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Ondas de choque normales de gases perfectos Una onda de choque es una onda de presión abrupta producida por un objeto que viaja más rápido que la velocidad del sonido, es decir la onda de choque se produce cuando Ma > 1. Es por esto que en esta experiencia desarrollaremos los efectos producidos por los cambios del área en flujos isentrópicos unidimensionales subsónicos y supersónicos; considerando el flujo isentrópico a través de toberas convergentes-divergentes, para así estudiar el concepto de ondas de choque y la variación de las propiedades de flujo a través de ondas de choque normales. Esperando comprender por qué una tobera debe tener una sección divergente para acelerar el gas a velocidades supersónicas, poder predecir los choques y calcular cambios de las propiedades a través de una onda de choque.

Objetivo   

Determinar la ubicación de la onda de choque de un gas ideal en una tobera convergente-divergente. Estudiar el efecto de la presión de receptor en la ubicación de la onda de choque normal. Estudiar el efecto del área de garganta en la ubicación de la onda de choque.

Materiales •

Excel

Marco teórico Ondas de choque Se ha visto que las ondas de propagación de sonido se deben a cambios de presión infinitesimalmente pequeños, y a que éstas viajan a través del medio a la velocidad del sonido. También se ha visto que para algunos valores de presión del receptor ocurren cambios abruptos en las propiedades de los fluidos en una sección muy delgada de una tobera convergentedivergente en condiciones de flujo supersónico y crean una onda de choque. Es interesante estudiar las condiciones en las cuales se forman las ondas de choque y cómo afectan al flujo.

Choques normales Se considera primero a las ondas de choque que ocurren en un plano normal a la dirección de flujo, llamadas ondas de choque normales. El proceso de flujo a través de la onda de choque es muy irreversible y no puede aproximarse como un proceso isentrópico. Las ondas de choque normales son extremadamente delgadas, de tal manera que las áreas de flujo entrante al volumen de control y saliente de éste son casi iguales. Se considera flujo estacionario sin transferencia de calor o interacciones de trabajo y sin cambios de energía potencial. Se denotan las propiedades del flujo inmediatamente corriente arriba de la onda de choque con el subíndice 1 y las propiedades del flujo inmediatamente corriente abajo, con el subíndice 2, y se tiene lo siguiente: Conservación de masa: 𝜌1 𝐴𝑉1 = 𝜌2 𝐴𝑉2 𝜌1 𝑉1 = 𝜌2 𝑉2

Conservación de energía: :

ℎ1 +

𝑉12 2

= ℎ2 +

𝑉22 2

ℎ01 = ℎ02 Conservación de cantidad de movimiento: 𝐴(𝑃1 − 𝑃2 ) = 𝑚̇(𝑉2 − 𝑉1 ) Incremento de la entropía:

𝑠2 − 𝑠1 ≥ 0

Las relaciones de conservación de masa y energía pueden combinarse en una sola ecuación y graficar en un diagrama h-s si se utilizan las relaciones entre las propiedades. La curva resultante se llama línea de Fanno, y a lo largo de esta curva se localizan los estados que tienen el mismo valor de entalpía de estancamiento y flujo de masa por unidad de área. De la misma manera, al combinar las ecuaciones de conservación de masa y de cantidad de movimiento en una sola ecuación y graficarla en un diagrama h-s se obtiene la curva llamada línea de Rayleigh. Los puntos de máxima entropía sobre estas líneas (puntos a y b) corresponden a Ma = 1. Los estados sobre la parte superior de las curvas son subsónicos y sobre la parte inferior, supersónicos.

