿?

P=7 m

nm = 514,29 rpm

= 0,86

P=6 p

Pa m= ¿?

np = 600 rpm

= 0,86

Pa p= ¿?

a) El río puede aportar un volumen diario al embalse de:

Q x t

0, 75 m3 / s x 86 400 s

64800 m3

el que será utilizado por el grupo del modelo en 4,5 horas a un caudal constante de: Q

t

64800 4,5 x 3600

4 m3 / s

La potencia útil del grupo del modelo es: Pa m

Q H

9806 x4 x 24 x0,86 809,58 KW

b) Como se trata de la misma turbina (Dm = Dp) trabajando en saltos diferentes (Hm

La altura neta del nuevo grupo será: H p

Hm

np nm

2

24

600 514,29

2

32,67 m

Hp)

70

La potencia en el eje será: Pa p

Pa m

Hp

3/ 2

Hm

80 958

32, 67 24

3/ 2

1285, 78 KW

c) El caudal necesario para el nuevo grupo:

Qp

Qm

Hp

1/ 2

4

Hm

32,67 24

1/ 2

4,67 m 3 / s

El número de horas de servicio del nuevo grupo será: t

diario

Q

64 800 4,67

13 875,80 s

3,85 horas

d) La capacidad de regulación del embalse

deberá ser:

regulación

4,67 m3 / s x 4,50 3,85 h x 3 600 s / h 10 927,8m3

Es decir, el embalse deberá ser capaz de almacenar un volumen de 64 800+10 927,8 = 75727,8 m3 para que el nuevo grupo siga funcionando 4,5 horas al día.

Ejemplo 5 Una turbina Pelton se elige para mover un alternador de 5 pares de polos en acoplamiento directo. El chorro de agua tiene un diámetro de 70 mm y una velocidad de 100 m/s. El ángulo de la cuchara es de 170º; la relación de la velocidad tangencial del álabe a la velocidad del chorro es 0,47. El coeficiente de reducción de velocidad CV = 1 y W2 = 0,85W1. Determine: a) Los triángulos de velocidades de entrada y salida b) El diámetro de la rueda en el centro de las cazoletas c) La potencia desarrollada por la turbina y el par motor d) Las alturas de Euler y neta del salto, rendimiento manométrico y número específico de revoluciones. e) El caudal, la potencia, el par motor y la velocidad angular en rpm de una turbina geométricamente semejante a la anterior, con relación de semejanza

= 2, funcionando con

el mismo salto. f) El caudal, la potencia, el par motor y el número de rpm de una turbina geométricamente semejante a la anterior, con relación de semejanza m.

= 2, funcionando con un salto de 1000

71

Leyes de Semejanza de las Turbinas

g) El caudal, la potencia, el par motor y el número de rpm,

=1, para una turbina que tiene

4 inyectores de 50 mm de diámetro, con C1 = 100 m/s, funcionando con el salto neto del apartado (d). h) El caudal, la potencia, el par motor y el número de rpm,

=1, para una turbina que tiene

4 inyectores de 50 mm de diámetro, con C1 = 100 m/s, funcionando con un salto neto 1 000 m.

Solución: La velocidad angular de la turbina, para un acople directo con el generador, es n

60 60 5

Para una frecuencia de 60 HZ, n

La velocidad periférica:

El caudal del chorro: Q

u

C1

0,47C1

4

d2

100

0,47 100

100 m s

u1

u

W 1

1

0,38 m 3 s

El triángulo de salida:

180

2

47 m s

W

2

180 170

0,82W1

10

0,85 53 45, 05 m s

C1 u1 100 47 53 m s

C2m

W2 sen10 45, 05 sen10 7,82 m s

0;

C2u

u2 W2 cos10 47 45,05cos10 2,63 m s

1

0

C2

2

b) El diámetro del rodete D:

u

75,40 rad s

47 m s

0,07 2

4

a) El triángulo de entrada:

C1

2 n 60

720 rpm entonces:

60 f P

D 2

D

2u

2 47 1, 25 m. 75, 4

C2m arctg

2

C 2u

C2 m C2 u

2

7,82 2 arctg

7,82 2,63

2,63 2 71, 41

8,25 m s

de

72 c) La potencia interna:

Pi

Q u W1 cos

W2 cos

1

1000 0,38 47 53 45, 05cos10

2

1738949, 42 W

El momento hidráulico:

M

FX . r

Q W1 cos

W2 cos

1

D 2

2

53 45, 05 cos10

1, 25 2

23 124, 32 Nm

d) La altura neta H:

Cv 2 gH

C1

C12 Cv 2 2 g

H

u1C1u

La altura de Euler: Hu

La eficiencia hidráulica:

12

u 2 C2 u g

Hu H

h

1002 2 9,806

con

Pa

nS

Pi

1738,95 x1,3592

720

2 363,58

12

C1 C 2 u

u

g

466 ,69 509 ,9

El número específico de revoluciones:

509, 90m

54

100 2,63 9,806

466,69 m

0,9153

nS

n Pa1 2 H

2 363,58 mCV para

509,9

47

m

54

1

14, 4 mCV

e) Considerando los datos originales como datos del modelo se tiene: Hm = H p = 509,90 m; nm = 720 rpm; Qm = 0,38 m3/s; Pa m = 1 738,95KW La relación de escalas de longitudes es

= Dp/Dm = 2

Las relaciones de semejanza cuando se conserva la altura neta son:

Qp

Pa p

Qm

Pam

Dp

2

Qm

Dm Dp Dm

2

0,38 22 1, 52 m3 / s

2

Pam

2

1738,95 22

6 955,8 KW

73

Leyes de Semejanza de las Turbinas

Mp

np

Mm

nm

3

Dp

3

Mm

Dm

Dm Dp

1

nm

23124, 32 23 184 994,56 Nm

1

720 2

360 rpm

f) Considerando los datos originales como datos del modelo se tiene: Hm = 509,90 m; H p = 1 000 m; nm = 720 rpm; Qm = 0,38 m3/s; Pa m = 1 738,95KW La relación de escalas de longitudes es

= Dp/Dm = 2

Las relaciones de semejanza para saltos diferentes y diámetros de rodetes diferentes son:

Qp

Pa p

Mp

np

Dp

Qm

Hp

Dm

Dp

Pa m

Hm

2

Dm

Mm

nm

2

Dp Dm

Dm Dp

Hp

3/ 2

Mm

Hm

Hp Hm

2

Pam

Hp

nm

0, 38 22 x

Hm

Hm

3

Hp

2

Qm

1

Hp Hm

3

Hp Hm

Hp Hm

3/ 2

1 000 509, 90

2,12 m3 / s

1000 1738, 95 2 x 509,90

3/ 2

2

23124,32 23 x

720 2 1 x

1000 509,90

1 000 509,90

19 103, 79 KW

362 805,57 Nm

504,15 rpm

g) Manteniendo el salto Hm = Hp = 509,90 m; C1 = 100 m/s;

= 1; turbina prototipo con

cuatro inyectores. Los triángulos de velocidades se mantienen.

np

nm

Dm Dp

Hp Hm

nm

1

Hp Hm

720 1 1 x 1

720 rpm

75, 40 rad / s

Para una turbina con cuatro inyectores de 50 mm de diámetro, el caudal que sale de cada inyector es:

74

d2 4

Q ´ C1

x 0, 052 4

100

0,196 m3 / s

La potencia para un inyector es:

Pa´

Q u W1 cos

1

W2 cos

1000 0,196 47 53 45, 05cos10

2

896 931,81 W

El par motor para un inyector: M´ = P a/ = 896 931,81/ 75,40=11 895,65 Nm Para cuatro inyectores se tiene: Q = 4 Q’ = 4 x 0,196 = 0,784 m3/s Pa = 4 Pa’ = 4 x 896 931,81 = 3 587 727,24 W M = 4 M’ = 4 x 11 895,65 = 47 582,6 Nm h) Para Hm = 509,90 m y Hp = 1 000 m;

Qp

Pa p

Mp

np

Dp

Qm

Hp

Dm

Dp

Pa m

Hm

2

Dm

Mm

nm

2

Dp Dm

Dm Dp

Hp

Mm

Hm

Hp Hm

2

Pam

Hp

nm

0, 784 12 x

Hm

3/ 2

Hm

3

Hp

2

Qm

1

Hp

3/ 2

Hp Hm

Hp Hm

1 000 509, 90

1, 098 m 3 / s

1000 3 587, 73 1 x 509,90 2

Hm

3

=1; turbina prototipo con cuatro inyectores.

47 582,6 13 x

720 1 1 x

1 000 509, 90

1000 509,90

3/ 2

7 898,57 KW

80 525, 64 Nm

1 008, 3 rpm