• Author / Uploaded
• ErickJuniorHuamanRivera

• Categories
• Péndulo
• Física y matemáticas
• Física
• Cantidades fisicas
• Cantidad

Citation preview

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Universidad nacional “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS SECCIÓN DE FÍSICA MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II PRACTICA N° 02 “PENDULO SIMPLE”

AUTOR: M.Sc. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

2016 1

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

Optaciano Vásquez G.

2016

FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS SECCIÓN DE FISICA CURSO: FISICA II

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 2.

PENDULO SIMPLE I.

OBJETIVO(S) 1.1. Objetivos Generales  

Comprender el origen físico de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple Estudiar las oscilaciones del péndulo y determinar las simplificaciones que deben hacerse para que dichas oscilaciones puedan ser descritas como un movimiento armónico simple

1.2. Objetivos Específicos  



II.

Investigar la dependencia del período T de un péndulo simple de su longitud L y la masa m de la masa pendular. Mostrar que el período T de un péndulo depende significativamente de la amplitud angular de la oscilación para ángulos grandes, pero que la dependencia es insignificante para pequeñas amplitudes angulares de oscilación. Determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio comparando el período de un péndulo simple medido con la predicción teórica.

MARCO TEÓICO Y CONCEPTUAL El péndulo simple o péndulo matemático es un sistema mecánico que exhibe movimiento periódico oscilatorio. El péndulo simple consiste en una esfera considerada puntual de masa m suspendida de un punto fijo mediante una cuerda larga, flexible e inextensible de longitud L y masa despreciable en comparación con la masa de la esfera, como se muestra en la figura 2.1a.

(a) (b) Figura 2.1. (a) Representación de un péndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de m.

Si la masa m se desplaza un ángulo pequeño θ a partir de la posición vertical y se libera desde el reposo se observa que la esfera describe un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre ella y el aire. ⃗ , a lo largo Del diagrama de cuerpo libre de la partícula de masa m se observa que sobre ésta actúan: la tensión 𝑇 ⃗⃗⃗ = 𝑚𝑔 de la masa pendular. La componente tangencial del peso 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃siempre se del hilo y el peso 𝑊

2

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

encuentra dirigida hacia la posición de equilibrio, de dirección opuesta al desplazamiento 𝑠. Por tanto, la fuerza tangencial es una fuerza de restitución, de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de Newton en dirección tangencial, se tiene

 F  ma

(2.1)

d 2s dt 2

(2.2)

t

mgsen  m

t

Donde 𝑠 es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia descrito por el péndulo y el signo negativo (-) indica el hecho de que la componente tangencial 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 actúa en dirección opuesta al desplazamiento (es decir está dirigida hacia la posición de equilibrio). Por otro lado la magnitud del desplazamiento es 𝑠 = 𝐿𝜃, siendo la longitud del péndulo L constante, la ecuación 2.1 se escribe

d 2  L  d 2 m  mL  mgsen dt 2 dt 2

(2.3)

g sen  0 L

(2.4)



Esta es ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. Sin embargo, si las oscilaciones son pequeñas, es decir el ángulo θ es pequeño, se puede utilizar la aproximación 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃, donde el ángulo θ se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuación diferencial (2.4) se escribe

g L

   0

(2.5)

La ecuación (2.3) es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple, es decir, m describe un Movimiento armónico simple (M.A.S. y la solución de la ecuación (2.5) es de la forma

  0 sen t   

(2.6)

Donde θ0 es el máximo desplazamiento angular, φ es el desfasaje y ω es la frecuencia natural circular, la misma que queda expresada como



2 g  T L

(2.7)

L g

(2.8)*

El período del movimiento pendular está dado por

T  2

Donde L es la longitud medida desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g es la aceleración de la gravedad local. Debe observarse además que la masa m de la esfera y la amplitud máxima de las oscilaciones θ0, no aparecen en esta expresión. El período de un péndulo (dada nuestra hipótesis) no es dependiente de m y θ0 al menos de acuerdo a la teoría. Sin embargo, si nuestras hipótesis no se aplican al estudio del péndulo (el cable es pesado, la esfera tiene una gran y complicada forma, la amplitud es grande, etc), podría esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo.

3

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Una investigación científica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen constantemente. Los factores que permanecen constantes son llamados controles. El único factor que cambia durante la experimentación se llama variable independiente. La propiedad del sistema físico que se mide para determinar el efecto de cambio de la variable independiente es llamada variable dependiente. Si logramos mantener todos los demás factores constantes, cualquier cambio en el resultado de un experimento debería provenir de la variable independiente. De este modo, tratamos de dejar fuera los efectos individuales que cada uno de los factores ejerce sobre el fenómeno que estamos estudiando. Así por ejemplo si la amplitud de oscilación es grande, el período queda expresada por la ecuación

T  2

L g

 1 9  2   4   1  4 sen  2   64 sen  2  .................      

