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Capítulo I Modelamiento matemático El objetivo de esta sección es exponer una metodología para el modelamiento matemático aplicado a problemas de gestión, en el ámbito de la ingeniería industrial. La primera parte está dedicada a la definición de conceptos, luego se presenta la metodología y se exponen diversos ejemplos. 1. Definiciones 1.1 El concepto de sistema En la literatura existen muchas definiciones del concepto de sistema tales como: “es un conjunto de partes o elementos que interactúan entre sí”, “es un objeto formado por un conjunto de partes entre las que se establece algunas forma de relación que las articula en una unidad que es precisamente el sistema”. En general todas las definiciones hacen referencia a las partes que componen el conjunto y a las relaciones que se establecen entre ellas. En este texto se adopta la primera definición. La construcción de un sistema comprende los aspectos del fenómeno que se está interesado en estudiar y modelar. Algunos ejemplos de sistemas: • Sistema planetario: las partes pueden ser los planetas, el sol, los satélites y cometas. La interacción puede ser la gravitación. • Sistema económico: las partes pueden ser las personas, o grupos de personas, empresas productoras de bienes y servicios, bancos comerciales y banco central. La interacciones pueden estar dadas por la relaciones de intercambio de bienes y servicios. • Sistema ecológico: las partes e interacciones pueden ser las diferentes poblaciones y las relaciones de cooperación y de depredación entre ellas. • Empresa productiva: las partes pueden ser las distintas plantas productivas y las interacciones puede ser la información que circula entre ellos. 1.2 El concepto de modelo Existen varios conceptos de modelo, uno de ellos es que un modelo es una referencia digna de emular “Alexis Sanchez es un modelo para la juventud” decía algún tiempo atrás un periódico de Santiago. Otra acepción es que un modelo es una persona que porta vestimentas en una pasarela o que posa para un artista. Otro significado es que un modelo es una reproducción de un proyecto en una escala diferente. En el contexto de este libro, se define un modelo como: una representación abstracta que caracteriza el sistema. Para el caso de los modelos matemáticos, los elementos del sistema se representan por variables y las interacciones por ecuaciones o relaciones lógicas. El modelo viene a ser la representación con la cual se estudiará el comportamiento del sistema. Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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Luego, se puede afirmar que un modelo matemático es una herramienta que permite a través de su experimentación obtener información que no es posible conseguirla sin el modelo. Una condición necesaria de un modelo matemático es que debe ser suficientemente detallado para que describa el sistema o la situación del mundo real y lo suficientemente simple para permitir el análisis y su solución. Si el modelo es extremadamente detallado se corre el riesgo que el análisis y su solución sean difíciles de realizar, por el contrario si es excesivamente simple, los resultados pueden ser imprecisos, no aportan información o simplemente son triviales. 1.3 Tipos de modelos matemáticos De acuerdo a la naturaleza de las variables y ecuaciones se pueden tener diferentes tipos de modelos, cuya clasificación hace referencia a alguna cualidad específica, de este modo se tiene: 1. Según la estructura del modelo estos se pueden clasificar en: modelos analíticos y de simulación. Los modelos analíticos están representados por ecuaciones, mientras que un modelo de simulación es una representación matemática-lógica, no necesariamente a través de ecuaciones, de cómo se comporta un sistema. Por otra parte los modelos analíticos pueden tener una solución analítica, es decir una expresión matemática o una solución obtenida a través de métodos numéricos. Un ejemplo de modelo analítico, en mecánica clásica, lo constituye la expresión

