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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

Prueba de hipótesis para dos muestras para la diferencia de proporciones

Estadística II

Profesor: Raúl de Gracia

Estudiantes: Dayarit Sue

3 -733 - 2205

Luis H. Pérez

8- 891- 881

Grupo:

Fecha: 9 de Octubre de 2017

Contenido INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................3 I.

Conceptos fundamentales para la prueba de hipótesis.....................................................4 Prueba de Hipótesis....................................................................................................................4 Hipótesis nula y alternativa........................................................................................................5 Nivel de significación...................................................................................................................5 Error tipo I y error Tipo II............................................................................................................5 Análisis de los errores y aciertos en las pruebas de hipótesis..............................................6 Reglas de Decisión.....................................................................................................................6 Pasos que seguir en una prueba de hipótesis........................................................................6 Tipos de Pruebas de Hipótesis..................................................................................................7

II.

Prueba de Hipótesis para Diferencias entre Dos Proporciones........................................8 Prueba Z para la diferencia entre dos proporciones...............................................................8 Problemas de aplicación de prueba Z para la diferencia entre dos proporciones........10 Prueba de chi cuadrada para la diferencia entre dos proporciones...................................16 Problemas de aplicación de prueba chi cuadrada para la diferencia entre dos proporciones...........................................................................................................................17

CONCLUSIÓN...............................................................................................................................18 BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................19

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INTRODUCCIÓN Con frecuencia necesitamos hacer comparaciones y analizar las diferencias entre dos proporciones poblacionales. Podemos realizar una prueba para las diferencias entre dos proporciones seleccionada de poblaciones independientes utilizando dos métodos distintos. Se presenta un procedimiento cuyo estadístico de prueba , ZESTAD , se aproxima mediante una distribución normal estandarizada. El otro es un procedimiento cuyo estadístico de prueba, X2ESTAD se aproxima mediante una distribución chi cuadrada. Ambos resultados de las pruebas son equivalentes.

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I.

Conceptos fundamentales para la prueba de hipótesis

Prueba de Hipótesis Hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones. La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certidumbre a menos que examinemos toda la población. En la mayoría de los casos se toma una muestra aleatoria de la población y se utilizan los datos de la muestra para proporcionar evidencia que apoye o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hipótesis que se establece conduce al rechazo de ésta, mientras que la evidencia que la apoya conduce a su aceptación. Si el investigador se interesa en apoyar una opinión, desea llegar a la opinión en la forma de rechazo de una hipótesis. Si un investigador desea mostrar fuerte evidencia a favor de la opinión de que fumar aumenta el riesgo de contraer cáncer, la hipótesis a probar debe ser de la forma “ no hay aumento en el riesgo de contraer cáncer como producto de fumar”. Como resultado, la opinión se alcanza por medio de un rechazo. El modelo estadístico se basa en un método de demostración comúnmente empleado en matemáticas, en el que se asume una hipótesis y se obtiene un resultado absurdo, concluyéndose que la hipótesis de partida es falsa. Se le conoce como método por contradicción o reducción al absurdo. La adaptación de este método en estadística parte de dos hipótesis lógicas: la hipótesis nula y la hipótesis alterna, representadas por Ho y H1, respectivamente. Modelo estadístico para la pregunta de investigación

Ho : El nuevo medicamento tiene el mismo efecto que el medicamento en uso. H1 : El nuevo medicamento reduce más el colesterol que el medicamento en uso. La prueba de hipótesis comienza   

Con una suposición, llamada hipótesis, que hacemos acerca de un parámetro de la población. Recolectamos datos de muestra Producimos estadísticos muestrales y usamos esta información para decidir qué tan probable es que nuestro parámetro de población hipotético sea correcto. Si suponemos un cierto valor para una media de población. Para probar la validez de esa suposición recolectamos datos de muestra y 4



determinamos la diferencia entre el valor hipotético y el valor de la media de muestra. Después juzgamos si la diferencia obtenida es significativa o no. Mientras más pequeña sea la diferencia, mayor será la probabilidad de que nuestro valor hipotético para la media sea correcto. Mientras mayor sea la diferencia, más pequeña será la probabilidad de que el valor hipotético sea correcto

