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• ILLICH XAVIER TALAVERA SALAS

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Universidad Nacional de Juliaca Centro Preuniversitario

INGENIERIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 2018-I

HABILIDAD LÓGICO MATEMÁTICO

Coordinador: Lic. Efraín Apaza Ticona Docentes: Lic. Silvio Sánchez Condori Ing. Jesús Arias Escobar

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 2018-I

UNIDAD I RAZONAMIENTO LÓGICO A) Situaciones Lógicas. Es desarrollar el pensamiento creativo y la capacidad lógico – analítica para la solución de situaciones planteadas. Estrategia a seguir:

(Lumbreras 2016) I. Razonamiento Lógico Deductivo Utiliza los datos brindados para deducir una conclusión lógica. II. Relaciones Familiares. Son las relaciones de parentesco que tiene una persona con su familia: abuelo, padre, hijo nieto, hermano, esposo, etc. Además, aquí se recomienda hacer un esquema con las personas que intervienen en el problema, empezando de atrás hacia adelante. (Povis 2006). III. Relación de Tiempo. La relación de tiempo hace en mención a aquellos problemas donde se busca medir la variación temporal por medio de los días, meses o años. (Lumbreras 2016) Además, para resolver se considera el siguiente criterio:

IV. Certezas, Máximos y Mínimos. Para resolver este tipo de problemas, por lo común hay que ponerse en el peor de los casos (situación más crítica o no deseable). (Povis 2006) V. Orden de Información. Se caracteriza por presentar problemas con datos desordenados, pero que contienen toda la información, para que puedan ser ordenados adecuadamente mediante diagramas, datos proporcionales, tablas de doble entrada, relación de mayor y menor que, etc,… Los ordenamientos pueden ser: Lineal y circular (Rodo 2013) Situaciones Lógicas recreativas. (Cerillos, dados, dominós, etc.)

HABILIDAD LOGICO MATEMATICO Lic. Efraín Apaza Ticona

Cosiste en mover cerillos, dados, monedas, para obtener un resultado pedido, ya sean gráficos u operaciones matemáticas. (Lumbreras 2016)

PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 1. Juan tiene 50 cerdos en su granja, y se le murieron todos menos 10. ¿Cuántos cerdos le quedaron? Resolución: Análisis y procedimiento: Como solo pregunta por los que QUEDARON y no específica si vivos o muertos, entonces le quedaron los vivos y los muertos. Por lo tanto le quedaron 50 cerdos. Ejemplo 2. Paul se encuentra con Lucia y le dice, “creo conocerla”. Lucia le responde “quizás porque su madre fue la única hija de mi madre”. ¿Qué relación tiene Lucia con Paul? Resolución: Análisis y procedimiento: Del enunciado se ve que:

Por lo tanto, Lucia es la madre de Paúl Ejemplo 3. Si el ayer del anteayer de mañana es jueves. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? Resolución: Análisis y procedimiento: Utilizando el criterio:

Ayer del anteayer de mañana < > Jueves 1

2 2 < >Jueves

1

Si -2 es Jueves, entonces Hoy = Sábado. Luego.

Sabado + pasado mañana del mañana de anteayer 2

1

2

Sabado+ 1 = Domingo

Ejemplo 4. Pepito tiene una caja de carritos para jugar, si tiene 8 carritos blancos, 5 azules y 10 verdes. ¿Cuántos carritos se tendrán que extraer al azar para tener la certeza de haber extraído un carrito azul?

Te preparamos para los retos…. 3

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO

Ciclo 2018 - I Resolución: Análisis y procedimiento: El peor de los casos seria extraer los 8 blancos y los 10 verdes, pero la siguiente será necesariamente azul

 N°carritos   extraidos   8  10  1   blanco verde azul

 19

2. ¿Cuántas monedas del mismo tamaño a las mostradas se pueden colocar, como máximo, alrededor y tangencialmente a dichas monedas?

necesario

Ejemplo 5. Cinco amigos, rindieron un examen de matemáticas y la nota más alta fue de 18, si se sabe que: I. Antonio obtuvo la mitad de nota que Martín. II. Pedro obtuvo el promedio de las notas de Doroteo y Martín. III. Oscar obtuvo tanto como Doroteo, pero el triple de nota que Antonio. ¿Cuál es la diferencia entre las notas que obtuvieron Pedro y Antonio? Resolución: Análisis y procedimiento:

Máxima nota: 6k  18  k  3 Por lo tanto,

A) 12 D) 15

B) 13

C) 14 E) 16

3. Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) respecto a las siguientes proposiciones: I. Con 3 cerillos se puede formar el cuatro. II. Según el grafico, se debe mover un cerillo, como mínimo, para formar un cuadrado.

Pedro – Antonio  5k  2k  3k  9

Ejemplo 6. Cuantos palitos se deben mover para obtener una figura de sólo 3 cuadrados.

Resolución: Análisis y procedimiento: Para obtener 3 cuadrados movemos 3 palitos como se indica en la siguiente figura

Por lo tanto, se mueve mínimo 3 palitos

III. Según el grafico, se aumenta 3 cerillos, como mínimo, para formar 4 triángulos equiláteros.

A) FVV D) VFF

B) FVF

C) VVV E) VVF

4. Según el grafico, ¿Cuántos cerillos se deben mover como mínimo para que se verifique la igualdad?

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuántas monedas se necesitan, como mínimo, para formar un cuadrado con 4 monedas? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 16

HABILIDAD LOGICO MATEMATICO Lic. Efraín Apaza Ticona

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

Te preparamos para los retos…. 4

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 2018-I 5. Si el dado común mostrado gira sobre la orilla del tablero apoyándose sobre una arista y sin deslizarse hasta llegar a la cerilla sombreada ¿Cuál es la cantidad de puntos que aparecerá en su cara superior, cuando ocupe dicha carilla?

A) 24 D) 22

B) 2

C) 3 E) 5

6. Jaimito coloco 3 dados normales sobre una mesa no transparente como muestra en la figura, ¿Cuántos puntos en total no son visibles para Jaimito?

A) 13 D) 16

B) 14

C) 15 E) 17

7. Distribuya los nueve primeros números impares en las casillas mostradas, uno por casilla, tal que la suma de los números ubicados en tres casillas coloniales sea la misma. Calcule la diferencia positiva de dicha suma constante y el menor número que se encontraría en una de las cuatro esquinas.

B) 9

C) 10 E) 12

9. Si el pasado mañana de hoy es el antes de ayer del día miércoles, ¿Qué día fue anteayer? A) Miércoles B) Jueves C) Viernes D) Sábado E) Martes 10. Siendo miércoles el mañana del anteayer del ayer del pasado mañana de ayer del día que precede al día posterior del día que subsigue al día que antecede del día de ayer, ¿Qué día será el antes de anteayer del mañana de dentro de 4 días? A) Sábado B) Domingo C) Lunes D) Jueves E) Viernes 11. Revisando mi árbol genealógico, hasta la generación de todos mis bisabuelos. ¿Cuántos abuelos y abuelas, como máximo se pueden encontrar? A) 8 D) 14

HABILIDAD LOGICO MATEMATICO Lic. Efraín Apaza Ticona

C) 20 E) 28

8. El grafico muestra un cuadrado mágico multiplicativo. Halle la suma de cifras de X

A) 8 D) 11 A) 6 D) 4

B) 26

B) 10

C) 12 E) 16

Te preparamos para los retos…. 5

Ciclo 2018 - I 12. Bella y Linda son hermanas y a Bestia le agrada bella. Entonces, ¿podría Bestia casarse con Bella, quien es una mujer muy atractiva y hermana de su viuda? A) Sí, porque es una mujer muy atractiva B) Sí, porque es su cuñada C) Si, si así lo desea D) Depende que haya atracción entre ambos E) No 13. La hermana de Rosita es la hermana de mi hermana gemela, ¿Qué es respecto a mí, el abuelo del hijo de Rosita? A) Padre B) Tío C) Abuelo D) Bisabuelo E) Hermano 14. Yo me llamo Gatorade, mi hermano José y la esposa de mi hermano es María. Si yo tengo solo un hermano, ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija del hijo del hermano del suegro de María? A) Prima B) Sobrina C) Tía D) Hermana E) Resobrina 15. Badany es denunciado por maltratar a la suegra de la mujer de su hermano, ¿Qué parentesco familiar tiene esta persona con Badany? A) Es su hija B) Es su hermana C) Es su tía D) Es su abuela E) Es su mamá

HABILIDAD LOGICO MATEMATICO Lic. Efraín Apaza Ticona

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO 16. Nelson y Fredy nacieron el mismo día y el mismo año. Wilson es menor que Fredy; Silvio es menor que Wilson, pero Efraín es mayor que Nelson. Por lo tanto el menor de ellos es: A) Nelson B) Fredy C) Wilson D) Silvio E) Efraín 17. En una hilera de 4 casa, viven las siguientes familias: los Mamani viven al lado de los Quispe, pero no al lado de los Condori. Si los Condori no viven al lado de los Ccacca. ¿Quiénes son los vecinos inmediatos de los Ccacca? A) Mamani B) Condori C) Quispe D) Mamani y Quispe E) Condori y Mamani 18. Del total de mazo de cartas (incluye los jokers) ¿Cuántas cartas debo extraer como mínimo para que salga con seguridad dos cartas de tréboles? A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44 19. En una caja se tiene bolas enumeradas con números consecutivos desde el 1 hasta (2X). ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de que entre las 2 extracciones existan 2 cuya numeración sea la de 2 números primos? A) X B) X+3 C) X+1 D) 5X-10 E) X2

Te preparamos para los retos…. 6

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 2018-I 20. ¿Qué número falta?

2 ( 6 )1 3 (10 ) 4 5(8 ) 2 3( )3 A) 3 D) 7

B) 6

C) 8 E) 4

21. El quinto y el último día de un determinado mes fueron domingo y miércoles, respectivamente; ¿Qué día de la semana es el 16 de julio de ese año? A) Sábado B) Domingo C) Lunes D) Martes E) Miércoles 22. Seis súper héroes se ubican alrededor de una mesa circular: Batman no está sentado al lado de la Mujer Maravilla ni de Súperman. Mujer Maravilla no está al lado de Batichica ni del Hombre Araña, Linterna Verde esta junto y a la derecha de la Mujer Maravilla; Hombre Araña no está sentado al lado de Batichica ni de Súperman. ¿Quién está sentado a la izquierda del súper héroe que está sentado a la izquierda de Batichica? A) Mujer Maravilla B) Linterna Verde C) Superman D) Hombre Araña E) Batman

23. Si mañana fuera como ayer, el hoy estaría tan distanciado del lunes como el hoy del domingo. ¿Qué día es el ayer del día que sigue al pasado mañana del anteayer del posterior día a hoy? A) Jueves B) Viernes C) Sábado D) Domingo E) Lunes 24. Pedro le dice a Juan: “sumando las fechas del último sábado del mes pasado con la del primer lunes del próximo mes obtenemos 37 días”. Suponiendo que este año no es bisiesto, ¿Qué día caerá el 18 del presente mes? A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes

SITUACIONES LÓGICO Cortes, Pastillas y Estacas. Se resume en la siguiente tabla: N° de Cortes N° de Estacas Línea LT L #Cortes   1 # Estacas  T  1 Abiert LU LU a Línea LT Cerrad #Cortes  LU a Donde: LT : Longitud Total

L # Estacas  T LU

LU : Longitud Unitaria Para el caso de pastillas se considera:

# Pastillas 

Tiempo Total 1 Tiempo de toma

PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo 1. Se tiene un terreno de forma triangular, cuyos lados miden 15, 20 y 25 m. ¿Cuántas estacas son necesarias para cercarlo si se

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Te preparamos para los retos…. 7

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO

Ciclo 2018 - I colocan cada 5 m y debe haber una estaca en cada vértice? Resolución: Análisis y procedimiento: Gráficamente

Entonces: # Estacas 

25  20  15  12 5

Ejemplo 2. El doctor ha recetado a su paciente tomar una pastilla cada 6 horas durante una semana ¿cuántas pastillas deberá tomar en total? Resolución: Análisis y procedimiento: Se sabe que:

# Pastillas 

Tiempo Total 1 Tiempo de toma

Entonces

1 semana 1 6 horas 7dias  24h  1 6h  29 horas

# Pastillas 

Ejemplo 3. Un comerciante tiene un pedazo de tela de 60 metros de longitud que quiere corar en trozos de 2m; si necesita 5 segundos para hacer cada corte. ¿Cuánto tiempo tarda en cortar toda la pieza? Resolución: Análisis y procedimiento: Se sabe que para n cortes se necesita “n-1” cortes, luego:

# cortes 

60m  1  30  1  29 2m

Por lo tanto, el tiempo que tarda será:

Tiempo  25(9)  145 seg .

2. Un leñador cortar un tronco de árbol de 800 cm de largo. Si cobra S/.2,50 por cada corte que hace y los realiza cada un metro, ¿Cuánto cobrara por cortar todo el tronco de árbol? A) 7 B) 8 C) 17 D) 17,5 E) 18,5 3. ¿Cuántos cortes deben darse a un aro de cinco decímetros de longitud para tener pedazos de medio decímetro de longitud? A) 10 B) 8 C) 9 D) 11 E) 12 4. Se tiene un ula ula de 8

 metros

de radio ¿Cuántos cortes se debe realizar para tener pedazos de 400 cm de longitud? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3 5. Un alambre se corta en “t” partes, y a cada parte se le da “s” cortes, entonces cada parte queda dividido en “x” partes totales. Halle x A) t.s B) (t+s) C) (s+1)t D) (t+1)s E) (s+1) 6. Un sastre tiene una tela de 100 metros de lago y 2 metros de ancho, si divide la tela en partes iguales utilizando 9 cortes, ¿Cuánto mide cada trozo de corte? A) 10 B) 9 C) 68 D) 11 E) 12

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuántas esquinas tendrá una mesa hexagonal que ha sido cortada en tres de sus esquinas? A) 9 B) 6 C) 8 D) 7 E) 10

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7. Un herrero tiene una plancha de metal de forma rectangular de 60 metros de largo y 4 metros de ancho. ¿Cuántos días se demorara el herrero para obtener planchas de metal de 4 metros de largo y 3 metros de ancho? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3

Te preparamos para los retos…. 8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 2018-I 8. ¿Cuántos postes se puede colocar a lo largo de una avenida que tiene 8 hectómetros de longitud si los postes se colocan cada un decámetro? A) 80 B) 81 C) 82 D) 83 E) 84 9. Para cercar un terreno cuyo x 2  2 x  15 perímetro es se necesita ( x  1) estacas. Halle la separación entre las estacas. A) x  1 D) x  3

B) x  5

C) x  3 E) x  5

10. Se ha formado un pentágono regular; donde en cada lado se ha sembrado 10 árboles, ¿Cuántos arboles hay en total si en cada vértice hay un árbol? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 11. Se desea cercar un terreno de forma cuadrada de 12 metros de lado y para ello se dispone de estacas de 2 metros de altura que serán colocadas cada 4 metros (debe considerarse una estaca en cada esquina) ¿Cuántas estacas se necesitaran? A) 24 B) 36 C) 12 D) 44 E) 48 12. Rosita tiene rosas y las desea sembrar en un terreno de forma rectangular de 280 m por 120 m; tal que la distancia a lo largo entre rosa y rosa sea 4 m de largo y a lo ancho 2 m; pero le faltaría cuatro docenas y media de rosas. ¿Cuántas rosas tiene Rosita? A) 212 B) 206 C) 224 D) 200 E) 144

HABILIDAD LOGICO MATEMATICO Lic. Efraín Apaza Ticona

13. ¿Cuántas estacas se necesitarán para cercar un terreno cuya forma es de un triángulo equilátero de área igual a 10 300 m2, si las estacas se colocan cada 400 cm? A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24 14. ¿cuántas pastillas tomara un enfermo durante 2 semanas y 2 días que está en cama, si toma una cada 4 horas y empezó a tomarlas apenas empezó su reposo hasta que culmino? A) 60 B) 84 C) 36 D) 97 E) 100 15. ¿Cuántas pastillas tomara dos enfermos durante dos semanas que estarán en cuidados intensivos de un hospital; si toma dos pastillas cada 6 horas desde el comienzo hasta el final? A) 57 B) 114 C) 228 D) 144 E) 456 16. Juan espera a su enamorada en una esquina poco transitada y con poca iluminación, mientras espera observa que cada 20 minutos pasa un ómnibus. Si apenas llego pasó uno y está parado durante 6 horas. ¿Cuántos ómnibus logro ver? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 17. María tiene que tomar 2 pastillas cada 8 horas. ¿Cuántas pastillas tomara desde el domingo a las 7:00 am. Hasta las 7:00 am. del lunes dela próxima semana? A) 25 B) 50 C) 55 D) 60 E) 70

Te preparamos para los retos…. 9

Ciclo 2018 - I 18. Un enfermo toma 3 pastillas cada 5 horas y otro toma 2 pastillas cada 8 horas, si empezaron tomando juntos. ¿Cuántas habrán tomado en total los dos hasta el momento en que vuelvan a tomar los dos simultáneamente por primera vez? A) 27 B) 12 C) 32 D) 39 E) 40 19. Enfermia tomo una pastilla y media de tipo A cada 8 horas y media pastilla de tipo B cada 6 horas, hasta que la diferencia del número de pastillas tomadas sea once. ¿Cuánto tiempo duro el tratamiento? A) 2dias B) 3dias C) 4dias D) 5dias E) 6dias

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO BIBLIOGRAFIA.  Oscar Acevedo Castillo, Razonamiento Matemático, Editorial Lumbreras  Povis Vega Adolfo, Razonamiento Matemático, Editorial Moshera  Portilla Gaspar Américo, Razonamiento Matemático, Editorial Rodo  Arroyo Castillo Christian, Razonamiento Matemático, Editorial Lumbreras  Paiva Ramos Mario, Razonamiento Matemático, Editorial Delta  Goñi Galarza Juan, Razonamiento Matemático, Editorial Ingeniería  Lewis Soñibur Lenin, Razonamiento Matemático, Editorial Moshera  Jose De La Fuente Caballero, Razonamiento Matemático, Ediciones Cuzcano  Alfonso Cueva Cevillano, Razonamiento Matemático, Editorial editores Importadores SA.