∑ F = ma ,

que para ciertas aplicaciones es posible resolver y encontrar la expresión que describe el comportamiento de la partícula. Para otros casos es necesario integrar la ecuación o las ecuaciones a través de métodos numéricos. En general, se usan modelos de simulación cuando no es posible modelar analíticamente un sistema debido a su gran número de componentes y relaciones entre las partes. También se utiliza la simulación, aún cuando se pueda representar matemáticamente un sistema pero es imposible resolver el sistema de ecuaciones, debido a su naturaleza no lineal por ejemplo. Un modelo de simulación está escrito en algún lenguaje computacional. Los modelos de simulación se pueden clasificar en dos tipos: modelos de simulación continua y de eventos discretos. Esta clasificación obedece a la forma como avanza el reloj o el tiempo en la simulación, en el caso de los modelos de eventos discretos el reloj avanza a saltos, que pueden ser regulares o según vayan ocurriendo los eventos. En el caso de los modelos de simulación continua el tiempo avanza de manera continua. Los modelos de simulación que estudiaremos en este texto son los modelos de simulación continua y se empleará la “dinámica de sistemas” para su modelamiento. 2. Según al tipo de variables estos se pueden clasificar en: aleatorios o deterministas, la definición es muy simple, serán aleatorios aquellos modelos que contienen variables aleatorias y deterministas los que no incluyen este tipo de variables. Hace unos 30 años, los modelos deterministas se podían definir por su capacidad de descripción exacta, hoy se sabe que modelos deterministas producen aleatoriedad, tal es el caso de ciertos modelos dinámicos no lineales. Es por esto que la definición propuesta solo hace insistencia en la cualidad de las variables que lo componen. Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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Una empresa que manufactura en un periodo la cantidad de productos que ha vendido en los periodos precedentes se define como una producción a pedidos, en este caso un modelo determinista que describa los ingresos de la empresa puede ser adecuado. Sin embargo, una empresa que produce y luego vende, sus ingresos pueden ser modelados a través de un modelo aleatorio. 3. Según el propósito del modelo se pueden especificar como: optimizantes y descriptivos, son optimizantes aquellos modelos donde se busca una solución que produzca un valor extremo en una función de criterio u objetivo y descriptivos aquellos modelos que solo describen el •

comportamiento del sistema. Un modelo del tipo x = f (x ) corresponde a un modelo descriptivo y un modelo del tipo:

Max f ( x ) s.a.



g( x) ≤ b Es un modelo optimizante. Donde f(x) representa la función de criterio u objetivo y g(x) ≤ b corresponde a un conjunto de condiciones que deben cumplir los valores de la variables x. 4. Según la relación entre las variables se pueden clasificar como lineales y no lineales. En los modelos lineales los exponentes de las variables tienen el valor de la unidad y no hay multiplicaciones entre las variables. También, tienen la propiedad que una modificación en los valores de las variables o parámetros la respuesta del modelo es proporcional a tales cambios. Los modelos no lineales no cumplen ninguna de las propiedades anteriores. Es importante señalar que siempre se prefiere un modelo lineal a uno no lineal, en general son siempre más fácil de resolver. Esto siempre y cuando se represente adecuadamente el problema en estudio. 5. Según el tipo de variables, también es posible agrupar los modelos en continuos y discretos. Los modelos continuos son aquellos donde las variables pertenecen al conjunto de los números reales y en los discretos pertenecen al conjunto de números enteros. Paradójicamente, los modelos en variables enteras, son más difícil de resolver que los modelos continuos. Es por esto, que siempre se prefiere caracterizar el sistema a través de variables continuas. Por ejemplo, si se trabaja en un modelo que tiene por objetivo determinar el nivel de producción de un artículo de bajo costo o masivo, la variable que define el número de artículos será continua a pesar que en estricto rigor la variables es discreta. En el caso que los “artículos” fueran aviones, por ejemplo, en ese caso ya no es posible considerarla como continua. Pues, si el modelo continuo indica un valor de 5,5, los resultados para la compañía son bastante diferentes si se producen 5 o 6 aviones. 6. Según el tipo de ecuaciones y tipo de variables se pueden clasificar en dinámicos y estáticos. Los modelos dinámicos están expresados en ecuaciones diferenciales o en ecuaciones de diferencias, sus variables evidentemente son funciones de una o más variables, particularmente el tiempo es un variable clásica de estos modelos. En los modelos estáticos las variables no dependen de otras variables y la solución de estos modelos corresponden a valores, en el caso de los dinámicos las soluciones corresponden a funciones. Por ejemplo un Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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modelo de programación lineal corresponde a un modelo estático y un modelo del tipo •

