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• Aceleración
• Ecuaciones
• Fluido

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hidráulica . de las. conducciones. libres. Dr. Ing. Alcides J. F. León Méndez

La Habana, Junio de 2000

Han colaborado en el esta primera edición los siguientes especialistas:

En el capítulo 8, MSc. Ing. Yoel Martínez González MSc. Ing. Lester Trujillo González

En la primera versión mecanográfica trabajaron: Grisell Jordán Galvez Lilian Arce Cabrera

En la revisión, Lic. Isabel Cristina Oliver Cruz

iii

A mi esposa, mis hijos y mis nietos

A mis alumnos de ayer, de hoy y de mañana

INDICE TEMÁTICO. 1. Introducción a las conducciones libres. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4 1.5

Clasificación de las conducciones libres. Definiciones generales. Primer criterio de clasificación del flujo: tiempo-espacio. Las ecuaciones de la física clásica en la hidráulica La ecuación de energía aplicada a un fluido en régimen permanente: Euler y Bernoulli. 1.6 La ecuación de cantidad de movimientos aplicada a un fluido en régimen permanente. 1.7 Ecuaciones para el régimen impermanente. 1.7.1 Conservación de masas: ecuación de continuidad 1.7.2 Ecuación dinámica 1.8 Segundo criterio de clasificación: fuerzas dominantes. 1.9 Invariante en el estudio de las conducciones libres. 1.10 Comunicación: subcrítico y supercrítico. 1.11 Flujos estratificados. 1.12 Modelación matemática y física de los problemas en canales.

2. El principio de energía y sus aplicaciones. 2.1 Ecuación de energía 2.1.1 El valor de α 2.1.2 Campo de aplicaciones 2.2 Energía específica 2.3 Un análisis de la ecuación E=f(y): subcrítico, crítico y supercrítico. 2.3.1 Energía específica mínima 2.3.2 Características de las ramas de la ecuación E-y 2.3.3 Ecuación y gráfica Q-y: curvas ISO E 2.4 La profundidad crítica: su calculo. 2.4.1 Casos en que la solución es directa 2.4.2 Casos en que la solución no es directa 2.4.3 Caso especial de las secciones cerradas 2.5 Régimen Crítico en secciones compuestas 2.5.1 El algoritmo de Blalock y Sturm para el punto de E mínima 2.5.2 Propuestas de Konemann y Shearmann para el punto de E mínima. 2.5.3 El punto de vista de Sturm y Sadiq. 2.5.4 Una ampliación del análisis sobre la ocurrencia del régimen crítico 2.5.5 La propuesta del River Analisis System del Hidrologic Engineering Center. 2.6 Exponente hidráulico para régimen crítico. 2.6 Análisis del perfil de flujo en régimen permanente: primera aproximación 2.8 Accesibilidad y control. 2.9 La ecuación de energía específica en forma adimensional.

3. El principio de momentum 3.1 3.2 3.3 3.4

Energía y momentum Ecuación general del momentum Algunas aplicaciones del principio de conservación del momentum Ecuaciones de trabajo

1 1 3 13 14 16 19 19 20 22 26 33 34 35 36

42 42 43 49 50 54 55 59 59 61 62 64 85 87 90 94 95 99 114 115 117 126 134

138 138 139 141 144

v

3.5 El momentum específico 3.6 La ecuación de momentum en secciones no prismáticas 3.7 El salto hidráulico 3.7.1 Clasificación del salto hidráulico 3.7.2 Las profundidades al comienzo y al final: conjugadas 3.7.3 Ubicación de las secciones inicial y final 3.7.4 Longitud del salto hidráulico 3.7.5 Altura del salto hidráulico 3.7.6 Pérdidas de energía 3.8 Salto hidráulico en interfases de diferentes densidades

4. El régimen uniforme 4.1 Desarrollo del régimen uniforme 4.2 La capa límite 4.2.1 Fronteras lisas y rugosas 4.2.2 Distribución de v 4.3 Ecuaciones del régimen uniforme 4.3.1 Ecuación de Chezy 4.3.2 Ecuación de Manning 4.4 Estimación de los coeficientes de resistencia 4.4.1 Un primer análisis 4.4.2 Métodos prácticos para la estimación de n 4.4.3 Secciones con rugosidad compuesta

5. Cálculos asociados al régimen uniforme 5.1 Factor de sección y módulo de gasto. 5.1.1 Exponente hidráulico del régimen uniforme. 5.2 Cálculo del gasto y la profundidad normal de circulación en canales con geometría simple. 5.2.1 Cálculo de la profundidad normal. 5.2.1.1 Un análisis de las secciones cerradas. 5.2.2 Calculo de gasto. 5.3 Gasto y profundidad normal en secciones compuestas 5.3.1 Calculo de la profundidad normal 5.3.2 Calculo del gasto para régimen uniforme. 5.4 Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente límite. 5.4.1 Pendiente normal 5.4.2 Pendiente crítica 5.4.3 Pendiente límite 5.5 Aplicaciones del régimen uniforme.

6. Diseño de la sección transversal. 6.1 Una aproximación al diseño de un canal 6.2 Introducción al diseño de la sección transversal 6.2.1 La pendiente del fondo (S0) 6.2.2 Geometría de la sección 6.2.3 Taludes de los lados 6.2.4 Bordo Libre 6.2.5 Pérdidas de agua 6.2.6 La velocidad mínima permisible 6.3 Erosión en la sección transversal 6.3.1 La velocidad crítica 6.3.2 La velocidad máxima permisible

145 149 150 156 157 169 181 186 186 189

194 194 197 199 201 207 208 211 213 214 219 237

242 242 243 246 247 263 269 270 292 292 294 294 294 295 300

304 304 309 312 312 313 315 317 327 330 333 336

6.4 Fuerza cortante o de arrastre: relaciones básicas. 6.5 Estrategia de cálculo: restricciones principales 6.6 Diseño de secciones no revestidas 6.6.1 Diseño de la sección de un canal erosionable que conduce agua limpia o con finos sedimentos 6.6.1.1 Método de la velocidad máxima permisible 6.6.1.2 Método de la fuerza tractiva 6.6.1.3 Sección hidráulicamente más estable 6.6.2 Diseño de canales aluviales 6.6.2.1 Variante con la ecuación de Kennedy 6.6.2.2 Variante con la ecuación de Lacey 6.6.2.3 Variante con la ecuación de Blench 6.6.2.4 Variante con la ecuación de Simmons y Albertson 6.7 Cálculo de secciones revestidas 6.7.1 El criterio del mínimo perímetro 6.7.2 Criterio de diseño con calculo de costo 6.7.3 La sección de mínimo costo. 6.8 Canales con vegetación 6.8.1 Información del USSCS 6.8.2 El método de Temple 6.8.3 Un diseño de Green y Garton 6.8.4 Las soluciones aportadas por Reza Mahboub y Suzuki 6.9 Canales de sección compuesta con vegetación.

7. El Régimen Permanente y Variado. 7.1 Formulación matemática del RPGV. 7.1.1 Ecuación diferencial. 7.1.2 Ecuación elemental. 7.2 Características y clasificación de los perfiles de flujo del RPGV. 7.2.1 Rasgos básicos de las curvas superficiales. 7.3 Análisis del perfil de flujo. 7.3.1 Canales prismáticos con pendiente constante. 7.3.2 Canales prismáticos con cambio de pendiente. 7.3.3 Canales prismáticos con varios cambios de pendiente. 7.3.4 Canales prismáticos con cambio de régimen. 7.3.5 Canales no prismáticos. 7.4 Cálculo del perfil de flujo en canales prismáticos. 7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales. 7.4.1.1 Ecuación elemental. 7.4.1.2 Integración directa 7.4.1.3 Solución de Valle Cuellar 7.5 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos. 7.5.1 Estimación de parámetros. 7.5.2 Algoritmo de cálculo del perfil de flujo. 7.5.3 Consideraciones para el cálculo. 7.6 Flujo Espacialmente Variado. 7.6.1 Gasto creciente. 7.6.2 Gasto decreciente. 7.7 Problemas Especiales. 7.7.1 Entrega de un canal. 7.7.2 Condiciones de entrada y salida. 7.7.3 Flujo dividido: bifurcación de cauces 7.7.4 Flujo dividido: confluencia de cauces 7.7.5 Régimen mixto en la confluencia y bifurcación de cauces

354 372 375 376 376 379 381 385 386 389 391 392 394 396 404 407 410 412 418 425 427 428

440 441 441 444 445 448 452 454 454 456 463 468 470 470 473 475 483 484 484 493 500 504 504 511 513 514 520 521 531 534

vii

8. El Régimen Impermanente 8.1 El régimen impermanente: clasificación y generalidades. 8.1.1 Objetivo del cálculo del RI 8.1.2 Las ecuaciones de Saint Venant 8.2 Simplificaciones de la ecuación de la onda dinámica. 8.2.1 La onda de difusión u onda difusiva 8.2.2 La onda cinemática 8.2.3 El flujo uniformemente progresivo 8.2.3.1 Desarrollo 8.2.3.2 Aplicaciones. 8.3 Introducción al R. I. R. V. 8.3.1 Ecuación de la velocidad absoluta de la ola. 8.3.2 Problemas específicos 8.4 Propagación de ondas. 8.5 Generalidades acerca de los métodos de solución de las ecuaciones de Saint Venant para RIGV 8.5.1 Condiciones de frontera e iniciales. 8.5.2 Calibración y verificación. 8.5.3 Inestabilidad 8.6 Método de los Incrementos Finitos. 8.7 Método de las Características. 8.7.1 Aplicación del método de las características a las ecuaciones de Saint Venant. 8.7.2 Método de Stoker. 8.7.3 Caso de la ola simple. 8.7.4 Solución mediante un método explícito de las características. 8.7.5 El problema de la ruptura de una presa mediante el análisis del método de las características. 8.7.6 El tránsito de avenidas analizado por las características. 8.8 Método de diferencias finitas. 8.8.1 Soluciones para la onda cinemática. 8.8.1.1 Solución para canales anchos. 8.8.1.2 Solución para canales con cualquier relación b/y 8.8.2 Un esquema explícito para la onda dinámica. 8.8.2.1 La variante de Viessman 8.8.3 Esquema implícito de cuatro puntos para cualquier geometría 8.8.4 Esquema de cuatro puntos pesado. 8.9 Método de elementos finitos. 8.9.1 Procedimiento general. 8.9.2 Variante de Szymkiewicz. 8.9.3 Análisis de precisión y estabilidad. 8.9.4 Solución de un problema con el MDF y el MEF. 8.10 Análisis para secciones compuestas. 8.10.1 Relación profundidad-caudal. 8.10.2 Generalización del esquema implícito de cuatro puntos.

Anexo 1. Tablas para el calculo de n. Bibliografía.

538 540 542 542 544 544 548 553 554 556 560 561 563 565 569 572 574 582 583 586 592 594 596 604 608 613 616 619 620 627 634 637 639 649 655 655 657 660 663 665 666 670 674 678

Prologo del autor a la Primera Edición. A partir de los años noventa el Centro de Investigaciones Hidráulicas del Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría” comienza una segunda etapa de la Maestría en Ingeniería Hidráulica y surge la necesidad de tener un texto adecuado y actualizado para la asignatura Hidráulica de Canales. Tomando como bases fundamentales el “Open Channel Hydraulics” de Ven te Chow, clásico incuestionable de la materia, el “Open Channel Flow” de Henderson, el “Hidráulica de Canales” de Julian Aguirre Pe, el “Flow throughout Open Channels” de K. G. Ranga Raju, el “Open-channel Hydraulic” de Richard French, el “Erosión Hídrica” de Nora Pouey, el texto existente para los cursos regulares de Ingeniería Hidráulica en nuestro país, el “Hidráulica de Canales” de Alcides León y Armando Estopiñan y las publicaciones de la IAHR y de la ASCE, se escribe la presente obra, tratando en la misma de profundizar en los aspectos matemáticos de la solución de los problemas, recopilando y sintetizando la bibliografía sobre los temas tratados y exponiendo estos de forma tal que el lector pueda apreciar con claridad, las diferentes versiones de soluciones que sobre un mismo problema existen, sin poder ni querer agotarlas todas, pero tratando, eso sí, de presentar las clásicas, las más novedosas y los puntos de vista propios sobre las cuestiones tratadas. Los tres primeros capítulos abarcan las fórmulas y conceptos básicos para este tipo de conducción y los dos últimos la teoría y cálculo del régimen variado: permanente e impermanente, incluyendo como intermedios tres capítulos dedicados al régimen uniforme y su aplicación principal en el diseño de la sección transversal de una canal.

ix

En cada capítulo y dentro del marco que ha sido posible, se desarrollan las soluciones específicas para canales prismáticos y no prismáticos, haciendo énfasis en aquellas dirigidas a las conducciones naturales. Se han incluido sesenta algoritmos para generalizar las soluciones propuestas y enfocarlas desde el punto de vista computacional lo cual permite al lector profundizar en los métodos de cálculo y tener una base confiable para preparar sus propios programas de cómputo con el editor de su agrado. Algunos resultados se presentan sobre hoja de cálculo con el objetivo de establecer lo sencillo que resulta la solución del problema, dejando para próximas ediciones del texto la presentación de otras aplicaciones sobre hoja de cálculo y programas ejecutables realizados en editores especializados. A diferencia de su antecesor, el “Hidráulica de Canales” que fue dedicado a la formación del ingeniero en sus primeros estudios universitarios, en esta obra no se incluyen problemas resueltos y propuestos y si aparece el análisis de casos de estudio en aquellos temas que el autor ha considerado que su inclusión favorece la compresión cabal del problema que se aborda. El agua es muy inteligente y conoce muy bien la hidráulica, nuestro reto permanente es saber tanto como ella. Si esta obra contribuye a ese fin, si llega a complacer parcialmente a sus lectores, si ayuda a la solución de algún problema, el esfuerzo realizado para su publicación está más que recompensado.

1 INTRODUCCION A LAS CONDUCCIONES LIBRES

Las conducciones libres han sido a través de la historia de la humanidad la forma más usual para conducir el agua. El solo efecto de la gravedad hace que la masa de agua se mueva de un nivel a otro permitiendo así a las antiguas civilizaciones crear grandes sistemas de abasto, que hoy en día aún nos maravillan por la ingeniosidad de sus constructores. En Cuba, por solo citar tres casos, la Zanja Real, el Acueducto Albear y los sistemas de riego del Mayabeque, son ejemplos elocuentes del dominio del agua que se tenía desde épocas remotas. En este primer capítulo se presentan las características generales del estudio de las conducciones libres con el objetivo de adentrar al lector en algunas de las cuestiones básicas, que más adelante se aplicarán. 1.1 Clasificación de las conducciones libres.

Numerosos son los criterios de clasificación de las conducciones libres. Las dadas por León y Estopiñan (1986), son: • Según su naturaleza. - Conducción artificial: la formada por la mano del hombre y pueden ser indistintamente de sección transversal abierta o cerrada. - Conducción natural: la formada por procesos de la naturaleza. En el caso de conducciones naturales, que no han sido modificadas sustancialmente por la mano del hombre, pueden ser de sección transversal abierta (ríos, arroyos, ....) o de sección transversal cerrada (túneles 1

naturales, cavernas subterráneas, ....). Las secciones son normalmente irregulares, figura 1.1, de rugosidad variable a lo largo de su perímetro y su estudio tiene una gran importancia tanto para la hidráulica, como para la hidrología.

FIGURA 1.1 EJEMPLO DE SECCIONES TRANSVERSALES

•

•

•

•

Según su objetivo. - para riego - para drenaje - para trasvasar agua entre dos puntos - para recolectar aguas con diferentes fines - para abasto en general - para navegación Según su tamaño. - Pequeñas (si Q 1 y el régimen es supercrítico. 2.3.3

Ecuación y gráfica de Q-y : curvas ISO E.

Importante es también el comportamiento de la curva Q-y para E constante. En el ejemplo de la figura 2.6, si se traza una línea arbitraria, paralela al eje y, con un valor de E tal que corte las curvas (Q=1 → Q=10), puede notarse que, para la sección establecida en geometría y dimensiones, al incrementarse el valor de y, se incrementa el valor de Q, hasta un cierto momento en que al seguir aumentando y el gasto Q decrece. La ecuación que gobierna el fenómeno es obtenida de la expresión general de E. ________________________________________________ 66 Hidráulica de las Conducciones Libres

E− y * 2gA 2 ------------------------------------------------ 2.41 α o lo que es lo mismo, Q2 =

2g A 2 (E − y ) ----------------------------------------------- 2.42 α

y (m)

Q=

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

FIGURA 2.7

5

Q (m3/s)

10

15

CURVAS ISO E PARA DOS NIVELES DE ENERGIA

Si los resultados del ejemplo de la figura 2.6, se plotean en un plano Q-y los puntos correspondientes a E=3,0 y a E=4,0 se obtiene la gráfica que aparece en la figura 2.7. La función graficada deja claramente expuesta la existencia de dos ramas y un punto de máxima. Otra vez aplicando las herramientas del cálculo diferencial puede establecerse la ubicación del punto notable. Entonces, dQ dA d = (E − y ) + A ( (E − y ) ) , desarrollando ambos términos dy dy dy

queda, 1 dQ 1  − = T E − y + A  (E − y ) 2 * ( −1) , de donde puede obtenerse dy 2 

que, ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

67

dQ A = T E−y − dy 2 E−y

, como la condición de máximo implica

que la derivada sea cero, entonces: T E−y =

A 2 E−y

2T(E − y ) = A , y se transforma en, 2(E − y ) = D y si se despeja E D quedará: E = y + , como se llego a una expresión igual a la de la 2 v2 D energía específica entonces, = , de donde se obtiene que, 2g 2

v = gD y puede concluirse que el gasto es máximo cuando el número de Froude es igual a uno y que las ramas superior e inferior de la curva Q-y pertenecen al régimen subcrítico y supercrítico respectivamente.

De lo visto hasta el momento pueden sacarse las siguientes conclusiones para una sección transversal de geometría y dimensiones constantes: • Cuando NF=1, la energía específica es mínima para condiciones de gasto constante. • Cuando NF=1, el gasto es máximo para una energía específica constante. Estas dos gráficas, E-y y Q-y proporcionan una base de análisis para el estudio de los cambios de la profundidad de circulación en estrechamientos y escalones y sus aplicaciones llevan a obtener respuestas correctas ante los problemas de accesibilidad y control. 2.4 La profundidad crítica: su cálculo.

La profundidad que se produce cuando el número de Froude (NF) es igual a la unidad se denomina profundidad crítica (yc). La ocurrencia de la yc a lo largo de un tramo de canal es altamente improbable, ya que además de que tienen que cumplirse todos los ________________________________________________ 68 Hidráulica de las Conducciones Libres

requisitos para que exista un régimen uniforme, no puede existir el menor disturbio que haga que NF difiera de la unidad, por esta razón lo probable es encontrar la yc en una sección de canal. El valor de yC tiene una gran importancia en la solución de diversos problemas de la hidráulica de las conducciones libres. Sus dos aplicaciones más relevantes son: Como valor de referencia para establecer la frontera entre el régimen subcrítico y supercrítico. Este aspecto es de especial importancia en el análisis cualitativo y el cálculo del régimen variado. Como elemento de diseño y cálculo de obras hidrométricas, ya que al proporcionar una relación simple entre el gasto, la geometría y las dimensiones del canal, midiéndose estas últimas puede calcularse Q, de forma relativamente simple, siempre que se garantice que se produce el régimen crítico. El objetivo del cálculo se reduce a: obtener el valor de profundidad que hace que para una sección de canal definida en geometría y dimensiones y un gasto el número de Froude sea uno. Si NF=1, entonces: v = gD y aplicando continuidad queda, Q = A gD --------------------------------------------------------- 2.43 Como A y D son funciones de la profundidad, para una sección transversal de geometría y dimensiones constantes, la solución de esta ecuación puede acometerse sin mayores dificultades. Esta ecuación permite también el cálculo del gasto, en una sección donde el régimen sea crítico, siempre que sea posible la determinación de la geometría y las dimensiones de la sección transversal y la profundidad crítica. . ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

69

2.4.1 1.

Casos en que la solución es directa.

Sección rectangular. Q = A gD , que desarrollando para esta sección queda, by C , o lo que es igual, b gy C y despejando la profundidad crítica se obtiene

Q = by C g

Q = by C

la ecuación final de cálculo,  Q   yC =  b g    2.

2

3

-------------------------------------------------- 2.44

Sección triangular. Para esta sección queda, Q=

my C2 2my C

my C2

que simplificando queda, 5

Q = my C2

g , de donde se obtiene el valor de yC 2

   y C =  Q  m 0.5g  3.

2

5

------------------------------------------ 2.45

Sección parabólica. En esta sección, al sustituirse los valores de A y D en la ecuación 2.43 esta se transforma en, Q=

2 2  Ty C g y C  3 3 

que simplificando queda, 3

2 2 3 Q = g  Ty C2 3

y despejando el valor de yC ,

________________________________________________ 70 Hidráulica de las Conducciones Libres

   yC =  Q 3  g(2 / 3 ) 2 T   

2

3

-------------------------------------- 2.46

2.4.2 Casos en que la solución no es directa.

En todas las demás secciones transversales la solución no puede encontrarse de forma directa y es necesario un procedimiento matemático aproximado para lograr el resultado esperado. Como el procedimiento de cálculo es aproximado es necesario establecer una regla única para aceptar como bueno el valor que se pretende. El criterio que se seguirá en este caso es el llegar al valor de yC con un error en el cálculo del gasto menor que un porciento predeterminado de Q, o sea, que el criterio de parada de cualquiera de los métodos que se describan estará dado por, A gD yc = Q ± (eQ ) ---------------------------------------------- 2.47

[

•

]

Una solución de iteraciones utilizando el método de bipartición.

Este método de aproximaciones sucesivas para determinar las raíces de una ecuación tiene como premisas: – En el intervalo analizado la ecuación tiene una sola raíz. Esto es particularmente cierto en las secciones de geometría simple. – Para comenzar el tanteo se deben establecer dos puntos de inicio (a,b). Si se denomina F(y) = Q - A gD , entonces debe cumplirse que F(ya)*F(yb) < 0. – Por último debe cumplirse que F(y) sea contínua en el intervalo [a,b]. La secuencia de este método denominado también método de la bisección comienza con establecer los límites entre los cuales debe encontrarse la solución. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

71

Una vez escogidos, se comienza tanteando con el valor medio, o sea, con la media entre el límite máximo y el mínimo, en la ecuación seleccionada. Si este valor no da el resultado esperado, entonces se cambia uno de los dos límites, de acuerdo al resultado obtenido: si el resultado fue mayor que el esperado, el límite máximo se iguala al valor medio empleado en el tanteo y viceversa. De esta forma se tienen dos nuevos límites y se procede a un nuevo tanteo. En el caso del método de bipartición la determinación del límite máximo con verdadera exactitud ahorra con creces los tanteos intermedios, ya que en el caso del límite mínimo el valor cero es el más adecuado. El método puede aplicarse de dos formas diferentes: Una utilizando la F(y) establecida anteriormente y tantear hasta que el valor tienda a cero y consecuentemente el valor de A gD quede dentro del rango establecido por: ( Q ± error ). En este caso el signo de la función nos indicará si el tanteo se ha realizado por exceso (signo negativo) o por defecto (signo positivo). La otra forma de aplicación del método, es tantear con la ecuación A gD y de esta forma la diferencia del resultado obtenido con Q indicará cuan cerca o lejos se está de la respuesta y si se ha evaluado por exceso o defecto la ecuación. En ambos casos el criterio de parada estará dado por la ecuación 2.47. Este método tiene como principal inconveniente la lentitud del proceso de convergencia. Una propuesta de algoritmo, expresado en una secuencia de decisiones, se expone a continuación, . . ________________________________________________ 72 Hidráulica de las Conducciones Libres

Algoritmo. 1.

2. 3.

4.

Seleccionar los límites iniciales. Un valor indiscutible para el límite mínimo es cero ya que garantiza el menor de los posibles. En el caso del límite máximo debe tomarse un valor alto que sobrepase la solución, pero no tanto para que no influya mucho en el número de tanteos a realizar. Como índice puede tomarse un valor numéricamente igual (no dimensionalmente) a 1,5 veces el valor del gasto. Calcular y C = (Lim. MAX − Lim.MIN ) / 2 Si A gD = Q ± ( 0 , 01 * Q ) entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%. Si no se cumple el punto 3, entonces hay que verificar hacia donde esta el error. Si Q < A gD entonces hay que disminuir el límite máximo Lim.MAX = y C y regresar al punto 2. Si Q < A gD entonces hay que aumentar el límite mínimo Lim.MIN = y C y regresar al punto 2.

Si se refleja en un gráfico el desarrollo de los tanteos se pudiera observar algo semejante a lo que aparece en la figura 2.8.

FIGURA 2.8 ESQUEMA CON TRES APROXIMACIONES ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

73

•

Una solución de iteraciones utilizando Newton - Raphson.

Este método proporciona una mayor rapidez en la convergencia. Sus premisas son: – En el intervalo analizado la ecuación tiene una sola raíz. – Para comenzar el tanteo se debe establecer un punto de inicio. Si se denomina F(y) = A gD - Q, entonces debe cumplirse que F(y) sea continua y derivable en el intervalo donde se encuentra la solución. – F’(y) debe ser positiva o negativa en todo el intervalo. – Por último debe cumplirse que F’’(y) sea positiva o negativa en todo el intervalo. La justificación se explica por si sola en la figura 2.9. Del gráfico puede obtenerse que, tanθ =

F( y ) = F' ( y ) y de esta igualdad se obtiene la ecuación y1 − y 2

básica a emplear. FIGURA 2.9 JUSTIFICACION GRAFICA DEL METODO DE NEWTON_RAPHSON

θ

________________________________________________ 74 Hidráulica de las Conducciones Libres

De interés en esta solución es la selección del primer punto para comenzar el tanteo, ya que si la tendencia de los valores de la ecuación tanteada tiene doble concavidad y se elige un punto en una zona inapropiada no se llegará nunca a la solución. El criterio de parada para este método es el definido por la ecuación 2.47. El principal problema del método radica en la complejidad al obtener F’(y) en algunos casos. Para la solución de las ecuaciones para el cálculo de la profundidad crítica se pueden obtener las siguientes relaciones: para F(y). ------------------------- 2.48 F( y ) = A gD − Q = A D − Q g

cuando F(y ) = 0 se encuentra la solución para y. para F’(y). dA d ( D) + D −0 dy dy 1 − 1 dD AD' F' ( y ) = A * D 2 * + D *T = + T D ------- 2.49 2 dy 2 D sustituyendo F(y) y F’(y) por sus desarrollos respectivos: A D−Q g F( y 1 ) -------------------- 2.50 = y1 − y 2 = y1 − AD' F' ( y 1 ) +T D 2 D F' ( y ) = A

En el caso de las aproximaciones para el cálculo de la profundidad crítica por el método de Newton-Raphson la propuesta de algoritmo es el siguiente,

Algoritmo. 1. 2. 3.

Suponer y1 Calcular F(y1) y F’(y1) según 2.48 y 2.49 Calcular y2 según 2.50.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

75

4.

5.

•

Si A gD = Q ± ( 0 , 01 * Q ) entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%. Si el punto 4 no se cumple entonces se hace y1 = y2 y se regresa al punto 2. Una solución aplicando el método de las secantes.

Una solución muy aceptable para este tipo de ecuación es el empleo del método de las secantes. Sus premisas son: – En el intervalo analizado la ecuación tiene una sola raíz. Esto es particularmente cierto en las secciones de geometría simple. – Para comenzar el tanteo se debe establecer dos puntos de inicio (a,b). Si se denomina F(y) = Q - A gD , entonces debe cumplirse que F(y) sea contínua en el intervalo donde se encuentra la solución. – El producto F(ya)*F(yb) debe ser negativo.

FIGURA 2.10 JUSTIFICACIÓN GRÁFICA DEL MÉTODO DE LAS SECANTES.

________________________________________________ 76 Hidráulica de las Conducciones Libres

El método parte de la obtención de dos aproximaciones de F(y) para yi y yi+1, une ambos puntos con una línea recta (secante de la curva F(y)–y y donde la recta corta al eje y se determina el próximo valor para tantear, figura 2.10. El método de las secantes es una modificación del método de Newton-Raphson encaminada a eliminar la mayor desventaja de este: la necesidad de trabajar con la derivada de F(y). Esto se consigue sustituyendo la recta tangente por la secante. La rapidez de convergencia hace de este método una herramienta ideal para el cálculo de la profundidad crítica. Una variante de algoritmo es,

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Declarar i =1 Seleccionar dos valores de la profundidad: yi y yi+1 y calcular F(yi) y F(yi+1). Incrementar i =i+2 Calcular y i = y i−1 − F( y i−1 ) * ( y i−1 − y i−2 ) /[F( y i−1 − F( y i−2 )] Si 100*F(yi)/Q ≤ 0,01*Q se ha llegado a la solución. Si 100*F(yi)/Q > 0,01*Q entonces incrementar i = i+1 y regresar al paso 4.

Nótese que la condición de parada en este método es la misma que la expuesta en la ecuación 2.47.

•

Una solución gráfica por etapas.

Un método muy utilizado en épocas pasadas, es el empleo de un gráfico en el cual la solución se obtenga por pasos con el menor número de cálculos posibles. La idea básica es graficar en el plano y-Q la relación entre la profundidad y el gasto.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

77

Sea una sección transversal cualquiera con las siguientes relaciones funcionales bien definidas: A = ƒ1 (y) ; D = ƒ2 (y) , entonces el proceso representado en la figura 2.11, da la posibilidad de presentar la secuencia algorítmica siguiente,

Algoritmo. Seleccionar dos valores de la profundidad: y1 y y2 2. Calcular Q1 y Q2 según Q = A * gD 3. Graficar los puntos anteriores en un plano y-Q. 4. Interpolar o extrapolar, sobre la recta trazada uniendo los puntos 1 y 2, el valor del gasto de diseño (QD) y obtener así un nuevo valor de la profundidad (yNUEVO.) con el cual evaluar A y D. Si A gD = Q ± ( 0 , 02 * Q ) entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 2%, que es un valor aceptable para este método. 1.

FIGURA 2.11 PROCESO DE SOLUCIÓN GRAFICO

5.

Si no se cumple el punto anterior se agrega el valor de y-Q al gráfico y se traza una curva que pase por esos tres puntos.

________________________________________________ 78 Hidráulica de las Conducciones Libres

6.

Se interpola QD sobre la curva y se obtiene un nuevo valor de la profundidad (yNUEVO.) con el cual reevaluar A y D. Se repite desde el paso 5.

Si este gráfico se plotea en dos ejes de coordenadas logarítmicas, entonces el proceso de encontrar la solución es más rápido ya que los valores de log( A gD ) vs log (y) representará, aproximadamente, una línea recta al ser ploteados. De esta alternativa que presenta el método gráfico surge la siguiente proposición que se hace para calcular la profundidad crítica.

•

Una solución basada gráficos adimensionales.

Propuesto por Ven Te Chow (1959), estos gráficos para secciones trapeciales y circulares son en extremo útiles, sobre todo si se trabajan a una escala suficientemente grande como para que la medición sobre ellos sea exacta. Para otras secciones de interés se pueden preparar gráficas semejantes si su valor de uso así lo indicara. Los expuestos aquí están preparados a una escala mayor que los originales para que las soluciones que de ellos emerjan estén muy cerca de cumplir con el requisito establecido por la condición de parada o se cumpla este desde el primer intento. Dimensionalmente A*√D es L2*√L = L2.5 por tanto, si se presenta un gráfico con los ejes según: X → y/L; Y → (A*√D)/L2.5 donde L sea una longitud característica, que en el caso de las secciones trapeciales se toma como el ancho de plato (b) y en el caso de las circulares como el diámetro (d0).

A estos gráficos se entrará con el valor de ( A D ) / L2.5 o lo que es igual con el valor de (Q / g ) / L2.5 que es el valor que realmente se conoce al estar integrado por los datos del problema. En la figura 2.12 aparecen los gráficos necesarios para utilizar este método y al final la secuencia de cálculo con los mismos. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

79

0.1

( Q / g ) / b 2.5 ( Q / g ) / d 2.5

m=6 m=0

Q/Raiz(g)

0.01

circular

0.001

0.0001 0.01

y /b

0.1

FIGURA 2.12 a GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CÁLCULO DE PROFUNDIDAD CRITICA EN CANALES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

LA

________________________________________________ 80 Hidráulica de las Conducciones Libres

Q/g^ 0.5 /d2.5

10

Q/g^

0.5

/b2.5

1

0.1

0.01 0.1

y/b

1

FIGURA 2.12 b GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CÁLCULO DE PROFUNDIDAD CRITICA EN CANALES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

LA

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

81

Q/g^

0.5

/b2.5

Q/g^ 0.5 /d2.5

100

10

1 1

y/b

10

GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CÁLCULO DE FIGURA 2.12 c PROFUNDIDAD CRITICA EN CANALES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

LA

________________________________________________ 82 Hidráulica de las Conducciones Libres

La secuencia de cálculo que aparece a continuación demuestra lo simple que es la utilización de estos gráficos adimensionales.

Algoritmo. 1.

2.

3. 4. 5.

6.

•

Verificar que se este en presencia de una sección trapecial para los taludes graficados o una sección circular. Q g Calcular en caso de una sección trapecial b2.5 Q g si la sección es circular. o, d2.5 Ir al gráfico correspondiente y calcular y/b o y/d, según sea el caso y calcular el valor de y. Con el valor de y calcular A y D. Si A gD = Q ± ( 0 , 01 * Q ) entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%. Si el valor no satisface la restricción del punto 5, entonces se debe buscar el valor correcto a partir de la aproximación ya realizada utilizando uno de los métodos anteriores. Las ecuaciones semiempíricas de Straub.

Propuestas en 1982, estas ecuaciones proporcionan una vía fácil para la obtención de la profundidad crítica en algunas secciones transversales. El parámetro básico es ψ = α*Q2 / g.

 Ψ Si la sección es rectangular entonces: y c =  2  b  Si la sección es triangular entonces:

1

3

 2Ψ  yc =  2  m 

--------- 2.51

0.20

----- 2.52

Estas dos primeras ecuaciones, propuestas por Straub son innecesarias, ya que, tal como se demostró anteriormente, la ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

83

solución en estos casos es directa, por simple despeje de la ecuación fundamental de cálculo del régimen crítico. Si la sección es trapecial entonces: 0.27 Ψ b   y c = 0.81 0.75 1.25  − ----------------------------- 2.53 m *b  30m para 0.1 < Q b2.5 < 0.4 Si la sección es parabólica entonces: 0.25 y c = ( 0.84 * C * Ψ ) -------------------------------------------- 2.54 donde la parábola esta dada por y = C*x2 Si la sección es circular entonces: . 101 y c = 0.26 * Ψ 0.25 , para 0.02 ≤ y/d ≤ 0.85 ------------------- 2.55 d Si la sección es exponencial entonces: 1

 m3 * Ψ * C2m− 2  ( 2m+ 1) yc =  , y la exponencial esta dada por  4   y = C*x1/(m-1) --------------------------------------------------------- 2.56 Es importante destacar que estas soluciones no son exactas y que la comprobación del error que se comete en su utilización debe ser verificada por el calculista cada vez que las utilice. El gráfico de la figura 2.13 pone de manifiesto el movimiento de ese error para una sección trapecial específica.

•

Soluciones numéricas propuestas por Valle Cuellar.

El profesor mejicano Valle Cuellar propone, en 1994, soluciones iniciales y ecuaciones para iterar hasta lograr el valor buscado.

________________________________________________ 84 Hidráulica de las Conducciones Libres

Error %

3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Q/b^2.5

FIGURA 2.13 MOVIMIENTO DEL ERROR ENTRE LOS LIMITES ESTABLECIDOS POR STRAUB PARA SU FORMULA PARA CANALES TRAPECIALES.

a. secciones trapeciales.

0.742  Q  solución inicial: y c = 0.551    m + 185 b .  1

ecuación para iterar: y

i +1 c ,(i +1)

0.620

------------------- 2.57

(

 Q2  3 * b + 2my  g c ,i  = b + m * y c,i

1/ 3

)

-------2.58

b. secciones circulares.

Si Q ≤ 2.042595 * d 2.5 , entonces puede calcularse el valor y la 0,561 * Q 0,503 solución inicial será: y c,i = -------------------- 2.59 d0,258 y la ecuación para iterar: número de Froude =

v gD

c. secciones tipo U (rectangular y semicircular). Si Q ≥ 4,36012883 * ru2.5 entonces: 2  Π  1 Q     y c = r 1 −  +    4   g  2rU  

1/ 3

----------------------------------- 2.60

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

85

Si Q < 4,361 * ru2.5 entonces, 0,475 * Q 0,517 -------------------------- 2.61 solución inicial: y c = rU0.292 ecuación para iterar: número de Froude =

v gD

FIGURA 2.14 SECCION U Y PORTAL

d. secciones tipo Portal (semicircular y rectangular),

capacidad máxima para y/H = 0,9395257 ------------------ 2.62 0,37736438 siendo Qmax = * H8 / 3 * S1 / 2 --------------------- 2.63 n para condición de régimen crítico, Qmax . sec cionrectangular = 1,10736173 * H2,5 ------------------------ 2.64 y para evitar el ahogo de la sección se da como máximo, Qmax . sec cion = 2.555009128 * H2,5 ------------------------------ 2.65 solución inicial: y c =

0,475 * Q0,5995 ------------------------- 2.66 H0,4988

ecuación para iterar: número de Froude =

v gD

En estas propuestas debe señalarse que las ecuaciones para iterar son insuficientes para llegar a una solución ingenieril. En todos los casos se sugiere que la iteración sea verificando el gasto obtenido para cada nueva profundidad probada y calcular el ________________________________________________ 86 Hidráulica de las Conducciones Libres

error que se comete respecto al gasto de dato, hasta lograr una exactitud aceptable en el resultado. Como ejemplo de lo dicho se presenta la secuencia de cálculo de la sección trapecial y de una sección circular.

Algoritmo: para secciones trapeciales. 1. Calcular yC según 2.57. 2. Calcular A, T y D con los datos y ecuaciones de la sección

trapecial. 3. Si A gD = Q ± ( 0 , 01 * Q ) entonces se habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%. 4. Si no es satisfactoria la comprobación del paso 2, calcular la nueva yC según 2.58. Regresar al paso 2.

Algoritmo: para secciones circulares de diámetro d. 1. Comprobar si QC_MAX. ≤ QCALCULO , donde,

Q C _ MAX. = 2.042595 * d 2.5 2. Si es satisfactoria la comprobación del paso 1,

según 2.59. 3. Calcular A, T y D según, 2y θ = 2 cos −1(1 − ) d 1 A = (θ − senθ ) * d 2 8 T = 2 y(d − y )

calcular yC

gD = Q ± ( 0 , 01 * Q ) entonces se Si A habrá llegado a la solución con un error igual o menor que el 1%. 4. Si no se satisface el paso 3, se debe emplear un método iterativo con la solución inicial calculada en el paso 2. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

87

•

Soluciones aproximadas para secciones trapeciales basadas en calcular yC como función de la profundidad crítica de un canal rectangular.

Una tendencia reflejada en la literatura, desde la década de los años 50, es la de presentar soluciones basadas en una remodelación de la ecuación básica. Tómese la ecuación 2.43 y transfórmese así, 2 Q A 3c ----------------------------------------------------------- 2.67 = g Tc para una sección trapecial se cumple que, A c = b * y C + m * y C2 TC = b + 2 * m * y C sustituyendo en 2.67 las expresiones de A y T queda,

(

Q2 by C + my C2 = g b + 2my C o lo que es igual,

)

3

----------------------------------------------- 2.68 3

 my C  b y * 1 +  2 Q b   = g  2my C  b * 1 +  b   y despejando y3c, y   1 + 2m C  2 Q b  ------------------------------------------ 2.69 y 3C = 2 *  3 gb  yC   1 + m b   y como la profundidad crítica de una sección rectangular es: Q 2 1/ 3 yC_R = ( 2 ) b g entonces, ________________________________________________ 88 Hidráulica de las Conducciones Libres 3

3 C

y   1 + 2m C  b  y 3C _ T = y 3C _ R *  3 yC    1 + m b   y entonces la profundidad crítica de un canal trapecial será, 1/ 3

yC _ T

y   1 + 2m C _ T  b  = yC _ R *  y   1 + m C _ T  b  

------------------------------- 2.70

El investigador ruso I. Agroskin (1972) y el cubano Velazco Davis (1994) hacen la siguiente sustitución, y K = C _ T ------------------------------------------------------------ 2.71 yC _ R y my C _ R a= --------------------------------------------------------- 2.72 b entonces la expresión 2.70 queda de la forma siguiente, 3 1 + 2aK K= ------------------------------------------------------ 2.73 1 + aK donde K es función solo de a. Por tanto, dando valores a la variable a, se pueda obtener una serie de datos de a vs K, los cuales al someterse a un proceso de ajuste matemático se obtiene una relación funcional práctica de trabajo. En el caso de Agroskin la función de relación entre K y a es, a según Agroskin: K = 1 − + 0,105 * a2 -------------------- 2.74 3 El Dr. Velazco Davis (1994), del Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos, de Cuba, mejora las soluciones brindada por Kostin e ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

89

I. Agroskin presentando una nueva relación entre K y a. La relación propuesta es,  1  según Velazco: K =    1+ a 

0,3724

La fórmula práctica es: y c _ rectangular y c _ trapecial =  m * y c _ rectangular 1 + b 

--------------------------- 2.75

  

0,372

------------------------- 2.76

Q 23 ) b g Por su parte y haciendo una sustitución similar a la anterior, el mejicano Martínez Martínez resume los trabajos realizados por él, Swamee, P.K. y Straub proponiendo las siguientes relaciones,

donde la yC_rectangular se calcula por la fórmula y c = (

1  1  *  0,81 * y 0,0125 C _ R * a0,7975 −  --- 2.77 a  30  1 para Swamee: K = ---------------------- 2.78 0, 476   a2 0,42  1 +      2   2 para Martínez Martínez: K = ------------------ 2.79 1 + 1 + 1.4a para Straub: K =

La gráfica con los errores de las mejores soluciones, aparece en la figura 2.15. En la misma se evidencia la gran precisión de la formula propuesta por Velazco. Un análisis exhaustivo de la base de datos y las formas de correlacionar K vs a o K vs (1/(1+a)), arroja ecuaciones más complejas que la expuesta por Velazco sin que la ganancia en ________________________________________________ 90 Hidráulica de las Conducciones Libres

exactitud sea apreciable ya que la referida tiene un alto acercamiento con el valor real. Sin pretender agotar el tema del uso de la computación en el cálculo numérico en ingeniería, se presenta una tabla realizada con el EXCEL v7.0 utilizando la herramienta SOLVER.

3 2 MARTINEZ

Error %

1

VELAZCO

0 -1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

SWAMEE

-2 -3 1/1+a

FIGURA 2.15 COMPARACIÓN ENTRE FORMULAS

SOLVER CALCULO DE LA PROFUNDIDAD CRITICA PARA SECCIONES TRAPECIALES

b (m)

m

Q (m3/s)

4 4 4 4

1 1 1 1

5 10 15 20

Area (m2) 2.3415 3.8516 5.1803 6.4081

D (m)

A√gD

yc(m)

0.4649 0.6873 0.8549 0.9932

5.0005 10.001 15.002 20.002

0.518234 0.802073 1.029897 1.226164

TABLA 2.2 EJEMPLO DE CALCULO REALIZADO EN EXCEL DEL MS OFICCE.

Las tres primeras columnas se dedicaron a la información de dato, las dos siguientes a los cálculos necesarios para resolver la ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

91

ecuación básica, mientras que la sexta columna se dedica al resultado del cálculo del gasto (celda objetivo) y la séptima al valor de la yC calculada (celda cambiante). Las restricciones utilizadas para el cálculo fueron referidas a las columnas 3 y 6 con una diferencia de 0.001. La solución por esta vía de un valor de gasto que se obtiene a los dos segundos de ejecución, una vez preparada la información a procesar. Al igual que esta solución se han generado un gran número de soluciones desde el advenimiento de las computadoras. Más aún en estos últimos años, en que las facilidades que brindan las PC y los lenguajes como el Fortran, Basic, Pascal o C, en cualquiera de sus versiones, hacen de estos cálculos una simple rutina computacional. A esto debe sumársele las facilidades que han surgido en los años 90 con las calculadoras programables de bolsillo, con las que en nunca más de 50 pasos programados se obtiene la solución de estos algoritmos. 2.3.1 Caso especial de las secciones cerradas.

En las secciones cerradas cuya parte superior se cierra con una curvatura dada, aparece un problema práctico de interés. 1

y/d

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0

100

200

300

400

500

600

Q (m3/s) FIGURA 2.16 RELACION ENTRE Q Y LA PROFUNDIDAD CRITICA RELATIVA AL DIAMETRO PARA UNA SECCION DE 2 METROS DE DIAMETRO.

Al entrar en el cálculo de la profundidad crítica la relación entre A y T, denominada D, al crecer la profundidad de circulación ________________________________________________ 92 Hidráulica de las Conducciones Libres

aumenta A pero disminuye T lo cual hace que D comience a crecer fuertemente y con él crece también el gasto: Q = A gD . Tómese como ejemplo una sección circular, en la figura 2.16 aparece graficado el gasto crítico versus la profundidad crítica con relación al diámetro. Nótese que a partir de profundidades mayores que 0.8d el gasto se incrementa de forma inusual. Esta particularidad repercute en los gráficos E-y para estas geometrías, ya que la característica del crecimiento de D, a partir de un cierto valor de y, hacen que la profundidad crítica siempre exista, aun para gastos extremadamente altos e ilógicos, desde el punto de vista práctico y exista siempre un tramo en la curva E-y en la rama subcrítica, figura 2.17. 1 4 m3/s

y (m)

0.8 0.6

2 m3/s

0.4 1 m3/s

0.2 0 0.0

1.0

2.0 E (m) 3.0

4.0

5.0

FIGURA 2.17 CURVAS DE ENERGIA ESPECIFICA ISO-Q PARA UNA SECCIÓN CIRCULAR DE 1 METRO DE DIAMETRO.

En esta figura puede notarse como al aumentar el gasto la curva de profundidades supercríticas prevalece dentro de la conducción escapándose la posibilidad de obtener el régimen subcrítico en ella para gastos altos. . . ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

93

2.5. Régimen crítico en secciones compuestas.

El caso de las secciones compuestas reviste un interés especial por la importancia práctica de estas secciones naturales o artificiales. Un canal de sección compuesta consiste en un cauce o canal principal (CP) con canales laterales o bermas o llanuras de inundación (LLI) más elevadas, que reciben agua al desbordarse el cauce principal, para así conducir el gasto de forma conjunta. Pueden ser canales naturales o artificiales los que tengan este tipo de sección, pero lo verdaderamente importante es que exista la diferencia en la geometría y dimensiones de la sección que permitan identificar el cauce de las llanuras, figura 2.18.

FIGURA 2.18 DOS SECCIONES COMPUESTAS: UNA ARTIFICIAL Y OTRA NATURAL.

El almacenamiento de las LLI y su interacción con el CP, complica la hidráulica de estas conducciones ya que en las zonas de frontera CP-LLI existe una transferencia de momentum importante (Myers, 1979; Rajaratnam, 1979....) que transforma los métodos de cálculo de estas secciones. Se ha establecido, por estudios recientes, que el gasto real que circula por esta sección es menor que el que se esperaría para el mismo nivel de agua, si los gastos de cada subcanal se calculan por separado. Adicional al problema anterior, está el generado por los cambios bruscos en el cálculo de A, P y T y los problemas referentes a las ________________________________________________ 94 Hidráulica de las Conducciones Libres

diferencias sustanciales entre la rugosidad del lecho del cauce y la de las llanuras de inundación. Lo anterior hace que la predicción del gasto sea inexacta, así como el cálculo de los coeficientes α y β que cuantifican la no uniformidad de distribución de la velocidad en la sección. En el caso de la profundidad crítica estas secciones presentan múltiples soluciones en función del valor del gasto y de las características específicas de la geometría compuesta y sus dimensiones, figura 2.19a. S. Petryk y F. Grant (1975) abordan el problema del cálculo de la yc en ríos con llanuras de inundación. O. Shearman (1976), propone una ecuación para el cálculo del número de Froude para estas secciones. E. Blalock en su trabajo de maestría en 1980 aborda el tema por vez primera y posteriormente junto a W. Sturm (1981), empleando el principio de la energía y por su parte H. Chaudhry y M. Bhallamudy (1988), empleando el principio del momentum, llegan a resultados semejantes proponiendo nuevas formas de calcular las profundidades críticas múltiples y sus Números de Froude correspondientes. Por su parte N. Konemann (1982) realiza un planteamiento similar al de Blalock. D. Serpas y P. Amaral de Souza, en 1993, amplían el trabajo de Chaudhry a canales de sección no simétrica. Paralelo a esto el modelo computacional HEC-2 y posteriormente la versión sobre ambiente windows, el HEC-RAS a finales de los años 90, proponen dos algoritmos para identificar y calcular las profundidades críticas múltiples, mientras que en 1996, W. Sturm y Sadiq proponen un método para identificar el intervalo de gastos donde se producen las profundidades críticas múltiples. En 1998 G.Sotelo resume los trabajos de Blalock, Sturm y Chaudhry y presenta un algoritmo para el cálculo de la profundidad crítica en estos canales. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

95

y

FIGURA 2.19a SECCION TRANSVERSAL DEL EJEMPLO DE BLALOCK.

