• Author / Uploaded
• jejvargasro

Citation preview

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

1

Nota: 5,0

Informe No.4: “Respuesta transitoria de circuitos de primer y segundo orden”; Gr 5, Eq 4 C. P´erez, M. Pointud, H. Riascos [email protected], [email protected], [email protected] Universidad Nacional de Colombia, Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica y Electr´onica

Abstract—This practice aims to observe the transitive response of circuits RC, RL and RLC, also knowns as first and second order circuits. Additionally, three circuits RLC are implemented to observe the diferents types of response of a damped oscilator. Palabras Claves—Circuitos de primer y segundo orden, circuitos RC, circuitos RL, circuitos RLC, osciladores el´ectricos amortiguados, tiempo caracter´ıstico de un circuito.

I.

´ I NTRODUCCI ON

Se dise˜naron, montaron y probaron dos circuitos RC y dos circuitos RL, con el fin de registrar la forma de la respuesta transitoria y los tiempos caracter´ısticos de estos, enfatizando en el efecto que tiene el cambiar los valores de R, L, y C en el comportamiento de estos circuitos. Luego, se implementaron tres circuitos RLC, cada uno con una respuesta amortiguada diferente, y se registr´o la forma de la respuesta transitoria. Todo lo anterior se realiz´o con el fin de corroborar experimentalmente los conceptos desarrollados en las clases de circuitos el´ectricos I y II, con respecto a los circuitos de primer y segundo orden.

Figura 1. Distintos tipos repuesta de un oscilador ante el amortiguamiento. Tomado de [1].

x(t) = C1 es1 t + C2 tes2 t

s1 = s2

(3)

Donde: II. II-A.

´ M ARCO T E ORICO

Osciladores amortiguados

s1 = −α + (α2 − ω 2 )1/2

En un oscilador amortiguado, la amplitud de oscilaci´on va decreciendo con el tiempo, debido a que este pierde energ´ıa en cada ciclo de oscilaci´on. Algunos ejemplos de osciladores amortiguados pueden ser un resorte inmerso en un fluido viscoso, un p´endulo con fricci´on en su eje o un circuito RLC. Cualquier oscilador amortiguado puede describirse mediante la siguiente ecuaci´on [1]. dx d x +γ + ω02 x = f (x) (1) 2 dt dt En la anterior ecuaci´on la variable ’x’ puede representar la posici´on en un sistema masa-resorte, voltaje o corriente en un oscilador el´ectrico, etc. El valor ω02 es conocido como la frecuencia natural de oscilaci´on y el valor γ se le llama frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento. La respuesta del sistema oscilador cuando la funci´on f (x) = 0, es conocida como la respuesta natural del sistema, la cual se puede expresar de la siguiente forma [1]. x(t) = C1 es1 t + C2 es2 t

s1 6= s2

(2)

(4)

Con α = γ/2 y ω = 2ω0 . Sin embargo, el oscilador en su estado estacionario tendr´a un comportamiento definido por la funci´on f (x), a la que se le llama respuesta forzada. En general la respuesta del sistema oscilador se da por la suma de las respuesta natural y la respuesta forzada [1]. II-B.

2

s2 = −α − (α2 − ω 2 )1/2

Tipos de amortiguamiento

El amortiguamiento de un oscilador puede tener diferentes caracter´ısticas, que est´an definidas por las variables α y ω. A continuaci´on se muestran las tres posibles respuestas de un oscilador ante el amortiguamiento. II-B1. Respuesta sobre-amortiguada: α2 > ω 2

(5)

La anterior ecuaci´on muestra la condici´on para que la respuesta del oscilador sea sobre-amortiguada, se puede notar que los t´erminos s1 y s2 son reales y diferentes (ver ecuaci´on 4), por lo que el oscilador tendr´a el comportamiento descrito en la ecuaci´on 2, este se puede observar en la figura 1 en la curva se˜nalada como heavy damping [1].

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

2

II-D.

Circuitos RLC

Los circuitos RLC cumplen las caracter´ısticas de un oscilador amortiguado, y este cumple todas las ecuaciones que se explicaron en los numerales anteriores. Estos circuitos se dividen en dos variantes, para cada una de las cuales se tienen valores de α y ω diferentes, los cuales se dar´an a continuaci´on [2]. Circuito RLC serie

Figura 2. Efectos de α y ω0 en la respuesta transitoria de un oscilador sub-amortiguado, tener en cuenta que α = γ/2. Tomado de [1].

