¿ 4. Si 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (10 000𝑒 𝑦) (1 + ¿ x∨ 2 ¿) representa la “densidad de población” de cierta bacteria en el plano 𝑥𝑦,
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¿
4. Si 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (10 000𝑒 𝑦) (1 + ¿ x∨ 2 ¿) representa la “densidad de población” de cierta bacteria en el plano 𝑥𝑦, donde 𝑥 e 𝑦 se miden en centímetros, calcule la población total de bacterias dentro del rectángulo −5 ≤ 𝑥 ≤ 5, −2 ≤ 𝑦 ≤ 0
Y
-5
5
0
X -2
De
acuerdo
con
el
Teorema de Fubini: Sea A = [a, b] × [c, d] un rectángulo de R2, y sea f: A → R una función integrable, tal que las funciones fx: [c, d] → definidas por fx(y) = f(x, y) son integrables en [c, d], para todo x ∈ [a, b]. Entonces, la función x → R d
∫ f ( x , y ) dy es integrable en [a, b], y c
❑
b
∫ f =∫ A
a
d
(∫
)
f ( x , y ) dy dx
c
Por lo tanto:
0
[ ∫[
D=∫
5
−2 −5 0
D=
5 y
|x|
(
|x|
( 10 000 e ) ∫ 1+
−2
−5
0
5
(
0
{
−5
y
0
{
) dx ] dy ( )
)
x2 0 x2 5 + x+ dy 4 −5 4 0
[(
(
D=∫ ( 10000 e y ) 0− −5− −2
5
x x dx+ ∫ 1+ dx dy 4 4 −5
[( )| ( )| ]}
D=∫ ( 10000 e ) x− −2
2
( )
D=∫ ( 10000 e y ) ∫ 1− −2
) dx ] dy
(
∫ ( 10 000 e y ) 1+ 2
(−5 ) 4
2
)) (( ) )]} 2
+ 5+
5 −0 4
dy
0
D=∫ ( 10 000 e y ) −2
( 452 ) dy
0
D=225000∫ e y dy −2
D=225000 ( e y ) 0 −2
|
1 e2
( )
D=225000 1−
D=194549,5613 población por cm2 La densidad poblacional de la bacteria es de 194549 población por cm 2.
Referencias Cap5.pdf. Capítulo 5 El teorema de Fubini. Mat.ucm.es. Pág. 43 Recuperado de: http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap5.pdf?fbclid=IwAR2CzgV4ukE2kQT_ksn3GFw4mHVEC67HbD1hDLtUPxwmfR5xdmDVIAU8Jk