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• Marciia Andrea

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MATEMATICA BASICA

UNIDAD I: ECUACIONES E INECUACIONES SESIÓN 1: INECUACIONES LINEALES. APLICACIONES. I.

Resuelva las siguientes inecuaciones lineales:

1.

x  3  3x  1 2 Solución: MCM: 2

x  6  6 x  2   5x  2  6  5x  4  5x  4

x

4 5

4 C.S .    ;  5

2.

x x 1 x 5     2 3 6 6 6 Solución: MCM: 6

3x  2 x  1  x  5  5x  x  5  1  4 x  4

x 1 C.S.    ; 1 3.

x  3( x  4)  2( x  1) 4 Solución: MCM:4

x  3( x  4)  8( x  1)  x  3x  12  8x  8 4 x  8x  8  12   4 x  4 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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FACULTAD DE NEGOCIOS

4x  4  x  1

C.S.  1 ;   2 2 3 4. (2 x  3)  4 x ( x  7)  4( x  2)

Solución:

4 x 2  12 x  9  4 x 3  28x 2  4( x 3  6 x 2  12 x  8)

 12 x  9  4x 3  24x 2  4 x 3  24 x 2  48x  32  12 x  9  48x  32  60 x  41  60 x  41

x

41 60

C.S . 

41 ;  60

5. 3( x  5)  4(4  3x)  2(7  x)  3( x  5) Solución:

3x  15  16  12 x  14  2 x  3x  15  15x  5x  29  31 20 x  60  x  3

C.S.   3 ;  

6.

3x 1 2 x 1    4 2 3 4 Solución: MCM: 12

9 x  6  8x  3  x  9

C.S.    ;  9 7. (4 x  2)( 4 x  9)  (4 x  6) 2 Solución:

16 x 2  36 x  8x  18  16 x 2  48x  36  44 x  48x  36  18

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FACULTAD DE NEGOCIOS

 4 x  18  4 x  18

x

9 2

 9 C.S .    ;    2 8.

3x  1 x  3  0 3 3 Solución: MCM:3

3x  1  x  3  0  4 x  4

x 1 C.S.    ; 1 

9. 7 x(2x  5)  5x(2x  3)  (2x  4) 2 Solución:

14 x 2  35x  10 x 2  15x  4 x 2  16 x  16  20 x  16 x  16 4 x  16  x  4

C.S.    ; 4 10. 2 x  6 

3x  8 5

Solución: MCM: 5

10 x  30  3x  8  7 x  38

x

38 7

C.S .    ;

38 7

11. 6  3( x  1)  7  4( x 1) Solución:

6  3 x  3  7  4 x  4  3x  4 x  3  9 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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 x  6  x  6

C.S.    ; 6 12. 2( x  1 )  3( x  1 )  4( x  1 ) 2 Solución:

3

4

2 x  1  3x  1  4 x  1  5 x  4 x  1  2

x  1 C.S.    1 ;   13. 12  2x  4  4 Solución:

 12  4  2 x  4  4  4  4   8  2 x  8

4 x  4 C.S.   4 ; 4

14. 

1 1 1  3x   5 4 3

Solución:



1 1 1 1 1 1   3x     5 4 4 4 3 4

1 7  3x  20 12 1 7 x 60 36

1 7 C.S .   ;   60 36 

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II.

Resuelve los siguientes problemas: 1. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $19.95. El costo de fabricación de cada cartucho es de $12.92. Los costos fijos mensuales son de $8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿Cuántos cartuchos como mínimo debe vender el fabricante para obtener utilidades? Solución Sea “x” la cantidad de cartuchos fabricados y vendidos. Ingreso:

I  19,95x Costo total:

CT  12,92 x  8000 Utilidad:

U  I  CT La ganancia es:

U  I  CT  0

19,95x  (12,92 x  8000)  0 19,95x  12,92 x  8000  0 7,03x  8000 x

8000 7,03

x  1137, 98 Respuesta. La cantidad mínima de cartuchos que se debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 1 138 unidades. 2. La compañía manufacturera fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $20 000.Determine el número mínimo de unidades que la compañía debe fabricar y vender para obtener ganancias. Solución Sea “x” la cantidad de unidades fabricadas y vendidas. Ingreso:

I  20 x Costo total:

CT  15x  20 000 Utilidad: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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U  I  CT La ganancia es:

U  I  CT  0

20 x  (15x  20 000)  0 20 x  15x  20 000  0 5x  20 000 x  4 000 Respuesta. La cantidad mínima de unidades que la compañía debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 4 001 unidades. 3. Una compañía de refinación de maíz producen gluten para alimento de ganado, con costo variable de $ 82 por tonelada. Si los costos fijos son de $ 120 000 al mes y el alimento se vende a $ 134 la tonelada. ¿Cuántas toneladas como mínimo debe venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual mínima de $560 000? Solución Sea “x” la cantidad de toneladas que se debe vender

