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• Lis Caballero

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Capítulo 7

LEY DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE (LlCV) La ley de Kirchhoff del voltaje afirma que el voltaje aplicado a un circuiro cerrado es igual a la suma de las caídas de voltaje en ese circuito. Este hecho se usó en el estudio de los circuitos serie y se expresó como sigue: Voltaje aplicado = suma de caídas de voltaje

V...,= V¡+ V2 + VJ

(7-1)

en la cual VA es el voltaje aplicado y V¡, ~ y ~ son caídas de voltaje. Otra manera de expresar la LKV es que la suma algebraica de las subidas de voltaje y las caídas de voltaje debe ser igual a cero. Una fuente de voltaje o fem se considera una subida de voltaje; el voltaje entre los extremos de un resistor se considera una caída de voltaje. A menudo resulta conveniente identificar las fuentes de voltaje con subíndic~s literales y las caídas de voltaje con subíndices numéricos. Esta forma de la ley puede escripirse transponiendo el segundo miembro de la ecuación (7-1) al primer miembro. Voltaje aplicado - suma de las caídas de voltaje = O En símbolos:

v. . -

V¡- V2- v3 = o V...,- (V¡ + V2 + V3j =O

o bien

Usando un nuevo símbolo, E, la letra griega sÍgma mayúscula, tenemos

(7-2)

.IV= VA-_ V¡- V2- VJ =O

";

en la cual E V, la suma algebraica de todos los voltajes en cualquier circuito cerrado es igual a cero. ~significa "la suma de". En la fórmula E V = Oasignamos un signo + a una subida de voltaje y un signo - a una caída de voltaje (Fig. 7-1). Al rastrear las caídas de voltaje en un circuito, iníciese en la terminal negativa de la fuente de voltaje. El cam)lo de la terminal negativa a la terminal positiva a través de la fuente es una subida de voltaje. Continuamos recorriendo el circuito desde la terminal positiva por todos los resistores hasta regresar a la terminal negativa de la fuente. Si en la· figura 7-1 comenzamos en el punto a, la terminal negativa de la batería, y recorremos el circuito en la dirección abeda, pasamos por VA de - a + y VA = + 100 V. Si comenzamos en el punto by nos movemos en la dirección contraria bodcb, pasamos por VA de + a - y VA = - 100 V. La caída de voltaje en cualquier resistencia será negativa (-)si la recorremos en la dirección de + a -. Por lo tanto, si recorremos el circuito de la figura 7-1 en la dirección abcda, V1 = -SO V, V2 = -30 V y ~ = -20 V. La caída de voltaje será positiva si recorremos una resistencia en la dirección de - a +.

