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Comprobaci´on Experimental de la Ley de Boyle - Mariotte. Una experiencia did´actica colaborativa multidisciplinar Carlos Enrique L´opez Campos,* Marlene Mendoza Meza, Gabriel Villeda Villeda, Georgina Ledesma de Anda, Ramiro Gibr´an Garc´ıa Gonz´alez Universidad del Valle de M´exico, Campus Quer´etaro contra volumen y se ajustaron los resultados del experimento con la t´ecnica de m´ınimos cuadrados a una curva de la forma representativa de la ley bajo comprobaci´ on P = CV α , obteni´endose un muy buen acuerdo entre las predicciones te´oricas y los resultados experimentales y en consecuencia mostrando que el equipo utilizado es adecuado para la realizaci´ on precisa de este tipo de pruebas. Finalmente, se debe indicar que este trabajo form´o parte de un proyecto did´ actico colaborativo multidisciplinar en el cual participaron estudiantes de las materias Principios de Termodin´ amica y M´etodos Num´ericos.

Recibido: 03 de noviembre de 2010 Aceptado: 17 de enero de 2011 Abstract In this work we report the realization of an experiment of isothermal compression of a gas, for purposes of experimental verification of Boyle-Mariotte’s law, which was carried out with the test board of hydrostatic HM115 in the Thermofluid Laboratory at UVM, Campus Quer´etaro. For theoretical calculations, we used the values of altitude and atmospheric pressure in the town of Santa Rosa J´auregui, adjacent to Juriquilla, Quer´etaro, place of location of the laboratory. Twenty-three measurements of pressure vs. volume were made and the results of the experiment were adjusted with the technique of least squares to obtain a representative curve of the law under test P = CV α , obtaining a very good agreement between theoretical predictions and experimental results and thus showing that the equipment used is suitable for the accurate realization of this type of testing. Finally, it should be indicate that this work was part of a multidisciplinary collaborative teaching project in which participated students of the courses Principles of Thermodynamics and Numerical Methods.

Introducci´ on La hidrost´atica tiene una gran importancia en muchos ´ambitos de la t´ecnica, como por ejemplo en las ´areas sanitaria y dom´estica, la construcci´on de equipos de bombeo y la navegaci´on a´erea y espacial. Con el tablero de pruebas HM 115 (figura 1) se pueden examinar experimentalmente temas importantes del ´area de la hidrost´atica (Manual de experimentos HM115, 2003), tales como: Presi´on hidrost´atica Fuerza de flotaci´on Determinaci´on de la viscosidad de fluidos Familiarizaci´ on con diferentes man´ometros Mediciones de presi´ on con diferentes man´ometros Estudio de la presi´ on est´ atica y din´ amica de un flujo dentro de una tuber´ıa Tensi´ on superficial de fluidos

Resumen En este trabajo se reporta la realizaci´ on de un experimento de compresi´ on isot´ermica sobre un gas, con fines de comprobaci´ on experimental de la Ley de Boyle - Mariotte, el cual fue realizado con el tablero de pruebas de hidrost´atica HM115 del Laboratorio de Termofluidos de la UVM, Campus Quer´etaro. Para los c´alculos te´oricos, se utilizaron los valores de altitud y presi´ on atmosf´erica de la localidad de Santa Rosa J´auregui, colindante con Juriquilla, Quer´etaro, lugar de ubicaci´ on de este laboratorio. Se realizaron veintitr´es mediciones de presi´ on * [email protected],

Por otra parte, los estudiantes adquieren una destreza general en la preparaci´on y ejecuci´on de series de experimentos y conocimientos en el manejo de instrumentos de medici´ on como complemento. Dispositivo experimental y accesorios del sistema de medici´ on. Los man´ometros de este tablero de pruebas est´ an

[email protected]

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Comprobaci´on experimental. . . Boyle. C. E. L´ opez C., M. Mendoza M., G. Villeda V. et al.

