• Author / Uploaded
• Brayan Boyer Zurita

Citation preview

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

CONTENIDO

5º PRIMARIA - IV BIM.

IV BIMESTRE

CONCEPTOS GEOMETRICOS FUNDAMENTALES. ANGULOS. ANGULOS

COMPLEMENTARIOS

Y

SUPLEMENTARIOS. POLIGONOS. TRIENGULOS. CUADRILATEROS. PERIMETROS Y AREAS. AREAS SOMBREADAS. POLIEDROS. NUMEROS ENTEROS. ADICION

Y

SUSTRACCION

DE

NUMEROS

ENTEROS. MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS. DIVISON DE NUMEROS ENTEROS.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES EL PUNTO: La huella que deja en el papel un lápiz bien afilado, la huella que hace el plumón en la pizarra, la marca que hacemos con la punta de un alfiler, un grano de arena, una estrella en el firmamento, etc. Nos dan la idea de un punto. Un punto es un elemento de una recta o de un plano

el punto geométrico es TAN PEQUEÑO que CARECE DE DIMENSIÓN sólo tiene POSICION

NOTACIÓN EL PUNTO

REPRESENTACIÓN

Los puntos se designan por letras mayúsculas

Diego el profe ha traído una pelota ¡vamos a jugar! ¡No vamos a estudiar!

°

A

x B

+ C

Si Carlos vamos a jugar pero luego... me parece... solo es una sospecha... vamos a ir al gran de geometría. ¡Oh! ¡No!

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

LA RECTA: El borde de una pizarra, un hilo tenso, un cable de luz bien tenso, nos dan la idea de una recta. Una recta es una línea que se extiende indefinidamente en sus dos extremos, es decir, no tiene origen ni tiene.

Toda recta contiene infinitos puntos

Toda recta es ilimitada

LA RECTA

NOTACIÓN La recta designar:

se

a) Por mayúscula

una

REPRESENTACIÓN puede R

letra A

b) Por dos de sus puntos con el símbolo ↔ encima

B A B

EL PLANO: La superficie de la pizarra, del piso de una mesa, de la luna llena que a lo lejos parece plana, de una hoja de papel de una sábana bien tendida, etc. Nos dan la idea de un plano. Un plano no tiene límites ni espesor.

Un plano contiene infinitos puntos. . ..

. . . .. . . . . . . .. .. .. .. ..

Un plano es ilimitado

EL PLANO

NOTACIÓN

REPRESENTACIÓN

El plano se designa por: a) Letras mayúsculas. b) Letras griegas.

H

Notación: Plano H : H

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

Segmento, Rayo y Semirrecta El segmento, rayo y la semirrecta son subconjuntos de la Recta: SEGMENTO: A

B

Todo segmento es parte de una recta. Todo segmento tiene dos extremos. Se puede medir. El segmento se puede nombrar: AB

segmento AB

BA

segmento BA

RAYOS: P

Q

R

Q: punto de origen Todo rayo es parte de una recta. Todo rayo tiene un punto de origen. En el gráfico observamos dos rayos distintos: QR QP

rayo QR cuyo origen es el punto Q y pasa por el punto R. rayo QP cuyo origen es el punto Q y pasa por el punto P.

 El origen Pertenece al rayo SEMIRRECTAS: A

El punto A divide a la recta en dos subconjuntos disjuntos. Cada una de estas partes es una semirrecta. El punto A es sólo la frontera y no pertenece a las semirrectas. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO Dos rectas en un plano son paralelas o secantes.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

A. Paralelas: Son dos rectas coplanares (Pertenecen a un plano) y no se intersecan. * A B  R

L

R   L se lee: “La recta R es paralela con la recta L” B. Secantes: Son dos rectas coplanares que tienen un punto de intersección. Las rectas secante se clasifican en: Rectas oblicuas y rectas perpendiculares. a) RECTAS OBLICUAS. Estas rectas tienen un punto en común y al cortarse determinan dos pares de ángulos de la misma medida. R

R P R

L se lee: “La recta R es oblicua a la recta L”

L

L={P}

b) RECTAS PERPENDICULARES. Estas rectas tienen un punto en común y al cortarse determinan 4 ángulos rectos. R

L

R  L se lee: “La recta R es perpendicular a la recta L”

Práctica de clase 1. Escribe 3 ejemplos que nos den la idea de punto. ....................................................................................................................................... .......................................................................................................................................

