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Universidad de Guanajuato, DICIS. Transferencia de Calor.

Capítulo 2. Introducción a la conducción. 2.5. Un cono truncado sirve de soporte de un sistema que mantiene la cara superior (trunca) del cono a una temperatura T1, mientras que la base del cono está a una temperatura T2 < T1. La conductividad térmica del sólido depende de la temperatura de acuerdo con la relación k = k0 –aT, donde a es una constante positiva, y los lados del cono están bien aislados. Las siguientes cantidades ¿aumentan, disminuyen o permanecen igual con el aumento en x; la velocidad de transferencia de calor qx, el flujo de calor qx”, la conductividad térmica k y el gradiente de temperatura dT/dx?

2.8. Considere condiciones de estado estable para un conducción unidimensional en una pared plana que tiene una conductividad térmica k = 50 W/m•K y un espesor L = 0.25 m, sin generación interna de calor. Determine el flujo de calor y la cantidad desconocida para cada caso y dibuje la distribución de temperatura, indicando la dirección del flujo de calor.

2.21. En una varilla cilíndrica de 500 mm de diámetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generación interna de calor a 𝑞̇ 1 = 5 × 107 W/m3, y en condiciones de estado estable la distribución de temperatura es T(r) = a +br2, donde T está en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800°C y b = -4.167 × 105°C/m2. Las propiedades de la varilla de combustible son k = 30 W/m•K, ρ = 1100 kg/m3, y cp = 800 J/kg•K.

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a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (línea central) y en r = 25 mm (superficie)? b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a 𝑞̇ 2 = 108 W/m3, ¿cuál es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r =0 y en r = 25 mm?

2.24. Un estanque solar con gradiente salino es un cuerpo de agua poco profundo que consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para colectar energía solar. Las capas superior e inferior están bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior en inferior de la capa central a temperaturas uniformes T1 y T2, donde T2 > T1. Aunque hay un movimiento de fluido global en las capas mezcladas, no existe este tipo de movimiento en la capa central. Considere condiciones para las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uniforme de calor de la forma 𝑞̇ = Ae-ax, y la distribución de temperatura en la capa central es 𝑇(𝑥) = −

𝐴 −𝑎𝑥 𝑒 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑘𝑎2

Las cantidades A (W/m3), a (1/m), B (K/m), y C (K) son constantes conocidas que tienen las unidades que se establecen, y k es la conductividad térmica que también es constante.

a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la capa inferior mezclada a la capa central y de la capa central a la capa superior mezclada. b) Determine si las condiciones son estables o transitorias. c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central, por unidad de área superficial.

2.30. Comenzando con un volumen de control diferencial en la forma de una coraza cilíndrica, derive la ecuación de difusión de calor para un sistema coordenado radial cilíndrico unidimensional con generación interna de calor. Compare sus resultados con la ecuación 2.20.

Ecuación 2.20

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2.37. Un cable eléctrico de radio r1 y conductividad térmica kc, envuelto por una cubierta aislante cuya superficie exterior tiene radio r2, experimenta transferencia de calor por convección e intercambio de radiación con el aire contiguo y alrededores, respectivamente. Cuando pasa corriente eléctrica a través del cable, se genera energía térmica dentro del cable a razón de 𝑞̇ . a) Escriba las formas de estado estable de la ecuación de difusión de calor para el aislante y el cable. Verifique que estas ecuaciones sean satisfechas por las siguientes distribuciones de temperatura: 𝐴𝑖𝑠𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒:

𝐶𝑎𝑏𝑙𝑒:

ln(𝑟⁄𝑟2 ) 𝑇(𝑟) = 𝑇𝑠,2 + (𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 ) 𝑟 ln( 1⁄𝑟2 ) 𝑇(𝑟) = 𝑇𝑠,1 +

𝑞̇ 𝑟12 𝑟2 (1 − 2 ) 4𝑘𝑐 𝑟1

Dibuje la distribución de temperaturas, T(r), en el cable y en la cubierta, señalando las características clave. b) Aplicando la ley de Fourier, muestre que la rapidez de transferencia de calor por conducción por unidad de longitud a través de la cubierta puede expresarse como 𝑞𝑟′ =

2𝜋𝑘𝑠 (𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 ) ln(𝑟2 ⁄𝑟1 )

