P2.- Para simular el comportamiento de fluencia de un plástico se eligen los modelos de Maxwell y de Kelvin – Voigt. Las
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P2.- Para simular el comportamiento de fluencia de un plástico se eligen los modelos de Maxwell y de Kelvin – Voigt. Las constantes elástica y viscosa del modelo de Kelvin-Voigt son 2 Gpa y 100x109 N.s/m2 , respectivamente, y la constante viscosa del modelo de Maxwell es 200x109 N.s/m2 . Estimar un valor adecuado para la constante elástica del modelo de Maxwell, suponiendo que ambos modelos predicen la misma deformación de fluencia después de 50 segundos. R.- 15.15 Gpa.
============================================================================== SOLUCIÓN MODELO DE KELVIN-VOIGT MODELO DE MAXWELL
Deformación de fluencia
Deformación de fluencia
0 0 M (t ) t E
KV (t ) '
E
0
1 e E
Et
0
1 e E
tiempo de retardo
t
'
MODELO DE MAXWELL EM = ????????? ηM = 200x109 N.s/m2
M (t )
0 t 0 M EM
MODELO DE KELVIN-VOIGT EKV = 2 GPa = 2x109 Pa ηKV = 100x109 N.s/m2 τ’ =(ηKV/ EKV) =100/2=50 Ha de cumplirse que: luego: 0 50 0 0 M EM EKV
KV (t )
0
1 e
EKV
t
'
M (50) KV (50) 50 1 e '
50
M
1 1 e1 EM EKV
de donde: EM
M EKV
M 1 e1 50 EKV
200 x109 x 2 x109
200 x109 1 e 1 50 x 2 x109
EM = 15.14x109 Pa (= 15.14 Gpa)
400 x109
200 x 1 e 1 100
15.14 x109
P7.- Un material plástico puede representarse mediante el modelo de Zener con un valor del módulo de relajación de tensión no relajado igual a GU = 1 GPa y un valor relajado GR = 0.5 GPa . Sabiendo que la tensión en el material se reduce de 20 MPa a 15 MPa en un período de 500 segundos cuando se aplica una deformación constante, determinar la constante viscosa del amortiguador. R.- η = 1.44x1012 N.s/m2. =======================================================================================
SOLUCIÓN MODELO DE ZENER
Relajación de tensión (deformación constante ε = ε0)
3 t E1 E2 E2 E1e Tiempo de relajación t E1 resulta G(t ) E2 E1e E1 E2
E (t ) 1 0 E1 E2
t=0, GU = E1
y como
t=∞
G (t )
GR
(t ) 0
E1E2 E1 E2
(t ) (t ) G (t ) 0 G (t ) 0
E1 G (t ) E1 E2
t E2 E1e
P21.- (a).- Un material polimerico se somete a ensayo de fluencia a una tensión constante de 8 MPa, resultando la historia de deformación que se muestra en la figura. Probar que el comportamiento del material puede ser descrito usando el modelo del solido estandar lineal (Modelo de Zener) con las siguientes constantes: E1 = 1.6x109 N/m2, E2 = 4.0x109 N/m2, η = 2.0x1011 N.s/m2 (b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10 MPa durante 200 segundos, después de lo cual la carga se elimina completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformación en el material se reduzca al 50 % del valor que existía inmediatamente antes de la eliminación de la carga.