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

....................................................................................................................................... 2. Escribe 3 ejemplos que nos den la idea de recta: ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... 3. Escribe 3 ejemplos que nos den la idea de plano: ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... 4. Observa la figura y nombra: C

E

A R B

O

Q

D

P

Nueve Puntos

: .......................................................................................................

Una recta

: .......................................................................................................

Cinco rayos

: .......................................................................................................

Seis segmentos : ....................................................................................................... Tres semirrectas : ....................................................................................................... 5. Según el diagrama: A

B

C

¿Cuántos segmentos observas? ....................................................................................................................................... Nómbralos: ....................................................................................................................................... ¿Cuántos rayos observas? ....................................................................................................................................... Nómbralos: .......................................................................................................................................

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

6. Observa las rectas y clasifícalas: paralelas, secantes, perpendiculares: L1 L1

L2

L2

L1

L1 L2

L2

.........................

.............................

.......................

......................................

L1

L1

L1

L2

L1 L2

..........................

............................

L2

L2

........................

........................

7. Observa el diagrama y completa la siguiente tabla, la flecha se lee: "El punto ... pertenece a la recta ..."  N X S P R A

L1 N

L4 A

S

L3 R

X P

L1 V

L2

L3

L4 F

L2

8. Según la recta:

A

B

C

D

Escribe 6 segmentos: .......................................................................................................................................

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

9. Observa;

AB

= 5 cm;

BC

= 4,5 cm. A

¿Cuánto mide

AC

5º PRIMARIA - IV BIM.

B

C

?

....................................................................................................................................... 10. Observa la figura: A

B

D C

Cuatro puntos:

...........................................................................................................

Tres segmentos: ........................................................................................................... Cinco rectas:

...........................................................................................................

Dos pares de rectas secantes: ..................................................................................... Cuatro rayos:

...........................................................................................................

ejercicios propuestos n° 1 Encierra en un círculo tu respuesta correcta: 01. Por un punto de ¿Cuántas rectas se pueden trazar? a) una

b) dos

c) infinitos

d) N.a.

02. Por dos puntos. ¿Cuántas rectas se pueden trazar? a) una

b) dos

c) infinitos

d) N.a.

03. En un plano. ¿Cuántas rectas se pueden trazar? a) una

b) dos

c) infinitos

04. En un plano. ¿Cuántos puntos se pueden trazar?

d) N.a.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

a) uno 05. En la recta: ¿Cuánto mide

b) dos A

5º PRIMARIA - IV BIM.

c) infinitos

B

;

C

AC

= 18 cm,

d) N.a. BC

= 5,5 cm.

AB ?

a) 23,5 cm

b) 12,5 cm

c) 13 cm

d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios en tu cuaderno: 1. En la figura, nombra:

I

B

A

F C

G

H E

D J

9 puntos; un par de rectas paralelas, dos pares de rectas secantes, un par de rectas perpendiculares; 7 segmentos; 8 rayos, 5 rectas. 2. Traza: a) En un plano P, tres puntos y tres rectas, nómbralos. b) Dos pares de rectas paralelas, nómbralas. c) Dos pares de rectas secantes, nómbralas. d) Dos pares de rectas perpendiculares, nómbralas.

ÁNGULOS Recuerda: A

OA : OB

O

lados

O: vértice B

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

ÁNGULO es la reunión de dos rayos que tienen un mismo origen.

Carlos , veo ángulos por todos lados.

... si y los ángulos son cosas de rayos.

¡Yo me fugo!

Se acostumbra usar tres letras para nombrar un ángulo. La letra del vértice siempre va entre las otras dos. Algunas veces se usa únicamente la letra del vértice para nombrar un ángulo. AOB se lee: "ángulo A O B" O se lee: "ángulo O"

La medida de un ángulo es el número de grados que se asigna a dicho ángulo.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador.

