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• Juan Jose Atalaya Goicochea

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INFORME PREVIO INTRODUCCIÓN La función del muestreador es convertir una señal continua en el tiempo (análoga) en un tren de pulsos en los instantes de muestreo 0, T, 2T, …, en donde T es el periodo de muestreo. El muestreador es el elemento fundamental en un sistema de control de tiempo discreto. Consiste simplemente en un interruptor que cierra cada T segundos para admitir una señal de entrada. En la práctica, la duración del muestreo debe ser menor que la constante de tiempo más significativa de la planta o proceso. Parte I Resolver en forma analítica y con Matlab (presentar la captura de pantallas). 1. Las funciones que se dan a continuación son muestreadas cada T segundos. Calcular: i) La función muestreada x*(t) ii) La transformada de Laplace X*(S) de la función muestreada x*(t) a) 𝐱(𝐭) = 𝐞−𝟔𝐭 − 𝟐𝐭

𝐓 = 𝟎. 𝟏𝐬

Solución i)

La función muestreada f*(t) 𝑥(𝑡) = 𝑒 −6𝑡 − 2𝑡 𝑇 = 0.2𝑠

Reemplazar 𝑡 = 𝑘𝑇 Tenemos 𝑥(𝑘𝑇) = 𝑒 −6𝑘𝑇 − 2𝑘𝑇 = 𝑥(𝑘𝑇) = 𝑒 −1.2𝑘 − 0.4𝑘 ∞

𝒙

∗

(𝒕)

= ∑ 𝒇(𝒌𝑻) 𝜹(𝒕−𝒌𝑻) 𝒌=𝟎

Desarrollando la sumatoria y reemplazando para T=0.1s ∞

𝒙∗ (𝒕) = ∑[𝒆−𝟏.𝟐𝒌 − 𝟎. 𝟒𝒌]𝜹(𝒕−𝟎.𝟐𝒌) 𝒌=𝟎

La función muestreada seria: 𝒙∗ (𝒕) = 𝜹(𝒕) + [𝒆−𝟏.𝟐 − 𝟎. 𝟒]𝜹(𝒕−𝟎.𝟐) + [𝒆−𝟐.𝟒 − 𝟎. 𝟖]𝜹(𝒕−𝟎.𝟒) + [𝒆−𝟑.𝟔 − 𝟏. 𝟐]𝜹(𝒕−𝟎.𝟔) + [𝒆−𝟒.𝟖 − 𝟏. 𝟔]𝜹(𝒕−𝟎.𝟖) + ⋯

ii)

La transformada de Laplace X*(S) de la función muestreada x*(t) ∞

𝒙

∗

(𝒕)

= ∑ 𝒇(𝒌𝑻) 𝜹(𝒕−𝒌𝑻) 𝒌=𝟎

Reemplazando 𝑥(𝑇) con 𝑥(𝑘𝑇) ∞

𝒙

∗

(𝑻)

= ∑[𝒆−𝟔𝑻 − 𝟐𝑻]𝜹(𝒕−𝑻) 𝒌=𝟎

𝑥 ∗ (𝑡) = 𝑥0 𝛿𝑡 + 𝑥𝑇 𝛿𝑡−𝑇 + 𝑥2𝑇 𝛿𝑡−2𝑇 + 𝑥3𝑇 𝛿𝑡−3𝑇 + … … … …

Haciendo la transformada de Laplace 𝑋 ∗ = 𝑥0 + 𝑥(𝑇) 𝑒 −𝑇𝑆 + 𝑥(2𝑇) 𝑒 −2𝑇𝑆 + 𝑥(3𝑇) 𝑒 −3𝑇𝑆 + … … … … Tenemos: 𝑋 ∗ = 1 + (𝑒 −6𝑇 − 2𝑇)𝑒 −𝑇𝑆 + (𝑒 −12𝑇 − 4𝑇)𝑒 −2𝑇𝑆 + (𝑒 −18𝑇 − 6𝑇)𝑒 −24𝑆 + ⋯ … .. Entonces se obtiene: 𝑋 ∗ (𝑆) = 1 + (𝑒 −1.2 − 0.4)𝑒 −0.2𝑠 + (𝑒 −2.4 − 0.8)𝑒 −0.4𝑠 + (𝑒 −3.6 − 1.2)𝑒 −0.6𝑠 + (𝑒 −4.8 − 1.6)𝑒 −0.8𝑠 + ⋯ … … ..