b

v1

= 50

v

e

!: V

+ 100 V-_: -

-:.-

=

~~~ -· V1 - V~ ·· v, 100 - 50 -- JO - 20 100 - 100

o' R~ +

a

d

Flg. 7-1.

Ilustración de I: V

=O

102

• ;

LEYES DE KIRCHHOFF

[CAP. 7

Por consiguiente, al recorrer el ci· cuito en la dirección abcda tenemos

IV=O

vA- v.-

V2- vl = o 100- 50 -·30- 20 = o

0=0 Ejemplo 7.1 Determínese la dirección del voltaje al recorrer el circuito abcda (Fig. 7-2) y luego escríbase la expresión para los voltajes del circuito. Supóngase que la dirección de la corriente es la indicada. Márquense las polaridades + y - de cada resistor. V:~ es una fuente de voltaje ( + ). (Es una subida de voltaje en la dirección supuesta de la corriente.) V1 es una caída de voltaje (- ). (Es una disminución en la dirección supuesta.) V2 es una caída de voltaje (- ). (Es una disminución en la dirección supuesta.) V8 es una fuente de voltaje (- ). (Es una disminución del voltaje en la dirección supuesta de la corriente.) V1 es una caída de voltaje (- ). (Es una disminución en la dirección supuesta.)

.IV=O +VA-

v.- vl- Vs-

V]=

o

Agrúpense las subidas y las caídas de voltaje.

•

Nótese que las caídas de voltaje incluyen una fuente de voltaje Vw Normalmente las fuentes son positivas. En este caso, la polaridad de la fuente actúa contra la dirección supuesta de la corriente, por lo que su efecto es disminuir el volraje.

Vz

b

1

+

+

r-

+ W:v

t'ig. 7-2

~

vl

r· -

+ V2

+

+

a

+

1

v.

v,

v. = 3 V

e

V

VA

!SV.~

-I

+ '\Nw V3 2 V

=

u

d

Ilustración de la LKV con dos fuentes

Fla. 7-3

=6 V

r··'

Determinación del voltaje de una fuenie

Ejemplo 7.2 Determínese el voltaje V8 (fig. 7-3). ·· , La dirección del nujo de la corriente está indicada por la flecha. Márquese la polaridad de las caídas de voltaje de los resistores. Recórrase el circuito en la dirección del flujo de la corriente a partir del punto u. Escríb¡¡sc la ecuación de los voltajes en el circuito.

(7-2)

.IV= O Úsense las reglas + y - para las subidas y las caídas de voltaje.

•

VA- V,-

v2-

Va -

v~

=o

Resuélvase para V8 .

Vs == VA -

v. - v2-

V)= 15- 3- 6- 2 = 4 V

Respu!'sfu

Como se encontró que VH es positiv(l, la dirección supuesta de la corriente es efectivamente su tlirccciún reéll.

······-·····---

--

.

--·------·- --·---------- ...,

i LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

103

LEY DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE (LKC) La ley de Kirchhoff de la corriente afirma que la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. Supóngase que tenemos seis corrientes que salen o entran a un punto común o nodo, indicado por P (Fig. 7-4). ·

.

.~..

punto C!lmím, unión, junta o-nodo

Fig. 7-4 ·corrientes que c~inciden en un punto común

Suma de todas las corrientes entrantes = suma de todas las corrientes salientes ..

Sustitúyanse por los simbol 15

{!

-_:-

A-

12

Fig. 7-20

n

;n Fig. 7-21

7.11

Encuéntrense las corrientes de malla / 1 e / 2 y todas las caidas de voltaje pór medio del método de las corrientes de malla (Fig. 7-21). Respuesta / 1 = 5 A; / 2 = 3 A; V1 = 30 V; V, = 30 V; V3 = 60 V; V~ = 6 V; V~ = 9 V; V6 = 15 V ... .

7.12

Encuéntrense ladas las corrientes que pasan por los resistores mediante el método de las corrientes de malla (Fig. 7-22). Respuesta / 1 = 3 A; / 2 = l A; / 1 - / 2 = 2 A (fluyendo de a hacia b)

•

[CAP. 7

LEYES DE KIRCHHOFF

114

•

40

1o

Q

a

1

1

/1

/2

25V~

1/2

1/1

=4 o

20

.~ 2

~60 ~

50

.~

+

o +

~IOV

!OV~

-

1o

-

30

b

b flg •.7-23

Fig. 7-22

7.13

Encuéntrese la corriente en cada resistor, usando el método de las corrientes de malla (Fig. 7-23). Respuesta ~ = 2 A; 4 = - 1 A (la dirección supuesta de la corriente fue incorrecta), o 12 = 1 A en la dirección contraria a las manecillas del reloj;~ + /2 = 3 A (circulando de a a b)

7.14

Encuéntrense ias corrientes / 1 e / 2 y la corriente que pasa por la batería de 20 V usando el método de las corrientes de malla (Fig. 7-24). Respuesta / 1 = 2 A; / 2 = 5 A; 4 - ~ = 3 A (fluyendo de b a a) 30

Q

•

o

1 (}

20

+

~20V

+

• 4

o

10

'

o

+ ~20V -:-

22 V --•

-:;:-

b

o

=~ 10 V +

b Fig. 7-25

Fig. 7-24

7.15

Encuéntrense las corrientes J1 e 4 y la corriente que pasa por el resistor en serie con la batería de 20 V (Fig. 7-25). Úsese el método de las corrientes de malla. Respuesta 11 = -0.1 A (la dirección supues.ta es incorrecta; en realidad,~ va en la dirección contraria a las manecillas del reloj); / 2 = 0.7 A; J 1 + /2 = 0.8 A (fluyendo deba a)

7.16

Encuéntrense las corrientes / 1 e Iz y la corriente que pasa por el resistor de 20 O común a las mallas 1 y 2 . _. (Fig. 7-2~). Úsese el método de las corrientes de malla. Respuesta 11 = 0.6 A; / 2 = 0.4 A; / 1 - 4 = 0.2 A (fluyendo de a a b) a

10 O

~ 20 V=:=:

lS O

07 20

...

•

Q

u

3O

1/2