Fluencia (tensión constante, σ 0 ). Tensión constante = 8 MPa, 3 t 0 0 ' (t ) 1 e donde ' E es el tiempo de retardo E1 E2 2 Como: resulta:
J (t )
1 1 J (t ) E1 E2
(t ) 0
t ' 1 e
Para t = 0 J(0) = JU = 1/E1 Para t = ∞ J(0) = JR = (1/E1)+ (1/E2) t=700 s De la gráfica se deduce: JU = ε(0)/Tensión= 0.5x10-2/ 8x106 =0.0625x10-8 =6.25x10-10 m2/N JR = ε(∞)/Tensión= 2.5x10-2/ 8x106 =0.3125x10-8 =3.125x10-9 m2/N JU = 1/E1, E1= 1/JU =1.6x109 N/m2
JR = (1/E1)+ (1/E2), (1/E2) = JR - (1/E1) , E2 = 1.6x108 N/m2
Para determinar la constante del amortiguador, η, se toma un punto intermedio de la curva, por ejemplo t = 700 s, para el cual la deformación es del 2 %, entonces: J(700) = ε(700)/Tensión= 2x10-2/ 8x106 =0.25x10-8 =2.5x10-9 m2/N
De la expresión de la complianza de fluencia:
1 1 J (t ) E1 E2
t ' 1 e se deduce que: 1 1 J (700) E1 E2
700 700 E2 ' ' 1 E2 J (700) 1 e , e E1
Sustituyendo valores y operando 700 e '
1 E2 J (700)
' y como
'
3 E2
E2 1 1 0.25 0.25 E1
700 505 s Ln(0.25)
, 3 ' E2 505 x 4.0 x108 2.02 x1011 N .s / m 2
(b).- El material anterior se somete a una carga constante de 10 MPa durante 200 segundos, después de lo cual la carga se elimina completamente. Calcular el tiempo requerido para que la deformación en el material se reduzca al 50 % del valor que existía inmediatamente antes de la eliminación de la carga.
Justamente antes de eliminar la carga (t = 200 s) se tiene un deformación dada por:
(t ) J (t ) 0 , (200) J (200) 0 10 x106 J (200) 1 1 J (t ) E1 E2
t ' 1 e
E1=1.6x109 N/m2 E2=4.0x106 N/m2 τ’ = 505 s
200 1 1 9 J (200) 1 e 505 1.45 x10 E1 E2
Por tanto,
(200) 10 x106 x1.45 x109 0.0145 (200)
0.00725 (0.725%) 2 Al eliminar la carga el muelle se
recupera de forma instantánea: εi=σ0/E1=107/1.6x109=0.00625 y la deformación que queda en ese instante (t=200) es: εc=ε(200)-σ0/E1=0.0145-0.00625= = 0.00825 (>0.00725)
(200) 2
0.00725 (0.725%)
Recuperación de fluencia.
(t ) c e (200) 2
0.00725 0.879 0.00825 t ' Ln(0.879) 505Ln(0.879) 65.1 s e
'
'
0.00725 c e
εc = 0.00825
t
t
t
'
P15 .- (a).-Un material polimérico se puede representar mediante el modelo del sólido lineal estandar o de Zener con una complianza de fluencia no relajada JU = 2x10-9 m2/N (Instante t = 0), una complianza de fluencia relajada JR = 3x10-9 m2/N ( Instante t =∞ ) y un tiempo de retardo τ’ = 1000 s. Determinar las constantes elásticas y la constante viscosa del amortiguador del modelo que representa el comportamiento del polímero. (b).- Con el polímero del apartado anterior se fabrica una barra de longitud L = 100 mm y anchura T = 10 mm, la cual se somete al historial de carga de la figura . Si el espesor de la barra es de 5 mm, determinar su longitud después de un periodo de tiempo de 1500 s. Si la extensión máxima permitida es de 6 mm, determinar el espesor necesario que ha de tener la barra, para el mismo historial de carga y el mismo periodo de tiempo.
P10/ P22 (JUNIO 2006)- Un material plástico se somete al historial de carga que se muestra en la figura . Se supone que el comportamiento del material se puede representar mediante el modelo de Maxwell con los siguientes parámetros : constante elástica 20 GN/m2 y constante viscosa del amortiguador η= 1000 GN.s/m2. Determinar la deformación del material en los siguientes instantes : (a).- t1 = 150 segundos , (b).- t2 = 250 segundos , (c).- t3 = 350 segundos y (d).- t4 = 450 segundos . Representar gráficamente la respuesta de la deformación. .
E = 20 GN/m2 η= 1000 GN.s/m2
P16 (JUNIO 2003).- (a).-Un material polimérico se puede representar mediante el modelo del sólido lineal estandar o de Zener con las constantes elásticas E1 = 3 GPa , E2 = 1 GPa y una constante viscosa del amortiguador η =2x1011 N.s/m2 . El material se carga linealmente desde 0 hasta 30 Mpa en un período de tiempo de 50 segundos, momento en el cual la carga se reduce de forma instantánea a un valor de 20 MPa, que se mantiene constante. ¿Determinar el valor de la deformación 75 segundos después de la aplicación inicial de la rampa de carga?. R.- 1.21 %