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• Percy Barrientos

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CÁLCULO 2 UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES SESIÓN 4: VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS NIVEL 1 1. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y usar el método de las capas para calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar R alrededor del eje Y. a)

x  3 y  6, y  0, x  0

c)

y  x 3 , x  2, y  0

b)

y  x,

d)

y  x 2 , y  x1/ 3

x  4,

y0

2. En los siguientes ejercicios, utilice el método de los casquillos para determinar el volumen de los sólidos de revolución generados al girar la región sombreadas alrededor del eje indicado.

3. Dibujar la región R limitada por las curvas dadas y usar el método de las capas para calcular el volumen del sólido engendrado al hacer girar R alrededor del eje X. a)

x  3 y  6, y  0, x  0

c)

y  x 3 , y  8, x  0

b)

y  x2 , y  9

d)

y  x, y  x3

NIVEL 2 1. La región circundada por el eje x y la parábola y  3x  x 2 se hace girar alrededor de la recta vertical

x  1 para generar la forma de un sólido según figura. Determinar el volumen del sólido.

FIGURA: (a) La gráfica de la región del problema 1, antes de hacerla girar. (b) El sólido formado cuando la región de la parte (a) se hace girar alrededor del eje de rotación x = –1.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

1

FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO 2 2. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana limitada por las curvas

y  8 x ; y  x 2 alrededor de la recta: a) x = 0

b) x = 2

c ) x = −1

d) y = 0

e) y = −1

f) y = 4

3. Determine el volumen del solido generado al hacer girar la región sombreada alrededor del eje Y

4.

Hallar por el método de capas el volumen del sólido generado al girar, la región comprendida entre la parábola x = y2 +1 y la recta x = 3, alrededor de la recta x = 3.

NIVEL 3 1. Un sólido se genera al girar la región acotada por 𝑦 = √9 − 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 0 y 𝑦 = 0 alrededor del eje Y. Un orificio, centrado a lo largo del eje de revolución, se taladra a través de este sólido tal que se pierde un tercio del volumen. Encuentre el diámetro del orificio. 2. Un tanque petrolero tiene la forma de una esfera con diámetro de 60 pies. ¿Cuánto petróleo contiene el tanque si la profundidad del petróleo es de 25 pies? 3. Suponga que usted fabrica anillos para servilletas perforando agujeros de diferentes diámetros en dos bolas de madera (las cuales también tienen diámetros distintos). Usted descubre que ambos anillos para las servilletas tienen la misma altura h, como se muestra en la figura. a) “Adivine” cuál anillo contiene más madera. b) Verifique su conjetura: mediante cascarones cilíndricos calcule el volumen de un anillo para la servilleta generado al perforar un agujero de radio r a través del centro de una esfera de radio R y exprese la respuesta en función de h.

BIBLIOGRAFÍA: # 1 2

Código UPN-L 515 STEW/D 515.43 SANT

AUTOR

TITULO

Pág.

STEWART. JAMES

Cálculo diferencial e integral

428- 455

SANTIAGO.PARDO

Cálculo Integral

266-279

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2

FACULTAD DE INGENIERÍA