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• Richard Cardozo

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CONTENIDO: INTRODUCCIÓN................................................................................................... 1 1. CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE DECISIÓN EN CONTEXTOS DE CERTIDUMBRE..................................................................................................... 3 1.1.

LA TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE CERTEZA..........................4

1.2.

CARACTERÍSTICAS GENERALES.................................................................5

1.3.

PROBLEMAS EN CONTEXTOS CIERTOS......................................................6

2. TABLA DE PONDERACIÓN LINEAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TIPO LINEAL................................................................................................................. 7 3. USO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TIPO LINEAL................................................................................................................. 9 4.

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL..........................10

5.

VALIDEZ DEL MODELO Y FORMULACIÓN......................................................12

5.1. 6.

FASES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. 13 SOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.................................13

6.1.

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO......................................................13

6.2.

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX.......................................................19

6.3.

MÉTODO DE TRANSPORTE.......................................................................23

6.4.

MÉTODO DE ASIGNACIÓN.........................................................................24

6.5.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD......................................................................25

7.

CONCLUSIONES.......................................................................................... 26

8.

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................. 28

INTRODUCCIÓN 1

El problema de la Decisión, motivado por la existencia de ciertos estados de ambigüedad

que

constan

de

proposiciones

verdaderas

(conocidas

o

desconocidas), es tan antiguo como la vida misma. Podemos afirmar que todos los seres vivientes, aun los más simples, se enfrentan con problemas de decisión. Así, un organismo unicelular asimila partículas de su medio ambiente, unas nutritivas y otras nocivas para él. La composición biológica del organismo y las leyes físicas y químicas determinan qué partículas serán asimiladas y cuáles serán rechazadas. Conforme aumenta la complejidad del ser vivo, aumenta también la complejidad de sus decisiones y la forma en que éstas se toman. Así, pasamos de una toma de decisiones guiada instintivamente, a procesos de toma de decisiones que deben estar guiados por un pensamiento racional en el ser humano. La Teoría de la Decisión tratará, por tanto, el estudio de los procesos de toma de decisiones desde una perspectiva racional. Las condiciones en las que los individuos toman decisiones en una organización son reflejo de las fuerzas del entorno (sucesos y hechos) que tales individuos no pueden controlar, pero las cuales pueden influir a futuro en los resultados de sus decisiones. Estas fuerzas pueden ir desde nuevas tecnologías o la presencia de nuevos competidores en un mercado hasta nuevas leyes o disturbios políticos. Además de intentar la identificación y medición de la magnitud de estas fuerzas, los

administradores

deben

estimar

su

posible

impacto

a

futuro.

Los

administradores y demás empleados involucrados en los pronósticos y la planeación pueden sentirse fuertemente presionados a identificar tales hechos y sus impactos, especialmente cuando no es probable que ocurran hasta años después. Con mucha frecuencia, los individuos deben basar sus decisiones en la limitada información de que disponen; de ahí, que el monto y precisión de la información y el nivel de las habilidades de conceptualización de los individuos sean cruciales para la toma de decisiones acertadas. Las condiciones en las que se toman las decisiones pueden clasificarse en términos generales como certeza o certidumbre, incertidumbre y riesgo. Prácticamente todas las decisiones se toman en un

2

ambiente de cierta incertidumbre. Sin embargo, el grado varía de una certeza relativa a una gran incertidumbre. La presente investigación desarrollará las características, tablas de ponderación, formulación de los modelos de programación lineal y las soluciones de modelo de programación lineal dentro de la Toma de Decisiones en Condición de Certeza, para así poder ampliar los conocimientos adquiridos y los desconocidos por los participantes.

1.

CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE DECISIÓN EN CONTEXTOS DE CERTIDUMBRE.

3

1.1.

LA TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE CERTEZA.

Una clase importante de problemas de decisiones incluye aquellos en los cuales cada acto disponible para quien toma la decisión tiene consecuencias que pueden ser conocidas previamente con certeza. A tales problemas se le llama toma de decisiones bajo condiciones de certeza. En la toma de decisiones existen ciertos riesgos implícitos. En una situación donde existe certeza, las personas están razonablemente seguras sobre lo que ocurrirá cuando tomen una decisión, cuentan con información que se considera confiable y se conocen las relaciones de causa y efecto Certeza: Esta es la situación ideal para la toma de decisiones. Se tiene la total seguridad sobre lo que va a ocurrir en el futuro. Desde un punto de vista estrictamente económico se trata de elegir el curso de acción que va a proporcionar los mejores resultados de acuerdo con el criterio establecido (beneficios, rentabilidad, cifra de ventas…). No es, sin embargo, una situación habitual. La toma de decisiones bajo certeza no es un proceso tan sencillo, cada una de las tareas a las que se enfrenta quien toma la decisión bajo certidumbre (identificar los actos disponibles, medir las consecuencias y seleccionar el mejor acto) involucra el uso de la teoría de la programación lineal. La certeza o certidumbre es la condición en que los individuos son plenamente informados sobre un problema, las soluciones alternativas son obvias, y son claros los posibles resultados de cada decisión. En condiciones de certidumbre, la gente puede al menos, prever (si no es que controlar) los hechos y sus resultados. Esta condición significa el debido conocimiento y clara definición tanto del problema como de las soluciones alternativas. Una vez que un individuo identifica soluciones alternativas y sus resultados esperados, la toma de la decisión es relativamente fácil. El responsable de tomar la decisión sencillamente elige la solución con el mejor resultado potencial.