20. Alrededor de un terreno circular, se siembran arboles cada  metros; luego cada árbol se ata mediante una cuerda de r metros a otro árbol ubicado en el centro del terreno. Si se emplean en total 1800 metros de cuerda, determine el valor de r A) 80 B) 60 C) 40 D) 90 E) 30 21. A un alambre de 156 cm. Se le hacen tantos cortes como longitud tiene cada parte. ¿Cuántas partes iguales se consigue? A) 13 B) 15 C) 14 D) 18 E) 12 22. ¿Cuántas estacas se necesitarán para cercar un terreno cuya forma es de un hexágono regular de área igual a 54 3 m2, si las estacas se colocan cada 2 metros? A) 20 B) 18 C) 36 D) 12 E) 24

HABILIDAD LOGICO MATEMATICO Lic. Efraín Apaza Ticona

Te preparamos para los retos…. 10

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

HABILIDAD VERBAL

Coordinador: Lic. Nelson Coila Torres Docentes:

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

UNIDAD I LA ETIMOLOGÍA CONCEPTO

Prefijos: Elemento significativo que colocado al inicio de la palabra, forma un término derivado. Ejemplos:

Las palabras están formadas propiamente por raíces y sus derivadas; y también en gran número por afijos (prefijos y sufijos) los cuales tienen gran importancia para la comprensión de diversas palabras. A. Raíz Es el elemento más simple y puro de cada palabra. Ejemplo 1: ASTERISCO

Zoológico

Cuadrúpedo

Oculista

Bisnieto

Sufijos: Elemento significativo que colocado al final de la palabra, forma una palabra derivada. Ejemplos: Carnívoro

Arqueología

Discoteca

Suicida

ASTEROIDE

Los afijos pueden ser clasificados como griegos y latinos de acuerdo a su origen.

En ambas palabras la raíz es ASTER que significa ESTRELLA.

Observa y conoce los prefijos griegos y latinos más usuales: ACTIVIDAD N° 01

Ejemplo 2: DEAMBULAR AMBULANTE En este ejemplo la raíz es AMBULAR que significa CAMINAR. Las raíces pueden ser clasificadas en griegas y latinas dependiendo de su origen. B. Afijo Letra o sílaba que se antepone o pospone a algunas voces (palabras) para añadir algo a su significado. Se clasifican en prefijos y sufijos, según su posición.

HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

APAREAR LAS RAICES GRIEGAS Y LATINAS CON SU CORRESPONDIENTE SIGNIFICADO

1. Aden o adeno

(

) vena

2. Ana

(

) anciano

3. Aniso

(

) sueño

4. Bléfaro

(

) temor

5. Cario

(

) racimo

6. Ciano

(

) lengua

7. Cisto

(

) desnudo

8. Entero

(

) erótico

Te preparamos para los retos…. 12

HABILIDAD VERBAL

Ciclo 2018 - I 9. Eritro ( ) reproductor femenino en flores 10. Eros

(

11. Estafilo ( 12. Estenosis

) intestino ) núcleo (

) leche.

13. Flebo

(

) glandula

14. Fobia

(

) párpado

15. Gala ( ) estrechez patológica de un orificio o conducto. 16. Gero

(

) ausencia, pérdida

17. Gimno

(

) vejiga

18. Gineceo (

) rojo

19. Gloso

(

) azul

20. Hipno

(

) desigual

21. Hipo

(

) hongo

22. Histero (

) estupor

23. Homo

(

) poco

24. Leuco

(

) odio

25. Levis

(

) olor

26. Levo

(

) mes

27. Malacia (

) aceite

28. Masto

) muerte

(

29. Melano (

) memoria

30. Meno

(

) izquierda

31. Meso

(

) transformación

32. Meta

(

) medio

33. Mico

(

) deficiencia

34. Miso

(

) blanco

35. Mnemos (

) negro

36. Mors

) mama

(

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

37. Narco

(

) útero

38. Odor

(

) ligero

39. Oleo

(

) reblandecimiento

40. Oligo

(

) igual

41. Omo

(

) todo

42. Onco

(

) plano

43. Onico

(

) enfermedad

44. Oo u Ovo

(

) pelo

45. Oro

(

) pus

46. Orqui

(

) niño

47. Orto

(

) formación natural

48. Osis

(

) tórax o mama

49. Oto

(

) al lado, más allá

50. Palu

(

) formación artificial

51. Pan

(

) hombro

52. Para

(

) oído

53. Patía

(

) uña

54. Pecto

(

) degeneración

55. Pedo

(

) testículo

56.Pili

(

) ovario

57. Pio montaña

(

)

58. Plasia

(

) correcto

59. Plastia

(

) pantano

60. Plati

(

) cáncer

61. Plejia

(

) lejos

62. Poyesis

(

) orina

63. Procto

(

) sueño

64. Prurito

(

) orina

65. Puer

(

) veloz

Te preparamos para los retos…. 13

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 66. Queilo

(

) ajeno

ACTIVIDAD N° 02

67. Querato

(

) veneno

68. Rub

(

) heces

ENCUENTRA DIEZ PALABRAS CON PREFIJO EN LA SIGUIENTE SOPA DE LETRAS

69. Sanitas

(

) monstruo

70. Sens acto sexual

(

) relativo al

71. Septi

(

) pelo

72. Soma engrosamiento

(

)

73. Somni

(

74. Stercur

(

U L T

R

A

O

N R

C

N A

N I

R

A I

F

T

I

O

L M M I

G M I

N O

) ano

V

A E

I

E

H E

I

) rojo

I

S

J

R

M M A

75. Tana o tanato (

) nutrición

N E T

K Ñ O B

R

T F

76. Taqui

) niño

M T R

S

P

R

R

O E

O

N E

N M L

E

K E R

L

A M R

(

77. Tele o telo parálisis

(

)

78. Terato

(

) salud

79. Toxo

(

) cuero

80. Trico

(

) infección

81. Trofo

(

) muerte

82. Tuber

(

) cuerpo

83. Uria

(

) formación

84. Uro

(

) picor

85. Venereo

(

) sentido

86. Xeno

(

) labio

S

R

O

T

E

U M B A

N A

I

B

N S

D

B

R

J

E I

A P

_________________ ____________________

_________________ ____________________

_________________ ____________________

_________________ ____________________

_________________ ____________________

HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

Te preparamos para los retos…. 14

HABILIDAD VERBAL

Ciclo 2018 - I ACTIVIDAD N° 03 IDENTIFIQUE EL SIGNIFICADO DE LAS SIGUIENTES RAÍCES

N° RAIZ (GRIEGA)

SIGNIFICADO

N° RAIZ (LATINA) 1

BIOS

2

BIBLION

3

BARYS

4

FACIOFACTUM

1

BONUS

2

BENE

5

CINIS

3

LABOR

6

ACER

4

BUCCA

7

NUNCIUS

5

LIBER

8

CENTUM

6

CAPUT

9

CENTRUM

7

RUBER

10

8

BELLUM

GENUSGENERIS

9

KEFALE

11

LONGUS

10

KYSTIS

12

GELU

11

GENOS

13

GEROGESTUM

12

GIMNOS

14

13

LOGOS

LEGOLECTUM

14

ERGON

15

VENTUS

15

ALGOS

16

VOLARE

16

GYNEE

17

VOCARE

17

GEO

18

VORARE

18

ANTROPOS

19

NOVUS

19

TEOS

20

VITRUM

20

CAVUS

21

VAGARE

21

PULVIS

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

SIGNIFICADO

Te preparamos para los retos…. 15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario ACTIVIDAD N° 04

B) Carácter genético.

MARQUE LA ALTERNATIVA CORRECTA

C) Condiciones genéticas favorables.

1. MISOGINIA

D) Perfeccionamiento de la raza. E) Ciencia que estudia los genes.

A) Misa ofrecida exclusivamente a mujeres. B) Tendencia al sufrimiento. C) Repudio a la mujer. D) Aberración genética. E) Origen de la mujer.

5. PEDOFILIA A) Tendencia a la flatulencia. B) Atracción enfermiza hacia los niños. C) Protección para los niños. D) Propensión a educar a los demás.

2. MUSICOTERAPIA

E) Homosexualidad.

A) Curación de un músculo. B) Composición musical. C) Música relajante. D) Música en un hospital. E) Curación a través de la música.

3. ANTROPOCENTRISMO A) Tendencia a considerar al hombre como centro. B) Conjunto de habitantes de una ciudad. C) Tendencia a poblar las capitales de un país. D) Condición de ciudadano del mundo. E) Ciencia que estudia las comunidades primitivas.

4. EUGENESIA

6. HEMISFERIO A) Globo terráqueo. B) Línea que divide una cosa en dos. C) Esfera que presenta divisiones. D) Mitad de la superficie de la esfera terrestre. E) Territorio de un continente.

7. CALIGRAFÍA A) Corrección de errores ortográficos. B) Cuaderno donde se practica la escritura. C) Aprendizaje de la escritura. D) Arte de escribir con letra bella. E) Costumbre de escribir con letra corrida.

A) Origen de una raza.

HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

Te preparamos para los retos…. 16

Ciclo 2018 - I

HABILIDAD VERBAL

8. VEROSIMILITUD

12. PATÓGENO

A) Semejanza con la mujer.

A) Que tiene un pie grande.

B) Semejanza con la verdad.

B) Que tiene hongo en los pies.

C) Apariencia de inteligencia.

C) Que origina enfermedad.

D) Apariencia de Felicidad.

D) Que padece una enfermedad.

E) Confianza en una información.

E) Que tiene problemas genéticos.

9. OMNÍVORO

13. POLIANDRIA

A) Que tiene mucho poder.

A) Conjunto de varones.

B) Que come de todo.

B) Matrimonio con varios hombres.

C) Que es capaz de devorar.

C) Enfermedad genética en el varón.

D) Que todo lo ve.

D) Distintas apariencias en los varones.

E) Que come vegetales. 10. NIHILISMO

E) Sistema de gobierno en sociedades machistas.

A) Actitud de rebelarse contra la sociedad. B) Doctrina de los que reniegan de Dios. C) Corriente artística de la antigüedad. D) Doctrina que promueve el placer. E) Doctrina que propone la negación de todo principio.

11. EGOLATRÍA A) Adoración de ídolos. B) Adoración a varios dioses. C) Atracción que se provoca en otros. D) Adoración a sí mismo. E) Acto de herejía.

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

14. ORTODOXIA A) Corrección de los dientes. B) Rectitud de conducta. C) Firmeza para tomar una decisión. D) De acuerdo con la doctrina. E) Conformidad con lo acordado.

15. CEFALALGIA A) Propiedad de tener varias cabezas. B) Dolor de cabeza. C) Parte superior de la cabeza. D) Enfermedad crónica. E) Tumor cerebral.

Te preparamos para los retos…. 17

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 16. ETNOLOGÍA A) Ciencia que estudia la sociedad. B) Disciplina que trata sobre las diversas lenguas. C) Ciencia que estudia las causas de las enfermedades. D) Ciencia que estudia causas de costumbres y tradiciones de los pueblos. E) Disciplina que trata sobre la conducta de los animales.

17. El instrumento que mide ÁNGULOS es: A) Anemómetro B) Espirómetro C) Goniómetro D) Odómetro Areómetro

E)

20. La ETIOLOGIA es la ciencia que estudia: A) A Dios

C) Las costumbres D) Lo infinito E) Los ritos

21. La aversión a los ESPACIOS ABIERTOS es: A) Acrofobia C) Agorafobia Ailurofobia

A) Gliptoteca B) Hemeroteca C) Oploteca D) Pinacoteca Giptoteca

E)

B) Acluofobia D)

E) Alectrofobia

22. La obtención del poder por medio de un GOLPE DE ESTADO se expresa con la palabra: A) Autocracia Dictadura

18. La palabra que expresa el deposito para ARMAS es:

B) Las causas

C) Eucracia

B) D) Factocracia

E) Autarquía

23. El padre que mata a SU HIJO, específicamente comete un: A) Asesinato

B) Delito

19. La palabra que expresa la privación del CONOCIMIENTO es:

C) Filicidio

D) Homicidio

A) Amenorrea C) Apepsia

E) Fraticida

D) Atimia

B) Amnesia E) Apatía

24. La HOMOSEXUALIDAD MASCULINA, es una desviación sexual denominada: A) Fetichismo

HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

B) Sodomía

Te preparamos para los retos…. 18

HABILIDAD VERBAL

Ciclo 2018 - I C) Travestismo Voyerismo

D)

E) Narcisismo

29. La PAIDOLOGIA es la ciencia relativa a la : A) Infancia C) Mujer

25. La sustancia que se utiliza para matar HONGOS se denomina: A) Fungicida Germicida

B)

C) Hongicida Insecticida

D)

30. La ciencia que trata de la clasificación de las PLANTAS es la:

C) Taxidermia Taxonomia

26. El ser que se alimenta de HUEVOS se denomina: A) Apívoro

B) Huevófago

C) Oófago

D) Ovíparo

E) Omnívoro

D) Vejez

E) Ancianidad

A) Botánica

E) Vermicida

B) Locura

B) Fitologia D)

E) Hidrología ACTIVIDAD N° 05 Relacione las siguientes palabras con sus respectivos significados. a. Dificultad que se presenta en el parto. (

) antipirético

b. Punto más cercano al sol. 27. La alternativa que expresa dolor a la MANO es: A) Artralgia

B) Dactialgia

(

c. Medicamento que baja la fiebre. (

C) Mialgia

D) Quiralgia

28. La palabra que expresa inflamación a los OJOS es: A) Conjuntivitis

B) Glositis

C) Oftalmitis

D) Otitis

E) Gingivitis

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

) distocia

d. Parálisis de la mitad del cuerpo. (

E) Ulalgia

) hipertrofia

) perihelio

e. Parte de la geología que estudia los terremotos. (

) acrópolis

f. Mamífero con cuernos cercanos a la nariz. (

) polémica

g. Examinación(análisis) de los tejidos de un ser vivo

Te preparamos para los retos…. 19

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario (

) paleología

h. Dolor a lo largo del espinazo. (

) taxidemia

i. Arte de atacar o defender una plaza. (

) biopsia

j. Arte de disecar animales muertos (hecho con cierto orden) (

) Raquialgia

k. Ciudad muy alta (

) rinoceronte

l. Tratado dela historia primitiva del lenguaje. (

) sismología

ll. Frase o palabra anticuada (

) arponar

m. Modelo original. (

) dolicocéfalo

(

) Arquetipo

s. Ciencia que trata de la conservación, cultivo y explotación de los montes. (

) Hipocresía

t. De forma de árbol (

) Cacodemo

u. Herir con arpón (

) Dasonomia

w. Profundidad grande, imponente y peligrosa. (

) Arcaísmo

ACTIVIDAD N° 06 IDENTIFICA EN EL PUPILETRAS PALABRAS CON LAS RAICES PROPUESTAS Y UBÍCALAS EN LOS ESPACIOS. S A L T E R C A D O B

n. Luchar contra la extinción.

