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Historia de los fractales: Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincare. Sus ideas fueron extendidas más tarde fundamentalmente por dos matemáticos, también franceses: Gastón Julia y Pierri Fatou 1918. Se trabajó mucho en este campo durante varios años, pero el estudio se quedó congelado en los años ‘20. El estudio fue renovado a partir de 1970 IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El Dr. Mandelbrot, de la universidad Yale, con su experimento de computadora, es considerado como el padre de la Geometría Fractal. En honor a él, uno de los conjuntos que el investigo fue nombrado. Otros matemáticos como: Adrien Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron también en esta área explorando más las matemáticas que sus aplicaciones. Desde la década de los ’70 este campo ha estado en la vanguardia de los matemáticos contemporáneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la universidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matemática con la ayuda de las computadoras modernas ¿Qué es un fractal?: Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida. Los fractales en la naturaleza: A lo largo de la historia humana, dentro de diversas culturas alrededor del mundo, una de las principales características atribuidas a la divinidad es la estética. Con la geometría, el ritmo y la cromática como tres de los recursos predilectos de este discurso divino, la naturaleza alcanza la más espectacular y al mismo tiempo la más discreta manifestación divina como una hiperestática paradoja. Un fractal es un patrón geométrico que se autorreplica, infinitamente, a escalas menores, para producir formas y superficies irregulares que escapan de los dominios de la geometría clásica. Al igual que en la naturaleza holográfica, cada porción de un fractal, por más pequeña que ésta sea, proyecta la figura completa a una escala más pequeña. El brillante matemático francés Benoit Mandelbrot, que descubrió la matemática fractal en la década de los setenta, afirma que un fractal no puede ser tratado, desde un punto de vista matemático, como un objeto que se manifiesta dentro de un número específico de dimensiones. La naturaleza de estas “entidades” radica principalmente en dos variables: la irregularidad al nivel de la forma y el patrón a nivel del ritmo. Mientras que su característica intrínseca es el desdoblamiento autosemejante. Desde un punto de vista un tanto más poético, el fractal podría representarse imaginando un escenario en el que el alma de la geometría se contempla así misma frente a un espejo

y, tras percibirse como un dios creador, consuma su conciencia frente a una algorítmica y omnipresente vacuidad. Ejemplos de los fractales en la naturaleza: 1. En las cataratas ocurre un fenómeno en el que la irregularidad producida por el terreno, en combinación con la gravedad, genera patrones fractales durante la caída del agua. 2. El Río Yukon, en Alaska, se fragmenta en miles de canales de distribución en su trayecto hacia el Mar de Bering, formando una arteria fractal que puede apreciarse desde las alturas cenitales. 3. Muchas plantas siguen simples fórmulas recursivas en los patrones dibujados por las venas de sus hojas y en la generación de sus ramas. 4. Los helechos son uno de los ejemplos más comunes de secuencias autoreplicantes, en las cuales el patrón que develan puede ser matemáticamente generado y reproducido en cualquier magnificación o reducción de su escala. 5. El agua cristalizada forma patrones repetitivos que han originado las primeras curvas fractalizadas de las que se tiene noticia. Estos patrones inspiraron la hipótesis de cómo el poder de nuestra conciencia influye en la materia con experimentos como el del Dr. Emoto. 6. La hipnótica hermosura que envuelve al pavo real en su plumaje también manifiesta una naturaleza fractal que ayuda a los machos de esta especie a seducir a las hembras a través de la perfección estética de un discurso que oscila entre lo onírico y lo algorítmico. El triángulo y la alfombra de Sierpinski: Fueron introducidos por Waclaw Sierpinski unos cuarenta años después que el conjunto de Cantor, como ejemplo de una curva en la que todo punto es de ramificación y como una curva cantoriana que contiene una imagen biunívoca continua de cualquier curva plana dada, respectivamente. La construcción del triángulo se Sierpinski se realiza de la siguiente forma, se parte de triángulo de lado unidad T0, en el primer paso nos quedamos con los tres triángulos equiláteros cerrados {Ti1}3i=1, contenidos en T0 de lado ½ y que contiene a sus vértices como se puede apreciar en la figura. En el siguiente paso se repite el proceso anterior a escala ½ sobre cada uno de los triángulos obtenidos llegando a tener 32 triángulos cerrados de lado ¼ y así sucesivamente, en el paso n se tendrán 3n triángulos cerrados de lado 2-k . La curva de Von Koch: Es uno de las primeras curvas fractales en ser descrita. Apareció en un artículo del matemático sueco Helge von Koch en 1906. Más conocida que ésta es el copo de nieve de Koch, similar a la curva excepto que comienza a partir de un triángulo en lugar de un segmento. La construcción de la curva de Koch se lleva a cabo mediante adiciones progresivas a un simple segmento de línea. Las adiciones se realizan dividiendo ésta en nuevos segmentos de un tercio de longitud, y luego sustituyendo el segmento central por dos segmentos que, junto con el suprimido, formarán un triángulo equilátero. La curva de Koch es el resultado de repetir este procedimiento sobre los segmentos resultantes infinitas veces. La curva de Koch tiene longitud infinita, ya que cada en cada iteración

del proceso de generación, la longitud de cada segmento aumenta un tercio de su longitud original. Esto es evidente, ya que el segmento central es remplazado por dos nuevos segmentos de la misma longitud, resultando cuatro nuevo segmentos de longitud un tercio del segmento original. El número de segmentos en la n-ésima iteración es Nn = 4n . Así, si llamamos L0 a la longitud inicial del segmento, después de la primera iteración tendremos una curva de longitud L1 = 4L0/3 formada por 4 segmentos (cada uno de longitud L0/3). En la segunda iteración, tendremos 4 2 segmentos, cada uno con una longitud 1/3 · L0/3 = L0/3 2 . Una nueva iteración dará como resultado 4 3 segmentos de 1/3 · L0/3 2 = L0/3 3 .

Profesora: Katerine Linares

Republica bolivariana de Venezuela ministerio del poder popular para la educación de “hilda nuñez de heriquez” Edo- Carabobo, San Joaquín

FRACTALES

Profesora: Katherine Linares

Alumna: Ambar Ballesteros Año y sección: 4to “C”