Las líneas de Fanno y de Rayleigh se intersecan en dos puntos (puntos 1 y 2), que representan los dos estados donde las tres ecuaciones de conservación se satisfacen. Uno de éstos (estado 1) corresponde al estado antes del choque, y el otro (estado 2) corresponde al estado después del choque. Se observa que el flujo es supersónico antes del choque y subsónico después. Por lo tanto, el flujo cambiará de supersónico a subsónico si ocurre una onda de choque normal. Cuanto mayor sea el número de Mach antes del choque, más fuerte será el choque. En el caso límite de Ma = 1, la onda de choque simplemente se convierte en una onda de propagación de sonido. La entropía aumenta: s2 > s1. Esto se espera porque el flujo a través del choque es adiabático, pero irreversible. El principio de la conservación de energía exige que la entalpía de estancamiento permanezca constante durante el choque; h01 = h02. Para gases ideales h = h(T), y así: ℎ01 = ℎ02

Esto significa que la temperatura de estancamiento de un gas ideal también permanece constante durante el choque. Sin embargo, se nota que la presión de estancamiento disminuye durante el choque debido a las irreversibilidades, mientras que la temperatura normal (estática) aumenta drásticamente debido a la conversión de energía cinética en entalpía y causa un gran descenso en la velocidad del fluido. Ahora se desarrollarán las relaciones entre varias propiedades antes y después del choque para un gas ideal con calores específicos constantes. Una relación para la razón de las temperaturas estáticas T2/T1 se obtiene al aplicar la ecuación dos veces: 𝑇01 𝑘−1 𝑇02 𝑘−1 =1+( ) 𝑀𝑎12 𝑦 = 1+( ) 𝑀𝑎22 𝑇1 2 𝑇2 2 Se divide la primera ecuación entre la segunda y al notar que T01 = T02, se tiene: 𝑇2 1 + 𝑀𝑎12 (𝑘 − 1)/2 = 𝑇1 1 + 𝑀𝑎22 (𝑘 − 1)/2 A partir de la ecuación de estado del gas ideal: 𝑃1 𝑃2 𝜌1 = 𝑦 𝜌2 = 𝑅𝑇1 𝑅𝑇2 Se sustituyen éstas en la ley de conservación de masa 𝜌1 𝑉1 = 𝜌2 𝑉2 y al notar que 𝑀𝑎 = 𝑉⁄𝑐 y 𝑐 = √𝑘𝑅𝑇, se tiene que: 𝑇2 𝜌2 𝑉2 𝑃2 𝑀𝑎2 𝑐2 𝑃2 𝑀𝑎2 √𝑇2 𝑃2 2 𝑀𝑎2 2 = = = =( ) ( ) 𝑇1 𝜌1 𝑉1 𝑃1 𝑀𝑎1 𝑐1 𝑃1 𝑀𝑎1 √𝑇1 𝑃1 𝑀𝑎1 Cuando se combinan las ecuaciones se obtiene la razón de presiones a través del choque: 𝑃2 𝑀𝑎1 √1 + 𝑀𝑎12 (𝑘 − 2)/2 = 𝑃1 𝑀𝑎2 √1 + 𝑀𝑎2 (𝑘 − 2)/2 2 La ecuación anterior es una combinación de las ecuaciones de conservación de la masa y la energía; por lo tanto, es también la ecuación de la línea de Fanno para un gas ideal con calores específicos constantes. Una relación similar para la línea de Rayleigh puede obtenerse si se combinan las ecuaciones de conservación de la masa y la ecuación de cantidad de movimiento. 𝑚̇ 𝑃1 − 𝑃2 = (𝑉2 − 𝑉1 ) = 𝜌2 𝑉22 − 𝜌1 𝑉12 𝐴 2 𝑃 𝑃 𝜌𝑉 2 = ( ) (𝑀𝑎 𝑐)2 = ( ) (𝑀𝑎 √𝑘𝑅𝑇) = 𝑃𝑘 𝑀𝑎2 𝑅𝑇 𝑅𝑇 𝑃1 (1 + 𝑘𝑀𝑎12 ) = 𝑃2 (1 + 𝑘𝑀𝑎22 ) 𝑃2 1 + 𝑘𝑀𝑎12 = (Linea de Rayleigh) 𝑃1 1 + 𝑘𝑀𝑎22 2 𝑀𝑎12 + 𝑘 − 1 2 𝑀𝑎2 = 2𝑀𝑎12 𝑘 −1 𝑘−1

