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• Wilber Castillejo

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UNIDAD DIDACTICA Nº 1 VARIABLES PARA UN ESTUDIO HIDROLOGICO 1.1 INTRODUCCIÓN a) Generalidades Durante su vida sobre la tierra el hombre ha sido testigo, muchas veces sin entenderlo, del desarrollo del ciclo del agua en la naturaleza. La distribución de los climas, la formación de las nubes y su inestabilidad, la producción de las lluvias, la variación de los niveles de los ríos, y el almacenamiento de agua en depósitos superficiales o subterráneos son temas en cuyo estudio se ha venido profundizando a lo largo de los años, conformando una rama de la física que se conoce como Hidrología. b) Concepto de Hidrología y Relación con otras disciplinas La Hidrología en su definición más simple es la ciencia que estudia la distribución, cuantificación y utilización de los recursos hídricos que están disponibles en el globo terrestre. Estos recursos se distribuyen en la atmósfera, la superficie terrestre y las capas del suelo. Como ha ocurrido con otras ciencias, a medida que los estudios hidrológicos se fueron desarrollando fue necesario dividir el tema general en una serie de tópicos especializados e interdisciplinarios que se agruparon bajo el nombre de Planeamiento de los Recursos Hidráulicos. En el planeamiento se incluyen como temas principales la Meteorología, la Hidrología Superficial y la Hidrología del Agua Subterránea. La Meteorología trata de los fenómenos que se desarrollan en la atmósfera y de la relación que existe entre los componentes del sistema solar. La Hidrología Superficial estudia la distribución de las corrientes de agua que riegan la superficie de la tierra y los almacenamientos en depósitos naturales como lagos, lagunas o ciénagas. Por último, en la Hidrología del Agua Subterránea se incluyen los estudios de los almacenamientos subterráneos, o acuíferos, en lo referente a localización, volumen, capacidad de almacenamiento y posibilidad de recarga. Los aspectos que tienen una relación muy estrecha con los anteriores en la planeación de proyectos de ingeniería son Geografía Física y Económica, Hidráulica Fluvial, Hidráulica Marítima, Hidrogeología, Geotecnia, Estadística, Teoría de Probabilidades, e Ingeniería de Sistemas. La Hidrología Básica estudia los conceptos físicos del ciclo hidrológico, los métodos de recolección de información hidrológica y los procedimientos clásicos de procesamiento de datos estadísticos. Las técnicas que permiten la utilización de los recursos hidráulicos en proyectos de Ingeniería pertenecen al campo de la Hidrología aplicada. c) Objetivos de los Estudios Hidrológicos Los proyectos que usan el agua como componente principal se clasifican de la siguiente manera: 1. Proyectos de Suministro de Agua. Captan caudales (Q) de corrientes superficiales o de depósitos subterráneos para abastecer demandas de agua en áreas específicas. Entre estos proyectos se cuentan los de Acueductos y Alcantarillados y los de Riego y Drenaje de Campos Agrícolas. 2. Proyectos de suministro de Energía Hidráulica. Captan caudales (Q) de corrientes superficiales y aprovechan diferencias de cota (H) para entregar Energía Hidráulica a las Turbinas de las Centrales Hidroeléctricas. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Las turbinas convierten la Energía Hidráulica en Energía Mecánica la cual se transmite a los Generadores; éstos transforman la Energía Mecánica en Energía Eléctrica. 3. Diseño de Obras Viales, Drenajes de Aguas Lluvias y Estructuras de Protección contra ataques de ríos. Los estudios hidrológicos analizan los regímenes de caudales medios y extremos de las corrientes de agua en los tramos de influencia de las obras viales, en las zonas que requieren de alcantarillados de aguas lluvias, y en las zonas inundables adyacentes a los cauces. Los caudales de creciente y las avalanchas que se generan por deslizamientos son las variables importantes en este tipo de proyectos. Estas variables se relacionan luego con los niveles de inundación, con las velocidades de flujo y con los procesos de socavación lateral y de fondo. 4. Proyectos de Navegación Marítima y Fluvial.. Los estudios de Hidrología en los proyectos de Navegación Marítima consisten en el análisis del Estado del Tiempo en mar profundo, en la plataforma continental y en los litorales. El Estado del Tiempo es una variable hidrológica que relaciona Temperatura, Humedad, Presión Atmosférica y Vientos, y es responsable de la presencia de olas en la superficie del mar. En los proyectos de Navegación Fluvial la Hidrología estudia los regímenes de caudales medios y extremos en los tramos navegables, las relaciones Caudal-Profundidad, y los volúmenes de sedimentos que se mueven como carga de fondo y en suspensión. En desarrollo de estos proyectos los estudios hidrológicos recolectan y procesan información histórica, programan y ejecutan programas de campo en topografía, batimetrías, aforos líquidos y sólidos, toma y análisis de muestras de sedimentos. Los resultados de los estudios producen información sobre los siguientes aspectos: 

Características climatológicas y morfométricas de las zonas que tienen influencia sobre el área del proyecto.



Selección y capacidad de la fuente que suministrará el caudal que se entregará a los beneficiarios del proyecto. Se incluyen aquí los análisis sobre necesidad de almacenamiento.



Magnitud de los eventos extremos, Crecientes y Sequías, que pueden poner en peligro la estabilidad de las obras civiles, o los procesos de navegación o el suministro confiable de agua a los usuarios.



Transporte de sedimentos hacia las obras de captación y almacenamiento.

1.2 ESTUDIOS HIDROLOGICOS EN PROYECTOS DE INGENIERÍA a) Localización En los proyectos de ingeniería se define inicialmente la zona de estudio que es el área de influencia del proyecto. En esta zona se delimitan tanto las áreas que van a ser beneficiadas por el proyecto como las hoyas vertientes de las corrientes naturales que las cruzan y de las que se seleccionan para ser utilizadas como captaciones. A continuación se realiza la monografía de la zona, la cual incluye aspectos geográficos, históricos, sociales, de uso de la tierra y de características de los suelos.

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b) Recolección de información La información que se recolecta para desarrollar un estudio hidrológico comprende los siguientes aspectos: 1. 2. 3.

Cartografía Hidrometeorología Estudios anteriores.

Dentro de la información cartográfica se incluyen los mapas con curvas de nivel a escalas entre 1:100.000, 1:25.000, 1:10.000 las fotografías aéreas y las imágenes de radar y de satélite. Esta información se procesa para determinar las características morfométricas, de capacidad de almacenamiento, y de suelos y uso de la tierra de las hoyas vertientes y de las zonas de importancia dentro del proyecto. En el aspecto hidrometeorológico se recolecta información sobre las variables del clima, la precipitación, los caudales y niveles de las corrientes naturales y los sedimentos que transportan las corrientes. Por lo general esta información se recolecta en forma de SERIES DE TIEMPO HISTORICAS, las cuales se procesan con métodos estadísticos y probabilísticos para determinar regímenes medios y proyecciones futuras. El tratamiento de estas series se realiza de acuerdo con el tipo de proyecto que se va a desarrollar y para ello se utilizan los conceptos de Hidrología Aplicada e Hidrología Estocástica. El análisis de los Estudios que se han desarrollado con anterioridad en la zona del proyecto permite complementar la información recolectada. Este análisis tiene capital importancia cuando el proyecto se desarrolla en varias fases porque en la segunda fase debe analizarse cuidadosamente lo que se hizo en la primera, y así sucesivamente. c) Trabajos de campo Luego de analizar la información recolectada el ingeniero está en capacidad de programar los trabajos de campo que permitan la complementación de la información existente. Entre estos trabajos se cuentan la ejecución de Levantamientos Topográficos y Batimétricos, la recolección y análisis de Muestras de los Sedimentos que transportan las corrientes, la instalación y operación de estaciones Climatológicas y Pluviometricas y la realización de Aforos. d) Análisis de la información hidrológica Terminada la etapa de recolección se procede al análisis del clima, la precipitación, los caudales y los sedimentos. Este análisis se realiza de acuerdo con las necesidades del proyecto y puede incluir uno o varios de los siguientes temas: Clima: Los valores medios de Temperatura, Humedad, Presión y Viento definen el clima de la zona de estudio. En los proyectos de suministro de agua el clima influye decisivamente en la relación que existe entre la Precipitación, la Hoya vertiente y la formación de los Caudales de las corrientes naturales. Esta relación se expresa matemáticamente por medio de la ecuación del Balance Hidrológico. Además, el análisis del régimen climatológico es una de las bases fundamentales del estudio de impacto ambiental en todos los proyectos de Ingeniería. Precipitación

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Los estudios de la precipitación analizan el régimen de lluvias en la región a partir de los datos de estaciones pluviométricas y pluviográficas. El análisis comprende la variabilidad de la precipitación en el tiempo, su distribución sobre el área de estudio, la cuantificación de los volúmenes de agua que caen sobre la zona y las magnitudes y frecuencias de los aguaceros intensos. Caudal medio El régimen de caudales de una corriente está relacionado con las lluvias y con las características de su hoya vertiente. Este régimen define los estados de caudales mínimos, medios y máximos en los sitios que han sido seleccionados para captación de agua o para construcción de obras hidráulicas. La metodología que se utiliza depende de la información disponible y de las necesidades del proyecto. Pueden utilizarse análisis estadísticos y probabilisticos de series históricas de caudales o balances hidrológicos. Balance Hidrológico El Balance Hidrológico relaciona las variables que intervienen en el ciclo hidrológico: 

Precipitación



Evapotranspiración



Caudal Superficial

 

Almacenamiento superficial y subterráneo Flujo de Agua subterránea

Se aplica en todos los casos que tienen que ver con la distribución de los recursos hidráulicos a nivel global, o en cuencas particulares. Es imprescindible en los estudios de regulación de embalses y en los proyectos de suministro de agua para acueducto, riego y generación hidroeléctrica. La ecuación general del Balance Hidrológico en una cuenca determinada tiene la siguiente forma: P + Qa + G = ET + Q + dS      

P es la precipitación en el período seleccionado. Qa es el aporte superficial de cuencas vecinas. G constituye el flujo neto de aguas subterráneas desde y hacia cuencas vecinas. ET representa la evapotranspiración real en la cuenca. Q es el caudal superficial que sale de la cuenca que se analiza. dS es el cambio en almacenamiento superficial y subterráneo. Incluye almacenamiento en cauces, embalses, suelo y acuíferos.

Crecientes En los estudios de crecientes se analizan las magnitudes de los caudales máximos extraordinarios y la frecuencia con que ocurren. Junto con los análisis de las avalanchas son importantes en los diseños de puentes, drenajes y obras de control de inundaciones. Estiajes Durante algunas épocas del año las corrientes naturales presentan períodos de caudales bajos o de estiaje. Estos estiajes pueden ser críticos cuando las magnitudes de los caudales resultan tan bajas HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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que las captaciones de acueductos, de sistemas de riego y de sistemas de generación de energía pueden verse afectadas en su operación normal. Aguas subterráneas Los depósitos de Aguas Subterráneas se denominan Acuíferos y son abastecidos con parte del agua que lluvia que cae en zonas de recarga dentro de su hoya vertiente. El agua se infiltra a través de la superficie del suelo y luego se mueve verticalmente hasta cuando encuentra una capa impermeable que no permite el paso y obliga a la formación de un almacenamiento de agua en los espacios vacíos del suelo. El límite superior de este almacenamiento se denomina Nivel Freático. El volumen de agua que se almacena por debajo del Nivel Freático es el Agua Subterránea. Este volumen constituye la fuente principal de alimentación de manantiales, lagos y ríos en períodos de estiaje. A nivel global el volumen de Aguas Subterráneas existente es muy superior al de Aguas Superficiales, pero en muchos casos, principalmente cuando los acuíferos se encuentran a gran profundidad, su captación resulta difícil y costosa. En aquellas regiones donde las Aguas Superficiales son escasas o no existen cerca a los sitios de consumo las Aguas Subterráneas pueden resolver los problemas de suministro de agua. El estudio de los acuíferos y del movimiento de las Aguas Subterráneas se llama Hidrogeología.

1.3 EL AGUA EN LA TIERRA El agua se encuentra en la Tierra en cantidades considerables en sus tres estados físicos: líquido, sólido y gaseoso. Así también en la atmósfera, mares y océanos y los continentes. El agua pasa fácilmente de una fase a otra y de un ambiente a otro, a este comportamiento dinámico según el tiempo y espacio se le domina ciclo hidrológico o ciclo del agua. a) El Ciclo Hidrológico Se asume que por acción del sol y de la fuerza de gravedad, el ciclo hidrológico o ciclo de agua se inicia con la evaporación de las superficies libres de agua, este vapor resultante es transportado por el viento que al llegar a cierta altura se condensa para formar las nubes, éstas darán origen a las precipitaciones bajo sus diferentes formas: líquida o sólida. Parte de esta precipitación se evapora rápidamente en la atmósfera. Sin embargo, la mayor parte llega hasta la superficie de la tierra en donde ocurre la evaporación desde el suelo o desde la hoja y tallos de las plantas sobre las que ha caído (transpiración), otra se infiltra ingresando en el suelo a varios niveles en la que reaparecerán bajo la forma de manantiales o constituirá las napas de agua subterránea. Del agua precipitada y que no se ha infiltrado o evaporado, se forman los cursos de agua superficiales como riachuelos, ríos, los que van a desembocar en lagos y mares y océanos desde donde comienza nuevamente el ciclo. b) Volumen de Agua del Ciclo Hidrológico Según datos estimativos publicados por la UNESCO en 1978, el volumen total de agua que participa en el ciclo hidrológico es de 1 386 millones de kilómetros cúbicos aproximadamente, de los cuales:   

El 97,5 %, es agua salada. El 2,24 % es agua dulce está conformada por las aguas congeladas en las profundidades de la Antártida y en las aguas subterráneas profundas. 0,26 % es agua dulce accesible para el consumo y se encuentra en los lagos, embalses, suelos y de los acuíferos poco profundos

Esta mínima fracción de agua accesible son los principales componentes de los recursos hídricos en la Tierra y dependen directamente de la precipitación y por el deshielo de los glaciares de algunas zonas, y HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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completados por el rocío y el goteo de niebla en ciertos lugares, es decir es la única fuente disponible del ciclo hidrológico en régimen sostenible. c) El Agua en el Perú 2 El Perú posee una superficie de 1´285,200 km con una población de cerca de 26 millones de habitantes. Se encuentra localizado en la parte central y occidental de América del Sur. Hidrográficamente el territorio peruano se divide en tres vertientes; la vertiente del océano Pacífico con un área de 283 600 2 2 km (22%), la vertiente del Amazonas con 952 800 km (74%), y la vertiente del lago Titicaca con 48 800 2 km (4%). La vertiente del Amazonas es la más húmeda, presenta precipitaciones que fluctúan entre 1 500 mm/año y 4 000 mm/año, y su escorrentía media anual fluctúa entre 300 mm/año y 500 mm/año. La masa anual promedio de agua superficial que producen las 106 cuencas de las vertientes del territorio. La masa anual promedio de agua superficial que producen las 106 cuencas de las tres vertientes del territorio peruano es de 780 000 MMC, pero el 90 % es agua que se va al Atlántico a través del río Amazonas, y del otro 10 % sólo se aprovecha una pequeña parte, debido al régimen estacional de nuestras corrientes de agua. (Fuente SENAMHI, 1996).

