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• Juan Carlos Gallo Piñeros

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Capítulo 4 | Ley de Ohm, potencia y energía

OFF

OFF

V V

OFF

300mV



))) A



300mV



 )))

A

A

A

A 



V 300mV

))) A

))) A

V

V V

 A

OFF

V

V

300mV



I=3A









I=6A

I=2A

I=4A (b) R = 36 

(a) R = 10 

(c) R = 15 

(d) R = 40 

FIGURA 4-13

I=5A

2

10 V

(a) I = 5 A

2

10 V

(b) FIGURA 4-14 Dos representaciones de la misma corriente.

4-3 Potencia

Representación de la corriente (revisión) Antes de avanzar, comentaremos un aspecto más de la representación de la corriente. Primero, observe que para especificar por completo la corriente se debe incluir tanto su valor como su dirección. (Por esta razón en los diagramas de circuitos se muestran las flechas de referencia de la dirección de corriente.) Por lo general, se muestra la corriente saliendo de la terminal () de la fuente, como en la figura 4-14(a). (En este caso, I  E/R  5 A en la dirección mostrada, que es la dirección real de la corriente). Como se puede observar aquí (y en todos los ejemplos anteriores en este capítulo), es fácil determinar la dirección real de la corriente en redes de una sola fuente. Sin embargo, cuando se analizan circuitos complejos (como los que tienen múltiples fuentes y que se estudiarán en los capítulos posteriores), no siempre es fácil decir por adelantado en que dirección fluirán todas las corrientes. Como un resultado, cuando resuelva estos problemas, encontrará que algunas corrientes tendrán valores negativos. ¿Qué significa esto? Para obtener la respuesta, considere ambas partes de la figura 4-14. En (a) la corriente se muestra en la dirección usual, mientras que en (b) se muestra en la dirección opuesta. Para compensar la dirección invertida, se ha cambiado el signo del valor de I. La interpretación de lo anterior es que una corriente positiva en una dirección es igual que una corriente negativa en la dirección opuesta. Por tanto, (a) y (b) son dos representaciones de la misma corriente. Entonces, si durante la solución de un problema se obtiene un valor positivo para la corriente, esto significa que su dirección real es la que indica la flecha de referencia; si obtiene un valor negativo, su dirección es opuesta a la de la flecha de referencia. Se trata de una idea importante que usará muchas veces en los siguientes capítulos. Se ha presentado en este punto para ayudar a explicar el flujo de potencia en el carro eléctrico del ejemplo 4-9 que verá a continuación. Sin embargo, aparte de este ejemplo, se deja esta consideración a un lado y se le usará en capítulos posteriores. Es decir, en lo que resta de este capítulo se continuará usando la representación de la figura 4-14(a). La potencia es familiar para todos, al menos de una manera general. Se sabe, por ejemplo, que los calentadores eléctricos y los focos están especificados en watts (W) y que los motores se especifican en caballos de potencia (o watts), ambas unidades de potencia, como se estableció en el capítulo 1. También se sabe que entre más alta sea la especificación de watts en un dispositivo, se puede obtener de él más energía por unidad de tiempo. La figura 4-15 ilustra

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Sección 4-3 | Potencia

Entra aire frío

Elemento calefactor eléctrico

Ventilador

P

(a) Un foco de 100 W produce más energía luminosa por segundo que uno de 40 W

Sale energía mecánica

P

Sale aire caliente

(c) Un motor de 10 hp puede realizar más trabajo en un determinado tiempo que un motor de ½ hp

P (b) Secadora de aire

FIGURA 4-15 Conversión de energía. La potencia P es una medida de la tasa de conversión de energía.

la idea. En (a), entre mayor es la capacidad de potencia de la lámpara, mayor energía luminosa produce por segundo. En (b), entre mayor es la capacidad de potencia del elemento calefactor, más energía calorífica produce por segundo. En (c), entre mayor es la capacidad de potencia del motor, más trabajo mecánico realiza por segundo. Como se ve, la potencia está relacionada con la energía, que es la capacidad para realizar trabajo. De manera formal, la potencia se define como la tasa o rapidez a la cual se hace trabajo o, de manera equivalente, como la rapidez de transferencia de energía. El símbolo para la potencia es P. Por definición, W P   t