3 2.75 2.5 2.25 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 2.00

1.83

2.25

2.50

2.75

3.00

3.25

3.50

3.75

4.00

3.50

4.00

E

y

FIGURA 2.19b CURVA DE ENERGIA ESPECIFICA DEL EJEMPLO.

3 2.75 2.5 2.25 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.00

1.83

0.50

1.00

1.50

2.00 NF

2.50

3.00

________________________________________________ 96 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 2.19c RELACION DE NF-y DEL EJEMPLO

Petryk y Grant (1975) y posteriormente Blalock (1980) utilizan para ejemplificar el problema la sección transversal que aparece en la figura 2.19a, acompañada de su curva E-y, figura 2.19b. En esta sección la primera inflexión define el punto de energía mínima del canal principal y la segunda define el mínimo para la sección compuesta, en este caso con un valor mayor que el anterior. Un análisis del comportamiento del NF en su forma convencional, lleva al resultado que aparece en la misma figura 2.19c, donde el valor de NF=1 se alcanza, como era de esperar, en la región de influencia del CP trabajando solo, pero no define el segundo mínimo que se presenta. 2.5.1 El algoritmo de Blalock y Sturm para el punto de E mínima. Si en la ecuación de energía se considera α = ƒ(y), entonces la obtención de la EMIN se realizará así, v2 Q2 E = y cos θ + α = y cos θ + α 2g 2gA 2 la derivada de E respecto a y será, dE  αQ2T Q 2 dα  = 1 − ' 3 + ' 2  cos θ --------------------------- 2.80 dy  gA 2g A dy  donde g' = g cos θ . Si ahora la derivada se iguala a cero para obtener el mínimo se tendrá,  αQ 2 T Q 2 dα  −  ' 3  = 1 ---------------------------------------- 2.81 ' 2 g A 2 g A dy   que es la condición de régimen crítico. De la ecuación anterior surge una nueva forma de calcular el número de Froude para estas secciones, quedando establecido que, ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

97

1

 αQ 2 T Q 2 dα  2 NFB =  ' 3 − ' 2  --------------------------------- 2.82 g A 2 g A dy   que presenta como mayor problema el cálculo del término dα dy . Considerando que el cálculo de α se realiza mediante, A 2 ns  α K 3  α = 3 ∑  i 2i  ------------------------------------------------ 2.83 K i =1  A i  donde: ns es el número de subintervalos en que se divide la sección, que comúnmente responde a divisiones verticales creando subsecciones por la afinidad con el valor de la rugosidad. K es el denominado módulo de gasto para régimen uniforme que en el caso de la ecuación de Manning es igual a: K = (1 n)AR 0.67 (ver capítulo 5, ecuación 5.1). Si entonces se busca el valor de la derivada de α respecto a y se tendrá, dα A 2 d ns  αiK i3  ns  αiK i3  d A2     = +∑ ∑ dy K 3 dy i =1  A i2  i =1  A i2  dy  ns 3  ∑ Ki   i =1  que se transforma en, 2 3  K i   ns  αiK i3  dK i dα A 2 ns   K i  = − 2αi   Ti  + ∑  2  * ∑ α i   * 3 dy K 3 i =1   A i  dy  A i   i =1  A i   ns dK   2AT A 2 i  *  3 − 4 * 3∑ K K dy i =1   pero si Ki es una función de la profundidad (ecuación 5.1) y a partir de esa relación funcional es que los autores llegan a obtener la derivada de K respecto a y,

________________________________________________ 98 Hidráulica de las Conducciones Libres

dK i 1  K i   dP A i dni   =   *  5Ti − 2R − dy 3  A i   dy ni dy  siendo ni el valor que cuantifica la n de Manning de cada subsección.

Como se eligen subsecciones de igual n, entonces el problema para la solución final será decidir si se considera este valor de ni constante e independiente de la profundidad, o si varía y entonces existe la derivada. De forma general se obtiene como ecuación final,  2AT A 2σ3  dα A 2σ1  3 − 4  ------------------------------- 2.84 = + σ 2 dy K3 K   K donde, 3 ns   K   dP A dni  i  σ1 = ∑ αi    3Ti − 2Ri i − i dy ni dy  i =1   A i     3 ns  α K  σ2 = ∑  i 2i  i =1  A i  ns  K   dP A dni   σ3 = ∑  i  *  5Ti − 2Ri i − i dy n dy i =1  A i   i   2 3 nótese que ahora α = A σ2 / K .

Sustituyendo se obtiene la ecuación de trabajo del NFB.  Q2  σ σ  NFB =  ' 3  2 3 − σ1    2g K  K

0 .5

----------------------------------- 2.85

Esta ecuación representa una nueva formulación para secciones compuestas. En 1983 los autores confirman que la formulación realizada a partir del principio de momentum llega al mismo resultado pero por un camino más complejo. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

99

En las ecuaciones para el cálculo de σ1 y de σ3 queda como incógnita el término referente a la derivada de n respecto a y, dn/dy, en los casos en que se considere que n = ƒ(y). Esta función se hace más interesante el las LLI donde, por las características de la rugosidad y las bajas profundidades relativas, la afectación por el cambio de la rugosidad respecto a la profundidad puede ser considerable, figura 2.21.

•

La derivada dn/dy.

Cuando las paredes se comportan como hidráulicamente rugosas (capitulo 4, sección 4.2.1), la ecuación de Nikuradze puede ser empleada para calcular f y emplearse la fórmula de DarcyWeisbach en cada subsección, 1 CRi = CN log ----------------------------------------------------- 2.86 fi ki donde ki es la rugosidad equivalente de las paredes fi es el factor de fricción C un coeficiente que depende de la geometría de cada subsección. CN coeficiente de Nikuradze que usualmente se toma igual a 2. Calculando ni a partir de fi se tiene, 1

ni =

Ri 6

------------------------------------------- 2.87 CRi ki esta ecuación demuestra como aumenta el valor de la rugosidad al disminuir la profundidad. 8g * CN log

Derivando la ecuación 2.87 para obtener el valor necesario queda,

________________________________________________ 100 Hidráulica de las Conducciones Libres

 1 dRi )  dRi 6 R log e * (  i dni 1 dy dy    = − CRi 2  dy 8g * CN  6R 5 6 log CRi Ri * (log )   i k k i i   de donde se obtiene como resultado final, A dni  n   dP  = 0,1667 − 7,6947 1i  * Ti − Ri i  ------------ 2.88 ni dy  dy  Ri 6    con esta ecuación se resuelve el término de las ecuaciones de σ1 y de σ3 que presentaba la incógnita de la derivada. 4.5.2 Las propuestas de Konemann y Shearmann para el punto de E mínima. Citado en el texto de French (1985), N. Konemann (1982) expone la siguiente ecuación para el cálculo de su NF,  Q2  3BdM − MdB  NFK =    M4   2g  donde, 3 ns   1 23   B = ∑  A i  Ri   ; n i =1      i ns  1 2   M = ∑  A i  Ri 3   ; n i =1      i

0,5

--------------------------------- 2.89

  1 2 3  dB = 3∑ Ti  Ri 3   ; i =1   ni    5 ns   1 2   dM = ∑ Ti  Ri 3   3 i =1   ni    ns

Citado igualmente por el libro de French (1985), O. Shearmann (1976), propone su número de Froude modificado para secciones compuestas en el cual se asume que el gasto de cada subsección es proporcional al valor del módulo de gasto (Ki) de la subsección en cuestión. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

101

NFS =

KM KA M

Q

-------------------------------------------- 2.90  AM   g  TM  donde el subíndice M se refiere a las variables que sus valores fueron calculados en la subsección de mayor módulo de gasto. 4.5.3 El punto de vista de Sturm y Sadiq (1996). Estos investigadores en 1996, reprodujeron una experiencia en un canal de sección compuesta doblemente rectangular empleando CN = 2, el valor de C = 12.64 y la ecuación 2.87 llegaron a las siguientes conclusiones: El valor de n se predice bien con la ecuación 2.87, mientras la profundidad este por debajo del nivel de las LLI. Al penetrar el agua en las llanuras de inundación el valor de la n en el cauce principal fue 1.19 veces mayor que el calculado. El valor de n en las LLI se ajusta bien al calculado con la ecuación 2.87. El valor de 1.19 como coeficiente de corrección para el valor de n se atribuye a la interacción del flujo en las zonas de las fronteras CP-LLI. Los autores consideraron que con este factor la predicción exacta del gasto es posible, sin modificar el criterio de perímetro cero en las intercaras verticales (ficticias) de separación del flujo entre CP y LLI. En la figura 2.20 aparece reflejado el cambio de n en el cauce principal calculado a partir de la ecuación 2.87 y el criterio anteriormente vertido, para la sección compuesta de la figura 2.21. ________________________________________________ 102 Hidráulica de las Conducciones Libres

El trabajo de estos investigadores se encaminó a determinar el cálculo del rango de gastos para el cual se producen las profundidades críticas. En una sección compuesta si el gasto es pequeño, puede existir una sola yC en el canal principal y para un gasto muy grande una sola yC ubicada en la zona de las LLI. Para gastos intermedios existirán profundidades críticas múltiples. Por tanto conocer cuantas yC producirá en una sección definida un gasto determinado es de interés práctico. 2.9 2.5

y (m)

2.1 1.7 1.3 0.9 0.5 0.1 0.012 0.016 0.02 0.024 0.028 0.032 0.036 0.04 n

FIGURA 2.20 CAMBIO DEL VALOR DE n CON LA PROFUNDIDAD EN EL CP Y LLI PARA UN CASO PARTICULAR.

Si se define, 1

 α Q2T  2 NFCP−h =  CP 3 CP  ------------------------------------------ 2.91  g' A CP  donde NFCP-h es el número de Froude del gasto Q cuando se calcula para el CP con una profundidad de circulación igual a la altura física máxima del cauce principal (y = h) y por tanto los valores del término de la derecha están referidos a esta situación específica.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

103

El número de Froude para igual Q, pero para profundidades superiores en los que el agua inunda los canales laterales, puede definirse en términos relativos a NFCP-h como, 0,5

 1  σ2σ3  − σ1  ------------------ 2.92  3 2α CP−h TCP−h  K  K  relación que no depende de Q y solo es función de la geometría, dimensiones, de los valores de αi y ni y de la profundidad. NFB = NFCP−h

,5 A 1CP −h

Tómese como base la sección que aparece expuesta por Sotelo, 1998, para ejemplificar las alternativas que se pueden encontrar, figura 2.21a, Este ejemplo se calculará a partir de todas las consideraciones, formulaciones y argumentos expuestos por Blalock, en sus trabajos referidos anteriormente, hasta las investigaciones y aportes realizados por Sturm y Sadiq.

FIGURA 2.21 SECCION COMPUESTA DEL EJEMPLO DE SOTELO

El análisis comenzará a partir de establecer como gasto de circulación el valor de 24.5 m3/s, que tiene como característica ser un gasto intermedio, o sea, que produce dos profundidades críticas en la sección analizada.

________________________________________________ 104 Hidráulica de las Conducciones Libres

La curva (NFB/NFCP-h) – y, calculada para 24.5 m3/s, figura 2.22a, pasa por el valor de 1 cuando la profundidad es la máxima física del CP, ahí se produce un cambio brusco y avanza hasta alcanzar un valor máximo (NFB/NFCP-h)MAX. Al dejar establecido que NFB=1 representa la profundidad crítica de la sección, existe un intervalo de valores de 1/NFCP-h y por tanto un intervalo de gastos dentro del cual hay dos profundidades críticas, una en el CP (ych). El gasto límite superior QSUP del intervalo es el máximo para el cual ocurre NFCP-h = NFB = 1, o sea, NFB/NFCP-h = 1. Por tanto, si NFCP-h=1, entonces, 0,5

0,5

 g' A 3   g' A   ---------------------- 2.93 Q SUP = A * v = A *   =   αT   αT  El gasto límite inferior del intervalo será el menor para el cual ocurre la profundidad crítica en el CP, es decir NFCP-h < 1 y (NFB/NFCP-h)→max, entonces, Q SUP QINF = ------------------------------------------- 2.94   NFB  NFCP−h  MAX  De este modo el gasto que produce dos profundidades críticas, queda encerrado entre: QINF ≤ Q ≤ Q SUP . Si el resultado expuesto en 2.22a se contrasta con la curva de energía para las mismas condiciones, figura 2.22b, se evidencian los dos puntos de mínima que corresponden a los valores críticos buscados.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

105

y (m)

2 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 1.7 1.65 1.6 1.55 1.5 0.9

1

NFB

1.1

1.2 3

FIGURA 2.22a GRAFICA DE NFB PARA UN GASTO DE 24.5 m /s

. 2.5.4 Una ampliación del análisis sobre la ocurrencia del régimen crítico. La ocurrencia de la profundidad crítica en secciones compuestas naturales o artificiales es de gran interés para la labor de operación de estas conducciones y de vital importancia para el diseño, en el caso de las secciones artificiales. La posibilidad de cambio de régimen esta sujeto, en conducciones de secciones compuestas a la posibilidad de la existencia de múltiples profundidades críticas y en el caso más problemático: la ocurrencia de un salto hidráulico; la determinación de la yc tiene un interés especial. Si se analiza la ecuación 2. 85, propuesta por Blalock, y se iguala a 1, condición de régimen crítico, puede obtenerse, 2 Q CRITico =

2g' K 3 2g' K 4 = ------------------------- 2.95 σ2 * σ3 σ 2 * σ 3 − Kσ 1 − σ1 K

________________________________________________ 106 Hidráulica de las Conducciones Libres

2 1.9 y (m)

1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 2.17

2.18 2.19

2.2

2.21

2.22

2.23 2.24

2.25

E (m ) FIGURA 2.22b CURVA DE ENERGIA ESPECIFICA DEL EJEMPLO ANTERIOR.

Esta ecuación puede evaluarse para una geometría y dimensiones definidas y queda como función única de la profundidad. Por tanto puede representarse gráficamente, figura 2.23. La representación gráfica deja esclarecido el intervalo de gastos en que se produce la doble ocurrencia del régimen crítico. Nótese que al llegar la profundidad al nivel máximo del CP (y=h), la curva llega a un máximo relativo y a partir de ahí retrocede hasta alcanzar un mínimo relativo, a partir del cual aumentará continuamente a medida que se incremente el valor de la profundidad. De esta forma queda establecido claramente: 1. QINF y las dos profundidades críticas que le corresponden. 2. QSUP y las dos profundidades críticas que le corresponden. 3. QINTER (QINF ≤ QINTER ≤ QSUP) y las tres profundidades críticas que le pueden corresponder. De estas solo dos (las extremas) son soluciones reales que producen una energía mínima y por tanto se aceptan como las soluciones de la profundidad crítica. 4. Q > QSUP y la profundidad crítica que le corresponde. 5. Q < QINF y la profundidad crítica que le corresponde. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

107

2.1 2

y (m)

1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Qc (m3/s) FIGURA 2.23 GRAFICA DE LA ECUACIÓN 2.95 PARA LA SECCIÓN DE LA FIGURA 2.21.

Un análisis de estos cinco casos para el ejemplo de la figura 2.21, a partir del comportamiento del NFB y de la energía específica, aparece a continuación. Los casos son: a)

Q = QINF = 21,1422 m3/s En este caso existen dos profundidades críticas, figura 2.24, con valores para yC de 1,4095 (yCh) respectivamente. Nótese en el gráfico que el valor NFB=1 establece una recta tangente con la curva, lo cual indica que para valores menores de gasto se puede esperar un distanciamiento y valores mayores la interceptarán en más de un punto.

________________________________________________ 108 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 2.24a VARIACION DE NFB CON LA PROFUNDIDAD PARA EL QINF

2 1.9

y (m)

1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0.7

0.8

0.9 NFB

1

1.1

La curva de energía marca muy bien los dos momentos en que se produce la profundidad crítica, uno por debajo del nivel máximo del CP y otra en la zona de las LLI. 2 1.9

y (m)

1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 2

2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14 2.16 2.18 2.2 E (m)

FIGURA 2.24b VARIACION DE LA ENERGIA CON LA PROFUNDIDAD PARA EL QINF . .

. . b)

Q = QSUP = 26,6605 m /s

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

109

Este caso corresponde al otro extremo. Las dos profundidades críticas tienen valores de 1,7 (y =h) y 1,9508 (y >h). La curva que define el Froude esta desplazada hacia la izquierda con respecto a la anterior. 2.2 2.1

y (m)

2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0.8

0.9

1

NFB

1.1

1.2

1.3

1.4

FIGURA 2.25a RELACION DE FROUDE Y LAS PROFUNDIDADES PARA QSUP

El gráfico de la energía presenta claramente su primer mínimo justo al nivel máximo del CP, mientras que el segundo está ubicado en las LLI. 2.2

y (m)

2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 2.2

2.25

2.3

2.35

2.4

2.45

E (m) FIGURA 2.25b RELACION ENTRE LA ENERGIA Y LA PROFUNDIDAD.

________________________________________________ 110 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si en el caso anterior el primer mínimo era el más pequeño de los dos aquí sucede al contrario, siendo el primer mínimo mayor que el ubicado en las llanuras. c)

QINF ≤ 24.50 m3/s ≤ QSUP

Este caso que aparece reflejado en la figura 2.22 b y c. Ahora la línea de NFB=1 toca la curva NFB-y en tres puntos, los dos extremos pertenecen a mínimos relativos de la curva de energía específica, mientras que el intermedio no representa valor alguno de la profundidad crítica. Aquí el segundo mínimo es mayor que el primero. Es evidente que entre QINF y QSUP el movimiento de los mínimos se hace fuerte. Esto es, cuando estamos en presencia del QINF hay solo una pequeña zona el las LLI donde existe el régimen supercrítico (de 0,0828 metros en el caso que se ejemplifica) para profundidades ligeramente superiores a la profundidad máxima del CP. Al incrementarse el gasto entre QINF y QSUP esta zona de supercriticidad del flujo al entrar el las LLI va incrementándose, y se hace patente en la forma de la curva E-y, hasta llegar al gasto superior del intervalo donde la zona supercrítica en las LLI es mayor (0,2508 metros para el ejemplo planteado). Existe un gasto intermedio en que ambos mínimos tienen el mismo valor y a partir de ahí el superior decrece su E respecto al inferior. d)

Q =15 m3/s < QINF

En este caso el gasto que se mueve por el canal solo crea una profundidad crítica dentro del área del CP. Las figuras 2.26 a y b dejan claro lo que sucede. En toda la LLI el régimen será subcrítico y solo podrá tener valores de ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

111

Froude mayores que 1, para profundidades pequeñas en el CP.

y (m)

En la relación entre Froude y la profundidad se nota el cambio de la curva a partir de 1,7 metros (nivel máximo del CP), pero en la curva de energía este cambio es casi imperceptible.

2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.5

0.6

0.7

0.8 0.9 NFB

1

1.1

1.2

y (m)

FIGURA 2.26a RELACION ENTRE FROUDE Y LA PROFUNDIDAD PARA UN GASTO DE 15 m3/S.

2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 E (m)

FIGURA 2.26b RELACION ENTRE LA ENERGIA Y LA PROFUNDIDAD PARA UN GASTO DE 15 m3/s.

________________________________________________ 112 Hidráulica de las Conducciones Libres

Q = 35 m3/s > QSUP

e)

y (m)

Los gastos mayores que el gasto superior del intervalo, provocan regímenes supercríticos para todas las profundidades del cauce principal y parte de las primeras profundidades de las llanuras. El régimen crítico se alcanza en las LLI y de ahí en adelante se establece el régimen subcrítico. 2.9 2.7 2.5 2.3 2.1 1.9 1.7 1.5 1.3 0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 NFB

1.4

1.6

1.8

y (m)

FIGURA 2.27a RELACION ENTRE FROUDE Y LA PROFUNDIDAD PARA 30 m3/s.

2.9 2.7 2.5 2.3 2.1 1.9 1.7 1.5 1.3 2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

E (m) FIGURA 2.27b CURVA DE ENERGIA PARA EL GASTO DE 30 m3/s.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

113

En la figura 2.27 se denota claramente que el transito críticosubcrítico al principio es rápido, bajando los valores de Froude en una proporción lineal, pero para altas profundidades el decremento de Froude causado por el incremento de la profundidad comienza a hacerse lento y hay tendencia a una asintoticidad. Un ejemplo de la influencia de la longitud de las llanuras de inundación se puede apreciar en la figura 2.28 donde aparece gráfica de la curva E-y, NFB-y y QCRIT-y para tres alternativas de ancho de las llanuras: 200, 50 y 20 metros, en una canal de sección compuesta con una sola llanura de inundación a la izquierda del cauce.

FIGURA 2.28 SECCION COMPUESTA DEL EJEMPLO DE ANCHO DE LLANURAS.

Los anchos de la llanura se eligieron para poder contrastar los cambios de las curvas de energía, NF y gasto crítico dentro del ejemplo planteado. En el caso del cálculo de las curvas de energía y Froude se eligió un gasto de 24.5 m3/s, que como puede apreciarse en la figura 2.28c es un gasto intermedio para las tres situaciones ejemplificadas. Nótese en la gráfica de la figura 2.28b la variación de la zona supercrítica y subcrítica como resultado del cambio de dimensión de la llanura y el consiguiente cambio en el punto de mínima de la curva en la zona de la llanura.

________________________________________________ 114 Hidráulica de las Conducciones Libres

Un análisis similar puede realizarse con las curvas de la figura 2.28c donde se muestran las variaciones del número de Froude de Blalock como consecuencia de las variaciones de la dimensión de la llanura de inundación. FIGURA 2.28b CURVAS DE ENERGIA PARA DIFERENTES ANCHOS DE LLANURAS.

2.3 2.2

50

2.1 2 y (m)

20

200

1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

E (m) 2.3 2.2 2.1

y (m)

2 1.9

20

50 200

1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 0.5

0.75

1

1.25 NFB

1.5

1.75

2

FIGURA 2.28c VARIACION DEL NUMERO DE FROUDE CON EL ANCHO DE LAS LLANURAS. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

115

Por último las curvas que aparecen en la figura 2.28d muestran como el gasto crítico se modifica al ampliarse las llanuras y como el límite inferior de ese valor que marca el intervalo donde hay dos profundidades críticas en la sección se amplio, al ampliarse la dimensión de las llanuras. 2 1.95 1.9 y (m)

1.85

20 50

1.8

200

1.75 1.7 1.65 1.6 12

14

16

18

20

22

24

26

28

Qcrit (m3/s) FIGURA 2.28d

GASTO CRITICO CON RELACION AL ANCHO DE LAS LLANURAS.

Si existieran nuevas LLI, en cotas más altas, se producirán nuevos cambios bruscos en la curva E-y y NFB—y que definirán nuevos valores para la profundidad crítica y por tanto nuevos intervalos de gastos. En la figura 2.29 se ejemplifica esto con una sección compuesta con dos llanuras de inundación a diferentes cotas. Nótese que se emplea en este ejemplo una sección rectangular solo con el objetivo de centrar la atención en el elemento interesante del ejemplo, que lo constituye el hecho de existir más de una llanura provocando así dos cambios bruscos de la geometría de la sección. Uno al pasar el flujo del cauce a la primera llanura y otro al pasar de la primera llanura a la segunda. ________________________________________________ 116 Hidráulica de las Conducciones Libres

y (m)

FIGURA 2.29 SECCION COMPUESTA CON DOS LLANURAS A DIFERENTES NIVELES

2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 2.2

2.25

2.3

2.35

2.4 E (m)

2.45

2.5

2.55

2.6

Es de destacar que la simplificación de un cauce real en subsecciones de geometría conocida, puede arrojar que la sección esté compuesta de más de una llanura de inundación ya que en la realidad la topografía es tal, que esta situación se convierte en cotidiana. FIGURA 2.29b CURVA DEL CAMBIO DE ENERGÍA CON LAS PROFUNDIDADES

La curva de energía, calculada en este caso para un valor de 22.5 m3/s, que coincide con un gasto intermedio de acción múltiple, ya que provoca tres profundidades críticas. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

117

Debe destacarse, que tal como se verá en la figura 2.29d, un gasto intermedio podrá provocar dos profundidades críticas solamente, en este caso en el cauce y en la primera llanura o en la primera y segunda llanura o podrá provocar más de dos profundidades críticas: en este caso de dos llanuras, hasta tres. Por esta razón habrá un rango de gastos que provoque Números de Froude iguales a uno y energía específicas mínimas para el cauce principal y cada una de las llanuras, a ese intervalo de gasto se le denominó gastos intermedios de acción múltiple.

y (m)

Para este intervalo de gastos el flujo pasa sucesivamente de supercrítico a subcrítico varias veces con lo cual la ocurrencia de fenómenos locales puede ser muy intensa y la determinación del perfil del flujo en régimen No uniforme, se complica grandemente. Este cambio no implica que el flujo se acelere ya que al aumentar el área con el incremento de la profundidad, el decremento de la velocidad está garantizado de forma gradual. 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 0.6

0.7

0.8

NFB

0.9

1

1.1

1.2

FIGURA 2.29c NUMERO DE FROUDE COMO FUNCION DE LA PROFUNDIDAD

________________________________________________ 118 Hidráulica de las Conducciones Libres

Al analizar el comportamiento del número de Froude y la ocurrencia del valor uno, que indica la posibilidad de régimen crítico puede notarse en la figura 2.29c que para este caso hay cinco posibilidades y por contraste con la curva de energía se toman en cuenta tres de ellas quedando dos intermedias fuera del análisis, que coinciden con aquellas que están muy cercanas al cambio de la sección.

y (m)

Por último debe notarse los intervalos de gasto que quedan definidos en la figura 2.29d, quedando explicitado lo planteado anteriormente respecto a la posibilidad de generarse profundidades críticas múltiples. 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 17.5

20

22.5

25

27.5 30 32.5 Qcritico (m3/s)

35

37.5

40

FIGURA 2.29d CAMBIO DEL GASTO CRITICO CON LA PROFUNDIDAD.

Un algoritmo para calcular las profundidades críticas para un gasto dado y para el caso particular de dos LLI, una a cada lado del CP y al mismo nivel, será:

Algoritmo. 1. Recopilar la base de datos de la sección. 2. Con yC = h, calcular el valor de QSUP de acuerdo a la expresión

tradicional del número de Froude.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

119

3. Si Q > QSUP, solo habrá una yC con una cota de agua por

encima de la cota de las LLI. Como la representación gráfica de este problema muestra una curva monótona creciente en el intervalo de la solución, una técnica de aproximaciones sucesivas, como la de bisección, empleando la ecuación 2.85, es aconsejable para este caso. Para esto, los límites iniciales a emplear serian: límite máximo igual a un valor suficientemente alto; límite mínimo igual a h. 4. Si Q = QSUP habrán dos profundidades críticas, una que coincide con el valor de h y otra ubicada en la zona de las LLI, que puede encontrarse igual que se explico para el punto 3. 5. Si Q < QSUP puede existir varias alternativas por lo cual hay que definir el QINF. Para este cálculo se tantea primero el valor máximo de NFB/NFCP-h con la ecuación 2.92, que corresponde al mínimo relativo de la ecuación de energía, entonces el cálculo del gasto será, Q SUP Q INF = ------------------------------------- 2.96  NFB   NFCP _ h  MAX  Otra forma de calcular este valor es la de establecer un tanteo con la ecuación 2.95 hasta obtener el valor mínimo requerido, es de notar que los tanteos deben realizarse para valores de y mayores que a la altura de la primera berma (y>h), ya que en esa situación es que se presenta la solución para el mínimo buscado. 6. Si QINF < Q < QSUP entonces queda establecido la existencia de dos profundidades críticas, una se obtiene en el CP, tanteando de forma tradicional, la otra se encuentra en la LLI y su cálculo se hace semejante a lo orientado en el paso 3. 7. Si Q = QINF entonces existirán dos profundidades críticas. La correspondiente al CP y la que esta en las LLI que es el valor que ubica el mínimo relativo de la curva de energía y que puede hallarse de la misma forma ya explicada en el paso 3. ________________________________________________ 120 Hidráulica de las Conducciones Libres

8. Si Q < QINF solo existe una profundidad crítica ubicada dentro

del CP y que se obtiene por los métodos tradicionales.

2.5.5 La propuesta del River Analisis System del Hydrologic Engineering Center. Tanto en la versión antigua, el HEC-2, como en la más moderna. el HEC-RAS (1998), se propone calcular la profundidad crítica en secciones compuestas y en ríos con dos métodos: el parabólico y el de la secante. El método parabólico se plantea que converge rápidamente pero solo se permite calcular una yC por lo cual solo se recomienda para secciones con llanuras de inundación muy amplias y sensiblemente llanas. El algoritmo para este caso que se propone, con algunas precisiones adicionales, es,

Algoritmo. 1. Recopilar la información necesaria de la sección y el gasto de

cálculo. 2. Suponer tres valores de yC separados por un mismo intervalo

(∆yC).

3. Calcular la E para esos valores. 4. Ajustar una parábola que pase por los tres puntos E-y y

calcular el valor de yC correspondiente al mínimo valor de la parábola. 5. Con el valor mínimo de yC repetir a partir del paso 2 incluyendo este valor como uno de los del trío. El proceso termina cuando el valor de yC hallado en una iteración anterior no difiera del de la iteración siguiente en un valor definido como permisible y que la diferencia de las energías obtenidas en ambas iteraciones también estén por debajo del error preestablecido. El método de la secante tiene dos etapas. En la primera se localizan los intervalos en que hay mínimos relativos. Esto se ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

121

realiza subdividiendo la profundidad máxima a alcanzar en 30 intervalos y se calcula para cada uno la variable E.

FIGURA 2.30 OPCIONES EN LA DEFINICIÓN DE LOS INTERVALOS.

Si la profundidad máxima definida para el agua, medida desde el fondo del cauce es menor que 1.5 veces la altura física máxima del cauce principal, figura 2.30, los intervalos son iguales. Si no se cumple lo anterior el CP se divide en 25 intervalos y las LLI en 5. La ubicación de mínimos locales en cada intervalo corresponderá a aquellos en que la E anterior y posterior sea mayor que la de ese punto. Una vez localizados los intervalos se aplica la segunda etapa para determinar el verdadero punto de mínima E. Se tomará la profundidad crítica como la profundidad de menor energía entre los mínimos hallados. 2.6 Exponente hidráulico para régimen crítico. En el desarrollo del cálculo del régimen crítico se propone y utiliza el parámetro: exponente hidráulico para régimen crítico. Este valor es de importancia en algunas aplicaciones, como puede ser el cálculo del régimen variado empleando la ecuación diferencial de la energía. ________________________________________________ 122 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si se denomina Z a, Z=

Q = A D ----------------------------------------------------- 2.97 g

y se asume que, M Z 2 = C * y C -------------------------------------------------------- 2.98 siendo C un coeficiente, entonces a M se le denomina exponente hidráulico para régimen crítico. Esta ecuación también puede plantearse como,  Q2  g yC =   C 

    

1 M

------------------------------------------------------- 2.99

La solución de la ecuación de cálculo de M se obtiene aplicando logaritmos a ambos miembros de la ecuación 2.98. 2 * ln Z = ln C + M * ln y C

derivando la ecuación anterior, d d  ln C  M d ln Z = ln y  + dy dy  2  2 dy

de donde se obtiene, d(ln Z ) M -------------------------------------------------------- 2.100 = dy 2y

de otra parte se tiene que, Z=A

A T

aplicando logaritmos, ln Z = ln A +

1  1 3 1  1 1 ln A − ln  = ln A − ln  2 2 T 2 2 T

y derivando respecto a y queda, d 3 d 1 d  1 ln A − ln  ln Z = dy 2 dy 2 dy  T 

y resolviendo se obtiene, ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

123

d 3 dA 1 dT 3T 1 dT − = − ln Z = * * ------------------ 2.101 dy 2A dy 2T dy 2A 2T dy

entonces igualando 2.100 y 2.101 quedará, M 3T 1 dT = − 2y 2A 2T dy

y despejando M se tiene al final la ecuación de trabajo de este exponente, M=

A dT  y  3T −  ---------------------------------------------- 2.102 T dy  A

En la figura 2.31 aparecen graficadas las curvas de M – y/b para secciones trapeciales y rectangulares, así como la curva M – y/d0 para secciones circulares y la curva M – y/T para secciones para secciones parabólicas. 2.7 Análisis del perfil del flujo en régimen permanente: primera aproximación. En la hidráulica de las conducciones libres la invariante que rige la solución de los problemas es el perfil del flujo. A diferencia de las conducciones forzadas en que no existe tal situación, en estos casos el conocimiento del perfil, cualitativa y cuantitativamente, da solución a los problemas que se presentan en este tipo de conducción. En el caso del régimen uniforme, esto no reviste un gran problema, ya que la determinación mediante el uso de fórmulas empíricas y el principio de conservación de la masa resuelven el problema de la determinación del perfil.

________________________________________________ 124 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 2.31 CURVAS DE EXPONENTE HIDRAULICO PARA REGIMEN CRITICO

La solución de este problema en condiciones de régimen permanente y variado se resuelve en dos etapas: una primera etapa cualitativa y al final una etapa de cálculo numérico y se emplea para ello la ecuación de energía, bien en su forma diferencial como en su forma elemental. En el régimen impermanente y variado la solución es más complicada e intervienen en la misma las ecuaciones de momentum y continuidad, incorporándose al problema la variable tiempo. Los conceptos de energía específica y régimen crítico, en el estudio de los casos que se presentan en régimen permanente, permiten discutir las reacciones del flujo ante cambios de forma de la sección del canal y las estructuras hidráulicas que influyen en el problema. La ecuación de energía para una sección puede escribirse de la siguiente forma, v2 , considerando que α ≈ 1 y que cos θ ≈ 1. H= z+y+ 2g ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

125

El perfil del agua varía al variar el valor de la profundidad para distintas secciones transversales. Si se establece un eje de coordenadas x, a lo largo del canal, figura 2.32, entonces para estudiar como varía el perfil del flujo es necesario conocer el valor del diferencial dy/dx. El conocimiento de la función o el valor que define este diferencial posibilita saber el valor de la tangente de la curva que forma el perfil del agua denominada curva superficial.

FIGURA 2.32 PERFIL DE CANAL Y SENTIDO POSITIVO DE LOS EJES.

Si en la ecuación de energía, se aplica el diferencial d/dx a ambos lados de la ecuación uno de los cuatro términos que queda es justamente el término buscado dy/dx y por tanto se podrá obtener la ecuación para su cálculo. Diferenciando, dH dz dy d  v 2    = + + dx dx dx dx  2g  donde: i el término dH/dx representa el cambio de la energía sección a sección a lo largo del recorrido del agua, o sea la pendiente de la rasante de energía y si H decrece a medida que avanzamos a lo largo del eje x, entonces se puede escribir que, dH = −SE ------------------------------------------------------ 2.103 dx i el término dz/dx representa el cambio de la cota de fondo a lo largo del recorrido del agua y por tanto este valor puede ser positivo o negativo de acuerdo a que el fondo este inclinado en ________________________________________________ 126 Hidráulica de las Conducciones Libres

contra de la dirección del flujo (pendiente adversa) o a favor, e incluso en el caso de realizar el análisis en una pendiente horizontal, este valor puede ser cero, por tanto, considerando el fondo inclinado a favor de la dirección del flujo queda, dz = −S0 ----------------------------------------------------- 2.104 dx i el término del diferencial respecto a x de la carga a velocidad no transmite, tal como aparece enunciado, ninguna conclusión previa, por tanto es necesario elaborarlo hasta llevarlo a una forma que permita trabajar con él en la práctica, así quedará, d  v 2  d  Q2     = dx  2g  dx  2gA 2  si se multiplica el término de la derecha por 1, o lo que es igual por dy/dy, no debe alterarse en lo absoluto y quedará, d  v 2  dy  Q2 d − 2  Q2 dy  d − 2    =  A  = A  dx  2g  dy  2g dx   2g dx  dy y como A es una función de y para una geometría y dimensiones dadas, puede efectuarse la diferenciación y queda, d  v 2  Q2 dy  dA  Q2 dy T v 2 dy   =  − 2A − 3  = − = − dx  2g  2g dx  dy  2gA 2 dx A 2g dx y al final queda, d  v2  dy   = −NF2 ----------------------------------------- 2.105 dx  2g  dx Por tanto si se sustituye cada término en la ecuación de energía quedará, dy dy − SE = −S0 + − NF2 y por tanto se podrá obtener la dx dx ecuación que representa la pendiente del perfil de la curva superficial y es la primera forma de la ecuación diferencial. dy S0 − SE ----------------------------------------------------- 2.106 = dx 1 − NF2 ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

127

La ecuación 2.106 describe la variación del perfil del flujo como función de SE, S0 y NF2, y puede emplearse en el análisis cualitativo del perfil del flujo en algunos casos específicos. Caso de estudio I: canal de ancho constante. Sea un canal de ancho constante, de sección rectangular con un gasto constante. Si el fondo se ve alterado por un escalón, figura 2.33 y para el análisis se considera despreciable el término dH/dx entre secciones antes y después del escalón, el efecto del escalón en el perfil del flujo puede analizarse con la ecuación simplificada siguiente,

FIGURA 2.33 DOS PERFILES CON ESCALON PARA EL ANALISIS.

dz dy dx ----------------------------------------------------- 2.107 = dx 1 − NF2 −

i Si dz/dx > 0 y NF < 1 entonces dy/dx = (-) y el perfil del flujo decrecerá a medida que avance sobre el escalón, figura 2.34a. i Si dz/dx > 0 pero NF > 1 entonces dy/dx = (+) y el perfil del flujo crece a medida que avance sobre el escalón, i figura 2.34b.

FIGURA 2.34 CASOS EN QUE dz/dx > 0

________________________________________________ 128 Hidráulica de las Conducciones Libres

i Si dz/dx < 0 y NF < 1 entonces dy/dx = (+) y el perfil del flujo crecerá a medida que avance sobre el escalón, figura 2.35a. i Si dz/dx < 0 pero NF > 1 entonces dy/dx = (-) y el perfil del flujo decrece a medida que avance sobre el escalón, figura 2.35b.

FIGURA 2.35 CASOS EN QUE dz/dx < 0

Un ejemplo clásico de aplicación de la anteriormente expuesto es la determinación teórica de la ecuación de gasto de un umbral. Sea el umbral de la figura 2.36, sobreelevado del fondo del canal una distancia ∆z. Si el canal es rectangular de ancho b y la profundidad del flujo aguas arriba del umbral es h1 y se desprecian las pérdidas de energía y la carga a velocidad de aproximación.

FIGURA 2.36 PERFIL DEL UMBRAL DEL EJEMPLO.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

129

Si ∆z es suficientemente alto para provocar que el decrecimiento del perfil del flujo pase por yC, puede plantearse, v2 v2 h1 + 1 = y C + C = EC 2g 2g ubicando el plano de referencia al nivel de cero vertimiento del umbral. Como se plantea despreciar la carga a velocidad en la sección 1, queda, h1 = EC y en una sección rectangular se demuestra que gy 3 EC = y C + C = y C 2g 2 entonces, 3

2 2 y C = h1 , o lo que es igual y 3C =   h13 3 3 y como para el régimen crítico en un canal rectangular se cumple Q que v = gD = gy C , entonces = gy C y puede plantearse by C

que q = y C gy C y elevando ambos términos al cuadrado se

q2 obtiene que y = y sustituyendo esta expresión en la ecuación g que relaciona yC y h1 queda, 3 C

3

q2  2  3 =   h1 , que transformándose quedará, g 3 3

2 2 3 Q = b g   h1 2 = 1.705 * bh11.5 ----------------------------- 2.108 3

________________________________________________ 130 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si se compara este resultado por el aportado experimentalmente por King y Brater (1963), se confirma la validez de las suposiciones realizadas. Caso de estudio II: canal de ancho variable. Sea un canal de sección rectangular pero de ancho variable (en expansión o en contracción). Por el canal escurre un gasto constante y se consideraran despreciables las pérdidas de energía para facilitar los resultados. En este caso el gasto por unidad de ancho varía, entonces la ecuación diferencial en el caso de una sección rectangular puede plantearse así, dz dy d  q2 (x ) dH , que desarrollando queda, + +  = dx dx dx  2gy 2  dx dz dy q2 (x ) dy 2q(x ) d[q(x )] + −2 + = 0 , ya que no se dx dx 2gy 3 dx 2gy 2 dx consideran las pérdidas de energía. Esta ecuación después de simplificarla quedará, dz dy q2 (x ) dy q(x ) d[q(x )] + − + = 0 ----------------------- 2.109 dx dx gy 3 dx gy 2 dx Ahora bien, como Q=qb es constante, entonces

dQ d (qb ) , y = dx dx

dQ = 0, quedará la siguiente expresión dx dq(x ) db b + q(x ) = 0, que da como resultado que dx dx dq(x ) db dq(x ) 1 db , o sea que . b = −q(x ) = − q(x ) dx dx dx b dx

como

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

131

Sustituyendo este resultado en 2.109 y considerando fondo horizontal con el fin de facilitar aún más los resultados a este nivel, quedará, dy q2 (x ) dy q(x )  1 db  − + 2 − q(x )  = 0 , que desarrollando queda, 3 dx gy dx gy  b dx 

dy  q2 (x )  q2 (x ) db 1 − − = 0 , expresión que, afectada por y/y en dx  gy 3  bgy 2 dx el segundo término, o sea 1, se presenta transformada así, dy  q2 (x )  y q2 (x ) db dy  v 2 (x )  y v 2 (x ) db 1 − − 1 − − =0 = dx  gy 3  y bgy 2 dx dx  gy  b gy dx que al final queda , dy y db 1 − NF2 − NF2 = 0 , de donde se obtiene la ecuación dx b dx diferencial del perfil del agua para este caso específico, y db NF2 dy b dx -------------------------------------------------- 2.110 = dx 1 − NF2

(

)

i Si db/dx > 0 (ensanchamiento) se presentan dos casos, figura 2.37. –– Si NF < 1 entonces dy/dx > 0 y el perfil del agua crece –– Si NF > 1 entonces dy/dx < 0 y el perfil del agua decrece

________________________________________________ 132 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 2.37 CASOS QUE SE PRESENTAN EN EL ENSANCHAMIENTO

i Si db/dx < 0 (estrechamiento) se presentan dos casos, figura 2.38. –– Si NF < 1 entonces dy/dx < 0 y el perfil del agua decrece –– Si NF > 1 entonces dy/dx > 0 y el perfil del agua crece

FIGURA 2.38 CASO QUE SE PRESENTAN EN UN ESTRECHAMIENTO

. . . . ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

133

2.8 Accesibilidad y control. La discusión anterior ilustra la relación entre el gasto y la profundidad. Como definición un control es algún rasgo que determine una relación y-Q. Sección de control será aquella donde se produzca esta relación. Una sección donde se produce la yC es especialmente atractiva para este fin y en realidad muchas obras hidrométricas utilizan el régimen crítico para la medición del gasto. Una aplicación preliminar del concepto de energía específica es la predicción de los cambios de y como respuesta a un cambio del ancho de la sección o un cambio en el perfil del fondo. Un examen de este problema lleva a discutir la accesibilidad de los puntos de la curva E-y. Considérese un canal rectangular de ancho constante con una pendiente suave y una elevación del fondo, figura 2.39.

FIGURA 2.39 EL PROBLEMA DE ACCESIBILIDAD

________________________________________________ 134 Hidráulica de las Conducciones Libres

La ubicación del punto aguas arriba en la curva E-y depende del NF. Si NF 0 y NF < 1 la profundidad decrece, pero en los casos de B y B’ la profundidad decrece y por tanto por ese camino no esta la respuesta. La curva E-y da la respuesta. Si Q es constante, el punto que representa al flujo (flow point) se mueve sobre la curva definida para Q. El punto no puede saltar en el espacio de un punto a otro, salvo que se este en presencia de un salto hidráulico. Así el punto debe recorrer la trayectoria A→B→C, si se quisiera mover hasta el punto B’. Pero este movimiento hasta C solo es posible si el ∆z se incrementa sobre el actual. Como el problema físico no es así se concluye que solo el punto B es accesible desde el punto A. La discusión anterior indica que si se incrementa ∆z la profundidad en 2 ira decreciendo hasta que ∆z alcance un valor tal (∆zC) que provoque que y2 = yC. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

135

El incremento de ∆z (∆z>∆zC) provoca una no solución al problema. En realidad en este caso los valores q, E y ∆z no existen simultáneamente. La interpretación física del problema es que la obstrucción, provocada por el escalón tan alto, es tal que provoca que la y1 crezca cambiando la posición del punto A hasta una altura tal que satisfaga la ecuación de energía, produciéndose la yC en la sección aguas abajo. Caso de Estudio: Un ejemplo de estrechamiento. Datos de entrada: canal rectangular, 3,50 metros de ancho al inicio y se estrecha a 2,50 metros. Circulan por el canal un gasto de 5,0 m3/s. Considérese S0 = 0 y hf = 0. Problema: si la profundidad a la entrada del estrechamiento es de 1,30 metros, determinar la profundidad a la salida.

FIGURA 2.40

PLANTA Y SECCION DEL ESTRECHAMIENTO

Cálculos preliminares. b (m) 3.5 3.0 2.5

yC (m) 0.592 0.657 0.742

________________________________________________ 136 Hidráulica de las Conducciones Libres

Aplicando la ecuación de la energía específica para una sección cualquiera del estrechamiento, queda, Q2 1.274 E= y+ = y+ 2 2 2 2 2gb y by o lo que es igual, b2 y 3 − Eb 2 y 2 + 1.274 = 0 , esta ecuación tiene tres soluciones. Por otra parte como las perdidas son despreciables EE = ES, con lo que se tiene que, 1,274 1,274 EE = 1,30 + = 1.362 = y S + 2 (3,50 * 1,30 ) (2,5 )2 yS2 las dos soluciones posibles de esta ecuación son: y2 = 1,226 metros ( régimen subcrítico) y2 = 0,481 metros (régimen supercrítico) Si se analiza en el gráfico E-y (curvas ISO b) la situación de este estrechamiento, la figura 2.41 será la herramienta para el análisis gráfico de la accesibilidad. En ella puede apreciarse que el tránsito entre la entrada y la salida ocurren sin que el punto flotante tenga que pasar por la profundidad crítica de ninguna de las secciones del estrechamiento, o lo que es lo mismo que no llegue a la condición de mínima energía en ninguna sección intermedia, ni siquiera en la sección final.

________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

137

y (m)

2 1.8 1.6 1.4 1.2

3.5

2.5

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

E (m) FIGURA 2.41 CURVAS ISO b DEL ESTRECHAMIENTO

1.3 1.28

3

1.26

y (m)

1.24 1.22 1.2

2.5

1.18 1.16 1.14 1.3

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

1.37

1.38

1.39

1.4

E (m) FIGURA 2.41 b DETALLE DE LAS CURVAS ISO b EN LA ZONA DE TRANSITO.

Un detalle de este gráfico, figura 2.41b, permite visualizar como transitará el nivel del agua entre la entrada y la salida. Para lograr la profundidad crítica en alguna sección intermedia del estrechamiento debe reducirse la sección para obligar al nivel del agua a transitar en ella por su estado de mínima energía. ________________________________________________ 138 Hidráulica de las Conducciones Libres

El cálculo se realizaría así, y C = EE 1.5 = 0,908 , por ser la sección rectangular. entonces la velocidad en la sección donde se producirá la mínima energía será, v C = gy C = 2,984 y el área mojada correspondiente valdrá, AC =

Q 5 = = 1,675 v C 0,908

de este valor se obtiene directamente el ancho que hará que el régimen llegue a ser crítico, b C = A C / y C = 1,845

en este caso el nivel del agua variaría desde 1,30 hasta 0,908 en la sección donde se produce el régimen crítico. La curva E-y de este estrechamiento aparece en la figura 2.41c. Mientras que los perfiles del agua en ambos casos aparecen en la figura 2.42 a y b. 2

y (m)

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8

bc=1.845

0.6 0.4 0.2 0 0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

E (m ) FIGURA 2.41 c GRAFICO E-y CON LA SECCION CRITICA INCORPORADA.

Debe notarse que en el caso en que no se llega al estrechamiento crítico los niveles bajan suavemente de 1,300 a 1,228 metros. En el caso en que el estrechamiento es tan fuerte que provoca que el régimen sea crítico el cambio entre la profundidad de entrada, la sección crítica y la sección de salida original se realiza con pendientes más fuertes en la superficie del agua. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

139

De estrecharse aún más la sección, el efecto del estrechamiento producirá un bloqueo tal, que el nivel aguas arriba tendrá que incrementarse para garantizar que pasen los cinco metros cúbicos por segundo.

