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Método General de Integración de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ing. Jorge Zedeño

Quito, Abril 2010

CONTENIDO CAPÍTULO 1.- La Ecuación de Primer Orden y Primer Grado.______________________1 1.1.- La Ecuación Lineal.________________________________________ 8 CAPÍTULO 2.- El Sistema Lineal de Primer Orden.______________________________12 CAPÍTULO 3.- La Ecuación Lineal de Orden n._________________________________21 BIBLIOGRAFÍA.-________________________________________________________36 Legalización del Presente Trabajo.-___________________________________________37

CAPÍTULO 1.- La Ecuación de Primer Orden y Primer Grado Sea la ecuación diferencial: 1

; de donde: :

2

; integrando:

3

; derivando:

[A];

4

5 ; (g≠0)

,

** Además: ; luego: (por 4 ) *** (ver nota inferior)

6

(f está en función de )

Por lo tanto: (por 3 ) 7

8

; donde: (se toma)

; que implica:

9

*E.D.O. = Ecuación Diferencial Ordinaria. **

***

.

integral parcial con respecto a x.

Nota: La constante de integración es igual a cero, debido a la relación directa que existe entre f(x,y) de la ecuación 3 y fx de la ecuación [A]. e

1

Comprobación: (derivando 7 con respecto a x) ; dividiendo para g: ; despejando : (derivada parcial de 6 con respecto a y) CORRECTO! Reemplazando 6 : ; de donde: (identidad) CORRECTO!

Luego, toda la deducción analítica es correcta.

2

Ejemplo 1.1.; (lineal en y(x)) ; resolviendo: (aplicando 6 )

Etc.; luego: (de acuerdo a 3 , 7 )

; además:

; luego: ;

;

3

;

Comprobación: ; reemplazando en la E.D.O. inicial: (identidad) CORRECTO! Ejemplo 1.2.; (lineal en y(x)) ; resolviendo: (aplicando 6 )

4

Etc.; luego: (de acuerdo a 3 , 7 )

Por otro lado:

Comprobación:

5

(identidad) CORRECTO! Ejemplo 1.3.; (no lineal) resolviendo: (aplicando 6 )

Siguiendo con el proceso (hasta f6), y aplicando 3 , 7 , se tiene: 6

Solución Particular por P1(0,1): (C=-1)

(SOLUCIÓN PARTICULAR POR P1(0,1)) Además, cuando x=0.1:

7

Siguiendo con el proceso (hasta y6), se tiene: I 1 2 3 4 5 6 7

EC. y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6

(x=0.1) ; (SOLUCIÓN PARTICULAR POR P1(0,1))

y 1.146430 1.125091 1.127518 1.127227 1.127262 1.127258 1.127258

(existe convergencia) CORRECTO!

1.1.- La Ecuación Lineal Sea la ecuación diferencial: 10

; dividiendo para P1(x):

(P1(x) ≠0)

11

; de donde: ; resolviendo: (aplicando 6 )

8

Haciendo: (transformación)

Etc.; luego: (de acuerdo a 3 , 7 )

Reemplazando las series:

9

12

Comprobación:

reemplazando en la E.D.O. inicial: ( 11 ) (identidad) CORRECTO! Ejemplo 1.4.; dividiendo para x: 12 :

Comprobación:

Reemplazando en la E.D.O. inicial:

(identidad) CORRECTO!

10

Ejemplo 1.5.-

Reduciendo el orden de la ecuación, haciendo: (transformación)

Aplicando la fórmula 12 :

Reemplazando z:

Comprobación:

CORRECTO!

11

CAPÍTULO 2.- El Sistema Lineal de Primer Orden Sea el sistema: (se entiende que en el sistema expandido, yi es lineal)

13

Integrando: (de una manera general)

14

(debido a la forma de integración del método) Derivando:

; de donde:

12

Además:

15

Por lo tanto: (de acuerdo a 14 )

16

(debido a la forma de integración del método) Haciendo:

13

Resolviendo el sistema 16

se obtiene la solución general del sistema lineal 13 17

Por otro lado, 16

puede ser expresado como:

1 2 n

(debido a la forma de integración del método) Ó también: 1

18

2 n

Resolviendo:

De donde: (col. i) 19

14

:

Comprobación: (derivando 16 con respecto a x)

Dividiendo para gi (correspondiente) y reemplazando las integrales:

Ó también:

15

Despejando

(correspondiente (i = j)) y simplificando:

CORRECTO!

Luego, toda la deducción analítica es correcta.

Ejemplo 2.1.-

De acuerdo a 13 : (de acuerdo a 14 )

16

Resolviendo: (aplicando 15 )

Etc.; luego: (de acuerdo a 14 , 16 ) 1

Similarmente:

17

Etc.; luego: (de acuerdo a 14 , 16 ) 2

Por otro lado:

18

De donde:

Reemplazando las series: (en

1

y 2 ) 1 2

1

(corresponde a 2

Resolviendo el sistema:

19

18 )

(corresponde a

19 )

(corresponde a

19

)

(corresponde a

17 )

Comprobación:

Reemplazando en la primera ecuación del sistema inicial (identidad) Reemplazando en la segunda ecuación del sistema inicial (identidad) CORRECTO!