Transportador

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

Ángulos Congruentes: Dos o más ángulos son congruentes si tiene igual medida: AOB = MNP P

B

O





M

N

A

Bisectriz de un Ángulo: Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo, divide a este en dos ángulos congruentes B M OM = Bisectriz O

  A

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Los ángulos por su medida pueden ser: a) Ángulo Nulo.- Es aquel cuya medida se considera a 0° A

O

B

b) Ángulo Agudo.- Es aquel cuya medida es mayor que 0° pero menor que 90° 0° <  < 90° A



O

B

c) Ángulo Recto.- Es aquel cuya medida es exactamente 90°

 = 90°  O

d) Ángulo Obtuso.- Es aquel cuya medida es mayor que 90°, pero menor que 180°

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

90° <  < 180° A  B

O

e) Ángulo Llano.- Es aquel cuya medida es exactamente 180°  = 180°  A

O

B

f) Ángulo de una vuelta.- Es aquel cuya medida es exactamente 360°

O

A

B

g) Ángulo Convexo.- Es aquel cuya medida es mayor que 0° pero menor que 180° 0° <  < 180° h) Ángulo Cóncavo.- Es aquel cuya medida es mayor que 180° pero menor que 360° 180° <  < 360°

Práctica de clase 1. Con ayuda de tu transportador construye los siguientes ángulos y clasifícalos: ABC = 75º

PQR = 90º

MIO = 155º

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

POQ = 30º

MNS = 180º

CDE = 270º

LSD = 315º

QRS = 240º

AJI = 300º

2. En la figura, nombra todos los ángulos: T

S

O

P Q

3. Observa estos ángulos y completa la tabla: Q

A

R

B

E

S

B C

Nombre del

P

O

Medida

Clasificación

F

Vértice

D

Lados

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

4. En cada una de las siguientes figuras calcula el valor de "x" a) A

B x

35º

O

b)

C

P

R 68º

x

Q

S

c) V U 35º R

x

86º T

O

d)

V U

4x+25° 3x+10º 3x+5º T R O 5. Mide con tu transportador cada uno de los ángulos de la figura. Saca tu conclusión. A D R

O

B

P

C S

6. En la siguiente figura calcula el valor de "x" A D 2x+42° B

O

4x+12° C

T U

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

7. Completa el crucigrama y descubrirás el nombre de un filósofo matemático griego que realizó importantes estudios de geometría:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Lo imaginamos como un pliego de papel lo más extenso, pero sin espesor. Punto donde se inicia un rayo. Nombre del punto que divide a la recta en dos semirrectas Unión de dos rayos que tiene el mismo origen. Lo que representa este dibujo. Conjuntos con intersección vacía. Lo que representa este dibujo Ángulos que mide menos de 90º. Dos rectas que tiene un punto en común.

ejercicios propuestos n° 2 Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios en tu cuaderno y señala tu respuesta correcta. 01. ¿Cuánto será la medida de la suma de los ángulos internos de un rectángulo? a) 90º

b) 360º

c) 45º

d) N.a.

02. ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un triángulo equilátero? a) 180º

b) 90º

03. Si unimos el

AOB = 90º con el

a) Recto

b) Llano

c) 60º

d) N.a.

BOC = 90º. ¿Qué ángulo se forma? c) Obtuso

d) N.a.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

04. En la figura calcular el valor de cada ángulo:

2x x

a) 30º y 60º

b) 30º y 90º

05. En la figura, el cada ángulo.

c) 45º y 45º

AOB es el triple de la medida del

d) N.a. BOC. Hallar la medida de

B A

a) 180º

O

b) 60º y 130º

C

c) 45º y 135º

d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA Efectúa los siguientes ejercicios en tu cuaderno: 1. Construye los siguientes ángulos y clasifícalos: AOB = 20º

POF = 165º

AJI = 75º

POQ = 85º

MIO = 180º

PIO = 175º

AMO = 150º

AMI = 90º

ANI = 30º

ALO = 15º

LIO = 120º

AJO = 100º

2. En cada una de las siguientes figuras calcula el valor de "x" a) A

B 2x

O

b)

x+15º C

P

R 3x+12º 2x+3°

Q

S

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

c) V U

3x

x R

2x T

O

d)

V U R

x+5º

2x+25° 2x+10º T O

3. Calcular el valor de “x”

2x+40°

3x+10°

4. OB: Bisectriz del ángulo AOM. Calcular el valor de “x” A 40°

O

B

x M C

5. Calcular el valor de “x”

5º PRIMARIA - IV BIM.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

48° x

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

1. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si al sumarlos miden 90º, es decir, un ángulo recto.

