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Universidad de Guadalajara CUCEI Ley de los Gases ideales

Kevin Stringlo Prida Daisy Zepeda Garc´ıa 25 de febrero de 2010

´Indice 2.

Ley de los Gases Ideales 2.1. Marco te´ orico . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ley de Gas Ideal . . . . . . . . . 2.1.2. Ley de Charles . . . . . . . . . . 2.1.3. Ley de Boyle-Mariotte . . . . . . 2.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Protocolo y dispositivos experimentales 2.3.1. Ley de Charles . . . . . . . . . . 2.3.2. Ley de Boyle-Mariotte . . . . . . 2.4. Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. An´ alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Ley de Charles . . . . . . . . . . 2.5.2. Ley de Boyle-Mariotte . . . . . . 2.6. Conclusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 7

2. 2.1. 2.1.1.

Ley de los Gases Ideales

Marco te´ orico Ley de Gas Ideal

La ley de gas ideal es una ecuaci´ on de estado de un gas hipot´etico (ideal). Es una buena aproximaci´ on al comportamiento de varios gases bajo algunas condiciones. Este gas esta formado por part´ıculas puntuales, sin atracci´ on ni repulsi´ on entre ellas y cuyos choques son perfectamente el´asticos. Los gases reales que m´ as se aproximan al comportamiento del gas ideal son los gases monoat´omicos en condiciones de baja presi´ on y alta temperatura. Experimentalmente, se observa una serie de relaciones entre la temperatura, la presion y el volu´ men, estas relaciones dieron lugar a la ley de los gases ideales, deducida por primera vez por Emile Clapeyron en 1834. El gas ideal tiene las siguientes propiedades: 1. Todo gas ideal est´ a formado por peque˜ nas part´ıculas puntuales (´atomos o mol´eculas) 2. Las mol´eculas gaseosas se mueven a altas velocidades, en forma recta y desordenada. 3. Un gas ideal ejerce una presi´ on continua sobre las paredes del recipiente que lo contiene, debido a los choques de las part´ıculas con las paredes de ´este. 4. Los choques moleculares son perfectamente el´asticos. No hay p´erdida de energ´ıa cin´etica. 5. No se tienen en cuenta las interacciones de atracci´on y repulsi´on molecular. 6. La energ´ıa cin´etica media de la translaci´on de una mol´ecula es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas. La ecuaci´ on actual del gas ideal es 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 donde 𝑝 es la presion absoluta del gas; 𝑉 es el volumen del gas; 𝑛 es la cantidad de sustancia del gas usualmente medido en moles; 𝑅 es la constante de los gases ideales (8.314472 J⋅K−1 ⋅mol−1 ); y 𝑇 es la temperatura absoluta. 2.1.2.

Ley de Charles

La ley de charles relaciona el volumen y la temperatura de una cierta cantidad de gas ideal, mantenido a una presi´ on constante, mediante una constante de proporcionalidad directa. En esta ley, Charles dice que a una presi´ on constante, al aumentar la temperatura, el volumen del gas aumenta y al disminuir la temperatura el volumen del gas disminuye. Esto se debe a que “temperatura”significa movimiento de las part´ıculas. As´ı que, a mayor movimiento de las part´ıculas (temperatura), mayor volumen del gas. La ley fue publicada primero por Louis Joseph Gay-Lussac en 1802, pero hac´ıa referencia al trabajo no publicado de Jacques Charles, de alrededor de 1787, lo que condujo a que la ley sea usualmente atribuida a Charles. Su expresi´ on algebraica es 𝑉 = 𝑘𝑇 donde el volumen 𝑉 es proporcional a una constante 𝑘 por la temperatura 𝑇 .

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2.1.3.

Ley de Boyle-Mariotte

La ley de Boyle-Mariotte relaciona el volumen y la presi´on de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante. La ley dice que el volumen es inversamente proporcional a la presi´on: 𝑝=

𝑘 𝑉

donde k es constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes. Cuando aumenta la presi´ on, el volumen disminuye, mientras que si la presi´on disminuye el volumen aumenta.

2.2.

Objetivos Recordar la ley de los gases ideales y aprender sus consecuencias. Verficar experimentalmente la ley de Charles (proceso a presi´on constante). Verificar experimentalmente la ley de Boyle-Mariotte (proceso a temperatura constante).

2.3.

Protocolo y dispositivos experimentales

Esta pr´ actica se divide en dos experimentos: 2.3.1.

