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Página 1 Modelo constitutivo uniaxial cíclico para refuerzo de acero Se-Hyung Kim Tesis presentada a la facultad del Instituto Politécnico de Virginia y la Universidad Estatal en Cumplimiento parcial de los requisitos para el grado de Maestro de la ciencia En Ingeniería civil y medioambiental Ioannis Koutromanos Roberto T. Leon Carin L. Roberts-Wollmann 11 de diciembre th

, 2014 Blacksburg, VA Palabras clave: acero de refuerzo, modelo constitutivo, carga cíclica, pandeo, ruptura Página 2 Modelo constitutivo uniaxial cíclico para refuerzo de acero Se-Hyung Kim RESUMEN Las estructuras de hormigón armado (RC) son comunes en áreas propensas a terremotos. Durante una terremoto, el refuerzo de acero está sujeto a historias de deformaciones cíclicas que conducen a inelásticos respuesta. En el caso de terremotos fuertes y raros, pandeo inelástico e incluso ruptura debido a También puede ocurrir fatiga del ciclo. La comprensión y caracterización del desempeño de RC estructuras bajo peligros de terremoto requiere la simulación precisa de la histéresis inelástica comportamiento del refuerzo de acero mediante modelos constitutivos adecuados. Se han desarrollado varios modelos de material uniaxial para el acero de refuerzo. Existente los modelos de materiales sacrifican la eficiencia por la precisión o viceversa. Conceptualmente simple y Los modelos numéricamente eficientes no capturan con precisión la respuesta histerética e ignoran la ruptura o pandeo. Por otro lado, los modelos de materiales más refinados se caracterizan por un estrés iterativo actualizar los procedimientos que pueden aumentar significativamente el costo computacional de un análisis. Además, la experiencia sugiere que los modelos refinados que intentan el efecto de inelásticos el pandeo tiende a dar lugar a problemas de convergencia numérica en el procedimiento de actualización de tensiones. El objetivo del presente estudio es la formulación e implementación de una metodología precisa y

modelo constitutivo computacionalmente eficiente para el refuerzo de acero bajo carga cíclica. UNA modelo desarrollado previamente, capaz de capturar la respuesta histerética inelástica de refuerzo acero en ausencia de pandeo y ruptura, se utiliza como punto de partida en este estudio. El modelo es mejorado mediante la sustitución de su procedimiento de actualización de tensión iterativo original con un igualmente preciso, uno no iterativo. Además, el modelo se ha mejorado para capturar los efectos del pandeo inelástico. y de ruptura. La precisión del modelo y la eficiencia de la actualización de tensión no iterativa Página 3 iii El algoritmo se demuestra mediante análisis de validación. Página 4 iv Agradecimientos El trabajo presentado en esta tesis no sería posible sin la ayuda y el apoyo de varias personas. Mi mayor apoyo provino de mi asesor, el Dr. Ioannis Koutromanos, quien me dio un gran consejo y siempre me empujó a trabajar más duro. Me gustaría agradecer a Sadik Can Girgin por proporcionarme varias referencias clave durante la etapa preliminar de mi tesis. preparación. También me gustaría agradecer a los otros miembros de mi comité: el Dr. Roberto León y Doctora Carin Roberts-Wollmann. También me gustaría agradecer a varias cohortes del Departamento de Asuntos Civiles y Ingeniería ambiental: Chia-Hung Fang, Jeremy Bowers, Michael Gangi, Mohammadreza Moharrami Gargari y Junle Cai. Su aportación ha sido muy apreciada. Por último, pero no menos importante, me gustaría agradecer a mi familia ya Meagan Betke. Han animado me brindó el amor y el apoyo que tanto necesitaba durante esta experiencia. Página 5 v Tabla de contenido Notación ………………………………………………………………………………… …… ... viii Lista de figuras …………………………………………… .. ………………………………… .... xiv Lista de tablas ………………………………………………………………………………… .xviii

1. Introducción …………………………………………………………………………… ……… 1 1.1 Antecedentes ……… .. ……………… .. …………………………………………… .. …… ..1 1.2 Comportamiento esfuerzo-deformación del acero …………………………………………….… ... ……… .1 1.3 Efectos del pandeo inelástico …………………………… .. …………………… ... ……… .2 1.4 Motivación para la investigación …………………………… .. ………………………………… ..5 1.5 Enfoque de investigación ………………………………… .. …………………… .. …………… 6 2.Revisión de la literatura ………………………………………………………………… .. ………… .7 2.1 Ley de esfuerzo-deformación de las barras de acero de refuerzo ………………………………………… ... 7 2.2 Contabilización del pandeo inelástico ……………………. ……………………………… .10 2.3 Contabilización de la fatiga de ciclo bajo ………………………………………………….… 13 2.4 Importancia de la investigación ……………………………………………………………… ..14 3.Modelo de material de tensión-deformación propuesto …………………………………………………… ..15 3.1 Descripción general del modelo propuesto …………………………………………………………… ..15 3.2 Modelo original de Dodd y Restrepo ……………………………………………………… ... 18 3.3 Aproximación NURBS a la curva de inversión no lineal ………………………… ..24 3.3.1 Introducción a la aproximación NURBS ……………………………………… 24 3.3.2 Ecuaciones de interpolación basadas en NURBS ………………………………………… .26 3.3.3 Efecto del contenido de carbono en la curva de inversión no lineal …………………… .28 Página 6 vi 3.4 Simulación de los efectos del pandeo inelástico ………………………………………… ..30 3.4.1 Simulación de los efectos del pandeo inelástico …………………………………… ..30 3.4.2 Cálculo del factor de degradación de la resistencia al pandeo ………………………… 40 3.4.3 Aplicación a otros modelos de materiales ………………………………………… ... 42 3.5 Contabilización de la fatiga de ciclo bajo …………………………………………………… .43

4. Verificación del modelo de material ………………………………………………………… .47 4.1 Verificación de la respuesta al estrés histerético sin pandeo ……………………… 47 4.2 Verificación del análisis de degradación de la resistencia al pandeo …………………………… .49 4.3 Verificación de la ley de fatiga de ciclo bajo ……………………………………………… .51 4.4 Tiempo computacional de análisis …………………………………………………… ... 52 5.Resumen y discusión …………………………………………………………………… .55 6. Necesidad de más investigación ……………………………………………………………… ...... 58 Referencias ……………………………………………………………………………… ……… .60 Apéndice A: Derivación de funciones básicas en interpolaciones basadas en NURBS …………… ... 64 A.1 Introducción …………………………………………………………………………… . 64 A.2 Funciones básicas de BSpline ……………………………………………………………… 64 Apéndice B: Calibración y cálculo de la parte lineal de las inversiones principales ………… 67 B.1 Introducción …………………………………………………………………………… . 67 B.2 Calibración de b ……………………………………………………………………… ... 68 B.3 Cálculo de b ……………………………………………………………………… ... 74 B.4 Verificación …………………………………………………………………………… .. 75 Apéndice C: Prueba de retención de signo de radical en la ecuación para u ……………………… 79 C.1 Introducción …………………………………………………………………………… . 79 Página 7 vii C.2 Curvas NURBS no ponderadas ………………………………………………………… .79 C.3 En los cálculos para el inicio del pandeo ………………………………………… ..80 Apéndice D: Verificación de curvatura simple en curvas de inversión ………………………………… ... 82

D.1 Introducción …………………………………………………………………………… . 82 D.2 Retención de señales en el espacio natural de coordenadas ………………………………… ..82 D.3 Inversiones importantes …………………………………………………………… ………… ..83 D.4 Inversiones menores y simples ………………………………………………………… ..84 D.5 Retención de letreros en el espacio de coordenadas de ingeniería …………………………… ..86 Apéndice E: Comparación entre los valores analíticos y los valores aproximados de la Matriz de rigidez de tangente seccional para una barra de refuerzo ………………………………… ... 89 E.1 Introducción …………………………………………………………………………… . 89 E.2 Determinación del inicio del pandeo ………………………………………………… ... 89 E.3 Derivación de la matriz de tangente seccional ……………………………………………… .92 Apéndice F: Calibración del factor de degradación de resistencia con monotónico experimental Datos …………………………………………………………………………………… ……… ... 96 F.1 Introducción …………………………………………………………………………… . 96 F.2 Método ………………………………………………………………………………… .. 96 Página 8 viii Notación NURBS B-splines racionales no uniformes; RC Concreto reforzado; una La mitad del ancho del eje neutro en la barra de refuerzo; UNA Área de una porción de la sección transversal de la barra de refuerzo; segundo Un parámetro utilizado para encontrar la ubicación de " ; segundo Distancia al eje neutral (Figura E1); C Parámetro de coordenadas utilizado en las expresiones paramétricas NURBS;

re Diámetro de la barra de refuerzo; critico

re Valor crítico de la variable de daño para la ocurrencia de ruptura debido a fatiga de ciclo bajo; metro

re Una medida de cuánto daño ocurrió debido a la fatiga de ciclo bajo; ˆ T

re Una expresión general para la matriz de rigidez; o

mi El módulo de descarga en coordenadas de ingeniería; s

mi Módulo de elasticidad de Young; sh

mi La tangente inicial de la curva de endurecimiento por deformación; T

mi Pendiente de la curva de tensión deformación en coordenadas de ingeniería; T

mi Pendiente de la curva de tensión deformación en coordenadas de ingeniería; tu

E ′ Módulo de descarga; " f Estrés en el espacio de coordenadas naturales normalizado;

Página 9 ix 1

F La coordenada de tensión verdadera normalizada del segundo control punto en la aproximación NURBS del logaritmo (base 10) de la fuerza factor de degradación; 1

" f La coordenada de tensión verdadera normalizada del primer control apunte en la aproximación NURBS de la tensión verdadera normalizada; 2 f El logaritmo (base 10) del factor de degradación de la fuerza en el negativo de la última cepa; una

f ′ Esfuerzo real al comienzo de la curva de inversión no lineal; segundo

F El factor de degradación de la fuerza; " j F La coordenada de tensión verdadera normalizada del segundo control

señalar en la aproximación NURBS del estrés verdadero normalizado; " k F La coordenada de tensión verdadera normalizada del primer punto de control utilizado en la aproximación NURBS para curvas de inversión mayores; ' p F La magnitud de la tensión entre la envolvente inclinada y el punto al inicio de Efecto Bauschinger; ' reunirse con

F Verdadero estrés en el punto de reincorporación; r  f ′ Verdadera tensión en una inversión de tensión; s

F Estrés de ingeniería; ' s F Verdadero estrés; sh

f ′ Estrés verdadero al inicio del endurecimiento por deformación; ,1 sh

f ′ Coordenada de tensión verdadera arbitraria en la curva de endurecimiento por deformación;

Página 10 X ' t F La magnitud de la tensión entre las envolventes inclinadas superior e inferior en el sistema de coordenadas naturales; su

F Esfuerzo de ingeniería al final; su

f ′ Verdadero estrés al final; *

' su F Pendiente de la verdadera curva tensión-deformación en las coordenadas de unión; y

F Estrés de rendimiento; h Cambio máximo de tensión (Figura E1); yo Momento de inercia de una parte de la sección transversal de la barra de refuerzo sobre el eje neutro; k Factor direccional igual a 1 para curvas de tracción y 2 para compresión

curvas; L El espacio entre los lazos de confinamiento; metro Factor direccional igual a 2 para curvas de tracción y 1 para compresión curvas; METRO Momento interno en la barra de refuerzo; 1 METRO La asíntota inicial en la aproximación NURBS del logaritmo (base 10) del factor de degradación de la resistencia; 2 METRO La asíntota final en la aproximación NURBS del logaritmo (base 10) del factor de degradación de la resistencia; re

metro Pendiente de la línea final en la curva vs (Apéndice B); norte Fuerza axial interna en la barra de refuerzo;

Página 11 xi , ip

norte Un polinomio de Bernstein de índice y grado de polinomio, utilizado en las aproximaciones NURBS; PAG Potencia de la curva de endurecimiento por deformación; 0,1,2

PAG Puntos de control usados en expresiones NURBS paramétricas; R Radio de la barra de refuerzo; s Parámetro de signo igual a 1 para curvas de tracción y -1 para curvas de compresión; t Una constante de material que determina cuánto daño el material experiencias para un cambio en la tensión de tracción; tu Variable independiente utilizada en las expresiones NURBS paramétricas; yo

tu Un elemento del vector de nudos utilizado en las aproximaciones NURBS; T

tu Variable independiente utilizada en las expresiones paramétricas NURBS para matriz de rigidez del módulo de sección; V Volumen de cambio de distribución de tensiones a lo largo de la barra de refuerzo; 0,1,2

w

Pesos en los puntos de control usados en expresiones paramétricas NURBS; X Distancia a lo largo de la barra de refuerzo; y Distancia entre el eje neutro y la cara de compresión extrema del barra de refuerzo.; T

γ Una expresión para los elementos de la matriz de rigidez después de que se generalice para todos los materiales y diámetros de barra de refuerzo; ' p ε ∆ Incremento discreto de deformación plástica incremental; "ε Deformación en el espacio de coordenadas naturales normalizado; Pagina 12 xii 1

" ε La coordenada de deformación verdadera normalizada del primer control apunte en la aproximación NURBS de la tensión verdadera normalizada; una

ε ′ Deformación verdadera al comienzo de la curva de inversión no lineal; segundo

ε La tensión al inicio del pandeo; " j ε La coordenada de deformación verdadera normalizada del segundo control señalar en la aproximación NURBS del estrés verdadero normalizado; " k ε La coordenada de deformación verdadera normalizada del primer punto de control utilizado en la aproximación NURBS para curvas de inversión mayores; ' M ε Deformación plástica máxima; norte

ε La deformación normalizada a la diferencia entre la deformación al inicio de pandeo y el negativo de la deformación máxima; 1 norte

ε La coordenada de deformación verdadera normalizada del segundo control punto en la aproximación NURBS del logaritmo (base 10) de la fuerza factor de degradación;

() k ε ′ o 

Cepa verdadera de origen desplazado; ' p ε La magnitud de la deformación entre la envolvente inclinada y el punto al inicio de Efecto Bauschinger en el sistema de coordenadas naturales; r

ε ′ Verdadera tensión en una inversión de tensión; reunirse con

ε ′ Verdadera tensión en el punto de reincorporación; s

ε Tensión de ingeniería; Página 13 xiii Carolina del Sur

ε Deformación de ingeniería donde el modelo propuesto fue calibrado con el modelo original de Dodd y Restrepo (1995) ' s ε Verdadera tensión; sh

ε ′ Verdadera deformación al inicio del endurecimiento por deformación; ,1 sh

ε ′ Coordenada de deformación verdadera arbitraria en la curva de endurecimiento por deformación; su

ε ′ Verdadera tensión al final; , su turno

ε ′ Cambió la verdadera cepa máxima; ' y ε Verdadera cepa de rendimiento; η La relación de la tangente a la curva tensión-deformación a la o E  ; θ El ángulo en radianes del arco circular en el perímetro de la descarga. parte de la sección transversal de la barra de refuerzo; φ Curvatura en la barra de refuerzo; o

φ Curvatura en la barra de refuerzo a medio camino entre los lazos de confinamiento;

ϕ Ángulo en el que se encuentra el eje neutro (Figura E1);

ω

La deflexión lateral de la barra de refuerzo; o

ω La desviación lateral máxima a mitad de camino entre el confinamiento Corbatas; Ω Un parámetro desarrollado por Dodd y Restrepo (1995) para identificar de manera única cada curva de inversión para cualquier material dado; yo

Ω Coordenadas omega de puntos clave a lo largo de la curva vs. (Apéndice B);

