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L A

C O S E C H A

D E A C E R T I J O S

Recogemos 150 fr utos del ing enio

Héctor San Segundo

Héctor Raúl San Segundo La cosecha de acertijos Todos los acertijos aquí presentados fueron creados por Héctor San Segundo Correo electrónico: [email protected]

Índice Prefacio....................................................................................................10 1 Primera pasada.....................................................................................11 1.1 Mesas y sillas................................................................................12 1.2 Cajas chicas y grandes................................................................12 1.3 Perales...........................................................................................12 1.4 Grupo de palabras......................................................................13 1.5 Manzanas grandes y chicas.......................................................14 1.6 El reloj..........................................................................................14 1.7 El alfabeto de Pilquimín............................................................15 1.8 Otro número invertido..............................................................15 1.9 Comiendo peras..........................................................................16 1.10 Muchas bandejitas....................................................................17 1.11 Bandejas chicas y grandes.......................................................17 1.12 Ofertas de frutas.......................................................................18 1.13 Basta de cabras..........................................................................18 1.14 El retorno de Pilquimín..........................................................19 1.15 Tres dígitos................................................................................19 1.16 Seis números seis......................................................................20 1.17 Código alfabético.....................................................................21 1.18 Intercambio...............................................................................22 1.19 Criptosuma allense...................................................................22 1.20 Vacas y ovejas............................................................................23

1.21 La hora exacta...........................................................................23 1.22 El peso de los cajones.............................................................24 1.23 Una curiosa clasificación.........................................................24 1.24 Siete números siete...................................................................25 1.25 Los comensales zurdos............................................................25 1.26 El peso de las frutas.................................................................26 1.27 El número faltante...................................................................26 1.28 Ocho números ocho................................................................27 1.29 Tres variedades..........................................................................27 1.30 Frutas triangulares....................................................................28 1.31 Manzanas en un cajón.............................................................28 1.32 El planeta Tierra.......................................................................29 1.33 Duraznos y manzanas..............................................................29 1.34 Una curiosa numeración.........................................................30 1.35 Precio complicado....................................................................31 1.36 Peras y manzanas mezcladas..................................................31 1.37 La chacra....................................................................................32 1.38 La cordillerita............................................................................32 1.39 Ocurrió hace muchos años.....................................................33 1.40 Diez y ocho...............................................................................34 1.41 Gran cantidad de manzanas...................................................34 1.42 Cadena triangular......................................................................35 1.43 La carrera pedestre...................................................................35 1.44 Manzanas en dos cajas.............................................................36

1.45 Un reloj allense.........................................................................36 1.46 Adivinación de un número.....................................................37 1.47 Doble numeración...................................................................38 1.48 Hombre bajo y hombre alto...................................................38 1.49 La chacra cuadrada...................................................................39 1.50 Hombre y mujer.......................................................................40 2 Segunda pasada....................................................................................41 2.1 Hacia el bicentenario..................................................................42 2.2 Dos cuadros de manzanos........................................................42 2.3 Frutas variadas............................................................................43 2.4 Rotación de cultivos...................................................................43 2.5 Retirando manzanas de dos cajas............................................44 2.6 Tres bandejas de manzanas.......................................................45 2.7 La chacra de Pedro.....................................................................45 2.8 Vacas y más vacas.......................................................................46 2.9 Tres números...............................................................................47 2.10 Manzanos en dos parcelas......................................................47 2.11 Un cuadro de manzanos y otro de perales...........................48 2.12 Caja y cajón...............................................................................48 2.13 Diez cajas de manzanas...........................................................49 2.14 Manzanas sobrantes.................................................................49 2.15 Cajas de peras y de manzanas.................................................50 2.16 Las plantas y las filas................................................................51 2.17 Dos clases de cajas...................................................................51

2.18 Seis números seis II.................................................................52 2.19 Muchas ofertas..........................................................................52 2.20 Suma de números.....................................................................53 2.21 Los trenes..................................................................................54 2.22 Más de 50 cajones....................................................................54 2.23 Los caminos..............................................................................55 2.24 Tres tamaños de manzanas.....................................................55 2.25 Un cajón igual a tres.................................................................56 2.26 Un coche particular..................................................................56 2.27 Treinta y nueve manzanas.......................................................57 2.28 Siete números siete II..............................................................58 2.29 Manzanas chicas, medianas y grandes...................................58 2.30 Una plantación excéntrica.......................................................59 2.31 El indio negociante..................................................................60 2.32 100 manzanas............................................................................60 2.33 Jueves..........................................................................................61 2.34 Plantación con dos variedades...............................................61 2.35 El coche rojo y el coche blanco.............................................62 2.36 La cosecha.................................................................................63 2.37 Ocho números ocho II...........................................................63 2.38 La cuenta de Juan y de Pedro.................................................64 2.39 Peras y manzanas en cajas.......................................................64 2.40 Filas de manzanos y de perales..............................................65 2.41 Tres cultivos..............................................................................66

2.42 Numeración vertical y horizontal..........................................66 2.43 Tres nuevos números...............................................................67 2.44 Dos plantaciones triangulares................................................67 2.45 Dos chacras cuadradas............................................................68 2.46 Otros tres números..................................................................69 2.47 Cajitas de peras y de manzanas..............................................69 2.48 Diferencia..................................................................................70 2.49 El precio de las manzanas.......................................................70 2.50 Un lote de frutas.......................................................................71 3 Al barrer................................................................................................72 3.1 El regreso de Pilquimín.............................................................73 3.2 El viverista acertijero.................................................................73 3.3 El fruticultor................................................................................74 3.4 Un número..................................................................................75 3.5 El frutero confundido...............................................................75 3.6 El libro de Pilquimín..................................................................76 3.7 El rebaño de ovejas....................................................................76 3.8 Lista de palabras.........................................................................77 3.9 La variante de Pilquimín............................................................78 3.10 Dispenser ..................................................................................78 3.11 Tablero de ajedrez....................................................................79 3.12 Código postal............................................................................79 3.13 Dos, cuatro, siete y nueve.......................................................80 3.14 Multiplicación...........................................................................80

3.15 Una cuadrilla de cosechadores...............................................81 3.16 Un triángulo triangular............................................................82 3.17 La estancia de don Zoilo.........................................................82 3.18 Promedio de cosecha...............................................................83 3.19 Plantación cuadrada.................................................................84 3.20 La poda de manzanos..............................................................85 3.21 Los arbolitos..............................................................................85 3.22 Criptosuma alfabética..............................................................86 3.23 Seis números seis III................................................................86 3.24 En el túnel otra vez..................................................................87 3.25 Inspeccionando plantas...........................................................87 3.26 Siete números siete III.............................................................88 3.27 Ocho números ocho III..........................................................88 3.28 Ley astronómica de Bode.......................................................89 3.29 El premio...................................................................................90 3.30 Un cuadro cuadrado................................................................90 3.31 El número X.............................................................................91 3.32 Repartiendo manzanas............................................................91 3.33 El reparto de manzanas...........................................................92 3.34 Seis cajas de frutas....................................................................93 3.35 El reloj intrigante......................................................................94 3.36 Lavar...........................................................................................95 3.37 Una treintena de frutas............................................................95 3.38 Tres cuadros cuadrados...........................................................96

3.39 Fecundadora..............................................................................96 3.40 Números primos......................................................................97 3.41 Dos filas de manzanos incompletas......................................98 3.42 Dos condiciones triangulares.................................................98 3.43 Una plantación triangular........................................................99 3.44 Dos chacras diferentes............................................................99 3.45 Sandias y melones..................................................................100 3.46 Tres cuadros............................................................................101 3.47 Muestras de manzanas...........................................................101 3.48 Asfalto y tierra........................................................................102 3.49 Bandejitas de frutas................................................................103 3.50 Nueve números nueve...........................................................103 Soluciones..............................................................................................104 Epílogo...................................................................................................177

P R E F A C I O Cada fruta tiene una manera distinta de realizar el trabajo de cosecha. Ahora veremos muy brevemente como se realiza esta tarea para el caso de las manzanas: Se comienza haciendo la “primera pasada”. Se recogen solamente las frutas que ya tienen el tamaño y el color requerido. Luego de varios días, se continúa con la “segunda pasada”. Se recogen las manzanas que ahora alcanzaron el tamaño y el color esperado. Por último, se cosecha “al barrer”, es decir, todas las que quedan. En los tres capítulos de este libro, la primera pasada significa: Primero estudiar los acertijos que nos resultan más accesibles. La segunda pasada es para analizar los enunciados que luego de lo que aprendimos ya podemos resolver. Y, “al barrer” consideramos todo tipo de acertijos porque estamos preparados para encontrar las soluciones de cualquier enigma, no necesitamos ya intentar primero los más simples.

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Primera pasada

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1.1 Mesas y sillas Una persona va a una casa compra – venta. Compra 6 mesas y entrega por ellas 7 sillas y 13 pesos. Luego de un tiempo, vuelve y compra 9 mesas por las cuales entrega 11 sillas y 17 pesos. Suponiendo que los precios son invariables, ¿cuánto vale cada mesa y cuánto vale cada silla?.

1.2 Cajas chicas y g randes Tenemos cajas chicas y cada una tiene 8 manzanas. Y también tenemos cajas grandes y cada una tiene 24 manzanas. Las cajas chicas son más que las grandes, ocho más. La cantidad total de manzanas es 640. ¿Cuántas son las cajas chicas, cuántas son las cajas grandes?.

1.3 Perales Tenemos 125 plantas entre packhams y William (dos variedades de pera). Cada planta de packhams tiene 12 peras. Cada 12

PRIMERA PASADA planta de William tiene 24 peras. Se cosecha un cuarto de la cantidad de plantas William retirando todos los frutos de cada planta. En ese momento quedan en las plantas (entre ambas variedades) 1.560 peras. ¿Cuántas son las plantas de packhams, cuántas son las de William?.

1.4 Gr upo de palabras Hay palabras emparentadas que constituyen un grupo, como los nombres de los días de la semana, los nombres de los meses del año, etc. En este conjunto de letras hay un grupo de palabras emparentadas. No tan conocidas como los ejemplos dados, pero, que no son ajenas entre sí sino que están unidas por cierta pauta. El desafío consiste en encontrarlas. Para leer esas palabras se comienza por la inicial y se pasa de una letra a otra en horizontal, vertical o diagonal.

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LA COSECHA DE ACERTIJOS

A Q P S U I L T A O N C

I E O U L

B M B E

1.5 Manzanas g randes y chicas Tenemos un cajón que contiene más de 50 manzanas y menos de 70 manzanas. Las manzanas de este cajón se ofrecen a la venta. Y en un momento, el frutero comprueba que el triple de las manzanas que ya se llevaron es igual a un tercio de la cantidad que quedan. ¿Cuántas manzanas tenía el cajón? ¿Cuántas se llevaron? ¿Cuántas quedan?.

1.6 El reloj En cierto momento, la aguja de los minutos apunta exactamente a un número. Transcurrido un tiempo, la misma aguja apunta exactamente a otro número. La diferencia entre ambos números es igual a la cantidad de minutos transcurridos. ¿Cuáles 14

PRIMERA PASADA son esos dos números? ¿Cuántos minutos transcurrieron? Hay dos soluciones..

1.7 El alfabeto de Pilquimín Pilquimín tenía un alfabeto muy parecido al nuestro. Se componía de las mismas 27 letras. (la ch no se cuenta). O sea, A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. Ñ. O. P. Q. R. S. T. U. V. W. X. Y. Z. El orden, o lugar que ocupa cada letra, era también muy parecido al orden de nuestro alfabeto. Sin embargo, había una regla que hacía que ese orden no fuese exactamente el mismo. Las letras que ocupaban los lugares 10. 15. 20 y 25, eran G, M, R y X respectivamente. Y eso por el imperio de una sola regla. ¿Cómo estaban ordenadas las letras en el alfabeto de Pilquimín? ¿Cuál es esa única regla?.

1.8 Otro número invertido Tenemos un número de cierta cantidad de cifras. Lo escribimos de manera invertida, o sea, de derecha a izquierda. Se

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LA COSECHA DE ACERTIJOS suman ambos. Esta operación permite plantear muchos acertijos. Veamos ahora una variante sencilla: Tengo un número de cuatro cifras. Lo invierto. Los sumo. O sea, +

ABCD DCBA

Del resultado, la primera cifra de la izquierda es un 6. La segunda y la tercera suman 15. ¿Cuáles son estas dos cifras?.

1.9 Comiendo peras Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del cero al siete, ambos inclusive, a igual letra, igual dígito. A letra diferente dígito diferente, para que resulte una suma correcta..

P + P P C

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E E E O

R R R M

A A A O

PRIMERA PASADA

1.10 Muchas bandejitas Tenemos dos lotes de manzanas, A y B. Retiramos un cuarto de las manzanas de A y un quinto de las de B. Si estas cantidades se intercambian, las de A se pasan a B y las de B a A, ambos lotes quedarían con igual cantidad. Por eso, se decidió juntar ambos lotes. Por último, se envasaron todas las manzanas en bandejitas. Todas iguales, bajo dos condiciones: 1) Cada una no podía contener más de 20 unidades. 2) La cantidad de manzanas en cada bandejita es mayor que la cantidad de bandejitas. ¿Cuál es el máximo de manzanas que puede haber?.

1.11 Bandejas chicas y g randes Tenemos muchas bandejas chicas que contienen 5 manzanas cada una. Y también tenemos muchas bandejas grandes que contienen 11 manzanas cada una. Las bandejas chicas son más que las grandes, menos de 30 más. Se traspasan a un depósito hasta completar 800 manzanas. ¿Cuántas bandejas chicas se traspasaron, cuántas grandes?. 17

LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.12 Ofer tas de fr utas En un mercado había tres ofertas de frutas, cada una se componía de una caja de manzanas, una caja de duraznos y una caja de peras. Al día siguiente había tres ofertas diferentes: 1) Dos cajas de manzanas, una de duraznos y una de peras. $ 54. 2) Una caja de manzanas, dos de duraznos y una de peras. $ 57. 3) Una caja de manzanas, una de duraznos y dos de peras. $ 61. ¿Cuánto vale una caja de manzanas, cuánto vale una caja de duraznos y cuánto vale una caja de peras? (el precio de cada caja es siempre el mismo).

1.13 Basta de cabras “Basta de cabras”, dijo el cacique. Tenemos 72 y no dejaremos ninguna. ¿Por cuántos caballos puedes cambiarlas? –Por 56- respondió Pilquimín. ¿Y por cuántas vacas? Por 63. Todo según las condiciones habituales.-Mejor- dijo el cacique – cambia 18

PRIMERA PASADA una parte por caballos y otra parte por vacas. –Eso no es posible-, observó Pilquimín. Pregunta: ¿Por qué no es posible? La razón es, por supuesto, aritmética.

1.14 El retor no de Pilquimín Mientras Pilquimín estaba ausente, se cambiaron 30 vacas por caballos. No se sabe exactamente por cuantos. Era un número indeterminado entre 1 y 10. (Ambos inclusive). También, en otro trueque, se habían cambiando 50 vacas por un número de caballos comprendido entre 11 y 20 (ambos inclusive). Con estos datos tan imprecisos, Pilquimín dedujo cuantos eran exactamente los caballos en uno y otro trueque. ¿Cuántos eran los caballos en uno y otro trueque? (en ambos trueques la relación caballos vacas fue la misma).

1.15 Tres dígitos Se eligen tres dígitos distintos y se forman y se suman los

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LA COSECHA DE ACERTIJOS seis números que resultan de combinar esos tres dígitos (el cero no interviene ni en los tres dígitos elegidos ni en el resultado de la suma). Los números que se forman son también de tres cifras. Por ejemplo: Se eligen: 1, 2 y 3. Resulta: 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332. Ahora el desafío es el siguiente: Los tres dígitos elegidos y los dígitos del resultado de la suma, deben ser todos diferentes. ¿Cuáles son esos tres números?.

1.16 Seis números seis En esta cuadrícula, de 5 x 5, hay que colocar once números seis, de manera que cada uno tenga alineados otros seis números seis. Estos son la suma de los que están alineados en horizontal, vertical y diagonal. En el ejemplo, el seis central tiene alineados cuatro números seis.

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PRIMERA PASADA

6 6 6 6

6

6

6 Cuadrícula

Ejemplo

1.17 Códig o alfabético El código básico es: A = 1. B = 2. C = 3. Etc. Pero, podemos establecer otros códigos. Por ejemplo: A = 73. B = 74. C = 75. Etc. Usando cierto código, las letras de la palabra PERA suman 362. ¿Cuál es ese código? O sea, ¿Cuánto vale A? El código básico es: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. Ñ. O. P. Q. R. S. T. U. V. W. X. Y. Z.

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LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.18 Intercambio Tenemos una caja de manzanas y otra caja de peras. Si pasamos un tercio de las manzanas a la caja de peras y pasamos un cuarto de las peras a la caja de manzanas, en cada caja quedarán la misma cantidad de frutos (las manzanas más las peras). Y esa cantidad es un número cuadrado. Sabiendo que la cantidad total de frutas (las manzanas más las peras) es menor de 200. ¿Cuál es esa cantidad?.

1.19 Criptosuma allense Allen, ciudad natal del autor de este acertijo celebró en el año 2.010 sus primeros cien años de vida. Por eso esta sencilla criptosuma:

+ A

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C

I

E

N

C

I

E

N

C

I

E

N

L

L

E

N

PRIMERA PASADA Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del 0 al 9 (ambos inclusive). A igual letra, igual dígito. A letra diferente, dígito diferente. Para que resulte una suma correcta.

1.20 Vacas y ovejas Pilquimín tenia un rebaño de ovejas en un corral. Agregó otro rebaño que era 4 veces mayor que el anterior. Luego, cambió todas esas ovejas por vacas recibiendo 1 vaca por 3 ovejas. Las vacas recibidas eran más de 10 y menos de 20. ¿Cuántas eran exactamente las vacas recibidas por Pilquimín?.

1.21 La hora exacta Hacemos dos lecturas de un reloj: 1) La aguja de los minutos apunta a un número y la horaria está por llega a otro número. 2) La horaria llega a ese otro número. Entonces, la suma del número que apuntaba la aguja de los minutos más el número que ahora apunta la horaria es igual a la cantidad de minutos

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LA COSECHA DE ACERTIJOS transcurridos entre ambas lecturas. ¿Qué hora es en ambas lecturas?.

1.22 El peso de los cajones 1) Tres cajones de peras y dos de manzanas pesan en total 45 kilos. 2) Tres cajones de manzanas y dos de peras pesan en total 50 kilos ¿Cuánto pesa un cajón de peras? ¿Cuánto pesa un cajón de manzanas?.

1.23 Una curiosa clasificación En una carrera automovilística, disputada en 12 etapas, participan 10 volantes. La clasificación es muy curiosa: en cada etapa, al primero se le otorgan 10 puntos. Al segundo 9. Al tercero 8. Etc. Etc. En 11 etapas, el volante llamado Juan, se ubicó en el octavo lugar. Y en un etapa, en el séptimo lugar. Así logró en la clasificación general el mejor puesto que en tales condiciones

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PRIMERA PASADA podría obtener.¿En que puesto de la clasificación general se ubicó Juan? No hubo abandonos.

1.24 Siete números siete En una cuadrícula de 3 x 7, hay que colocar catorce números siete, de manera que cada uno tenga alineados otros siete números siete. Estos son la suma de los que están alineados en horizontal, vertical y diagonal.

1.25 Los comensales zurdos Hay una mesa rectangular con 10 platos de un lado y otros diez en el otro lado (no hay en las cabeceras). A la derecha de cada plato habría un cuchillo y a la izquierda un tenedor. Pero, si hay una persona zurda el cuchillo está a la izquierda del plato y el tenedor a la derecha. Los platos de un lado están perfectamente enfrentados con los platos del otro lado y así también están enfrentados los utensilios: cada cuchillo estaría enfrentado con un tenedor si todos los comensales fuesen diestros. Pero, se observan

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LA COSECHA DE ACERTIJOS dos cuchillos enfrentados con otros dos cuchillos. Eso por la presencia de una o más personas zurdas. ¿Cuál es el máximo número de personas zurdas que puede haber?.

1.26 El peso de las fr utas Consideramos el peso de tres clases de frutas: peras manzanas y duraznos. Se presentan las relaciones siguientes entre los pesos y los precios de cada fruta: 1) 21 kilos de peras equivalen a 28 kilos de manzanas. 2) Un kilo de duraznos equivale a un kilo de peras y un kilo de manzanas. O sea, 1 kilo de peras + 1 kilo de manzanas = 1 kilo de duraznos. 3) 21 kilos de peras y 28 kilos de manzanas ¿A cuántos kilos de duraznos equivale?.

1.27 El número faltante Generalmente, para resolver un acertijo hay que aprovechar toda la información expuesta en el enunciado. Veamos este caso:

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PRIMERA PASADA Tenemos dos números y dos condiciones: 1) La diferencia entre ellos es la mitad de su suma. 2) La diferencia entre ellos más el menor, es igual al mayor. 3) Uno de esos números es el 97. ¿Cuál es el otro?.