FIGURA 2.42 a NIVELES DEL AGUA EN EL TRÁNSITO POR EL ESTRECHAMIENTO

Es útil señalar a este nivel de análisis de este problema, que no se ha considerado en el mismo el efecto de los niveles aguas abajo sobre el estrechamiento. Estos niveles, provocados por una sección de control que se encuentre aguas debajo de la obra estudiada pueden cambiar el valor de las profundidades que se obtengan, pero no la forma cualitativa del perfil del flujo.

________________________________________________ 140 Hidráulica de las Conducciones Libres

Un análisis similar podría haberse llevado a cabo con la curva Q-y partiendo del gasto que se tiene como dato.

FIGURA 2.42 b NIVELES DE AGUA POR UN ESTRECHAMIENTO QUE LLEGA AL ANCHO CRÍTICO PARA EL GASTO QUE CIRCULA.

2.9 La ecuación adimensional.

de

energía

específica

en

forma

Es común emplear la ecuación de la energía específica en forma adimensional para facilitar los cálculos y hacer aún más evidente algunas conclusiones. La adimensionalidad de cada término se logra dividiéndolo entre la profundidad crítica correspondiente. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

141

Caso de la sección rectangular. En esta sección la ecuación adimensional quedaría así, E y Q2 --------------------------------------------- 2.111 = + y C y C 2gA 2 y C

Q2 A 3C y C (T'C ) -------------------------------------------- 2.112 = = g TC TC donde, TC y AC son los parámetros para el régimen crítico. T’ es el ancho superficial equivalente de un canal rectangular que tenga la misma área y la misma profundidad. 3

Para la sección rectangular estos parámetros valdrán: TC = b + 2y C by C =b yC by T' = =b y Si ahora se sustituye 2.112 en 2.111 quedará, 3  E y 1 y C2  TC' = +  ------------------------------------- 2.113  y C y C 2 y 2  TC (T')2  el término entre corchetes es llamado factor de forma, y por tanto, E y y2 = + C2 -------------------------------------------------- 2.114 y C y C 2y TC' =

( )

La expresión gráfica de la ecuación anterior aparece en la figura 2.43 junto a los de las secciones trapeciales. Caso de la sección trapecial. Para la sección trapecial estos parámetros valdrán: ________________________________________________ 142 Hidráulica de las Conducciones Libres

TC = b + 2my C by C + my C2 T = = b + my C yC ' C

by + my 2 T = = b + my y Si ahora se sustituye 2.112 en 2.111 quedará, 3  E y 1 y C2  TC' = +  ------------------------------------- 2.115  y C y C 2 y 2  TC (T')2  y el factor de forma quedará expresado así, '

( )

Ff =

(T )

' 3 C

TC (T' )

2

=

(b + my C )3 (b + 2my C )(b + my )2

------------------------ 2.116

La expresión gráfica de la ecuación 2.115 para tres diferentes taludes aparece en la figura 2.43, junto al de la sección rectangular. Caso de la sección triangular. Esta sección responde a las siguientes ecuaciones: para el área, A = my2 y para el ancho superficial, T = 2my. Sustituyendo para calcular el factor de forma,

(T )

3 ( my C ) Ff = = 2 (2my C )(my )2 TC (T' ) ' 3 C

my C2 2y 2 y la ecuación adimensional quedará, E y 1 y C2 y C2 y y C4 ---------------------------- 2.117 = + = + y C y C 2 y 2 2y 2 y C 2y 4 y su representación gráfica aparece en la figura 2.44 junto al de la sección rectangular y parabólica.. =

Caso de la sección parabólica. ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

143

Esta sección esta caracterizada por la ecuación y = k x2 y entonces la ecuación del ancho superficial será,  y 2 = T = 2x = 2 y =ω y  k  k 2

1.75

TRAPECIAL

y/yc

1.5

1.25

m=1 m=3 m=6

1

RECTANGULAR 0.75

0.5 1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

E/yc FIGURA 2.43 GRAFICO ADIMENSIONAL PARA UN CANAL RECTANGULAR Y VARIOS TRAPECIALES DE DIFERENTES TALUDES.

y la ecuación del área es entonces: A = (2 / 3)Ty . El parámetro T’, para emplearlo en el factor de forma, será, T ' = (2 / 3)T , y el factor de forma se computará según,

________________________________________________ 144 Hidráulica de las Conducciones Libres

Ff =

(T )

' 3 C

TC (T')

2

8 3 TC 2 yC 27 = = 4  3 y TC  T 2  9 

2

1.75

y/yc

1.5

1.25

1

0.75

0.5 1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

E/yc FIGURA 2.44 GRAFICO ADIMENSIONAL TRIANGULARES Y RECTANGULARES.

DE

SECCIONES

PARABOLICAS,

Y la ecuación de trabajo quedará y3 y E = + C3 ------------------------------------ 2.118 y C y C 3y ________________________________________________________________________ El Principio de energía y sus aplicaciones

145

3 EL PRINCIPIO DE MOMENTUM Uno de los principios de la física clásica más empleado en la hidráulica es el de conservación del momentum. Su empleo en conducciones libres es muy útil en aquellos casos donde con otros principios no se encuentran vías de solución. Este capítulo se dedica al estudio de este principio y su aplicación a uno de los fenómenos locales de más trascendencia en el estudio de estas conducciones: el salto hidráulico. 3.1 Energía y momentum.

Hay problemas en la hidráulica de canales que pueden resolverse en la ecuación de energía. Estos problemas se caracterizan bien porque: Se conocen las pérdidas entre dos secciones y toda la información de una de las secciones. La única incógnita son las pérdidas. En todos los casos una sola ecuación, la de energía, implica tener una sola incógnita. Pero hay otros problemas, que por su naturaleza la pérdida es una incógnita que no puede resolverse todavía por métodos empíricos paralelos, además existe otra incógnita adicional, normalmente una profundidad y esto hace que la ecuación no pueda emplearse. En estos casos, antes de aplicar la ecuación de energía, se debe aplicar otro de los principios de la física clásica, que en el caso de _______________________________________________ 146 Hidráulica de las Conducciones Libres

las conducciones libres es la ecuación de momentum. Ejemplo de esto es el análisis del salto hidráulico. 3.2. Ecuación general del momentum.

Si se le aplica la segunda ley del movimiento de Newton en forma unidimensional, a un volumen de control, donde las pérdidas de energías y las fuerzas que actúan en las secciones 1 y 2 son desconocidas como resultados del cambio de momentum en el flujo, figura 3.1, se obtiene una ecuación de relación entre los parámetros hidráulicos y geométricos de ambas secciones en la cual las pérdidas de energía interna del fluido no aparecen.

FIGURA 3.1 ESQUEMA EN PERFIL DEL VOLUMEN DE CONTROL

La ecuación general de momentum, 1.37, es, ∑ FEXTERNAS = ∆Momentum que aplicada al volumen de control de la figura 3.1 se trasforma en: F1 – F2 + Wsenϕ - ∑ Fd - ∑ Ff = ρ Q (β2v2 - β1v1) ------------- 3.1 En la ecuación 3.1, F1 y F2 representan la resultante de las fuerzas, producto de la presión, que se ejerce sobre el área mojada de la sección 1 y 2 respectivamente. En casos de flujos paralelos o régimen gradualmente variados los valores de F1 y F2 pueden calcularse asumiendo una distribución hidrostática de presiones, _______________________________________________ El principio de momentum 147

pero en régimen rápidamente variado la curvatura de las líneas de corriente hacen que la presión no sea hidrostática. Chow (1959), plantea en casos en que F1 y F2 deban calcularse para un régimen rápidamente variado remplazarlas por β’1F1 y β’2F2 donde β’1 y β’2 son coeficientes de corrección de la distribución de presión (coeficientes de fuerza) y pueden calcularse según: 1 A ∫ hdA -------------------------------------------------- 3.2 Az 0 donde, A es el área mojada, z es la distancia del centroide del área a la superficie libre y h es la carga a presión del diferencial dA. β’=

Debe señalarse que si el ángulo del fondo del canal respecto a la horizontal es grande el cálculo de F1 y F2 debe realizarse según: Fi=

1 γ di2 cosϕ ------------------------------------------------ 3.3 2

Regresando a la ecuación 3.1, Wsenϕ es la componente del peso, ∑Pd es la suma de las fuerzas desconocidas que actúan sobre el volumen de control y ∑Fƒ es la sumatoria de las fuerzas de fricción que actúan sobre el perímetro del área mojada a lo largo de la longitud L. En el lado derecho de la ecuación aparece el coeficiente β afectando a la velocidad. Este coeficiente, al igual que α en la ecuación de energía, corrige la suposición de que v representa la distribución real de velocidades de la sección. El coeficiente β se obtiene de relacionar la transferencia real de momentum a través de una sección con la transferencia promedio espacial, o sea: 2 ∫∫ Aρ v X dA ≠ ρ Q v x _______________________________________________ 148 Hidráulica de las Conducciones Libres

al ser desiguales ambos términos en área donde la velocidad en la vertical o en una dirección transversal varía significativamente, entonces surge: A.ρ.Vx2 dA ------------------------------------------------ 3.4 β= ∫∫ ρv x2 A

ecuación que tratada en incrementos juntos se transforma en: v 2 ∆A β= ∑ --------------------------------------------------- 3.5 2

v A

Chow (1959) recomienda como ecuación de trabajo a falta de mediciones puntuales de v, la siguiente: β=1 + ε2 -------------------------------------------------------- 3.6 donde ε =

v max −1 v

3.3 Algunas aplicaciones del principio de conservación del momentum. Régimen gradualmente variado. En el caso del régimen gradualmente variado puede considerarse β’=1 y si además se asume que ϕ es pequeño, entonces, aplicando la ecuación a un canal de sección rectangular de ancho b, donde ∑Pd =0, se obtiene:

F1 =

1 γ b y 12 2

y

F2 =

1 γ b y 22 , y para la fricción, 2

∑ Ff = γh 'f by donde h’f , es la carga por fricción y y es la profundidad media entre y1 y y2. El gasto en el tramo puede calcularse según: Q = 0.5(v1 + v2 ) b y y el peso del volumen de agua encerrado entre 1 y 2 es, W = γ b y L, por tanto sustituyendo en 3.2, queda: _______________________________________________ El principio de momentum 149

γ 1 1 γ by 12 - γ by 22 +γb y Lsenϕ-γh’fb y = (V1+V2)b y (β2V2 - β1V1) 2 2 2g

y si senϕ = z1-z2 / L, entonces, simplificando se obtiene: z1+ y1+β1

v 12 v2 = z2 + y2+ β2 2 + hf’ --------------------------- 3.7 2g 2g

Esta ecuación es semejante a la energía pero conceptualmente diferente. Pasando por alto las diferencias cuantitativas entre α y β, mientras que en la energía el término hf representa las pérdidas de energía interna del fluido, en esta ecuación hf’ representa las pérdidas por fricción a lo largo del perímetro mojado, que es una fuerza externa. Con este resultado se puede concluir que en el régimen gradualmente variado las pérdidas de energía son iguales, a la pérdida por fricción de la masa líquida. Obtención de la ecuación de gasto de una obra.

Dentro de las muchas aplicaciones del principio de momentum en canales está la asociada en la obtención de la ecuación de gastos de una obra. En el caso del umbral de sección rectangular, con entrada a escuadra, esta aplicación da resultados teóricos muy cercanos a los reales. Sea, figura 3.2 el perfil de un umbral rectangular y considérese las siguientes suposiciones: • Umbral de ancho unitario. • Ff1 y Ff2 despreciables. • ϕ = 0, por tanto cosϕ = 1 • ∑ Pd =0 •

β1 = β2 = 1

_______________________________________________ 150 Hidráulica de las Conducciones Libres

•

La profundidad y2 es la mínima que se produce en el umbral.

FIGURA 3.2 PERFIL DEL UMBRAL

La fuerza sobre la cara aguas arriba del umbral es: p γ γ Fd = (γ y1 + γ(y1 – p)) = h(y1 + (y1-p)) = p(2y1 – p) 2 2 2 mientras que, F1 =

1 γ y 12 2

y F2 =

1 γ y 22 2

Haciendo q = Q por ser el ancho unitario (q=Q/b) y tomando la aproximación citada por Chow (1959) que proponen Doeringsfeld y Baker (1941) en la cual: y1 – p= 2y2, entonces aplicando la ecuación 3.1 se obtiene, q q q y 12 − y 22 − p(2y 1 − p) = 2  −  g  y 2 y1 

y sacando factor común Ven te Chow propone como ecuación para el gasto,  y1   q = 0.433 2g   y1 + p 

0.5

h1.5 --------------------------------------- 3.8

ecuación que se acerca mucho a las aplicaciones que de forma empírica se han obtenido para el gasto de estas obras, figura 3.3.

_______________________________________________ El principio de momentum 151

1.4 1.2

h (m)

1

King

0.8 0.6

3.8 Boss ISO 3846

0.4 0.2 0 0

1

q (m2/s) 2

3

4

FIGURA 3.3 ECUACION TEORICA Y SOLUCIONES EMPIRICAS PARA UN UMBRAL

3.4

Ecuaciones de trabajo.

Las fuerzas F1 y F2 que aparecen en la ecuación de momentum, debidas a las presiones hidrostática sobre las áreas 1 y 2, pueden también calcularse según: Fi=γ z i Ai ------------------------------------------------------ 3.9 donde z i es la distancia del centroide del área mojada a la superficie libre. Entonces la expresión del momentum que aparece en 3.1 puede escribirse así: γ Wsenϕ+γ z1 A1-γ z 2 A2- ∑ Fd - ∑ Ff = Q(β2v2-β1v1) ------------- 3.10 g

La ecuación 3.10 es la forma general de la ecuación de momentum y puede aplicarse a cualquier problema, en cualquier tipo de sección transversal y con cualquier inclinación del fondo respecto a la horizontal. Para problemas específicos esta ecuación se simplifica y por tanto se restringe su campo de aplicación. _______________________________________________ 152 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si, ∑ Ff =0, simplificación válida en problemas donde L es muy corta, la ecuación queda: Wsenϕ + γ z1 A1 - γ z 2 A2 - ∑ Fd =

sea, Wsenϕ + γ[( z1 A1 +

γ Q( v 2 - v 1 ) g

Q2 Q2 ) – ( z 2 A2 + )] = ∑ Fd gA 1 gA 2

y si se denomina momentum especifico a: Mi = z i Ai +

Q2 ------------------------------------------ 3.11 gA i

entonces la ecuación queda: Wsenϕ+ γ( M1- M2) = ∑ Fd ------------------------------ 3.12 que tiene como restricción : ∑ Ff =0

Si, ϕ ≈ 0 entonces senϕ = 0 y queda: ∑ Fd =M1–M2 --------------------------------------------- 3.13 γ

que tiene como restricciones: ∑ Ff = 0, ϕ ≈ 0. Si ∑ Fd= 0, simplificación válida en los casos de que las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son conocidas, entonces: M1=M2 ----------------------------------------------------- 3.14 que tienen como restricciones: ∑ Ff = 0, ϕ ≈ 0 y ∑ Fd = 0 3.5 El momentum específico.

La ecuación 3.14 representa el principio de conservación del momentum específico. Si se plotea un gráfico de M-y queda una curva con dos ramas, la inferior asintótica al eje x y la superior se extiende indefinidamente a la derecha, figura 3.4. En analogía por concepto de energía específica esta ecuación tiene dos soluciones positivas, a partir de una MMIN llamadas profundidades conjugadas.

_______________________________________________ El principio de momentum 153

2 1.75 1.5 y (m)

1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

M (m3) FIGURA 3.4 CURVA M-y PARA UNA SECCION RECTANGULAR b = 1 m ; Q = 0.5 m3/s

El valor mínimo de la curva M-y, resulta de derivar e igualar a cero, la ecuación de momentum: dM Q 2 dA =dy gA 2 dy

+

d(zA ) dy

de acuerdo al concepto de derivada: d( z A) = ( z A)incrementado - ( z A) Considerando una sección rectangular o una sección muy ancha, simplificando queda: y + dy y )[(y + dy)T] - (yT), que se transforma en: 2 2 d( z A) =Tydy + T(dy ) 2 2 y despreciando el diferencial (dy)2, se

d( z A) = (

(

)

obtiene: d( z A) = Ady, y entonces,

d(zA ) = A, quedando la ecuación convertida a: dy

Q2 dM T + A , que igualada a cero para ubicar el punto de =dy gA 2

mínimo se obtiene que: _______________________________________________ 154 Hidráulica de las Conducciones Libres

v2 T = A , despejado y sacado raíz a ambos términos se obtiene, g

v = gD , que es la condición del régimen crítico. Por lo que queda demostrado que el punto de MMIN coincide con yC. De esta forma el análisis de las dos ramas es idéntico al del gráfico de E – y. La rama superior será representativa del régimen subcrítico, mientras que la inferior lo será del régimen supercrítico. Los gráficos M - y y E –y, como representantes de los principios de conservación del momentum y la energía, posibilitan la solución del cálculo de las perdidas de energía, en problemas en el que el principio de energía es inaplicable. En estos casos aplicando momentum y después energía se logra la solución. 2 1.75 1.5 0.5

y (m)

1.25 1 1

0.75

2

3

0.5 0.25 0 0

0.25

0.5

0.75

1 1.25 M (m3)

1.5

1.75

2

FIGURA 3.5 GRAFICAS M-y ISO Q PARA 0,5; 1,0; 2,0 Y 3,0 m3/s.

En igual análisis del gráfico de E - y, este gráfico se comporta según se muestra en la figura 3.5, para incrementos de Q. _______________________________________________ El principio de momentum 155

La relación MMIN–yC puede obtenerse para algunas geometrías de la sección transversal. a. Sección rectangular Mmin = z Ac +

Q2 gA c

sustituyendo cada término por sus expresiones, queda: Mmin =

yc by c2 Q Q2 v = b yc + + 2 gby c 2 g

de donde: Mmin =

by c2 Q + 2 g

Sustituyendo Mmin= b.

gy =

by c2 Q + 2 g

yc

Q por Ac D c lo cual es válido para yc queda g

by c2 +byc y c 2

yc =

by c2 + by c2 --------------------- 3.15 2

Sección triangular

Mmin =

1 Q2 ycmy c2 + 3 gmy c2

1 1 Q m y 3c + gD = m y 3c +A D D 3 g 3 1 1 Mmin = m y 3c + AD = m y 3c + my c2 y 3 3 2 1 1 m y 3c Mmin = m y 3c + 3 2 5 Mmin= m y 3c ---------------------------------------------- 3.16 6

Mmin =

Si en la figura 3.5 se traza una recta paralela al eje y por un valor de M cualquiera, nota que la intersección de esta recta en las curvas ISO Q describe un proceso de interés. Para pequeños valores de profundidad y a medida que esta se incrementa, el valor _______________________________________________ 156 Hidráulica de las Conducciones Libres

del gasto que representa la curva interceptada crece, llega a un máximo y de ahí decrece, figura 3.6. Un efecto similar se produce al generarse los gráficos ISO E. La ecuación que sigue el proceso se deriva de la ecuación 3.10, despejado el gasto de ella se obtiene: M= z A + Q=

gA

Q2 gA M − zA ------------------------------------------- 3.17

1.4 1.2

y (m)

1 0.8 0.6

0,25

0.4

0,50

0,75

0.2 0 0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

Q (m3/s) FIGURA 3.6 CURVAS ISO M PARA LA SECCION RECTANGULAR DE LA FIGURA 3.5

Si se plotea esta función en un plano Q – y queda un gráfico ISO M, como el de la figura 3.6, muy semejante a las curvas ISO E y que, igual que aquel, tiene un punto de máximo, que puede determinarse con el empleo del cálculo diferencial y arroja como resultado que QMAX se obtiene para yC. . . . . _______________________________________________ El principio de momentum 157

3.6 La ecuación de momentum en secciones no prismáticas.

La ecuación de momentum especifico puede utilizarse en tramos de canal no prismáticos siempre que se cumplan las restricciones impuestas en su formulación. Si esto no se cumple, la aplicación del principio de momentum se hace con la forma de la ecuación que cumpla con los requisitos establecidos para la misma, pudiendo cambiar de un tramo a otro de la misma conducción. En caso de una restricción de la sección transversal en un fondo inclinado respecto a la horizontal pueden producirse un diagrama que contengan todas las curvas M–y para las distintas secciones y ahí estudiar el problema específico que se presente. La figura 3.7 representa las curvas de una transición de una sección rectangular como ejemplo de lo antes mencionado.

2 1.6 y (m)

0.5

0.75

1.0

1.25

1.2 0.8 0.4 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

M(m3)

FIGURA 3.7 CURVAS ISO b PARA UNA SECCION RECTANGULAR CON Q=0,5 m3/s.

_______________________________________________ 158 Hidráulica de las Conducciones Libres

3.7. El salto hidráulico.

Un fenómeno típico de la hidráulica de canales, en que el principio de momentum es de vital importancia para la solución es el fenómeno local denominado: salto hidráulico. El salto hidráulico es la solución del conflicto que surge en un tramo de canal cuando el flujo aguas arriba es supercrítico y aguas abajo es subcrítico. El conflicto solo se soluciona si en alguna parte del canal el flujo pasa de un régimen a otro.

FIGURA 3.8a FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=1.25. Tomada del Open Channel Flow de Henderson (1966).

Experimentalmente se ha demostrado que este paso es un salto abrupto, con una considerable pérdida de energía, al transitarse bruscamente del régimen supercrítico al subcrítico. El salto hidráulico esta caracterizado además por su sonido, el intenso mezclado de la masa de agua, acompañado de una intensa no uniformidad de la distribución de la velocidad, las fluctuaciones de la presión y por la gran cantidad de aire que se incorpora a la masa de agua.

FIGURA 3.8b FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=2.4 Tomada del Open Channel Flow de Herderson (1966)

_______________________________________________ El principio de momentum 159

El salto hidráulico puede ocurrir: • En la superficie libre de un flujo homogéneo. • en la interfase de un flujo estratificado. En ambos casos es acompañado de: • Turbulencias significativas. • Pérdida de energía de gran magnitud • Sonido característico

FIGURA 3.8c FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=3.4 Tomada del Open Channel Flow de Henderson (1966).

FIGURA 3.8d FOTO RETOCADA DE UN SALTO HIDRAULICO CON NF=5.5 Tomada del Open Channel Flow de Henderson (1966).

_______________________________________________ 160 Hidráulica de las Conducciones Libres

Sus aplicaciones más relevantes son: • Como disipador de energía en estructuras hidráulicas. • Para elevar el nivel de agua en tramos de canales con régimen supercrítico, que así lo requieran para su operación. • Para incrementar el gasto por debajo de una compuerta mediante el barrido hacia aguas a bajo del nivel de agua en la compuerta. (barrer el salto ahogado). • Como mezclador de productos en el agua. • Como aereador de una corriente. • Para remover bolsas de aires en canales cerrados. • Para identificar la presencia del régimen supercrítico. Las velocidades y su distribución espacial y temporal dependen del tipo de salto que se produzca, a continuación varios interesantes ejemplos, obtenidos de un trabajo de Qingchao y Drewes (1994), que indican claramente la dirección de la velocidad y su valor relativo a lo largo de diferentes perfiles desde el comienzo hasta el final del salto.

_______________________________________________ El principio de momentum 161

FIGURA 3.9a EVOLUCION DEL VECTOR VELOCIDAD, SEGÚN EXPERIENCIAS DE QUINGCHAO Y DREWES EN LA UNIVERSIDAD TECNICA DE BRAUNSCHWEIG, PARA UN SALTO HIDRAULICO CON NF=4.4. NOTESE LA PROPAGACION DE LA ONDA SUPERFICIAL DURANTE EL INTERVALO DE TIEMPO ESTUDIADO Y LA RECUPERACION ESPACIAL DEL VECTOR VELOCIDAD PARA CADA MOMENTO ESTUDIADO.

_______________________________________________ 162 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 3.b EVOLUCION DEL VECTOR VELOCIDAD, SEGÚN EXPERIENCIAS DE QUINGCHAO Y DREWES EN LA UNIVERSIDAD TECNICA DE BRAUNSCHWEIG, PARA UN SALTO HIDRAULICO CON NF=7.6. NOTESE LA PROPAGACION DE LA ONDA SUPERFICIAL DURANTE EL INTERVALO DE TIEMPO ESTUDIADO Y LA RECUPERACION ESPACIAL DEL VECTOR VELOCIDAD PARA CADA MOMENTO ESTUDIADO.

_______________________________________________ El principio de momentum 163

Al igual que la velocidad, la presión dentro de la masa líquida fluctúa, haciendo de este fenómeno hidráulico un evento de considerable importancia en los análisis estructurales del tramo de canal que lo contiene. Fiorotto y Rinaldo (1992) aportan importantes elementos a este tema indicando los problemas que surgen en algunas obras hidráulicas cuando se considera como criterio de diseño un valor permanente de la presión y no una fluctuación impermanente de la misma como resultado del proceso de la disipación de energía en el salto.

FIGURA 3.10 FLUCTUACION DE LA PRESION PARA UN SALTO DE NF=8.

Los principales parámetros que definen un salto hidráulico y que por tanto los objetivos en su cálculo, son: 1. Clasificación del salto. 2. Profundidades y comienzo y final del salto. 3. La longitud del salto. 4. La ubicación planimétrica del salto en el canal. _______________________________________________ 164 Hidráulica de las Conducciones Libres

5. 6.

La altura del salto. Las pérdidas de energía que se producen.

3.7.1. Clasificación del salto hidráulico.

La clasificación del salto establece de acuerdo al Número de Froude en la sección de comienzo del salto (NF1). Según su valor el salto se clasifica según lo que aparece reflejado en la tabla 3.1. NF1

Clase

Característica

Entre 1 y 1.7

Ondular La superficie del agua se ondula levemente. La diferencia entre las cotas del agua entre el comienzo y final del salto es poca. Entre1.7– 2.5 Débil Se produce el remolino característico y se nota el cambio brusco de régimen. La profundidad inicial y final del salto comienzan a diferenciarse claramente. Entre2.5– 4.5 Oscilante El remolino está formado con chorros intermitentes de fondo El salto se traslada a lo largo de un tramo de canal de forma continua lo cual hace de este salto, un fenómeno indeseable por su constante variación espacial. Entre 4.5 – 9 Estable Salto bien formado, estable espacialmente, con fuerte turbulencia y grandes pérdidas de energía. Mayor que 9 Fuerte Igual al anterior pero con muy fuerte turbulencia y muy altas pérdidas. Las diferencia entre las profundidades al inicio y final del salto es muy marcada. TABLA 3.1 CLASIFICACION DEL SALTO HIDRAULICO

En la figura 3.8 aparecen fotos retocadas de algunos saltos, donde puede apreciarse la diferencia en la formación del salto, las ondulaciones de la superficie del agua y la longitud afectada por el salto. _______________________________________________ El principio de momentum 165

3.7.2. Las profundidades al comienzo y al final: conjugadas

De especial interés para el cálculo y ubicación del salto es la determinación de las profundidades al comienzo y al final del salto. En la figura 3.11 aparece esquematizado el perfil de un salto hidráulico, destacándose en la misma las profundidades antes (y1) y después (y2) del salto. Para definir la profundidad final del salto hay que llegar a tener un criterio único de cuando termina el salto hidráulico. Este criterio también será de suma importancia en la definición de la longitud del salto. Se deben definir dos secciones: • la inicial, a partir que comienza el rápido ascenso del nivel del agua. • la final, que será la sección a partir de la cual en flujo ya no retrocede, donde las pérdidas de energía del salto se han disipado totalmente, se ha alcanzado la máxima profundidad del agua y en el flujo la distribución de velocidades presenta una estabilidad espacial, figura 3.11.

FIGURA 3.11 PERFIL DE UN SALTO HIDRAULICO

En el caso de las secciones rectangulares el frente turbulento en ascenso es recto y alineado con el fondo del canal, siempre que la rugosidad de las paredes laterales sea la misma. En otras secciones _______________________________________________ 166 Hidráulica de las Conducciones Libres

este frente toma diferentes formas en función de la geometría de la sección y de las posibles diferencias de rugosidades de las paredes. Al ser el salto hidráulico un fenómeno local de la hidráulica que: • Se produce un tramo de canal relativamente corto. • Al producirse genera altas pérdidas de energía. Entonces su estudio mediante la ecuación de energía, no es posible ya que esa única ecuación tendría tres incógnitas: las pérdidas de energías, la profundidad al comienzo y al final del salto. Para resolver este primer cálculo del salto, se utiliza la ecuación de Momentum en la forma que se adecue al problema especifico. Esta ecuación tiene como ventajas para su aplicación: • Al aplicarse aún corto tramo de canal: ∑Ff = 0 • No depende de las pérdidas de energía interna. • Puede emplearse en pendientes suaves o fuertes. Si se aplica el principio del Momentum a un tramo de canal con poca pendiente (θ ≈ 0), entonces puede plantearse que: ∑ Fdx = M1 – M2, pero si el salto ocurre sin asistencia de estructuras hidráulicas, entonces, ∑ Fd = 0 y M1 = M2 . Entonces la ecuación de cálculo para ∑ Fd = 0, θ ≈ 0, ∑ Ff = 0 es: Q2 Q12 + z1 A1= 2 + z 2 A2 ----------------------------------- 3.18 gA 2 gA1

por lo que las profundidades antes y después del salto son conjugadas. •

Conjugadas en secciones rectangulares.

Como en estas secciones: A= by, q =Q/b , z = y/2 entonces la ecuación 3.18 se transforma en: _______________________________________________ El principio de momentum 167

1 q2 1 1 ( ) = (y 22 - y 12 ) g y1 y 2 2 Esta ecuación tiene dos soluciones para las conjugadas, que son, y1 1 = ( 1 + 8NF22 - 1) --------------------------------------- 3.19 y2 2 y2 1 = ( 1 + 8NF12 - 1) ------------------------------------ 3.20 y1 2

En la figura 3.12 aparece graficadas ambas ecuaciones. Tanto la ecuación de Momentum Específico, como cualquier derivación de ella tiene dos incógnitas y1 y y2, por tanto su solución implica conocer o suponer una de las dos para calcular la otra. Debe enfatizarse, que la profundidad aguas abajo y2 no resulta de las condiciones aguas arriba y sí del control aguas abajo. Esto es, si el control aguas abajo produce la profundidad y2 el salto se produce. En el caso particular de la ecuación 3.19, French (1985) plantea problemas de cálculos numéricos para valores de NF2 pequeño (NF2< 0.22). Se plantea que si NF2 es pequeño 1 + 8NF22 - 1 ≈0 (para NF2=0.22 el término es 0,1778). Para resolver mejor esto el término en cuestión se expresa como una serie, 1 + 8NF22 = 1 + 4NF 22 - 8NF 24 + 32 NF 62 + ... que para el caso expuesto: si NF2 = 0.22, el valor del término sería: 1 + 8NF22 =1.1778

_______________________________________________ 168 Hidráulica de las Conducciones Libres

muy semejante para el valor límite. Sustituyendo en la ecuación de relación entre y1/y2 queda, y1 1 = ((1 + 4NF 22 - 8NF 24 + 32 NF 62 ) -1). y2 2

que resolviendo da como resultado: y1 = 2NF 22 - 4NF 24 + 16NF 62 ------------------------------- 3.21 y2 1 0.9 0.8 0.7 y1/y2

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 NF2

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FIGURA 3.12a SOLUCION GRAFICA DE LA ECUACION 3.19

•

Conjugadas en secciones no rectangulares.

En estos casos no hay ecuaciones análogas, teniendo que emplearse la ecuación general y un procedimiento de tanteo y error. En ayuda de estos casos, soluciones semiempíricas y otras técnicas analíticas ayudan al cálculo.

_______________________________________________ El principio de momentum 169

30 25

y2/y1

20 15 10 5 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

NF1 FIGURA 3.12b SOLUCION GRAFICA DE LA ECUACION 3.20

Canales de sección circular. En este caso la ecuación 3.18 presenta como único problema el cálculo de la posición del centroide respecto a la superficie libre. El cálculo del centroide, figura 3.11, en este caso se realiza así: 1 2y ) Si A = (ϕ - senϕ)d2 , donde: ϕ = 2 Acos ( 18 d y por definición: •

(

)

(

zˆA = ∫ z 2 r − z dz = − (2 / 3 ) r − z z −r

2

2

2

2

)

3

z

2 −r

2(r − z ) 3A y entonces la distancia del centroide a la superficie libre es: z = y – ( r + zˆ ) ------------------------------------------------ 3.22 con lo cual el cálculo de las conjugadas puede efectuarse empleando la ecuación 3.18. 2

2 3/2

zˆ = -

_______________________________________________ 170 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 3.13 ESQUEMA PARA LA DEDUCCION DE LA FORMULA DEL CENTROIDE

En conductos circulares el comportamiento de la curva adimensional intervalo de responde a: 1.01 yC= 0.264 d

  yc vs  Q α  d 2.5 es una línea recta en el g d  0.02 ≤ yc /d ≤ 0.85 . La recta en cuestión

Q α     g   

0.506

= 0.567Q 0.506 d −0.264 ------------------------- 3.23

Nótese que virtualmente es imposible mantener el régimen crítico por encima de 0.85d por lo cual este intervalo engloba la gran mayoría de profundidades prácticas en este conducto. Straub en 1978 define la siguiente relación aproximada: NF1≈(

y c 1.93 ) ------------------------------------------------------ 3.24 y1

la conjugada puede estimarse según: para NF1< 1.7: y2 =

y 1. 8 y c2 y para NF1 ≥ 1.7: y2 = 0c.73 y1 y1

Valle Cuellar (1994) propone una solución aproximada. La condición de no ahogo la plantea así: y2max ≤ 0.81963 d _______________________________________________ El principio de momentum 171

El cálculo del centroide: z = y -

d 2

 4 sen 3 (ϕ / 2)  1 −  ------ 3.25  3(ϕ − sen ϕ) 

y empleando Newton–Raphson como técnica de aproximación se utilizará como ecuación: F[y2] = M1 - M2 ---------------------------------------------------- 3.26 y como derivada aproximada: F'[y2]=

F[y + ∆y ] − F[y − ∆y ] ------------------------------------- 3.27 2 ∆y

Por tanto a este nivel hay dos caminos para calcular las conjugadas: a. Tradicional Algoritmo para calcular y2: M1= M2 , 1. Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y1 ) 2. Calcular A, z, z , empleando las ecuaciones anteriores. Q2 3. Calcular M1 = A 1z1 + gA 1 ) 4. Suponer y2 y calcular A, z, z . Q2 5. Calcular M2 = A 2 z 2 + gA 2 6. Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4.

Algoritmo para calcular y1: M1= M2 , 1. 2.

Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y2 Calcular A, z) , z , empleando las ecuaciones anteriores.

3.

Calcular M2 = A 2 z 2 +

4.

Q2 gA 2 Suponer y1 y calcular A, z) , z .

5.

Calcular M1 = A 1z1 +

Q2 gA 1

Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. _______________________________________________ 172 Hidráulica de las Conducciones Libres 6.

Si b.

M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4.

Formulas empíricas

Algoritmo para la fórmula de Straub (1978) Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y1 Calcular la profundidad crítica. Si 0,02 > yC/d > 0,85 no hay solución con este método. Si 0,02 ≤ yC/d ≤ 0,85 entonces calcular NF1 con la ecuación 3.23. 5. Calcular y2: 1. 2. 3. 4.

Si NF1< 1.7: y2 = Si NF1 ≥ 1.7: y2 =

y c2 y1 y 1c.8 y 10.73

Algoritmo para la fórmula de Valle Cuellar (1994) 1. 2.

Recopilar la base de datos necesaria: d, Q, y1 Calcular: A, z, M1, M 2 _ MAX , empleando las ecuaciones

anteriores. Si M1 ≤ M2_MAX puede continuarse al próximo paso, si no se cumple no debe continuarse ya que el conducto se ahoga. 4. Para tantear la profundidad y2 4.1 yMIN = yC y yMAX = y2_MAX 3.

4.2 Asumir ∆y 4.3 Calcular yMEDIA = (yMIN + yMAX)/2 4.4 Calcular A, z,M para: (yMEDIA + ∆y), (yMEDIA - ∆y), yMEDIA

4.5 Calcular F[yMEDIA + ∆y], F[yMEDIA - ∆y], F[yMEDIA] 4.6 Calcular F’[yMEDIA] 4.7 Calcular yNUEVA = y MEDIA – (F[yMEDIA]/ F’[yMEDIA]) 4.8 Si F[yNUEVA] ≈ 0 la profundidad conjugada se determino.

Si no se cumple la condición regresar al paso 4.4. •

Canales trapeciales, triangulares y parabólicos. _______________________________________________ El principio de momentum 173

En estas secciones el empleo de la ecuación 3.18 es la vía tradicional por excelencia. En cada caso la determinación del centroide del área mojada respecto a la superficie libre es el dato específico necesario para enfrentar la solución. y ------------------------------------- 3.28 3 0,5by 2 + 0,333my 3 canales trapeciales: z = ------------------- 3.29 by + my 2 2y --------------------------------- 3.30 canales parabólicos: z = 5

canales triangulares: z =

con esta información se puede seguir el siguiente algoritmo,

Algoritmo para calcular y2: M1= M2 , 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Recopilar la base de datos necesaria: b, m, kPARABOLA, Q, y1 Calcular A, z , empleando las ecuaciones para cada caso. Calcular M1 = A 1z1 + Q 2 /(gA 1 ) Suponer y2 y calcular A, z . Calcular M 2 = A 2 z 2 + Q 2 /(gA 2 ) Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4.

Algoritmo para calcular y1: M1= M2 , 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Recopilar la base de datos necesaria: b, m, kPARABOLA, Q, y2 Calcular A, z , empleando las ecuaciones anteriores. Calcular M 2 = A 2 z 2 + Q 2 /(gA 2 ) Suponer y1 y calcular A, z . Calcular M1 = A 1z1 + Q 2 /(gA 1 ) Si M2 = M1 ± error entonces se ha hallado la conjugada. Si M2 ≠ M1 ± error regresar al paso 4.

Numerosas son las soluciones aproximadas para estas secciones. A continuación alguna de ellas. _______________________________________________ 174 Hidráulica de las Conducciones Libres

Silvester (1964, 1965) propone para calcular el centroide: z = k’i yi ----------------------------------------------------------------------------------------- 3.31 entonces la ecuación de conservación del momentum específico se convierte en: A1k’1y1 – A2k’2y2 =

1 Q2 1 ) ------------------------------ 3.32 ( g A 2 A1

arreglando la ecuación queda, k' 2

A2 y2 A  A  − k '1 = NF12 1 1 − 1  A 1 y1 y 1T1  A2 

donde NF12 =

Q2 gA 12D1

Para el caso particular de canales rectangulares: k’1 = k’2 =

y 1 A1 ; = 1 ; 2 A2 y2

A1 = D1 = y1 entonces T1

2

 y2   y    − 1 = 2NF12 1 − 1  -------------------------------- 3.33  y1   y2 

Para canales triangulares: A 1 y 12 1 k’1 = k’2 = ; = ; 3 A 2 y 22

y A1 = D1 = 1 ; 2 T1

entonces:

3   y 2   y2    − 1 = 1.5NF12 1 −  1   -------------------------  y2    y1   

3.34

Para canales parabólicas

 y2     y1 

2.5

1. 5

A 1  y1  =  ; A 2  y 2   y − 1 = 1.67NF12 1 −  1   y2 

k’1 = k’2 =

2 ; 5

A1 2y = D1 = 1 ; entonces: T1 3   

1. 5

  --------------------- 3.35  

_______________________________________________ El principio de momentum 175

Para canales trapeciales: La solución es directa, Silvester (1964) define el factor de forma:

k=

b ----------------------------------------------------- 3.36 my 1

y surge una familia de soluciones en función del valor de k en cada caso. 30 TRIANG.

25

PARAB. RECT.

NF1

20 15 10 5 0 0

8

16

y2/y1 24

32

40

FIGURA 3.14 GRAFICA DE LAS CONJUGADAS EN SECCIONES RECTANGULARES, TRIANGULARES Y PARABOLICAS.

Valle Cuellar (1994), a partir de la ecuación tradicional del momentum en canales trapeciales y triangulares, M=

Q 2 by 2 my 3 + + ------------------------------------------------3.37 gA 2 3

_______________________________________________ 176 Hidráulica de las Conducciones Libres

30 25

NF1

20 15 10 5 0 0

4

8

y2/y1 12

16

20

FIGURA 3.15 SOLUCION PARA LAS CONJUGADAS EN SECCIONES TRAPECIALES CON FACTORES DE FORMA 0,33; 0,4; 0,5; 0,67; 1,0; 1,73; 4,0 CON REFERENCIA AL DE LA SECCION RECTANGULAR.

Una solución de aproximaciones por Newton–Raphson donde para la profundidad conjugada que se busca, se plantea: 6

( 6 −i ) F y ¿? = M¿? − Mconocido = ∑ k i y ¿? ≅ 0 --------------------------- 3.38 1

2

siendo K1= 2m ;

K3 = 3b2; K4 = -6m Mconocido;

K5 = -6bMconocido; K2= 5mb; K6 = 6Q2/g; *K2; K3; K5 se hacen cero en la sección triangular.

La forma desarrollada será: 5 4 3 2 F y ¿? = K 1y ¿? + K 2 y ¿? + K 3 y ¿? + K 4 y ¿? + k 5 y 1¿? + K 6 ---------- 3.39

y su derivada: 4 2 F' y ¿? = 5K 1y ¿? + 4K 2 y ¿'3 + 3K 3 y ¿? + 2K 4 y 1¿? + K 5 --------------- 3.40 Se propone iniciar con y¿?=0 si se va a calcular el supercrítico, y con y¿?= 2yc si se va a calcular el subcrítico. _______________________________________________ El principio de momentum 177

La profundidad se propone calcular con, y ¿? nuevo

=

y ¿? anterior

−

F y ¿? ant F´ y ¿? ant

---------------------------------------- 3.41

e ir comprobando hasta que F y ¿? ≈ 0 3.7.3. Ubicación de las secciones inicial y final.

La ubicación planimétrica de las secciones inicial y final del salto es de mucha importancia para la protección estructural del tramo de canal y para la definición de hasta donde hay régimen supercrítico y hasta donde régimen subcrítico. Con dos casos de estudio se analizan todas las posibilidades de ocurrencia en cuanto a la ubicación de las secciones del salto. Debe resaltarse que para que se produzca el salto deben ocurrir dos situaciones: • Que exista en el tramo una dualidad de regímenes (subcrítico y supercrítico). • Que la conjugada supercrítica encuentre en la zona subcrítica a su conjugada a una distancia igual a la longitud del salto. Justamente en el cumplimiento de la segunda situación, la sección inicial y final del salto se ubican en un lugar preciso en el perfil del canal y al poder definir la ubicación de una de las dos secciones, conocida la longitud del salto se ubicará la segunda. Por tanto la tarea de la ubicación de las secciones inicial y final, se traduce en ubicar con exactitud o la sección inicial o la sección final y conocida la longitud del salto (L) ubicar la otra.

_______________________________________________ 178 Hidráulica de las Conducciones Libres

Dos casos de estudio se abordarán, para ejemplificar todas las posibilidades que pueden presentarse en este problema. Caso de estudio I: dos tramos de canal con cambio de pendiente e igual sección.

En este caso se utiliza dos tramos de canal en los que la pendiente aguas arriba es supercrítica y la aguas abajo subcrítica. Esto es, que si el régimen en ambos tramos fuera uniforme, sería supercrítico en el primer tramo y subcrítico en el segundo, figura 3.16.

FIGURA 3.16 ESQUEMA PARA EL ESTUDIO DEL SALTO HIDRAULICO EN CANAL CON CAMBIO DE PENDIENTE.

Para simplificar el análisis se tomará como criterio que en ambos tramos se produce el régimen uniforme. Más adelante, en el cálculo dedicado al régimen variado se generalizará esta situación considerando la ocurrencia de este régimen.

FIGURA 3.17 GRAFICA M vs y PARA EL ANALISIS DE LA LOCALIZACION DEL SALTO HIDRAULICO.

_______________________________________________ El principio de momentum 179

La ubicación de las secciones estará en función de la relación entre la profundidad conjugada subcrítica y2 y la y2aab. Esto puede analizarse en el gráfico M vs y, figura 3.17. Si se le llama y2aab a la profundidad subcrítica impuesta por la sección de control del segundo tramo (sección de control que se encuentra aguas abajo del cambio de pendiente) y se denomina por y2 a la profundidad supercrítica impuesta por la sección de control del primer tramo (sección de control que se encuentra aguas arriba del cambio de pendiente), siendo y2 su profundidad conjugada. Entonces las posibilidades de relación entre y2 y y2aab son dos: • Ser iguales: y2 = y2aab • Ser diferentes: y2 > y2aab, o, y2 < y2aab Las tres alternativas definen la posición de las secciones inicial y final del salto. Primer caso. y2 = y2aab Si y1 se encuentra al final del tramo 1 y su conjugada coincide con la profundidad normal del segundo tramo entonces el salto se denomina tipo A y su característica es tal que comienza en el cambio de pendiente y termina L metros aguas abajo en el tramo subcrítico. Su transito en el gráfico M-y es como se indica en la fig. 3.18. Segundo caso. y2aab < y2 En este caso el nivel subcrítico está por debajo de la conjugada de y1aarr. Al valor de y2aab le corresponde una conjugada y1 mayor que y1aarr, por tanto al llegar y1aarr al cambio de pendiente comienza a avanzar en el segundo tramo elevando su valor, figura 3.19, hasta alcanzar y1 (todavía supercrítica) y ahí se produce el salto. El tránsito entre y1aarr y y1, en la curva M-y, se traduce en un camino a lo largo de un régimen regularmente variado en el tramo de canal subcrítico, que, al alcanzar el valor y1 se cambia a un salto _______________________________________________ 180 Hidráulica de las Conducciones Libres

hidráulico (régimen rápidamente variado) alcanzando conjugada a una distancia L. Este salto se denomina tipo B.

su

En ambos casos, tipo A y tipo B, la ecuación de conservación del momentum específico es completamente válida.

FIGURA 3.18a

SALTO TIPO A EN EL GRAFICO M-y

FIGURA 3.18b

ESQUEMA DE PERFIL DEL SALTO TIPO A

FIGURA 3.19a

SALTO TIPO B EN EL GRAFICO M-y

FIGURA 3.19b

ESQUEMA DE PERFIL DEL SALTO TIPO B

_______________________________________________ El principio de momentum 181

Tercer caso. y2aab > y2 En este caso, figura 3.20, se produce un desplazamiento del salto hacia aguas arriba del cambio de pendiente debido al alto nivel de la profundidad y2aab. Si todo el salto sube la rampa supercrítica se le denomina tipo E.

FIGURA 3.20 SALTO TIPO E EN EL GRAFICO DE M-y

FIGURA 3.20 PERFIL DEL SALTO TIPO E

A esta y2aab le corresponde una conjugada y1 menor que y1aarr, que tiene una energía específica mayor y como no hay ningún elemento que pueda adicionar energía adicional a la masa de agua para que alcance y1, la solución del salto será tal que y2aab comenzará su ascenso descendiendo un nivel hasta alcanzar el nivel de la conjugada de y1. Se debe destacar, que la conjugada tendrá que calcularse teniendo en cuenta la componente del peso de la masa de agua que participa en el salto y se denominará y2(ϕ). El proceso de subida por la pendiente del primer tramo, de la sección inicial del salto, primero y de la sección final, después; hacen que la ecuación del momentum específico no sea válida al no cumplirse que ϕ ≈ 0 y por tanto no son válidos los métodos de cálculo derivados de ella para las profundidades conjugadas. _______________________________________________ 182 Hidráulica de las Conducciones Libres

El uso de la ecuación general derivada de la segunda ley y descrita al comienzo de este capítulo: F1- F2 + Wsenϕ - ∑ Fd - ∑ Ff = ∆M sirve de herramienta fundamental para el análisis de las conjugadas ya que en este caso la componente del peso de la masa de agua, en la dirección del movimiento, es una fuerza importante a considerar. No obstante su uso se plantea que es dudoso e incierto, ya que: - La definición del volumen que participa en el cálculo de W es deficiente por el desconocimiento de la longitud exacta del salto y su forma superficial que tiene una influencia significativa. - La entrada de aire altera el valor de γ en una magnitud desconocida. - Los términos que tienen que ver con la presión no pueden ser certeramente cuantificados. Bazin, en 1865, Beebe y Riegel, en 1917, definieron el problema y Yamell en 1934, comenzó a estudiarlo intensamente, hasta su muerte en 1937. Kindsvater, en 1944 dio una solución racional al problema siendo Bradley y Peterka en 1957 y Agryropulos, en 1962, los que aportaron los resultados de largos estudios para su solución. Para estudiar la subida del salto por la rampa supercrítica en el análisis siguiente se asumirá como el final del salto, el fin del remolino superficial. A partir de que y2aab comienza a ser mayor que y2 el salto pasa a ser del tipo C, D o E.

_______________________________________________ El principio de momentum 183

Tipo C . El caso del salto tipo C, donde la sección inicial está en la pendiente fuerte y la final en la sección subcrítica, figura 3.21, debe su solución a Peterka (1963) y Rajaratnam (1967).

