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• Dario Rec

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Universidad Pedag´ ogica y Tecnol´ ogica de Colombia Facultad de Ciencias, Escuela de F´ısica Laboratorio 1 de F´ısica I

Mediciones e incertidumbres Parte 1: Precisi´ on instrumental y propagaci´ on de errores Ivon Rocio Buitrago Pi˜ neros*, M´onica Mar´ıa Rico Castro** , David Roberto Avellaneda Bernal***

Introducci´ on Una de las actividades m´ as importantes en la f´ısica, la ingenier´ıa y otras profesiones es el proceso de medici´ on. Los f´ısicos observan los fen´ omenos de la naturaleza, obtienen informaci´on cuantitativa acerca de estos a trav´es de mediciones y con ellas tratan de encontrar patrones que relacionen estos fen´ omenos. Estos patrones son llamados teor´ıas f´ısicas o, cuando estos son bien formulados y ampliamente usados, leyes o principios. Como se ver´a durante el desarrollo de las diferentes pr´acticas de este curso, es imposible conocer el valor exacto de una cantidad medida. En cambio de ello, se puede expresar el valor m´as probable y su incertidumbre absoluta, la cual determina el intervalo en que se encuentra el valor de la cantidad medida. El valor de una cantidad f´ısica se puede establecer a partir de dos tipos de medidas, de acuerdo con la forma en la que ´estas se obtienen. Por un lado, est´an las medidas directas que, como su nombre indica, emplean directamente un instrumento de medida. Por otro, las medidas indirectas que se calculan a partir de otras variables medidas y una ecuaci´ on que las relaciona. En ambos casos es indispensable establecer y reportar correctamente la incertidumbre asociada a dicha medida. En el caso de las medidas directas, las incertidumbres dan cuenta de la resoluci´on del instrumento, del m´etodo de medida y de otros factores que sean dif´ıciles de controlar y que puedan afectar la medida, como la apreciaci´ on humana. Para las medidas indirectas se requiere primero establecer la incertidumbre de las variables involucradas en el c´ alculo y posteriormente se realiza un procedimiento matem´ atico en t´erminos de derivadas parciales con respecto a dichas variables para determinar su incertidumbre.

Objetivos Esta pr´actica consiste en un primer acercamiento al proceso de medici´on y presentaci´on de resultados. Hace parte del proceso de aprendizaje de las t´ecnicas experimentales y se espera que durante su realizaci´ on el estudiante sea capaz de: Conocer y adquirir habilidades y destrezas en el manejo de algunos instrumentos de medida como cinta m´etrica, pie de rey y tornillo microm´etrico. Realizar medidas directas y reportar adecuadamente el resultado de la medida con su incertidumbre. Calcular medidas indirectas con sus respetivas incertidumbres. *

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Requisitos Lectura obligatoria del texto Conceptos previos: Instrumentos de medida, que se encuentra al final de la gu´ıa, donde se explica el uso del calibrador y el tornillo microm´etrico. Realizaci´on de los ejercicios all´ı propuestos para familiarizarse con el uso de estos intrumentos. Conocimiento de por lo menos un m´etodo para determinar incertidumbre de medidas indirectas (“propagaci´ on de errores”). En la secci´on Conceptos previos: C´ alculo de incertidumbres encontrar´ a el procedimiento para calcular incertidumbres de la medidas obtenidas en la pr´ actica.

Procedimiento Para llevar a cabo la pr´ actica, se dispondr´ a de algunos objetos que encuentren en casa: como esferas, cilindros y monedas; y de tres archivos ejecutables (regla graduada.exe, pie de rey.exe, tornillo.exe [1]) con los cuales se medir´ an algunas cantidades f´ısicas a estos objetos (per´ımetros, alturas y di´ametros).

Parte 1. Determinaci´ on de la m´ınima divisi´ on de escala o resoluci´ on Tome cada uno de los instrumentos de medida de los ejecutables y observe el m´ınimo valor que puede medir con ellos. Este valor corresponde a la resoluci´ on o error de escala de este instrumento de medida. Registre este valor en la tabla 1. Tabla 1. Resoluci´ on de los instrumentos de medida empleados.