Ley de Charles

Los dispositivos utilizados son: Computadora con DataStudio e interfase

Mangueras

Ba˜ no Mar´ıa

Cilindro

Aparato de las leyes de los gases ideales PASCO C´ amara de aire PASCO

Sensor de presi´on PASCO (presi´on absoluta 0 - 700 kPa) Term´ometro (de mercurio, num´erico o de PASCO)

Para montar el experimento se utiliza el siguiente protocolo: 1. Primero se coloca el aparato de los gases ideales (AGI) horizontalmente, de esta manera se trabaja con la presi´ on atmosf´erica, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1: Foto que muestra como se conecta el cilindro y el AGI 2. Posteriormente se utilizan las mangueras para conectar el cilindro al AGI, de esta manera la presi´ on que ejercen las variaciones del volumen de gas dentro del cilindro podr´an ser registradas por el. 3

3. Con otra mangera se une el AGI con el sensor de presi´on PASCO. (Solo para verificar que el proceso se realice a presi´ on constante). 4. Se toma el cilindro y se sumerge completamente en el agua del ba˜ no maria, poniendo especial cuidado en que el cilindro no toque las paredes del ba˜ no Mar´ıa. Como el agua tiene una temperatura distinta a la del ambiente habr´a un cambio de volumen, esperar unos instantes a que el gas dentro del cilindro y el AGI se pongan en equilibrio t´ermico con el agua. 5. Se verifica que el AGI marque un volumen de 0𝑚𝑙, de no ser as´ı, desconectar una manguera y empujar el pist´ on del AGI de tal manera en que este marque 0𝑚𝑙. Tener cuidado en que el tornillo del pist´ on este lo suficientemente flojo para que este no oponga resistencia al movimiento del pist´ on. 6. Colocamos el term´ ometro en un punto fijo dentro del agua tambi´en. 7. Encender el ba˜ no Mar´ıa. 8. Para tomar los datos se registra la temperatura que tiene el agua dentro del ba˜ no Mar´ıa cada que el volumen del AGI aumente 1𝑚𝑙. 2.3.2.

Ley de Boyle-Mariotte

Los dispositivos utilizados son: Jeringa con graduaciones Computadora con DataStudio e interfase Sensor de presi´ on PASCO (presi´ on absoluta 0 - 700 kPa) Protocolo: Con la extremidad de la jeringa al aire libre, ponga el volumen m´aximo del aire en la jeringa, como se muestra en la Figura 2, esperamos antes de conectarlo al sensor de presi´on. Verifique que la presi´ on le´ıda por el sensor sea igual a la presi´on atmosf´erica. Posteriormente se aprieta la jeringa y se anota el valor de presi´ on correspondiente a cada valor de volumen.

Figura 2: Foto que muestra el arreglo para la segunda parte del experimento

2.4.

Mediciones

En el experimento de la ley de Charles se obtuvieron los siguientes datos

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Δ𝐷 (𝑚𝑚) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 18

T (∘ 𝐶) 28.8 33.2 36.4 40.0 45.3 49.3 52.7 57.2 61.5 65.8 69.3 73.4 77.1 85.9 89.9

𝜃 (𝐾) 301.95 306.35 309.55 313.15 318.45 322.45 325.85 330.35 334.65 338.95 342.45 346.55 350.25 359.05 363.05

Δ𝑉 (𝑚𝑚3 ) 1659.15 2488.73 3318.31 4147.88 4977.46 5807.04 6636.61 7466.19 8295.77 9125.34 9954.92 10784.50 11614.08 14102.81 14932.38

Cuadro 1: Δ𝐷 es el desplazamiento del pist´on del AGI, T es la temperatura en grados Celsius, 𝜃 temperatura en Kelvin y Δ𝑉 el incremento de volumen en el AGI.

En el experimento de la ley de Boyle-Mariotte se obtuvieron los siguientes datos 𝑉 (𝑚𝑙) 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20

𝑃 (𝑘𝑃 𝑎) 164.1 151.1 139.6 128.9 120.0 111.2 100.1 94.8 89.9 84.5

Δ𝑃 (𝑘𝑃 𝑎) 0.08 0.25 0.21 0.22 0.21 0.09 0.14 0.20 0.17 0.12

1/𝑉 (1/𝑚𝑙) 0.100 0.091 0.083 0.077 0.071 0.067 0.059 0.056 0.053 0.050

Cuadro 2: 𝑉 es el volumen del aire contenido en la jeringa ; 𝑃 es la presi´on del gas dentro de la jeringa; Δ𝑃 la incertidumbre asociada a la presi´on y 1/𝑉 el inverso del volumen.

2.5. 2.5.1.

An´ alisis Ley de Charles

Con los valores de las columnas del incremento de volumen (𝑚𝑚3 ) y temperatura (𝐾) del Cuadro 1 se obtuvo la siguiente gr´ afica.

