• Author / Uploaded
• edinson

Citation preview

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS “CENTROIDE Y MOMENTO DE INERCIA DE AREAS.” INTEGRANTES

: HUANGAL LOPEZ Eduardo. : MAUTINO RUIZ Fernando. : SPELUCIN OTINIANO Didier. : TAFUR RUIZ Franchesca. : VEGA OBLITAS Nixon.

CURSO

:

RESISTENCIA DE MATERIALES.

COD. DE CLASE

:

1310.

DOCENTE

: VASQUEZ MENDOZA Oscar Arturo.

1

INDICE DE CONTENIDO. INDICE DE CONTENIDO. ....................................................................................................... 2 INDICE DE FIGURAS................................................................................................................ 4 INTRODUCCION:....................................................................................................................... 5 RESUMEN. .................................................................................................................................. 6 REALIDAD PROBLEMÁTICA. ................................................................................................. 6 FORMULACIÓN DE PROBLEMA. .......................................................................................... 7 JUSTIFICACION. ....................................................................................................................... 7 LIMITACIONES. ......................................................................................................................... 7 OBJETIVOS. ............................................................................................................................... 7 Generales: ............................................................................................................................... 7 Específicos: ............................................................................................................................. 7 MARCO TEORICO. ................................................................................................................... 8 CAPITULO I. ............................................................................................................................... 8 CENTROIDE. .............................................................................................................................. 8 Puntos importantes del Centroide. ...................................................................................... 8 Centroide de volumen............................................................................................................ 8 Centroide de área. .................................................................................................................. 9 Centroide de una Línea. ...................................................................................................... 10 Centroide para áreas planas compuestas. ....................................................................... 11 Centro de masa .................................................................................................................... 12 Centroide de formas complejas. ........................................................................................ 13 VIGAS. ....................................................................................................................................... 15 FUNCION DE UNA VIGA. ................................................................................................... 15 MATERIALES Y COMPOSICIÓN DE LAS VIGAS. ........................................................ 16 – Vigas de madera. .......................................................................................................... 16 – Vigas de acero o hierro. ............................................................................................... 16 – Vigas de Concreto u hormigón armado. .................................................................... 17 ¿Cuáles son los tipos de vigas? ........................................................................................ 17 Viguetas ............................................................................................................................. 17 Largueros ........................................................................................................................... 17 Dinteles. ............................................................................................................................. 18 Vigas de tímpano.............................................................................................................. 18 Pilares. ............................................................................................................................... 18 2 Vigas hip ............................................................................................................................ 18

Vigas de acero L ............................................................................................................... 18 Vigas de madera laminada enchapada. ....................................................................... 18 Vigas de madera. ............................................................................................................. 18 

Vigas Flitch ................................................................................................................ 18



Vigas de madera laminada ..................................................................................... 19



Vigas de caja ............................................................................................................. 19

Vigas de soporte. .............................................................................................................. 19 CAPITULO II. ............................................................................................................................ 20 MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA. ............................................................................. 20 PERFILES COMPUESTOS. .............................................................................................. 21 Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas: ......................... 22 TEOREMA DE EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER. ............................... 23 DEFINICIÓN...................................................................................................................... 23 EXPLICACÓN DE LA FORMULA. ................................................................................. 23 MODULO DE LA SECCION. .............................................................................................. 26 RADIO DE GIRO. ................................................................................................................. 27 EJERCICIOS PROPUESTOS. ............................................................................................... 28 CONCLUSIONES. .................................................................................................................... 36 RECOMENDACIONES: .......................................................................................................... 36 REFERENCIAS: ....................................................................................................................... 36