[watts, W]

(4-7)

N O TA S . . . 1. Ya que el denominador de la ecuación 4-7 representa un intervalo de tiempo, matemáticamente sería más apropiado usar t en lugar de t. De manera similar, ya que el numerador representa una cantidad de trabajo realizado durante este intervalo, sería más apropiado usar

W. En esta notación, la potencia se expresaría como P  W

t

donde W es el trabajo (o energía) en joules y t es el intervalo de tiempo correspondiente de t segundos (véase las Notas). La unidad SI de la potencia es el watt. A partir de la ecuación 4-7, se observa que P también tiene unidades de joules por segundo. Si se sustituye W  1 J y t  1 s, se obtiene P  1 J/1 s  1 W. A partir de esto, se puede ver que un watt es un joule por segundo. En ocasiones se necesitará expresar la potencia en caballos de fuerza. Para hacer la conversión recuerde que 1 hp  746 watts.

Potencia en sistemas eléctricos y electrónicos Ya que nuestro interés se centra en la potencia eléctrica, se necesitan expresiones para P en términos de otras cantidades eléctricas. Recuerde que en el capítulo 2 se definió al voltaje como trabajo por unidad de carga y la corriente como la tasa de transferencia de carga, esto es W V   Q

(4-8)

Q I   t

(4-9)

y

A partir de la ecuación 4-8, W  QV, si se sustituye en la ecuación 4-7 se obtiene P  W t  (QV) t  V(Q t). Al reemplazar Q/t por I, se obtiene P  VI [watts, W]

(4-10)

P  EI [watts, W]

(4-11)

y para una fuente,

(4-7a)

Sin embargo, en textos básicos de análisis de circuitos, como éste, es común expresar la potencia como en la ecuación 4-7 y continuaremos haciéndolo así. No obstante, en capítulos posteriores donde se es apropiado hacerlo, se cambiará a la forma representada por la ecuación 4-7a. 2. El símbolo para la energía es W y la abreviatura para watts es W. En tecnología es común asignar múltiples usos a un símbolo. En tales casos se debe observar el contexto en el cual se usa el símbolo para determinar su significado.

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Capítulo 4 | Ley de Ohm, potencia y energía

Al sustituir V  IR e I  V/R en la ecuación 4-10 se obtienen otras relaciones P  I 2R [watts, W]

(4-12)

V2 P   R

(4-13)

y

EJEMPLO 4-6

[watts, W]

Calcule la potencia suministrada al calefactor eléctrico de la figura 4-16. Use las tres fórmulas de potencia eléctrica. I  E = 120 V

R = 12 

V = 120 V  Calefactor

FIGURA 4-16 La potencia en la carga (es decir, el calefactor) se puede calcular con cualquiera de las fórmulas de potencia.

I  V R  120 V 12   10 A.. Por tanto la potencia puede calcularse como sigue:

Solución

a. P  VI  (120 V)(10 A)  1 200 W b. P  I 2R  (10 A)2(12 )  1 200 W c. P  V 2 R  (120 V)2 12   1 200 W Observe que, como debe ser, se obtiene la misma respuesta.

EJEMPLO 4-7

Use la ecuación 4-13 para calcular la potencia en cada resistor de la figura 4-17. I

R1 = 20 

 V1 = 10 V 

R2 = 100 

 V2 = 50 V 

FIGURA 4-17

Solución Se debe usar el voltaje adecuado en la ecuación de potencia. Para el resistor R1, use V1; para R2, use V2. a. P1  V12 R1  (10 V)2 20   5 W b. P2  V 22 R2  (50 V)2 100   25 W

Sección 4-3 | Potencia Si el motor de cd de la figura 4-15(c) demanda 6 A de una fuente de 120 V,

EJEMPLO 4-8

a. Calcule su entrada de potencia en watts. b. Si se considera que el motor tiene una eficiencia de 100% (es decir, que toda la potencia eléctrica suministrada al motor se traduce en salida como potencia mecánica), calcule su salida de potencia en caballos de fuerza. Solución a. Pent  VI  (120 V)(6 A)  720 W b. Psal  Pent  720 W. Convirtiendo a caballos de fuerza, Psal  (720 W) (746 W hp)  0.965 hp.

a. Demuestre que I  b. c. d. e.