I

(

G D G R D N I

) Eunuco

U N E O A N M C A I

ñ. De cabeza larga

N I

(

I

) Abismo

N I

C X I

o. De doble carácter. Que finge

F I

(

I

) Calipedia

Z

I

I

G A R O

T A R T T

Ñ A G D F E

T N T F D S

O E X A A I

I

G C

B O E N

p. Genio del mal.

C N M A E T E C P Z I

(

A D E N T I

) Dendriforme

q. Arte quimérico de procrear hijos bellos (

) Agonizar

r. Hombre castrado que custodia serrallos.

HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

S

T A X C

N A T F S B M Y T D A T S E R L O I

K I

D O

E G O L A T R A A E G

Te preparamos para los retos…. 20

HABILIDAD VERBAL

Ciclo 2018 - I 

SIGNUM ______________________ _________



¡No seas tan ________________! Es horade que te olvides el “_____________del hijo único”



BIO



Estaba_____________. La temperatura en la ciudad era sumamente baja.



Miraba el periódico _____________en sus pensamientos.

______________________ _________ 

EGO ______________________ _________



AUDIRE ______________________ _________



En ese pueblo se práctica la______________ era supervisada por los curacas.



ALTER ______________________ _________





CARDIA ______________________ _________

Su hijo recibió la medalla____________ con la que lo condecoraron después de su muerte.



DENTIS ______________________ _________

La _________________de los herederos fue corroborada por los notarios.



Esos temas serán tratados de forma ____________por los nuevos profesores



El descubrimiento ________________trajo mucha gloria



ACTIVIDAD N° 07 COMPLETA LOS SIGUIENTES TEXTOS UTILIZANDO LOS TÉRMINOS DEL RECUADRO

ACTIVIDAD N° 08 ABSORTO PÓSTUMA

EXPLICAR

MARQUE LA ALTERNATIVA CORRECTA

TRANSVERSAL HUMUS

SUCESIÓN

1. AGLUO

ABÚLICO

HIPOTÉRMICO

SÍNDROME

MONOGAMIA

A) tiempo

B) claridad C) cantidad

D) oscuridad E) hombre

ANTROPOLOGICO



No pudo________________en la clase sobre el ___________ , a pesar que sabía que este último era lo que la tierra necesitaba

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

2. AGRA A) contra

B) fuerza

D) agricultura

C) violación

E) campo

Te preparamos para los retos…. 21

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 3. ARISTO

D) deporte

A) gobierno B) lejos inflamación D) mejor

E) pueblo

C) 10. ICTER

E) antigüedad

A) alimento B) estómago C) pez D) pulmón

E) amarillo

4. BRADI A) pequeño B) lucha articulación D) lento

C)

11. AGLUO A) tiempo

E) fondo

B) claridad C) cantidad

D) oscuridad E) hombre 5. CERAUNO A) rayo belleza D) carrera

B) presión

C)

12. AGRA A) contra

E) lejos

B) fuerza

D) agricultura

C) violación

E) campo

13. ARISTO 6. DEONTO A) imagen origen

B) moral

C)

A) gobierno B) lejos C) inflamación D) mejor

D) movimiento

E) antigüedad

E)camino 14. PTERIGIO

7. EDAFO A) dedos C) suelo

B) años

D) ojos

E) calle

A) ala aleta

B) vagina

D) digestión

E) de nuevo

C)

15. BRADI 8. FUNGI A) estómago B) mariposa C) insecto D) hongos

E) intestino

D) lento

E) fondo

16. TIMO

9. GIMNO A) valor causa

A) pequeño B) lucha C) articulación

B) desnudo C)

HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

A) honor amarillo

B) espada

C)

Te preparamos para los retos…. 22

HABILIDAD VERBAL

Ciclo 2018 - I D) azul

E) señal

17. RABDO A) castigo C) hierro

B) vara

D) visible

E) inclinado

A) Enofilia Heliofilia

B) Halofilia C)

D) Xenofilia

E) Talosofía

23. La ciencia que estudia la SANGRE es: A) Anemia Citoplasma

18. ZIMA

D) Hematología

A) herida alimenticio

B) levadura C)

D) elevado

E) espada

E) Artragia

24. La persona que siente rechazo al TRABAJO, sufre de: A) Agorafobia B) Androfobia C) Ergasiofobia

19. KATAGELO A) caminante C) ridículo

B) azúcar

D) naturaleza mentiroso

E)

D) Lisofobia

E) Lupofobia

25. La palabra que expresa pasión por la TRISTEZA es: A) Iconomanía B) Lipemania C) Queromanía

20. XIFO A) espada C) madera

B) clima

D) obstáculo

E) antigüedad

21. La curación por medio de los RAYOS SOLARES es: A) Fototerapia B) Helioterapia C) Talasoterapia D) Termoterapia Piroterapia

B) Citología C)

E)

22. El ser que siente inclinación por la SAL, sufre de:

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

D) Tanatomania Lalomanía

E)

26. El seccionamiento de una VENA se denomina: A) Cistectomania Flebotomía C) Herida

B)

D) Tricotomia Hematomanía

E)

27. A la falta de buena DIGESTIÓN se denomina: A) Acolia Atonía

B) Anuria

C)

Te preparamos para los retos…. 23

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario D) Apepsia

E) Adipsia

28. La alternativa que expresa el depósito de PLUMAS es: A) Quiroteca Planoteca

B) Pteroteca C)

D) Xiloteca

E) Ludoteca

29. El que mata a su esposa es un: A) Viricida B) Matricida C) Magnicida D) Homicida E) Uxoricida

33. El instrumento que mide la distancia recorrida se llama: A) tensiómetro barómetro

B) taxímetro C)

D) odómetro

E) amperímetro

34. Relacione las locuciones latinas con los significados correspondientes. a. De facto

(

) A propósito

b. Superávit Carrera de vida

30. El rechazo a los TRUENOS se conoce como: A) Brontofobia B) Querofobia C) Fotofobia D) Aclufobia E) Uxoricida

c. A priori

( (

) De lo anterior

d. currículum vítae cabeza e. Ad hoc

(

(

g. In vitro mismo

( (

) Por

) De hecho

f. In fraganti ejemplo

31.La curación por medio del AIRE caliente se denomina:

)

) Por

) En el acto

A) Termoterapia Radioterapia

B)

h. Per cápita pueblo

(

) Voz del

C) Aerotermoterapia Piroterapia

D)

i. Verbi gratia favor

(

) Saldo a

h. Vox pópuli vidrio

(

) En el

E) Ergoterapia

32. La ciencia que se encarga del estudio de los reptiles es la: A) Angiología B) Anfibología C) Hierología D) Herpetología

E) Petrología

35. Relacione correctamente los siguientes étimos con sus significados correspondientes. 1. Étimo I. Pan

a. morada

II. Cali

b. raza

III. Eco HABILIDAD VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

Significado

c. belleza

Te preparamos para los retos…. 24

HABILIDAD VERBAL

Ciclo 2018 - I IV. Etno

d. totalidad

A) Ib, IIa, IIId, IVc B) Ia, IId, IIIc, IVb C) Id, IIc, IIIb, IVa D) Id, IIc, IIIa, IVb

E) Id, IIa, IIIc, IVb

BIBLIOGRAFIA 

SAN MARCOS ( 2010) COMPENDIO DE RAZONAMIENTO VERBAL Editorial San Marcos. Lima.



Álvarez Penales, Francisco. Arqui Genios. Editorial Bruño Lima, Perú, 2010.



Esquivel, B. (2007). Razonamiento Verbal, Edit. Colecciones Jóvic. Lima – Perú.



Octavio Boza Choquehuanca (2010) RAZONAMIENTO VERBAL Ediciones C G A. Lima



Santos F. Ludeña Segovia. RAZONAMIENTO VERBAL Ediciones INDEPENDENCIA. Arequipa

E) Id, IIb, IIIa, IVc



Tito, J. (2015). Habilidad Verbal. S/edit. Juliaca – Perú.

37. Relacione correctamente los siguientes étimos con sus significados correspondientes.



compendio colegios trilce 2012

E) Ic, IId, IIIb, IVa

36. Relacione correctamente los siguientes étimos con sus significados correspondientes. Étimo

Significado

I. Foto

a. recto

II. Orto

b. nombre

III. Gen

c. origen

IV. Nomen d. luz A) Ia, IId, IIIc, IVb B) Id, IIIa, IIc, IVb C) Ib, IIc, IIIa, IVd D) Id, IIa, IIIc, IVb

Étimo

Significado

I. Aero

a. debajo de

II. Endo

b. pequeño

III. Hipo

c. dentro

IV. Micro

d. aire

A) Ib, IIa, IIId, IVc B) Id, IIc, IIIb, IVa C) Ib, IIa, IIIc, IVd D) Id, IIc, IIIa, IVb

HABILIDAD LOGICO VERBAL Lic. Nelson Coila Torres

Te preparamos para los retos…. 25

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario .

ARITMÈTICA TEORIA DE CONJUNTOS

Coordinador: Docente:

Lic. Angel J. Calsin C. Lic. Beltran Caza Ch.

Aritmética Lic. Angel J. Calsin C

1

Te preparamos para los retos…. 26

Aritmètica

Ciclo 2018 - I

UNIDAD N° 01

Tambi´en se dice A es subcunjunto de B Conjuntos iguales: Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos, es decir:

Curso: Aritm` etica TEORIA DE CONJUNTOS

A = B ⇐⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

¿Qu´ e es un conjunto? Un conjunto es una colecci´on o agrupaci´on de objetos bien definidos (llamados elementos) pueden ser abstractos y / o concretos. Todo conjunto se puede determinar por:

Conjunto potencia P (A): Est´a formado por todos los subconjuntos que tiene A, se le denota con “P (A)” y tiene 2n elementos, donde “n” es el n´ umero de elementos de A.

1. Por extensi´ on: Resulta cuando se nombra CLASES O TIPOS DE CONJUNTOS explicitamente a cada uno de los elementos que • Conjunto universal o referencial: conforman el conjunto. Dados dos o mas conjuntos, se llama conjunto universal o referencial de ellos, a otro conjunto Ejemplo: que contiene a los conjuntos dados A = {2; 3; 5; 7} Usualmente el conjunto universal se representa gr´aficamente por un rect´angulo y 2. Por comprensi´ on: Resulta cuando se da a simb´olicamente por U conocer una caracter´ıstica com´ un a todos los elementos que forman un conjunto. • Conjunto vaci´ o: Es aquel conjunto que no tiene elemento alguno, se representa por φ o Ejemplo: por { } y se define como: A = {x/x es un n` umero primo menor que 11} φ = {x/x 6= x} ´ RELACION DE PERTENENCIA (∈) • Conjunto finito: Un conjunto A es finito Un elemento pertenece a un conjunto cuando cuando es vacio o cuando se puede contar a forma parte de dicho conjunto . La pertenencia todos sus elementos y llegar as´ı hasta un ul(∈) es un vinculo que va de elemento al contimo elemento junto al cual pertenece, mas no entre elementos o conjuntos. A = {a1 ; a2 ; a3 ; ...; an } Luego se define el n´ umero de elementos o cardinal de un conjunto finito como el n´ umero n de elementos no repetidos que posee. card(A) = n

(Elemento) ∈ (conjunto)

Ejemplo: A = {4; {5}; {4; 5}; 6} • Conjunto unitario: Llamado tambi´en sinDe las proposiciones: glent´on, caracterizado por poseer un solo ele•4 ∈ A •5 ∈ /A mento. •φ ∈ /A •{5} ∈ A ´ DE INCLUSION ´ (⊂) RELACION • Conjunto infinito: Cuando no es finito. El conjunto A esta incluido en B, cuando todos OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS los elementos de A son tambi´en elementos de B. La inclusi´ on (⊂) se da entre conjuntos. • Uni´ on de conjuntos: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ⊂ B ⇐⇒ ∀x ∈ A → x ∈ B 1 Aritmética Lic. Angel J. Calsin C.

Te preparamos para los retos….

27

Aritmètica

Ciclo 2018 - I • Intersecci´ on de conjuntos:

• A∪A=A • A∩A=A

A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}

• A4A = A 2. ASOCIATIVA:

• Diferencia de conjuntos:

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ C

A − B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ / B}

• A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C 3. CONMUTATIVA:

• Complemento:

• A∩B =B∩A Ap = {x/x ∈ U ∧ x ∈ / A}

• A∪B =B∪A • A4B =B4A

• Diferencia sim´ etrica:

4. DISTRIBUTIVA: • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A4B = {x/x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ / A ∩ B}

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ´ 5. DE LA INCLUSION:  A∪B    A ∩ B • Si: A ⊂ B ⇒  A−B    A4B

Interpretaci´ on de algunas regiones sombreadas

=B =A =φ =B−A

6. ELEMENTO NEUTRO: • A∪φ=A • A∩φ=φ • A∪U =U • A∩U =A 7. DE LA DIFERENCIA: • A − B = A ∩ Bp • A − B = B p − Ap

Diagrama de Carrol

´ 8. DE LA EXCLUSION:

RELACIONES CON CARDINALES • Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)

• Si: A y B son disjuntos   A ∩ B = φ ⇒ A−B =A   A4B =A∪B

• Card(A − B) = Card(A) − Card(A ∩ B) LEYES Y PROPIEDADES DE ALGEBRA DE CONJUNTOS

9. DEL COMPLEMENTO:

1. REFLEXIVA: 2 Aritmética Lic. Angel J. Calsin C.

Te preparamos para los retos….

28

Aritmètica

Ciclo 2018 - I • (Ap )p = A

A) 1 D) 4

• A ∪ Ap = U • A ∩ Ap = φ

B) 2 E) 5

C) 3

4 Si: A ∩ B 6= ∅ y adem`as:

• φ =U

n [P (A ∪ B)] = 256

• Up = φ

n(A) − n(B) = 1

p

n (A ∩ B) = 3

10. LEYES DE MORGAN: • (A ∩ B)p = Ap ∪ B p

Hallar: n(B)

• (A ∪ B)p = Ap ∩ B p

A) 3 D) 8

B) 5 E) 6

C) 7

´ 11. DE ABSORCION: 5 Si: C = {2; 6; 12; 20; ...; 110}

• A ∩ (A ∪ B) = A

halle el n` umero de subconjuntos propios de C

• A ∪ (A ∩ B) = A

A) 1023 D) 2047

• A ∩ (Ap ∪ B) = A ∩ B

B) 1024 E) 15

C) 1025

• A ∪ (Ap ∩ B) = A ∪ B 6 En una poblaci´on: 50% toma leche, el 40% come carne, ademas solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54% . ¿Cual es el porcentaje (%) de los que no toman leche ni comen carne? A) 28 B) 25 C) 61 D) 32 E) 4

EJERCICIOS 1 Dado el conjunto A : A = {3; {8} ; 4; {2; 5}} Indicar el valor de verdad de cada proposici`on: I. 3 ∈ A II. {8} ∈ A III. 6 ∈ /A

IV. 2 ∈ A V. {4} ∈ /A VI. 2 ∈ {5}

7 En una reuni`on hay 40 personas, de las cuales 24 personas bailan, 10 mujeres cantan, 8 personas no cantan ni bailan y 7 mujeres cantan y bailan. Halle la cantidad de varones que cantan, pero no bailan.

y dar como respuesta el numero de proposiciones verdaderas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 7 D) 3

2 Hallar el numero de elementos del siguiente conjunto: A=

√

B) 2 E) 5

C) 6

8 De un grupo de estudiantes del CEPREUNAJ, 31 visitaron los Urus, 29 Sillustani , 34 Chucuito, 38 solo un lugar , 22 exactamente dos lugares. Si todos los estudiantes visitaron al-menos un lugar ¿Cuantos visitaron los 3 lugares y cuantos eran en total? A) 4 y 64 B) 5 y 64 C) 6 y 67 D) 3 y 68 E) 4 y 15

x/ (3x + 1) ∈ Z+ ; x < 2

A) 6 D) 4

B) 5 E) 4

C) 3

3 Si A = {4; 5; {∅; 2} ; 8} ¿Cuantas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. 4 ⊂ A IV. {∅; 2} ∈ A II. 5 ∈ A V. {5; 8} ∈ A III. ∅ ∈ A

9 Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y A ∪ B tiene 32 subconjuntos. ¿Cuantos subconjuntos propios tiene A ∩ B? 3

Aritmética Lic. Angel J. Calsin C.