2. Modifique el periodo de muestreo (dos valores) para ver los casos cuando se produce aliasing. Explique porque se presentan la distorsion y como se soluciona.

3- Asuma que la entrada al sistema de a siguiente figura está dada por las funciones del problema 1. Obtenga y grafique la salida del retenedor.

a) 𝐱(𝐭) = 𝐞−𝟔𝐭 − 𝟐𝐭 𝐓 = 𝟎. 𝟐𝐬 Utilizando la ecuación Para un retenedor de orden cero ∞

f̌(t) = ∑ x(kT) [u(t − kT) − u(t − (k + 1)T)] k=0

x(kT) = e−6KT − 2KT ;

𝑡 = 𝐾𝑇

∞

f(t) = ∑ x(kT) e−6KT − 2KT − [u(t − kT) − u(t − (k + 1)T)] k=0

f(t) = u(t) − u(t − T) + e−6T − 2T − [u(t − T) − u(t − 2T)] + e−12T − 4T − [u(t − 2T) − u(t − 3T)] + e−18T − 6T − [u(t − 3T) − u(t − 4T)] +⋯ Simplificando resultado para T=0.2 segundos f(t) = u(t) − u(t − 0.2) + e−1.2 − 0.4 − [u(t − 0.2) − u(t − 0.4)] + e−2.4 − 0.8 − [u(t − 0.4) − u(t − 0.6)] + e−3.6 − 1.2 − [u(t − 0.6) − u(t − 0.8)] +⋯

4- Para el sistema de control de las siguientes figuras determine. a) El ancho de banda del sistema en lazo cerrado. b) El rango dentro del cual se puede seleccionar el periodo de muestreo utilice dos métodos diferentes. c) Elabore un programa en Matlab que resuelva el problema planteado.

a) El ancho de banda del sistema en lazo cerrado La función de transferencia del sistema continuo en lazo cerrado es: 𝐺𝑤 (𝑠) =

𝐺(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)

𝐺𝑤 (𝑠) =

8 𝑠 (𝑠+2) 8 1+ 𝑠 (𝑠+2)

=

8 𝑠2 +2𝑠+8

Haciendo a s=jw, después de simplifica se obtiene 𝐺𝑤 (𝑗𝑤) =

8 2

(𝑗𝑤) + 2(𝑗𝑤) + 8

|𝐺𝑤 (𝑗𝑤)| =

=

8 2

8 − (𝑤) + 2(𝑗𝑤)

8 2 √(8−(𝑤)2 ) +4𝑤2

Para w=0 se obtiene |𝐺𝑤 (𝑗𝑤)| = 1 el ancho de banda se calcula haciendo: |𝐺𝑤 (𝑗𝑤)| = 0.707|𝐺𝑤 (0)|

8 √(8 − (𝑤𝑐 )2 )2 + 4𝑤𝑐 2

= 0.707

128 = 64 + 𝑤𝑐 4 − 16𝑤𝑐 2 + 4𝑤𝑐 2

𝑤𝑐 4 − 12𝑤𝑐 2 − 64 = 0 𝑤𝑐 2 = 4

𝑟𝑎𝑑 𝑠

b) El rango dentro del cual se puede seleccionar el periodo de muestreo utilice dos métodos diferentes. Según la ecuación 1.15 la frecuencia de muestreo debe estar en el intervalo

8𝑤𝑐 < 𝑤𝑠 < 12𝑤𝑐

;𝑇 =

2𝜋 𝑤𝑠

32 < 𝑤𝑠 < 48 1/48