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• Sergio Andres Olaya Ruiz

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LABORATORIO 1 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES OBJETIVOS 1. Cuantificar el error en las medidas de datos experimentalmente. 2. Modelar fenómenos físicos mediante la correlación de datos experimentales empleando el método de mínimos cuadrados. 3. Linealizar funciones teniendo en cuenta el tipo de gráfica que relaciona sus variables físicas. 4. Obtener los errores presentes al emplear el método de los mínimos cuadrados, en el caso particular de la regresión lineal. PRE INFORME 1. Definir los siguientes conceptos: Cantidad física, medida, magnitud fundamental, cantidad escalar y cantidad vectorial. 2. ¿Qué son cifras significativas y cómo se manejan? 3. ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud? 4. ¿Cuáles son los errores más comunes en la toma de datos experimentales? 5. Consultar en qué consiste el método de los mínimos cuadrados y usarlo, mostrando todo el proceso (empleando las fórmulas), para obtener la relación lineal que existe entre las variables Voltaje (V) contra corriente (I), v = f(I), cuyos datos se muestran a continuación: I(A)

3.0

3.2

3.8

4.1

4.5

5.3

6.0

V(v)

4.5

4.9

5.6

6.2

6.8

8.1

8.9

6. Consultar lo que significa el coeficiente de determinación (r2) y el coeficiente de correlación (r) en el modelo de regresión. 7. Explique en qué consisten los errores en el método de mínimo cuadrados y cómo calcularlos. Use esta información para calcular dichos errores en el problema del punto anterior. 8. Realizar una breve descripción acerca de lo que trata la linealización y mostrar un ejemplo. Revisar los ejemplos del marco teórico. MATERIALES    

Calculadora Regla Lápiz 4 hojas de papel milimetrado

MARCO TEÓRICO 1. Definiciones Fundamentales: Errores en la medición Algo de lo cual se tiene certeza es que cada vez que realizamos una medida existe una gran probabilidad de cometer algún tipo de error que nos ofrezca un resultado más o menos alejado del que realmente deberíamos obtener. De entre los errores más comunes se pueden distinguir dos grandes grupos: 

Errores sistemáticos. relacionados con la forma en la que se utiliza el instrumento de medida. Dentro de estos se pueden distinguir: o Error de calibrado. Es uno de los más frecuentes y está ligado directamente al instrumento. Muchos de ellos deben ser configurados de forma apropiada antes de ser utilizados (calibrado), si esto no se hace correctamente todas las medidas realizadas tendrán añadidas un sesgo. o Error de paralaje. Es propio de instrumentos de medida analógicos como por ejemplo aquellos que poseen agujas para marcar los valores. Dos observadores situados en posiciones oblicuas a la aguja pueden leer valores diferentes.



Errores aleatorios o accidentales. Se tratan de errores que se producen debido a causas que no se pueden controlar. Para intentar reducir el efecto de este tipo de errores se suele medir varias veces en las mismas condiciones y se considera como valor final más probable la media aritmética de los datos obtenidos.

Dado que todas las medidas están afectadas por un error experimental, en el mundo científico es común hacer constar cada resultado obtenido en una medición junto con la incertidumbre sobre esa medida. La incertidumbre es un valor numérico que se obtiene por medio de dos nuevos conceptos denominados error absoluto y error relativo.

Longitud  3.624  0.002 metros valor incertidumbre

magnitud

unidad

1.1 Media aritmética o valor promedio una medida: Sea X la cantidad a medir, si se repite la medición en las mismas condiciones n veces, se obtienen n resultados para x (x1,x2,x3,x4,…xn), y se puede calcular el promedio aritmético x de los xi medidos, así:

x

x1  x2  x3  .....  xn n x

(1)

x

i

n

2

1.2 Desviación media absoluta y desviación típica (Errores absolutos y Errores relativos): Cada valor xi presenta una variación con respecto al valor medio x , conocida como error absoluto y está dado por:

xi  x  xi La media de estos errores absolutos permite obtener la desviación media absoluta o el error absoluto medio así:

x DAM

n

xi

(2)

El error relativo, ε, de cada medida xi , se define como el error absoluto dividido por la media x . El error relativo medio se acostumbra escribir en porcentaje y se obtiene al multiplicar por 100:

% 

DAM

x

100

Los experimentos que se hacen en este nivel deberían arrojar resultados con errores relativos menores al 10%. Un resultado de un experimento significativo en un laboratorio de investigación debe tener un error del 1% o menos. Para concluir con base en el error absoluto medio y el error relativo se debe tener mucho cuidado: Si se afirma que la longitud L se mide con un error de 1 cm, no se puede concluir nada sobre la calidad de la medida ya que no se sabe cuál era la cantidad a medir; pero si L es 50 cm y se tiene un error relativo de 1/50 = 0,02 = 2%, entonces se puede afirmar que es aceptable; mientras que si la cantidad a medir es de 5 m y el error relativo es ahora 1/500 = 0,002 = 0,2%, implica que es excelente. En conclusión, el error absoluto es un indicador de la imprecisión que tiene una determinada media y el error relativo tiene la misión de servir de indicador de la calidad de una medida. 1.3 Valor real de una magnitud: El valor real de una magnitud medida puede expresarse empleando las ecuaciones (1) y (2) es decir, X = valor promedio ± error absoluto medio

