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Apuntes de Matemáticas Financieras

Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez

 

 

Interés compuesto: El tiempo entre dos fechas en las que los intereses se agregan al capital se llama periodo de capitalización, y el número de veces por año en que los intereses se capitalizan se llama frecuencia de conversión y de denota con la “p”. A la frecuencia de conversión se le conoce también como frecuencia de capitalización de intereses. P=1 P=2 P=3 P=4 P=6 P = 12 P = 13 P = 24 P = 52 P = 360 0 365

Para periodos anuales, los intereses se capitalizan cada año. Si los periodos son semestrales Para periodos cuatrimestrales. Para periodos trimestrales. Cuando son periodos bimestrales Para periodos de un mes. Si los periodos son de 28 días. Para periodos quincenales Para periodos semanales Si son periodos diarios.

M = Ceit M = C(1 + i / p)tp Donde: t = periodo en años tp = es el número de periodos i = La tasa de interés anualizada en “p” periodos por año. Ejemplo: Inversión de un capital para monto preestablecido. (Villalobos, 2007, pág. 171) a) ¿Qué capital debe invertirse ahora al 12.69% anual capitalizable por bimestre para tener $40,000 en 10 meses? b) ¿A cuánto ascienden los intereses? Datos: El plazo “t” debe estar en años, por lo que para expresar 10 meses en estas unidades se divide entre 12, o sea, el número de meses que tiene un año. En consecuencia, el plazo en años es t = 10 / 12. La frecuencia de conversión o capitalización de intereses es p = 6 porque 6 son los bimestres que tiene un año. Entonces: tp = (10/12)6 = 5 bimestres. El monto es M = $40,000, la tasa de interés es i = 0.1269 o 12.69% anual, capitalizable por semestres, y la incógnita es C, la cual se despeja de la igualdad que resultó de sustituir estos valores en la ecuación: Solución: Fórmula: M = C(1 + i/p)tp 40,000 = C(1 + (0.1269 / 6))5   39

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  40,000 = C(1.02115)5 40,000 = C(1.110318838) C = 40,000 / 1.110318838 C = $36,025.68797 Solución b) Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital: I=M–C I = 40,000 – 36,025.69 I = $3,974.31 Ejemplo: Monto que se acumula al invertir un capital. El capital es C = $65,000, la tasa anual es i = 0.10, la frecuencia de conversión es p = 2 por que el año tiene dos semestres, t = 3 porque el capital se acumula tres años, el número de periodos en el plazo es tp = 6, entonces el monto según el teorema es: (Villalobos, 2007, págs. 170-171) R = $87,106.22 Ejemplo: Tasa de interés para duplicar un capital. ¿Con qué tasa de interés anual capitalizable por bimestres se duplica un capital en 3 años? (Villalobos, 2007, pág. 172) R = 23.55% Ejemplo: Valor presente de un crédito e intereses. El 25% del precio de un mueble de sala se paga con un documento con valor nominal de $4,000 y vencimiento a 30 días. Un 30% se liquida mediante un pago a 60 días de plazo, otro 30% con un documento a 90 días de la compra y el 15% restante se dejan como anticipo. Obtenga: a) El precio del mueble. b) El anticipo y los otros dos pagos. c) El cargo total por intereses. Suponga que la mueblería carga el 22.20% anual compuesto por mes en sus ventas a crédito. (Villalobos, 2007, págs. 173-174) Solución inciso a: C1 = $3,927.344134 Entonces: Precio = $15,709.38 Solución del inciso b: “el anticipo es el 15% de este precio”. C2 = 4,712.81 Entonces, el segundo pago es el valor futuro de este capital, es decir:   40

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  M2 = $4,888.80 El valor presente del último pago es igual al del anterior y por tanto, este pago es: M3 = $4,979.24 Finalmente, solución del inciso c), Los intereses son la diferencia entre el total pagado y el precio del mueble: I = $512.07 Note que la tasa de interés global es: G = 3.2787% Ejemplo: Plazo en inversión de un capital. ¿Qué día deberá invertir $ 10,000 el ingeniero Chávez para disponer de $10,512 el 11 de mayo? Suponga que la inversión genera intereses de 13% compuesto por semana. Reordenando: (1.0025)x = 1.0512 Esta ecuación se resuelve con tablas financieras o con logaritmos naturales. Se toma el logaritmo natural a los dos lados. (Villalobos, 2007, págs. 172-173) Ln(1.0025)x = Ln(1.0512) Fórmula de logaritmo natural: Ln(An) = (n)Ln(A) X = 19.99790329 Lo podemos redondear a 20 semanas. O multiplicarlo por 7 para convertirlo en días. Redondeado serían 140 días.

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