(2.9)

En este experimento, Ud. podrá determinar experimentalmente la validez de las fórmulas teórica para el período (T) de un péndulo simple. Va a estudiar la forma en que el período de un péndulo simple (la variable dependiente) es afectada cuando se varía tanto la masa m de la esfera, así como la amplitud θ0 de las oscilaciones, o la longitud L del péndulo (la variable independiente) y manteniendo los otros factores (los controles) constantes. También se utilizará los resultados de estos experimentos para medir el valor de la aceleración de la gravedad g experimentalmente. III.

MATERIAL A UTILIZAR

3.1.

Un soporte universal con dos varillas de acero y una nuez.

4

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

3.2.

Una prensa.

3.3.

Una regla graduada en mm.

3.4.

Un kit del péndulo simple.

PENDULO SIMPLE

5

Optaciano Vásquez G.

2016

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

3.5.

Un cronómetro.

3.6.

Un nivel de burbujas.

3.7.

Un vernier

PENDULO SIMPLE

6

Optaciano Vásquez G.

2016

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

3.8.

IV.

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Una balanza

METODOLOGÍA 4.1

EXPERIMENTO 1. Investigación de la dependencia del período (T) de la amplitud de la oscilación (θ0). En este experimento se trata de medir los períodos (T i) del péndulo para diversas amplitudes θi,0, manteniendo una longitud (L) fija así como una masa también constante m1 durante el experimento y representar en una gráfica la relación entre ambos. Para ello se sigue el siguiente procedimiento. a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. En la parte superior, el hilo debe amarrarse de tal manera que se pueda cambiar la longitud con facilidad. b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅𝐸 ). Registre dicho valor con su respectivo error. c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Registre dicho valor con su respectivo error d) Desplace lateralmente a la masa pendular m un ángulo de 5° a partir de la posición de equilibrio y libérela desde el reposo, midiendo el ángulo con un transportador.

(a)

(b)

7

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

Figura 2.2.

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

(a) Péndulo simple del laboratorio, (b) Instalación del péndulo simple

e)

Con el cronómetro mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones. Repita este paso por tres veces y registre sus datos en la tabla I. f) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (𝑇 = 𝑡⁄𝑛), donde t es el tiempo y n el número de oscilaciones. g) Repita los pasos (d), (e) y (f) para ángulos de 10°, 15°, 20°, 25° y 30°. Ordene los datos en la tabla I y haga una gráfica representando el período en función de la amplitud. Tabla I. Relación período (T) – amplitud de oscilación (θ0) para el movimiento pendular. Experimento I:

L =L0 ± ΔL = 1m ± 0.001m ;

Amplitud 5° 10° 15° 20° 25° 30° 4.2

t1 20.01 19.92 20.24 20.22 20.42 20.69

Tiempo (s) t2 19.96 19.79 20.24 20.24 20.25 20.45

t3 20.00 20.30 20.22 20.15 20.35 20.57

m = mo ± Δm = 29.7g ± 0.1g T1 1.990 1.982 2.010 2.034 2.035 2.050

Período T2 1.991 1.989 2.017 2.036 2.025 2.052

T3 1.980 2.098 2.007 2.038 2.040 2.048

Promedio Tpromedio 1,98700000 2,02300000 2,01133333 2,03600000 2,03333333 2,05000000

Experimento II. Investigación de la dependencia del período (T) de la masa (m) del péndulo. En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa mi manteniendo constantes la amplitud θ0 y la longitud (L) durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la masa del péndulo. Para ello se sigue el siguiente procedimiento. a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅𝐸 ). Registre dicho valor con su respectivo error. c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Ristre su valor con su respectivo error en la Tabla II. d) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre 𝜃 ≅ 5° − 10°. Registre el valor escogido en la Tabla II. e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente. f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla II. g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (𝑇 = 𝑡⁄𝑛), donde t es el tiempo y n el número de oscilaciones h) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás esferas. Registre sus valores en la Tabla II. Tabla II: Relación período (T) – masa (m) para el movimiento pendular Experimento II: L = L0 ± ΔL = 1m ± 0.001m ; 𝜽𝟎 = 𝜽o ± Δ𝜽𝟎 = 8º ± 1º Masa (g) 44.6 10.0 08.7

