• Categories
• Probabilidad
• Cadena de Márkov
• Cliente
• Business

Citation preview

Asignatura: Investigación de Operaciones II.

Práctica No. 3. Valor: 6 puntos

Fecha de entrega: 29 de julio de 2016.

Profesor: Damián Puello Tema I: Un profesor ha clasificado sus estudiantes en 4 categorías: A, B, C y D. En sus años de experiencia, él ha podido identificar el siguiente comportamiento en los mismos: los estudiantes A se mantienen con ese comportamiento durante todos los años universitarios (5 años) con una probabilidad de 25%, pasarían a ser estudiantes B con una probabilidad de 45%, sin embargo nunca llegarían al nivel C. Los estudiantes B seguirían el mismo tipo con una probabilidad de 60%, mejorarían hasta convertirse en estudiantes A con una probabilidad de 20%, y empeorarían como C y D con probabilidades de 10% para ambos casos. Un estudiante tipo C, muy rara vez (con probabilidad de 5%) pasaría a ser us estudiante A, continuaría como un estudiante C con probabilidad de 70% y pasaría a ser tipo B y D, con probabilidades de 15% y 10%, respectivamente. Determine lo siguiente: a) Matriz de probabilidades de transición. b) Gráfica probabilidades transición c) Clasificación estados d) Determine vector probabilidades estables (si los estados son ergódicos) e) Tiempo que tarda un estudiante para pasar de un tipo a otro. f) Probabilidad de que un estudiante tipo A termine como un estudiante tipo C. Tema II: Una prestigiosa empresa de investigación de mercado ha identificado el comportamiento de clientes para tres tipos de autos: el económico, el moderado y el confortable. Esta empresa ha estudiado las tendencias de compras de estos tres tipos de clientes. La misma ha identificado que un cliente que utiliza hoy un modelo de auto económico cambiaría a un modelo moderado con probabilidad de 60% durante los siguientes tres años, pero el 35% permanecería con el mismo modelo. Un ciudadano que hoy maneja un auto confortable cambiaría al modelo moderado por razones económicas con probabilidad de 30%, pero se mantendría con su mismo auto en un 70% de las veces. Finalmente una persona que posee actualmente un auto moderado cambiaría a uno económico y a uno confortable con probabilidades de 25% y 45%, respectivamente. Determine lo siguiente: a) Matriz de probabilidades de transición. b) Gráfica probabilidades transición c) Clasificación estados d) Determine vector probabilidades estables (si los estados son ergódicos) e) Tiempo promedio para que una persona de un determinado modelo cambie a otro Tema III: En una clínica se ha determinado que los pacientes podrían presentar mejoría, enfermar de gravedad o morir. Si un paciente visitaba la clínica por motivo de enfermedad este podría mejorar con una probabilidad de 80%, pero podría morir con una probabilidad de un 20%, por tema de mucho avance de su enfermedad. Un paciente que experimentara una mejoraría seguiría así hasta darle de alta con una probabilidad de un 70%, pero podría empeorar con una probabilidad de 20%. Determine lo siguiente: a) Matriz de probabilidades de transición. b) Gráfica probabilidades transición c) Clasificación estados a) Tiempo que un paciente en estado de enfermedad pasaría hasta morir o ser dado de alta b) Probabilidad de que un paciente en estado de gravedad mejore o muera. Tema IV: Una persona tiene el deseo de participar en un juego en donde podría duplicar el dinero con el cual entre o perderlo todo. Por cada turno él debe apostar RD $5,000.00 y tiene la posibilidad de ganar la cantidad apostada con probabilidad de 65% y de perder en un 35%. Esta persona decide que se retirara cuando duplique la cantidad que dispone para el juego o cuando lo pierde todo. Si la persona dispone de RD $10,000.00, determine: a) Matriz de probabilidades de transición. b) Gráfica probabilidades transición c) Clasificación estados c) Tiempo que tardaría en duplicar su dinero o perderlo todo d) Probabilidad de que esta persona duplique la cantidad o lo pierda todo. Tema V: Cuando pido prestado un libro de la biblioteca de la ciudad, trato de devolverlos después de una semana. Dependiendo del tamaño del libro y de mi tiempo libre, hay 30% de probabilidades de que lo conserve otra semana. Si me lo quedara dos semanas, hay 10% de probabilidades que me lo quede una semana más. En ninguna condición me lo quedo más de tres semanas. (a) Exprese la situación como una cadena de Markov. (b) Determine el promedio de semanas antes de devolver el libro a la biblioteca.