Instrumento de Medida

Resoluci´on (mm)

Regla Calibrador Tornillo microm´etrico

Parte 2. Medidas directas e Incertidumbres Mida con cada uno de los instrumentos el espesor de una moneda. Reporte el valor obtenido de su medida junto con sus incertidumbres absoluta y relativa en la tabla 2. Tabla 2. Reporte de las incertidumbres de medidas directas.

Instrumento de medida

Regla Calibrador Tornillo microm´etrico

Espesor E (mm)

Incertidumbre ∆E ()

Incertidumbre relativa ∆E ˆ 100 E

Tabla 3. Di´ ametro y per´ımetro de objetos cilindricos.

Resoluci´ on instrumento: (Incertidumbre) Di´ ametro d (mm)

i

Per´ımetro P (mm)

1 .. . 10

Con una regla o metro, del que disponga en su casa, mida el per´ımetro y di´ametro de 10 objetos cil´ındricos que encuentre en casa: tapas de frascos, tapas de cremas, contorno de botellas, etc. Reporte los datos en la tabla 3

Parte 3. Medidas indirectas e Incertidumbres Para dos esferas y dos cilindros diferentes mida las dimensiones necesarias para calcular sus respectivos vol´ umenes. Use para ello el calibrador y el tornillo microm´etrico. Consigne los datos con su respectiva incertidumbre en la tabla 4. Tabla 4. Reporte de medidas directas e indirectas.

Objeto

Instrumento de medida

Di´ametro ( )

Volumen ( )

calibrador

˘

˘

tornillo microm´etrico

˘

˘

calibrador

˘

˘

tornillo microm´etrico

˘

˘

Esfera 1

Esfera 2

Di´ametro ( )

Altura ( )

Volumen ( )

calibrador

˘

˘

˘

tornillo microm´etrico

˘

˘

˘

calibrador

˘

˘

˘

tornillo microm´etrico

˘

˘

˘

Cilindro 1

Cilindro 2

Resultados y an´ alisis Parte 1. Determinaci´ on de la m´ınima divisi´ on de escala o resoluci´ on 1. Compare las apreciaciones de cada uno de los instrumentos. ¿cu´al considera es el m´as preciso?

Parte 2. Medidas directas e Incertidumbres 2. ¿Qu´e puede decir de las incertidumbres relativas obtenidas? 3. ¿Qu´e apreciaciones puede hacer con respecto a la veracidad de las medidas obtenidas a partir de las incertidumbres relativas obtenidas?

Parte 3. Medidas indirectas e Incertidumbres 4. ¿Qu´e particularidad encuentra en la expresi´on para la incertidumbre relativa del volumen del cuerpo? ¿En qu´e se diferencia con respecto a las mostradas en el anexo? 5. Compare las incertidumbres de los vol´ umenes obtenidas con los dos instrumentos empleados. ¿Qu´e medida considera mejor? ¿Por qu´e?

Conceptos previos: Intrumentos de medida Medir es comparar una cantidad f´ısica con una unidad de medida, en donde se establece cu´antas veces esta unidad ocupa un lugar dentro de dicha cantidad. Existen diferentes objetos que nos ayudan a medir. Por definici´on: la ((resoluci´ on)) es la ((diferencia m´ as peque˜ na entre las indicaciones de un dispositivo de visualizaci´ on que puede ser percibido de manera significativa)). Es la menor medida que puede ser referenciada por un instrumento de medici´on.

Cinta m´ etrica (regla). Las cintas m´etricas, o en su defecto, las reglas, se marcan en cent´ımetros (cm). El cent´ımetro se divide en diez partes iguales, esto significa que cada marca de este instrumento de medida corresponde a un mil´ımetro (mm) que es una mil´esima parte de un metro. Para este caso, la resoluci´on ser´ıa 1mm. Por ejemplo, en el objeto de la figura 1 la medici´on corresponde a: Di´ ametro del c´ırculo: 5.2 ˘ 0.1 cm

Figura 1. Medida del di´ametro de un circulo usando la regla.