Te preparamos para los retos….

29

Aritmètica

Ciclo 2018 - I A) 0 D) 3

B) 2 E) 4

C) 8

A = {a2 + 1; 3a − 1} y B = {4b + c; b − 2c + 18} son unitarios, calcule el mayor valor de a+b+c

10 De un grupo de 41 jovenes 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. ¿Cuantos solamente estudian? A) 7 D) 9

B) 10 E) 11

A) 6 D) 9

C) 8

B) 7 E) 10

C) 8

16 Simplificar: 0

[(A0 ∪ B) ∩ (B 0 ∪ A)] ∪ (A ∩ B)

11 En un salon de clases: 3 1 de los alumnos usan reloj , de los alumnos 5 3 2 solo usa anteojos y los usan anteojos y reloj 5 ¿Que fracci`on de los alumnos no usan anteojos ni reloj? 3 2 1 A) B) C) 25 25 15 4 1 D) E) 25 5

A) B D) A ∩ B

• n(A) − n(B) = 2 • n [P (A)] + n [P (B)] = 640 • n [P (A ∩ B)] = 32 Calcule n (A ∪ B) A) 16 D) 12

n(A ∪ B) = 12 n(A − B c ) = 6

C) 10

A = {x + 1/x ∈ Z; 1 < x < 6} o nx ∈ Z/x ∈ A B= 3 Hallar n(A) + n(B)

Calcule n [P (A4B)] B) 16 E) 128

C) 32

A) 8 D) 12

13 Si el conjunto A tiene 128 subconjuntos y el conjunto B tiene 15 subconjuntos propios; hallar el valor de 5 n(A) + 3 n(B) B) 12 E) 47

B) 175 E) 180

B) 6 E) 10

C) 15

19 Si el conjunto A tiene 2 elementos mas que B y a su vez 48 subconjuntos mas que dicho conjunto. Hallar el cardinal de A

C) 20

A) 8 D) 5

14 De un grupo de 210 turistas, se observ`o que a 10 personas no le gusta la comida peruana, a 20 personas no les gusta la comida china y a 5 no les gusta ninguna de las dos. ¿A cuantas personas le gusta ambas comidas? A) 185 D) 195

B) 15 E) 11

18 Dados los conjuntos:

n(A) − n(B) = 2

A) 35 D) 21

C) A ∪ B

17 Dados los conjuntos A y B, se cumple que

12 Dados los conjuntos A y B, se cumple que

A) 8 D) 64

B) A E) A0

B) 6 E) 4

C) 7

20 Utilizando leyes de conjuntos, simplifique la siguiente expresi`on:

C) 190

{(A − B) ∩ (A ∪ C)c }∩{(Ac − B) ∪ (Ac ∩ B)c } A) ∅ D) (A ∩ C) − B

15 Si los conjuntos

B) A − B E) (A ∩ B)c

C) C c

4 Aritmética Lic. Angel J. Calsin C.

Te preparamos para los retos….

30

Aritmètica

Ciclo 2018 - I

Calcule la suma de los cardinales de A y B

21 En un aula del CEPREUNAJ donde estudian 50 alumnos entre varones y mujeres se observ`o lo siguiente:

A) 12 D) 8

• 8 mujeres tienen 15 a˜ nos • 19 mujeres no tienen 16 a˜ nos • 6 varones no tiene 15 ni 16 a˜ nos

Todos los varones tenian mas de 20 a˜ nos, 25 de las mujeres eran casadas, mientras que 15 de los trabajadores casados tenian mas de 20 a˜ nos y 10 de las mujeres casadas tenian mas de 20 a˜ nos. Si hay 60 que tienen mas de 20 a˜ nos , hallar la diferencia entre el numero de trabajadores con menos de 20 a˜ nos y el numero de mujeres solteras con menos de 20 a˜ nos.

¿Cuantos varones tienen 15 o 16 a˜ nos? B) 14 E) 10

C) 16

22 Si A y B son conjuntos iguales A = {32; x2 + 3} B = {7; 2y }

A) 15 D) 18

donde x e y son enteros positivos, calcule n (D), donde     5n − 2 + ∈Z x≤n≤y D= 3 A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 9

24 En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una f´abrica se obtuvo la siguiente informaci´on:

• 20 mujeres no tienen 15 a˜ nos

A) 12 D) 18

B) 10 E) 7

B) 16 E) 42

C) 51

25 A un matrimonio asistieron 150 personas, el n` umero de varones es el doble del n` umero de mujeres. De los varones 23 no usan reloj pero si tienen terno y 42 tienen reloj. De las mujeres; los que no usan minifalda son tantas como los varones que no usan terno ni reloj y 8 tiene minifalda y reloj. ¿Cu`antas mujeres usan minifalda pero no reloj?

C) 6

23 Dados los conjuntos A = {x es par/6 ≤ x < 15}    x+1 B= ∈ N/2 ≤ x ≤ 13 3

A) 6 D) 9

B) 7 E) 5

C) 8

5 Aritmética Lic. Angel J. Calsin C.

Te preparamos para los retos….

31

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

ALGEBRA

Coordinador: Lic. Enrique Jotadelo Mamani Docentes:

32

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario Ejemplo:

UNIDAD I

𝟐𝟑 = 𝟐. 𝟐. 𝟐 = 𝟖

TEORIA DE EXPONENTES

𝟐𝟏 = 𝟐

1. POTENCIACIÓN Es la operación matemática que tiene por

3. ∀𝑎 ∈ 𝑅 − {0} ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 + 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:

objetivo encontrar una expresión llamada

𝑎−𝑛 =

potencia, conociendo previamente otras dos expresiones

denominadas

base

(b)

y

exponente (n).

Ejemplo: 1 1 = 2 3 9 TEOREMAS 3−2 =

𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 ; 𝑏∈𝑅 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑛 ∈ 𝑍 𝑝 = 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ; 𝑝 ∈ 𝑅

𝑏𝑛 = 𝑝

1 𝑎𝑛

a) Producto de potencias de bases iguales.

Ejemplo:

∀𝒂 ∈ 𝑹 ∧ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍

72 = 49

𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Aquí se observa lo siguiente: 7: representa a la base 2: representa al exponente 49: representa a la potencia 2. TEORÍA DE EXPONENTES La teoría de exponentes es un conjunto de definiciones y teoremas que permiten un

Ejemplo: 𝑥 2 . 𝑥 6 = 𝑥 2+6 = 𝑥 8 b) División de potencias de bases iguales. ∀𝑎 ∈ 𝑅 − {0} ∧ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍 +

manejo adecuado y el desarrollo de las 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑎𝑛

operaciones de potenciación y radicación DEFINICIONES 1. ∀ 𝑎 ∈ 𝑅 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:

Ejemplo: 𝑥7 = 𝑥 7−4 = 𝑥 3 𝑥4

𝑎0 = 1

c) Potencia de un Producto.

EJEMPLO.

∀𝒂 ∧ 𝒃 ∈ 𝑹 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍



40 = 1



(−8)0 = 1

2. ∀𝑎 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑍 + 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑎 ; 𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎 ; 𝑛 ≥ 2 "n" 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛 Ejemplo: (2𝑥)3 = 23 . 𝑥 3 = 8𝑥 3 d) Potencia de un cociente

Te preparamos para los retos…. 33

ALGEBRA

Ciclo 2018 - I ∀𝒂 ∧ 𝒃 ∈ 𝑹 𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆

𝒎

𝒏

√𝒂𝒎 = 𝒂 𝒏

𝒃 ≠ 𝟎, 𝑛 ∈ 𝑍 TEOREMAS

𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏

𝑛

𝑛

a) ∀ √𝑎, √𝑏 ∈ 𝑅 𝑛

Ejemplo:

𝑛

𝑛

√𝑎 . √𝑏 = √𝑎𝑏

𝑦 2 𝑦2 𝑦2 ( ) = 2= 7 7 49

𝑛

𝑛

b) ∀ √𝑎, √𝑏 ∈ 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 ≠ 0 𝑛

√𝑎

𝑛

e) Potencia negativa de un cociente

√𝑏

𝑛

= √

𝑎 𝑏

∀𝐚 ∧ 𝐛 ∈ 𝐑; 𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐚 ∧ b son ≠ 0, n ∈ Z 𝑎 −𝑛 𝑏 ( ) = 𝑏 𝑎

𝑛

=

𝑏𝑛 𝑎𝑛

𝑛

c) ∀ √𝑎 ∈ 𝑅 ∧ 𝑚𝜖𝑅

= √𝑎𝑏

𝑚 𝑛

√ √𝑎 =

Es la operación matemática inversa a la potenciación cuyo objetivo es encontrar una

𝒏

dos

𝒏

𝒏 = 𝒏√𝑎𝑏 𝒂) √𝒙 √𝒙 √𝒙 … √𝒙 = 𝒙

expresión llamada raíz (b), conociendo otras

√𝑎

Propiedades

3. RADICACIÓN

previamente

𝑚𝑛

𝒎𝒏−𝟏 𝒎𝒏

"𝒎" 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒍𝒆𝒔

expresiones

denominadas radicando (a) e índice (n).

𝒏

𝒏

𝒏 𝒃) √𝒙 √𝒙 √𝒙 … =

𝒏−𝟏

√𝒙

𝑏 = 𝑟𝑎í𝑧 ; 𝑏∈𝑅 𝑛 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 ; 𝑛 ∈ 𝑍+ 𝑎 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 ; 𝑎 ∈ 𝑅

𝑛

√𝑎 = 𝑏

𝒏

⬚ = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙

𝒏

𝒏 𝒄) √𝒙 ÷ √𝒙 ÷ √𝒙 … =

4. INTRODUCCIÓN

Ejemplo: En √64 = 4, 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎: 3 es el

ECUACIONES

índice, 64 es el radicando y 4 es la raíz.

TRASCENDENTES

3

𝒏+𝟏

√𝒙

A

LAS

Es aquella ecuación donde al menos

DEFINICIONES a) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 + 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:

uno de sus miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos:

𝒏

√𝒂 = 𝒃 ↔ 𝒂 = 𝒃

𝒏

3

Ejemplo: √8 = 2 ↔ 8 = 23 b) ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∧ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍 + 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

a) Formando parte de algún exponente. 𝟒𝒙−𝟐 = 𝟔𝟒 b) Como base y exponente a la vez

Te preparamos para los retos…. 34

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 𝒙𝒙 = 𝟗

𝑎−𝑏

𝑎−𝑏

√4𝑎 +

𝐻=

𝑎−𝑏

√2𝑎+𝑏

c) Afectada por algún operador a) 5/4

𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙) = 𝟏 4.1. ECUACIONES

√4𝑏

b) 5/8 c)2

d) 1 e) 5/2

5. Halle “x” de:

EXPONENCIALES

4𝑥+1 = 48 − 22𝑥+3

Es la ecuación trascendente que presenta

𝑎) 1

𝑏)2

𝑐)3

𝑑)4

𝑒)5

a su incógnita formando parte de algún exponente.

6. Reducir

Ejemplo: 𝑀= 𝟐 −𝟏

𝟓𝒙

= 𝟐𝟓

𝑎) 54

3𝑥−1 − 3𝑥 + 3𝑥+1 3𝑥−3

𝑏)45

𝑐)63

𝑑)1

𝑒)7

7. Reducir 𝑛

𝑀= √

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Simplifique: 𝑛

√

10

𝑎) 8

90𝑛+1 9𝑛+2 + 32𝑛+2 b) 9

c) 9n d)10n e) 1

√

3𝑛𝑎+𝑏 4𝑛𝑎+𝑏

1

a) 𝑛

𝑇= 𝑎) 25 9. Si 𝐴 =

4𝑛2𝑎

+ + 3𝑛2𝑏

b) n

𝑐)4

𝑏)26

𝑥𝑥

5𝑥+4 −5𝑥+2

a) 4

b) 9

√

𝑦 𝐵=

5𝑥

𝑒)24

3𝑦+5 −3𝑦+3 3𝑦

𝐴

c)1

d) 𝑛2

e) √𝑛

𝑎) 10

𝑏)100

𝑐)

d) 25

100 36

𝑑)216

𝑒)600

10. Si 𝑘 = 𝑒 𝑚 , el valor de:

(12𝑎+𝑏 )(18𝑏+𝑐 )(36𝑎+𝑐 ) (22𝑎+𝑏+𝑐 )(3𝑎+2𝑐+𝑏 ) c)16

𝑑)216

Halle : 𝑆 = 36 (𝐵)

3. Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍 , 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒: 𝑎+𝑏+𝑐

𝑒)64

2𝑥+1

𝑐)22

+

𝐸=

𝑑)16

8. Si 𝑥 𝑥 = 2. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒

2. Simplifique: 𝑎−𝑏

𝑏)2

64𝑛 + 162𝑛 8𝑛 + 32𝑛

e)36

𝑚2

𝐸 = √𝑘 𝑚 . 𝑎) 𝑒

𝑏)𝑒 2

4. ) Calcule el valor de:

𝑚

√𝑘 𝑚2 .

𝑚−1

√𝑘 𝑚 𝑒𝑠:

𝑐)𝑒 3

𝑑)𝑒 4

𝑒)1

105 .65 .24

11. Simplificar 𝑀 = 482 .154 .43 𝑎) 5 ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

𝑏)2

𝑐)2,5

𝑑)3,5

𝑒)4,5

Te preparamos para los retos…. 35

ALGEBRA

Ciclo 2018 - I 12. De:√2

𝑥−1

. 4𝑥 = 82−𝑥 .

a) √2

b) 2√2

c) 4√2 d) 2

e) √2

√2

El valor de “11x” es: 𝑎) 13

𝑏)26

𝑐)24

𝑑)12

𝑒)1

52𝑎−2

13. Si 100𝑎−1 = 2−4, halle: 𝑎2 + 𝑎 + 1 𝑎) 10

𝑏)11

𝑐)12

2𝑥

𝑑)13

𝑒)21

14. Simplifique:

= 84

a) 2

b) 1

c)0

d) 3

e) 5 𝑚

a) √2

𝑥 √4 .162

M=

2𝑥

Si: 163

20) Si 𝑚𝑛 = 𝑛𝑛 = 16; ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑅 = √𝑛

3

𝑥+3

3 2𝑥−1

19) Halle el valor de E=(4)

b) 2√2

c) 4√2

4

d) 2

e) √2

8.2𝑥

𝑎) 1

𝑏)2

𝑐)3

𝑑)4

𝑒)9

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

15. Calcule “x” en: 1. DEFINICIÓN.- Es el conjunto de 𝑎

√

𝑥 𝑎 + 5𝑎 1 = 80𝑎 + 𝑥 𝑎 4

a) 10

b)20

números y letras relacionados entre sí por los operadores matemáticos de la adición, c) 12

d)16 e) 22

sustracción,

multiplicación,

división,

potenciación y/o radicación. Por ejemplo: 4𝑥 2 𝑦 + 9𝑥𝑦 5 − 5



3𝑥𝑦+ 4𝑥 3 𝑦−𝑥𝑦 3𝑥𝑦 5 +6𝑥3 𝑦

No son expresiones algebraicas:

16. Si 𝑛+2

36 + 9(2



3𝑛+2 )

+2

= 4(3𝑛 + 6𝑛 + 24𝑛 ) 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒: 2𝑛 − 5 a) 0



b)1

17. 𝑆𝑖 ∶ 𝑥

c) -1

𝑥 12

d)2

e) -2

6

= √2

Son expresiones trascendentes. 2. TÉRMINO

Es

aquella expresión algebraica en la cual no existen

operaciones

de

adición

y

Todo término algebraico presenta tres partes:

b) 6

ALGEBRAICO.-

sustracción.