Si se procesan los datos experimentales se obtienen el grupo de ecuaciones 3.38:

FIGURA 3.21 SALTO TIPO C

y 2aab l = −70 .3013 + 105 .2782 − 34.5074 y2 y2

 l    y   2

2

 l  y 2aab l = − 21.27468+ 27.69224 − 5.84837  y2 y2  y2 

S0=0.05 2

S0= 0.1 2

 l  y 2aab l = − 10.03826 + 12.32512 -1.553933   y2 y2  y2 

S0=0.15

y 2aab  l  l = − 6.270411 + 7.688431 − 0.6595499   y2 y2  y2  y 2aab = − 5.473908 + 6.860996 l − 0.7131287 y2 y2

 l  y  2

y 2aab = − 4.487159 + 5.763412 l − 0.9493253 y2 y2 y 2aab = − 4.641107 + 5.828596 l − 0.6131664 y2 y2

   

 l  y  2

2

S0=0.20

2

S0=0.25    

2

 l    y   2

S0=0.3 2

S0=0.5

_______________________________________________ 184 Hidráulica de las Conducciones Libres

y 2aab l = − 2.741502 + 3.61356 − 0.6251981 y2 y2

 l    y   2

2

S0= 1.0

Con estas soluciones numéricas se obtiene el valor de l y se ubica la primera sección y a partir de ahí con la longitud del salto se ubica la última. La profundidad conjugada del salto, y2, se obtiene por las ecuaciones desarrolladas para S0 ≈ 0. Tipo D y E En el caso del salto tipo D, figura 3.22, Kindsvater (1944) desarrolló la siguiente ecuación para las conjugadas:  cos 3 ϕ   y2 1     1 + 8NF12  =  1 − 2N tg ϕ  − 1 ----------------------- 3.39 y 1 2 cos ϕ      donde N es un factor empírico que depende de la longitud del salto

y de ϕ. Para simplificar la expresión se definen: Γ12 =

cos 3 ϕ ----------------------------------------------------- 3.40 1 − 2N tg ϕ

G 12 = Γ12 ⋅ NF12 --------------------------------------------------------- 3.41

y entonces para secciones rectangulares se propone:

(

)

y2 1 = 1 + 8G12 − 1 y1 2

---------------------------------------------- 3.42

FIGURA 3.22 SALTO TIPO D

_______________________________________________ El principio de momentum 185

Bradley y Peterka (1957) y Peterka (1963), encontraron una función N=ƒ(ϕ) y Rajaratnam (1967) la expresó así: ϕ Γ = 100,027 ------------------------------------------------------ 3.43 donde ϕ se sustituye en grados. En adición estos investigadores demostraron que la fórmula puede aplicarse también al salto tipo E, figura 3.20, y entonces el término de la izquierda es: d2/d1 o y2/y1. Una gráfica mostrando la relación entre NF y y2/y1 para canales rectangulares aparece en la figura 3.23. 75

0.5

0.4

0.3

0.25

0.2

50 y2/y1

0.15 0.10 0.05

25 0

0 0

5

10

15

20

25

30

NF1 FIGURA 3.23 SOLUCION GRAFICA DE LA ECUACION 3.39 PARA DIFERENTES VALORES DE S0.

Un algoritmo sencillo para determinar el tipo de salto se da a continuación:

Algoritmo: 1. 2. 3. 4.

Recopilar la base de datos necesaria Calcular la conjugada de la y1aarr para S0 = 0 y llámese y2. Si y2 ≥ y2aab el salto es tipo A o tipo B. Si no se cumple el paso 3, entonces calcular la conjugada de la y1aarr para S0 ≠ 0 y llámese y2(ϕ).

_______________________________________________ 186 Hidráulica de las Conducciones Libres

- Si y2(ϕ)= y2aab el salto es tipo D. - Si y2(ϕ) < y2aab el salto es tipo E. - Si y2(ϕ) > y2aab el salto es tipo C. Tipo F. El salto tipo F se desarrolla totalmente en un canal con pendiente supercrítica.

Para el análisis del salto tipo F y tomando como base la Ecuación General del momentum y dándole paso a las siguientes consideraciones: • El canal es rectangular. • •

β1 = β2 = 1 ∑Pƒx = 0 y ∑fƒ= 0

•

El peso del agua es W= donde

A1 + A 2 L γk ' 2 cos ϕ

L ≈ L ′ = X(d 2 − d1 ) cos ϕ

siendo X un factor de inclinación k' un factor de corrección que resulta de asumir que la superficie del agua en el salto es un plano. entonces la ecuación tiene la siguiente solución:

)

(

d2 1 = 1 + 8M2 − 1 ---------------------------------------------- 3.44 d1 2

donde: M=

NF1

1 − [k ' L ′ sen ϕ / (d 2 − d1 )]

------------------------------------ 3.45

y k’ ≈ 1

En el caso de X no debe ser ignorada, excepto para pequeños valores de ϕ (Rajaratnam, 1963). Keunison (1944) sugiere un valor de X = 3.

_______________________________________________ El principio de momentum 187

S0 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

A 1,417 1,705 2,023 2,387 2,800 3,300 3,862

B -0,667 -0,719 -0,841 -0,933 -1,200 -1,200 -0,962

TABLA 3.2 VALORES DE A Y B PARA LA ECUACIÓN 3.46

Por último en experiencias de Hickox (1944), Kindsvater (1944), Bakhmeteff, Matzke (1938) y las del USBR (1957), presentan el siguiente resultado para el tipo F. d y2 ó 2 = A (NF1 ) + B -------------------------------------------- 3.46 y1 d1

Caso de estudio II: salto a la salida de una obra hidráulica.

Este caso es típico en muchas obras hidráulicas, que por necesidad de operación u otra razón trabajan su salida con régimen supercrítico. Se tomará como obra una compuerta plana, figura 3.24, la cual produce a su salida un régimen supercrítico, que encuentra un régimen subcrítico en el canal aguas abajo. Igual que el caso de estudio anterior se considera que en el canal aguas abajo el agua circula con régimen uniforme, esto es, que la sección de control del canal, aguas debajo de la obra, garantiza que al pie de la compuerta el régimen de circulación tenga profundidad constante. La ubicación del salto hidráulico tiene una característica especial, ya que al haber una obra interrumpiendo el paso hacia aguas arriba (tercer caso) si se producen las condiciones para estos saltos (y2aab > y2) entonces el salto se sumergirá al pie de la obra, reduciendo los tipos C, D y E a uno solo, denominado tipo S. _______________________________________________ 188 Hidráulica de las Conducciones Libres

Los casos primero y segundo del caso de estudio II, se comportan de igual forma que los del caso de estudio I, produciendo saltos tipo A y tipo B. Aquí la única diferencia está en que la profundidad supercrítica para realizar el análisis de las conjugadas es, aproximadamente, 0,61 veces la abertura de la compuerta. Este factor depende de la geometría y tipo de compuerta así como de las condiciones de la salida (bisel, aristas, obstrucciones ...). Los dos casos iniciales son: Primer caso: y2 = y2aab aquí el salto se produce a la salida de la compuerta, desde donde se establece la mínima profundidad de la vena contracta y por tanto se denomina tipo A. Segundo caso: y2aab < y2 , en este caso el salto se desplaza hacia aguas abajo y es del tipo B.

FIGURA 3.24 ESQUEMA DE LA SALIDA DE UNA COMPUERTA PLANA CON LA DUALIDAD DE TENER UN REGIMEN SUPERCRÍTICO A LA SALIDA Y UNO SUBCRITICO AGUAS ABAJO.

En ambos casos sucede lo mismo que en canal con cambio de pendiente y por tanto el análisis para la ubicación es el mismo. Tercer caso: y2aab > y2. Aquí el salto tiende a buscar su conjugada aguas arriba pero en este caso, al igual que en el de cualquier otra obra hidráulica, existe un impedimento físico que no permite que esto suceda. A esta situación en que existe la dualidad de regímenes y por tanto el cambio es a través de un salto se _______________________________________________ El principio de momentum 189

denomina salto ahogado o sumergido, siendo muy característico a la salida de las obras hidráulicas en general. Entonces puede plantearse que: si una obra interrumpe el posible retroceso de la masa de agua en busca de su conjugada, se forma el llamado salto sumergido, fig. 3.25. Govinda Rao, 1963, demostró con el principio de momentum para un canal rectangular y S0 ≈ 0 que: y3  2NF12  2 = (1 + S ) φ 2 − 2NF12 + (1 + S)φ  a 

donde: S=

y 2aab − y 2 y2

y φ=

--------------------------- 3.47

)

(

y2 1 = 1 + 8NF12 − 1 y1 2

siendo y2 la conjugada de 0.61* a , si el salto fuera libre.

FIGURA 3.25 SALTO TIPO S A LA SALIDA DE UNA COMPUERTA PLANA.

Chow, 1959, da la siguiente expresión: y3 y 2aab

 y   = 1 + 2NF22aab 1 − 2aab  a   

1/ 2

--------------------------- 3.48

3.7.4 Longitud del salto hidráulico.

_______________________________________________ 190 Hidráulica de las Conducciones Libres

Este es un importante parámetro y en general no se deriva de las consideraciones teóricas. Investigadores como Bakhmeteff y Matzke, 1936; Bradley y Peterka, 1957, Peterka, 1963 y Rajaratnam, 1965, tienen muchos resultados a veces contradictorios. La longitud se definirá como la distancia desde la sección donde comienza el salto hasta un punto en la superficie del flujo inmediatamente aguas abajo del remolino asociado al salto donde la distribución de velocidades tiene una marcada repetitividad en las secciones aguas abajo. •

Secciones rectangulares Para estas secciones hay numerosos estudios que permiten acercar la solución a la realidad del problema. La figura 3.26 agrupa dos importantes soluciones; la brindada por el USBR (Chow, 1959) y la brindada por French (1986) a partir de los estudios de Bradley–Peterka (1957), Rouse (1959), Rajaratnam (1967) y Safranez (1934), para canales con pendiente muy suave o cero. Una aproximación numérica de los siguientes resultados: USBR: L = y 2 (3.4911 + 0.7332NF1 − 0.0640NF12 + 0.0014NF13 ) - 3.49 French: L = y 2 (3.7834 + 0.8893NF1 − 0.0701NF12 + 0.0016NF13 ) - 3.50 Otra solución es brindada por Silvester (1964), en forma de ecuación: L= 9.75 y 1 (NF1 − 1)1.01 ---------------------------------------- 3.51 que si se transforma sustituyendo y1 por la expresión 3.20, quedará con las mismas variables que las anteriores y por tanto puede ser graficada sobre el mismo plano. _______________________________________________ El principio de momentum 191

  y2 (NF − 1)1.01 -------------------- 3.52 L = 9.75  0.5( 1 + 8NF − 1)  1 1  

Otras numerosas soluciones son referenciadas por Sotelo y Cafagi (1997). Entre las expuestas en el trabajo vale destacar las siguientes: a. La de Fawer para calcular la longitud de onda de un salto ondular: 1.2(2π)y 2

Long.onda =

[

]

2.5 (y 2 / y 1 ) − 1 3

La de Bretz (1987) para 3.3< NF1 0,60 metros o en la época de crecimiento sauces de 1 año intercalados con hierbajos con _______________________________________________ El régimen uniforme 235

mucho follaje a lo largo de los lados sin vegetación en el fondo y R > 0,60 metros. Por último, n4 se considerará “muy alto” si el follaje es tal que la altura del agua es menor que el alto de la vegetación, o en la época de crecimiento arbustos, o matojos espesos de un año intercalado con hierbajos con mucho follaje en los lados del canal o una densa vegetación en el fondo, o en la etapa de crecimiento arbustos intercalados con hierbajos y matojos de denso follaje con R > 3 metros.

m5

Por último la selección de m5 depende de la relación entre la longitud de las curvas y la longitud de los tramos rectos. El método del Soil Conservation Service (SCS). Se estima n a partir de un valor básico y su corrección a partir de los factores que miden específicamente (Urquhart, 1975). En este proceso cada factor se evalúa independiente. El SCS sugiere que la turbulencia se utilice como un indicador del retardo (alta turbulencia → alto n). Los pasos a seguir son: 1. Seleccionar la n1 básica, tabla 4.5. Aquí el canal se ve sobre su material base, sin vegetación, obstrucciones y demás factores que serán cuantificados posteriormente. A este nivel n = n1. 2. Modificación por vegetación, tabla 4.5. El retardo de la vegetación se cuantifica: n2. La información suministrada por el SCS debe emplearse muy críticamente buscando la mayor similitud entre la situación real y la tabulada. A este nivel n = n1 + n2.

_______________________________________________ 236 Hidráulica de las Conducciones Libres

3. Modificación por irregularidades del canal, tabla 4.5. Hay que

considerar cambios en el área mojada y cambios en la forma geométrica de la sección. Los cambios del área se analizarán relativa al área promedio. En ambos casos hay que considerar las restricciones que ofrece al flujo el cambio de área o de forma o dimensiones de la sección. La modificación se cuantifica: n3 y a este nivel n = n1 + n2 + n3. 4. Modificación por obstrucción del área mojada, tabla 4.5. La modificación se cuantifica por n4. La tabla del SCS incluye que se valore depósitos, escombros, raíces expuestas, tocones, cepas y troncos. Debe tomarse en cuenta la obstrucción física del área, el grado de turbulencia que crea, la posición respecto a la dirección del flujo y el espaciamiento. A este nivel: 5. n = n1 + n2 + n3 + n4. 6. Modificación por alineación,

tabla 4.5. Esta última modificación es más objetiva ya que la tabla tiene tres opciones en función de la relación entre la longitud de las curvas consideradas (lC) y la longitud de los tramos rectos (lR). La tabla que ofrece French (1985), para emplear en este caso especifica este parámetro de la siguiente forma: Si (lC/lR) entre 1.0 y 1.2 el grado de clasificación es menor. Si (lC/lR) entre 1.2 y 1.5 el grado de clasificación es apreciable. Si (lC/lR) mayor que 1.5 el grado de clasificación es severo. Esta modificación se cuantifica según n5 y el incremento en rugosidad será: n5 = m5 ( n1 + n2 + n3 + n4 ). 7. La n finalmente estimada será: n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 -------------------------------------4.55 Método de medición de la velocidad. Desde el punto de vista teórico el valor del coeficiente de resistencia puede medirse a partir de la medición de la velocidad. En flujos turbulentos e hidráulicamente rugosos la distribución de v según 4.12 es: _______________________________________________ El régimen uniforme 237

v = 2,5 V∗ ln

30 y 30 y = 5,75 V∗ log ks ks

Si v02 es la velocidad a 2/10 de la profundidad o sea, a 0,8d sobre el fondo, donde d es la profundidad y V02 es la velocidad a 8/10 entonces: 24d ----------------------------------------------- 4.56 ks 6d = 5,75 V∗ log -------------------------------------------------4.57 ks

v 02 = 5,75 V∗ log v 08

despejando V* de 4.61 y 4.62 a igualándolas V* = V* , por tanto, v 02 1,381 + log

d ks

v 08

=

0,778 + log

d ks

, si ahora χ =

v 02 , entonces v 08

 d d , que se simplifica a, χ 0,778 + log  = 1,381 + log ks  ks  d d 0,778χ + χ log = 1,381 + log , y a su vez se convierte en, ks ks d d 0,778χ − 1,381 = log − χ log , que al final queda como, ks ks d 0,778χ − 1,381 -------------------------------------------- 4.58 log = ks 1− χ

de otra parte se sabe, Keulegan (1978), que para zonas hidráulicamente rugosas se cumple que,  R v = V∗  6,25 + 2,5 ln ks 

  R  = V∗  6,25 + 5,75 log ks  

entonces asumiendo que R ≈ d

  

y sustituyendo log

R por 4 se ks

tiene,

v 1.78(χ + 0,95 ) = (χ − 1) V∗

_______________________________________________ 238 Hidráulica de las Conducciones Libres

si se establece que, v C RS C = = V∗ gRS g 1 n

1

1

usando la relación C = R 6 , entonces se tiene que

v d6 y = V∗ 3,13 ⋅ n

1,78(χ + 0,95 ) d6 = , de donde se obtiene, (χ − 1) 3,13 ⋅ n 1

entonces,

(χ − 1)d n= 5,57(χ + 0,95 ) 1 6

donde χ =

-------------------------------------------------- 4.59

v 02 v 08

Esta ecuación se aplica en canales anchos con flujos totalmente rugosos (distribución logarítmica). Chow en 1959 vaticinó esta hipótesis pero no se comprobó hasta que en 1977 French y McCutecheon la verificaron en Tenessee. Fórmulas empíricas. Numerosas fórmulas aparecen en la literatura para el cálculo de n en las condiciones predefinidas de los experimentos que se desarrollaron. Dos grandes aplicaciones se desprenden de estos trabajos, la de posibilitar reproducir un lecho de material graduado con n conocida, lo cual es importante para el desarrollo de modelos físicos a escala reducida. La otra aplicación es la de brindar una fuente de referencia para estimaciones de n. Algunas de estas fórmulas empíricas son: • Meyer-Peter y Muller (1948)

_______________________________________________ El régimen uniforme 239

Para materiales no cohesivos de partículas predominantemente 1 6 gruesas, sugieren n = 0,038d090 ------------------------------4.60 donde d090 es el diámetro en metros del material del lecho tal que el 90% en peso es menor.

•

Limerios (1970) citado por el HEC-RAS, obtuvo una expresión estudiando once cauces con materiales que van desde pequeñas gravas hasta cantos rodados de tamaño medio. 1 0,1129R 6 ----------------------------------------- 4.61 n=  R   1,16 + 2 log  d84  donde R está en metros (0,3 ≤ R ≤ 1,83) d84 diámetro del material en metros que iguala o excede el 84% de las partículas. (1,5 mm ≤ d84 ≤ 250 mm). Los trabajos de Limerios por sus características proporcionan una buena base para determinar la n básica del método de Cowan.

•

Simons y Senturk (1976). 1 n = 0,047d06 ----------------------------------------------------- 4.62 d• diámetro (mm) de arena, uniformemente seleccionada y ubicada en los lados y fondos del canal, utilizada en 1923 por Strickler en sus experimentos.

•

Raudkin (1976) Plantea para el mismo material dos expresiones 1

n = 0,042d 0 6 --------------------------------------------------- 4.63 donde está dada en metros. 1 6 n = 0,013d065 -------------------------------------------------- 4.64

_______________________________________________ 240 Hidráulica de las Conducciones Libres

donde d065 es el diámetro del material del lecho en milímetros tal que el 65% del material en peso es menor. •

Garde y Raju (1976); Subramanya (1982) Para el mismo material plantearon en su momento 1 6 n = 0,047d•50 ---------------------------------------------------4.65 donde d050 es el diámetro del material del lecho en metros, tal que el 50% en peso es menor.

•

Blalock y Sturm (1981). Cuando las paredes se comportan como hidráulicamente rugosas, la ecuación de Nikuradze puede ser empleada para calcular f y emplearse la fórmula de Darcy-Weisbach en cada subsección, 1 C R = CN log G i ----------------------------------------------- 4.66 fi ki donde ki es la rugosidad equivalente de las paredes fi es el factor de fricción CG un coeficiente que depende de la geometría de cada subsección. CN coeficiente de Nikuradze que usualmente se toma igual a 2. Calculando ni a partir de fi se tiene, 1

ni =

Ri 6 C R 8g * C N log G i ki

---------------------------------------

4.67

•

Jarret (1984) _______________________________________________ El régimen uniforme 241

Desarrolló una ecuación para cauces con S0 > 0,002 estudiando más de veinte cauces. n = 0,39 ⋅ S 0f,38 ⋅ R −0,16 ------------------------------------------ 4.68 Sf pendiente de la rasante friccional, si no se conoce se iguala a la del agua. R en metros. La ecuación es aplicable a: cauces estables de material friccional, para 0,002 < S0 < 0,04 y 0,15 < R < 2,1 en corrientes sin sedimentos. •

Ahmed y Saad (1992). S. E. Ahmed y M. B. Saad realizan un estudio en los canales Manoujy, Beher y Tawfiky en el Delta Barrage, Egipto. Son canales excavados en tierra con el fondo de arena de diámetro medio 0,40; 0,38 y 0,35 mm respectivamente, que fueron sometidos durante un año a un estudio de rugosidades. Ahmed-Saad estudiaron tres fórmulas para el cálculo de la rugosidad relacionadas con la C de Chezy,  12R   según Colebrook-White (1937) ---------C = 18 log  ks 

4.69 C=

25 1

k s6

R 16 según Manning (1959) ------------------------- 4.70

 θ' C = C 90  θ

   

0,5

según Engelund y Hansen (1967) --------- 4.71

donde C90 es la rugosidad acorde con las partículas θ´ y θ son parámetros de Shields. El cálculo de C90, θ y θ´ se realizó según,  2R C 90 = 18 log  D 50

  --------------------------------------------- 4.72 

_______________________________________________ 242 Hidráulica de las Conducciones Libres

θ=

RS (γ p − 1)D 50 ------------------------------------------------- 4.73

θ´ = 0,4θ 2 + 0,06 ----------------------------------------------- 4.74

donde γp es el peso específico de las partículas que sedimentan en el canal. En las series analizadas llegaron a la conclusión que los errores en las fórmulas empleadas fueron altos y para disminuirlos tuvieron que calibrar el parámetro ks. Para estos emplearon la relación dada por Van Riju (1984), ks = ks partículas + ks forma ------------------------------------4.75 ∆  −25    k s = 3D go + 1.1∆ 1.1 − e  λ   ------------------------------- 4.76    

donde D90 el diámetro para el cual 90% en peso es más fino ∆ y λ son coeficientes de forma de altura y longitud. Por su parte Ahmed-Saad calibrando KSpartícula y KSforma encontraron k Spart = 5.49 ∗10 −6

R − 0,01824 ----------------------------- 4.77 D 90

∆ k Sforma = 0,972∆−0,732   λ

0,55

---------------------------------- 4.78

y la calibración de las fórmulas de Engelund-Hansen reveló, θ´ = 0,329θ´ + 0,324θ + 0,095 ------------------------------ 4.79 Como conclusión plantean como las mejores fórmulas las de Colebrook-White y Manning con el parámetro ks calibrado mientras que la de Engelund-Hansen sobrestima el coeficiente C.

_______________________________________________ El régimen uniforme 243

Este trabajo deja claro la necesidad de contar con más investigaciones de campo como base para la preparación de modelos de estimación de la rugosidad. •

HEC-RAS (1998) Propone una ecuación para calcular n como función de ks 1

R6 n= -------------------------------------------- 4.80  R  18 log12.2  kS   donde R y ks en metros.

Freeman, Rahmeyer, Derrik y Copeland (2000). Gary E. Freeman y sus colaboradores presentan, en Internet, un trabajo sobre la estimación del valor de n en las llanuras de inundación de secciones naturales con arbustos y arboles. El trabajo es el resultado del Programa de Investigaciones de Control de Avenidas en Canales de la Waterways Experiment Station del Cuerpo de Ingenieros del Ejercito de E.U. •

FIGURA 4.10 ESQUEMA DE VARIABLES QUE ENTRAN EN LOS CÁLCULOS.

Dos fórmulas son presentadas, - Para flujo sumergido: Y0 > 0,8 H E A n = 0.183K n  s s  ρA i

-

  

0.183

 H  Y  0

   

0.243

ν (MA i ) 0.273   R

0.115

 1    V *

1.481

R 2 / 3 S1/ 2

Para flujo parcialmente sumergido: Y0 < 0,8 H

_______________________________________________ 244 Hidráulica de las Conducciones Libres

E A  n = 9.159.10 −5 K n  s *s   ρA i 

0.207

R (MAi* )0.0547   ν

0.490

 1    V *

0.924

R2 / 3S1/ 2

donde, Ai As Es g H H’ Kn M Y0 W

ν ρ Ai* V*

es el área frontal de cada planta individual calculada según (H’W), en unidades inglesas (p2). es el área total de la sección de las ramas de cada planta medida a H/4 desde la base de la planta, (p2). es el módulo de rigidez de cada planta, (lbs/p2). aceleración de la gravedad (32.2 p/s2) alto de la planta en posición vertical (p). alto de la masa de ramas de la planta en posición vertical (p). unidades de conversión para la fórmula de Manning igual a 1.49 f1/3/s (1 m1/3/s en unidades métricas). número de plantas por p2. profundidad del flujo en p. ancho promedio de los troncos, p. viscosidad en p2/s. densidad en slugs/p2 . es calculada como: Ai* = [Y0 - (H - H’)] W. es calculada según: V* = (gRS)1/2

El módulo de rigidez se puede calcular ajustando una función sobre la base experimental de G.Freeman y entonces obtener,  H E S = 160000  Ds

  H  + 454  D   s

2

  H  + 37.8  D   s

   

3

donde: 2 ES es el módulo de rigidez en lb/p El valor de n en las fórmulas presentadas por Freeman y sus colegas deben ser calculada mediante aproximaciones sucesivas ya que n depende del valor de la profundidad, por tanto se sugiere el siguiente algoritmo:

Algoritmo. _______________________________________________ El régimen uniforme 245

Suponer el valor de la profundidad. En dependencia de la relación entre Y0 y H, definir una de las dos fórmulas a emplear. 3. Calcular n. 4. Calcular el gasto según Manning: QM. 5. Comparar el gasto de dato con QM y Si QDATO ≠ QM, regresar al punto 1. Si QM = QDATO ± error, terminar el cálculo. 1. 2.

Tablas para la estimación de n. Numerosos autores han desarrollado tablas para poder elegir el valor de n. Al final del capítulo aparecen las tablas planteadas por Chow (1959) y Horton, publicada esta última por W. H. King (1963), Anexo 1.

Fotografías y descripción para la estimación de n. Tal vez uno de los métodos más útiles es este, ya que el especialista ve las fotos representativas del canal, lee la descripción del mismo y puede así identificar lo más cercano o su caso real. El U.S. Geological Survey tiene un buen trabajo en esta dirección referenciado por French (1985). El trabajo se refiere a los ejecutados por Barnes (1967). Por su parte Chow (1959) cita a Scobey (1939) y a Ramser (1929) que en su momento realizaron una meritoria labor en este sentido, en ambos casos para el Departamento de Agricultura de los E.U. Los cálculos realizados por el U.S.G.S. para determinar en cada caso el valor de n que acompaña a cada foto se realizaron _______________________________________________ 246 Hidráulica de las Conducciones Libres

midiendo el gasto, los perfiles del agua, las propiedades de la conducción, definiendo más de dos secciones en cada caso. La fórmula empleada fue: 1

 2 n (h + hv )1 − (h + hv )n ∑ (k∆hv )J−1,J  1  J=2  ---------------------- 4.81 n= n L J−1,J Q  ∑ 2 2   3 3 J = 2 AR J −1 AR J  

(

) (

)

Con referencia a la figura 4.11, h es la elevación del agua respecto al plano de referencia hv es la carga a velocidad (α V2 / 2g). ∆hv es el cambio en carga a velocidad k coeficiente (o si es > uniforme el canal y 0,5 ni no lo es) L distancia entre secciones.

4.4.3

Secciones con rugosidad compuesta.

En muchos canales la rugosidad varía a lo largo del perímetro y en esos casos es necesario calcular el equivalente o rugosidad representativa de todo el perímetro. La rugosidad equivalente o efectiva es la usada en el cálculo del régimen uniforme en estos canales.

_______________________________________________ El régimen uniforme 247

FIGURA 4.11 PLANTA Y PERFIL PARA LA FORMULA 4.73

FIGURA 4.12 UN EJEMPLO DE UNA SECCION CON RUGOSIDAD COMPUESTA

En canales naturales o secciones compuestas, el área mojada es dividida en subsecciones asociadas a los coeficientes n conocidos, figura 4.12. En los métodos que se exponen a continuación, el cálculo de Pi no incluye la frontera imaginaria de una u otra división entre subsecciones, figura 4.12. Los métodos son:

a.

Horton (1933) y Einstein (1934).

_______________________________________________ 248 Hidráulica de las Conducciones Libres

Asumiendo que la velocidad media es igual a la velocidad media en cada subsección: v = v 1 = v 2 .... = v n .    ne =     

2

 3    -------------------------------------------------   

∑ (P n ) n

3

i

i

2

1

P

4.82 donde n es el número de subsecciones en que se divide la sección. Esta situación se da comúnmente en la realidad debido a causas naturales o al propio diseño de canales donde los lados se revisten de un material y el fondo de otro. En corrientes con sedimentos que se depositen en el fondo del canal la diferencia de n entre paredes y fondo se va acrecentando a lo largo de la vida útil de la conducción. b.

Pavlovski (1931), Mülhojer (1933) y Einstein-Banks (1950). Asumen que la fuerza total que resiste el movimiento es igual a la sumatoria en cada subsección, entonces.    ne =     

c.

n

∑ (P n ) i

i

2

1

P

1

 2    ----------------------------------------------- 4.83    

Lotter (1933). Asume que el gasto total es igual a la suma de los gastos de los subsecciones, entonces, ne =

PR n

∑ 1

5

5

Pi R i ni

5

------------------------------------------------- 4.84 3

_______________________________________________ El régimen uniforme 249

En el diseño de canales o en instalaciones de laboratorio, incluso de sección simple, los ángulos de la frontera de la sección son bisecados y la subdivisión se compone del perímetro, la superficie del agua y la intersección de los ángulos. Los métodos descritos a continuación pueden usarse en canales naturales. Un ejemplo comparativo de las tres variantes propuestas aparecen reflejadas en las figuras 4.12. La forma geométrica de la sección y sus dimensiones se toman de un ejemplo expuesto por French (1985). d.

Propuesta de R.G. Cox (1973), del US Army Corps of Engineers, de Los Angeles. n

ne =

∑n A i

A

i

------------------------------------------------ 4.85

1

e.

Método de Colebatch y Cox (1973).  ne =   

n

∑A n i

1

3/2 i

 A  

2/3

-------------------------------------- 4.86

en general cualquiera de los cinco métodos son saltisfactorios, aunque no se conoce su precisión en una aplicación particular.

_______________________________________________ 250 Hidráulica de las Conducciones Libres

y

4 3.75 3.5 3.25 4.89 3 2.75 2.5 2.25 2 0.018

4.88

4..90

4.87

0.02

4.91

0.022 ne

0.024

0.026

FIGURA 4.12 EJEMPLO DE FRENCH AMPLIADO A VARIAS PROFUNDIDADES PARA COMPARAR EL RESULTADO DE LA S FORMULAS DE ne.

_______________________________________________ El régimen uniforme 251

CAUCE NATURAL CON LLANURAS DE INUNDACION FORMADAS POR DEPOSITOS DE MACADAM. NOTESE EN LA MARGEN IZQUIERDA EL CRECIMIENTO DE ARBOLES Y ARBUSTOS CERCA DEL CAUCE PRINCIPAL.

_______________________________________________ 252 Hidráulica de las Conducciones Libres

5 CÁLCULOS ASOCIADOS AL RÉGIMEN UNIFORME Después de estudiar la teoría del régimen uniforme, este capítulo complementa aquella con los cálculos asociados a este régimen de circulación. El análisis se extiende a las secciones compuestas, de tanta importancia para los cálculos de conducciones libres naturales y en aquellos casos de secciones diseñadas por el hombre, la geometría se complica para facilitar el trabajo hidráulico de la conducción. El final del capítulo se dedica a la relación entre el régimen uniforme y el crítico y a conceptos y parámetros tan importantes como los de pendiente crítica y pendiente límite. 5.1

Factor de Sección y Módulo de Gasto.

Si se utiliza la ecuación de Manning y se transforma convenientemente se puede obtener: 2 Q 1 = AR 3 ------------------------------------------------------- 5.1 vs n donde K es el denominado módulo de gasto.

K=

El parámetro AR2/3, dependiente solamente de la geometría y las dimensiones de la sección, se denomina factor de sección, Y = AR

2

3

=

Qn ------------------------------------------------------- 5.2 vs

Entonces puede plantearse la relación entre K y Y, K=

1 Y ---------------------------------------------------------------- 5.3 n

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

253

El factor de sección y el módulo de gasto para una sección transversal y una n dada, son función de la profundidad de circulación y solo existe un valor de y para cada valor de Y o K en el caso de secciones transversales abiertas. Las secciones cerradas, como la circular, pueden presentar otras características debido a la geometría específica de cada una de ellas, figura 5.1. De forma general puede plantearse que, para un gasto dado, una rugosidad dada y una pendiente de fondo, en una geometría definida, por su forma y dimensiones, el régimen uniforme solo puede circular con una profundidad, denominada: profundidad normal de circulación. 5.1.1 El exponente hidráulico del régimen uniforme.

Como K es una función de y para una rugosidad, toma y dimensiones de la sección transversal, puede plantearse K 2 = C o y N ------------------------------------------------------------- 5.4 donde, Co es una constante. N es el denominado exponente hidráulico del régimen uniforme. Desarrollando una expresión para N se obtiene, 2 ln K = ln C o + N ln y

derivando ambos términos, d (ln K ) = N ---------------------------------------------------------- 5.5 dy 2y

Ahora a partir de a ecuación 5.2 y asumiendo que n no varíe en la profundidad puede plantearse que, K=

2 1 AR 3 n

Aplicando logaritmo y derivando respecto a y se obtiene: ________________________________________________ 254 Hidráulica de las Conducciones Libres

d (ln K ) = 1 dA + 2 1 dR dy A dy 3 R dy 1 0.9

Circular Portal

0.8

Rectangular

y/b

0.7

Herradura

0.6

Trapecial

y/d

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

AR^2/3 FIGURA 5.1 GRAFICO DEL FACTOR DE SECCION PARA ALGUNAS SECCIONES ABIERTAS Y CERRADAS.

como dA = Tdy entonces, d (ln K ) = T + 2 P d  A  = T + 2 P  1 (T − R ) dP  dy A 3 A dy  P  A 3 A  P dy  d (ln K ) = 1  5T − 2R dP  ----------------------------------------- 5.6 dy 3A  dy 

entonces igualando 5.5 y 5.6 queda N=

2y  dp   5T − 2R  ---------------------------------------------------5.7 3A  dy 

La ecuación 5.7 es la formulación general para el exponente hidráulico del régimen uniforme.

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

255

Si se particulariza esta expresión en diferentes geometrías se obtienen resultados interesantes. Algunos de ellos son los siguientes: Caso: sección trapecial. A = by + my 2 P = b + 2y 1 + m 2 , por lo que

dp = 2 1+ m2 dy

T = b + 2my

entonces, según Chow (1959):     1 + 2m y   1 + m 2  y    b b 10  8     N=  ------------------ 5.8 −   3  1 + m y   3 1 + 2 1 + m 2 ⋅  y    b  b        

Una expresión similar fue desarrollada por Chugaev (1931) pero empleando fórmula de Chezy. La ecuación 5.8 indica la existencia de una familia de curvas como función de m y (y / b ) , figura 5.2. Las curvas indican que N se mueve en una rango entre 2 y 5.3. Caso: sección rectangular. Como caso particular puede llegarse al valor de N a partir de 5.8 haciendo m = o, entonces N=

(y / b) ----------------------------------------------- 5.9 10 8 − 3 3 1 + 2(y / b )

Caso: Sección triangular. Para esta sección, A = my 2 P = 2y 1 + m 2 por lo que

dP = 1+ m2 dy

T = 2my

________________________________________________ 256 Hidráulica de las Conducciones Libres

entonces la ecuación 5.7 queda, N=

2y 3my 2

(

 my 2 2 1+ m2 10my − 2 2  2y 1 + m

)

 16 , constante --------------------------------------------------- 5.10 N= 3 10

m=0

m=0.5 m=1

m=2

m=6

y/b

y/d

1

circular

0.1

triangular

0.01 2 FIGURA 5.2

2.5

3

3.5

N

4

4.5

5

5.5

COMPORTAMIENTO DE N PARA DIFERENTES SECCIONES.

5.2 Cálculo del gasto y la profundidad normal de circulación en canales con sección de geometría simple.

Se denomina profundidad normal de circulación, yn, a la que existe para una geometría y dimensiones definidas, para un valor de rugosidad equivalente para toda la sección, una pendiente de fondo estable y un gasto constante, si y solo si, el régimen es uniforme. Entonces puede plantearse que: ________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

257

yn = f (geometría, dimensiones, n, so, Q) ----------------------- 5.11 De igual forma para una profundidad dada en un canal de geometría y dimensiones definidas, para un valor de rugosidad equivalente para toda la sección y una pendiente de fondo estable, el gasto calculado por las fórmulas del régimen uniforme será el que asegure que la profundidad definida inicialmente sea la profundidad normal de circulación. Cálculo de la profundidad normal.

5.2.1

Dentro de los parámetros que influyen en el cálculo de yn la rugosidad es el que más incertidumbre aporta y por tanto el que con más cuidado hay que predecir. Planteando la ecuación de Manning como fórmula de trabajo se tendrá que V=

1 23 12 R S n

empleando la ecuación de continuidad se transforma en, Q=

2 1 1 AR 3 S 2 -------------------------------------------------------- 5.12 n

entonces puede enunciarse que para el resto de los parámetros conocidos la profundidad que haga que se cumpla la igualdad dentro del rango de error preestablecido será, para ese error, la yn, lo que se puede plantear como,

(

)

2 1 1 AR 3 yn S 2 ± e Q ---------------------------------------------- 5.13 n donde eQ es el error preestablecido relativo a Q.

Q=

En el cálculo normal y para muchas aplicaciones de diseño preliminar un error de [± 0,01Q] (uno por ciento) es aceptable, pero si se emplea el cálculo numérico auxiliado de un medio de cómputo electrónico se pueden lograr yn con errores tan bajos como se desee. ________________________________________________ 258 Hidráulica de las Conducciones Libres

La solución de la ecuación 5.13 se convierte en un pequeño problema numérico para la mayoría de las geometrías de la sección transversal. •

Solución directa: sección triangular.

Como para esta sección se cumple que:

A = my2

y

P = 2y 1 + m 2

entonces, AR

2

3

 my 2 = my 2   2y 1 + m 2 

   

2

3

5

=

m 3y

8

3

(2 1 + m ) 2

2

3

y yn puede calcularse de forma directa,

(

 Qn 2 1 + m 2 ⋅ yn =  5  S m3  •

)

2

3

3

8  ------------------------------------------ 5.14  

Casos en que la solución no es directa.

Existen numerosas técnicas y métodos para la solución de yn en los casos en que la geometría de la sección transversal es simple. Dentro de estas geometrías simples se encuentran secciones transversales abiertas y cerradas y dentro de las secciones cerradas hay que diferenciar aquellas en que su techo cierra bruscamente (sección cajón) de aquellas en que el cierre es gradual en forma curvada (circulares, portal.....). Estas últimas presentan características geométricas tales que cálculo de la profundidad normal o el gasto se complica si está asociado a altas profundidades de circulación. De forma general las alternativas de cálculo numérico que se verán a continuación son validas en todos los casos teniendo en cuenta las particularidades que la geometría de cada sección impone. ________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

259

Una solución iterativa empleando bipartición. Como se explicó para el cálculo de yc esta técnica numérica es muy factible para la solución de estos problemas. Los detalles del procedimiento se explican en el capítulo 2. Una propuesta de algoritmo, expresado en una secuencia de decisiones, se expone a continuación:

Algoritmo. 1. 2.

Seleccionar los límites iniciales. Calcular y n = (Lim max − Lim min ) / 2

3.

Si  AR 3 S 2  = Q ± (0,001∗ Q) entonces se habrá llegado a la

4.

solución con un error igual o menor que 0,1%. Si no se cumple el punto 3 hay que verificar el sentido del error.

1 n

2

1

 

2 1  1 n  mínimo: Limmin = yc y regresar al punto 2. 2 1  1 Si Q >  AR 3 S 2  y n entonces hay que disminuir el límite n  máximo: Limmax = yc y regresar al punto 2.

Si Q <  AR 3 S 2  y n entonces hay que aumentar el límite

Una solución de iteraciones utilizando Newton-Raphson. Esta variante, dentro de las alternativas de las soluciones iterativas, es de las que proporciona mayor rapidez de convergencia siempre que el primer punto esté bien seleccionado o que la curva respuesta tenga una sola concavidad. Para la profundidad normal las funciones a emplear son las siguientes: Para F (y) F(y ) = AR

2

3

−

Qn S

________________________________________________ 260 Hidráulica de las Conducciones Libres

cuando F(y)=0, la solución se ha encontrado. Para F’ (y) F´(y ) = A

( )

El término

dP se resuelve para cada sección en particular y se dy

2 dA 2 d 23 2 − 1 dR R +R 3 = AR 3 + TR 3 dy dy 3 dy 2 5 2 5 dP F' (y ) = TR 3 − R 3 ------------------------------------------ 5.15 3 3 dy

adiciona a la expresión. De esta forma la nueva interacción da como valor para y, y i+1 = y i −

F[y i ] ------------------------------------------------------- 5.16 F´[y i ]

En este caso la propuesta de algoritmo es el siguiente:

Algoritmo. 1.

Resolver dP / dy para la sección específica y completar 5.15.

2. 3. 4. 5.

i=1

6.

Si  AR 3 S 2 

7.

Suponer yi. Calcular F (yi ) y F’(yi ). Calcular la yi+1 según 5.16. 1 n

2

1

  yi+1

(

)

= Q ± 0,001∗ Q entonces se habrá llegado a

la solución con un error igual o menor 0,1% y yn = yi+1. Si no se cumple el paso 6, se debe calcular el error de la iteración para comprobar que siempre disminuya, de no ser así la yi supuesta en el paso 3 se debe cambiar. 2 1 1 AR 3 S 2 − Q n ------------------------------------------- 5.17 e i+1 = Q Si i ≥ 2 entonces: Si ei < ei+1 recomenzar por el paso 3 con una y diferente.

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

261

8.

Si ei > ei+1 continuar el paso 8. Hacer i = i + 1 y regresar al paso 4.

Una solución gráfica por etapas. Idéntica técnica a la utilizada para el cálculo de yC, solamente cambiando la ecuación de cálculo. El algoritmo sería como sigue,

Algoritmo. 1.

Seleccionar dos valores de la profundidad y1 y y2.

2.

Evaluar Q1 y Q2 según

3.

4.

5.

6.

7.

2 1 1 AR 3 S 2 empleando para cada caso y1 n

y y2. Graficar y1–Q1, y2–Q2 en un plano y-Q, sobre ejes a una escala suficientemente grande. Si los ejes son logarítmicos la solución se obtendrá más rápido. Interpolar o extrapolar, sobre la recta trazada uniendo los puntos 1 y 2, el valor del gasto de cálculo (Qcalc) y así obtener un nuevo valor de la profundidad (ynuevo) con el cual evalúan A y R. Si  AR 3 S 2  = Q ± (0,02 ∗ Q ) entonces se habrá llegado a la 1 n

2

1

 

solución con un error menor o igual al 2% que es aceptable para este método. Si no se cumple el punto 5 se agrega el nuevo valor y-Q al gráfico y la recta, que unía dos puntos originalmente se sustituye por una curva suave que pase por los tres puntos. Se interpola con (Qcalc) sobre la curva y se obtiene una nueva profundidad con la cual se evalúan A y R y se regresa al paso 5.

Una solución por interpolación numérica. Una variante del anterior algoritmo, se puede emplear para solucionar el cálculo de la yn a partir de sustituir la confección de la gráfica y la interpolación o extrapolación sobre ella por una ________________________________________________ 262 Hidráulica de las Conducciones Libres

rutina numérica a partir de una función spline o un polinomio de segundo o tercer grado. Como la función spline no extrapola, dos de los puntos deben darse bien alejados de la posible solución para garantizar la interpolación. La técnica puede realizarse con cualquier otra función e incluso con la adición de un proceso de eliminación de puntos alejados, por ejemplo, si se utiliza un polinomio de segundo grado, se seleccionan tres puntos arbitrarios se evalúan los coeficientes de la función, se interpola o extrapola y de no cumplir el nuevo punto se reevalúan los coeficientes de la función, pero de los cuatro puntos, solo se toman los tres de menor error relativo, y así sucesivamente. Esos algoritmos son de rápida convergencia. Una solución basada en gráficos adimensionales. Chow (1959) propone una gráfica sobre ejes adimensionales para las secciones trapecial, rectangular y circular que es en extremo útil para determinar la yn. 8 2 2 Dimensionalmente AR 3 es L2∗L 3 = L 3 por tanto si se presenta un gráfico con los ejes según: Eje X: y/L

Eje Y:

Qn S

8

2

8

/ L 3 = AR 3 / L 3

donde L es una longitud característica de la geometría, que en el caso de las secciones trapeciales es b y en caso de las circulares el diámetro do. En la figura 5.3, aparecen gráficos para este método y a continuación la secuencia de trabajo con ellos. La secuencia de cálculo es, 1. Verificar que el talud de la sección trapecial esté entre los que aparecen en la gráfica, o que sea una sección circular. 2.

Calcular Qn / S y dividir el número resultante entre b

8

3

si la

8

3.

sección es trapecial, o entre d o 3 si la sección es circular. Ir al gráfico correspondiente y calcular y/b o y/d según sea el caso y calcular el valor de y. Evaluar A y R.

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

263

Si (1/ n)AR 3 S 2 = Q ± (0,02 ∗ Q ) se llegó a la solución con un error menor o igual al 2%, valor muy aceptable para un método gráfico. Si no se cumple el punto 5 tomar el valor de y hallado en el punto 3 y utilizar una técnica de iteraciones para lograr el valor final. 2

4.

5.

1

Una solución analítica para secciones trapeciales. Una solución muy particular, solo para secciones trapeciales y rectangulares, se encuentra a partir de la ecuación de Manning, esta solución puede ser útil en las rutinas de diseño de la sección transversal., donde la elección previa de (b/y) puede ser factible. •

El desarrollo es como sigue: 1 n

2

Como se sabe Q = AR 3 S así,

Qn S

= AR

2

1 2

y esta expresión puede escribirse

3

que para una sección trapecial queda,  by + my 2 = by + my  S  b + 2y 1 + m 2

Qn

(

2

)

  

2

3

y de aquí se obtiene,  5/3  b  Qn 1 = y 8 / 3  + m   b S y   + 2 1+ m2 y 

     

2/3

________________________________________________ 264 Hidráulica de las Conducciones Libres

y/b

y/d

0.1

0.01 0.0001

0.001

0.01

AR^0.67/b^8/3

0.1

AR^2/3/d^8/3

FIGURA 5.3 GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CALCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL DE CIRCULACION EN SECCIONES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

265

y/b

y/d

1

0.1 0.001

0.01

0.1

AR^0.67/b^8/3

1

10

AR^2/3/d^8/3

FIGURA 5.3 GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CALCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL DE CIRCULACION EN SECCIONES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

________________________________________________ 266 Hidráulica de las Conducciones Libres

y/b

y/d

10

1 0.1

1

AR^0.67/b^8/3

10

AR^2/3/d^8/3

FIGURA 5.3 GRAFICO ADIMENSIONAL PARA EL CALCULO DE LA PROFUNDIDAD NORMAL DE CIRCULACION EN SECCIONES TRAPECIALES Y CIRCULARES.

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

267

de donde se obtiene para secciones trapeciales b   + 2 1 + m 2  y  yn =  5/8 b   + m  y 

1/ 4

 Qn     S

3/8

---------------------------------- 5.18

que para secciones rectangulares, haciendo m = o se tiene, 1/ 4

b   + 2  y  yn =  5/8 b   y

 Qn     S

3/8

-------------------------------------------- 5.19

Estas dos últimas ecuaciones pueden ser muy útiles en el diseño de estas secciones transversales, a partir de una rutina de calculo que se base en suponer el valor de (b/y) como primer paso del algoritmo. Soluciones aportadas por Valle Cuellar (1994). Para secciones trapeciales   1,30nQ y ni = b  8  1  (m + 0,73 )S 2 b 3 

0,63

------------------------------------ 5.20

y propone iterar con y ni + 1

 nQ    S  =

0,60

(b + 2y

i

b + my i

1+ m2

)

0,40

-------------------------- 5.21

hasta que las profundidades en dos iteraciones sucesivas no difieran sin dar criterio de error para terminar el cálculo. Para secciones circulares y ni =

1,316  nQ    d0,35  S 

0,508

--------------------------------------------5.22

________________________________________________ 268 Hidráulica de las Conducciones Libres

2

1

y propone iterar hasta que Q = (1/ n)AR 3 S 2 sea muy semejante al de diseño, sin dar, tampoco en este caso, criterios de error permisible. Valle propone como ecuación para el gasto máximo admisible en esta sección, con el fin de evitar la zona de dualidad, la siguiente expresión. Q max =

0,335282 8 3 12 d o S -------------------------------------- 5.23 n

para una relación de y = 0.93812do -------------------------------------------------- 5.24 Para secciones tipo U Se propone una solución inicial a partir de y ni =

y

1,012  nQ    R 0g,329  S 

encontrar

0,498

------------------------------------------- 5.25

solución final iterando hasta que Q = (1/ n)AR S sea muy semejante al de diseño. Aquí tampoco hay criterio de error para determinar el cálculo. 2

3

la

1 2

Debe notarse que la fórmula 5.25 solo es válida si el gasto de circulación es mayor que el que conduce la semisección circular, por lo que se estima que el algoritmo de cálculo debe comenzar comparando el gasto de diseño (QD) con el que conduce la semisección circular (Qssc), Q ssc

1  πd 2 =  o n 8

 d o   4 

2

 3 12  S ------------------------------------- 5.26 

En la proposición de un algoritmo para este caso se esclarece como afrontar el cálculo con la fórmula 5.25 propuesta por Valle (1994), adicionando las alternativas que ofrece el uso previo de la fórmula 5.26. Para secciones Portal

________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

269

Esta sección al tener su parte superior de forma semicircular presenta en su parte más alta la misma dualidad de soluciones que la sección circular, por lo que Valle propone, Q max =

0,377364 83 12 do S ---------------------------------------- 5.27 n

para una profundidad igual a y nmax = 0,393526do ---------------------------------------------- 5.28 Se propone como solución inicial, 1,5138  nQ   y ni = 0,8106  do  S

0,67897

---------------------------------------- 5.29 2

y encontrar la solución iterando hasta que Q = (1/ n)AR 3 S sea muy semejante al gasto de diseño.