x (t ) = f ( x (t )) es un modelo dinámico. 2. Propuesta metodológica para la construcción de modelos matemáticos en el ámbito de la ingeniería industrial En esta sección se presenta una metodología para la construcción de modelos matemáticos en el supuesto que un analista interactúa con un cliente o usuario que demanda sus servicios. 2.1 La definición del problema y del sistema La primera etapa consiste en la definición del problema. Es decir, definir precisamente lo que se debe resolver o hacer para solucionar el conjunto de síntomas que manifiesta el cliente o usuario en la interacción con el analista. Es posible hacer una analogía al hecho cuando un paciente visita por primera vez a un médico, en este caso el rol del médico es antes que nada definir cuál es el origen de la sintomatología que el paciente señala. Si no es suficiente el relato del paciente entonces el médico solicita exámenes, luego con todos estos antecedentes se define cual es la enfermedad del paciente y se define un tratamiento. Algo similar ocurre en el dominio de la consultoría en ingeniería. El cliente relata la serie de problemas que ocurren en la organización y el analista realiza consultas, solicita antecedentes, estadísticas, etc. Luego, se define el problema, la diferencia con el caso del médico es que el diagnóstico y la definición del problema se efectúa en acuerdo con el cliente. Una vez que el problema está definido, se determina el sistema: las fronteras, sus elementos e interacciones. 2.2 Pertinencia de la aplicación de modelos matemáticos Esta etapa consiste en establecer si es pertinente la aplicación de modelos matemáticos al problema definido. En algunos casos la respuesta es obvia o la experiencia del analista permite dar una respuesta. Sin embargo, para otros tipos de problemas no es así. Por ejemplo, la asignación de tareas en una oficina para el control del estrés laboral, en este caso la respuesta no es inmediata. La estrategia que se propone es efectuar una búsqueda bibliográfica, hoy en día con la disponibilidad de internet esto es relativamente fácil de realizar. De este modo, de existir modelos matemáticos, se pueden conocer experiencias, tantos académicas como de aplicaciones a casos prácticos. Ahora bien, ¿qué podemos concluir cuando no se encuentra ninguna referencia? en esta situación se debe acudir a la experiencia del o los analistas y al sentido común. 2.3 Tipo de modelo Es posible distinguir los siguientes factores de los cuales depende el tipo de modelo que se va a construir: a) naturaleza del problema: se entiende por esto si el problema es determinista o aleatorio, si hay fenómenos no lineales, el tamaño del problema, si es necesario recurrir a la simulación, entre otras características.