II-B2.

α=

α =ω

2

α= (6)

La anterior ecuaci´on muestra la condici´on para que la respuesta del oscilador sea cr´ıticamente-amortiguada, se puede notar que los t´erminos s1 y s2 son reales e iguales (ver ecuaci´on 4), por lo que el oscilador tendr´a el comportamiento descrito en la ecuaci´on 3, m´as concretamente el descrito por la siguiente ecuaci´on [1]. x(t) = e−αt (C1 + C2 t)

(10)

III. III-A.

1 2RC

ω=

1 (LC)1/2

(11)

˜ Y S IMULACIONES D ISE NO

Dise˜no

Circuito RC

Figura 3. Circuito 1, RC. Elaborada por el grupo de trabajo.

(8)

La anterior ecuaci´on muestra la condici´on para que la respuesta del oscilador sea sub-amortiguada, se puede notar que los t´erminos s1 y s2 son complejos conjugados (ver ecuaci´on 4), por lo que el oscilador tendr´a el comportamiento descrito en la ecuaci´on 2, m´as concretamente el descrito por la siguiente ecuaci´on [1]. 1

1 (LC)1/2

(7)

Este comportamiento se puede observar en la figura 1 en la curva se˜nalada como critical damping, el amortiguamiento critico podr´ıa entenderse como el punto en el cual la frecuencia neperiana y la frecuencia natural de oscilaci´on son iguales, y adem´as, tambi´en es el punto en el cual el oscilador llega mas r´apido al equilibrio, como se muestra en la figura 1. II-B3. Respuesta sub-amortiguada: α2 < ω 2

ω=

Circuito RLC paralelo

Respuesta criticamente-amortiguada: 2

R 2L

En la figura 3, se muestra el esquem´atico del primer circuito RC, el cual es un circuito de primer orden. El tiempo caracter´ıstico de este circuito τ = Req C es de 60µs, por lo tanto la se˜nal de entrada, que es una se˜nal de pulsos cuadrados, debe tener una frecuencia de 1kHz. A continuaci´on se muestra la forma que tendr´a el voltaje en el capacitor, donde v(t) es la se˜nal de entrada.

1

x(t) = C1 e−αt cos [(ω 2 − α2 ) 2 ] + C2 e−αt sin [(ω 2 − α2 ) 2 ) (9) Este comportamiento se puede observar en la figura 1 en la curva se˜nalada como ligth damping. II-C. Efecto de α y ω0 en la gr´afica de la respuesta transitoria Los par´ametros α y ω0 definidos anteriormente para un oscilador amortiguado, repercuten en la gr´afica de la respuesta transitoria ya que estos determinan que tan r´apido se desvanece la misma. Por ejemplo, en la gr´afica 2 se puede observar como la curva A0 e−αt es la envolvente de la gr´afica y, adem´as, esta determina que tan r´apido desaparece esta respuesta [1].

vc (t) = 4e−16666,7t V

vc (t) = 4 − 4e−16666,7t V

v(t) = 0V

v(t) = 10V

(12)

(13)

Circuito RC, con los valores cambiados En la figura 4, se muestra el esquem´atico de un segundo circuito RC, el cual es id´entico al primero, tan solo se cambian los valores de las resistencias y el capacitor. El tiempo caracter´ıstico de este circuito τ = Req C es de 198ns, por lo tanto la se˜nal de entrada, que es una se˜nal de pulsos cuadrados, debe tener una frecuencia de 250kHz. A continuaci´on se muestra la forma que tendr´a el voltaje en el capacitor, donde v(t) es la se˜nal de entrada.

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

3

vc (t) = 4e−5050505,051t V

vc (t) = 4 − 4e−5050505,051t V

v(t) = 0V

v(t) = 10V

(14)

(15)

Figura 6. Circuito 4, RL con los valores cambiados. Elaborada por el grupo de trabajo.

Figura 4. Circuito 2, RC con valores cambiados. Elaborada por el grupo de trabajo.