4

La toma de decisiones en condiciones de incertidumbre es la excepción para la mayoría de los administradores y otros profesionales. Sin embargo, los administradores de primera línea toman decisiones diariamente en condiciones de certidumbre, o casi. Por ejemplo, un apretado programa de producción puede obligar a un administrador de primera línea a pedir a 10 empleados que trabajen cuatro horas de tiempo extra. El administrador puede determinar el costo de las horas extras con toda certeza. También puede prever con alto grado de certidumbre el número de las unidades adicionales que pueden calcularse con casi absoluta certeza antes de programar las horas extras.

1.2. CARACTERÍSTICAS GENERALES.

Un proceso de decisión en cuanto a la solución de un problema de forma general, se presenta a través de características principales: -

Existen al menos dos posibles formas de actuar, que llamaremos alternativas o acciones, excluyentes entre sí, de manera que la actuación

-

según una de ellas imposibilita cualquiera de las restantes. Mediante un proceso de decisión se elige una alternativa, que es la que se

-

lleva a cabo. La elección de una alternativa ha de realizarse de modo que cumpla un fin determinado.

El proceso de decisión consta de las siguientes fases fundamentales: -

Predicción de las consecuencias de cada actuación. Esta predicción deberá basarse en la experiencia y se obtiene por inducción sobre un conjunto de datos. La recopilación de este conjunto de datos y su utilización entran

-

dentro del campo de la Estadística. Valoración de las consecuencias de acuerdo con una escala de bondad o

-

deseabilidad. Esta escala de valor dará lugar a un sistema de preferencias. Elección de la alternativa mediante un criterio de decisión adecuado. Este punto lleva a su vez asociado el problema de elección del criterio más adecuado para nuestra decisión, cuestión que no siempre es fácil de resolver de un modo totalmente satisfactorio. 5

Los procesos de decisión se clasifican de acuerdo según el grado de conocimiento que se tenga sobre el conjunto de factores o variables no controladas por el decisor y que pueden tener influencia sobre el resultado final (esto es lo que se conoce como ambiente o contexto). Así, se dirá que: -

El ambiente es de certidumbre cuando se conoce con certeza su estado, es decir, cada acción conduce invariablemente a un resultado bien definido.

-

El ambiente de riesgo cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que puede asignarse una distribución de probabilidad conocida.

-

El ambiente es de incertidumbre cuando cada decisión puede dar lugar a una serie de consecuencias a las que no puede asignarse una distribución de probabilidad, bien porque sea desconocida o porque no tenga sentido hablar de ella.

Según sea el contexto, diremos que el proceso de decisión o la toma de decisiones se realizan bajo certidumbre, bajo riesgo o bajo incertidumbre, respectivamente.

1.3. PROBLEMAS EN CONTEXTOS CIERTOS.

Dicho todo lo anterior, podemos decir que los problemas de decisión con certeza se caracterizan por tres aspectos fundamentales: -

Se parte del supuesto que el agente decisor conoce los posibles eventos de ocurrencia y el comportamiento de las variables involucradas.

-

Se plantean modelos determinísticos, donde las variables conocidas se aplican a diferentes situaciones con pleno conocimiento del problema.

-

Los resultados esperados luego de la aplicación del modelo seleccionado son conocidos, obvios y evidentemente fuera de riesgos o incertidumbres.

6

Desde la aplicación empresarial, estas aplicaciones se producen en diferentes ámbitos de las áreas funcionales tales como los procesos de producción, procesos de inventarios, proyectos etc., y los instrumentos académicos estructurados son la programación lineal y los modelos de inventarios. 2.

TABLA DE PONDERACIÓN LINEAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TIPO LINEAL.

Muchos procesos en la toma de decisiones pueden ser tratados por medio de tablas de decisión, en las que, se representan elementos característicos de cada problema en específico, a modo general, se identifica para cada situación los siguientes aspectos: -

Los diferentes estados que pueden representar la naturaleza del problema,

-

pueden ser representados por las variables: e 1, e2, e3,…….,en Las acciones o alternativas entre las que seleccionará el decisor,

-

identificándolas por las variables: a1, a2, a3,…….,an Las consecuencias o resultados x ij, para cada alternativa adoptada ai y naturaleza ej.

Para cada problema, siempre se supondrá un número finito de estados y alternativas, buscando la simplicidad de las soluciones, en la siguiente tabla se muestra a modo general con (n...) estados o naturaleza y (m…) acciones o alternativas para un entendimiento representativo de forma general.