Esta ecuación representa la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh y relaciona el número de Mach corriente arriba del choque al número de Mach corriente abajo del choque. El choque de ondas no se limita solamente a toberas supersónicas. Este fenómeno también se observa en la entrada del motor de un avión supersónico, donde el aire pasa por un choque y desacelera a velocidades subsónicas antes de entrar al difusor del motor. Las explosiones también producen la propagación de ondas de choque normales muy poderosas que pueden ser muy destructivas. En la Tabla A-14 se indican razones de varias propiedades de flujo después y antes del choque para un gas ideal con k = 1.4. Al revisar esta tabla se encuentra que Ma2 (el número de Mach después del choque) es siempre menor que 1 y cuanto mayor es el número de Mach supersónico antes del choque, menor es el número de Mach subsónico después del choque. También se observa que la presión estática, la temperatura y la densidad aumentan después del choque, mientras que la presión de estancamiento disminuye. El cambio de entropía en el choque se obtiene cuando se aplica éste a la ecuación del cambio de entropía de un gas ideal: 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 ln

𝑇2 𝑃2 − 𝑅 ln 𝑇1 𝑃1

la cual puede expresarse en términos de k, R y Ma1 al incluir las relaciones desarrolladas antes en esta sección. Puesto que el flujo a través de la onda de choque es adiabático e irreversible, la segunda ley de termodinámica exige que el flujo aumente su entropía al atravesar la onda de choque. Por lo tanto, una onda de choque no puede existir para valores de Ma1 menores que la unidad, donde el cambio de entropía sería negativo. Para flujos adiabáticos, las ondas de choque existen solamente para flujos supersónicos, Ma1 > 1.

Toberas convergente-divergentes Cuando se piensa en toberas aceleradoras, por lo general se piensa en ductos de flujo cuya área de sección transversal disminuye en la dirección del flujo. Sin embargo, la mayor velocidad a la cual un fluido puede acelerarse en una tobera convergente se limita a la velocidad sónica (Ma = 1), la cual ocurre en la salida (garganta) de la tobera. La aceleración del fluido a velocidades supersónicas (Ma > 1) puede lograrse solamente al añadir una tobera divergente a la tobera aceleradora subsónica en su garganta. La combinación resultante es una tobera convergente-divergente, la cual es un dispositivo común en aviones supersónicos y cohetes de propulsión. Forzar un fluido a pasar a través de una tobera convergente-divergente no garantiza que el fluido se acelerará a una velocidad supersónica. De hecho, el fluido puede por sí mismo desacelerarse en la sección divergente en vez de acelerarse si la presión del receptor no está en el rango adecuado. Cómo será el flujo en una tobera se determina por la razón de presiones Pb/P0. Por lo tanto, para condiciones de la entrada especificadas, el flujo a través de una tobera convergentedivergente está gobernado por la presión del receptor Pb como se explica a continuación.

