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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE ELECTRÓNICA SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL LABORATORIO 91G LABORATORIO N°1: DISCRETIZACION Y SIMULACION DEL MODELO DE UN SISTEMA DE CONTROL DE TEMPERATURA

PROFESOR: ING. ASTOCONDOR VILLAR JACOB INTEGRANTES: QUINO BRICEÑO JEFFRY JARA MORALES STEFHANO GUILLERMO HERRERA AYALA KLEIDER ANDERSON RAMIREZ MENDOZA MARCOS ANTONIO PALACIOS HUAMAN JOSE ANTONIO

CALLAO - PERÚ OCTUBRE - 2020

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LABORATORIO N°1

DISCRETIZACION Y SIMULACION DEL MODELO DE UN SISTEMA DE CONTROL DE TEMPERATURA

1. OBJETIVOS a) Obtener el modelo matemático en tiempo continuo y discreto de un sistema de temperatura. b) Simular la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario usando Matlab, tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, que permita su comparación y la verificación de un adecuado proceso de discretización. 2. MARCO TEORICO Teoría de modelamiento de un sistema El objetivo de modelar un sistema, de caracterizarlo matemáticamente consiste en llegar a describirlo en la forma más completa, exacta y sencilla posible, para posteriormente analizarlo y poder realizar diseños de controladores de tal manera que su funcionamiento se adecue a los requerimientos de diseño. El modelo matemático se basa en una o varias ecuaciones que representan el comportamiento del sistema, pero no representan un único modelo, pues se pueden lograr representaciones diferentes del mismo sistema que no contradicen una a la otra. Sin embargo, es útil encontrar el modelo que proporcione información de interés para cada problema en particular. Realizar un modelo físico comprende dos aspectos importantes: hallar las características dinámicas del sistema con base en la teoría matemática, desarrollos experimentales y la información que se tenga de la planta; para posteriormente realizar aproximaciones bajo criterios válidos que simplifiquen el resultado obtenido. Las consideraciones y aproximaciones se realizan con base en las simulaciones iterativas de las respuestas que el modelo presenta con respecto a las que debería tener el sistema real. De la escogencia de estas se obtiene un modelo del sistema sobre el cual se realizará un controlador que tendrá éxito según la exactitud del modelo especificado. En este orden de ideas se puede decir que, para el modelamiento de un sistema térmico, que es el problema a tratar, deben tenerse en cuenta diferentes parámetros físicos y experimentales del sistema que permitan obtener una representación aproximada de la planta a partir de la relación entre entrada y salida, teniendo en cuenta los fenómenos no lineales y estableciendo las consecuencias que esto trae en su respectivo modelamiento. Modelamiento a partir de variables internas de un sistema térmico. Como un método adicional al análisis de sistemas a partir de las entradas y salidas del mismo es posible establecer un modelo que tenga en cuenta las características físicas y en específico térmicas, propias de la planta. Sin embargo, estos métodos no son estrictamente independientes y es útil hacer un acercamiento entre estos para obtener una aproximación más acertada del comportamiento real del sistema. Para lograrlo se deben tener en cuenta tres aspectos: A partir de las variables a controlar, se debe tener en cuenta cuales son las entradas, salidas y variables internas del proceso. De la misma forma se deben tener en cuenta cuales son las constantes y parámetros que intervienen. 10 En segunda estancia se describen las relaciones matemáticas que involucran todos los parámetros físicos involucrados, para que finalmente se determinen ecuaciones que enlacen estas relaciones, formando así un modelo que puede ser comparado y 1

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ajustado con respecto a otros métodos de modelado, como el de relación entradas, salidas del sistema. TRANSFORMADA Z: La Transformada de Zeta es un modelo matemático similar a la transformada de Fourier para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento de señales digitales, como son el análisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por computadoras.

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La Transformada Z puede utilizarse para determinar la estabilidad de un sistema de tiempo discreto, como por ejemplo un radar, resonador magnético entre otras cosas: Un sistema de control en lazo cerrado es aquel que posee realimentación, es decir, que la señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de control. Por el contrario un sistema en lazo abierto no tiene realimentación. Para determinar la estabilidad debemos analizar la función transferencia, la cual relaciona la entrada y la salida de un sistema de tiempo discreto.

3. PLATEAMIENTO DEL PROBLEMA La figura 1 representa un horno eléctrico, y lo que se desea es controlar la temperatura en el horno a un nivel de referencia. El nivel de temperatura se sensa por medio de un sensor de temperatura, cuyos terminales se tienen disponibles. La señal de entrada del sistema en lazo abierto es u(t), y la salida disponible es v(t). Rt y Ct son la resistencia térmica y la capacitancia térmica del horno, respectivamente. τ(t) es la temperatura en el interior del horno, y ф(t) es el calor entregado por la resistencia eléctrica. Los parámetros del sistema y ecuaciones son:

Parametros :

Ecuaciones :

Rt  0.0054

K W

;

d 1 1   (t)  (t) dt Rt *Ct Ct

Ct  2.7633

W K

;

(t)  44* u(t)

;

v(t)  0.25* (t)

Figura N° 1. Sistema Horno Eléctrico.