Tema VI: Jim debe avanzar cinco años para completar su doctorado en la Universidad ABC. Sin embargo le agrada la vida de estudiante y no tiene prisa para obtener su grado. En cualquier año académico, hay 50% de probabilidades de que pueda tomarse un año sabático y 50% de probabilidad de dedicarle tiempo completo a su doctorado. Después de completar tres años académicos, hay 30% de probabilidades de que Jim pueda dar “marcha atrás” y simplemente obtenga una maestría, 20% de probabilidades de que se tome libre el siguiente año pero continuando con el programa de doctorado, y 50% de probabilidades de que asista a la escuela a tiempo completo en busca de su doctorado. (a) Exprese la situación de Jim como una cadena de Markov. (b) Determine el número esperado de años académicos antes de que la vida de estudiante de Jim termine. (c) Determine la probabilidad de que Jim termine su ciclo académico con sólo una maestría. (d) Si la beca de Jim desembolsa $15,000 anuales (pero sólo cuando asiste a la escuela), ¿cuánto deberá pagar antes de que obtenga un grado? Tema VII: En una tienda departamental un cajero está ahí para servir a los clientes. Y los clientes recogen sus necesidades por sí

mismos. La tasa de llegada es de 10 clientes por cada 5 minutos y el cajero puede servir 15 clientes en 5 minutos. Suponiendo tasa de llegada de Poisson y la distribución exponencial de la tasa de servicio, encontrar: (A) Número medio de clientes en el sistema. (B) Número medio de clientes en la cola o la longitud media de la cola. (C) Tiempo medio de un cliente pasa en el sistema. (D) El tiempo promedio que un cliente espera antes de ser servido. Tema VIII: Un empleado que ahora tiene 55 años de edad planea retirarse a la edad de 62 pero no ha descartado la posibilidad de hacerlo antes. Al final de cada año pondera sus opciones (y actitud con respecto al trabajo). La probabilidad de renunciar después de un año es de sólo .1, pero parece incrementarse en aproximadamente .01 con cada año más que pasa. (a) Exprese el problema como una cadena de Markov. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado permanezca con la compañía hasta que planee su retiro a los 62 años? (c) A los 57 años, ¿cuál es la probabilidad de que el empleado renuncie? (d) A los 58 años, ¿cuál es el número esperado de años antes de que el empleado quede fuera de la nómina? Tema IX: Consideremos dos acciones. La acción 1 siempre se vende por $ 10 o $ 20. Si la acción 1 es vendida por $ 10 hoy en día, existe la posibilidad de .80 que se venderá por $ 10 mañana. Si se está vendiendo por $ 20 hoy en día, existe la posibilidad de .90 que se venderá por $ 20 mañana. La acción 2 siempre se vende por $ 10 o $ 25. Si se vende hoy por $ 10, hay una posibilidad de .90 que se venderá mañana por $ 10. Si se vende hoy en día por $ 25, hay una posibilidad de .85 de que mañana se va a vender por $ 25. En promedio, ¿cuál de las acciones se venderá a un precio más alto? Tema X: Un bosque se compone de dos tipos de árboles: aquellos que son de 0-5 pies y los que son más altos que 5 pies. Cada año, el 40% de todos los árboles de 0-5 pies mueren, el 10% se venden por $ 20 cada uno, el 30% permanecen entre los 0 y 5 pies y 20% crecen más de 5 pies. Cada año, el 50% de todos los árboles más altos que 5 pies se venden por $ 50, el 20% se venden por $ 30, y el 30% permanecen en el bosque. A) ¿Cuál es la probabilidad de que un árbol de 0-5 pies de altura va a morir antes de ser vendido? b) Si se planta un árbol (menos de 5 pies), ¿cuál es el ingreso esperado obtenido de ese árbol?

¡Buena suerte!