Sin tomamos en consideración un tobera convergente-divergente. El fluido entra a la tobera con una velocidad muy baja y a una presión de estancamiento P0. Cuando Pb = P0 (caso A), no hay flujo a través de la tobera. Este resultado se espera ya que el flujo en la tobera es conducido por la diferencia de las presiones entre la entrada y la salida de la tobera. A continuación, se examina qué sucede cuando disminuye la presión del receptor. 1. Cuando P0 > Pb > PC, el flujo permanece subsónico a través de la tobera, y el flujo de masa es menor que el del flujo bloqueado. La velocidad del fluido aumenta en la primera sección (convergente) y alcanza un máximo en la garganta (pero Ma < 1). Sin embargo, gran cantidad del aumento en la velocidad se pierde en la segunda sección (divergente) de la tobera, la cual actúa como un difusor. La presión disminuye en la sección convergente, alcanza un mínimo en la garganta, y aumenta a expensas de la disminución de la velocidad en la sección divergente. 2. Cuando Pb = Pc, la presión en la garganta se convierte en P* y el fluido alcanza una velocidad sónica en la garganta. Pero, la sección divergente de la tobera actúa aún como difusor, al desacelerar al fluido a velocidades subsónicas. La razón del flujo de masa que se incrementaba con el decremento en Pb alcanza su máximo valor. Debe recordarse que P* es el valor más pequeño de la presión que puede obtenerse en la garganta, y la velocidad sónica es la máxima velocidad que puede lograrse en una tobera convergente. Entonces, al disminuir aún más la presión del receptor Pb no se tiene influencia alguna del flujo en la parte convergente de la tobera o la razón de flujo de masa a través de la tobera. Sin embargo, esto influye en el tipo del flujo en la sección divergente.

3. Cuando PC > Pb > PE, el fluido que alcanzó velocidad sónica en la garganta continúa acelerándose a velocidades supersónicas en la sección divergente mientras que la presión disminuye. Sin embargo, esta aceleración cesa repentinamente, cuando una onda de choque normal se forma en una sección transversal entre la garganta y el plano de la salida de la tobera, lo que origina una repentina caída en la velocidad a niveles subsónicos y un repentino incremento en la presión. El fluido, entonces, continúa desacelerándose en la región restante de la tobera convergente-divergente. El flujo a través de una onda de choque es muy irreversible y, por lo tanto, no puede ser aproximado como un flujo isentrópico. El choque normal se aleja de la garganta a medida que Pb disminuye y se aproxima a la salida de la tobera mientras que Pb se aproxima a PE. Cuando Pb=PE se forma una onda de choque normal en el plano de la salida de la tobera. El flujo es supersónico a lo largo de toda la sección divergente de la tobera en este caso, y puede considerarse como isentrópico. No obstante, la velocidad del fluido cae a niveles subsónicos justo antes de abandonar la tobera al atravesar una onda de choque normal. 4. Cuando PE > Pb > P0, el flujo en la sección divergente es supersónico, y el fluido se expande a PF a la salida de la tobera y ninguna onda de choque normal se forma dentro de la tobera. Así, el flujo a través de la tobera puede aproximarse como un flujo isentrópico. Cuando Pb = PF, no ocurren ningunas ondas de choque dentro o fuera de la tobera. Cuando Pb < PF, unos procesos de mezclado irreversible y ondas de expansión ocurren corriente abajo del plano de salida de la tobera. Sin embargo, cuando Pb > PF, la presión del fluido aumenta de manera irreversible desde PF a Pb en la región de la estela formada corriente abajo del plano de salida de la tobera y crea las llamadas ondas de choque oblicuas.

Procedimiento Como fue mostrado en clases, para ciertas condiciones de areas y presiones de estancamiento en una tobera convergente-divergente (sin transferencia de calor ni de potencia y sin cambios significativos de energía potencial), donde el fluido de trabajo es un gas ideal, es posible que se dé el fenómeno irreversible de la onda de choque normal. Como se observa en la Figura 1 obtenida del libro de texto de Çengel y Cimbala, si la presión de receptor es menor que la presión PC y mayor que la presión PF, el flujo no podrá alcanzar la salida de la tobera en forma reversible. Es importante conocer el efecto de la presión de estancamiento y del área de garganta en la ubicación de la onda de choque normal. Estos dos efectos serán estudiados independientemente en este laboratorio.