R

PROBLEMAS PRÁCTICOS 3

P

Demuestre que V  P R  Un resistor de 100  disipa 169 W. ¿Cuál es su corriente? Un resistor de 3  disipa 243 W. ¿Cuál es el voltaje en el resistor? Para la figura 4-17, I  0.5 A. Use las ecuaciones 4-10 y 4-12 para calcular la potencia en cada resistor. Compare sus respuestas con las del ejemplo 4-7.

Respuestas c. 1.3 A; d. 27 V; e. P1  5 W, P2  25 W (la misma)

Especificación de potencia en resistores Los resistores deben ser capaces de disipar con seguridad el calor sin dañarse; por esta razón se especifican en watts. (Por ejemplo, los resistores de carbón compuesto del tipo que se usa en electrónica se fabrican con especificaciones estándar de 1⁄8, 1⁄4, 1⁄2, 1 y 2 W, como se vio en la figura 3.8.) Para proporcionar un margen de seguridad, se acostumbra seleccionar un resistor que sea capaz de disipar dos o más veces su potencia calculada. Un resistor que se especifica en exceso operará un poco más frío.

U

n resistor seleccionado en forma adecuada es capaz de disipar el calor con seguridad sin llegar a calentarse en exceso. Sin embargo, si por causa de un mal diseño o falla de otros componentes su corriente llega a ser excesiva, puede resultar en un sobrecalentamiento y dañarlo, como se muestra en la figura 4-18. Un síntoma de sobrecalentamiento es que la temperatura del resistor se eleva notablemente más que la de otros resistores en el circuito. (Sin embargo, sea cuidadoso, ya que puede quemarse si trata de tocarlo.) Una falla del componente también puede detectarse al olerlo. Los componentes quemados tienen un olor característico que se puede reconocer con rapidez. Si detecta cualquiera de estos síntomas, apague el equipo y busque la fuente del problema. Sin embargo, tenga en cuenta que un componente sobrecalentado es con frecuencia el síntoma de un problema más que la causa del mismo.

FIGURA 4-18 El resistor a la derecha se ha dañado por sobrecalentamiento.

NOTAS PRÁCTICAS . . .

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Capítulo 4 | Ley de Ohm, potencia y energía

Medición de potencia La potencia puede medirse usando un dispositivo llamado watímetro. Sin embargo, ya que los watímetros se usan principalmente para mediciones de potencia de ca, se estudiarán hasta el capítulo 17. Rara vez se necesitará un watímetro para circuitos de cd, ya que la potencia se puede determinar directamente como el producto del voltaje por la corriente y V e I se miden con facilidad.