1.28 Ocho números ocho En este casillero de 6 x 6 hay que escribir 14 números ocho de manera que cada uno tenga alineados otros ocho números ocho sumando los que están en horizontal, vertical y diagonal.

1.29 Tres variedades En una chacra hay tres variedades de manzanos: Granny, gala y deliciosa. Si se multiplica la cantidad de granny por la cantidad de deliciosas resulta igual a multiplicar la cantidad de granny por la cantidad de gala, más 200. Además, sabemos que: Deliciosas = gala + 8 Gala = granny + 8 ¿Cuántas plantas hay de cada variedad?.

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LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.30 Fr utas triangulares Tenemos esos cajones que no pueden contener más de 100 frutas. Presentan estas condiciones aritméticas: 1) Hay cajones de peras que contienen cada uno una cantidad igual a un número triangular. 2) Hay otros cajones de manzanas que contienen cada uno una cantidad igual a otro número triangular. 3) Cuatro cajones de peras y uno de manzanas suman una cantidad de frutas igual a un número triangular. 4) Un cajón de peras y dos de manzanas suman una cantidad de frutas igual al mismo número triangular. ¿Cuántas peras contiene cada cajón y cuántas manzanas contiene cada uno de los otros cajones?.

1.31 Manzanas en un cajón En un cajón hay cierta cantidad de manzanas. Una persona retira una y otra persona agrega un tercio de las que quedan. Alguien retira otra y se agrega un tercio de las que quedan. Por último, se vuelve a retirar una y se agrega un tercio de las que 28

PRIMERA PASADA quedan. El cajón puede tener como máximo 100 manzanas. ¿Cuántas manzanas había primero en el cajón, cuántas quedaron al final? (nunca se partió una manzana).

1.32 El planeta Tier ra El planeta Tierra en el transcurso de un año realiza una vuelta más sobre sí misma que la cantidad de días, aunque aparentemente cumple una rotación cada día. ¿Cómo se explica? ¿Y cómo se explica que sea exactamente una vuelta más que la cantidad de días y solo una más? .

1.33 Duraznos y manzanas Dos cajas de duraznos y una de manzanas tienen en total 117 frutas. Una caja de duraznos y dos de manzanas tienen en total 129 frutas. ¿Cuántos duraznos y cuántas manzanas contiene cada caja? Todas las cajas de duraznos tienen la misma cantidad. Y

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LA COSECHA DE ACERTIJOS todas las de manzanas también, aunque una cantidad diferente a la de las cajas de duraznos.

1.34 Una curiosa numeración Hay un cuadro de plantas con cierta cantidad de filas. El propietario marcó a cada una con números correlativos de una manera curiosa: En un lado puso un número en una fila sí y en una fila no, en una sí, en otra no. Etc. Fue al otro lado y marcó cada punta de las filas que no tenían números en la otra punta y siguiendo la numeración anterior. (Cada fila tenía un número en una punta y en otra no). Identifiquemos las filas con letras A, B, C, D, E, ETC. De un lado podía comenzar de la primera o de la segunda fila, por 0 o por 1: Por ejemplo: A = 0. B. C = 1. D. E = 2. F, G = 3. Etc. Y del otro lado: A. B = 9. C, D = 10. E. F = 11. Etc. Por último: Si se suman los números impares de un lado, el resultado es un cuadrado. Y si se suman los números pares del otro lado, el resultado también es un número cuadrado. Si se suman los números pares, se saltean los impares. Y si se suman los impares, se saltean los pares. 30

PRIMERA PASADA ¿Cuántas filas tiene el cuadro? ¿Cómo están numeradas? ¿Comienza por 0 o por 1?.

1.35 Precio complicado Tenemos una caja con cierta cantidad de kilos de manzanas, destacamos dos condiciones: 1) El precio de toda la caja es igual a la cantidad de kilos más 24. 2) El precio de toda la caja es nueve veces el resultado de dividir la cantidad de kilos por el precio de un kilo. ¿Cuál es el precio de toda la caja?. Encontrar la solución es más fácil de lo que puede parecer..

1.36 Peras y manzanas mezcladas Tenemos cierto número de manzanas y la mitad de esa cantidad de peras. Retiramos tantas peras como manzanas. Entonces, la cantidad de peras es un tercio de la cantidad de manzanas. Por último, si sumamos la cantidad de peras que había

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LA COSECHA DE ACERTIJOS primero y la cantidad de peras que quedaron después resultan 51 peras. ¿Cuántas manzanas había primero? ¿Cuántas quedaron después? ¿Cuántas peras había primero? ¿Cuántas quedaron después? ¿Cuántas frutas retiramos de cada clase?.

1.37 La chacra Una chacra tiene dos cuadros: A y B. En A hay 930 plantas entre deliciosas y granny. Y en B hay 370, también entre deliciosas y granny. De granny hay la misma cantidad tanto en A como en B. Pero, en B la cantidad de deliciosas es un tercio de las deliciosas que hay en A. ¿Cuántas plantas de cada variedad hay en cada cuadro?.

1.38 La cordillerita Con las cinco piezas adjuntas hay que formar una figura como la siguiente (Son las cinco piezas con que se arma un cuadrado):

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PRIMERA PASADA

1.39 Ocur rió hace muchos años Ocurrió hace muchos años. Había que empadronarse. En el lugar del trámite, había dos colas. La Nº 1: los nombres cuyas iniciales eran de la A hasta la M. La Nº 2, las letras restantes. Adentro de un salón funcionaban dos mesas: una para la cola Nº 1, y otra para la cola Nº 2. Una persona llamaba al primero de una u otra cola según la mesa que pudiera atenderlo. Sorprendentemente, en la cola Nº 1 solo había 2 o 3 personas porque eran llamadas de manera muy seguida. En la cola Nº 2 había 20 o 25 personas porque eran llamadas de manera muy distanciada. Ambas mesas funcionaban normalmente. ¿Qué estaba sucediendo?. 33

LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.40 Diez y ocho

¿Cómo se explica?.

1.41 Gran cantidad de manzanas Disponemos de tantos cajones vacíos como podamos necesitar. Son chicos, cada uno puede contener 100 manzanas como máximo. Nuestro propósito es colocar en ellos la mayor cantidad posible de manzanas, respetando las condiciones siguientes: 1) No puede haber dos cajones con la misma cantidad 2) Ninguno puede contener una cantidad que sea cinco o múltiplo de cinco. 3) La diferencia mínima entre un cajón y otro es igual a cuatro cajones.

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PRIMERA PASADA 4) El promedio por cajón es un número entero. 5) Ningún cajón tiene esa cantidad promedio. ¿Cuál es la cantidad máxima que podemos colocar. ¿Cuántos cajones utilizamos? ¿Cuántas manzanas colocamos en cada uno?.

1.42 Cadena triangular Elegimos un número triangular (la sumatoria de 1 + 2 + 3 …….. + N) no mayor de 200, para simplificar. Lo dividimos en dos números triangulares. Elegimos uno de ellos. Lo dividimos en dos números triangulares. Elegimos uno de ellos. Etc. El propósito es formar una cadena lo más larga posible. ¿Con que número triangular comenzamos, como armamos la cadena?

1.43 La car rera pedestre En una carrera pedestre, primero larga Alberto, luego Bernardo, luego Carlos y por último, Daniel. 1) Ninguno llegó en el mismo puesto de largada.

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LA COSECHA DE ACERTIJOS 2) Alberto intercambió puestos con los demás nueve veces. 3) Carlos llegó en un puesto vecino al puesto de Alberto? ¿En que puesto llegó cada uno?.

1.44 Manzanas en dos cajas Juan deposita manzanas en una caja que puede contener 100 unidades. Pedro, hace lo propio en otra caja igual. En un momento dado, las manzanas que le faltan a Juan para llenar su caja, más cuatro y más dos tercios de las manzanas que ya depositó Pedro totalizan 100 manzanas. ¿Cuántas manzanas depositó Juan en su caja y cuántas depositó Pedro en la caja de él?.

1.45 Un reloj allense Esta es la esfera de un reloj que tiene los números borrados. Pero, quedan las marcan de los minutos. Tiene las letras de Allen uniformemente distribuidas. La A está en el lugar de las 12. En un momento dado, una aguja (no hay segundero) se encuentra apuntando exactamente a una letra. Y la otra aguja

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PRIMERA PASADA también a una letra (sea la misma u otra) ¿Cuántas veces sucede esto en 12 horas). Al comienzo, las agujas no están apuntando a ninguna letra.

A N   E

  L   L

1.46 Adivinación de un número Juan tiene que adivinar un número pensado por Pedro, haciéndole preguntas tomadas de una lista preparada de antemano: 1) ¿Es mayor de mil? 2) ¿Es menor de 10.000? 3) ¿Es un cuadrado? 4) ¿Es par? 5) ¿Es múltiplo de 4? 6) ¿Tiene cuatro cifras?

37

LA COSECHA DE ACERTIJOS Hasta ese momento, todas las respuestas son afirmativas. Pero Juan todavía no puede deducir cual es el número. Ahora nuestro problema es descubrir si Juan no ha hecho alguna pregunta innecesaria o más de una. ¿Cuál o cuáles son las preguntas innecesarias?.

1.47 Doble numeración Tenemos un cuadro de manzanas. Numeramos las filas: 1, 2, 3, etc. Cuando se terminan, volvemos a la primera y sin volver a cero continuamos numerando los postes de la otra punta (si las filas fuesen 20 continuaríamos con 21, 22, 23, etc. Ahora sumamos los números de ambas puntas de la última fila. El resultado es una de las opciones siguientes: A) 169. B) 170. C) 171. D) 172. E) 173. ¿Cuántas filas tiene el cuadro?.

1.48 Hombre bajo y hombre alto Tenemos un hombre bastante alto y otro bastante bajo. Imaginemos dos situaciones:

38

PRIMERA PASADA 1) El alto se sube sobre los hombres del hombre bajo. 2) A la inversa: El bajo se sube sobre los hombros del hombre alto. En ambos casos ambos tienen los brazos caídos. ¿En cuál de las situaciones ambos alcanzan una mayor altura? ¿O es la misma en ambos casos?.

1.49 La chacra cuadrada Puede que esta propuesta tenga más de una solución, pero, debido a la elegancia del enunciado se justifica incluirla en los problemas de ingenio: Una chacra tiene cierta cantidad de cuadros iguales plantados con manzana deliciosa y manzana granny. La cantidad de plantas deliciosa es mayor que la cantidad de las plantas granny. Sabemos que (nos referimos a números cuadrados): •

La cantidad de plantas deliciosas en cada cuadro es un cuadrado.

•

La cantidad de plantas granny en cada cuadro es un cuadrado.

•

La cantidad de plantas deliciosas en toda la chacra es un cuadrado. 39

LA COSECHA DE ACERTIJOS •

La cantidad de plantas granny en toda la chacra es un cuadrado.

•

La cantidad total de plantas en cada cuadro es un cuadrado.

•

La cantidad de cuadros es un cuadrado.

•

La cantidad total de plantas en toda la chacra es un cuadrado. ¿Cuántas plantas en total tiene la chacra?.

1.50 Hombre y mujer Hay que remplazar cada letra de HOMBRE Y MUJER por un dígito elegido del cero al nueve, ambos inclusive, para que en cada línea horizontal y en cada columna, esos dígitos sumen la cantidad indicada. A igual letra, igual dígito. A letra diferente, dígito diferente.

40

H

O

M

B

19

R

E

Y

M

18

U

J

E

R

17

14

14

12

14

Segunda pasada

41

2.1 Hacia el bicentenario Estamos en un cierto día de un cierto mes. A partir de esta fecha transcurre el 30 por ciento de los días que faltan para llegar al 25 de Mayo de 2.010. A partir de esta nueva fecha transcurre un cuarto de la cantidad de días que faltan para llegar al 25 de Mayo de 2.010. Así llegamos al mes de Abril del 2.010. ¿Cuántos días faltan para llegar al 25 de Mayo del 2.010? En todos los casos nos referimos a días completos, o sea, no hay fracciones..

2.2 Dos cuadros de manzanos En una chacra hay 110 plantas de manzana deliciosa. Y 90 plantas de manzana granny. Estaban distribuidas en dos cuadros, A y B (no necesariamente iguales). En cada uno había plantas de las dos variedades. Sabemos que: 1) En el cuadro A había 25 plantas deliciosa más que plantas granny en B. (si X es la cantidad de plantas deliciosas en A, la cantidad de plantas granny en B es X – 25). 2) En el cuadro B por cada tres plantas deliciosa hay dos 42

SEGUNDA PASADA plantas granny. ¿Cuántas plantas hay en cada cuadro? ¿Cuántas plantas de cada variedad hay en cada uno?

2.3 Fr utas variadas Tenemos un lotecito de peras. Son tres cajones y cada uno tiene unas cuantas peras. Tenemos también un lotecito de manzanas. Son unos cuantos cajones y cada uno tiene nueve manzanas. En ambos lotecitos hay la misma cantidad de frutas. En ambos casos los cajones tienen la misma cantidad de peras o de manzanas (los cajones de un lotecito pueden tener una cantidad distinta del otro lotecito). Además sabemos que: Si sumamos la cantidad de peras que hay en cada cajón y la cantidad de cajones con manzanas, el resultado es 60. ¿Cuántas son en total las frutas?.

2.4 Rotación de cultivos Un campo está dividido en varios cuadros. Y se trabajan

43

LA COSECHA DE ACERTIJOS cierta cantidad de cultivos siguiendo el procedimiento habitual: Año a año se van cambiando los cultivos en cada cuadro. Por ejemplo: cuadros A, B, C, D. Cultivos: papa, tomate, maíz, trigo. Un año: A: papa. B: tomate: C: maíz. D: trigo. Al año siguiente: A: tomate. B: maíz. C: Trigo. D: papa. Etc. Pero, hay tres cultivos más que cuadros en el campo. De manera que en cada año hay tres cultivos que no se trabajan. Pero, la rotación se hace de tal modo que transcurridos cierto número de años, cada cultivo se trabajó la misma cantidad de años. Entonces, la cantidad de años que se trabajó cada cultivo es 4/5 de los años que se habrían trabajado si la cantidad de cuadros y de cultivos fueran iguales (o sea, cada cultivo se trabajaría 5 años, pero, como los cultivos son tres más que los cuadros, cada cultivo se trabajó solo cuatro años). ¿Cuántos son los cuadros? ¿Cuántos son los cultivos?.

2.5 Retirando manzanas de dos cajas Tenemos dos cajones con igual cantidad de manzanas. Los llamaremos A y B. De A retiramos un cuarto del número de manzanas. Luego, retiramos de A un tercio de las que quedan. Y por último, retiramos también de A la mitad de las manzanas que 44

SEGUNDA PASADA aún quedan. De B retiramos primero un cuarto de las manzanas que hay. Luego, un tercio de las que quedan. Y por último, retiramos de B

un

cuarto

de

las

manzanas

que

aún

quedan.

Entonces, en el cajón B quedan 9 manzanas más que en A.. ¿Cuántas manzanas había al comienzo en cada cajón?

2.6 Tres bandejas de manzanas Tenemos tres bandejas de manzanas: una chica, una mediana y una grande. Las tres cantidades forman una progresión aritmética: La diferencia entre la chica y la mediana es igual a la diferencia entre la mediana y la grande. Si multiplicamos esas tres cantidades entre sí el resultado es 2.520. ¿Cuántas manzanas tiene la bandeja chica, cuántas la mediana, cuántas la grande?.

2.7 La chacra de Pedro En la chacra de Pedro hay una plantación de manzanos en forma de cuadrado. Hay plantas deliciosas y plantas granny. En

45

LA COSECHA DE ACERTIJOS ambas líneas, tanto vertical como horizontal, las dos variedades se alternan una a una (una planta de una variedad, otra planta de otra variedad, etc.). En la línea norte del cuadro hay 15 plantas de deliciosa. Y en la línea sur también hay 15 plantas de deliciosa. Pedro se acuerda que cuando realizó la plantación encargó la cantidad justa de plantas e hizo la siguiente recomendación: que la cantidad de atados de plantas deliciosa puede ser distinta de la cantidad de atados de plantas granny. Y la cantidad de plantas en cada atado de una variedad puede ser distinta de la cantidad de plantas de los atados de la otra variedad. Pero, eso sí: los atados de una variedad deben tener todos la misma cantidad de plantas. Entonces, el viverista le dijo con toda razón: “eso no es posible”. ¿Cuántas plantas tiene la chacra de Pedro?.

2.8 Vacas y más vacas Pilquimín (un indio negociante de animales) tenía en un corral 4.963 ovejas que cambió por vacas entregando 7 ovejas por una vaca. Y en otro corral tenía la misma cantidad de ovejas para cambiarlas por caballos. Pero, decidió conseguir más vacas que, aunque valen menos que los caballos en un número no mayor de 46

SEGUNDA PASADA 1.000 (en la última de las dos operaciones) vendría bien en su hacienda. Entonces, entregó sus propios caballos recibiendo más vacas. Pregunta: ¿Cuántas vacas recibió en la última de esas dos operaciones el indio Pilquimín?.

2.9 Tres números Tenemos un número triangular (T), un número cuadrado (C) y un número primo (P). Los tres son mayores de 10. T x C + 2 C = C x P. O sea, el número triangular multiplicado por el número cuadrado más dos números cuadrados es igual al producto del número cuadrado por el número primo. ¿Cuáles son esos tres números?.

2.10 Manzanos en dos parcelas En la parcela A hay cierta cantidad de manzanos y cada uno tiene 20 frutas. En la parcela B, hay 10 manzanos y cada uno tiene la tercera parte de todas las frutas de la parcela A. Entre 47

LA COSECHA DE ACERTIJOS ambos parcelas hay 2.600 frutas ¿Cuántas manzanos hay en la parcela A?.

2.11 Un cuadro de manzanos y otro de perales En una chacra tenemos un cuadro de manzanos donde la cantidad de plantas es un número cuadrado. También tenemos un cuadro de perales donde la cantidad de plantas también es un número cuadrado. El cuadrado de perales tiene 127 plantas más que el cuadro de manzanos. ¿Cuántas son las plantas de manzanos cuántas son las de perales?.

2.12 Caja y cajón Tenemos una caja de cartón llena de manzanas. Y tenemos un cajón de madera lleno de manzanas. Ambos, la caja y el cajón, tienen la misma cantidad y esa cantidad vale $ 4. Pero, el valor de la caja vacía es igual a dos quintos del valor del cajón vacío. El valor de las manzanas más el valor del cajón vacío es el doble del valor 48

SEGUNDA PASADA de las manzanas más el valor de la caja vacía. ¿Cuánto vale el cajón vacío, cuánto vale la caja vacía?.

2.13 Diez cajas de manzanas Tenemos diez cajas con 77, 79, 82, 85, 89, 93, 95, 97, 104, 106 manzanas respectivamente. Y tenemos aparte otra caja conteniendo un número primo de manzanas menor. De las diez cajas elegimos una y la juntamos con la única caja que teníamos a parte y que es menor. Entonces, comprobamos que la cantidad que suman estas dos cajas es el doble de la diferencia de la cantidad entre las mismas. ¿Cuántas manzanas tiene cada caja?.

2.14 Manzanas sobrantes Tenemos cierta cantidad de duraznos. Los colocamos en cierta cantidad de cajas. No nos sobra ninguno. Y todas las cajas quedan con la misma cantidad. Tenemos cierta cantidad de peras. Las colocamos en las mismas cajas, o sea, junto a los duraznos. Todas quedan con la

49

LA COSECHA DE ACERTIJOS misma cantidad de peras y no sobra ninguna. Tenemos 110 manzanas. Las colocamos en las mismas cajas, o sea, junto con los duraznos y las peras. Todas quedan con la misma cantidad de manzanas. Pero, nos sobran algunas. Menos de diez. Sabiendo que de las frutas que quedan en cada caja un tercio son duraznos y un cuarto son peras debemos descubrir cuantas manzanas nos sobraron. ¿Cuántas manzanas nos sobraron?.

2.15 Cajas de peras y de manzanas Tenemos cierta cantidad de cajas con peras. Todas tienen la misma cantidad. Si tuviéramos una caja menos y una pera menos podríamos hacer que cada caja quedara con una pera más. Tenemos cierto número de cajas con manzanas. Todas tienen la misma cantidad. Si tuviéramos una caja más y una manzana menos podríamos hacer que cada caja quedara con una manzana menos. La cantidad total de manzanas es 35 más que la cantidad de peras. 50

SEGUNDA PASADA ¿Cuántas son las peras, cuántas son las manzanas?.

2.16 Las plantas y las filas Un productor suma los números de cada planta de una fila: 1 + 2 + 3 + etc. Al llegar a la última planta retrocede por la misma fila y continua sumando (si la última es la 50, sigue por la penúltima sumando 49). Luego, hace lo mismo sumando los números de cada una de las filas del cuadro (que no son los números de las plantas). La diferencia entre un resultado y otro es igual a 23. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?.

2.17 Dos clases de cajas Hay 250 manzanas contenidas en dos clases de cajas. Cada caja de una clase contiene la misma cantidad de manzanas. Cada caja de la clase restante contiene la misma cantidad de manzanas. Pero, una cantidad distinta de cada caja de la otra clase. Si las cajas de una clase fueran 41, las cajas de la otra clase serían 56. Y si las cajas de una clase fueran 46. ¿Cuántas serían las cajas de la otra

51

LA COSECHA DE ACERTIJOS clase?.