ACCIONES O ALTERNATIVAS

Forma general de una tabla de decisiones.

a1 a2 a3 …

ESTADO O NATURALEZA e1 e2 e3 … x11 x12 x13 … x21 x22 x23 … x31 x32 x33 … … … … …

en x1n x2n x3n …

7

am

xm1

xm2

xm3

…

xmn

La descripción de los diferentes criterios de decisión que proporcionan la alternativa óptima será realizada de acuerdo con el conocimiento que posea el decisor acerca del estado de la naturaleza, es decir, atendiendo a la clasificación de los procesos de decisión. Según esto, distinguiremos: -

Tablas de decisión en ambientes de certidumbre.

-

Tablas de decisión en ambiente de incertidumbre.

-

Tablas de decisión en ambientes de riesgo.

En la presente investigación solo desarrollaremos solo la tabla general a partir del siguiente ejemplo: Ejemplo: Un carpintero debe usar 10 clavos de ½” pulgada para terminar de armar un mueble de lujo; solo posee 6 clavos de la medida que corresponde y el resto, son de 1” pulgada, en la ferretería más cercana, a unos 20 minutos de la carpintería, existen los clavos que necesita. Se debe entregar el mueble en 1h, de lo contrario se pierde el cliente y por tanto, el ingreso que representa la venta, donde incluye la inversión realizada y las ganancias equivalentes, por mano de obra etc. ¿Cuál sería la decisión más sensata a tomar? Comentario: No es un tema para debate en el argot de análisis, solo es un ejemplo aprioris para la comprensión del llenado de la tabla de forma general.

ACCIONE SO

Tabla de decisiones:

Usar los clavos que posee de 1”

TERMINAR DE ARMAR EL MUEBLE DE LUJO Buenos resultados Resultados regulares (e2) (e1) El mueble se arma a El mueble queda sin la tiempo, y puede venderse calidad requerida y se

Malos resultados (e3) El mueble queda con mala calidad y tendrá

8

ALTERNATIVAS

pulgada (a1)

en el tiempo y en el precio previsto (x11)

vende a un precio más bajo (x12)

Pactar una nueva hora de entrega y buscar a la ferretería los clavos de ½” pulgada que se necesitan a la ferretería (a2)

El mueble quedará con excelente calidad usando los clavos idóneos y quedará listo para la nueva hora pactada pero se necesitará de más tiempo. (x21)

El cliente acepta otra hora pero impone reclamos comerciales por mora. (x21)

que ser desechado (x13) El cliente no acepta otra hora diferente a la pactada inicialmente y no se realiza la venta, sin embargo el mueble queda listo para otros clientes interesados. (x23)

Así, el ejemplo anterior podríamos darle valores a cada uno de los resultados para evaluarlo numéricamente, suponiendo que el decisor tiene los datos necesarios y puede evaluarlos en una escala del 0 al 10, es decir, asumiendo la existencia de una función Z(.) con valores reales tal que: Z (x kl )> Z( xij ) x ij

si y sólo si, el decisor prefiere el resultado

x kl

antes que el de

.

ALTERNATIVASACCIONES O

Tabla de decisiones asociada a números. TERMINAR DE ARMAR EL MUEBLE DE LUJO Buenos resultados Resultados (e1) regulares (e2) Usar los clavos que posee 10 5 de 1” pulgada (a1)

Buscar previamente los clavos de ½” pulgada que se necesitan a la ferretería (a2)

8

5

Malos resultados (e3) 0

4

El ejemplo anterior, nos denota una tabla de decisiones, las cuales constituyen una herramienta importante y clara en todo proceso de decisión. 3.

USO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TIPO LINEAL.

La programación lineal o matemática es empleada en muchas organizaciones debido a la facilidad de formulación y solución de numerosos problemas organizacionales, arrojando siempre el mejor resultado de varios disponibles.

9

La programación lineal puede definirse como la técnica matemática para determinar la mejor asignación de los recursos limitados de la empresa. En la programación lineal, se emplean algoritmos matemáticos, creados a partir de ecuaciones lineales, en donde se busca la mejor asignación de los recursos limitados de la empresa. El término linealidad representa una relación entre más de una variable, que son directas y proporcionales; por ejemplo un aumento del 10% de mano de obra, causará el mismo porcentaje en el aumento de la producción. En conjunto, los algoritmos matemáticos forman un modelo, que optimizan recursos limitados cuando toman en cuenta características como variables, restricciones y una función objetivo. La función objetivo, como su nombre lo indica, representa el objeto del problema; es decir, lo que persigue la empresa en términos cuantitativos. 4.

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

La Programación Lineal (PL) es una de la más vieja y aún una de las más importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales. La PL es una técnica matemática de optimización, entendido como un método para tratar de maximizar o minimizar un objetivo; lo que es lo mismo, tratar de planificar actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución, por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos; es un subconjunto de un área más extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación Matemática. Para tener éxito en la solución de problemas dentro de una organización, es importante la creación de modelos que permitan representar una situación real y partir de ello para buscar las alternativas de solución.