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4. PROCEDIMIENTO DE LABORATORIO 4.1

Determine las ecuaciones de estado y de salida del sistema horno eléctrico, que debe de tener la siguiente forma: x˙ ( t )= Ax ( t ) +B e i ( t ) y ( t ) =Cx ( t ) + D e i ( t )

Tenemos:

d (t ) 1 1   (t )   (t ) dt Rt * Ct Ct 

 (t ) 

1 1  (t )   (t ) Rt * Ct Ct ….….. (1)

Asignando la variable de estado X1:

x1   (t ) …….… (2) 



x1   (t )

……… (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1): 

x1  Pero sabemos:

1 1 x1   (t ) Rt * Ct Ct … (4)

 (t )  44* u (t ) … (5)

Por lo que si reemplazamos nuevamente (5) en (4), nos queda de la siguiente forma: 

x1 

1 44 x1  u (t ) Rt * Ct Ct



x1   Además:

1 44 x1  u (t ) Rt * Ct Ct

v(t )  0.25 (t ) y  0.25 x1

Por lo tanto, las ecuaciones de estado son: 

x1  

1 44 x1  u (t ) Rt * Ct Ct

y  0.25 x1 Podemos acotar lo siguiente:

A

1 Rt * Ct

B

44 Ct 4

C  0.25

D0

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Reemplazando Rt y Ct

A  67, 0

B  15,9

C  0.25

D0

… (6)

Reemplazando los valores se obtiene: 

x1  67 x1  15.9u (t ) y  0.25 x1 Hallando la función de transferencia usando la fórmula:

G ( s )C ( sI  A) 1 B  D

G p ( s) 4.2

3.975 s  67

Considerando los resultados del paso 1, determine el correspondiente sistema discreto en la forma:

x (k +1)=G x (k )+H e i (k ) y (k )=C x (k )+D e i (k ) Para lo cual considere un adecuado período de muestreo. La variable G y H tienen la siguiente forma para un periodo de muestreo mayor 0.1s

G  I  TA H  TB Resolviendo las dos ecuaciones:

G  1  0.1*(67.0159)  5.70159 H  0.1*(15.9229)  1.59229

Ccont  Cdisc

,

Dcont  Ddisc

Reemplazando en las ecuaciones del sistema discreto:

x(k  1)  5.70159 x (k )  1.59229u (k ) y (k )  0.25 x (k )  0 u (k ) 4.3

Encuentre la función de transferencia pulso del sistema discretizado, considerando como v(t) como salida y u(t) como entrada. Tomando transformada de Laplace a las ecuaciones dadas:

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S (s) 

G1 (s) 

1 1  (s)   (s) Rt * Ct Ct

 (s)   (s) S 

1 Ct 1 Rt * Ct

 (s)  44* u (s)  (s) G2   44 u (s)

v(s)  0.25* (s) v(s) G3   0.25  (s) Hallando el modelo de función de transferencia: G p (s)  G1 * G2 * G3

Tenemos: G p (s) 

v(s) 3.9807  u (s) S  67.0159

Hallamos la función de transferencia del pulso:  G (s)  G (z)  (1  z 1 )* Z  p   s 

Pasando a transformada Z:  v(s )    3.9807 Z Z   u(s)   S *( S  67.0159)  Por fracciones parciales tenemos: 3.9807 A B   S *( S  67.0159) S S  67.0159 Resolviendo tenemos:

A  0.05939  B  0.05939 0.05939  0.05939  0.05939 z  0.05939 Z  1 z  e 67.0159T S  67.0159  = 1  z  S



 

Regresando a la ecuación:

6



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 0.05939 0.05939 z   G (z)  (1  z 1 ) *   1 67.0159T   1  z   z  e   G (z) 

V (z) 0.05939( z  1)  0.05939  U (z)  z  e67.0159T 

67.0159T  V (z) 0.05939*  1  e G (z)   U (z) z  e 67.0159T

Reemplazado T = 0.001s G (z) 

4.4

V (z) 3.84 103  U (z) z  0.9351

Considerando las ecuaciones de estado y de salida obtenidas en (2), simule la respuesta del sistema frente a una entrada escalón unitario (u(t) = 1). Haga lo mismo para el modelo del sistema en tiempo continuo. Finalmente, en una misma gráfica represente las dos respuestas (tiempo continuo vs. tiempo discreto).

La respuesta a una entrada escalón viene dada por:

V ( z )  G ( z ) *U ( z )

donde U(z) =

z z 1

Reemplazando:

3.84 103 z V ( z)  * z  0.9351 z  1 Hallamos la transformada inversa z usando Matlab:

syms z n Fz = (3.84*10^-3)*z/((z-0.9351)*(z-1)); fn = iztrans(Fz)

v ( n) 

192 192 9351 n  *( ) 3245 3245 10000

Realizando la gráfica en Matlab:

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CODIGO DE MATLAB clc clear syms z n Fz = (3.84*10^-3)*z/((z-0.9351)*(z-1)); V = iztrans(Fz); %transformada inversa de vz k = 0:100; %los primeros 100 valores vk = inline(V); Vn = vk(k); %HALLA LOE PRIMEROS 100 VALORES figure('Name','respuesta escalon unitario') stem(k,Vn) title('RESPUESTA DEL SISTEMA A UNA ENTRADA: ESCALON UNITARIO','Color','r') ylabel('Vn[n]') xlabel('n')

REPRESENTACION DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO clear all clc %%En tiempo discreto %MATRICES DE ESTADO A=[-67]; B=[15.9]; C=[0.25]; D=[0]; ts=0.001; %%las matrices A, B, C y D son en régimen continuo, pero si queremos encontrar

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%las correspondientes matrices en régimen discreto con un tiempo de muestreo Ts y retenedor de orden cero %aplicamos: [F,G,H,J] = c2dm(A,B,C,D,Ts,'zoh') subplot(2,1,1) [F,G,H,J]=c2dm(A,B,C,D,ts,'zoh') dstep(F,G,H,J,1,100); subplot(2,1,2) t=0:100; %%sys = ss(A,B,C,D) crea un objeto de modelo de espacio de estados de tiempo continuo sys=ss(A,B,C,D); %%Gráfico de respuesta al escalón del sistema dinámico step(sys);

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