Figura 1. Flujo de un gas ideal en una tobera convergente-divergente. A. Efecto de la presión de receptor (Pb): Considere un tanque de aire conectado a una tobera convergente-divergente. La presión y temperatura del aire en el tanque son 1 MPa y 700 K, respectivamente. El área de la región divergente de la tobera está dada por relación, 𝐴 1 𝑥 2 𝑥 = [1 + 3 ( ) ] 0≤ ≤1 𝐴𝑒 4 𝐿 𝐿 donde A es el área de cualquier punto en la sección divergente de la tobera y Ae es el área de la salida como se indica en la Figura 2. Como se pude apreciar en la Figura 2, el área de garganta At es el área en la coordenada x=0. Suponiendo condiciones de estado estable, flujo estable, comportamiento de gas ideal con calores específicos constantes y despreciando el efecto de la fricción, determine la ubicación de la onda de choque para los valores de presión de receptor tabulados en la Tabla 1 y proceda a llenar la tabla. Una vez llenada la Tabla 1 grafique la ubicación de la onda de choque (xo/L) como función de la presión de receptor Pb. Comente acerca de sus resultados.

Figura 2. Tobera convergente-divergente. B. Efecto del área de garganta (At): Considere el tanque de aire de la sección A del laboratorio con las mismas propiedades de estancamiento. En este caso, la presión de receptor estará fijada en 600 kPa y lo que se podrá variar es el área de garganta de la tobera, manteniendo el área de salida (Ae) constante al igual que la longitud de la sección convergente (L). Para los tres casos mostrados en la Tabla 2, determine la ubicación de la onda de choque. Asuma condiciones de estado estable y flujo estable, comportamiento de gas ideal con calores específicos constantes y desprecie cualquier efecto de transferencia de calor, potencia, fricción y también desprecie cualquier cambio en la energía potencial. Similar a lo hecho en la sección anterior, grafique la ubicación de la onda de choque (xo/L) como función de la razón de área (Ae/At). Comente acerca de sus resultados.

Resultados Deducción de algunas ecuaciones Para esta parte utilizaremos unas de las funciones obtenidas en los laboratorios pasados, en donde supondremos que k es constante con un valor de 1.4

Suponiendo una k constante de 1.4: 3.635888502 − 0.001360125𝑇 + 3.81443x10−6 𝑇 2 − 3.02383x10−9 𝑇 3 + 1.03878x10−12 𝑇 4 − 1.32878x10−16 𝑇 5 = 1.4 3.635888502 − 0.001360125𝑇 + 3.81443x10−6 𝑇 2 − 3.02383x10−9 𝑇 3 + 1.03878x10−12 𝑇 4 − 1.32878x10−16 𝑇 5 − 1

Se resuelve para T mediante el comando SOLVE (menú 3 1) de la TI-NSPIRE CX CAS: T=173.008k T=310.213k T=3227.49k Con la definición de Mach y de Temperatura de Estancamiento:

𝑇0 = 𝑇 + 𝑀𝑎 =

𝑉2 2𝐶𝑝 𝑉

𝑉 = 𝑐 √𝑘𝑅𝑇

Despejamos en función de Ma y se encuentra:

𝑀𝑎 2 =

2𝑇0 (𝑘 + 1)𝑇

Si se evalúa para las tres temperaturas anteriores se obtiene: T=173.008k  Ma=1.83622 T=310.213k  Ma=1.37129 T=3227.49k  Ma=0.425134 De la relación: 𝑘+1

𝐴 1 2 𝑘 − 1 2 2(𝑘−1) = (1 + 𝑀𝑎 )] [ 𝐴∗ 𝑀𝑎 𝑘 + 1 2 Con la relación sugerida por el profesor: 𝐴 𝑥 2 = 1 + 3( ) ∗ 𝐴 𝐿 Ma=1.83622  x/L= 0.3999718  Ma=1.37129  x/L= 0.182278 