Página 14 xiv Lista de Figuras Figura 1.1. Forma básica de un bucle histerético no lineal que incluye un elástico lineal región, una meseta de rendimiento, una región de endurecimiento por deformación, compresión y tracción curvas de inversión… .. ……………………………………………………………… ... 2 Figura 1.2. Descascarado de concreto en una columna con barra de refuerzo expuesta ………………… .3 Figura 1.3. Ilustración de los efectos del pandeo inelástico en una curva histerética comenzando desde el inicio del pandeo, continuando hasta la curva de inversión compresiva, y terminar la curva de inversión de tracción, los cuales experimentan fuerza degradación ……………………………………………………………………… ... 4 Figura 1.4. Resultados experimentales de una muestra de barra pandeada (Monti y Nuti, 1992) ... ... 4 Figura 2.1. Ilustración del problema de sobreimpulso en ciclos de baja amplitud ………… ..7 Figura 2.2. Conversión de una curva de inversión para un espacio de coordenadas normalizado …………… ... 10 Figura 2.3. Curva pandeada por compresión con la tangente objetivo con pendiente negativa ……… ..11 Figura 2.4. Distribuciones de tensión supuestas en la sección transversal de una armadura pandeada Barra para varios modelos en la literatura ……………………………………… ... 12 Figura 3.1. Componentes de una curva de inversión en el modelo de material de Dodd y Restrepo Comenzando con una curva de descarga lineal y continuando hacia la no lineal Curva …………………………………………………………………………… ..17 Figura 3.2. Comparación entre la tensión-deformación monótona de tracción y compresión Comportamiento en coordenadas naturales y coordenadas de ingeniería ………………… 19

Figura 3.3. Ilustración de reversiones de la meseta de rendimiento, reversiones menores y mayores Reversiones, así como sus respectivos puntos de reunión ………………………… .21 Página 15 xv Figura 3.4. Ilustración del cambio en la coordenada de reincorporación después de que la cepa se descarga a Valor distinto de cero ………………………………………………………………… . 23 Figura 3.5. Ejemplos de implementación de la aproximación NURBS ……………… .25 Figura 3.6. Ilustración de inversiones menores y mayores en la coordenada normalizada Espacio …………………………………………………………………………… ..28 Figura 3.7. Resultados de la prueba cíclica representados en términos de tensión y deformación absolutas …………… .29 Figura 3.8. Forma abrochada de la barra de refuerzo aislada entre dos bridas de confinamiento ... ... 31 Figura 3.9. Ejemplo de la teoría del módulo reducido implementada en el modelo propuesto comenzando con la barra de refuerzo con una distribución uniforme de la tensión, luego aplicando un cambio en la distribución de la tensión, y dando como resultado la tensión no lineal distribución que se muestra en la parte inferior ……………………………………………… ... 32 Figura 3.10. Diagrama de cuerpo libre de la mitad de la forma abrochada de la barra de refuerzo. los los signos son positivos para las fuerzas de tracción y las rotaciones en sentido antihorario Mientras que las orientaciones dibujadas reflejan la respuesta prevista ………………… 35 Figura 3.11. Relaciones entre y que conducen a un ciclo preciso de ruptura para probetas ensayadas por Kunnath et al. (2009b) con la cruz que denota la coordenada utilizada en el análisis ……………………………………… ... 46 Figura 4.1. Comparación entre los análisis del Dodd propuesto y el original y Modelo de Restrepo (2005) ………………………………………………………… ..47 Figura 4.2 . Verificación de los cálculos de la ley esfuerzo-deformación propuestos con Resultados …………………………………………………………………………… 48 Figura 4.3. Respuesta al estrés simulado sin pandeo de acuerdo con el Modelo propuesto y el modelo de Dhakal y Maekawa (2002a) …………… ... 50 Página 16 xvi

Figura 4.4. Respuestas cíclicas analíticas y experimentales de probetas Examinado por Monti y Nuti (1992) …………………………………………… 51 Figura 4.5. Verificación del análisis de fatiga de ciclo bajo entre el modelo propuesto y Resultados experimentales recopilados por Kunnath (2009b) …………………………… 52 Figura 4.6. Análisis de tiempo computacional de los modelos de materiales originales y modificados… .53 Figura B1. Análisis de optimización inicial b ………………………………………………… ..69 Figura B2. Primeras porciones lineales de b vs. Ω ………………………………………………… ... 69 Figura B3. Forma general de la variación de b con Ω …………………………………… ... 70 Figura B4. Efectos de las propiedades variables del material en la relación b vs. Ω …………… .71 Figura B5. Determinación de constantes de relación vs. ………………………………… 73 Figura B6. Comparación entre las relaciones analíticas y aproximadas de b vs. Ω …… .75 Figura C1. Variación de u con η en las ecuaciones para consideraciones de pandeo …………… 81 Figura D1. Tensión-deformación tangente frente a deformación a lo largo de una inversión compresiva ……………… ..87 Figura D2. Tensión-deformación tangente frente a deformación a lo largo de una inversión de tracción …………………… ... 87 Figura E1. Geometría de una cuña cilíndrica (Weisstein, na) …………………………… ..90 Figura E2. Comparación del análisis de (E.4) y la aproximación NURBS de la razón de la ubicación del eje neutral al diámetro de la barra de refuerzo …… .92 Figura E3. Comparación entre resultados analíticos y aproximaciones NURBS en Predicción de los parámetros de la matriz de rigidez ……………………………………… 94 Figura F1. Variación del factor de degradación de la resistencia con deformación normalizada al Relación de deformación pandeada y esbeltez ………………………………………… ... 97 Figura F2. Variación del logaritmo del factor de degradación de fuerza con normalizado Deformar …………………………………………………………………………… ..98 Página 17 xvii

Figura F3. Factor de degradación de la resistencia a la relación final negativa frente a la relación de esbeltez ……… 98 Figura F4. Relación entre la pendiente inicial, M1 y la relación de esbeltez y Propiedades del material ……………………………………………………………… . 99 Figura F5. Comparaciones entre la aproximación propuesta y la experimental Resultados del logaritmo del factor de degradación de la fuerza (Bae et al., 2005) ……………………………………………………………… ..100 Figura F6. Comparaciones entre los resultados de la prueba monotónica Bare-Bar y Aproximaciones de la respuesta pandeada (Dhakal y Maekawa, 2002ab) ……………………………………………………………………… .... 101 Página 18 xviii Lista de tablas Cuadro 4.1. Propiedades del material para experimentos y análisis ………………………………… ..48 Cuadro 4.2. Propiedades del material de las muestras para ensayos cíclicos ………………………………… ..50 Cuadro 4.3. Propiedades de los materiales utilizados en experimentos y análisis …………………………… ... 52 Cuadro B1. Propiedades del material del análisis de optimización inicial b ……………………………… 68 Página 19 1 1. Introducción 1.1 Antecedentes Las estructuras de hormigón armado (RC) constituyen una parte importante del edificio. inventario en los Estados Unidos, incluidas las regiones sísmicamente activas como los estados del oeste. Durante las cargas sísmicas, pueden desarrollarse deformaciones cíclicas inelásticas en los componentes estructurales. los La determinación confiable del desempeño de las estructuras RC requiere una descripción precisa de la Comportamiento cíclico inelástico de las armaduras de acero. Existen diferentes enfoques para predecir la comportamiento histerético, incluyendo, pero no limitado a, representar cualquier elemento RC como un truss o como un haz. Estos modelos pueden involucrar decenas de miles de elementos y, a menudo, utilizan algoritmos iterativos. como el método de Newton-Rhapson para lograr el equilibrio de fuerzas en cualquier sistema dado. Un modelo típico de cualquier tipo utilizará un modelo de material uniaxial para predecir la histéresis. comportamiento de las armaduras de acero. Este modelo de material no solo debe ser preciso para el

validez del análisis, pero también computacionalmente eficiente y matemáticamente robusto para reducir costos computacionales. Para lograr un modelo preciso y eficiente, se han realizado varios experimentos llevado a cabo para obtener la comprensión del refuerzo de acero que tenemos ahora. 1.2 Comportamiento esfuerzo-deformación del acero El comportamiento cíclico típico de las barras de refuerzo de acero se ilustra en la Fig. 1.1. los El comportamiento es linealmente elástico hasta que la magnitud del esfuerzo alcanza el límite elástico. Más allá de esto punto, la magnitud de la tensión permanece constante en la meseta de rendimiento. El endurecimiento por deformación es un Fenómenos en los que la tensión se desarrolla más allá del rendimiento en tensiones superiores. El estrés aumenta Página 20 2 más allá de este punto sólo hasta el estrés final. Este es el comportamiento básico del acero durante una carga monótona, que es lo que se experimenta durante la carga inicial del material. Figura 1.1. Forma básica de un bucle histerético no lineal que incluye una (a) región elástica lineal, (b) a meseta de rendimiento, (c) una región de endurecimiento por deformación, (d) curvas de compresión y (e) tracción inversa. En cualquier evento sísmico, el movimiento del suelo resultará en deformaciones en el refuerzo que se invertirá varias veces. Después de una de estas inversiones, el acero de refuerzo cede a un menor magnitud del estrés debido a lo que se conoce como efecto Bauschinger. Después de que el acero cede después de un inversión, el comportamiento de tensión-deformación desarrolla una curvatura y forma una forma de curva no lineal. Esta La forma de la curva, conocida como curva de inversión, continúa hasta la siguiente inversión de carga, después de la cual la Se observa el mismo comportamiento excepto que el cambio en las tensiones y las deformaciones cambiarán de signo. Una secuencia de curvas de inversión forma las formas de bucle histerético no lineal que representan la ley de tensión-deformación bajo carga cíclica. 1.3 Efectos del pandeo inelástico A altas deformaciones por tracción, se forman grandes grietas en la cara de tensión de una sección de hormigón. Después suficiente de estas grietas se forman, el hormigón de la cubierta en la cara de tensión se romperá y dejará el barras de refuerzo expuestas. Sin hormigón de cobertura para resistir las deflexiones laterales, la barra de refuerzo Página 21 3

es propenso a doblarse con fuerzas de compresión elevadas, como se muestra en la Figura 1.3. Porque esto es común en Columnas y vigas RC sometidas a cargas cíclicas, los efectos del pandeo inelástico han sido investigado. La forma general del comportamiento cíclico tensión-deformación de una barra pandeada se muestra en Figura 1.3. Un ejemplo de resultados experimentales del comportamiento cíclico tensión-deformación de una barra pandeada se muestra en la Figura 1.4. Figura 1.2. Descascarado de hormigón en una columna con barra de refuerzo expuesta. Imagen izquierda: Centro Nacional de Investigación en Ingeniería Sísmica, Universidad Estatal de Nueva York en Cooper, GA y Mander, JB (1994). "Daño por fatiga basado en energía sísmica Análisis de columnas de puentes: Parte I - Evaluación de la capacidad sísmica ”. Rep. NCEER-94-0006 , Buffalo, Buffalo, Nueva York. Usado bajo uso legítimo, 2014. Imagen derecha: http://www.fhwa.dot.gov/publications/research/infrastructure/structures/11029/003.cfm NA (2012). "Informe de reconocimiento del terremoto de China: rendimiento de Estructuras de transporte durante el terremoto de Wenchuan M7.9 del 12 de mayo de 2008 ”. De nosotros Departamento de Transporte: Administración Federal de Carreteras - Oficina de Investigación, Desarrollo y Tecnología, Oficina de Infraestructura. Usado bajo uso legítimo, 2014. Página 22 4 Figura 1.3. Ilustración de los efectos del pandeo inelástico en una curva histerética a partir de la (a) inicio del pandeo, (b) continuación de la curva de inversión de compresión, (c) y la tensión curva de inversión que experimentan una degradación de la resistencia. Figura 1.4. Resultados experimentales de una muestra de barra pandeada. Monti, G. y Nuti, C. (1992). "Comportamiento cíclico no lineal de barras de refuerzo, incluido Pandeo." Revista de ingeniería estructural 118 (12), 3268-3284. Usado bajo uso legítimo, 2014. Después del inicio del pandeo, el acero de refuerzo sufre un ablandamiento, es decir, la compresión la tensión se reduce para aumentar la tensión compresiva. La reducción ocurre hasta que el acero alcanza el tensión residual del material, después de lo cual la tensión en el material permanece constante en la valor. Después de una inversión de deformación, la resistencia en las regiones de tracción del bucle histerético también es afectado. La reducción de la tasa sigue siendo la misma en estas regiones, lo que significa que la reducción disminuye con una mayor deformación por tracción.

Página 23 5 1.4 Motivación para la investigación Se han desarrollado muchos modelos de materiales uniaxiales para simular el comportamiento histerético de acero de refuerzo. Los modelos propuestos por Filippou et al. (1983) y Chang y Mander (1994) han tenido dificultades para simular la forma de bucle histerético no lineal y la fuerza degradación debida al pandeo. Los modelos de materiales que incluyen cálculos simples y rápidos. para simular la curva histerética son menos precisos en la simulación de la forma del bucle. El material Los modelos propuestos por Dodd y Restrepo (1995) y Kunnath (2009a) son más precisos y requieren cálculos iterativos más complejos que aumentan significativamente el costo computacional de un análisis. También se han desarrollado varios modelos para tener en cuenta el efecto del pandeo. los El efecto de pandeo se introduce modificando las ecuaciones histeréticas, y esto tiene negativamente afectó la robustez numérica de los modelos (Monti y Nuti, 1992) (Gomes y Appleton, 1997) (Dhakal y Maekawa 2002ab) (Urmson y Mander, 2012), lo que los hace propensos a fracaso en la obtención de resultados significativos. Esto se ha observado, a modo de ejemplo, en la actual modelo de material disponible en OpenSees. Además, los pocos modelos que tienen en cuenta el ciclo bajo La fatiga y la ruptura requieren una cantidad significativa de memoria que también aumenta la costos computacionales de un análisis (Kunnath et al., 2009ab). Como se dijo antes, un análisis típico ya implicará un proceso iterativo y muchos elementos. Esto significa que cualquier aumento en El tiempo de cálculo y la probabilidad de fallas de convergencia se multiplicarán con cada iteración y elemento. Dado que la precisión también es crucial para el éxito del modelo RC en su conjunto, es necesario ser un modelo de material para acero que sea preciso, computacionalmente eficiente y robusto sin comprometiendo una de estas propiedades por otra. Página 24 6 1.5 Enfoque de investigación Esta tesis propone un modelo de material uniaxial que es computacionalmente eficiente, preciso,

y robusto. La mayoría de los modelos de materiales solo utilizan procesos iterativos al calcular la formas de bucle histerético no lineal, mientras que el resto de cualquier modelo dado implica directa cálculos. Por lo tanto, el modelo propuesto es una modificación de un modelo existente en lugar de una modelo completamente nuevo, conservando los cálculos directos y eliminando los procesos iterativos. El modelo de Dodd y Restrepo (1995) fue elegido para ser modificado debido a su alto nivel de exactitud. Mientras que los cálculos para la porción de inversión no lineal de una curva histerética requieren iteraciones, la mayoría del modelo no lo hace. Por lo tanto, la mayor parte del modelo de Dodd y Restrepo fue retenido (Dodd y Restrepo, 1995). El modelo propuesto en esta tesis implementa un B-Spline racional no uniforme (NURBS) interpolación para permitir la descripción precisa de las curvas histeréticas, mientras se elimina la necesidad de un algoritmo iterativo de actualización de tensión. Se introducen los efectos del pandeo inelástico. mediante un factor de degradación de la resistencia que se aplica a un esfuerzo axial ya calculado a lo largo el bucle histerético. Este factor solo se aplicará si las tensiones de refuerzo se vuelven más compresiva que la que se produce al inicio del pandeo. Esto separa las consideraciones para pandeo de la ley de tensión-deformación, eliminando cualquier posibilidad de falla de convergencia numérica. Finalmente, la rotura de la barra de refuerzo debido a la fatiga de ciclo bajo se predice utilizando un modelo de daños. Esto se implementará sin interferir con la predicción de la histéresis. bucle y las consideraciones para pandeo conservarán la robustez del modelo. Página 25 7 2. Revisión de la literatura 2.1 Ley esfuerzo-deformación de las barras de acero de refuerzo Muchos de los modelos de materiales actuales para la respuesta cíclica del uso de refuerzo de acero variaciones de la ecuación propuesta por Menegotto y Pinto (Filippou et al. 1983). Esta ecuación es computacionalmente eficiente e incluye forma de bucle histerético. Sin embargo, estos modelos tienden a sobre / sub-predecir la tensión cuando en ciclos de amplitudes bajas, donde las tensiones en los dos los puntos de inversión no difieren significativamente. Las pruebas experimentales han demostrado que si la amplitud de el ciclo es lo suficientemente bajo, la inversión volverá a unirse a la curva de inversión de un anterior, de alta amplitud ciclo. Esto significa que la curvatura del bucle histerético no lineal no siempre es precisa