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Carro rodante de laboratorio Gavetas Caja de distribuci´ on Grifo de evacuaci´ on Dep´ osito de agua con mirilla Bomba sumergible Tuber´ıa Sensor de presi´ on con display digital Dep´ osito de medici´ on di´ametro 113mm Man´ ometro doble de agua Tubo de Prandtl Man´ ometro de mercurio con tubo en U Dep´ osito de medici´ on d = 200mm Man´ ometro de Bourdon Man´ ometro de l´ amina el´astica Dep´ osito de medici´ on d = 100mm

Figura 1. Tablero de pruebas de hidrost´ atica HM115.

graduados en bares o en milibares. Los instrumentos de medici´ on incluidos son, entre otros, el man´ometro de Bourdon (2 a) y el man´ometro de l´ amina el´astica (2 b). El man´ometro de l´ amina el´astica se reconoce por su l´ amina en forma de brida, ubicada por debajo del indicador de valores. Para mediciones de presiones peque˜ nas, de hasta 100 mbar, se utiliza el man´ometro de tubo en U de agua (2 c). En ´este se puede leer directamente la presi´ on en mbar (1cm de agua = 1mbar) a trav´es de la diferencia de altura de las columnas de agua. Los man´ometros con llenado de mercurio se utilizan normalmente para mediciones de presiones m´as altas, puesto que el mercurio posee una densidad considerablemente mayor que la del agua. El man´ometro de mercurio con tubo en U del tablero de pruebas HM115 (2 d) puede usarse para medir presiones de hasta 400 mbar. El conocimiento de las leyes de los gases es un requisito fundamental de un curso dedicado a la termodin´ amica. Con el equipo HM115 se pueden estudiar experimentalmente dos cambios de estado: cambio de estado isot´ermico, y cambio de estado isoc´orico, es decir, a temperatura y volumen constante respectivamente. Recipientes transparentes permiten observar el gas mientras se realizan mediciones de las variacio-

Figura 2. Distintos man´ ometros incluidos en el Tablero de Pruebas HM115 (Manual de experimentos HM115, 2003).

nes de presi´ on en los man´ometros en ambos procesos y adicionalmente de volumen en el caso isot´ermico. Como gas de ensayo se utiliza aire. Un accesorio m´as del equipo HM115 el cual es importante mencionar, es el compresor y bomba de vacio GUNT WL12, este accesorio tiene doble funci´on: como compresor de aire y como bomba de vac´ıo, de esta forma se puede estudiar el efecto sobre el gas de prueba en un amplio rango de valores de la presi´ on. Para mayor informaci´on sobre tecnolog´ıa del vac´ıo se puede con-

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sultar a Colonia (2008). Marco Te´ orico Ley de los Gases Ideales La ley de los gases ideales es la ecuaci´ on que describe el comportamiento de un gas ideal, un gas hipot´etico formado por part´ıculas puntuales, sin atracci´on ni repulsi´ on entre ellas y cuyos choques son perfectamente el´asticos, lo cual implica no solamente la conservaci´ on del momento, como en todos los tipos de colisi´ on, sino en este caso, tambi´en la conservaci´ on de la energ´ıa cin´etica. Los gases reales que m´as se aproximan al comportamiento del gas ideal son los gases monoat´ omicos en condiciones de baja presi´ on y alta temperatura, sin embargo este modelo es u ´til para describir con distintos grados de aproximaci´on otro tipo de gases sujetos a condiciones diferentes. Emp´ıricamente, se observan una serie de relaciones entre la temperatura, la presi´ on y el volumen que dan lugar a la ley universal de los gases ideales, de´ ducida por primera vez por Emile Clapeyron en 1834 (Schiavello, Ribes y Palmisano, 2003). La ecuaci´ on que describe normalmente la relaci´ on entre la presi´on, el volumen, la temperatura y la masa en moles de un gas ideal es (Lea y Burke, 1997): P V = nRT

(1)

En donde, P = presi´ on V = volumen n = moles de gas R = constante universal de los gases ideales T = temperatura absoluta La ecuaci´ on que describe a la ley universal de los gases ideales (ec.1) es un condensado de otras cuatro leyes experimentales que eran conocidas previamente: la ley de Boyle-Mariotte para procesos isot´ermicos, la ley de Charles y Gay Lussac para procesos isoc´oricos, la ley de Gay-Lussac para procesos isob´ aricos y la ley de Avogadro para procesos con intercambio de masa entre el sistema y sus alrededores.