𝐴

𝐴

𝐴∗

= 1.47922

= 1.09968

𝐴∗

Ma=0.425134  x/L= 0.414022  -

𝐴

𝐴∗

= 1.51424

Para calcular en Mach después de la onda de choque se usan los Mach anteriores con la expresión: 2 𝑀𝑎 2 + 2 𝑘 − 1 𝑀𝑎2 = 2 2𝑀𝑎 𝑘 −1 𝑘−1 Ma=1.83622  𝑀𝑎2 2 = 0.370398  𝑀𝑎𝑎2=0.608603 Ma=1.37129  𝑀𝑎2 2 = 0.565683  𝑀𝑎𝑎2=0.752119 Ma=0.425134  𝑀𝑎2 2 = 19.5372  𝑀𝑎𝑎2 =4.4201 Con la fórmula que proporciona el laboratorio: 𝐴 1 𝑥 2 = (1 + 3 ( ) ) 𝐴𝑒 4 𝐿

𝐴

x/L=0.3999718  -𝐴 = 0.369983 𝐴

𝑒

x/L=0.182278  -𝐴 = 0.274921 𝑒

x/L=0.414022  -

𝐴

𝐴𝑒

= 0.378561

Función para determinar el número de mach a la salida De las formulas del libro de Çengel tabla A -14, relaciona la presión de estancamiento inicial con la de después de la onda de choque. (𝑘+1)/2(𝑘−1)

𝑃𝑜2 𝑀𝑎1 1 + 𝑀𝑎2 2 (𝑘 − 1)/2 = [ ] 𝑃01 𝑀𝑎2 1 + 𝑀𝑎1 2 (𝑘 − 1)/2

𝑘+1

𝑃02

𝑀𝑎2 2 (𝑘 − 1) 2(𝑘−1) 𝑃01 𝑀𝑎1 1 + 2 = [ ] 𝑀𝑎2 𝑀𝑎1 2 (𝑘 − 1) 1+ 2

Asumiendo k constante 3

𝑃02

𝑃01 𝑀𝑎1 1 + 0.2𝑀𝑎2 2 = [ ] 𝑀𝑎2 1 + 0.2𝑀𝑎1 2

Resolviendo 𝑃01 = 1000𝐾𝑃𝑎 T=173.008k  𝑀𝑎1 =1.83622  𝑀𝑎2 = 0.608603  𝑃02 = 796.46807312 𝐾𝑃𝑎 T=310.213k  𝑀𝑎1 =1.37129  𝑀𝑎2 = 0.752119  𝑃02 = 965.05089763 𝐾𝑃𝑎 T=3227.49k  𝑀𝑎1 =0.425134  𝑀𝑎2 = 4.4201  𝑃02 = 10218.7575036 𝐾𝑃𝑎 La Presión receptora es igual a la presión de salida 𝑃𝑒 = 𝑃𝑏 𝑘

𝑘−1 𝑃𝑜2 𝑘−1 = (1 + 𝑀𝑎𝑒 2 ) 𝑃𝑒 2

Despejo 𝑀𝑎𝑒 𝑘−1 𝑘

𝑃𝑜2 √2 [( 𝑃𝑒 )

− 1]

𝑘−1

= 𝑀𝑎𝑒

Asumiendo k constante 2

𝑃𝑜2 7 𝑀𝑎𝑒 = √5 [( ) − 1] 𝑃𝑒 Resolviendo para T=173.008k  𝑃02 = 796.46807312 KPa 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒

= 980𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = imaginario (0.5363j) = 800𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = imaginario (0.07948j) = 600KPa  𝑀𝑎𝑒 = 0.64921 = 400𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 1.04277 = 300𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 1.26841

T=310.213k  𝑃02 = 965.05089763 KPa 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒

= 980𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = imaginario (0.14803j) = 800𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 0.52466 = 600𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 0.85275 = 400𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 1.19609 = 300𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 1.40766

T=3227.49k  𝑃02 = 10218.7575036 Kpa 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒 𝑃𝑒