Debido a esta limitaci´ on, si usan el simulador (archivo adjunto llamado “regla graduada.exe”), ´este no puede estar seguro cuando el borde de medici´on est´a entre las marcas. Este simulador indica este hecho colocando un n´ umero cinco entre par´entesis (5). Experim´entelo usted mismo ejecutando este archivo en su pc.

Calibrador o pie de Rey Los calibradores Vernier o pie de rey son instrumentos de medici´on por contacto sencillo que se basan en el uso de una regleta, y su mejora pr´ actica por la disposici´on y relaci´on directa con el objeto a medir. Se aplican para medir espesores internos, externos, y profundidades, como se aprecia en la figura 2.

Figura 2. Calibrador o pie de rey en el cu´al se exhiben las partes con las cuales se pueden realizar medidas internas, externas y profundidad.

En la figura 3a, la escala principal o regla fija est´a graduada en cent´ımetros y cada cent´ımetro est´ a dividido por diez mil´ımetros. El nonio o regla m´ovil divide el mil´ımetro por veinte (1/20) de forma que la m´ınima divisi´ on corresponde a 0.05 mm, cinco cent´esimos de mil´ımetro.

(a) Ejemplo 1.

(b) Ejemplo 2.

Figura 3. Lectura con calibrador pie de rey. La parte entera de la medida se toma seg´ un la l´ınea del cero del nonio donde coincida con la regla fija del calibrador (como indica el recuadro rojo en (a), donde la medida pareciera m´ as pr´ oxima de 15 mm, pero como no coincide exactamente, entonces se toma la lectura con el mil´ımetro anterior es decir 14 mm). La cifra decimal de la medida es dada por la coincidencia exacta de las divisiones del nonio y las divisiones de la regleta fija (como indica el c´ırculo rojo en (a), que en este caso muestra que es 90). Con lo anterior, la medida en (a) es 14.90 mm “ 1.490 cm, mientras que en (b) es 2.65 mm“ 0.265 cm.

Puesto que la resoluci´ on de este instrumento es 0.05 mm, en los ejemplos de la figura 3 las medidas se escriben, respectivamente, como: paq

1.490 ˘ 0.005 cm

pbq

0.265 ˘ 0.005 cm.

Tornillo microm´ etrico Es un instrumento de medici´ on de longitudes y espesores. Su particularidad consiste en ser m´as preciso en la toma de medidas que el calibrador. Consta b´asicamente de un tornillo que puede moverse a lo largo de su propio eje.

Figura 4. Tornillo microm´etrico.

En el micr´ometro centesimal, la resoluci´ on se obtiene dividiendo el paso de rosca del husillo microm´etrico por el n´ umero de divisiones del tambor, por tanto, la resoluci´on es:“ 0.5 mm{50“ 0.01 mm. Una vuelta completa del tambor produce el avance de 0.5 mm, (equivalente a una l´ınea de la parte inferior de la regleta del cuerpo del tornillo), por consiguiente, dos vueltas son 1mm (equivalente a una l´ınea de la parte superior de la regleta del cuerpo del tornillo). Vea los siguientes ejemplos:

(a) Ejemplo 1.

(b) Ejemplo 2.