temperatura T , expresi´ on que es v´ alida para un proceso isot´ermico, siendo una forma de la ley de BoyleMariotte. Desarrollo experimental C´ alculo de la presi´ on atmosf´ erica en la localidad de Santa Rosa J´ auregui, Quer´ etaro. Se abri´ o la v´ alvula superior del dep´osito de medici´on identificado con el n´ umero 13 en la figura 1 que ilustra el tablero de pruebas de hidrost´atica HM115. De esa forma se garantiz´ o que el aire que llenaba este dep´osito se encontraba inicialmente a la presi´ on atmosf´erica correspondiente a la altitud de esa zona, es decir, de Juriquilla, Qro. La altitud de la localidad colindante Santa Rosa J´auregui, Quer´etaro, es de 1950 m sobre el nivel del mar [1], la cual se tom´ o como el dato para el c´alculo de la presi´ on atmosf´erica en Juriquilla mediante la expresi´ on (Resnick, Halliday y Krane, 1995): P = P0 e−0.117y

(3)

En donde, P = presi´ on atmosf´erica calculada en la altitud de la zona P0 = presi´ on atmosf´erica al nivel del mar y = altitud de la zona sobre el nivel del mar en km De esta forma la presi´ on atmosf´erica en Juriquilla, Qro., lugar de ubicaci´ on del laboratorio en el que se realiz´ o el experimento dentro del Campus Quer´etaro de la UVM result´o tener el valor: P = 0.7960 atmos

(4)

(2)

Debemos a˜ nadir que la ec. (3) corresponde a un modelo para el c´alculo te´orico de la presi´ on a una determinada altitud sobre el nivel del mar en condiciones de aire en reposo y temperatura de 22.5o C. La temperatura ambiente medida al inicio del experimento fue de 24o C con m´ınimas variaciones durante la realizaci´ on del mismo, esto no deber´ıa agregar una fuerte correcci´on a la predicci´ on te´orica de presi´on del modelo, ec.(3), pues la diferencia entre las temperaturas es peque˜ na; adicionalmente, el sistema de medici´ on utilizado se encuentra en un espacio cerrado por lo que en este escenario se considera el aire en reposo.

En donde, P = presi´ on V = volumen C = constante nRT , producto del n´ umero de moles n por la constante universal de los gases R por la

En ese momento se registr´ o el valor de la temperatura ambiente, que era la misma que la del aire en el interior de este dep´osito as´ı como la temperatura del agua dentro del recipiente. La temperatura result´o ser de 24o C = 297.15 K.

Si se despeja de la expresi´ on (1) la presi´ on se obtiene: P = CV −1

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C´ alculo de la masa de aire en el interior del dep´ osito cil´ındrico de medici´ on. Se obtuvo la masa de aire en el interior del dep´osito de medici´ on calculando la densidad del aire en la localidad de Juriquilla, Qro., mediante (Resnick, Halliday y Krane, 1995): ρ = ρ0 e−0.117y

(5)

En donde, ρ = densidad del aire en la zona requerida a una altitud dada y ρ0 = densidad del aire en reposo al nivel del mar a 22.5◦ C de temperatura = 1.21×10−3 g/cm3 (Resnick, Halliday y Krane, 1995) y = altitud de la zona en donde se desea calcular la densidad del aire en km. Resultando un valor de ρ = 0.963165 × 10−3 g/cm3 . Entonces, para obtener la masa de aire maire , se multiplic´ o esta densidad por el volumen de aire contenido en el dep´osito cil´ındrico de medici´ on, el cual a su vez se calcul´o con: V = πr2 h Obteni´endose de esta V = 13, 194.68 cm3 .

forma

(6) el

valor

de

De esta manera el valor de la masa de aire en el cilindro de medici´ on result´o ser: maire = 12.708 g

(7)