~~~

/

n

40

2(}

+ +

=9= 10 V

20

o

28 V-=-.

+

...:... 8 V

-1 ~

b Fig. 7-26

1

o

-r b Fig. 7-27

JIOV

.------·--.-- - ·-

-

115

LEYES DE KIRCHHOFF

CAP. 7]

En el circuito mostrado, encuéntrense todas las corrientes por medio del método de la corriente de malla (Fig. 7-27). Respuesta 11 = 6 A; / 2 = 7 A; 12 - / 1 = 1 A (fluyendo de b a a) Encuéntrense todas las corrientes y todas las caídas de voltaje por _medio del método de análisis del voltaje de los nodos (Fig. 7-28). Respuesta / 1 = 5 A; / 2 = - 1 A (contraria a la dirección indicada); i3 = 4 A; V. = 60 V; V2 = 24 V: J..:, =3V

7.17 7.18

R,

R3

v,

v·3 o

~

----';

12 O 1,

+ 84 V-:;--

/2

R,

~20

I,

:::t 21

60

v2

V

80~

+

R2

R3

....

3

/2

R4

+ 12 V--¡:-

V

40

20

R2

l/3

l/3

Fig. 7-28

_.t6v

+

}'ig. 7-29

7.19

Mediante el método del voltaje de los nodos, encuéntrense todas las corrientes y caídas de vollaje (Fig. 7-29). Respuesta / 1 = 1.42 A; /2 = - 1.10 A (opuesta a la direcci6n indicada); / 3 = 0.32 A; V1 = 1.1.4 V; ~ = 0.64 V; V3 .= 2.2 v; V4 = 4.4 v·

7.20

Escríbanse las ecuaciones de malla para e! circuito (Fig. 7-30). No se resuelva el sistema. Respuesta 611 - 212 = lO; -2/1 + 8/2 '--- 2~1 = O; 212 + 6~ = -4 20

2-n _...

.

--- ~

~ o

-:-

+

20

•

-..:-¡::- 4V

~2

20

20

7.il

20

~

+ lO V

•

20

Fig. 7-30 Verifíquense los valores de las corrientes en el circuito que se muestran en la figura 7-23 (problema 7 .13) por medio del método del voltaje de los nodos.

Verifíquense los valores de las corrientes en el circuito de la figura 7-25 (problema 7.15) mediante el método del voltaje de los nodos. 7.23 Encuéntrese la magnitud de todas las 15 o N 50 corrientes y muéstrense sus direcciones en el nodoN(Fig. 7-31). (Sugerencia:~"= 1.67 V.) Respuesta o. 94 A N 0.11 A ts n 20 o 7.22

T

0.83 A

7 24

Si el resistor de 20 n (Fig. 7-31) se sustituye por un resistor de 30 O, ¡,cuál es el voltaje nodal V:v? Respuesta ~" = 3.75 V

+ 30 V--.'-

~15V + G

Fig. 7-31

•