1.4 CUENCA HIDROLÓGICA La cuenca hidrológica o hidrográfica, en términos generales, se considera como unidad básica de estudio y se refiere a una zona de la superficie terrestre tal que si fuera impermeable todas las gotas de lluvia que caen sobre ella serían drenadas por un sistema de corrientes hacia un mismo punto de salida (Figura 1.1). Así entonces, en términos más específicos se define como el área de la superficie terrestre por donde el agua de lluvia escurre y transita o drena a través de una red de corrientes que fluyen hacia una corriente principal y por ésta hacia un punto común de salida que puede ser un almacenamiento de agua interior, como un lago, una laguna o el embalse de una presa o pueden llegar hasta el mar en el caso de las cuencas costeras. Normalmente la corriente principal es la que define el nombre de la cuenca. El territorio de peruano está formado por múltiples cuencas. Algunas de las más importantes corresponden a los grandes ríos como Amazonas, Huallaga, Ucayali, Rimac, Santa, Ica, Piura, Tumbes, y otros de menor tamaño. Cada uno de estos importantes ríos tiene corrientes alimentadoras que se forman con las precipitaciones que caen sobre sus propios territorios de drenaje a las que se les llama cuencas secundarias o subcuencas. A su vez, cada subcuenca tiene sus propios sistemas hidrológicos que alimentan sus caudales de agua a las que se les puede llamar microcuencas o unidades de escurrimientos. Estas últimas son territorios muy pequeños por los que escurre el agua sólo durante las temporadas de lluvia y por períodos muy cortos de tiempo.

Tributarios

Parteaguas

Salida

Corriente principal

Figura 1.1 Definición esquemática y conceptual de una cuenca hidrográfica y sus componentes a) Clasificación de cuencas Con el propósito de sistematizar y entender las relaciones hidrológicas que suceden en las cuencas, éstas se han clasificado de diferentes maneras. Tomando en consideración su salida, existen fundamentalmente los siguientes tipos (Figura 1.2): - Cuenca Endorreica: cuando el punto de salida de los escurrimientos se encuentra dentro de los límites de la propia cuenca. Estas cuencas no tienen salida el mar. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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- Cuenca Exorréica: cuando el punto de salida se encuentra en los límites de la cuenca y el sistema de drenaje está asociado a otra corriente o al mar.

a) Cuenca Endorréica

b) Cuenca Exorréica

Figura 1.2. Tipos de Cuencas por la característica del drenaje de salida Las cuencas tienen como límite una frontera natural llamada “parteaguas”; ésta delimita a una línea imaginaria formada por los puntos de mayor nivel topográfico, separando así dos cuencas vecinas o colindantes. Por otra parte, en una cuenca se observa un sistema de drenaje constituido por una corriente principal y sus tributarios, que son pequeñas corrientes que desembocan en la corriente principal. La corriente principal es aquella que pasa por el punto de salida de la cuenca cuando esta última es de tipo exorréico. Asimismo, de acuerdo con sus dimensiones y al criterio de diversos autores, las cuencas se pueden clasificar como: Superficie cubierta

Clasificación

2

< 25 Km 2 25 – 250 Km 2 250 – 500 Km 2 500 – 2500 Km 2 2500 – 5000 Km 2 > 5000 Km

Microcuenca Pequeña Intermedia pequeña Intermedia grande Grande Muy grande

En ocasiones es necesario manejar una clase aún más pequeña que la de microcuenca; el concepto de “unidad de escurrimiento”, pequeñas microcuencas cuya superficie es del orden de cientos de hectáreas, suele utilizarse cuando se proponen prácticas de conservación y manejo en estudios de re-habilitación de microcuencas a nivel de experiencias pilotos o de fincas. También se puede clasificar las cuencas como: i) Región Hidrológica: Se utiliza para dividir el país en grandes regiones, definidas por su red hidrográfica y representada a escalas pequeñas. ii) Cuenca: Ésta se considera como parte integrante de una región hidrológica, cuyos escurrimientos son drenados por una red de drenaje principal. iii) Subcuenca: Se considera como parte integrante de una cuenca y sus escurrimientos drenan a través de un sistema de corrientes secundarias hacia una corriente principal. iv) Subcuenca tributaria: sistema formado por uno o varios tributarios. b) Características Morfológicas Corresponde al estudio de las características de forma, relieve, red de drenaje, etc. de las cuencas. Los parámetros morfométricos de una cuenca aportan elementos para conocer la variación en el espacio de los elementos del régimen hidrológico. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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- Área de cuenca o área de drenaje (A): es el área plana (en proyección horizontal) incluida dentro del parteaguas de la cuenca. - Forma de la cuenca: Esta característica resulta importante para estimar el tiempo de concentración, es decir el tiempo que toma al agua, desde el inicio de la lluvia, para ir desde el límite extremo de la cuenca hasta el punto de salida, lo que significa que toda la cuenca contribuye al escurrimiento en la salida. Entre los índices utilizados para definir la forma de una cuenca están: i) Índice de Gravelius o Coeficiente de Compacidad. Es la relación entre el perímetro de la cuenca y la longitud de una circunferencia de área igual al de la cuenca (Monsalve S., 1999):

Kc  P / 2  A  0.28 P / A donde: P, es le perímetro de la cuenca en Km 2 A, es el área en Km Así, una cuenca que tenga una forma cercana a un círculo tendrá un índice próximo a la unidad, mientras que en cuanto más irregular sea la cuenca, mayor será su coeficiente de compacidad. La respuesta hidrológica es más rápida en cuencas con coeficiente de compacidad cercanos a la unidad (véase la figura 1.3 para algunos ejemplos de valores de este índice).

Kc=1.6

Kc=1.3

Kc=1.2

Kc=1.1

Figura 1.3. Formas de cuenca y valores del coeficiente de compacidad ii) Factor de forma. Es la relación entre el ancho medio y la longitud axial, la cual se mide según la corriente principal desde su extremo más alejado hasta su desembocadura o punto de salida. El ancho 2 medio se obtiene al dividir el área (en km ) por la longitud axial de la cuenca.

K f  B / L  ( A / L) / L  A / L2 donde L, es la longitud axial de la cuenca, en km 2 A, es el área de la cuenca, km Mientras mayor sea el valor del índice o factor de forma, menos concentrados serán los escurrimientos en la salida de la cuenca. Algunos valores y sus cuencas representativas se observan en la Figura 1.4.

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Kc=1.8

Kf=5

Figura 1.4. Factor de forma de una cuenca - Sistema de drenaje: El sistema de drenaje de una cuenca está constituido por el río o corriente principal y sus tributarios; su importancia es capital para definir los efectos y la rapidez del drenado de los escurrimientos. Las corrientes de una cuenca pueden ser clasificadas inicialmente dependientes del tiempo en que llevan agua: Perennes; Intermitentes; Efímeras;

las que llevan agua todo el tiempo, llevan agua la mayor parte del tiempo, pero sobretodo en el período de lluvias, sólo llevan agua cuando llueve.

Las corrientes se clasifican también siguiendo un orden de importancia, lo cual refleja el grado de ramificación o bifurcación (Figura 1.5): Corrientes de primer orden; pequeños canales que no tienen tributarios Corrientes de segundo orden; cuando dos corrientes de primer orden se unen Corrientes de tercer orden; cuando dos corrientes de segundo orden se unen Corrientes de orden n+1; cuando dos corrientes de orden n se unen. Así, la corriente principal en su tramo final, antes de la salida de la cuenca tendrá el orden más alto de todo el sistema de drenaje y el número de orden que le corresponda indicará el orden de la cuenca hidrográfica. Mientras más alto sea este último, la cuenca drenará más “eficientemente” que una con orden bajo. Esta clasificación de corrientes conocida como ordenamiento de Strahler es ampliamente utilizada en muchos estudios hidrológicos y se puede entender mejor en la figura 1.5.

1 1

1 1

1

1

2

1 1

1 2 2

1

1

1

3

1 2

3 2

2

3

3 4

1

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Figura 1.5. Clasificación de corrientes según el métodod de Strahler (tomado de http://hydram.epfl.ch/e-drologie/resumes/chapitre2/resume2.html) HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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En la figura anterior, toda corriente de agua desprovista de un tributario se considera de orden 1; cuando dos de éstas confluyen en una nueva corriente, ésta última será de orden 2; cuando dos corrientes de orden diferente confluyen en una aguas abajo, ésta última tomará el orden más elevado de las dos que la preceden; finalmente y en forma general, la corriente formada por la confluencia de dos del mismo orden tendrá un orden aumentado en uno, tal y como se observa en la figura 1.5. - Densidad de drenaje, se define como el cociente entre la longitud total de las corrientes de agua y el área total de la cuenca:

Dd  L / A

donde L, es la longitud total de las corrientes de agua en Km, y 2 A, el área de la cuenca, en Km 2

Según Monsalve S. (1999), Dd usualmente toma valores entre 0.5 km/km para cuencas con drenaje 2 pobre hasta 3.5 km/km en cuencas excepcionalmente bien drenadas.

- Características del relieve de una cuenca; estas características indican el grado de alteración que ha sufrido el relieve de una cuenca y controlan en buena medida la velocidad con que se da la escorrentía superficial y afecta, por tanto, el tiempo que le lleva a la lluvia para concentrarse en las corrientes superficiales que constituyen la red de drenaje. Entre estas características se tiene: -

Curva hipsométrica de la cuenca:

Es la representación gráfica del relieve medio de la cuenca, construida llevando en el eje de las abscisas las superficies proyectadas en la cuenca, expresados en porcentaje, comprendidas entre las curvas de nivel consecutivas hasta alcanzar la superficie total, llevando al eje de las ordenadas la cota de las curvas de nivel consideradas. Pare el cálculo de la curva se debe acudir a los planos topográficos, estimando el área asociada a cada curva de nivel según se muestra como ejemplo la tabla siguiente: Cotas

Area parcial 2

Area Bajo

Area Sobre

% Area por

% Area por

la Curva

la Curva

Debajo

Encima

Inicial

Final

Media

Km

4050

4100

4075

1.668

1.668

18.409

8.31

91.69

4100.00

4200.00

4150

1.212

2.880

17.198

14.34

85.66

4200.00

4300.00

4250

1.325

4.204

15.873

20.94

79.06

4300.00

4400.00

4350

1.954

6.158

13.920

30.67

69.33

4400.00

4500.00

4450

2.035

8.193

11.884

40.81

59.19

4500.00

4600.00

4550

2.283

10.477

9.601

52.18

47.82

4600.00

4700.00

4650

2.193

12.670

7.408

63.10

36.90

4700.00

4800.00

4750

2.300

14.970

5.108

74.56

25.44

4800.00

4900.00

4850

1.561

16.530

3.547

82.33

17.67

4900.00

5000.00

4950

1.170

17.700

2.378

88.16

11.84

5000.00

5100.00

5050

0.907

18.606

1.471

92.67

7.33

5100.00

5200.00

5150

0.522

19.128

0.949

95.27

4.73

5200.00

5300.00

5250

0.296

19.424

0.653

96.75

3.25

5300.00

5400.00

5350

0.269

19.693

0.385

98.08

1.92

5400.00

5500.00

5450

0.230

19.922

0.155

99.23

0.77

5500.00

5600.00

5550

0.155

20.077

0.000

100.00

0.00

TOTAL

HIDROLOGIA ING. SANITARIA

20.077

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CURVA HIPSOMETRICA QUEBRADA DE APORTE 5600 5400

COTAS (m.s.n.m)

5200 % Area por Encima 5000

% Area por Debajo

4800 4600

4400 4200 4000 0

10

20

30

40

50 AREA (%)

60

70

80

90

100

Figura 1.6: Ejemplo de Curva Hipsométrica

Según Strahler (LLamas,1993), la importancia de esta relación reside en que es un indicador del estado de equilibrio dinámico de la cuenca. Así, cuando R h = 1, se trata de una cuenca en equilibrio morfológico. La siguiente figura (figura Nº 1.7), muestra tres curvas hipsométricas correspondientes a otras tantas cuencas que tienen potenciales evolutivos distintos.

