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MATEMÁTICA APLICADA A LA ELECTRÓNICA LABORATORIO N° 11 “Función de transferencia en circuitos eléctricos”

 

Alumno (os): Grupo

:

A

Semestre

:

III

Fecha de entrega

:

21

Castro Aguilar Ederson Flores Taco Ulfer Cit Profesor: Morocco Apfata, Andrés Oswaldo

05

2019

Nota:

Hora:

ELECTRONICA Y AUTOMATIZACION INDUSTRIAL PROGRAMA DE FORMACION REGULAR

Matemática Aplicada a la Electrónica - Laboratorio

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Tema :

Función de transferencia en circuitos eléctricos Nota:

I.

App./Nom.: Castro Aguilar Ederson Flores Taco Ulfer Cit

A

Lab. Nº

11

OBJETIVOS   

Utilizar una herramienta informática para el análisis de ecuaciones diferenciales. Graficar la ecuación diferencial usando Simulink. Usar la función de trasferencia para graficar los valores del circuito.

II.

RECURSOS

1.

SOFTWARE:  Matlab

2.

EQUIPOS, INSTRUMENTOS Y ACCESORIOS: 

III.

Fecha:21/05/2019

Grupo

Computadora Personal.

BASE TEÓRICA

Una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología. En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta. Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente, mediante una aproximación usando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos hace énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos han sido desarrollados para determinar soluciones con cierto grado de exactitud.

Simulink es un entorno de programación visual, que funciona sobre el entorno de programación Matlab. Es un entorno de programación de más alto nivel de abstracción que el lenguaje interpretado Matlab (archivos con extensión .m). Simulink genera archivos con extensión .mdl (de "model").En las imágenes, se puede apreciar el diagrama en bloques de un radar, en el cual se muestra que uno de sus bloques de procesamiento de señal, es un filtro Kalman realizado en un script de Matlab. Luego, se puede apreciar un sistema de control automático, junto a su modelización y finalmente un sistema de un automóvil, vinculando la simulación a un entorno de realidad virtual. Simulink viene a ser una herramienta de simulación de modelos o sistemas, con cierto grado de abstracción de los fenómenos físicos involucrados en los mismos. Se hace hincapié en el análisis de sucesos, a través de la concepción de sistemas (cajas negras que realizan alguna operación).Es ampliamente usado en ingeniería electrónica en temas relacionados con el procesamiento digital de señales (DSP), involucrando temas específicos de ingeniería biomédica, telecomunicaciones, entre otros. También es muy utilizado en ingeniería de control y robótica. Es ampliamente usado en ingeniería electrónica en temas relacionados con el procesamiento digital de señales (DSP), involucrando temas específicos de ingeniería biomédica, telecomunicaciones, entre otros. También es muy utilizado en ingeniería de control y robótica.

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IV. 1.

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DESARROLLO Resolver y graficar las correspondientes a los valores de I(t),VL(t) y VR(t) del siguiente circuito: Circuito a graficar T=0

2 Ω. 0.5 F. I (0)=0

50 V.

I (t) 1 H.

Planteamos nuestra ecuación: 𝒅𝒊

Dominio de “t”

VR (t) =R*I(t)

VL (t) = 𝑳 𝒅𝒕 (𝒕)

Dominio de “S”

VR (s) =R*I(S)

VL (s) = 𝑳 ∗ 𝑺 ∗ 𝑰(𝒔)

VC (t) +VR (t) +VL (t) =V (t)

𝟏

VC (t) =𝑪 ∫ 𝑰 (𝒕)𝒅𝒕 𝟏

VC (s) =𝑪 ∗

𝑰(𝒔) 𝑺

VC (s) +VR (s) +VL (s) =V (s)

Graficar: voltaje de la bobina, voltaje de la resistencia, voltaje del capacitor, el voltaje de entrada y la intensidad del circuito.