1 2

En esta sección, al igual que la sección en U, la ecuación propuesta como solución inicial es válida si el gasto de diseño es mayor que el que puede conducir la semisección inferior, en este caso rectangular, que es igual a, Q SSR

1  d2 =  n 2

2

 d  3 12   S --------------------------------------- 5.30  4  

A continuación se presenta el algoritmo, en forma secuencial, de una de las soluciones planteadas por Valle (1994) para destacar como se debe enfrentar el trabajo en este tipo de formulaciones que si bien ayudan y aceleran la búsqueda de una solución, presentan características específicas que deben valorarse antes de emplearlas para el cálculo. Por último se llama la atención de que la unión de estas fórmulas, como solución inicial con un método iterativo como el de Newton-Raphson logra una combinación rápida, fácil de programar y que alcanza muy altas precisiones en pocas iteraciones. La propuesta de algoritmo para la sección U es,

Algoritmo. ________________________________________________ 270 Hidráulica de las Conducciones Libres

Calcular el gasto de la semisección circular según 5.26. Si Q ssc = Q ± (0,01∗ Q ) entonces, y n = d 0 / 2 con un error igual o menor que 1%. Si Qssc < Q la profundidad normal está dentro de la semisección circular. Solución inicial con 5.25, calcular A y R con yni. 2 1 Calcular Q i = (1/ n)AR 3 S 2 Si Q i = Q ± (0,01∗ Q ) entonces yn = yni con un error igual o menor que 1%. Si Qi ≥ Q entonces ir, al algoritmo de Newton-Raphson, al punto 3 con yi = yni. al algoritmo de la técnica de bipartición, al punto 1 con: Limmax = yni, Limmin = 0,9* yni si Qi > Q

1. 2. 3.

Limmax = 1,1 yni,

Limmin = yni

si Qi < Q

Solución para secciones rectangulares anchas.

Si se asume que para una sección rectangular ancha, el valor del radio hidráulico puede aproximarse al valor de la profundidad, se puede obtener una formula explícita para el calculo de la profundidad normal.. De esta forma puede plantearse: Q= yn

by 5 / 3 S1/ 2 1 (by )( y ) 2 / 3 S1/ 2 = , y entonces quedará, n n

ANCHA

 Qn   =  b S 

3/5

----------------------------------------------- 5.31

Los errores que se introducen por esta suposición, pueden observarse en los siguientes graficos. En el primero aparece el error relativo de la suposición de R ≈ y y R2/3 ≈ y2/3. Nótese que errores menores del 1% se obtienen a partir de una relación igual a b = 120y en el caso de estar elevado a la dos tercios ambos términos y de más de 220y en el caso de la comparación simple. R vs y ________________________________________________________________________ R2/2 vs y2/3

Cálculos asociados al Régimen Uniforme

271

10

error %

8 6 4 2 0 0

50

100

150

200

250 b/y

300

350

400

FIGURA 5.4 ERROR QUE SE COMETE EN LA SUPOSICIÓN DE y EN VEZ DE R EN UNA SECCIÓN DE CANAL RECTANGULAR.

En el segundo gráfico de error se aprecia claramente que para valores del ancho de plato mayores que ochenta veces la profundidad (b>80y) el error que se comete en el calculo de la profundidad normal es menor que el 1% (0,98 %). •

Solución aproximada de Luaces para secciones rectangulares.

Luaces (2000), propone una alternativa para el calculo de la profundidad normal en canales de sección rectangular. Basado en la ecuación para canales anchos, Luaces plantea para canales estrechos, y  y = 1.02222 * y ancho 1 + ancho b 

  

0.834135

------------------------- 5.32 a

como solución deducible y de ella una aproximada más práctica, y  y = y ancho 1 + ancho b 

  

5/6

------------------------------------------ 5.32 b

En ambos casos los errores aparecen graficados en 5.6 y 5.7.

________________________________________________ 272 Hidráulica de las Conducciones Libres

5 4.5 4

error %

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

50

100

150

200

250

300

b/y FIGURA 5.5 ERROR QUE SE COMETE AL CALCULAR LA PROFUNDIDAD NORMAL DE UN CANAL RECTANGULAR ASUMIENDO COMO VALIDA LA FORMULA 5.31. LA COMPARACIÓN SE REALIZO CONTRA LA PROFUNDIDAD CALCULADA CON LA FUNCION SOLVER / EXCEL CON UN ERROR MENOR DE UNA MILLONESIMA DEL VALOR DEL GASTO.

1.5 1 0.5

error %

0 -0.5

0

50

100

150

200

250

300

-1 -1.5 -2 -2.5 -3 b/y

FIGURA 5.6 ERROR QUE SE COMETE CON LA ECUACIÓN 5.32 a EN COMPARACION CON LA PROFUNDIDAD NORMAL OBTENIDA CON LA FUNCION SOLVER DEL EXCEL CON UN ERROR MENOR DE UNA MILLONESIMA DEL VALOR DEL GASTO. ________________________________________________________________________ Cálculos asociados al Régimen Uniforme

273

1.5 1.25

error %

1 0.75 0.5 0.25 0 0

50

100

150

200

250

300

-0.25 b/y FIGURA 5.7 ERROR QUE SE COMETE CON LA ECUACIÓN 5.32 b EN COMPARACION CON LA PROFUNDIDAD NORMAL OBTENIDA CON LA FUNCION SOLVER DEL EXCEL CON UN ERROR MENOR DE UNA MILLONESIMA DEL VALOR DEL GASTO.

5.2.1.1

Un análisis de las secciones cerradas.

Existe un gran número de secciones cerradas en las que su coronación es gradual (secciones circulares, secciones portal, secciones herraduras, cavidades naturales,.....). En estos casos surgen algunas especificaciones que deben conocerse para poder desarrollar una selección cálculos adecuados. •

Caso de la sección circular.

________________________________________________ 274 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 5.8 SECCION CIRCULAR

Chezy: v = C RS = C S

A P

continuidad + Chezy: Q = Av = C S

A3 P

Si en una conducción libre de sección transversal circular, fluye un caudal con Régimen Uniforme y profundidad normal como se muestra en la figura 5.8, puede plantearse, empleando la ecuación de Chezy y la de continuidad las relaciones de trabajo correspondientes. Para comprobar lo planteado en relación con la ocurrencia de la velocidad máxima y el caudal máximo, puede procederse de la siguiente forma, considerando que C permanece constante con la profundidad de circulación. Expresando (A/P) en términos del ángulo λ queda:  r 2 (λ − sen λ )  v = C S  2rλ  

1 2

------------------------------------------- 5.33

o simplificando:  r (λ − sen λ )  v = C S  2rλ  

1 2

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 275

Para que v sea máximo debe cumplirse que (dv/dλ) sea nulo, entonces derivando queda, 1  r (λ − sen λ )  2  − 2r (λ − sen λ ) + 2λr (1 − cos λ )  dv =C S    =0 2 2λ dλ 4λ2    1

Es decir, debe cumplirse que:

2r (λ − sen λ ) + 2λr(1 − cos λ ) = 0 2r (λ − sen λ − λ + λ cos λ ) = 0

o sea:

− sen λ + λ cos λ = 0

o más sencillamente λ = tanλ --------------------------------------------------------------- 5.34 que tiene como solución λ = 257 ο27´12´´ ------------------------------------------------------ 5.35 o lo que es igual: y = 0.813 d ---------------------------------------------------------- 5.36 de lo que observa que la velocidad máxima no ocurre cuando el conducto está totalmente lleno, sino parcialmente con una profundidad igual al 81.3% de su diámetro. De manera similar puede demostrarse que el caudal máximo ocurre en condiciones que aseguren que dQ/dλ = 0. Esto puede determinarse derivando solamente A3/P con respecto a λ: A 3 r 3 (λ − sen λ ) ------------------------------------------------ 5.37 = P 8λ 2 3 d  A 3  r 5  3λ(λ − sen λ ) (1 − cos λ ) − (λ − semλ )   =   dλ  P  8  λ2  3

de modo que:

3λ(λ − sen λ ) (1 − cos λ ) − (λ − semλ ) = 0 2

3

transformando la expresión anterior:

(λ − sen λ )2 (3λ(1 − cos λ ) − (λ − semλ ) = 0 (λ − sen λ )2 (2λ − 3λ cos π + sen λ ) = 0

________________________________________________ 276 Hidráulica de las Conducciones Libres

que lleva la solución: λ = 308 ο11´35´´ ---------------------------------------------------- 5.38 lo que implica que y = 0.9498do ------------------------------------------------------- 5.39 que nos demuestra que el máximo caudal circula, no cuando la tubería está totalmente llena, sino cuando el tirante alcanza el 94.98% del diámetro. Propiedades geométricas e hidráulicas de la sección circular. Es conocido que un conducto circular, donde el caudal llene por completo la sección transversal tiene las siguientes propiedades: Ao =

πd o2 d ; Ro = o 4 4

1 d  vo =  o  n 4 

2

3

1 d2  d  So ; Qo = = o  o  n 4  4 

2

3

So

En tanto, un conducto circular parcialmente lleno, con una profundidad igual a y, tiene los siguientes parámetros: A=

R=

 do2 y y  cos −1 1 − 2  − do2 1 − 4 d   do do − 4

1 y do  −  2 do

 y  y  1 −  do  do  y  cos −1 1 − 2  do  

 y  y  1 −  do  do   

 1 y  y  y 1 −   d o  − 1 d  2 do  do  do v=  o − n 4  y  cos −1 1 − 2   do   

  ----------------- 5.40 

------------------------------- 5.41

       

2

3

S o ------------------- 5.42

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 277

 d2   y  y  y   o cos −1 1 − 2  − do2 1 − 4 d d  o o  do    1 Q= ⋅ 2 3 n  y  −1  do cos 1 − 2  d o   

 y 1 −  do

    

5

3

S ----5.43

Puede observarse que intentar trabajar con las fórmulas 5.40 a 5.43, si bien es posible, resulta engorroso, y es por esa razón que se ha preferido obtener los valores de: A R v Q y en función de . Y de esta forma se obtiene, , , y A o Ro v o Qo do  A 1 y = cos −1 1 − 2 Ao n do  R = 1− Ro

 y  y  1 −  do  do  y  cos −1 1 − 2  do  

1 y 4 −  2 do

 R  v  =  v o  R o 

 41 y  −  −  n  2 do

2

3

  

 y  y  1 −  do  do

  --------------- 5.44 

---------------------------------- 5.45

---------------------------------------------------------- 5.46

Q A  R  = Q o A o  R o

  

2

3

---------------------------------------------------- 5.47

La representación gráfica de estas expresiones, como se muestra en la figura 5.9, es de gran ayuda para el diseño de este tipo de conducción, pues basta calcular las propiedades geométricas o el caudal, o la velocidad de dicha conducción en condiciones de llenado total y determinar las correspondientes relaciones para cualquier parcial, con el auxilio del gráfico de las propiedades de las conducciones circulares. ________________________________________________ 278 Hidráulica de las Conducciones Libres

Nótese que las fórmulas planteadas parten de la suposición de que n es constante, lo cual no corresponde con la realidad, pues se ha visto experimentalmente, y está lógicamente sustentado, que n varía con el tirante. Por lo tanto, la ley que relaciona v/vo con y/do no es reflejada fielmente por las ecuaciones 5.46 y 5.47, sino por las curvas correspondientes de la figura 5.9 que han sido obtenidas por ensayos de laboratorio. A continuación se tratan algunos problemas típicos que pueden presentarse en el uso de tuberías circulares, que funcionen como conducciones libres y cuyas soluciones se ilustran mediante diagramas secuenciales de cálculo. ① Conocidos Q, do, n y S calcular y y v.

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5.

Calcular A0 y R0 Calcular v0 y Q0 Calcular Q/ Q0 , y con la grafica obtener y/d0. Con el valor de y/d0 calcular tambien v/v0 Realizado lo anterior, calcular:  y  y =  d 0  d0 

y

 v  v =  v 0  v0 

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 279

FIGURA 5.9 GRAFICA PARA CALCULAR LOS PARAMETROS HIDRAULICOS Y GEOMETRICOS DE LAS TUBERIAS PARCIALMENTE LLENAS.

② Conocidos Q, do, n y y obtener S

Algoritmo. 1. 2. 3. 4.

Calcular A0 y R0 Calcular y/d0 Entrar a la grafica por el eje X y obtener Q/ Q0 Calcular:   1 Q0 =   QQ 0 

5.

  Q  

Entonces el calculo de S será, S=

nQ 0 A 0 R 02 / 3

________________________________________________ 280 Hidráulica de las Conducciones Libres

③ Conocidos do, n, S y y determinar Q

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5.

Calcular A0 y R0 Calcular Q0 Calcular y/d0 Determinar por la grafica Q/Q0 Calcular:  Q  Q0 Q =    Q0 

④ conocidos Q, n, S y y calcular do

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5.

Suponer d0 Calcular A0, R0, Q0 Calcular Q/Q0 Buscar y/d0 Calcular:

   1  y d0 =   y   d0  6. Si d0 CALCULADA = d0 PASO 1, fin. Si d0 CALCULADA ≠ d0 PASO 1, regresar al paso 1. 5.2.2 Cálculo del gasto.

Si existen las condiciones necesarias para que en un tramo de canal con una sección de geometría simple, se establezca el Régimen Uniforme entonces el gasto que circula en ese tramo puede calcularse empleando la ecuación de Manning o Chezy. Si yn es la profundidad en el tramo y se cumple que:

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 281

dy dy =0 y = 0 . Entonces el área y el perímetro serán: dx dt A = f1 (geometría, dimensiones, yn) y P = f2 (geometría, dimensiones, yn) y podrá calcularse el gasto.

El valor del gasto tendrá como incertidumbres, la incertidumbre en la medición de yn, la referida a la medición de las dimensiones de la sección, la incertidumbre en la determinación del valor de So y la mayor de todas las incertidumbres: en la estimación de n. 5.3 Gasto y profundidad normal en secciones compuestas.

Las secciones compuestas son muy frecuentes en conducciones artificiales y son comunes en conducciones naturales. Se caracterizan por un canal principal (CP) profundo, que tiene, en uno, o en los dos lados, canales menos profundos y mucho más anchos llamados llanuras de inundación (LLI), con una rugosidad bien diferenciada de la del CP. La multiplicidad de estas llanuras a diferentes niveles, su variabilidad geométrica y su rugosidad propia hacen que el patrón de la velocidad se distorsione como función de estos cambios. figura 5.10. Esta disparidad crea altos gradientes de velocidad en la región de interfase CP-LLI, que generan turbulencias con fuertes flujos secundarios y en una transferencia de momentum del fluido del flujo de más velocidad al de menos velocidad. Sobre este aspecto Knight (1984) presenta un esquema muy explicativo del fenómeno, figura 5.11 y Sellein (1964) desde muy temprano presentó evidencia fotográfica de los vórtices generados que apoyan el criterio de la transferencia de momentum. En los años entre la década del los años 70 y el final del siglo XX, se han producido numerosos trabajos hacia los problemas relacionados con la hidrodinámica de estas secciones. Knight (1987), Myers (1978), Rajaratnam (1981), Shiono (1988), Wormleaton (1982), Naot (1982), Ackers (1993) y otros muchos ________________________________________________ 282 Hidráulica de las Conducciones Libres

han producido extensos y minuciosos estudios con el fin de aclarar el comportamiento de estas secciones. La figura 5.12 se dedica a recoger algunos de los resultados, que complementan los de la figura 5.10, e ilustran los problemas asociados a la distribución de la velocidad, que es la base de partida de cualquiera de estos estudios.

FIGURA 5.10 a RESULTADO PARCIAL DEL TRABAJO DE NAOT (1993), DONDE SE EXPONEN LAS ISOTACAS ADIMENSIONALES (V/Vmax) (COMPONENTE EN LA DIRECCION DEL FLUJO) EN UNA SECCION ASIMETRICA, LISA, EN TRES CONDICIONES DIFERENTES DE CIRCULACION. NOTESE LA DISTORSION DE LOS PATRONES DEBIDO A LA INFLUENCIA DE LA LLI.

FIGURA 5.10 b OTRO RESULTADO DE NAOT (1993), EN UNA SECCION SEMEJANTE A LA ANTERIOR, EN FORMA Y DIMENSIONES, PERO CON LA LLI RUGOSA. LOS VALORES DE CADA ISOTACA ESTAN REFERIDOS A LA RELACION V/Vmax.

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 283

FIGURA 5.11 ESQUEMA APORTADO POR KNIGHT (1984) DONDE SE MUESTRAN ASPECTOS DE LA RELACION CP-LLI EN LA TRANSFERENCIA DE MOMENTUM.

FIGURA 5.12 a RESULTADOS DE LAS ISOTACAS ADIMENSIONALES (V/Vmedia), EN MEDIA SECCION, OBTENIDOS POR KNIGHT (1984) EN UN CANAL SIMETRICO CON LLI RUGOSAS PARA UNA RELACION (H-h)/H = 0.296.

Enfocando el problema hacia los parámetros geométricos los cambios de A y P al variar la profundidad pueden llevar a saltos bruscos debido a las diversas variedades de formas geométricas que se pueden encontrar, por lo cual la variación de R puede no seguir una lógica respecto a las secciones simples influyendo en el ________________________________________________ 284 Hidráulica de las Conducciones Libres

cálculo de la velocidad y el gasto. De otra parte la rugosidad del perímetro se comporta normalmente de forma no uniforme y pueden encontrarse valores muy diferentes para el canal principal y las subsecciones laterales provocando desiguales resistencias en función de las profundidades de circulación que existan.

FIGURA 5.12 b RESULTADOS DE LAS ISOTACAS ADIMENSIONALES (V/Vmedia), EN MEDIA SECCION, OBTENIDOS POR KNIGHT (1984) EN UN CANAL SIMETRICO CON LLI RUGOSAS PARA UNA RELACION (H-h)/H = 0.505.

FIGURA 512 c RESULTADOS DE ELLIOT (1990) EN EL SERC DE WALLINGFORD EN 0 CANALES CON LLANURAS OBLICUAS, PARA ESTE CASO CON UN ANGULO DE 5 . LAS ISOLINEAS REPRESENTAN VALORES ABSOLUTOS.

Estudios realizados, en la década de los años 90, aportan resultados válidos acerca de la distribución de velocidades y la transferencia de momentum. Naot-Nezu y Nakagawa (1993) aportan interesantes conclusiones en este aspecto: En canales asimétricos una sola berma en la parte izquierda, de frontera hidráulicamente lisa, un incremento de la ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 285

profundidad en las bermas genera el arrastre de las isolíneas de las velocidades máximas hacia profundidades mayores, debido a las corrientes secundarias. Este fenómeno es poco pronunciado, no obstante en un flujo profundo en las bermas, se forma una segunda zona de isolíneas de alta velocidad.

FIGURA 5.12 d OTRO RESULTADO DE ELLIOT (1990) MOSTRANDO LA CIRCULACION SECUNDARIA EN EL CANAL PRINCIPAL PARA UNA RELACION DE 0 PROFUNDIDADES (H-h)/H=0.5 Y UN ANGULO DE OBLICUIDAD DE LAS LLI DE 9 .

Con un incremento de la profundidad en las bermas (LLI), la intensidad de los vórtices en el CP decrecen y crecen en las LLI. La energía de la turbulencia muestra sus valores máximos a lo largo del fondo del CP y mínimos cerca de la superficie. Con el incremento de la profundidad en las LLI la energía de la turbulencia crece hasta igualar el nivel en el CP.

________________________________________________ 286 Hidráulica de las Conducciones Libres

El esfuerzo cortante local en el logrado del CP y en la orilla derecha decrece mientras que en la orilla izquierda y en la LLI crecen considerablemente con el aumento de la profundidad en la berma. Esto se confirma por Tominaga-Nezu (1991). Para el canal simétrico, una berma a cada lado y frontera hidráulicamente lisa con altas profundidades del agua en las bermas, la intensidad de los vórtices en las LLI se incrementan y el vórtice en el canal principal se torna débil debido a la simetría. En el caso de aguas poco profundas sobre las LLI ambos vórtices se refuerzan. Las isolíneas de velocidad indican que al incrementarse el ancho del canal principal el arrastre de la velocidad máxima es menos efectivo que en el caso anterior y la formación de una segunda zona de isolíneas de alta velocidad es menos evidente. También se registran disminuciones en los vórtices mientras se incrementa el ancho del canal. Para el caso del canal asimétrico con frontera hidráulicamente rugosa, la rugosidad de las bermas incrementa la disminución de cerca de un 15% de la velocidad en las LLI, incrementa en un 74% la intensidad de los vórtices en esa misma zona e incrementa en un 43% la energía turbulenta cercana al fondo de las LLI. La distribución del cortante muestra un incremento de un 100% en el cortante del fondo de las bermas acompañada de un incremento de un 120% en el fondo del CP. No obstante en la orilla de la berma el cortante decrece un 45%. Mientras el primer efecto es debido a la rugosidad, los otros dos efectos son debido a la masa desplazada de la LLI al CP. Una proposición de Ven Te Chow (1959). Chow aconseja subdividir el canal en subsecciones empleando cortes verticales, tomando en consideración para esto los cambios ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 287 •

de rugosidad, figura 5.13. De esta forma la fórmula de Manning se aplica separadamente en cada subsección para hallar la velocidad media y así, el gasto en cada subsección, puede ser calculado.

FIGURA 5.13 LA DIVISION DE LA SECCION SEGÚN VEN TE CHOW

Siendo el gasto total, nss

∑v a

Q=

i

---------------------------------------------------------- 5.48

i

i =1

donde nss es el número de subsecciones. La velocidad media entonces se calcularía según: Q ---------------------------------------------------------------- 5.49 A donde A es la sumatoria de todas las áreas de las subsecciones. v=

El cómputo de los coeficientes de distribución de la velocidad se deben calcular de forma particular. Sean K1, K2 .... Knss los módulos de gasto de cada subsección, entonces: vi =

K i 12 S o ----------------------------------------------------------- 5.50 ai

Q = vA = v 1a1 + ... + v n ss a nss , pero también, Q = (K 1 + .... + K nss )S o2 1

entonces, nss

v=

∑ Ki i =1

A

1

S o2

------------------------------------------------------- 5.51

y si se aplican las ecuaciones generales para α y β se obtiene, nss

α=

∑ (α K i

i=1

3 i

a i2

)

   

nss

∑ i=1

 Ki   

3

A 2 ----------------------------- 5.52

________________________________________________ 288 Hidráulica de las Conducciones Libres

nss

β=

∑(

β iK i2

i=1

/ ai

)

   

nss

∑ i=1

2

 K i  / A --------------------------------- 5.53  

Una propuesta de R. H. French (1985). French citando a Posey (1967) y a Myers (1978) propone algunas alternativas para el cálculo del radio hidráulico y con él la posterior evaluación del gasto. •

En su trabajo, Myers cuestiona el uso de divisiones verticales libres de esfuerzos cortantes y demuestra midiendo el cortante que una forma aparente está presente en esas fronteras ficticias para balancear la selección entre las fuerzas gravitacionales y las fuerzas resistentes. French , basándose en la figura 5.14 se propone:

FIGURA 5.14 ESQUEMA DE LA SECCION PARA EL CALCULO PROPUESTO POR FRENCH.

a. Calcular el área: A(abcdefgha), y el perímetro : P(abcdefgh) para obtener el radio hidráulico en el caso de que la profundidad sobre las bermas laterales sea la mitad o más, que la del canal principal. b. Para profundidades bajas sobre las bermas se subdividen las áreas. Para el canal principal el área es: A(icdefji) y el perímetro P(icdefj). Para las bermas el área será: A1(abcia), A2(jfghj); y los perímetros: Pi(abc) y P2(fgh). Myers recomienda incluir las líneas ic y jf en el perímetro del canal principal debido a ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 289

que en esas líneas el esfuerzo cortante es desigual a cero, pero entonces se asume que esta afectación no se transmite al flujo en las bermas. Otras dos alternativas valoradas pero no recomendadas por Posey (1967) son, c. Para el canal principal: A(icdefji), P(cdef). Para las bermas: A1(abcia), P1(abc); A2(jfghj), P2(fgh). d. Dividir la sección con las líneas CK y FK y se calcula el radio hidráulico pesado así,

[A (abcka )]2 + [A (kcdefk )]2 + [A (efghk )]2 P(abc ) P(cdef ) P(cgh ) R= A (abcka ) + A (kcdefk ) + (kfghk )

-------------- 5.54

Un análisis de P. R. Wormleaton (1989). Wormleaton y Merret (1989) analizan las alternativas de división, que se plantean en los métodos tradicionales, para la sección transversal. Evidentemente, el planteamiento generalizado de que las subsecciones deben ser hidráulicamente homogéneas crean una serie de alternativas que deben ser comprobadas y validado su rango de aplicación. •

FIGURA 5.15 ESQUEMA DE LA SECCION PARA LOS ANALISIS DE WORMLEATON (1990).

El tratamiento de cada subsección es calculada empleando las fórmulas conocidas de Chezy o Manning pero el inconveniente ________________________________________________ 290 Hidráulica de las Conducciones Libres

que mayor incertidumbre produce es la localización y tratamiento de las interfaces del fluido entre las subsecciones. Las conveniencias de cálculo indican que las interfaces pueden ser planos: diagonales (pd), verticales (pv) u horizontales (ph), figura 5.15. Los métodos que utilizan los planos pd y ph usualmente excluyen las interfaces desde el perímetro mojado a la subsección adyacente, lo cual equivale a asumir que en la interface no hay tensiones de corte. En el caso del plano (pv) Wright-Carstens (1970) sugieren que este interfase debe ser incluida en el perímetro mojado de la subsección del CP para cuantificar el efecto de arrastre de las LLI, pero no incluirlas en el perímetro de las LLI. Este último es, tal vez, la variante más utilizadas en los cálculos del gasto. Para comprobar las tres alternativas se realizaron estudios en la instalación que más resultados ha producido en los últimos años en este tema: el Flood Channel Facility del Science and Engeneering Research Council, en Wallingford, U.K. Una relación obtenida para cinco geometrías da para el gasto total β Q t = α(H − h) + Q b ------------------------------------------------- 5.55 donde: α y β dependen de las formas geométricas de la sección, Qb es el gasto cuando la profundidad en las bermas (LLI) tiende a ser muy pequeña. Es una realidad confirmada que el gasto que escurre por el CP totalmente lleno es mayor que cuando por las LLI comienza el escurrimiento con muy baja profundidad de circulación (5,30% menos para el caso estudiado). Esta discontinuidad se reporta tambien por Myers-Brenman (1990) trabajando en el SERC-FCF, figura 5.16. ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 291

FIGURA 5.16 a RESULTADOS DE WORMLEATON CON DIFERENTES GEOMETRIAS Y DIMENSIONES. NOTESE QUE LA GEOMETRIA 4 ES UNA SECCION TRAPECIAL SIN LLI.

En los estudios realizados se evidencia que la longitud de las LLI influyen reduciendo el gasto para una misma profundidad de circulación, llegándose a valores de reducción de casi 50% para un incremento de 4.5 veces el ancho de cada berma.

FIGURA 5.16 b RESULTADOS DE MYERS Y BRENNAN (1990) CON DIFERENTES DIMENSONES DE UNA MISMA GEOMETRIA.

________________________________________________ 292 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 5.16 c RELACION ENTRE EL GASTO DEL CP CONSIDERANDO O NO LA INTERACCION CON LAS LLI, OBTENIDO EN EL EXPERIMENTO EN EL FCF DE MYERS Y BRENNAN (1990).

Otra conclusión primaria del estudio, arroja que, para dos secciones de igual geometría y dimensiones, una con las LLI hidráulicamente lisa y la otra hidráulicamente rugosa, la diferencia de gastos para igual altura del flujo sobre las bermas es de un 47% para una de las alturas estudiadas. Además se evidencia que la descarga de la sección compuesta fue en todos los casos menor que la de una sección sin bermas para igual nivel del agua. Esto aclara el fuerte retardo en el flujo del CP resultado de los efectos turbulentos de la interfase causada por bermas hidráulicamente rugosas, figura 5.16. En el caso de las secciones con bermas hidráulicamente rugosas la n de Manning se incrementó en 3 veces al incrementarse la profundidad sobre las bermas desde muy pequeña hasta una profundidad semejante a la del CP. En la comparación entre los modos de división de la sección se comprobó que, la subdivisión por planos pv dio los mayores valores de gasto total y la subdivisión por planos ph los menores. ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 293

en el caso de casi todas las geometrías el error en el gasto total decrece para altas profundidades sobre las bermas. el subdividir por planos pd permitió obtener los mejores resultados sobre todo para profundidades bajas sobre las bermas pero sobrestimó los gastos por el CP: el modo de subdivisión por planos pv dio altos errores en el caso de LLI hidráulicamente rugosas. si bien los planos pd son los más certeros los pv son los más convenientes para las aplicaciones en modelos numéricos. Como conclusiones el trabajo recomienda emplear la corrección propuesta por Radojkovic (1985) como factor para el cálculo del gasto, para así lograr que los errores del plano pv disminuyan y sea factible. Radojkovic plantea: 1 Q cp = Q ct φ cp2 ---------------------------------------------------------- 5.56 donde Q cp es el factor de Radojnovic Q cp =

FTcp FWcp

--------------------------------------------------------- 5.57

donde FTcp es la fuerza tractiva actuando en el CP. FWcp es la componente del peso del luido en el CP

y de igual forma en las llanuras de inundación se puede plantear que, 1 2 Q LLI = Q LLI φ LLI -------------------------------------------------------- 5.58 e igualmente, Q LLI =

FTLLI --------------------------------------------------------- 5.59 FWLLI

los términos son idénticos a las ecuaciones anteriores solo que ahora aplicados a la llanura de inundación, de esta forma puede plantearse, 1 1 2 Q = Q cp φ cp2 + Q LLI φ LLI ------------------------------------------------ 5.60 ________________________________________________ 294 Hidráulica de las Conducciones Libres

De igual forma se indica la utilización la relación: A LLI 1 − φ cp = -------------------------------------------------------- 5.61 A cp 1 − φ LLI

donde ALLI y ACP son las áreas de las LLI y del CP respectivamente. La ecuación 5.61 es válida para cualquier forma de plano interfase. Para el caso particular los planos pv se sugiere el uso de las siguientes relaciones Q cp = 1 − (τ ov ⋅ Piv / ρ ⋅ A cp ⋅ S o ) ------------------------------------- 5.62 donde φ cp es el esfuerzo cortante aparente en las interfases verticales Piv es el perímetro de las interfases verticales

y de acuerdo a los datos obtenidos en el SERC-FCF, 0,354 0,519 τ ov = 3,325 ∆V 1,451 (H − h) b LLI --------------------------------- 5.63 Los valores obtenidos con estas correcciones redujeron sensiblemente los errores de la subdivisión por planos pv. •

Un enfoque de Lambert-Sellin (1996).

En 1982 Vrenghdenhil y Wijbenga proponen por vez primera la aplicación de un modelo simple de turbulencia para ilustrar los efectos de la interacción entre CP y LLI en lo referente a la distribución de velocidades. Para esto emplearon la ecuación dinámica de la profundidad media para flujo permanente uniforme y demostraron, que la distribución lateral de velocidades es modificada si se emplean diferentes estimaciones del parámetro remolinos turbulentos viscosos (νt).Desdichadamente νt es una propiedad del flujo y no del fluido. P.G. Samuels en un trabajo de modelación, empleando elementos finitos, propone la cuantificación de νt empleando el modelo siguiente: υ t = λV∗ Z ----------------------------------------------------------- 5.64 ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 295

donde λ es una constante llamada coeficiente adimensional de los remolinos viscosos y z es la profundidad local. Este trabajo fue ampliado por Shiono-Knight (1989) demostrando que un modelo simple de turbulencia puede ser empleado de forma efectiva en secciones compuestas. Demostraron también que νt variaba muy significativamente en las diferentes sub-áreas de la sección. En su trabajo emplearon una relación empírica para establecer el factor de fricción de Darcy-Weisbach. Por su parte Wark (1990, 1991), trabajando con otros colegas, demostraron que λ variaba con la profundidad relativa y que por tanto su extrapolación laboratorio-realidad era muy difícil.

FIGURA 5.17 DIVISION PROPUESTA POR LAMBERT Y SELLIN (1966)

Observando las isolíneas de velocidad mostrada por ShionoKnight (1991) en la transición entre CP y LLI se deduce que una interfase simple del esfuerzo cortante no es suficiente para modelar el fenómeno. Una mejor aproximación es subdividir el área en un número finito de elementos verticales, figura 5.17. Gasbrwecht-Brown demostraron que esta subdivisión puede ser causa de una sobrestimación del gasto en secciones compuestas.

FIGURA 5.18 ACTUANTES.

VOLUMEN DE CONTROL PARA EL ANALISIS DE LAS FUERZAS

________________________________________________ 296 Hidráulica de las Conducciones Libres

El volumen de control de uno de los elementos, figura 5.18, muestran las fuerzas que actúan y que en el caso del régimen uniforme responden a: gSz − B ∗

(

)

τ b 1 ∂ zτ xy + = 0 ---------------------------------------- 5.65 ρ ρ ∂y

donde τb es el cortante en el fondo; B* es un coeficiente asociado a τb para incrementar el área de contacto en las zonas de medición lateral del fondo (Sy) y es igual a 1+ S2y . Este factor los introdujo Rodi (1981), y lo han empleado también Shiono y Knight y Wark. Aplicando la hipótesis de la longitud de mezclado de Prandtl, se expresan los remolinos viscosos como, 2 υ t = lm

∂v ------------------------------------------------------------ 5.66 ∂y

y el cortante lateral aparente como, 2 τ xy = ρlm

∂x ∂x ------------------------------------------------------ 5.67 ∂y ∂y

Detalles de esta discusión lo brindan Schlichting (1968), Rodi (1980) y más recientemente Egolf (1994). Típicamente la longitud de mezclado varía con la distancia a la frontera sólida, como en el caso de las tuberías que varía a lo largo del radio del conducto. En canales en la definición actual, δv / δy es el gradiente profundidad-velocidad media a lo largo del canal. Un modelo simple de longitud de mezclado se ha adoptado para describir la relación a ese parámetro en la zona de interacción, figura 5.19, con la profundidad del flujo en el CP (H) debido a que la transferencia de Momentum en esa región está asociada con el CP, así puede escribir que, lm = C lm ⋅ H ----------------------------------------------------------- 5.68 ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 297

donde Clm es una constante igual a 0,6 que ha dado muy buenos resultados en secciones compuestas con LLI hidráulicamente lisas y rugosas.

FIGURA 5.19 APROXIMACION MATEMATICA Y LA GEOMETRIA REAL DE UNA SECCION COMPUESTA.

La ecuación 5.68 no es válida para las zonas de las LLI alejadas del CP, en estas zonas el parámetro profundidad local z, reemplaza la profundidad en el CP y la ecuación queda así, lm = C lm ⋅ Z ----------------------------------------------------------- 5.69 Una profundo discusión del modelo de longitud de mezclado la realiza Lambert (1993), en su tesis de PhD presentada en la Universidad de Newcastle, Australia. Por último τb es expresado en términos de la velocidad media a lo largo de la profundidad y del factor de fricción de Darcy-Weisbach, obteniéndose una primera expresión a partir de 5.65, B ∗ fv 2 ∂z ∂v ∂v ∂v ∂ 2 v 2 2 gSz − + C lm H2 + 2C lm H2 z = 0 --------- 5.70 8 ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y 2

donde la profundidad H se cambia por z en la zona cercana a la pared de las LLI. La solución de 5.68 se obtiene con la condición de borde (non-slip) (v=0) en las fronteras exteriores de las LLI, utilizando el método de diferencias finitas y aplicando NewtonRaphson al sistema de ecuaciones no lineales resultantes.

________________________________________________ 298 Hidráulica de las Conducciones Libres

La segunda causa de sobrestimación del gasto dada por GarbrechtBrown (1991) fue el uso del factor de fricción de Weisbach-Darcy empleando la profundidad local y la velocidad en vez de las profundidades de la sección y la velocidad media. Debido a esta razón, Lambert-Sellin en su trabajo desarrollan un factor de corrección que trata de solucionar ambos problemas. Un examen de los dos métodos de subdivisión del área da un resultado que, mientras la subdivisión en muchas subáreas, figura 5.17, y el uso de la ecuación 5.70 sobrevaloran el gasto. Por ejemplo cuando Clm→0 el gasto calculado por 5.70 excede al calculado subdividiendo el área en tres: CP, LLI, LLI. Lambert-Sellin concluyen que la referida ecuación ignora el fuerte gradiente de velocidad lateral y cortante lateral en las paredes del CP. De otro lado, el método tradicional ignora la interacción del momentum entre el CP y las LLI, pero toma en cuenta el efecto de las paredes laterales del CP. Para aprovechar el efecto de ambos métodos se emplea el factor de corrección CQ(y) para cada una de las sub-áreas mayores. Cuando Clm→ 0 entonces Vi =

8gSZ i B ∗ fi

------------------------------------------------------- 5.71

donde i representa cada elemento vertical. La integración de los valores de vi para cada una de las subáreas mayores (CP, LLIizquierda, LLIderecha) produce un gasto no corregido y sobrevalorado Qc ml =0 ( j) . Para reducir ese gasto cuando Cml= 0, el factor C Q (j) se aplica a cada sub-área, v i = C Q ( j)

8gSZ i B ∗ fi

------------------------------------------------ 5.72

donde el valor de C Q (j) es, C Q ( j) =

Q MDT ( j) -------------------------------------------------- 5.73 Qc mL =0 ( j)

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 299

donde QMDT(j) es el gasto dado por la división tradicional en grandes sub-áreas. Si ahora se introduce el factor de corrección en 5.70 queda, gSz −

B ∗ fv 2 ∂v ∂v ∂v ∂v 2 2 ----------- 5.74 + C lm H2 + 2C lm H2 z 2 ∂y ∂y ∂y ∂y C Q ( j) 8 1

FIGURA 5.18 a

GEOMETRIA EMPLEADA POR LAMBERT Y SELLIN EN EL FCF.

FIGURA 5.18 b COMPARACION ENTRE LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES EN EL FCF Y LOS CALCULADOS PARA LA GEOMETRIA DE LA FIGURA 5.16a Y LA PROFUNDIDAD RELATIVA (H-h)/H = 0.117.

En comparaciones realizadas con datos del SCRC-FCF, por el método tradicional de división en grandes sub-áreas (QMDT) y el calculado por la ecuación 5.74, Lambert-Sellin concluyen que ________________________________________________ 300 Hidráulica de las Conducciones Libres

mientras que los máximos errores en la estimación del gasto en el primer caso llegan a un +10% en el segundo no superan el 14%, figura 5.18.

FIGURA 5.18 c OTRO EXPERIMENTO IDENTICO AL b PERO CON (H-h)/H = 0.396.

FIGURA 5.18 d COMPARACION ENTRE LA RELACION GASTO-NIVEL CALCULADA Y MEDIDA PARA UNA PENDIENTE LONGITUDINAL DE 0,001027.

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 301

FIGURA 5.18 e PORCENTAJE DE ERROR COMETIDO ENTRE LA EXPRESION 5.68 Y LOS RESULTADOS DE LA MEDICIÓN.

FIGURA 5.19 a SECCION EMPLEADA POR LAMBERT Y SELLIN EN LA UNIVERSIDAD DE NEWCASTLE. LAS PAREDES VERTICALES TENIAN UN ANGULO 0 DE 88 .

Por otra parte en experimentos en Newcastle, con LLI rugosas y CP liso los resultados de la ecuación 5.74 fueron también menores que el cálculo de QMDT, aunque en este caso los errores máximos fueron mayores. En el caso de la ecuación 5.74 para profundidades relativas menores de 0,2 los errores superan el 10%, mientras que para profundidades relativas mayores de 0,4 no sobrepasaron el –5%. En el caso del cálculo de QMDT los errores máximos superaron el ________________________________________________ 302 Hidráulica de las Conducciones Libres

+30% y entre profundidades relativas entre 0,1 y 0,6 siempre fueron mayores a +20%, figura 5.19.

FIGURA 5.19 b RESULTADOS PRESENTADOS POR LAMBERT Y SELLIN OBTENIDOS EN LA UNIVERSIDAD DE NEWCASTLE.

FIGURA 5.19 c PORCENTAJE DE ERROR EN LOS ENSAYOS EN NEWCASTLE, AUSTRALIA, POR LAMBERT Y SELLIN.

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 303

5.3.1

Cálculo de la profundidad normal.

Como se ha podido ejemplificar hay muy diversas tendencias para enfrentar este problema que se convierte en el problema inverso del cálculo del gasto y que abarca soluciones aparentemente más complejas pero más cercanas a la realidad. La solución debe basarse en la correcta división de la sección transversal en subsecciones y en la valoración del factor rugosidad y establecerse los criterios para la consideración de la influencia de las LLI en el aporte de gasto total. 5.3.2

Cálculo del gasto para régimen uniforme.

En el caso de canales artificiales con geometría simple si se conocen todas las variables del problema el cálculo es directo y no está sometido a iteraciones. La subdivisión del área en secciones compuestas y la valoración de rugosidad son factores de suma importancia para una correcta solución del problema. En corrientes naturales, donde, además de la complejidad de las secciones compuestas se suma que el canal es no prismático, si se puede encontrar un tramo con una pendiente uniforme y se cumple que no hay entrada ni salida de gasto y que la rugosidad, aunque variable en la sección, es la misma para todas las secciones del tramo, entonces el método de área-pendiente, definido por Chow (1959) y ratificado por Dalrymple-Benson (1976), puede aplicarse para determinar el gasto normal. El algoritmo del método, con algunas recomendaciones adicionales, se expone a continuación:

Algoritmo. Se selecciona un tramo, con características idóneas para el cálculo, de longitud mayor o igual a 75 yMEDIA y en el se cuantifican la geometría y dimensiones de la sección inicial (SI) y final (SF). En ambas secciones se estiman los diferentes valores de n teniendo en cuenta el peso relativo de este parámetro en el cálculo. Las secciones que caracterizan el ________________________________________________ 304 Hidráulica de las Conducciones Libres 1.

2.

tramo no deben diferir mucho ni en geometría ni en dimensiones y sin que existan obras cercas de SI o SF ni dentro del tramo. Se calculan los módulos de gastos en las dos secciones y el módulo de gasto del tramo como la media geométrica. 1 2  K SI =  AR 3  ne  SI

y

1 2  K SF =  AR 3  ne  SF

Para el cálculo de R debe tenerse en cuenta las variantes a y b propuestas por French (1985) de acuerdo a la altura del agua sobre las bermas. Al final el módulo de gasto del tramo es K = K SIK SF ---------------------------------------------------- 5.75 3. Se asume la carga a velocidad cero y se calcula la pendiente de la rasante de energía como la diferencia de cotas del agua entre la longitud del tramo (L). Esta diferencia debe ser mayor o igual a 0,15 m, o igual o mayor que la diferencia en carga a velocidad. Se = 4.

CA SI − CA SF --------------------------------------------- 5.76 L

Se calcula el gasto en primera aproximación, según 5.1, Q = K Se

5.

Con el gasto calculado se calcula la diferencia entre velocidad en las secciones inicial y final. ∆hv =

6.

α SI VSI2 α SF VSI2 − ----------------------------------------- 5.77 2g 2g

Se recalcula la pendiente de la rasante de energía según, hf = (CA SI − CA SF ) + K∆h v ------------------------------------- 5.78 donde K = 0,5 si vSI > vSF K = 1,0 si vSI < vSF y por último, Se =

hf ---------------------------------------------------------- 5.79 L

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 305

7. 8.

9.

La nueva aproximación para el cálculo de Q es Q = K S e . Se repiten los pasos a partir de 5 con el nuevo gasto hasta que la diferencia entre los gastos calculados en dos interacciones sucesivas no supere el error admisible previamente establecido. En el ejemplo que presenta Chow (1959) el error es menor que el 10-5. Se repite el cálculo para tramos del mismo río y se promedian los valores obtenidos, dándole, o no, peso relativo a los resultados.

5.4 Pendiente normal, pendiente crítica y pendiente límite.

Tres valores de la pendiente que implican conceptos muy importantes se analizaran a continuación. En los tres casos la aplicación más importante es en el momento de analizar cualitativamente en régimen variado. 5.4.1

Pendiente normal.

Por definición, la pendiente del fondo del canal donde se establece el régimen uniforme es denominada pendiente normal, o sea, S on =

n2Q 2

[A R ] 2

4/3

------------------------------------------------------ 5.80

La pendiente normal será una función del gasto, de la rugosidad equivalente, de la geometría y dimensiones de la sección transversal y de la profundidad normal (yn). Nótese que la ecuación 5.80 establece que, Si: yn ↑, Son↓ y si: yn↓, Son↑. 5.4.2

Pendiente crítica.

Si ahora se produce en un tramo de canal un régimen que sea a la vez uniforme y crítico la pendiente del fondo del canal se denomina pendiente crítica, o sea, ________________________________________________ 306 Hidráulica de las Conducciones Libres

y n = y c ; entonces: S C =

n2Q 2 A 2R 4 / 3

[

]

----------------------------

yc

5.81 Según la expresión anterior Sc es una función del gasto, la rugosidad equivalente, la geometría y dimensiones de la sección transversal y la profundidad crítica. Pendiente subcrítica y supercrítica. Si en un tramo de canal de geometría y dimensiones dadas, un gasto y una rugosidad establecidas, se calcula la pendiente crítica (SC) para esas condiciones y se compara con la pendiente real del fondo del tramo, puede establecerse lo siguiente, Si So = SC y si existen las condiciones para que se establezca el régimen uniforme yn = yc y el régimen será uniforme-crítico. Si SO < SC y si existen las condiciones para que se establezca el régimen uniforme yn > yc y el régimen será uniforme-subcrítico y la pendiente normal se denomina pendiente subcrítica. Si So > SC y si existen las condiciones para que se establezca el régimen uniforme yn < yc, y el régimen será uniforme-supercrítico y la pendiente normal se denomina pendiente supercrítica. 5.4.3

Pendiente límite.

La pendiente límite es un concepto asociado al régimen uniforme y al régimen crítico y su valor es de importancia para una mejor comprensión del comportamiento del flujo uniforme.

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 307

A continuación se analizará este concepto a través del siguiente ejemplo: sea un canal de geometría y dimensiones establecidas y rugosidad conocida. La relación entre el gasto y la pendiente crítica puede hallarse según, 1. Suponer una yc. 2. Calcular Q según A D yc

[

3.

]

Calcular Sc de acuerdo a, Sc =

n2Q 2

[A R ] 2

4/3

-----------------------------------------------

yc

5.82 Si se repite el ciclo n veces se tendrán n tríos de valores yc– Q–Sc y puede establecerse un gráfico de relación entre Q y Sc.

Aplíquese este algoritmo a una sección trapecial, figura 5.20. La gráfica representa una función monótona decreciente que define sobre el plano So-Q una frontera entre el régimen subcrítico y supercrítico, ya que la unión Sc-Q para ese caso representa justamente la relación particular.

________________________________________________ 308 Hidráulica de las Conducciones Libres

Q

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.05

trapecial

0.06

So

0.07

0.08

0.09

FIGURA 5.20 RELACION Q-So PARA UNA SECCION TRAPECIAL.