Figura 1.7. Tipos de cuencas según su hipsometría En la figura 1.7, el caso (c) representa una cuenca con valles extensos y cumbres escarpadas y que ha sido sometida a un proceso intenso de erosión, el caso (a) es una cuenca con valles profundos y praderas amplias, geológicamente se trata de una cuenca joven; finalmente, el caso (b) es una cuenca en etapa de equilibrio, geológicamente es una cuenca madura (cuenca de montaña). En resumen; la curva a representa una fase de juventud; la b una fase de madurez; y la c una fase de vejez. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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- Elevación media de la cuenca. La hipsometría permite calcular la elevación media de la cuenca, según la ecuación siguiente: n

E

 (Cota media de la clase x Area) i 1

n

 ( Areai ) i 1

Donde: n, corresponde al número de intervalos de clase Área, es el área de la clase correspondiente. Alternativamente a la fórmula anterior se aplica el uso de la gráfica de curva hipsométrica, como si se dividiera el volumen total del relieve de la cuenca sobre su superficie proyectada, ingresando por el eje que representa el área con el valor correspondiente al 50% y leyendo el valor de cota correspondiente. - Pendiente de la Corriente Principal La velocidad del escurrimiento de las corrientes de agua depende de la pendiente de sus canales. A mayor pendiente mayor velocidad. La pendiente media de la corriente principal puede determinarse como la diferencia total de elevación del lecho del río dividida por su longitud entre los puntos que los puntos más alto y el punto de salida. Un análisis del perfil topográfico del cauce o corriente principal proporciona más información sobre el efecto de la pendiente en la velocidad del escurrimiento superficial. Dicho perfil puede ser obtenido con la diferencia de nivel entre cotas y la distancia acumulada a partir del punto de salida hasta el punto más elevado de la corriente principal. Se tiene la costumbre de representar gráficamente la variación altimétrica del fondo del cauce principal en función de la distancia a su salida. Este perfil a lo largo del cauce permite definir su pendiente media a través de la expresión:

Donde: Pmoy , es la pendiente media de la corriente principal, en m/km  Hmax , el desnivel máximo del río en m, (diferencia de altitud entre el punto más alejado de la cuenca y el punto de salida) L , es la longitud del cauce principal, en km

- Pendiente del cauce principal de la cuenca en estudio, aplicando el criterio de TAYLOR y SCHWARZ Taylor y Schwarz, recomiendan utilizar la siguiente ecuación:

   Li S Li    S 1/ 2 i 

     

2

S = pendiente media del cauce Li = Longitud del tramo i Si = Pendiente del tramo i

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- Pendiente Media de la Cuenca aplicando los criterios desarrollados por Alvord, Horton y Nash. La pendiente media constituye un elemento importante en el efecto del agua al caer a la superficie, por la velocidad que adquiere y la erosión que produce. 1. Criterio de ALVORD: Analiza la pendiente existente entre curvas de nivel, trabajando con la faja definida por las líneas medias que pasan entre las curvas de nivel, para una de ellas la pendiente es:

Si 

D , Wi

siendo

Wi 

ai li

Figura 1.9. Ejemplo del criterio de Alvord donde D: desnivel entre líneas medias, aceptado como desnivel entre curvas (equidistancia); Wi : ancho de la faja analizada; ai :área de la faja; li : longitud de la curva de nivel correspondiente a la faja. Así la pendiente media de la cuenca será el promedio pesado de la pendiente de cada faja en relación con su área:

S

Donde: L D A S

D * ln an D * l1 a1 D * l 2 a 2 *  *  ......  * an A a2 A an A S

D l1  l 2  .....  ln  A

S

D*L A

: longitud total de las curvas de nivel dentro de la cuenca (en Km.) : desnivel constante entre curvas de nivel; (en Km.) 2 : área de la cuenca, en Km . : pendiente media de la cuenca.

2. Criterio de HORTON Consiste en trazar una malla de cuadrados sobre la proyección planimétrica de la cuenca orientándola según la dirección de la corriente principal. Si se trata de una cuenca pequeña, la malla llevará al menos cuatro (4) cuadros por lado, pero si se trata de una superficie mayor, deberá aumentarse el número de cuadros por lado, ya que la precisión del cálculo depende de ello. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Una vez construida la malla, en un esquema similar al que se muestra en la figura (1.10), se miden las longitudes de las líneas de la malla dentro de la cuenca y se cuentan las intersecciones y tangencias de cada línea con las curvas de nivel.

Figura 1.10: Ejemplo del criterio de Horton La pendiente de la cuenca en cada dirección de la malla se calcula así:

S  S x .S y

SX 

Nx * D LX

Sy 

Ny * D Ly

siendo: Lx = Longitud total de líneas de la malla en sentido x, dentro de la cuenca; Ly = longitud total de líneas de la malla en sentido y, dentro de la cuenca; Nx = número total de intersecciones y tangencias de líneas de la malla con curvas de nivel, en el sentido x; Ny = número total de intersecciones y tangencias de líneas de la malla con curvas de nivel, en el sentido y; 3. Criterio de NASH: Actuando en forma similar al criterio de Horton, se traza una cuadrícula en el sentido del cauce principal, que debe cumplir la condición de tener aproximadamente 100 intersecciones ubicadas dentro de la cuenca. En cada una de ellas se mide la distancia mínima (d) entre curvas de nivel, el cual se define como el segmento de recta de menor longitud posible que pasando por el punto de intersección corta a las curvas de nivel más cercanas en forma aproximadamente perpendicular. La pendiente en ese punto es:

D(m)*103 S d (km)

Figura 11: Ejemplo del criterio de Alvord Figura 11: Ejemplo del criterio de Nash Donde: D= desnivel entre curvas de nivel (cte); d= distancia mínima de un punto entre curvas de nivel. Cuando una intersección ocurre en un punto entre dos curvas de nivel del mismo valor, la pendiente se considera nula y esos son los puntos que no se toman en cuenta para el cálculo de la media. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Delimitación de Cuenca

Figura Nº 1.13: Ejemplo de delimitación de una cuenca

Trazar los parteaguas hasta los puntos de salida A y B

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1.5 ANÁLISIS DE CONSISTENCIA DE LA INFORMACIÓN HIDROMETEOROLOGICA La no-homogeneidad e inconsistencia en series hidrológicas representa uno de los aspectos más importantes en los estudios hidrológicos contemporáneos, ya que, cuando no se identifica, elimina ni se ajustan a las condiciones futuras la inconsistencia y no-homogeneidad en la muestra histórica se puede introducir un error significativo en todos los análisis futuros que se realicen, obteniéndose resultados altamente sesgados. Inconsistencia es sinónimo de error sistemático y se presenta como saltos y tendencias y, la no homogeneidad es definida como los cambios de los datos vírgenes con el tiempo. Por ejemplo, la no homogeneidad en los datos de precipitación son creados por tres fuentes principales: (1) el movimiento de las estaciones en una distancia horizontal, (2) el movimiento vertical, (3) cambios en el medio ambiente de una estación de control como tala árboles, construcción de casas, inundaciones, entre otros. Esta inconsistencia y no-homogeneidad se pone de manifiesto con la presencia de saltos y/o tendencias en las series hidrológicas afectando las características estadísticas de dichas series, tales como la media, desviación estándar y correlación serial. El análisis de consistencia de la información es el proceso que consiste en la identificación o detección, descripción y remoción de la no-homogeneidad e inconsistencia de una serie de tiempo hidrológica.

1.5.1 ANÁLISIS DE SALTOS Los saltos se presentan en la media, desviación estándar y otros parámetros, pero generalmente desde un punto de vista práctico el análisis más importante es en los dos primeros. En la figura N° 01, se presenta la forma típica de un salto que puede ser originado por el movimiento de la estación o derivación aguas arriba de una estación de control, en general representa un salto si se modifica de forma brusca las condiciones normales aguas arriba de la estación de control (caudales) o alrededor de la estación de medición (precipitación).

Xt Salto ´x1, S1(x) `x2, S2(x) n1 n2 X información hidrometeorológica

Tiempo

Figura 01 Procedimiento de análisis Debido a la complejidad del análisis para detectar los cambios en datos hidrometeorológicos se presenta un procedimiento simplificado de fácil ejecución para todos los estudios que se empleen.



Identificación de saltos a) Información de campo Consiste en analizar la información obtenida en el campo referida a las condiciones de operación y mantenimiento de las estaciones hidrometeorológicas, cambio de operación, traslado de las estaciones, regulación de los ríos, derivaciones construidas, estado de explotación de la cuenca como información básica; lo que permitirá formular una primera idea de los posibles cambios que están afectando a la información disponible y también, conocer el tiempo durante el cual ha ocurrido dichos cambios; en otras palabras permite detectar las causas que justifiquen físicamente la presencia de saltos en los datos.

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b) Análisis de los hidrogramas Consiste en analizar visualmente la distribución temporal de toda la información hidrometeorológica disponible, combinado con los criterios obtenidos del campo para detectar la regularidad o irregularidad de los mismos; para lo cual la información hidrometeorológica se grafica en coordenadas cartesianas representando en el eje de las ordenadas el valor de la información (precipitación, descargas, etc.) y en el eje de las abscisas el tiempo cronológico respectivo (anuales, mensuales, semanales, diarios), el grafico resultante es denominado hidrograma. De la apreciación visual de este gráfico se deduce si la información es aceptable o dudosa, considerándose como información dudosa o de poco valor para el estudio, aquéllas que muestran en forma evidente valores constantes en periodos en los cuales físicamente no es posible debido a la característica aleatoria de los datos y, cuando no hay compatibilidad con la información obtenida en el campo. Puede aplicarse el siguiente criterio para identificar los posibles periodos que presentan información dudosa:  Cuando se tiene estaciones vecinas, se comparan los gráficos de las series históricas y se observa que período varía notoriamente con respecto del otro.  Cuando se tiene una sola estación, se divide en varios periodos y se compara con la información de campo obtenida.  Cuando se tiene datos de precipitación y escorrentía, se compara los diagramas los cuales deben ser similares en su comportamiento. La interpretación de estas comparaciones se efectúa conjuntamente con el análisis de doble masa. c) Análisis de doble masa Los posibles errores se pueden detectar por el equilibrio o quiebres que presenta la recta de doble masa, considerándose un registro de datos con menos errores sistemáticos en la medida que presente un menor número de puntos de quiebre. Un quiebre de la recta de doble masa o un cambio de pendiente puede o no ser significativo, ya que si dicho cambio está dentro de los límites de confianza de la variable para un nivel de probabilidad dado, entonces el salto no es significativo, el mismo que se comprobará mediante un análisis estadístico. Análisis de doble masa de series múltiples Una forma de realizar el análisis de doble masa en series múltiples consiste en:  En la figura Nº 02, el diagrama de doble masa se obtiene ploteando en el eje de las abscisas A 5 quiebres Acumulado de los acumulados. Por ejemplo, de los cada estación promedios de los volúmenes anuales en hidrometeoro3 quiebres 3 B lógica millones de m (MMC) de todas las 2 quiebres estaciones de la cuenca y, en el eje de las C ordenadas los acumulados de los volúmenes 3 Est. Base anuales, en millones de m de cada una de Acumulado de los promedios de las estaciones en estudio. los datos hidrometeorológicos  De estas dobles masas se selecciona como la estación más confiable la de mayor Figura 02 regularidad, es decir la de menor número de quiebres, en la figura corresponde a la estación C, la cual se usa como estación base para el nuevo diagrama de doble masa colocando en le eje de las abscisas la estación base y en el eje de las ordenadas la estación en estudio, como se muestra en la figura.  El análisis de doble masa, propiamente dicho, consiste en conocer mediante los quiebres que se presentan en los diagramas las causas de los fenómenos naturales o si estos han sido ocasionados por errores sistemáticos artificiales; en este último caso permite determinar el rango del periodo HIDROLOGIA ING. SANITARIA

Acumulado de la estación en estudio

n1 n2 n3 Acumulado de la estación C Figura Nº 03 17

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dudoso y confiable para cada estación en el estudio, el cual se deberá corregir utilizando ciertos criterios estadísticos. Para el caso de la figura Nº 03; el análisis de doble masa, permite obtener los periodos n1, n2, n3, que deben estudiarse con el análisis estadístico. Una vez identificada el o los periodos con información dudosa, se procede a evaluar y cuantificar el salto, tratándolos a cada uno de los registros simples independientes y de tiempo de cambio conocido.  Evaluación y cuantificación La evaluación y cuantificación de los errores detectados en la forma de saltos se realiza mediante un análisis estadístico, tanto en la media como en la y desviación estándar. CONSISTENCIA EN LA MEDIA Mediante la prueba de significancia "T" se analiza si los valores promedios son estadísticamente iguales o diferentes, de la siguiente manera:  Cálculo de la media y desviación estándar para cada período según las ecuaciones:

1 n1 X1   X i n1 i 1 X2 

1 n2

;

n2

Xj

;

j 1

S1 ( x)  S 2 ( x) 

 X 1 n1

1 n1

i 1

 X 1

1 n2

i

 X1

n2

j 1

j



2

 X2



2

Donde: X 1 , X2

: Media del periodo 1 y 2, respectivamente.

Xi , Xj S1(x), S2(x) n1, n2 n

: Información de análisis en el periodo 1 y 2, respectivamente. : Desviación estándar del periodo 1 y 2, respectivamente. : Tamaño de cada periodo 1 y 2, respectivamente. : Tamaño de la muestra ( n=n1+n2)

El procedimiento para realizar la prueba “T” es la siguiente: 1. Establecer la hipótesis planteada y la alternativa posible, así como el nivel de significación Hp :  1 =  2 (igualdad estadística de las medias poblacionales) Ha :  1   2  = 0.05 2. Cálculo de la desviación estándar de la diferencia de los promedios, la desviación estándar ponderada, según:  Desviación estándar de las diferencias de promedios:

Sd  S p 

1 n1



1 n2

 Desviación estándar ponderada: 2 2 (n1  1)  S1  (n2  1)  S 2 Sp  n1  n2  2 3. Cálculo del Tc (T calculado):

Tc 

X

1



 X 2  1   2  Sd

donde  1 -  2 = 0 (por hipótesis planteada) 4. Hallar el valor de Tt (T tabulado) en las tablas: Con 95% de probabilidades  = 0.05 si tabla es de una sola cola /2 = 0.025 si tabla es de dos colas G.L. = n1 + n2 – 2 Donde: G.L. grados de libertad  : nivel de significación HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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5. Criterio de decisión:

Si

Tc  Tt (95%)  X 1  X 2 Estadísticamente las medias son iguales

Si

Tc  Tt (95%)  X 1  X 2 Estadísticamente las medias son diferentes, (existe salto)

CONSISTENCIA EN LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR El análisis de consistencia en la desviación estándar se realiza con la prueba "F" de la forma que a continuación se describe:  Cálculo de las variancias de ambos períodos:

 1  n1 S ( x)     Xi  X 1  n2  1  i 1



2 1

2





 1  n2 ; S ( x)    X j  X 2  n2  1  j 1 2 1



2

 Estadístico "F" el procedimiento para realizar esta prueba es la siguiente: 1. Se establece la hipótesis planteada y alternante, así como el nivel de significación: 2 2 Hp :  1 =  2 (variancias poblacionales) 2 2 Ha :  1   2  = 0.05 2. Cálculo de Fc (F calculado): 2

Fc 

S1 ( x )

Fc 

S ( x)

2 2 2 2 2 1

S ( x) S ( x)

,

Si

S1 ( x )  S 2 ( x )

,

Si

S 2 ( x)  S1 ( x)

2

2

2

2

3. Hallar el valor de Ft (F tabulado) en las tablas con:  = 0.05

GLN  n1  1 GLD  n  1 2  

Si S12 ( x)  S 22 ( x)

GLN  n2  1  GLD  n  1 1  

Si S 22 ( x)  S12 ( x)

Donde:



: Nivel de significación G.L.N : Grado de libertad del numerador G.L.D : Grado de libertad del denominador 4. Criterio de decisión

Si

Fc  Ft (95%)



S1 ( x)  S 2 ( x)

Las desviaciones estándar son iguales estadísticamente

Si

Fc  Ft (95%)



S1 ( x)  S 2 ( x)

Las desviaciones estándar son diferentes (existe salto)



Corrección de los datos En los casos en que los parámetros media y desviación estándar resultasen estadísticamente iguales, la información original no se corrige por ser consistente al 95% de probabilidad, aún cuando en la doble masa se observe pequeños quiebres. Puede suceder que sólo la media o la desviación estándar resulte ser homogénea, en este caso y como norma general se debe corregir siempre.  Procedimiento: Si resulta la media y desviación estándar estadísticamente diferentes, entonces se corrige mediante una ecuación que permite mantener los parámetros del período más confiable. Dicha ecuación se expresa como: HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Modelo para corregir el primer período:

 X  X1  X (t )   t   S 2 ( x)  X 2  S1 ( x)  Modelo para corregir el segundo período:

 X  X2 X (t )   t  S 2 ( x)

   S1 ( x)  X 1 

Donde: X'(t) Xt

: Valor corregido de la información : Valor a ser corregido

1.5.2 ANÁLISIS DE TENDENCIAS Definición Tendencias son componentes determinísticos transitorios que se definen como un cambio sistemático y continuo sobre una muestra de información hidrometeorológica en cualquier parámetro de la misma, que afecta la distribución y dependencia de las series. Por ejemplo, si hay un cambio ascendente o descendente en la temperatura, precipitación, evaporación o escorrentía, entonces se produce una tendencia. (Estas tendencias son originadas por intervención directa del hombre). Las tendencias pueden ser lineales o no lineales, por lo que cualquier función continua de tendencia no lineal puede ser representada en series potenciales. En la figuras Nº 04 se presenta las formas de las tendencias.