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b) tipo de decisiones que va apoyar: este factor es determinante en el tipo de modelo a construir. Por ejemplo, si el modelo será empleado cotidianamente para decisiones operacionales, generalmente este tipo de decisiones requiere que el modelo proporcione resultados de manera rápida, por lo tanto el tipo de modelo debe ser tal que satisfaga esta condición. Al contrario, si el modelo va apoyar decisiones de inversión de largo plazo, en este caso el procesamiento puede tomar más tiempo que en el caso anterior. c) recursos monetarios: hay modelos que requieren información que puede tener un costo muy alto y si el cliente no posee el financiamiento para ello, se debe orientar la modelización hacia alternativas más baratas. Por ejemplo, en un modelo de optimización se requiere la demanda de un conjunto de bienes. Se sabe que realizar un estudio de mercado para este objetivo puede ser muy caro, en este caso, una alternativa podría ser considerar la demanda como aleatoria y bajo ciertos supuestos trabajar con esta condición. d) tiempo disponible que posee el cliente para la construcción del modelo: por ejemplo, puede ocurrir que obtener la información que requiere un modelo sea mayor que el tiempo disponible, luego se debe cambiar el tipo de modelo. 2.4 Construcción del modelo Una vez definido el problema y el tipo de modelo se procede a la construcción de él. La primera etapa consiste en definir las variables y parámetros del modelo, luego si el modelo es analítico se construyen las ecuaciones y si es de simulación, en general se confecciona un diagrama de las relaciones entre las variables, se estudian las diferentes distribuciones de probabilidades a la que pueden asociarse las variables aleatorias del modelo y luego se procede a la programación del modelo en algún lenguaje apropiado. Las variables a definir corresponden a aquellas que caracterizan las partes y describen el comportamiento del sistema o corresponden a las variables de alguna función de criterio a optimizar. La definición de las variables debe ser rigurosa, en el sentido, que deben expresar precisamente lo que representa: xj(t) cantidad de cloruro de sodio en el estanque j en el instante t, por ejemplo. Con respecto a la construcción de las ecuaciones, dependiendo del tipo de modelo es la forma como se aborda esta etapa. En el caso de un modelo dinámico, se debe distinguir si el tiempo es discreto o continuo. En el primer caso, se sugiere formular la pregunta ¿Cuál es el valor de la variable en el periodo n+1 si se conoce su valor en el periodo n? y si el tiempo es continuo la pregunta es ¿Cómo varía la variable? ¿Qué la hace aumentar y que la hace disminuir? Un aspecto que se debe considerar es la existencia de leyes que se puedan aplicar a la situación problema. Sin embargo, es común que los problemas abordados en ingeniería industrial no presenten leyes específicas, como ocurre en otros ámbitos de la ingeniería y de la ciencia. 2.5 Validación Una vez construido el modelo éste debe resolverse, los métodos empleados en esta etapa dependen del tipo de modelo, en el caso de un modelo analítico, este puede tener también una solución analítica, en el caso de los modelos de simulación, los resultados se obtienen a través de lo que se denominan las corridas de simulación y corresponden a las salidas de un programa computacional. Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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El análisis de los resultados permite determinar si el modelo es adecuado para la situación problema. Esto da origen a la validación del modelo. Las técnicas empleadas son variadas y en muchos casos se emplean de manera conjunta, sin pretender ser exhaustivo se mencionan algunas: 1. En los casos en que es posible comparar alguna serie temporal de alguna variable del modelo con una serie observada del fenómeno, se estudia la diferencia estadística entre ellas. 2. Se somete el modelo a valores de entrada que proporcionan resultados conocidos, por ejemplo se eligen valores extremos, ceros o valores muy grandes de algunos de los parámetros y se comparan las salidas del modelo con los resultados esperados. 3. En algunos casos se debe recurrir a expertos, en algún aspecto específico del modelo, para que dé su opinión, de los resultados obtenidos. 2.6 Aplicación del modelo Una vez que el modelo ha sido validado, se procede a la experimentación con el modelo, se suponen diversos escenarios, se modifican parámetros y condiciones iniciales, se sensibilizan las soluciones, etc. Luego, para la aplicación del modelo, se debe implementar computacionalmente el modelo en la organización y construir las interfaces necesarias para una explotación amigable del modelo, corresponde a un trabajo de ingeniería informática. 3. Ejemplos de modelos dinámicos En esta parte se presentan ejemplos de modelos dinámicos, que es la temática central del texto, se comienza con ejemplos simples y finalmente se presenta un caso de modelamiento más complejo, que corresponde a la epidemia del SIDA. 1. Describir el comportamiento del saldo de una cuenta de ahorro que se capitaliza mensualmente a una tasa de interés r, cuya cantidad inicial es S pesos. Suponga que no se realizan depósitos ni retiros. La primera etapa en la construcción de un modelo consiste en comprender perfectamente la situación problemática. Describir el comportamiento del saldo significa responder a la pregunta ¿cuál es el saldo de la cuenta en cualquier instante del tiempo? Con respecto al tiempo, debido a que las capitalizaciones se realizan por períodos, conviene considerar la evolución del tiempo de manera discreta. Definición de variables y parámetros: k: instante 0,1,2…. (La distancia temporal entre k y k+1 es de un mes) x(k): saldo en pesos en el instante k. r: tasa de interés mensual. S: saldo al comienzo del periodo 0. Se define un período inicial 0 Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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Modelo: De acuerdo a lo definido se tiene: 𝑥 𝑘 + 1 = 1 + 𝑟 𝑥(𝑘) Solución:

𝑥 𝑘 = (1 + 𝑟)! 𝑆

De este modo, basta definir el período k para determinar el saldo. 2. El mismo caso anterior pero se supone que se retira una cantidad R todos los meses. En esta situación se debe definir si la cantidad retirada se realiza inmediatamente después de la capitalización o antes. a) Inmediatamente después de la capitalización: 𝑥 𝑘 + 1 = 1 + 𝑟 𝑥 𝑘 − 𝑅 b) Antes de la capitalización: 𝑥 𝑘 + 1 = 1 + 𝑟 (𝑥 𝑘 − 𝑅) 3. Una versión diferente del ejemplo anterior es cuando la capitalización se asume continua a una tasa de interés r. Se supone que no hay retiros y la cantidad inicial es S. Definición de variables y parámetros x(t) el saldo en el instante t. r: tasa de interés. S: saldo en el instante t =0. Modelo En este caso es una ecuación diferencial: 𝑑𝑥(𝑡) = 𝑟𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 Solución: 𝑥 𝑡 = 𝑆𝑒 !" Expresión que permite determinar el saldo para todo instante t. Observación: Si en los ejemplos anteriores se incorporan retiros o depósitos cuyos montos y periodicidad fueran aleatorios, puede ocurrir que no sea posible construir un modelo analítico. En ese caso, un modelo de simulación podría ser el apropiado para estudiar el comportamiento del saldo. Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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4. La ley de enfriamiento de Newton afirma que la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente. Representar en un modelo matemático esta afirmación. Definición de variables y parámetros: Tc(t): temperatura del cuerpo en el instante t medida en grados Celsius. Ta: temperatura del medio ambiente medida en grados Celsius. K: Constante de proporcionalidad Modelo Si se supone que la temperatura del cuerpo no modifica la temperatura del medio ambiente, el modelo es: 𝑑𝑇𝑐(𝑡) = −𝑘(𝑇𝑐 𝑡 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡 Solución: 𝑇𝑐 𝑡 = 𝑇𝑐 0 − 𝑇𝑎 𝑒 !" + 𝑇𝑎 Nótese que si la temperatura inicial (Tc(0)) es mayor o menor que la temperatura ambiente, la temperatura del cuerpo en el largo plazo será la temperatura del ambiente. 5. En un estanque que se vacía, la variación de la altura del agua en el estanque es proporcional a la raíz cuadrada de la misma altura, este fenómeno se conoce como la ley de Torriceli, construir un modelo que describa esta ley. Definición de variables y parámetros: h(t): Altura que registra el agua en el estanque en el instante t. k: Constante de proporcionalidad Modelo: 𝑑ℎ(𝑡) = −𝑘 ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 Solución: ℎ 𝑡 =