Calcule: 𝑃 = 𝑥 24 + 𝑥12 + 1 a) 7

5𝑥 ; 𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥

c)12

d) 30

e) 36

coeficiente,

parte

literal

y

exponente.

18). Hallar “x” de: 𝑥 = √2 +

2 (𝑥−√2)

ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

√2

Te preparamos para los retos…. 36

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario Se denomina así a toda expresión algebraica racional entera. Cuando posee un término se denomina monomio, con dos términos binomio, con tres términos trinomio, etc. 3.

CLASIFICACIÓN

DE

LAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 3.1.

EXPRESIÓN

FORMA

RACIONAL Es aquella expresión donde sus variables sólo por

Donde: 

RACIONAL

afectadas

en

el

numerador

sólo por exponentes

naturales. RACIONAL

FRACCIONARIA.- Si al observar al menos

un

denominador,

variable ésta



an = término independiente de x.

PROPIEDADES 1. La suma de los coeficientes del polinomio

3.2.

EXPRESIÓN

se

obtiene

en

el

presenta

∑ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) = 𝑃(1) 2. El término independiente de x en el polinomio

P(x)

se

obtiene

reemplazando x por cero.

exponente entero positivo. 𝑃(𝑥) = 4 + 8𝑥 2 +

P(x)

reemplazando x por la unidad.

𝑃(𝑥) = 4𝑥 + 8𝑥 2 + 9 b. EXPRESIÓN

a0 ,a1 , a2, ....,an son coeficientes.  a0 = coeficiente principal

ENTERA.- Si todas sus variables se encuentran

UN

P(x)  a0 xn+a1 x n –1+a2 x n –2+....+an.

exponentes enteros y se subdividen en: a. EXPRESIÓN

DE

POLINOMIO

ALGEBRAICA

se encuentran afectadas

GENERAL

𝑇𝐼 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) = 𝑃(0)

9 𝑥

5. GRADO DE POLINOMIOS

ALGEBRAICA

Es la categoría que se asigna a un

IRRACIONAL

polinomio; depende de los exponentes de

Es aquella expresión donde existe al menos

sus variables.

una variable afectada de signo radical

5.1. Grado relativo de un monomio. (G.R.M). Está dado por el exponente de

exponente fraccionario. 𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 + 8𝑥 3/4 +

o

9 𝑥𝑦

la letra referida a dicho monomio. Ejemplo:

4. POLINOMIO ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

Te preparamos para los retos…. 37

ALGEBRA

Ciclo 2018 - I Determinar los grados relativos del siguiente monomio:

está dado por el término que tiene mayor grado absoluto. Ejemplo:

M =6𝑥 2 𝑧 3 𝑦 5

Determinar el grado absoluto del siguiente polinomio:

SOLUCIÓN Grado relativo con respecto a x es igual a 2

M =2𝑥 3 𝑧 9 𝑦 6 − 10 𝑥 4 𝑧 8 𝑦 5 + 2𝑥 8 𝑧 9 𝑦 7

Grado relativo con respecto a y es igual a 5

Solución

Grado relativo con respecto a z es igual a 3 5.2. Grado relativo de un polinomio. (G.R.P) Está dado por el término de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio.

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 2𝑥 3 𝑧 9 𝑦 6 𝑒𝑠 18 {𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 10 𝑥 4 𝑧 8 𝑦 5 𝑒𝑠 17 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 2𝑥 8 𝑧 9 𝑦 7 𝑒𝑠 24 RESPUESTA: El polinomio P es 24

grado

absoluto

del

6. POLINOMIOS ESPECIALES

Ejemplo: Determinar los grados relativos del siguiente

6.1. POLINOMIO ORDENADO:

polinomio:

Con respecto a una letra, es aquel que se 2

3

8 4 5

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥 𝑦𝑧 − 9𝑦 𝑥 𝑧 3 4 2

+ 6𝑥 𝑦 𝑧 Solución

caracteriza porque los valores de los exponentes de la letra considerada van aumentando o disminuyendo, según que la

𝐺𝑅 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑥 𝑒𝑠 4 (𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒) ordenación { 𝐺𝑅 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑦 𝑒𝑠 8 (𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒) (creciente o 𝐺𝑅 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑧 𝑒𝑠 5 (𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒)

5.3. Grado Absoluto de un monomio. (G.A.M). El grado absoluto de un monomio está dado por la suma de los exponentes de todas sus letras. Ejemplo: Determinar el grado absoluto del siguiente monomio:

sea ascendente o descendente decreciente).

EJEMPLO 𝑷(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟕 𝒚 − 𝟗𝒙𝟒 𝒚𝟒 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 𝒚𝟖 P es ordenado con respecto a “x” en forma descendente y es ordenado con respecto a “y” en forma ascendente.

6.2. POLINOMIO COMPLETO Con respecto a una letra, es aquel que

M =2𝑥 3 𝑧 9 𝑦 6 Solución

se caracteriza porque todos los exponentes de

G.A.M. = 3+9+6=18

la letra considerada existen, desde el mayor

5.4. Grado Absoluto de un polinomio.

hasta el cero inclusive; denominando este

(G.A.P). El grado absoluto de un polinomio

último,

“término

independiente”

del

polinomio con respecto a esa letra. ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

Te preparamos para los retos…. 38

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario Ejemplo:

6.4. TERMINOS SEMEJANTES

Sea el polinomio

Son aquellos que tienen igual parte literal,

𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 4 + 8𝑥 3 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 3

afectada por los mismos exponentes, sin interesar los coeficientes.

+ 𝑦4 P(x, y) es un polinomio completo con

Ejemplo:

respecto a “x” y su término independiente

Los términos: 2𝑥 4 𝑦, 4𝑥 4 𝑦 , −8𝑥 4 𝑦

con respecto a “x” es 𝑦 4 . También es completo con respecto a “y” y su término

son semejantes.

independiente con respecto a “y” es 4𝑥 4 .

6.5. POLINOMIOS IDENTICOS

PROPIEDADES DE UN POLINOMIO

Son aquellos que se caracterizan porque sus

COMPLETO

términos

1) Si es de grado “n” el grado del polinomio

coeficientes.

(G.P), el número de términos (T.P), es igual

Ejemplo:

al G.P. más uno. Es decir:

Hallar a y b en la identidad:

# T.P. = G.P. + 1

2𝑎𝑥 2 + 15𝑦 2 ≡ 12𝑥 2 + 3𝑏𝑦 2

2) El grado del polinomio completo es igual

Solución:

al número de términos menos uno.

Como es identidad se cumple que:

G.P. = # T.P. - 1

2a = 12 ⇒ a = 6

3) La diferencia de grados relativos de dos

15 = 3b ⇒ b = 5

semejantes

tienen

iguales

términos consecutivos es igual a la unidad: G.R.t(x + 1) - G.R.t(x) = 1

6.6.

4) El término independiente contiene a la

IDENTICAMENTE NULOS

variable con exponente cero.

Son aquellos que se caracterizan porque todos sus coeficientes son idénticos a cero. Ejemplo: Si el polinomio: P(x) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 es idénticamente nulo, quiere decir que: 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 0

6.3. POLINOMIO HOMOGENEO Es aquel polinomio que se caracteriza por que todos sus términos tienen igual grado absoluto (G.A.)

POLINOMIOS

EJEMPLO Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 3 𝑦 − 3𝑥𝑦 3 + 5𝑥 2 𝑦 2 𝑇𝐼

𝑇 𝐼𝐼

𝑇 𝐼𝐼𝐼

En este polinomio se verifica que: 𝐺. 𝐴 𝑑𝑒𝑙 𝑇 𝐼 = 𝐺. 𝐴 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝐼𝐼 = 𝐺. 𝐴 𝑑𝑒𝑙 𝑇 𝐼𝐼𝐼 =4

ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dado el monomio 𝑃(𝑥, 𝑦) = 4𝑚𝑛 𝑥 2𝑚+3𝑛 𝑦 5𝑛−𝑚 Si:𝐺𝐴(𝑃) = 10 ∧ 𝐺𝑅(𝑥) = 7

Te preparamos para los retos…. 39

ALGEBRA

Ciclo 2018 - I Halle su coeficiente a) 5

b)64

Es

c)16

d)8

e)2

completo

P(x, y)=7𝑥 2 𝑦 𝑚+3 + 4𝑥 5 𝑦 𝑚−4 + 3𝑥 4 𝑦 𝑚+5 + 𝑥 6 𝑦 𝑚−2

ordenado

b) 2

c) 6

d) 10 e) 4

polinomio 𝑃(𝑥) = 7𝑥 𝑚−18 + √3𝑥 𝑚−𝑝+15 + 2𝑥 𝑏−𝑝+16

Entonces el valor de “m” es. b)5

c)6

d)7

e)8

3. Si el polinomio:

Sea completo y ordenado en forma decreciente a) 32

𝑏

b) 26

c) 5

d)14

e)12

8. Sea el polinomio:

Es homogéneo. Calcule: (𝑎 − 𝑏)2 b) 9

c) 28

𝑎

𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 𝑎 + 𝑥 7 𝑦 𝑏 + 𝑥 20 𝑧12

a) 16

forma

7. Calcule: (2𝑚 − 3𝑝 + 5𝑏)para que el

Si : 𝐺𝑅(𝑥) + 𝐺𝑅(𝑦) + 𝐺𝐴 = 32

a) 4

en

decreciente a) 8

2. Dado el polinomio:

y

d) 3

e) 1

𝑃(𝑥) = (2𝑥 − 1)𝑛 + 𝑛𝑥 Con “n” impar, si la suma de sus coeficientes

4. Si el polinomio 𝑃(𝑥; 𝑦) es idénticamente

aumentando en el duplo de su término

nulo. Halle: ab

independiente resulta 16, entonces “n” es:

𝑃(𝑥; 𝑦) = (𝑎 + 𝑏)𝑥 3 𝑦 + 2𝑥 4 𝑦 5 − 18𝑥 3 𝑦 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 4 𝑦 5

a) 10

b) 20 c) 40

d) 60 e) 80

a) 15

b) 19 c) 17

9. Si el polinomio es de segundo grado, halle “n” de: 𝑃(𝑥) =

5. Halle “a + b” , si :

𝑎) 7

𝑃(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 𝑏+1 + 𝑥 𝑎−8 + 𝑥 2 + 𝑥 + 4

b) 11 c) 14

[(𝑥 𝑛−2 )3 . 𝑥 2𝑛−3 ]2 4 .𝑥 [(𝑥 𝑛 )2 . 𝑥 4 ]2

𝑏)5

𝑐)4

𝑎) − 2 𝑏) −1 𝑐)0 𝑑)1

𝑒)2

𝜆+1

6. Halle: 𝑚 − 𝑛 + 𝑝; si se sabe que el

11Si: 𝑃 (𝜆−1) = 𝜆, halle:

polinomio:

P(11).P(9).P(7).P(5).P(3)

ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

𝑒)1

1

d) 16 e) 18

𝑄(𝑥) = 𝑥 𝑚−10 + 𝑥 𝑚−𝑛+5 + 𝑥 𝑝+6−𝑛

𝑑)3

10. Si : 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒: 𝑃(√2 − 1)

es ordenado y completo a) 3

d) 21 e) 13

𝑎) 12

𝑏)14

𝑐)10

𝑑)4

𝑒)6

Te preparamos para los retos…. 40

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 12. . Calcule : n-m si

18. Dado el siguiente polinomio homogéneo:

𝑃(𝑥; 𝑦) = 𝑥 3𝑚+2𝑛−5 . 𝑦 𝑚−𝑛+4

𝑃(𝑥; 𝑦) = 5𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 + 7𝑥 𝑏 𝑦 𝑐 + 12𝑥 𝑐 𝑦 𝑎 + 𝑥13 𝑦 7

+ 𝑥 3𝑚+2𝑛−1 . 𝑦 𝑚−𝑛+2

Halle: a+b+c Tiene GA(P)=28 y GR(y)=2 𝑎) 1

𝑏)2

𝑐)3

𝑎) 20 𝑑)4

𝑒)5

𝑏)30

𝑐)40

𝑑)50

𝑒)60

19. Si los polinomios

𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2)3 + 𝑏(𝑥 − 2)2 13. Calcule el coeficiente del monomio: 𝑀(𝑥; 𝑦) =

+ 𝑐(𝑥 − 2) + 𝑑

𝑚+𝑛 . 𝑥 3𝑚+2𝑛 . 𝑦 5𝑚−𝑛 𝑚−𝑛

𝑄(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) 𝑏+𝑐

𝑎) − 2

Son idénticos. Calcule el valor: (𝑎+𝑑)

𝑏)2 𝑐) −3 𝑑)3

𝑒)1

14. Si el grado de la expresión reducida equivalente a 𝑀(𝑥; 𝑦) =

𝑛

𝑥 3 √𝑥 8 es uno;

halle el grado de:

a) 2/5

b) 3/5 c) 4/5 d) 7/5 e) 9/5

20. Si: 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + (𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 1) + 3𝑥 + 𝑐

Es un polinomio idénticamente nulo, halle:

𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 8 + 𝑥18 + 𝑥 32 + ⋯ 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑎) 50

𝑏)72

𝑐)98

𝑀=

𝑑)128

𝑒)162 𝑓(𝑎)

15. Si : 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥 2 − 1, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒: 𝑓(𝑎)−𝑓(1) 𝑎) 𝑎 − 1

𝑏)𝑎 /𝑎

𝑐)0

𝑑)1

𝑎) 1 /2

𝑏)2

3

𝑎−𝑏

𝑐) √2

√𝑐 − 𝑏 𝑑)√2

𝑒)2√2

𝑒)2

16. Al efectuar: 𝑃(𝑥) = (𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛−1 + 1)𝑛 . (𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 + 2)𝑛−1

se obtiene un polinomio de grado 41. Calcule “n”. 𝑎) 2

𝑏)1

𝑐)3

𝑑)5

𝑒)4

17. Calcule “n” en : 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)2 . (𝑥 + 𝑛)3 . (𝑥 + 3)2 + 𝑥 +1 Si su término independiente es 73. 𝑎) 3

𝑏)1

𝑐)2

ALGEBRA Lic. Enrique Jotadelo

𝑑)4

𝑒) − 3

Te preparamos para los retos…. 41

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

GEOMETRÍA

Coordinador: Lic. Silvio Ubaldo Sanchez Condori Docentes:

42

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario ÁNGULO

UNIDAD I

A

Vertice

GEOMETRÍA SEGMENTOS El segmento AB de la figura adjunta, se

O



denota: AB o BA . Los puntos A y B son los extremos.

B

Notación: AOB ; Elementos: Vértice: O

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Lados

AOB ; O

Lados: OA , OB m AOB :  Bisectriz:

Notación: “ M ” punto medio AB . AM  MB

A

SEGMENTOS CONGRUENTES: Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Donde AB  CD

 

bisectriz

nos

señala que AB y CD , son congruentes. La notación aquí mostrada indica que AB  CD.

OPERACIONES CON SEGMENTOS: Adición:

O

M

B OM Bisectriz: m BOM  m MOA  

CLASIFICACIÓN A. POR SU MEDIDA: 1. Ángulo Nulo:

  0 AB  BC  CD  AD

También: AC  CD  AD AB  BD  AD

2. Ángulos Convexos: 0º      180º Ángulo Agudo

Sustracción:

También:

AC – AB  BC AC – BC  AB 0º     180º

Ángulo Recto

  90º

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

Te preparamos para los retos…. 43

Ciclo 2018 - I Ángulo Obtuso

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO 2. Ángulos Opuestos por el Vértice:

 

90º    180º

3. Ángulos Adyacentes:

3. Ángulo Llano:

  180º 4. Ángulo Cóncavo:

180º    360º

5. Ángulo de una vuelta:

  360º

C. POR SU RELACIÓN: 1. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas es 90º. C   90º   Complemento de  2. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º. S   180º   Suplemento de 

B. POR SU POSICIÓN: 1. Ángulos Consecutivos:

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

Te preparamos para los retos…. 44

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS

Se cumple:         

Si: L1 / /L2 es intersecada por la transversal L .