Procedimiento de análisis Las tendencias por lo general pueden ser aproximadas por la ecuación de regresión lineal y en algunos casos por polinomios que representan tendencias curvilíneas, esto se analizará en los dos primeros parámetros de una serie: en la media y en la desviación Xt estándar.

 Tendencia lineal ascendente

Tendencia en la media Representación La tendencia en la media Tm p puede ser expresada en forma general por el polinomio:

Tm  Am  Bmt  Cmt  Dmt  2

Tiempo Xt información hidrometeorológica

3

Para muchos casos para estimar esta tendencia es suficiente la ecuación de regresión lineal simple:

Xt

Tm  Am  Bmt

Tendencia no lineal ascendente Tiempo Xt información hidrometeorológica

Figura 04

Donde: Tm : Representa la tendencia en la media de la información hidrometeorológica corregida o sin salto (Es un proceso estocástico no estacionario) Am , Bm : Coeficientes de la ecuación de regresión que deben ser estimados a partir de los datos. t : Es el tiempo tomado como la variable independiente en el análisis de regresión para evaluar la tendencia, y su valor se determina por:

t : (p - 1)w +   : 1,2,3,....w, w puede ser 365 o 12 según la serie sea anual o mensual. P = 1, 2, …, n, con igual número de años de registros histórico de los datos

Las constantes de regresión de estas ecuaciones pueden ser estimadas por el método de mínimos cuadrados o por el método de regresión lineal múltiple en el caso de polinomio. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Para averiguar si la tendencia es significativa se analiza el coeficiente de correlación “R”, según el estadístico "T" de Student, desarrollando los siguientes pasos: 1.

Establecimiento del la prueba de hipótesis y del nivel de confianza según: Hp : ρ = 0 (es el coeficiente de correlación poblacional) Ha : ρ  0  = 0.05 Cálculo del estadístico Tc según: (T calculado)

2.

Tc 

R n2 1 R

2

Donde: Tc : Valor del estadístico T calculado n : Número total de datos R : Coeficiente de correlación 3. En las tablas se encuentra el valor "T" tabular al 95% de probabilidades o con un nivel de significancia de 5%, vale decir:  : 0.05 si tabla es de una sola cola / : 0.025 si tabla es de dos colas G.L : n-2 4. Conclusiones:

Sí

Tc  Tt (95%) R no es significativo, la tendencia no es significativa y no se corrige

Sí

Tc  Tt (95%) R si es significativo, la tendencia es significativa y se corrige

Eliminación de la tendencia en la media Si resulta el coeficiente de correlación “R” no significativo entonces la información no presenta una tendencia significativa con el 95% de probabilidades, por lo que no es necesaria su corrección; pero si R resulta significativo entonces la tendencia es significativa siendo necesaria su corrección respectiva, mediante la siguiente ecuación:

Yt  X (t )  Tm

Yt  X (t )  Am  Bm  t  Donde:

X (t )

: Es la serie corregida de saltos

Tm

: Tendencia en la media

Yt

: Serie sin tendencia en la media

t : 1,2,3,...,n, con n igual al tamaño de la muestra La serie Yt presenta las siguientes características: E[Yt] = 0 y VAR[Yt] = VAR[Xt] Para que el proceso

Xt

preserve la media constante, se devuelve el promedio de las

X t

luego

las ecuaciones anteriores toman la forma siguiente, cuyos usos se recomienda.

Yt  X (t )  Tm  Tm

Yt  X (t )   Am  Bm  t   Tm Donde

Tm

: Es el promedio de la tendencia en la media o promedio de los valores corregidos de salto

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1.6 REGISTRO, COMPLETACIÓN Y/ O EXTENSIÓN DE DATOS HIDROMETEOROLÓGICOS La completación y extensión de la información se realiza con la finalidad de aumentar el contenido de la información de los registros cortos y tener en lo posible series completas más confiables y de un período uniforme. Existen varios procedimientos para realizar la completación y extensión de los datos faltantes, desde la utilización de criterios prácticos como el relleno con el promedio hasta la aplicación de técnicas estadísticas y matemáticas. El proceso de completación se realiza en las series consistentes, vale decir, después de haber analizado la confiabilidad de los mismos.

Tipos de correlación A.- Correlación en el tiempo solamente: Autocorrelación o correlación temporal o correlación lineal sin desfase. B.- Correlación en el espacio solamente: Correlación cruzada o correlación espacial o correlación serial sin desfase. C.- Correlación en el tiempo y en el espacio: correlación espacial y temporal o correlación cruzada con desfase.

1.6.1 ECUACIÓN DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE La ecuación de R.L.S es lineal porque genera una línea y es simple porque intervienen solamente dos variables. La representación matemática es:

Yi      X i

Modelo matemático

Yi      X i   i

Modelo estocástico

Donde: Yi Xi



: Es la variable dependiente : Es la variable independiente  Son los parámetros de la ecuación de regresión

Estimación de los parámetros El método utilizado para estimar los parámetros de la ecuación de regresión es el de mínimos cuadrados, que consiste como su nombre lo indica en minimizar la suma de cuadrados del error. Los valores estimados de la regresión lineal son:

a

b

Y  b   X i

n

 Y .X  Y  X X  XX i

i

2 i

i

i



i

 Y b X

 Y  Y X  X   X  X  i

i

i

2    X i  X    r  b 2     Yi  Y   

1/ 2

b

Sx Sy

Donde: r Sx Sy HIDROLOGIA ING. SANITARIA

: Es el coeficiente de correlación entre X, Y : Es la desviación estándar de X : Es la desviación estándar de Y 22

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Prueba de hipótesis del grado de asociación Para probar el grado de asociación de las variables Y, X se hace uso del coeficiente de correlación, siguiendo los siguientes pasos. 1º

2º

Hp: ρ = 0 Ha: ρ ≠ 0 α = 0.05 (ρ es el coeficiente de correlación poblacional y su valor varia de –1 a +1) Cálculo del estadístico de la prueba 1/ 2  n  2 Tc  r

1  r 

2 1/ 2

T tabular o teórico con α y n-2 grados de libertad 3º

Criterio de decisión: Si

Tc  Tt

entonces, se acepta la hipótesis planteada, vale decir

Si

Tc  Tt

entonces, el coeficiente de correlación es significativo al 95% de probabilidad, siendo

0

factible en este caso utilizar la ecuación de regresión para los objetivos deseados.

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UNIDAD DIDACTICA Nº 2 ANALISIS Y CUANTIFICACION DE VARIABLES HIDROLOGICAS 2.1 PRECIPITACION

a) Generalidades Las precipitaciones se definen como cualquier agua que proviene de la humedad atmosférica y que cae a la superficie terrestre, principalmente en estado líquido (lluvia) y sólido (nieve o granizo). Éstas representan el elemento más importante del ciclo hidrológico, siendo su unidad de medición el milímetro (UNESCO). En este contexto, las precipitaciones son la principal entrada de agua en una cuenca. Su importancia radica en ser la forma de suministro natural de agua a los ecosistemas, condicionando la vida de los organismos y el desarrollo de las actividades humanas (agrícolas, económicas, industriales, etc.). Es por ello que es muy importante su conocimiento y estudio, tanto para su cuantificación del recurso como para la utilización en la prevención de avenidas, diseños de obras públicas, estudios de erosión, etc. - Año Hidrológico Período continuo de doce meses que comprende un ciclo hidrológico completo, partiendo del mes en que las precipitaciones y la escorrentía alcanzan sus valores mínimos. En nuestro país el año hidrológico se inicia el 1 de septiembre de un año y termina el 31 de agosto del año siguiente. - Año Húmedo Año en que la precipitación o el caudal son significativamente superiores a lo normal. - Año Seco Año de sequía durante el cual las precipitaciones o el caudal de los cursos de agua son significativamente inferiores a los habituales. b) Rol del SENAMHI El SENAMHI a través de la Oficina de Servicios al Cliente brinda información hidrometeorológica a la comunidad y en especial a las empresas privadas que lo requieran mediante el suministro de avisos, predicciones, datos e información, investigaciones; elaborados científicamente sobre el tiempo y el clima. Cuenta con una amplia variedad de productos y servicios en los campos de la meteorología, hidrología, agrometeorología y el ambiente. Desde el pronóstico del tiempo hasta la calibración de instrumental meteorológico, el SENAMHI ofrece variados productos y servicios destinados a satisfacer la demanda de los diversos sectores productivos del país. Sectores tan disímiles como el turismo y la pesquería, por ejemplo, necesitan usar la información meteorológica e hidrológica para la planificación y toma de decisiones en cada una de sus actividades. c) Mecanismo de Formación de la Precipitación La producción de precipitación requiere cuatro condiciones: i) Un mecanismo que produzca el enfriamiento del aire ii) Un mecanismo que produzca la condensación iii) Un mecanismo que favorezca el crecimiento de las gotas de nube iv) Un mecanismo que produzca una acumulación de humedad de intensidad suficiente para dar lugar a las tasas de lluvia observables.

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d) Tipos de Precipitación Los tipos de precipitación se clasifican generalmente según la forma como se produce el levantamiento y enfriamiento de las masas de aire. De este modo, las precipitaciones se pueden clasificar de la siguiente manera:

d.1 Ciclónicas: Están asociadas a las superficies de contacto entre masas de aire de diferente temperatura y humedad. Este fenómeno produce habitualmente precipitaciones importantes y prolongadas. Este tipo de precipitación puede clasificarse relacionada a frentes cálidos y frentes fríos, y no frontal.

en frontal,

Figura 2.1: Ejemplo de una precipitación ciclónica

d.2 Convectivas: se deben al calentamiento de masas de aire próximas al suelo, las cuales al ascender se enfrían hasta alcanzar la condensación, para luego precipitar. Son las típicas lluvias de verano, las cuales generalmente son de corta duración, pero de gran intensidad.

Figura 2.2: Ejemplo de una precipitación del tipo convectiva.

d.3 Orográficas: son producto de aires húmedos, generalmente provenientes de los océanos, las cuales al encontrarse con barreras montañosas se ven obligadas a ascender. Producto de este ascenso es el enfriamiento de estas masas de aire, provocando la precipitación.

Figura 2.3: Ejemplo de las precipitaciones orográficas.

Es importante señalar que, la precipitación varía en el espacio y en el tiempo. Cerca de las costas ocurren mayores precipitaciones que en el interior (secano), debido a que el océano proporciona mayor humedad atmosférica para la precipitación. Así también, las zonas montañosas, y producto del factor orográfico, presentan mayores precipitaciones que zonas dominadas por planicies. La variabilidad de las precipitaciones en el área continental de la tierra es muy variable. Ésta tiene un promedio de aproximadamente 800 mm, variando por ejemplo, entre 0,5 mm en Arica (Chile), hasta más de 11000 mm, en Hawaii, USA. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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e) Medición de las Precipitaciones Las mediciones de las precipitaciones forman el punto de partida de la mayor parte de los estudios concernientes al uso y control del agua. Estas mediciones se realizan en distintos puntos geográficos en un área determinada (por ejemplo, una cuenca hidrográfica). Estos puntos representan la medición puntual de las precipitaciones y, permiten la estimación de las precipitaciones medias para una zona geográfica. La cuantificación de las precipitaciones en un punto cualquiera se realiza mediante pluviómetros y/o pluviógrafos (Figuras 2.4 y 2.5 respectivamente). Un pluviómetro es un recipiente cilíndrico graduado, donde se mide la lámina de agua recogida. La unidad de medida es el milímetro (mm), y la lectura del agua recogida se hace habitualmente una vez al día.

Figura 2.4. Pluviómetro.

Figura 2.5. Pluviógrafo

En general, una medida al día de la precipitación puede ser suficiente, pero en muchas ocasiones se necesita un registro continuo del fenómeno. Por ejemplo, si en un día han caído 100 mm, es muy diferente si éstos se registraron en todo el día, o si han caído en una hora. El registro continuo de las precipitaciones se hace mediante pluviógrafos. Un pluviógrafo funciona como un pluviómetro con un flotador que hace subir a una plumilla que registra gráfica y continuamente el llenado del recipiente. El gráfico obtenido en la banda del pluviografo se denomina pluviograma, y refleja la precipitación acumulada en función del tiempo. Actualmente, existen modelos más modernos que registran datos electrónicamente para después ser pasados a un ordenador, o los comunican instantáneamente con una oficina central.

f) Precipitación Media sobre una Cuenca En general, las precipitaciones que caen en un sitio dado difieren de las que caen en los alrededores, aunque sea en sitios cercanos. Los aparatos antes descritos registran la lluvia puntual, es decir, la que se produce en el punto en que está instalado el aparato. Para el diseño de obras y la realización de diversos estudios e investigaciones es necesario conocer la lluvia media en una zona dada, como puede ser una cuenca. Existe una diversidad de metodologías utilizadas en hidrología para la estimación de las precipitaciones medias para una zona geográfica. Entre los más utilizados están los métodos de la media aritmética, los Polígonos de Thiessen y los mapas de isoyetas. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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f.1 Método aritmético: El método aritmético consiste simplemente en obtener un promedio aritmético de las lluvias registradas en cada estación usadas.

Pm  Pm Pi n

P

i

n

= Precipitación media del área en estudio, en el tiempo i (mm). = Precipitación de la estación i en el tiempo j (mm). = Número de estaciones.