2.18 Seis números seis II En una cuadrícula de 3 x 7 hay que colocar once números seis, uno por casilla, para que cada uno tenga otros seis números seis alineados en horizontal, vertical y diagonal. O sea, la suma de los números seis que se encuentran en cada una de esas direcciones..

2.19 Muchas ofertas Había cuatro clases de frutas: peras, manzanas, duraznos y membrillos. El frutero las presenta como ofertas. Cada una compuesta por dos cajas: una de una variedad y otra de otra variedad. Por ejemplo: Pera – manzana. El frutero arma todas las combinaciones posible. Luego, escribe en una pizarra para los clientes el precio en pesos de cada oferta. Los precios son los siguientes: 9. 10. 12. 13. 14. 15. 16. Pero, al terminar le asaltó una duda: ¿Había escrito todas

52

SEGUNDA PASADA las ofertas posibles? ¿Le faltaba o le sobraba alguna? Problema: ¿Había escrito todas las ofertas posibles? O sea, todas las combinaciones de esas cuatro variedades. ¿Le faltaba o le sobraba alguna, y, en tal caso cual le falta o cual le sobra? (¿Cuál le sobra? significa una que no existe).

2.20 Suma de números Tenemos la sumatoria de 1 a 100: 1 + 2 + 3 + 4 ……………. + 100. Y damos el resultado: 5.050 (según la fórmula respectiva el cálculo sería: 100 x 101 / 2). Luego, nuestra tarea es la siguiente: encontrar una progresión aritmética de 50 términos (o números) y de base 2 cuya suma sea esa cantidad, o sea, 5.050. (Una progresión aritmética es una serie de números separados por una diferencia fija, en este caso, 2. Ejemplo: 20, 22, 24, etc.). Tendremos así 50 números que suman 5.050. ¿Cuáles son esos 50 números?. Basta citar los tres primeros de esta progresión..

53

LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.21 Los trenes Dos trenes, A y B, de 125 metros de largo cada uno, avanzan por vías paralelas en la misma dirección. B, que avanza detrás de A, es más rápido, alcanza a A y lo sobrepasa en 1 minuto, contando desde que la locomotora de B alcanza el último vagón de A, hasta que el último vagón de B deja a atrás a la locomotora de A. Luego, B reduce 1/3 su marcha continuando a una velocidad igual a 2/3 la velocidad anterior. Entonces, A que continúa con velocidad constante, alcanza a su vez a B y lo sobrepasa también en 1 minuto (contando de la misma manera que antes). ¿Qué velocidad lleva A? ¿Y que velocidad lleva B antes y después?.

2.22 Más de 50 cajones Tenemos un lote de manzanas compuesto de más de 50 cajones. La cantidad total de manzanas es 2.701 menos el número de cajones. ¿Cuántos son las manzanas? ¿Cuántos son los cajones?.

54

SEGUNDA PASADA

2.23 Los caminos Un automóvil parte hacia un lugar situado a 75 kilómetros por un camino del cual 45 kilómetros es asfalto y 30 kilómetros que es ruta de tierra. Vuelve por un camino también de 75 kilómetros del cual 45 kilómetros es ruta de tierra y 30 kilómetros es asfalto. En la ida emplea 2 horas y 30 minutos. Y en la vuelta, 3 horas y 20 minutos. Se supone que la velocidad del automóvil es constante en el asfalto, y que en ruta de tierra también es constante y diferente que sobre asfalto. ¿Qué velocidad lleva en el asfalto y que velocidad lleva en ruta de tierra?.

2.24 Tres tamaños de manzanas Tenemos tres tamaños de manzanas: Chicas, medianas y grandes. Y dos clases de cajas: chicas y grandes. Sabemos que: 1) En la caja chica caben 100 manzanas chicas. 2) En la caja chica caben 80 manzanas medianas. 3) En la caja grande caben 100 manzanas medianas. 4) En la caja grande caben 60 manzanas grandes.

55

LA COSECHA DE ACERTIJOS ¿Cuántas manzanas grandes caben en la caja chica?. Es un problema aritmético. No se tiene en cuenta el hecho de que un tipo de manzanas se pueda acomodar mejor que otro.

2.25 Un cajón igual a tres Hay un cajón de manzanas que pesa en total 16 kilos, o sea, las manzanas más el peso del cajón vacío. Tenemos también otros tres cajones iguales, e iguales al primero, pero, que no están llenos aunque cada uno de los tres tiene la misma cantidad de manzanas. Los tres juntos, pesas 24 kilos, o sea, las manzanas más el pesos de los cajones vacíos. El cajón lleno tiene tantas manzanas como la suma de las manzanas de los tres cajones restantes. ¿Cuánto pesa el cajón vacío?.

2.26 Un coche particular Desde una estación y en la misma dirección parte un colectivo cada seis horas. Uno a las 12 de la noche, otro a las 6.

56

SEGUNDA PASADA Otro a las 12 del día y otro a las 18. A la vez, a las 12 del día parte también un coche particular que marcha más despacio. A las 12 de la noche un colectivo, el primero, se adelanta a este coche. Otro día el coche parte de la estación más tarde de las 12 del día, pero antes de las 18. Entonces, un colectivo, el primero, se adelanta a este coche 10 horas después de la partida del coche. ¿A que hora partió este coche particular? Todos los colectivos marchan a la misma velocidad y el coche también marcha a una velocidad constante, pero, distinta de la de los colectivos.

2.27 Treinta y nueve manzanas En un lugar adecuado se deposita una manzana, luego, dos manzanas, luego, 3, 4, 5, ---------------------- N manzanas. (N es la última cantidad depositada). Por último, se colocan en cajones cuya capacidad es igual a N. todos quedan igualmente llenos y sobran 39 manzanas. ¿Cuántos son los cajones? ¿Cuántas manzanas contiene cada uno? .

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LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.28 Siete números siete II En dos cuadrículas de 5 x 5 hay que colocar 12 números siete de manera que cada número tenga alineados otros siete números siete como suma de las líneas horizontal, vertical y diagonal (o sea, hay dos soluciones).

2.29 Manzanas chicas, medianas y g randes Tenemos cierto número de manzanas chicas. Cierto número de manzanas medianas. Y cierto número de manzanas grandes. Hay más manzanas medianas que chicas. Y más manzanas grandes que medianas. La diferencia entre el número de manzanas chicas y medianas es igual a la diferencia entre manzanas medianas y grandes. La cantidad total de manzanas es una de las opciones siguientes: A) 47. B) 75. C) 61. D) 55. E) 76. ¿Cuántas son en total las manzanas?.

58

SEGUNDA PASADA

2.30 Una plantación excéntrica Un chacarero planeaba hacer una plantación en forma de triángulo, como se muestra en el dibujo, pero de mayor tamaño: x x x x

x x

x

x x

x

etc. Luego, entendió que una plantación tan excéntrica no sería conveniente. Y con exactamente las mismas plantas, decidió hacer la plantación en forma de rectángulo dándose las dos condiciones siguientes: 1) Habría 27 filas de plantas. 2) No se sabe cuantas plantas tiene cada fila, pero, todas tienen la misma cantidad. ¿La cantidad de plantas es par o impar o puede se tanto par como impar?.

59

LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.31 El indio neg ociante Un cacique salió de cacería dejando su hacienda al cuidado de su hijo que se dedicaba a negociar con animales y sabía bien como se hacen los trueques. Al volver, el cacique pregunta: ¿Dónde están mis 42 cabras? Y su hijo contesta: Las cambie por 56 ovejas, tata. ¿Y donde están las 56 ovejas? Las cambie por vacas. ¿Y cuántas son las vacas?. No se, no lo recuerdo, pero, si se que una vaca se cambia por una cabra y una oveja. ¿Cuántas son las vacas?.

2.32 100 manzanas En nueve cajas hay 100 manzanas distribuidas del modo siguiente: 1) En cada caja hay una cantidad diferente (ninguna caja está vacía). 2) La suma de las manzanas de dos cajas cualesquiera, nunca es igual a la cantidad de otra caja. 3) Ninguna cantidad es mayor de 20 60

SEGUNDA PASADA ¿Cuántas manzanas contienen cada una de las nueve cajas?

2.33 Jueves El 25 de mayo del año 2.004 fue martes (Fecha en que se escribió este acertijo). Ahora consideremos esa fecha de siglo en siglo. Es decir: el 25 de mayo de 2.104., de 2.204, de 2.304, de 2.404, etc. De esas fechas ¿Cuándo será jueves? Se supone que el calendario permanece sin cambios..

2.34 Plantación con dos variedades Un productor disponía de cierta cantidad de plantas de manzana deliciosa con las cuales podía realizar una plantación en forma de cuadrado (tenía la cantidad justa para eso). Luego, decidió intercalar granny como indica el dibujo (una planta en cada cruz).

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LA COSECHA DE ACERTIJOS ●

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X

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X

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Con las plantas deliciosas que así le sobraron plantó otro cuadro en forma de cuadrado o de rectángulo. Pero, siempre intercalando plantas granny de la misma manera. ¿Cuál es la mínima cantidad de plantas granny que debe tener para realizar así esa plantación?.

2.35 El coche rojo y el coche blanco Cuando el coche rojo pasa por el kilómetro 1, el coche blanco se encuentra a 300 metros del coche rojo. Cuando el coche rojo pasa por el kilómetro dos, el auto blanco se encuentra a 500 62

SEGUNDA PASADA metros del coche rojo. El coche blanco circulaba en la misma dirección del coche rojo y detrás de él. Ninguno se apartó de la ruta. Y si se registrara el paso de los dos autos en cualquier punto de la ruta se comprobaría que ambos lo hacen exactamente a la misma velocidad que el otro. Sin embargo, la distancia entre ellos aumentó. ¿Cómo se explica?

2.36 La cosecha El primer día de un mes un productor cosecha cierta cantidad de cajones. El día siguiente cosecha un cajón más. Así aumenta un cajón cada día, hasta que comienza a disminuir el rendimiento y cada día cosecha un cajón menos, hasta llegar a la cantidad de cajones del primer día. Si en total cosechó 139 cajones ¿Cuántos días estuvo cosechando? (No se pasó al mes siguiente).

2.37 Ocho números ocho II En un casillero de 7 x 7 hay que escribir 17 números ocho para que cada uno tenga otros ocho números ocho alineados en

63

LA COSECHA DE ACERTIJOS horizontal, vertical y diagonal.

2.38 La cuenta de Juan y de Pedro Hay una fila de plantas numeradas. Juan comienza de una punta y va sumando: 1 + 2 + 3 + 4 etc. Pedro comienza de la otra punta y también suma los números de las plantas (si las plantas fueran 15 sumaría: 15 + 14 + 13 etc.). Cuando se encuentran entre una planta y otra Pedro sumó dos números de plantas más que Juan. El resultado de Pedro es igual al de Juan más 120. ¿Cuántas plantas tiene la fila?.

2.39 Peras y manzanas en cajas Hay cierta cantidad de cajas con peras. Todas tienen la misma

cantidad.

Pero,

hay

una

caja

vacía.

Entonces,

sacamos una pera de cada una de las cajas llenas. La ponemos en la caja vacía. Todas quedan con igual cantidad de peras. Pero, sobra una pera. También, tenemos cierta cantidad de cajas con manzanas y

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SEGUNDA PASADA se presentan las mismas condiciones: Todas tienen la misma cantidad. Hay una caja vacía. Sacamos una manzana de cada una de las cajas llenas. La ponemos en la caja vacía. Todas quedan con igual cantidad de manzanas. Pero, sobra una manzana. La cantidad total de manzanas es igual a la cantidad total de peras más 24. ¿Cuántas son las peras, cuántas son las manzanas?.

2.40 Filas de manzanos y de perales Un cuadro tiene cierta cantidad de filas de perales. Y a continuación, cierta cantidad de filas de manzanos. Las filas de perales producen 8 cajones cada una. Y las de manzanos, 20 cajones cada una. Para vender aparte, se dejan sin cosechar 3/5 de las filas de manzanos (quedan filas completas). Se cosechan las filas de manzanos restantes y todas las filas de perales. Se llenan 200 cajones entre pera y manzana. ¿Cuántas son en total las filas del cuadro? O sea, las filas de perales, las de manzanas que quedaron sin cosechar, más las filas de manzanas que se cosecharon.

65

LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.41 Tres cultivos En esta chacra se trabaja en tres cultivos: Duraznos, peras y manzanas. Y tiene cierta cantidad de cuadros: En cada uno, la mitad es un cultivo y la otra mitad es otro cultivo. O sea, las posibilidades son: durazno – pera. Durazno – manzana. Pera – manzana. Se presentan las condiciones siguientes: 1) De medios cuadros de duraznos hay cierta cantidad. 2) De medios cuadros de peras hay siete más que de medios cuadros de duraznos. 3) De medios cuadros de manzanas tenemos las cuatro opciones siguientes: A: 5. B: 6. C: 13. D: 16. ¿Cuál de estas opciones es la verdadera?.

2.42 Numeración vertical y horizontal Tenemos un cuadro rectangular de manzanos donde las plantas se pueden identificar como puntos simétricamente distribuidos. Entonces, se podrían formar filas verticales, que serían las más cortas u horizontales, que serían las más largas. En cada una de las filas verticales se numeran las plantas: 1. 2. ….. En 66

SEGUNDA PASADA cada fila horizontal se comienza de 1 y la numeración vertical es independiente de la horizontal. Sumamos los números de todas las plantas de todas las filas verticales (o sea, 1 + 2 +…) El resultado es el doble del que obtendríamos si sumáramos todos los números de una sola fila horizontal. Si sumamos todos los números tanto de la numeración vertical y de la numeración horizontal el resultado sería 75. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?.

2.43 Tres nuevos números Tenemos tres números en orden ascendentes: A, B y C. La diferencia entre A y B es igual a la diferencia entre B y C. Además, C es el doble que A. Hay que armar un trío con estas condiciones eligiendo números de la lista siguiente: 7, 13, 14, 25, 26, 34, 35, 37, 43, 50, 51, 68, 70, 74, 86. ¿Cuál es ese trío?.

2.44 Dos plantaciones triangulares Para hacer una plantación en forma de cuadrado, Pedro tenía la cantidad justa de plantas (era un número cuadrado).

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LA COSECHA DE ACERTIJOS Entonces consideró la siguiente posibilidad: podría hacer con esa cantidad de plantas dos cuadros iguales en forma de triángulo (dos triángulos) como indica el ejemplo. ● ● ●

● ●

●

● ●

●

etc.

● ●

●

etc.

Pero, descubrió que completando esos dos triángulos le sobrarían cierta cantidad de plantas. Y para agregar una fila más en cada cuadro le faltarían plantas. Las plantas que le sobrarían en el primer caso y las que faltarían en el segundo sumarían 42. ¿Cuántas plantas tenía Pedro?.

2.45 Dos chacras cuadradas En una chacra hay una plantación en forma de cuadrado (la cantidad de plantas es un número cuadrado). En otra chacra también hay una plantación en forma de cuadrado. Este cuadrado es mayor que el primero: tiene 388 plantas más. 68

SEGUNDA PASADA ¿Cuántas plantas tienen cada una de estas dos plantaciones cuadradas? Por simple búsqueda es demasiado engorroso. Hay un procedimiento simple que nos lleva directamente a la solución.

2.46 Otros tres números Tenemos que elegir tres números a los que llamaremos en orden ascendente A, B y C. De manera tal que: A + B = 1.200 A + C = 1.910 B + C = 2.008 ¿Cuales son los números A, B y C?.

2.47 Cajitas de peras y de manzanas Hay cierta cantidad de cajitas y cada una tiene 4 peras. Y hay cierta cantidad de otras cajitas y cada una tiene 5 manzanas Las cajitas de peras son más que las cajitas de manzanas, 17 más.

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LA COSECHA DE ACERTIJOS El total de peras es una más que el total de manzanas. ¿Cuántas son en total las frutas? (las peras más las manzanas).

2.48 Diferencia Hay cierta cantidad de duraznos. Cierta cantidad de manzanas. Y cierta cantidad de peras. Sabemos que: 1) La diferencia entre la cantidad menor y la mayor es igual a 36. 2) Los duraznos más las peras son el doble que las manzanas. 3) La suma de las manzanas más las peras es igual a cinco veces la cantidad de duraznos. ¿Cuántos son los duraznos, cuántas son las manzanas y cuántas son las peras?.

2.49 El precio de las manzanas Tenemos una caja que tiene cierta cantidad de kilos de manzanas. Y tenemos otra caja más chica que contiene dos kilos

70

SEGUNDA PASADA menos que la caja grande. Tenemos también dos precios por kilo y en pesos enteros (sin centavos). Uno es igual a dos pesos más que el otro. Pero, el precio menor corresponde a la caja grande. Y el mayor a la caja chica. Por último, el precio menor es igual a los kilos de la caja chica más ocho. Y el precio total del lote es $ 208. ¿Cuántos kilos tiene la caja grande, cuántos kilos tiene la caja chica?.

2.50 Un lote de fr utas Un lote de manzanas se compone de 20 kilos de manzanas deliciosa y cierta cantidad de kilos de manzanas granny. El precio de las deliciosas es igual al precio de las granny. Pero, por un capricho del mercado, el precio de las deliciosas se cuadriplica y el precio de las granny se reduce a un tercio. Sin embargo, el valor del lote (el valor de las deliciosas más el valor de las granny), es el mismo que antes. ¿Cuántos son los kilos de manzana granny?.

71

Al bar rer

72

3.1 El reg reso de Pilquimín En una ocasión, Pilquimín se había ausentado algunas semanas y al regresar, el cacique le informa: Una vez, cambié caballos por vacas, no me acuerdo por cuantas vacas, pero, eran entre 10 y 20 (ambos inclusive). En otra ocasión, cambié 20 caballos por vacas y solo me acuerdo que las vacas eran entre 40 y 50 (ambos inclusive). También, en una tercera ocasión cambié 30 caballos por vacas, pero, tampoco me acuerdo cuantas vacas eran. Sabiendo que la relación entre caballos y vacas es la misma en cada trueque, Pilquimín dedujo el número exacto de vacas en cada trueque. ¿Cuántas eran las vacas en cada uno de esos trueques? .

3.2 El viverista acertijero Este viverista tenía 10 variedades de manzanas. Como era acertijero, le gustaban las excentricidades numéricas. Los atados de cada variedad tenían un número triangular de plantas. Y para cada variedad un número triangular diferente. Un joven chacarero le compró plantas de las diez variedades. Y de cada variedad la misma 73

LA COSECHA DE ACERTIJOS cantidad de atados. Con estas plantas este joven chacarero hizo en su chacra un cuadro para cada variedad en forma de cuadrado (en cada uno el número de plantas era un cuadrado). Pero, en cada uno de los diez cuadros le faltó una planta. ¿Cuántos atados de cada variedad compró este joven chacarero? ¿Cuántas plantas tenia cada atado?.

3.3 El fr uticultor Un fruticultor tenía una plantación de 320 manzanos. Todos numerados: 1, 2, 3, ……………………. 318, 319, 320. Estaban distribuidos en varias filas. Todas con igual cantidad de plantas. Un día el productor eligió una fila y de cada planta recogió tantas manzanas como el número de esa planta. Luego, estableció el promedio dividiendo la cantidad de manzanas elegidas por la cantidad de manzanos de esa fila. El resultado fue un número entero. ¿Cuántas son las filas? ¿Qué fila eligió el fruticultor? (la primera, la segunda, la tercera, etc.).

74

AL BARRER

3.4 Un número Hay muchos números que tienen curiosas propiedades. Este es uno de esos tantos casos: Tenemos un número, menor de 1.000 que se puede descomponer en dos cuadrados iguales más la raíz de esos cuadrados. Y que también se puede descompone en dos números triangulares consecutivos. ¿Cuál es ese número?.

3.5 El fr utero confundido Este frutero tenía cajas de manzanas, de peras y de duraznos. Cada una tenía una cantidad entera de kilos. El precio de cada variedad era una cantidad entera de pesos. Todas las cajas de cada variedad valían igual porque pesaban lo mismo, aunque el precio de cada variedad era distinto del precio de las otras variedades. Este frutero pensó en presentar ofertas de dos cajas juntas, una de una variedad y otra de otra variedad. Los precios de cada uno de estos pares era: A: 106. B: 134. C: 98. D: 142. Entonces descubrió que las ofertas tendrían que ser tres, no cuatro. Pero, no había dos repetidas. ¿Qué había pasado? ¿Tendrían que 75

LA COSECHA DE ACERTIJOS ser tres? ¿Y si hay una de más, cuál es?.

3.6 El libro de Pilquimín Para cambiar por caballos, Pilquimín tenía en un corral vacas. Y en otro corral para otra operación tenía terneros. La cantidad de terneros era el doble que la cantidad de vacas (y pensaba cambiar todos esos animales por caballos). Por un caballo se entrega o bien 3 vacas, o bien 4 terneros. Mientras esperaba a los compradores, Pilquimín estudiaba su libro de matemática, que tiene menos de 250 páginas y se compone de siete capítulos, cada uno con igual número de páginas. De pronto, Pilquimín descubre que el número de animales (las vacas más los terneros) es igual al número de páginas de su libro de matemática. ¿Cuántas páginas tenía el libro?.