X

x

DAM

1.4 Porcentaje de error relativo: Cuando se tiene un valor medido experimentalmente y se tiene un valor teórico con el cual comparar, se puede hallar el porcentaje de error relativo de la siguiente forma:

3

% 

Valor teórico  Valor exp erimental 100 Valor teórico

Ejercicio 1: Con un flexómetro mida una altura mínima de 2,00 m, posteriormente tome un objeto (balín) y déjelo caer desde dicha altura y anote en la tabla el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia (medida que debe realizar otro estudiante); repita dicho proceso cuatro veces más. Después de realizadas las medidas calcule el promedio, la DAM y la desviación estándar.

t1 =

t2 = x

Valor medio:

t3 =

t4 =

t5 =

x1  x2  x3  x4  x5  5

Error absoluto:

x1  x  x1  x2  x  x2 

x3  x  x3  x4  x  x4  x5  x  x5  Error absoluto medio: DAM 

x1 x2 x3 x4 x5  5

Error relativo medio de las medidas:



DAM



x

en porcentaje es:

El resultado en la medida del tiempo es:

xx 

DAM 

La desviación estándar es:  = ¿Qué puede concluir de los resultados anteriores?:

4

2. Método de los Mínimos Cuadrados: Surge con frecuencia a nivel práctico la necesidad de resolver problemas que involucren un conjunto de variables que se relacionan entre sí; variables que tienen una relación inherente, y es necesario explorar la naturaleza de la misma. El análisis de regresión es una técnica estadística para modelar e investigar la relación entre dos o más variables, y utiliza el método de mínimos cuadrados, el cual es procedimiento más preciso que se utiliza para buscar la curva de ajuste óptimo que minimiza la suma de los cuadrados de los errores, de un conjunto de datos experimentales (ver figura 1).

x x1 x2 . . xn

y y1 y1 . . yn

ˆ y i

yˆ1

yˆ 2

. . yˆ n

Figura 1.1. Gráfica datos experimentales y ajuste teórico Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. A continuación se muestran algunos modelos de regresión simple utilizados en las calculadoras comunes, Excel y Geogebra. Regresión lineal: Regresión cuadrática:

y

Bx

A 2

Regresión logarítmica: Regresión Exponencial:

y y

Cx Bx A A B ln x

y

Ae Bx

Regresión potencia:

y

Ax B

y

A

y y

A.B x A B sin(Cx D) A 1 Be Cx

Regresión Inversa: Crecimiento Seno (en Geogebra) Logística (en Geogebra)

y

B x

5

Una condición importante de los modelos de regresión anterior es poder conocer cuál es el poder explicativo del modelo de ajuste obtenido. Esto puede hacerse mediante el coeficiente de determinación (r2) . Un r2 = 1 indica que el 100% de todos los datos experimentales son explicados por el modelo de ajuste calculado (en condiciones experimentales jamás dará 1), es decir que todos los datos pertenecen a la curva del modelo de regresión supuesto. Acá en los laboratorios de física se aconseja un r2 > 0,9. Valores menores demuestra dos cosas, o que los datos fueron obtenidos de manera incorrecta y se debería realizar de nuevo la toma de datos, o que el modelo de ajuste supuesto no es el adecuado. La raíz cuadrada del resultado anterior se denomina el coeficiente de correlación, e indica la fuerza de la relación entre x y y. Para que la correlación sea buena, se recomienda que r esté comprendida entre 0,95 y 1, e incluso, en algunos casos, se aceptan valores inferiores a 0,95 pero teniendo en cuenta las causas de error y algunas consideraciones estadísticas. Ejercicios 2: Para cada una de las siguientes tablas de datos, construya una gráfica de dispersión para identificar el modelo de regresión que más se ajuste, obteniendo la relación funcional y el coeficiente de determinación con su respectiva interpretación. CASO 1: w 3,0 w 1 y

f ( y)

CASO 2: x 0 t 0 x

f (t)