C B 

 +  = 90º



A

Recuerdo: El complemento de un ángulo es lo que le falta para medir 90º. Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulo recto.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

Ejemplo: 1. El complemento de un ángulo es 75º ¿Cuánto mide el ángulo? 90 -  = 75 90 - 75 =  15 =  2. Si  = 20º y  = 70º entonces  = 90 -   = 90 - 

y

 son complementarios porque

3. Si  = 32º Además y  son complementarias: ¿Cuánto mide el Solución: Como son ángulos complementarias.  +  = 90º ; pero  = 52º Remplazando: 52 +  = 90º  = 90º - 52  = 38º

?

2. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180º, es decir forman un ángulo llano. F

H

 O



O

B

G

F G 

H

 O

E

Recuerdo: El suplementario de un ángulo es lo que le falta para medir 180º. Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es igual a la media de ángulo llano (180º)

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

Entonces: Dados los ángulos  y ,  es suplemento de  o  es suplemento de  si y solo  +  = 180º Ejemplo: 1. ¿Cuál es el suplementario de un ángulo de 87º? Solución: 180º – 87º =  93º =  El suplemento es un ángulo de 93º 2. Se sabe que el y  son suplementarios. Si además  = 100º ¿Cuánto mide el complemento ? Solución:  +  = 180º 100º +  = 180º  = 180º - 100º  = 80º Luego el complemento de  es: 90º - 80º = 10º Práctica de clase Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Un ángulo mide el cuádruplo de su complemento. ¿Cuánto mide cada ángulo?

2. En la siguiente figura halla la medida del ángulo 

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–



48º

3. En la figura halla la medida del ángulo  si bisectriz del CoD

OM

C

es bisectriz del

AoBy

ON

B M

N D

5º PRIMARIA - IV BIM.



48º

A

4. El complemento del suplemento de un ángulo es 20º ¿Cuánto mide dicho ángulo?

5. Calcula la de medida de cada uno de los ángulos en la siguiente figura.

es

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

 3

4 +3

5º PRIMARIA - IV BIM.

2

-3 +7

ejercicios propuestos n° 3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. Indica si los siguientes pares de puntos son complementarios, suplementarios o ninguno de estos dos tipos. a)

60º

30º

b)

135º

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

45º

c)

45º

30º

2. Calcula la medida de los ángulos que se piden:

F

A B

30º C

P

20º

E D

3. Los ángulos  y  son suplementarios, si  es el complemento de un 35º ¿Cuánto mide el ?

 que mide

4. Tres veces la medida de un ángulo  es igual o un ángulo . Sabiendo que  y  son suplementarios ¿Cuánto mide  y cuanto mide ? 5. La suma de las medidas de cuatro ángulos consecutivos es 180º. Si el ángulo A o C mide 120º, el A o B es la cuarta parte de A o C y la medida de DoE es 40º ¿Cuánto mide el D o B?

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

TAREA DOMICILIARIA Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios en tu cuaderno y recuerde utilizar tu regla para los trazos necesarios. a) Calcular el valor de  sabiendo que  mide igual que el complemento e 50º





b) ¿Cuál es la medida del ángulo que mide igual que su complemento? c) La suma de medidas del complemento y suplemento de un ángulo que mide 39º ¿Cuánto es?

POLÍGONOS ¿Y qué s un polígono?

LÍNEA POLIGONAL: Es una línea formada por segmentos de recta que poseen distintas direcciones. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas Líneas Poligonales Abiertas:

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

Líneas Poligonales Cerradas:

Estas líneas poligonales cerradas reciben el nombre de POLIGONOS

Polígono: Viene a ser un conjunto de segmentos tomados en forma consecutiva de tal manera que su extremo inicial coincide con su extremo final.

Frontera Región Región exterior

interior

-

Un polígono determinó en el plano una Región interior y una región exterior.

-

El polígono es la frontera entre la región interior y la exterior.

-

La unión de un polígono y su región interior recibe el nombre de Región poligonal.

Diagonal: Es el segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos Diagonal Media: Es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de dos lados cualesquiera de un polígono.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

B C

Q A

x



P

D E

Elementos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Vértices: A, B, C, ..... Lados: AB, BC, ...... Ángulos Interiores: , .... Ángulos Exteriores: x, .... Diagonal: EC , .... Diagonal Media: PQ , ..... NOTA: En todo polígono se cumple que el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos.