= 980KPa  𝑀𝑎𝑒 = 2.18394 = 800𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 2.31361 = 600𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 2.49794 = 400𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 =2.76047 = 300𝐾𝑃𝑎  𝑀𝑎𝑒 = 2.94981

Nota: Podemos observar que algunos de los valores arrojados dieron numeros imaginarios, en estos casos ese valor no se toma en cuenta. Calculo de una función para graficar la ubicación de la onda de choque (xo/L) como función de la presión receptora (Pb). Calculo de una función para graficar la ubicación de la onda de choque (xo/L) como función de la razón de área (Ae/At). 𝐴 1 𝑥 2 = (1 + 3 ( ) ) 𝐴𝑒 4 𝐿 𝐴 1 𝑥 2 = (1 + ( ) ) 𝐴𝑒 2 𝐿

𝐴 1 𝑥 2 = (3 + ( ) ) 𝐴𝑒 4 𝐿 𝐴 𝑥 2 = 1 + 3( ) ∗ 𝐴 𝐿 𝑥 2 𝐴𝑒 (4) (1 + 3 (𝐿 ) ) = 𝑥 2 𝐴∗ 3+( ) 𝐿 𝑥 2 (2) (1 + 3 ( 𝐴𝑒 𝐿) ) = 𝑥 2 𝐴∗ 1 + (𝐿 ) 𝑥 2 (4) (1 + 3 ( 𝐴𝑒 𝐿) ) = =4 𝑥 2 𝐴∗ 1 + 3( ) 𝐿

Tabla 1. Efecto de la presión de receptor (Pb) en la ubicación de la onda de choque normal.

T=173.008k P0 T0 [kPa] [K]

1000

700

T=310.213k P0 T0 [kPa] [K]

1000

700

T=3227.49k P0 T0 [kPa] [K]

1000

700

Pb [kPa] 980 800 600 400 300

Pb [kPa] 980 800 600 400 300

Pb [kPa] 980 800 600 400 300

Ubicación de la onda de choque normal xo/L A/Ae A/At Ma Ma antes después 0.3999718 0.369983 1.47922 1.83622 0.608603 0.3999718 0.369983 1.47922 1.83622 0.608603 0.3999718 0.369983 1.47922 1.83622 0.608603 0.3999718 0.369983 1.47922 1.83622 0.608603 0.3999718 0.369983 1.47922 1.83622 0.608603

Mae 0.5363j 0.07948j 0.64921 1.04277 1.26841

Ubicación de la onda de choque normal Mae xo/L A/Ae A/At Ma Ma antes después 0.182278 0.274921 1.09968 1.37129 0.752119 0.14803j 0.182278 0.274921 1.09968 1.37129 0.752119 0.52466 0.182278 0.274921 1.09968 1.37129 0.752119 0.85275 0.182278 0.274921 1.09968 1.37129 0.752119 1.19609 0.182278 0.274921 1.09968 1.37129 0.752119 1.40766

Ubicación de la onda de choque normal A/Ae A/At Ma Ma antes después 0.414022 0.378561 1.51424 0.425134 4.4201 0.414022 0.378561 1.51424 0.425134 4.4201 0.414022 0.378561 1.51424 0.425134 4.4201 0.414022 0.378561 1.51424 0.425134 4.4201 0.414022 0.378561 1.51424 0.425134 4.4201 xo/L

Mae 2.18394 2.31361 2.49794 2.76047 2.94981

Tabla 2. Efecto del área de garganta en la ubicación de la onda de choque. T=173.008k P0 T0 Pb [kPa] [K] [kPa