3.7 El rebaño de ovejas Un pastor indio le comentaba a Pilquimín: En este corral había 100 ovejas, pero, se perdieron algunas y no se cuantas. El

76

AL BARRER cacique vendió 1/7 de las que quedaban y después 1/5 de las que todavía quedaban aunque no me acuerdo si fue así o a la inversa, o sea, primero vendió 1/5 y luego 1/7 del rebaño. También, el cacique regaló la mitad del rebaño a su hijo y no se si fue antes o después de hacer esas ventas. Ahora quedaron en el campo algunas ovejas, pero, no se cuantas son. Con estos datos tan vagos ya Pilquimín había deducido cuantas ovejas quedaban. Pregunta: ¿Cuántas ovejas quedaban?.

3.8 Lista de palabras Aquí una lista de 12 palabras: PERILLA. RESTAR. CERILLA. CORONA. PILETAS. LADRÓN. PERRITA. TRUENO. SIRENAS. BLANDO. LAPIZ. CARTERA. El desafío es elegir tres palabras de manera que: 1) Esté una vez la letra I. 2) Esté dos veces la letra E 3) Esté tres veces la letra A. 4) La cantidad total de letras sea par. ¿Cuáles son esas tres palabras? 77

LA COSECHA DE ACERTIJOS

3.9 La variante de Pilquimín Un número de caballos comprendidos entre 10 y 20 (ambos inclusive) se cambian por un numero de vacas comprendido entre 40 y 50. Entonces, ¿15 caballos, se cambian por un número de vacas comprendido entre que número y que otro número?. Los datos parecen muy vagos, pero, se puede armar un argumento que permite decidir la cuestión.

3.10 Dispenser Tenemos 968 dispenser (elemento contra carpocapsa). Si en la chacra colocamos un dispenser por planta, sobrarán de estos elementos una cantidad que llamamos x. Y si colocamos dos dispenser por planta, quedarían sin dispenser una cantidad de plantas igual a x. ¿Cuántas plantas tiene la chacra?.

78

AL BARRER

3.11 Tablero de ajedrez T

A

B

L

23

E

R

O

D

20

E

A

J

E

21

D

R

E

Z

21

23

24

18

20

Hay que remplazar cada letra de TABLERO DE AJEDREZ por un dígito elegido del cero al nueve, ambos inclusive. A igual letra, igual dígito, a letra diferente, dígito diferente, de manera que cada línea horizontal y cada columna, sume la cantidad indicada. .

3.12 Códig o postal Hemos multiplicado 8328 (código postal de la ciudad de Allen, mi ciudad natal) por cierto número cuyos dígitos suman 13. El resultado es: 1.477.152. Pero, hay un error: Uno de los dígitos 79

LA COSECHA DE ACERTIJOS del código postal se cambió por otro. Por ejemplo: En lugar de 2 se escribió 5 (puede alterarse uno u otro 8, pero, no los dos). ¿Cuál dígito resultó alterado, con cual se remplazó?.

3.13 Dos, cuatro, siete y nueve Como ya sabemos, los números triangulares son la suma De 1 hasta N (1. 1 + 2 = 3. 1 + 2 +3 = 6. 1 + 2 + 3 + 4 = 10.etc.). Su tarea es encontrar un número triangular que termine en 2, en 4, en 7 o en 9. Si no lo encuentra, tendrá que demostrar que un número así no existe.

3.14 Multiplicación De A hay que tachar 4 cifras. De B, también 4. Y de C, 4 también. De D hay que tachar 3 cifras. Y de E, dos cifras. De manera que quede una multiplicación correcta. Hay que encontrar la solución a través de cierto procedimiento que simplifique el trabajo. No solo al tanteo porque sería una tarea demasiado

80

AL BARRER pesada. Son varias soluciones. Hay que encontrar la menor, o sea, que el resultado sea el menor posible. A

B

35691

x

45312

C x

93751

D x

21739

E =

51463

3.15 Una cuadrilla de cosechadores Alberto, Bruno, Carlos, Daniel y Ernesto forman una cuadrilla. Les entregan una cantidad de cajones tal que pueden distribuirlos entre todos en partes iguales. Pero, Alberto cosechó dos cajones más de lo que le correspondían. Bruno, cuatro cajones más de los que le correspondían. Carlos cosechó seis cajones más de lo que le correspondían. Daniel, en cambio cosechó siete cajones menos de los que le correspondían. Por último, la cantidad de cajones cosechados por Ernesto es un número cuadrado, menor de 100. ¿Cuántos eran en total los cajones? ¿Cuántos cosechó cada uno?.

81

LA COSECHA DE ACERTIJOS

3.16 Un triángulo triangular Como sabemos, según el teorema de Pitágoras sobre el triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Los números enteros que satisfacen esta ecuación se denominan números pitagóricos. Por otro lado, sabemos que los números triangulares son la suma de 1 hasta N (3, 6, 10, 15, etc.). Ahora nuestra tarea es la siguiente: Encontrar un triangulo pitagórico, el menor posible, en el cual el número correspondiente a cada uno de los dos catetos sea un número triangular.

3.17 La estancia de don Zoilo Don Zoilo tenía un campo cuadrado (A). Compró el campo cuadrado (B), también cuadrado, que era menor que A. Anexando a ambos formó su estancia a la cual cercó con un alambrado de dos hebras. El límite compartido por A y B no tenía alambrado. Don Zoilo descubrió que la longitud del alambre que daba dos vueltas a su estancia era igual a la superficie de la misma. O sea, el alambre tenía X kilómetros (dos veces el perímetro) y la 82

AL BARRER superficie de la estancia era X2 kilómetros. Si la superficie se mide en kilómetros enteros ¿Cuál es la menor superficie que puede tener la estancia de don Zoilo? Don Zoilo descubrió también que la superficie de su estancia era menor de 100 kilómetros cuadrados y que la coincidencia citada era la única que no superaba esa superficie.

A B

3.18 Promedio de cosecha Hay tres cosechadores de manzanas: Alberto, Bruno y Carlos. Tienen que llenar cierta cantidad de cajones que permite establecer un promedio de unidades enteras, o sea, sin fracciones. Sabemos que: 1) Los cajones que a Alberto le faltan para llegar al promedio 83

LA COSECHA DE ACERTIJOS son un tercio de los que le faltan a Bruno para llegar a ese número y también un tercio de los cosechados por Carlos que superan ese promedio. 2) Los cajones cosechados por Carlos son el doble de los cosechados por Bruno. 3) Al fin el promedio de los tres es un cajón menos que el promedio previamente establecido. ¿Cuántos cajones cosechó cada uno? ¿Cuál fue al fin el promedio?.

3.19 Plantación cuadrada Pedro compró la cantidad justa de plantas de manzanas para hacer una plantación en forma de cuadrado (la cantidad de plantas es un número cuadrado). Luego, comprobó que el vivero había mandado 374 plantas de menos. Fiel a su primera idea, decidió hacer dos cuadrados, no necesariamente iguales (la cantidad de plantas en cada uno es un número cuadrado). Además, la suma de los lados de estos dos cuadrados (por ejemplo: 32 y 52 sería 3 + 5 = 8), es igual a la longitud del lado del cuadrado original. ¿Cuántas plantas había comprado Pedro?. Tenía ahora la 84

AL BARRER cantidad justa de plantas para esos dos cuadrados.

3.20 La poda de manzanos Un cuadro de manzanas tiene cierta cantidad de plantas. Un obrero poda siete plantas por día. Al terminar una jornada ya había podado dos tercios del total de las plantas. Al terminar la jornada siguiente ya había podado tres cuartas partes del total de la plantas. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?.

3.21 Los arbolitos Hay dos cuadrados concéntricos A y B. El lado de cada cuadro mide una cantidad entera de metros. El espacio, C, que los separa, también mide una cantidad entera de metros. A lo largo de los lados de cada cuadrado hay plantados arbolitos separados por un metro de distancia. Solo están en el perímetro y lo cubren totalmente. Y en cada esquina hay un arbolito. La diferencia entre la cantidad de arbolitos de A y de B es un número cuadrado mayor de 150 y menor de 400. ¿Cuál es esa diferencia?.

85

LA COSECHA DE ACERTIJOS

C

3.22 Criptosuma alfabética Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del cero al nueve (ambos inclusive). A igual letra, igual dígito, a letra diferente, dígito diferente, para que resulte una suma correcta.

+

A

B

B

C

A

B

D

B

C

A

F

E

A

B

B

3.23 Seis números seis III En una cuadrícula de 9 x 9, hay que colocar 11 números seis, de manera que cada uno tenga otros seis números seis alineados en horizontal, vertical y diagonal (en cada caso es la 86

AL BARRER suma de esas tres direcciones).

3.24 En el túnel otra vez La locomotora de un tren de 100 metros de longitud y que se desplaza a 1 metro por segundo, se encuentra a punto de entrar en un túnel de 100 metros de largo. El maquinista debe realizar la maniobra siguiente: Seguirá hasta que la cola del tren penetre 30 metros en el túnel. Se detendrá (sin perder tiempo) y retrocederá hasta que todo el tren haya salido del túnel. Un pasajero está en la mitad del tren y puede desplazarse por el interior a 3 metros por segundo. ¿Qué maniobras tendrá que hacer para estar el menor tiempo posible dentro del túnel. ¿Cuánto tiempo estará dentro del túnel?.

3.25 Inspeccionando plantas En un manzanar, la distancia que separa una planta de otra en cada fila es cuatro metros. Y la distancia que separa una fila de otra es también cuatro metros. Un productor decidió recorrer toda

87

LA COSECHA DE ACERTIJOS la plantación: Recorre la primera fila. Luego pasa a la fila de al lado y vuelve por ella. Pasa a la otra. Etc. Cuando terminó el recorrido, caminó en total 320 metros. Las filas podrían ser tres. Y cada uno medir 104 metros. Porque 104 x 3 = 312. Más ocho metros por pasar de una fila a otra. Pero, en realidad era la solución siguiente. Es decir, las filas podrían ser cuatro, o cinco, o seis, etc. ¿Cuántas eran las filas?.

3.26 Siete números siete III En una cuadrícula de 9 x 9 hay que escribir 14 números siete de manera que cada uno tenga a otros siete números siete alineados como suma en horizontal vertical y diagonal..

3.27 Ocho números ocho III En un casillero de 3 x 11, hay que escribir 17 números ocho para que cada uno tenga otros ocho números ocho alineados en horizontal, vertical y diagonal (suma de estas tres líneas).

88

AL BARRER

3.28 Ley astronómica de Bode Existe una sucesión de números empírica que determinaría las distancias medias de los planetas al sol. Esta ley se verifica hasta Urano. Falla con Neptuno. Y resulta totalmente errada con Plutón. Por tal razón, algunos astrónomos han sugerido que Plutón quizá no es un planeta, sino un satélite de Neptuno que escapó. Esta ley es la siguiente: Planetas

Ley de Bode

Distancia real

Mercurio

0,4

0, 39

Venus

0,7

0,72

Tierra

1

1

Marte

1,6

1,52

Ceres

2,8

2,77

Júpiter

5,2

5,20

Saturno

10

9,57

Urano

19,6

19,15

Neptuno

38,8

29,95

Plutón

77,2

39,39

Nosotros no somos astrónomos. Somos acertijeros. ¿Cómo podemos modificar levemente esta tabla de números para que la 89

LA COSECHA DE ACERTIJOS ley de Bode se cumpla para todos los planetas?.

3.29 El premio Hay diez tarjetas iguales. Solo una tiene escrito el nombre INGENIO. 10 personas por turno eligen al azar una tarjeta. El que retire la tarjeta que tiene el nombre INGENIO recibirá un premio importante. Llamemos a esas tarjetas A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. Primero elige A. Si no retira la tarjeta premiada, elige B entre las 9 tarjetas restantes. Si B no gana el premio, elige C entre las 8 tarjetas restantes, etc. ¿Quién de las 10 personas tiene más probabilidades de ganar el premio?.

3.30 Un cuadro cuadrado Hay un cuadro cuadrado de manzanos de lado par (la cantidad de plantas es un número cuadrado). Pero, algunas o muchas filas son perales (manzanos = M. perales = P). Sobre este cuadrado hay cinco informaciones:

90

AL BARRER 1) M = P + 50. 2) M = P + 70. 3) M = P + 80. 4) M = P + 90. 5) M = P + 110. Puede demostrarse aritméticamente que solo una de estas opciones puede ser correcta. ¿Cuál es esa opción?.

3.31 El número X El número X es la sumatoria de los números 2 + 3 + 4 + 5 + ……… + N. Es decir, es igual a un número triangular menos 1. Por otra parte, X es igual a 32 multiplicado por N – 1. ¿Cuál es el número X?.

3.32 Repartiendo manzanas Un grupo de personas decidió repartirse cierta cantidad de manzanas del modo siguiente: Mediante un sorteo, una persona

91

LA COSECHA DE ACERTIJOS recibiría una manzana, otra, recibiría dos manzanas, otra, tres manzanas, otra cuatro, etc. Había la cantidad justa de manzanas para hacer esa distribución. Pero, en ese momento, se agregó otra persona al grupo. Como la distribución anterior ya no era posible, decidieron que cada uno recibía seis manzanas. Había la cantidad justa de manzanas para hacer este nuevo reparto. ¿Cuántas eran las manzanas? Eran menos de 200.

3.33 El reparto de manzanas Andrés, Bruno, Carlos y Daniel tienen entre todos 112 manzanas. Bruno, tiene más que Andrés, Carlos, tiene más que Bruno y Daniel tiene más que Carlos. Deciden repartirse las manzanas del modo siguiente: Daniel, entregaría todas sus manzanas a Carlos. Carlos entregaría la mitad de las que pasa a tener a Bruno. Bruno entregaría la mitad de las que pasa a tener a Andrés. Y Andrés entregaría la mitad de las que pasa a tener a Daniel. Pero, luego cambian de opinión: deciden hacer el mismo reparto, pero, comenzando por Andrés. O sea, Andrés entregará todas sus manzanas a Bruno. Bruno entregará la mitad de las manzanas que pasará a tener a Carlos, etc. ¿Cuántas manzanas 92

AL BARRER tenía cada uno? En ambos casos las operaciones se hacen sin fraccionar ninguna manzana.

3.34 Seis cajas de fr utas Había en un comercio dos cajas de manzanas, dos de duraznos y dos de peras. Pero, en pares formados por una caja de una clase y otra de otra clase. Se dan las condiciones siguientes: 1) Cada caja contiene una cantidad entera de kilogramos y más de un kilogramo. Y no necesariamente la misma en cada caja. 2) Cada clase de fruta tenía un valor exacto de $ por kilogramo y más de un peso. El valor de cada caja puede ser distinto porque el peso es diferente. 3) Cada una de las tres clases de frutas tenía un precio diferente. 4) Cada par de cajas valía $ 50. Una persona compra una caja de manzanas y otra de duraznos. Una de un par y otra de otro par. Pagando $ 37 en total. Pero, la caja de manzanas tiene un precio menor que la caja de duraznos. 93

LA COSECHA DE ACERTIJOS ¿Cuánto pagó por la caja de manzanas? ¿Cuánto pagó por la caja de duraznos?.

3.35 El reloj intrig ante A cierta hora, la aguja horaria se encuentra en un punto de la esfera situado entre los números 2 y 3. La aguja de los minutos se encuentra más adelante. Llamemos a esto posición A. En otro momento la aguja horaria se encuentra en un punto de la esfera situado entre los números 9 y 10. Y la aguja de los minutos se encuentra más atrás: Posición B. En la posición A, la distancia entre la aguja horaria y el número 2 es igual a la distancia entre esa aguja y el número 10 de la posición B. ¿En alguna de esas dos posiciones las agujas están más cerca entre sí, están más separadas o están a la misma distancia en ambos casos? Cuando se dice que la aguja de los minutos se encuentra más adelante significa dentro de las seis horas siguientes. Y si se encuentra más atrás es dentro de las seis horas anteriores..

94

AL BARRER

3.36 Lavar Hay que reemplazar cada letra por un dígito elegido del 1 al 9, ambos inclusive, a igual letra igual dígito, a letra diferente dígito diferente, para que resulte una suma correcta.

+ L

A

G

U

A

A

G

U

A

A

V

A

R

3.37 Una treintena de fr utas Hay cierta cantidad de manzanas y cada una vale tantos centavos (no se sabe cuantos). Y hay cierta cantidad de peras y cada una vale tantos centavos como manzanas hay. Entre ambas clases hay 30 frutas y el valor total de estas 30 frutas es 289 centavos. ¿Cuántos centavos vale cada manzana? ¿Cuántos vale cada pera?.

95

LA COSECHA DE ACERTIJOS

3.38 Tres cuadros cuadrados Tenemos tres cuadros cuadrados (la cantidad de plantas es un

número cuadrado). Los llamamos A, al menor. B, al

intermedio, Y C al mayor. Entonces: A + B + 83 = C. ¿Cuántas plantas tienen cada uno de estos cuadros? Son tres números cuadrados distintos..

3.39 Fecundadora Generalmente, las plantaciones de manzanas son en su mayor parte plantas de deliciosas. Entre ellas se intercala como fecundadoras plantas de otra variedad. Un cuadro tiene una fecundadora cada ocho plantas de deliciosa distribuidas como indica el dibujo. En cada fila la distancia entre una planta y otra puede ser 3, 4, 5 o 6, metros. Y entre una fila y otra la distancia puede ser 4, 5, 6 o 7 metros. Entre filas la distancia es mayor que la distancia entre plantas en las filas. La superficie del cuadro es un cuadrado. ¿Qué distancia separa a una planta de otra en las filas, que distancia separa a las filas entre sí y cuantos metros tiene el 96

AL BARRER lado del menor cuadrado posible? Recordemos, por ejemplo, que 10 plantas separadas entre si por 3 metros, determinan una distancia de 27 metros.

Fecundadora

Cada punto es una planta y la planta central es la fecundadora.

3.40 Números primos Tenemos tres números primos. Los llamaremos en orden ascendente A, B y C. (A, el menor, B, el intermedio, C, el mayor). Sabemos que: 1) A + B + C = 131 2) A x B + 6B = B x C

97

LA COSECHA DE ACERTIJOS ¿Qué primos son A, B y C?.

3.41 Dos filas de manzanos incompletas Tenemos dos filas de manzanos. Son iguales y paralelas. Comenzamos por una y numeramos las plantas: 1, 2, 3, etc. Al llegar a la punta, pasamos a la fila de al lado, retrocedemos y seguimos numerando las plantas sin volver a cero. Ahora sumamos los números de la primera fila: 1 + 2 + 3 + etc. Y antes de llegar a la otra punta pasamos a la fila de al lado y retrocedemos sumando los números de esas plantas. Al terminar el resultado es 481. ¿Cuántas plantas tiene cada fila? Repetimos: no sumamos los números de todas las plantas.

3.42 Dos condiciones triangulares Hay que encontrar un número triangular con las condiciones siguientes: 1) Las primeras cifras son el número N (el número hasta el cual se suman 1 + 2 + 3 + etc.)

98

AL BARRER 2) El número termina en dos ceros. ¿Cuál es ese número triangular?.

3.43 Una plantación triangular Tenemos una plantación en la cual la distancia entre filas es igual que la distancia entre plantas en cada fila (las plantas pueden representarse con puntos uniformemente distribuidos). Es un cuadro rectangular cuya diferencia entre ambos lados es igual a 17. La cantidad total de plantas es un número triangular. (Un número triangular es la sumatoria de 1 + 2 + 3 + 4 + ……..) Si la cantidad de plantas es menor de 600 ¿Cuántas plantas tiene este cuadro?.

3.44 Dos chacras diferentes Primero aclaremos: Cuadro = C. Filas = F. Cantidad de plantas por fila = P. La primera chacra tiene C = un número X. F = C + 2. P = F + 2. La segunda chacra tiene: C, F, P = F de la primera chacra. O sea, la cantidad de cuadros de la segunda chacra es igual a la cantidad de filas de la primera chacra. La cantidad de

99

LA COSECHA DE ACERTIJOS filas de la segunda chacra es igual a la cantidad de filas de la primera. Y la cantidad de plantas por filas de la segunda chacra también es igual a la cantidad de filas de la primera. Una de las chacras tiene en total 176 plantas más que la otra. ¿Cuánto vale C, F y P en la primera chacra?.

3.45 Sandias y melones Compramos algunas sandías a $ 6 cada una. Y también algunos melones. Y no sabemos cuanto vale cada uno. Pero, si sabemos que es una cantidad entera de pesos (no hay centavos). La cantidad total que gastamos se presta para plantear un acertijo que tiene una sola solución: sería el siguiente: Gastamos X pesos (dentro de las condiciones explicadas). ¿Cuántas son las sandías y cuántos son los melones? Por último, ¿Cuál es el valor máximo que puede tener X y en tal caso, cuántas son las sandías y cuántos son los melones?. Es decir, ¿Cuál es el número más alto que permite una sola solución?.