𝑘𝑡 + 2ℎ(0)! 2

6. Una colonia de bacterias tiene una tasa de natalidad y mortalidad de a y b bacterias por unidad de tiempo y población, respectivamente. Confeccionar un modelo matemático que describa el comportamiento de la población. Definición de variables y parámetros P(t): número de bacterias en el instante t. P(0): Población inicial. Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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a, b: tasas de nacimiento y muerte por unidad de tiempo y población. Modelo: 𝑑𝑃(𝑡) = 𝑎 − 𝑏 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 Solución: 𝑃 𝑡 = 𝑒 !!! ! 𝑃(0) 4. Un ejemplo de modelamiento matemático a un caso complejo En este sección se presenta la metodología aplicada a un caso real, este corresponde a la construcción de un modelo para describir el comportamiento de la epidemia del SIDA en la Región metropolitana de Chile. El primero modelo que se realizó en Chile para describir el comportamiento de la epidemia del SIDA fue a través de un proyecto FONDECYT que dirigió el profesor Pedro Gazmuri de la Pontificia Universidad Católica de Chile. En la confección del modelo, trabajaron el profesor Pedro Gazmuri, William Johnson y Miguel Alfaro (1993). Este trabajo se realizó con la colaboración directa de la Comisión Nacional del SIDA (CONASIDA) del Ministerio de Salud. El modelo desarrollado corresponde a un modelo de simulación estocástica. El modelo que se presenta en el anexo está basado en este modelo, sin embargo corresponde a un modelo dinámico expresado en 84 ecuaciones diferenciales las cuales se integran a través del método Runge-Kuta empleando SIMULINK de MATLAB. (2006). Etapa 1: Contexto y definición del problema La epidemia del SIDA, se caracteriza por poseer un largo periodo de incubación, durante el cual la persona infectada es asintomática. Luego, lo que se observa de la epidemia son los casos de SIDA y el número de personas infectadas que se han detectado a través de algún examen, por ejemplo el test de ELISA. Este es un aspecto que vuelve extremadamente peligrosa la epidemia y que complejiza el modelamiento, debido básicamente a que se desconoce el número de infectados. El virus de inmunodeficiencia humana se puede contagiar por tres vías: sexual, parenteral y perinatal. Este modelo aborda solamente la transmisión sexual como mecanismo de contagio, por ser esta la más importante a nivel nacional CONASIDA (2003). La difusión de la epidemia se realiza a través de la población sexualmente activa. Esta población está compuesta por diferentes grupos con diferentes comportamientos sexuales y se desea determinar cómo se difunde en cada uno de ellos y qué medida de control es posible aplicar. Luego es posible definir el problema como: Determinar el comportamiento del número de infectados, proyectar el número de casos de SIDA y muertos a causa de la epidemia en los diferentes grupos de riesgos. Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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Etapa 2: Pertinencia de la aplicación de un modelo matemático En un congreso de médicos del año 1993, fue presentado el primer modelo de la epidemia del SIDA, durante el transcurso de preguntas, un médico hizo la siguiente observación: “el modelo presentado no sirve de nada, es solo un juego, pues la conducta humana es impredecible”. En otros términos, la observación estaba relacionada con la pertinencia de la aplicación de modelos a la descripción de la epidemia. La respuesta del relator fue la siguiente: “¿cuánto cree usted que mide el largo de este escritorio? (mostrando la mesa desde donde se proyectaban, en ese entonces, las transparencias) si usted me dice que no puede determinarlo, alguien que no está en la sala podría pensar que el valor puede ir desde cero al infinito, pero todos los que estamos presentes sabemos que no es así y que si bien no se puede dar una respuesta exacta, se podría decir que con una probabilidad del 90% el largo se encuentra entre 1,3 y 1,5 metros, por ejemplo. Ahora bien, en el caso de la epidemia, si uno se pregunta ¿cuántas parejas diferentes por una cierta unidad de tiempo puede tener una persona? Estamos bajo la misma problemática anterior. Además, en este caso, hay estudios de comportamiento sexual de los diferentes grupos de riesgos que pueden ayudarnos a dar una respuesta aproximada. Además, el modelo no pretende determinar el comportamiento de una persona, si no que estudia al conjunto, en ese sentido los valores que se emplean corresponden a valores promedios”. Por otra parte, la literatura técnica es rica en aplicaciones de modelamiento matemático en epidemiología, para el caso del SIDA, también existían a la fecha modelos. Buscar referencias siempre es una buena alternativa para determinar si es pertinente aplicar modelos matemáticos. Además, el actual desarrollo informático tanto en software como en hardware permite la aplicación de modelos en dominios que antes no era posible realizar, debido a lo difícil que resultaba encontrar soluciones a los modelos. Etapa 3: Tipo de modelo El modelo tiene por objetivo describir la epidemia y determinar el impacto de diferentes políticas de control de la epidemia. Ahora bien, es posible encontrar diferentes tipos de modelos en la literatura que describen la epidemia, estocásticos, analíticos, simulación, dinámicos en tiempo continuo, entre otros. ¿Cómo decidir el tipo de modelo?. Veamos: Con respecto a la naturaleza del problema: es evidente que existen variables o parámetros que pueden ser considerados como aleatorios, tales como: la condición de estar o no infectado, la probabilidad de infectarse dado que la pareja sexual está infectado, el número de relaciones sexuales, etc. Sin embargo, estas mismas variables pueden ser consideradas como deterministas. Por otra parte, las variables pueden ser definidas como continuas o discretas, etc. En este estudio, la naturaleza del fenómeno no permite determinar por sí sola el tipo de modelo a desarrollar. El modelo debe medir el impacto de políticas de control de la epidemia. Luego, se puede afirmar que el tiempo para resolver el modelo tampoco constituye un factor de decisión determinante, aunque siempre es preferible un modelo con el cual se pueda experimentar a otro que puede tomar horas para obtener resultados. En este caso, uno de los problemas mayores era la disponibilidad de información con respecto a las conductas sexuales de la población, luego esta restricción orienta a una construcción que Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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permita ver el comportamiento del modelo para diferentes conjuntos de parámetros obtenidos de estudios realizados en otros países y adecuar sus valores de manera de observar los casos de SIDA en un cierto período de prueba. Para esto se propone un modelo, en ecuaciones diferenciales con un conjunto de parámetros susceptibles de adaptar al fenómeno local. También permite simular diferentes medidas de control en tiempos de proceso del modelo relativamente cortos, aproximadamente cada simulación del modelo toma 5 minutos en un procesador de doble núcleo de 2,93 GHz y 4 G en RAM. Etapa 4 Construcción del modelo 4.1 Definición de índices, parámetros y variables Grupos de riesgos (g): • Hombres homosexuales: hombres que tienen relaciones exclusivamente con hombres, sin distinguir si su pareja es homosexual o bisexual. Además puede tener relaciones con el grupo de hombres trabajadores sexuales (g = 1). • Hombres bisexuales: hombres que establecen contactos con hombres homosexuales y bisexuales sin distinción, con trabajadores y trabajadoras sexuales y con mujeres (g = 2). • Hombres heterosexuales: A cada tipo de conducta sexual de este grupo se le asocia por separado una tasa de adquisición de trabajadoras sexuales y de mujeres (g = 3). • Hombres Trabajadores sexuales: hombres que establecen contactos sexuales exclusivamente con hombres homosexuales y bisexuales (no existe relación entre trabajadores sexuales y mujeres). El número de parejas queda determinado por el número máximo de clientes con los cuales puede tener contacto por período (g = 4). • Mujeres Trabajadoras sexuales: mujeres que establecen contactos con hombres heterosexuales y bisexuales sin hacer distinción. Análogamente a los trabajadores sexuales, el número de parejas queda determinado por la cantidad máxima de clientes con los que puede tener contactos por unidad de tiempo (g = 5). • Mujeres heterosexuales: mujeres que establecen relaciones sexuales con hombres heterosexuales o bisexuales, sin distinguirlos (g = 6). Niveles de conducta sexual son (i): Alto, medio, bajo Estados que se puede encontrar una persona (e): • Susceptibles: Se llaman susceptibles todas aquellas personas que se encuentren sexualmente activas, para el caso de este estudio se consideraron personas entre 15 y 59 años, que no se encuentren infectadas y que se relacionan en forma aleatoria con una persona de entre los distintos grupos de riesgo, según su conducta sexual y grupo de riesgo al cual pertenece. Por ejemplo, no es posible que un hombre heterosexual tenga relaciones sexuales con un hombre homosexual (e = 0). • Estado 1 de la infección: En este estado se encuentran aquellas personas que han sido contagiadas recientemente, de acuerdo al desarrollo de esta enfermedad el paciente no presenta síntomas y además no puede ser diagnosticado, pues el organismo no ha creado anticuerpos, lo que imposibilita la realización de pruebas de diagnostico que permitan develar la infección. En este periodo el individuo es altamente infeccioso. Esta etapa de la enfermedad tiene una duración media de 6 meses (e = 1). Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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Estado 2 de la infección del VIH: En este estado se encuentran los individuos que se han seroconvertido, es decir, su cuerpo ha empezado a crear anticuerpos contra la enfermedad, por lo cual es posible mediante una prueba, como el test ELISA, diagnosticar la enfermedad. En este estado todavía no se presentan síntomas y es la etapa de menor infecciosidad. Este periodo dura en promedio 10 años siendo la etapa más larga de la enfermedad (e = 2).. Estado 3 de la infección del VIH: En este estado se encuentran los individuos que estan finalizando la etapa asintomática, por lo cual podrían presentar algunos síntomas, generalmente este periodo dura 1año y 8 meses (e = 3). SIDA: En este estado se encuentran aquellos individuos que presentan enfermedades oportunísticas, esta corresponde a la última etapa de la enfermedad y dura alrededor de 1 año y 3 meses (e = 4). Muertos por SIDA: En este estado se encuentran aquellas personas que murieron a causa del SIDA (e = 5).