6,0 2

1 3,9

10,0 3

2 10,5

15,9 4

3 19,8

22,8 5

4 33,6

5 52,7

27,6 6

6 74,3

31,2 7

7 99,7

6

CASO 3: T 0 d 0 T

f (d) 1 3,2

2 4,4

3 5,1

4 6,3

5 6,9

6 7,4

7 8,0

Ejercicios 3: Si los datos de la tabla abajo relacionada hacen parte de cierto fenómeno 3 32 cuyo modelo matemático se relaciona mediante la función w f (t ) t , entonces n encontrar el valor de n y el coeficiente de determinación, con base en el modelo de regresión adecuado:

w t

12,4 1

37,5 2

67,1 3

103,7 4

145,1 5

191,2 6

240,9 7

Suponiendo que el valor teórico de n = 0,81, entonces calcular el porcentaje de error. % 

Valor teórico  Valor exp erimental 100  Valor teórico

3. Linealización: En ciertas ocasiones se tienen datos cuya relación funcional no coincide con alguno de los modelos de regresión con que se cuenta a la mano, por lo tanto es necesario realizar alguna modificación a estos datos a través de algún artificio matemático o cambio de variable para permitir que la suposición se ajuste al modelo simple de regresión lineal.

7

Por ejemplo, y  12 gt 2 es un modelo matemático de un fenómeno físico que relaciona el tiempo que tarda un objeto en caída libre en recorrer una distancia vertical y. Si se gráfica y contra t, se obtiene una curva como se muestra en la figura 2.

y

t

T = t2

y1 y2 y3

t1 t2 t3

(t1)2 (t2)2 (t3)2

.

.

.

. yn

tn

.

.

(tn)2

Figura 1.2. Altura (y) en función del tiempo (t)

De acuerdo a la forma de la curva se puede pensar en una relación de tipo parabólico lo cual está corroborado por la ecuación de movimiento. Ahora, si se hace t 2  T , nos da una ecuación de la forma y   12 g  T , la cual representa la ecuación de una recta (y=f(T) ver figura 1.3), y mediante el método de regresión lineal optimizado con el método de mínimos cuadrados se obtiene una ecuación de la forma y Bx A BT A

Figura 1.3. Altura (y) en funcion del tiempo al cuadrado (t2)

Ejemplo 4: En el análisis de un objeto en caída libre en cierto planeta se obtuvieron los datos de la tabla 1.1: Tabla 1.1. Datos desplazamiento contra tiempo (caída libre) t (s) y (m)

0 0

1 11,9

2 48,8

3 111,2

4 197,6

5 308,9

6 446,9

7 609,1

8

Con base en dicha información, halle la ecuación que relaciona las variables y la aceleración del movimiento. ¿En qué planeta considera que se realizó dicho experimento?

Solución: Primero se gráfica x vs t para suponer con base en ella algún tipo de relación. La gráfica tiene la forma de una parábola con concavidad positiva, entonces puede suponerse en primera instancia que: x  mt  b , donde probablemente b sea muy cercano a cero ya que de acuerdo a los datos experimentales el vértice de la parábola debe estar en el origen. Grafique ahora x vs t2. 2

f (T ) Se crea una nueva Variable T = t2 y se busca ahora la recta x esto se hace por mínimos cuadrados de acuerdo a los ejercicios anteriores.

BT

A,

De donde se obtienen A, B y r:

B

A

r2 

r 

9

Por lo tanto, la ecuación

de la recta que relaciona las variables iniciales es:

x Como la función que relaciona las variables en cuestión, para un objeto en caída, está dada por:

y  vot  Y cuando se suelta o parte del reposo

1 2 gt 2 1 2

vo  0 , entonces se tiene que: y   gt 2

Lo cual indica que la aceleración del movimiento es:

g

m s2

¿En qué planeta considera que se realizó dicho experimento? _____________. Con base en dicha suposición, entonces el porcentaje de error en la medida experimental es:

%  Ejemplo 5: Para el círculo dibujado en la hoja siguiente, marque un punto P dentro de él (que no sea su centro); trace por este punto un segmento (A9a9), luego otro segmento perpendicular a este y que pase por P (A0a0), por último trace otros ocho segmentos que pasen por P y que estén contenidos entre los dos segmentos anteriores como se observa en la figura.

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Figura 1.4. Círculo para segmentarlo 1. Mida los segmentos AP y aP en el que el punto P divide los segmentos, anote los resultados en la tabla 1.4. Tabla 1.4. Datos de los segmentos del círculo AP (cm)

aP(cm)

2. Haga una gráfica de aP = f(AP). ¿Qué tipo de gráfico obtuvo?. Con ayuda de su gráfica. ¿Qué relación existirá entre AP y aP?

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3. Realice una gráfica de las nuevas variables, de acuerdo a la suposición que hizo.

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4. Emplee la calculadora para obtener la pendiente, el intercepto y el coeficiente de determinación y el de correlación para establecer la relación entre estas variables. Pendiente = Intercepto = Coeficiente de determinación = Ecuación que relaciona las variables: 5. Empelando la ecuación que relaciona las variables, obtenida en el paso anterior, halle el valor de aP si AP fuera 3.0 cm.

CONCLUSIONES

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