100

AL BARRER

3.46 Tres cuadros Una chacra se compone de tres cuadros: A, B y C. A: Tiene cierta cantidad de filas numeradas: 1, 2, 3, 4, etc. B: Tiene también cierta cantidad de filas siguiendo la numeración anterior (si el primer cuadro termina en la fila 10 este continúa con la fila 11, 12, 13 etc. En este cuadro podemos elegir una fila de modo que la suma de los números de las filas anteriores a esa fila es igual a la suma de los números de las filas siguientes de este cuadro (la fila elegida no se cuenta). C: La suma de los número de las filas de este cuadro es igual a cada uno de lo dos resultado del cuadro anterior. ¿Cuántas filas tiene cada cuadro? .

3.47 Muestras de manzanas Tenemos un lote de cajones identificados con los números 1, 2, 3, etc. (Luego, habrá números repetidos). Con ellos formamos nueve grupos de nueve cajones cada uno. Pero, un cajón puede pertenecer a más de un grupo. Es decir, el primer grupo comprende los cajones del 1 al 9. El segundo grupo puede 101

LA COSECHA DE ACERTIJOS comprender los cajones del 5 al 13, o del 7 al 15. No se sabe cuales son. Supongamos que sean del 8 al 16. Entonces, el tercer grupo podría tener los cajones del 13 al 21. Etc. Y así hasta formar los nueve grupos. Luego, de cada cajón se tomaron tantas muestras como a grupos pertenece. Si solo pertenece a un grupo, una muestra. Si pertenece a dos grupos, dos muestras, etc. No se sabe como se formaron los nueve grupos. Pero, sí se puede saber cuantas muestras se tomaron. ¿Cuántas muestras se tomaron?.

3.48 Asfalto y tier ra Tres coches A, B y C, avanzan en una misma dirección por una ruta que tiene tramos de tierra y tramos de asfalto. Los tres coches desarrollan en el asfalto el doble de velocidad que en tierra y los tres la misma velocidad (se supone que el cambio de velocidad es instantáneo). En un instante dado, primero se encuentra A, a cien metros de A se encuentra B, y a 200 metros de A se encuentra C. En otro instante C. continúa a 200 metros de A. Pero, B se encuentra a 50 metros A. ¿Cómo se explica?.

102

AL BARRER

3.49 Bandejitas de fr utas Hay cierta cantidad de variedades de frutas (manzanas, peras, etc.). Están en bandejitas. Todas tienen la misma cantidad. Y se vender dos bandejitas a la vez, una de una fruta y otra de otra fruta Y hay tantos pares de bandejitas cómo es posible armar. Por ejemplo: son peras, manzanas y duraznos: entonces, las bandejitas se combinan así: peras – manzanas. Peras – duraznos. Manzanas duraznos. La cantidad total de frutas es 80. ¿Cuántas son las variedades de frutas? ¿Cuántas frutas contiene cada bandejita?.

3.50 Nueve números nueve En un casillero de 7 x 7 hay que colocar 20 números nueve para que cada uno tenga otros nueve números alineados en horizontal, vertical y diagonal (suma de estas tres direcciones). Hay dos soluciones..

103

Soluciones Primera pasada 1.1 El indio Pilquimín Primero llevó 70 ovejas y luego trajo 35. Obtuvo 150 vacas. Explicación: el enunciado supone la existencia de una razón aritmética que permite averiguar cuáles son las cantidades pedidas. Esa razón es la siguiente: Pilquimín reúne la cantidad exacta de ovejas para hacer el trueque sin que falte ni sobre ninguna. Ahora bien, si cambia 100 ovejas por 80 caballos la relación es de 5 a 4. O sea, la cantidad de ovejas sólo puede variar en 5 o en múltiplos de 5. En el otro corral la relación es de 7 a 6. Y los únicos cambios posibles de ovejas son 35 (mínimo común múltiplo de 5 y 7) y sus múltiplos: 70, 105, etc. Por lo tanto, sólo hay una posibilidad: primero llevó 70 ovejas y luego devolvió 35. Y si agregó 35 ovejas al corral del pozo, las cambió por 150 vacas.

1.1 Mesas y sillas Cada mesa vale $ 8. Y cada silla, $ 5. Explicación: En la segunda operación, el comprador entrega 4 sillas más y 4 pesos 104

SOLUCIONES más por tres mesas más. O sea, en la primera operación podría haber sido: por seis mesas se entrega 8 sillas y 8 pesos. En realidad, se entregó una silla menos y cinco pesos más. Es decir, una silla vale $ 5. Por último, 7 sillas por 5 = 35 más 13 pesos = 48. Como son 6 mesas, cada una vale $ 8.

1.2 Cajas chicas y grandes Cajas chicas = 26. Cajas grandes = 18. 26 x 8 = 208. 18 x 24 = 432. 208 + 432 = 640. Explicación. Podemos suponer que hay una sola clase de cajas y que cada una contiene 16 manzanas (promedio de 8 más 24). Entonces serían 40 cajas, 20 chicas y 20 grandes, porque 40 cajas que tienen 16 manzanas cada una es lo mismo que 20 cajas con 8 manzanas cada una y 20 cajas con 24. Por último, por cada caja grande que restamos debemos agregar 3 chicas. Por lo tanto, restamos 2 grandes y agregamos 6 chicas.

1.3 Perales Las plantas son: packhams: 115. William: 10. Explicación: Como una planta de William tiene el doble que una packhams, si se hubiesen cosechado la mitad de las William eso sería equivalente a que las 125 plantas tuvieran 12 frutos cada una. Y en total: 1.500. 105

LA COSECHA DE ACERTIJOS Como quedan 1.560, esas 60 peras representan ¼ del total de peras William. Cada planta tendría 18 peras, 6 más que el promedio. Como eso determina un aumento de 60 frutas se deduce que las William son 10. Y las. Packhams: 125 – 10 = 115. Por último: 115 x 12 = 1.380. 10 x 18 = 180. Y 1.380 + 180 = 1.560.

1.4 Gr upo de palabras Las palabras son: TALES. BIAS. PITACO. CLEOBULO. MISIÓN. QUILÓN. SOLÓN. Son los filósofos de la antigüedad llamados “Los siete sabios de Grecia”.

1.5 Manzanas g randes y chicas El cajón tenía 60 manzanas. Se llevaron 6. Quedan 54. Explicación: Llamamos X a la cantidad que se llevaron. El triple = 3X. Para que un tercio de las que quedan sean igual a 3X, tiene que haber 9X. Pero, se llevaron X. O sea, son en total 10X. Por lo tanto, la cantidad contenida por el cajón es un múltiplo de 10. Y entre 50 y 70 solo 60 lo es.

106

SOLUCIONES

1.6 El reloj Primera solución: la aguja de los minutos apunta al 11 y luego al 1. Transcurrieron 10 minutos. Segunda solución: la aguja de los minutos apunta al 12 y luego al 2. Transcurrieron 10 minutos.

1.7 El alfabeto de Pilquimín La única regla que cambiaba el orden de las letras era: primero las vocales y después las consonantes. Cada clase en el orden de nuestro alfabeto. O sea: A. E. I. O. U. B. C. D. F. G. H. J. K. L. M. N. Ñ. P. Q. R. S. T. V. W. X. Y. Z.

1.8 Otro número invertido Esas dos cifras son: 8 y 7. Explicación: La última cifra del resultado de la suma puede ser un 5 o un 6. Si es un seis, o sea, igual que la primera, la segunda y la tercera también serán iguales (porque de la segunda y tercera columna no nos llevamos nada). Y si son iguales, no pueden sumar 15. Por lo tanto, la última cifra de la derecha es un 5, o sea, una unidad menos que la primera. Y entonces, la tercera cifra es también una unidad menos que la anterior, porque a esta le sumamos 1 que nos habíamos llevado. Y 107

LA COSECHA DE ACERTIJOS por lo tanto, solo pueden ser 8 y 7.

1.9 Comiendo peras 1734 + 1734 + 1734 = 5202. Para

llegar a la solución,

comenzamos probando uno a uno que dígito corresponde a la letra O.

1.10 Muchas bandejitas El máximo de manzanas que puede haber es 110. Explicación: La relación entre A y B es de 12 a 10. Basta hacer el cálculo indicado. 12 y 10 es la relación mínima. Hay una serie de soluciones con múltiplos de esos números. Pero, la cantidad de manzana de cada bandejita sigue siendo 11 en virtud de la condición 2). O sea, la cantidad de bandejitas debe ser inferior a la cantidad de manzanas que tiene cada una. Para 22 = 2 x 11. Para 33 = 3 x 11. Para 44 = 4 x 11. Etc. Y el máximo es 10 x 11 = 110.

1.11 Bandejas chicas y grandes Se traspasaron 61 bandejas chicas (61 x 5 = 305). Y 45 grandes (45 x 11 = 495). Explicación: Suponemos que todas las bandejas contienen 8 manzanas, promedio de 5 y 11. Entonces, 108

SOLUCIONES serían 100 bandejas. Deducimos que pueden ser 50 chicas (50 x 5 = 250. Y 50 grandes (50 x 11 = 550). Para establecer la diferencia restamos 5 bandejas de 11 manzanas y aumentamos 11 bandejas de 5 manzanas. La diferencia es 16. Cualquier otra combinación con mayor cantidad de bandejas chicas que grandes produce una diferencia mayor de 30.

1.12 Ofertas de fr utas Una caja de manzanas vale $ 11. Una caja de duraznos vale $ 14. Y una caja de peras vale $ 18. Primero cada oferta valía $ 43. Explicación: El precio total de las tres ofertas juntas del día siguiente es: 54 + 57 + 61 = 172. Con esas 12 cajas se pueden formar cuatro ofertas, de una caja de manzanas, una de duraznos y una de peras, cada una con un precio de $ 43. Entonces, de la 1) oferta deducimos: una caja de manzanas: 54 – 43 = 11. De la 2) una caja de duraznos: 57 – 43 = 14. Y de la 3) una caja de peras: 61 – 43 = 18.

1.13 Basta de cabras La relación cabra – vaca es de 7 a 8. O sea, solo se pueden cambiar por vacas grupos de 8 cabras. Igualmente, la relación 109

LA COSECHA DE ACERTIJOS caballo – cabra es de 7 a 9. O sea, por caballos solo se pueden cambiar cabras en grupos de 9 animales. Entonces, hay que cambiar por vacas 8 cabras, o 16, o 24, etc. De modo que el resto de las cabras sea un número divisible por 9. Se puede comprobar que así nunca resulta. No se puede dividir

72 en dos partes,

una divisible por 8 y otra divisible por 9. No se pueden cambiar todas las cabras por caballos y por vacas, respetando lo valores siempre aceptados. Recordemos que el cacique quería que no quedara ninguna.

1.14 El retorno de Pilquimín En el primer trueque se cambiaron 9 caballos y en el segundo, 15. Explicación: Si primero se cambiaron 30 vacas y en el segundo trueque se cambiaron 50 vacas, la relación es de 3 a 5. Y esta relación se debe mantener con la cantidad de caballos en uno y otro trueque. Y la única posibilidad es: primer trueque: 9 caballos. Segundo trueque: 15 caballos. La relación es también de 3 a 5. Si en el segundo trueque se hubieran cambiado 20 caballos, en el primero serían 12 y nos pasaríamos de los 10. Condición impuesta por el enunciado. De otra manera: Consideramos los divisores comunes de 110

SOLUCIONES 30 y 50. Son tres: 2, 5, 10. El único viable es el 10. O sea, en el primer trueque se cambiaron 10 vacas por 3 caballos. Total: 9. Y en el segundo serían 15. Con los otros divisores no nos ajustaríamos a las cantidades impuestas por el enunciado.

1.15 Tres dígitos Los tres dígitos son: el 3, el 7 y el 9. Los seis números suman: 4.218. Explicación: Para obtener el resultado basta multiplicar la suma de esos tres dígitos por 222. Como la suma de cualquier trío de esos dígitos está comprendida entre 6 y 24 es fácil anotar los únicos 18 resultados y buscar el caso requerido.

1.16 Seis números seis 6 6

6 6

6

6 6 6

6

6 6

1.17 Códig o alfabético La A vale 81. Explicación: Primero, a 362 hay que restar la 111

LA COSECHA DE ACERTIJOS suma de las letras de PERA correspondientes al alfabético básico, o sea, 42. 362 – 42 = 320. Luego, dividimos 320 por 4 = 80. Por último, debemos sumar 80 al valor de cada letra del código básico.

1.18 Intercambio La cantidad total de frutas es 50. 20 peras y 30 manzanas. Explicación: En una caja había 20 peras y en la otra 30 manzanas. Pasamos 10 manzanas a la caja de peras y cinco peras a la caja de manzanas. En ambas cajas quedarán 25 frutas. 25 es el único cuadrado menor de 2 00 que permite esa operación con esos resultados.

1.19 Criptosuma allense 8

1

5

0

+ 8

1

5

0

8

1

5

0

4

4

5

0

2

Explicación: N = 0. E = 5. Única posibilidad. Luego probamos con C = 3 o 4 o 6 o 7 o 8 o 9. y comprobamos que solo 112

SOLUCIONES con C = 8 se puede completar la criptosuma.

1.20 Vacas y ovejas Las vacas eran 15. Explicación: Cuando Pilquimín agrega el segundo rebaño, las ovejas pasaron a ser 5 veces la cantidad anterior. O sea, eran un número múltiplo de 5. Por otra parte, eran un múltiplo de 3 porque se cambian 3 por una vaca Y Pilquimín cambió todas las ovejas. Además, tienen que ser más de 30 y menos de 60 porque las vacas recibidas eran más de 10 y menos de 20. Y entre 30 y 60, 45 es el único múltiplo de 3 y 5. Entonces, Pilquimín cambió 45 ovejas por 15 vacas.

1.21 La hora exacta Primera lectura: 12 horas menos 20 minutos (o sea, 11 horas y 40 minutos). La aguja de los minutos apunta al número 8 y la horaria está por llegar al número 12. En la segunda lectura, la horaria apunta a las 12 horas y también la aguja de los minutos, pero, esto, no contradice al enunciado. Transcurrieron 20 minutos: 8 + 12.

113

LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.22 El peso de los cajones Cajón de peras = 7 kilos. Cajón de manzanas = 12 kilos. Explicación: En cada caso tenemos dos cajones de peras y dos de manzanas, más un cajón de peras en un caso y uno de manzanas en el otro. Estos dos cajones determinan la diferencia de 5 kilos. O sea, un cajón de manzanas pesa 5 kilos más que uno de peras. Por otra parte, son en total 5 cajones de peras y 5 de manzanas que pesan en total 95 kilos. Hagamos 5 pares con un cajón de peras y otro de manzanas. Cada par pesa 19 (95/5) kilos. Y el cajón de manzanas pesa 5 kilos más que el de peras. Entonces: Cajón de peras = 7 kilos. Cajón de manzanas = 12 kilos.

1.23 Una curiosa clasificación Juan se ubicó en el sexto lugar. Explicación: Si Juan se hubiese ubicado en el octavo lugar en todas las etapas, podría haber empatado con otros cuatro volantes que en todas las etapas se ubicaron en el sexto, séptimo, noveno y décimo puesto. Estos volantes sumarían 144 puntos. Cada uno obtendría 144 / 4 = 36 puntos. Igual que Juan. Pero, Juan se ubicó una vez en el séptimo lugar superando así a esos cuatro corredores.

114

SOLUCIONES

1.24 Siete números siete 7

7

7 7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

1.25 Los comensales zurdos A primera vista las personas zurdas podrían ser dos como máximo, pero, el máximo número de personas zurdas que puede haber es 18. Explicación: Si todos los comensales fuesen zurdos, los diez cuchillos de un lado estarían enfrentados con los diez tenedores del otro lado. Pero, hay dos personas diestras que hacen que dos cuchillos de un lado se enfrenten con dos cuchillos del otro lado.

1.26 El peso de las fr utas 21 kilos de peras y 28 kilos de manzanas equivalen a 24 kilos de duraznos. Explicación: Simplificando 21 y 28 obtenemos 3 y 4. Son 21 kilos de peras y 21 kilos de manzanas. Quedan 7 kilos de manzanas que se pueden considerar como 3 kilos de peras y 3 kilos de manzanas porque 4 kilos de manzanas equivalen a 3 kilos 115

LA COSECHA DE ACERTIJOS de peras.

1.27 El número faltante El número es el 291. Explicación: En este caso no se tiene en cuenta toda la información expuesta en el enunciado. La condición 2) no se considera. Todo par de números es así. La condición 1) obliga a que el número mayor sea el triple que el menor. 97 no es múltiplo de 3 y no puede ser el mayor. Es el menor y para encontrar al otro basta multiplicar 97 por 3. Comprobemos: La condición 1): Diferencia: 291 – 97 = 194. Suma 291 + 97 = 388. 194 x 2 = 388.

1.28 Ocho números ocho

116

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

SOLUCIONES

1.29 Tres variedades Granny = 25. Gala = 33. Deliciosa = 41. Explicación: 200 es la diferencia entre ambas multiplicaciones. Y la diferencia entre galas y deliciosas es ocho. De esto se deduce que las granny son 25, porque si esta diferencia se extiende hasta 200 es porque fue multiplicada por 25. Luego, se deduce la cantidad de las demás.

1.30 Fr utas triangulares Cajón de peras = 15. Cajón de manzanas: 45. Explicación: Las relaciones de 3) se darían si hubiera una pera y tres manzanas. Pero, el resultado (7) no es un número triangular. Entonces, buscamos dos números triangulares que uno sea el triple del otro. Y los encontramos: son el 15 y el 45. Efectuamos las operaciones indicadas en 3) y comprobamos que el resultado (105) también es un número triangular. (Los primeros números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105).

1.31 Manzanas en un cajón Primero había en el cajón 31 manzanas. Al final se juntaron 68. Explicación: La mejor manera de resolver este acertijo es la siguiente: buscamos múltiplos de 3 cuyo tercio sea un múltiplo de 117

LA COSECHA DE ACERTIJOS 3 más uno. Son pocos: 12, o sea, comenzamos con 13, restamos 1, quedan 12. Agregamos 4 = 16. Restamos 1, quedan 15. Sumamos 5 = 20. Y aquí no podemos seguir. Probamos con el 21. No lo logramos. Luego, con 30. Y aquí tenemos éxito: comenzamos con 31. Restamos 1. Quedan 30. Agregamos 10 = 40. Retiramos otra. Quedan 39. Agregmos13. Hay 52. Retiramos 1. Quedan 51. Agregamos 17. Y llegamos a 68.

1.32 El planeta Tier ra La Tierra tiene un movimiento de rotación como indica el dibujo. Y superpone este movimiento a las rotaciones que realiza sobre sí misma.

118

SOLUCIONES

1.33 Duraznos y manzanas Caja de duraznos = 35. Caja de manzanas = 47. Primero: 35 + 35 + 47 = 117. Luego: 35 + 47 + 47 = 129. Explicación: Una caja de manzanas tiene 12 unidades más que una caja de duraznos (129 – 117 = 12). El total es 117 + 129 = 246. Formamos tres pares de una caja de duraznos y otra de manzanas: 246 / 3 = 82. Llamamos X a la cantidad de duraznos de una caja: X + (X + 12) = 82 2X = 70 X = 35 Y las manzanas de una caja son: 82 – 35 = 47.

1.34 Una curiosa numeración Las filas son 13. Se comienza de 0. Están numeradas así: De un lado: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5. Del otro lado: 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12. Entonces: de un lado números impares: 1 + 3 + 5 = 9. En el otro lado los pares: 6 + 8 + 10 + 12 = 36 Explicación: Primero buscamos los números pares que sumados producen un cuadrado. Luego, adaptamos los impares sabiendo que su suma siempre es un cuadrado.

119

LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.35 Precio complicado El precio de toda la caja es igual a $ 36. Explicación: Este problema que parece complicado se resuelve fácilmente si advertimos que el precio de toda la caja es un múltiplo de 9 mayor de 24. Probamos con el 27. Vemos enseguida que no se ajusta al enunciado. Consideramos el número 36. Y ya encontramos la solución.

1.36 Peras y manzanas mezcladas Primero había 68 manzanas. Quedaron 51. Primero había 34 peras. Quedaron 17. De cada variedad retiramos 17 frutas. Explicación: La solución más simple que corresponde a una parte del enunciado es: Manzanas: Primero 4, después, 3. Pera: primero 2, después, 1.Retiramos 1 fruta de cada variedad. Se observa que las dos cantidades de peras (2 + 1 = 3) es igual a la cantidad de manzanas que quedaron después. Entonces, las manzanas que quedaron son 51. Y las peras 51 / 3 = 17. Peras había: 51 – 17 = 34. Y manzanas: 34 x 2 = 68.

1.37 La chacra Cuadro A: 840 deliciosas y 90 granny. Cuadro B: 280 120

SOLUCIONES deliciosas y 90 granny. Explicación: La diferencia entre el total de plantas entre A y B (930 – 370 = 560) es dos tercios del total de deliciosas del cuadro A, o sea, la cantidad de deliciosas de A es: 560 + 280 = 840. Por lo tanto: Cuadro A: 840 deliciosas y 90 granny. Cuadro B: 280 deliciosas y 90 granny.