Puntos situados a la izquierda de la curva, producirán regímenes uniformes subcríticos, nótese que para valores pequeños de So, se necesitan gastos muy altos para alcanzar la condición de NF=1 y aún muy mayores para pasar a un régimen uniforme supercrítico. Por otra parte para gastos pequeños la pendiente necesaria para alcanzar NF=1 se hace cada vez mayor. Si se realiza el mismo gráfico, ahora sobre el plano y-S, que es lo mismo que el plano Q-S, para una sección triangular, una parabólica, una rectangular y otra circular, figura 5.21, las curvas demuestran otra tendencia y esta vez se visualizan, para algunas geometrías, curvas de doble concavidad, con un punto de mínima bien definido. Si se toma la de la sección rectangular, figura 5.22, para realizar el mismo análisis anterior, las zonas de regímenes subcríticos y supercríticos representan áreas diferentes, mientras que el área que establece el régimen uniforme subcrítico rodea por fuera la curva, la de régimen uniforme supercrítico queda encerrada dentro de las dos ramas de la curva. ________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 309

2

y

1.5 1 0.5 0 0

0.005

0.01 S0

0.015

0.02

FIGURA 5.21 GRAFICA DE VARIAS GEOMETRIAS

En la figura el punto de Sc mínima de la curva Sc-Q, que representa la sección rectangular, se denomina pendiente crítica límite o simplemente pendiente límite (SL). Algunas conclusiones iniciales respecto a SL, no se manifiesta en todas las geometrías. valores de So < SL producirán solo regímenes uniformes subcríticos independiente del valor de gasto, figura 5.23(A). 2.5 2

y

1.5 1 0.5 0 0.005

0.0075

0.01 SL

0.0125

0.015

FIGURA 5.22 GRAFICA DE UNA SECCION RECTANGULAR.

________________________________________________ 310 Hidráulica de las Conducciones Libres

valores de So = SL producirán solo regímenes uniformes subcríticos, menos para un valor del gasto que el régimen será crítico, figura 5.23(B) valores de So > SL producirán regímenes uniformes subcríticos para pequeños valores de gasto, supercríticos para valores mayores y de nuevo subcrítico para los mayores valores de gasto, figura 5.23 (C). 1.5 1.25

y

1 0.75 0.5 0.25 0 0.005

0.0075

0.01

0.0125

0.015

SL FIGURA 5.23 LINEAS DE IGUAL SO DEFINIENDO LO QUE SUCEDE EN CADA ZONA

La formulación general del problema puede escribirse así, Condición de uniforme-crítico: Q =

2 1 1 AR 3 S 2 = A g D n

entonces la ecuación que representa la condición es, S=

n 2 gD R4/3

-------------------------------------------------------------

5.83 Si la ecuación anterior se aplica al caso particular de la sección rectangular se obtiene,

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 311

S=

n 2 gy  by     b + 2y 

4/3

------------------------------------------------------

5.84 Si se define el valor de b y n para la sección, la ecuación 5.84 queda formulada así: S= f (y). Si esta función se plotea sobre ejes S-y, figura 5.22, por lo que si la ecuación se deriva respecto a y y se iguala el resultado a cero, se obtendrá el valor que define SL. Advani y Modi (1970) obtuvieron la relación b/y=6 para esta geometría, lo que hace que la ecuación 5.84 quede como, S L = 2,6667

n2g b

1 3

-----------------------------------------------------

5.85 FIGURA 5.24 RELACION DEL NUMERO DE FROUDE Y LA PROFUNDIDAD PARA LAS LINEAS A, B, C DEFINIDAS EN LA FIGURA 5.23.

NF

LINEA C

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.000

LINEA B

LINEA A

0.500

1.000 y

1.500

2.000

En el caso que So > SL es evidente que el tránsito, para gastos crecientes: subcrítico→crítico→supercrítico→crítico→subcrítico, implica ________________________________________________ 312 Hidráulica de las Conducciones Libres

que en la zona supercrítica el Número de Froude pase de 1 a un valor máximo para disminuir de nuevo a 1 antes de entrar en la zona alta subcrítica, figura 5.24. Se demuestra que ese valor de NFmax se obtiene para la condición de SL, o sea b = 6y, con un valor igual a, NFmax =

So SL

--------------------------------------------------------

5.86 Advani y Modi (1970) dejaron esclarecido que en el tránsito de la sección trapecial (m ≠ 0) a rectangular (m = 0) la condición de existencia de SL viene dada por m ≤ 0,46634993, mientras que para secciones circulares la condición de SL está dada por, θ = 132º06´ ---------------------------------------------------------5.87 y en ese caso SL viene dado por S L = 22,25

n2 1 3

------------------------------------------------------

do

y

5.88 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.008

circular

0.018

0.028

0.038 SL

0.048

0.058

0.068

FIGURA 5.25 GRAFICA DE UNA SECCION CIRCULAR

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 313

5.5 Aplicaciones del régimen uniforme.

En la historia de la hidráulica las fórmulas del régimen uniforme han sido base de numerosas soluciones. Importantes aplicaciones son en el diseño de la sección transversal de un canal y el análisis del régimen variado. Otras tambien importantes son la determinación del gasto en un canal o en un río mediante la técnica de pendienteárea ya explicada, o su problema inverso: la determinación de la rugosidad. •

Aplicación en el diseño de la sección transversal.

Este tema será tratado extensamente en el capítulo dedicado al diseño de canales. Es de destacar a este nivel, que aunque el régimen uniforme es el menos frecuente en la operación diaria de una conducción libre, el que existan para él fórmulas relativamente sencillas, que permitan reunir los parámetros geométricos e hidráulicos de la sección y por tanto dimensionar ésta para garantizar que el gasto circule libremente, hacen que en todas las rutinas de diseño se incluya el cálculo de las dimensiones de la sección empleando la fórmula del régimen uniforme. •

Aplicación en el análisis del régimen variado y permanente.

Igual que el valor de la profundidad crítica, la profundidad normal es una frontera importante para establecer el análisis cualitativo y posteriormente el cálculo del perfil del flujo en un régimen variado y permanente. Como ya se estableció, Cuando So = Sc , yn = yc ________________________________________________ 314 Hidráulica de las Conducciones Libres

Cuando So < Sc Cuando So > Sc

, yn > yc , yn < yc

Estas posiciones relativas de yn respecto a yc dividen el perfil del canal en zonas en las cuales se desarrolla el régimen permanente variado que tiene como fronteras las líneas imaginarias delimitadas por los valores de yn y yc. Este aspecto será profundizado cuando se estudie el régimen variado. •

Aforo de la sección transversal.

Como ya se explicó con detalles en el epígrafe 5.3.2, esta aplicación permite en aquellos tramos de conducción libre, rectos, sin cambios de pendiente, de geometría o de dimensiones, con una rugosidad conocida previamente y sin obstáculos que impidan el desarrollo del régimen uniforme; calcular el gasto mediante el método de área-pendiente. •

Determinación de n o de C.

Es el problema inverso de la aplicación anterior. En este caso debe conocerse previamente mediante otro método de aforo el gasto real que se transporta y emplear las formulas del régimen uniforme para determinar la relación rugosidadprofundidad en esa conducción.

________________________________________________ Cálculos asociados al régimen uniforme 315

RAMO DEL CANAL PEDROSO – GUIRA, REVESTIDO CON LOSAS DE HORMIGON.

________________________________________________ 316 Hidráulica de las Conducciones Libres

6 DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL

El diseño de un canal se asocia, a veces, con el diseño de su sección transversal, sin embargo, este es solo un aspecto entre los múltiples problemas que se presentan al resolver una rutina de diseño En el proceso de diseño se presentan problemas puramente hidráulicos y otros en los campos de la topografía, la geología, la tecnología constructiva, la economía y la protección del medio ambiente, pero siempre con una relación directa con las decisiones hidráulicas. El diseño de un canal, al igual que cualquier otra obra de ingeniería, depende de cinco eslabones básicos: los puramente técnicos, los económicos, los sociales, los relacionados con la defensa del país y los que tienen que ver con la preservación del medio ambiente. En este capítulo se abordan los problemas hidráulicos que deciden la geometría y dimensiones de la sección transversal, aunque se comienza el mismo con un análisis más general sobre la rutina de diseño de un canal o tramo de canal. 6.1 Una aproximación al diseño de un canal.

Un canal o red de canales, como toda obra lineal que utiliza el relieve topográfico para su desarrollo, está muy influenciada por este, tanto en la etapa de proyección, en la de construcción y una vez concluido el proyecto, en la etapa de operación. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 317

Se puede dividir los canales en dos grandes grupos atendiendo a su función, • Canales para conducción y abasto. • Canales para recolección y evacuación. Normalmente los primeros se proyectan y construyen por las zonas altas de la región, ya, que su función es conducir, abastecer y derivar el agua. Los segundos, al tener que recolectarla para después conducirla y evacuarlas, se proyectan y construyen por zonas bajas. Estas obras tienen gran repercusión positiva y negativa en el medio ambiente, por lo cual su proyecto debe estar precedido de un muy completo estudio de las afectaciones, que genera la obra al paso por las regiones donde esté enclavada. De forma muy general la tarea de diseño debe dividirse por tramos de canal, correspondiendo a cada tramo características y problemáticas semejantes. De esta forma el diseño de cada tramo pudiera estructurarse así, 1. Recolección y organización de las bases de datos. 2. Selección de una variante de trazado en planta del eje de la obra. El cálculo de sus curvas, alienaciones, estacionados y coordenadas de todos los puntos notables del trazado. Cálculo del perfil del terreno por el eje del trazado y en las secciones transversales correspondientes a cada estación. Para la variante de trazado elegida en el paso anterior, Elegir una posible pendiente para el fondo del canal en función de la complejidad del trazado del tramo y la topografía. 4. Decidir el revestimiento o no de la sección transversal y el método de cálculo a emplear. Elegir una geometría y dimensionarla para que satisfaga los requerimientos del régimen uniforme en todo el rango de gasto y las restricciones del método de cálculo. Esta etapa del diseño puede llevar a un ________________________________________________ 318 Hidráulica de las Conducciones Libres • 3.

5.

6.

retroceso en la rutina, debido al no cumplimiento de alguna de las restricciones del diseño. Si esto sucede se debe analizar si un simple cambio resuelve el problema o si hay que retornar al punto 3 o al 2 en caso de necesidad. La sección así dimensionada se denominará en lo sucesivo sección típica hidráulica (STH). A partir de la STH definir la sección típica constructiva (STC), decidiendo las obras inducidas por la protección o la operación, a saber: diques de protección contra la entrada del escurrimiento, canales paralelos y caminos paralelos. Estas obras se dimensionan y se ubican en elevación respecto al fondo del canal en la STH. Establecer la rasante del fondo del canal en el tramo de cálculo. Para esto hay que decidir la cota del fondo de la STC en la primera estación del tramo y con la pendiente elegida en el punto 3, calcular las cotas del fondo de todas las estaciones del tramo. Esta etapa es de gran importancia técnica y económica. La cota del fondo, según su valor, puede implicar mucha excavación o mucho relleno, puede decidir que el canal no pueda recibir o derivar agua, figura 6.1.

FIGURA 6.1 TRES PERFILES CARACTERISTICOS DE TRAMOS DE CANAL.

Una vez concluida esta parte, se calculará estación por estación las secciones constructivas (SC), ubicando la STC en la cota de fondo que le corresponde, y realizando la intersección ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 319

correspondiente con el terreno. De aquí pueden surgir dos importantes objetos de obra: Los diques de protección contra desbordamiento, fig. 6.2, si el nivel de agua está por encima del terreno. Las bermas constructivas, fig. 6.3, a y b, si la profundidad de excavación o relleno excede lo normado para la tecnica constructiva o para la resistencia del suelo.

FIGURA 6.2 SECCION CON DIQUE CONTRA DESBORDAMIENTO.

FIGURA 6.3 DOS OPCIONES DE BERMAS CONSTRUCTIVAS.

7.

A este nivel del diseño se hace necesario acercar el proyecto al régimen real de circulación, que no tiene por que ser uniforme en todo el tramo. Se deben seleccionar aquí las obras hidráulicas inducidas por el trazado y las necesarias para la operación correcta del canal o del sistema de canales. De la selección, dimensionamiento y cálculo de los parámetros hidráulicos de cada obra y de su ubicación en la estación que le corresponda, dependerá el grado de alteración que sufra el

________________________________________________ 320 Hidráulica de las Conducciones Libres

supuesto régimen uniforme de circulación. Por esta razón el próximo paso es de mucha importancia. 8.

Cálculo de régimen permanente variado que se produzca aguas arriba y aguas abajo de cada obra, para todo el rango de gasto y para las condiciones reales de circulación que se calculen previamente para el comienzo y final del tramo analizado, como resultado de relacionar los tramos entre si.

Este cálculo, entre otras cuestiones, demuestra si: El diseño de las secciones constructivas es adecuado, manteniéndose las restricciones establecidas para la STH y las demás necesarias para garantizar el buen funcionamiento y el control para todo el rango de gastos. El diseño de las secciones constructivas no es adecuado para uno o varios gastos debido a que: a. hay desbordamiento b. hay erosión c. hay sedimentación d. no hay suficiente nivel para la derivación e. no hay posibilidades de colectar agua f. no se cumple algún otro requisito impuesto previamente. Si este último sucede habrá que realizar cambios en el diseño que pueden llevar hasta recomendar comenzar los cálculos desde el principio. 9. Si se concluye favorablemente una variante de diseño, para esta opción se realizará lo siguiente. Calcular el movimiento de tierra. Calcular el volumen del resto del los materiales de construcción y de apoyo a la construcción. Definir el equipamiento y mano de obra necesaria y los plazos de terminación. Calcular los costos, beneficios, plazos de recuperación y demás indicadores económicos de la variante. Calcular los impactos ambientales de la variante. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 321

10. Por último y después de analizar un grupo de variantes, debe

desarrollarse un análisis comparativo para llegar a la mejor opción. En un análisis mas detallado del diseño que se realiza y con el objetivo de ganar calidad en el rigor de análisis hidráulico, las variantes más prometedoras deben someterse a un análisis de operación para todo el rango de gasto. Esto es, un análisis de la ocurrencia en tiempo real, del régimen impermanente variado en la operación de la conducción. Esta etapa, muy compleja desde el punto de vista del análisis numérico y del cálculo de alternativas, es la que en realidad puede dar el aval total a la mejor solución ya que es, este régimen de circulación, el que mayoritariamente impera en la operación de los canales. Desde un punto de vista hidráulico cuatro etapas tienen una relación directa con las formulaciones de la hidráulica de canales, el dimensionamiento de la STH que se realiza con las fórmulas desarrolladas para el régimen uniforme. el cálculo de las obras hidráulicas basado en las relaciones empíricas que describen el comportamiento hidráulico para cada una. el cálculo del régimen variado que se produce al intercalar las obras, cambian de rugosidad, gasto, sección o pendiente. el análisis y cálculo del movimiento de las ondas cuando aparece en la operación el régimen Impermanente. 6.2. Introducción al diseño de la sección transversal.

Una de las etapas de mayor importancia en el diseño es el dimensionamiento de la STH capaz de conducir el agua entre dos puntos de manera segura y económicamente eficiente. ________________________________________________ 322 Hidráulica de las Conducciones Libres

Se debe diferenciar, desde el punto de vista hidráulico, tres clases de canales en función de su sección transversal; - en tierra, erosionables o no revestidos. - revestidos o no erosionables. - revestidos con vegetación. La sección de un canal o tramo de canal esta totalmente diseñada, figura 6.4, cuando:

 INFORMACION  MATERIAL: CONDICIONES DE OPERACIÓN: PERDIDAS DE AGUA POR KILOMETRO DE CANAL: EFICIENCIA DE LA CONDUCCION EN EL TRAMO: n DE MANNING: PENDIENTE LONGITUDINAL DEL TRAMO: ALTURA DE LA SECCION TIPICA HIDRAULICA: VELOCIDAD MAXIMA PERMISIBLE: VELOCIDAD MINIMA PERMISIBLE: PROFUNDIDAD

VELOCIDAD

GASTO MINIMO

< VALOR >

< VALOR >

< VALOR >

GASTO MAXIMO

< VALOR >

< VALOR >

< VALOR >

FIGURA 6.4 INFORMACION QUE CARACTERIZA EL DISEÑO DE UNA STH.

esta definida su geometría y dimensiones. esta definido el material que compare el perímetro de la sección. esta definida la pendiente del fondo. se han calculado las profundidades del agua, y la velocidad para el rango de gastos que circularán. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 323

se ha calculado el borde libre necesario y se ha sumado a la profundidad máxima, para obtener la altura total. Además, para que el diseño sea aceptado, debe cumplirse un grupo de restricciones que son las que garantizarán el buen trabajo de la sección: La velocidad media de circulación o la fuerza tráctiva actuante para el gasto máximo, no sea superior al valor permisible establecido en función del material que recubre el perímetro del canal (restricción de no erosión). La velocidad media de circulación para el gasto mínimo, sea superior al valor permisible que no permite sedimentación de partículas en el fondo del canal y/o crecimiento de plantas acuáticas (restricción de no sedimentación y no crecimiento de plantas). Hay un grupo de factores que deben tenerse en consideración en el momento del diseño de la sección y que de una u otra forma inciden en el resultado final, estos son: - la pendiente del fondo: definida en algunos casos por la topografía solamente y en otros además por la finalidad de la obra y el nivel de agua sobre terreno que se requiere. - la geometría de la sección: definida por la clase del canal, la finalidad de la obra, el método y equipos de construcción factibles y la sistematicidad y calidad esperada de los mantenimientos. - taludes de los lados: determinado por las características del suelo a excavar, la clase del canal y la tecnología constructiva. - el bordo libre: determinado por las fluctuaciones posibles de la profundidad debido a: mala operación, recrecimiento del fondo debido a la sedimentación, incremento de n, oleaje debido al viento. - la velocidad mínima permisible: factor límite de la velocidad media del canal para evitar sedimentación y crecimiento de plantas acuáticas. ________________________________________________ 324 Hidráulica de las Conducciones Libres

-

-

-

la velocidad máxima permisible: factor límite de la velocidad media del canal para evitar erosión en el material que conforma el perímetro de la sección. Este factor puede decidir el revestimiento de la sección e influir en la selección del material. el esfuerzo cortante permisible: factor limitante, al igual que la velocidad máxima permisible, que valora la posible erosión desde otro punto de vista. Al igual que la velocidad máxima el revestimiento o no de la sección dependerá de este parámetro. las pérdidas de agua: factor de importancia técnica y económica y que depende del material en que se construye y reviste el canal y de la geometría de la sección. Este factor puede decidir el revestimiento de la sección e influir en la selección del material.

6.2.1 La pendiente del fondo (So).

Este parámetro relaciona la hidráulica con la topografía del terreno por el cual pasa el canal. El valor debe ser cercano a la pendiente media topográfica del terreno por el eje del canal y estará limitado por un valor máximo que no produzca alta velocidad y un valor mínimo que no permita la sedimentación y/o el crecimiento de plantas acuáticas. De esta forma puede escribirse, S o ≈ S terreno ≈ S compensaci ón ------------------------------------------ 6.1 So< So_máxima ---------------------------------------------------------- 6.2 So >So_mínima ----------------------------------------------------------- 6.3

El valor final de la So se obtiene por tanteo y error en el transcurso del diseño de la STH ya que su valor influye decisivamente en el resultado final. 6.2.2. Geometría de la sección.

La decisión de la forma geométrica de la sección transversal es importante ya que de una buena selección depende del buen trabajo futuro y la vida útil de la conducción. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 325

En general se decide la forma en dependencia de los gastos que circularán, la técnica constructiva, la finalidad de la conducción, la resistencia del suelo en el momento de la excavación, las características del mantenimiento, el material que conforma el perímetro y otras, que el proyectista puede valorar para casos específicos. La geometría de la sección puede clasificarse de diversas maneras, a. de acuerdo a la geometría. de geometría simple (trapecial, triangular .....). de geometría compuesta (doble trapecial, semicirculartrapecial ....). b. de acuerdo al material que recubre el perímetro. no revestidas. revestidas (con material antierosivo, antifiltraciones o ambos). c. de acuerdo al cierre de la sección. de sección abierta. de sección cerrada. El empleo de una u otra forma geométrica no está normado de forma estricta. Algunas indicaciones al respecto, pueden ser: 1º. 2º. 3º.

4º.

Secciones compuestas si el rango de gastos a conducir es grande. No diseñar secciones triangulares para más de 1m3/s. Emplear secciones cerradas si no se quiere contaminar el medio ambiente por el agua que se conduce o para evitar la contaminación del agua debido al contacto con el medio ambiente. Emplear secciones con ángulos suavizados, si son secciones no revestidas en materiales finos y fácilmente vulnerables a la erosión o secciones revestidas de vegetación.

________________________________________________ 326 Hidráulica de las Conducciones Libres

6.2.3. Taludes de los lados.

Si la sección lleva taludes laterales, para el diseño de los taludes de los diques de protección contra el escurrimiento, diques de protección contra desbordamiento y taludes sobre las bermas constructivas, estos deben ser diseñadas cuidadosamente de acuerdo al tipo de material que se va a emplear en la excavación o el relleno. Material Roca Arcilla compacta Tierra con recubrimiento de hormigón Tierra con revestimiento de piedra Canales grandes en tierra Arcilla firme o zanjas en tierra Arena suelta Loam arenoso o arcilla muy porosa

Talud 0,25 : 1 0,5 : 1 a 1 : 1 0,5 : 1 a 1 : 1 1:1 1:1 1,5 : 1 2:1 3:1

TABLA 6.1 VALORES RECOMENDADOS DEL TALUD Tomado de Ven te Chow (1959)

Material Arena suelta Arena Arena limosa Arena arcillosa Loam arenoso Loam areno-arcilloso Loam limo-arenoso Loam arcillo-arenoso Loam arcilloso Arcilla loamosa Arcilla Arcilla pesada

Talud Recomendado 3 3 2,5 2,5 2,5 2 2 2 1,5 1,5 1 1

Limite 2,4 2 1,9 1,8 1,4 1,2 1,2 1 0,9 0,9 0,5 0,5

TABLA 6.2 VALORES RECOMENDADOS DEL TALUD. Tomado de León (1991).

Como usualmente en canales las profundidades de corte, sin bermas intermedias, no superan los cincos metros, se puede ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 327

obtener el valor del talud de acuerdo a recomendaciones específicas. Para casos especiales deben emplearse métodos de cálculos específicos para estos fines. Algunas recomendaciones aparecen en las tablas 6.1, 6.2 y en la figura 6.5. 6.2.4. Bordo libre.

Es la distancia vertical entre la parte superior de la sección del canal o del revestimiento del perímetro y la superficie del agua en el canal para el mayor de los gastos de diseño a conducir, su propósito es prevenir el desbordamiento del agua debido a: mala operación, sobre elevación debido a las curvas en la planta del trazado, oleaje producido por el viento, incremento de la profundidad debido a sedimentos o incrementos de n, incremento del gasto producto de las lluvias.

FIGURA 6.5 VALORES DEL ANGULO DE REPOSO PARA MATERIALES NO COHESIVOS SEGÚN LANE (1953)

Chow considera que debe fluctuar entre 5% y 30% de la profundidad (0,05y a 0,3y). Otra estimación preliminar puede hacerse según, ________________________________________________ 328 Hidráulica de las Conducciones Libres

bl = 0,552 cy ---------------------------------------------------------- 6.4

donde, c = 1,5 + 0,0119Q, para 0,6 ≤ Q ≤ 85 m3/seg. bl y y, en metros. Si se considera la sobre elevación que produce el movimiento en una curva en planta en una sección rectangular, entonces el valor sería, 2

v b ∆h = ---------------------------------------------------------- 6.5 g radio

está ecuación, según Houk (1956), subestima el valor de ∆h. Aplicando la Segunda Ley de Newton a una línea de corriente que pasa por una curva se demuestra que, 2

h = 2,3

r v log e , donde, re g ri

y

ri son los radios de la curva

exterior e interior.

1.5 1.25 hasta borde de dique

bl (m)

1 0.75 0.5

hasta altura de revest.

0.25 canal no revestido

0 0.1

1

10

100

Q (m3/s) FIGURA 6.6 GRAFICA PROPUESTA POR EL U.S.B.R. PARA DETERMINAR EL BORDO LIBRE

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 329

Woodward supuso la velocidad igual a cero en los taludes y máxima en el centro del canal y que la variación entre esos puntos era parabólica, entonces, si la sección es rectangular se obtiene: 2 2   v max r 16r 3  4r 2 2r + b  6,67 −   ln h= 1 + −  --------------- 6.6  b2  g  b 2r − b  b3     

Las curvas del USBR son un inmejorable asesor para este cálculo. Ellas posibilitan el cálculo de los niveles de protección, hasta el revestimiento (si lo hay) y hasta el final de la sección excavada o conformada por terraplenes, figura 6.6. Raju (1988) recomienda los siguientes valores a partir de criterios adoptados en la India, tabla 6.3. Q (m3/seg) Bl (m)

< 0,75

0,75 -1,50

1,50 - 85,0

> 85

0,45

0,60

0,75

0,90

TABLA 6.3 VALORES DE BORDO LIBRE RECOMENDADOS EN LA INDIA.

6.2.5. Pérdida de agua.

La pérdida de agua en los canales puede tener dos componentes: –– la pérdida provocada por evaporación desde la superficie libre. –– la pérdida por infiltración a través del perímetro mojado. La pérdida por evaporación es proporcional a la superficie expuesta, a la humedad relativa, al viento, a la temperatura, a la radiación solar y también a la geometría seleccionada (abierta o cerrada, de rápido incremento de T, etc.). La solución de esta pérdida está en: ________________________________________________ 330 Hidráulica de las Conducciones Libres

–– eliminar la exposición directa a la atmósfera utilizando secciones cerradas. –– escoger geometrías de poco ancho superficial. La pérdida por infiltración se puede estimar por fórmulas empíricas o calcularse en canales ya construidos mediante: –– aislamiento temporal de un tramo de canal y medir su decrecimiento de profundidad a la vez que medir la lámina evaporada, preferiblemente con un evaporímetro dentro de la masa de agua. –– con un registro de gastos entre dos tramos de canal y una cuantificación de la lámina evaporada. En casos de canales en proyectos la construcción de tramos de prueba puede ser muy aconsejable. Davis y Sorenson (1969) recomiendan utilizar los siguientes valores sí el nivel freático no afecta el canal, tabla 6.4 Suelo Franco arcilloso impermeable Arcilla a no más de 2-3m de profundidad Franco arcilloso fino, ceniza de lava

m3agua

x 24horas m2area 0.076 – 0.107 0.107 – 0.152 0.152 – 0.229

Franco arcilloso gravoso, arena y arcilla, Franco arcilloso arenoso, grava cementada

0.229 – 0.305

Franco arenoso Arenoso suelto Grava arenosa Grava porosa Grava

0.305 – 0.457 0.457 – 0.534 0.610 – 0.762 0.762 – 0.915 0.915 – 0.829

TABLA 6.4 SORENSON.

PERDIDA DE AGUA EN DIFERENTES SUELOS SEGÚN DAVIS Y

Las pérdidas por infiltración dependen de: –– Tipo de material que conforma el perímetro del canal. –– Características de perfil geológico del suelo. –– Profundidad del manto freático. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 331

–– Horas diarias de uso del canal. –– Longitud total del canal. La fórmula general que se utiliza para calcular el gasto afectado de las pérdidas es: Q b = Q n + PER ------------------------------------------------------- 6.7 donde: Qb gasto total Qn gasto neto, o sea, el gasto real que llega a su destino PER pérdidas de agua en la conducción. Las pérdidas totales de un canal con funcionamiento periódico (canales temporales, canales terciarios) puede determinarse de la siguiente forma: PER =

α p β p σQ n L 100

---------------------------------------------------- 6.8

donde: αp coeficiente que depende del ritmo de trabajo del canal. βp coeficiente que depende del tiempo de trabajo del canal. σ medida específica, expresada en tanto porciento del gasto por kilómetro de canal. L longitud del canal, en kilómetros. Para canales de funcionamiento constante o durante periodos muy prolongados, PER se puede determinar mediante la expresión: PER =

σQ n L ---------------------------------------------------------- 6.9 100

Para obtener el valor de α p es necesario conocer el ritmo de trabajo del canal (RTC), que es la relación entre el número de canales que trabajan simultáneamente (NCT) y el número de canales (NC) que desembocan en el canal que se quiere calcular. RTC =

NC NCT

-------------------------------------------------------- 6.10

El valor de α p puede entonces obtenerse por la siguiente relación: ________________________________________________ 332 Hidráulica de las Conducciones Libres

RTC αp

1 1

2 0,75

3 0,66

4 0,62

TABLA 6.5 VALORES DE αp PARA LA FÓRMULA 6.8

El coeficiente βp se obtiene en función del número de horas que trabaje diariamente la conducción y sus valores aparecen en la tabla 6.6. Horas de trabajo simultáneo 5

2.35

10

1.60

15

1.30

20

1.15

Más de 24

1.0

TABLA 6.6 VALORES DE

βp

βp

PARA LA FÓRMULA 6.8

Para calcular las pérdidas de agua como porcentaje del gasto por kilómetro de canal (σ), se presentan, en la tabla 6.7, tres fórmulas desarrolladas por el académico N.Kostiakov y tres fórmulas propuestas por el Instituto de Hidromejoramiento de Asia Central, en función del tipo de terreno en que se construye en canal. De esta forma quedan determinados todos los factores que intervienen en el cálculo de PER según las fórmulas propuestas para el cálculo. Si las aguas subterráneas no yacen profundamente y sostienen un flujo filtrante del canal, las pérdidas de agua son menores que la filtración libre. En este caso el MICONS de Cuba, a partir de la experiencia de los especialistas cubanos y extranjeros que han laborado en este tema, aconseja afectar las pérdidas por un factor de corrección y entonces: PER se obtiene multiplicando las pérdidas por filtración libre por un coeficiente de corrección CP según los datos que aparecen en la tabla 6.8. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 333

σ Suelo

Permeabilidad (m/día)

≥2

Muy permeables

Medianamente permeables

0.5 - 1

σ Según Kostiakov

3.4 Q 0. 5

2.85 a 3.15

1 .9

1.87 a 2.3

Q

Q 0.5

0 .4

Q 0. 5

0. 7

≤ 0.1

Poco permeables

Según Instituto de Hidromejoramiento del Asia Central

Q

1. 0 a 1. 3

0 .3

Q 0. 5

TABLA 6.7 VALORES DE σ PARA LAS FÓRMULAS 6.8 Y 6.9. Tomada de Metodología para un proyecto de riego en el cultivo de la caña de azúcar, de F. Rajimbaev

GASTO 3 (m /s)

PROFUNDIDAD DEL MANTO FREATICO CON RESPECTO AL FONDO DEL CANAL (m) 3 5 7,5 10 15 20 25 4 y

------------------------ 6.13

donde: Ap y µ p coeficientes de la relación

T y

y del talud m, y que se

determinan mediante la tabla 6.9. m=1

m = 1.5

m=2

T/y

Ap

µp

Ap

µp

Ap

µp

2 3 4 5 6 7 10 15 20

2,0 2,4 2,7 3,0 3,2 3,4 3,7 4,0 4,2

0,98 1,00 1,14 1,15 1,14 1,12 1,11 1,08 1,06

1,9 2,2 2,5 2,7 3,0 3,2 3,6 3,9

0.78 0,98 1,04 1,08 1,10 1,10 1,10 1,07 1,08

1,8 2,1 2,3 2,7 2,9 3,3 3,6

0,62 0,82 0,94 1,02 1,04 1,07 1,07 1,06 1,05

TABLA 6.9 COEFICIENTES PARA LAS FÓRMULAS 6.12 Y 6.13 Tomada de Regulación de Proyectos No 1081. Ministerio de la Construcción

La influencia del agua subterránea se obtiene exactamente igual que en la metodología anterior. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 335

El coeficiente de eficiencia η para canales que trabajan con largas interrupciones se determina por la fórmula: η=

QN QB

--------------------------------------------------------------- 6.14

En este caso, el gasto neto (QN) coincide con el gasto de diseño del canal. Si esto no se cumple, o sea, si el gasto de circulación (Qn) es menor que el gasto de diseño (QN), el coeficiente se determina por la tabla 6.10, en la cual Ω=

QN ------------------------------------------------------------- 6.15 Qn

En los canales de gran sección con diques, concebidos en terraplén o en semiexcavación-semiterraplén, se deben determinar las pérdidas por filtración debidas al dique. Los diques de canales representan en sí una presa de tierra de baja carga, y para determinar la filtración son válidos los cálculos empleados en presas de tierra. Debe tenerse en cuenta que la curva de infiltración no debe salir por el talud inferior del dique. Valores del coeficiente de eficiencia para diferentes Qn / QB Ω

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,45 0,45 0,52 0,54 0,55 0,58 0,60

0,50 0,54 0,57 0,60 0,62 0,64 0,65

0,56 0,60 0,62 0,65 0,67 0,68 0,70

0,62 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,75

0,68 0,72 0,74 0,76 0,78 0,79 0,80

0,76 0,78 0,80 0,82 0,83 0,84 0,85

0.83 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,90

0,91 0,92 0,93 0,94 0,94 0,95 0,95

TABLA 6.10 VALORES DE LA EFICIENCIA η

Los valores mínimos aceptables para el rendimiento de los canales son, Magistrales: 0.75; Principales: 0.80; ________________________________________________ 336 Hidráulica de las Conducciones Libres

Secundarios: 0.85;

Temporales: 0.90.

En los casos en que los cálculos de las pérdidas por filtración den valores excesivos, se toman medidas para reducir o evitar la filtración, por lo que las pérdidas de agua se determinan por la expresión: PER ′ = β r PER ------------------------------------------------------ 6.16 en la expresión 6.16, βr es un coeficiente que considera el revestimiento y se calcula por la fórmula: βr =

1 ----------------------------------------- 6.17 A p δ 0  K suelo   − 1 1+ T  ψK rev 

donde: δ0

Ksuelo Krev T ψ

espesor del revestimiento coeficiente de filtración del suelo coeficiente de filtración del revestimiento ancho superficial, m coeficiente que depende de la calidad de la construcción y que varía entre 1 y 9.

En la tabla 6.11 aparecen los valores del coeficiente Krev Krev (cm/s)

Revestimiento

-6

-6

Hormigón monolítico Hormigón armado monolítico

a 5.10 3 .10 -6 -6 2.5.10 a 3.5.10

Película de hormigón monolítica

-----------------------

Hormigón armado prefabricado

0.5.10 -6

-6

a 10

-----------------------6

10-15 10 a 15

-5

a 10

----------------------

20-25 35-40

-5

10

7.10

3 a 6

-6

Pantalla de película polimérica

Plazo de servicio (años) 15-20 20-25

a 2.10

Hormigón asfáltico Pantalla arcillosa Película de hormigón prefabricado

Volumen de filtración (litros/día)

8-10 5-10

7 a 10

35-40

TABLA 6.11 VALORES DE LA PERMEABILIDAD DE ALGUNOS REVESTIMIENTOS. Tomado de la Regulación de Proyectos No. 1081, Ministerio de la Construcción

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 337

La disminución de las pérdidas depende del tipo de medida que se tome. En la tabla 6.12 aparecen los porcentajes de disminución de las pérdidas para diferentes medidas contra la filtración. Esta información sin que agote el tema da una idea de lo que representa una u otra solución. Otras fórmulas para estimar las pérdidas de agua en canales han sido propuestas por investigadores de diferentes regiones del mundo. Por ejemplo: •

Fórmula de Davis y Wilson para canales revestidos: PER = 0.45C r

donde: PER L P v y Cr

PL 6

4 ⋅ 10 + 3650 v

⋅ y 1/ 3

pérdidas, m3/día longitud del canal, m perímetro mojado, m velocidad del agua, m/s profundidad de circulación, m constante que depende del revestimiento.

Medida

Porcentaje de disminución

Compactación profunda del fondo y los taludes (más de 0.5m) Compactación poco profunda (0.25m)

70-80 30-50

Capa compacta bajo los diques y fondo

30-60

Colmatado artificial

30-50

Salinización artificial

40-60

Betún asfáltico

85-95

Arcilla

60-80

Película de polietileno

85-90

TABLA 6.12 POR CIENTO EN QUE DISMINUYEN LAS PERDIDAS EN FUNCION DEL TRATAMIENTO SUPERFICIAL QUE SE APLIQUE A LA STH.

________________________________________________ 338 Hidráulica de las Conducciones Libres

•

Fórmula de Moritz Q v

PER = C M

donde:

pérdidas, ft3/s/millas de canal 3 caudal, ft /s velocidad del agua, ft/s coeficiente empírico que depende del tipo de suelo. Fórmula de Molesworth (deducida en experiencias en Egipto)

PER Q v CM •

PER = ΓLP y

donde: PER K

P Y

Γ

•

pérdidas, m3/s longitud del canal, km perímetro mojado, m profundidad de circulación media, m coeficiente que depende del suelo y su temperatura, que varía de 0.0015 para arcillas hasta 0,003 para arenas.

Fórmula de Offengenden para canales de tierra. PER = s

donde: PER Q L s

QL 100

pérdidas, m3/s caudal, m3/s longitud del canal, km porcentaje de pérdidas, que se determinan como

s = A'/Qw A' y w son parámetros empíricos que dependen del

suelo: A' = 0,7 de baja permeabilidad: de mediana permeabilidad: A' = 1.9 A' = 3.4 de alta permeabilidad:

w = 0,3; w = 0.4; w = 0.5.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 339

•

Fórmula de S.A. Guirshkan: PER =

donde: PER L K

6 .3 KL 100

pérdidas, m3/s longitud del canal, km filtración del suelo, m/día

6.2.6. La velocidad mínima permisible

Este parámetro es de gran importancia en el diseño y repercute fuertemente en la vida útil de la conducción y en la necesidad frecuente de mantenimientos. La velocidad mínima tiene dos interpretaciones. Una como la velocidad media que no permite la deposición en el canal de los sedimentos que transporta la corriente. La otra, como la velocidad media que no permite el crecimiento de plantas acuáticas en el canal. La segunda interpretación requiere un valor de velocidad superior al dado por la primera, por lo cual puede escribirse que, VminCRECIMIENTO _ DE _ PLANTAS > VminSEDIMENTACION ----------------------------- 6.18 Los valores de velocidad requeridos para garantizar el no crecimiento de plantas pueden tener magnitudes tan alta, que si los canales son construidos en suelos fácilmente erosionables puede existir el peligro de erosión al tratar de cumplimentar este valor. Chow (1959), en forma simple, plantea que este valor es muy incierto y que un valor exacto no puede determinarse fácilmente; aclara además, que en el caso de canales que conducen aguas claras o que han sido desarenadas, la velocidad mínima tiene poca importancia, salvo que se quiera evitar el crecimiento de yerbas. A ________________________________________________ 340 Hidráulica de las Conducciones Libres

partir de estas premisas propone un valor de vmin entre 0.61 y 0.92 m/s cuando el porcentaje de material transportado por el agua es bajo, y afirma que las velocidades mayores de 0.76 m/s evitan el crecimiento de vegetación que pudiera dañar seriamente la capacidad del canal. La velocidad mínima admisible vmin es el límite inferior de velocidad que puede admitirse en un canal y por debajo del cual se produce deposición de los sedimentos en suspensión y comienza el crecimiento de plantas acuáticas que obstruyen la sección transversal y las obras de fábrica existentes. De modo que en todo proyecto debe cumplirse que: v > vminima ------------------------------------------------------------- 6.19

FIGURA 6.7 DIAGRAMA DE HJULSTROM

El diagrama propuesto por Hjulstrom (1935) muestra gráficamente la zona propicia de diseño de un canal, desde el punto de vista de ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 341

la sedimentación y la erosión, encontrándose ésta como transición entre las zonas críticas, figura 6.7. Son numerosas las fórmulas, tablas y gráficos que se han propuesto como resultado de la investigación en torno a la velocidad mínima admisible, que aparecen en literatura especializada. El profesor I.I. Levi propone la siguiente: v min = e L R -------------------------------------------------------- 6.20 donde: R radio hidráulico, m eL coeficiente que depende de la calidad de los sedimentos, su granulometría y su velocidad media de circulación, para su determinación hay que considerar dos casos: 1º. Si el coeficiente de rugosidad n no es aproximadamente igual a 0.0225, se toma para eL un valor igual a 0.5 cuando el diámetro medio de las partículas en suspensión es 0.25 mm, pero cuando estas partículas de 0.25 mm no sobrepasan el 0.01% del peso específico, entonces el valor de eL debe calcularse por la fórmula: e L = 0.01

vs dm

donde: dm diámetro de las partículas, mm vs velocidad de sedimentación, mm/s d (mm) 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

vS (mm/s) 0.0175 0.0692 0.277 0.623 1.11 1.73 2.49 3.39 4.43

d (mm) 0.09 0.10 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250 0.275

vS (mm/s) 5.61 6.92 10.81 15.60 18.90 21.60 24.30 27.00 29.90

________________________________________________ 342 Hidráulica de las Conducciones Libres

2º.

Si en el fondo del canal se depositan sedimentos mucho mayores que los que la corriente puede arrastrar, el coeficiente eL está en función de la granulometría de los sedimentos que transporta la corriente, y por lo tanto: e L = 0.5

0.0225 n

si el diámetro medio de las partículas es dm ≤ 0,25 mm e L = 0.01

vs dm

⋅

0.0225 n

siempre que la fracción mayor de 0.25 mm, en peso, no sea mayor que el 0.01% del peso específico. En forma general: e L = 0.01

vs dm

4

ρ 25 0.0225 ⋅ 0.01 n

donde: ρ25 porcentaje de sedimentos con diámetro mayor de 0.25 mm, contenidos en el peso específico. Otras dos fórmulas en sistema métrico y de uso frecuente, es la de S.J. Abolians: v min = 0.3R 0.25 ------------------------------------------------------ 6.21 y la de S.A. Yirchkan: v min = Yv Q 0.2 -------------------------------------------------------- 6.22 donde: R radio hidráulico, m Q caudal, m3/s Yv coeficiente que depende de la velocidad de sedimentación de las partículas en suspensión Yv = 0.33 si Vs 3.5 mm/s). Yv = 0.55

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 343

6.3 Erosión en la sección transversal.

Las leyes que rigen el comportamiento de un suelo solicitado por las fuerzas hidrodinámicas no se conocen bien aún a pesar de que se han formulado muchos conceptos al respecto que han sido aceptados mundialmente y recogidos en la abundante literatura que se refiere a la hidráulica del transporte de sedimentos. En términos generales, hay tres formas de análisis del movimiento de las partículas de suelo bajo el efecto de la energía hidráulica: • Mediante ecuaciones de la velocidad crítica permisible y considerando el impacto del fluido sobre la partícula. • Mediante ecuaciones del esfuerzo cortante crítico permisible al nivel del suelo y considerando el arrastre friccional del flujo. • Mediante el criterio de la fuerza de elevación y considerando las diferencias de presiones que aparecen debido al gradiente de velocidades entre la parte superior e inferior de la partícula. La erosión, no se produce de manera aislada, es parte del complejo fenómeno erosión-transporte-sedimentación, que se produce como resultado del enfrentamiento de las fuerzas hidrodinámicas de la corriente, las fuerzas resistentes del suelo y la potencialidad de sedimentación de las partículas erosionadas y transportadas. Las fuerzas actuantes que provocan la erosión son función de: La velocidad de la corriente de agua, Las pulsaciones de la velocidad, La profundidad del agua, La calidad del agua (turbidez). Las fuerzas resistentes al movimiento están en dependencia del tipo de suelo, entonces, según este criterio, se clasifican tres clases de suelo: no cohesivos o suelos suelto o granulares, cohesivos y rocosos. ________________________________________________ 344 Hidráulica de las Conducciones Libres

Los suelos no cohesivos han sido largamente estudiados y su caracterización es más certera, en los otros dos casos aunque hay numerosos estudios, la complejidad de los suelos y su gran variedad, hacen que aún queden incógnitas por despejar. Desde el punto de vista del fenómeno como función del tiempo según Pouey (1998), es posible valorar la actividad erosiva según: tiempos geológicos, tiempos anuales, tiempos de evento. Desde el punto de vista espacial el proceso puede ser: en el área de una cuenca, restringido dentro de los límites de un cauce. En los casos de erosión en el cauce todas las secciones de un tramo pueden estar sometidas al proceso de erosión, si el perfil del fondo y/o el de las márgenes desciende en cota; a un proceso de sedimentación, si el perfil del fondo y/o el de las márgenes aumenta su cota; o en equilibrio, sí y solo sí, no varia el perfil del fondo y de las márgenes. Cuando se habla de erosión se debe hablar de transporte de partículas, o lo que es igual, referirse al arrastre de las partículas erosionadas por la corriente, que sedimentaran o no en tramos aguas abajo. Estas partículas pueden desplazarse por el fondo o en el seno de la corriente. Las partículas siguen una trayectoria asimétrica debido a la no uniformidad de distribución de la velocidad y al valor de las componentes del vector velocidad en cada punto (vX, vY, vZ). Se consideran arrastres de fondo si las partículas se mueven rozando el fondo frecuentemente, si por el contrario recorren grandes distancias sin tocar el fondo se consideran partículas suspendidas. Al estudiar el proceso de erosión-transportación, se distinguen diferentes valores de la velocidad media: ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 345

velocidad de comienzo del movimiento, de arranque, de desprendimiento o erosionante. velocidad para la cual hay transformación del perímetro. velocidad que provoca la suspensión de las partículas sólidas. La velocidad erosionante se define como la velocidad para la cual se inicia el movimiento de partículas aisladas, si esta se supera se produce el desprendimiento masivo (Shaffernak) o el arrastre intenso (Velikanov). Pouey, 1998, da que para vEROSIONANTE < v ≤ 1,3 vEROSIONANTE predomina el desplazamiento por el fondo, mientras que para velocidades mayores los sedimentos entran en suspensión. 6.3.1

Velocidad crítica.

El fenómeno de la erosión puede ser analizado, en el caso de canales, dado que la energía cinética y por tanto el grado de turbulencia se encuentra en un intervalo de valores que permiten identificar las fuerzas que intervienen en el movimiento de una partícula, así como las fuerzas que lo resisten. Igualando ambas fuerzas se establece la condición de no-erosión en una situación de equilibrio crítico. El análisis se complica cuando la partícula disminuye de tamaño hasta un grado tal que comienzan a ejercer influencia otras fuerzas como la atracción neta entre las partículas y las fuerzas electroquímicas que componen lo que se conoce como fuerzas de cohesión las cuales dependen de las propiedades del agua y no son constantes. Mientras que en los suelos sueltos los factores que intervienen en la fuerza resistente son: el peso específico, el tamaño de la partícula y el ángulo de fricción interna; en los suelos cohesivos ________________________________________________ 346 Hidráulica de las Conducciones Libres

intervienen: el peso específico, la porosidad (volumen de poros por unidad de volumen de suelo), la humedad (volumen de agua por unidad de volumen del suelo), la plasticidad (capacidad de deformarse sin fisuras) y sus límites, la cohesión (fuerzas intermoleculares que interfieren la ruptura del conjunto), el ángulo de fricción interna, el hinchamiento (capacidad de disminuir la cohesión por efecto de la saturación), la heterogeneidad (existencias de capas intermedias diferentes) y la integridad (modificación de la estructura). Estos factores hacen que el estudio en suelos cohesivos sea más problemático que en suelos friccionales.

FIGURA 6.8 FUERZAS SOBRE UNA PARTÍCULA SUMERGIDA DE SUELO SUELTO.

El análisis clásico del movimiento inminente comienza analizando teóricamente el movimiento de una partícula suelta de suelo de diámetro medio d, solicitada por las fuerzas hidrodinámica. Se puede ver que sobre ella actúan la fuerza de arrastre Fa la fuerza de elevación Fe y el peso sumergido de la partícula w, figura. 6.8. La condición de movimiento incipiente de una partícula expresado en términos de fuerzas actuantes es, tanϕ =

FTANGENCIALES FNORMALES

donde: ϕ es el ángulo de reposo del material, FT y FN son las fuerzas tangenciales y normales.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 347

La condición de movimiento inminente se produce cuando hay equilibrio entre las fuerzas y entonces puede plantearse, tanϕ =

w sen α + Fa ----------------------------------------------- 6.23 w cos α − Fe

Según la Segunda Ley de Newton: Fa = K 1C a γπr 2

v 2f v2 y Fe = K 2 C e γπr 2 f 2g 2g

donde: Ca y Ce coeficientes de arrastre y elevación respectivamente; K1 y K2 coeficientes de forma de la partícula;

peso específico del agua; πr área frontal de la partícula considerada como esférica; vf velocidad del flujo en el fondo; g aceleración de la gravedad. y el peso sumergido se calcula según, γ

2

W = K 3 (ρ p − ρ)d 3

donde: ϕ coeficiente de fricción ρp peso específico de la partícula ρ peso específico del agua K3 coeficiente de forma Sustituyendo los valores respectivos de cada fuerza en la ecuación 6.22 se llega a:

(v )

2 f CRITICA

  ρp gd  − 1   ρ  

=

2K 3 (tanϕ cos α − sen α ) -------------------------- 6.24 C a K 1 + C e K 2 tanϕ

donde el término de la derecha se denomina coeficiente del sedimento, que depende del tamaño y uniformidad de la partícula, de su ángulo de reposo, de la pendiente que para las condiciones ________________________________________________ 348 Hidráulica de las Conducciones Libres

normales de un canal α ≈ 0o y depende también de los coeficientes de arrastre y sustentación, por tanto puede escribirse: K=

2 v crit ( γ p − γ )d

en la cual: K = f (K 1,K 2 , C a , C e , ϕ) La ecuación 6.24, es el fundamento de la teoría en que se basa el estudio del movimiento de las partículas de suelo suelto, mediante el criterio de la velocidad crítica permisible. La verificación de la ecuación 6.24 es particularmente difícil debido a la falta de una buena definición de la velocidad en el fondo. Olivero, 1997, resume las importantes contribuciones aportadas en el siglo XIX, que fueron expuestas por Forchheimer en 1914, quien presento sus resultados como, v

_ critica

d

donde el valor medio de ε es semejante a 4 (ε≈4). Es de destacar que muchos de los investigadores han usado la velocidad media del flujo como criterio para el movimiento incipiente y no la del fondo. 6.3.2 Velocidad máxima permisible.