Para calcular el n´ umero de moles n de aire equivalente a esta cantidad, se obtuvo primero un c´alculo del peso molecular del aire realizando un promedio ponderado de los cuatro componentes que en mayor porcentaje forman esta mezcla gaseosa atmosf´erica [2]: ox´ıgeno (19.964 %) nitr´ ogeno (77.102 %) arg´on (0.934 %) di´oxido de carbono (0.046 %) vapor de agua (aprox. 2 %) ne´ on (18.2 ppm) helio (5.24 ppm) kript´on (1.14 ppm) hidr´ogeno (5 ppm) ozono (11.6 ppm) Este promedio ponderado ofreci´o el siguiente resultado: P Maire

=

32(0.19964) + 28.0134(0.77084) +39.948(0.00934) + 18(0.02)

=

28.720

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El porcentaje de vapor de agua presente se estim´o de Levresse et al. (2010) quienes reportan un 49.9 % de humedad promedio en interior del aire durante el mes de octubre de 2009 en el cual realizamos nuestro experimento, lo cual aplicado al m´aximo aproximado de porcentaje de contenido de agua en el aire que es de 4 % [3] nos da aproximadamente el 2 % de contenido de agua en el aire. Levresse y colaboradores realizaron las mediciones de humedad en la Estaci´on Meteorol´ogica del Observatorio Geoelectromagn´etico del Campus Juriquilla de la UNAM, Quer´etaro, la cual se encuentra a 500 metros de nuestro laboratorio. Entonces, usando la definici´on de mol y con una simple regla de tres, podemos calcular el n´ umero de moles n de aire contenido en el cilindro de medici´ on: n=

12.708 mol = 0.442 mol 28.720

(8)

Este resultado ser´a utilizado m´as adelante para el c´alculo te´orico de la constante nRT , en donde, n es el n´ umero de moles, R la constante universal de los gases y T la temperatura absoluta del gas bajo experimentaci´ on. Realizaci´ on de la compresi´ on isot´ ermica Posteriormente, se cerraron las v´ alvulas que permiten el ingreso del agua a los dep´ositos cil´ındricos identificados con los n´ umeros 9, 13 y 16 en la Figura 1, la v´ alvula de retorno de l´ıquido al dep´osito de agua con mirilla (n´ umero 5, Figura 1) y la v´ alvula de respiraci´on superior del dep´osito cil´ındrico identificado con el n´ umero 13. A partir de ese momento, se encendi´ o la bomba sumergible (n´ umero 6, Figura 1) mientras que simult´ aneamente se permiti´ o el acceso lenta y gradualmente del l´ıquido bombeado al dep´osito de medici´ on 13, controlando el flujo de agua con la v´ alvula hidr´aulica de este cilindro colocada en la parte inferior del mismo. Durante este proceso, supuesto isot´ermico, se realizaron lecturas de presi´ on con el man´ometro de Bourdon (n´ umero 14, Figura 1) y de altura de la columna de gas sobre la escala colocada en la pared del dep´osito de medici´ on 13. Se debe observar que a las lecturas del man´ometro de Bourdon se le sum´o la presi´ on atmosf´erica de la localidad (expresi´on (4)), para obtenerse as´ı la tabla de valores experimentales de presi´ on absoluta. Tambi´en se consider´o la contribuci´on de la presi´ on de vapor del agua en esta zona a partir de los valores reportados por Levresse et al. (2010), quienes co-

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mo se ha indicado, midieron un 49.9 % de humedad relativa promedio en interior del aire, en un laboratorio situado a 500 m aproximadamente del nuestro, durante el mes de octubre de 2009 en el cual realizamos nuestro experimento. En consecuencia, estar´ıamos obteniendo una presi´ on real de vapor (Tippens, 1996): presi´ on real de vapor