3

INDICE DE FIGURAS. Ilustración 1: Definición de Centroide………………………………………………………8 Ilustración 2: Centroide de una Región Plana……………………..................................8 Ilustración 3: Centroide de Volumen………………………………………………………..9 Ilustración 4: Centroide Del Área…………………………………………………………....9 Ilustración 5: Diferentes tipos de centroides del Área…………………………………...10 Ilustración 6: Centroide de una línea………………………………………………………10 Ilustración 7: Centroide en un eje de simetría…………………………………………….11 Ilustración 8: Centroide en dos o más ejes de simetría………………………………….11 Ilustración 9: Centroide en un área plana Compuesta……..........................................12 Ilustración 10: Definición de Centro de Masa……………………………………………..12 Ilustración 11: Método de áreas compuestas para la localización de centroide………13 Ilustración 12: Formas compuestas con dos ejes de simetría…………………………..15 Ilustración 13: Viga de madera……………………………………………………………...16 Ilustración 14: Viga de acero………….........................................................…………...16 Ilustración 15: Vigas de concreto…………………………………………………………...17 Ilustración 16: Tipos de vigas…………………………………………………...................19 Ilustración 17: Momento de inercia de un área……………………………………………20 Ilustración 18: Formulas del Momento de inercia…………………………………………20 Ilustración 19: figuras de perfil compuesto…………………………………………………21 Ilustración 20: Polígono…………......……………………………………………………….25 Ilustración 21: Radio de giro……............................……………………………………….27 Ilustración 22: Radio de giro gráfica…………………………….............………………… 27

4

INTRODUCCION:

Este informe comprende diferentes propiedades geométricas siendo el más importante el momento de inercia, entre otras propiedades están los conceptos de centroides, radio de giro y el teorema de Steiner o de los ejes paralelos Es un punto que se define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de fórmulas semejantes utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. En particular, si el material de que está compuesto un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o el peso específico serán constantes en todo el cuerpo. Las Formulas resultantes definen al centroide de un cuerpo, ya que son independientes del peso del cuerpo y dependen solamente del cuerpo. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

5

RESUMEN. Antes de empezar a definir el concepto de inercia es necesario entender completamente lo que es un centroide y como se obtiene. El centroide de un área se refiere al punto que define al centro geométrico del área. El enfoque dado al estudio del centroide es ejemplificar como se obtiene el centroide de una sección compuesta por diferentes áreas geométricas. Puesto que el concepto básico no necesita gran atención por su simplicidad, se empieza por resolver un ejemplo sobre sección compuesta, etc. Los denominados momentos y productos de inercia, son magnitudes que aparecen con frecuencia en los problemas de ingeniería, por ejemplo en el estudio de fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas. El segundo momento de área, también denominado momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales; está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión; por ello es importante determinar la orientación del elemento en la que la resistencia es máxima.

En

ocasiones

dichas

elementos

estructurales

planos

se

pueden

descomponer en varias secciones planas (normalmente rectángulos), como en el caso de vigas cuyos perfiles adoptan forma de U, L, C, T,…etc,

REALIDAD PROBLEMÁTICA. Encontrándonos en la actualidad frente a la falta de infraestructura en nuestro país, que acompañe este crecimiento de estos últimos años, que a la fecha aún se sigue manteniéndose en cifras positivas, para ello consideraremos en nuestra lista, a las construcciones que tienen como estructuras, por ejemplo: Las vigas, soportes, pilares, cementación, etc. El trabajo que les demos a estas debe facilitar la salida de la producción y comercialización entre ciudades, desde la más lejana en donde se desarrollan actividades de agricultura, pequeña industrialización de algunos productos de estas zonas. Como son el descubrimiento de nuevos recursos que los grandes mercados reciben con buena aceptación, zonas turísticas que atraen a visitantes de distintos sitios de nuestro país y del mundo. Es por ello que nos encontrándonos a la hora de desarrollar un proyecto de integración con los obstáculos como son, el cruce de ríos, zonas inaccesibles, zonas inundables, mala calidad de los suelos, precipicios muy accidentados, siendo los puentes de luces diversas que hacen que las carreteras, líneas de trenes o ferrocarriles, túneles, tengan continuidad sin interrupciones, en los diversos 6 escenarios de nuestro país, selva, sierra y costa. Y también tenemos otro ejemplo muy

práctico con nuestra carrera ya que, sabemos que en las minas subterráneas podríamos tener muchos problemas de seguridad cuando se construyen las estructuras de los túneles sabemos que las vigas, soportes y los pilares son de gran ayuda en este tipo de estructuras de lo contrario si no se hiciera de la mejor manera estas construcciones tendríamos pérdidas humanas y económicas.