DENOMINACIÓN DE UN POLÍGONO SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS: Nº de Lados

POLIGONO

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Nonágono Decágono Endecágono 

 15  20

Pentadecágono  Icoságono

OBSERVACIÓN: Si un polígono tiene más de 20 lados; se le nombrará según el número de lados. Por ejemplo si un polígono tiene 25 lados, se le llama Polígono de 25 lados.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

CLASIFICACIÓN: 1. Polígono Convexo: Polígono en el cual todos los ángulos son menores de 180°

2. Polígono Cóncavo: Polígono que tenga por lo menos un ángulo cóncavo.

NOTA: La diferencia entre un polígono convexo y cóncavo se determina al trazarle una recta secante; ya que si es convexo lo intersectará solo en dos puntos, y si es cóncavo lo hará en más de dos puntos. 3. Polígono Equiángulo: Polígono convexo que tiene todos sus ángulos iguales, ya sean internos ó externos. 



 



4. Polígono Equilátero: Polígono convexo o cóncavo que tiene todos sus lados iguales.

5. Polígono Regular: Polígono convexo que tiene lados iguales y ángulos iguales.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

NOTA: Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a una circunferencia. Tal que el centro de la circunferencia viene a ser el centro del polígono.

PROPIEDADES GENERALES EN POLÍGONOS CONVEXOS DE “n” LADOS 1. Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. N°D1 = n – 3 2. Número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértice. N°() = n – 2 3. Número de diagonales medias trazadas a partir de un lado. Nd 

n(n  3) 2

4. Número total de diagonales medias. N0dm 

n(n  1) 2

5. Suma de las medidas de los ángulos interiores. S1 = 180° (n – 2) 6. Suma de las medias de los ángulos exteriores Se = 360° Además de estas fórmulas, para polígonos regulares se cumple: 7. Medida de un ángulo Interior Ai 

8. Medida de un ángulo Exterior

180(n  2) n

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO– Ae 

5º PRIMARIA - IV BIM.

360 n

Práctica de clase 1. Marca con un aspa las figuras que son polígonos y escribe el número de sus ángulos.

.....................................

.....................................

.....................................

.....................................

2. Nombra los polígonos según el número de lados:

.......................................................................... ..................................... .....................................

3. Si en un hexágono regular, cada lado mide 9 cm. ¿Cuánto será su perímetro?

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

4. El perímetro de un cuadrilátero regular es 44 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

5. Completa esta tabla:

Polígono Q R

P

Q P

R

T

S Q

P

R S

Q P

R

U

S T

Número de lados

Número de vértices

Número de ángulos

N° de diagonales del vértice P

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO– Q

R

P

S U

T

6. Completa los casilleros con el nombre de los elementos:

7. Hallar el perímetro de: a) Octógono regular cuyo lado mide 12,5 cm.

b) Pentágono regular cuyo lado mide 59 cm.

c) Decágono regular cuyo lado mide 27,8 cm.

5º PRIMARIA - IV BIM.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

8. Para un Octógono regular, calcular: a) Suma de ángulos interiores.

b) Número de diagonales.

c) Número de diagonales medias.

d) Medida de un ángulo interior.

e) Medida de un ángulo exterior.

ejercicios propuestos n° 4

5º PRIMARIA - IV BIM.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

01. ¿Cuántas diagonales se podrán trazar desde un solo vértice en un pentágono? a) 2

b) 3

c) 5

d) N.a.

02. ¿Cuántos diagonales interiores tiene un heptágono? a) 2

b) 5

c) 7

d) 6

03. ¿Cuántas diagonales se podrán trazar en un triángulo? a) 3

b) 2

c) 0

d) N.a.

04. El perímetro de un hexágono regular es 73,8 cm. Hallar su lado: a) 6

b) 12,3

c) 12,5

d) N.a.

05. El ángulo externo de un polígono regular mide 72°, hallar el número de lados. a) 9

b) 8

c) 7

d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA 1. Traza los siguientes polígonos y señala sus elementos: cuadrilátero, hexágono, eneágono. 2. Halla el perímetro de los siguientes polígonos regulares: a) Triángulo, lado 8 cm. b) Pentágono, lado 15 cm. c) Octógano, lado 12,8 cm. 3. Para un Pentadecágono regular, calcular a) Suma de ángulos interiores. b) Número de diagonales. c) Número de diagonales medias. d) Medida de un ángulo interior. e) Medida de un ángulo exterior.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

DESAFÍA TU HABILIDAD 1. Nombra cada polígono según el número de sus lados. a)

b)

c)