t1 19.66 19.47 19.89

Tiempo (s) t2 t3 19.78 19.70 19.58 19.53 19.88 19.81

8

T1 1.966 1.947 1.986

Período T2 1.978 1.958 1.988

T3 1.970 1.953 1.981

Promedio Tpromedio 1.971333333 1.952666667 1.985

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

4.3

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Experimento III. Investigación de la dependencia del período (T) de la longitud (L) del péndulo. En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa Li manteniendo constantes la amplitud θ0 y la masa del péndulo m durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. Para ello se sigue el siguiente procedimiento. a) Utilizando la esfera de acero de mayor diámetro, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. b) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Ristre su valor con su respectivo error en la Tabla III. c) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre 𝜃 ≅ 5° − 10°. Registre el valor escogido en la Tabla III. d) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 120 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅𝐸 ). Registre dicho valor con su respectivo error en la tabla III. e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente. f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla III. g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (𝑇 = 𝑡⁄𝑛), donde t es el tiempo y n el número de oscilaciones h) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás longitudes. Registre sus valores en la Tabla III. Tabla III: Relación período (T) – longitud (L) para el movimiento pendular Experimento I: 𝜽𝟎 = 𝜽o ± Δ𝜽𝟎 = 7º ± 1º Longitud (m)

1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 4.4

t1 21.93 20.90 19.22 18.78 17.48 16.51 15.28 13.93

Tiempo (s) t2 21.82 20.83 19.49 18.66 17.48 16.74 15.10 13.98

; m = mo ± Δm = 29.7g ± 0.1g t3 21.86 20.98 19.38 18.61 17.53 16.76 15.28 14.01

T1 2.193 2.090 1.922 1.878 1.748 1.651 1.528 1.393

Período T2 2.182 2.083 1.949 1.866 1.748 1.674 1.510 1.398

T3 2.186 2.098 1.938 1.861 1.753 1.676 1.528 1.401

Promedio Tpromedio 2.18700 2.09033 1.93633 1.86833 1.74967 1.66700 1.52200 1.39733

Modelo matemático En las secciones anteriores pudimos encontrar que el período de un péndulo depende de su longitud pero no de su masa. Ahora vamos a tratar de determinar de qué manera el período depende de la longitud de péndulo. Para entender detalladamente como el período y la longitud están relacionados necesitamos construir un modelo matemático. En esta ecuación nuestro modelo sería una ecuación que exprese la relación detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. Tendremos en cuenta dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo está relacionado con su longitud. 

Modelo lineal: 𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐵, donde A y B son constantes.



Modelo cuadrático: 𝑇 2 = 𝐶𝐿 + 𝐷, donde C y D son constantes.

Nuestro objetivo es determinar dos cosas  

Primero: ¿Ninguno de los dos modelos describen correctamente los datos (dentro de las incertidumbres)? Segundo: En caso afirmativo, ¿cuáles son los valores de las constantes en el modelo?

9

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Para evaluar la situación presentada construimos dos gráficas usando el programa Excel. Una será una gráfica de T (en el eje de las y) frente a L (en el eje de las x). El modelo lineal predice que los datos se encuentran a lo largo de una línea recta en un gráfico T vs L. El segundo gráfico corresponde a una relación T2 vs L. El modelo cuadrático predice que los datos podrían fijarse sobre una línea recta en el gráfico T2 vs L. Para construir estos gráficos abra el programa Excel y construya una tabla de datos con columnas para L, T y T2. Graficando los puntos cada vez que midió el período (tal que para cada longitud podría graficar tres valores del período). A continuación puede crear las gráficas T vs L y T2 vs L y usando el Excel construir la “mejor línea recta” (la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales). Debe estar seguro además que las unidades han sido utilizadas adecuadamente y que la línea recta es graficada adecuadamente y a partir de ella se obtiene el coeficiente de regresión lineal así como la ecuación de la recta de ajuste que no permita determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes coordenados. 4.5

Cálculo de la aceleración de la gravedad Lo más inmediato sería aplicar la ecuación (2.8)* del período de un péndulo en función de su longitud L para hallar 𝑔 = 4𝜋 2 𝐿/𝑇 2 . Sin embargo, aunque el período puede medirse con bastante precisión, su longitud (distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el punto de suspensión) no es bien determinada. Por el contrario, los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan pequeño como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida no influye la posición del centro de masas de la esfera. Para eliminar estas discrepancias uno de los métodos es construir una gráfica T2 (eje Y) en función de la longitud L (eje X) y determinar la pendiente (T2/L) de la recta obtenida y a partir de la pendiente de la recta obtener la aceleración de la gravedad. Es decir

Un modelo ideal sería el mostrado en la figura 2.3

Figura 2.3.