10

El modelo es una representación o abstracción de una situación u objeto reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa y efecto. Como un modelo es una abstracción de la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para la formulación de un modelo dentro de la programación lineal, como primer paso, el investigador debe delimitar el problema y conocer el objetivo que desea alcanzar, que puede ser maximizar las utilidades o minimizar los costos, siempre tomando en cuenta el principio de optimización. El siguiente paso consiste en conocer las variables que presentarán la solución al problema, es decir, las incógnitas que resolverán el modelo de programación lineal pueden ser tantas como sea necesario, con el fin de representar de la mejor forma posible la realidad. Una vez que se conozcan las variables de decisión, se deben plantear las restricciones, que son los requerimientos que debe cumplir la solución óptima para que se pueda llevar a la práctica y brinde grandes beneficios a la empresa. También pueden llamarse limitantes, ya que indican los valores máximos o mínimos que deben emplearse para garantizar la optimización. Las restricciones pueden ser por los volúmenes de ventas, por las limitantes en los recursos de la empresa, por la mezcla de ingredientes, por la cantidad de desperdicios y por cuestiones de administración dentro de la empresa, como el tiempo de preparación de la máquina. Por último, se debe tener presente que todas las variables empleadas en el modelo, deben ser siempre positivas porque representan situaciones que existen en la realidad. En el proceso de formulación de un modelo de programación lineal hay que dar los siguientes pasos: 1. Determinación de las variables de decisión representan los elementos del sistema a modelar que son controlables por el decisor. En los modelos lineales continuos estas variables toman como valores números reales y se representan por letras con subíndices X 1X2 como se acostumbra a hacer 11

con las variables matemáticas, o literales alusivos a su significado: peso valor. En el primer caso también se utiliza la representación como vector de un conjunto indexado de variable: X= (X1, X2…….) 2. Determinación de las restricciones. Representan las limitaciones prácticas de determinados recursos o imposiciones físicas de la realidad. Se expresan como ecuaciones e inecuaciones lineales de las variables de decisión.

3. Formulación de la función objetivo. Se trata de la función que mide la calidad de la solución y que hay que optimizar (maximizar un beneficio o minimizar un coste). Maximizar z = f(x); Minimizar z = f(x) 5.

VALIDEZ DEL MODELO Y FORMULACIÓN.

Para que un modelo de PL sea válido, debe cumplir las propiedades siguientes: Proporcionalidad: Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Así el término 2x 1 es proporcional, porque contribuye al valor de la función z con 2, 4, 8, etc. para los valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de x1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 2 conforme crece el valor de x1. Aditividad: Significa que se puede valorar la función objetivo z, así como también los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función z y en las restricciones.

12

Divisibilidad: Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad, significa que las variables de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo menos igual a cero. Certidumbre: Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos. El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales. Dependiendo del tipo de restricción que presente el problema de programación lineal, tendremos: Restricciones (=): Formulación estándar. Restricciones ( ≤ ) o ( ≥ ): Formulación canónica. Restricciones ( ≤ o ( ≥ ) o (=): Formulación mixta. Sin restricciones de signo: xk =(x+)- (x-), donde (x+) 5.1.

≥ 0; (x-) ≥ 0

FASES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Las fases en la resolución de un problema de Programación Lineal las podemos resumir en: -

1ra Definir el significado cuantitativo de las variables de decisión (x 1, x2,…,

-

xn). 2da) Establecimiento de la función objetivo cuyo valor se desea maximizar (utilidad, rendimiento, ingreso, producción) o bien minimizar (costo, tiempo,

-

mano de obra, inventario). 3ra) Establecimiento de las restricciones que limitan el valor óptimo que puede tomar la función objetivo. Las restricciones que pueden presentarse son del tipo: i) Si no se debe exceder del recurso disponible ( ≤ ); ii) Para no menos de lo requerido ( ≥ ); iii) Para igualar el recurso especificado (=). 13

6.

4ª Resolución del problema y análisis de la solución o soluciones. SOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. 6.1. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO

En el método gráfico no puede haber más de tres incógnitas, ya que se usa un plano cartesiano formado por dos rectas (x, y) y, por ende, dos dimensiones. Para comenzar, se debe analizar el problema y plantear el objetivo principal que se persigue usando algoritmos (ecuaciones, restricciones, función objetivo), ya sea maximizar las ganancias o minimizar los costos. Después, se expresa en forma gráfica las desigualdades de restricción y se ubica el área de solución factible. En seguida se traza la función objetivo (FO) en el plano cartesiano y se dibujan líneas paralelas a éste, hasta llegar al punto más distante en el área de soluciones factibles. Por último, se resuelven las desigualdades de las dos líneas que se cruzan por el punto más distante en el área de soluciones factibles. A continuación se ilustrará con un ejemplo: La empresa Aires del Sur SA de CV, produce dos tipos de aires acondicionados: Supercraft (x) y Powermax (y). Un Supercraft tiene un precio de $600 y un Powermax $700. Los dos productos, deben pasar por tres áreas. La empresa desea conocer el volumen de producción que maximice las ganancias, ajustándose a las limitantes de tiempo presentadas en la tabla siguiente:

Área 1 2 3

Horas requeridas Supercraft x 1 2 3

Powermax y 2 2 2

Horas disponibles al mes 140 190 240

Como primer, se debe expresar el problema matemáticamente, y para ello, hay que construir ecuaciones, que deben quedar de la siguiente forma:

14

Maximizar z=$600x + 700y} función objetivo.