Aplicando un balance de energía a una superficie de control colocada alrededor del cable, obtenga una expresión alternativa para qr’ que exprese sus resultados en términos de 𝑞̇ y r1. c) Aplicando un balance de energía a una superficie de control colocada alrededor de la superficie externa de la cubierta, obtenga una expresión de la que Ts,2 se determine como función de 𝑞̇ , r1, h, T∞, ε y Talr. d) Considere condiciones para las que 250 A pasan a través de un cable que tiene una resistencia eléctrica por unidad de longitud de Re’ = 0.005 Ω/m, un radio de r1 = 15 mm y una conductividad térmica de kc = 200 W/m•K. Para ks = 0.15 W/m•K, r2 = 15.5 mm, h = 25 W/m2•K, ε = 0.9, T∞ = 25°C, y Talr = 35°C; evalúe las temperaturas de las superficies Ts,1 y Ts,2, así como la temperatura T0 en la línea central del cable. e) Con todas las otras condiciones sin cambio, calcule y elabore una gráfica de T0, Ts,1 y Ts,2 como función de r2 para 15.5 ≤ r2 ≤ 20 mm.

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2.39. Una mezcla química reactiva se almacena en un contenedor esférico de pared delgada cuyo radio es r1 = 200 mm, y la reacción exotérmica genera calor a una razón volumétrica uniforme, pero dependiente de la temperatura 𝑞̇ = 𝑞̇ 0 exp(-A/T0), donde 𝑞̇ 0 = 5000 W/m3, A = 75 K, y T0 es la temperatura de la mezcla en kelvin. El recipiente está encerrado por un material aislante de radio exterior r2, conductividad térmica k y emisividad ε. La superficie externa del aislante experimenta una transferencia de calor por convección y un intercambio neto de radiación con el aire adyacente y los alrededores respectivamente. a) Escriba la forma de estado estable de la ecuación de difusión de calor para el aislante. Verifique que esta ecuación se satisfaga con la distribución de temperaturas 𝑇(𝑟) = 𝑇𝑠,1 − (𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 ) [

1 − (𝑟1 ⁄𝑟) ] 1 − (𝑟1 ⁄𝑟2 )

Dibuje la distribución de temperaturas T(r), y señale las características clave. b) Aplicando la ley de Fourier, muestre que la rapidez de transferencia de calor por conducción a través del aislante se expresa como 𝑞𝑟 =

4𝜋𝑘(𝑇𝑠,1 − 𝑇𝑠,2 ) (1⁄𝑟1 ) − (1⁄𝑟2 )

Aplicando un balance de energía a una superficie de control alrededor del recipiente, obtenga una expresión alternativa para qr y exprese sus resultados en términos de 𝑞̇ y r1. c) Aplicando un balance de energía a una superficie de control alrededor de la superficie externa del aislante, obtenga una expresión de la cual Ts,2 pueda determinarse como función de 𝑞̇ , r1, h, T∞, ε y Talr. d) El ingeniero de procesos desea mantener una temperatura de reactor de T0 = T(r1) = 95°C en condiciones para las que k = 0.05 W/m•K, r2 = 208 mm, h = 5 W/m2•K, ε = 0.9, T∞ = 25°C, y Talr = 35°C. ¿Cuál es la temperatura de la superficie externa del aislante, Ts,2? e) Calcule y elabore una gráfica de la variación de Ts,2 con r2 para 201 ≤ r2 ≤ 210 mm. El ingeniero está preocupado por las lesiones y quemaduras que pueda sufrir el personal que esté en contacto con la superficie expuesta del aislante. ¿El aumento del espesor del aislante es la solución práctica para mantener Ts,2 ≤ 45°C? ¿Qué otros parámetros hay que variar para reducir Ts,2?

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2.43 Una pared plana tiene propiedades constantes, no presenta generación interna de energía y está inicialmente a una temperatura uniforme Ti. De pronto, la superficie en x=L se calienta por un fluido a T∞ que tiene un coeficiente de convección h. En el mismo instante, el calentador eléctrico se conecta y proporciona un flujo de calor constante 𝑞0" en x=0. (a) En coordenadas T-x, dibuje las distribuciones de temperatura para las siguientes condiciones: condición inicial (t≤0), condición de estado estable (t→∞) y para dos periodos intermedios. (b) En coordenadas 𝑞𝑥" − 𝑥, dibuje el flujo de calor que corresponde a las cuatro distribuciones de temperatura de la parte (a). (c) En coordenadas 𝑞𝑥" − 𝑡, dibuje el flujo de calor en las posiciones x=0 y x=L. Es decir, muestre de forma cualitativa cómo varían con el tiempo 𝑞𝑥" (0, 𝑡) y 𝑞𝑥" (𝐿, 𝑡). (d) Derive una expresión para la temperatura de estado estable en la superficie del calentador, T(0,∞), en términos de 𝑞0" , T∞, k, h y L.