FORMULACIÓN DE PROBLEMA. ¿En que nos ayuda a conocer el momento de inercia, centroide y Teorema de eje paralelo en nuestro día a día o en la minería?

JUSTIFICACION. El presente trabajo se lleva a cabo ya que, es necesario para nosotros como estudiantes de ingeniería, poner en práctica y comprobar de manera experimental todos los alcances recibidos a fin de adquirir una base que nos permita aplicar todos los conocimientos aprendidos, en un futuro en nuestro campo laboral y de esta manera obtener un buen desempeño. Además este trabajo, permitirá explicar mejor nuestros compañeros de clase sobre los temas que hemos desarrollado en dicho trabajo, para la asignatura de Resistencia de materiales.

LIMITACIONES.  Problemas al reunirse con los integrantes.  Problemas al encontrar los ejercicios adecuados.

OBJETIVOS. Generales:  Analizar el concepto de centroide, Centroide de formas complejas, Momento de inercia de un área y Momentos de inercia de perfiles compuestos; calcular cada uno de estos haciendo uso de los teoremas dados.

Específicos:  Analizar conceptos de centroide y determinar la ubicación del centro en un centroide.  Explicar los tipos de centroide.  Explicar con claridad el teorema de ejes paralelos y calcular el radio de giro.  Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos.  Demostrar la importancia del momento de inercia.  Analizar el momento de la inercia de la masa.

7

MARCO TEORICO. CAPITULO I. CENTROIDE. El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la resultante de su peso. El punto en un área plana que corresponde al centro de gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y formas, se conoce como el centroide del área.

Ilustración 1: Definición de Centroide.

Ilustración 2: Centroide de una Región Plana.

Para que el centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.

Puntos importantes del Centroide. El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad solo si el material que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo. Las formulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las partes del sistema y el momento de la “resultante “para el sistema. En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo .además, este punto se encontrara sobre cualquier eje del simetría del cuerpo.

Centroide de volumen. Si un objeto es subdividido en elementos de volumen “dv”, la ubicación del centroide C (x, y, z) para el volumen del objeto puede ser determinada calculando los "momentos" 8

de los elementos con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Las fórmulas resultantes son:

0

x̅ =

0

∫v x̃dV

̃dV ∫v y

∫v dV

∫v dV

0

;y̅=

0

0

;z ̅

=

∫v z̃dV 0

∫v dV

Ilustración 3: Centroide de Volumen.

Centroide de área. El centroide del área superficial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos “dA” y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados.

0

x̅ =

∫A x̅dA 0

∫A dA

0

0

̅ dA ∫A y

∫A z̃dA

∫A dA

∫A dA

; y̅=

0

;z̅ =

0

Ilustración 4: Centroide Del Área.

9

Ilustración 5: Diferentes tipos de centroides del Área.

Centroide de una Línea. Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales “dL” con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta.

0

x̅ =

∫L x̃dL ∫L dL

0

;y̅ =

̃ ∫L y

0

;z̅ =

∫L dL

∫L z̃ dL ∫L dL

Ilustración 6: Centroide de una línea.

Simetría. En los casos donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará a lo largo de ese eje.

10

Ilustración 7: Centroide en un eje de simetría. En los casos donde una forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se encuentra en la intersección de esos ejes.

Ilustración 8: Centroide en dos o más ejes de simetría.

Centroide para áreas planas compuestas.  Consisten en una serie de cuerpos “más simples” que pueden ser rectangulares, triangulares o semicirculares y que están conectados entre sí.  Dichos cuerpos pueden ser seccionados en sus partes componentes.  Para un número finito de pesos tenemos.

11

x̅ =

∑ x̃W ∑W

y̅ = ∑

∑y ̃W ∑W

z̅ =

∑ z̃W ∑W

Ilustración 9: Centroide en un área plana Compuesta.

Centro de masa El centro de masas es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como “C.M”.

Ilustración 10: Definición de Centro de Masa.