Si: L1 / / L2 L1

 

L1

   

L2



L2

Se cumple:       360 Si: L1 / / L2

L Ángulos Alternos (iguales) a) Internos:   ;   



L1



b) Externos:    ;    Ángulos correspondientes (iguales)   ;     ;    Ángulos conjugados (suplementarios) a) Internos:     180;     180 b) Externos:     180;     180 PROPIEDADES PARTICULARES:

  x



L2

Se cumple:           180 x      

Si: L1 / / L2 L1

 x

 Se cumple:

L2

x  

En general: ( L1 / / L2 )

      

L1

L2

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

Te preparamos para los retos…. 45

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO

Ciclo 2018 - I PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 01 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B , C , D y E tales que AC  12, BE  22, CE  15 y AD  20 . Calcule AB . A) 1 D) 5

B) 2

Problema 02 En una línea recta se ubican los puntos A, B , C , D , E , y F en ese orden si

BE y 3 AC  BC  CD  CD  DE  DF  24, Calcule BE . A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 AB  EF 

Problema 03 Se tiene los puntos colineales y consecutivos P , Q , R y S tales que R si

2

(PQ )(PS )  A) 13 D) 16

(QS )  225. 4 B) 15

C) 30 E) 14

Problema 04 En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C . Si M es punto 2 2 medio de BC y (AB )  (AC )  40 ,

calcule (AM )  (BM ) . 2

A) 13 D) 16

B) 15

2

C) 20 E) 40

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

AD  24,

AC  16

y

AB AD  BC CD

.Calcula BC . A) 2 D) 5

C) 3 E) 6

es punto medio de QS . PR, Calcule

Problema 05 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B , C y D tal que

B) 3

C) 4 E) 1

Problema 06 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B , C y D tal que M , N , P y Q son puntos medios de

AB, CD, MB y CN respectivamente. Si 4(BC )  AB  CD  4, halle PQ . A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 1

Problema 07 En una recta se ubican los puntos A, B, C , D consecutivos y E tal que (AD  BE ) AC  BC  CD  CE  18 . Si numéricamente (AD )(BE )  80, halle AD  BE . A) 2 D) 2, 5

B) 3

C) 4 E) 3, 5

Problema 08 Sean los puntos colineales y consecutivos A, B , C , D y E tal que AB  CD  3(BC ) y DE  AB . Si luego se ubica el punto medio de BE , M , donde MD  2 y AE  16 , calcule

MC . A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

Te preparamos para los retos…. 46

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario Problema 09 Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B , C y D , tal que

A) 15º D) 30º

a b e d    y AC CD AB BD (BD )(CD )  (AC  BD )(AD ). calcule e.

Problema 14 La suma entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a 210º y la diferencia entre el suplemento y el complemento del mismo ángulo es igual a 90º . Halle la medida de dicho ángulo.

A) 1 D) 1, 5

B) 2

C) 3 E) 2, 5

Problema 10 En un recta se ubican los puntos consecutivos A, B , O y C tal que O es

BC . punto medio de Si 1 1 AO , calcula   OC AC (OB )2  2(AO )

B) 20º

A) 15º D) 30º

B) 20º

C) 25º E) 45º

C) 25º E) 35º

Problema 15 Si m // n , halle x .

BC . A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

Problema 11 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que m AOD  150º m  BOC , . Calcule la si m AOC  m BOD  200º . A) 60º B) 30º C) 40º D) 25º E) 50º Problema 12 Se tiene dos ángulos consecutivos AOC y tal que COB , m AOB  m AOC  70º . Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y AOB . A) 60º B) 30º C) 45º D) 50º E) 35º Problema 13 Si al mayor de dos ángulos complementarios se le quita 20º para agregarle al otro; ambos se igualan, calcule el menor de dichos ángulos.

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

B) 33º

A) 6º D) 12º Problema 16 Sean los

ángulos

C) 11º E) 15º consecutivos

AOB, BOC , COD y DOA tal que m AOC  3m AOB, m  COD  2m  BOC , m DOA  2m COD . Halle m BOC .

A) 60º D) 40º

B) 50º

C) 48º E) 30º

Problema 17 Si a la medida de un ángulo le disminuimos su cuarta parte más la mitad de su complemento, resulta un tercio de la diferencia entre el complemento y el

Te preparamos para los retos…. 47

HABILIDAD LOGICO MATEMÁTICO

Ciclo 2018 - I suplemento de la medida del mismo ángulo. Halle la medida de dicho ángulo. A) 6º D) 10º

B) 8º

C) 9º E) 12º

Problema 21 En la figura, L1 // L2 y   150 . Halle el mayor valor entero de m BCD .

Problema 18 Sean los

ángulos consecutivos AOB, BOC , COD y DOE tal que los

rayos OB, OC y OD son bisectrices de los ángulos AOC , AOD y AOE respectivamente. Si 2m AOB  3mBOC  4m COD  m AOE  210º , halle m AOB . A) 10º D) 14º

B) 12º

C) 13º E) 15º

Problema 19 Sean los ángulos consecutivos AOB y

BOC tal que OA y OC son rayos opuestos y m AOB  m BOC . Si

A) 54º D) 39º

B) 58º

C) 44º E) 59º

Problema 22 En la figura: OA // PQ . Calcule el menor valor entero de x .

OM , ON , OF y OP son bisectrices de los ángulos AOB, BOC , AON y respectivamente, halle MOC mFOP. A) 50º D) 40º

B) 55º

C) 45º E) 48º

Problema 20 El doble del complemento de la medida de un ángulo, más la quinceava parte de la medida del ángulo, equivale a lo que le falta al complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo para ser igual a 5 los del suplemento del ángulo. Halle la 6 medida de dicho ángulo. A) 75º D) 72º

B) 80º

C) 73º E) 82º

A) 35º D) 45º

C) 37º E) 46º

Problema 23 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, COD , y tal que: BOC y m BOD  3(m AOB )  60º Calcule m COD  3(m AOC ).

m BOC . A) 15º D) 30º

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

B) 36º

B) 20º

C) 25º E) 45º

Te preparamos para los retos…. 48

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario Problema 24 En la figura, L1 // L2 . Si el ángulo

ABC es agudo, calcule el máximo valor entero de x .

A) 44º D) 30º

B) 46º

C) 60º E) 45º

Problema 25 2 Los del complemento de un ángulo, 3

3 del suplemento del mismo 5 ángulo exceden en 1 0º al suplemento del complemento del ángulo. Halle la medida de dicho ángulo. más los

A) 35º D) 32º

B) 28º

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Alva, F. (2004). Geometría plana. Edit. San Marcos. Lima – Perú. Aucallanchi, C. (2017). Geometría. Edit. Yeshua. Lima – Perú. AFINED. (2008). Geometría una visión a la planimetría. Edit. Lumbreras. Lima – Perú. AFINED. (2008). Geometría una visión a la estereometría. Edit. Lumbreras. Lima – Perú. Caballero, L. (2000). Problemas de Geometría y como resolverlos. Edit. Racso. Lima – Perú. Espinoza, R. (2016). Geometría Esencial. Edit. Lumbreras. Lima – Perú. Salvador, V. (2013). Geometría. Edit. San Marcos. Lima – Perú. Venitez, W. (2013). Geometría plana y del espacio. Edit. Rodo. Lima – Perú. RUBIÑOS. (2012). Geometría 2012. Edit. Rubiños. Lima – Perú. CEPRE SAN MARCOS. (2015). Compendio-Semana 04. Lima – Perú.

C) 30º E) 40º

GEOMETRÍA Lic. Silvio U. Sanchez C.

Te preparamos para los retos…. 49

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

TRIGONOMETRÍA: UNIDAD 1

5. Los ángulos inetriores de un triángulo miden 40g y 75°. Calcule el valor del otro ángulo.

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

A) 67°

B) 68°

C) 69°

D) 70°

1. Del gráco siguiente:

E) 72°

6. Calcular:

π rad 12 E= 50g − 33° 45° +

β α

A) 4

θ

D)

B) 5

C) 2

π

E) 8

7. Simplicar:

80g + 8° π rad 18

S=

indicar cuál(es) de las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):

a) α = θ

A) 7

b ) α + β = 180° c) θ

B) 8

C) 4

D) 12

es positivo y

α

8. Sabiendo

es negativo.

(7n +

A) VVF

B) VFV

C) FFV

D) VFF

x si OC

A)

es bisectriz. D)

C

A (5x-3)

que

un

ángulo

se

expresa como g 1)° y también como (8n) . ¾Cuál es su

medida radial?

E) FFF

2. Del gráco, halle el valor de

E) 2

B

π rad 3 π rad 6

B)

π rad 4

C) E)

9. Se tiene:

π rad = (5x + 15)g 10

(9-6x)

Calcule A) 1

x. B) 2

C) 3

D) 4

O A) 2

E) 5

10. Si: B) 4

π 0 rad = a2°b0 8

C) 6

D) 12

E) 18

Halle el valor de:

3. Si se cumple:

0

0

M=

00

2°62 63 = Q°Q Q Calcule

Q2 .

A) 1

A) 1

B) 4

D) 16

C) 9

b+a b−a

B) 2

C) 5

D) 4

E) 25

11. El

4. Calcule el valor de:

número

E) 6 de

grados

sexagesimales

de

un

ángulo mas el triple de su número de grados centesimales

π rad P = 2 180° A) 1/2

π rad 5 π rad 9

B) 1/4

D) 1/3

78,

calcule

su

número

de

radianes. A)

π rad 20

D)

π rad

C) 1/6 E) 1

Trigonometría Ciclo 2018 - I

es

1

B)

π rad 14

C) E)

π rad 8 π rad 10

Te preparamos para los retos…. 50

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 12. Determine si es verdadero o falso las siguientes

17. Determine la medida de un ángulo en radianes

proposiciones:

sabiendo que:

s

πrad = 180 El complemento de

g

30

es

g

70

.

24° 2° = 36g 3g

A)

Los ángulos interiores de un triángulo suman

D)

πrad.

1° > 1g . B) VVFVF

D) VVVVF

E) FVVVF

π rad 2

B)

C) E)

A) 30° D) 48°

π rad 5 π rad 3

U=

B) 40

D) 100 20. Simplicar:

C) 45°

A) 20

E) 54°

D) 10

π R

s

C2 − S2 19

B) 50

C) 90 E) 12

21. Reducir la expresión:

E = (2R + π)(10S−9C) 3S − 2C +

π rad 2

8R = 37 π

π rad 4

B)

π rad

A) 0 D) C) E)

π rad 8 π rad 3

22. Si:

(

B) 1

π a°

E) 4 y

bg

son ángulos complementarios que es-

M= A) 8

√

a+b+4

B) 9

D) 11

S C

= 5x − 7 = 3x + 5

B)

π rad 15

E)

Trigonometría Ciclo 2018 - I

C) 10 E) 12

23. Se sabe que la suma de dos ángulos es C)

C) 9

tán en relación de 2 a 3, calcule:

16. Calcular la medida de un ángulo expresado en

π rad

C) 80 E) 120

que cumple:

D)

(C 2 − S 2 ) π 2 760R2

A) 10

15. Calcular el número de radianes de un ángulo

π rad 20

C) 303 E) 285

E=

B) 36°

A)

π rad 4 π rad 10

π 2 (2C + S)(2C − S) 400R2 B) 309

2S − 9 C + 4 = 3 2

radianes si:

C)

19. Reducir la expresión:

sexagesimal, si se cumple:

D)

π rad 8

D) 296

14. Determine la medida del ángulo en el sistema

A)

CR =2 8π

E)

A) 310

C −S =4

π rad 6

B)

P =

dianes, si se cumple que:

D)

π rad 6 π rad 5

C) FVFFV

13. Hallar la medida de un ángulo expresado en ra-

π rad

SR + 20π

18. Reducir la expresión:

A) VFVFV

A)

s

π rad 3

y

su diferencia es 4°. calcule el menor ángulo en

π rad 18 π rad 10

sexagesimales. A) 22° D) 28° 2

B) 24°

C) 26° E) 30°

Te preparamos para los retos…. 51

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 24. A partir del gráco, calcule:

α − θ.

α

θ

A) 400°

B) 360°

C) 180°

D) 470°

E) 450°

25. En el gráco,

AB = BC .

Calcule

θ + x − α.

B a

rad

A q

C

3x -10g

A) 72°

B) -37°

C) 103°

D) -53°

E) 105°

26. Calcular el número de radianes de un ángulo, tal que:

s

√ C+ S

y

A) D)

S3 C + 9C − S = 2 (C − S) C −S

C lo convencional para dicho π π rad B) rad 64 72 π rad 128

Trigonometría Ciclo 2018 - I

ángulo. C) E)

π rad 100 π rad 200

3

Te preparamos para los retos…. 52

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

FÍSICA

Docentes: FREDY ORDOÑEZ YANA EDWIN HUAYHUA HUAMANI

53

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario

UNIDAD I ANALISIS DIMENSIONAL

Según el Sistema Internacional de Unidades las magnitudes fundamentales son:

Es el estudio de las relaciones que guardan entre sí todas las magnitudes físicas.

Magnitud física fundamental

Unidad

Ecuación dimensional

MAGNITUD.- Para la Física, una magnitud es aquella susceptible de ser medida.

Longitud

m

L

Masa

kg

M

MEDIR.- Medir es comparar dos magnitudes de la misma especie donde una de ellas se toma como unidad de medida.

Tiempo

s

T

Temperatura

K



A

I

cd

J

mol

N

CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES FÍSICAS

Intensidad corriente

LAS

A. De acuerdo a su origen:  Magnitudes Fundamentales: Son aquellas magnitudes que se toman como patrones y se escogen convencionalmente para definir las demás magnitudes.  Magnitudes Derivadas: Son aquellas que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales. B. De acuerdo a su naturaleza:  Magnitudes Escalares: Son aquellas magnitudes que para estar bien definidas basta conocer únicamente su valor numérico. Ejemplo: área, densidad, energía, etc.  Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que para su definición se requiere a parte de su valor, una dirección. Ejemplo: velocidad, fuerza, aceleración, etc.

Intensidad luminosa Cantidad Sustancia

de

de

FORMULAS DIMENSIONALES BASICAS 

[Área] = L2



[Volumen]



[Velocidad] = LT-1



[Aceleración] = LT-2



[Fuerza] = LMT-2



[Trabajo] = L2MT-2



[Energía] = L2MT-2



[Potencia] = L2MT-3



[Caudal] = L T



[Densidad] = L-3M



[Gravedad] = LT-2



[Peso] = LMT



[Peso Específico] = L MT

= L3

3

-1

-2 -2

-2

Te preparamos para los retos…. 54

FISICA

Ciclo 2018 - I 

[Presión] = L-1MT-2



[Torque] = L MT



[Calor] = L MT



[Periodo] = T



2

2

LM + LM = LM

-2

2º La dimensión de cualquier número que no sea exponente es igual a 1.

-2

[Frecuencia] = T

Ej.

[53°] = 1

-1

[π] = 1



[Velocidad Angular] = T



[Aceleración Angular] = T-2



[Impulso] = LMT



[Carga Eléctrica] = TI



[Int. de Carga Eléctrica] = LMT-3I-1



[Potencial Eléctrico] = L2MT-3I-1

3º Principio de Homogeneidad (Fourier): En toda ecuación física correcta los términos que la forman son dimensionalmente iguales.



[Capacidad Calorífica] = L2MT-2θ-1

Ej.



[Iluminación] = L-2 J



[Capacidad Eléctrica] = L-2M-1T4I2

Se cumple: [A]= [B] = [C] = [D]= [E]



[Cantidad de Movimiento] = LMT

-1

[Cos α] [17] = 1

-1

-1

ECUACION DIMENSIONAL Igualdad matemática, que sirven para relacionar las magnitudes derivadas en función de las fundamentales. El símbolo empleado para representar una ecuación dimensional son corchetes que encierran a una magnitud, por ejemplo: [ P ] Se lee ecuación dimensional de P ó dimensión de P REGLAS: 1º La Suma o Resta de Magnitudes iguales; da como resultado la misma magnitud. Ej.

M+M+M=M

=1

Ej.