134 x  (82 x  120000)  560000 134 x  82x  120000  560000 52 x  680000 x  13077 Respuesta. Se debe vender como mínimo 13 077 toneladas 4. La editorial AMAUTA S.A.C determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista G de Gestión es de s/. 16. El ingreso recibido de los distribuidores es s/. 15 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de los 4 000. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga utilidades? Solución  Sea “x” la cantidad de revistas producidos y vendidos por encima de 4 000 unidades. Es decir:

x  4 000  Costo unitario de publicación: S/.16, entonces el costo total es: CT  16 x  Ingreso de los distribuidores: I 1  15 x  Ingreso de publicidad: I 2  10%[15( x  4 000)] Entonces de la pregunta se puede plantear la siguiente inecuación:

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I 1  I 2  CT  0 15x  10%[15( x  4000)]  16 x  0 15x  0,1[15( x  4000)]  16 x  0 15x  1,5x  6000  16 x  0 0,5x  60 00

x  12 000 Respuesta. La cantidad mínima que se debe vender para obtener una ganancia mínima de 6500 es 12 000 revistas. 5. Sportcraft produce ropa deportiva para dama y planea vender su nueva línea de pantalones a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de $33 por pantalón. Para mayor comodidad del minorista, Sportcraft colocará una etiqueta con el precio en cada par de pantalones. ¿Qué cantidad mínima debe ser impresa en las etiquetas de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 20% durante una venta y aún obtenga una ganancia mínima de 15% sobre el costo? Solución Sea “p” el precio que se coloca en la etiqueta.

80%P  66  15%(66) 80%P  66  15%(66) 80%P  115%(66) 115(66) P 80 P  94,88 Respuesta. El precio mínimo que debe ser impreso en las etiquetas es S/. 94, 88 soles 6. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2.50 y el de mano de obra es de $4.00; el gasto general sin importar el volumen de ventas es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que deben producir y vender para que la compañía obtenga ganancias. Solución Sea “x” la cantidad de unidades fabricadas y vendidas. Ingreso:

I  7.,4 x Costo total:

CT  6,5x  5 000 Utilidad:

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U  I  CT La ganancia es:

U  I  CT  0

7,4 x  (6,5x  20 000)  0 7,4 x  6,5x  5 000  0 0,9 x  5000 x  5555,6 Respuesta. La cantidad mínima de unidades que la compañía debe fabricar y vender con la finalidad de obtener ganancias es de 5 556 unidades.

7. Se desea determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Si se puede rentar un automóvil por $ 400 mensuales (con una base anual), bajo este plan, el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprase el vehículo, el gasto fijo anual sería de $ 3 000 más $ 0.18 por kilómetro. Determine el máximo número de kilómetros que deberá recorrer al año para que la compra sea más barata que la renta Solución: La solución respectiva del problema está en el siguiente Link: http://www.youtube.com/watch?v=14Twb85KERM&list=PLGdNPv_jMmaLnRqdQ1g2NDu8nGVvKEh wS

8. Un constructor debe decidir si ha de comprar o rentar una máquina excavadora. Si la rentara, tendría que pagar $4800 al mes (sobre una base anual), y el costo diario (gasolina, aceite y conductor) sería de $480 por cada día que se utilizara; si la comprara, su costo fijo anual sería de $32 000 y los costos diarios de operación serían de $640 por día. Determine el número mínimo de días al año que tendría que utilizar la máquina para justificar su rentar en vez de comprarla Solución  Construyamos una tabla con la información proporcionada. Rentar

Comprar

4800  12  480 x

32 000  640 x

 Según la pregunta se tiene

4800  12  480 x  32 000  640 x 57600  480x  32000  640x 57600  32000  640x  480x 25600  160 x

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25600 x 160 x  160 Respuesta. El número mínimo de días que deberá usarse la máquina excavadora para que la renta sea más barata que la compra es de 161 días.

9. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1.4 por revista. El ingreso por publicidad es 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben producirse y venderse de modo que la compañía obtenga ganancias? Solución  Sea “x” la cantidad de revistas producidos y vendidos por encima de 10 000 unidades. Es decir:

x  10 000  Costo unitario de publicación: $1,5, entonces el costo total es: CT  1,5x  Ingreso de los distribuidores: I1  1,4 x  Ingreso de publicidad: I 2  10%[1,4( x  10 000)] Entonces de la pregunta se puede plantear la siguiente inecuación:

I1  I 2  CT 1,4 x  10%[1,4( x  10000)]  1,5x 1,4 x  0,1[1,4( x  10000)]  1,5x 1,4 x  0,14( x  10000)  1,5x 1,4 x  0,14 x  1400  1,5x 1,54 x  1400  1,5x 1,54 x  1,5x  1400 0,04 x  1400

x

1400 0.04

x  35 000 Respuesta. La cantidad mínima que se debe reproducir y vender para obtener ganancias es de 35 001 revistas.

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10. A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra terminada. Un pintor tiene dos modalidades de contrato, por ejemplo, pueden trabajar por S/. 8.5 la hora o la segunda modalidad de S/. 300 más S/. 3 por cada hora por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si t ≥ 40, la primera modalidad de sueldo por hora es mejor. Si t