En la figura 6, se muestra el esquem´atico de un segundo circuito RL, el cual es id´entico al primero, tan solo se cambian los valores de las resistencias y la inductancia. El tiempo caracter´ıstico de este circuito τ = LReq es de 15µs, por lo tanto la se˜nal de entrada, que es una se˜nal de pulsos cuadrados, debe tener una frecuencia de 6kHz. A continuaci´on se muestra la forma que tendr´a la corriente en la inductancia, donde v(t) es la se˜nal de entrada.

Circuito RL iL (t) = 20, 2e−66666,7t mA

iL (t) = 20, 2 − 20, 2e−66666,7t mA

v(t) = 0V

v(t) = 10V

(18)

(19)

Circuito RLC con respuesta sobre-amortiguada

Figura 5. Circuito 3, RL. Elaborada por el grupo de trabajo.

En la figura 5 se muestra el esquem´atico del primer circuito RL, el cual es un circuito de primer orden. El tiempo caracter´ıstico de este circuito τ = L/Req es de 11,1µs, por lo tanto la se˜nal de entrada, que es una se˜nal de pulsos cuadrados, debe tener una frecuencia de 8kHz. A continuaci´on se muestra la forma que tendr´a la corriente en la inductancia, donde v(t) es la se˜nal de entrada.

iL (t) = 20, 2e−90000t mA

iL (t) = 20, 2 − 20, 2e−90000t mA

Circuito RL, con valores cambiados

v(t) = 0V

v(t) = 10V

(16)

(17)

Figura 7. Circuito No. 5, RLC con respuesta sobre-amortiguada. Elaborada por el grupo de trabajo.

Realizando una ley de voltajes, con el objetivo de hallar la corriente i(t), para el circuito mostrado en la figura 7 se tiene:

i(t)R + L

di(t) 1 + dt C

Z

t

i(τ ) dτ + vc (0− ) = (t)

(20)

0+

Con R1 = 100Ω, C1 = 1µF y L1 = 2, 2mH (ver figura 7), se cumple la condici´on mostrada en la ecuaci´on 5, por lo tanto, el circuito 5 tiene una respuesta sobre-amortiguada. Resolviendo la ecuaci´on integro-diferencial que se obtuvo a partir de la LVK, en el instante en que la fuente pasa de 0V a 10V . Los valores iniciales del circuito son Vc (0− ) = 0V y i(0− ) = 0A, se tiene que:

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

i(t) = 0, 635 e−14854,31t − e−30600,2t )mA

4

(21)

Puede observarse que el tiempo caracter´ıstico del circuito τ es de 67µs, por lo que para observar apropiadamente la onda, la se˜nal de entrada debe tener una frecuencia de 700Hz. Circuito RLC con respuesta sub-amortiguada El circuito RLC dise˜nado con respuesta sub-amortiguada se muestra en la figura 8, este cumple la ecuaci´on de voltaje realizada para el anterior circuito, ver ecuaci´on 20. Dados los valores del circuito R1 = 100Ω, C1 = 1nF y L1 = 2, 2mH, se verifica que el circuito cumple la ecuaci´on 8, confirmando que el circuito tiene una respuesta sub-amortiguada. A continuaci´on se muestra la forma que tendr´a la corriente en el circuito.

i(t) = e−21318,18t (C1 t + C2 )

(23)

Puede observarse que el tiempo caracter´ıstico del circuito τ es de 47µs, por lo que para observar apropiadamente la onda, la se˜nal de entrada debe tener una frecuencia de 1kHz.

III-B.

Simulaciones

Las simulaciones se realizaron en Multisim, los resultados de las mismas se pueden ver en las figuras 10 a 11. En estas puede observarse que los circutos RC, RL y RLC tienen el comportamiento esperado de la teor´ıa.

i(t) = e−22727,27t (C1 cos 673816t + C2 sin 673816t) (22) Puede observarse que el tiempo caracter´ıstico del circuito τ es de 44µs, por lo que para observar apropiadamente la onda, la se˜nal de entrada debe tener una frecuencia de 1,5kHz.

Figura 10. Resultados de la simulaci´on del circuito 1. Elaborada por el grupo de trabajo.

Figura 8. Circuito No. 6, RLC con respuesta sub-amortiguada. Elaborada por el grupo de trabajo.