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Figura 3: Gr´ afica que muestra el incremento experimental del volumen en funci´on de temperatura. En la Figura3 se observa que la gr´ afica tiene un comportamiento lineal. Esta gr´afica tiene un desplazamiento de volumen debido a que solo se gr´afico el incremento de volumen, pero no es necesario conocer el volumen total (𝑉𝑇 ) del sistema, debido a que la pendiente de dichos puntos, tendr´a la misma pendiente pero con un desplazamiento de 𝑉𝑇 De aqu´ı se observa que la pendiente es de 213.085 𝑚𝑚3 /𝐾. La ley de Charles dice que 𝑉 = 𝑘𝑇 donde 𝑘 es una constante. Si se considera nuestro gas como un gas ideal se puede usar la ecuaci´ on de estado 𝑉 = 𝑛𝑅 𝑝 𝑇 , que al comparar con la ley de Charles se 𝑛𝑅 observa que, 𝑘 = 𝑝 , de aqui vemos que despejando 𝑛 se puede obtener el numero de moles de nuestro sistema. Haciendo el cambio correspondiente de unidades de 𝑚𝑚3 a 𝑚3 de nuestra pendiente, ademas, considerando que la presi´ on en nuestro proceso fue de 85358.96 Pa , que se mantuvieron constantes durante nuestras mediciones. Se obtiene que 𝑛 ≈ 2.18 × 10−3 𝑚𝑜𝑙. Calculando el volumen total de nuestro sistema antes de que este comience a expanderse, considerando que el di´ ametro del cilindro utilizado en el ba˜ no mar´ıa fue de 31,84𝑚𝑚 con una altura de 46,2𝑚𝑚, y las mangueras utilizadas en el experimento tuvieron un diametro de 3,3𝑚𝑚 y el largo de las mangueras fue de 35𝑚𝑚, teniendo que nuestro volumen total inicial es de 39773.8𝑚𝑚3 y considerando nuestro gas como ideal se tiene que: 𝑝𝑉 𝑛= 𝑅𝑇 y consideranto la temperatura ambiente de 292,45𝐾 y la presi´on de 85358.96 Pa se obtiene que 𝑛 ≈ 1,40 × 10−3 𝑚𝑜𝑙. Lo cual nos da una diferencia de 7,8 × 10−4 𝑚𝑜𝑙 que es relativamente peque˜ na. 2.5.2.

Ley de Boyle-Mariotte

En el experimento de Boyle-Mariotte se usaron los datos de la columna de presi´on e inverso del volumen del Cuadro 2, para realizar la gr´afica de la Figura 4. De la ley de Boyle-Mariotte se tiene que 𝑝=𝑘

1 𝑉

En la gr´ afica de la Figura 4 se hizo un cambio de variable de 𝑉 ′ = 𝑉1 de tal manera que la gr´afica tuviera una forma lineal, la pendiente de esta gr´afica es de 1593.15 𝑘𝑃 𝑎 ⋅ 𝑚𝑙. Comparando la ley de 6

Figura 4: Gr´ afica que muestra la presi´on (𝑘𝑃 𝑎) en funci´on del inverso del volumen (1/𝑚𝑙). Boyle-Mariotte con la ecuaci´ on de gas ideal se obtiene que 𝑘 = 𝑛𝑅𝑇 . La temperatura a la cual se realizo el experimento fue de 292.45 𝐾, 𝑅 = 8314 𝑚𝑙 ⋅ 𝑘𝑃 𝑎 ⋅ 𝑚𝑜𝑙−1 𝐾 −1 y despejando 𝑛 de la ultima relaci´ on se obtiene que 𝑛 ≈ 6,55 × 10−4 𝑚𝑜𝑙. De la ecuaci´ on del gas ideal se obtiene que 𝑛=

𝑝𝑉 𝑅𝑇

y tomando que el estado incial de la jeringa con una presi´on de 84.5 𝑘𝑃 𝑎 con un volumen de 20𝑚𝑙 y temperatura de 292.45 𝐾 se obtiene que 𝑛 ≈ 6,95 × 10−4 𝑚𝑜𝑙. La diferencia entre el valor te´orico y el valor real es de tan solo 4 × 10−5 𝑚𝑜𝑙.

2.6.

Conclusi´ on

En el experimento de la ley de Charles se observa que el sistema termodin´amico utilizado se comporta de manera lineal en un proceso isot´ermico. Las diferencias entre el valor experimental y el valor te´ orico es muy peque˜ na, por lo tanto, se verific´o la ley de Charles. Para mejorar esta pr´actica se recomienda evitar todas las fugas en las mangueras de nuestro sistema. Se recomienda que el cambio de temperatura sea de manera mas lenta, de esta manera se garantiza que sea un proceso cuasiest´atico. En el experimento de la ley de Boyle-Mariotte se que los datos obtenidos experimentalmente concuerdan con la teor´ıa. La manguera que se utiliz´o para conectar la jeringa con el sensor de presi´on fue lo demasiado peque˜ na para considerar su volumen despreciable. Las peque˜ nas los peque˜ nos cambios se pudieron deber a que al momento de realizar el experimento se calento el gas contenido en la jeringa.

Referencias [1] R.Resnick, D. Halliday and K.S. Krane. F´ısica, Vol.1. 5𝑎 Ed. CECSA, 2004 [2] Mark W. Zemansky and Richard H. Dittman, Calor y termodin´amica, 6𝑎 Ed. McGraw-Hill,1986 [3] R. A. Serway and J. W. Jewett. F´ısica para ciencias e ingenier´ıas, Vol. 1. 6a Ed.Thomson, 2005. 7

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_gas_law” [5] http://en.wikipedia.org/wiki/Boyle’s_law” [6] http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_law”

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