12

Centroide de formas complejas. Las formas más complejas pueden ser consideradas como compuestas de varias formas simples. Esto facilita la localización del centroide. Se puede utilizar una regla simple para localizar centroides de algunas combinaciones especiales de áreas:  Si el área tiene un eje de simetría, el centroide quedará en dicho eje.  Si el área tiene dos ejes de simetría, el centroide se encuentra en la intersección de estos dos ejes.

Cuando no hay dos ejes de simetría, se puede utilizar el MÉTODO DE ÁREAS COMPUESTAS para localizar el centroide, como se muestra en la figura 10:

30 mm

80 mm

40 mm Ilustración 11: MÉTODO DE ÁREAS COMPUESTAS para la localización de centroide.

Se considera que tales áreas se componen de dos o más áreas simples cuyo centroide se puede localizar aplicando el principio siguiente:

13

 El producto del área total por la distancia a su centroide es igual a la suma de los productos del área de cada componente por la distancia a su centroide, con la distancia medida con respecto al mismo eje de referencia. Este principio utiliza el concepto del momento de un área, es decir, el producto del área por la distancia del eje de referencia al centroide del área. El principio establece lo siguiente:  El momento del área total con respecto a un eje particular es igual a la suma de los momentos de todos los componentes con respecto al mismo eje.

Esto se expresa matemáticamente como: AT ̅ Y = ∑(Ai Yi )

Dónde: At : Área total de la forma compuesta. Y̅ : Distancia al centroide de la forma compuesta medida con respecto a un eje de referencia. Ai : Área de un componente de la forma. Yi : Distancia al centroide del componente con respecto a un eje de referencia. El subíndice i indica que puede haber varios componentes, y que se debe formas el producto Ai Yi , por cada uno y luego sumarlos, como lo requiere en la ecuación ̅, entonces se resuelve la mostrada. Como nuestro objetivo es calcular Y ecuación:

̅= Y

∑(Ai Yi ) At

14

Ilustración 12: Formas compuestas con dos ejes de simetría.

VIGAS. Las vigas son elementos estructurales que pueden ser de concreto armado, diseñado para sostener cargas lineales, concentradas o uniformes, en una sola dirección. Una viga puede actuar como elemento primario en marcos rígidos de vigas y columnas, aunque también pueden utilizarse para sostener losas macizas o nervadas. La viga soporta cargas de compresión, que son absorbidas por el concreto, y las fuerzas de flexión son contrarrestadas por las varillas de acero corrugado, las vigas también soportan esfuerzos cortantes hacia los extremos por tanto es conveniente, reforzar los tercios de extremos de la viga. Para lograr que este elemento se dimensiones cabe tener en cuenta la resistencia por flexión, una viga con mayor peralte (altura) es adecuada para soportar estas cargas, pero de acuerdo a la disposición del proyecto y su alto costo hacen que estas no se convenientes. Para lograr peraltes adecuados y no incrementar sus dimensiones, es conveniente incrementar el área del acero de refuerzo para compensar la resistencia a la flexión.

FUNCION DE UNA VIGA. Las vigas son las piezas extensas que, unidas a las columnas, soportan las estructuras y las cargas en las obras, permitiendo flexibilidad. De hecho, estos elementos se utilizan para soportar los techos y las aberturas, y también como elemento estructural de puentes. Por tal motivo, a la hora de elaborarlos o armarlos se debe comprobar que 15

soporten a la perfección los esfuerzos de tracción y de compresión de modo simultáneo, como sucede al doblarse la pieza.

MATERIALES Y COMPOSICIÓN DE LAS VIGAS. Pueden ser realizadas en madera, en hormigón o también en hierros soldados, con cuatro tiras angulares y piezas que se entrecruzan para dar soporte y unión. Los materiales de elaboración deben ser flexibles, duraderos y resistentes a la vez, por lo que no se utiliza elementos cerámicos, pétreos u otros en su formación.

– Vigas de madera. La madera de las vigas se comporta de un modo ortotrópico con diversidad en su resistencia y rigidez, soportando así diferentes sentidos en los esfuerzos (paralelo o transversal a la fibra de la madera). La madera es capaz de soportar exigencias con menos deformación que otros materiales.