Circuito RLC con respuesta criticamente-amortiguada

Figura 11. Resultados de la simulaci´on del circuito 2. Elaborada por el grupo de trabajo.

Figura 9. Circuito No. 7, RLC con respuesta criticamente-amortiguada. Elaborada por el grupo de trabajo.

El circuito RLC dise˜nado con respuesta criticamenteamortiguada se muestra en la figura 9, este cumple la ecuaci´on de voltaje realizada para el circuito 5, ver ecuaci´on 20. Dados los valores del circuito R1 = 93, 81Ω, C1 = 1µF y L1 = 2, 2mH, se verifica que el circuito cumple la ecuaci´on 6, confirmando que el circuito tiene una respuesta criticamenteamortiguada. A continuaci´on se muestra la forma que tendr´a la corriente en el circuito.

Figura 12. Resultados de la simulaci´on del circuito 3. Elaborada por el grupo de trabajo.

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

5

A continuaci´on se montar´an los circutos RL, mostrados en las figuras 5 y 6. Se registrar´a la forma de la onda, midiendo con el osciloscopio el voltaje en la inductancia vL (t), y se tomar´a el tiempo que tardan los circuitos en llegar a su estado estacionario (5τ ). Por u´ ltimo, se montar´an los circuitos RLC mostrados en las figuras 7, 8 y 9, se registrar´a la forma de la onda usando el osciloscopio, midiendo el voltaje en el capacitor vL (t), y se comprobar´a que el circuito tenga una amortiguaci´on como la esperada. Adem´as, se medir´a el el tiempo que tardan los circuitos en llegar a su estado estacionario (5τ ).

Figura 13. Resultados de la simulaci´on del circuito 4. Elaborada por el grupo de trabajo.

V.

´ R ESULTADOS Y A N ALISIS

A continuaci´on se muestran los tiempos caracter´ısticos medidos para cada circuito. Tabla I T IEMPOS CARACTER´I STICOS DE LOS CIRCUTOS MONTADOS Circuito RC RC, diferentes valores RL RL, diferentes valores RLC, sobre-amortiguado RLC, sub-amortiguado RLC, criticamente-amortiguado

Figura 14. Resultados de la simulaci´on del circuito 5. Elaborada por el grupo de trabajo.

V-A.

5τ [s] 280µs 0.75µs 60µs 70µs 700µs 137µs 200µs

Circuitos RC

En la figura se observa la la se˜nal obtenida al realizar la medici´on de voltaje sobre el circuito 1.

Figura 15. Resultados de la simulaci´on del circuito 6. Elaborada por el grupo de trabajo.

Figura 17. Circuito 1, RC, C = 1µF .

M ETODOLOG´I A

Para este circuito se ten´ıan escalas de medici´on del osciloscopio en 2V/Div y 0.2ms/Div. El error relativo del tiempo de carga: 280µs − 300µs = 0,06 Errorrelativo = 300µs

Se proceder´a a montar los circutos RC, mostrados en las figuras 3 y 4. Se registrar´a la forma de la onda, midiendo con el osciloscopio el voltaje en el condensador vc (t), y se tomar´a el tiempo que tardan los circuitos en llegar a su estado estacionario (5τ ).

Cabe destacar que el tiempo que se midi´o depende mucho de la apreciaci´on, como 5τ es el tiempo que toma la respuesta del circuito en alcanzar su valor final, se tiene una gran fuente de error dada por la apreciaci´on de la persona que mide el momento en que la respuesta estabiliza su valor.

Figura 16. Resultados de la simulaci´on del circuito 7. Elaborada por el grupo de trabajo.

IV.

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

6

Para este circuito se puede hallar la resistencia equivalente a partir del tiempo de carga medido: 5τ = 5Req C Despejando Req y reemplazando valores se obtiene que Req = 56Ω el cual es un valor cercano a los 60Ω que el condensador ve realmente. A continuaci´on se puede observar la se˜nal de voltaje obtenida del circuito 2, en el cual se cambio la resistencia equivalente y la capacitancia.

Figura 19. Circuito 3, RL, L = 2, 2mH.