Modelo teórico para encontrar la aceleración de la gravedad usando el péndulo simple

Como la constante K se puede expresar con tanta precisión como se requiera, el error relativo de la aceleración de la gravedad g es el mismo de la pendiente A

g K  g K 10

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Debe observarse así mismo que debido a los errores experimentales la recta de la gráfica T2 – L mostrada en la figura 2.3, no necesariamente pasa por el origen de coordenadas para ello debe usarse la ecuación

T2  B K L Donde los parámetros K y B se determinan utilizando el análisis de regresión lineal. CALCULOS Y RESULTADOS. 5.1.

¿Por qué es necesario que las amplitudes de las oscilaciones deben ser pequeñas? Es necesario que las amplitudes sean pequeñas porque así el movimiento del péndulo no será circular, sino rectilíneo, además el periodo depende de la amplitud, pero solo cuando son ángulos pequeños ya que trabaja con un aproximado de Sen(x) = x, cuando x es expresado en radianes.

5.2.

Con los datos de la Tabla I y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la amplitud 𝑻 = 𝒇(𝜽𝟎 ). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de la gráfica si existe dependencia entre estas magnitudes. Explique su razonamiento.

T

Amplitud 5°

1,98700000

10° 15° 20° 25° 30°

2,02300000 2,01133333 2,03600000 2,03333333 2,05000000

GRÁFICO T VS AMPLITUD 2.0600 2.0500 2.0400

y = 0.0021x + 1.9864 R² = 0.8055

2.0300

T

V.

2.0200

Series1

2.0100

Linear (Series1)

2.0000 1.9900 1.9800 0

10

20

30

40

Amplitud

 

La gráfica que se obtuvo fue una recta. No existe dependencia entre magnitudes: El periodo de la amplitud tomada ya que según vemos podemos constatar que el valor tiende a cero en una escala natural a la percepción de la vista.

11

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

5.3.

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

Con los datos de la Tabla II y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la masa 𝑻 = 𝒇(𝒎). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de esta gráfica si existe dependencia entre estas magnitudes. Explique su razonamiento.

T

m

1.971333333

44.6

1.952666667

10.0

1.985000000

08.7

GRÁFICO T VS m 1.99 1.985 1.98

y = 0.000045x + 1.9687 R² = 0.0033

T

1.975 1.97

Series1

1.965

Linear (Series1)

1.96 1.955 1.95 0

20

40

60

m

 

5.4.

Se obtuvo una gráfica lineal. No existe dependencia, pues como vemos si es que se aumenta la MASA, no necesariamente aumenta el PERIODO.

Con los datos de la Tabla III y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la longitud 𝑻 = 𝒇(𝑳). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de esta grafica si existe dependencia entre estas magnitudes. Explique su razonamiento.

T 2.1596 2.0926 1.974 1.9053 1.799 1.6703 1.5366 1.4136

12

L 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II

PENDULO SIMPLE

Optaciano Vásquez G.

2016

T=f(L) 2.5

Periodo (T)

2

y = 1.1067x + 0.8616 R² = 0.9951

1.5

Series1

1

Linear (Series1)

0.5 0 0

0.5

1

1.5

Longitud de cuerda



Obtuvimos la gráfica de una recta, además si existe dependencia entre magnitudes, ya que el periodo si depende de la longitud de la cuerda.



El periodo es directamente proporcional a la longitud de la cuerda y se puede confirmar gracias a la gráfica. T  2



5.5.

También se tiene la fórmula: dependencia de magnitudes.

L g

la cual confirma nuestra conclusión, respecto a

Con los datos de la Tabla III, construya una tabla con los valores medidos, errores y unidades de T 2 (período al cuadrado) y la longitud del péndulo 𝑳 = 𝑳𝟎 + 𝑹𝑬 

Para calcular los errores con los datos no estadísticos utilizamos la siguiente formula: ∆𝐀 =

𝐀(𝐦𝐚𝐱) − 𝐀(𝐦𝐢𝐧) 𝟐



Llámese proceso no estadístico a aquel en que el número de mediciones (n) es menor que 10. Existen dos posibilidades.

a.

Si el número de medidas de la magnitud física es menor que 10. entonces el error está dado por. ∆𝑨 =

𝑨(𝒎𝒂𝒙)−𝑨(𝒎𝒊𝒏) 𝟐

A(max) = max(A1;A2;A3;…….An

n