Ilustración 13: viga de madera

– Vigas de acero o hierro. El acero en las vigas presenta un comportamiento isotrópico, con más resistencia y menor peso que el hormigón. Con ello, logran soportar mayores esfuerzos de compresión y también mayores tracciones, lo que las hace las grandes favoritas para obras residenciales y urbanas.

16 Ilustración 14: viga de acero

– Vigas de Concreto u hormigón armado. Para elaborar vigas se utiliza el concreto pretensado y el postensado, a diferencia de su antecesor (el concreto armado), por su adecuación a las exigencias de las obras y esfuerzos. Son resistentes, presentan buena flexibilidad y adaptación a las exigencias y tensiones del terreno, aunque son de mayor peso que las de hierro, normalmente usadas en construcción de viviendas.

Ilustración 15: viga de concreto

¿Cuáles son los tipos de vigas? Viguetas Se trata de las vigas que se colocan una cerca de la otra con el fin de aguantar el piso y techo en una edificación. Estas en ciertas ocasiones son colocadas en todo los largo del exterior del edificio. Estas vigas se llegan a apreciar aun cuando una construcción en posición horizontal no está terminada. Su función principal es de servir de cimiento para pisos superiores y de soporte del techo. Estas vigas varían en cuanto a grosor y se colocan más cerca o más lejos acorde al peso que deben de aguantar. Son elaboradas en base a acero, madera y concreto.

Largueros Tipos de vigas que son colocadas en todo el largo y en posición paralela del camino de un puente. Estas actúan como cimientos en aquellas obras que están suspendidas en el aire, como es el caso de los pasaderos, de los acueductos, de los viaductos y de los soterramientos. Se colocan de lado a lado por todo el camino, para así poder soportar el peso de los 17 que transitan por el camino.

Dinteles. Estas vigas son colocadas sobre las aberturas de una pared de mampostería, donde su función principal es soportar el vacío producido por las ventanas y las puertas. Estas vigas quedan a la vista de las personas, notándose principalmente en construcciones coloniales, donde se emplean dinteles elaborados en base a madera.

Vigas de tímpano. Estas vigas son construidas para ser usadas como sostén del peso y para mantener lineadas las paredes del exterior de una edificación.

Pilares. Estas vigas se parecen mucho a las armaduras, la cual queda a la vista aun estando por el interior de la construcción, puesto a que estos se transforman en columnas. Tienen como función principal sostener todo el peso superior de la estructura y al mismo tiempo actúa como cimiento del extremo inferior.

Vigas hip Estas vigas se emplean para aguantar otros tipos de vigas en ciertas construcciones residenciales. A través de esta viga es que parten diversas vigas mostrando un mismo ángulo. Son usadas en aquellos puntos de la construcción que son catalogados como críticos.

Vigas de acero L Es una de las vigas de mayor utilización en construcción, el cual toma nombre debido a la forma en L en la cual se visualiza. Son muy empleadas en construcciones comerciales y en construcción residencial.

Vigas de madera laminada enchapada. Tipo de viga elaborada en base a madera enchapada que tiene un grosor de 4.0 centímetros. Se emplea para sostenes las paredes del exterior de ciertas edificaciones.

Vigas de madera. Se trata del tipo de viga de mayor antigüedad, el cual se elabora con el uso de los troncos de los árboles. Son muy empleados en la realización de cabañas rústicas.  Vigas Flitch Se trata de vigas compuestas por metal (acero) y madera. La madera que le compone le permite fijarse a otras estructuras, y el acero es lo que le brinda una fuerza mayor y a la vez le da una mejor capacidad de soporte de peso. 18

 Vigas de madera laminada Se trata de vigas que son elaboradas en base a diversas piezas de madera, las cuales son comprimidas una sobre la otra. Dichas maderas presentan un espesor de 2 pulgadas.  Vigas de caja Estas vigas se crean con una pieza de madera enchapada, la cual se adhiere una a la otra con clavos o a través del uso de trozos de 2 por 6 centímetros, creando una estructura muy larga a modo de caja.