Podemos ver que en este circuito, los resultados experimentales concuerdan con lo esperado, el error hallado puede ser, nuevamente, adjudicado al instrumento de medici´on que se utiliz´o. Se puede hallar la resistencia equivalente para este circuito, ya que para un circuito RL el tiempo caracter´ıstico, la inductancia y la resistencia se relacionan de la siguiente forma:

Figura 18. Circuito 2, RC, C = 1nF .

Para este circuito se ten´ıan escalas de medici´on del osciloscopio en 2V/Div y 0.5µs/Div. El error relativo del tiempo de vida de la se˜nal es: 0,75µs − 0,99µs = 0,24 Errorrelativo = 0,99µs Este error tan elevado como se mencion´o anteriormente obedece a que la medida puede considerarse mas como una estimaci´on visual de la persona que mide. Al hallar la resistencia equivalente del circuito a partir de los datos obtenidos en la pr´actica se tiene que: 0,75µs = 150Ω 5 ∗ 1n Este valor difiere de los 198Ω que realmente se tienen, esto se debe al alto error que se tiene en la medida del tiempo de carga. Adem´as se puede decir que las variaciones en las resistencias equivalentes calculadas tambi´en se deben en parte a la impedancia propia del generador de se˜nales, la cual no se tomo en cuenta en las simulaciones pero si puede tener efectos sobre el comportamiento del circuito. Por otro lado, para los dos circuitos anteriores se obtuvieron formas de onda muy similares a las esperadas por simulaci´on. Req =

V-B.

τ=

L Req

Utilizando la anterior relaci´on, se encuentra que Req = 198, 2Ω, valor que coincide casi perfectamente con los 198Ω que corresponden a los valores nominales de as resistencias que se conectaron. Al comparar los resultados obtenidos en el laboratorio y en la simulaci´on, ver figuras 19 y 12, se observa que la forma de la onda y amplitud de las se˜nal coinciden perfectamente. En la figura 20 se muestran los resultados obtenidos al montar el circuito 4, ver figura 6, para este circuito el osciloscopio se ten´ıa en la escala de 2V /Div y 20µs/Div. Al comparar ondas obtenidas en el laboratorio y en la simulaci´on, ver figura 20 y 13, de nuevo se observa que son congruentes tanto para forma de onda como para amplitud.Hallando el error relativo entre el tiempo caracter´ıstico medido y el esperado: 15µs − 14µs = 0, 07 Errorrelativo = 15µs

Circuitos RL

En la figura 19 se puede observar la se˜nal de voltaje obtenida al montar el circuito 3 (ver figura 5) en el laboratorio, el voltaje fue medido sobre la inductancia L2 . Para este circuito el osciloscopio se ten´ıa en la escala de 2V /Div y 20µs/Div, el error relativo del tiempo caracter´ıstico medido respecto al calculado es: 11, 1µs − 12µs = 0, 08 Errorrelativo = 11, 1µs

Figura 20. Circuito 4, RL, L = 9mH.

Podemos observar, que los circuitos RL montados en el laboratorio tuvieron un comportamiento como el esperado,

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

7

las variaciones con respecto a la teor´ıa pueden adjudicarse a la incertidumbre generada en la medici´on. Usando la misma relaci´on que en el circuito anterior, se encuentra que Req = 642, 9Ω, el cual difiere con respecto a los 600Ω correspondientes a los valores nominales de las resistencias en aproximadamente 7 %. V-C.

Circuitos RLC

En un circuito RLC la respuesta puede variar seg´un los valores α y ω, los cuales dependen del tipo de circuito como se especifico en el marco te´orico, ver ecuaciones 10 y 11. Circuito RLC sobre-amortiguado En el caso del circuito de la figura 7 se tiene que α = 22727,27 y ω = 21320,1, como α > ω la respuesta del circuito es sobre-amortiguada. Esta respuesta se puede observar en la figura 21, que muestra la tensi´on sobre el capacitor, al momento de tomar la imagen las escalas del osciloscopio eran: 5V /Div y 0,5ms/Div. Al comparar los resultados obtenidos en el laboratorio con las simulaci´on (ver figura 14) se puede observar que la forma de la onda es la esperada, de igual forma, la magnitud de la se˜nal fue la misma en ambos casos.

Figura 23. Respuesta del circuito 6, oscilaci´on sub-amortiguada.