A=B+C+D–E

A = B – CD + E/F

Se cumple: [A]=[B] = [CD] = [E/F] PROBLEMAS RESUELTOS Problema: 1 La energía potencial elástica en función de la elongación ( x 1 ) de un muelle se calcula con: E  kx 2 2 . Halle  k  A) B) C) D) E)

MT MT-2 M0T-1 M-1T2 1

Solución: Considerando las ecuaciones dimensionales de energía y elongación  E   ML2T 2 y  x  L

Te preparamos para los retos…. 55

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario Calculemos la ecuación dimensional de k

 E   

1 2 1 2 kx      k  x  2  2

ML2T 2   k  L2

 k   MT 2 Problema: 2

En la siguiente ecuación Kx   Ksen  F  log x  10 wA   ,

homogénea:

E

 A VA  r 3 senz 

4 sz log 40 Dónde: r : radio, s : superficie.

A) B) C) D) E)

L ML 1 TL 0

Solución: Consideremos las dimensionales siguientes;

 r   L ,  s   L2

y

ecuaciones

 z   1, entonces

la ecuación dimensional de E es:

 r   L3  L E     s  z  L2 3

donde F : fuerza, w : velocidad angular. Halle  A A) B) C) D) E)

L2M0T LMT LMT-1 1 0

PROBLEMAS PROPUESTOS

Solución: De la ecuación homogénea se observa

 Kx 

 1, por ser un exponente que   wA  y

considerando

 w  T 1

y

 k    F   MLT 2 ,

 x  1

en la ecuación

dimensional del exponente

MLT 2 (1) 1 T 1  A

 A  MLT 1 Problema: 3

Dada la homogeneidad de

la ecuación, determine  E 

1. Las ecuaciones dimensionales de la potencia mecánica y la cantidad de movimiento son: A) ML2T-3 ; MLT B) ML2T-3 ; MLT-1 C) ML2T-1 ; MLT-1 D) MLT-3 ; MLT-2 E) ML2T-1 ; MLT-2 2. Si la ecuación dada:

dN sen30  P Es dimensionalmente correcta calcule las dimensiones de N. Considere: D: Densidad P: Presión

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FISICA

Ciclo 2018 - I

A) L-4T-4 B) L2T-2 C) LT4 D) L4T-4 E) L-4T4

C) MLT-2 D) ML2T-2 E) ML2T

3. Energía cinética viene dada por

EC 

1 x y m v 2

Determine x+y, siendo m: masa y v: rapidez. A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1

6. Hallar [x] si la expresión es correcta: 2𝜋𝑊 𝑋= √𝑄𝑚 si : W = velocidad; Q = calor y m = masa A) LT-2 B) M-1 C) MLT-2 D) ML-1T-2 E) ML2T-3 7. Calcule el valor de:

xyxy en la siguiente expresión

4. En la ecuación homogénea: A+x=y si: A = área, determine la dimensión de [x/y] A) 1 B) L2 C) L D) L3 E) L-2 5. Dada la siguiente expresión homogénea, determinar [x] Donde: V=velocidad; a= aceleración; t = tiempo y m = masa 𝑉=𝜋√ A) MLT B) MLT-1

𝑎𝑥𝑡 2 3(𝑚 + 𝑦)

dimensionalmente correcta

d  20 a x t y Donde: d: distancia a: aceleración t: tiempo A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. En la siguiente ecuación física

E  Av 2  BP Donde E: energía, v: velocidad P: presión, calcule [A / B]

y

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7A log 20°= 2x1/2+5y2sen30°

A) ML-3 B) ML2 C) MLT4 D) ML-3T E) ML-4

A) L ; L4 B) L-4 ; L C) L ; L-4 D) L4 ; L E) L-4 ; L-4

9. Dada la siguiente ecuación dimensionalmente correcta

A P

1 2 xv 2

12.

Donde P: presión y v: velocidad, determine las unidades de x en el S. I.

FK

A) kg/m3 B) kg/m2 C) kg D) kg.s E) kg.s/m 10.

A) ML3T-4 I -2 B) MLT-2 I C) ML2T-2 I D) ML3TI-2 E) MLTI

1 x  a  bt  ct 2 2

x: distancia y t: tiempo A) T B) LT-2 C) LT-1 D) L-1T E) LT 11. Si A representa el área, ¿cuáles serán las dimensiones de x e y, respectivamente?

q1.q2 d2

Donde F es la fuerza electrostática, d es la distancia y q1 y q2 son cantidades de carga.

Si la ecuación

Es dimensionalmente correcta, calcule  ab   c 

Determine la ecuación dimensional de la constante de coulomb K si se sabe que esta ley se encuentra expresada como:

13.

Dada la siguiente ecuación

1 mv 2 S  2 3 kT 2 Determine las dimensiones de k si S es adimensional; m: masa; v: rapidez; T: tiempo A) MLT2Ɵ B) ML2T-2 Ɵ -1 C) ML2T2 Ɵ D) ML2T2 Ɵ -2 E) ML-1T2 Ɵ

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FISICA

Ciclo 2018 - I

14. Determine cuál será la expresión dimensional de una cantidad física cuyas unidades se expresan en Joule por kilogramo Kelvin. A) L2T-2 Ɵ -1 B) M2L2T-2 Ɵ C) M2L2T-2 Ɵ -1 D) L2T-2 Ɵ E) L-2T2 Ɵ

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17.

P  mv

A) 0,5 B) 1 C) 2 D) 6 E) 4 16.

Determine las unidades de k. A) B)

p 2c 2  m xc y

Si p es la cantidad de movimiento lineal y m es la masa del cuerpo, ¿cuál debe ser el valor de x + y para que la ecuación sea dimensionalmente correcta?

𝑚 𝑠 𝑚2 𝑠

C) m3.s D)

𝑚3 𝑠

E) m.s 18.

La energía por unidad de volumen que transporta una onda que se propaga en una varilla está determinada por la ecuación



Si la expresión a

m w   2  t bvc t  Es dimensionalmente correcta (m: masa, t: tiempo, v: velocidad y W: trabajo), calcule a+b+c.

k  x  at   s 

Donde m: masa; t: tiempo; s: área; a: aceleración.

15. La teoría nos indica que cuando un cuerpo se mueve con una velocidad cercana a la luz, su energía está dada por la siguiente ecuación

E

La presión (P) que ejerce un fluido en movimiento puede hallarse en cierto caso particular por

1 x y z  w A 2

Donde ρ es la densidad, w es la frecuencia angular de oscilación y A es la amplitud. Determine el valor de 2x+y+ z. A) 2 B) 6 C) 10 D) – 4 E) – 8

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ANALISIS VECTORIAL Vector Es un segmento de recta orientado que sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales Vectores en el plano

𝐴 𝐴

𝑂

𝜃 𝐴𝑥

𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 ) = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ Vectores en el espacio Si se tiene un vector en tres dimensiones como el que se muestra, podemos expresarlo en función de tres vectores componentes, que son las proyecciones de este vector sobre cada eje coordenado.

𝑌

𝐴𝑦

El vector A, también puede representarse en función a estos vectores unitarios, así:

Z

𝑋

⃗ : Vector A 𝑨 ⃗⃗ |: Módulo del vector A 𝑨 = |𝑨

 A

Componentes rectangulares





𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃



Y

Entonces: 𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 ) = (𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃) Módulo del 𝐴: 𝐴 = |𝐴| = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 𝐴𝑦

Dirección del vector: 𝑡𝑔𝜃 = 𝐴

𝑥

Vector unitario.- Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. 𝐴 𝐴 𝜇𝐴 : Unitario del vector A 𝜇𝐴 = 𝐴̂ =

𝐴 = 𝐴𝜇𝐴 = 𝐴𝐴̂ Vectores unitarios rectangulares 𝑖̂ = (1,0) −𝑖̂ = (−1,0) 𝑗̂ = (0,1) −𝑗̂ = (0, −1)

X

Las proyecciones sobre los ejes X, Y, Z del vector 𝐴 son 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 respectivamente. Siendo 𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 ) Donde: 𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛾 𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽 directores)

(Llamados

cosenos

Por tanto el modulo del vector 𝐴 es: 𝐴 = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2 Operaciones con vectores a) Suma: ⃗ = (1, 6, 0) Sea 𝐴 = (3, 4, 6) y 𝐵 Entonces: ⃗R = ⃗A + ⃗B = (3, 4, 6) + (1, 6, 0) = (4, 10, 6)

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FISICA

Ciclo 2018 - I Métodos gráficos para sumar vectores: 

Método del paralelogramo: ⃗ 𝑅⃗ = 𝐴 + 𝐵

⃗ 𝐵

⃗ = (−2, 4, 6) − (1, −1, 3) = (−3, 5, 3) 𝐷 Representación gráfica para restar vectores: ⃗ 𝐵 ⃗ =𝐴−𝐵 ⃗ 𝐷

𝑅 𝜃

𝜃 𝑂

𝐴

𝐴

Módulo del vector resultante (R): ⃗ −𝑩 ⃗⃗ | = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑫 = |𝑨 ⃗ + ⃗𝑩 ⃗ | = √𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑹 = |𝑨 

Método del triángulo: ⃗ 𝐵

⃗ 𝑅⃗ = 𝐴 + 𝐵



Método del polígono:

𝐴

𝐸⃗ 𝐴

𝑅⃗ 𝑂

𝛽 𝐴

𝐴 𝐵 𝐶 = = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 c) Producto escalar o producto punto:

⃗ +𝐶+𝐷 ⃗ + 𝐸⃗ 𝑅⃗ = 𝐴 + 𝐵 𝐶

𝐸⃗

𝐶

𝜃 𝑂

⃗ 𝐵

𝑂

𝛼

𝐵

𝐶

⃗ 𝐷

Ley de senos: Es muy usual cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos el módulo de uno de los vectores. En el triángulo vectorial mostrado se cumple que:

⃗ 𝐷

Llamada también producto interior, cuyo resultado es un escalar, se define así: ⃗ = 𝐴 ∙ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐴∙𝐵

⃗ 𝐵 𝐴

𝑅⃗ = 0 b) Resta: ⃗ = (1, −1, 3) Sea 𝐴 = (−2, 4, 6) y 𝐵 Entonces: ⃗ = 𝐴 + (−𝐵 ⃗)=𝐴−𝐵 ⃗ 𝐷

Siendo 𝜃 el angulo entre los vectores ⃗. 𝐴y𝐵 Si: 𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 ) y ⃗ = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 ), el producto 𝐵 escalar también se puede expresar así: ⃗ = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 ) ∙ (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 ) 𝐴∙𝐵 ⃗ = 𝐴𝑥 ∙ 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 ∙ 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 ∙ 𝐵𝑧 𝐴∙𝐵

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22. PROBLEMAS PROPUESTOS

⃗⃑ = Sabiendo que 𝐴⃑ = (5; 6) y 𝐵 ⃗⃑ (4; 6), halle el módulo 𝐴⃑ + 𝐵

19.

a) √5 b) 2√5

A) 9 u B) 12 u C) 15 u D) 20 u E) 25 u

c) √3 d) 2√3 e) √7

⃗⃑ = 20. Sabiendo que 𝐴⃑ = (4; 6) y 𝐵 (2; 1), halle el módulo del vector

23.

 1  A  3B 2

24.

21.

Para los vectores mostrados ⃗⃑| = 10 𝑢 𝑦 |𝐶⃑| = 6 𝑢 |𝐴⃑| = 8 𝑢, |𝐵 Halle el módulo de 𝑅⃗⃑; ⃗⃑ + 4𝐶⃑ Si 𝑅⃗⃑ = 2 𝐴⃑ − 3 𝐵

A) 26 u B) 28 u C) 32 u D) 38 u E) 42 u

Sabiendo que la cuadrícula mostrada es de 1 cm de lado, determine el vector resultante. a) b) c) d) e)

A) 4 u B) 6 u C) 10 u D) 12 u E) 15 u

𝐴⃑

En el sistema de vectores mostrado, determine el módulo del vector resultante, si el lado de cada cuadradito es de 1 unidad.

⃗⃑ 𝐵

𝐶⃑

2𝑖̂ -2𝑖̂ 4𝑗̂ -4𝑗̂ 2𝑖̂ + 4𝑗̂

Y

X

Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre sí. a) 12 u b) 14 u c) 20 u d) 10 u e) 15 u

25.

Dos vectores son proporcionales a 8 y 6. Si la resultante mínima es 20 u, halle

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FISICA

Ciclo 2018 - I

el módulo máxima.

de

la

resultante

a) b√3 b) 2b√3 c) b d) 0

A) 14 u B) 28 u C) 35 u D) 70 u E) 140 u

29.

B

A

A  10u

A

B  20u

c) 16 2 d) 25 e) 30

E

C

E

Determine el módulo de A  B , sabiendo que: a) 1 b) 3 A=5 c) 5 B=3 d) 7 e) 2 25°

Hallar el módulo del vector resultante. Y a) 112 30 50 b) 80 46º

28º

X

9º

32

31.

60°

B

b

85°

D

27. Hallar la resultante del sistema de vectores mostrados. Si:

25 u 25√3 u 20√7 u 10√3 u 15√2 u

60º

30.

C

F

a) b) c) d) e)

150º

3b√3

e) b√2

26. La figura mostrada es un hexágono regular de lado 6 u. Determine la magnitud del vector resultante. A) 24 B) 8 C) 12 D) 6√3 E) 12√3

b

Determinar la magnitud del vector resultante del siguiente sistema de vectores, si: | A |=10 y |B |= 2√2 . A. B. C. D. E.

D

3√2 6√2 5√2 8√2 7√2 REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

28. En la siguiente figura se muestra un conjunto de vectores. Determine la magnitud del vector resultante.







Asociación fondo de investigadores y editores. (2015). Física. Edit. Lumbreras editores. Lima – Perú. Tarazona,E. (2006) “Analisis Dimensional y Vectorial” Editorial Cuzcano Lima Peru. Custodio,A. (2010). Física preuniversitaria. Edit. IMPECUS. Lima – Perú.

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QUÍMICA

Coordinador: Ing. Wilson Calsin Berrios Docente: Lic. Percy A. Arias Escobar

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UNIDAD N° 01: MATERIA Y ENERGIA 1.- ¿Qué estudia la química? La Química se conoce como la ciencia que analiza la composición, las propiedades y la estructura de los diferentes tipos de materia, así como los cambios que experimenta y la energía asociada a ellos. Los cambios químicos y la energía que producen son tan importantes que han encontrado aplicación en diversos campos profesionales como la ingeniería (aceros inoxidables, pinturas), la arquitectura (ladrillos, vidrios), en medicina (vacunas, sueros, antibióticos), en la agricultura (fertilizantes e insecticidas). Algunos ejemplos de estas ciencias son: 1.1.- Química Inorgánica: Estudio de los elementos químicos y sus compuestos, excepto el carbono (química de los minerales) 1.2.- Química Orgánica: Estudia los compuestos del carbono (derivados de seres vivos y del petróleo). 1.3.- Química Analítica: Tiene como fin la identificación (análisis cualitativo), separación y determinación cuantitativa (análisis cualitativo) de la composición de las diferentes substancias. 1.4.Fisicoquímica: Estudia, fundamentalmente, la estructura de la materia, los cambios energéticos, las leyes, los principios y teorías que explican las transformaciones de una forma de materia a otra.

QUÍMICA Ing. Wilson Calsin Berrios Lic. Percy A. Arias Escobar

1.5.- Bioquímica: Estudia a las substancias que forman parte de los organismos vivos (metabolismos celulares). Sin embargo, debido al desarrollo tan grande que ha tenido la química en los siglos XIX y XX, ha sido necesario ampliar el número de ramas, entre las que se encuentran: la electroquímica, la química nuclear, la petroquímica, la radioquímica, la nanotecnología, la biotecnología y otras más. 2.- MATERIA Es toda realidad objetiva que constituye el universo; tiene masa y extensión y su existencia es independiente de nuestros sentidos. Ejemplo: Agua, sal de mesa, aire, alcohol, azúcar, etc. 2.1.- Elemento o Sustancia Simple: Es la materia conformada por átomos del mismo tipo. Ejemplo: Na, C, S, Sal, Ag, H2, O2 2.2.- Compuesto o Sustancia Compuesta: Es la materia conformada por átomos de diferentes elementos. Ejemplo: H2O, NaCl, H2SO4, etc 2.3.Mezcla Homogénea o Solución: Es la unión de dos o más sustancias puras, las cuales conforman una sola fase. Ejemplo: Agua salada (H2O + NaCl), bronce (Cu + Sn), aire (N2, O2, H2, CO2, etc)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 2.4.- Mezcla Heterogénea Es la unión de dos o más estancias puras las cuales conforman varias fases. Ejemplo: Agua + cocoa, humo, arena + sal de mesa, etc 3.- FASES DE LA MATERIA 3.1.- SOLIDA  Volumen y forma definidos.  Las partículas sólo experimentan movimiento vibratorio.  Son incompresibles. FA>FR

Fierro (Fe) 3.2.- LIQUIDA  Volumen definido y forma variable.  Las partículas experimentan movimientos vibratorios y de traslación.  Son incompresibles. FA=FR

Agua líquida (H2O) 3.3.- GASEOSA  Tiene volumen y forma variable.  Las partículas tienen mayor separación que en los líquidos debido a la FR predominante, y experimentan un movimiento caótico.  Los gases tienen alta comprensibilidad.