4-4 Convención de la dirección de la potencia

Para los circuitos con una fuente y una carga, la energía fluye desde la fuente hacia la carga y la dirección de transferencia de potencia es obvia. Sin embargo, para los circuitos con múltiples fuentes y cargas, la dirección del flujo de energía en algunas partes de la red no es del todo evidente. En consecuencia, es necesario establecer una convención de la dirección de transferencia de potencia claramente definida. Una carga resistiva (figura 4-19) se puede usar para ilustrar esta idea. Como la dirección del flujo de potencia puede ser sólo hacia el resistor y nunca saliendo de él (ya que el resistor no produce energía), se define que la dirección positiva de transferencia de potencia va desde la fuente hacia la carga, como en (a), y se indica por medio de una flecha: P→. Entonces, se adopta la convención de que, para las polaridades de voltaje y las direcciones de corriente y de potencia relativas que se muestran en la figura 4-19(a), cuando la transferencia de potencia es en la dirección de la flecha, es positiva, mientras que si está en la dirección opuesta es negativa. Para ayudar a interpretar la convención, considere la figura 4-19(b), en la cual se resaltan las terminales de la fuente. Se observa que la potencia que sale de una fuente es positiva cuando ambas flechas de corriente y potencia apuntan hacia afuera de la fuente, tanto I como P tienen valores positivos y el voltaje de la fuente tiene la polaridad indicada. Ahora considere la figura 4-19(c), en la cual se resaltan las terminales de la carga. Observe la polaridad relativa del voltaje de la carga y la dirección de las flechas de la corriente y la potencia. A partir de esto, se observa que la potencia hacia una carga es positiva cuando las flechas de dirección de la corriente y de la potencia apuntan hacia adentro de la carga, ambas tienen valores positivos y el voltaje de la carga tiene la polaridad que se indica. En la figura 4-19(d) se ha generalizado el concepto. La caja puede contener una fuente o una carga. Si P tiene un valor positivo, la transferencia de potencia es hacia adentro de la caja; si P tiene un valor negativo, su dirección es hacia afuera.

I

E

P

I

R

 V 

P

R

 V 

I

I

(a) Transferencia de potencia

(c) Terminales de la carga E

P

(b) Terminales de la fuente FIGURA 4-19 Convención de referencia para la potencia.

 P

V 

Fuente o carga

(d) Generalización

Sección 4-5 | Energía Use la convención de la dirección de potencia para describir la transferencia de potencia para el vehículo eléctrico de la figura 4-20.

Baterías

EJEMPLO 4-9

Control Motores de empuje

P (a)

I E

I 

P

 Baterías

V

Motores

(b)

E



P

 Baterías

V

Generador

(c)

FIGURA 4-20

Solución Durante la operación normal, las baterías suministran potencia a los

motores y la corriente y la potencia son positivas, figura 4-20(b). Sin embargo, cuando el vehículo avanza cuesta abajo, sus motores son impulsados por el peso del vehículo y actúan como generadores, como en (c). Ya que los motores actúan ahora como la fuente y las baterías como la carga, la dirección verdadera de la corriente es opuesta a la dirección que indica la flecha de referencia que se muestra y entonces es negativa (recuerde la figura 4-14). Entonces, P  VI es negativa; por tanto, la interpretación es que la transferencia de potencia se da en la dirección opuesta a la flecha de referencia. Por ejemplo, si V  48 volts e I  10 A, entonces P  VI  (48 V)(10 A)  480 W. Esto es consistente con lo que está pasando, ya que menos 480 W hacia los motores es lo mismo que más 480 W afuera. Estos 480 W de potencia fluyen desde los motores a las baterías, ayudando a cargarlas cuando el coche va cuesta abajo.

Antes (ecuación 4-7) se definió la potencia como la tasa a la cual se realiza trabajo. Cuando se transpone esta ecuación, se obtiene la fórmula de la energía: W  Pt

(4-14)

Si t se mide en segundos, W tiene unidades de watt-segundo (es decir, joules, J), en cambio, si t se mide en horas, W tiene unidades de watt-hora (Wh). Observe que en la ecuación 4-14, P debe ser constante a lo largo del intervalo de tiempo que se considera. Si no lo es, aplique la ecuación 4-14 a cada intervalo durante el cual P es constante, como se describirá después en esta sección. (Para el caso más general, se necesita saber de cálculo, lo cual no se considera aquí.)

4-5 Energía

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Capítulo 4 | Ley de Ohm, potencia y energía

El ejemplo más familiar del uso de la energía es la que se consume en las casas a cambio de un pago. Esta energía se usa en las lámparas y aparatos domésticos. Por ejemplo, si se enciende un foco de 100 W por 1 hora, la energía consumida es W  Pt  (100 W)(1 h)  100 Wh, mientras que si se pone a funcionar un calentador eléctrico de 1500 W por 12 horas, la energía consumida es W  (1500 W)(12 h)  18 000 Wh. Este ejemplo ilustra que el watt-hora es una unidad demasiado pequeña para propósitos prácticos. Por esta razón, se usa el kilowatt-hora (kWh). Por definición energía(Wh) energía(kWh)   1000

(4-15)

Por tanto, para el ejemplo anterior, W  18 kWh. En la mayor parte de América del Norte, el kilowatt-hora (kWh) es la unidad que se usa en los recibos de luz. Para múltiples cargas, la energía total es la suma de las energías de las cargas individuales.