Hipótesis nula y alternativa Hipótesis nula: ésta se refiere a cualquier hipótesis que deseamos probar y se denota con H . El rechazo de H conduce a la aceptación de una 0 0 hipótesis alternativa, que se denota con H . Una hipótesis nula con respecto 1 a un parámetro poblacional siempre se establecerá de modo que especifique un valor exacto del parámetro, mientras que la hipótesis alternativa permite la posibilidad de varios valores. H

0

:

p = 0.5

H

: p > 0.5 , H : p < 0.5 , H : p ≠ 0.5 1 1 1 Nivel de significación El nivel de significación es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera o de cometer lo que se denomina error tipo I. A esta probabilidad comúnmente se le simboliza con la letra griega α. Al valor crítico que puede ser z, t, χ2 ó f, se le denomina valor crítico o estadístico de prueba y divide en dos regiones a la curva, una la región de rechazo y otra la región de aceptación El nivel de significación significa que se rechazará la hipótesis planteada cuando la media muestral caiga dentro del intervalo de valores sobre el eje horizontal cubierto por el área sombreada. Error tipo I y error Tipo II Al probar cualquier hipótesis estadística, hay cuatro situaciones posibles que determinan si nuestra decisión es correcta o incorrecta, debido a que la prueba de hipótesis se sustenta en una muestra aleatoria. Estas cuatro situaciones se resumen en la tabla siguiente:

5

Situaciones posibles al probar una hipótesis estadística Aceptar H 0 Rechazar H0

H es verdadera 0

H es falsa 0

Decisión correcta

Error tipo II

Error tipo I

Decisión correcta

Análisis de los errores y aciertos en las pruebas de hipótesis La probabilidad condicional y el teorema del límite central, permitirá analizar estadísticamente los errores tipo I y tipo II, y las decisiones correctas. Los diferentes resultados de la tabla anterior se pueden expresar en términos de la probabilidad condicional: P(rechazar H P(aceptar H

0

o

/ H es verdadera ) = P(error tipo I) = α o / H

o

es verdadera) = 1 – α (Decisión correcta)

P(aceptar H / H es falsa ) = P(error tipo II) = β o o P(rechazar H / H es falsa ) = 1- β (Decisión correcta) o o

Reglas de Decisión o Las pruebas de hipótesis pueden ser de una o dos colas, esto depende del objetivo de la investigación, lo que genera un planteamiento de las hipótesis nula y alternativa como pruebas de una o dos colas. 2 o Para todas las posibles decisiones se compara z , t c c, χ o ó f con el valor crítico calculado en base al nivel de significación de la c prueba y el tamaño de la muestra. Pasos que seguir en una prueba de hipótesis  

Definir las hipótesis H y H 0 1 Establecer los supuestos de la prueba 6

    

 La población se distribuye normalmente  La muestra fue tomada de forma aleatoria Especificar el estadístico de prueba Determinar la región crítica Calcular el estadístico usando la muestra Comparar el valor calculado en (5) con el valor calculado en (4) Emitir conclusiones

Tipos de Pruebas de Hipótesis o Para cualquier parámetro de la población podemos realizar pruebas de hipótesis que nos permitan probar un supuesto sobre el parámetro, así tenemos: o Prueba de hipótesis para la media de la población ( muestras grandes y pequeñas) o Prueba de hipótesis para la diferencia de medias (muestras grandes, desviación estándar conocida y desconocida) o Prueba de hipótesis para la diferencia de medias (muestras pequeñas, desviación estándar conocida) o Prueba de hipótesis para la diferencia de medias (muestras pequeñas, desviación estándar desconocida) o Prueba de hipótesis para la proporción de la población (muestras grandes) o Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones (muestras grandes) o Prueba de hipótesis para la varianza de la población o Prueba de hipótesis para la razón entre dos varianzas

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II.