= (presi´on de vapor saturado) ×(humedad relativa) = (0.029 atmos) × (0.499) =

0.014 atmos

En la que el valor de presi´ on de vapor saturado = 0.029 atmos se obtuvo de Tippens (1996). As´ı que esta cantidad, a´ un siendo relativamente peque˜ na, adicionalmente se rest´o a cada valor de presi´ on medido durante el experimento a fin de considerar solamente el efecto de la compresi´ on sobre el gas durante el proceso. Esta cantidad no deb´ıa cambiar a lo largo del experimento una vez que se ha supuesto un proceso isot´ermico sobre el gas. La temperatura ambiente en el laboratorio no vari´o durante el tiempo que dur´o el experimento, sino en cuando m´as dos d´ecimas de grado cent´ıgrado. El tiempo total de duraci´on del experimento fue de una hora con treinta minutos con un lapso promedio de cuatro minutos entre dos mediciones consecutivas. Resultados experimentales La Tabla 1 muestra los resultados obtenidos a partir de la realizaci´ on del experimento. Se hicieron dos tipos de tratamiento a los datos experimentales obtenidos durante la compresi´ on isot´ermica realizada. En primer lugar, se realiz´ o una interpolaci´ on de Lagrange (Nakamura, 1992) a ocho de los puntos (V, P ) experimentales obtenidos. Este tratamiento num´erico se realiz´ o con fines did´ acticos, ya que los estudiantes participantes en este trabajo cursaban simult´ aneamente las materias Principios de Termodin´ amica y M´etodos Num´ericos, y se aprovecharon los datos experimentales para la realizaci´ on de este ejercicio. En segundo lugar, se realiz´ o un ajuste mediante la t´ecnica de m´ınimos cuadrados (Burden, 2005) a una curva de la forma: y = Cxα

(9)

Tabla 1. Resultados experimentales de presi´ on (P ) contra volumen (V ). Volumen [L] 13.194 12.880 12.566 12.252 11.938 11.623 11.309 10.995 10.681 10.367 10.053 9.738 9.424 9.110 8.796 8.482 8.168 7.853 7.539 7.225 6.911 6.590 6.440

Presi´on [atmos] 0.880 0.890 0.929 0.939 0.978 0.999 1.018 1.048 1.078 1.107 1.136 1.176 1.216 1.255 1.285 1.334 1.384 1.433 1.512 1.561 1.631 1.670 1.7593

para observar el comportamiento de la presi´ on respecto al volumen en este proceso isot´ermico, y el grado de acercamiento de este comportamiento a la relaci´ on (2) que es la Ley de Boyle-Mariotte para este tipo de procesos. Una gr´ afica de los resultados experimentales se muestra en la Figura 3. junto con la curva ajustada de la forma (9). Los resultados de los valores de C y de α para la curva de ajuste tipo (9) fueron: C = 10.14 L atmos, α = −0.94

(10)

Con un coeficiente de una muy alta correlaci´on R = 1 (0.998) 2 = 0.999 muy cercano al valor del ajuste perfecto 1. Discusi´ on: Tomando el valor de n calculado en la secci´on Desarrollo, expresi´ on (8), obtenido por medios te´oricos, n = 0.442, podemos calcular el valor de nRT , el cual resulta: nRT = 10.769 L atmos

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Figura 3. En puntos discretos, gr´ aficos de veintitr´es mediciones experimentales de presi´ on y volumen. En l´ınea continua, la curva ajustada por m´ınimos cuadrados a la forma y = Cxα .

que comparado con el valor de C = nRT , ahora obtenido por las mediciones experimentales y el resultado de la curva de ajuste de m´ınimos cuadrados, como se puede concluir de las ecuaciones (2), (9) y (10), se tiene: C = (nRT )experimental = 10.14 L atmos los cuales son resultados que representan un magn´ıfico acuerdo, con una diferencia relativa fraccional de tan s´ olo 0.058. Por otro lado, el valor de α = −0.94, obtenido experimentalmente (ecs. 9 y 10), comparado con el de −1 esperado te´oricamente por la Ley de Boyle-Mariotte (ec. 2), muestra tambi´en muy buen acuerdo con una diferencia relativa fraccional de 0.060. Debemos a˜ nadir que la irregularidad aparente del segundo punto experimental de izquierda a derecha en la figura 3, es muy probablemente atribuible a un error aleatorio en la medici´ on. Por u ´ltimo, se debe decir que los resultados logrados son la consecuencia del trabajo con un modelo did´ actico colaborativo multidisciplinario en el que participaron estudiantes de dos materias distintas: Principios de Termodin´ amica y M´etodos Num´ericos.