En este circuito se tiene que α = 22727,27 y ω = 674199,86 con lo que α < ω y se verifica matem´aticamente que el comportamiento es sub-amortiguado, adem´as al observar la forma de onda obtenida se ve claramente este comportamiento (ver figuras 22 y 23. Al comparar las formas de ondas mostradas en estas figuras, que fueron tomadas en el laboratorio, con los resultados de la simulaci´on se encuentra que tanto la forma de onda como las magnitudes coinciden. Por otro lado, se observa un tiempo de asentamiento de 5τ = 137µs, el cual es grande si se tiene en cuenta que en este circuito de utiliz´o un capacitor de 1nF , este extenso tiempo de asentamiento corresponde al de un amortiguamiento muy ligero, como se puede observar en la figura 23, donde el sistema amortiguado sigue con peque˜nas oscilaciones en la parte derecha de la imagen.

Figura 21. Circuito 5, RLC con respuesta sobre-amortiguada, L = 2, 2mH, C = 1µF , R = 100Ω.

Se puede ver que el tiempo de descarga del circuito es bastante prolongado (alrededor de 700µs) con lo que se puede verificar que el comportamiento es sobre-amortiguado. Circuito RLC sub-amortiguado En las figuras 22 y 23 se puede observar la respuesta obtenida del circuito de la figura 8.

Figura 24. Circuito 7, RLC con respuesta cr´ıticamente-amortiguada, L = 2, 2mH, C = 1µF , R = 93, 81Ω.

Figura 22. Circuito 6, RLC con respuesta sub-amortiguada, L = 2, 2mH, C = 1nF , R = 100Ω.

Circuito RLC cr´ıticamente-amortiguado En la figura 24 se puede observar la respuesta obtenida del circuito de la figura 9. En este circuito se tiene que α = 21320,45 y ω = 21320, 07 con lo que α ⊃ ω y se verifica matem´aticamente que el comportamiento es cr´ıticamenteamortiguado. Al observar los resultados del montaje en el laboratorio y de la simulaci´on, ver figuras 24 y 16, se encuentra que son congruentes en la forma de la onda y en la amplitud de la misma. Por u´ ltimo, en la tabla I se registr´o que el tiempo de asentamiento de este circuito es de 5τ = 200µs, si lo comparamos con el tiempo de asentamiento del circuito RLC sobreamortiguado, el cual ten´ıa los mismos valores de capacitancia e inductancia, encontramos que el tiempo de asentamiento de

INFORME 4 , SEPTIEMBRE 12 2016

el circuito cr´ıticamente-amortiguado es mucho mas peque˜no que el del sobre-amortiguado, como es de esperarse. Esto sucede, debido a que en la teor´ıa se supone que el circuito con amortiguamiento cr´ıtico es el que se demora el menor tiempo en llegar al reposo, concepto que se comprob´o en el laboratorio. VI.

C ONCLUSIONES

Las se˜nales cuadradas son ideales para observar la forma en que varia el voltaje en un condensador o un inductor en circuitos RC, RL y RLC. Es importante tener en cuenta la impedancia interna de los generadores de se˜nales ya que esta modifica la resistencia equivalente de los circuitos, lo que puede hacer variar el comportamiento transitorio de circuitos de primer y segundo orden, que se est´en estudiando. Se encontr´o que cambiar los valores de capacitancia y resistencia, en el caso de circuitos RC, y de inductancia, en el caso de circuitos RL, tiene efecto en el tiempo de asentamiento de los circuitos. Este hecho puede ser u´ til dependiendo de la aplicaci´on pr´actica que se le quiera dar a estos circuitos. Se observ´o el comportamiento de los circuitos RLC como osciladores amortiguados y como al cambiar los valores de resistencia, capacitancia e inductancia se puede afectar el tipo de amortiguamiento del oscilador. Por otro lado, se encontr´o que un circuito RLC criticamente-amortiguado es el que se demora menos tiempo en llegar al estado de reposo. R EFERENCIAS [1] K ING G.C. (2009). The damped harmonic oscillator (pp. 33-46). Vibrations and Waves (1ra Ed.) Willey. [2] H AYT W.H. (2009). Circuitos RLC (pp. 319-360). An´alisis de circuitos en ingenier´ıa (7ma Ed.) McGrawHill.

8

- Realizaron un buen análisis, hicieron un excelente trabajo, felicitaciones.