Vigas de soporte. Son las vigas empleadas en puentes, en ventanales y en balcones. Estas logran aguantar el peso de las estructuras sea de una casa o de un edificio.

Ilustración 16: Tipos de viga.

19

CAPITULO II. MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA. Las cantidades llamadas momentos de inercia aparecen con frecuencia en los análisis de problemas de ingeniería. Por ejemplo, los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio de las fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas. El momento ejercido por la presión sobre una placa plana sumergida se puede expresar en términos del momento de inercia del área de la placa. En dinámica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos rotatorios de objetos. Los momentos de inercia de un área son integrales de forma similar a las usadas para determinar el centroide de un área. El momento de Inercia es una medida de la distribución del área respecto a un eje dado.

Ilustración 17: Momento de inercia de un área.

Ilustración 18: Formulas del Momento de inercia.

20

PERFILES COMPUESTOS. Si un cuerpo se compone de varias formas simples como discos, esferas y barras su momento de inercia con respecto a cualquier eje se determina por la suma algebraica de los momentos de inercia de todas las formas compuestas calculadas con respecto al eje. La adición algebraica es necesaria puesto que una parte compuesta debe considerase como una cantidad negativa si ya se contó como una pieza de otra partepor ejemplo un agujero restado de una polaca sólida. El teorema de los ejes paralelos se requiere si el centro de masa de cada parte compuesta no queda en el eje. Para el cálculo entonces, 𝐼 = ∑(𝐼𝐺 + 𝑚𝑑2 ). Aquí, el IG de cada una de las partes compuesta se determina por integración, o por formas simples, como barras y discos, que puede hallarse en una tabla, como la que se da en:

Ilustración 19: figuras de perfil compuesto. 21

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas: 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples. 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por.

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes respecto a los ejes X e Y. Y calcular el dm

con

de toda la figura formada

por todas las áreas parciales anteriores. 4. Calcular las distancias de los dm de cada área respecto al dm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área iésima. 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el

teorema

Steiner:

del

eje

paralelo,

es

decir,

el

teorema

de

y

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:

22

TEOREMA DE EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER. DEFINICIÓN. Es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes. Si se conoce el momento de Inercia de un área alrededor de un eje que pasa por su Centroide, conviene determinar el momento de inercia del área en torno a un eje Correspondiente paralelo usando el teorema de ejes paralelos. Esto establece que el momento de inercia de un área alrededor de un eje es igual al Momento de inercia del área en torno a un eje paralelo que pasa a través del centroide más el producto del área y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes. Esto permite transferir el momento de inercia de cada parte respecto a su eje centroidal al eje que pasa por G y obtener así la Inercia Total.

EXPLICACÓN DE LA FORMULA. El teorema de Steiner o de ejes paralelos permite, conocidos los momentos respecto a ejes que pasen por el centro de gravedad, calcular muy fácilmente los momentos de inercia respecto a ejes paralelos que no pasen por el centro de gravedad. Este "traslado" del segundo momento de inercia, se hace mediante la fórmula:

Donde: Ieje - Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa. I(CM)eje - Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de gravedad. A - Área de la sección transversal. d - Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad. El resultado anterior se puede generalizar a todas las componentes del tensor de inercia:

Dónde:

son las coordenadas de un punto P respecto al centro de

masas (CM), respecto al cual se quieren recalcular los momentos de inercia. Momentos de inercia de figuras planas

23



Rectángulo de ancho b y altura h, respecto a dos ejes paralelos a los lados del mismo (el eje X paralelo al lado b y el eje Y paralelo al lado h) y que pasan por su centro de gravedad:



Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su centro de gravedad:

 Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los catetos del mismo, pasan por su centro de gravedad:



Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad:



Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano):



Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su centro de gravedad:

24



Polígono cualquiera:

Ilustración 20: Polígono.

Polígono cualquiera Sumando las contribuciones de trapecios yendo desde cada lado del polígono al eje coordenado correspondiente (el orden en que se recorren los vértices del polígono da signo al valor obtenido):

Donde

son las coordenadas de los vértices del polígono.