Conclusiones La fuerte concordancia entre los resultados te´oricos y experimentales y el muy alto valor de correlaci´on resultante entre los resultados experimentales y la curva de ajuste por m´ınimos cuadrados, muestran que el tablero de pruebas hidrost´aticas HM115, tiene una precisi´ on muy adecuada para el estudio y verificaci´on de la Ley de Boyle-Mariotte. Las diferencias relativas encontradas entre teor´ıa y experimento en los valores de las constantes C = nRT y α = −1 (expresi´on (10)), podr´ıan atribuirse en parte al hecho de utilizar un gas de prueba real, con componentes mayoritariamente diat´ omicos y a la realizaci´ on de la prueba en una temperatura dentro de un rango intermedio. Sin embargo es importante decir que las conclusiones de este trabajo dependen de algunos factores considerados a priori v´ alidos, tales como el supuesto de haberse realizado la prueba sobre el gas a temperatura constante, lo cual estuvo fuera de nuestro alcance t´ecnico verificar experimentalmente, debi´endonos conformar con las mediciones de la temperatura ambiente, la cual como se ha indicado s´ı permaneci´ o pr´acticamente constante. Otro ejemplo en el que esta observaci´ on aplica es en el caso del porcentaje de los gases que componen el aire atmosf´eri-

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co los cuales son tomados de aproximaciones, sin duda muy cercanas a la realidad, pero extra´ıdas de la bibliograf´ıa ya citada. Agradecimientos A Laureate International Universities, Baltimore, M.D., USA, por el soporte financiero y el apoyo otorgado para la realizaci´ on de este proyecto. A la Direcci´on Institucional de Investigaci´on e Innovaci´ on Tecnol´ ogica y a las Rector´ıas del Campus Quer´etaro y de la Regi´on Centro de la Universidad del Valle de M´exico por todas las facilidades otorgadas para el desarrollo de este trabajo. Bibliograf´ıa 1. Abrahams, R., DuChamper, A., Planz, A. (1987). Modelos de predicci´ on molecular para ingenieros. 2. Burden, R. L. (2005). Numerical Analysis, 8a. Ed., Thomson Brooks/Cole, Pacific Grove, CA. 3. Colonia Surichaqui, R. C. (2008). “Tecnolog´ıa del Vac´ıo”, en F´ısico Qu´ımica de los Recubrimientos Delgados, Universidad Nacional de Ingenier´ıa, (Espa˜ na). 4. Lea, S. M. y Burke, J. R. (1997). Physics, the nature of things, ITP, USA. 5. Levresse, G., Cruzabeyro, J., Trillta, J., PerezEnriquez R. (2010). Informe meteorologico anual 2009. Estaci´on meteorol´ ogica del Campus UNAM Juriquilla. Centro de Geociencias, UNAM.

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6. Manual de experimentos HM 115 banco de pr´ acticas de hidrost´ atica (2003), GUNT, HAMBURG. 7. Nakamura, S. (1992). M´etodos Num´ericos Aplicados con Software, 1a. Ed., Prentice Hall Hispanoamericana, M´exico. 8. Resnick, R., Halliday D., Krane, K. (1995). F´ısica, Vol. I, 4a. Edici´on, Compa˜ n´ıa Editorial Continental, M´exico. 9. Schiavello, M., Ribes V., Palmisano L. (2003). Fundamentos de Qu´ımica. Ed. Ariel, Barcelona, Espa˜ na. 10. Tippens, P. (1996). F´ısica. Conceptos y aplicaciones. 5a. Edici´on, Mc Graw Hill, M´exico, pp.429-433. Referencias electr´ onicas 11. http://mexico.pueblosamerica.com/i/ santa-rosa-jauregui/ 12. http://www.salonhogar.com/ciencias/ naturaleza/aire/composiciondelairepuro. htm 13. http://www.ace.mmu.ac.uk/eae/ Atmosphere/Older/Trace\_Gases.html

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