1.38 La cordillerita

1.39 Ocur rió hace muchos años Muchas personas de la cola Nº 2 seguían la estrategia siguiente: Se colocaban “por error” en la cola Nº 1. Entraban enseguida al salón. Y allí le decían:”su mesa no es esta, sino aquella”. Como ya estaban adentro, se quedaban allí esperando ser atendidas a penas terminara el trámite la persona que ahora estaba en esa mesa.

1.40. Diez y ocho Lo que se suma es la cantidad de fósforos que forman los 121

LA COSECHA DE ACERTIJOS números de 18.

1.41 Gran cantidad de manzanas Si ninguna cantidad puede ser cinco o múltiplo de cinco y la diferencia entre un cajón y otro no puede ser menos de cuatro manzanas, la cantidad máxima que podemos alojar en esos cajones es 1.030 manzanas. Utilizamos 20 cajones. En cada cajón colocamos las manzanas del modo siguiente: 4. 9. 14. 24. 29. 34. 39. 44. 49. 54. 59. 64. 69. 74. 79.84. 89. 94. 99. Pero, hay que hacer una corrección porque el promedio no es un número entero. Para llegar a la solución agregamos un cajón vacío y retiramos una manzana del cajón que tiene 49. Entonces, son 21 cajones con 1.029 manzanas. 49 de promedio. Y conocemos también cuantas manzanas contiene cada uno.

1.42 Cadena triangular Comenzamos con el número triangular 136. Lo dividimos en 91 y en 45. Elegimos el 91. Lo dividimos en 55 y 36. Elegimos el 36. Lo dividimos en 21 y 15. Elegimos el 21. Lo dividimos en 15 y 6. Elegimos el 6. Lo dividimos en 3 y 3. Hacemos 5 divisiones. En realidad hemos formado la cadena a la inversa: Comenzamos 122

SOLUCIONES por el 3. Vemos que número triangular podemos sumarle para llegar a otro número triangular y así armamos la cadena.

1.43 La car rera pedestre Primero llegó Carlos. Segundo llegó Alberto. Tercero, Daniel. Y cuarto, Bernardo. Explicación: Alberto intercambió puestos un número impar de veces por eso solo pudo terminar segundo o cuarto. Pero, tuvo que terminar segundo para que Carlos llegara en un puesto vecino y sin llegar en el mismo lugar de largada. O sea, llegó primero. Por último, Daniel, tercero y Bernardo cuarto es la única posibilidad.

1.44 Manzanas en dos cajas Cada uno depositó 12 manzanas en su caja. Explicación: Las que le faltan a Juan más las que ya deposito Pedro es igual a 100. De eso se deduce que los dos depositaron la misma cantidad. En la caja de Juan aumentamos cuatro. Y en la de Pedro disminuimos la misma cantidad. Cuatro es un tercio de lo que ya depositó cada uno. Y por lo tanto, cada uno depositó 12 manzanas. A Juan le faltan 88, más las depositadas por Pedro, hacen 100 manzanas. 123

LA COSECHA DE ACERTIJOS

1.45 Un reloj allense En 12 horas eso sucede cinco veces. Explicación: Las letras están cada 12 marcas. Cada vez que la horaria avanza un minuto, la aguja de los minutos avanza 12 minutos. Por lo tanto, cada vez que la horaria apunta a una letra, la aguja de los minutos también apunta a una letra (a la misma u a otra).

1.46 Adivinación de un número Un pregunta innecesaria es la 6) porque si es mayor de 1.000 y menor de 10.000 ya se sabe que tiene cuatro cifras. Se puede pensar que si Juan hubiera hecho primero la pregunta 5) hubiera evitado la 4). Pero, Juan no sabía que la respuesta sería afirmativa. Por último, hay otra pregunta innecesaria, la 5) porque todos los cuadrados pares son múltiplos de 4.

1.47 Doble numeración El cuadro tiene 57 filas. Explicación: En la última fila el número de una punta es el doble que el número de la otra punta. Por lo tanto, la suma es múltiplo de tres. Y de las cinco opciones propuestas, solo la C) lo es. Y si la suma de ambos números es 171, la cantidad de filas es una tercera parte, o sea, 57. 124

SOLUCIONES

1.48 Hombre bajo y hombre alto Ambos alcanzan una mayor altura cuando el alto se sube sobre los hombros del hombre más bajo. Explicación: Podemos verlo de esta manera: El más alto tiene el cuello más largo y la cabeza más grande que el hombre bajo. En esa parte, la longitud de uno se superpone sobre la longitud del otro. Es decir, una distancia mayor que cuando el alta se sube sobre los hombros del hombre más bajo.

1.49 La chacra cuadrada La chacra tiene en total 100 plantas: Explicación: Cantidad de plantas deliciosas en cada cuadro: 16. Cantidad de plantas granny en cada cuadro: 9. Cantidad total de plantas deliciosas en la chacra: 64. Cantidad de granny en toda la chacra: 36. Cantidad total de plantas en cada cuadro: 25. Cantidad de cuadros: 4.

1.50 Hombre y mujer 3

8

1

7 19

6

2

9

1 18

5

4

2

6 17

14 14 12 14 125

LA COSECHA DE ACERTIJOS Explicación: Todas las líneas suman 54 (y las columnas también). O sea, la R, la E y la M (letras repetidas), suman 9. En la línea 2º están estas tres letras. Por lo tanto, Y = 9. De la 3º columna (de izquierda a derecha) deducimos que M + E = 3. O sea, R = 6. Pasamos a la columna 4º (de izquierda a derecha) Etc. Etc.

Segunda pasada 2.1 Hacia el bicentenario Faltan 42 días. Explicación: Las menores cantidades de un 30 por ciento es 3 de 10, y sus múltiplos: 6 de 20, 9 de 30, 12 de 40, etc. tomamos estas últimas cantidades porque restando 12 a 40 resulta 28 que es múltiplo de 4. Entonces, de 28 restamos un cuarto, o sea, 7. Queda 21. La cantidad de días que faltan para llegar al 25 de Mayo es 21 o sus múltiplos: 42, 63, etc. Y de estos múltiplos solo con 42 nos quedamos en el mes de Abril. O sea, primero faltaban 80 días. Transcurren 24 días. Faltan 56 días. Transcurren otros 14 días. Y faltan 42.

126

SOLUCIONES

2.2 Dos cuadros de manzanos Cuadro A: 115 plantas. 59 deliciosas y 56 granny. Cuadro B: 85 plantas. 51 deliciosas y 34 granny. Explicación: Supongamos que en A están las 110 deliciosas y en B las 90 granny. Debemos pasar 5 granny de B a A. Para que las granny de B sean x - 25 (x = las deliciosas de A). Ahora, si en A hay 115 plantas entre ambas variedades y en B hay 85, cualquiera sea la distribución de las variedades siempre en B las granny serán x – 25. Entonces, solo tenemos que ajustar las cifras en B para que la relación deliciosa – granny sea de tres a dos.

2.3 Fr utas variadas En total las frutas son 270. 135 peras y 135 manzanas. Explicación: La cantidad de manzanas de cada cajón es el triple de la cantidad de cajones de peras. Como en ambos lotecitos la cantidad de frutas es la misma, la cantidad de peras de cada cajón tiene que ser el triple de la cantidad de cajones de manzanas. Como ambos números suman 60, se deduce que la cantidad de peras de cada cajón es 45 y el número de cajones de manzanas es 15. Peras: 3 X 15 = 135. Manzanas: 15 X 9 = 135. 135 + 135 = 270.

127

LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.4 Rotación de cultivos Los cuadros son 12 y los cultivos, 15. Explicación: Buscamos la solución más simple para el caso de que la cantidad de años que se trabajó cada cultivo sea 4 / 5 de la cantidad de años que su hubiese trabajado si el número de cuadros fuera igual al número de cultivos. Esa solución es: cuadros: 4. Cultivos: 5. Ciclo: 5 años (se multiplica el número de cuadros por los años: 20 años – cultivos. Dividido por 5 cultivos: = 4. O sea, 4 / 5 que si la cantidad de cuadros y de cultivos fueran iguales). Por último: multiplicamos esa solución por 3 para que los cultivos sean tres más que los cuadros como dice el enunciado. El ciclo sería: 15 años. 12 x 15 / 15 = 12, que es 4 / 5 de 15.

2.5 Retirando manzanas de dos cajas En cada cajón hay 72 manzanas. Explicación: Como en el acertijo anterior, buscamos la solución mínima, o sea, aquella en la cual la diferencia final entre ambos cajones es una manzana. Esa solución es ocho manzanas. De A retiramos dos manzanas en cada operación. De B retiramos 2, 2 y 1 manzana. En A quedan 2 manzanas y en B 3. La solución buscada es nueve veces esa diferencia. Solo hay que multiplicar ocho por nueve. 128

SOLUCIONES

2.6 Tres bandejas de manzanas La bandeja chica tiene 10 manzanas. La mediana 14 y la grande, 18. Explicación: Descomponemos 2.520 en sus factores primos: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7. Con estos números es fácil formar las cantidades buscadas: Bandeja chica: 2 x 5 = 10. Bandeja mediana: 2 x 7 = 14. Bandeja grande: 2 x 3 x 3 = 18.

2.7 La chacra de Pedro En la chacra de Pedro hay 841 plantas. Explicación: En la línea norte y también en la línea sur, podría haber 14, 15 o 16 granny. Y la cantidad total de plantas del cuadro podría ser: 29², 302 o 312. = 841, 900 o 961. Y la relación deliciosa – granny tendría las posibilidades siguientes: 421 – 420. 450 – 450. 480 – 481 (en los cuadros de lado impar siempre hay una planta más de una variedad que de la otra variedad). La única alternativa en la cual no se puede cumplir las recomendaciones de Pedro es 421 – 420. Porque 421 es primo.

2.8 Vacas y más vacas Pilquimín recibió 709 vacas. Explicación: Ante todo ¿Cómo sería el trueque de ovejas por caballos? Necesitamos otro 129

LA COSECHA DE ACERTIJOS divisor de 4.963 (los caballos valen más que las vacas y no puede ser 7). Es fácil encontrarlo dividiendo ese número por 7. Resulta 709 que, como es primo es único además de 7 que también es primo. Por lo tanto, cambiaría 709 ovejas por un caballo (parecen muchas, pero, eso se deduce del enunciado). Y por todas las ovejas recibiría 7 caballos. Ahora entregaría 7 caballos por 709 vacas, única operación posible para no sobrepasar un número de mil. O sea, 7 caballos y 709 vacas equivalen a lo mismo: 4,963 ovejas. Así se llega a 77 – 88. Por último: 88/8 = 11. Y 77 + 11 = 88.

2.9 Tres números El número triangular, el número cuadrado y el número primo son respectivamente 15, 16 y 17. Explicación: Dado tres números consecutivos el producto del primero por el segundo más dos veces el segundo es igual al producto del segundo por el tercero. Solo tenemos que busca tres números consecutivos que uno sea triangular, otro cuadrado y el último, primo. Comprobación: 15 x 16 + 32 = 272 = 16 x 17 = 272. Para el caso también servirían los números 3, 4 y 5. Pero, se dijo que eran mayores de 10. 130

SOLUCIONES

2.10 Manzanos en dos parcelas En la parcela A hay 30 manzanos. Explicación: Como cada manzano de la parcela B tiene 1/3 de todas la frutas de la parcela A, eso equivale a que los manzanos sean 10 + 3 = 13 (Porque 3 manzanos de la parcela B producen tantas manzanas como los 20 de la parcela A). Y que cada uno tenga 2.600/13 = 200 frutas. Entonces en la parcela B hay 2.000 frutas y en la parcela A, 600. Y las manzanos de esta parcela son 600/20 = 30. Verificando: A = 30 x 20 = 600. B = 10 x 600/3 = 2.000. A = 600 + B = 2.000. Total: 2.000 + 600 = 2.600.

2.11 Un cuadro de manzanos y otro de perales Manzanos: 3.969 (632). Perales: 4.096 (642). Explicación: Recordemos: La diferencia entre dos cuadrados es igual a la diferencia entre sus raíces por la suma de las mismas. Ahora bien, la diferencia entre estos dos cuadrados es un número primo (127). Entonces, la diferencia entre estos dos cuadrados solo puede ser 1 porque si esa diferencia fuese mayor la diferencia entre ambos cuadrados seria el producto de dos factores. Pero, 127 es primo. Ya es fácil ver que la diferencia de las raíces de ambos cuadrados solo puede ser 1 y que esas raíces son 63 y 64. Por último: 642 - 632 = 131

LA COSECHA DE ACERTIJOS 127

2.12 Caja y cajón El cajón vacío vale $ 20. La caja vacía vale $ 8. Explicación: La relación entre la caja vacía y el cajón vacío es de 2 a 5, y sus múltiplos: 4 y 10. 6 y 15. 8 y 20. Y aquí encontramos la solución porque sumamos el valor de las manzanas: 8 + 4 = 12. Y 20 + 4 = 24. Y el valor del cajón con las manzanas es el doble de la caja llena con esa fruta.

2.13 Diez cajas de manzanas La caja más grande tiene 93 manzanas. Y la chica tiene 31 (número primo). Explicación: La relación de la cantidad de manzanas entre una caja y otra, explicada en el enunciado, solo es posible si la cantidad mayor es el triple de la menor. Y de las diez opciones propuestas solo el 93 es múltiplo de 3. Y el número menor tiene que ser un tercio del mayor. Comprobación: 93 – 31 = 62. Y 93 + 31 = 124. 62 + 62 = 124.

2.14 Manzanas sobrantes Nos sobran cinco manzanas. Explicación: Para que en cada 132

SOLUCIONES caja haya un tercio de duraznos del total de las frutas y un cuarto de peras, el resto, que son manzanas, tiene que ser cinco o múltiplo de cinco para llega a un múltiplo de 12.. Por lo tanto, el total de manzanas tiene que ser 105.Una posibilidad sería: Hay siete cajas. Cada una tiene 15 manzanas, 12 duraznos y 9 peras. En total: 36. Las manzanas sobrantes no pueden ser más porque son menos de 10.

2.15 Cajas de peras y de manzanas Las peras son 289. Las manzanas son 324. Explicación: La primera condición de las cajas de peras y de las cajas de manzanas solo es posible si en cada caso el número de cajas es un cuadrado. Sabemos que la diferencia entre dos cuadrados es igual a la suma de sus raíces, si estas son números consecutivos. Si la diferencia entre las manzanas y las peras es 35, las raíces son 17 y 18. Por último: 17 x 17 = 289. Y 18 x 18 = 324.

2.16 Las plantas y las filas El cuadro tiene 132 plantas. Explicación: El resultado de este modo de sumar es el cuadrado del número mayor. Por otra parte, si dos números son consecutivos, la diferencia entre los dos 133

LA COSECHA DE ACERTIJOS cuadrados respectivos es igual a la suma de esos números. Por lo tanto, podemos deducir que las raíces de esos dos cuadrados son 11 y 12 (11 + 12 = 23). Los resultados de ambas sumas (o cuadrados) son: uno 121 y otro 142. Entonces, 11 x 12 = 132. Por último: buscamos entre los cuadrados menores de 121 dos cuadrados cuya diferencia sea 23. No los encontramos y nuestra solución es única.

2.17 Dos clases de cajas Las cajas de la otra clase serían 56. Explicación: Suponemos que cada caja de una clase tiene dos manzanas, mínimo posible porque se habla en plural. Probamos con 41 cajas. Tendrían 82 manzanas. Quedan 250 – 82 = 168. 168 / 56 = 3. Las otras cajas tendrían 3 manzanas cada una. Además, todas las manzanas podrían esta en 50 cajas de cada clase (50 + 50 = 100). Cada 3 cajas chicas que faltan, son compensadas por 2 grandes. Si faltan 9 cajas chicas para llegar a 50, son compensadas por las que exceden a esa cantidad. Hasta aquí todo bien. Pero, si las cajas chicas son 46 no pueden ser compensadas por las cajas grandes porque aparecerán fracciones. Pero, el enunciado dice: una clase de cajas. De modo que 46 son las cajas grandes. Y las cuatro que 134

SOLUCIONES faltan para llegar a 50, se compensan con las seis que sobran. Comprobación: 46 x 3 = 138. 56 x 2 = 112. 138 + 112 = 250. De otra manera: De 250 restamos la cantidad que podrían tener las 41 cajas. 250 – 82 = 168. 250 – 123 = 127. 250 – 164 = 86. Ahora verificamos si alguna de esas cantidades es divisible por 56 (cantidad de cada caja de la otra clase). Encontramos: 168 / 56 = 3. De modo que las 41 cajas tienen 2 manzanas cada una. Y las 56 cajas, 3 cada una. Si las 46 cajas tuvieran 2 manzanas cada una, serían 92. Y, 250 – 92 = 158 que es una cantidad no divisible por 3. No pueden ser las cajas que tienen 3 manzanas. Por último, 46 tienen entonces 3 manzanas cada una. 46 x 3 = 138. El resto: 250 – 138 = 112. Están contenidas por 56 cajas.

2.18 Seis números seis II 6

6 6

6

6

6

6

6

6

6

6

2.19 Muchas ofertas Le sobraba una. La del precio $ 14. Explicación: Con 135

LA COSECHA DE ACERTIJOS cuatro variedades se forman seis ofertas tomando juntas dos variedades. Sobra una. ¿Por qué la del precio 14? Porque el precio de cada una de las cajas de una variedad entra tres veces en la totalidad de las ofertas. De modo que si sumamos las seis, el resultado tiene que ser múltiplo de tres. Sumamos: 9 + 10 + 12 + 13 +14 + 15 + 16 = 89. Ahora de 89 restamos cada oferta: 89 – 9 = 80. 89 – 10 = 79. 89 – 12 = 77. 89 – 13 = 76. 89 – 14 = 75. 89 – 15 = 74. 89 – 16 = 73. De todos estos casos solo 89 – 14 = 75, el resultado es múltiplo de tres.

2.20 Suma de números Los tres primeros números de esta progresión son: 52 + 54 + 56. Y así hasta 150. Explicación: Podemos considerar la solución a este problema de la manera siguiente: 52 = 1 + 51. 54 = 2 + 52. 56 = 3 + 53 ……………… 150 = 50 + 100. Se ve que así sumamos todos los números de 1 a 100.

2.21 Los trenes El tren A se desplaza a 75 kilómetros por hora. B, primero avanzaba a 90 kilómetros por hora y después a 60 kilómetros por hora. Explicación: Podemos suponer que primero B recorre 250 136

SOLUCIONES metros (suma de las longitudes de ambos trenes) en 1 minuto. Eso significa que supera la velocidad de A en 15 kilómetros por hora. Y si luego, marcha a 15 kilómetros por hora menos que A, significa que redujo su velocidad en 30 kilómetros por hora. Estos 30 kilómetros por hora son 1/3 de su velocidad primitiva. O sea, B marchaba primero a 90 kilómetros por hora y después bajó a 60 kilómetros por hora. A, marcha a una velocidad constante de 75 kilómetros por hora.

2.22 Más de 50 cajones Las manzanas son 2.628. Los cajones son 73. Explicación: 2.701 = 73 x 37. Los cajones son o 73 o 37. Se dijo que eran más de 50, entonces, son 73. Si fuera un solo cajón las manzanas serían 37 – 1 = 36. Cada cajón tiene 36 manzanas. Por último: 2.701 – 73 = 2.628. Y, 2.628 / 36 = 73. De 2.701 debemos resta la cantidad de cajones. Eso lo hacemos restando 1 a la cantidad de manzanas de cada cajón porque si en lugar de multiplicar 73 por 37 multiplicamos 73 por 36, el segundo resultado será 73 unidades menos que el segundo.

137

LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.23 Los caminos El automóvil, en asfalto lleva 90 kilómetros por hora y en ruta de tierra, 15 kilómetros por hora. Explicación: Suprimimos de ambos caminos los factores comunes, o sea, a los 45 kilómetros de asfalto de la ida le restamos los 30 kilómetros de asfalto de la vuelta. Y a los 45 kilómetros de ruta de tierra de la vuelta le restamos los 30 kilómetros de ruta de tierra de la ida. Nos quedan 15 kilómetros de asfalto y 15 kilómetros de ruta de tierra. En estos kilómetros se producen esos 50 minutos de diferencia. Además, 30 kilómetros es la quinta parte del camino de ida y vuelta. En esta quinta parte el automóvil emplea 1 hora y 10 minutos. Entonces, deducimos que esos 15 kilómetros de asfalto son recorridos en 10 minutos y que los 15 kilómetros de ruta de tierra en 60 minutos, o sea, 50 minutos más. Ya podemos determinar la velocidad del automóvil en ambas clases de caminos.

2.24 Tres tamaños de manzanas En la caja chica caben 48 manzanas grandes. Explicación: En la caja grande caben 125 manzanas chicas según la siguiente proporción: 100 / 80 : x / 100 = 125 138

SOLUCIONES Y en la caja chica caben 48 manzanas grandes según la proporción siguiente: 125 / 60 : 100 / x = 48 Si en la caja chica caben 100 manzanas chicas o 80 medianas. En la caja grande caben 100 medianas o 125 chicas. Si en la caja grande caben 125 manzanas chicas o 60 grandes, en la caja chica caben 100 chicas o 48 grandes.