simulado en estos modelos. La figura 2.1 muestra un ciclo de baja amplitud sobre / subprediciendo el estrés. Figura 2.1. Ilustración del problema de sobreimpulso en ciclos de baja amplitud. Página 26 8 Este es un problema que se encuentra en la ecuación de Menegotto-Pinto así como en la Ecuación de Menegotto-Pinto de Filippou et al. (1983). Chang y Mander (1994) remediaron parcialmente el problema mediante la creación de condiciones para que una curva en un ciclo de baja amplitud vuelva a un anterior, curva de inversión de alta amplitud para reflejar el comportamiento mostrado en los experimentos antes mencionados. Sin embargo, Kunnath et al. (2009a) notaron que sus esfuerzos no fueron suficientes para corregir los problemas. Kunnath y col. (2009a) proponen que Chang y Mander no incluyeron suficientes número de condiciones para dictar el comportamiento de una curva de inversión después de un ciclo de baja amplitud. Kunnath y col. (2009a) proponen un modelo que crea más condiciones para estas reversiones dependiendo de dónde ocurrió la inversión de la tensión. Esto reduce aún más el disparo excesivo y subdisparo que ocurre en ciclos de baja amplitud. Sin embargo, más condiciones significa más memoria necesaria en un análisis que compromete el tiempo de cálculo. Además, el La ecuación de Menegotto-Pinto modificada por Chang y Mander requiere iteraciones para corregir la curvatura de las curvas de inversión. Kunnath y col. (2009a) modificó el modelo de material propuesto por Chang y Mander; por lo que también debe utilizar los mismos procesos iterativos. Dodd y Restrepo (1995) calibraron un nuevo modelo de material con datos experimentales que reunidos previamente con otros investigadores (Restrepo et al., 1994). Este modelo se basa en dos transformaciones de coordenadas para predecir con precisión la deformación axial en cualquier paso de deformación. Después la primera transformación de coordenadas, las curvas de tracción y compresión transformadas son virtualmente cálculos idénticos y simplificadores. La segunda transformación de coordenadas normaliza la curva a las propiedades específicas del material del acero de refuerzo. Además, diferentes algoritmos son utilizado para curvas de inversión en ciclos de alta amplitud y aquellos en ciclos de baja amplitud, que Dodd y Restrepo denominan reversiones mayores y menores respectivamente. Estos algoritmos remedian eficazmente Página 27

9 el problema de disparo excesivo / insuficiente mencionado anteriormente. Dodd y Restrepo (1995) definen menor reversiones como aquellas donde las tensiones en los puntos de reversión tienen una diferencia menor o igual a el doble del límite elástico. La curvatura de la curva tensión-deformación y los rangos de tensión y deformación varían en estas condiciones. La tensión calculada está cerca de sus datos experimentales. sin embargo, el el cálculo de la tensión requiere procesos iterativos al simular la forma de la curva no lineal, haciendo que el modelo sea ineficiente. Además, no se garantiza que estos procesos iterativos convergen, lo que hace inaceptables estos cálculos (Dodd y Restrepo, 1995). Además, una transformación de coordenadas utilizada en el modelo es muy compleja, lo que hace calcular la pendiente de la curva tensión-deformación mediante la regla de diferenciación de la cadena es difícil ya que que se muestra en la Figura 2.2. No hay forma de calcular la pendiente analíticamente usando esta coordenada transformación, y Dodd y Restrepo calculan en su lugar un límite superior de la pendiente. Esto es insuficiente porque su modelo se basa en la pendiente para calcular la respuesta al estrés en su menor curvas de inversión. Además, la pendiente de la curva de inversión es importante para el método propuesto cuando simulando los efectos de pandeo en el material, un fenómeno que Dodd y Restrepo no tener en cuenta en su modelo material propuesto (Dodd y Restrepo, 1995). Esto será elaborado en una sección posterior, pero debe tenerse en cuenta ahora que un cálculo analítico para la pendiente es crucial a las consideraciones para pandeo inelástico. Página 28 10 (a) Coordenadas naturales (b) Coordenadas transformadas (c) Transformadas normalizadas Figura 2.2. Conversión de una curva de inversión para un espacio de coordenadas normalizado. Dodd, LL y Restrepo-Posada, JI (1995). "Modelo para predecir el comportamiento cíclico de Acero de refuerzo." Revista de ingeniería estructural 121 (3), 433-445. Usado bajo uso legítimo, 2014. 2.2 Contabilización del pandeo inelástico Los modelos de materiales que utilizan una variación de las ecuaciones de MenegottoPinto para su ley tensión-deformación ajusta las ecuaciones de Menegotto-Pinto al simular la inversión compresiva curva para tener en cuenta la degradación de la resistencia debido al pandeo inelástico (Monti y Nuti,

1992) (Dhakal y Maekawa, 2002a, b). Estos modelos logran esto ajustando el punto objetivo de la curva, así como la pendiente de la tangente al final de la curva para asegurar una pendiente negativa Curva de inversión de compresión, que simula la degradación de la resistencia debido al pandeo inelástico. Monti y Nuti (1992) propusieron uno de esos modelos como se muestra en la Figura 2.3. Mientras mejoran en precisión en el enfoque de Filippou, Popov y Bertero (1983) al pandeo inelástico, Monti y Nuti creó un modelo muy complejo y solo lo calibró para un conjunto específico de muestras con el propiedades materiales similares y sólo tres proporciones de esbeltez. Como resultado de esto, Monti y Nuti subestimó el efecto que las propiedades del material, como el límite elástico, tienen en el ajuste curva de inversión compresiva. Su modelo material es muy limitado por estas razones. (Monti y Nuti, 1992). Página 29 11 Figura 2.3. Curva pandeada por compresión con la tangente objetivo con pendiente negativa. Monti, G. y Nuti, C. (1992). "Comportamiento cíclico no lineal de barras de refuerzo, incluido Pandeo." Revista de ingeniería estructural 118 (12), 3268-3284. Usado bajo uso legítimo, 2014. Gomes y Appleton explican el pandeo inelástico al tratar la barra como una viga que tiene alcanzó su momento plástico. Se supone que la barra tiene bisagras de plástico formadas en el confinamiento lazos y a medio camino entre los lazos. Esta suposición no es válida para todas las relaciones de esbeltez o relación de la longitud al diámetro de la barra, ya que la barra podría doblarse antes de alcanzar el momento plástico completo. Este modelo también utiliza un proceso iterativo para encontrar la respuesta al estrés pandeado, que compromete la eficiencia (Gomes y Appleton, 1997). Urmson y Mander también explican pandeo tratando la barra como una viga, excepto que no asumieron que la barra ha alcanzado el plástico momento. Observan la distribución de esfuerzos no lineal a lo largo de la sección transversal de la viga y obtener la carga axial a través de la integración. Al hacer esto, han logrado físicamente resultados analíticos significativos, en contraste con otras investigaciones que se basaron demasiado en el empirismo. Han derivado una ecuación relativamente simple para calcular el esfuerzo de pandeo en el

barra de refuerzo calibrándola con los resultados analíticos. (Urmson y Mander, 2012). Figura 2.4 compara la distribución de tensiones utilizada en ambos métodos. Página 30 12 (a) Gomes y Appleton, 1997 (b) Urmson y Mander, 2012 Figura 2.4. Distribuciones de esfuerzos supuestas en la sección transversal de una barra de refuerzo pandeada Para varios modelos en la literatura. Gomes, A. y Appleton, J. (1997). "Relación tensión-deformación cíclica no lineal de Barras de refuerzo que incluyen pandeo ”. Estructuras de ingeniería 19 (10), 822-826. Usado bajo uso legítimo, 2014. Urmson, CR y Mander, JB (2012). “Análisis de pandeo local del refuerzo longitudinal Barras." Revista de ingeniería estructural 138 (1), 62-71. Usado bajo uso legítimo, 2014. Dhakal y Maekawa (2002a, b) también ajustan la ecuación de Menegotto-Pinto para tener en cuenta la relación de esbeltez, que es similar al enfoque de Monti y Nuti (1992). A diferencia de Monti y Nuti (1992), calibraron su modelo para muestras de diferentes tensiones de fluencia, haciendo que el modelo más aplicable al acero de refuerzo de diferentes propiedades de material. Dhakal y Maekawa (2002a, b) varió los componentes clave de la curva de inversión compresiva por la relación de esbeltez multiplicado por la raíz cuadrada del límite elástico. Cualquier cálculo para simular la histerética Lo ideal sería que el comportamiento no tuviera unidades, y este enfoque del pandeo inelástico no lo es. Finalmente, todos los modelos de materiales antes mencionados tienen en cuenta el pandeo ajustando el ley de tensión-deformación (Dhakal y Maekawa, 2002a, b) (Gomes y Appleton, 1997) (Urmson y Mander, 2012) (Monti y Nuti, 1992). Como se indicó anteriormente en la introducción, ajustar la Los parámetros de la ley de tensión-deformación introducen la probabilidad de falla de convergencia numérica. UNA El modelo de material debe ser lo suficientemente robusto para que en un análisis complicado que involucre muchos elementos Página 31 13 y consideraciones para el equilibrio de fuerzas, el modelo de material para el acero siempre converge y proporciona un valor preciso para la respuesta al estrés. 2.3 Contabilización de la fatiga de ciclo bajo Kunnath y col. (2009a, b) tienen en cuenta el daño debido a la fatiga de ciclo bajo contando los

número de ciclos de deformación que experimenta el refuerzo. El número de ciclos en un solo El análisis se calculará en función de la cantidad y magnitud del máximo local y deformaciones mínimas en cualquier historial de deformaciones. Estas consideraciones proporcionan una predicción para Degradación de la resistencia y rotura debido a la fatiga de ciclo bajo (Kunnath et al., 2009a, b). Su el método arrojó resultados que coincidieron con sus datos experimentales; sin embargo, el conteo de ciclos actual los algoritmos requieren que al menos una parte del historial de deformaciones se almacene en la memoria. Cuanto mas la memoria requerida en un análisis significa un mayor aumento en el tiempo de cálculo requerido. Esta hace que este método complejo requiera más tiempo (ASTM, 2011). Huang y Mahin (2010) sugirieron incorporar un modelo de daño continuo, que requiere menos memoria y se ha demostrado que proporciona resultados similares a los de Coffin-Manson relación que Kunnath et al. (2009a, b) uso. Este modelo también propone que el daño causado a La fatiga de ciclo bajo es el resultado de la tensión de tracción más que del número de ciclos, que es un mejor enfoque conceptualmente como se mencionó anteriormente. Este modelo calcula el acumulado daños en cada paso del historial de deformaciones. Aunque el modelo ha sido desarrollado para múltiples modelos axiales de acero, el modelo ha sido modificado para ser aplicado al modelo uniaxial propuesto en este estudio (Huang y Mahin, 2010). Página 32 14 2.4 Importancia de la investigación Todavía tiene que haber un modelo material que sea preciso, computacionalmente eficiente y robusto. Investigaciones anteriores se han centrado en sólo una o dos de estas características sin dar mucho pensamiento a los demás. La precisión solo se puede lograr cuando el modelo de material considera todos los aspectos del comportamiento inelástico, incluido el pandeo y la rotura. La eficiencia solo se puede lograr cuando el algoritmo de actualización de tensión no requiere iteraciones, son directas y no involucran iteraciones. La robustez solo se puede lograr cuando el pandeo inelástico y la fatiga de ciclo bajo son contabilizado sin cambiar las ecuaciones histeréticas. El modelo de material propuesto en este La tesis logra los tres, lo que conduce a una predicción precisa de la respuesta inelástica en el RC. estructura sin altos costos computacionales y la posibilidad de falla de convergencia numérica.

Página 33 15 3. Modelo de material de tensión-deformación propuesto 3.1 Descripción general del modelo propuesto Como se indica en la revisión de la literatura, todavía tiene que haber un modelo material que pueda garantizar precisión, eficiencia computacional y robustez. Los tres son necesarios, especialmente si son grandes. Se persiguen modelos de estructuras que sufren deformaciones inelásticas significativas. El modelo combina los tres implementando los siguientes pasos: 1. Calcule la tensión con la ley propuesta de tensión-deformación. a. Cuando se encuentre en las porciones monotónicas y lineales del comportamiento cíclico, utilice la ecuaciones originales de Dodd y Restrepo (1995). segundo. Cuando esté en las porciones cíclicas no lineales del comportamiento histerético, utilice la propuesta Interpolaciones basadas en B-Spline no uniformes racionales (NURBS). 2. Determinar si el comportamiento del acero de refuerzo ha cumplido con el supuesto propuesto. criterio de pandeo. a. De lo contrario, la tensión permanece como se calculó previamente. segundo. Si es así, calcule el factor de degradación de la resistencia y aplíquelo a la tensión. 3. Compruebe si la barra de refuerzo se ha roto debido a la fatiga de ciclo bajo utilizando la actualización respuesta al estrés. a. De lo contrario, las tensiones seguirán actualizándose en el siguiente paso de deformación. segundo. Si lo ha hecho, el material en cuestión se considera roto y ya no puede desarrollar cualquier estrés. Este capítulo detalla las ecuaciones, calibraciones y derivaciones detrás de cada uno de estos pasos. Página 34 dieciséis El primer paso es posible mediante la modificación de un modelo de material de alta precisión. Para encontrar un modelo de material adecuado para calibrar la ley de tensión-deformación del modelo propuesto a los hallazgos involucrados saber cómo se derivaron estos modelos. Muchos modelos de materiales se calibraron con datos recopilados de experimentos que aplicaron una deformación axial y registraron la tensión resultante de ella. los Los especímenes utilizados en estos experimentos a menudo variaban en sus propiedades químicas a pesar de que el refuerzo utilizado en áreas propensas a terremotos en los Estados Unidos no lo hace. El más popular