El método aritmético es el más simple de todos, pero no toma en cuenta la distribución de las estaciones en la cuenca ni la manera en que se distribuye la lluvia en el espacio, pues le asigna el mismo peso a todas las estaciones colectoras de información; por ello es útil únicamente en zonas con topografía muy suave y condiciones atmosféricas muy uniformes, o bien para tener sólo una idea aproximada de la altura de precipitación media. f.2 Método de los Polígonos de Thiessen: El método de los Polígonos de Thiessen asigna a cada estación una superficie, la cual es obtenida representando las estaciones en un plano, las que luego se unen a través de líneas rectas. A estas rectas posteriormente se les trazan sus mediatrices hasta que se intersectan entre sí. Con los límites del área en estudio y los límites que definen las mediatrices, se obtiene la superficie de influencia asignada para cada estación. Matemáticamente esto queda expresado como: n

S Pm j 

i 1 j 1

i

n

S i 1

Pmj Si Pij

* Pij

i

= Precipitación media del área en estudio, en el tiempo j (mm). 2 = Superficie de la influencia de la estación i (Km ). = Precipitación de la estación i, en el tiempo j (mm).

El método de los Polígonos de Thiessen, toma en cuenta la distribución de las estaciones en el área de la cuenca, pero no los factores topográficos y de otro tipo que afectan a la distribución de la lluvia.

f.3 Método de las Isoyetas: El método de las isoyetas es el más preciso de todos, si éstas se trazan de manera que tomen en cuenta los efectos topográficos en la distribución de la lluvia. Por otro lado, es el método más laborioso de los tres, pues cada lluvia puede tener un plano de isoyetas diferente. El mapa de isoyetas corresponde a líneas que unen puntos de igual precipitación, las que se llaman isoyetas, semejantes a las curvas de nivel de una carta topográfica.

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Ejercicio 2.1: PRECIPITACIÓN MEDIA SOBRE UNA CUENCA - Media Aritmética Calcular la precipitación media (PARIT ) sobre la cuenca como la media aritmética de las precipitaciones acumuladas registradas en los 4 pluviógrafos del plano de la página siguiente: COORDENADA X (m) Y (m) 2534700 6303000 2540000 3604300 2539600 6300500 2543600 6302600

PLUVIOGRAFO 101 102 103 104

Pj (mm) 60 65 75 60

j

_

P

ARIT



P i 1

n

j



60  65  75  60  65 mm 4

- Método de las Isoyetas Calcular la precipitación media (PISOY ) sobre la cuenca bajo estudio, por el Método de las Isoyetas. En el siguiente plano se presenta el límite de la cuenca, los 4 pluviógrafos y las correspondientes isoyetas trazadas de acuerdo a la precipitación registrada en cada pluviógrafo.

Figura 2.7: Ejemplo de Trazo de Isoyetas El trazado de las isoyetas se realiza de acuerdo a las técnicas de trazado de cualquier tipo de isolíneas (isobaras, isotermas, curvas de nivel, etc.) ya sea manualmente o con la ayuda de softwars especializados (Surfer, AutoCAD Land. etc.). Para la aplicación del método, que pondera la precipitación en función de la distribución espacial de las isoyetas, es necesario calcular las áreas de superposición entre éstas y la cuenca. Se admite que en cada área definida precipita una lluvia uniforme igual a la media de las dos isoyetas que la limitan. En el plano se indica una de estas áreas (Ai,i+1) y en el siguiente cuadro se presentan el total de las mismas: HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Isoyeta P i (mm) i+1 (mm) 60 61 61 62 62 63 63 64 64 65 65 66 66 67 67 68 68 69 69 70 70 71 71 72 72 73 73 74 74 75

Ai,i+1 (ha) 1.2 132 214.3 237.1 321.9 388.8 356.2 321.8 298.9 255.3 196.7 145.3 113.5 77.2 44

La precipitación media se calcula de la siguiente manera:

P

A

 P  Pi 1  * i  2    Ai,i 1

i ,i 1

_ ISOY



A

i ,i 1

* Pi  Pi 1 

2* A

donde: A : área total de la cuenca El valor es: _

P

ISOY



1.2 * (60  61)mm  132.0 * (61  62)mm  ...  44.0 * (74  75)mm  67mm 2 * 3104.2

- Método de los Polígonos de Thiessen El método de los Polígonos de Thiessen se utiliza para calcular la precipitación media sobre una cuenca, en forma ponderada respecto del área y la forma de cada polígono. El trazado de los mismos responde a condiciones geométricas de la distribución de los pluviógrafos, siendo único para cada distribución. Los pasos a seguir para el trazado son los siguientes: - Generación de la red de triángulos irregulares (TIN en ingles) correspondientes a todos los pluviógrafos existentes en el área de estudio, tomando los pluviógrafos en grupos de a tres. Se deben tomar, en forma sucesiva, los tres pluviógrafos mas cercanos entre si, tratando que los triángulos sean lo mas equiláteros posibles y que dentro de una circunferencia descrita por estos tres pluviógrafos, no existe otro. - Trazado las líneas mediatrices de cada triángulo trazado. Las mediatrices son las líneas que cortan a cada lado en forma perpendicular y por su punto medio. Las mediatrices de un triángulo se cortan todas en un solo punto, llamado circuncentro. - Todos los polígonos trazados deben ser convexos, o sea, todos los ángulos interiores son menores de 180°. Se asume que en todos los puntos de cada polígono se produce una precipitación media igual a la del pluviógrafo correspondiente. Al igual que en el método anterior se deben delimitar las áreas de superposición entre los polígonos y la cuenca.

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PLUV. 101 102 103 104

Ar (ha) 709.7 965.8 1169.6 259.1

(%) 22.9 31.1 37.7 8.3

Figura 2.8: Trazo de polígono de Thiessen La precipitación media se calcula de la siguiente manera: _

P

THIE



 Ai * Pi   Ai * Pi  Ai * Pi  A A  A  Ai

% i

* Pi

donde: A área total de la cuenca El valor es: _

P

THIE

 (0.229 * 60  0.311* 65  0.377 * 75  0.083 * 60)mm  67.2mm

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2.2 ANALISIS DE TORMENTAS

a) Concepto de Tormenta La tormenta, es un conjunto de lluvias que obedecen a una misma perturbación meteorológica y de características bien definidas. Una tormenta puede durar desde unos pocos minutos hasta varias horas y aún días, y puede abarcar extensiones de terrenos muy variables, desde pequeñas zonas hasta vastas regiones. El análisis de las tormentas, está muy relacionado con los cálculos, al diseño de obras de ingeniería hidráulica. En efecto, las dimensiones de estas obras dependen principalmente de la magnitud que las tormentas tengan y de la frecuencia con que ellas se presenten en el lugar para el que se está diseñando la obra. El análisis de tormentas es necesario principalmente en los estudios de drenaje, descarga máxima que debe pasar por el aliviadero de una represa, en la determinación de la luz de un puente, tamaño de las alcantarillas, tamaño de las cunetas y otros. b) Elementos Fundamentales del Análisis de las Tormentas i) La Intensidad: es la cantidad de agua caída por unidad de tiempo. Lo que interesa particularmente de cada tormenta, es la intensidad máxima que se haya presentado. La intensidad máxima, es la altura máxima de agua caída por unidad de tiempo. Matemáticamente se expresa por:

imáx 

P t

Donde: imáx : intensidad máxima, en mm/hora P : precipitación en altura de agua, en mm t : tiempo en horas ii) La duración: corresponde al tiempo que transcurre entre el comienzo y el fin de la tormenta. Período de duración: es un determinado período de tiempo tomado en minutos u horas, dentro del total que dura la tormenta. Tiene mucha importancia en la determinación de las intensidades máximas. Ambos parámetros se obtienen de un pluviograma. iii) La frecuencia: es el número de veces que se repite una tormenta de características de intensidad y duración definidas en un período de tiempo mas o menos largo, tomado generalmente en años. Iv) Período de Retorno: es el intervalo de tiempo promedio, dentro del cual un evento de magnitud x, puede ser igualado o excedido, por lo menos una vez en promedio. Representa el inverso de la frecuencia, es decir:

T

1 f

c) Histograma y Curva Masa de Precipitación La intensidad de precipitación, varía en cada instante durante el curso de una misma tormenta de acuerdo a las características de esta. i) Histograma: es un gráfico de forma escalonada que representa la variación de la intensidad expresada en mm/hora, de la tormenta en el transcurso de la misma expresado en minutos u horas.

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100 90

Intensidad (mm/h)

80 70 60 50 40 30 20 10 0 5

10

15 20

25 30

35 40

45 50

55 60

65 70

75 80

85 90

Tiem po (m in)

Figura 2.9 En la figura 2.9, se observa que la intensidad máxima de la tormenta, es de 96 mm/h, y se presentó a los 60 minutos de iniciado la tormenta.

i

dp dt

donde: i : intensidad P : precipitación t : tiempo ii) Diagrama de Masa o Curva Masa: Es la representación de la precipitación acumulada versus el tiempo. La curva masa, es una curva no decreciente, la pendiente de la tangente en cualquier punto, representa la intensidad instantánea en ese tiempo. t

P   idt 0

dp La anterior ecuación se deduce de la relación i  . dt 65 60 55 50

Pp acumulada (mm)

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

Tiempo (min)

Figura 2.10: Diagrama de Masa HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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d) Análisis de una Tormenta Registrada por un Pluviograma PASOS: Paso 1: Contar con el registro de un pluviograma 9h

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

10 mm 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Figura 2.11: Pluviograma Paso 2: Tabular la información obtenida del pluviograma, tal como se muestra en la tabla 1.

Hora 1

Intervalo de tiempo (min) 2

Tiempo acumul. (min) 3

Lluvia parcial (mm) 4

Lluvia acum. (mm) 5

Intensidad (mm/hr) 6

11:00 60

60

0.5

0.5

0.5

50

110

8.5

9.0

10.2

70

180

10.0

19.0

8.6

40

220

4.5

23.5

6.8

100

320

0.0

23.5

0.0

105

425

5.9

29.4

3.4

75

500

3.0

32.4

2.4

90

590

0.8

33.2

0.5

40

630

1.2

34.4

1.8

30

660

2.4

36.8

4.8

12:00 12:50 14:00 14:40 16:20 18:05 19:20 20:50 21:30 22:00

(1) Hora: corresponde a la hora (indicada en el pluviógrafo en abscisas) en que la precipitación cambia de intensidad y se reconoce por el cambio en la pendiente de la línea que marca la precipitación, es decir que la línea es más o menos inclinada de acuerdo a un aumento o disminución de la intensidad. (2) Intervalo de tiempo o tiempo parcial: es el tiempo que ha transcurrido entre estos cambios de intensidad, se expresa en minutos. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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(3)Tiempo acumulado: es la suma sucesiva de los tiempos parciales de la columna (2). (4) Lluvia parcial: corresponde a la precipitación caída, en mm, durante cada intervalo de tiempo. (5) Lluvia acumulada: es la suma de las lluvias parciales de la columna (4) (6) Intensidad: es la altura de precipitación referida a una hora de duración correspondiente a cada uno de los intervalos de tiempo. El calculo de la intensidad es mediante la regla de tres simple:

Intensidad 

Columna(4)*60 Columna(2)

Paso 3: Dibujar el hietograma, ploteando las columnas (3) versus (6) Paso 4: Dibujar la curva masa de precipitaciones, ploteando las columnas (3) y (5) Paso 5: Calcular la intensidad máxima para diferentes períodos de duración: 5, 10, 30, 60, 120, 240 minutos. Intensidad para D = 5, 10 y 30 minutos: De la tabla 1 y el hietograma correspondiente, observamos que la intensidad máxima es de 10.2 mm/h y que esta intensidad duró 50 minutos. Por tanto, la intensidad máxima para 5, 10 ó 30 minutos es 10.2 mm/h. Intensidad para D = 60 minutos: Para calcular la intensidad máxima correspondiente a 60 minutos, hacemos el siguiente razonamiento: - Durante 50 minutos, la intensidad máxima es de 10.2 mm/h. - Para 60 minutos nos falta 10 minutos; entonces, hay que buscar, antes o después del período anterior de 50 minutos, la intensidad máxima inmediata inferior a 10.2 mm/h, vemos que en este caso es 8.6 mm/h; entonces podemos establecer las siguientes relaciones: 50/60 corresponden a una intensidad máxima de 10.2 mm/h 10/60 corresponden a una intensidad máxima de 8.6 mm/h Luego, para los 60 minutos la intensidad máxima será:

50 10 *10.2  * 8.6  9.9mm/ h 60 60 Intensidad para D = 120 minutos: - Durante 50 minutos la intensidad máxima fue de 10.2 mm/h - Para 120 minutos nos faltan 70 minutos - Observamos que durante los 70 minutos siguientes, se tiene la intensidad máxima inmediata inferior, es decir 8.6 mm/h Luego:

50 70 *10.2  *8.6  9.3mm / h 120 120

Intensidad para D = 240 minutos:

50 70 40 30 50 *10.2  * 8.6  * 6.8  * 4.8  * 3.4  7.1 40 240 240 240 240 Tabulando los resultados, tenemos: Período de Duración (min) Intensidad (mm/h) HIDROLOGIA ING. SANITARIA

5 10.2

10 10.2 34

30 10.2

60 9.9

120 9.3

240 7.1

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e) Análisis de Frecuencia de las Tormentas Para determinar la frecuencia con que una determinada tormenta se va a repetir en el tiempo, se procede a analizar todas las tormentas caídas y registradas en una localidad siguiendo los pasos indicados. Los resultados, se tabulan en orden cronológico como se puede apreciar en la tabla 2, donde se indica las intensidades y períodos de duración. Tabla Nº 2 INTENSIDAD MAXIMA DE PRECIPITACION EN mm/h DE LAS TORMENTAS

REGISTRADAS EN EL OBSERVATORIO SAN JUAN 1969 - 1999 Intervalo de duración (min)

Intervalo de duración (min)

10

10

30

60

120

30

60

Intervalo de duración (min)