X g ,i ,e : Variable de estado que representa el número de personas del grupo g, conducta sexual i, que se encuentran en el estado e de la enfermedad en un tiempo t 4.2 Ecuaciones La dinámica de las distintas poblaciones es modelada a través de un grupo de ecuaciones no lineales, las cuales describen el cambio en cada grupo g,i a través del tiempo, la ecuación 1 describe la variación de la población susceptible, la cual varia por el inicio de personas a la vida sexual, las inmigraciones a la región metropolitana, y por el paso a la etapa siguiente, causado por la infección con VIH de individuos en cada periodo. Las etapas 2 a 4 describen los cambios en los distintos estados de la infección por VIH, cada etapa aumenta por el ingreso de individuos desde la etapa anterior y disminuye por el paso de sujetos al estado siguiente de la enfermedad, por muertes ajenas a la enfermedad y las emigraciones. El paso de un estado infeccioso al siguiente esta dado por la evolución natural de la enfermedad. La ecuación 5 es similar a las anteriores solo que representa el estado final de la enfermedad causada por el VIH, el SIDA, nivel que aumenta por el ingreso de sujetos desde la etapa anterior y disminuye por la muerte de individuos a causa de esta enfermedad. La ecuación 6 describe los cambios del nivel de individuos muertos a causas del SIDA.