El material para el refuerzo de acero es la barra de refuerzo ASTM A706 porque la ASTM puso especificaciones de propiedades químicas en barras de refuerzo de acero para asegurar propiedades altamente dúctiles. Las probetas ensayadas por Dodd y Restrepo son similares en contenido de carbono a esta barra de refuerzo, haciendo un modelo de material más relevante para estructuras RC en áreas propensas a terremotos (Dodd y Restrepo, 1995). Como se dijo anteriormente, el modelo de Dodd y Restrepo involucra procesos iterativos que comprometer la eficiencia computacional. Sin embargo, estos procesos iterativos solo se utilizan cuando calcular a qué se refieren como la curva de ablandamiento, que es la parte de la curva de inversión después de que el material haya cedido y descargado de la tensión, como se muestra en la Figura 3.1. Ellos incorrectamente utilice el término "ablandamiento" para describir esta parte de la curva de inversión porque se refiere a cualquier comportamiento en el material después de que la barra ha cedido. Para los propósitos de esta investigación, esta porción es denominada curva de inversión no lineal. Por lo tanto, la mayoría de los Dodd y Restrepo originales Se retuvo el modelo de material mientras que se reemplazaron los cálculos para la curva de inversión no lineal. con una interpolación basada en Non-Uniform Rational B-Spline (NURBS). El computacionalmente El método eficiente se calibrará con los cálculos originales de Dodd y Restrepo (1995) en cuanto a conservar la precisión del modelo (Dodd y Restrepo, 1995). Página 35 17 Figura 3.1. Componentes de una curva de inversión en el inicio del modelo de material de Dodd y Restrepo con una curva de descarga lineal y continuando hacia la curva no lineal. El segundo paso es posible mediante la definición propuesta del inicio del pandeo, que es el punto en el que un cambio en la deformación axial no provoca ningún cambio en la tensión axial. Esto es similar a las condiciones de pandeo en el enfoque de Urmson y Mander (2012) en que el La barra de refuerzo se trata como una viga con una distribución no lineal de tensiones a lo largo de la sección. El modelo propuesto simplifica el cálculo asumiendo la distribución de la el cambio en la tensión debido a un cambio instantáneo en la deformación axial a lo largo de la sección transversal es lineal. Con esto, el cambio neto en la tensión se puede calcular en cualquier deformación dada. Una vez que se determina el inicio del pandeo, se determina el factor de degradación de la resistencia. Una relación logarítmica entre la deformación y el factor se deriva en una sección posterior y

implementado. Este factor reducirá entonces las tensiones (tracción y compresión) calculadas por el modelo modificado de Dodd y Restrepo para deformaciones más compresivas que la deformación al inicio de pandeo. El último paso consiste en la predicción de rotura por fatiga de ciclo bajo, que se basa en una formulación simple de Huang y Mahin (2010). La predicción involucra una variable que Página 36 18 representa el daño acumulado en el acero debido a tensiones de tracción. Esta variable se actualiza en cada paso, la barra de refuerzo está en tensión y la ruptura prevista será en el punto en que este La variable excede una constante de daño crítica que depende de las propiedades del material. Este material La constante se calibrará para las pruebas de rotura realizadas por Kunnath et al. (2009b). Una vez calibrados los valores de estos parámetros para ensayos experimentales, se en comparación con las pruebas cíclicas. El método propuesto para calcular la curva de inversión no lineal es comparado con las pruebas experimentales originales realizadas por Dodd y Restrepo (1995) para demostrar que la curva ha sido bien calibrada al código original. La degradación de la resistencia prevista debido a el pandeo se compara con los resultados cíclicos experimentales recopilados por Monti y Nuti (1992). La deformación prevista en la rotura se compara con los resultados de las pruebas experimentales realizadas. por Kunnath et al. (2009b). 3.2 Modelo original de Dodd y Restrepo El modelo de Dodd y Restrepo se basa en el verdadero esfuerzo axial del material, es decir, el tensión definida como la relación de la fuerza axial sobre el área de la sección transversal de la barra deformada. Debido al efecto de Poisson, el área de la sección transversal disminuye cuando la deformación axial es de tracción y aumenta cuando la deformación axial es compresiva. Por lo tanto, la tensión verdadera se calcula utilizando la verdadero área de la sección transversal de la barra en lugar del nominal que se ha utilizado en anteriores investigación. El modelo de Dodd y Restrepo se convierte de un sistema de coordenadas de ingeniería, que se calcula utilizando el área nominal, a un sistema de coordenadas naturales, que se calcula utilizando el área verdadera. Esta conversión se realiza con las ecuaciones (3.1) a (3.4). La conversión entre las coordenadas se muestran a continuación. Las deformaciones y tensiones en el espacio de coordenadas naturales (o verdadero

Página 37 19 tensión y deformación) se denotan en la coordenada, (

) ',' s s

F

ε . La coordenada de la tensión y la tensión. en el espacio de coordenadas de ingeniería se denotan como (

) , s s

F

ε . en (1 ) s s

ε ε = + (3,1) '

1 s

s

mi ε

ε = (3,2)

( ) '

' 1 s

s s s s

F F fe ε

ε = + = (3,3) '

'

' 1 s

s s s s

F F F mi ε

ε = = + (3.4) Calcular la relación entre las tangentes de la curva tensión-deformación entre los dos sistemas de coordenadas, se utiliza la ecuación (3.5). '

' ' ' s

s s s s s

df df fe re re ε

ε ε   =     (3,5) El uso del sistema de coordenadas naturales es ventajoso porque la tracción y la compresión Las curvas histeréticas se vuelven idénticas en estas coordenadas, simplificando los cálculos como se muestra en Figura 3.2. Figura 3.2. Comparación entre la tensión-deformación monótona de tracción y compresión Comportamiento en coordenadas naturales (izquierda) y coordenadas de ingeniería (derecha) (Dodd y Restrepo, 1995). Página 38

20 El comportamiento de deformación por tensión monótona se define mediante una función por partes dada por ecuaciones (3.6), (3.7) y (3.8) donde la función cambia en la deformación de rendimiento verdadera, ' y ε, y el verdadera deformación al inicio del endurecimiento por deformación, ' sh ε. Estas ecuaciones se utilizan para calcular el verdadero estrés, ' s f  , en términos de deformación real, ' s ε. ' ' ' ' s s s s y

F mi Si ε ε ε = < (3,6)

( ) '

' 1 ' ' ' s

s y s y y s sh

F sf sf e Si ε

ε ε ε ε = + = ≤

≤ (3,7)

( ) [ ] [ ] ' ' '() ' ' '*' ' ' ... ' ' ... '* ' ' '() ' ' ' ' PAG su s o s sh su su sh su su sh su su s o su sh s su

s k F sf F F F s k sf Si

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε   = +          + ≤ ≤   (3,8) donde y f  es el esfuerzo de ingeniería en el rendimiento, ' sh F es el verdadero estrés al inicio del endurecimiento por deformación,

( ) ,1 ,1

',' sh sh

F

ε es una coordenada arbitraria en la curva tensión-deformación verdadera de tracción, (

) ',' su su

F

ε es el verdadera tensión última y la tensión, s y k denota si la curva es a la tracción ( s = 1, k = 1) o compresivo ( s = -1, k = 2), '() o  k ε es la cepa de origen desplazado, '* su

F es la pendiente en el verdadero tensión máxima y deformación, y P es la potencia de la curva de endurecimiento por deformación calculada utilizando ecuación (3.9) (Dodd y Restrepo, 1995).

( ) ( ) ,1 ,1 10 ,1 10

' '*' ' ' Iniciar sesión ' '*' ' ' ' ' Iniciar sesión ' ' sh su su sh su sh su su sh su su sh su sh

F

F F F F F PAG ε ε ε ε ε ε ε ε   +   +     =       (3,9) La curva de inversión se clasifica computacionalmente como una inversión mayor o menor. inversión. Como se dijo anteriormente, una inversión menor es cualquier inversión donde la diferencia en

Página 39 21 tensiones entre los dos puntos de inversión anteriores es menor o igual al doble de la tensión de fluencia. UNA una reversión importante sería cualquier reversión en la que la diferencia sea mayor que el doble de la tensión de fluencia. Una reversión de la región de endurecimiento por deformación se consideraría una reversión importante, mientras que una

La inversión de la región de la meseta de rendimiento se consideraría una inversión menor, como se ilustra en Figura 3.3 (Dodd y Restrepo, 1995). Figura 3.3. Ilustración de (a) reversiones de la meseta de rendimiento, (b) reversiones menores y (c) Inversiones importantes, así como sus respectivos puntos de reincorporación. Como se muestra en la Figura 3.1, cada inversión comienza con una rama de descarga, que simula el comportamiento después de una inversión de deformación hasta que la verdadera tensión haya disminuido en un valor igual al rendimiento estrés. La curva de inversión es lineal hasta la coordenada, (

) ',' una una

F

ε , que se calcula utilizando ecuaciones (3.10) y (3.11) después de una inversión en la coordenada, (

) ',' r r

F

ε . La rama de descarga es en una pendiente que es ligeramente diferente del módulo de elasticidad llamado módulo de descarga, ' u E  . Dodd y Restrepo derivaron una ecuación empírica, (3.12), para calcular este valor basado en la máxima deformación plástica, ' M ε (Dodd y Restrepo, 1995). Página 40 22 ' ' ' y una r tu

sf mi

ε ε = + (3,10) ' ' una

r y

F F sf = + (3,11) 1 ' 0,82 5.55 1.000 ' tu s METRO

mi mi

ε   = +   +   (3,12) donde s E  es el módulo de elasticidad de Young. Después de la rama de descarga, comienza la curva de inversión no lineal y la coordenada en que se calcula la curva de inversión no lineal. Esta coordenada de destino o "volver a unirse" depende sobre si es una inversión mayor o menor Las coordenadas de reincorporación para una inversión mayor son calculado usando las ecuaciones (3.13) y (3.14) mientras que las coordenadas reunidas para una inversión de la la meseta de rendimiento se calcula utilizando las ecuaciones (3.15) y (3.16) (Dodd y Restrepo, 1995). ' ' reunirse con su

F sf ≈ (3,13) ,

' ' ' '() reunirse con su turno su o

s k ε ε ε ε ≈ = + (3,14) ' volver a unirse y

F sf ≈ (3,15) 2 ' '() '(2)' (1) ' y reunirse con r o o tu

F em mi

ε ε ε ε   = + +     (3,16) Las ecuaciones (3.14) y (3.16) implican cambiar la coordenada de deformación de unión. Como se muestra en En la figura 3.4, la deformación se descarga a un valor distinto de cero una vez que el comportamiento se vuelve inelástico. A Para tener en cuenta este cambio en la deformación, la coordenada de deformación de reincorporación también cambia. Como se muestra en la ecuaciones, las curvas de inversión principales siempre terminan en las coordenadas últimas desplazadas, y una inversión

La curva de la meseta de rendimiento siempre termina en la meseta de rendimiento en la curva de deformación de tensión monótona del signo contrario. En una inversión menor, la curva vuelve a unirse a la inversión mayor o menor en la coordenada de inversión un ciclo antes (Dodd y Restrepo, 1995). Página 41 23 Figura 3.4. Ilustración del cambio en la coordenada de reincorporación después de que la cepa se descarga a un Valor cero. Para inversiones menores, la pendiente de reincorporación es simplemente la pendiente calculada previamente en el coordenada de inversión. Para las reversiones de la meseta de rendimiento, la pendiente de unión es cero (la pendiente de la meseta de rendimiento) en coordenadas de ingeniería, pero es igual a la tensión de fluencia en la coordenadas. Para inversiones importantes, la pendiente en coordenadas de ingeniería es cero, la pendiente en Las coordenadas se calculan utilizando la ecuación (3.17). '

'* su

su su

F fe ε

= (3,17) donde está la tensión máxima en coordenadas de ingeniería. Esto es importante ya que las NURBS aproximación utiliza las pendientes de reincorporación como la pendiente de la asíntota final (Dodd y Restrepo, 1995).

Página 42 24 3.3 Aproximación NURBS a la curva de inversión no lineal 3.3.1 Introducción a la aproximación NURBS Al simular la curva de inversión no lineal, una curva NURBS se aproxima en un espacio de coordenadas normalizado para reemplazar los procesos iterativos que se utilizan en el Dodd y Modelo de Restrepo (Dodd y Restrepo, 1995). El algoritmo utilizado para calcular la curva NURBS es fundamental para hacer el modelo más eficiente que el propuesto por Dodd y Restrepo (1995). por simplicidad, la curva NURBS utilizada en el modelo propuesto es una curva de segundo grado calculada con ecuaciones paramétricas. La figura 3.5 muestra dos ejemplos en los que se utilizan curvas NURBS en este modelo. Las ecuaciones paramétricas se componen de tres polinomios que interpolan la curva

dentro de un polígono de control formado por tres puntos de control. La derivación de estos polinomios es se analiza con mayor detalle en el Apéndice A. Las coordenadas de la curva se interpolan coordenadas en los vértices de la estructura conocida como polígono de control. El polígono de control utilizado en el modelo propuesto se compone de tres puntos de control y dos líneas que representan la tangente inicial y final de la curva (Piegl y Tiller, 1997). Página 43 25 (a) Polígono de control y aproximación NURBS de una reversión de la meseta de rendimiento. (b) Logaritmo del factor de degradación de la resistencia al pandeo y deformación normalizada al pandeo Presion. Figura 3.5. Ejemplos de implementación de la aproximación NURBS. La curva de segundo grado comienza y termina en el primer y último punto de control respectivamente. Además, la curva es tangente al polígono de control al principio y al final de la curva. La forma general de las ecuaciones de interpolación basadas en NURBS se muestra en las ecuaciones (3.18) y (3,19). L og10 (F actor) Diferencia de deformación normalizada Polígono de control NURBS Aprox. Página 44 26

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 00 11 22 2 2 0 1 2

1 21

() 1 21 uw P tu uw P uw P Cu uw tu uwuw + + = + + (3,18)

( ) ( ) 2 2 0 1 2

() 1 21 Cu arriba tu Subir Subir =+ + (3,19) donde 0 P  , 1 P  y 2 P  son los tres vértices, o puntos de control, del polígono de control y 0 w  , 1 w y 2 w  son los pesos aplicados a los puntos de control (Piegl y Tiller, 1997). La ecuación (3.19) es una versión especial de la ecuación (3.18) donde todos los pesos son iguales a uno. No siempre se necesitarán pesos en el modelo propuesto, por lo que es necesario simplificar

la ecuación de antemano. También tenga en cuenta que estas son ecuaciones paramétricas con un común variable independiente, . Por ejemplo, para resolver el estrés, es necesario poner el término, en términos de tensión (Piegl y Tiller, 1997). Las ecuaciones utilizadas para las aproximaciones NURBS en el El modelo propuesto son variaciones de estas ecuaciones. 3.3.2 Ecuaciones de interpolación basadas en NURBS El modelo propuesto calcula la curva NURBS de forma normalizada, adimensional coordinar el espacio. Específicamente, la deformación y la tensión se normalizan al rango de deformación real y tensión verdadera a lo largo de la curva de inversión no lineal con las ecuaciones (3.20) y (3.21). ' ' " ' ' s una reunirse con una

F F F F F = (3,20) '' " ' ' s una reunirse con una

ε ε ε ε ε = (3,21) donde (

) ',' una una

F

ε es el inicio de coordenadas de la curva de inversión no lineal, '

( , ) reunirse con reunirse con

F

ε ′ es el coordinar al final, y '

(,) s s

F ε ′ es la coordenada en el paso actual.

Página 45 27 Las coordenadas normalizadas al final de la curva NURBS siempre están en (1, 1). Una vez las coordenadas se han transformado y los puntos de control determinados, la tensión normalizada se puede obtener a partir de la deformación normalizada usando las siguientes ecuaciones. 2 2 1

"() (1)" 2 (1) " j fu uf tu uf tu =+ + (3,22) dónde

( )

( ) ( )

(

) ( ) ( )

( ) 2 1 1 1 1 1

2" " 2" " 412" " " " (") 212" " j j j j

tu

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε + + = + (3,23) Las dos rectas tangentes en el polígono de control de la curva NURBS son las lineales

continuación de la parte de descarga de la curva de inversión y la tangente a la reincorporación coordenada que pasa por el final de la curva de inversión no lineal. Las pistas de estos dos las tangentes son iguales al módulo de descarga y la pendiente en la coordenada de unión convertida en el espacio de coordenadas normalizado mediante la regla de diferenciación de la cadena, como se muestra en (3.24). ' ' ' ' ' " " " '' " ' ' ' reunirse con una s s s s s s reunirse con una

df re df df df re re df d re F F

ε ε ε ε ε ε ε   = = 

     (3,24) Las coordenadas del punto de control son (

) 1 1

"," f

ε , (

) "," j j

F ε

y () 1,1. El segundo control El punto se define como la coordenada donde se cruzan las dos asíntotas, que se calcula utilizando ecuaciones (3.25) y (3.26).