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Calculus a mano

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 Desarrollo en Simulink 1. Unas vez abierto el Simulink nos ubicamos en la ventana “Simulink Library Browser”, buscamos la opción “Sources” dentro de la opción “Simulink” la cual se encuentra en la de lista de opciones pegada a la mano izquierda.(imagen 1) 2. Una vez dentro de dicha opción buscamos el elemento denominado “Step” el cual arrastraremos a la ventana “Úntate*. (imagen 1) 3. Buscamos la opción “Sinks” dentro de la opción “Simulink” la cual se encuentra en la de lista de opciones pegada a la mano izquierda .(imagen 2) 4. Una vez dentro de dicha opción buscamos el elemento denominado “Scope” el cual arrastraremos 2 veces a la ventana “Untate*. (imagen 2) 5. Buscamos la opción “Math Operations” dentro de la opción “Simulink” la cual se encuentra en la de lista de opciones pegada a la mano izquierda .(imagen 3) 6. Una vez dentro de dicha opción buscamos el elemento denominado “Sum” el cual arrastraremos a la ventana “Untate*. (imagen 3) 7. Buscamos la opción “Continuous” dentro de la opción “Simulink” la cual se encuentra en la lista de opciones pegada a la mano izquierda.(imagen 4) 8. Una vez dentro de dicha opción buscamos el elemento denominado “Transfer Fcn” el cual arrastraremos 4 veces a la ventana “Untate*. (imagen 4)

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Imagen 1

Imagen 2 Imagen 2

Imagen 4 Imagen 3

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Cambiamos los valores del elemento “Step” (“Step time” y “final value” por los valores de 50).(imagen 5) Cambiamos los valores del elemento “Sum” (“List of signs” por “I+++“).(imagen 6) Cambiamos los valores que vienen por defecto del Imagen 5 elemento “Transfer Fcn” denominado “Vr(t)”, primero reemplazamos los valores de la línea “Numerator Imagen 3 coeffcients” por “2 0” (con ello obtendremos el valor de “2S” como numerador de la fracción), después reemplazamos los valores de la línea “Denominador coeffcients” por “1 2 2” (con ello obtendremos el valor de “S2 +2S+2” en el denominador de la fracción).(imagen 7) Cambiamos los valores que vienen por defecto del elemento “Transfer Fcn” denominado “Vl(t)”, primero reemplazamos los valores de la línea “Numerator coeffcients” por “1 0 0” (con ello obtendremos el valor de “S2” como numerador de la fracción), después reemplazamos los valores de la línea “Denominador coeffcients” por “1 2 2” (con ello obtendremos el valor de “S2 +2S+2” en el denominador de la fracción).(imagen 8) Cambiamos los valores que vienen por defecto del elemento Imagen 6 “Transfer Fcn” denominado “Vc(t)”, primero reemplazamos los valores de la línea “Numerator coeffcients” por “2” (con ello obtendremos el valor de “2” como numerador de la fracción), después reemplazamos los valores de la línea “Denominador coeffcients” por “1 2 2” (con ello obtendremos el valor de “S2 +2S+2” en el denominador de la fracción).(imagen 9) Cambiamos los valores que vienen por defecto del elemento “Transfer Fcn” denominado “I(t)”, primero reemplazamos los valores de la línea “Numerator coeffcients” por “1 0” (con ello obtendremos el valor de “S” como numerador de la fracción), después reemplazamos los valores de la línea “Denominador coeffcients” por “1 2 2” (con ello obtendremos el valor de “S2 +2S+2” en el denominador de la fracción).(imagen 10) Denominamos el valor del eje “x” de la gráfica la cual está en función del tiempo, el cual en este caso será de 5 Segundos. (imagen 11) Indicamos el número de grafica a realizar en el “Scope”(imagen 12) En el “Scope” en la opción “Display” ubicamos en el grafico “2” al cual denominaremos “VOLTAJE DE LA RESISTENCIA“, también indicaremos el límite superior de “Y” que será de 36.44165 y el límite inferior que será de -5.59332. (imagen 13) En el “Scope” en la opción “Display” ubicamos en el grafico “3” al cual denominaremos “VOLTAJE EN INDUCTOR“, también indicaremos el límite superior de “Y” que será de 57.54917y el límite inferior que será de -17.94254. (imagen 14) En el “Scope” en la opción “Display” ubicamos en el grafico “4” al cual denominaremos “VOLTAJE DE FUENTE“, también indicaremos el límite superior de “Y” que será de 60 y el límite inferior que será de 40. (imagen 15) En el “Scope” en la opción “Display” ubicamos en el grafico “1” al cual denominaremos “VOLTAJE DEL CAPACITOR“, también indicaremos el límite superior de “Y” que será de 58.67755 y el límite inferior que será de -6.51973. (imagen 16) En el “Scope 1” en la opción “Display” ubicamos en el grafico “1” al cual denominaremos “CORRIENTE“, también indicaremos el límite superior de “Y” que será de 18.22082 y el límite inferior que será de -2.79666. (imagen 17)

