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• Gustavo Zambrano

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Docente: Héctor Muñoz Asignatura matemática Grado: 4to año Unidad educativa “Nuestra Señora Del Valle Objetivo: A partir de una situación establecer la estrategia adecuada para su solución con base en la ley de los senos y ley del coseno. En trigonometría el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo, y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. El teorema del seno, es en trigonometría uno de los enunciados más importantes, debido a las múltiples aplicaciones en el campo de la topografía, la ingeniería, la física. Se aplica en triángulos en los que se conoce la medida de dos de sus lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También se puede aplicar si se conocen la medida de dos de sus ángulos interiores y un lado opuesto a uno de ellos

Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable proceder así: 1. Tratar de imaginarse el problema. 2. Realizar un grafico ilustrativo del problema para mejor su comprensión. 3. Ubicar en el gráfico los datos suministrados por el problema. 4. Aplicar la ecuación del la Ley del Seno. Problema Una antena de radio está sujeta con cables de acero, como se muestra en la figura. Hallar la longitud de los cables.

C Solución:

a Teorema o Ley del Seno

b

En todo triangula ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los Senos de los ángulos opuestos a dichos lados.

a b c   Se Sen Sen

46º 80m

B

a 80m 80m  Sen62º  a  74,3m Sen62º Sen72º Sen72º

 a

Ahora:

b



62º

El ángulo en el vértice C, sería de 72º, de modo que podemos plantear la ley del Seno así:

C

A

A

c



B

b 80m 80m  Sen 46º  b   60,5m Sen 46º Sen72º Sen72º

Recomendaciones: Problemas Propuestos 1

Docente: Héctor Muñoz Asignatura matemática Grado: 4to año Unidad educativa “Nuestra Señora Del Valle 1. Un incendio es detectado por dos puestos de observación A y B, que están separados 30 km. Si el punto de observación B reporta el incendio en un ángulo ABF de 53°, y el punto A lo reporta con un ángulo BAF de 30°. ¿A qué distancia está el incendio del punto A? 2. Un avión vuela entre dos ciudades A y B, si en determinado instante se halla que el ángulo de elevación del avión desde la ciudad A es de 60° y desde la ciudad B es de 48°. Además la distancia entre ambas ciudades es de 120 Km. Realiza un esquema y calcula la distancia del avión hasta cada ciudad en ese preciso instante. 3. En las orillas opuesta de un río se sitúan dos puntos A y B. en la orilla donde está situado el punto A, se determina un segmento de recta AC = 275 m y se miden los ángulos CAB = 125° y ángulo ACB = 48°. Encontrar la longitud de AB.

ángulo ABS = 20°. ¿A qué distancia está el barco de la costa? 7. Un asta de bandera que está colocada sobre la parte superior de un edificio tiene 35 pies de altura. Desde un punto que está en el mismo plano horizontal que la base del edificio, los ángulos de elevación de la parte superior del asta y de la parte inferior de la misma son respectivamente 61° y 56°. Hallar la altura del edificio. Teorema o Ley del Coseno En todo triangula ABC, el cuadrado de la longitud de uno de los lados, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de estos, por el coseno del ángulo comprendido entre dicho lados.

a 2  b 2  c 2  2  b  c  Cos C

4. Una diagonal de un paralelogramo tiene 24,8 unidades de longitud y forma ángulos de 42° y 27° con los lados. Hallar los lados. 5. Dos puntos A y B situados al mismo lado de una carretera distan 30 pies. Un punto C del otro lado de la carretera está situado de manera que el ángulo CAB mide 70° y el ángulo ABC mide 80°. ¿Cuál es el ancho de la carretera?

 a

b



 A

c

B

Recomendaciones: 6. Dos puestos de observación A y B (separados 10 millas) en la costa, vigilan barcos que entran ilegalmente en un limite de 3 millas. El puesto A reporta un barco S en un ángulo BAS = 37° y el puesto B reporta el mismo barco en un

Para la solución de este tipo de problemas, es recomendable seguir las mismas instrucciones propuestos en el teorema o ley del Seno.

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Docente: Héctor Muñoz Asignatura matemática Grado: 4to año Unidad educativa “Nuestra Señora Del Valle Problema En el triángulo siguiente, se dan las medidas de los lados y el ángulo de 30º. Calcular el lado desconocido a C

Solución:

a

30m

En el mar de Gera, hay tres islas. Si sabemos que la distancia entre las islas 1 y 2 es de 18 Km., la distancia entre las islas 1 y 3 es de 22 Km. y además se sabe que el ángulo que se forma desde la isla 1 al mirar hacia las demás islas es de 75°. Entonces: a. Calcular la distancia entre las islas 2 y 3. b. Hallar los ángulos B y C de la gráfica. 3. TRENES:

A

30º

B 40m

a 2  (40m) 2  (30m) 2  2  40m  30m  Cos30º

a 2  421,6m 2  a  421,6m 2

 a  20,5m

Problemas Propuestos

1. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 35° y tienen longitudes de de 3 y 8 pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal mas corta del paralelogramo? 2.

