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UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA GRAN MARISCAL DE AYACUCHO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO MENCION INDUSTRIAL NUCLEO ANACO

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Profesor: Beatriz Urdaneta

Elaborado por: José Miguel Díaz C.I 15.122.528 Rossimar Rodríguez C.I 24.708.879 Angel Milano C.I 18.595.204

Anaco, JUNIO de 2017.

INTRODUCCIÓN La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N. El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas. El mismo consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1. Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación. El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de una proposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición general.

INDUCCIÓN MATEMÁTICA La inducción matemática es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. El método es bastante natural para usarse en una variedad de situaciones en la ciencia de la computación. Algunas aplicaciones tienen un sabor muy matemático, tal como verificar que todo entero positivo satisface cierta fórmula. Otra utilización frecuente es la de demostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera. La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad La inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de una variable

que toma una infinidad de valores enteros. En

términos simples.

Principio de la Inducción Matemática Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable n si se cumplen las siguientes condiciones: Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1, o bien, p(1) es verdadera. Paso 2.- Hipótesis de Inducción. Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un numero natural cualesquiera. Paso 3.- Tesis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien, p(k) verdadera ⇒ p(k + 1) verdadera.

La técnica de Inducción Matemática consiste en los tres pasos anteriores. Si se necesita demostrar la validez de una proposición p(n) para todos los valores naturales n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3. Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto Domino”. Si imaginamos una fila infinita de fichas de dominó: dispuestas verticalmente y suficientemente próximas una cualquiera de la siguiente, entonces si el volteamiento de la primera ficha provoca el volteamiento de la segunda ficha, por el Principio de Inducción Matemática la fila completa es volteada. Existen dos variantes útiles ´ sobre el Principio de Inducción Matemática que deben ser considerados. En la primera variante, la proposición por demostrar involucra los naturales no menores a un natural fijo n0, en este caso el Principio de Inducción quedaría como sigue: 

Si p(n) es verdadera para n0 y si p(m + 1) es verdadera para todo natural m ≥ n0 para la cual p(m) es verdadera, entonces p(n) es verdadera para todo natural n ≥ n0.

Pasos Sea P una propiedad definida en los números naturales (enteros positivos) . Si 1

satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural

satisface esa propiedad se llega a que

n

+

n

que

1, también la satisface, entonces

cada número natural la satisface. Para probar que una propiedad

P

se cumple

en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1°) Se comprueba para n = 1

(Comprobación).

2°) Se asume que se cumple para n = k

(Hipótesis de inducción).

3°) Se predice que se cumple para n = k + 1

(Tesis).

4°) Se demuestra que si se cumple para n = k, entonces se cumple para n = k + 1 (Demostración).

Ejemplo Demostrar por inducción que: 2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1) Demostración: Nuestra n-ésima proposición p(n) es: 2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1) y notese que: p(1) = 2 = 1(2), donde 2 = 2 p(2) = 2 + 4 = 2(3), donde 6 = 6 p(3) = 2 + 4 + 6 = 3(4), donde 12 = 12 p(4) = 2 + 4 + 6+ 8 = 4(5), donde 20 = 20

Así p (1) asegura 2= 1( 1 + 1) y como es verdadera por inspección tal como lo establece la base de la inducción matemática. Para el paso inductivo, supongamos que p(n) es verdadera para algún n, esto es 2 + 4 + ... + 2(n) = n(n + 1) es verdadera. Ahora queremos probar que para p(n + 1) 2 + 4 + ... + 2(n) + (2(n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1) es decir 2 + 4 + ... + 2(n) + (2n + 2) = (n + 1)(n + 2) tal como lo establece el paso inductivo.

Como p(n) es verdadera por hipótesis, y trabajando con el lado izquierdo de la igualdad, tenemos que: 2 + 4 + ... + 2(n) + (2n + 2)

= [2 + 4 + ... + 2n] + (2n +2) = n(n + 1) + (2n + 2) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2)

Entonces p(n + 1) es verdadera siempre que p(n) lo sea. Por el primer principio

de

inducción

verdadera ұn€ Z+.

matemática

se

concluye

que

p(n)

es

CONCLUSIÓN El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Suele ser un método muy utilizado para la resolución de problemas. Algunas aplicaciones que abarca la Inducción Matemática tienen un sabor muy matemático, tal como verificar que todo entero positivo satisface cierta fórmula. Otra utilización frecuente es la de demostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera. Para llevar a cabo el método de la Inducción Matemática es necesario cumplir una serie de pasos que de describieron en el trabajo presentado anteriormente. Para finalizar es importante destacar que adquirí conocimiento que será útil no solo en la culminación de mi carrera universitaria, sino que también en el campo laboral.

BIBLIOGRAFIA https://es.wikipedia.org/wiki/Induccion_matematica http://ende.cc/agujero/juegos/induccion.html http://induccionmatematica.galeon.com/ http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf http://mate.cucei.udg.mx/matdis/2ind/2ind4.htm