2.25 Un cajón igual a tres El cajón vacío pesa 4 kilos. Explicación: Las manzanas de cada uno de los tres cajones que no están llenos pesas 24 / 3 = 8 kilos. Entonces, cada uno tiene 8 – 4 = 4 kilos de manzanas. Y en total: 4 x 3 =12 kilos. Y el cajón lleno 16 – 4 = 12 kilos también.

2.26 Un coche particular El coche particular partió a las 13 horas. Explicación: 6 horas del colectivo (en la primera oportunidad) equivalen a 12 horas del coche. Entonces, podemos plantear la proporción siguiente: 12 / 6 : 10 / X. = 5 horas. El coche salió 5 horas antes del colectivo que se le adelantó luego de 10 horas. El coche partió 139

LA COSECHA DE ACERTIJOS a las 13 horas y el colectivo partió a las 18 horas. Cuando el colectivo se adelantó al coche, el primero llevaba 5 horas y el segundo diez.

2.27 Treinta y nueve manzanas Los cajones son 39 y contienen 78 manzanas cada uno. Explicación: Para la suma de 1 + 2 + 3 + ……. + N, la fórmula es: N(N + 1)/2. Supongamos que N sea par, entonces N(N + 1) / 2 equivale a N x N /2 + N / 2. Por lo tanto, N x N / 2 es una cantidad entera de N. Sobra entonces la mitad de N. Si la mitad es 39 manzanas, N es igual a 78 (y se confirma que es par). Por la fórmula antedicha sabemos que las manzanas son 3.081. Y las cajones (3.081 – 39) / 78 = 39. Otra manera de calcular la sumatoria de 1 + 2 + 3 + 4 + ....... + 78 es formar pares de números del modo siguiente: 1 y 78. 2 y 77, 3 y 76, etc. Son 39 pares que suman 79 cada uno. Entonces, 39 x 79 = 3.081.

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SOLUCIONES

2.28 Siete números siete II 7

7 7

7 7

7

7 7

7 7

7

7 7

7

7 7

7

7

7 7

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7

2.29 Manzanas chicas, medianas y g randes En total las manzanas son 75 (opción B). Explicación: Si la diferencia entre chicas y medianas es igual a la diferencia entre medianas y grandes, se puede deducir que si llamamos x a la cantidad de manzanas medianas, la cantidad total es: x + 2x = 3x. O sea, el total es múltiplo de 3. Y de las cinco opciones, solo 75 lo es. Por ejemplo: Chicas = 20. Medianas = 25. Grandes = 30. Total: 75. Y se ve que las unidades que les faltan a las chicas (5) para llegar a las medianas es igual a las que les sobran a las grandes (5). El promedio de ambas es 25. Y el total es 25 x 3 = 75.

2.30 Una plantación excéntrica Puede ser tanto par como impar. Explicación: Se sabe que las plantas contenidas por el triángulo es igual a la sumatoria de 141

LA COSECHA DE ACERTIJOS todos los números hasta N (1 + 2 + 3 + 4 etc.), Y la conocida fórmula es: N (N + 1)/2. Cada fila podría tener 14 plantas. Entonces, 14 x 27 = 27 x 28 / 2 = 328. Y el resultado es par. Pero, cada fila puede tener 55 plantas. Y N = 54. Entones, 55 x 27 = 54 x 55 / 2 = 1.485. Y el resultado es impar.

2.31 El indio neg ociante Las vacas son 24. Explicación: Del primer trueque deducimos que una cabra equivale a una oveja y 1/3. Tenemos entonces que transformar esas 42 cabras en dos cantidades de modo que sumando ambas menos 1/4 de una (las supuestas ovejas) resulte 42. Se llega a la solución por medio de una sencilla ecuación: Llamamos X a esas dos cantidades iguales: X + X - X/4 = 42. Despejando = 24 O sea: Serían 24 cabras. Y las 18 restantes equivalen a 24 ovejas. Como a 18 sumamos un tercio, luego, de esta suma tenemos que restar un cuarto (de 24 restamos 6).

2.32 100 manzanas Cada una de las nueve cajas contiene respectivamente 4, 5, 142

SOLUCIONES 6, 7, 8, 16, 17. 18. y 19 manzanas. En cambio, con la alguna caja con más de 20 manzanas habría otras soluciones. Por ejemplo: 2, 3, 4, 8, 9, 14, 15, 20 y 25.

2.33 Jueves Nunca será jueves. Explicación: Según el calendario gregoriano, hay un bisiesto cada cuatro años, de los cuales se suprimen tres de cada cuatro siglos. Son bisiestos los años 2.000 y 2.400. Y no son bisiestos los años 2.100, 2.200 y 2.300. Entonces, del 25 de mayo hasta esa fecha de 2.104 consideramos 124 días (100 días porque el año común tiene 365 días y deja un resto de 1 cuando lo dividimos por 7), más 24 bisiestos. Dividimos 124 por 7. El resto es 5. Hasta 2.204 tenemos 248 / 7. El resto es 3. Hasta 2.304 tenemos 372 / 7. El resto es 1. Hasta 2.404 tenemos 497 / 7. El resto es cero. Y aquí se cierra el ciclo que se repite indefinidamente. En ningún caso hay un resto de dos. Y nunca será jueves.

2.34 Plantación con dos variedades Las plantas mínimas de granny son 18. El productor tendría un cuadro de 12 x 12 plantas. Y otro de 3 x 6 plantas. 143

LA COSECHA DE ACERTIJOS Explicación: Podemos suponer que los cuadros se componen de pequeños cuadrados de 3 x 3 plantas de las cuales 8 son deliciosas. Entonces, el lado del cuadrado original tiene que ser múltiplo de 3 y el total de las plantas deliciosas múltiplo de 8. Probamos con los primeros cuadrados. 3 x 3. 6 x 6. 9 x 9. 12 x 12. Aquí encontramos la solución: 12 x 12 = 144. 144 / 9 = 16. 16 plantas de deliciosas que pasarían a ser granny. Y para armar otro cuadro de 3 x 6 con esas 16 plantas deliciosas hay que agregar 2 granny.

2.35 El coche rojo y el coche blanco La velocidad de los coches no es constante. Ambos aumentan su velocidad de manera que en cualquier punto de la ruta los dos pasan a la misma velocidad que el otro, pero, como el coche rojo aumenta su velocidad antes que el coche blanco eso produce un aumento de la distancia que los separa.

2.36 La cosecha Cosechó durante 15 días. Explicación: Si hubiera comenzado de un cajón, con ese aumento y disminución hubiese llegado a un número cuadrado. El primer cuadrado impar después de 139 es 169. Los 30 cajones de diferencia son los que habría 144

SOLUCIONES cosechado de más si hubiese comenzado y terminado en 1. Estos números (llamados triangulares) son: 1, 3 (1 + 2). 6 (3 + 3). 10 (6 + 4). 15 (10 + 5), etc. Como los que faltan son cuando aumenta y disminuye el rendimiento, debemos contar doble, o sea, 15 + 15. Comenzó y terminó en 6 cajones. En resumen: En los 15 días cosechó: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 139. El siguiente cuadrado es 196. No sirve porque la diferencia es impar. Y el siguiente, 225, tampoco sirve porque la diferencia (84) no es el doble de un número triangular. Y el siguiente impar (289) tampoco.

2.37 Ocho números ocho II 8

8

8

8

8

8

8

8

8 8

8

8

8

8

8

8

8

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LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.38 La cuenta de Juan y Pedro La fila tiene 20 plantas. Explicación: Si Juan y Pedro hubieran contando el mismo número de plantas, esta manera de sumar determina que la diferencia sea un cuadrado (basta considerar algunos ejemplos). Ahora el cuadrado anterior es 100. El excedente (20) resulta entonces porque Pedro contó una planta con el número 10 que correspondería a Juan si ambos hubiesen contado el mismo número de plantas. Por lo tanto, Juan contó 9 números de plantas y Pedro, 11.Y la fila tiene 20 plantas.

2.39 Peras y manzanas en cajas Las peras son 25 y las manzanas 49. Explicación: Las cajas de peras eran primero 5 y luego 6. Primero tenían 5 peras cada una y luego, 4. Las cajas de manzanas eran primero 7 y después 8. Primero tenían 7 manzanas cada una y luego 6. Explicación: La única manera de que sobrara una fruta es que la cantidad total de peras (o de manzanas) sea un cuadrado. Necesitamos dos cuadrados cuya diferencia sea 24. Los cuadrados de los números separados por 1 o 3 unidades no nos sirven porque la diferencia sería impar. Debemos considerar los cuadrados de dos números separados por 146

SOLUCIONES dos unidades: 2 y 4. 3 y 5. etc, en seguida se llega así a la solución.

2.40 Filas de manzanos y de perales El cuadro tiene en total 25 filas. Explicación: Una fila de perales produce 2/5 de lo que produce una fila de manzanos. (8/20 = 2/5). Al dejar 3/5 de las filas de manzanos hacemos que el promedio de todas las filas de manzanos sea igual a lo que producen las filas de perales. Solo tenemos que dividir 200 por 8 = 25. Comprobación: supongamos que son 5 filas de perales y 20 de manzanos. Quedarían 8 filas de manzanos. Pera; 5 x 8 = 40. Manzanas: 8 x 20 = 160. Total: 200. La cantidad de filas de perales, la cantidad de filas de manzanas cosechadas y sin cosechar, puede variar, pero, la cantidad total de filas siempre es la misma, o sea, 25.

2.41 Tres cultivos La verdadera es la opción C: 13. Explicación: Los medios cuadros de cada cultivo debe ser una cantidad que se pueda dividir en dos partes cuya diferencia sea igual a la diferencia entre las cantidades de los dos cultivos restantes (medios cuadros, o sea 7). Por ejemplo: Los cuadros pera – manzana tendrán la misma 147

LA COSECHA DE ACERTIJOS cantidad de cada cultivo. Los que quedan para combinarlos con durazno tienen una diferencia entre si de siete medios cuadros. En resumen: una posibilidad sería: Durazno 5 (medios cuadros). Pera 12. Manzana 13. Y entonces: durazno – manzana: 3 cuadros. Durazno – pera: 2. Peras – manzanas: 10.

2.42 Numeración vertical y horizontal El cuadro tiene 15 plantas en un rectángulo de 3 x 5. Explicación: En cada fila vertical los tres números suman 6 (1 + 2 + 3). Y como son 5 filas, el resultado sería 30. En la numeración horizontal, los números de las plantas de una fila suman 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5). A este resultado se llega por medio de una búsqueda sistemática la cual es posible porque se dijo que todos los números solo sumaban 75. Además, eso permite que la solución sea única,

2.43 Tres nuevos números El trío es: 34. 51 y 68. Explicación: Para que se den las condiciones indicadas debemos suponer que un tercio de B es una unidad (porque es un múltiplo de la solución básica: 2, 3, 4). Entonces, restando esa unidad a B tendremos el número A. Y sumando esa unidad a B tendremos el número C. B es múltiplo de 148

SOLUCIONES tres, A múltiplo de dos y C múltiplo de cuatro. Hay en la lista varios múltiples de dos, pero, solo hay un múltiplo de tres: 51.Y solo un múltiplo de cuatro: 68. Ya tenemos B y C. Y, A queda determinado.

2.44 Dos plantaciones triangulares Pedro tenía 212 = 441 plantas. Explicación: Las plantas que sobran más las que faltan suman una cantidad igual a las plantas de una fila más de cada cuadro. Pero, el total de plantas es un número cuadrado. Y eso solo es posible si las plantas que sobran son una cantidad igual a una fila más de un solo cuadro. Entonces, esa fila tiene 21 plantas. (42/2). Tenemos dos cuadros triangulares: uno de base 20 (210 plantas.). Y otro de base 21 (231 plantas.). Total: 212 = 210 + 231 = 441. Plantas.

2.45 Dos chacras cuadradas Los cuadrados son: 9.216 y 9.604. Explicación: Este problema que parece complicado se resuelve rápidamente si recordamos que dados tres números consecutivos la deferencia entre el cuadrado del primer número y el cuadrado del último es igual a cuatro veces el número intermedio (o sea, el cuadrado de la 149

LA COSECHA DE ACERTIJOS diferencia. Esa diferencia es igual a 2). El problema se resuelve rápidamente si además advertimos que 388 es un múltiplo de 4. Entonces, dividimos 388 por 4. El resultado es 97. Por lo tanto, los cuadrados buscados son los cuadrados de 96 y de 98.

2.46 Otros tres números A = 551. B = 649. C = 1.359. Explicación: Los números cuya suma es 1.200 tienen que estar separados por 98 que es la diferencia entre los dos números restantes (2.008 – 1.910 = 98). Dividimos 1.200 por 2 = 600. Restamos 49 (600 – 49 = 551) y sumamos 49 (600 + 49 = 649). El restante es fácil de deducir.

2.47 Cajitas de peras y de manzanas El total de frutas es 671. 336 peras (84 cajitas) y 335 manzanas (67 cajitas). La diferencia es 84 – 67 = 17. Explicación: Comenzamos con 17 cajitas de peras. Son 68 frutas. Luego agregamos tantas cajitas de peras como de manzanas. Por cada par de pera y manzana que agregamos, la diferencia entre las cantidades de cada fruta disminuye en una unidad. Entonces, hay que agregar 67 cajitas de cada clase para que esa diferencia quede reducida a una unidad. 150

SOLUCIONES

2.48 Diferencia Los duraznos son 18. Las manzanas son 36. Y las peras son 54. Explicación: Las relaciones pedidas entre las cantidades de duraznos, de manzanas y de peras son las mismas que existen entre los números 1, 2 y 3. Solo tenemos que multiplicar esos números por 36. Y se deduce fácilmente que la cantidad menor son los duraznos, la siguiente, las manzanas y la mayor las peras.

2.49 El precio de las manzanas La caja chica tiene seis kilos. Y la grande tiene ocho kilos. Explicación: Tenemos que entender perfectamente el enunciado para poder realizar una búsqueda sistemática: Consideramos los pares de números separados por una unidad: 1 y 3. 2 y 4. 3 y 5. Etc. Comenzamos por 1 y 3. El precio menor sería: 1 + 8 = 9. El precio restante: 9 + 2 = 11. El valor final de las dos cajas: 1 x 11 = 11. 3 x 9 = 27. Y, 11 + 27 = 38. Seguimos probando con las demás alternativas. Y, con 6 y 8 tenemos la solución: Precio menor: 6 + 8 = 14. Precio mayor: 14 + 2 = 16. Valor de la caja chica: 6 x 16 = 96. Caja grande: 8 x 14 = 112. Por último: 96 + 112 = 208.

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LA COSECHA DE ACERTIJOS

2.50 Un lote de fr utas Los kilos de manzana granny es 90. Explicación: Podemos suponer que originalmente cada kilo de cualquier variedad vale $ 1. Entonces, cuando el precio de las deliciosas se cuadriplica el valor de todo el lote aumenta $ 60. Por otra parte, por cada lotecito de tres kilos de granny el valor de todo el lote disminuye $ 2. Para que disminuya esos $ 60 de aumento hay que agregar 30 lotecitos de tres kilos de granny. O sea, 90 kilos. Comprobación: Primero el lote vale $ 110. Luego, 20 kilos de deliciosa por cuatro = $ 80. Y 90 kilos de granny dividido por 3 = 30. Total: 110.

Al bar rer 3.1 El reg reso de Pilquimín En el primer trueque, las vacas eran 20. En el segundo trueque, eran 40. Y en el tercero, las vacas eran 60. Explicación: Según el primer trueque, 2 vacas es el máximo que se puede entregar por un caballo. Y, según el segundo trueque, 2 vacas es también el mínimo que se puede entregar por un caballo. Entonces, esa la única posibilidad. Recordemos que en el primer 152

SOLUCIONES trueque, 20 era la cantidad máxima de vacas. Y que en el segundo trueque la cantidad mínima de vacas era 40.

3.2 El viverista acertijero Compró ocho atados de cada variedad. La cantidad de plantas (número triangular) de cada atado es indiferente. Explicación: si multiplicamos un número triangular por ocho siempre el resultado es una unidad menos que un número cuadrado. Por lo tanto, este chacarero solo tenía que comprar ocho atados de cada variedad sin preocuparse por el número triangular de plantas que tenía cada uno. Con otros números triangulares también se puede lograr ese resultado. Por ejemplo: Los atados tienen tres plantas cada uno. El chacarero puede comprar cinco atados de esa variedad. Pero, encontrar otros números triangulares que al ser multiplicados por cinco den como resultado una unidad menos que un número cuadrado, no parece posible.

3.3 El fr uticultor Las filas son 64. Cada una tiene 5 plantas. La fila elegida por el fruticultor puede ser cualquiera. Explicación: Para que el promedio de manzanas por planta sea un 153

LA COSECHA DE ACERTIJOS número entero es necesario que la cantidad de plantas de la fila elegida sea un número impar. Y esa cantidad tiene que ser un divisor de 320. Por último, 5 es el único divisor impar de 320. Y es fácil ver que la fila puede ser cualquiera.

3.4 Un número El número es el 36. Explicación: Si se puede descomponer en dos cuadrados iguales más la raíz de esos cuadrados, ese es un número triangular. (Siendo N par). Y si se puede descomponer en dos números triangulares consecutivos, ese número es un cuadrado. O sea, ese número es a la vez triangular y cuadrado. Y así es el 36.

3.5 El fr utero confundido Las ofertas tendrían que se tres y solo hay una posibilidad: Armó una oferta con dos cajas iguales. Y esa oferta es la opción C (98). Explicación: Dividimos cada oferta por dos: A: 106 / 2 = 53. B: 134 / 2 = 67. C: 98 / 2 = 49. D; 142 / 2 = 71. A, B y D resultan ser números primos. O sea, no pueden ser cajas con un valor que es el producto del precio por kilo por el peso. Solo la opción C, es decir, 49 puede ser una caja cuyo valor es: 7 x 7 = 49. 154

SOLUCIONES

3.6 El libro de Pilquimín El libro tenía 126 páginas. Explicación: El número de vacas es un múltiplo de tres. Y el número de terneros es un múltiplo de cuatro. Y como es el doble que el anterior, la relación terneros – vacas es 12 a 6, o sea, la cantidad total de animales es un múltiplo de 18. Por otra parte, la cantidad de páginas del libro es múltiplo de siete. El número buscado es entonces un múltiplo común de 7 y de 18 menor de 250. Y 126 es el único que cumple esas condiciones.

3.7 El rebaño de ovejas Quedaban 24 ovejas. Explicación: Del rebaño se retiraron 1/2, 1/5 del resto y 1/7 del resto. Y el orden no interesa porque el resultado es el mismo. El resultado es el mismo, por ejemplo, si primero se retiró 1/7, luego 1/5 y después 1/2. Ahora bien, si se puede fraccionar el rebaño de esa manera, el número de ovejas es necesariamente un múltiplo común de esos tres números: 2, 5 y 7. Y el único múltiplo común de esos tres números menor de 100 es 70, o sea, se perdieron 30 ovejas. Podemos hacer el cálculo de este modo: las ovejas son 70, se retiró la mitad, quedan 35, de estas se retiró 1/5, quedan 28. Y de estas 155

LA COSECHA DE ACERTIJOS se retiró 1/7 y quedan 24.

3.8 Lista de palabras Las tres palabras son: LAPIZ. CARTERA. TRUENO. Explicación: Se confecciona una tabla con esas doce palabras indicando cuantas letras I, E y A tiene cada una, así como su condición de par o impar. De ese modo se pueden seleccionar los nombres pedidos.

3.9 La variante de Pilquimín 15 caballos se pueden cambiar por un número de vacas comprendido entre 30 y 75. Explicación: Se determina la relación mínima entre caballos y vacas. Y la relación máxima entre esos animales. Si 20 caballos se pueden cambiar por 40 vacas, la relación es de 2 a 1.Y si 10 caballos pueden cambiarse por 50 vacas, la relación es de 5 a 1. Por lo tanto, 15 caballos se pueden cambiar por un número de vacas comprendido entre 15 y 75. (15 x 2 = 30. Y, 15 x 5 = 75).

3.10 Dispenser La chacra tiene 726 plantas. Explicación: Si colocamos un 156

SOLUCIONES dispenser por planta sobrarán 968 – 726 = 242. Y si colocamos dos dispense por planta quedarán sin dispenser 726 – (968/2) = 242 plantas. Una manera de resolver el problema es la siguiente: La solución mínima sería con cuatro dispenser y tres plantas. Dividimos 968 / 4 = 242. Los valores del enunciado son un múltiplo de este número. Solo tenemos que multiplicar 3 x 242 = 726. Y este número es la cantidad de plantas. Otra manera: La cantidad de plantas que quedarían con dos dispenser es 968/2 = 484. Como la diferencia entre estas plantas y el total de plantas es igual a la diferencia entre el total de plantas y la cantidad de dispenser tenemos que promediar esos dos números: (968 + 484) / 2 = 726.