1x+2y ≤ 140 El signo ≤ indica que las horas requeridas por cada área, deben ser menores o iguales que las dispon El signo ≥ indica que x, y, deben ser mayores o iguales que cero, porque se produce o no se produce 2x+2y ≤ 190 3x+2y ≤ 240 X ≥ 0, y ≥ 0

El siguiente paso consiste en expresar gráficamente las restricciones (horas requeridas); para ello se deben localizar los puntos x e y de cada una de las tres desigualdades. Para la primera desigualdad tenemos: Para Powermax

Para Supercraf

Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Supercraft (x) y no produce Powermax (y), entonces pueden fabricarse 140 unidades de x.

Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Powermax (y) y no produce Supercraft (x), entonces pueden fabricarse 70 unidades de Y. Para la segunda desigualdad tenemos: Para Powermax

Para Supercraf

15

Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Supercraft (x) y no produce Powermax (y), entonces pueden fabricarse 95 unidades de x. Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Powermax (y) y no produce Supercraft (x), entonces pueden fabricarse 95 unidades de y. Para la tercera desigualdad tenemos: Para Powermax

Para Supercraf

Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Supercraft (x) y no produce Powermax (y), entonces pueden fabricarse 80 unidades de x. Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Powermax (y) y no produce Supercraft (x), entonces pueden fabricarse 120 unidades de y. Mediante el uso de la herramienta Microsoft Excel, se representa gráficamente, las rectas formadas en un plano cartesiano (x; y) de la siguiente manera: Gráfico de intersección de rectas.

16

120 100 80 60

Powermax

X=140; y=70 40

X=95;Y=95

X=80;Y=120

Área de solución factible

20 0 0

20

40

60

80

100 120 140 160

Supercraf

El área de solución factible, es sombreada sin rebasar las líneas de restricciones, como se muestra en la gráfica anterior. Una vez encontrada el área de solución factible, quedan cuatro puntos principales (A, B, C y D) que delimitan dicha área. Para el siguiente paso, se debe trazar la función objetivo. Es necesario conocer los puntos para el eje

x

y para el eje

y , por ello se propone conseguir una

contribución mínima, multiplicando el coeficiente de X con el de Y (600 * 700= 420,000). Los cálculos son los siguientes: Maximizar Z=$ 600 x+ $ 700 y Para

función objetivo. Para

Como resultan cantidades grandes, se deben reducir para poder graficar la línea en conjunto con las desigualdades. Para ello de dividirá entre 10 para tener como resultado el eje

x=70

y

y=60 . Procedemos a prolongar la línea que

representa a la función objetivo de forma paralela, hasta tocar el punto más lejano que delimita el área de soluciones factibles, como se presenta la siguiente gráfica:

17

Representación gráfica de la función objetivo. 120 100

B Powermax

80 X=140; y=70 60

C

40

45

X=95;Y=95

20

Área de soluciónX=80;Y=120 factible

Función Objetivo

0

A

0

20 50

40 D60

80

100 120 140 160

Supercraf

Como se puede observar, el punto C, es el punto más lejano del área de soluciones factibles, lo cual indica, que es el que le da mayor contribución a la empresa Aires del Sur SA de CV, maximizando las utilidades. Se puede observar en el gráfico anterior, que el resultado del ejercicio son las coordenadas del punto C; donde indica que la empresa debe producir 50 unidades de Supercraft ( x ) y 45 unidades de Powermax para maximizar las utilidades. Sin embargo, en numerosos problemas donde se emplee el método gráfico pueden resultar números decimales que dificultaría ubicarlos con exactitud en un gráfico, por lo que se recomienda la solución del sistema de ecuaciones de las líneas que se cruzan en el punto C, que son la desigualdad 1 y desigualdad 2, como se presenta a continuación: 1x+2y ≤ 140 (desigualdad 1) 2x+2y ≤ 190 (desigualdad 2) Empleando el método de reducción, se multiplica toda la desigualdad 1 por -1, para poder eliminar la incógnita

y

(resultando: −1 x−2 y ≤ 140 ). Después se

realiza la reducción siguiente: 18

( 1 x +2 y ≤ 140 ) (−1 ) =−1 x−2 y ≤−140 (2 x +2 y ≤190) = +2 x +2 y ≤190

x ≤ 50

Ahora que se conoce el valor de

x , se sustituye en cualquiera de las dos

desigualdades originales. Sustituyendo

x

en la desigualdad 1, tenemos:

1(50)+ 2 y ≤140

2 y ≤ 140−50 y≤

90 2

y ≤ 45 Para finalizar, se deben sustituir los valores de

x

y

y

en la función objetivo y

así conocer la máxima contribución posible. Z =$ 600 ( x ) +$ 700 ( y ) Z =$ 600 ( 50 ) + $ 700 ( 45 ) Z =$ 30 000+ $ 31 500=$ 61 500.00 Se puede concluir que la empresa Aires del Sur SA. de CV, de acuerdo con las limitantes de tiempo, debe producir mensualmente 50 aires acondicionados de la marca Supercraft y 45 de la marca Powermax, que le brindarán una contribución de $61,500. 6.2.

