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• Anderson Valverde Casamayor

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FACULTAD - INGENIERIA ESCUELA - CIVIL RESISTENCIA DE MATERIALES I

TORSIÓN Introducción e hipótesis fundamentales Previo a la introducción: Es común que se emplee indistintamente la palabra eje o árbol como si fuesen sinónimos, pero existe una diferencia entre ambos: Eje: Elemento sobre el que se apoya una pieza giratoria, por lo tanto su única función es ser soporte y no se ve sometido a esfuerzos de torsión.

Fig. 1: Eje Árbol: Es un elemento giratorio cuyo fin es transmitir potencia mecánica mediante su giro, por lo que está sometido a esfuerzos de flexión y de torsión. Además, a diferencia de los ejes, el árbol gira simultáneamente con los elementos montados sobre él.

Fig. 2: Árbol. 1. Torsión: La torsión, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de la sección y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60).

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Fig. 1: Torsión de un objeto. El procedimiento general que siguen todos los casos en los que el esfuerzo no de distribuye uniformemente se resumen en los siguientes pasos: 1.

Del examen de las deformaciones elásticas que se producen en un determinado tipo de carga y las

aplicaciones de la ley Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en distintos puntos de la sección de manera que sean compatibles con la deformación y que se denominan ecuaciones de compatibilidad. 2.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de sólido aislado se determinan otras relaciones que

se deducen de la consideración del equilibrio entre fuerzas exteriores aplicada y las fuerzas interiores resistentes en la sección de exploración. Estas ecuaciones de denominan ecuaciones de equilibrio. 3.

Se debe verificar que la solución de las ecuaciones es satisfactoria a las condiciones de carga en la

superficie del cuerpo. Para la deducción de fórmulas en el estudio de la torsión, nos basamos en las siguientes hipótesis:

2.

2

   

Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean. El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsión perpendiculares al eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.



En árboles circulares, el esfuerzo no se distribuye de forma uniforme en una sección.

Deducción de fórmulas:

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El momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir en el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones su simbología es

J .

Fig. 4:

Momentos polares de inercia

π r 4 π d4 = 2 32

Eje macizo:

J=

Eje hueco:

π 4 4 π 4 4 J = ( R −r )= ( D −d ) 2 32

Cuando existe torsión sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ángulo teta, o ángulo de distorsión (Apuntes de resistencia de materiales aplicada, p. 1).



Fig. 2: Cambio de forma en un objeto. El ángulo de distorsión, depende del momento torsor aplicado, la geometría del eje circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la sección trasversal de la misma) y del material del cual sea elaborado (módulo de rigidez cortante).

Fig. 3: Deformación de un árbol circular 3

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Consideremos una barra recta, de sección circular, empotrada en un extremo, y que en el otro se le aplique un par de fuerzas que tienda a hacerla girar alrededor de su eje longitudinal. Como consecuencia de este giro la barra experimenta una deformación, llamada torsión, que se evidencia en el hecho de que una línea cualquiera que siga la dirección de una generatriz de la barra gira un pequeño ángulo con respecto al extremo empotrado. El momento del par de fuerzas aplicado se conoce como momento torsor. Tan pronto se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión  de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsión aumenta. Si se considera una fibra a una distancia ρ del eje del árbol, la fibra girará un ángulo θ, considerando las suposiciones fundamentales expuestas anteriormente, se produce una deformación tangencial DE.

δs=DE =ρθ Haciendo las mismas consideraciones se obtiene la distorsión:

γ=

δs ρθ = L L

A continuación se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes:

( GθL ) ρ

τ =Gγ=

A esta ecuación se la denomina ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas. La expresión anterior se suele conocer como la ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados son compatibles con las deformaciones elásticas. Un elemento diferencial de área de la sección MN, presenta una fuerza resistente dada por:

dP=τdA

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Para

que

se

cumplan

las

condiciones

de

equilibrio

estático,

se

llega

a

T =Tr=∫ ρ dP=∫ ρ( τ dA ) Sustituyendo  por su valor en la ecuación de compatibilidad:

T=

Gθ ρ2 dA ∫ L

Como el momento de inercia polar es

T=

∫ ρ2 dA

Gθ J L

También se puede escribir esto de forma:

θ=

= J, tenemos que:

TL JG

= radianes T= N.m L= m J= m4 G= N/m2

El esfuerzo cortante se logra obtener remplazando G/ L por su equivalente T/J.

Al sustituir

τmáx = 5

Tr J

ρ

por el radio del árbol tenemos:

τ=

Tρ J

la

siguiente

relación:

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Estas ecuaciones son válidas para secciones macizas y huecas en las que tenemos:

τmáx =

Eje macizo:

Eje hueco:

τmáx =

2 T 16 T = π r3 π d3

2 TR 16 TD = 4 4 π ( R −r ) π ( D4 −d 4 )

Como la aplicación de los arboles es transmitir potencia está dada por la ecuación:

℘=Tω

Donde

ω=2 πf

es una constante angular.

℘=T 2 π f El momento torsionante transmitido está dado por:

℘ T = ℘ = Watts (1W= 2 πf 1N. m/s) f= rev / s T= N. m

ACOPLAMIENTOS DE BRIDAS Una conexión o acoplamiento rígido muy empleado entre dos árboles es el que se representa en la figura, y que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con cada árbol, y que se unen entre sí mediante pernos o tornillos. El par torsor se transmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.

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Suponiendo

que el esfuerzo se distribuye

uniformemente en cada perno viene dada por la fórmula del esfuerzo cortante simple P = A. τ , es decir, ( π .d2/4) τ , y actúa en el centro del perno, tangente a la circunferencia de radio R donde se situaba estos. El par torsor que resiste cada perno es PR, y para un numero cualquiera n de pernos, la capacidad del acoplamiento viene dada por.