Prueba de Hipótesis para Diferencias entre Dos Proporciones

Prueba Z para la diferencia entre dos proporciones En la evaluación de las diferencias entre dos proporciones poblacionales, podemos utilizar una prueba “Z” para la diferencia entre dos proporciones. El estadístico de prueba ZESTAD se basa en la diferencia entre dos proporciones muestrales (p1 – p2 ) . Este estadístico de prueba, determinado en la ecuación a continuación, tiene más o menos una distribución normal estándar en el caso de tamaños de muestra suficientemente grandes.

Con

Donde: P1= proporción de elementos de interés en la muestra 1 X1 = número de elementos de interés en la muestra 1 N 1 = tamaño de la muestra 1 π 1 = proporción de elementos de interés en la población 1 P2 = proporción de elementos de interés en la muestra 2 X2 = número de elementos de interés en la muestra 2 N 2 = tamaño de la muestra 2 π 2 = proporción de elementos de interés de la población 2 ´p = estimación conjunta de la proporción poblacional de elementos de interés

De acuerdo con la hipótesis nula en la prueba Z para la diferencia entre dos proporciones, se supone que las dos proporciones poblacionales son iguales ( π 1=π 2 ¿ Como la estimación conjunta para la proporción poblacional se basa en la hipótesis nula, se combina o se agrupan las dos proporciones muestrales para calcular ´p , es una estimación general de las proporciones poblacional común. Esta estimación es igual al número de elementes de interés en las dos muestras combinadas ( X 1= X 2 ) divido entre el tamaño de muestra total de las dos muestras combinadas ( n1=n2 ). En la siguiente tabla, se puede utilizar esta prueba Z para la diferencia entre proporciones poblacionales cuando se desea determinar si existe una diferencia 8

en la proporción de elementos de interés en las dos poblaciones (pruebas de dos colas o si una población tiene una mayor proporción de elementos de interés que la otra población (prueba de una cola).

Donde:

π 1= proporciónde elementos de interes en la población1 π 2= proporciónde elementos de interes en la población2 Para someter a prueba la hipótesis nula de que no existe diferencia entre las proporciones de dos poblaciones independientes: H 0 = π 1=π 2

En comparación con la hipótesis alternativa de que las dos proporciones poblacionales no son iguales: H π2 1 = π 1≠ Se utiliza el estadístico de prueba ZESTAD Para un nivel de significancia dado α, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico de prueba ZESTAD calculado es mayor que el valor critico de cola superior de la distribución normal estándar, o si el estadístico de prueba ZESTAD calculado es menos que el valor critico de cola inferior de la distribución normal estándar.

Problemas de aplicación de prueba Z para la diferencia entre dos proporciones Problema # 1 El gerente de T.C. Resort Properties, un conjunto de cinco hoteles turístico de lujo localizados en dos islas tropicales. En una de las islas T.C. . Resort Properties tiene dos hoteles, el Beachcomber y el Windsurfer. El objetivo de la administración se definió como el aumento en la tasa de regreso de huéspedes al hotel Beachcomber y el Windsurfer. En uno de los recreativos el cuestionario que los 9

huéspedes del hotel responden antes de irse , se les pregunta si es probable que regresen al hotel. Se recolectaron las respuestas a esta y otras preguntas de 227 huéspedes del hotel Beachcomber y de 262 huespedes del hotel Windsurfer. Los resultados de esta pregunta indicaron que 163 de los 227 huéspedes del hotel Beachcomber y 154 de los 261 huéspedes del hotel Windsurfer respondieron que era probable que regresen al hotel: Con un nivel de significancia de 0.05¿Existe evidencia de que el grado de satisfacción de los huéspedes de un hotel (medido con la probabilidad de que regresen al mismo) difiere de manera significativa del grado de los huéspedes del otro nivel?. PASO # 1 Definición de la hipótesis nula y la alternativa: H 0 = π 1=π 2 H

1 = π 1≠

π2

PASO # 2 Establecer los supuestos de la prueba La población se distribuye normalmente PASO # 3 El estadístico de prueba a utilizar es Z PASO # 4 La región crítica Con nivel de significancia de 0.05, los valores críticos son -1.96 y + 1.96

PASO # 5 -> Regla de decisión:

10

PASO # 6-> Calcular el estadístico usando la muestra

Donde:

Y

De modo que

11

Usando un nivel de significancia de 0.05, se rechaza la hipótesis nula porque ZESTAD = +3.0088 > +1.96. El valor p es 0.0026 e indica que si la hipótesis nula es verdadera, la probabilidad de que un estadístico de prueba ZESTAD sea menor que -3.0088 es 0.0013 y , de manera similar , la probabilidad de que un estadístico de prueba ZESTAD sea mayor que +3.0088 es 0.0013. Por lo tanto, para esta prueba de dos colas, el valor p es 0.0013 + 0.0013= 0.0026. Dado que 0.0026 < α = 0 .05, se rechaza la hipótesis nula, Existe evidencia para concluir que los dos hoteles difieren significativamente en lo que se refiere a la satisfacción de sus huéspedes; una mayor proporción de Huéspedes están dispuesto a regresar al hotel Beachcomber que al Windsurfer

Problema # 2 Una creciente preocupación por la privacidad en Internet ha provocado que un mayor número de personas vigilen su identidad en línea. La encuesta reportó que 44% de los usuarios de Internet de entre 18 y 29 años han tomado medidas para limitar la cantidad de información personal disponible en línea, a diferencia de 20% de los usuarios de Internet mayores de 65 años que han hecho lo mismo. No se reportó el tamaño de muestra de cada grupo. Suponga que la encuesta constó de 100 individuos en cada grupo de edad. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿la proporción de los usuarios de Internet entre 18 y 29 años que han tomado medida para limitar la cantidad de información personal disponible en línea es mayor que la proporción de usuarios de internet mayores 65 años que han hecho lo mismo?

Solución: como se desea saber si existe evidencia de que la proporción en el grupo de edad de 18 a 29 años es mayor que en el grupo de individuos mayores de 65 años, se tiene que realizar una prueba de un cola. PASO # 1 Definición de la hipótesis nula y la alternativa: H La proporción de usuarios de Internet de entre 18 y 29 años que 0 = π 1≤ π 2 han tomado medidas para limitar la cantidad de información personal disponible en línea es menor que o igual a la proporción de usuarios de Internet mayores de 65 años que han hecho lo mismo.

12

H La proporción de usuarios de Internet de entre 18 y 29 años que 1 = π 1> π 2 han tomado medidas para limitar la cantidad de información personal disponible en línea es mayor que la proporción de usuarios de Internet mayores de 65 años que han hecho lo mismo PASO # 2 Establecer los supuestos de la prueba La población se distribuye normalmente PASO # 3 El estadístico de prueba a utilizar es Z PASO # 4 La región crítica Con nivel de significancia de 0.05, para la prueba de una cola superior, el valor critico es +1.645. PASO # 5 -> Regla de decisión:

PASO # 6-> Calcular el estadístico usando la muestra

Donde:

Y

De modo que 13

Usando un nivel de significancia de 0.05, se rechaza la hipótesis nula, ya que ZESTAD = +3.638 > + 1.645 . El valor de p es aproximadamente 0.0001. Por lo tanto , si la hipótesis nula es verdadera, la probabilidad de que un estadístico de prueba ZESTAD sea mayor que +3.6383 es más o menos 0.0001 ( que es menos que α = 0 .05). Se concluye que existe evidencia de que la proporción de usuarios de Internet de entre 18 y 29 años que han tomado medidas para limitar la cantidad de información personal disponible en línea es mayor que la proporción de usuarios de Internet mayores de 65 años que han hecho los mismo.

Problema #3 Se utilizan dos máquinas diferentes, de modelo por inyección, para la fabricación de piezas de plásticos. Una pieza se considera defectuosa si tiene un encogimiento excesivo o si le falta color, se toma dos muestra aleatorias, de 300 piezas cada una, y se encuentran 15 piezas defectuosas en la muestra de la maquina #1, mientras que 8 pertenecen a la maquina #2. ¿Es razonable concluir que ambas maquinas producen diferentes proporciones de piezas defectuosas? utilice el nivel de significancia de 5%. Solución: X ¡ :número de piezas defectuosas 14

Nivel de significancia: 5% Establecer región critica El nivel de significancia deberá ser distribuido por igual en ambas regiones críticas o de rechazo. De la tabla de la distribución normal, se obtiene el valor de la variable tipificada por lo tanto, el valor del estadístico tabulado identificara el área de rechazo de la hipótesis nula.