120

10

30

60

120

102

82

53

36

58

22

14

8

11

56

31

20

83

56

32

19

69

31

17

10

58

23

12

7

96

40

26

18

82

30

16

10

83

40

22

13

112

59

36

22

95

40

28

16

95

29

21

13

53

24

18

10

73

35

19

11

66

30

17

9

76

32

21

15

60

28

16

9

103

46

27

15

84

53

29

16

85

36

19

10

88

35

19

11

92

50

32

21

76

40

21

12

74

31

18

10

104

43

28

17

63

30

17

9

105

43

25

14

98

42

26

15

55

20

12

7

63

28

16

9

108

53

29

16

59

26

15

8

75

30

17

10

83

40

25

15

105

49

31

18

89

40

22

13

97

42

30

20

84

31

17

10

95

39

21

12

101

50

27

18

92

36

21

13

73

31

18

10

95

36

21

12

56

25

13

8

59

21

12

7

98

42

26

18

95

37

21

14

78

40

23

15

76

82

19

12

86

40

25

18

101

45

29

15

83

41

25

16

78

38

21

13

91

40

22

12

85

46

27

15

95

40

28

17

85

36

20

12

90

42

25

15

68

28

15

8

57

21

11

6

116

63

40

26

76

41

20

12

78

22

18

10

113

56

31

20

83

41

22

13

94

35

19

11

94

38

22

14

95

38

21

14

56

22

12

7

89

50

29

21

77

35

18

10

109

51

27

15

76

29

18

10

60

28

15

9

82

31

19

10

81

33

19

11

85

33

17

10

66

26

15

9

70

41

23

14

66

26

15

9

100

59

81

18

97

50

27

16

106

50

27

16

91

40

21

12

65

30

18

10

89

32

18

11

75

30

19

10

86

41

26

15

93

36

21

13

93

36

21

12

99

45

28

18

112

51

27

14

89

22

18

13

64

31

17

9

101

45

23

14

74

29

16

10

58

30

16

9

90

33

18

10

107

49

28

16

78

32

20

13

76

29

17

10

98

44

25

14

104

41

30

17

108

42

23

14

63

26

17

10

Para determinar la frecuencia, el siguiente paso es ordenar en orden decreciente, e independientemente del tiempo, los valores de las intensidades máximas correspondientes a cada uno de los períodos de duración. En la tabla Nº 3, pueden verse las intensidades máximas de 10, 30, 60, 120 y 240 minutos, con la indicación de su frecuencia que se calcula de acuerdo a la siguiente relación:

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f 

m m f  n 1 n 1

donde: m : número de orden n : número total de años de observación f : frecuencia Tabla Nº 3 RELACION ENTRE FRECUENCIA, DURACIÓN E INTENSIDAD DE PRECIPITACION N° Orden Frecuencia m

(m/n+1)

Tiempo de Duración, minutos 10

30

60

120

1

0.032

116

82

53

36

2

0.065

113

63

40

26

3

0.097

112

59

36

22

4

0.129

112

59

32

21

5

0.161

111

56

32

21

6

0.194

109

56

31

20

7

0.226

108

56

31

20

8

0.258

108

53

31

20

9

0.290

106

53

31

19

10

0.323

105

51

30

18

11

0.355

105

51

30

18

12

0.387

104

50

29

18

13

0.419

104

50

29

18

14

0.452

103

50

29

18

15

0.484

103

50

29

18

16

0.516

102

50

28

18

17

0.548

101

49

28

17

18

0.581

101

49

28

17

19

0.613

101

46

28

16

20

0.645

100

46

28

16

21

0.677

99

45

27

16

22

0.710

98

45

27

16

23

0.742

98

45

27

16

24

0.774

98

44

27

16

25

0.806

97

43

27

16

26

0.839

97

43

27

16

27

0.871

96

42

27

15

28

0.903

95

42

26

15

29

0.935

95

42

26

15

30

0.968

95

42

26

15

Para una duracion D = 10’, el primer valor o valor más alto es 116 mm/h; entonces decimos que una precipitación de esa intensidad tiene una frecuencia de 3.22%, es decir que en el transcurso de 100 años solo será igualada o superada sólo tres veces en promedio. La segunda magnitud 113 mm/h tiene una frecuencia de 6.44% lo que significa que en período de 100 años será igualada o superada sólo seis veces en promedio. Se observa que: - A mayor intervalo de duración, menor intensidad - Para cada intervalo Δt, los valores se encuentran formando una serie de la que puede determinarse la frecuencia de ocurrencia de acuerdo al tiempo total considerado.

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Curva I-D-Tr 140

Intensidad (mm/h)

120 100 Tr = 31 años

80

Tr = 15.5 años 60

Tr = 7.8 años

40 20 0 0

20

40

60

80

100

120

140

Duración (min)

f)

Fórmulas que expresan la Intensidad Máxima, en función de la Duración y del Período de Retorno

i) Fórmula de Talbot Esta fórmula relaciona la intensidad máxima y la duración, para un período de retorno dado.

imáx 

a bD

Donde: imáx : intensidad máxima, mm/h a y b : parámetros que dependen de la localidad y del período de retorno D : duración de la precipitación, en min Los parámetros a y b, se determinan a partir de datos calculados, como el de la tabla Nº 3, mediante análisis de regresión. ii) Fórmula usada en USA Esta fórmula relaciona la intensidad máxima, con la duración D y el período de retorno T.

I máx 

KT a Db

Donde: Imáx : intensidad máxima, mm/h a, b y K : parámetros D : duración de la precipitación, en min Los parámetros a, b y K se obtienen a partir de datos como el de la tabla Nº 3, aplicando una correlación potencial múltiple. g) Ajuste a distribuciones probabilísticas extremas El ajuste a distribuciones probabilísticas extremas se realiza mediante el método gráfico y métodos estadísticos. * Método Grafico Para verificar si el modelo probabilístico propuesto es adecuado para los datos observados, se pueden usar métodos gráficos, para lo cual se utiliza la función densidad de probabilidad, o la distribución acumulada. Ambos gráficos permiten visualizar el grado de ajuste de los datos con el modelo y es indicador de las zonas en las cuales el ajuste es deficiente. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

37

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El método gráfico es un indicador aproximado de ajuste y se puede utilizar en estudios preliminares. * Método Estadístico Dentro de los métodos estadísticos existen: la prueba de bondad de ajuste de Chi-Cuadrado, la prueba de Kolmogorov-Smirnov y la prueba del error mínimo cuadrático. i) Prueba estadística Chi - Cuadrado Su aplicación requiere en primer lugar agrupar los valores caudales o precipitación en intervalos de clase, para lo cual se debe calcular el número de intervalos usando la expresión dada por Yevjevich:

IC  1  1.33Ln( N ) Donde IC es el número de intervalos de clase y N el número total de datos. Luego, calcular la probabilidad esperada (Pi):

Pi 

1 IC

La frecuencia esperada es (Npi):

NPi  N (

1 ) IC

La probabilidad esperada (Pi) es:

Pi 

1 m

La frecuencia esperada es (Npi):

1 NPi  n( ) m Identificar

Xˆ (descarga ajustada) de las celdas



Xˆ



f ( x)dx  Pi

o usando el factor de frecuencia: _

Xˆ  x  K X Cálculo de la frecuencia observada (Ni). La frecuencia observada es el número de datos que está comprendido entre dos valores X. Cálculo de Chi-Cuadrado calculado:

( Ni  NPi ) 2   NPi i 1 n

2 C

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Cálculo de Chi-Cuadrado tabular ( T): Con grados de libertad v  IC  3 y α=0.05, en las tablas 2 estadísticas, se obtiene el valor de  T . 2

Criterio de Aceptación del Ajuste: Si 

 

Si 

> 

2 T 2 T

2 0.05,

2 0.05,

se afirma que el modelo probabilístico se ajusta a los datos observados se afirma que el modelo probabilístico no se ajusta a los datos observados

ii) Prueba Smirnov - Kolmogorov La Prueba Estadística de Kolmogorov - Smirnov, consiste en comparar el máximo valor absoluto de la diferencia D que hay entre la función de distribución observada F 0 (Qm) y la estimada F(Qm).

D  max F0 (Qm )  F (Qm ) Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionado (Tabla Nº 4). Si D5% 0.75 0.70 0.65 0.60 0.45 0.40 0.65 0.60 0.55 0.50 0.35 0.30 0.60 0.56 0.50 0.45 0.30 0.25 0.55 0.50 0.45 0.40 0.25 0.20 0.50 0.45 0.40 0.35 0.20 0.15

Suave >1% 0.65 0.55 0.35 0.56 0.45 0.25 0.50 0.40 0.20 0.45 0.35 0.15 0.40 0.30 0.10

Despreciable 7% de pendiente Suelos pesados, Césped Plano hasta 2% de pendiente 2% - 7% de pendiente > 7% de pendiente

Desde

Hasta

0.70 0.50

0.95 0.70

0.30 0.40 0.60 0.25 0.50

0.50 0.60 0.75 0.40 0.70

0.50 0.60 0.10 0.20 0.20 0.10

0.80 0.90 0.25 0.35 0.35 0.30

0.70 0.70 0.75

0.95 0.85 0.95

0.05 0.10 0.15

0.10 0.15 0.20

0.13 0.18 0.25

0.17 0.22 0.35

c) Método del Número de Curva Este método tiene ventaja sobre el método racional, porque se aplica a cuencas medianas como también a cuencas pequeñas. El parámetro de mayor importancia de la lluvia generadora, es la altura de esta, pasando la intensidad a un segundo plano. Su principal aplicación es la estimación de las cantidades de escorrentía tanto en el estudio de avenidas máximas, como en el caso del cálculo de aportaciones líquidas. Este método es utilizado para estimar la escorrentía total a partir de datos de precipitación y otros parámetros de las cuencas de drenaje. La ecuación principal del método, está dada por la ecuación:

Q

( P  0.2S ) 2 P  0.8S

(*)

donde: Q : escorrentía total acumulada P : precipitación S : infiltración potencial máxima La infiltración potencial máxima (S), está en función del número de curva N, mediante la siguiente ecuación:

S HIDROLOGIA ING. SANITARIA

1000  10 N 51

(**) ING. CESAR MILLA VERGARA

En la ecuación (**), “S” está expresado en pulgadas, para expresarlo en milímetros, se debe realizar la transformación de unidades: 2  N ( P  50.8)  5080 Q N N ( P  203.2)  20320

(***)

En la ecuación (***), P está dada en mm y Q en mm. El SCS presenta la tabla 3, la cual permite determinar el número de curva “N” para diferentes prácticas agrícolas, diferentes condiciones hidrológicas y grupo hidrológico de suelos. a) Condición Hidrológica La condición hidrológica se refiere a la capacidad de la superficie de la cuenca para favorecer o dificultar el escurrimiento directo que se encuentra en función de la cobertura vegetal. Cobertura Vegetal > 75% del área Entre 50% y 75% del área < 50% del área

Condición Hidrológica buena regular pobre

b) Grupo Hidrológico de suelo Define los grupos de suelos, los cuales pueden ser: GRUPO A: (Bajo potencial de escurrimiento). Suelos que tienen altas velocidades de infiltración cuando están mojadas y consisten principalmente de arenas y gravas profundas y bien graduadas. Estos suelos sostienen altas velocidades de transmisión. GRUPO B: Suelos con moderadas velocidades de infiltración cuando están mojados, consisten principalmente de suelos arenosos manos profundas que los del grupo A y con drenaje medio, conteniendo valores intermedios de texturas finas a gruesos. GRUPO C: Suelos que tienen bajas velocidades de infiltración cuando están mojados, consisten principalmente de suelos que tienen un estrato que impide el flujo del agua, son suelos con texturas fines. Estos suelos tienen bajas velocidades de transmisión. GRUPO D: (Alto potencial de escurrimiento). Suelos que tienen muy bajas velocidades de infiltración cuando están mojados y consisten principalmente de suelos arcillosos con alto potencial de hinchamiento, suelos con estratos arcillosos cerca de su superficie o bien sobre un horizonte impermeable. c) Uso de la Tierra y tratamiento El uso de la tierra es la cobertura de la cuenca e incluye toda clase de vegetación, escombros, pajonales, desmontes, así como las superficies de agua (lagos, pantanos, etc.) y superficies impermeables (carreteras, cubiertas). El tratamiento de la tierra se aplica sobre todo a los usos agrícolas de la tierra e incluye las prácticas mecánicas tales como sistemas de bordos, curvas de nivel, terraplenado y ejecución de prácticas para el control de erosión y rotación de cultivos. El uso de la tierra y las clases de tratamiento se obtienen rápidamente ya sea por observación o por medición de la densidad y magnitud de escombros y cultivos en áreas representativas. El método SCS distingue tres clases de tierras según su uso y tratamiento, estas son: - Tierras cultivadas - Tierras cubiertas de pastos o hierbas - Tierras cubiertas de bosques y arbustos

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Tabla Nº 3 Número de Curva N

Uso de la Tierra

Tratamiento o práctica Descuidado, en descanso, sin cultivos

Cultivos

Pequeños granos

Sembríos cerrados, legumbres o sembríos en rotación

Surcos rectos Surcos rectos Surcos rectos Curvas de nivel Curvas de nivel Curvas de nivel y en terrazas Curvas de nivel y en terrazas Surcos rectos Surcos rectos Curvas de nivel Curvas de nivel Curvas de nivel y en terrazas Curvas de nivel y en terrazas Surcos rectos Surcos rectos Curvas de nivel Curvas de nivel Curvas de nivel y en terrazas Curvas de nivel y en terrazas

Pastizales o similares Curvas de nivel Curvas de nivel Curvas de nivel Pradera Bosques Patios Caminos, Incluy. derech vía

Número de Curva

Cobertura

Cieno Superficie firme

Condición Hidrológica

A

B

C

D

--

77

86

91

94

pobre buena pobre buena pobre buena pobre buena pobre buena pobre buena pobre buena pobre buena pobre buena pobre regular buena pobre regular buena buena pobre regular buena ----

72 67 70 65 66 62 65 63 63 61 61 59 66 58 64 55 63 51 68 49 39 47 25 6 30 45 36 25 59 72 74

81 78 79 75 74 71 76 75 74 73 72 70 77 72 75 69 73 67 79 69 61 67 59 35 58 66 60 55 74 82 84

88 85 84 82 80 78 84 83 82 81 79 78 85 81 83 78 80 76 86 79 74 81 75 70 71 77 73 70 82 87 90

91 89 88 86 82 81 88 87 85 84 82 81 89 85 85 83 83 80 89 84 80 88 83 79 78 83 79 77 86 89 92

d) Estimación del Caudal Máximo Los pasos que se siguen para el cálculo del caudal máximo utilizando la metodología del SCS, son: Paso 1: Determinar las siguientes características geomorfológicas de la cuenca: 2 - A : área de la cuenca, en km - Tc : tiempo de concentración, en horas - N : número de curva de escorrentía mediante la tabla 3 Paso 2: Calcular las lluvias de duración 6 horas y períodos de retorno de acuerdo a las avenidas del proyecto. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Paso 3: Calcular el valor de “N” de la cuenca y luego calcular la escorrentía con la ecuación (***) 2  N ( P  50.8)  5080 Q N N ( P  203.2)  20320

