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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ACAYUCAN INGENIERIA INDUSTRIAL MTRO: JULIO CESAR ORTIZ ANTONIO ALGEBRA LINEAL 304-C UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES EDGAR ESAU RAMIREZ OSORIO

Tabla de contenido Introducción...............................................................................................................................................2 U4: Espacios vectoriales............................................................................................................................3 4.1 Definición de espacio vectorial........................................................................................................3 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades...................................................................5 4.3 Combinación lineal..........................................................................................................................6 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base...........................................................9 4.5 Espacio vectorial con producto interno........................................................................................11 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt..........................................13

Introducción Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por una dirección, un sentido y un módulo. Estas definiciones las hemos visto durante la materia de cálculo vectorial y se suelen dar para vectores de R2 y R3. También conocemos que dos vectores en R2 y en R3 se pueden sumar analíticamente (es decir sumando cada y geométricamente (mediante la regla del paralelogramo). Además, también se puede multiplicar un número (escalar) por un vector, cuyo resultado es “alargar” o “encoger” el vector o cambiarle su sentido en función de si el número es negativo o no. Por tener definidas estas operaciones (y cumplir una serie de propiedades) se dice que R2 (o R3) es un espacio vectorial.

U4: Espacios vectoriales 4.1 Definición de espacio vectorial Espacio vectorial real. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Axiomas de un espacio vectorial. 1-

Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-

Para todo X, Y y Z en V, (y+x) +z = x(y+x).

3-

Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-

Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x) =0.

5-

Si X y Y están en V, entonces y+x= y+x.

6-

Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-

Si X y Y están en V y a es un escalar, entonces a(y+x) = ax + ay

8-

Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.

9-

Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.

10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.

Ejercicios Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) ∈ R3pertenezca al subespacio < (1, 2, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x, 5) pertenece al subespacio < (1, 2, 3), (1, 1, 1) > si y sólo si (1, x, 5) es combinación lineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o sea, si existen α, β ∈ R tales que (1, x, 5) = α (1, 2, 3) + β (1, 1, 1), pero entonces, 1=α+β x = 2α + β 5 = 3α + β Resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. Existen múltiples ejemplos de subespacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad subespacio de V Teorema de subespacio

Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un subespacio i)

Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii)

Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α. Es obvio que, si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán

cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen. Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un subespacio de V, es suficiente verificar que: x + y y αX están en H cuando x y y están en H y α es un escalar. Propiedades de subespacio vectorial 1). El vector cero de V está en H.2 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H. 3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H.

4.3 Combinación lineal Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única. Sean v1, v2…, vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma: α1v1+α2v2+…+αnvn donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1, v2, …, vn. Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1) V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k) Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i, j, k. Ejercicio Sean u1 ,u 2 , u3 vectores no nulos en Rn. Considere los vectores u1 = 2 u1−u2 +u3 : u2 = u1 +u2−u 3; u3 = u1 +2 u2 +u3 Y los conjuntos generados S1= , S2= . Pruebe que S1= S2

Puesto que v1 , v 2 , v 3 son combinaciones lineales de u1 ,u 2 , u3 se tiene que, por definición de conjunto generado, los vectores v1 , v 2 , v 3 pertenecen a S2. Luego, S2⊆ S1. Además, solucionando el sistema vectorial correspondiente, se tiene que: 1 1 −2 1 1 1 5 1 u1 = v 1 + v 2 ; u2 = v1 + v 2 + v 3 ; u 3 = v 1 − v 2 + v 3 ; 3 3 9 9 3 9 9 3 con lo cual se obtiene que cada uno de los vectores u1 ,u 2 , u3es combinación lineal de los vectores v1 , v 2 , v 3, por lo tanto: S1 ⊆s 2