2. Pinta con verde la región interior de los polígonos de cuatro lados.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

3. Desde el vértice indicado en cada polígono traza las diagonales posibles. ¿Cuántas diagonales has trazado en cada caso? a)

b)

c)

4. Traza todas las diagonales en cada uno de los siguientes polígonos. a)

b)

c)

5. ¿Qué relación tienen el número de lados, vértices y ángulos de un polígono? Grafica y fundamenta tu respuesta.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

6. La gráfica muestra la cantidad total de segmentos que tienen cierto número de polígonos de las clases que se indica. Observa y contesta. Número de segmentos por polígonos 120

Nº de segmentos

96 72 48 24

Triángulos

Cuadriláteros

Polígonos

Hexágonos

a) ¿Cuántos triángulos hay? b) ¿Cuántos cuadriláteros? c) ¿Cuántos hexágonos? d) ¿Cuántos polígonos hay en total? 7. Completa los datos en el cuaderno. Polígono Regular Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono

Medida de un Lado 2,5 cm 10cm 8cm 6cm

Perímetro

¿Qué procedimiento seguirías para calcula el perímetro de un polígono regular de 8; 9; 10; 11 ó 12 lados si la medida del lado de cada uno es 5cm.?

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

8. En la siguiente figura se observa las medidas de un estante para libros. Determina su perímetro. 0,4m

1,20m

1,4m

0,4m

0,4m

2,40m

1,20m

2m

9. Laura va a comprar cinta para colocarla alrededor del mosaico pintado de amarillo. Si la medida de cada lado del triángulo regular y cada lado del cuadrado es 70 cm, ¿Cuántos metros de cinta amarilla debe comprar Laura?

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

10. Completa los datos en el cuadrado. Polígono Regular Cuadrado Decágono Icosagono

Lado

Perímetro

15 cm 13 cm 27cm

11. Si a un cuadrado le recortas las cuatro puntas, ¿Qué polígonos se pueden obtiene? Repite el procedimiento con un triángulo y con un pentágono.

TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Se llama triangulo, a la figura formada por la reunión de los segmentos determinados al unir tres puntos no colineales.

B 

c x

y a 

 A

b

C z

ELEMENTOS: 1. 2. 3. 4. 5.

Lados: AB, BC, AC Vértices: A, B, C Perímetro 2p: 2p = a + b + c Semiperímetro: p = (a + b + c) / 2 Longitud de los lados: AB = c; BC = a y AC = B

Medida de los ángulos de un triangulo (m )  Ángulos Interiores

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO– m  BAC = ° ;

m  ABC = ° ;

 Ángulos Exteriores m  : x = x°

m



y

= y°

5º PRIMARIA - IV BIM.

m  BCA = °

;

m



= z°

AB



BC

z

NOTACIÓN:  ABC =



AC

CLASIFICACIÓN: Los triángulos se pueden clasificar, ya sea sus lados o según sus ángulos, de la siguiente manera: CLASIFICACIÓN POR SUS LADOS Δ Equilátero

Δ Isósceles

B

B

A

C

A

Δ Escaleno B

A

C

C

Sus tres lados tienen la Dos de sus lados son Sus tres lados y sus tres misma medida, es decir, congruentes, el lado desigual ángulos tienen diferente son congruentes medida. No son congruentes se llama base. Los ángulos en la base son congruentes.

POR SUS ÁNGULOS Δ Acutángulo

Δ Rectángulo

B

Δ Obtusángulo

B

B



A



 C

A

C

Sus tres ángulos son Presenta un ángulo recto. agudos, es decir miden Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos menos de 90°. y el que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa.

A

C

Presenta un ángulo obtuso, es decir un ángulo que mide más de 90°. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor.

OBSERVACIONES: 1. Es un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que determinan el ángulo recto, son los catetos. La longitud de la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos. 2. Los triángulos que no son rectángulos se llaman, en general, oblicuángulos. 3. Un triangulo no puede tener más de un ángulo obtuso. 4. En todo triangulo, uno de los lados cualesquiera pude ser la base mientras que en un triangulo isósceles, se considera como base al lado desigual. TEOREMAS FUNDAMENTALES

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

1. La suma de las medidas de los ángulo interiores de un triangulo es 180° B  

A



C

      180

2. En todo triangulo, la medida de un ángulo es igual la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes al ángulo exterior. B  A

x



C x   

3. La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triangulo, uno por vértice, es igual a 360°. y

B

z

A x

C

x  y  z  360

Práctica de clase

1. Escribe el nombre de cada triángulo:

...................................