Siendo: Q : escorrentía, mm P : lluvia de duración 6 horas y determinado período de retorno, mm Paso 4: Conocido el tiempo de concentración, calcular el valor del gasto unitario (q), usando la tabla 4. Tc 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 3

q 0.337 0.300 0.271 0.246 0.226 0.208 0.195 0.190 0.168

Tc 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

q 0.158 0.120 0.100 0.086 0.076 0.063 0.054 0.048 0.043

Tc 8 10 12 14 16 18 20 22 24

q 0.039 0.034 0.030 0.027 0.025 0.023 0.021 0.020 0.019

2

Tc en horas; q (m /s/mm/km ) Paso 5: Multiplicar el gasto unitario (q), la escorrentía (Q) y el área de la cuenca (A), para obtener el caudal 3 máximo (Qmáx) en m /s:

Qmáx  qxQxA

d) Hidrograma Unitario El hidrograma unitario se define como aquél proveniente de la aplicación de una unidad (1mm) de precipitación efectiva (exceso de lluvia) al área de la cuenca, ocurrida durante una tormenta de una duración particular. El hidrograma unitario de una cuenca se deriva de un hidrograma natural observado, producido por una tormenta distribuida uniformemente sobre toda el área de la cuenca. e) Hidrogramas Unitarios Sintéticos El hidrograma unitario calculado a partir de la información de lluvia y caudal de una cuenca se aplica solamente a la cuenca y al punto del cauce en donde se midieron los caudales. Los hidrogramas unitarios sintéticos se utilizan para calcular hidrogramas unitarios en otros puntos del cauce dentro de la misma cuenca, o bien, en cuencas adyacentes de carácter similar. Existen tres tipos de hidrogramas unitarios sintéticos: - Los que relacionan las características del hidrograma unitario con las características de la cuenca (Snyder, Gray) - Los basados en hidrogramas unitarios adimensionales (SCS) - Los basados en modelos de almacenamiento y tránsito de la cuenca (Clark)

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HIDROGRAMA ADIMENSIONAL DEL SCS Este hidrograma es utilizable en aquellas situaciones en que exista un fuerte desconocimiento de la cuenca. Dicho hidrograma se basa en el estudio realizado sobre un gran número de cuencas y da una forma del hidrograma unitario en función de Q/Qp y t/tp, donde tp representa el tiempo de punta y Qp el caudal de punta. La formulación empleada es la que sigue:

tp 

D  t1 2

donde tp = tiempo de punta en horas, D = duración de la lluvia en horas y t1 = tiempo de retardo.

t1  0.6t C siendo tc el tiempo de concentración de la cuenca. Además:

Qp 

2.08 A tp

3

2

donde Qp = caudal en m /s. Producido por una lluvia de 1 cm y A = área de la cuenca en km . El hidrograma al cual llega el S.C.S. toma los valores de la Tabla 1 cuya representación gráfica se muestra en la Figura 2. Tabla 1. Valores numéricos del hidrograma adimensional del S.C.S. Fuente: Hidrología. Eduardo Martínez Marín. ETSICCP: Madrid. 1994 t/tp Q/Qp

0.00 0.00

0.20 0.10

0.40 0.31

0.60 0.66

0.80 0.93

1.00 1.00

1.20 0.93

1.40 0.78

1.60 0.56

1.80 0.39

t/tp Q/Qp

2.00 0.28

2.20 0.21

2.40 0.15

2.60 0.11

2.80 0.08

3.00 0.05

3.50 0.02

4.00 0.01

4.50 0.005

5.00 0.00

Una simplificación del anterior hidrograma sintético se obtiene mediante un hidrograma triangular, que solo requiere conocer la altura del triángulo (caudal punta Qp) y la base (tiempo de base). El tiempo de base se puede tomar igual a 8/3 del tiempo de punta y el caudal punta para un aguacero de duración t a se obtiene igualando los volúmenes de escorrentía del aguacero y del hidrograma. El volumen de 2 escorrentía para un aguacero de 1 cm de lluvia neta en una cuenca de A km produce un volumen igual 3 a 10000 A m . Por otro lado, el volumen del hidrograma unitario viene dado por 0.5 * 3600 Qp tb donde 3 el caudal está en m /s y el tiempo en horas. Por tanto, Qp = 5.55 A/ tp. El resultado es similar al obtenido en la fórmula anterior de Qp = (2.08 A)/ tp.

qp  3

2.08 A Tp 2

donde qp es el caudal pico [m /s·cm], A es el área de drenaje [km ] y Tp es el tiempo al pico [hs].

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3.2 ANALISIS DE MAXIMAS AVENIDAS En proyectos de diseño de estructuras y obras destinadas al control y almacenamiento del agua surge siempre un problema hidrológico ques es la determinación del máximo caudal de diseño, dado de que de él dependen las dimensiones de vertederos de demasías, diámetro de tubería. Es por ello que reviste cuan importante es calcular los caudales máximos, pues el costo de la obra va a depender de ellos en gran parte. La hidrología proporciona una variedad de métodos basados en diversos principios, dentro de los cuales se deberá escoger el más adecuado de acuerdo a las circunstancias particulares, a la obra a diseñar y dependiendo sobre todo de la disponibilidad de datos hidrometeorológicos. a) Definiciones i) DESCARGAS La descarga o caudal, desde el punto de vista Hidrológico, es el volumen de agua por segundo que pasa por una determinada sección hidrométrica, en un instante de tiempo. Las descargas son evaluadas usando diferentes métodos de aforo, con los datos de aforo se obtienen las curvas de descargas los que a su vez son utilizados para estimar las descargas para diferentes niveles de agua que ha ocupado a través del tiempo en una determinada sección hidrométrica, estos datos al ser ploteados en coordenadas cartesianas se denominan como hidrogramas.

Un río presenta un régimen de descarga que puede expresarse de diferentes formas, pudiéndose obtener los siguientes datos representativos: máximo – maximorum, mínimo-minimorium, promedio de mínimas, promedio de máximas, descarga diaria promedio diaria, descarga mensual promedio, módulo anual, descarga mensual del año promedio, caudal especìfico.

ii) CRECIDAS Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas habitualmente observados. Estos caudales son causantes de daños a las obras y propiedades. Para prevenir estos daños es que se hace necesario una evaluación cuantitativa de las crecidas. Por eso es importante diseñar obras hidráulicas que permitan el paso de las crecientes sin sufrir daño.

En el estudio de crecidas podemos establecer que los términos caudales máximos instantáneos anuales, crecidas anuales y caudales máximos ordinarios anuales, caudal anual de avenidas son sinóminos.

iii) PERIODO DE RETORNO Y RIESGO El período de retorno T o período de ocurrencia de una inundación se define, como el tiempo medio, en años, en que esa inundación es igualada o superada por lo menos una vez. En los países en desarrollo, la fijación de “T” obedece a criterios relacionados con la vida útil de la obra, el tipo de estructura, la facilidad de reparación en caso de daños y el peligro de pérdida de vidas humanas en caso de falla.

Existe un criterio para seleccionar el período de retorno; la fijación a priori, del riesgo de falla de la estructura, dentro de la vida útil de la obra, que se puede expresar por:

T

1 1  (1  R)1 / n

donde R es el riesgo permisible, o probabilidad de ocurrencia de la máxima descarga durante los “n” años de la vida útil de la obra.

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El análisis de riesgo parte del hecho de que la estructura puede fallar si la magnitud para el período de retorno de diseño T es excedida durante la vida útil de dicha estructura. El riesgo hidrológico de falla se calcula como sigue:

R  1  1  P( X T )

n

P( X  X T )  1 / T ; n es la vida esperada de la estructura; R es la probabilidad de que un evento X  X T ocurra por lo menos una vez en n años. Donde

Valores del tiempo de retorno para proyectos de obras

Estructura

T (años)

Vertedor de grandes presas

10000

Vertedor de una presa de tierra

1000

Vertedor de una presa de concreto

500

Bocatomas

25 a 75

Pequeñas presas para abastecimiento de agua

50 a 100

Puentes en carreteras importantes

50 a 100

Puentes en carreteras comunes

25

Valores de período de retorno T asociado al riesgo R

Riesgo R 0.01 0.10 0.25 0.50 0.75 0.99

1 100 10 4 2 1.3 1.01

Vida Util de la Obra (n) en años 10 25 50 100 995 2488 4975 9950 95 238 475 950 35 87 174 348 15 37 73 145 7.7 18 37 73 2.7 5.9 11 22

200 19900 1899 695 289 144 44

b) Métodos para la determinación de la Descarga Máxima En algunas aplicaciones prácticas de la Ingeniería Hidráulica es necesario conocer el comportamiento espacial y temporal de los caudales de avenida (Diseño de vertedero de la represa), en estos casos son empleados los métodos de tránsito de avenidas. En otros casos la Ingeniería Hidráulica solo necesita conocer el comportamiento temporal de las crecidas anuales, es decir es necesario conocer valores de las descargas máximas instantáneas anuales, con los datos de crecidas anuales se determinan el caudal de avenida extraordinaria, también llamado como caudal de diseño. El caudal de diseño puede ser estimado empleando diversos métodos que se detallan. 1. Métodos estadísticos 2. Métodos hidrometeorológicos 3. Otros métodos: Fórmulas empíricas, regionalización La metodología a ser usada dependerá, en gran parte de la disponibilidad de información y de la experiencia del proyectista en el manejo de la información.

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i) METODOS ESTADISTICOS Para proyectar una obra hidráulica cualquiera es necesario el conocimiento de la magnitud y frecuencia de los caudales, que esa obra deberá conducir, contener, almacenar, etc. El proyecto envuelve dimensionamiento y localización de presas, puentes, diques, canales, etc. El máximo caudal que cualquiera de estas estructuras puede soportar con seguridad es denominada CAUDAL DEL PROYECTO. El ingeniero es consciente de que está proyectando una obra que puede ser dañada o más aún destruida, por descargas ocasionales de magnitud variable; la frecuencia con que esos daños ocurren deber ser considerada en la definición del tamaño y resistencia de la obra, su localización y hasta su reconstrucción, si fuera el caso. El problema en el fondo, es económico a traves de costo anual de mantenimiento en una estructura dada, comparada con otras soluciones alternativas. El subdimensionamiento o sobredimensionamiento de una obra implica costos excesivos a lo largo del tiempo; por ejemplo una obra para una descarga de 5 años de período de retorno, puede ser pequeño, más el costo de reconstruirlo cada 5 años, en promedio resulta extremadamente costoso, y un puente en el mismo lugar construido para dejar pasar una descarga de 100 años de período de retorno, sería extremadamente cara. Los métodos estadísticos se apoyan en los registros históricos de series de datos de caudales en el lugar de interés, los cuales son sometidos a un análisis de frecuencias usando técnicas tradicionales de estudio. Esto implica que la curva de frecuencia definida para un determinado lugar es válida rigurosamente para ese lugar; cuando generalmente la información que se requiere es en un lugar diferente, donde no existen datos medidos; la regionalización de datos permite combinar informaciones de diversos lugares en la cuenca o región. a) SERIES ANUALES La información hidrológica disponible, en una estación hidrométrica, es una secuenca cronológica de caudales medios diarios. De estos caudales serán seleccionados los máximos anuales (una para cada año hidrológico), generando una serie anual.

b) CURVA DE FRECUENCIAS La curva de frecuencias consiste en arreglar la serie en orden decreciente y atribuir a cada valor el número de orden “m” (m varía desde 1 hasta n), siendo “n” el tamaño de la muestra, esto es, el número de años en el caso de series naturales.

Fórmula de Weibull:

P

m n 1

T

n 1 m

Donde P es la probabilidad de una determinada descarga a ser igualada o superada cuando el valor de “n” es suficientemente grande. Se plotean pares de puntos P ó T versus Q en papel con escalas apropiadas. c) DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS MAS USADAS PARA EL ANALISIS DE MÁXIMAS AVENIDAS i) Modelo Probabilístico de Gumbel Este modelo probabilístico es de la distribución de valores extremos, de tipo doblemente exponencial, cuya expresión matemática es:

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W

P( X  x )  e P( X  x) 

e

(1)

1  1  P( X  x) T

(2)

w  (x   ) Donde: P: T: X: X: w: , :

(3)

probabilidad período de retorno variable aleatoria valor de la variable aleatoria variable reducida parámetro de la distribución de valores extremos Tipo I o doblemente exponencial

Los parámetros  (coeficiente de dispersión),  (moda), se pueden estimar empleando el método de estimación de momentos resultando: _

  x 0.45005 x 

(4)

1.28255

(5)

x

La ecuación (1) expresa una probabilidad de que el suceso no ocurra. En este caso el período de retorno (T) se calcula, mediante la siguiente expresión:

T

1 1  P( X  x)

(6)

En la práctica se tienen muestras de tamaño limitado, en estos casos las ecuaciones (3) y (4) no pueden ser estrictamente aplicables. Gumbel aplicando el análisis de mínimos cuadrados a la ecuación (3), propone usar: _

  x



x _ xn n

(7)

n x

(8)

Donde: x : media x : desviación estándar n : desviación estándar de la variable reducida xn : promedio aritmético de la variable reducida n, y xn se obtienen de la tabla recomendada por Machado De la ecuación (3), se obtiene: ^

X 

w





(9)

Donde:

Xˆ : valor ajustado a la distribución Gumbel HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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Reemplazando las ecuaciones (7) y (8) en (3) se obtiene: _

Xˆ  x 

_ x (w  x n ) n

(10)

El valor de la variable reducida w, se obtiene de la ecuación (1), asumiendo un tiempo de retorno, o una probabiidad P (Xx). ii) Modelo Probabilístico Log Normal de 2 parámetros Si X es una variable aleatoria, con funciones de densidad de probabilidad asimétricas, y se define como _

Y = Ln X, presenta una distribución normal con media variable X tiene una distribución logarítmica – normal.