20

CAPÍTULO 3.- La Ecuación Lineal de Orden n Sea la ecuación diferencial: 20

21

Ahora, 21 es una aplicación de 13 , donde a los subíndices de 13 se les ha disminuido en una unidad; por lo tanto, se puede escribir directamente las fórmulas: (integrando 21 , de una manera general)

22

21

23

Por lo tanto: (de acuerdo a

22 )

24

22

Haciendo:

Resolviendo

se tiene:

24

se obtiene la solución general de

20

, y sus derivadas:

25

26

(Derivadas)

; ó también: 27

(Derivadas)

Además: 28

Ó también, reemplazando

25

,

26

:

29

Por otro lado,

24

puede ser expresado como: 23

1 2

30 n-1

n

(corresponde a

18

)

Resolviendo:

31

24

(col. (i+1))

32

Ejemplo 3.1.-

Haciendo: (transformación)

, se tiene:

Este sistema está resuelto en el ejemplo 2.1; por lo tanto:

Comprobación: ; reemplazando en la E.D.O. inicial: (identidad) CORRECTO! Ejemplo 3.2.-

Reduciendo el orden de la ecuación, haciendo: (transformación) 25

, se tiene:

Haciendo: (transformación)

De acuerdo a 21

, se tiene:

: integrando: (de acuerdo a

Resolviendo: (aplicando 23

)

26

22 )

Etc.; luego: (de acuerdo a

22

,

24

)

1

Similarmente:

27

Etc.; luego: (de acuerdo a 22

,

24 )

2

Por otro lado:

Reemplazando las series: (en 1 y 2 )

1 2 ; ó también:

1

(corresponde a 2

28

30 )

Resolviendo el sistema:

Comprobación:

Reemplazando en la E.D.O.: (identidad) CORRECTO! Reemplazando p: ; integrando: ; haciendo:

, queda:

Comprobación:

Reemplazando en la E.D.O. inicial: (identidad) CORRECTO! Ejemplo 3.3.-

Haciendo: (transformación)

Integrando: (de acuerdo a

, se tiene: (de acuerdo a 21

22

)

29

)

Resolviendo: (aplicando 23

)

30

Etc.; luego: (de acuerdo a 22

, 24

)

1

31

Similarmente:

Etc.; luego: (de acuerdo a 22

,

24 )

32

2

Por otro lado:

Y, las ecuaciones 1 y 2 se pueden expresar como: 1 2

; luego:

De donde: (derivando con respecto a x) ; donde: ; aplicando la fórmula 12

Condición: cuando

33

:

Condición: cuando De donde:

Además:

Reemplazando las series

en

1

y

2

: 1 2

1 2 ; ó también:

1 30 2

34

Resolviendo el sistema:

(1ra derivada) Comprobación: ; reemplazando en la E.D.O. inicial:

(identidad) CORRECTO!

35

BIBLIOGRAFÍA Ayres Jr. Frank(Ecuaciones Diferenciales). Editorial Schaum & Mc Graw Hill. Mexico, 2002. Zill Dennis G.(Ecuaciones Diferenciales, con aplicaciones). Grupo Editorial Iberoamerica. Mexico, 2001.

36

Legalización del Presente Trabajo

NOTARÍA PRIMERA DEL CANTÓN QUITO: DILIGENCIA NOTARIAL.RECONOCIMIENTO DE FIRMA:- En el Distrito Metropolitano de Quito, Capital de la República del Ecuador, hoy día miércoles veintiocho de Abril del año dos mil diez; ante mí, DOCTOR JORGE MACHADO CEVALLOS, Notario Primero del Cantón Quito, comparece el INGENIERO JORGE GUILLERMO ZEDEÑO CARDENAS, por sus propios derechos.- El compareciente es de nacionalidad ecuatoriana, mayor de edad, domiciliado en la ciudad de Quito, legalmente capaz, a quien de conocer doy fe; en virtud de haberme exhibido su Cédula de Ciudadanía número: 17--------, cuya fotocopia se acompaña; y, declara que la firma puesta en el documento que contiene el “Método General de Integración de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”, que antecede, en cuya firma se lee: “JORGE ZEDEÑO”, es la misma que utiliza en todos sus actos públicos y privados, por lo que CERTIFICO LA LEGALIDAD Y LEGITIMIDAD DE SU FIRMA.- Para constancia suscribe al pie de esta diligencia, la misma que la celebro al amparo de lo dispuesto en el artículo dieciocho de la Ley Notarial, quedando incorporada una copia de la presente acta en el Libro de Diligencias de la Notaría Primera actualmente a mí cargo. DE LO CUAL DOY FE. No.1843 / cpt.

37