La velocidad máxima vmax da el nivel limítrofe por sobre el cual la sección transversal comienza a erosionarse peligrosamente. La condición de no erosión: v ≤ vmax----------------------------------------------------- 6.25 Universalmente conocida por los estudiosos de las conducciones libres, esta condición debe cumplirse en todos los diseños. En ella, el término de la izquierda depende de los parámetros geométricos e hidráulicos, mientras que el de la derecha solo depende del ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 349

material que recubre el perímetro y de la calidad y características del agua que circula. Pouey (1998), cita un grupo de factores que intervienen en el proceso erosivo, tanto en las fuerzas resistentes como en las erosionantes, de los suelos cohesivos. Estos son: las propiedades físico-químicas, la concentración de sedimentos suspendidos, el tamaño de la partícula, la resitencia cortante del suelo, la temperatura, las propiedades mecánicas y el tiempo. Aunque la condición de no erosión se fija para la velocidad media de la sección, criterio que no es muy riguroso (eso será visto con más detalles al estudiar la fuerza tractiva), la amplia experiencia recopilada por numerosos investigadores y sintetizada en tablas, gráficos y fórmulas hacen que el uso de esta relación sea útil y poco riesgoso. No obstante, para gastos mayores de 50 m3/s, se recomienda que la determinación de la velocidad máxima se lleve a cabo por vía experimental por cada tipo de partícula. Las fómulas para el diseño de canales estables a la erosión son conocidas tambien como teorías de régimen y sus primeros autores surgieron en el siglo XIX. atribuyendose a Du Buat, en 1816, los primeros valores. Una de las primeras fórmulas conocidas mundialmente para determinar la velocidad máxima fue publicada en 1895 por Kennedy, está basada en los estudios de 22 canales en el alto Bari Doab, en el Punjab, India y tiene la forma: v max = C k y x ---------------------------------------------------------- 6.26 donde: vmax es la velocidad máxima en m/s Ck coeficiente que depende de la firmeza del material; y profundidad de circulación; x exponente empírico de poca variación. ________________________________________________ 350 Hidráulica de las Conducciones Libres

De sus estudios Kennedy concluyó que el valor de Ck, era entre 0,67 y 0,23 y los de x entre 0,52 y 0,64; cuando y se expresa en metros. En estudios posteriores se precisó el valor de Ck en dependencia del tipo de terreno, recomendándose los valores que aparecen en la tabla 6.13. El valor de x se recomienda que se tome como 0,5 cuando se trate de canales que conducen aguas limpias. Tipo de suelo

Ck

Extremadamente fino Ligero y arenoso Arena gruesa Areno-arcilloso Pesado

0,36 0,55 0,60 0,66 0,61

TABLA 6.13 VALORES PARA LA FORMULA DE KENNEDY

Hjulstrom y posteriormente Fortier y Scobey reconocen que la fórmula de Kennedy, primariamente fundada en la seguridad contra la deposición conduce a factores de seguridad muy altos respecto a la erosión. Otro estudioso de la velocidad máxima permisible, I.I. Levi, propuso a finales de la década de los años 50, la siguiente fórmula: v max = ∆ gd . ln

donde: g

∆ d R

R 7d

aceleración de la gravedad (m/s2 ) coeficiente que caracteriza la compactación del suelo y varía de1,2 a 1,4 diámetro promedio de las partículas de suelo, m; radio hidráulico de la sección transversal, m.

La fórmula de Levi es válida para 50 ≤

R ≤ 5 000. d

Otras fórmulas obtenidas experimentalmente son:

Fórmulas: ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 351

1.

Fórmula de B.N. Goncharov (1936), en sistema métrico. v max = 3.9 R 0.2 ( d + 0.0014 ) 0.6

2.

Fórmula de M.A. Velicanov (1954), en sistema métrico. v max = 3.14 15d + 0.006

3.

Fórmula de B.C. Knoroz (1954), en sistema métrico. R   v max = 1.33 log14,7 0.75  gd d  

4.

Fórmula de G.I. Shanov (1959), en sistema métrico. v max

5.

y = 4.6 d   d

1/ 6

Fórmula de A.M. Latichenkov (1960), en sistema métrico. y v max = 1.6 gd    d

6.

0. 2

Fórmula de Levi empleada por Jarocki (1963), en sistema métrico.  y  v ∗CRIT = 1,4 gd ln   7d  donde v*CRIT es la velocidad de corte o friccional en el fondo.

7.

Fórmula de C.R. Neill (1967), en sistema métrico. v max

 ρp   R  0 .2  = 0.025 gd − 1   ρ   d 

para las fórmulas anteriores se tiene que: R radio hidráulico (m) d diámetro medio de las partículas (mm) y profundidad de circulación (m) ρp/ρ densidad relativa del suelo. g aceleración de la gravedad, m/s2 v velocidad máxima permisible, m/s. ________________________________________________ 352 Hidráulica de las Conducciones Libres

Además de las fórmulas en la literatura referente al tema aparecen numerosas tablas con los límites críticos de la velocidad máxima para diferentes tipos de conducciones libres. Por ejemplo, en la tabla 6.14 aparecen los valores planteados por Fortier y Scobey, y recomendados por el ASCE en 1926, para el caso de “canales viejos”. Fortier se baso en una encuesta realizada a ingenieros en riego, en los datos del libro de Tlynn (1892) y de Etcheverry (1916). En la tabla 6.15 aparecen los valores de velocidad máxima permisible propuesto por P.C. Kiceliov (1970) para diferentes profundidades de circulación, y en la tabla 6.16 se dan los valores utilizados por Schoktlisch y para proyectos en la antigua URSS se empleaban las informaciones que aparecen en la tabla 6.17.

MATERIAL

n

Agua limpia

Agua con fangos coloidales

Arena fina

0,020

0,457

0,762

Arcilla plástica-arenosa no coloidal

0,020

0,533

0,762

Fango de sedimentos no coloidales

0,020

0,610

0,914

Sedimentos aluviales no coloidales

0,020

0,610

1,07

Arcilla plástica firme ordinaria

0,020

0,762

1,07

Ceniza volcánica

0,020

0,762

1,07

Arcilla dura muy coloidal

0,025

1,14

1,52

Sedimentos aluviales coloidales

0,025

1,14

1,52

Esquistos, pizarra, capas duras de arcilla

0,025

1,83

1,83

Grava fina

0,020

0,762

1,52

0,030

1,14

1,52

0,030

1,22

1,68

Grava gruesa no coloidal

0,025

1,22

1,83

Empedrado de guijarros, cantos rodados, cascajos, chinas pelonas.

0,035

1,52

1,68

Material no coloidal graduado (de arcilla plastica a guijarros) Material graduado coloidal (de sedimentos aluviales a guijarros)

TABLA 6.14 VMAX EN (m/s) SEGÚN FORTIER Y SCOBEY PARA CANALES DESPUÉS DE SU ASENTAMIENTO CON EL TIEMPO.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 353

Tomada del Open Channel Hydraulics, de V.T. Chow (valores modificados de acuerdo con el SI)

Vmax de circulación (m/s) Diámetro de la partícula (mm)

Material Limo Arena fina Arena media Arena gruesa Gravilla fina Gravilla media Gravilla gruesa Grava fina Grava media Grava gruesa Macadam fino Macadam medio Macadam grueso Rajón TABLA 6.15

0,005 - 0,5 0,05 - 0,25 0,25 -1,0 1,0 - 2,5 2,5 - 5 5 -10 10 -15 15 - 25 25 - 40 40 - 75 75 - 100 100 - 150 150 - 200 200

Profundidad de circulación (m) 0,4 0,12 - 0,17 0,17 - 0,27 0,27 - 0,47 0,47 - 0,53 0,53 - 0,65 0,65 - 0,80 0,80 - 0,95 0,95 - 1,20 1,20 - 1,50 1,50 - 2,00 2,00 - 2,30 2,30 - 2,80 2,80 - 3,20 3,20

1,0 0,15 - 0,21 0,21 - 0,32 0,32 - 0,57 0,57 - 0,65 0,65 - 0,80 0,80 - 1,00 1,00 - 1,20 1,20 - 1,40 1,40 - 1,80 1,80 - 2,40 2,40 - 2,80 2,80 - 3,40 3,40 - 3,90 3,90

2,0 0,17 - 0,24 0,24 - 0,37 0,37 - 0,65 0,65 - 0,75 0,75 - 0,90 0,90 - 1,10 1,10 - 1,30 1,30 - 1,60 1,60 - 1,20 2,10 - 2,80 2,80 - 3,20 3,20 - 3,90 3,90 - 4,50 4,50

VMAX SEGÚN P.G. KICELIOV (1970) Vmax

Tipo de suelo

Suelos poco compactos Porosidad: 2 - 1.2% γ sat: 1.75 – 2.03 γ seco: 1.20 – 1.66

Suelos con compactación media Porosidad: 1.2 - 0.6% γ sat: 1.75-2.03 γ seco:1.20-1.66

(m/s)

Suelos compactos Porosidad: 0.6 - 0.3%

Suelos muy compactos Porosidad: 0.3 - 0.2%

γ sat:2.03-2.27 γ seco:1,66-2.04

γ sat:2.27-2.34 γ seco:2.04-2.14

Arcilla arenosa

0.45

0.90

1.30

1.80

Arcilla plástica

0.40

0.85

1.25

1.70

Arcilla

0.35

0.80

1.20

1.65

Suelos arcillosos pobres

0.32

0.70

1.05

1.35

________________________________________________ 354 Hidráulica de las Conducciones Libres

TABLA 6.16 VMAX SEGÚN SCHOKTLISCH (1961), PARA PROFUNDIDAD DE 1m. Tomada de Análisis e investigación de la erosión local en los suelos cohesivos, de E. Martínez y R, Santos.

En la tabla 6.18 aparecen los valores de velocidad máxima propuestos por Lishtvan para cauces naturales, en el caso de avenidas con probabilidad del 1%. Estos valores se usan frecuentemente en los estudios hidráulicos de puentes en las condiciones de Rusia y el Asia Central pero deben emplearse con mucho cuidado en condiciones particulares ya que en estos casos extremos influyen numerosos factores, dentro de los que se destaca la relación cauce principal – llanuras de inundación. La tabla 6.19 muestra los valores de la velocidad máxima para suelos no cohesivos. Esta información fue recopilada de varias experiencias realizadas en Rusia y en el Asia Central y empleadas por diversos ministerios de la antigua Unión Soviética. La información sobre estos materiales es muy profusa y su caracterización es bastante precisa, esto permite establecer comparaciones entre varios investigadores antes de tomar una decisión final. En el caso de canales revestidos hay que tener en cuenta el tipo de material utilizado, para evitar velocidades superiores a las que pueden deteriorarlo. En la tabla 6.20 se muestran valores de velocidad máxima permisible para los canales revestidos en dependencia del tipo y calidad del revestimiento. Debe tomarse en consideración muy especialmente, el factor calidad de la construcción en el momento de determinar el valor de la velocidad máxima, ya que este determina en muchos casos la verdadera velocidad máxima admisible por el material en las condiciones de construcción establecidas. En esta valoración deben tenerse en cuenta la forma de colocación en obra de los materiales de revestimiento, el tipo de juntas y la calidad de los materiales que la componen, la experiencia de los obreros que ejecutan la obra y la calidad y ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 355

rigurosidad de los controles técnicos en obra, así como el mantenimiento que existirá para el revestimiento. Vmax (m/s) Suelos arcillosos con una cohesión específica de cálculo

Profundidad de circulación (m) 0.5

1.0

3.0

5.0

5

(10 Pa) Con un contenido de sales fácilmente solubles (CaCl2 , MgCl2, Na2SO4, Na2CO3, NaHCO3) dado en % del peso del residuo solamente del suelo seco. 0,2

0,2 a 0,3

0,2

0,2 a 0,3

0,2

0,2 a 0,3

0,2

0,2 a 0,3

0,005

0,39

0,36

0,43

0,40

0,49

0,46

0,52

0,49

0,01

0,44

0,39

0,48

0,43

0,55

0,49

0,58

0,52

0,02

0,52

0,41

0,57

0,45

0,65

0,52

0,69

0,55

0,03

0,59

0,43

0,64

0,48

0,74

0,55

0,78

0,59

0,04

0,65

0,46

0,71

0,51

0,81

0,58

0,86

0,62

0,05

0,71

0,48

0,77

0,53

0,89

0,61

0,98

0,65

0,075

0,83

0,51

0,91

0,56

1,04

0,64

1,10

0,69

0,125

1,03

0,60

1,13

0,57

1,30

0,76

1,37

0,81

0,15

1,21

0,65

1,33

0,72

1,52

0,82

1,60

0,88

0,20

1,28

0,75

1,40

0,82

1,60

0,93

1,69

1,00

0,225

1,36

0,80

1,48

0,88

1,70

1,00

1,80

1,07

0,25

1,42

0,82

1,55

0,91

1,78

1,04

1,88

1,10

0,30

1,54

0,90

1,69

0,99

1,94

1,12

2,04

1,20

0,35

1,67

0,97

1,83

1,06

2,09

1,22

2,21

1,30

0,40

1,79

1,03

1,96

1,15

2,25

1,31

2,38

1,40

0,45

1,88

1,09

2,96

1,20

2,35

1,39

2,49

1,46

0,50

1,99

1,26

2,17

1,28

2,50

1,46

2,63

1,56

0,60

2,16

1,27

2,38

1,38

2,72

1,60

2,88

1,70

TABLA 6. 17 VMAX PARA SUELOS ARCILLOSOS Tomada de Programas para el cálculo de canales SECTIHI.

________________________________________________ 356 Hidráulica de las Conducciones Libres

Carácter del suelo

Suelos sueltos

Suelos compactos TABLA 6,18

Nombre de la fracción predominante

Vmax (m/s) Profundidad promedio del cauce principal (m)

Diámetro de partícula (mm) ó γd (104 N/m3)

1

2

3

4

5

6

8

10

12

14

16

0.15 0.5

0.42 0.54

0.56 0.72

0.67 0.86

0.75 0.96

0.90 1.13

1.01 1.28

1.11 1.39

1.20 1.50

1.28 1.61

1.35 1.70

1.0

0.63

0.89

1.05

1.19

0.83 1.05 1.29 9

1.38

1.55

1.71

1.84

1.95

2.04

2.5

0.86

1.11

1.30

1.45

1.59

1.69

1.88

2.05

2.20

2.34

2,46

Arena muy fina suelta Arena fina, terreno arenoso Arena de grano medio y fino con gravas Arena de grano grueso y fino con gravas Gravas con arena gruesa Guijarros pequeños con gravas y arena Guijarros medios con gravas y arenas Guijarros medios con gravas Cantos medianos con guijarros Cantos medios con guijarros Cantos medios y pequeños Cantos grandes

6.0

1.06

1.36

1.57

1.74

1.90

2.01

2.22

2.42

2.57

2.72

-

15.0

1.33

1.70

1.94

2.12

2.28

2.41

2.64

2.84

3.02

3.20

-

25.0

1.65

2.05

2.33

2.56

2.74

3.14

3.37

3.57

-

-

3.64 4.39 5.04 5.70 6.45 1.49 1.80 2.21

3.90 4.65 5.34 1.65 1.95 2.36

4.12 1.77 2.07 2.48

1.89 2.18 -

2.00 -

6.0 2.00 2.46 2.77 3.00 3.19 140.0 2.50 3.00 3.36 3.68 3.85 250.0 3.00 3.57 4.06 4.24 4.51 450.0 3.60 4.19 4.60 4.88 5.15 750.0 4.25 4.90 5.31 5.60 5.87 1 0.60 0.82 0.97 1.10 1.22 1.7 0.87 1.11 1.28 1.41 1.53 1.8 1.20 1.48 1.67 1.80 1.92 VMAX SEGÚN LISHTVAN PARA CAUCES CON AVENIDA DEL 1% DE PROBABILIDAD

2..9 0 3.35 4.03 4.70 5.35 6.07 1.31 1.63 2.03

Tomada de Puentes I, de E. Valdés y G. Taylor.

_______________________________________________ Diseño de la sección transversal 357

Tipo de suelo

Arena muy fina Arena fina Arena media Arena gruesa Gravilla fina Gravilla mediana Grava fina Grava mediana Grava gruesa Grava muy gruesa Piedras pequeñas Piedras medianas Piedras gruesas Roca pequeña Roca mediana Roca gruesa

Diámetro (mm)

0.05-0.15 0.15-0.25 0.25-1.0 1.0-2.5 2,5-5.0 5-10 10-15 15-25 25-40 40-75 75-100 100-150 150-200 200-300 300-400 400-500

Vmax (m/s) para diferentes tirantes (m) 0.4

1.0

2.0

3.0

0.15-0.20 0.20-0.35 0.35-0.50 0.50-0.75 0.75-0.85 0.85-0.90 0.90-1.10 1.10-1.25 1.25-1.50 1.50-2.00 2.00-2.45 2.45-3.00 3.00-3.50 3.50-3.85

0.20-0.30 0.30-0.45 0.45-0.60 0.60-0.75 0.75-0.85 0.85-1.05 1.05-1.20 1.20-1.45 1.45-1.85 1.85-2.40 2.40-2.80 2.80-3.35 3.35-3.80 3.80-4.35 4.35-4.75

0.25-0.40 0.40-0.55 0.55-0.70 0.70-0.80 0.80-1.15 1.00-1.15 1.15-1.35 1.35-1.65 1.65-2,10 2.10-2.75 2.75-3.20 3.20-3.75 3.75-4.30 4.30-4.70 4.70-4.95 4.95-5.35

0.40-0.45 0.45-0.60 0.60-0.75 0.75-0.90 0.90-1.10 1.10-1.30 1.30-1.50 1.50-1.85 1.85-2.30 2.30-3.10 3.10-3.50 3.50-4.10 4.10-4.65 4.65-4.90 4.90-5.30 5.30-5.50

5.0 y más 0.40-0.55 0.55-0.70 0.70-0.85 0.85-1.00 1.00-1.20 1.20-1.45 1.45-1.65 1.65-2.00 2.00-2.45 2.45-3.30 3.30-3.80 3.80-4.40 4.40-5.00 5.00-5.50 5.50-5.60 5.60-6.00

NOTAS 1 El valor inferior de la velocidad corresponde al diámetro inferior de partícula y el valor superior al diámetro superior de partícula 2 No se interpola. Cuando el valor del diámetro de partícula o del tirante no coincidan alguno de los tabulados, se toma como velocidad admisible la correspondiente al valor el diámetro o tirante más próximo que aparezca en la tabla. TABLA 6.19 VELOCIDADES NO EROSIVAS EN SUELOS NO COHESIVOS. Tomada de Programas para el cálculo de canales SECTIHI.

En Cuba se ha hecho una propuesta de valores de la velocidad máxima permisible por el Ministerio de la Construcción, para diferentes tipos de suelos, que aparece en la tabla 6.21. A diferencia de los autores que han publicado sus resultados en tablas, otros muchos ofrecen criterios de vmax en forma de gráficos. La figura 6.9 muestra resultados obtenidos por investigadores soviéticos para suelos no cohesivos, en tanto que la figura 6.10, también de investigadores soviéticos, muestra dichos resultados para suelos cohesivos. ________________________________________________ 358 Hidráulica de las Conducciones Libres

Vmax (m/s) Tipo de revestimiento

Características del material

Prof. de circulación (m) 0.5

1

3

5

Hormigón 100

12.5

13.8

16.0

17.0

Revestimiento de hormigón Hormigón 150 (agua libre de arenas y piedras) Hormigón 200

14.0

15.6

18.0

19.1

15.6

17.3

20.0

21.2

Hormigón 300

19.2

21.2

24.6

26.1

Hormigón 50-150

7.4

3.7

10.7

11.6

Revestimiento de mezcla de piedra (agua de arenas y Hormigón 25 piedras)

6.3

7.4

9.1

9.8

Hormigón 10

4.3

5.0

6.2

6.7

Gaviones (0,5 m y mayor)

-

4.7

5.5

6.8

7.3

Piedras grandes

-

3.0

3.5

4.1

4.4

2.4

2.8

3.5

3.8

2.8

3.3

4.1

4.4

Piedra de 15-20 cm

2.6

3.0

3.7

4.0

Piedra de 20-30 cm

3.0

3.6

4.5

4.9

Piedra de 15-20 cm

3.0

3.5

4.3

4.7

Piedra de 20-30 cm

3.1

3.7

4.7

5.1

-

1.0

1.25

1.5

1.5

Capas de piedras o arcilla (10 a 15 cm) Recubrimiento de limo y paja o relleno apisonado de suelo Piedra de 20-30 cm y piedra Suelo apisonado con piedra

Capa doble de piedra

Pacas de hierba

TABLA 6.20 VMAX EN CANALES REVESTIDOS Tomada de Programas para el cálculo de canales SECTIHI.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 359

Vmax (m/s) para diferentes suelos y tirantes (m) Composición de las partículas (%)

Suelo poco compacto Porosidad:1,20 Densidad seca: 3 11,8 kg/m

Suelo medio compacto Porosidad:0,9 –0,6 Densidad Seca 3 11,8-16,3 kg/m

Profundidad de circulación (m)

Profundidad de circulación (m)

Tipo de suelo

vmax se regresa a ratificar o cambiar la información a partir del punto 2. 9. Calcular yn]Qmin. Para este paso puede emplearse uno de los algoritmos sugeridos en el capítulo 5. Calcular la velocidad para esa profundidad: vQmin. 10. Estimar o calcular la velocidad mínima en función de los sedimentos en suspención y de la posibilidad de crecimiento de plantas acuáticas. 11. Si VQmin ≤ Vmin se pasa al siguiente paso del cálculo Si VQmin > Vmin se regresa a ratificar o cambiar la información a partir del punto 2. 12. Cuantificar el bordo libre por alguno de los criterios existentes en la literatura. La altura total de la sección (STH), será: 3. 4. 5. 6. 7.

yn]Qmax + bl

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 393

6.6.1.2

Método de la Fuerza Tractiva

El método de la fuerza tráctiva tiene como base toda la teoría del movimiento de la partícula descrita en el inicio de este capítulo y conocida desde el 1879. Las restricciones de no erosión se incrementan y surgen una para el lado y otra para el fondo con lo cual el análisis es más completo y el diseño es más seguro. Las restricciones específicas de este método y numeradas anteriormente, son:

[ ] [ ]

2 1 12 S o AR 3 y máx . n 2 1 1 Q min ± error = S o2 AR 3 y mín . n actuante resistente τ L, Q máx ≤ τ L, máxima permisible

Q máx ± error =

resistente τFactuante , Q máx ≤ τF, máximapermisible

VQ mín ≥ Vmín ima permisible bl calculado ≥ bl normado

De la misma forma que en el método anterior pueden incorporarse restricciones adicionales de acuerdo a la necesidad de cada diseño. Una alternativa de algoritmo para el diseño de secciones en este método puede escribirse así,

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5.

Recopilación de la base de dato necesaria Seleccionar una geometría trapecial o rectangular Estimar el ángulo de reposo del material Calcular Kτ, ecuación 6.45. Calcular τres.fondo, max permisible en función del material del fondo y modificarla por sinuosidad del trazado en planta, tabla 6.26.

________________________________________________ 394 Hidráulica de las Conducciones Libres

Grado de sinuosidad

corrección

Rectos Ligeramente sinuosos Moderadamente sinuosos Muy sinuosos

1,00 0,90 0,75 0,60

TABLA 6.26 CORRECCION DE LA FUERZA TRACTIVA SEGÚN LANE (1955)

6. 7. 8. 9.

Calcular τres.lado como: τresL = Kτ . τresF Seleccionar S0 Asumir la relación de (b/y) y calcula KF y KL, figura 6.14. Calcular las dos posibles profundidades que satisfacen los límites de la erosión para fondos y lados.

τ Fresi sen te τ resi sen te y y2 = L K F γS 0 K L γS 0 10. Si y1 ≥ y2 la ycalculo = y2, sino ycalculo = y1

y1 =

Nota: A este nivel se tiene determinada la profundidad que no erosiona ni el fondo ni el lado, pero falta por determinar si esa ycalculo es suficiente para evacuar el gasto máximo. 11. Estimar el valor de n. 12. Calcular el gasto que circula en ycalculo.

14. Si Q = Qmax 15. 16.

17.

18.

[

]

2 1 12 S o AR 3 y calculo. n ± error se pueda pasar a la siguiente etapa de

13. Q máx ± error =

diseño. Si Q ≠ Qmax ± error, hay que reiniciar el cálculo para ratificar o cambiar la información a partir del punto 2 Calcular yn]Qmin para este paso, para esto puede emplearse uno de los algoritmos sugeridos en el capítulo 5. Calcular la velocidad para esa profundidad: vQmin Estimar o calcular la vmin_permisible en función de los sedimentos en suspensión y/o de la posibilidad de crecimiento de plantas acuáticas. Si vQmin ≥ vmin se pasa al siguiente paso del cálculo

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 395

Si vQmin < vmin se regresa a ratificar o cambiar la información a partir del punto 2 19. Cuantificar el bordo libre por alguno de los criterios existente en la literatura. La altura total de la sección (STH), será: H = yn]Qmax + bl = ycalculo + bl 6.6.1.3 Sección hidráulicamente más estable.

A partir de la teoría desarrollada para la fuerza tráctiva se puede lograr un diseño de una sección en que la geometría es tal que la fuerza tractiva actuante es igual a la fuerza tractiva permisible en todo el perímetro, a diferencia del diseño típico en que se logra esto solo en una parte de la sección. Estas ecuaciones fueron definidas en 1951 para el USBR por Glover y Florey en condiciones de canales en suelo no cohesivos conduciendo agua limpia. Las suposiciones en que se basa el diseño son: a. Las partículas se mantienen en reposo debido a la componente de su peso sumergido actuando normal al fondo. b. En la superficie libre, el ángulo de inclinación del talud es el ángulo de reposo del material no cohesivo que conforma el perímetro. c. En el eje de simetría de la sección la inclinación del talud es cero y la fuerza tráctiva sola es suficiente para tener a la partícula en movimiento inminente. d. En puntos entre el fondo y la superficie libre, las partículas que conforman el perímetro están en movimiento inminente debido a la sumatoria de la componente del peso y a la fuerza tráctiva que actúa sobre cada partícula. e. La fuerza tráctiva que actúa sobre un área es igual a la componente del peso del agua actuando en la dirección del flujo. Esta suposición presupone que no hay transferencia lateral de fuerza tráctiva ________________________________________________ 396 Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 6.27 ESQUEMA DE LA SECCION MAS ESTABLE.

De acuerdo a la última suposición, la fuerza tráctiva que actúa sobre un elemento a-b, figura 6.27, es γySdx. Como la longitud del perímetro mojado del elemento es igual a (dx )2 + (dy )2 , la fuerza tractiva unitaria será, τL =

γySdx

(dx )2 + (dy )2

= γyS. cos α --------------------------------- 6.51

de otra parte ya se conoce que, τ L = K τ .τ F = γy o S. cos α. 1 −

tg 2 α tg 2 φ

- ---------------------------- 6.52

donde yo es la profundidad en el centro de la sección. Entonces combinando 6.52 y 6.51, se obtiene, γyS cos α = γy o S cos α 1 −

tg 2 α tg 2 φ

y al eliminar términos iguales queda, y = yo

y=

yo tg φ

1−

tg 2 α tg 2 φ

, de donde puede despejarse el valor de y,

tg 2 φ − tg 2 α ---------------------------------------------

6.53

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 397

dy = tg α en 6.53, se obtiene, dx 2 2  y  1  2  dy     = 2 tg φ −    y de ahí se llega a, tg φ   dx    yo 

sustituyendo

2

2

 y   dy  2 2   +   tg φ − tg φ = 0 ---------------------------------- 6.54  dx   yo  en el eje del canal y = yo para x = 0, entonces la solución de la

ecuación diferencial es,  x tg φ   -----------------------------------------------y = y o cos  yo 

6.55

que es la ecuación de una cosinusoide como geometría de sección que cumple con las hipótesis de estabilidad planteadas originalmente. Una forma alternativa de la ecuación 6.55 se obtiene solucionando 6.54 para x = T/2, y = 0. Esta condición solo se satisface si, T tg φ π = , o sea, 2y o 2 T tg φ yo = --------------------------------------------------------π

6.56

y la ecuación 6.55 puede escribirse así,  πx  y = y o cos  -------------------------------------------------- T 

6.57

El área mojada de esta sección según French (1985) es, T/2

A=2

∫ ydx = 0

2Ty o = 0,63662 Ty o --------------------------π

6.58a

o como la plantea Chow (1959), A=

2,04 y o2 ------------------------------------------------------tg φ

6.58b

________________________________________________ 398 Hidráulica de las Conducciones Libres

El perímetro mojado de la sección según French (1985) es, T/2

∫

P=2

0

2

2y o  dy  1 +   dx = E(sen φ ) ---------------------sen φ  dx 

6.59

donde E (sen φ) es la integral elíptica completa de segundo orden que puede evaluarse según, 2 2 2 4 6  π   1  1.3  sen φ  1.3.5  sen φ 2 E(sen φ) = 1 −   sen φ −  − −Κ    2   2  3 5  2.4   2.4.6  

o sea, E(sen φ) =

3 π 1 45  1 − sen 2 φ − sen 4 φ − sen 6 φ − . . .  2 4 64 2304 

El valor de yo puede calcularse conocida la τ resistente según, fondo yo =

τ Fr ----------------------------------------------------0,97 γS

6.60

la velocidad podrá calcularse por Manning según,     2Ty o 1  v=  n  2y o   π sen φ E(sen φ)   

2/3

S 1o/ 2

1  T sen φ  =  n  πE(sen φ) 

2/3

S1o/ 2 ------

6.61

y el gasto según propone French (1985) de acuerdo a,

1 2,98 y 3o / 8 (cos φ) S1o/ 2 ------------------------------------ 6.62 . n tg φ[E(sen φ)]2 / 3 2/3

Q=

El gasto así calculado puede ser igual, mayor o menor que el de diseño, por lo cual hay dos casos (Qdiseño ≤ Q) y (Qdiseño ≥ Q) en que la sección tendrá que ser alterada para que conduzca el caudal necesario. Si Qdiseño > Q entonces la sección se ampliará añadiendo una zona rectangular en el eje, figura 6.28. La ampliación T" podrá calcularse según, ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 399

T ′′ =

n(Q diseño − Q ) y 5o / 3 S1/ 2

------------------------------------------------- 6.63a

y el nuevo ancho superficial será, TQ = TQ + T' ' ------------------------------------------------- 6.63b DISEÑO

FIGURA 6.28 LAS TRES ALTERNATIVAS DE LA SECCION HIDRAULICAMENTE MAS ESTABLE.

Si por el contrario el gasto de diseño es menor que el que da la ecuación 6.62 la sección debe ser modificada removiendo una porción vertical por el eje, figura 6.28. La reducción T' se calculará según,  Q diseño T ′ = 1 −  Q 

 T ---------------------------------------------- 6.64a  

y el nuevo ancho superficial será, TQ = TQ − T' -------------------------------------------------- 6.64b DISEÑO

Evidentemente esta sección es un buen ejercicio teórico pero desde el punto de vista práctico tiene muchos inconvenientes en lo referente a construcción y mantenimiento. 6.6.2 Diseño de canales aluviales.

Son definidos como canales que transportan agua con sedimentos de la misma naturaleza que los que contiene el fondo. ________________________________________________ 400 Hidráulica de las Conducciones Libres

La estabilidad de estos canales requiere que el caudal de sedimentos que entra sea igual al que sale. En ese estado de equilibrio el fondo no presenta ondulaciones ni caídas. El diseño de estos canales depende del caudal, tamaño y peso de los sedimentos que se transportan. Existen dos métodos comúnmente adoptados para diseños: el de la fuerza tráctiva y el de la teoría del régimen. En la India y Pakistán, según refiere R.Raju (1988) el método basado en la teoría del régimen es el más empleado. Como se explicó, Lancey introdujo el término para indicar un canal transportando un caudal constante fluyendo uniformemente líquidos y sedimentos sin que la sección sufriese cambios. Las ecuaciones que emplean datos de la India y Pakistan son validas para caudales con sedimentos menores de 500ppm en peso. Combinando las ecuaciones empíricas obtenidas para este tipo de canal con la ecuación de Manning se obtiene un sistema suficiente para dimensionar la sección transversal. De esta combinación surgen múltiples alternativas de diseño según sea la ecuación empírica empleadas. 6.6.2.1. Variante con la ecuación de Kennedy.

Kennedy también encontró que el tamaño de los sedimentos jugaba un papel determinante y definió la relación entre la velocidad crítica y la velocidad media para afectar su fórmula, destacando que la relación era mayor que uno para arenas gruesas y menor que uno para arenas finas. La fórmula de Kennedy se enuncia, v = 0.55vR y0,64 ------------------------------------------------------ 6.65 donde, vR = v

v

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 401

Esta fórmula junto a la de Manning constituyen el sistema para resolver las incógnitas del problema. R.Rajú alerta respecto a que no todas las posibles soluciones dan secciones estables, las muy estrechas, a ampliarse debido a la erosión de los lados y las muy anchas tienden a cerrar su sección debido a los depósitos. La recomendación de la tabla 6.24 de valores de b/y entre 4,5 y 18 es muy útil como guía para orientar la solución final.

FIGURA 6.29 ALUVIAL.

SITUACION ANTES Y DESPUES DE LA OPERACIÓN DE UN CANAL

En el caso de los canales aluviales de sección inclinada (trapecial, triangular, trapecial-semicircular...) los lados, durante la construcción, se mantienen en un valor de inclinación igual o menor al ángulo de reposo del suelo. Pero durante la operación de la conducción sobre esas laderas comienza un proceso de deposición de sedimentos muy finos y a lo largo del tiempo la inclinación de los taludes es mucho más inclinada y la forma no es exactamente la misma que la inicial. En casos de canales trapeciales Raju-Misri, citado en Raju (1981), encontraron que una inclinación de 0.5: 1 es adecuada para modelar la sección final, figura 6.29. El canal se construirá para el talud que soporte el suelo, pero su estado final será bien distinto. Bajo esa consideración las ecuaciones de cálculo quedan, b  A = by + 0,5 y 2 = y 2  + 0,5  --------------------------------------- 6.66 y  b  P = b + 2,236 y = y + 2,236  ------------------------------------- 6.67 y 

________________________________________________ 402 Hidráulica de las Conducciones Libres

v=

Q = A

Q  y  + 0,5   y 2 b

----------------------------------------------- 6.68

y sustituyendo en Manning queda, 4/3

 Q n  + 2,236  y  So = 10 / 3 b  y 16 / 3  + 0,5  y  2

2 b

----------------------------------------- 6.69

y combinando la ecuación de continuidad y la de Kennedy queda, 0,378

    1,818Q   y= ------------------------------------------- 6.70  b     + 0,5 v R      y eliminando y de 6.70 y 6.69 y simplificando los exponentes como

lo aconsejan Raju-Misri, queda, 1,333

SQ 0,02 n 2 v R2

b   + 2,236  y  = 0,299  1,313 b   + 0,5  y 

---------------------------------

6.71

De la ecuación anterior surge la figura 6.30 en la cual aparece graficada la relación funcional entre (b/y) y (SQ0.02/n2vr2) en la que se basa el procedimiento de diseño que recomiendan Raju-Misri. El procedimiento se basa en un solo gasto de diseño y una sola velocidad para la conducción, sin límites superior e inferior. Así las restricciones quedan resumidas a, Q ± error =

[

2 1 12 S o AR 3 n

]

v ≈ vKennedy

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 403

blcalculado ≥ blnormado

SQ^0,202 / (n^2 m^2.02)

0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0

5

10

b/y

15

20

25

30

FIGURA 6.30 GRAFICA DE LA ECUACION 6.71

Y el algoritmo de cálculo según se recomienda por R.Raju (1988) es,

Algoritmo. Recopilación de la base de datos necesarias. Estimar el valor de n (usualmente 0,02 a 0,025). Estimar el valor de vR (usualmente 0,90 a 1,10). Seleccionar S0. Calcular SQ0,02/n2vr2.02. De la figura 6.30 o de la ecuación 6.71 obtener b/y. Chequear si b/y está en el rango aproximado sugerido por la tabla 6.24. Si no está regresar al punto 4. 8. Calcular y de la ecuación 6.70. 9. Calcular b como b = b/y * y. 10. Cuantificar el bordo libre. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

6.6.2.2.

Variante con las ecuaciones de Lacey.

________________________________________________ 404 Hidráulica de las Conducciones Libres

La principal limitación que se le atribuye a la ecuación de Kennedy es que no especifica un ancho estable, sino queda una múltiple posibilidad de (b/y) mientras sea satisfecha la ecuación 6.65. Lindley en 1919, introdujo por vez primera una relación entre b y el estado de no erosión – no deposición, posteriormente Lacey analizando datos de llanura de la India propuso, P = 4,75 Q ------------------------------------------------------- 6.72 1/ 3

Q R = 0,47  --------------------------------------------------- fs  S 0 = 3.10 −4 f s5 / 3 Q1/ 6 ---------------------------------------------f s = 1.76d1/ 2 -----------------------------------------------------donde, Q está en m3/s, P y R en metros y d en milímetros. fs es llamado factor de rango.

6.73 6.74 6.75

El trabajo de Lacey da como ecuación de régimen uniforme, v = 10,8R 2 / 3 S1/ 2 -------------------------------------------------- 6.76 Las restricciones del método de diseño de Lacey son sus propias ecuaciones que no dejan grado de libertad alguno. Así el algoritmo propuesto será,

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Recopilación de la base de datos necesarios. Calcular fs según ecuación 6.75 Calcular So según ecuación 6.74. Calcular R según ecuación 6.73. Calcular P según ecuación 6.74. Asumir m = 0,5, según aconseja Raju-Misri. Calcular A= RP. Plantear el sistema de ecuación, A = (b + 0,5y)y P = b + 2,236y

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 405

Conocido los valores de A y P el sistema de 2 con 2 es soluble. Por tanto, calcular y y b. 9. Calcular el bordo libre de acuerdo a lo normado. 6.6.2.3. Variante con las ecuaciones de Blench.

Citado en el libro de N. Pouey (1998), Blench a partir de 1930, comienza a presentar fórmulas básicas y de diseño que hoy conforman el método de cálculo para secciones estables de canales aluviales. Se parte de dos factores: • Factor de fondo Fb, que toma en cuenta la resistencia del fondo. Se calcula según, Fb = Fb0 (1 + 0,012c) -------------------------------------------6.77 donde c es la concentración del material de suspención en partes por millón . y Fb0 se obtiene de, Fb0 = 60,1dm1/2 ---------------------------------------------------6.78 donde dm es el diámetro medio del material en metro. Cuando no existen datos, Blench recomienda: Fb = 0,8 (arena fina dm < 0,5mm) Fb = 1,2 (arena gruesa dm > 0,5mm) •

Factor de orilla Fs, que mide la resistencia de las orillas y se obtiene según, 2

Fb Fs = s ------------------------------------------------------ 6.79 8 donde Fbs se obtiene de la ecuación 6.78 sustituyendo el dm

correspondiente a las orillas. Cuando no existen datos Blench recomienda Fs = 0,1 material poco cohesivo, como la arena. Fs = 0,2 material medianamente cohesivo. Fs = 0,3 material muy cohesivo, como la arcilla. Las ecuaciones de diseño propuestas son: ________________________________________________ 406 Hidráulica de las Conducciones Libres

1

F Q  2 b m = 1,81 b  ----------------------------------------------------- 6.80  Fs  F Q  y =  s2   Fb 

1/ 3

---------------------------------------------------------- 6.81

Fb5 / 6 Fs1/ 12

S=

3,28KQ

1/ 6 

c  1 +  2330  

--------------------------------------- 6.82

donde, K = 3,63

g 1/ 4

ν bm es el ancho medio del cauce de profundidad y.

Si el cauce tiene geometría trapecial y empleando como solución estable m = 0,5; entonces las dimensiones de la sección serán, b = bm – 0,5 y ------------------------------------------------------ 6.83 Blench plantea que además se cumple la relación, 2

b m3 =

1,9Fb 2

Fs 3

----------------------------------------------------------- 6.84

Con este grupo de ecuaciones un algoritmo que puede conducir al dimensionamiento de la sección es, Algoritmo. 1. Recopilar la base de datos 2. Calcular Fb y Fs según las ecuaciones 6.77 y 6.79 3. Calcular bm según la ecuación 6.80 4. Calcular y según la ecuación 6.81 5. Calcular la So según la ecuación 6.82 6. Calcular la base de la sección trapecial según 6.83 7. Calcular el bordo libre según lo establecido en la literatura. 6.6.2.4. Variante a partir de las ecuaciones de Simons y Albertson.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 407

Empleando bases de datos de la India y Estados Unidos estos autores presentan sus ecuaciones en 1963. El rango de aplicación de estas fórmulas es mayor debido a los materiales estudiados y siempre que el transporte de material de fondo no exceda 500 ppm. Las fórmulas propuestas son: P = K 1Q 0,512 -------------------------------------------------------R = K 2 Q 0,361 ------------------------------------------------------b m = 0,9P --------------------------------------------------------y = 1,21R, si R ≤ 2,6 -----------------------------------------------y = 0,61 + 0,93R, si R > 2,6 ------------------------------------

6.85 6.86 6.87 6.88a 6.88b

Vm′

  1 vy S= , si < 2.10 7 -------------- 6.89a ′ ′ 1+ 2m 0,772m − 0,127  ν  K 1K 3K 2 Q  0.37 1,63 vy ν v S= , si > 2.10 7 ---------------------------------- 6.89b 0,37 ν gyK 4 b m

los valores K1, K2, K3 y m’ se obtienen en la tabla 6.27.

MATERIALES

K1

K2

K3

K4

M’

Fondo y orilla de arena

6,30

0,41

9,33

0,324

1/3

Fondo y arena y orilla cohesiva c < 2000 ppm

4,74

0,47

10,77

0,525

1/3

Fondo y orillas cohesivas

3,96

0,56

-

0,87

-

Fondo y orilla material grueso

3,16

0,27

10,76

0,85

0,286

con

________________________________________________ 408 Hidráulica de las Conducciones Libres

Fondo arena y orilla cohesiva 2000 ≤ C ≤ 8000 ppm

3,09

0,36

9,68

-

0,286

TABLA 6.27. COEFICIENTE PARA LAS FORMULAS DE SIMONS Y ALBERTSON TAL COMO LOS PRESENTA POUEY (1988).

Al igual que en el método anterior las restricciones son las propias ecuaciones propuestas. Así el algoritmo de cálculo para el diseño será:

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Recopilación de la base datos. Calcular P según 6.85 Calcular R según 6.86 Calcular bm según 6.87 Calcular y según 6.88a ó 6.88b. Calcular S según 6.89 a ó b. Asumir m = 0,5 según aconseja Raju-Misri Calcular b según 6.83 Calcular el bl según lo establecido en la literatura.

6.7 Cálculo de secciones revestidas.

Las secciones revestidas con materiales artificiales presentan, por lo general, características que las diferencian de los dos otros tipos de canales. Raju (1988), le denomina a estos canales de frontera rígida para diferenciarlos de los demás construidos sobre materiales fácilmente erosionables. Sus características hacen que en el cálculo, se diferencien de los demás. Por tanto se debe, Incluir alguna restricción que minimice el costo del revestimiento ya que este factor puede incidir negativamente en la inversión de la obra. Tomar en cuenta que estas secciones pueden resistir muy altas velocidades de acuerdo al material que se emplee en el revestimiento. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 409

Proteger todo el canal contra la sedimentación de partículas que transporte el agua, ya que este proceso transformaría las características de la sección e influiría en su comportamiento. En los análisis de costo de este tipo de canal se debe tener en cuenta todos los factores inducidos por las características de la sección. Así puede plantearse como cuestión general, Costo = costo de revestimiento + costo movimiento de tierra + + costo obras inducidas por el trazado + costo obras fijas

donde, costo revestimiento = f1(perimetro, longitud del tramo, material y espesor del revestimiento, técnica constructiva) costo movimiento de tierra = f2 (cota inicio, longitud, área STC, So, materiales de corte y relleno, técnica constructiva)

La decisión de revestir la sección transversal de un tramo de canal se puede justificar para las siguientes cuestiones: 1º. necesidad de transportar agua a altas velocidades que exista peligro de erosión. 2º. disminuir las pérdidas por infiltración. 3º. atravesar tramos de topografía compleja. 4º. reducir los costos anuales de operación y mantenimiento 5º. asegurar la estabilidad de la sección. 6º. proteger el medio ambiente. Existen numerosas tendencias, a veces contradictorias, respecto a como diseñar estas secciones. Rangu Raju (1988) aconseja tomar en consideración el gráfico de la figura 6.31 para evitar que se sedimenten partículas en estos canales y aconseja limitar el diseño para Números de Froude entre 0,3 y 0,4, por lo cual, según él, la pendiente de estos canales debe ser muy suave. Para esta gráfica los valores del eje X representan la concentración promedio de los sedimentos en peso, mientras que el parámetro que identifica al eje Y se calcula según,

________________________________________________ 410 Hidráulica de las Conducciones Libres

K RAJU = d

qS

1

1/ 6 g ∆ρ S wd  d   ρ  υ 

donde, es el gasto específico, es la diferencia en densidades entre el sedimento y el fluido, es la velocidad de sedimentación de las partículas de diametro d.

q ∆ρS w

Un criterio así tiende a desaprovechar las características de resistencia a altas velocidades que tienen la mayoría de los materiales que se emplean en los revestimientos. 10000

ZONA DE NO SEDIMENTACION

K_

1000

100

10 100

1000

C

10000

100000

FIGURA 6.31 GRAFICA DE RANGA RAJU (1988) PARA DETERMINAR LAS VELOCIDADES DE DISEÑO DE CANALES REVESTIDOS.

French (1985) por su parte no se pronuncia sobre un valor específico respecto a NF y los dos ejemplos con que ejemplifica este diseño tienen respectivamente números de Froude de 0,78 y 0,39 respectivamente. Respecto al tipo de sección no se parcializa por una en particular y orienta una amplía gama de posibilidades que incluyen diseños con componente económico. 6.7.1

El criterio de mínimo perímetro.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 411

La geometría de aparentemente mejores perspectivas para ser revestida es aquella que tenga un menor perímetro, ya que este perímetro influye directamente sobre los costos de revestimientos. Por tanto puede plantearse que: –– Para un Q dado como dato y para una n y So definidas la sección que presente un perímetro mínimo, para un área tal que no se superen los límites de velocidad máximas establecidas para el material, o para las condiciones de diseño, será la de mejor perspectivas. Estas secciones son denominadas también de máximo radio hidráulico y secciones más eficientes. Si la ecuación de Manning se escribe así, 1

Q=

5

S o2 A 3 . 2 n P3

entonces se deduce fácilmente que el gasto es máximo para P mínimo, si So, n y A están definidas. Desde el punto de vista geométrico la sección circular es la sección que menor perímetro tiene, para un área dada; pero en la práctica sus dificultades constructivas, su poca adecuación a muchos suelos y a muchos materiales de revestimientos hacen que esta no se emplee profusamente, aunque sin lugar a duda, tanto ella, como la semicircular, serán geometrías que deben emplearse si existen las condiciones para su uso. Si ahora la ecuación de Manning se escribe así, 3

P=

S o4 3

Q n 2

3

A

5

2

2

para Q, n y So dado, para un perímetro mínimo, se obtiene un área mínima y por tanto una máxima velocidad. Hay autores que aseveran que esta ecuación define a las secciones de mínimo ________________________________________________ 412 Hidráulica de las Conducciones Libres

perímetro como de mínima excavación con la cual cometen un error al no tomar en consideración: la relación entre So y la pendiente media del terreno. la conformación de la Sección Típica Constructiva y las secciones constructivas y valorar solamente la STH como sección final a construir. Un aspecto importante, en el diseño de estas secciones esta en la altura de las mismas. Al lograr una sección de mínimo perímetro se logra un dimensionamiento tal, que esa geometría, en particular, da como resultado el mínimo esperado. Al tener el dimensionamiento hay que tener muy en cuenta que el valor de la altura de la sección que da el mínimo perímetro (h), no es la profundidad a que debe circular el fluido, sino la altura que limita la zona de revestimiento y que por tanto corresponde a, h = y n _ Qmax + bl ----------------------------------------------------- 6.90 Como la sección circular (o semicircular) son de difícil aplicación práctica, se busca para las geometrías más usuales encontrar las relaciones entre sus dimensiones que hacen que para esa geometría el perímetro sea un mínimo. Véanse los siguientes casos. •

Caso de las secciones triangulares. Para esta sección se tiene que, A = mh

A y P = 2h 1 + m = 2  m

2

2

entonces, P2 =

(

1 2

1+ m2

)

4A 1 + m 2 , ecuación que para un área dada puede m

diferenciarse para obtener el mínimo deseado. La diferenciación se realiza respecto a m que es la única variable de la geometría que diferencia las secciones triangulares. Procediendo a reagrupar se obtiene: ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 413

1  P 2 = 4 A  + m  y diferenciando, m  1  dp 4A  = − 2 + 4 A = 4 A 1 − 2  2P dm m  m 

dp

Como la condición de mínimo es dm = 0 , entonces, m = 1, que es la condición de perímetro mínimo para esta

geometría. •

Caso de las secciones rectangulares Para esta sección se cumple que, A = bh y P = b + 2h =

A + 2h h

La variable para la derivada será h, por lo que, dp A dp = 2 + 2 y como la condición es = 0, se obtiene dh dh h A = 2h2, o lo que es igual b= 2h.

que es la condición de perímetro mínimo: una geometría que es un semicuadrado. •

Caso de la sección trapecial. Para esta geometría se cumple que, A = bh + mh2 y P = b + 2h 1 + m 2 =

A − mh + 2h 1 + m 2 h

considerando A y m constante, la diferenciación se realiza respecto a h: dP A = − 2 − m + 2 1 + m 2 , que igualando a cero da, dh h

(

)

b = 2h 1 + m 2 − m , que es la relación entre b y h de mínimo perímetro si está prefijada m.