( ) ( )( ) '*' ' 1 ' ' " ' '* ' ' ' ' reunirse con reunirse con una reunirse con una j tu reunirse con reunirse con una reunirse con una

F F F mi F F F ε ε ε ε ε         = (3,25)

( ) '' ' " " ' ' tu reunirse con una j j reunirse con una

mi F F F

ε ε ε = -

(3,26) donde '* reunirse con

F es la pendiente al final de la curva de inversión.

Página 46 28 El primer punto de control, (

) 1 1

"," f

ε , es () 0,0 en inversiones menores. En grandes reversiones, el el primer punto de control se retrasa a (

) "," k k

F

ε y la respuesta al estrés hasta ese punto es lineal con un pendiente igual a la primera tangente como se muestra en la Figura 3.6. El primer punto de control en una gran reversión se calcula utilizando las ecuaciones (3.27) y (3.28).

( ) " "2 k j

segundo segundo

ε ε = (3,27)

( ) " "2 k j

F bf segundo = -

(3,28) El cálculo de se basa en las propiedades del material y el estrés natural y rangos de deformación de la curva de inversión. El cálculo y la calibración de se explican en detalles completos en el Apéndice B. Figura 3.6. Ilustración de inversiones menores y mayores en el espacio de coordenadas normalizado. 3.3.3 Efecto del contenido de carbono en la curva de inversión no lineal Es importante señalar que el modelo de Dodd y Restrepo fue calibrado para especímenes con contenido de carbono similar (0,19% -0,25%) (Restrepo et al., 1994). Por tanto, la propuesta El modelo está calibrado para estas muestras. Como afirman Wilson y Bate (1986), el contenido de carbono 0 1 0 1 T corrió formar ed S trenza Cepa transformada Inversiones menores Inversiones importantes Polígono de control Porción NURBS Lineal Parte

Página 47 29 en el acero afecta significativamente el efecto Bauschinger en el acero, como se muestra en las Figuras 3.7ay segundo. (a) Respuesta al estrés del acero con alto contenido de carbono (b) Respuesta al estrés del acero con bajo contenido de carbono Figura 3.7. Resultados de la prueba cíclica representados en términos de esfuerzo y deformación absolutos Wilson, DV y Bate, PS (1986). “Reversibilidad en el trabajo de endurecimiento de esferoidizados Aceros ". Acta Metallurgica , 34 (6), 1107-1120. Usado bajo uso legítimo, 2014. Esto sería un problema significativo si el acero de refuerzo ASTM A615 se usara ampliamente en áreas propensas a terremotos ya que ASTM no tiene un contenido de carbono estándar para A615 barra de refuerzo (ASTM A615 / A615M, 2013). Sin embargo, la barra de refuerzo A706 es más

se utiliza porque ASTM limita su contenido de carbono al 0,33% (ASTM A706 / A706M, 2013). Lo bajo El contenido de carbono le da a la barra de refuerzo más ductilidad, lo cual es deseable en zonas de alta sísmica. Página 48 30 Dado que los especímenes utilizados en los experimentos de Dodd y Restrepo estaban por debajo de este límite, su modelo es aplicable a los fines del modelado de respuesta cíclica. Aún así, esto plantea un problema para verificación, ya que los datos experimentales con los que se comparan algunos análisis implican especímenes sin contenido de carbono requerido o conocido. Se ha utilizado una medida temporal para Verifique adecuadamente el modelo propuesto como se especifica en una sección posterior. 3.4 Simulación de los efectos del pandeo inelástico 3.4.1 Simulación de los efectos del pandeo inelástico A diferencia de los modelos de materiales existentes, la degradación de la resistencia debido al pandeo inelástico es en este modelo propuesto aplicando un factor a la tensión después de haber sido calculado en la ley de tensión-deformación histerética. Este factor solo se aplica después del inicio de se determina el pandeo. La mayoría de los modelos de materiales existentes no calculan la deformación o tensión en el inicio del pandeo. Para los modelos de materiales que calculan la coordenada al inicio de pandeo, los métodos actuales no se aplicarían al modelo propuesto porque el enfoque es diferente en concepto e implementación (Dhakal y Maekawa, 2002a yb) (Gomes y Appleton, 1997) (Urmson y Mander, 2012). El método propuesto para determinar la aparición de pandeo implica el tratamiento de la armadura barra como un elemento de viga con un perfil de tensión no uniforme a lo largo de la sección transversal. Este enfoque es similar al enfoque utilizado por Urmson y Mander (2012), pero no requiere la integración de la distribución del estrés. Urmson y Mander (2012) requirieron integración porque intentó calcular la distribución de esfuerzos no lineales en cada paso de la deformación (Urmson y Mander, 2012). Este método hace varias suposiciones: Página 49 31 • La barra de refuerzo es inicialmente recta. • La barra de refuerzo se fija en los tirantes de confinamiento. • La longitud no arriostrada de la barra de refuerzo es el espacio entre las lazos de confinamiento.

• La barra de refuerzo queda completamente expuesta después de que el hormigón se ha desprendido a lo largo toda su longitud sin refuerzos. • La deflexión lateral de la barra de refuerzo de acero al inicio del pandeo varía co-sinusodalmente entre empates consecutivos. También debe tenerse en cuenta que para esta parte del análisis, el diámetro de la barra de refuerzo es se supone que es constante. Por lo tanto, cualquier valor de deformación y tensión se calcula en el coordenadas de ingeniería. En la Figura 3.8 se muestra una ilustración de estos supuestos. Figura 3.8. Forma abrochada de la barra de refuerzo aislada entre dos bridas de confinamiento. La teoría del módulo reducido propuesta por Engesser, mencionada por Chen y Liu (1936), establece que cualquier distribución no lineal de tensiones se puede representar como la suma de distribuciones del cambio en los esfuerzos a lo largo de la sección transversal como se ilustra en la Figura 3.9. Observar que cada distribución lineal tiene una ubicación de eje neutral diferente, creando la forma no lineal después de la suma. Dado que el análisis del elemento de viga involucrado solo examina el cambio en Página 50 32 fuerza y momento axiales, el modelo propuesto solo se centra en la distribución lineal del cambio en tensiones a lo largo de la sección transversal de la viga. No solo analizar una distribución lineal será matemáticamente simple, pero también es válido según la teoría de Engesser (Chen y Liu, 1936). Figura 3.9. Ejemplo de la teoría del módulo reducido implementada en el modelo propuesto Comenzando con (arriba) la barra de refuerzo con una distribución uniforme de la tensión, luego agregando un Cambio en la distribución de la tensión (centro) y que da como resultado la distribución de la tensión no lineal Se muestra en la parte inferior. En cada paso de la deformación, se calcula la distribución lineal del cambio en las tensiones y analizado. Esta distribución cambia en cada paso porque cambia la ubicación del eje neutro. Esta ubicación variable también afecta la rigidez de la barra de refuerzo porque un lado del neutro El eje experimenta un comportamiento de tensión-deformación diferente al del otro lado. El método propuesto necesita el rigidez porque relaciona la deformación y la curvatura con la fuerza y el momento axiales. El comienzo de Página 51

33 pandeo se define como el punto en el que el cambio neto en el esfuerzo axial debido a un cambio en el eje la tensión es cero. Inicialmente asume que el cambio en la tensión axial es cero y verifica que suposición. Si la suposición es correcta y entonces el modelo atribuye la deformación en ese paso a la inicio del pandeo. El método calcula la distribución del cambio de tensión a lo largo de la sección transversal de la barra de refuerzo a medio camino entre los lazos de confinamiento. La porción de la barra de refuerzo debajo de un El cambio de tensión en la tensión será esencialmente descarga mientras que la parte de la barra de refuerzo bajo un cambio compresivo en la tensión continuará en la curva tensióndeformación. Debido a esto el comportamiento de estas secciones se rige por diferentes módulos: el cambio de tracción en las tensiones es gobernado por el módulo de descarga calculado usando (3.12), y el cambio de compresión es gobernado por la corriente tangente a la curva tensión-deformación. Por lo tanto, la distribución lineal de la El cambio en las tensiones se puede calcular multiplicando el cambio en la deformación por el módulo como se mostró anteriormente en la Fig. 3.9. Con los módulos y el equilibrio conocidos, es posible encontrar la distancia entre los eje neutro y la cara de compresión extrema de la barra de refuerzo. Una vez que esto se encuentra a través equilibrio, se pueden determinar los parámetros de rigidez de la barra de refuerzo. Encontrar el La ubicación del eje neutral requiere analíticamente un proceso iterativo ya que eso requeriría encontrar el volumen de una cuña cilíndrica (la forma de la distribución de tensión tridimensional), que es un proceso computacionalmente gravoso. La eficiencia computacional es un objetivo importante en este estudio; por lo que se ha derivado una aproximación NURBS para calcular la relación de la ubicación del neutro eje al diámetro de la barra. Esta relación varía con otra relación, de la tangente a la tensióncurva de deformación al módulo de descarga transformada en coordenadas de ingeniería. Esta la aproximación se calibra con los valores analíticos de la ubicación del eje neutro. Esto es un Página 52 34 algoritmo suficiente para predecir la relación en comparación con el método analítico, eliminando

la necesidad del proceso iterativo como se muestra en las ecuaciones (3.29), (3.30) y (3.31). los La aproximación proporciona resultados muy precisos, como se muestra en el Apéndice E. 2 2

0,32 0,22 0,5 0,7 0,5 tu tu yD tu tu + + = ++ (3,29) dónde

( ) ( ) 2

2 0,7 0,8 2 0,7 0,8 tu

η η η η η --= (3,30) y t o

mi mi η = (3,31) donde D es el diámetro de la barra yo

E se  refiere al módulo de descarga transformado en coordenadas de ingeniería. Una vez que se calcula la ubicación del eje neutro, los parámetros de rigidez se pueden calculado y se puede configurar el análisis matricial de la barra de refuerzo como elemento de viga. los El cambio en la fuerza y el momento axiales está relacionado con el cambio en la deformación y la curvatura con una sección matriz de rigidez tangente como se muestra en la expresión (3.32). 2

ˆ t t o o UNA UNA o o o T o o o t t UNA UNA o o

norte norte E dS yE dS re re re dN re re re re dM METRO METRO yE dS y E dS ε φ ε ε ε φ φ φ ε φ ∂ ∂  

      ∂ ∂            = = =            ∂ ∂             

   ∂ ∂  

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (3,32) donde dN es el cambio en el esfuerzo axial, dM es el cambio en el momento, o

d  ε es un cambio en axial presion, o

d  φ es el cambio en el cambio de curvatura en el tramo medio, T D es la tangente seccional matriz de rigidez, y es la ubicación vertical a lo largo de una sección transversal, A es el área de la sección transversal y t

E  es el módulo de sección. Sin embargo, hay tres incógnitas en (3.32) donde idealmente

Página 53 35 tendría solo uno: el cambio en la fuerza axial. Se deben hacer varias sustituciones antes de este el análisis puede ocurrir. El primer cambio a (3.32) es poner el cambio en el momento en términos de cambio en el eje fuerza. Debido a las deflexiones laterales, la barra está destinada a experimentar efectos p-delta como se muestra en la Figura 3.10. Figura 3.10. Diagrama de cuerpo libre de la mitad de la forma abrochada de la barra de refuerzo. Las señales son positivos para las fuerzas de tracción y las rotaciones en sentido antihorario mientras las orientaciones se dibujan Refleje la respuesta prevista. Dado que se supone que la forma pandeada de la barra de refuerzo completa un cosinusodal completo período entre los lazos de confinamiento, la curvatura en el medio y la curvatura en la línea central de los lazos son iguales y opuestos. Esto significa que los momentos internos en esos mismos lugares también se supone que son iguales y opuestos. Examinando la barra de refuerzo por un momento El equilibrio produce la siguiente expresión.

(

) 0 2 o

METRO N dN d dM

ω ==+ +

∑ Esta expresión se usa para expresar el cambio de momento en términos de la fuerza axial. ( ) 2 o

N dN d dM ω + = (3,33)

Página 54 36 Observe la segunda fila de (3.32). , 21 , 22

ˆ ˆ T o T o

dM Dd Dd ε φ = + dónde , 21

ˆ T

re se refiere al elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz de rigidez. Sustituyendo dM en la expresión (3.33) se obtiene la siguiente expresión. , 21 , 22

( ) ˆ ˆ

2 o T o T o

N dN d Dd Dd ω ε φ + = + Hay tres incógnitas en esta expresión. Idealmente, solo tendría dos incógnitas, o d  ε y o

d  φ, por lo que la ecuación podría sustituirse en la primera fila de (3.32). De esta manera una ecuación para el cambio en la fuerza axial debido a un cambio en la deformación axial se puede derivar. La siguiente relación para encontrar, por lo tanto, es entre el cambio de curvatura, o d  φ, y el cambio en la desviación lateral, o

d  ω, en midspan. Debido a que se supone que la forma abrochada es simétrico y fijo en los lazos de confinamiento, la pendiente en los lazos de confinamiento y a medio camino entre se supone que es cero. La siguiente expresión proviene de estos supuestos. 1 2 porque 2 o

re re X L π ω ω   =     (3,34) donde d  ω es la deflexión lateral a una distancia, x , a lo largo de la viga y L es la separación entre los lazos de confinamiento. La segunda derivada de la ecuación (3.34) se expresa en términos del cambio en

curvatura como se muestra en la ecuación (3.36).

() 2 pecado o

dd re X dx L L

ω π π ω   =     (3,35)

() () 

3/2

2 2 2 2

2 2 porque 1 o

dd dd re X re dx L L dx

ω ω π π ω φ  

       = = +              (3,36) Página 55 37 Porque la desviación lateral, o

d  ω y curvatura o

d  φ solo se observan en midspan, la mitad de la longitud está conectada, y

() dd dx ω es igual a cero en midspan como se indicó anteriormente en los supuestos. El término de curvatura, d φ, se reemplaza con el término de curvatura de midspan, o d  φ. La ecuación (3.37) es el resultado de todas estas sustituciones. 2

2 o o

re re L π φ ω 

=  (3,37) (3.37) se sustituye en la segunda fila antes mencionada de (3.32) para dar lo siguiente expresión. 2 , 21 , 22 2

( ) ˆ ˆ 2 2 o T o T o

dL N dN Dd Dd

φ ε φ π   + = +     Esto se reorganiza para encontrar la relación entre la curvatura del midspan y la deformación axial como mostrado en la ecuación (3.38). Además, aquí es donde se supone que el término, dN , es cero como anteriormente mencionado. , 21 2 , 22 2

ˆ ˆ 4 T o o T

re re re NL

re φ ε π     =        (3,38) (3.38) se sustituye en la primera fila de (3.32) para dar la siguiente expresión. , 21 , 11 , 12 , 11 , 12 2 , 22 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 T T o T o T o T o T

re dN D d Dd Dd re re NL re ε φ ε ε π   

 = + = +         El término, o d  ε, luego se factoriza y se lleva al otro lado para crear una expresión para el cambio en la fuerza axial debido a un cambio en la deformación axial.