3.11 Tablero de ajedrez 3

5

9

6 23

8

7

1

4 20

8

5

0

8 21

4

7

8

2 21

23 24 18 20

157

LA COSECHA DE ACERTIJOS La 1º y la 2º líneas suman entre ambas, 43. O sea, J + Z = 2, porque todos los dígitos suman 45 y faltan la J y la Z. Además, la 4º línea es igual a la 2º + 1. Por lo tanto, Z = 2. O = 1. J = 0. Si la 3º columna suma 18, B + E = 17. Considerando la 1º columna se deduce que E = 8. Y, B = 9. Etc. Etc.

3.12 Códig o postal Se cambió el tres por el cero. Explicación: Podríamos probar dividiendo 1.477.152 por 8328 alterando un dígito de ese número. Pero, eso sería muy engorroso y poco ingenioso. La tarea se simplifica muchísimo si advertimos que 1.477.152 es múltiplo de 9. Pero, el número por el cual se multiplicó el código postal no es múltiplo de 9 porque su raíz digital es 4. Por lo tanto, el código postal alterado debe tener 9 como raíz digital. Son muy pocas las posibilidades: 5328, 8028, 8928, 8388 y 8325. Dividiendo 1.477.152 por cada uno de esos números se encuentra la solución.

3.13 Dos, cuatro, siete y nueve Un número así no existe. Ningún número triangular termina en 2, ni en 4, ni en 7, ni en 9.Explicación: El último dígito de los primeros 20 números triangulares son: 1, 3. 6. 0. 5. 1. 8. 6, 5. 158

SOLUCIONES 5. 6. 8. 1. 5. 0. 6. 3. 1. 0. 0. Estos 20 dígitos constituyen un ciclo que se repite indefinidamente. Observamos que en este ciclo no hay ningún 2, ni un 4, ni un 7, ni un 9. Por lo tanto, el número pedido en el enunciado no existe.

3.14 Multiplicación Luego de tachar las cifras de la manera indicada la multiplicación queda de la siguiente manera: 1 x 2 x 1 x 73 = 146. Explicación: tachando 2 cifras de E se pueden formar 10 números distintos de tres cifras: 463. 163. 143. 146. 563. 543. 546. 513. 516. 514. Algunos son primos, otros compuestos. Desechando los primeros (463. 163. 563. Y descomponiendo los números compuestos en sus factores primos, se llega a la solución.

3.15 Una cuadrilla de cosechadores Los cajones en total eran 150. Explicación: Entre Alberto, Bruno y Carlos cosechan 12 cajones de más. Y Daniel, siete de menos, o sea, entre los cuatro cosecharon cinco cajones de más. Entonces, Ernesto cosechó cinco cajones de menos. Y de tal manera que la cantidad resultante sea múltiplo de cinco. El único 159

LA COSECHA DE ACERTIJOS cuadrado menor de 100 que cumple esa condición es 25. En definitiva: Ernesto cosechó 25 cajones, Alberto, 32, Bruno, 34, Carlos 36. Y Daniel 23.

3.16 Un triangulo triangular Los números correspondientes a este triangulo pitagórico son: 21, 28 y 35. Explicación: El método resolutivo no es muy elegante: Por simple búsqueda. Consideramos el menor de tales triángulos: Catetos: 3 y 4. Hipotenusa: 5. Determinando sus múltiplos

llegamos a: 21, 28 y 35. Los catetos 21 y 28 son

números triangulares. Seguiría el triangulo: 15, 36 y 39.

3.17 La estancia de don Zoilo La menor superficie de la estancia de don Zoilo es: 80 kilómetros cuadrados (42 + 82 = 16 + 64). Explicación: Probamos con los números menores. Si el alambre daba dos vueltas, su longitud es par. Entonces, las superficies de A y de B deben ser las dos pares o las dos impares. Probamos: 1 + 3. Luego, 2 + 4. Etc. Comprobamos así que con 4 + 8 la superficie es el doble que el perímetro. O sea, lado A = 4. Lado B = 8.

160

SOLUCIONES

3.18 Promedio de cosecha El promedio previsto era 27 cajones y terminó siendo 26. Alberto cosechó 24 cajones, Bruno 18 y Carlos 36. Explicación: Haciendo algunos tanteos comprobamos que el promedio previsto es múltiplo de 9. Consideramos el 9, el 18, el 27 y comprobamos que aquí tenemos la solución.

3.19 Plantación cuadrada Pedro había comprado 784 plantas. Explicación: Nos basamos en la ecuación siguiente: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. A y B son los lados de los dos últimos cuadrados. 2 AB, son las 374 plantas que faltaban. Además 374 / 2 = 11 x 17. Como estos números son primos, esta es la única posibilidad. Entonces, Pedro compró (11 + 17)2 = 784 plantas. Luego, plantó un cuadro con 112 = 121 plantas. Y otro cuadro con 172 = 289. Por último, plantó 121 + 289 = 410 plantas. Y había comprado 410 + 374 = 784 plantas. (282 = 784).

3.20 La poda de manzanos El cuadro tiene 84 plantas. Explicación: Al terminar una jornada ya había podado 56 plantas. Y al terminar la jornada 161

LA COSECHA DE ACERTIJOS siguiente ya había podado 63 plantas. Nos basamos en el número 12, mínimo común múltiplo de 3 y 4. Dos tercios de 12 es 8 y tres cuartos es 9. Para pasar de un caso a otro sumamos una unidad. Entonces, para llegar a la solución solo tenemos que multiplicar esos números por 7.

3.21 Los arbolitos La diferencia de entre A y B es 256. Explicación: por cada metro de C, la diferencia aumenta en ocho arbolitos. La diferencia es múltiplo de ocho y entre los cuadrados posibles: 169, 196. 225. 256. 289. 324. y 361 solo 256 es múltiplo de ocho.

3.22 Criptosuma alfabética +

3

6

6

8

3

6

0

6

8

3

9

7

3

6

6

Explicación: Si consideramos la primera columna de la derecha comprobamos que la letra A solo puede ser un 1, o un 2, o un 3, o un 4. probando cada una de estas posibilidades se llega fácilmente a la solución 162

SOLUCIONES

3.23 Seis números seis III 6 6 6 6

6 6

6

6 6

6 6

3.24 En el túnel otra vez El pasajero estará 50 segundos dentro del túnel. Explicación: El pasajero se desplazará hacia atrás hasta encontrarse a 75 metros de la punta del tren. En el instante en que ingresa el tren en el túnel, se desplazará hacia adelante. Así, en 25 segundos estará en la salida del túnel (porque adiciona la velocidad del tren con la suya). Y en la parte delantera del tren. Allí esperará fuera del túnel hasta que el tren avance 30 metros. Y, cuando el tren comienza a retroceder, se desplazará para cruzar el túnel hacia atrás en otros 25 segundos. Estuvo dentro de túnel 50 segundos. 163

LA COSECHA DE ACERTIJOS Cualquier otra maniobra que intentara, le llevaría un tiempo no menor del empleado por la cola del tren en entrar y retroceder 30 metros en el túnel. O sea, no menor de 60 segundos.

3.25 Inspeccionando plantas Las filas son nueve. Cada una mide 32 metros. 32 x 9 = 288. Más (4 x 8 = 32) por pasar de una fila a otra. 288 + 32 = 320. Explicación: Probamos con cuatro filas: De 320 restamos los 12 metros por pasar de una fila a otra. 320 – 12 = 308. Si dividimos por cuatro (cantidad de filas) resulta 77 metros que tendría una fila. Pero, 77 no es múltiplo de cuatro como tendría que ser (las plantas están a cuatro metros unas de otras, o sea, hay intervalos de cuatro metros). Descartamos esta posibilidad. Y así descartamos la alternativa de cinco filas, de seis, de siete, de ocho. Hasta que con nueve filas encontramos una solución posible.

164

SOLUCIONES

3.26 Siete números siete III 7 7

7

7

7 7

7 7 7 7 7

7 7

7

3.27 Ocho números ocho III 8

8 8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

3.28 Ley astronómica de Bode Los astrónomos intentan eliminar a Plutón como planeta. 165

LA COSECHA DE ACERTIJOS Pero, seria mucho mejor para el caso eliminar a Neptuno. Entonces, la ley de Bode determinaría para Plutón 38,8. Y la distancia real es 39,39. Bastante aproximada. Nosotros podemos hacerlo porque somos acertijeros. Tal vez, los astrónomos no lo consideran factible porque Neptuno es mayor que Urano y que Plutón, los planetas aledaños.

3.29 El premio Las diez personas tienen las mismas probabilidades. Explicación: Si fuesen dos tarjetas, A tendría ½ de probabilidades de ganar. Y B tendrá 1/1 de ½. O sea, ambos tienen las mismas probabilidades. Si fuesen tres tarjetas. A tiene 1/3. B, tendrá ½ de 2/3. Y C el 1/1 de 1/3. Los tres tienen la misma chance. Si fuesen 4 tarjetas, A tiene ¼. B tendrá 1/3 de ¾. Etc. Etc.

3.30 Un cuadro cuadrado La opción correcta es la C. El cuadro podría tener 40 x 40, con 19 filas de perales y 21 de manzanos: Explicación: La diferencia entre manzanos y perales tiene que tener un divisor par y el divisor correspondiente, también par (recordemos que se trata de un cuadrado de lado par). En este caso 4 x 20. Por ejemplo: 166

SOLUCIONES Supongamos que el cuadro sea 10 x 10. Podría haber una fila de perales y 9 de manzanos. La diferencia es 8 x 10 = 80. En ninguna de las otras opciones habría solución. El cuadro podría tener otras medidas donde la diferencia sea igual a 80. Pero, solo se preguntaba cual opción era la única correcta.

3.31 El número X El número X es 1.952. Explicación: Nos basamos en la conjetura siguiente: Un número triangular menos 1 (ahora llamado X) es igual a N / 2 + 1 multiplicado por N – 1. Por ejemplo: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20. 6 / 2 + 1 multiplicado por 5 = 20. Entonces, N / 2 + 1 = 32. Por lo tanto, N = 62, Y el número buscado es: 32 x 61 = 1.952.

3.32 Repartiendo manzanas Las manzanas eran 78. Primero había 12 personas. Luego, 13. Si preferimos no buscar la solución al tanteo, podemos razonar del modo siguiente: Para la suma de 1 + 2 + 3 + 4

………. +

N, la fórmula es N (N + 1) / 2, o esa, N x N + N / 2. Podemos hacer: N = 12. 12 x 12 / 2. Es múltiplo de 6. Y agregamos 12 / 2 = 6. 167

LA COSECHA DE ACERTIJOS Si hacemos N = 24 nos pasamos de 200 mínimo permitido.

3.33 El reparto de manzanas Andrés tiene 12 manzanas. Bruno tiene 20. Carlos tiene 32. Y Daniel 48. Explicación: Los cuatro números tienen que permitir las operaciones indicadas. Si tuvieran, por ejemplo, 2, 4, 20 y 30 manzanas respectivamente, en el último reparto Carlos pasaría a tener 23 manzanas y no podría entregar la mitad a Daniel. Los números 12, 20, 32 y 48 son los únicos que, sumando 112 permiten todas las operaciones indicadas.

3.34 Seis cajas de fr utas Por la caja de manzanas pagó $ 15 y por la de duraznos $ 25. Explicación: En cada par el valor de cada caja puede ser una de las alternativas siguientes: 4 – 46. 6 – 44. 8 – 42. 10 – 40. 12 – 38. 14 – 36. 15 – 35. 16 – 34. 18 – 32. 20 – 30. 22 – 28. 24 – 26. Ninguna cantidad puede ser un número primo porque es el producto de varios kilos por varios pesos. Entonces, los $ 37 pagados por la persona solo puede resultar de la suma de 15 más 168

SOLUCIONES 22. Solo hay dos impares: 15 y 35. Con 35 no podemos llegar a 37 con otra caja. Solo con el 15.

3.35 El reloj intrigante La distancia entre ambas agujas es la misma en ambas posiciones. Explicación: Si, a partir de las 12 horas el reloj funcionar al revés, la marcha de las agujas sería simétrica respecto de la marcha normal con arreglo a las especificaciones del enunciado (la aguja de los minutos, por ejemplo, está atrás en lugar de adelante, etc.).

3.36 Lavar

+ 1

9

6

4

9

9

6

4

9

9

2

9

8

Explicación: L = 1. A = 9, única manera de que el dígito del resultado sea igual a los dígitos de los sumandos. Luego, R = 8. U = 4. G = 6, porque debemos llevarnos 1 y no puede ser un 7.

169

LA COSECHA DE ACERTIJOS

3.37 Una treintena de fr utas Cada manzana vale cuatro centavos. Y cada pera 17. Explicación: 289 = 17 x 17. Entonces, a la solución se llega del modo siguiente: Hay 17 manzanas y cada una puede valer 1 centavo, o 2 centavos, o 3 centavos, etc. Cada pera vale 17 centavos. Y puede haber 1 pera, o 2 peras, o 3 peras, etc. Si cada manzana vale un centavo, hay 16 peras. Si cada manzana vale 2 centavos, hay 15 peras. Si cada manzana vale 3 centavos, hay 14 peras, Si cada manzana vale 4 centavos, hay 13 peras. Etc. La cantidad total de frutas va disminuyendo: 33, 32, 31, 30. Y esta es la solución: 17 manzanas x 4 centavos = 68. 13 peras x 17 centavos 221. Por último: 68 + 221 = 289.

3.38 Tres cuadros cuadrados El cuadro A tiene 81. Plantas. B, tiene 1.600. Y C, 1.764 (92. 402. 422.). 81 + 1.600 + 83 = 1.764. Restamos 2 a 83 = 81. Son las plantas de A. Dividimos A en dos números consecutivos: 40 y 41. Tomamos el menor, o sea, 40. 402 = 1.600. Son las plantas de B. Sumamos 2 a 40 = 42. 422 = 1.764. Son las plantas de C. O sea: 92 + 402 + 83 = 422. (81 + 1.600 + 83 = 1.764). Explicación: Con cualquier número que supere en dos 170

SOLUCIONES unidades a un número cuadrado impar (11, 27, 51, 83, etc.) se puede armar el mismo problema con distintas cifras. Nos basta, entonces, conocer este número, en este caso 83, para tener la solución, siguiendo en todos los casos los pasos equivalentes a los explicados.

3.39 Fecundadora Entre plantas en las filas la distancia es de cuatro metros. Y entre una fila y otra la distancia es de siete metros. La menor superficie es un cuadrado de 56 metros de lado. Explicación: Supongamos que la distancia entre plantas es de tres metros. Vamos agregando 9 + 9 + 9 etc. Hacemos lo mismo con 4, 5, 6 y 7. Y así comprobaremos que solo 4 y 7 tienen números en común.

3.40 Números primos Los primos A, B y C son 41, 43 y 47. Explicación: 41 + 43 + 47 = 131 41 x 43 + 258 = 2.021 43 x 47 = 2.021 La ecuación 2) siempre se cumple si la diferencia entre A y B es 2. Y la diferencia entre B y C es 4. Sabiendo esto y sabiendo 171

LA COSECHA DE ACERTIJOS que los tres primos suman 131 ya es fácil descubrirlos.

3.41 Dos filas de manzanos incompletas Cada fila tiene 18 plantas. Explicación: La clave está en darse cuenta que si formamos pares con las plantas de una fila y las plantas de la otra fila, la suma de ambos números es constante. Entonces, 481 tiene solo dos divisores: 13 y 37 (porque son primos). Son 13 pares que suman 37 cada uno (no puede ser a la inversa). Por último, si cada fila tuviera 13 plantas, la suma de esos pares sería 27. Para llegar a 37 debemos agregar cinco plantas a cada fila. Demostración: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 35 34 33 32 31 10 29 28 27 26 25 24 - 23 22 21 20 19

3.42 Dos condiciones triangulares El número triangular es: 19.900. O sea, 1 + 2 + 3 +…….. 199. Explicación: Es fácil encontrar un número así sabiendo que la fórmula para determinar un número triangular es: N (N + 1) / 2. Entonces, hacemos 199 x 200 / 2 = 19.900.

3.43 Una plantación triangular 172

SOLUCIONES El cuadro tiene 528 plantas. La sumatoria de 1 + 2 + 3 + ………. + 32. Y los lados del cuadro rectangular tienen 16 y 33 plantas. Explicación: Probando con los números bajos, podemos proponer dos conjeturas: A) lado corto: diferencia entre ambos lados más uno. (en nuestro caso 17 + 1 = 18). Entonces, el lado largo es 17 + 18 = 35. Y 18 x 35 = 630. N (N + N – 1) siendo N igual a la diferencia entre ambos lados más uno. 630 es un número triangular. Pero, nos pasamos del límite impuesto por el enunciado. B) Lado corto: diferencia entre ambos lados menos

uno.

Entonces, 16 x 33 = 528. Que también es un número triangular y por lo tanto es la solución.

3.44 Dos chacras diferentes En la primera chacra C = 42. F = 44. P = 46. Explicación: Cantidad de plantas de la primera chacra. 42 x 44 x 46 = 85.008. Cantidad de plantas de la segunda chacra: 44 x 44 x 44 = 85.184. Diferencia; 176. Si tres números están separados entre sí por dos unidades y los multiplicamos entre sí, el resultado tendrá una diferencia con el cubo del número central igual a 4 veces ese número. En este caso: 44 x 4 = 176.

173

LA COSECHA DE ACERTIJOS

3.45 Sandias y melones El valor máximo de X es $ 55. Las sandías son cinco y totalizan $ 30. Los melones son también cinco y cada uno vale $ 5. Totalizan $ 25. Explicación: Necesitamos una progresión aritmética de base 6, siendo todos los número primos con excepción de un cuadrado. 55 – 6 = 49. No se tiene en cuenta porque las sandías eran más de una. 49 – 6 = 43. 43 – 6 = 37. 37 – 6 = 31. 31 – 6 = 25 (único cuadrado). 25 – 6 = 19. 19 – 6 = 13. 13 – 6 = 7. Todos son primos con excepción de un cuadrado. Y la solución es única

3.46 Tres cuadros A: tiene 5 filas: 1, 2, 3, 4, 5. B: 15 filas: 6, 7, ……. 20. Entonces: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90. Y: 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 90. C: 4 filas: 21 + 22 + 23 + 24 = 90. A este resultado se llega mediante una búsqueda sistemática.

3.47 Muestras de manzanas Se

tomaron

81

muestras.

Explicación:

Cualquier

disposición equivale a nueve grupos de nueve cajones. Podría ser: Nueve grupos y todos comprenden los cajones del 1 al 9. O bien, 174

SOLUCIONES el primero del 1 al 9, el segundo del 10 al 18, el tercero del 19 al 27, etc. Y todas las disposiciones intermedias producen los mismos resultados. Basta hacer un ensayo formando los nueve grupos de una manera arbitraria para comprobar que siempre las muestras son 91.

3.48 Asfalto y tier ra Primero A se encontraba en el asfalto. B, también, pero, subía al asfalto en ese instante. Y C, tenía 100 metros de tierra hasta llegar al asfalto. Mientras C recorre esos 100 metros, A y B, avanzan 200 metros. Entonces, C queda a 200 metros de B y a 300 de A. En la segunda oportunidad A, abandona el asfalto y ya recorrió 100 metros de tierra. Entonces, C, volvió a estar a 200 metros de A porque avanzó 200 metros. Pero, mientras A recorrió esos 100 metros, B, recorrió 100 metros de asfalto y 50 de tierra. Quedando a 50 metros de A.

3.49 Bandejitas de fr utas La cantidad de clases de frutas es cinco. Las bandejitas son 20. Cada bandejita contiene 4 frutas. Explicación: Si se hacen todas las combinaciones posibles con las bandejitas de distintas frutas y 175

LA COSECHA DE ACERTIJOS suponemos que cada bandejita contiene una sola fruta, el total de fruta es un número triangular. Entonces, la cantidad total es un múltiplo de un número triangular. Y 10 es el único número triangular que es divisor de 80. Y 10 solo resulta de la combinación de cinco bandejitas.

3.50 Nueve números nueve 9

9 9

9 9

9 9

9 9

9 9 9

9 9

9 9

9 9

176

9 9

9

9

9 9

9 9

9 9

9 9

9 9

9

9

9 9 9

9

9

9

Epílog o Terminada la recolección de la fruta, inmediatamente se continúa con las labores culturales necesarias para la próxima cosecha. Entonces, se aplican los nuevos conocimientos que seguramente hemos adquirido en la temporada anterior. Nosotros, que ya hemos descubierto la solución de la mayoría, o de todos los acertijos de este libro, hemos aprendido muchos métodos resolutivos que podemos aplicar en adelante cuando tratemos de encontrar la respuesta de otros problemas. Y ya que estamos familiarizados con los procedimientos del ingenio podemos decidirnos a ser creativos e intentar la invención de otros acertijos, es decir, de nuestra propia cosecha. Recordemos que la gran mayoría de los problemas de ingenio son extensiones o variantes de enunciados ya conocidos. Pero, como presentan

algunos

detalles

distintos,

pueden

considerarse

justificadamente como una creación nuestra. Buena suerte.

177