𝐴 𝑥𝑜 ( ) 𝐴𝑒 𝐿 𝐴 1 𝑥 2 = [3 + ( ) ] 𝐴𝑒 4 𝐿

1000

700

600

T=310.213k P0 T0 Pb [kPa] [K] [kPa

𝐴 1 𝑥 2 = [1 + ( ) ] 𝐴𝑒 2 𝐿

0.3999718

0.579

1.09968 1.37129 0.752119 0.64921

𝐴 𝐴𝑒 1 𝑥 2 = [1 + 3 ( ) ] 4 𝐿

0.3999718

0.370

1.09968 1.37129 0.752119 0.64921

𝐴 𝑥𝑜 ( ) 𝐴𝑒 𝐿 𝐴 1 𝑥 2 = [3 + ( ) ] 𝐴𝑒 4 𝐿

1000

700

600

𝐴 1 𝑥 2 = [1 + ( ) ] 𝐴𝑒 2 𝐿

𝐴 𝐴𝑒

1 𝑥 2 = [1 + 3 ( ) ] 4 𝐿

T=3227.49k P0 T0 Pb [kPa] [K] [kPa

𝐴 𝑥𝑜 ( ) 𝐴𝑒 𝐿 𝐴 1 𝑥 2 = [3 + ( ) ] 𝐴𝑒 4 𝐿

1000

700

600

Ubicación de la onda de choque normal Mae xo/L A/Ae A/At Ma Ma antes después 0.3999718 0.789 1.09968 1.37129 0.752119 0.64921

Ubicación de la onda de choque normal Mae xo/L A/Ae A/At Ma Ma antes después 0.182278 0.758 1.47922 1.83622 0.608603 0.85275 0.182278

0.517

1.47922 1.83622 0.608603 0.85275

0.182278

0.275

1.47922 1.83622 0.608603 0.85275

Ubicación de la onda de choque normal xo/L A/Ae A/At Ma Ma antes después 0.414022 0.792 1.51424 0.425134 4.4201

Mae 2.49794

𝐴 1 𝑥 2 = [1 + ( ) ] 𝐴𝑒 2 𝐿

0.414022

0.586

1.51424 0.425134

4.4201

2.49794

𝐴 1 𝑥 2 = [1 + 3 ( ) ] 𝐴𝑒 4 𝐿

0.414022

0.379

1.51424 0.425134

4.4201

2.49794

Grafique la ubicación de la onda de choque (xo/L) como función de la razón de área (Ae/At). Comente acerca de sus resultados.

X0/L vs Ae/At 4.5 4 3.5

Ae/At

3

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1

1.2

X0/L

X0/L vs Ae/At 4.5 4 3.5

Ae/At

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

X0/L

En esta grafica podemos observar que la razón de área (Ae/At) tiende a 4, esto pudimos verlo directamente al obtener las ecuaciones debido a que una de ellas no dio 4 y la cual excluimos graficarla; decidimos graficar estas dos debido a que podemos observar como varia la razón de área en un rango de 0 a 1.

Conclusión Mediante el desarrollo de esta experiencia pudimos observar que básicamente una onda de choque se produce para este caso, cuando el fluido supera la velocidad del sonido, es decir cuando Ma >1. Además de que, en una tobera convergente-divergente, se puede determinar la ubicación donde ocurre la onda, debido a su forma, ya que suele ocurrir después de la garganta.

Recomendación - Tener bases previas de método numéricas o una noción, se necesita de conocimientos de estos. Ayuda bastante en la resolución de la función.

- se podría realizar simulaciones virtuales de diseños de tobera con determinada característica de estancamiento iniciales viendo hasta qué punto del fluido llega a ser sónico.

- Considerar el uso del programa EES para la solución de ecuaciones de difícil determinación. Referencia Bibliográfica MECÁNICA DE FLUIDOS Fundamentos y aplicaciones Primera edición, Autores: Yunus A. Çengel y John M. Cimbala McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. México, D.F. Capítulo 12-3 Flujo Isentrópico Unidimensional paginas 619-620 -621- 622-623 Capítulo 12-4 Flujo Isentrópico en toberas paginas 629 -630- 631-632 Capítulo 12-5 Ondas de choque y Ondas de expansión 633-634-635-636-637