Realizar cálculos Se habilita la aproximación de la distribución binomial a la normal y se tratara con la proporción maestral, específicamente con la diferencia entre dos proporciones poblacionales. Se produce a inicializar las variables planteando los parámetros y estadística por lo tanto de la distribución para la diferencia entre dos proporciones poblacionales se parte se parte de que esta son iguales y se utiliza el postulado del caso 1 para platear por el estadístico de prueba.

Donde : P1: proporcion de piezass defectuosas de maquina #1 P2 : proporcion de piezass defectuosas de maquina #2 Q1: proporcion de piezass buenas de maquina #1 Q2: proporcion de piezass buenas de maquina #2 N1: tamaño de la muestra de maquina #1 N2: tamaño de la muestra de maquina #2

Donde : de la muestra obtenemos los estadisticos descriptivos para cada maquina

P1:

15 300

= 0.0500 15

P2:

8 300

= 0.0267

MAQUINA#1

MAQUINA#2

P: 0.0500

P: 0.0267

Q: 0.9500

Q: 0.9733

N: 300

N: 300

Se estima que ahora l probabilidad conjunta o combinada para ambas muestra P:

x 1+ x 2 n 1+ n 2

15+ 8 300+ 300

P: 0.0383 Se calcula el estadístico de prueba Z=

( 0.0500−0.0267 )−(0) 1 1 √( 0.0383)(1−0.0383)( + ) 300 300

Z:

+¿

1.487

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Conclusión

Con el valor estadístico calculado Z se ubica en la región de aceptación Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la alternativa.

Ejemplo #4 Se seleccionan 400 artículos de las líneas de producción A y B los artículos defectuosos en las muestras fueron : articulo A B

Articulo defectuoso 40 60

A- ¿Existe diferencia significativa entre los porcentajes de artículos defectuosos generales en las dos líneas ? utilice le nivel de significancia 5%

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B- Si el encargado del control de calidad indica que el porcentaje de articulos defectuosos obtenidos en la línea A es menor que en B en almenos un 10% ¿Qué puede decir usted acerca de esta aseveración? Utilice el nivel de significancias del 5% y asuma que en un inicio se admita que la diferencia entre ambas líneas es del 10% menos que A que en B . Solución: Se define la variable aleatoria X!: número de artículos defectuosos Nivel de significancia: 5% Establecer la región critica: El nivel de significancia deberá ser distribuido por igual en ambas regiones críticas o de recazo de las tablas de distribución normal el valor de la variable tipificada por lo tanto, el valor del estadístico tabulado identificara el área de rechazo de la hipótesis nula.

Realizar

cálculos

Se habilita la aproximación de la distribución binomial a la normal y se tratara con la proporción maestral, específicamente con la diferencia entre dos proporciones poblacionales. Se produce a inicializar las variables planteando los parámetros y estadística por lo tanto de la distribución para la diferencia entre dos proporciones poblacionales se parte se parte de que esta son iguales y se utiliza el postulado del caso 1 para platear por el estadístico de prueba.

Donde : P1: proporcion de articulos defectuosas en la linea #1 P2 : proporcion de articulos defectuosas en la linea#2 Q1: proporcion de articulos buenos en la linea#1 Q2: proporcion de articulos buenos en la linea #2 18

N1: tamaño de la muestra en la linea #1 N2: tamaño de la muestra en la linea #2 De la muestra, obtenemos los estadísticos descriptivos para cada una de las maquinas P1:

40 4 00

= 0.10

P2:

80 4 00

= 0.20

Línea #1

Línea #2

P: 0.10

P: 0.20

Q: 0.90

Q: 0.80

N: 400

N: 400

Se estima que ahora l probabilidad conjunta o combinada para ambas muestra P:

x 1+ x 2 n 1+ n 2

40+ 8 0 4 00+ 4 00

P: 0.15 Se calcula el estadístico de prueba Z=

( 0.1 0−0. 20 )−(0) 1 1 √( 0.15)(1−0.15)( + ) 4 00 4 00

Z:

−3.96

19

Conclusión

Con el valor estadístico calculado Z se ubica en la región de rechazo Se desestima la hipótesis nula y se acepta la alternativa

Parte B Nivel de significancia: 5% Establecer la región critica: El nivel de significancia deberá ser distribuido por igual en ambas regiones críticas o de recazo de las tablas de distribución normal el valor de la variable tipificada por lo tanto, el valor del estadístico tabulado identificara el área de rechazo de la hipótesis nula.

Realizar cálculos 20

Se habilita la aproximación de la distribución binomial a la normal y se tratara con la proporción maestral, específicamente con la diferencia entre dos proporciones poblacionales. Se produce a inicializar las variables planteando los parámetros y estadística por lo tanto de la distribución para la diferencia entre dos proporciones poblacionales se parte se parte de que esta son iguales y se utiliza el postulado del caso 1 para platear por el estadístico de prueba.

Se calcula el estadístico de prueba Z=

( 0. 10−0. 20 )−(0 .10) (0.10)(0.90) √( 0. 15 ) ( 0. 90 ) ÷ 400( 4 00 ) P1-P2: -0.10

Conclusión

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Problema: #5 Se tomara el voto entre los residente de una cantidad y el condado circundante, para determinar si se debe construir la planta química que se propone; el lugar de construcción está entre los límites de la ciudad , por esa razón , muchos votantes del condado considera que la propuesta pasara debido a la gran proporción de los votantes que favorecen la construcción; para determinar si hay una diferencia significativa en la proporción de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorece la propuesta, se realiza una encuesta; si a 120 de 200 votantes de la ciudad favorece la propuesta y 240 de 500 residentes del condado lo hacen , ( estaría usted de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorece la propuesta que mayor que la proporción de votantes del condado utilice un nivel de significancia de 0.025. Solución H0; P1 = P2 H1; P1 > P2 α = 0.05 Región critica = z > 1.645 Cálculos

P1:

12 0 2 00

= 0.60

P2:

24 0 5 00

= 0.48

Se estima que ahora l probabilidad conjunta o combinada para ambas muestra P:

x 1+ x 2 n 1+ n 2

12 0+24 0 200+ 500

P: 0.51

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Se calcula el estadístico de prueba Z=

Z:

0.60−0.48 1 1 √( 0.51)(0.49)( + ) 200 5 00

2.9

Conclusión Se rechaza H0 y este desacuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es mayor que la proporción de votantes del condado

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Prueba de chi cuadrada para la diferencia entre dos proporciones El estadístico de pruebe X2ESTAD es igual a la diferencia al cuadrado entre las frecuencias observadas y esperadas, dividas entre la frecuencia esperada en cada celda de la tabla, sumada en todas las celdas de la tabla.

Donde:

La tabla de contingencia que se presenta, constituida por dos renglones y dos columnas, se denomina tabla de contingencia e 2X2. Las celdas en la tabla indican la frecuencia para cada combinación de renglón y columna.

Donde:

Cálculo de la proporción general estimada par dos grupos

24

Problemas de aplicación de prueba chi cuadrada para la diferencia entre dos proporciones

DEBEN

AGREGAR

PROBLEMAS

DE

HIPOTESIS PRUEBA CHI CUADRADA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES En la pagina 407 del libro que les envía hay un problema resuelto, solo es de pasarlo.

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CONCLUSIÓN

Podemos concluir que le objetivo principal de la Prueba de proporciones de dos muestras es determinar si las dos son independiente si estas fueron tomadas de dos poblaciones y poder determinar sus características. De esta manera podemos desarrollar las diferencias entre la desviación estándar entre las dos proporciones.

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BIBLIOGRAFIA

o David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson., Estadística para administración, Sexta edición, Pearson Educación, México 2014 o Karim Daly, José Herrera, Rodolfo Cardoze . Estadística general Aplicada.

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