25

MODULO DE LA SECCION. Una de las propiedades de las secciones que utiliza el ingeniero estructurista se conoce como módulo de la sección. Es necesario saber que si I es el momento de inercia de una sección con respecto a un eje que pasa por el centroide y C es la distancia desde la orilla más alejada de la sección hasta el mismo eje, el módulo de la sección es igual a I/C. la letra S se usa para denotar el módulo de la sección debido a que I está en pulgadas a la cuarta potencia (pulg4) y C es una dimensión lineal en pulgadas, el módulo de la sección S = I/C está en pulgadas a la tercera potencia (pulg3).

Para la sección transversal de la viga rectangular, es el ancho de la sección y D el peralte. La distancia desde la orilla más alejada hasta el eje X-X es C = D/2. Se sabe que IX-X para la sección es bd3/12. Por lo tanto, el módulo de la sección es:

bd3 I bd3 2 S = = 12 = ∗ d c 12 d 2

o bien S =

bd2 6

Rara vez es necesario resolver esta fórmula porque se dispone de extensas tablas que proporcionan el módulo de la sección para diversas formas estructurales (véase la tabla 5.1.)

Ejemplo. Calcule el módulo de la sección de una viga de 8 x 10 con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo al lado más corto. Solución: al consultar la tabla 5.1, se encuentra que las dimensiones efectivas de este miembro son 7.5 por 9.5 pulgadas. El módulo de la sección se encuentra en la cuarta columna como 112.8 pulg3. Al verificar este valor.

S=

bd2 7.5 ∗ 9.5 ∗ 9.5 = = 112.8 pulg 6 6

26

RADIO DE GIRO. Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada con el diseño de miembros sujetos a compresión. Depende de las dimensiones y de la forma geométrica de la sección y es un índice de la rigidez de la sección cuando se usa como columna o codal. El radio de giro se define matemáticamente como:

Ilustración 21: Radio de giro.

Donde I es el momento de inercia y A el área de la sección. Se expresa en pulgadas porque el momento de inercia está en pulgadas a la cuarta potencia y el área de la sección transversal está en pulgadas cuadradas. El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de acero estructural. Para las secciones rectangulares que se emplean comúnmente en las columnas de madera.

Ilustración 22: Radio de giro gráfica.

27

EJERCICIOS PROPUESTOS.

Ejercicio 1 Para la integración se elige un elemento diferencial de área que sea paralelo al eje x, como se muestra en la figura 10-6a. Como este elemento tiene un espesor dy e interseca la curva en el punto arbitrario(x,y). Su área es de dA = (100-X)dy. Además, el elemento se encuentra a la misma distancia x desde el eje. Po consiguiente, al integrar con respecto a y=0 hasta y=200mm, se obtiene

200𝑚𝑚 2

Ix = ∫A y 2 dA =∫0 200𝑚𝑚 2

=∫0

200𝑚𝑚

=∫0

y (100 − 𝑥)𝑑𝑦

y2

y (100 − 400)𝑑𝑦 (100y 2 −

y4 )𝑑𝑦 400

=107(106 ) mm4

28

Ejercicio 2 Determinar el momento de inercia del área que se muestra en la figura con respecto al eje x.

Partes compuestas. El área puede obtenerse al restar el círculo del rectángulo de la figura. El centoide de cada área está ubicado en la figura. Teorema de los ejes paralelos. Los momentos de inercia con respecto al eje x se determinan con el teorema de los ejes. Circulo Ix = Ix̅ + A d2y 1 = 𝜋(25)4 + 𝜋(25)2 (75)2 4 =11.4 (10)6 𝑚𝑚4 Rectángulo Ix = Ix̅ + A d2y 1 (100)(150)3 + (100)(150)(75)2 = 112.5(106 ) 𝑚𝑚4 12 Suma. Entonces, el momento de inercia del area compuesta es Ix = −11.4(106 )+112.5(106 ) =101(106 ) 𝑚𝑚4

29

Ejercicio 3. Determine el producto de inercia Ixy del triangulo que se muestra en la figura

Solución I. Un elemento diferencial con espesor dx, como se muestra en la figura, tiene un área dA=y dx.el producto de inercia de este elemento con respecto a los ejes x, y se determina con el teorema de los ejes paralelos.