NOTAS:  FA = Fuerza de atracción intermolecular.  FR = Fuerza de repulsión intermolecular.  Las fases sólida, líquida y gaseosa son las más comunes a condiciones ambientales y por lo tanto de mayor importancia. 3.4.- PLASMA Es el estado de la materia más abundante del universo, existe a temperaturas mayores de 104 °C formado por una mezcla de cationes y electrones, se encuentra en una estrella viva (sol), supernova, pulsar.

104 °C≤T≤2x107 °C 3.5.- Condensado de Bose - Einstein Es el quinto estado de la materia a una temperatura muy baja en la cual los sólidos adoptan su mejor cristalización y la impureza tiende a ser nula, en él la sustancia estará en su estado más puro.

FR > FA

Oxigeno gaseoso (O2) Fuente: química today

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 4.- CAMBIOS DE FASE La materia por efecto de variación de temperatura y presión puede cambiar de fase.

El gas propano (C3H8) es un combustible porque reacciona con el O2 del aire, mientras que el dióxido de carbono (CO2) no es combustible. 6.- ENERGÍA Es la otra forma de existencia en el universo, además es capaz de realizar un trabajo. Se plantea la equivalencia siguiente: Relación: Materia -Energía (Einstein) E = mc2 E: Energía liberada o absorvida. m: Masa que se convierte en energía ó energía que se convierte en masa. c: Velocidad de la luz en el vacío.

5.PROPIEDADES DE LA MATERIA 5.1.- Propiedades físicas Son aquellas propiedades que se manifiestan sin alterar la estructura o composición de la sustancia. Pueden ser: 5.2.- Propiedades Extensivas Cuando la magnitud de dicha propiedad depende de la cantidad de sustancia presente. Ejemplo: Masa, volumen, etc.

E = Joule = Kgm2/s2 c = 3x108m/s E = Ergios = gcm2/s2 c = 3x1010cm/s Ecuación de conservación de masa m0 mf = 2 √1 − v2 c

5.3.- Propiedades Intensivas Cuando la magnitud de dicha propiedad es independiente de la cantidad de sustancia presente. Ejemplo: Densidad, temperatura, color, dureza, etc. 5.4.- Propiedades Químicas Son aquellas propiedades que se manifiestan alterando la estructura o composición de la sustancia por acción de otra(s) o de un agente energético. Las propiedades químicas están referidos fundamentalmente a la reactividad química de las sustancias. Ejemplo: El hierro (Fe) se oxida con el oxígeno (O2) del aire, mientras que el oro (Au) no se oxida. QUÍMICA Ing. Wilson Calsin Berrios Lic. Percy A. Arias Escobar

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PROBLEMAS RESUELTOS

MATERIA 1.- El estado de la materia cuyas características son: forma y volumen definido es. A) Sólido B) Plasmático C) Líquido D) Gaseoso E) Coloidal SOLUCION El estado sólido se caracteriza por tener forma y volumen definido, en este las partículas solo presentan estado vibratoria, además de ser incompresibles, las fuerzas de cohesión son mayores a las fuerzas de repulsión Rpta: A 2.- En el interior de los volcanes y de las estrellas la materia se encuentra en estado: A) Sólido B) Líquido C) Coloidal D) Plasmático E) Gaseoso SOLUCION El estado plasmático es el estado más abundante en el universo existe a temperaturas mayores a los 104°C, se hallan en las estrellas, los pulsar, el interior de los volcanes. Rpta: D

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3.- De las siguientes materiales: I. Agua II. Grafito (C) III. Vidrio IV. Alcohol medicinal Indique, ¿cuál es elemento, compuesto o mezcla respectivamente? A) C, E, M, C B) C, E, M, E C) C, E, M, M D) M, E, M, C E) M, M, M, C SOLUCION La sustancia se dividida en dos sustancias simples (o elemento) como H2, Au, O2; y en sustancia compuesta o compuesto (tienen proporciones definidas): H2O, HNO3, I. Agua: H2O: Compuesto II. Grafito (C): Elemento III. Vidrio: Mezcla (Homogénea) El vidrio no es un cristal sino un fluido con una muy alta viscosidad, compuesto por una mezcla de óxidos metálicos en la cual los átomos que la constituyen, se han encadenado por medio del calor para formar un sistema rígido reticular aleatorio en el que cada átomo de Silicio está unido a cuatro átomos de Oxígeno y estos a otros átomos de Silicio con átomos de Calcio y Sodio distribuidos en la red molecular. IV. Alcohol medicinal: Mezcla (Homogénea) Alcohol etílico: 78.125mL Excipientes c.s.p.100mL C) C, E, M, M Rpta: C

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario ENERGIA 4.- En un proceso de fisión nuclear se utilizó 0,5 kg de Plutonio - 239, observándose una liberación de 90 TJ de energía. ¿Qué porcentaje de la masa inicial no se convirtió en energía? A) 92,5 B) 82,5 C) 5,2 D) 99,8 E) 95,2 SOLUCION Paso i) Hallando la masa correspondiente a la energía liberada: Sabemos que: E = mc2, despejando: E

m = c2 ; reemplazando datos tenemos: 9𝑥10𝑥102 m= = 10−3 = 0,001Kg 9x1016 Paso ii) Usamos regla de tres simple: Si: 0,5 → 100% Entonces: 0,001 → X Operando: X = 0,2%; lo que indica que no reacciona el 99.8%; porque ambos tiene que sumar el 100% Rpta: D 5.- En la detonación de una bomba atómica, se observa que de 1 kg de uranio - 235, el 10% se convierte en energía. Determine, ¿cuántos joules de energía se han producido? A) 70 TJ B) 500 TJ C) 9 PJ D) 5 GJ E) 40 GJ

PRACTICA DIRIGIDA

MATERIA 1.- Señale la proposición que no corresponde a la materia. A) Se puede percibir con los sentidos B) Se encuentra en constante movimiento C) Sufre transformaciones D) Está en continuo movimiento E) Es una realidad subjetiva. 2.- Respecto a las siguientes sustancias, indique aquella que es simple. A) H2S B) O3 C) CaCO3 D) KSCN E) SeCl2 3.- (CEPREUNAJ 2017 - I) En la lista de compras de un laboratorio figuran: - Agua - Ozono - Latón - AlK(SO4) - H2SO4 ¿Cuántas sustancias simples, compuestas, y mezclas se mencionan en la lista? A) 1, 1, 3 B) 1, 2, 2 C) 1, 3, 1 D) 2, 1, 2 E) 3, 1, 1 4.- De acuerdo a la clasificación de la materia, indique la relación incorrecta. A) oro: elemento B) cloruro de sodio: compuesto C) dióxido de carbono: compuesto D) gasolina: mezcla heterogénea E) mayonesa: mezcla heterogénea

SOLUCION E = mc2 = (0,1Kg)(3x10m/s)2 E = 9x1015J = 9 Peta Joule = 9PJ Rpta: C QUÍMICA Ing. Wilson Calsin Berrios Lic. Percy A. Arias Escobar

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 5.- (CEPREUNAJ 2017 - III) ¿Cuál de los siguientes fenómenos no corresponde a una transformación química? I. Corrosión de un clavo II. Digestión de los alimentos III. Evaporación del agua IV. Fermentación de la chicha V. Combustión de la madera A) I y III B) I y II C) II y III D) III E) II 6.- Marca la proposición incorrecta: A) La evaporación es un fenómeno de superficie B) La ebullición se da a cualquier temperatura. C) La licuefacción de un gas se puede lograr al incrementar notablemente la presión D) El oro e más dúctil que el hierro E) La dureza es una propiedad específica de la materia 7.- En un recipiente cerrado se tiene a medio llenar alcohol y un cubo de hielo. Sin considerar las paredes del recipiente: I. El sistema es difásico. II. El sistema es unifásico. III. El sistema es trifásico. IV. El sistema es binario. Es (son) correcta (s): A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) III y IV.

Identifique si las propiedades subrayadas corresponden a propiedades extensivas (e) o propiedades intensivas (i), según el orden presentado: A) e, e, e B) e, e, i C) e, i, e D) i, i, e E) e, i, i. 9.- (CEPREUNAJ 2017 - II) Se tiene un recipiente cerrado donde se encuentran volúmenes iguales de agua y aceite, llenando todo el recipiente, y en el fondo del recipiente se observamos dos pequeñas esferas de bronce; caracteriza el sistema formado. A) Sistema trifásico cuaternario B) Sistema difásico terciario C) Sistema pentafácico binario D) Sistema tetrafasico unitario E) Sistema monofásico terciario 10.- Indique la relación incorrecta de sustancia: atomicidad. A) FeCO3: 5 B) C4H12: 16 C) MgSO4: 3 D) C2H5OH: 9 E) Ca3N2: 5 11.- Señale hexatómico. A) C2H4 B) S6 C) NaClO D) K2CrO4 E) H2SO3

el

compuesto

ternario

8.- Un analista químico de la UNAJ recibió una muestra de agua y registró la siguiente información: I. Volumen: 1 galón. II. Densidad: 1,001 g/cm3 III. Color: amarillo tenue. QUÍMICA Ing. Wilson Calsin Berrios Lic. Percy A. Arias Escobar

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 12.- Determine cuáles de los siguientes fenómenos son físicos (F) o químicos (Q). I. freír un filete de pescado II. moler granos de café III. quemar virutas de madera IV. arrugar un pedazo de papel A) FFQQ B) FQFQ C) QFQF D) FQQF E) QQFF 13.- Si vertimos una porción de cloruro de sodio (NaCl) a 100 ml de agua y agitamos hasta que se disuelva todo, luego añadimos 30 ml de aceite vegetal de manera cuidadosa. Entonces podemos determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Al final se observan dos fases. II. La fase inferior es una mezcla homogénea. III. La sustancia que forma la fase superior tiene menor densidad. IV. El agua se dispersa en el aceite. A) VVFV B) FVVV C) VVFF D) VVVF E) FVFV 14.- A continuación se enuncian propiedades de una sustancia: Densidad, área, punto de ebullición, calor absorbido por los cuerpos, calor liberado en la condensación del vapor de agua, energía cinética, maleabilidad, ductibilidad. ¿Cuántas propiedades son extensivas? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2. E) 1

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15.- Si vertimos un poco de sal común (NaCl) a 50 ml de agua y agitamos hasta que todo se disuelva, luego vertimos 30 ml de aceite de oliva de manera cuidadosa, entonces marque verdadero o falso según corresponda. I. Al final se observan dos fases. II. La fase inferior es una mezcla homogénea. III. La sustancia que forma la fase superior tiene menor densidad. IV. El agua se dispersa en el aceite. A) VVFV B) FVVV C) VVFF D) VVVF. E) FVVF 16.- El aluminio al ser dejado a la intemperie se transforma en Al2O3 y luego esta sustancia se funde a 2072 ºC. Señale el orden de los fenómenos que se presentan A) físico - físico B) químico - físico C) físico - químico D) químico - químico E) nuclear - físico ENERGÍA 17.- En cierta reacción de fusión nuclear se observa que a partir de una muestra de 1 Kg de Uranio, el 10% se convierte en energía. Determine cuántos ergios se han producido. A) 6𝑥1022 B) 3𝑥1022 C) 9𝑥1022. D) 8𝑥1022 E) 7𝑥1022

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 18.- ¿Cuál será la masa remanente en mg. de la sustancia al final de la reacción si 8mg. de la sustancia se somete a una reacción nuclear donde se liberan 40,5x1010joule de energía? A) 3, 5 mg. B) 4, 5 mg C) 5, 5 mg D) 6, 5 mg E) 7, 5 mg.

22.- La desintegración de una porción de masa origina 45x1019 ergios de energía. Si se conoce que la masa inicial fue de 5 gramos. ¿Qué porcentaje pasó a ser energía pura? A) 5 % B) 10% C) 15% D) 20% E) 30%

19.- Calcular la masa final si en una explosión nuclear se liberan 5,4 x 1021ergios de energía, considerando que se recogen 2,5 gramos de masa residual. A) 6,2 g B) 7,5 g C) 8,5 g. D) 10,5 g E) 11,9 g

23.- Determinar la velocidad que deberá alcanzar un cuerpo para que su masa se incremente en un 25% A) 2, 3 x 105 km/s B) 1, 8 x 105 km/s C) 3, 2 x 105 km/s D) 1, 2 x 105 km/s E) N.A.

20.- (CEPREUNAJ 2017 - I) Se coloca 2 Kg de un material radioactivo ¿Cuántos Joules de energía se desprende si la reacción fue al 100%? A) 9x1022 B) 9x1016 C) 9x1020 D) 18x1016 E) 18x1020 21.- (CEPREUNAJ 2017 - III) Si 2000 g de una partícula se transforma completamente en energía se obtendrá: A) 18x1016 J B) 1,8x1016 J C) 18x1018 J D) 1,8x1018 J E) 6x1018 J

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24.- En una explosión nuclear se liberan 2,7 x 1021 ergios de energía. Si se recogen 3 g de sustancia residual. Determinar la masa inicial. A) 2g B) 4g C) 6g D) 8g E) 10g 25.- En una explosión nuclear de 3 g de masa se liberan 1,8 x 1021 ergios de energía. ¿Qué masa no se transformó en energía? A) 1g B) 2g C) 3g D) 4g E) 5g

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario 26.- Sometemos a una explosión 1 g de masa y observamos la emisión de 18x1011 J de energía. Indique qué porcentaje de masa no se transformó en energía. A) 100 B) 99 C) 98 D) 97 E) 96

30.- La desintegración de una porción de masa da lugar a la liberación de 45x1019 ergios de energía. Si la masa inicial fue de 5 g ¿Qué porcentaje no pasó a ser energía? A) 90 B) 25 C) 35 D) 20 E) 80

27.- En un reactor nuclear se usó una

muestra de plutonio – 239. Luego de una reacción el 85% queda sin desmaterializarse. Si la energía producida es de 5,4 x 1022 ergios. Calcular la masa de la muestra. A) 100 g. B) 200 g. C) 300 g. D) 400 g. E) 600 g. 28.- Determinar cuántas lámparas de mil watts podrán alimentarse durante un siglo con la energía de un gramo de sustancia radiactiva. A) 100. B) 68 C) 46 D) 28 E) 16 29.- La masa de un cuerpo “Q” en reposo es 1,6 Kg. ¿A cuántos Joule equivale el aumento que experimenta su masa cuando se mueve a 3/5 de la velocidad de la luz? A) 3,6x1015 B) 3,6x1016 C) 3,6x1014 D) 3,6x1017 E) 36

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA Centro Preuniversitario BIBLIOGRAFIA 1.Archivo de exámenes del CEPREUNAJ: 2017 – I, 2017 – II, 2017 – III 2.- Cartolin Rodriguez, W. (2015). Química. Editorial San Marcos. Lima. 3.- Ciclo anual UNI (2017). Química. Academia Cesar Vallejo. Lumbreras Editores. Lima. 4.- Ciclo anual (2017). Química. Academia Aduni. Lumbreras Editores. Lima. 5.- Jara Benites, C. & Cueva Garcia, R. (2001). Química. Racso Editores. Lima. 6.- Química Tomo 1(2010). Análisis de Principios y Aplicaciones. Lumbreras Editores. Lima

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