Figura 5. Lectura con tornillo microm´etrico

El arco en la figura 5(a) (ovalo amarillo) indica el rango en el cual se encuentra la medici´on, para este caso entre 25 mm y 50 mm. Note que hay 2 l´ıneas despu´es del 25 en la parte superior de la regleta del cuerpo del tornillo, indicando que la parte entera de la medida corresponde a 27 mm. Para la parte decimal de la medida, la lectura se realiza con el tambor del tornillo microm´etrico, ´este no ha completado una vuelta (una vuelta se completar´ıa si alcanzara al 0), puesto que no aparece una l´ınea en la parte inferior de la regleta del cuerpo del tornillo. Como la marca coincide antes del cero (ver cuadro rojo) se registra, para este caso 0.49 mm. Por tanto, la medida es: Medici´ on=(27.00 mm + 0.49 mm) ˘ 0.01 mm= 27.49 ˘ 0.01 mm El arco en la figura 5(b) indica que la medida est´a entre 0 mm y 25 mm. Note que hay 4 l´ıneas despu´es del 0 en la parte superior de la regleta del cuerpo del tornillo, indicando que la parte entera de la medida corresponde a 4 mm. Para la parte decimal de la medida, que se realiza con el tambor del tornillo microm´etrico, ´este se ha girado una vuelta, puesto que aparece una l´ınea en la parte inferior de la regleta del cuerpo del tornillo, indicando 0.50 mm. Como la marca coincide despu´es del cero (l´ınea roja) se registra, para este caso 0.22 mm. Por tanto, la medida es de: Medici´ on=(4.00 mm + 0.50 mm + 0.22 mm) ˘ 0.01 mm= 4.72 ˘ 0.01 mm Puesto que el uso frecuente del tornillo microm´etrico hace que ´este se descalibre, antes de cada uso hay que ajustar el micr´ ometro. Para poder calibrarlo debe “ponerse en cero el micr´ometro” con ayuda del tornillo calibrador, ajustando el cero del cuerpo correctamente alineado con el cero del tambor giratorio.

Referencias [1] Eduardo J. Stefanelli, https://www.stefanelli.eng.br

UPTC - Laboratorio de medición. Física I

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Medición:

Medición:

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Medición: __________

Medición:

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Medición: __________

Conceptos previos: C´ alculo de incertidumbres En esta secci´on se define un criterio b´ asico para el c´alculo de la incertidumbre de medidas indirectas. Se considerar´a u ´nicamente la resoluci´ on del instrumento, y en algunos casos donde sea relevante, la apreciaci´on humana. Sean x e y las medidas directas y ∆x y ∆y las incertidumbres absolutas correspondientes. Cada medida se reportar´a de la siguiente manera: x ˘ ∆x y y ˘ ∆y. Sea f px, yq una funci´on que depende de esas variables. Para determinar su incertidumbre absoluta se requiere el c´alculo de las derivadas parciales de f px, yq respecto a cada una de las variables, as´ı: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Bf ˇ ˇ Bf ˇ ˇ ˇ ∆f “ ˇ ˇ∆x ` ˇˇ ˇˇ∆y (1) Bx By donde el t´ermino Bf {Bx representa la derivada parcial de f respecto a x, Bf {By representa la derivada parcial de f respecto a y. En el t´ermino Bf {Bx esta notaci´on significa que al derivar se considera cualquier otra variable diferente a x como una constante, y lo mismo ocurre con Bf {By. N´otese que, como f px, yq depende de dos variables, en la ecuaci´on (1) aparecen dos t´erminos. Esto implica que si la funci´on depende de n variables, en la ecuaci´on (1) aparecer´an n derivadas parciales. Otro concepto importante en el ´ ambito de las medidas es la incertidumbre relativa, definida como: ˇ ˇ ˇ∆f ˇ Incert. rel. “ ˆ 100 f

(2)

Como este valor porcentual resulta de la comparaci´on de la incertidumbre con la medida, permite evaluar que tan bueno fue el proceso de medida de la variable. Como un ejemplo del c´ alculo de las incertidumbres por este m´etodo, consid´erense las siguientes funciones. Suma o resta de dos variables f px, yq “ x ` y.

(3)

∆f “ ∆x ` ∆y

(4)

La incertidumbre absoluta en f es:

Si se realiza el mismo procedimiento para la resta de dos variables, se obtendr´a la misma expresi´ on. Producto de dos variables f px, yq “ x y

(5)

∆f “ x ∆y ` y ∆x

(6)

La incertidumbre absoluta en f es:

Cociente de dos variables f px, yq “

x y

(7)

La incertidumbre absoluta en f es: ∆f “

∆x x∆y ` 2 y y

(8)