dX g ,i ,0 dt dX g ,i ,1 dt dX g ,i , 2 dt dX g ,i ,3 dt

= β g ,i − X g ,i ,0 (µ + Pc g ,i )



= X g ,i ,0 Pc g ,i − X g ,i ,1 (µ + Y1 ) = X g ,i ,1Y1 − X g ,i , 2 (µ + Y2 )



= X g ,i , 2Y2 − X g ,i ,3 (µ + Y3 )

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dX g ,i , 4 dt dX g ,i ,5 dt

= X g ,i ,3Y3 − αX g ,i , 4



= αX g ,i , 4



Donde: : Tasa de ingreso a la población de susceptibles para cada grupo y tipo de conducta sexual en el tiempo “t”. (se hace el supuesto que el total de personas se distribuye en los grupos de riesgo de acuerdo al estado del sistema en ese momento) Pc g ,i : Probabilidad de infección para una persona del grupo “g” y comportamiento “i” (personas “g,i”) en un período µ : Tasa de muertes o egresos de la población por causas ajenas al SIDA (muertes naturales y emigraciones). : Duración de cada una de las tres etapas de la infección (e=1,2,3). Ye α : Duración de la enfermedad en la etapa SIDA. La probabilidad de infección de una persona de un grupo y comportamiento determinado, en un periodo es una variable estocástica que depende de varias variables, entre ellas el número de personas infectadas en cada grupo, el número de parejas sexuales, la probabilidad de contagio por coito etc. Esta probabilidad se determina de la siguiente forma:

β g ,i

Pc g ,i = 1 − ∏ Pg ,i , go go

Donde:

Pg ,i , go : Probabilidad de no infectarse de una persona del grupo “g,i” con una persona del grupo “go”, dado una cierta cantidad de compañeros “ C g ,i , go ”. C g ,i , go

: Cantidad de compañeros sexuales que tiene un individuo del grupo “g,i” .



Pg ,i , go = Q

C g , i , go



Donde: Q : Probabilidad de no infectarse de una persona del grupo “g,i” al tener como pareja a una persona del grupo “go”. La probabilidad de no infectarse que tiene una persona del grupo “g,i” de no infectarse de una persona del grupo “g,o” es igual a la probabilidad de seleccionar a una pareja que no se encuentra infectada más la probabilidad de seleccionar a una pareja que se encuentre infectada y no infectarse Introducción al Modelamiento Matemático Miguel Alfaro

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Q g ,i , go =

∑X

go ,i , 0

NC go,i ,0, g

i

5

∑∑ X i

go ,i ,e

NC go,i ,e, g

e =0

∑X

5

+∑ e =1

go ,i ,e

NC go,i ,e, g

i

5

∑∑ X i

go ,i ,e

(1 − β

go , g ,e

)

NC go,i ,e, g

e =0

Donde:

NC go,i ,e, g : Es el número de compañeros por período del tipo “go,e” con comportamiento “i”, con individuos del grupo “g”.

β go, g ,e : Probabilidad de infección por contacto de un individuo del grupo “g” con una persona infectada del grupo “go, e” (estados de infectados 1,2,3).

[

(

)

β go, g ,e = 1 − (1 − τ sce )z (1−d ) (1 − τ cce )zd 1 − (1 − h )2 + (1 − τ sce )z (1 − h )2

]

Esta probabilidad corresponde a la probabilidad de que alguna de las parejas utilice condón más la probabilidad de que ningún miembro de la pareja lo utilice. Donde: z d

τ sce τ cce h

: El número de relaciones sexuales por pareja : Porcentaje de uso del preservativo con relación al número de coitos por pareja sexual : Probabilidad de contagio en un contacto sin uso de condón, dado que el infectado se encuentra en la etapa “e”. : Probabilidad de contagio en un contacto con uso de condón, dado que el infectado se encuentra en la etapa “e”. : Porcentaje de la población que frecuentemente aplica la práctica de uso de condón.

τ sce = Pr{ruptura del preservativo}* τ sce Los valores para las distintas poblaciones de grupos de riesgo y los valores de los parámetros de la epidemia, estos fueron obtenidos a través del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) y de trabajos precedentes, para más detalles ver Alfaro 93 y Alfaro 2006.

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