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INDICE I.

INTRODUCCION .................................................................................................... 2

II. CONTENIDO............................................................................................................ 3 1.

INTEGRAL TRIPLE ............................................................................................. 3 1.1 INTEGRAL TRIPLE DE f SOBRE R ............................................................... 4 1.2 CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES .................. 4 1.3 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS (X,Y) A COORDENADAS POLARES ( r ,  ) ................................................................... 7 1.4 COORDENADAS CILÍNDRICAS .................................................................... 8 1.5 COORDENADAS ESFÉRICAS ........................................................................ 8

2.

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES ......................................... 9 2.1 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE INTEGRALES TRIPLES ....................... 10

3.

TEOREMA DE STOKES ................................................................................... 13 3.1 DEFINICION DEL TEOREMA DE STOKES ................................................ 13 3.2 PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................... 13

4.

TEOREMA DE GREEN ..................................................................................... 17 4.1 DEFINICION DEL TEOREMA ....................................................................... 17 4.2 PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................... 17

III.

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 20

1

I.

INTRODUCCION

La extensión de la integral doble a la integral triple es análoga a la extensión de la integral simple a la integral doble. El tipo de región más simple en R3 es un paralelepípedo rectangular limitado por seis planos. Así como una integral doble es igual a una integral iterada doble, la integral triple es igual a una integral iterada triple. Cuando s es el paralelepípedo rectangular descrito anteriormente, y f es continua en S se tiene entonces:

∭ f(x,y,z) dV = ∫a1 ∫b1 ∫c1 f(x,y,z) dz dy dx

También, un campo vectorial asocia un vector con un punto del espacio. Por ejemplo, si f es una función vectorial, definida en una bola abierta b de r3 tal que F(x,y,z) = M(x,y,z,)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k

Entonces f asocia a cada punto (x,y,z) de B un vector y F recibe el nombre de campo vectorial. Este campo vectorial tiene como dominio un subconjunto de r3 y como contradominio un subconjunto de v3. Si el dominio de un campo vectorial es un conjunto de puntos de un plano y su contradominio es un conjunto de vectores de v2 entonces el campo vectorial tiene una ecuación de la forma F(x,y) = m(x,y)i + n(x,y)j.

2

II.

CONTENIDO

1. INTEGRAL TRIPLE Las siguientes figuras ilustran algunos ejemplos de como se pueden efectuar tales subdivisiones en virtud de la propiedad aditiva de conjuntos: La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Subdividimos el espacio en cajas rectángulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. z

z = c1

c1

Bi R

co

b0

b1

y

0 a0

a1 x

Designaremos con V(Bi) el volumen de la i-ésima caja Bi. Elegimos un punto Pi(i, i, i) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria.

n

La suma

 f (i, i, i).V(Bi) es una aproximación de la integral triple. i 1

La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. 3

Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este límite lo llamaremos la

1.1 INTEGRAL TRIPLE DE f SOBRE R La expresión: se utiliza para representar el límite. Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas. Para

el

caso

de

la

caja

rectángular

R

obtenemos:

a1 b1 c1

 f (x, y, z).dV  a b c f (x, y, z).dz.dy.dx 0

0

0

R Suponemos ahora que una región S está limitada por los planos x = a0; x = a1; y = b0; y = b1 y por las superficies z = r(x,y), z = s(x,y). La integral triple se puede definir de igual forma

TEOREMA Sea S una región definida por las desigualdades: S:{P(x,y,z)/a  x  b; p(x)  y  q(x); r(x,y)  z  s(x,y) donde las p ; q ; r y s son continuas. Si f es una función continua en S, tenemos:

 S

f ( x , y, z).dV 

a1 q ( x ) s ( x , y )

a p r 0

(x)

f ( x , y, z ).dz.dy.dx

( x , y)

Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables.

1.2 CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MULTIPLES

Sea

 x  (u, v) f ( x , y ). dx . dy de donde (1) y que esta transformación posee una   y   ( u , v )  R

u  u ( x , y ) inversa única dada por:  por lo que el Jacobiano de (1)  v  v( x , y) Al recinto R del plano x, y le corresponde un recinto R en el plano u, v.

4

Haciendo entonces una partición en R con rectas paralelas a los ejes u, v; le corresponde en el plano x, y una partición de R por curvas continuas dadas por (1).

v

y R Ri Ri R

u x

A un subrecinto Ri de R le corresponde un subrecinto Ri de R. Queremos encontrar como se transforma cada elemento rectangular Ri en el elemento curvilíneo Ri correspondiente. Para mejor ilustración ampliaremos el dibujo de ambos recintos:

y

x=(ui+h; vj+k) y=(ui+h,vj+k)

vj+k Ri

Ri

k

x=(ui+h; vj) y=(ui+h,;v)

v

v h x=(ui; vj+k) y=(ui, vj+k)

u

ui

ui + h

x=(ui; vj) y=(ui, vj)

x

Buscamos la relación que existe entre las áreas de Ri y Ri ; para lo cual podemos considerar a Ri compuesto por dos triángulos iguales; lo mismo que a Ri.

5

Para una partición con   suficientemente pequeña, podemos considerar a los triángulos curvilíneos de Ri como planos, siendo el área de cada uno de ellos:

 (u i , v, ) (u i  h, v, ) (u i , v,  k )   (u i , v, ) h.u (u i , v, ) k.v (u i , v, )  A( R ) 1  1   (u i , v, ) (u i  h, v, ) (u i , v,  k )  (u i , v, ) h. u (u i , v, ) k. v (u i , v, ) 2 2 2  1   1  1 1 0 0 Esta ultima expresión resulta de restar a los elementos de la segunda y tercera columna, los de la primera y aplicando Taylor (despreciando los términos de orden superior al primero) es:

Desarrollando por los elementos de la tercera fila, es:

A(R ) 1  h.u (u i , v j ) k.u (u i , v j )  h.k    2 2 h. u (u i , v j ) k. u (u i , v j ) 2 A(ri) = h . k . J = u . v . J = A(Ri) J

 u (u i , v j ) u (u i , v j )  h.k (, ) h.k (, )  J  (u , v )  (u , v )  2 (u, v) 2 (u, v) u i j   u i j

(,  ) Recordando la definición de integral ( u , v)

doble n f ( x , y ) dx . dy  lim  f (xi , yi ).A(ri) y como f(x,y) = f[(u,v); (u,v)] = F(u,v) será    0 i 1 R

 (,  )

 f ( x, y)dx.dy   F(u, v).J.du.dv   F(u, v).  (u, v) .du.dv R

R

R

con lo que hemos obtenido la relación que liga las variables (x,y) con (u,v). en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.

6

1.3 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS CARTESIANAS (x,y) A COORDENADAS POLARES ( r ,  )

3

r

y

2

1

r

r32 r1

r=r1

4

1  1

2

3  4



x r=r2 r=r3

y P(x,y)

0