Página 56 38

() 

2

, 12 , 11 2 , 22 2

ˆ ˆ ˆ 4 T T o condensado T

re dN re NL re re ε π   =     + (3,39) La etiqueta de subíndice "condensada" sirve para distinguir este término del

o

norte ε ∂ ∂ término en el matriz de rigidez tangente de sección en que la forma condensada explica un cambio en la curvatura como bien. También desde , 12 ˆ T

re igual a 21 ˆ T

re , no es necesario tratarlos como términos separados. La ecuación (3.39) se usa para determinar si un aumento adicional en la compresión axial la deformación no conduce a ningún cambio o disminución de la fuerza axial, en la cual se supone que ocurre el pandeo. Si (3.39) arroja un valor cero (o un valor ligeramente negativo), entonces se ha producido un pandeo. Existen casos en los que (3.39) nunca parece dar cero. En estos casos, (3.39) parecerá acercarse cero, alcanzar un mínimo local y luego comenzar a aumentar nuevamente. Esto indica que el paso de deformación es demasiado grande para encontrar la deformación precisa a la que se produce el pandeo. En un cierto paso de tensión, el La fuerza axial de compresión se vuelve tan grande que el denominador del término en (3.39) se convierte en negativo. Esto significa que en algún punto entre el paso actual y el anterior, el El denominador fue lo suficientemente pequeño como para que (3.39) arrojara un valor cero. Para casos como estos, una El denominador es otro criterio para el inicio del pandeo. Mientras que los elementos de la matriz de rigidez se pueden encontrar mediante un cálculo directo analíticamente, también se utiliza una aproximación NURBS para determinar estos valores en cada paso para Simplifique los cálculos y aumente aún más la eficiencia computacional. Para generalizar el aproximaciones a cualquier material y propiedades geométricas, NURBS en realidad está calculando una serie de variables , 11 T

γ`` 12/21 T

γ y 22 T

γ , que están relacionados con la matriz de rigidez tangente como se muestra en ecuaciones (3.40), (3.41) y (3.42).

Página 57 39 2 , 11 , 11

ˆ 2 T t T o UNA

re re E dS mi

γ π  = =  

∫∫ (3,40) 3 , 12/21 , 12/21

ˆ 2 T t T o UNA

re re yE dS mi

γ π  ==  

∫∫ (3,41) 4 2 , 22 , 22

ˆ 2 T t T o UNA

re re

y E dS mi

γ π  = =  

∫∫ (3,42) Por tanto, la ecuación (3.39) se convierte en la siguiente expresión: 2 3 , 12/21 2 , 11 4 2 , 22 2

2 2 2 4 T o T o o condensado T o

re mi dN re mi re NL re mi γ π γ π ε γ π π         

     =        +   Con el diámetro de la barra de refuerzo y el módulo de descarga factorizados, el único variable que afecta , 11 T

γ`` 12/21 T

γ y 22 T

γ es η, la relación de tangente, η. Después de realizar el ajuste de curvas con resultados analíticos como se describe en el Apéndice E, las siguientes expresiones han sido adquirido: , 11

0,04 0,0016 3,84 () 1,92 T

η γ η + = (3,43)

( ) 

2

, 12 , 12/21 , 12 , 12/21 2

0.546 ( ) (

) 0,44 0,44 1 T T T T

uu tu tu tu tu

γ γ = = + (3,44) dónde

( ) ( ) ( ) 2 , 12/21

0,44 0.3432 0,44 0.3432 4 0,44 0,6568 () 2 0,44 0,6568 T

tu η η η η η η + --

= (3,45) 2 , 22 , 22

( ) 0.03 0,28 T T

tu tu tu

γ =+ (3,46) donde , 22 0,3 0,09 2,8 () 1.4 T

tu η η + = (3,47)

Página 58 40 Con estas ecuaciones, la totalidad de esta verificación se puede determinar con la relación de módulos y el diámetro de la barra de refuerzo. 3.4.2 Cálculo del factor de degradación de la resistencia al pandeo Si la barra de refuerzo se ha pandeado, se debe calcular el factor de degradación de la resistencia. los El factor se determina a través de una relación encontrada entre el logaritmo (base 10) del factor y la deformación compresiva normalizada a la diferencia entre la deformación al pandeo , y el negativo de la deformación última como se muestra en la ecuación (3.48). Esta relación está calibrada para pruebas experimentales monótonas realizadas por Bayrak y Sheikh (2001), Mander et al. (Dhakal y Maekawa, 2002ab) y Bae et al. (2005). La relación depende de la delgadez relación, así como las propiedades del material como Dhakal y Maekawa han descubierto en su trabajo (2002ab). Este proceso de calibración se describe con más detalle en el Apéndice F. segundo s

norte segundo su

εε ε εε = (3,48) Como se mostró anteriormente en la Figura 3.5b, esta relación se aproxima con NURBS y tiene dos parámetros variables: la pendiente de la asíntota inicial (M1) y el logaritmo de la factor a una deformación normalizada de 1 ( 2 f ). Estos parámetros se pueden calcular mediante ecuaciones (3,49) y (3,50). 1 0.1208 0,868 0 L METRO PAG re =+ ≤ (3,49) 2 0,1 0.2778 L F re =+ (3,50) Página 59 41 Se ha encontrado que la pendiente de la asíntota final, M2 , es constante en -0,17034. Con el dos asíntotas, el primer punto de control y el último punto de control conocido como () 0,0 y (

) 

2

1, f respectivamente, el segundo punto de control se calcula utilizando las ecuaciones (3.51) y (3.52). 1

2 2 1

2 norte

F METRO METRO METRO ε = (3,51) 1 1

1 n f M  ε = (3,52) Después de calcular los puntos de control y las pendientes, se deriva una aproximación NURBS para calcular el logaritmo del factor de degradación de la resistencia utilizando las ecuaciones (3.53), (3.54) y (3,55). Cabe señalar que la aproximación NURBS solo calcula el factor entre el deformación al inicio del pandeo y la deformación final negativa. Después de la última tensión negativa, la el logaritmo varía linealmente con la deformación normalizada. Sin embargo, existe la posibilidad de que la ecuación (3.51) dará un valor no entre 0 y 1. En este caso, el logaritmo se calculará con ecuación (3.56). Finalmente, para tener en cuenta la resistencia residual en la barra de refuerzo, el factor no debe dar lugar a una tensión inferior al 20% de la tensión de fluencia del material. Esta meseta se calcula con la ecuación (3.57) y se basa en las observaciones de Dhakal y Maekawa (2002 ab). los resumen del cálculo de 10

Iniciar sesión segundo

f  se muestra a continuación. Si 1

0 1 norte

ε ≤ ≤

( ) 2 10 1

Iniciar sesión 21 2 0

1 segundo norte

F tu ufuf

ε = + ≤ ≤ (3,53) dónde

( ) ( ) 2 1 1 1 1

12 () 12 norte norte norte norte norte

tu

ε ε ε ε η ε -+ = (3,54)

( ) 10

Iniciar sesión 2 1 2 1 segundo norte norte

fM

F

ε ε = -+ > (3,55) De otra manera 10

Iniciar sesión 1 segundo norte

f M  ε = (3,56)

Página 60 42 0,2 0,2 y s y segundo s

F si f F F F < = (3,57) Después de esto, b f  se encuentra calculando 10 elevado a la potencia del logaritmo, y luego es aplicada a la tensión calculada en la ley tensión-deformación. El estrés factorizado se guarda como un valor histórico para no interferir con la ley de tensión deformación. Cuando la barra de refuerzo está en tensión después del inicio del pandeo, el factor de la tensión también se calcula usando ecuaciones (3.53) a (3.57) hasta que la barra de refuerzo vuelva a la deformación al inicio del pandeo. Esta permite un cálculo simple indicando que hay un valor único de b f  para cada valor de n ε en compresión o en tensión. 3.4.3 Aplicación a otros modelos de materiales Debido a que este factor de degradación de la resistencia al pandeo se calcula fuera de la deformación por tensión ley, se puede aplicar a cualquier modelo que calcule la tangente de la curva tensióndeformación en cada

paso. La única complicación que puede surgir es la inclusión del poder de endurecimiento por deformación curva calculada en el código Dodd y Restrepo. Muchos modelos de materiales utilizan la tangente inicial de la curva de endurecimiento por deformación ( sh E  ) para calcular la curva de endurecimiento por deformación. El seguimiento La derivación muestra una expresión para la potencia en términos de la tangente inicial.

() () ' ' ' ' ' s s s s sh sh sh s s s s

df df d df mi re df d re

ε ε ε ε ε ε   = =     (3,58) La derivación comienza con la derivada de la ecuación de la curva de endurecimiento por deformación (3.8) para obtener (3.59).

( ) [

] 

1

' '' () ' ' '*' ' ' '* ' ' ' PAG su s o s sh su su sh su su s su sh

s k df Ps f F F F re

ε ε ε ε ε ε ε ε -

  = + +     

  (3,59) Página 61 43 Porque sh E  es la tangente de la curva de endurecimiento por deformación por tracción con carga virgen, s = +1 y '() 0 o  k ε = . Sustituyendo s ε ′ con sh ε ′ obtendrá la siguiente expresión.

() ( ) * *

' ' ' ' s sh sh su su sh su su s

df Pf F F F re ε ε ε ε ′ ′ ′   = + + ′ ′

  Ahora, para obtener los otros términos en la ecuación (3.58), (3.1) se derivó en términos de y (3.4) se derivó en términos de ' . ' 1 ' 1 s s s s s

df re df re ε ε ε = = + (3,60) Sustituyendo ' s ε con ' sh ε y combinando las ecuaciones (3.58), (3.59) y (3.60) juntas, el expresión final para P se forma.

( ) ( ) 2

1 '* ' '* ' sh sh su sh su su sh su

mi F PAG F F F

ε ε

ε + = + (3,61) Al aplicar las consideraciones propuestas para pandeo inelástico a otro material modelos, es importante calcular las propiedades del material en el espacio de coordenadas naturales. los Las ecuaciones para resolver estos se pueden encontrar en el modelo original de Dodd y Restrepo (1995). Finalmente, al calcular o E  , use la tangente inicial de la curva de inversión de compresión o la módulo de young para la simplicidad. 3.5 Contabilización de la fatiga de ciclo bajo Cuando el acero se somete a altas cargas axiales, entonces el acero desarrolla grietas en un nivel microscópico debido al daño dúctil. Esto se agrava en el caso de carga cíclica con disipación de energía por deformación plástica. Como el acero se carga continuamente en la tracción región, las grietas microscópicas crecen y se fusionan. Cuando los microhuecos se vuelven grandes y Página 62 44 Aparecen numerosas grietas macroscópicas que indican un fallo. Una vez que ocurre una grieta macroscópica, el La capacidad del acero disminuye considerablemente y la ruptura seguirá en breve en secciones con áreas de sección transversal relativamente pequeñas, como barras de refuerzo. Huang y Mahin (2010) han incorporó un método para simular esta falla, y este método se elige para el modelo propuesto. Este método es preferible a los algoritmos de Coffin-Manson / Miner utilizados es el modelo de Kunnath porque no requiere tanta memoria de computadora (Kunnath et al. 2009ab). Además, el Las consideraciones propuestas para la fatiga de ciclo bajo están separadas de la ley tensión-deformación las consideraciones para el pandeo son. Esto evita fallas de convergencia numérica y se puede aplicar a otros modelos de materiales con facilidad. El método implica actualizar el parámetro de daño, m D  , solo cuando el verdadero estrés es de tensión. Cuando el parámetro actualizado es mayor que una propiedad material, crit D  , entonces el material es considerado roto. Las ecuaciones (3.62) a (3.66) describen el proceso de actualización del daño

parámetro mediante la observación de la tensión verdadera a medio camino entre la tensión verdadera recién calculada, 1

' n f  + , y el verdadero estrés del paso anterior, ' n f  . El incremento de la deformación plástica, ' p ε ∆ , también juega un papel importante en este parámetro de daño también. 1

' ' ' ' ' norte norte pag s tu

F F mi ε ε + ∆ =∆(3,62)

( ) 1 1 2

1 ' ' ' 2 norte norte norte

F F F + +

= + (3,63) 2 1 2 1 2

' 1 2 '

norte norte o

F Y mi + +

      = (3,64)

Página 63 45 1 2 1 2

' ' 0 t norte metro pag norte

Y re si f S

ε + +

    ∆ = ∆ >       (3,65) donde t y crit re son constantes de material y S es una constante de material sugerida calculada usando ecuación (3.66).

() 

2

1 2 ' y o

F S mi = (3,66) Así (3.65) se convierte en la siguiente expresión. 2 1 2

' ' t norte metro pag y

F re F ε +

    ∆ = ∆       Después metro

re ∆ se calcula, se suma al valor anterior de D , y si ese valor excede el crítico D  , entonces el material no desarrolla más tensión durante el resto del análisis. Las constantes del material, t y crit D  , fueron calibrados para las pruebas experimentales de ruptura realizado por Kunnath et al. (2009b). Específicamente, se calibró para las pruebas de carga del muestras con el material designado Calor 3 en los experimentos. Una relación entre t y critico

Se encontró D  para cada espécimen y la intersección de estas curvas produciría las constantes para el material Heat 3. La figura 3.11 muestra las curvas y dónde se cruzan la mayoría de ellas (0.43 t ≈

y 0,19 critico

D ≈ ). Aunque las rectas se cruzan en varios puntos, el punto de intersección con un crítico más bajo re Se eligió un valor porque sería más conservador tener una constante que conduzca a menos ciclos hasta la falla para un historial de deformación determinado.

Página 64 46 Figura 3.11. Relaciones entre y que conducen a un ciclo de ruptura preciso para Las muestras de prueba analizadas por Kunnath et al. (2009b) con la cruz que denota la coordenada utilizado en el análisis. 0.0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 0.0 0,5 1.0 1,5 2.0 2.5 3,0 re critico

t N14H3T1 N14H3F2S1 N14H3F2S2 N14H3F4S1 N14H3F3S2

Página 65 47 4. Verificación del modelo material 4.1 Verificación de la respuesta al estrés histerético sin pandeo Primero, el modelo propuesto debe poder capturar el comportamiento tensióndeformación del modelo original. Modelo Dodd y Restrepo. Dos comparaciones entre los modelos original y modificado son

mostrado en las Figuras 4.1ay b. En segundo lugar, la ley de tensión-deformación se verifica con datos experimentales de prueba. realizado por Dodd y Restrepo y Ma et al. Se eligen los experimentos de Dodd y Restrepo porque muestran ciclos de alta y baja amplitud y los datos experimentales fueron la base del modelo original. El experimento realizado por Ma se eligió porque era deseable ver qué tan bien funcionó el análisis con un espécimen fuera de los experimentos de Dodd y Restrepo. Mesa 4.1 enumera las propiedades de los materiales usados en cada análisis que se encuentra en las Figuras 4.2 ac. los Los análisis se identifican por el nombre de los experimentadores y las muestras de prueba (Restrepo et al., 1994) (Ma et al. 1976). (a) Historial de deformaciones con reversiones menores (b) Historial de deformaciones con inversiones importantes Figura 4.1. Comparación entre los análisis propuestos y los originales Dodd y Restrepo Modelos (2005). -75 -50 -25 0 25 50 75 -0,008 -0,003 0,002 0,007 S tress (k si) Deformar (pulg / pulg) Modelo modificado Modelo original -100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100 -0,014 0,036 0,086 S tress (k si) Deformar (pulg / pulg) Modelo modificado Modelo original

Página 66 48 Cuadro 4.1. Propiedades de los materiales para experimentos y análisis. Muestra f y (ksi) E s (ksi) ε sh ε sh, 1 f sh, 1 (ksi) ε su f su (ksi)

Árbitro HV15 69,91 28863 0,0178 0,05100 85,80 0,146 92,97 Restrepo et al., 1994 MJSG2 46,27 28572 0,0160 0,03930 55.11 0,225 69.04 Restrepo et al., 1994 2 66,00 29000 0,0118 0,02596 80.02 0,123 95,00 Ma y col., 1976