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22. Ya en la ventana “Untate” unimos los componentes .(según la imagen 18) 23. Activamos la simulación y observamos la gráfica obtenida haciendo doble clic en el “Scope”.(imagen 19) 24. Activamos la simulación y observamos la gráfica obtenida haciendo doble clic en el “Scope 1”.(imagen 20) Imagen 7

Imagen 8

Imagen 10

Imagen 9

Imagen 12

Imagen 11

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Imagen 13

Imagen 15

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Imagen 14

Imagen 16 1

Imagen 17

Imagen 18

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Imagen 19

Imagen 20

 Aplicaciones:  Cualquier sistema físico que pueda trasformar sus valores de entrada como de salida de datos matemático de modo que se puedan comparar sus datos de entrada con los de salida mediante la gráfica de los datos, por ejemplo:  Control de procesos PID.  En modelos matemáticos de diagramas de bloques.  Un ejemplo para ilustrar la función de transferencia de un sensor es un termómetro de mercurio. Cuando se desea tomar la temperatura usando un termómetro de mercurio, se debe esperar un cierto tiempo hasta que el termómetro alcance la temperatura del medio que lo rodea, entes de comenzar a medir la temperatura (colocar el termómetro en el medio que se va a medir) este se encuentra en un estado estacionario, durante el tiempo que demora el termómetro para alcanzar la temperatura del medio, este se encuentra a condiciones no estacionarias y cuando alcanza la temperatura del medio hacia delante se encuentra a condiciones estacionarias.

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Considerando: x = temperatura del líquido. y = temperatura del bulbo del termómetro. A = área superficial del bulbo. U = coeficiente de transferencia de calor. m = masa de mercurio en el bulbo. Cp = capacidad calorífica del mercurio. 1. Un balance de energía para el bulbo de mercurio a condiciones no estacionarias está dado por: Calor que entra – calor que sale = acumulación

definiendo la constante de tiempo del termómetro como

se tiene:

2. Haciendo un balance de energía al estado estacionario

Restando (6.132) – (6.133)

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Definiendo las variables de desviación: y – ys = Y x – xs = X La Ec. (6.134) se escribe como

Tomando la transformada de Laplace de la EC. (6.135) X(s) – Y(s) = t [sY(s) – Y(0)] Pero Y(0) = 0 todavía no se inicia el cambio X(s) – Y(s) = t sY(s)

Es la función de transferencia para el termómetro de mercurio V.

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES

 Observaciones:  Es necesario realizar los cálculos manuales antes de realizar los gráficos en Simulink dado que con los cálculos manuales encontraremos el valor que debe de poseer el nuestro bloque “Transfer Fcn”.  Para hallar la corriente se tomó en cuanta la ley de OHM.  Otro método para hallar la corriente del circuito es I(s)/ V(s).  En “step” poner la señal de 50 desde el tiempo 0 ya que por defecto viene desde 1.  En caso de los “Transfer Fcn” revisar la estructura ya que de no ser puesta correctamente nos botara error o nos dará resultados no deseados.  Se usó Matlab 2017a en vez de la que se tiene en la máquina virtual.  Conclusiones:  Se logró graficar los valores de voltaje de la resistencia, bobina y capacitor usando el bloque “Transfer Fcn” el cual nos permite usar la función de transformación para lograr la graficar el valor de voltaje correspondiente.  Se vio las aplicaciones de la “Transferencia de Función” siendo muy utilizada en diferentes sistemas como mecánicos o eléctricos en esta última en mayor medida.  Se logró comparar los resultados obtenidos con el del laboratorio anterior corroborando otra manera de poder analizar el comportamiento de un circuito RLC, siendo su comportamiento como el de un atenuador de una onda senoidal.  Se logró comprender la manera correcta de hallar la corriente y poder ingresarla al bloque de “Transfer Fcn”.  Logramos establecer los correctos ejes tanto para “y” como “x” en esta última siendo 5*tau, viendo que para hallar el valor más próximo a tau se debe utilizar la fórmula de 2L/R.  Se vieron conceptos aprendidos en sesiones anteriores como el análisis de un circuito RLC por medio de Laplace así logrando llevar las funciones al dominio de “s”.