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¿ 4. Si 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (10 000𝑒 𝑦) (1 + ¿ x∨ 2 ¿) representa la “densidad de población” de cierta bacteria en el plano 𝑥𝑦,

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¿

4. Si 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (10 000𝑒 𝑦) (1 + ¿ x∨ 2 ¿) representa la “densidad de población” de cierta bacteria en el plano 𝑥𝑦, donde 𝑥 e 𝑦 se miden en centímetros, calcule la población total de bacterias dentro del rectángulo −5 ≤ 𝑥 ≤ 5, −2 ≤ 𝑦 ≤ 0

Y

-5

5

0

X -2

De

acuerdo

con

el

Teorema de Fubini: Sea A = [a, b] × [c, d] un rectángulo de R2, y sea f: A → R una función integrable, tal que las funciones fx: [c, d] → definidas por fx(y) = f(x, y) son integrables en [c, d], para todo x ∈ [a, b]. Entonces, la función x → R d

∫ f ( x , y ) dy es integrable en [a, b], y c



b

∫ f =∫ A

a

d

(∫

)

f ( x , y ) dy dx

c

Por lo tanto:

0

[ ∫[

D=∫

5

−2 −5 0

D=

5 y

|x|

(

|x|

( 10 000 e ) ∫ 1+

−2

−5

0

5

(

0

{

−5

y

0

{

) dx ] dy ( )

)

x2 0 x2 5 + x+ dy 4 −5 4 0

[(

(

D=∫ ( 10000 e y ) 0− −5− −2

5

x x dx+ ∫ 1+ dx dy 4 4 −5

[( )| ( )| ]}

D=∫ ( 10000 e ) x− −2

2

( )

D=∫ ( 10000 e y ) ∫ 1− −2

) dx ] dy

(

∫ ( 10 000 e y ) 1+ 2

(−5 ) 4

2

)) (( ) )]} 2

+ 5+

5 −0 4

dy

0

D=∫ ( 10 000 e y ) −2

( 452 ) dy

0

D=225000∫ e y dy −2

D=225000 ( e y ) 0 −2

|

1 e2

( )

D=225000 1−

D=194549,5613 población por cm2 La densidad poblacional de la bacteria es de 194549 población por cm 2.

Referencias Cap5.pdf. Capítulo 5 El teorema de Fubini. Mat.ucm.es. Pág. 43 Recuperado de: http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap5.pdf?fbclid=IwAR2CzgV4ukE2kQT_ksn3GFw4mHVEC67HbD1hDLtUPxwmfR5xdmDVIAU8Jk