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LEY DE GAUSS. TEMA 2

LEY DE GAUSS

TANIA ALEJANDRA BETANCOURT SALAS JORGE LUIS CASTRO FARIÑO DARLING JOSÉ TOLOZA GONZÁLEZ

UNIVERSIDAD DE LA COSTA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA AMBIENTAL – INGENIERÍA INDUSTRIAL.

BARRANQUILLA – ATLÁNTICO. 2014

LEY DE GAUSS. TEMA 2

Tabla de contenido 1. Introducción 4 2. Desarrollo

6

2.1. Ejercicio 15

6

2.2. Ejercicio 18

7

2.3. Ejercicio 45

11

2.4. Ejercicio 48

14

2.5. Ejercicio 54

14

2.6. Ejercicio 55

14

2.7. Ejercicio 58

14

3. Referencias 16

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Tabla de Ilustraciones 1. Ilustración 1

1

2. Ilustración 2

1

3. Ilustración 3

1

4. Ilustración 4

1

5. Ilustración 5

1

6. Ilustración 6

1

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1. INTRODUCCIÓN La ley de gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del electromagnetismo por dos razones. La primera razón es que permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribuccion de cargas cuando esta presenta buenas propiedades de simetría en estos casos suelen resultar mucho más simple usar la ley de gauss que obtener E por integración directa sobre la distribución de cargas tal y como se ah descrito en el tema anterior. La segunda razón es que la ley de gauss constituye una ley básica no solo de la electrostática sino del electromagnetismo en general. De hecho constituye una de las ecuaciones maxwell que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenómenos electromagnéticos. El campo eléctrico producido por objetos cargados estáticos puede obtenerse por dos procedimientos equivalentes: mediante la ley de Coulomb o mediante la ley de Gauss, ley debida a Karl Friedrich Gauss (1777-1855) físico y matemático alemán que hizo muchas aportaciones a la física tanto teórica como experimental. En los dos capítulos anteriores se describió la ley de Coulomb y el potencial eléctrico, en este se presenta la ley de Gauss. La ley de Coulomb es una forma simple y directa de expresar la fuerza eléctrica. Por otro lado, la ley de Gauss es más sutil, más elegante y, a veces, más útil. La ley de Gauss requiere una

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sofisticación matemática mayor que la ley de Coulomb; pero, como recompensa, usándola se adquiere un conocimiento más profundo de la interacción eléctrica. La ley de Gauss se puede aplicar para evaluar el campo eléctrico si la distribución de carga es suficientemente simétrica. Como se verá más adelante, si el campo eléctrico se conoce, la ley de Gauss se puede utilizar para calcular la carga que lo produce. Como veremos la ley de gauss es esencialmente una ecuación matemática que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada en su interior La ley de gauss puede interpretarse cuantitativamente de forma simple usando el concepto de lineas de campo como se vio en el tema anterior el números de líneas de campos que parten de una carga Q es proporcional a dicha carga de este modo si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior el número total de líneas que pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior.

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2. DESARROLLO 2.1. Ejercicio 15. Una carga puntual Q se localiza arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R. Como se muestra en la figura P24. 15 ¿cuál es el flujo eléctrico A) a través de la superficie curva y B ) a través de la cara plana?

δ =0

Q R

Figura 1. Carga eléctrica en una superficie plana.

Solución Mediante lo estudiado en la ley de gauss determinamos la ecuación del flujo eléctrico de la

Q Eo ɸ=∮ ¿

E dA=¿ siguiente manera;

total de laesfera=¿

∮¿

Q 2 Eo

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superficie=¿ ∮ EdA=

Q Eo

∮¿ =

−Q

∮ total= 2 Eo

2.2. Ejercicio 18. Una línea cargada infinitamente larga que tiene una carga uniforme por unidad de longitud y se encuentra a una distancia D de un punto O como se encuentra en la figura p24.18 A) determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r δE =

δE=

2.3.

=

Qneta ϵ˳

λ [ 2 √ r 2−d 2 ] ϵ˳

2λ 2(r −d 2) √ 2 ϵ ˳ 2

Ejercicio 45. Un alambre largo y recto está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre tiene una carga por unidad de longitud de λ

λ y el cilindro tiene una carga neta por unidad de longitud de 2

de acuerdo con esta información utilice la ley de gauss para encontrar A) la

carga por unidad de longitud en las superficie interior y exterior del cilindro, y B) el campo eléctrico afuera del cilindro A cual distancia R del eje. Alambre = ¿ Cilindro = ¿ Qneta =?

log = λ log = 2λ

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Nota: para la ley de gauss existe la siguiente ecuación para determinar el campo eléctrico

de una superficie

λ=

Qneta l

ɸ=∮ EdA=

Q E˳

, e identificamos a mediante la siguiente formula

, por lo tanto justificamos las siguientes expresiones

mediante la posición.

Carga superficie interior=

Carga superficie exterior =

Qneta =−λ l

Qneta =λ l

+¿

2 λ =3 λ

Se tuvo en cuenta la posición de la superficie del alambre y el cilindro. ɸ

E . dA=¿

=

Q ϵ˳

∮¿

= ¿ E (2 πr ¿ ℓ =

3 λ.l ϵ˳

3 λ .l E= (2 πr )l 3λ E= 2 πr NOTA: el área de una superficie tomada es dad por A =2 πr

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2.4.

Ejercicio 48. Un cascaron esférico conductor que tiene un radio interior A y radio exterior B tiene una carga neta Q si una carga puntual q se pone en el centro de este cascaron determine la densidad de carga superficial sobre A) la superficie interior y B) la superficie exterior del cascaron.

Nota: tenemos en cuenta que la carga neta es reciproca a la densidad superficial en cada

límite es decir.

δ=

Qneta A

Solución

δ interior=

Entonces decimos

por otro lado

δexterior

=

Qneta A (Qneta) 4 π b2

−Q δexterior = 4 π a2

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2.5. Ejercicio 54. Considere dos esferas conductoras idénticas cuyas superficie están separadas por una corta distancia A una esfera se le da una gran carga positiva neta mientras que a la otra se le proporciona una pregunta. Carga positiva neta. Se encuentra que la fuerza entre ellas es atractiva aun cuando ambas esferas tienen cargas neta del mismo signo explique cómo esto posible. Nota: el campo eléctrico producido por esferas está dirigido hacia afuera en el caso de las esferas la ley de los signos aplica hacia la esfera con nuevo valor. Q1

1

Q2

2

Figura 3. Componentes de carga en dos esferas.

El campo eléctrico para las esferas es igual a E=E1 –E2 Por temas estudiados y consultados la fuerza del campo eléctrico de las esferas está dado por la siguiente ecuación. F = QE Se muestra mediantes ideas ya establecidas para los campos eléctricos de las esferas actúa la ley de la atracción sin importar los signos actuando el campo sobre la esfera más

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pequeña. Por lo tanto se deduce que en los campos eléctricos actuara siempre la ley de atracción por el principio de la superposición.

2.5.

Ejercicio 55.Una esfera aislante solida de radio A tiene una densidad de carga uniforme P y una carga total Q concéntrica con ella esta una esfera hueca conductora descargada cuyos radios interior y exterior son B y C como se muestra en la figura P24.55 A) determine la magnitud del campo eléctrico en la regiones r