...................................

...................................

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

...................................

2. Hallar “x”

x 60°

50°

3. Hallar “x + y”

x+20 40°

y+50

4. Hallar x. x 150°

140°

5. Hallar x.

30° x 150°

6. Hallar x.

5º PRIMARIA - IV BIM.

...................................

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO– 120°

x

120°

7. Hallar x. 180 - x

180 - 7x

180 -2x

8. Hallar x.

x

60°

9. Hallar m.

x 118°

10. Hallar .

5x 70°

6x



5º PRIMARIA - IV BIM.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

ejercicios propuestos n° 5 01. Hallar la medida de cada uno de los ángulos interiores de un triángulo equilátero. a) 45°

b) 60°

c) 30°

d) N. a.

02. La suma de los ángulos internos de un triángulo es: a) 180°

b) 90°

c) 60°

d) No se sabe

03. ¿Cuánto mide el ángulo desigual de un triángulo isósceles, si uno de los ángulos iguales mide 50°? a) 80°

b) 60°

c) 65°

d) N. a.

04. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide: a) 60°

b) 90°

c) 180°

d) N. a.

05. En un triángulo rectángulo, las medidas de sus ángulos agudos están en relación de 2 a 3. ¿Cuánto mide el menor de dichos ángulos? a) 36°

b) 50°

c) 60°

d) N. a.

TAREA DOMICILIARIA 1. Calcula en los triángulos, el valor del ángulo C: C

C

C

C

80° 65°

100°

65° B

A

30°

25°

A

2. En el triángulo, hallar el valor de x: 36° x

3. En el triángulo, hallar el valor de x:

B

A

B

A

B

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

15°

5º PRIMARIA - IV BIM.

x (07)

4. En el triángulo, hallar el valor de x: x 118°

DESAFÍA TU HABILIDAD 1. Clasifica los triángulos de acuerdo con la medida de sus lados y luego de acuerdo con sus ángulos. 60° 30º 76° 52°

52°

60°

60°

2. Escribe el nombre de cada cuadrilátero.

3. Determina el valor del ángulo x en cada caso.

105°

45°

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

a)

5º PRIMARIA - IV BIM. 80º

c) 109º

x

d)

55º

100º

x

80º

72º

b)

d) 28º 38º

28º

x

37º

x

4. Gráfica un triángulo y traza las 3 alturas. ¿Qué se observa? en tu cuaderno. 5. Mide los ángulos y los lados del paralelogramo.

4cm 2cm 50º

130º

50º 130º

2cm

4cm

Responde: a) ¿Cómo son las medidas de los ángulos A y C? ¿Cómo son las medidas de los ángulos B y D? b) La suma de: m A+m m

C+m

B= D=

c) ¿Qué segmentos tienen igual medida? Escribe su notación.

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

6. Verifica la propiedad de los triángulos. Copia la figura, recorta los extremos y únelos en una recta. 













7. Escribe V (verdadero) o F (falso). Grafica y fundamenta tu respuesta. a) Los triángulos rectángulos tienen dos ángulos agudos.

(

)

b) Todo rombo es un trapecio.

(

)

c) El cuadrado es un paralelogramo.

(

)

d) Un cuadrilátero puede tener dos ángulos obtusos.

(

)

e) En un rombo se pueden trazar cuatro diagonales.

(

)

f)

(

)

(

)

El rectángulo se puede descomponer en dos triángulos.

g) Todo triángulo escaleno es acutángulo. 8. Mide los ángulos y los lados del triángulo. B

90º 3cm A

50º

4cm 40º

5cm

Responde: a) ¿Qué clase de triángulo es? ¿Por qué?

C

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

b) Coloca el signo o , según corresponda. AB < AC + BC AB > AC - BC c) ¿Cuál es el mayo ángulo y cuánto mide? d) ¿Cuánto mide el lado opuesto al ángulo mayor? ¿Es también el mayor lado? e) ¿Cuál es el menor ángulo y cuánto mide? f)

¿Cuánto mide el lado opuesto al menor ángulo? ¿Es también el menor lado?