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX.

19

El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Una propiedad general del método simplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones, donde cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tienen potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se puede obtener mejoras. Para resolver se debe agregar variables de holgura o exceso según sea el sentido de la desigualdad. Para las variables de holgura se lo hace con el menor igual que (≤), y para las variables de exceso se lo hace con el símbolo de mayor igual que (≥). El número de variables de holgura y exceso se lo hace de acuerdo al número de restricciones. Este método es muy útil cuando se trabaja con muchos productos y áreas en la empresa y por lo mismo da lugar a un mayor número de rectas, por lo que no es conveniente usar el método gráfico. Para la solución de problemas de este tipo se usa el álgebra de matrices, por lo que se recomienda al alumno familiarizarse con ese tema.

Caso ejemplo matemático sin contexto: Maxi Z = 1.5X1 + 1.2X2} función objetivo. X1 ≤ 6000

El signo ≤ indica que las variables requeridas para cada

X1 + X2 ≤ 800

restricción, deben ser menores o iguales que las

X1+ 2X2≤ 700

constantes independientes. El signo ≥ indica que X1, X2, deben ser mayores o iguales

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

que cero.

Paso 1. Convertir las funciones canónicas en ecuaciones estándares o igualdades.

20

≅ X +S =6000 1 1

X1 ≤ 6000

X1 + X2 ≤ 800 ≅ X1 + X2 +S2 = 800 X1+ 2X2≤ 700

≅

X1 + 2X2+S3 = 700

Lo anterior, se puede lograr agregando una variable ficticia que absorba la holgura en cada una de las desigualdades. La holgura será representada por S 1, S2 y S3, y se agrega a la ecuación para cumplir la igualdad y convertirla en ecuación estándar. Las variables artificiales S1, S2 y S3, deben ser agregadas igualmente en la función objetivo, sin embargo, teniendo en cuenta que es un artificio para alcanzar la Intersección

igualdad, sus coeficientes no producen utilidad en la función objetivo por lo que son iguales a cero (0); la función objetivo quedaría: Maxi Z = 1.5X1 + 1.2X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 Teniendo las igualdades definidas, elaboramos la primera tabla simplex: Tabla 1. Simplex. Cj 0 0

S1 S2 0 S3 Zj Cj - Zj

Columna pivote

Fila pivote

1.5

1.2

0.0

0.0

0.0

X1

X2

S1

S2

S3

1.0 1.0 1.0 0.0 1.5

0.0 1.0 2.0 0.0 1.2

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 1.0 0.0 0.0

Cantida d 6000 800 700

(Cantidad)/ (Columna pivote) 6000/1 800/1 700/1 0.0

6000 800 700

Mayor positivo Mayor El método simplex empleacontribución. iteraciones, es decir, es un proceso repetitivo, en donde

se van creando una serie de soluciones para cada iteración. En la primera fila columna

Cj

Cj

, aparecerán las constantes de la función objetivo y en la

, se ubicarán las variables de solución de inicio, ubicando los

coeficientes o contribuciones por unidad de cada variable de holgura (S 1, S2 y S3), en este caso, igual a cero ($0). 21

Existen tres restricciones, por tanto, existirán tres filas correspondientes a las variables de solución de inicio, en las cuales, se colocarán, debajo de cada variable independiente de la función objetivo y para cada restricción específica, las constantes correspondientes, especificadas en las tres ecuaciones estándares obtenidas de las desigualdades. Los valores de cero en

Zj

multiplicación de la columna

, resultan de la sumatoria de los resultados de la Cj

y cada una de las constantes que modifican las

variables independientes en cada una de las restricciones, así como las cantidades, según corresponda, o sea,

Z j=∑ ( C j ∗kx i ) i

.

La última fila, representa la contribución neta de algo en específico, dependiendo del contexto, resulta de la diferencia entre la primera fila sea, (

C j−Z j ¿

Cj

, y la fila

Zj

,o

.

Una vez confeccionada la tabla básica, es necesario identificar la columna pivote, o columna óptima, para ello, se identifica la variable entrante; teniendo en cuenta que es una función de maximización, la variable entrante será (el mayor positivo (+) de los valores), en este caso, como se señala en la Tabla 1. Simplex, la variable entrante a la solución de inicio será X 1, luego, para identificar en el orden que entrará, habrá que identificar la fila pivote, para ello, se divide la columna de cantidad entre los coeficientes de la columna óptima y se elige la fila que tenga el menor valor positivo. Como se puede observar en la tabla anterior, entre la columna óptima y la fila pivote, hay un elemento de intersección (coeficiente 1), que servirá para encontrar una mejor solución, reemplazando la variable S 3, por la variable X1, por lo que el valor que entra en S3, será, 1.5X1. En l intersección tiene necesariamente que haber valor uno (1), de lo contrario, se tendrá que reducir la fila dividiéndola por el valor que allí se encuentre, con el objetivo de hacer uno el valor de la intersección, en el caso ejemplo, el valor coincide con el necesario.