2

Sean u1, u2, u3vectores no nulos en Rn.Considere los vectores v1= 2u1− u2+ u3; v2= u1+ u2− u3; v3= u1+ 2u2+ u3y los conjuntos generados S1= h{u1, u2, u3}i , S2= h{v1, v2, v3}i. Pruebe que S1= S2.Soluci´on. Puesto que v1, v2, v3son combinaciones lineales de u1, u2, u3se tiene que, pordefinici ´on de conjunto generado, los

vectores v1, v2, v3pertenecen a S2. Luego, S2⊆ S1.Adem´as, solucionando el sistema vectorial correspondiente, se tiene que:u1=13v1+13v2; u2= −29v1+19v2+13v3; u3=19v1−59v2+13v3,con lo cual se obtiene que cada uno de los vectores u1, u2, u3es combinacion lineal de losvectores v1, v2, v3, por lo tanto,S1⊆ S2 Independencia lineal Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales. Un conjunto de vectores {v1, v2…, vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1, c2…, ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que: c1v1+c2v2+…+ckvk=0 Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal Sean u1, u2, …, uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial. Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple). Si k=n Los vectores son linealmente independientes si A es invertible Si k>n Los vectores son linealmente dependientes. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos es múltiplo escalar del otro. Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores. Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano. Teoremas Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente. Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.

Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro. Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases. 

Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).



Además, es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).



Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Dimensión Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras

palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio. Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. Propiedades de la dimensión. 

Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2,

las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0. 

La dimensión de un subespacio en Rn , coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)



Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.



El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan. Es decir: si v1, v2, . . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r.

(Si un cierto conjunto de vectores tiene rango 2, entonces generan un plano; etc.)

Teorema: Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces, 

Si tenemos m vectores linealmente independiente. en S, también serán sistema generador de S.



Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente independientes.

Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas. Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador. Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión. Teorema. En un espacio o subespacio de dimensión m. 

Un conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente independiente.



Un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.

Ejercicio Consideremos el espacio vectorial E engendrado por un vector e = (1,2,3) dar una base y hallar su dimensión. Solución: Como el vector e es linealmente independiente por ser no nulo es decir distinto de cero, y además es sistema generador, pues es un dato que te proporcionamos en el enunciado, entonces la base de E está formada por: B= {(1, 2, 3)} y en consecuencia la dimensión dim(E) = 1 4.5 Espacio vectorial con producto interno Producto Interno.

Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna a cada par de vectores u y v en V un número real . Un producto interior sobre V es una función que asocia un número real ‹u, v› con cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas: Propiedades: 

(v, v) ≥ 0



(v, v) = 0 si y sólo si v = 0.



(u, v +w) = (u, v) + (u, w)



(u + v, w) = (u, w) + (v, w)



(u, v) = (v, u)



(αu, v) = α (u, v)



(u, αv) = α (u, v)

Espacios con producto interior: El producto interior euclidiano es solo uno más de los productos internos que se tiene que definir en Rn Para distinguir entre el producto interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación. 

u ●v = producto punto (producto interior euclidiano para Rn)



‹u, v› = producto interno general para espacio vectorial V.

Propiedades de los productos interiores: 

‹0, v› = ‹v, 0› = 0



‹u + v, w› = ‹u, w› + ‹v, w›



‹u, cv› = c ‹u, v›.

Un espacio vectorial con producto interno se denomina espacio con producto interno. Producto interno de dos vectores en C3 En C3 sean x = (1+i, -3, 4-3i) y y= (2-i, -i, 2+ i). entonces

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal, además cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 

Sea B = {v1, v2, . . ., vn} una base de un espacio V con producto interno



Sea B´= {w1, w2, . . ., wn} donde wi está dado por: w1= v1

Entonces B´ es una base ortogonal de V.



Sea ui= wi ││w1││ entonces el conjunto B´´= {u1, u2, . . ., un} es una base ortonormal de V.

Ejercicio Dos vectores ortogonales en C2. En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conclusión Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales, así como de los vectores en el espacio euclídeo.

Bibliografía 

Sistemas de algebra lineal- espacios vectoriales



Sistemas de algebra lineal- definición de subespacio vectorial y sus propiedades



Sistemas de algebra lineal- combinación lineal



Sistemas de algebra lineal- dependencia e independencia lineal



Bases y dimensión- unican.es



Algebra lineal capítulo 8 pdf- Mate.dm.uba.ar

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Sistemas de algebra lineal- base ortonormal

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Combinación lineal ejercicios- slideshare

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Itesm.com

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Espacios vectoriales ejercicios y problemas resueltos- matemáticas y poesía