9. Calcula la medida de cada ángulo para cada polígono. b)

a)

2x

x+20º x-20º

x

x60º

2x

60º

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

CUADRILÁTEROS Es la figura, geométrica plana determinada por la unión de cuatro puntos no colineales mediante segmentos de recta de modo que estos segmentos no se intersecan. Elementos: B

A

C

Lados: AB ; BC ; CD ; AD Vértices: A ; B ; C ; D



Ángulos internos:  D

Diagonal: BD

PROPIEDADES EN CUADRILÁTEROS 01. La suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 360° C B 

 A

 α + β + γ + θ = 360°  D

02. La suma de las medidas de sus ángulos exteriores es igual a 360°

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

y z α + β + γ + θ = 360°

x w

De acuerdo al tipo de región que limita, un cuadrilátero puede ser convexo o cóncavo.

Cuadrilátero Convexo

C B







 A

D ABCD : convexo

AC y BD : diagonales  +  +  +  =360° Cuadrilátero Cóncavo

N y  x

R

z

M

L

MNLR : cóncavo en R> ( 180°) ML y NR : diagonales x+y+z+ = 360° CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

PARALELOGRAMO B

TRAPECIO B

C

5º PRIMARIA - IV BIM. TRAPEZOIDE C

C

B A

D

A

D

D

A

Tiene un par de lados No tiene lados paralelos. Tiene sus lados paralelos. opuestos paralelos y congruentes. BC // AD BC // AD y BC  AD

y

AB // CD AB  CD

PARALELOGRAMOS: Los paralelogramos se clasifican en:

CUADRADO B

C

RECTANGULO B

ROMBO

ROMBOIDE

C

C

B

C

B D A

D

D

A

- Cuatro lados iguales. - Ángulos rectos. - Diagonales iguales y perpendiculares.

1. Los lados opuestos son congruentes.

B

C D

BC = AD AB = CD

A

D

Lados paralelos de - Lados de igual - Lados paralelos de igual medida. igual medida. medida. Ángulos no Ángulos rectos. - Ángulos no rectos. Diagonales iguales. rectos. - Diagonales - Diagonales desiguales y perpendiculares. oblicuas.

Propiedades en Paralelogramos:

A

A

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

2. Los ángulos opuestos son congruentes.

B

C

A

D

TRAPECIOS: Los paralelogramos se clasifican en: T. ESCALENO

T. RECTÁNGULO

C

B

T. ISOSCELES B

C

B



 d

A

D

Si : BC // AD y AB  CD

D

A Si :m ABC = m  BAD = 90°

A



C

d 

D

Si : BC // AD y AB  CD

Propiedades en Trapecios: 1. En todo trapecio la base media es paralela a las bases del trapecio, además su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de dichas bases. B

b

C

m

n M

m A

Si

MN

x

a

es la base media del trapecio ABCD 

Además:

x

ab 2

TRAPEZOIDES: Los trapezoides se clasifican en:

N n D MN // BC

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO C

C a

B B

A

5º PRIMARIA - IV BIM.

b

m   m

 

a

D

D

b A

Si :BC // AD y AB // BC

Si : AB // CD y BC // AD Además : BD mediatriz de AC

Práctica de clase 1. Escribe el nombre de cada cuadrilátero:

.............................................

.............................................

.............................................

2. ¿Cuántos suman los ángulos internos de un cuadrilátero? ...................................................................................................................................... 3. Completa: El .................................... y el .................................. tienen sus 4 lados de igual medida. El .................................... y el .................................. tienen sólo sus lados opuestos de igual medida. El ................................... y el ................................... tienen todos sus ángulos rectos. 4.

Completa la tabla con Si o No, según corresponda. Los lados ¿son congruentes?

Los lados opuestos ¿son congruentes?

Los lados Consecutivos ¿son perpendiculares?

Los lados opuestos ¿son paralelos?

¿hay dos lados opuestos paralelos?

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

5. En un paralelogramo ABCD, AB = x + 8 y CD = 16. Hallar “x”

6. En un paralelogramo ABCD, AB = 5x - 12 y CD = 37. Hallar “x”

7. En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, AB=2x+1 y CD = x + 6. Hallar “x”

8. Dos lados de un rombo miden: 7x – 21 y 4x + 12. Hallar “x”

I.E.P. SANTO TORIBIO

LOGICO MATEMATICO–

5º PRIMARIA - IV BIM.

9. En un cuadrilátero ABCD, m