22

Dando origen a la siguiente Tabla: Tabla 2. Simplex. Cj 0S1 0S2 1.5X1 Zj Cj - Zj

1.5

1.2

0.0

0.0

0.0

X1

X2

S1

S2

S3

1.0 1.0 1.0 1.5 0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 -1.8

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0

0.0 1.0 0.0 0.0 0.0

0.0 0.0 1.0 1.5 -1.5

Cantidad 6000 800 700 1050.0

Una vez obtenida la Tabla, habrá que hacer ceros en los dos coeficientes restantes de la columna pivote fuera de la intersección, para ello, aplicamos el método Gauss- Jordan. Modificamos las dos filas restantes. Realizar la reducción siguiente: Fila S2 Para hacer cero el coeficiente, se multiplica la fila a transformar por su simétrico (-1). -1*

+ Fila S2

1.0 1.0 1.0 - 1.0 0.0

1.0 2.0 1.0 - 2.0 - 1.0

0.0 1.0 0.0 800 0.0 0.0 1.0 700 0.0 1.0 0.0 800 - 0.0 - 0.0 - 1.0 - 700 0.0 1.0 - 1.0 100

Fila S1 Para hacer cero el coeficiente, se multiplica la fila a transformar por su simétrico (-1)

-1*

+ Fila S1

1.0 1.0 1.0 - 1.0 0.0

0.0 2.0 0.0 - 2.0 - 2.0

1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 0.0 0.0 - 0.0 - 0.0 - 1.0 1.0 0.0 - 1.0

6000 700 6000 - 700 5300

Sustituyendo en la Tabla 2. Simplex: Cj 0S1

1.5

1.2

0.0

0.0

0.0

X1

X2

S1

S2

S3

0.0

- 2.0

1.0

0.0

- 1.0

Cantidad 5300

23

0S2 1.5X1 Zj Cj - Zj

0.0 1.0 1.5 0.0

-1.0 2.0 3.0 -1.8

0.0 0.0 0.0 0.0

1.0 0.0 0.0 0.0

-1.0 1.0 1.5 -1.5

100 700 1050.0

Se continuarán realizando las iteraciones necesarias hasta que los valores

( C j−Z j ) ≤ 0 , en este caso, no será necesario continuar realizando iteraciones, estos valores negativos indican que no existirá mejor resultado que la contribución final Zj = 1050.0. El valor de X1 = 700 unidades, en este caso no hay contexto, sin embargo, en un caso con contexto, esto se traduce de la siguiente manera: Empleando los recursos sobrantes S 1= 5 300 y S2= 100 (estos pudieran ser recursos de tiempos o materiales que pueden ser convertidos en dinero) se producen 700 unidades de un producto específico, generando una utilidad de $ 1050.0. 6.3.

MÉTODO DE TRANSPORTE.

El Modelo de transporte es una clase especial de problema de Programación Lineal. Trata la situación en la cual se envía un bien de los puntos de origen (fábricas), a los puntos de destino (almacenes, bodegas, depósitos). El objetivo es determinar las cantidades a enviar desde cada punto de origen hasta cada punto de destino, que minimicen el costo total de envío, al mismo tiempo que satisfagan tanto los límites de la oferta como los requerimientos de la demanda. El modelo supone que el costo de envío de una ruta determinada es directamente proporcional al número de unidades enviadas en esa ruta. Sin embargo, algunas de sus aplicaciones importantes (como la Programación de la Producción) de hecho no tienen nada que ver con el transporte. El algoritmo de transporte sigue los pasos exactos del método simplex. Sin embargo, en vez de utilizar la tabla simplex regular, aprovechamos la estructura especial del modelo de transporte para presentar el algoritmo en una forma más conveniente 24

6.4.

MÉTODO DE ASIGNACIÓN.

El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo total involucrado. Al igual que el método de transporte el método de asignación es computacionalmente más eficiente que el método simplex para una clase especial de problemas. El método de asignación también conocido como la Técnica de flood o el método Húngaro de asignación. Hay básicamente tres pasos en este método a- Determine la tabla de costo de oportunidad: 1. Reste el elemento del costo más bajo en cada columna de la tabla de costo dada, de todo los elementos en esa columna. 2. Reste el asiento más bajo en cada renglón de la tabla obtenida en la parte 1.1 de todos los números en ese renglón. b- Determine si se puede hacer una asignación óptima: El procedimiento es dibujar líneas rectas (verticales y horizontales) a través de la tabla de costos total de oportunidad, de tal manera que se minimice el número de líneas necesarias para cubrir todos los cuadros cero (0). Si el número de líneas dibujadas es menor que el número de renglones o columnas, no se puede hacer na asignación óptima y el problema no está resuelto. c- Revise la tabla de costo total de oportunidad.

