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Formato Integración de funciones trigonométricas Datos del estudiante

Nombre: Matrícula: Nombre de la Evidencia Integración de funciones trigonométricas de Aprendizaje: Fecha de entrega: Nombre del Módulo:

Calculo integral V1

Nombre del asesor:

Para realizar esta Evidencia de Aprendizaje es necesario que hayas comprendido los contenidos que se te presentaron en la Unidad 1.

Instrucciones: 1. Obtén la integral de las siguientes funciones trigonométricas.

Función 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 Usar la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = =∫

1−cos⁡(2𝑥) 2

1 − cos⁡(2𝑥) 𝑑𝑥 2

Sacar la constante: ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 ∙ ∫ 1 − cos(2𝑥) 𝑑𝑥 2

Aplicar la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

1 = (∫ 1𝑑𝑥 − ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥) 2 ∫ 1𝑑𝑥 Integral de una constante: ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 =1∙𝑥 Simplificando =𝑥 ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥 Aplicar integración por sustitución: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, ⁡𝑢 = 𝑔(𝑥) ∫

cos(𝑢) 𝑑𝑢 2

Sacar la constante ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 ∙ ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 2

Aplicar la regla de integración ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 1 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 2 Sustituir en la ecuación 𝑢 = 2𝑥 1 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2 1 1 = (𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) 2 2 Agregando constante a la solución =

𝟏 𝟏 (𝒙 − 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)) + 𝑪 𝟐 𝟐

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

Función 2 ∫ cos2 (3𝑥) 𝑑𝑥 Usar la siguiente identidad: 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = =∫

1+cos(2𝑥) 2

1 + cos⁡(2 ∙ 3𝑥) 𝑑𝑥 2

Sacar la constante: ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 ∙ ∫ 1 + cos(2 ∙ 3𝑥) 𝑑𝑥 2

Aplicar la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 1 = (∫ 1𝑑𝑥 + ∫ cos⁡(2 ∙ 3𝑥)𝑑𝑥) 2 ∫ 1𝑑𝑥 Integral de una constante: ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 =1∙𝑥 Simplificando =𝑥 ∫ cos⁡(2 ∙ 3𝑥)𝑑𝑥 Aplicar integración por sustitución: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, ⁡𝑢 = 𝑔(𝑥) Sustituir: 𝑢 = 2 ∙ 3𝑥 𝑑 (2 ∙ 3𝑥) 𝑑𝑥 Sacar la constante (𝑎 ∙ 𝑓)′ = 𝑎 ∙ 𝑓′ =2∙3

𝑑 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑

Aplicar la regla de derivación 𝑑𝑥 (𝑥) = 1 =2∙3∙1 Simplificando =6 © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

⟹ 𝑑𝑢 = 6𝑑𝑥 1 ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 6 1 = ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 6 =∫

cos(𝑢) 𝑑𝑢 6

Sacar la constante: ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 ∙ ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 6

Aplicar la regla de integración ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 1 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 6 Sustituir en la ecuación 𝑢 = 2 ∙ 3𝑥 1 = 𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 3𝑥) 6 Simplificando 1 = 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 6 1 1 = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(6𝑥)) 2 6 Agregando constante a la solución =

𝟏 𝟏 (𝒙 + 𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒙)) + 𝑪 𝟐 𝟔

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

Función 3

∫ sen3 (𝑥) 𝑑𝑥 Aplicando la siguiente propiedad algebraica: 𝑥 𝑎 = 𝑥 𝑎−1 ∙ 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 Usar la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥))𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 Aplicar integración por sustitución: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, ⁡𝑢 = 𝑔(𝑥) Sustituir: 𝑢 = cos⁡(𝑥) 𝑑 (cos(𝑥)) 𝑑𝑥 Aplicar la regla de derivación:

𝑑 (cos⁡(𝑥)) 𝑑𝑥

= −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= −𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⟹ 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ 𝑑𝑥 = −

1 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= ∫(1 − 𝑢2 )𝑠𝑒𝑛(𝑥) (−

1 ) 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

= ∫ 𝑢2 − 1𝑑𝑢 Aplicar la regla de la suma: ∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 1𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 Aplicar la regla de la potencia: ∫ 𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = =

𝑥 𝑎+1 ,⁡⁡⁡𝑎 𝑎+1

≠ −1

𝑢2+1 2+1

Simplificar

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=

𝑢3 3

∫ 1𝑑𝑢 Integral de una constante: ∫ 𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 =1∙𝑢 Simplificar =𝑢 =

𝑢3 −𝑢 3

Sustituir en la ecuación 𝑢 = cos(𝑥) (cos(𝑥))3 = − cos(𝑥) 3 Simplificando =

𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) − cos(𝑥) 3

Agregando constante a la solución =

𝒄𝒐𝒔𝟑 (𝒙) − 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪 𝟑

Función 4

∫ sec 4(2𝑥) 𝑑𝑥 Aplicar integración por sustitución: ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, ⁡𝑢 = 𝑔(𝑥) Sustituir: 𝑢 = 2𝑥 𝑑 (2𝑥) 𝑑𝑥 © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

Sacar la constante (𝑎 ∙ 𝑓)′ = 𝑎 ∙ 𝑓′ =2

𝑑 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑

Aplicar la regla de derivación 𝑑𝑥 (𝑥) = 1 =2∙1 Simplificando =2 ⟹ 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 1 ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 2 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 4(𝑢) 𝑑𝑢 2 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 4(𝑢) 𝑑𝑢 2 Sacar la constante: ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =

1 ∙ ∫ 𝑠𝑒𝑐 4(𝑢) 𝑑𝑢 2

Aplicar la reducción de integrales: ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 (𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢) 3

𝑠𝑒𝑐 𝑛−1 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑛−1

+

𝑛−2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑛−2 (𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑐 4 (𝑢)𝑑𝑢 𝑛−1

=

2

+ 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢

1 𝑠𝑒𝑐 3 (𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑢) 2 = ( + ∙ ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢) 2 3 3

Aplicar la regla de integración: ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 = tan(𝑢) 1 𝑠𝑒𝑐 3 (2𝑥)𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2 = ( + tan⁡(2𝑥)) 2 3 3 Simplificar 1 2 1 = ( tan(2𝑥) + tan⁡(2𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (2𝑥)) 2 3 3 Agregando constante a la solución © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

=

𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝐭𝐚𝐧(𝟐𝒙) + 𝐭𝐚𝐧⁡(𝟐𝒙)𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟐𝒙)) + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟑

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.