T =P . R . n=

π .d 2 ∗τ . R . n 4

Cuando un acoplamiento tiene dos series concéntricas de pernos. Llamando P2 yP2, y la resistencia del acoplamiento es:

1. Torsión en tubos de pared delgada: Además de los árboles de transmisión que están sujetos a torsión al transmitir potencia, existen elementos estructurales frecuentemente sometidos a torsión. La pared puede ser de espesor uniforme o variable. La distribución de las tensiones de cortadura por torsión sobre una extensión de pared relativamente reducida, está mucho más próxima a la uniformidad que lo está en el caso del árbol macizo.

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Si el espesor de la pared es pequeño en comparación con las demás dimensiones del cilindro y no hay esquinas pronunciadas u otros cambios bruscos en su contorno, que puedan dar lugar a concentración de tensiones, la teoría da unos resultados que pueden considerarse coincidentes con los obtenidos experimentalmente. La sección de un cilindro de pared delgada está sometida a un momento de torsión Mt.

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:

F1=q1∗∆ L

Y

F2 =q2∗∆ L

En donde q se suele llamar flujo de cortante.

q1∗∆ L=q2∗∆ L q1 =q2 La igualdad de los valores del flujo cortante en dos lugares arbitrariamente escogidos prueba que debe ser constate en todo el perímetro del tubo.

La fuerza tangencial diferencial

r (q dL)

q dL

que actúa en una longitud

dL , contribuye al par resistente con un momento

con respecto a un determinado centro. El momento torsionante es independiente del centro

de momentos que se considere, igualando T a la suma de los momentos diferenciales.

T =∫ rq dL

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r dL

Donde

es el doble del área del triángulo rayado cuya base es

dL y cuya altura es el radio r. Puesto que

q es constante, el valor de la integral es q veces el área encerrada por la línea media de la pared del tubo:

T =2 Aq Es

esfuerzo

cortante medio, en cualquier punto de

espesor

t,

dado por:

viene

q T τ= = t 2 At 1. Resortes

En

la

figura

Helicoidales

se

representa un resorte helicoidal de espiras

cerradas, estirado bajo

la acción de una fuerza axial P. El resorte está

formado por un alambre

o varilla redonda de diámetro d enrollada en

forma de hélice de radio medio R.

Para determinar los esfuerzos producidos por P se cortar el resorte por una sección de exploración m-n, y determinar las fuerzas resistentes que se necesitan para el equilibrio de una de las porciones separada por esta sección. Después se analiza la distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes.

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La

figura

anterior

representa el diagrama de cuerpo

libre de la porción

superior del resorte.

Para el equilibrio en dirección axial, la fuerza resistente P r, es igual a P. El equilibrio horizontal también se cumple ya que ni P ni Pr, tienen componentes en esta dirección. Para el equilibrio de momentos, como P y Pr, opuestas y paralelas, producen un par PR, en la sección debe existir otro par resistente PR igual y opuesto al anterior, originado por un esfuerzo cortante de torsión, distribuido en la sección de corte. Se representa por T= PR. El esfuerzo resultante en cada punto es el vector suma de los vectores T1 y T2. El esfuerzo cortante máximo tiene lugar en el punto de la sección más próximo al eje de resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo T1= P/A y el máximo valor del esfuerzo cortante producido por la torsión T2= Tr/J. es decir:

T =T 1+T 2=

4 P 16(PR) + π d2 π d3

Que puede escribirse en la forma:

T=

10

16 PR d 1+ 3 4R πd

(

)

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En la barra recta de la figura a la torsión produce la misma deformación δ s en las fibras AB y CD y, por tanto, la distorsión ϒ= δs/L es la misma en B que en D puesto que los elementos AB Y CD tienen la misma longitud inicial. En cambio, en la barra curva de la figura b la situación es diferente, ya que aunque las fibras AB y CD, la distorsión en B es mayor que en D, por lo que el esfuerzo cortante por torsión en las fibras internas AB es mayor que en las externas CD. La importancia de este efecto depende de la magnitud de la diferencia de longitud inicial entre AB y CD. Evidentemente esta diferencia depende del grado de curvatura de alambre o barra, es decir, de la relación d/R. la siguiente ecuación toma en cuenta este efecto adicional la cual es utilizada para resortes pesados en los que la curvatura del alambre es grande y m es más pequeño:

T ma x =

16 PR 4 m−1 0,615 + 3 m π d 4 m−4

(

)

En donde m=2R/d= D/d es la

relación de diámetro medio de las espiras al

diámetro

resortes ligeros, en los que la relación m es

del

alambre.

Para

muy grande:

T max=

16 PR 0,615 1+ 3 m πd

(

)

Distención de un resorte: Prácticamente toda la elongación de un resorte según el eje se debe a la torsión del alambre. En la figura se supone por un momento que todo el resorte, excepto la pequeña longitud dL, es rígido, el extremo A girara hacia D un pequeño ángulo dϴ. Como este ángulo es muy pequeño, el arco AD=AB* dϴ puede considerarse como una recta perpendicular a AB, de donde, por la semejanza de los triángulos ADE y BAC se tiene:

AE BC = AD AB De donde

dδ =R∗dθ Reemplazando e integrando ϴ

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O sea

dδ R = AB∗dθ AB

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θ=

( PR ) dL JG

δ=

P R2 L JG

Sustituyendo L por 2πRn, que es la longitud de n espiras de radio R, y J por π d

δ=

4

/32 resulta:

64 P R 3 n G d4

BIBLIOGRAFÍA:  Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994, Harper  Row.

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