Y y variancia y2, entonces se afirma que la

La función de densidad de Y es:

g ( y) 

1

( y   y ) 2 / 2

e

2 y x

2 y

(11)

  y   La función de densidad de X está dado por:

f ( x)  g ( LnX )

dy dx

(12)

 dy   dx  = 1/X; x>0  

Como y = LnX

(13)

Luego se tiene:

f ( x) 

1 2 y x

e

1 / 2 ( Lnx  y ) 2

(14)

g(y):

x>0 2 es la función de densidad de la distribución normal para y con media u y y variancia y

f(x):

es la función de densidad de distribución logarítimica – normal para x con parámetros uy, y _

Los parámetros uy,  y son estimados por 2

Y y Sy2, mediante la transformación:

Y1 = Ln xi

(15)

Las probabilidades asociadas a los distintos valores, se pueden calcular con la ecuación planteada por Chow:

Xˆ  x  K x

(16)

Donde: HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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__

X

x

: promedio de datos observados : desviación estándar de datos observados

Xˆ corresponde a P(Xx), siendo: P( X  x )  

x



f ( x) d ( x)

(17)

El factor de frecuencia K de la distribución logarítmico – normal definida por Chow (6) es:

K

e

( y z 2y / 2 ) 1 2

(e y

1)

(18)

) 0.5

Donde: __

y y

Z

(19)

y

El valor de Z depende de P(Xx), cuyo valor se obtiene de la tabla de distribución normal estándar.

iii) Modelo Probabilístico Gamma de 3 parámetros o Pearson tipo III La solución de la ecuación diferencial:

dy (a  x) y  dx b0  b1 x  b2 x 2

(20)

dan las llamadas curvas de Pearson. La forma de la curva depende de la discriminante. 2

b

2

b  4b0 b2  4b0 b2 ( 1  1) 4b0 b2

(21)

Si llamamos: 2

K

b1 4b0 b2

(22)

La forma que adopta la curva depende del valor de K. En hidrología la que tiene mayor importancia es la distribución Pearson Tipo III, donde K - , cuya solución es:

x y  y 0 e  x (1  ) a a

(23)

La función de distribución de la distribución Pearson III está definida:

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X0  x  

  X0  

0 

0 

Haciendo cambio de variable, se tiene:

y  (X  X 0 ) / 

(24)

Reemplazando (24) en (23), obtiene:

f ( y) 

y  1 e  y ( )

(25)

Fy  P( y  y 0 )  

Y

0

y  1 e  y dy ( )

(26)

Los parámetros estimados por el método de momentos son:

E ( x)    X 0   (media)

(27)

E ( x   ) 2   2   2  (variancia)

(28)

g

2

(sesgo)



(29)

La ecuación (26) se resuelve usando tablas de distribución acumulada Gamma, para lo cual se considera  = 1. Donde es necesario calcular los siguientes valores:

G.L  2

X2 

2x



(30)

 2x

(31)

Donde: G.L. : grados de libertad Por tanto:

Xˆ  y  X 0

(32)

iv) Modelo Probabilístico Gamma de dos parámetros Es una distribución que juega un papel importante en Hidrología, su aplicación es tan común, como el uso de la distribución log – normal.

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Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución gamma de parámetros si su función de densidad de probabilidad es: 

f (X ) 

x

x

 1e 

  ( )

(33)

Para:

0 x 0  0  Siendo:   parámetro de forma (+)

  parámetro de escala (+)    función gamma completa, definida como: 

    x  1e  x dx que converge si   0

(34)

0

Donde: Z0 : parámetro de posición Β : parámetro de escala  : parámetro de forma Para la distribución Gamma de dos parámetros, se obtienen: _

X  E ( x)  

(media)

(35)

S 2   2

(variancia)

(36)

CS  g 

2



(sesgo)

1/ 2

(37)

De las ecuaciones (51) y (52), se tiene: _ 2

 

X S2



S2

(38)

De las ecuaciones (35) y (38), se tiene: _

X La función de distribución acumulada es:

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F ( z)  

x

0

x

 1



x



e dx  ( )

(39)



Para resolver esta ecuación, es necesario el desarrollo de la serie:

e y n G( y)   ( ) i 1

y  i 1

(40)

k

 (  j  1) j 1

iv) Modelo Probabilístico Log Normal de 3 Parámetros La función densidad de la distribución log-normal de tres parámetros es:   ln( x  x   2  1 0 0  fx  exp  ( x  x0 ) n 2   2 n2 donde: fx x0 n n

(41)

: es la función de densidad : parámetro de posición – límite inferior : parámetro de forma – desviación típica de ln(x-x0) : parámetro de escala – media de ln(x-x0)

La función de distribución log-normal de 3 parámetros tiene gran utilidad en series hidrológicas con un límite inferior finito. Los parámetros estimados por máxima verisimilitud son: - Media: 

X  X0  e donde: X x0 y y

-

Y 

 Y2 2

(42)

: media : parámetro de posición – límite inferior : parámetro de escala de la distribución log normal de 3 parámetros : parámetro de forma de la distribución log normal de 3 parámetros

Varianza:

 X2  (e Y  1) * e(2Y  Y ) 2

2

(43)

De ecuación (43), se obtiene:

y 

 1    X2  2  Ln   y 2   e y2  1    

(44)

De ecuación (42), se obtiene el parámetro de posición:  y2  y 

X0  X  e

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2

(45) 64

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  1  1  4(2  Gx)  2 

 2y  Ln

   

(46)

Para un conjunto de valores, como es en el presente caso (serie de caudales máximos diarios), con parámetros media, varianza; los parámetros de posición, de escala y de forma, obtenidos por el método de momentos, se calculan con las ecuaciones (45), (44) y (46) respectivamente. v) Modelo Probabilístico Log - Gumbel La función de distribución acumulada de la distribución Gumbel, tiene la forma:

F ( x)  e Para:

e



( x )



(47)

  x  

Donde:

0     , es el parámetro de escala       , es el parámetro de posición, llamado también valor central o moda.

La función acumulada reducida log-Gumbel es:

G( y)  EXP ( EXP ( y))  e e

y

(48)

Para el cálculo de los parámetros de la serie de datos, se convierte a sus logaritmos, luego se calcula la media y desviación estándar, con las siguientes ecuaciones: _

Media:

X Lnx 

Desviación estándar:

 Lnx

(49)

N

S ln x 

_     ln x  X ln x  N 1

2

(50)

Estimación de parámetros: Aplicando el método de momentos, se obtienen los valores de los parámetros α y μ de la distribución logGumbel, los cuales son:



6



S ln x  0.78S ln x

_

(51)

_

  X ln x  0.57721  X ln x  0.45S ln x

(52)

ii) Método de Fuller

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Es un método de extrapolación de datos históricos basado no en una distribución de frecuencia, pero sí en una regla de probabilidad, que establece la siguiente relación entre

Q _

y el período de retorno T:

Q Q _

 a  b log T

Q donde: Q es el caudal diario más probable con período de retorno T; a y b son coeficientes determinados a partir de los datos históricos. Cuando no existen series de datos observados, se propone los valores de a = 1.0 y b = 0.8, obtenidos para un gran número de ríos, y el caudal medio puede encontrarse a través de : _

Q  0.796 A 0.8 siendo A el área de la cuenca. De esta forma, el caudal máximo diario Q para un período de retorno T en una cuenca de área A, se obtiene:

Q  0.796 A0.8 (1  0.8 log T ) iii) Factores de Frecuencia en el Análisis de Máximas Avenidas El factor de frecuencia es un valor característico de la ley de distribución Log – Normal, que tiene gran significación en el análisis de eventos extremos y es conocido matemáticamente como la variable reducida. Es un término usado por Ven Te Chow en combinación con la fórmula general para el análisis de frecuencias hidrológicas: _

Q  Q KS Q donde K es el factor de frecuencia, que depende de la ley de ocurrencia del evento hidrológico y es teóricamente idéntico al factor de asimetría de la curva logarítmica.

iv) Métodos Hidrometeorológicos Estos métodos usan, la precipitación registrada en la cuenca, a la cual puede ser atribuido un período de retorno, más no a las descargas generadas. Se apoyan en relaciones físicas y no estadísticas entre las variables hidrometerológicas y los parámetros del sistema. a) Método Racional b) Método del Hidrograma

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3.4 ALMACENAMIENTO Y TRANSITO DE AVENIDAS a) Volúmenes y Niveles de Agua a ser considerados en el Diseño de una Presa Los principales componentes de un vaso de almacenamiento se muestran en la figura Nº 1. i) NAMINO (Nivel de Aguas Mínimas de Operación) Como su nombre mismo indica, es el nivel más bajo con el que puede operar la presa. Cuando la presa es para irrigación y para otros usos, el NAMINO, que es también llamado Nivel de Aguas Mínimas (NAMin) coincide con el nivel al que se encuentra la entrada de la obra de toma. En cambio, en el caso de presas para generación de energía eléctrica (Central Hidroeléctricas), el NAMINO es fijado de acuerdo con la carga mínima necesaria para que las turbinas operen en buenas condiciones. ii) VOLUMEN MUERTO El volumen muerto es el que queda abajo del NAMINO. Es un volumen del que no se puede disponer. iii) NAMO (Nivel de Aguas Máximas Ordinarias o de Operación) El Nivel de Aguas Máximas Ordinarias o de Operación, es el máximo nivel con que puede operar la presa para satisfacer las demandas. iv) NAME (Nivel de Aguas Máximas Extraordinarias) El NAME es el nivel más alto que debe alcanzar el agua en el vaso bajo cualquier condición. El volumen que queda entre este nivel y el NAMO, llamado superalmacenamiento sirve para controlar las avenidas que se presentan cuando el nivel en el vaso está cercano al NAMO. v) VOLUMEN UTIL Llamado también capacidad útil, es el volumen que se almacena entre el NAMO y el NAMINO; es el volumen con el que se satisfacen las demandas de agua. vi) VOLUMEN DE SUPERALMACENAMIENTO Es la diferencia entre el NAMO y el NAME, sirve para controlar las avenidas que se presentan cuando el nivel en el vaso está cercano al NAMO. vii) BORDO LIBRE Es el espacio que queda entre el NAME y la máxima elevación de la presa (corona), está destinado a contener el oleaje y la marea producida por el viento, así como compensar las reducciones en la altura de la cortina provocadas por sus asentamientos.

NAME NAMO

Hp

NAMIN

b) Levantamiento Topográfico del Vaso El levantamiento topográfico del vaso es un aspecto importante en el diseño de una presa, a partir de este plano se podrá determinar la capacidad y las áreas de embalse a diferentes elevaciones, para estimar las pérdidas por evaporación y aporte por precipitación. Además el plano topográfico del vaso es una herramienta básica, para los estudios hidrológicos, geológicos, geotécnicos.

c) Curva Altura – Área – Volumen La curva Altura – Volumen, nos da un volumen del vaso para una altura determinada de presa. HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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En el plano a curvas de nivel del vaso, se calcula el área encerrada por la cota h 2, considerando que el punto del lecho del cauce se encuentra en la cota más baja h1 tendrá el área del espejo de agua a 1 metro de altura; de la misma manera se calcula el área para la cota h 3 y así sucesivamente hasta llegar a la cota hn. Para calcular el volumen en cota h1 (V1) por la altura correspondiente; el volumen de la cota h 2 (V2) se calcula mediante la siguiente relación:

Vm  Vh1  Donde: Vh1 Ah1 Ah2 ∆h

 Ah1  Ah2  2

* h

: Volumen en la cota h1 : Área encerrada por la curva de nivel de cota h 1 : Área encerrada por la curva de nivel de cota h 2 : Diferencia entre las cotas de h1 y h2

d) Volumen de Almacenamiento y Nivel de Almacenamiento Máximo de Operación (NAMO) La determinación del almacenamiento útil necesario, se realiza con la finalidad de verificar el volumen de agua a almacenar, y de esta manera garantizar la demanda de agua para riego. Para realizar la simulación de operación de embalse, se tienen como datos: La disponibilidad de agua que aporta la cuenca que se ubica aguas arriba de la presa, la evaporación media mensual, la precipitación media mensual y la demanda de agua para riego. e) Nivel de Almacenamiento Máximo Extraordinario (NAME) – Tránsito de Avenidas en Embalses En una presa de tierra o enrocado, se deberá tener en cuenta que el agua nunca debe verter por su cresta por lo que se dimensionará el aliviadero con la suficiente capacidad para dejar escapar el agua excedente o de avenidas que cabe en el espacio destinado para el almacenamiento. Para determinar el tamaño del aliviadero, se realiza un estudio de variación de niveles utilizando el hidrograma de avenidas máximas en función del hidrograma sintético y de las curvas de volúmenes – alturas del vaso. El análisis de variación de niveles nos da el tamaño de aliviadero y la correspondiente altura de presa. En el tránsito de avenidas en embalses se usa, la ecuación de continuidad:

I Q 

dS dt

Donde: I : caudal de entrada al embalse Q : caudal de salida del embalse

dS dt

: variación del volumen almacenado en el tiempo

Se puede representar en diferencias finitas:

I i  I i 1 Qi  Qi 1 S i 1  S i   2 2 t

(*)

Donde los subíndices i e i+1 denotan valores al inicio y al final del intervalo de tránsito t , respectivamente. Los valores de Ii e Ii+1 se conocen debido a que corresponden al hidrograma de entrada. Los valores de Qi y Si se conocen en el intervalo de tiempo i-ésimo a partir de los cálculos durante el intervalo de tiempo previo. Por consiguiente la ecuación (*) contiene dos incógnitas, Q i+1 y Si+1, las cuales pueden aislarse multiplicando (*) por 2 / t , y reordenando se tiene:

 2S i 1   2S   Qi 1   I i  I i 1    i  Qi    t   t 

(**)

Con la finalidad de calcular el caudal de salida, Qi+1, a partir de la ecuación (**) se necesita una función de almacenamiento-caudal de salida que relacione 2S / t  Q y Q. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida. La relación HIDROLOGIA ING. SANITARIA

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entre la elevación de la superficie de agua y el almacenamiento en el embalse se determina a partir de la curva altura-área-volumen (de la topografía del vaso). La relación elevación-caudal se deduce de las ecuaciones hidráulicas que relacionan altura del nivel de agua sobre el vertedero y caudal de salida de vertederos, que se calcula de acuerdo al tipo de vertedero. El valor de t se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de caudal de entrada. Para un valor dado de la elevación de la superficie de agua, se determinan los valores de almacenamiento S y del caudal de salida Q, luego de calcula el valor de 2S / t  Q . Durante el tránsito de flujo a través del intervalo de tiempo i, todos los términos de la parte derecha de la ecuación (**) se conocen, luego el valor de 2S i 1 / t  Qi 1 puede calcularse. El valor correspondiente

Qi 1 puede determinarse a partir de la función de almacenamiento-caudal de salida 2S / t  Q versus Q, por interpolación lineal de unos valores dados en forma tabular o mediante una

de

ecuación. Con el fin de organizar la información requerida para el siguiente intervalo de tiempo, el valor de 2S i 1 / t  Qi 1 se calcula utilizando:

 2S i 1   2S   Qi 1    i 1  Qi 1   2Qi 1   t   t 

(***)

Este cálculo se repite para los subsiguientes períodos de tránsito.

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