̅ + 𝑑𝐴𝑥̅ 𝑦̅ dIxy = 𝑑𝐼𝑥𝑦 ̅ = 0, Donde x̅ y y̅ ubican el centroide del elemento o el origen de los ejes x,y. como 𝑑𝐼𝑥𝑦 debido a la simetría 𝑦

y x̃ = 𝑥, 𝑦̃ = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 y

h

h

𝑑𝐼𝑥𝑦 = 0 + (𝑦 𝑑𝑥) × (2) = (b x dx) × (2b x) h2

b

=2b2 ∫0 x 3 dx

30

Al integrar con respecto a x desde x = 0, hasta x = b se obtiene Ixy =

=

h2 b 3 ∫ x dx 2b 2 0

b2 h2 8

Solución II También puede usarse el elemento diferencial que tiene un espesor de dy, como se muestra en la figura. Su área es de dA = (b − x)dy. El centroide se localiza en el punto x̃ = x + (b − x) ∕ 2=(b + x) ∕ 2,ỹ = y por lo que el producto de inercia del elemento se vuelve. ̅ + 𝑑𝐴𝑥̅ 𝑦̅ dIxy = 𝑑𝐼𝑥𝑦 b+x )𝑦 2

= 0 + (b − x)dy( b

=(𝑏 − h 𝑦)dy( 1 2

=( 𝑦) (𝑏 2 −

b h

b+( )y 2

)𝑦

𝑏2 2 𝑦 ) 𝑑𝑦 ℎ2

Al integrar con respecto a y desde y=0 hasta y=h resulta 𝑏

Ixy

1 𝑏2 2 2 = ∫ 𝑦 (𝑏 − 2 𝑦 ) 𝑑𝑦 2 ℎ 0

=

b2 h2 8

31

Ejercicio 4. Calcule el radio de giro de una esfera maciza de M = 1Kg y R = 30 cm respecto a un diámetro. Solución. Debemos en primera instancia calcular el momento de inercia de una esfera maciza respecto al eje diámetro 2 I = MR2 5 2 1kg(0.30m)2 5 =0.036kgm2 Por definición de radio de giro tenemos que I

0.036

D = √M=√ 1kg kgm2 =0.19m

Ejercicio 5.

32

33

Ejercicio 6. Determine el momento de inercia y el radio de giro en la siguiente figura:

Radio de giro:

𝐼 𝐴

𝑅=√

AREA = b*h A = 100*150 A = 15000mm

𝑅=√

101(106 )𝑚𝑚 15000𝑚𝑚

= 82.056mm

34

Ejercicio 7.

35

CONCLUSIONES.  Analizamos el concepto de centroide, Centroide de formas complejas, Momento de inercia de un área y Momentos de inercia de perfiles compuestos, luego calculamos cada uno de estos haciendo uso de los teoremas dados.  Resolvimos ejercicios sobre los temas ya mencionados.  Reconocimos el teorema de Steiner y eje paralelos.  Reforzamos temas asociados a Estática.  Calculamos el momento de inercia de un perfil compuesto.  Conocimos algunos usos en las labores en ingeniería y en la vida cotidiana.

RECOMENDACIONES:  La información plasmada sobre estos temas debe ser indagada en fuentes confiable, revisando con anticipación en libros y páginas web.  Los integrantes del grupo deben estar correctamente vestidos y sobre todo preparados.

REFERENCIAS:  Jaramillo, N (2012) Centro de Gravedad y Centroides. Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería.Departamento de Ciencias Aplicadas y Humanísticas. MecánicaRacional.http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/nayive/mr10_web/te ma2_centroides.pdf  Fernandez, J (2016) Centroides de Placas y Alambres Compuestos. Universidad Privada del Norte, Perú https://es.scribd.com/document/364222036/CENTROIDES-pdf.  Tipler, P. (1999) Física para la ciencia y la tecnología (Editorial Reverté, S.A., Barcelona) vol. 1

36