(a) Muestra HV15 (b) Muestra MJSG2 (c) Muestra 2 Figuras 4.2 . Verificación de los cálculos de la ley esfuerzo-deformación propuestos con resultados experimentales (Restrepo et al., 1994) (Ma et al. 1976). -600 -400 -200 0 200 400 600 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental -300 -200 -100 0 100 200 300 400 0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 S trenza (M pag una) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

Página 67 49 4.2 Verificación del análisis de degradación de la resistencia al pandeo Los datos experimentales más fácilmente disponibles para barras de refuerzo cargadas cíclicamente con El pandeo incluido fue recopilado por Monti y Nuti (1992). El modelo se compara con este datos experimentales para verificación. Como se dijo anteriormente, el modelo original de Dodd y Restrepo, como así como el modelo propuesto, solo está calibrado para el refuerzo de acero altamente dúctil utilizado en regiones propensas a terremotos. Los especímenes utilizados en los experimentos de Monti y Nuti (1992) no comparten estas propiedades materiales, es necesario encontrar una solución temporal para la verificación. Esta solución temporal implica aplicar un factor al parámetro Ω que se utiliza para Calcule el parámetro b en la aproximación NURBS. Este parámetro se analiza con más detalle en detalle en el Apéndice B. Dhakal y Maekawa (2002a) publicaron los resultados de su modelo sin consideraciones para pandeo. Debido a que las consideraciones propuestas para pandeo inelástico son se suponía que podían aplicarse a cualquier modelo de material, se utilizaron estos análisis. Para dar cuenta de la diferencia en el contenido de carbono, un factor aplicado a Ω en los cálculos para la inversión principal

parámetros. Este factor está calibrado con los resultados analíticos de Dhakal y Maekawa relacionados con la respuesta al estrés de una barra de refuerzo sin consideraciones de pandeo. Las propiedades del material así como el factor aplicado a Ω se muestran en la Tabla 4.2. Como se muestra en las Figuras 4.2ayb, el la calibración funcionó bien para dos de las muestras (Dhakal y Maekawa, 2002a). Página 68 50 Cuadro 4.2. Propiedades de los materiales de las probetas para ensayos cíclicos. Muestra f y (ksi) E s (ksi) ε sh ε sh, 1 f sh, 1 (ksi) ε su f su (ksi) factor C3 62,37 26107 0,007 0,04 76,14 0,10 85,0 0.4266 S5, S8 y S11 72,52 29008 0,007 0,02 91,37 0,09 107,5 0,6500

(a) Muestra C3 (b) Muestra S5 Figura 4.3. Respuesta al estrés simulado sin pandeo de acuerdo con la propuesta modificada Modelo y modelo de Dhakal y Maekawa (2002a). Una vez determinado esto, el resto de los análisis se compararon como se muestra en las Figuras. 4.3 ad. Cabe señalar que las probetas S5, S8 y S11 son del mismo material y tienen una relación de esbeltez de 5, 8 y 11 respectivamente. La muestra C3 tiene diferentes propiedades de material y tiene una relación de esbeltez de 11. -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 S trenza (M

pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Dhakal y Maekawa

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Dhakal y Maekawa

Página 69 51 (a) Muestra C3 (b) Muestra S5 (c) Muestra S8 (d) Muestra S11 Figura 4.4. Respuestas cíclicas analíticas y experimentales de las muestras de prueba examinadas Por Monti y Nuti (1992). 4.3 Verificación de la ley de fatiga de ciclo bajo Los datos experimentales más completos sobre ruptura fueron realizados por Kunnath, Kanvinde, Xiao y Zhang. Como se indicó anteriormente, el modelo propuesto solo se verifica para uno de los materiales con los que se experimentó, cuyas propiedades se enumeran en la Tabla 4.3. Usando el material valores constantes determinados anteriormente, el modelo propuesto se compara con los resultados de dos pruebas montónicas y dos pruebas cíclicas (Figura 4.4) (Kunnath et al., 2009b). En el análisis monótono, la deformación en la ruptura es bastante precisa para ambas muestras. N14H3T1 y N14H3T2 de experimentos realizados por Kunnath. Para el análisis cíclico, el número de ciclos antes de que se registre la rotura. La muestra N14H3F2S1 falla después de trece ciclos en -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 S trenza (M

pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

Página 70 52 el análisis, mientras que ha fallado después de diecisiete ciclos en el experimento. Muestra N14H3F3S1 falla después de ocho ciclos en el análisis mientras que falla después de siete ciclos en el experimento (Kunnath et al., 2009b). Cuadro 4.3. Propiedades de los materiales utilizados en experimentos y análisis.

Material f y (ksi) E s (ksi) ε sh ε sh, 1 f sh, 1 (ksi) ε su f su (ksi) Calor 3 73 20278 0,0165 0,04202 86,56 0.11471 97,5

(a) Muestra N14H3T1 (b) Muestra N14H3T2 (c) Muestra N14H3F2S1 (d) Muestra N14H3F3S1 Figura 4.5. Verificación del análisis de fatiga de ciclo bajo entre el modelo propuesto y Resultados experimentales recopilados por Kunnath (2009b). 4.4 Tiempo computacional de análisis El tiempo de cálculo de estos análisis se registró y se comparó con el del modelo original de Dodd y Restrepo Material. La figura 4.6a ilustra la diferencia en el tiempo toma calcular la curva de inversión no lineal entre los modelos de materiales. Figura 4.6b 0 20 40 60 80 100 120 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 S tress (k si) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental 0 20 40 60 80 100 120 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 S tress (k si) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 S trenza (M pag una ) Deformar (pulg / pulg) Modelo propuesto Experimental

Página 71 53 ilustra la diferencia en el tiempo que lleva completar un análisis completo para cada material modelo. La cantidad de tiempo que tomó simular la curva de inversión no lineal con la propuesta modelo es tan pequeño, que los datos de tiempo tuvieron que poner en una escala logarítmica para ver el diferencia en el tiempo de cálculo. (a) Logaritmo (base 10) del tiempo computacional de los cálculos de curva de inversión no lineal. (b) Logaritmo (base 10) del tiempo computacional de análisis completos. Figura 4.6. Análisis computacional del tiempo de los modelos de material original y modificado. 0,01 0,10 1,00 10.00 SH-1 SH-2 SH-3 SH-4 SH-5 C o metro Poner un tio nT estoy e (L

o gramo (Seco nds)) Historias de cepas Modelo original Modelo modificado 0,1 1.0 10.0 SH-1 SH-2 SH-3 SH-4 SH-5 C o metro pag tu ejército de reserva tio norte T estoy e (L o gramo 1 0 (S eco norte re s)) Historias de cepas Modelo original Modelo modificado

Página 72 54 Al observar el tiempo que lleva calcular la respuesta al estrés en la inversión no lineal curva sola, y el análisis realizado por el modelo propuesto no requiere más del 1,5% de la tiempo requerido por el modelo original de Dodd y Restrepo para hacer lo mismo. Al mirar el total tiempo de análisis, el análisis realizado por el modelo propuesto no requiere más del 12% del tiempo requerido por el modelo original. Esto es a pesar de que el modelo propuesto también tiene en cuenta el pandeo y la fatiga de ciclo bajo, que el modelo original no (Dodd y Restrepo, 1995). Página 73 55 5. Resumen y discusión Las verificaciones muestran un modelo material que es exacto. El modelo propuesto las predicciones muestran un buen acuerdo con los datos experimentales. La investigación previa se ha desarrollado

modelos que mostraron resultados similares. La importancia de esta investigación es que el modelo material obtuvieron resultados similares, si no mejores, con ecuaciones más eficientes y robustas. La cantidad de El tiempo de cálculo que se ahorra con estos procesos acelerará los análisis de hormigón armado. sistemas. Además, la solidez del modelo ayudará a que los proyectos futuros avancen sin el fallas de convergencia que dificultan muchos análisis. Las validaciones muestran que el análisis se ajusta a los datos experimentales de armaduras. razonablemente bien. El análisis es un poco más preciso en inversiones menores que en mayores. reversiones, pero las principales respuestas de reversión no difieren significativamente entre los análisis realizados por el modelo de material original de Dodd y Restrepo y el modelo propuesto como se muestra en la Figura 4.1. Además, es raro que el estrés en las barras de refuerzo llegue a tensiones más allá del inicio de endurecimiento por deformación en cualquier análisis dado. Por lo tanto, la mayor parte del tiempo se dedicará a más inversiones menores precisas. La verificación de las consideraciones de pandeo muestra un acuerdo favorable también con los datos experimentales de armaduras pandeadas para relaciones de esbeltez superiores a 5. Se Cabe señalar que cuanto menor es la relación de esbeltez, más se retrasa el inicio del pandeo. Esta es consistente con los resultados experimentales de Monti y Nuti (1992) y Bayrak y Sheikh (2001). Finalmente, la respuesta a la tracción después del pandeo es bastante precisa, pero de apariencia relativamente tosca. en comparación con otros métodos. El método propuesto produce una curva de tracción con repentino cambios en la curvatura y una respuesta casi lineal en el medio. Puede ser necesario crear un Página 74 56 curva más gradual en la región de tracción, pero los resultados actuales están bastante cerca de la resultados experimentales. Las verificaciones del modelo propuesto con las pruebas experimentales de rotura también son prometedor. En uno de los análisis cíclicos, el número de ciclos hasta el fallo es menor que los registrados en el experimento, pero el otro análisis cíclico y los análisis monotónicos mostraron un buena concordancia con los resultados experimentales en cuanto al ciclo y deformación a la rotura. Sin embargo,

todavía hay una diferencia en uno de los análisis cíclicos y uno de los análisis monótonos fue más preciso que el otro. Esto podría indicar que el método de ruptura propuesto es bastante sensible a las diferencias en las propiedades de los materiales. Cabe señalar también que los análisis se realizaron con casi el mismo conjunto de propiedades de material "promediadas". Los valores de t y crit re utilizado en el Las verificaciones son específicas para las barras de refuerzo A706 No.14 con las propiedades del material enumeradas en Cuadro 4.3. Una conclusión significativa es que el modelo propuesto requirió significativamente menos tiempo de cálculo para realizar más análisis que el modelo original de Dodd y Restrepo. los El modelo propuesto requiere un poco más de memoria que el original y más tiempo para dar cuenta pandeo inelástico y fatiga de ciclo bajo, pero compensa el tiempo al calcular la tensión respuesta en la curva de inversión no lineal. Las figuras 4.6b muestran que incluso con consideraciones para pandeo y fatiga de ciclo bajo, el modelo propuesto todavía mostró una mejora significativa en eficiencia sobre su predecesor, lo que no proporcionó consideraciones para ninguno. Una conclusión aún más significativa es un modelo material que es más matemáticamente robusto y al mismo tiempo preciso. Los cálculos directos en la ley de tensión deformación, así como la La separación del pandeo y las consideraciones de fatiga de ciclo bajo eliminan la posibilidad de falla de convergencia como es común en los métodos anteriores. Incluso el Dodd y Restrepo originales Página 75 57 modelo tenía posibilidades de falla de convergencia numérica. Muchos de los análisis realizados para crear Las figuras 4.6ayb no se completaron porque el modelo original no pudo alcanzar la convergencia para determinados antecedentes de deformación y propiedades de los materiales. Sin embargo, el modelo propuesto siempre ha alcanzaron la convergencia a través de sus ecuaciones simples y directas, lo cual es un mejora de los modelos de materiales existentes. La eficiencia y robustez ayudaría a complejos Análisis inelásticos de estructuras de hormigón armado en zonas propensas a terremotos. Página 76 58

6. Necesidad de más investigación El modelo propuesto todavía no puede simular con precisión la respuesta de las armaduras con un contenido de carbono significativamente diferente al de las muestras experimentales ensayadas por Restrepo et al. (1994). Como se indicó anteriormente, esto no es un problema con las barras de refuerzo A706 y También se han calibrado otros modelos para materiales con contenidos químicos específicos. Aún así, el respuesta al estrés en barras de refuerzo sistemas estructurales más antiguos que utilizaban principalmente refuerzo A615 Las barras pueden ser un poco más difíciles de simular ya que el contenido de carbono es mucho más variable en ese estándar. Para este propósito, este problema aún debe abordarse. El contenido de carbono influye en las propiedades del material que se tienen en cuenta en la cálculo del parámetro, b , detallado en el Apéndice B. Sin embargo, b se calibró a la modelo original de Dodd y Restrepo. Si este parámetro se calibró con los resultados experimentales de Variando las propiedades químicas utilizando el mismo proceso de calibración, podría resolver bien este problema. Además, el factor aplicado a Ω fue suficiente para los análisis de pandeo. Si una relación se derivó entre el factor y el contenido de carbono, entonces el modelo propuesto también podría ser aplicado a una barra de refuerzo distinta de A706. Otro problema menor es que el modelo propuesto no asegura que el signo de curvatura se retiene en las curvas de inversión de compresión. Esto se debe al hecho de que siempre que el verdadero estrés La relación de deformación es lineal, la curvatura en coordenadas de ingeniería es ligeramente negativa. Entonces el El signo de la curvatura se retiene en las curvas de inversión de tracción pero no en las de compresión. Sin embargo, como se muestra en el Apéndice D, esto era un problema en el modelo original de Dodd y Restrepo, y el la curvatura puede considerarse insignificante en estas regiones. Aún así, este es un tema que vale la pena analizar. en estudios futuros. Está fuera del alcance de este estudio resolver problemas inherentes a la modelo de material original de Dodd y Restrepo no relacionado con los cálculos iterativos. Página 77 59 Finalmente, las consideraciones para la fatiga de ciclo bajo requieren refinamiento. Mientras que el análisis mostró buenos resultados con t y crit re valores, estos valores se limitan a las probetas

utilizado en las calibraciones. Será útil proporcionar un enfoque físicamente significativo para el cálculo de los valores de t y crit D  . De esta manera, las consideraciones de fatiga de ciclo bajo no dependerán demasiado sobre el empirismo y será aplicable a más materiales. Pero para que esto suceda, más Los datos experimentales sobre la ruptura en acero de refuerzo de varias propiedades materiales deben ser realizado y analizado. Página 78 60 Referencias Aktan, AE, Karlsson, BI y Sozen, MA (1973). "Relaciones estrés-tensión de Barras de refuerzo sometidas a grandes inversiones de deformación ". Informe No. NSFRG GI 29934, Departamento de Civ. Ing., Universidad de Illinois, Urbana, ILL. ASTM A615 / A615M - 14, 1976 (2013), "Especificación estándar para deformados y lisos Barras de acero al carbono para refuerzo de hormigón, "ASTM International, West Conshohocken, PA, 2014, DOI: 10.1520 / A0615_A0615M, www.astm.org . ASTM A706 / A706M, 2000 (2013), "Especificación estándar para baja aleación normal y deformada Barras de acero para refuerzo de hormigón, "ASTM International, West Conshohocken, PA, 2014, DOI: 10.1520 / A0706_A0706M, www.astm.org. Norma ASTM E1049-85, 1997 (2011), "Prácticas estándar para el recuento de ciclos en fatiga Análisis, "ASTM International, West Conshohocken, PA, 2014, DOI: 10.1520 / E1049-85R11E01, www.astm.org. Bae, S., Mieses, AM y Bayrak, O. (2005). "Pandeo inelástico de barras de refuerzo". Revista de ingeniería estructural 131 (2), 314-321. Balan, TA, Filippou, FC y Popov, EP (1998). “Modelo histerético de lo ordinario y alto Acero de refuerzo de resistencia ". Revista de ingeniería estructural 124 (3), 288-297. Bayrak, O., Sheikh, SA (2001). "Análisis de bisagras de plástico". Revista de ingeniería estructural 127 (9), 1092-1100. Página 79 61 Chang, GA y Mander, JB (1994). "Análisis de daños por fatiga basado en energía sísmica de Columnas de puentes: Parte I - Evaluación de la capacidad sísmica ”. Rep. NCEER-940006 , Centro Nacional de Investigación en Ingeniería Sísmica, Universidad Estatal de Nueva York en Buffalo, Buffalo, Nueva York. Chen, WE y Lui, EM (1936), Estabilidad estructural: teoría e implementación , Elsevier Science Publishing Co., Inc, Nueva York, 100pp. Cooper, JD, Fiedland, IM, Buckle, IG, Nimis, RB y Bobb, NM (1994).