EJEMPLO 4-10

Determine la energía total que usada en un foco de 100 W por 12 horas y un calentador de 1.5 kW por 45 minutos. Solución Se convierten las cantidades a las mismas unidades, esto es, se convierte 1.5 kW en 1500 W y 45 minutos en 0.75 h. Entonces, W  (100 W)(12 h)  (1500 W)(0.75 h)  2 325 Wh  2.325 kWh De manera alternativa, primero se convierten todas las potencias a kilowatts. Entonces, W  (0.1 kW)(12 h)  (1.5 kW)(0.75 h)  2.325 kWh

EJEMPLO 4-11

Suponga que se usan los siguientes aparatos domésticos: un calentador de 1.5 kW por 71⁄2 horas; una parrilla de 3.6 kW por 17 minutos; tres focos de 100 W por 4 horas y una tostadora de 900 W por 6 minutos. Si el costo por kilowatt-hora es de $0.09, ¿cuánto cuesta el consumo total? Solución

Se convierte el tiempo de minutos en horas. Entonces,

 

 

17 6 W  (1500)(71⁄2 )  (3 600)   (3)(100)(4)  (900)  60 60  13 560 Wh  13.56 kWh costo  (13.56 kWh)($0.09 kWh)  $1.22

En las áreas del mundo donde el sistema SI se usa de manera cotidiana, el megajoule (MJ) se usa algunas veces en lugar del kWh (ya que el kWh no es una unidad SI). La relación es 1 kWh  3.6 MJ.

Medidor de watts-hora En al práctica, la energía se mide en los medidores de watts-hora, muchos de los cuales son dispositivos electromecánicos que incorporan un pequeño motor eléctrico cuya velocidad es proporcional a la potencia en la carga. Este motor maneja un conjunto de diales a través de un tren de engranes (figura 4-21).

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Sección 4-6 | Eficiencia

FIGURA 4-21 Medidor de watts-hora. Este usa un tren de engranes para manejar los diales. Los medidores más modernos tienen pantallas digitales.

Ya que el ángulo a través del cual giran los diales depende de la velocidad de rotación (es decir, la potencia consumida) y del tiempo en el que esta potencia fluye, la posición del dial indica la energía usada. Sin embargo, observe que los dispositivos electromecánicos son el antecedente de los medidores electrónicos, los cuales realizan esta función de manera electrónica y despliegan el resultado en pantallas digitales.

Ley de la conservación de la energía Antes de concluir esta sección, se considera la ley de la conservación de la energía. Establece que la energía no se crea ni se destruye, sino se convierte de una forma en otra. Antes ya se vieron ejemplos de esto, como la conversión de energía eléctrica en energía calorífica por un resistor, y la conversión de energía eléctrica en energía mecánica por un motor. De hecho, se pueden producir varios tipos de energía de manera simultánea; por ejemplo, la energía eléctrica es convertida en energía mecánica por un motor, pero también se produce algo de calor. Esto resulta en una baja de eficiencia, un tema que consideraremos enseguida.

Una pobre eficiencia da como resultado desperdicio de energía y costos más altos. Por lo general, la potencia es más fácil de medir, por esa razón es la que usualmente se usa. La eficiencia de un dispositivo o sistema (figura 4-22) se define como la razón entre la potencia de salida Psal y la potencia de entrada Pent, se suele expresar en porcentaje y se denota por la letra griega h (eta). Entonces, Psal h    100% Pent

4-6 Eficiencia Ppérdidas

(4-16) Pent

En términos de energía Wsal h    100% Went

(4-17)

Dispositivo o sistema

Psal

FIGURA 4-22 La potencia de entrada es igual a la potencia de salida más las pérdidas.