De la estación de tricentenario parten dos trenes, uno hacia el centro con una velocidad de 70 Km. /h y el otro hacia San Javier por la vía de reparaciones con una velocidad de 60 Km. /h. Si se sabe que el ángulo entre las vías es de 35° y que los trenes viajan en línea recta, entonces: a. Realiza un esquema de la situación b. ¿A qué distancia se encontrarán después de media hora de viaje? 4. Y DELE CON LOS TRENES: Dos trenes parten simultáneamente de una estación en diferentes direcciones, uno de ellos viaja a 80 Km. /h y el otro viaja a 100 Km./h. Si se sabe que el ángulo comprendido entre las vías es de 120°. Responde: a. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de dos horas de viaje? b. ¿Qué distancia habrá entre los trenes después de hora y media de viaje

ISLAS PARADISÍACAS: 5. Un solar triangular tiene frentes de 90 pies y 130 pies a dos calles que se cortan en un ángulo de 82°. Hallar el área del solar. 6. Las longitudes de los lados de un solar triangular son de 240 pies y de 300 pies, y el ángulo opuesto al lado mayor mide 75°. Hallar el tercer lado.

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Docente: Héctor Muñoz Asignatura matemática Grado: 4to año Unidad educativa “Nuestra Señora Del Valle 7. Dos trenes parten simultáneamente de una misma estación, en direcciones tales que forman un ángulo de 30º. Uno va a 20 Km. /h y el otro va a 30 km./h. después de dos horas de viaje ¿A que distancia se encuentran? 8. Una carrilera (en línea recta) de 150 km. de longitud tiene por extremos las ciudades C y D; otra carrilera (en línea recta) de 200 km. de longitud, continua el recorrido de la ciudad D a la ciudad E. si las dos carrileras forman entre si un ángulo de 130º, calcule la distancia entre las ciudades C y D 9. Un colegio tiene un parque de forma triangular cuyos lados son de 75m, 85m y 100m respectivamente. Hallar las medidas de los ángulos internos que dichos lados forman entre si. 10. Un faro está situado a 18 km. y a 45° al norte del este de un muelle. Un barco sale del muelle a las 10:0 a.m. y navega hacia el oeste a razón de 24 Km. /h. ¿A qué hora se encontrará a 14 Km. del faro?

masa M, produciéndole una fuerza resultante de 85 Newtons. Calcule el ángulo comprendido entre dichas fuerzas en el punto de aplicación. 12. Las diagonales de un paralelogramo son 10 m y 12 m y forman entre 49° hallar la longitud de los lados. 13. Una escalera de 5,20 metros de largo es colocada a 2 m de la base de un muro inclinado como muestra la figura, y, alcanza una altura de 4,6 m sobre dicho muro. Hállese la inclinación del muro. 14. Hallar el mayor ángulo de un triángulo de lados 4, 7, y 10 cm. 15. ¿Bajo qué ángulo se ve un objeto de 7 m de largo por un observador cuyo ojo está a 5 m de uno de Los extremos del objeto y a 8 m del otro extremo? 16. Los lados de un triángulo son 3,8 y 9. Hallar la altura del triángulo correspondiente al vértice del ángulo más pequeño.

11. Dos fuerzas de 50 Newtons y de 60 Newtons son aplicadas a un cuerpo de LEY DE SENOS 1 Encuentre las partes restantes de cada uno de los triángulos. No se te olvide parar y razonar para saber si hay un triángulo, ninguno o dos triángulos. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

  20°,   80° y c = 7   40°,   76° y a = 10   49° 40´ ,   60°20´ y c = 540   60°, a = 15 y b = 10   112, a = 7 y b = 18   81°, c = 11 y b = 12   47.73°, b = 131.07 c = 97.83   121.624° b = 0.283 c = 0.178   53°20´, a = 140 y c = 115 4

Docente: Héctor Muñoz Asignatura matemática Grado: 4to año Unidad educativa “Nuestra Señora Del Valle 10)   15° , a = 12 y c = 8

LEY DE SENOS 2 PROBLEMAS 1) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una boya situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa? 2) Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.

3) Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña? 4) Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre, hasta la punta de su sobra es de 31° encuentre el ángulo  , como se muestra en la figura, formado por el andén y la horizontal.

35°



sombra

5) Si el hombre del problema anterior está a 22 pies del poste de luz sobre el andén, encuentre la altura del poste.

6) Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 52° con la dirección este. El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 20º con la dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este? 5

Docente: Héctor Muñoz Asignatura matemática Grado: 4to año Unidad educativa “Nuestra Señora Del Valle

7) Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

8) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

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