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elegido para el modelo propuesto para aumentar la eficiencia. Una curva NURBS de segundo grado consta de tres funciones base y un polígono de control con tres vértices (puntos de control). La base funciones combinadas con los puntos de control forman las ecuaciones paramétricas con u como su variable independiente. La derivación de las funciones base se detalla a continuación (Piegl y Tiller, 1997). A.2 Funciones básicas de B-Spline La derivación comienza con un vector de nudo, que define el valor de u donde el BSpline la curva corre tangente al polígono de control. En todos los casos se utiliza la aproximación, la curva solo corre tangente al principio ( u = 0) y al final ( u = 1) del polígono de control. Por lo tanto, la el vector de nudo es {0,0,0,1,1,1}. Los valores son cero y uno porque esos son los únicos valores de u cuando la curva corre tangente. Estos valores también se repiten para obtener una base de segundo grado. funciones. El cálculo de las funciones básicas depende de ecuaciones. 1 ,0

1 () 0 yo yo yo

si uuu Nu de otra manera +

≤≤   =    (A.1) 1 , ,1 1, 1 1 1

() () () ip yo ip ip yo pag ip yo ip yo

tu

tu uu Nu norte tu norte tu tu tu tu tu ++ + + ++ +

= + (A.2)

Página 83 sesenta y cinco donde i identifica la función de base única, se refiere a un elemento de nudo y denota el grado de la función base. Cabe señalar que i comienza en 0 en lugar de 1, lo que significa que 0 u se  refiere a el primer elemento del vector nudo (Piegl y Tiller, 1997). Debido a que el cálculo de las funciones base de cualquier grado, p , se basa en la base funciones calculadas para un grado, p-1 , se forma una tabla triangular truncada que muestra el orden de que calcula cada función base. 0,0 0,1 1,0 0,2 1,1 2,0 1,2 2,1 3,0 2,2 3,1 4,0

0 0 0 1 1 1 norte norte norte norte norte norte

norte norte norte norte norte norte La primera columna es el vector de nudo transpuesto. Usando (A.1), se determina que la base funciones 0,0 N  , 1,0 N  , 3,0 norte y 4,0 norte son iguales a 0. Debido a que la función base, 2,0 N  , es el único uno limitado por diferentes valores de nodos, (A.1) se utiliza para definir la función base (Piegl y Tiller, 1997). 2,0

1 0 1 () 0 Si tu Nu de otra manera ≤≤   =    Los elementos del vector de nudo solo van de cero a uno, lo que significa que el valor de nunca cae fuera del rango [0,1] para la longitud de la curva. Por tanto, 2,0 () 1 norte u = . Las funciones base de órdenes superiores se calculan utilizando la ecuación (A.2) como se muestra a continuación. 0 2 0,1 0,0 1,0 1 0 2 1

() () () 0 uu

uu Nu norte tu Nu uu uu = + = 3 1 1,1 1,0 2,0 2 1 3 2

() () () 1 uu uu Nu Nu Nu tu uu uu = + =Página 84 66 2 4 2,1 2,0 3,0 3 2 4 3

() () () uu uu Nu Nu

N uu uu uu = + = 3 5 3,1 3,0 4,0 4 3 5 4

() () () 0 uu uu Nu Nu Nu uu uu = + = Estas funciones de base se utilizan luego para calcular las funciones de base de segundo orden.

( ) 

2

0 3 0,2 0,1 1,1 2 0 3 2

() () () 1 uu uu norte tu Nu Nu tu

uu uu = + =1 4 1,2 1,1 2,1 3 1 4 2

() () () 2 (1) uu uu Nu Nu Nu tu tu uu uu = + = 2 5 2 2,2 2,1 3,1 4 2 5 3

() () () uu uu Nu Nu N uu uu uu =

+ = Estas son las funciones base utilizadas para cada aproximación NURBS en la propuesta modelo. A continuación se muestran dos variaciones.

( ) ( ) 2 2 0 1 2

() 1 21 Cu arriba tu Subir Subir =+ + (A.3)

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 00 11 22 2 2 0 1 2

1 21 () 1 21 uw P tu uw P uw P Cu uw

tu uwuw + + = + + (A.4) donde 0 P  , 1 P  y 2 P  son los tres puntos de control y 0 w  , 1 w  y 2 w  son los pesos aplicados a los puntos de control. C también se refiere a cualquier coordenada, lo que significa que la base funciona y pondera se aplican a ambas coordenadas, mientras que los puntos de control no. Por ejemplo, al calcular el tensión, se utilizan las coordenadas de tensión del polígono de control (Piegl y Tiller, 1997). Página 85 67 Apéndice B: Calibración y cálculo de la parte lineal de las inversiones principales B.1 Introducción Los cambios importantes se diferencian de los cambios menores en que el primer punto de control del NURBS la aproximación se retrasa a otro punto a lo largo de la asíntota inicial. Hasta el primer punto de control en la curva NURBS, la relación normalizada de tensión y deformación es lineal. La colocación de este primer punto de control depende de una variable b , que variará con un término, Ω. El término Ω está diseñado para identificar de forma única cualquier curva de inversión importante de cualquier material por Dodd y Restrepo en su modelo material original (B.1) (Dodd y Restrepo, 1995).

( ) ' 0,00108 1 0,001 0,69 0,85

' 0,18 1.043 '' pag t pag su

F F ε ε    Ω= + +         (B.1) dónde , , ,

' ' () '() '() ' ' «2 ' (1) ' (2) su su turno una una pag t su su turno su turno

F s k metro fm F F

F

ε ε ε ε   +   =   +   (B.2) ,

' ' () '() pag su turno una

k metro ε ε ε = (B.3) Sin embargo, este término fue formulado específicamente para su propia coordenada normalizada espacio, que implica un cálculo de transformación de coordenadas muy diferente al del método propuesto. Aún así, este término es valioso y se usó para calcular b. La relación entre by Ω se cambiaron en función de las propiedades del material para tener en cuenta que es adecuado para el nuevo transformación de coordenadas en el modelo propuesto.

Página 86 68 B.2 Calibración de b El parámetro b se calibra examinando una curva en una inversión de varios puntos a lo largo de la curva de endurecimiento por deformación hasta la deformación máxima. Para cada una de estas inversiones, todos los números con 4 lugares decimales de 0 y 1 se ingresan como b hasta que la tensión a una deformación variable sea igual

tanto para el modelo original de Dodd y Restrepo como para el modelo propuesto. La tensión a la que las tensiones de ambos modelos se comparan varía en un intento de tener tensiones iguales después del punto de mayor curvatura en la curva de inversión. Esto se encontró usando (B.4):

( ) ( )

( ) ( ) '

1 0,005 10 10 una

Carolina del Sur su sh r su

mi ε

ε ε ε εε = -+ (B.4) donde r ε es la deformación en la inversión y sc ε es la deformación a la que se calibra el modelo propuesto al modelo original. Este proceso se utiliza para encontrar la relación entre el valor óptimo de by Ω. Como esperado, esta relación varía dependiendo de las propiedades del material como se muestra en la Figura B1 con las propiedades del material enumeradas en la Tabla B1. Cuadro B1. Propiedades del material del análisis de optimización inicial b Material f y (ksi) E s (ksi) ε sh ε sh, 1 f sh, 1 (ksi) ε su f su (ksi) MAT1 69,91

28863 0,0178 0,05100 85,80 0,146 92,97 MAT2 64,83 28427 0,0170 0,05100 80,10 0,158 87,75 MAT3 46,27 28572 0,0220 0,03930 55.11 0,225 69.04 MAT4 70,00 29000 0,0110 0,01715 78,96 0,290 100,00 MAT5 66,00 29000 0,0140 0,02004 77,51 0,123 95,00 MAT6 45,00 29000 0,0155 0,01965 48,45 0,140 50,00 Página 87 69 Figura B1. Análisis de optimización inicial b . De este análisis inicial se extraen dos conclusiones: La pendiente inicial es constante entre todos los tipos de materiales y el valor inicial de Ω cuando b es cero es constante. Estos valores fueron encontrados promediando los valores que se obtuvieron al encontrar un ajuste lineal como se muestra en la Figura B2. los

las constantes se enumeran en la siguiente sección. Figura B2. Primeras porciones lineales de b vs. Ω. 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.400 0,425 0.450 0.475 0,055 0,065 0,075 0.085 PAG aram eter " segundo " Ω MAT1 MAT2 MAT3 MAT4 MAT5 MAT6 b = 10,212 Ω - 0,4211 b = 10,188 Ω - 0,4186 b = 10,136 Ω - 0,4145 b = 10.071Ω - 0.4097 b = 9,9346Ω - 0,4004

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0.40 0,45 0,055 0,065 0,075 0.085 segundo Ω

Página 88 70 Se supone que la curva termina con una relación lineal con una pendiente variable y

valor variable de Ω cuando b es cero nuevamente. La figura B3 muestra la supuesta relación entre b y Ω que consta de dos porciones lineales y una curva NURBS en el medio. Figura B3. Forma general de la variación de b con Ω. MAT3 se utiliza como punto base ya que se cambiaron las diferentes propiedades del material para ver cómo cambia la curva. Los resultados de variar varias propiedades del material se muestran en Figuras B4a-d. Página 89 71 (a) Variando la cepa máxima. (b) Variando la Fuerza Máxima. 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.400 0,425 0,055 0,065 0,075 0.085 PAG aram eter " segundo " Ω εu = 0,2 εu = 0,25 εu = 0,29 εu = 0,35 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.400 0,425

0.450 0.475 0,055 0,065 0,075 0.085 0,095 PAG aram eter " segundo " Ω fu = 110 ksi fu = 105 ksi fu = 100 ksi fu = 95 ksi fu = 90 ksi

Página 90 72 (c) Variación del módulo de elasticidad con resistencia a la fluencia constante. (d) Variación del límite elástico con deformación constante del rendimiento. Figura B4. Efectos de las propiedades variables de los materiales en la relación b vs. Ω. Se hacen las siguientes conclusiones: • La tensión final no afecta la relación de manera significativa. • La fuerza máxima afecta el valor de 1 Ω y 3 Ω . 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.400 0,425 0.450 0.475 0,055 0,065 0,075 0.085 0,095 PAG aram eter " segundo

" Ω Es = 32000 ksi Es = 30000 ksi Es = 29000 ksi Es = 28000 ksi Es = 26000 ksi 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0.300 0.325 0.350 0.375 0.400 0,425 0.450 0,055 0,065 0,075 0.085 0,095 PAG aram eter " segundo " Ω fy = 60,34 ksi fy = 67,59 ksi fy = 70 ksi fy = 72,41 ksi fy = 79,66 ksi

Página 91 73 • El límite elástico afecta la relación menos que el límite elástico, que parece ser el lo único que afecta a la pendiente de la línea final, d m  . Las conclusiones de estos análisis ayudaron a crear relaciones entre las propiedades de la relación b vs. Ω. Para crear relaciones entre variables sin unidades, el Las propiedades del material se representaron con las siguientes variables: su y su

F F F , y

ε y P (la potencia de la curva de endurecimiento por deformación). Después de muchos intentos de encontrar una relación entre lo último deformación y las variables de la relación b vs. Ω, se concluyó que la potencia era la única variable izquierda no contabilizada. Estas relaciones se ilustran en las Figuras B5ae. Incluido en estas cifras son los valores constantes de la primera pendiente y 0 Ω . (a) Ajuste lineal para 1 Ω (b) Ajuste logarítmico para el factor en 2 Ω (c) Ajuste lineal para 3 Ω (d) Ajuste lineal para y ε Figura B5. Determinación de constantes de relación vs. R² = 0,9969

0,070 0.072 0,074 0,076 0,078 0,080 0.082 0,200 0.300 0.400 Ω 1 (fsu-fy) / fsu 0 5 10 15 20 5 15 25 35 F actor PAG R² = 0,9595 R² = 0,9993

0.083 0,088 0.093 0,098 0,200 0.300

0.400 Ω 3 (fsu-fy) / fsu R² = 0,9996

-48 -46 -44 -42 -40 -38 -36 0,0023 0,0026 0,0029 metro re εy

Página 92 74 Las ecuaciones para estas constantes se enumeran en la siguiente sección. El factor que la Figura B5d es se refiere a la parte del denominador de la ecuación (B.17) en la siguiente sección. B.3 Cálculo de b La ecuación para b es una ecuación por partes descrita en las ecuaciones (B.5) a (B.9). 0 3

0 0.040137 segundo Si o = Ω≤Ω= Ω≥Ω (B.5)

( ) 

0

0 1

10.1 segundo Si = Ω-Ω Ω  . Esta significa que la desigualdad está limitada por dos términos positivos, lo que demuestra que la primera derivada y, en consecuencia, el denominador de la ecuación (D.7) es siempre positivo.

El signo del numerador de la ecuación (D.7) depende de la expresión (

) "

" j j

F ε . Está sabido que ' u E  es mayor que ' ' ' ' reunirse con una reunirse con una

F F ε ε . Esto significa que la pendiente inicial de la curva en el el espacio de coordenadas primo doble siempre es mayor que 1. Por lo tanto, " " j j

F ε > y el numerador y, en consecuencia, la 2 Dakota del Norte

la derivada en el espacio de coordenadas primo doble siempre es negativa. D.4 Inversiones menores y simples El 1 St

y2 Dakota del Norte

derivadas de la ecuación paramétrica NURBS (3.19) con un cero primero los puntos de control se muestran a continuación.

( ) 

1

2

'() 2 1 2 2 Cu arriba arriba = + (D.8) 1 2

"() 4

2 Cu PAG PAG =+ (D.9) Los puntos de control apropiados se agregan a las ecuaciones (D.8) y (D.9), sustituidos en la ecuación (D.2) y luego simplificado.

Página 103 85

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 2

2" 24" 4 "2 2" 24" 4 "2 " 212 "2 " j j j j j j j

tu F F tu

F df tu tu re ε ε ε ε ε + + + + = (D.10)

( ) ( ) 2 2

2" " " " 12 " j j j

F df re tu tu

ε ε ε = (D.11)

El numerador de la ecuación (D.11) se expresa en términos de " j F para determinar el signo del numerador. 2 "

=

" 2  2 " 1 " "

−1 (1−2) " -

dónde " " comienzo

df d  ε es la pendiente inicial de la curva en el espacio de coordenadas primo doble. Recordar que " " comienzo

df d  ε es siempre mayor que 1. Dado que el término " j F es siempre positivo, el numerador debe Sea siempre negativo. Si el 2 Dakota del Norte

la derivada de la curva en el espacio de coordenadas primo doble debe ser negativa, el denominador debe ser positivo para todos los valores de u . La desigualdad que se muestra a continuación se divide en dos situaciones debido al término (

) 1 2 u es positivo para {

} 0 0,5 tu ≤≤ y negativo para {

} 0,5 1 tu ≤≤

( ) 12 "

0 j

tu tu

ε -> 0 12 0 0,5 " 12 j

tu tu para tu tu tu

ε   ≤     ≤<     >     1 12 0,5 1 " 12 j

tu tu para

tu tu tu

ε   ≥    