25

1. Seleccione el número más pequeño en la tabla no cubierto, por una línea recta y reste este número de todos los números no cubiertos por una línea recta. 2. Añada este mismo número a los números que están en la intersección de dos líneas cualesquiera. Regrese al paso 2 . 6.5.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Estudio del efecto de los cambios en los parámetros del problema, sobre

la

solución óptima de Programación Lineal. Importancia del análisis de sensibilidad: Los modelos de Programación Lineal son con frecuencia grandes y costosos, debido a lo cual no es eficiente usarlos para un solo caso. Los elementos que se dan como datos para un problema, muchas veces son aproximaciones, debido a lo cual es necesario examinar más de un conjunto de circunstancias. Tipos de análisis de sensibilidad. 1. Sensibilidad de la función objetivo: a. Cambios en los coeficientes Determinar la gama de optimalidad para la pendiente de los parámetros de la función objetiva que mantendrá inalterable la solución óptima de un modelo determinado. b. Cambios en el término independiente (LD) 2. Sensibilidad de las restricciones: a. Cambios en los coeficientes de las restricciones. b. Cambios en el término independiente de las restricciones. (LD) c. Adición de nuevas restricciones. 26

3. Sensibilidad de las limitaciones: a. Cambios en la limitación de las abscisas. b. Cambios en la limitación de las ordenadas.

27

7. CONCLUSIONES. 1. Son pocas

las

decisiones

tomadas

en

situaciones

polémicas

importantes bajo condiciones de certeza o certidumbre, sin embargo, con frecuencia se tiene pleno dominio de circunstancias para la toma de decisiones donde se conoce con certeza los resultados que se alcanzarán, estas son tomas de decisiones de rutina, con repercusiones menos importantes. 2. La toma de decisiones en contexto de incertidumbre, las personas sólo tienen una base de datos muy deficiente, no existe confiabilidad absoluta de los posibles resultados, se tiene mucha inseguridad sobre los posibles cambios que pueda sufrir la situación, en muchos casos, no se pueden evaluar las interacciones de las diferentes variables; la condición bajo la cual resulta más difícil tomar decisiones es la incertidumbre, pues en esta situación, los responsables de tomar decisiones no cuentan con información suficiente para tener en claro las alternativas o estimar su riesgo.La toma de decisiones en contextos de incertidumbre, se basa, ya sea en la intuición del decisor o en su creatividad. 3. En una situación de riesgo, quizás se cuente con información basada en hechos, pero la misma puede resultar incompleta. Para mejorar la toma de decisiones se puede estimar las probabilidades objetivas de un resultado, al utilizar, por ejemplo modelos matemáticos. 4. El método gráfico, puede resultar complicado a la hora de proyectar los resultados en el plano cartesiano cuando los número son decimales, y hay que recurrir a una solución de ecuaciones canónicas para encontrar el resultado exacto. 5. Los métodos de PL, concurren sobre la probabilidad subjetiva, basada en el juicio y la experiencia, una correcta formulación de un método específico, puede cuantificar el resultado para tener una idea precisa de las posibles consecuencias basado en los resultados numéricos. Un

28

enfoque racional para evaluar las alternativas bajo condiciones de riesgo es el uso del valor esperado. 6. En el momento de tomar decisiones, todos los administradores deben de ponderar alternativas, muchas de las cuales implican sucesos futuros que resultan difíciles de prever: la reacción de un competidor a una nueva lista de precios, las tasas de interés dentro de tres años, la confiabilidad de un nuevo proveedor. 7. Las situaciones de toma de decisiones pueden conciderarse dentro de una línea continua que va de la certeza (altamente previsible) a la turbulencia (altamente imprevisible).

8.

BIBLIOGRAFÍA.

29

1. AGUIAR, F., CRIADO, H . y HERREROS, F. (2003), «Sociología y elección racional», en S. Giner (comp.). Teoría sociológica moderna. Barcelona: Ariel. 2. Córdova, Joaquín., (2012), Investigación de Operaciones. Primera Edición. ISBN 978-607-733-139-1. 3. Crilly, Tony (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. 4. Bazaraa, M.S. , Jarvis, J.J. (1998) Programación Lineal y Flujo en Redes Limusa, México. 5. Roger G. Schroeder, Administración de operaciones, toma de decisiones en la función de operaciones, p.26. 6. Fletcher, R. (1997) Practical Methods of Optimization John Wiley & Sons, Chichester. 7. Hillier, F.S. , Lieberman, G.J. (1991)Introducción a la Investigación de Operaciones McGraw-Hill, México. 8. Infante, R. (1997)Métodos de Programación Matemática Uned, Madrid Sitios visitados: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0191-03/certidumbre.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Toma_de_decisiones http://www.cosaslibres.com/leer-online/? title=APLICACIONES+DE+LA+PROGRAMACI%C3%93N+LINEAL&doc=http%3A %2F%2Fwww.uoc.edu%2Fin3%2Femath%2Fdocs%2FAplicaciones_PL.pdf http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r53398.PDF http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal http://www.slideshare.net/coryd0306/conceptos-programacion lineal http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_investigacion-de operaciones.html 30

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31