________________________________________________ 414 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si m se asume como variable y A y h como constante diferenciado como respecto a m se encontrará el valor que minimice P. 2 dp 2m , = −h + h dh 2 1+ m2

obtiene, 2m = 1 + m 2

entonces haciendo

dP =0 dm

cuya solución es, m =

1 3

se

, que

corresponde a una sección semihexagonal cuya relación b – h será, b =

2 3

h.

Los elementos geométricos de estas secciones aparecen en la tabla 6.28. Sección

A

P

T

Trapecial

1,73 h2

3,46 h

2,31 h

2 h2

4h

2h

Semicuadrado

Triangular

h2

2,83 h

2h

m=1

Círculo

πh2 4

πh

---

diámetro = h

Semicírculo

0,5 πh

πh

2h

radio = h

Parábola

1,89 h2

3,77 h

2,83 h

T = 2 2h

Rectangular

TABLA 6.28

Especificación Semihexágono: m =

1 3

PARÁMETROS DE ALGUNAS SECCIONES DE MINIMO PERÍMETRO.

Más reciente el trabajo de Chwen-Yuan (1984) generaliza el planteamiento de estas secciones para el caso de la geometría trapecial y sus casos particulares: rectangular y triangular. Como nota singular Chwen-Yuan integran el bordo libre a este cálculo produciendo una solución más racional en este sentido. A partir ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 415

de: dQ / dy = 0 y dA t / dy = 0 , como condición matemática, planteada por Chow (1959) y Morris (1972), de estas secciones y estableciendo una diferencia entre el área total (At) del área mojada (Am), A t = (y + bl)[b + m(y + bl)] y A m = y(b + my ) y ahora planteando las relaciones siguientes, k = 1+ m2 y λ =

bl , y

Chwen-Yuan llega a la siguiente solución,

[

(

b 1 = (2k − 3m − 2mλ − 3kλ ) + 9k 2 λ2 − 16m 2 λ2 + 4k 2 + y (5λ + 2)

+ m 2 + 32λ2 km − 12k 2 λ + 38λkm − 16m 2 λ − 4kλ

) ] ----1 2

6.91

En correspondencia con la ecuación 6.91, se plantean las siguientes relaciones, Q′ =

Q3n3 1

S o2

---------------------------------------------------------- 6.92

 Q′  b =  + m  8 y y  Am b = +m y y2

5

b   + 2k  y 

−2

----------------------------------------- 6.93

------------------------------------------------------- 6.94

b  = (1 + λ ) + m(1 + λ ) ----------------------------------------- 6.95 y y  P b = + 2k --------------------------------------------------------- 6.96 y y At

2

Las restricciones para diseñar este tipo de sección serán,

Q min

[ ] [ ]

2 1 12 S o AR 3 y max n 2 1 12 ± error = S o AR 3 y min n

Q max ± error =

________________________________________________ 416 Hidráulica de las Conducciones Libres

v Qmax ≤ v maxima permisible v Qmin ≥ v minima permisible

P → mín imo -------------------------------------------------------- 6.97 bl calculado ≥ bl normado

El algoritmo de diseño debe adecuarse en cada caso a la geometría seleccionada. Dos ejemplos de esto se dan a continuación a partir del análisis de las secciones de mínimo perímetro y su geometría definida en la tabla 6.18.

Algoritmo para una sección circular. 1. 2. 3. 4.

Recopilación de la base de datos necesaria. Estimar el valor de n. Definir una So. Asumir bl = 0 y calcular yn para Qmáximo como sección totalmente llena, πy 2  y  = n n 4  4  S

Qn 5.

2

3

8

=

πy n3 4

5

3

Definir el diámetro de la sección, mayor que yn, para lograr un bordo libre adecuado y obtener una dimensión constructiva para la sección, do > yn

6.

7. 8.

Recalcular la profundidad normal para el nuevo diámetro, ahora como sección parcialmente llena. Para esto emplear uno de los algoritmos planteados en el capítulo 5. Una vez calculada yn para Qmax se tiene que, bl = do – ynQmax Si bl es adecuado se continúa al próximo paso. Si no es

adecuado se regresa al paso 5. Calcular vQmax a partir de la yn_Qmax determinada en el paso 6. Si vQmax ≤ vmáxima permisible, seguir al paso siguiente. Si VQmax >Vmáxima permisible, regresar al paso 3 a ratificar o cambiar la información.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 417

9.

Calcular la profundidad normal para el gasto mínimo y la velocidad correspondiente. Para esto emplear uno de los algoritmos relatados en el capítulo 5. Si vQmin ≥ vmínima permisible concluye el diseño. Si vQmin < vmínima permisible regresar al paso 3 a ratificar o cambiar la información.

Algoritmo para el diseño de una sección trapecial. 1. 2.

Recopilación de la base de datos necesaria. Estimar el valor de n.

3.

Si (madmisible de terreno ≤ Si (madmisible de terreno >

1 3 1 3

) entonces m =

1 3

) entonces elegir m

Definir una So. Calcular la relación b/h según la ecuación deducida . Calcular ynQmax asumiendo bl = 0 y h = yn . Calcular b = b/h . yn . Llevar b a una dimensión constructiva aumentando el valor obtenido en el paso 7 para también lograr un bl adecuado. 9. Recalcular ynQmax de acuerdo a uno de los algoritmos planteados en el capítulo 5. 10. Calcular el bordo libre de la nueva sección, 4. 5. 6. 7. 8.

bl =

b − ynQmax b h

11. Si bl es adecuado continuar al paso siguiente.

Si bl no es adecuado regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y cálculos. 12. Calcular vQmax y compararla con la permisible. Si vQmax ≤ vmáxima permisible seguir al paso siguiente. Si vQmax > vmáxima permisible regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y cálculos. 13. Calcular ynQmin de acuerdo a uno de los algoritmos planteados en el capítulo5. Calcular vQmin ________________________________________________ 418 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si vQmin ≥ vmínima permisible concluye el diseño. Si vQmin < vmínima permisible regresar al paso 3 a ratificar o cambiar la información. Houk (1956) presenta una tabla con una recopilación de datos sobre canales revestidos en el oeste de los Estados Unidos. A continuación la tabla dada por Houk con algunas adiciones para hacer más fácil la transmisión de los resultados. b/h bl (%y)

Veloc. m/s

1,0000

63 %

0,71

0,7015

1,0416

26 %

1,81

trapecial

0,7015

0,8235

14 %

1,50

Heart Mountain

trapecial

0,7015

0,8889

20 %

2,13

Kittias Main (I)

trapecial

0,7015

1,0742

14 %

2,02

Black Canyon

trapecial

0,7015

1,0909

17 %

1,48

Ridge

trapecial

0,7015

1,0769

16 %

2,14

All – American

trapecial

0,5540

1,7068

21 %

2,02

Delta-Mendota

trapecial

0,6055

2,8985

0%

0,70

Main

trapecial

1,5615

1,3071

14%

2,33

Kittias Main (II)

trapecial

0, 6055

0,8780

11 %

2,50

Gravity Main

trapecial

1,0000

1,5187

0%

1,81

Canal

Sección

f(m)

Contra Costa

trapecial

0,7015

Scotch Branch

trapecial

Ridge

Real

TABLA 6.29. DATOS DE CANALES DE EEUU. RECOPILADOS POR HOUK.

6.7.2

Un criterio de diseño con cálculo de costo.

French (1985) citando a T.J.Trout propone una alternativa de diseño con valoración de costo del material de revestimiento para secciones trapeciales, rectangulares y triangulares. La metodología propuesta no se basa en el costo de colocación, ni en el de construcción a menos que puedan ser evaluados en términos de ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 419

área superficial. El esquema para la definición de variables aparece en la figura 6.32. Al darse los costos como función del volumen de material puede plantearse que, C f = µ f t f (b + 2b′) = Bb + k ---------------------------------------- 6.98

________________________________________________ 420 Hidráulica de las Conducciones Libres

donde, Cf : costo de fondo por unidad de longitud. µf : costo material de fondo por unidad de volumen. tf : espesor del revestimiento del fondo. B : costo de fondo para un espesor dado por unidad de área. K : costo de material de las esquinas por unidad de longitud.

FIGURA 6.32 ESQUEMA DE LA SECCION PARA LA SOLUCION DE TROUT.

Para los taludes quedaría,

C l = µ l t l .(2 veces la longitud del lado ) ------------------------- 6.99a C l = 2Γ(y + bl) 1 + m 2

------------------------------------------- 6.99b

donde, µl : costo material de los lados por unidad de volumen. Tl : espesor del revestimiento de los lados. Γ : costo revestimiento de los taludes para un espesor dado por unidad de área. Entonces puede plantearse como función costo (Ct), C t = C f + C l = Bb + k + 2Γ(y + bl) 1 + m 2 --------------------- 6.100 y la mejor alternativa será aquella que resuelva, Q=

2 1 1 AR 3 S 2 n

para

C t → mín imo

Trout plantea que este problema de optimización era análogo al problema clásico de microeconomía. En terminología de negocios la solución de este problema requiere una entrada mezclada tal que la relación de productos marginales sea igual a la relación de costos marginales. Asumiendo constante m y aplicando los ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 421

multiplicadores de Lagrange se obtiene una solución explícita para el problema, así,

( )/ ∂b = ∂c / ∂b ∂ (AR )/ ∂y ∂c / ∂y

∂ AR

2

2

3

3

que es la combinación de las relaciones de los cambios marginales. El resultado final aportado por Trout es como sigue, b = y

2K 1  B  − K 2 + K 22 + 20 K 1  Γ  

1 2

---------------------------------- 6.101

donde,

(

)

  B  K 1 = 20 1 + m 2 − 1 + 4  4m 1 + m 2  Γ    B B K 2 = 1 − 6 1 + m 2 − 10m   Γ Γ

Esta relación de b/y da la solución integral de costo e hidráulica para la sección. Las restricciones de este método son,

[ ] [ ]

2 1 12 S o AR 3 y max n 2 1 1 Q min ± error = S o2 AR 3 y min n v Qmax ≤ v maxima permisible

Q max ± error =

v Qmin ≥ v minima permisible b → ecuacion 6.101 y bl calculado ≥ bl normado

El algoritmo que resuelve este diseño puede responder a la siguiente secuencia, ________________________________________________ 422 Hidráulica de las Conducciones Libres

Algoritmo. Recopilación de la base de datos necesarios. Estimar valor de n. Definir el talud del canal m. Definir So. Calcular K1 y K2 . Calcular (b/y) según 6.100. Calcular yn, según alguno de los algoritmos del capítulo 5, para Qmax. 8. Calcular b = (b / y )y 9. Calcular A y vQmax. A partir de los datos de los pasos 7 y 8. Si vQmax ≤ vmaxima permisible pasar al siguiente paso Si vQmax > vmaxima permisible regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y los cálculos. 10. Calcular ynQmin según alguno de los algoritmos propuestos en el capítulo 5. Calcular A y vQmin. Si vQmin ≥ vminima permisible pasar al siguiente paso Si vQmin < vminima permisible regresar al paso 4 a ratificar o cambiar la información y los cálculos. 11. Definir el bordo libre de acuerdo a lo normado. 12. Calcular los costos del fondo y los lados y el costo total según 6.98 y 6.99. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Trout (1982) plantea un gráfico para diseñar las secciones de costo mínimo, trapeciales de m = 0,5. Para facilitar la solución Trout propone un gráfico de ejes b,y donde se plotean rectas de igual valor (B/Γ) y sobre este plano curvas de igual valor AR2/3. 6.7.3 La sección de mínimo costo.

La sección de mínimo costo según Chwen-Yuan y Hughes (1984), considerando el bordo libre y con un análisis de costo que incluye: revestimiento, excavación, costo de la tierra y otros, lo dan estos dos profesores para una geometría trapecial. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 423

Se parte de las ecuaciones básicas, dQ = 0 ----------------------------------------------------------- 6.102a dy dC = 0 ----------------------------------------------------------- 6.102b dy que indican el objetivo del cálculo y donde C es el costo total de la

construcción. El costo de la construcción es función de los volúmenes de excavación, el área del revestimiento, el costo de los derechos de vía y otros que están muy regionalizados según los autores, no obstante, el costo por unidad de longitud de canal excavado, el revestimiento y los derechos de vía están relacionados con el ancho y la profundidad del canal, por tanto se utiliza la siguiente función costo, 0

C=

∫ αb h .dA β

γ

y +bl

donde, α,β y γ son constantes determinadas para caso específico; h es la profundidad del centroide de cada elemento de área medida desde la superficie del terreno, dA es el área del elemento excavado. Para un canal trapecial la ecuación 6.102 puede integrarse y quedar como, β  b β+1  (y + bl)γ +1 + 2mb (y + bl)γ +2  C = α γ+2 γ +1 

--------------------- 6.103

ahora sustituyendo 6.103 en 6.102b queda, b2 b − 2m(1 + λ ) 2 y db y = b dy 2 G(1 + λ ) + K (1 + λ ) y −

-------------------------------------- 6.104

________________________________________________ 424 Hidráulica de las Conducciones Libres

donde, G=

β +1 ; γ +1

K=

2mβ γ+2

y

λ=

bl y

Por último para llegar a la solución final, se plantea como solución integral del problema la siguiente expresión, 3

2

b b b P3   + P2   + P1   + Po = 0 y y y

--------------------------- 6.105

donde:

P3 = 3 − 5G(1 + λ )

P2 = 6m(1 + λ ) + (10k − 2m) − G(1 + λ )(10m + 6k ) − 5K (1 + λ )

2

P1 = 2m(1 + λ )(10k − 2m) − 16mkG(1 + λ ) − 2k (1 + λ ) (5m + 3k ) 2

Po = 16mkK (1 + λ )

2

La solución general de esta ecuación cúbica representa la sección trapecial de menor costo incluyendo el bordo libre. Solo podrá existir una solución cuando la función costo se especifique en cada caso. Las restricciones que deben tenerse en cuenta en este diseño son,

[ ] [ ]

2 1 12 S o AR 3 y max n 2 1 1 Q min ± error = S o2 AR 3 y min n v Qmax ≤ v maxima permisible

Q max ± error =

v Qmin ≥ v minima permisible b = f (Chwen − Yuan y Hughes ) y bl calculado ≥ bl normado

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 425

Aunque los autores recomiendan la confección de gráficas para cada caso y con ellas resolver el diseño, a continuación se plantea un algoritmo para el calculo secuencial,

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15.

16.

6.8

Recopilación de la base de datos necesaria. Calcular α, β y γ para satisfacer la ecuación 6.103. Estimar n. Definir una pendiente de talud m. Seleccionar una So. Definir un bl como porciento de y. Calcular λ. Calcular G y K según ecuaciones expuestas al respecto. Calcular P3,P2,P1 y Po con las ecuaciones presentadas. Resolver el sistema cúbico de la ecuación 6.105 y calcular b/y. Calcular yn empleando la ecuación 5.18, para Qmax. Calcular b como b = (b / y )y. Calcular vQmax con la b del paso 11, la yn del paso 10 y la m asumida. Si vQmax ≤ vmaxima permisible continuar el siguiente paso. Si vQmax > vmaxima permisible representan el paso 5 para rectificar o cambiar la información y los cálculos. Calcular ynQmin según alguno de los algoritmos que aparecen en el capitulo 5. Calcular vQmin. Si vQmin ≥ vminima permisible pasar al siguiente paso Si vQmin < vminima permisible regresar al paso 5 para ratificar o cambiar la información y los cálculos. Calcular el bordo libre como bl = λ..y nQmax . Canales con vegetación.

El recubrimiento de una sección con pastos es una atractiva alternativa para la estabilización estructural de la sección para canales en tierra que trabajan intermitentemente.

________________________________________________ 426 Hidráulica de las Conducciones Libres

Por esta última razón su aplicación ha sido muy extendida a canales de drenaje agrícola y a canalizaciones urbanas ya que su componente estética y económica hacen esta protección muy competitiva. El revestimiento con pastos tiene dos manifestaciones interrelacionadas. La presencia de vegetación crea una región amortiguadora cerca a la frontera en la cual la velocidad se reduce grandemente. Esta acción implica una fuerza de arrastre sobre el vegetal que se transmite a los tallos y a las raíces. Debido a que esta región representa una distorsión en el perfil de velocidades que está íntimamente relacionada con las ecuaciones de resistencia del flujo. La segunda manifestación del pasto es prevenir altas velocidades o altos esfuerzos cortantes locales o temporales en las regiones asociadas a grandes turbulencias o concentraciones de flujo. Por tanto el grado de protección está relacionado por la uniformidad del recubrimiento. El revestimiento con pastos es un método popular empleado como: protección antierosiva, estabilizar el suelo y limitar el movimiento de partículas. El pasto en los canales en tierra que surge espontáneamente debido a la falta de mantenimiento, trae como consecuencia que los niveles de agua pronosticados se superen y existan desbordamientos. El pasto, en cualquiera de sus formas, presenta una variación estacional del coeficiente de fricción. A la n de Manning en los canales con vegetación se le denomina coeficiente de retardo o retraso. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 427

Coyle (1975) certifica que, n = f (v, R, tipo de vegtación ) . De esta forma el Soil Conservatión Service propone una gráfica entre n y v.R para diferentes clases de retardo, donde este valor se obtiene en función del tipo de vegetación y su altura. El diseño de canales con pastos no difiere al diseño de canales sin revestimiento ya que lo fundamental es el cumplimiento de las restricciones, sólo que con nuevos valores de n_estacional y de vmaxima permisible.

Además, como los pastos pueden tener desarrollo vegetativo durante la etapa de operación, el diseño debe realizarse para dos etapas límites: Bajo crecimiento del pasto (bajo grado de retardo): nbgr • Máximo crecimiento del pasto (alto grado de retardo): nagr • Para bajo grado de retardo (menor n) se diseñará la sección para que no ocurra erosión mientras que para el máximo valor estimado de n (alto grado de retardo) se verificará la no sedimentación o crecimiento de plantas indeseables y el no desbordamiento de la sección. 6.8.1 Información del USSCS.

Coyle (1975) clasifica el grado de retardo de varios tipos de vegetación. Esta información aparece en la tabla 6.30 junto a la dada por el U.S.Soil Conservation Service en 1954. A partir del grado de retardo y del producto v.R se puede predecir el valor de n de Manning. Este valor también puede obtenerse de tablas o informaciones especializadas. El gráfico de la figura 6.33 da los valores de n según Coyle (1975). ________________________________________________ 428 Hidráulica de las Conducciones Libres

RETARDO A (Muy alto)

B (Alto)

TIPO DE VEGETACION . caña, junquillo amarillo y Ischaemun azul amarillo . weeping love grass.

CONDICIONES Verticalidad perfecta. Alto de 910mm como promedio. Verticalidad perfecta. Alto de 760mm.

. . . .

Muy densa o densa, sin cortar Densa, 300mm de alto. Densa, sin podar Buena germinación, 300mm de alto. Buena germinación, no leñosa, altura 480mm. Buena germinación, desde 600mm de alto hasta 330mm de alto pero podada a esa altura. Buena garminación, sin podar alto de 330mm Sin podar de 460 mm de alto

kudzu bermuda mezcla de hierbas alfalfa

. lespedeza sericea . weeping love grass . grama azul . cañuela con comida para aves. . Hierba silvestre, áspera . Bermuda

C . Lespedeza común (Moderado) . Mezcla de hierbas . Hierba cienpiés . Hierba Kentucky . Bahía

D (Bajo)

E (Muy bajo)

Poco densa, de 250 a 1200 mm de alto Buena germinación, podada, de 150mm Densa, sin cortar, de 280 mm Densa, sin cortar de 150 a 200 mm Densa, 150 mm de alto Buena germinación, con cabeza de 150 a 300 mm de alto Buena germinación, 150 a 200 mm de alto

. Bermuda . Lespedeza común . Búfalo . Mezcla de hierbas . Lespedeza sericea

Densa, cortada a 60 mm Densa, de 100 mm de alto Densa de 75 a 150 mm Densa, de 100 mm de alto Después de cortada 500 mm de alto y buena germinación

. Bermuda

Buena germinación, cortada a 90 mm o quemada de cualquier altura

TABLA 6.30. CLASIFICACIÓN DE LOS PASTOS SEGÚN SU GRADO DE RETARDO.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 429

FIGURA 6.33 COEFICIENTE DE RETARDO COMO FUNCION DE vR.

Otras recomendaciones para estos diseños vienen dadas por French (1985): 1º. Donde exista cubierta vegetal transplantada, estabilizada y con mantenimiento, se permitirán velocidades de 0,91m/s. 2º. Donde exista cubierta sembrada de semilla la velocidad puede llegar a 1,2 m/s. 3º. Donde un césped denso se desarrolle rápidamente o en canales donde se pueda establecer el pasto firmemente antes de utilizarlos, velocidades de hasta 1,5m/s se pueden admitir. Velocidades mayores que esta necesitan pastos de alta calidad. 4º. En muy buen cesped de alta calidad y densidad las velocidades se admiten hasta 1,8m/s. 5º. En condiciones especiales pueden admitirse velocidades de 2,1m/s. El USSCS y Coyle (1975) proponen la tabla 6.31 para calcular las velocidades máximas en este tipo de revestimiento. ________________________________________________ 430 Hidráulica de las Conducciones Libres

A partir de esta información básica se puede establecer la rutina de diseño de este tipo de canal, que difiere a la estudiada para canales en tierra, salvo que la n a considerar tiene dos valores en función del ciclo de corte de la vegetación lo cual crea una nueva forma de análisis. Las restricciones para este método serán: Q max ± error = Q min ± error =

1

ηbgr 1

η agr

1

[

S o2 AR 1

[

S o2 AR

2

2

3

3

]y

]y

Qmax

Qmin

VQmax ≤ Vmaxima permisible VQmin ≥ Vminima permisible bl calculo ≥ bl normado COBERTURA

Bermuda Bufalo, Kentucky y Gramma azul Mezcla de hierbas Lespedeza sericea, ischaemun, Kudzú, alfalfa y Digitaria sanguinalis Anuales, usadas en pedientes suaves como proteccion temporal hasta que se establezca la cobertura permanente, lespedeza común y hierba sudán.

S0 % 0–5 5 – 10 10 0–5 5 – 10 10 0–5 5 – 10

VELOCIDAD PERMISIBLE (m/s) Suelos resistentes Suelos fácilmente a la erosión erosionables 2,44 1,83 2,13 1,52 1,83 1,22 2,13 1,52 1,83 1,22 1,52 0,91 1,52 1,22 1,22 0,91

0–5

1,07

0,76

0–5

1,07

0,76

TABLA 6.31 VELOCIDAD PERMISIBLE PARA CANALES CON VEGETACION

Un algoritmo para conducir el diseño de estos canales se da a continuación,

Algoritmo. 1.

Recopilación de la base de datos necesaria.

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 431

5.

Estimar la nbqr y la naqr y los grados de retardo correspondientes. Seleccionar una So. Con nbgr y el grado de retardo que debe producir el revestimiento en su etapa de mínima altura, obtener el producto v.R de la figura 6.33. Estimar el valor de vmax. permisible, tabla 6.31.

6.

Calcular R =

7.

Con la ecuación de Manning calcular el producto v.R

8.

1 5 / 3 1/ 2 R S , donde R es la calculada en el paso 6. n Si v.R paso 4 = v.R paso 7 ± error, continuar al paso siguiente.

2. 3. 4.

v.R Vmax

v.R =

Si v.R 9.

paso 4

≠ v.R

paso 7

regresar a variar nbgr y recomenzar por

el paso 4. Calcular el valor del área mojada A=

Q max v max . perm.

10. Con los valores de R y A determinar las dimensiones de la

sección escogida. Nota: A este nivel se tiene el dimensionamiento de la sección y la comprobación de la condición de no erosión. 11. Asumir un valor de y (se aconseja superior a la obtenida en el

paso 10) para condición de alto grado de retardo. 12. Calcular A y R. 13. Calcular v v=

Q max A

14. Calcular el producto v.R . 15. Con v.R calcular nagr para Qmax de la figura 6.33. 16. Calcular por Manning v

________________________________________________ 432 Hidráulica de las Conducciones Libres

v=

1 n agr

17. Si v

2

R 3S

paso 16

Si v

1 2

=v

paso 16

paso 13

≠v

± error continuar al paso siguiente.

paso 13

regresar al paso 11 a variar el valor de y

asumido . 18. Calcular el bordo libre y la altura de la STH (h) h = y nQmax,ηagr + bl

Nota: Falta nivel la comprobación de no sedimentación que en estos canales no es muy importante. No obstante si el peligro existe y se requiere su prevención entonces se procede así. 19. Asumir el valor de y para condición de alto grado de retardo y

gasto mínimo (generalmente inferior a las calculadas anteriormente). 20. Calcular A y R. 21. Calcular v v=

Q min A

22. Calcular el producto v.R . 23. Con v.R calcular nagr para Qmin de la figura 6.33. 24. Calcular v utilizando Manning

v=

1 n agr

25. Si v

Si v

2

R 3S

paso 24 paso 24

=v ≠v

1 2

paso 21 paso 21

± error continuar al paso siguiente.

regresar al paso 19 y variar el valor de y

asumido. 26. Si v paso 24 ≥ Vmín ima permisible , se da por terminado el diseño. Si v

paso 24

< Vmínima permisible , regresar al paso 3 a ratificar o

cambiar información y cálculos. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 433

Los estudios sobre canales revestidos de vegetación continúan ampliando su alcance a secciones compuestas donde la vegetación en las llanuras de inundación es muy diferente a las del canal principal. French citando los estudios de Kouwen en 1973, con cintas plásticas da las siguientes conclusiones: a. Los canales con vegetación tienen dos valores del factor de fricción; uno cuando el régimen es ondulado y otro cuando el régimen es alisado. b. El factor de fricción y la n de Manning se puede definir en función de la rugosidad relativa cuando el régimen es ondulado y es función de vR para régimen alisado. Los trabajos de Ree y Crow (1977), Kao y Barfield (1978), Gwinn y Ree (1980) y de Temple (1980) abren una nueva perspectiva. Green y Garton (1983) presentan un procedimiento para el diseño de estos canales con secciones trapeciales, triangulares y parabólicas. En 1988 Reza y Shigeyoshi profundizan en estudios con vegetación artificial y más recientemente Dan Naot (1996) y colaboradores, estudian problemas asociados al comportamiento hidrodinámico de secciones compuestas parcialmente revestidas de hierbas. 6.8.2 El método de Temple.

D.M.Temple (1980), de la USDA-ARS, toma la fuerza tractiva como parámetro de diseño. La fuerza tractiva efectiva, τe , se define según, 2

n τ e = γ y S(1 − C F ) s  ----------------------------------------- 6.106  n donde: CF es el factor de cobertura del vegetal. nS es la n de Manning asociada al suelo solamente.

________________________________________________ 434 Hidráulica de las Conducciones Libres

n

es la n de Manning de todo el canal.

Esta ecuación requiere una calibración adecuada para CF. La ecuación es aparentemente aceptable para un rango amplio de suelos y sus posibles limitaciones no afectan el diseño de estabilidad de la sección. El procedimiento presentado al ser un proceso de cálculo semiempírico del modelo de comportamiento del flujo debe emplearse en canales con un recubrimiento uniforme de hierba y suelos de granos finos. En general el método está limitado a, b ≥ bmínimo --------------------------------------------------------- 6.107 m ≥ mmínimo ------------------------------------------------------------- 6.108 0,0025 CI2,5 ≤ NR ≤ 36 ------------------------------------------ 6.109 τe ≤ τe admisible ------------------------------------------------------ 6.110 donde: CI es el índice de la curva de retardo. bmínimo y mmínimo son función de la técnica constructiva y el suelo. A partir de los datos del SCS (1954), Temple (1980) propone la relación siguiente: 2 n = exp C I 0,0133[ln(NR )] − 0,0954[ln(NR )] + 0,297 − 4,16 ------ 6.111

{ (

)

}

La aplicación de esta ecuación esta sujeta a que el vegetal esté sumergido. En general es considerada aceptable para aplicaciones generales aunque es conservadora en cubiertas densas y muy liberal en cubiertas poco densas. Por otra parte para vegetación sumergida puede plantearse que el índice de la curva de retardo se puede calcular según,

(

)

1/ 3

CI = 2,5 h v M ------------------------------------------------- 6.112 donde: hv es la longitud de los tallos, M es la densidad de la hierba.

La determinación de hv y M es de gran importancia. El valor de hv debe ser estimado a partir del conocimiento de la vegetación y sus ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 435

variaciones anuales o estacionales. La densidad M, expresada en número de tallos por unidad de área, muestra menos variación estacional que hv. La tabla 6.32, dadas por Temple, ayuda en la búsqueda de valores para estos factores. GRUPO

PASTOS

M (TALLOS/m2)*

Bermuda Hierba ciempiés Búfalo Hierba azul de Kentucky Grama azul Weeping love grass Tallos azul- amarillo Alfalfa Lespedeza sericea Lespedeza común Hierba de sudan

5380 5380 300 3720 3770 3770 2690 5380 3230 1610 538

CF

Hierbas Rastreras

0,90

Céspedes

0,87

Hierbas en manojos Hierbas con vainas

0,50 0,50

Anuales

0,50

Nota: *Se multiplicará M por: 0,333; 0,667; 1,0; 1,333; 1,667 para coberturas pobres, medias, buenas, muy buenas y excelentes. TABLA 6.32 PROPIEDADES DE ALGUNOS RECUBRIMIENTOS CON HIERBA.

En general en su método Temple limita nS al valor de 0,0156 que corresponde a suelos de granos relativamente finos. Temple también presenta una reducida tabla para determinar la τeadmisible, tabla 6.33, pero este valor puede ser obtenido de otras informaciones tales como las que aparecen en la sección dedicada a la erosión. τeadmisible (Pa)

MATERIAL Loam arenoso Loam fangoso TABLA 6.33

0,79 1,04

VALORES DE

τ

MATERIAL Fangos aluviales Loam firme

τeadmisible (Pa) 1,04 1,63

DADO POR TEMPLE.

________________________________________________ 436 Hidráulica de las Conducciones Libres

El algoritmo planteado por Temple, sin modificación alguna, aparece a continuación.

Algoritmo. I. Diseño de Estabilidad (establecer la geometría y dimensiones)

A. Estimación de parámetros. 1. Determinar las condiciones críticas para la estabilidad, o sea altura menor de la vegetación. 2. Estimar M, tabla 6.32. 3. Estimar CF, tabla 6.32. 4. Estimar τe_admisible. 5. Calcular CI, ecuación 6.112 B. Aproximación a un canal ancho (R=y). 1.

 − d − d 2 − 4ac  2a 

Calcular q = ν 74 × 10 5 . exp

   

donde, ν74 x 105 = 0,0929 m2/s a = 0,0133 CI d = - (0,0954 CI + 0,286)  τ c = 0,297CI − 0,5 ln(S o ) + 0,7143 ln e  1 − CF   au  − 4,16 + 0,4286 ln  ν × 10 5 γ 5 / 3 η10 / 3  s  74 

  + 

a u = 1,0 m1/ 3 / s q × 10 5

2.

Calcular NR =

3.

Calcuar n según ecuación 6.111 Calcular y según,

4.

 qn y=  a S1/ 2  u 5.

   

ν 74

3/5

Calcular la velocidad media,

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 437

v1 =

q y

Calcular el ancho requerido para el gasto total,

6.

b=

Q q

donde b se mide a y/2.

C. Solución por iteraciones. 1. 2.

i=1

Utilizando los valores de referencia de b y de y se calculan los parámetros geométricos. 2.1 Geometría trapecial. b = b − my 2.2 Geometría triangular.

m=

b y

2.3 Geometría parabólica

a c = 2y 3.

b

2

para una parábola y = a c X 2

Cálculo del área de la sección A = Q donde v i es la del paso B.5. como primera vi

aproximación 4. Cálculo de la profundidad requerida 4.1 Geometría trapecial. − b + b 2 + 4 Am 2m

y=

4.2 Geometría triangular

y= A

m

4.3 Geometría parabólica

(

y = 0,75 A a c 5.

)

2/3

Cálculo del perímetro mojado. 5.1 Geometría trapecial.

________________________________________________ 438 Hidráulica de las Conducciones Libres

P = b + 2y 1 + m 2 5.2 Geometría triangular.

P = 2y 1 + m 2 5.3 Geometría parabólica

  y + y + a   P = 2 y 2 + a.y + a. ln   a    donde, a = 1/ 4a C 6. Calcular el radio hidráulico: R = A P 7. Calcular n de Manning según ecuación 6.111 8.

Calcular la velocidad media. vm =

9.

1 23 12 R S n

Ajustar la velocidad estimada 2 (v m − v i ) 3 Si (i ≥ 2) y v i+1 ≅ v m pasar al siguiente paso Si (i < 2) o v i+1 ≠ v m entonces (i = i+1) e ir al paso 3

v i+1 = v i +

10. Calcular τe según 6.106

Si, τe ≤ τeadmisible continuar al siguiente paso Si, τe > τeadmisible cambiar el ancho del canal, hacer i = 1 y regresar al paso 3 a recalcular todo de nuevo. 11. Si se cumplen las ecuaciones 6.107 a 6.110 continuar al próximo paso. Si no se cumplen las ecuaciones 6.107 a 6.110 rehacer el diseño. II. Diseño de capacidad (verificar la profundidad mínima del canal). A. Estimación de parámetros 1. Estimar las condiciones de enyerbamiento para las condiciones del calculo de capacidad, o sea, altura mayor de la vegetación. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 439

2. 3.

Estimar el número de tallos (M) según tabla 6.32. Calcular CI según ecuación 6.112.

B. Primera aproximación. 1. Asumir NR igual al último valor calculado en la parte I. 2. Calcular, según ecuación 6.111, el valor de n. 3. Calcular el radio hidráulico según,  nNR.ν 74 10 5 R =  S 1/ 2  4.

   

3/5

Calcular la velocidad estimada V1 =

NR.ν 74 .10 5 R

C. Solución final por iteraciones. 1. 2.

i=1

Calcular el área, A=Q

3. 4. 5.

vi

Calcular la profundidad empleando las fórmulas de la parte I, C.4. Calcular el perímetro empleando las fórmulas de la parte I, C.5. Calcular el radio hidráulico, R=A

P

6.

Calcular el número de Reynolds,

7. 8.

v iR ν 74 .10 5 Calcular la n de Manning según 6.111. Calcular v m según, 1 2 1 vm = R 3S 2 n

9.

Ajustar la velocidad estimada,

NR =

v i+1 = v i +

Si

2 3

(v m − v i )

(i ≥ 2) y

v i+1 ≅ v m pasar al siguiente paso

________________________________________________ 440 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si (i < 2) o v i+1 ≠ v m entonces (i = i+1) e ir al paso 2 10. Chequear si se cumplen las condiciones de las ecuaciones 6.107 a 6.110, si no se cumplen rehacer el diseño. Resalta en el algoritmo original, propuesto por Temple, que el diseño se realiza para un solo gasto y que la variable So no entra en la rutina de cambios que pueden realizarse para lograr un diseño adecuado, sobre todo, en el cumplimiento de la restricción 6.110. 6.8.3 Un diseño propuesto por Green - Garton.

Un procedimiento gráfico y numérico fue propuesto, en 1983, por estos autores pertenecientes a la Universidad de Oklahoma. Gwinn y Ree proponen para el cálculo de n, n = 1/(2,08 + 2,30 x + 6 ln (vR)) para 0,02< n < 0,2 ------ 6.113 donde, x es: –0,5; 2; 5; 7 y 11 para las clases de retardo A, B, C, D y E respectivamente. Green y Garton proponen específicamente emplear los modelos de n que aparecen en la tabla 6.34. Clase Retardo A B C D E

Modelo n = 0,440 – 1,6174 vR n = 0,046 + 0,0223/ vR n = 0,403 – 3,3356 vR n = 0,046 + 0,0096/ vR n = 0,0354 + 0,0115/ vR n = 0,034 + 0,0046/ vR n = 0,028 + 0,0051/ vR n = 0,038 + 0,0020/ vR n = 0,030 + 0,0028/ vR n = 0,029 + 0,0007/ vR n = 0,0225 + 0,0015/ vR

Límite vR ≤ 0,1542 vR > 0,1542 vR < 0,0535 0,0535 < vR ≤ 0,1792 vR > 0,1792 vR < 0,0833 vR > 0,0833 vR < 0,100 vR > 0,100 vR < 0,123 vR > 0,123

TABLA 6.34. MODELOS PARA EL CÁLCULO DE n DADOS POR GREEN - GARTON

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 441

El algoritmo para el cálculo numérico que proponen estos investigadores es, sin modificación alguna, como aparece a continuación.

Algoritmo. 1. 2. 3.

Elegir la geometría de la sección transversal. Estimar una velocidad para el flujo: vestimada Calcular el área mojada A = Q / vestimada

4.

Calcular la profundidad del flujo y el perímetro. 4.1 Para geometría parabólica, Parábola y = k x2 0,5

 1,22  Descriptor w =    k  Nota: w es el ancho de la sección para y = 0,305 metros 2/3 y = 0,882 A w 8 y2 P=T+ 3 T

( )

4.2 Para geometría triangular,

Elegir m en función del tipo de suelo y= A

m

P = 2y 1 + m 2 4.3 Para geometría trapecial,

Elegir m y b en función del suelo y la técnica constructiva. y=

(b

2

)

− 4 Am − b / 2m

P = b + 2y 1 + m 2 5.

Calcular el radio hidráulico, R=A

6. 7. 8.

P

Calcular el valor de vR = vestimada * R. Determinar n utilizando la tabla 634. Calcular la velocidad del flujo vC según Manning,

________________________________________________ 442 Hidráulica de las Conducciones Libres

1 23 12 R S n 9. Si vC ≈ vestimada continuar al paso siguiente. 10. Si vC ≠ vestimada regresar a recalcular todo desde el paso 3 haciendo vC = vestimada. vC =

El procedimiento descrito se plantea realizarlo dos veces: Primero para la estabilidad empleando el menor retardo esperado, en este resultado se obtendrá la máxima velocidad la cual no debe exceder los límites establecidos por el USDA. Segundo, se realiza el cálculo para el mayor retardo esperado y la profundidad hallada será la de diseño del canal. A este valor se le adiciona un bordo libre apropiado. 6.8.4 Las soluciones aportadas por Reza Mahbub y Suzuki.

En experimentos publicados en 1988, con vegetación artificial en la Universidad de Agricultura y Tecnología de Tokyo, estos investigadores llegaron a interesantes conclusiones respecto al comportamiento del valor de n. La n de Manning decrece su valor cuando decrece el largo de la vegetación Para una misma vegetación (densidad y longitud de tallos) a medida que y aumenta n decrece: y↑ ⇒ n↓ El valor de n decrece al crecer el valor de la velocidad y para altas velocidades n tiende a ser constante y semejante para diferentes densidades y largos. El valor de n decrece fuertemente al crecer el producto vR. Para diferentes valores de profundidades de flujo este comportamiento se mantiene. Se propone como ecuación de cálculo de n para alta densidad, n = 0.006 + (0.001+ 0.0098L ) / v + (0.0018 + 0.0027L) / y + + (s − 0.01)L ----------------------------------------------- 6.114

donde: ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 443

L v y S

es la longitud de la vegetación en m, 0.20≤ L ≤ 1.0 la velocidad en m/s en cada intervalo 0.05 ≤ v ≤ 1.11 es la profundidad del flujo en m, 0.1 ≤ y ≤ 0.32 la pendiente de fluido 0.001 ≤ S ≤0.01

6.8.5 Canales de sección compuesta con vegetación.

Estas secciones tienen la doble complejidad del cálculo hidráulico y la vegetación. La vegetación en estos casos se diferencia en tipo y longitud entre la que crece en las llanuras de inundación y la que crece en el canal principal. A continuación algunos resultados de los últimos años. A.

Indlekofer y Rouvé (1983).

H.Indlehofer y G.Rouvé aceveran que la división con líneas verticales, en las que se considera nulo la transmisión de esfuerzo cortante, es un error en el cálculo de la capacidad hidráulica de una canal de sección compuesta. En el caso de la vegetación divide esta en flexibles y rígidas (arbustos y árboles) que normalmente crecen en las llanuras de inundación. En el caso de la vegetación flexible, este investigador anota que esta se comporta como una frontera rígida con una n característica que depende del flujo y de la flexibilidad de la vegetación. En el caso de árboles y arbustos cada miembro individual ejerce fuerza sobre el flujo y como resultado se retarda el movimiento. Se propone la siguiente ecuación para un canal de longitud L, n

τ v LP =

∑ i =1

ρC di A vi

v i2 + τ 0 LP ---------------------------------- 6.115 2g

donde τ v es la fuerza tractiva en vegetación τ 0 es la fuerza tractiva del suelo solamente C di es el coeficiente de arrastre de cada elemento de área A vi ________________________________________________ 444 Hidráulica de las Conducciones Libres

Indlekofer y Rouvé llegan a las siguientes expresiones finales: k sv 1 = k so 1+ ñ ⋅ L0 / R

------------------------------------------- 6.116

donde los subíndices v y 0 representan variables con vegetación y sin vegetación. ks es el inverso de la n de Manning L0

es una longitud de referencia: L 0 =

1 v2 ⋅ S 0 2g

En esta ecuación el valor de ñ significa la densidad efectiva de vegetación y se define como: n

ñ=

∑C

di A vi

/ (L ⋅ P )

------------------------------------------ 6.117

i =1

La relación entre dos coeficientes de fricción se define por, λv 4ñ = 1+ λ0 λ0

-------------------------------------------------- 6.118

Esto incluye que tal como se muestran en 6.116 y 6.118 el efecto de retardo de la vegetación rígida es equivalente a un decrecimiento del valor de ksv y un incremento de λ v Analizando las propuestas realizadas por tres autores para el cálculo de la capacidad, se llega a las conclusiones siguientes: a. Según Klausing (1973) Disminuir el área de la sección en 0.5 veces el área de la vegetación. Disminuir el perímetro mojado en la parte referida a la disminución de área. b. Según el Buró Suizo de Carreteras y Ríos (SBSR), (1973) Disminuir el área en todo lo referente a la vegetación. Asumir el perímetro mojado de arbustos y vegetación suave. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 445

c.

Según Obendorf (1978) Calcular el coeficiente de rugosidad del perímetro mojado de los arbustos en la fórmula: k s _ arbustos

 S  = 0.55k so  0   0.001 

1/ 2

------------------------ 6.119

Disminuir el área mojada en todo lo referente a la vegetación. Considerar la vegetación rígida aplicando fórmulas similares a las que aparecen en 6.116 y 6.118 Una comparación de estas propuestas aparece en la figura 6.34. El propio autor describe las diferencias entre los procedimientos que llegan a diferenciarse hasta en un 60%, demostrando claramente lo contradictorio de las propuestas.

FIGURA 6.34 COMPARACION ENTRE ALTERBNATIVAS REALIZADA

________________________________________________ 446 Hidráulica de las Conducciones Libres

B. Evers y Rouvé (1983). Evers y Rouvé condujeron una investigación de laboratorio con diferentes tipos de vegetación. Algunas de las conclusiones del estudio arrojan los siguientes resultados:

FIGURA 6.35 DISTRIBUCION DE VELOCIDADES Y SU INFLUENCIA CON LA PROFUNDIDAD EN UN CANAL CON VEGETACION.

La influencia de la densidad afecta el gasto y la distribución de las velocidades cuando el nivel sobrepasa la cota de las llanuras, figura 6.35 y 6.36.

FIGURA 6.36 RESULTADOS OBTENIDOS A NIVEL DE LABORATORIO. b y c: llanuras rugosas con un patrón definido a: llanuras lisas

________________________________________________ Diseño de la sección transversal 447

Se observa la formación a intervalos regulares de vórtices en la frontera del CP y las LLI entrando en el CP dando como resultado fluctuaciones fuertes del nivel y el gasto: la fortaleza de los vórtices se incrementan con el gasto, la velocidad y dependen de la densidad de los elemento rugosos, resultando una fuerza adicional en las laderas del CP. C. D.Naot, I. Nezu y H. Nakawama (1996). Naot, Nezu y Nakawama describen la experiencia de los últimos años en los estudios asociados a las secciones compuestas con vegetación. En las premisas de su trabajo establecen: Que la ley logarítmica universal que describe el perfil de velocidades no describe la formación de los esfuerzos en el campo de acción de la vegetación adyacente a las paredes sólidas Que debido a bloques del flujo en la zona del vegetal un esfuerzo cortante libre se forma en el conducto libre adyacente al eje del dominio del vegetal. Esta capa está sujeta a un movimiento lateral y puede ser removida desde su eje geométrico haciendo que el uso de un sistema coordenado invariante, como el descrito por Yang-Sinh, sea adecuado. Las fuerzas hidrodinámicas que consideran en su trabajo son las tres fuerzas de arrastre por unidad de masa de fluido: Fx = C x Kv x ; Fy = C y Kv y ; FZ = Kv Z donde vZ es la velocidad longitudinal y se considera mucho mayor que vx y vy. 1 2 v x + v 2y + v 2z ⋅ d e ⋅ D 0 ⋅ C D ⋅ S F ------------------------------------- 6.120 2 siendo de la densidad promedio de la vegetación (troncos por K=

unidad de área) D0 el diámetro promedio de la vegetación CD el coeficiente de arrastre correspondiente a los troncos SF un factor de sombra ________________________________________________ 448 Hidráulica de las Conducciones Libres

Para sus trabajos emplearon: NR =

v X ⋅ D0 , ν

 10 3   C D =    NR 

0.25

para NR ≤ 103

o el mínimo entre,

[(

)

C D = 0.976 + 10 −3 NR − 2 / 20.5 C D = 1.15

]

2

para 103 < NR < 4.104

para los coeficientes de arrastres: 0 .2

 10 3   / CD C x = 1 y C y =  para NR > 103  NR   siendo y la dirección en que crecen los árboles.

Por último según Schlichting (1962), para hileras alineadas de árboles, 2

 D0   , donde P0 = SF = 1 −   P 0  

1 de

y para árboles distribuidos aleatoriamente, SF = 1 −

(

D0 1 − 0.5 D 0 / P0 P0

)

Para sus estudios prepararon un modelo hidrodinámico consistente en tres grupos de ecuaciones. En el primer grupo las tres ecuaciones de momentum, más la de continuidad, gobiernan el flujo promedio. En el segundo grupo dos ecuaciones de transporte para la energía y la disipación representan la intensidad y escala de la turbulencia y finalmente el tercer grupo, un grupo de ecuaciones algebraicas que describen la anisotropía de los esfuerzos turbulentos. El modelo se aplicó a tres casos, figura 6.37 y algunos de sus resultados se dan a continuación. Se empleó el factor adimensional ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 449

para la densidad de la vegetación: N=100de.y.Do; para comparar las diferentes variantes. En la figura 6.38 aparece el resultado para un canal ancho (b=5y) con un banco de vegetación de un ancho A=1.25y, con árboles de diámetro D0=0.04y y diferentes densidades.

FIGURA 6.37 TRES ALTERNATIVAS ESTUDIADAS POR NAOT Y SUS COLEGAS.

Nótese que para N16 las corrientes secundarias se hacen intensas. La relación vZmax/vZ crece con la densidad adimensional siendo respectivamente 1,25; 1,36; 1,47 y 1,67 para valores de N igual a 1, 4, 16, 32 y 64. En la figura 6.39 aparecen los resultados para un canal ancho (b=5y) para el caso de una esquina con vegetación de ancho (2.5y) y árboles de diámetro D0=0.04. Para N < 4 la vegetación introduce asimetría en las isolíneas de velocidad similar a la observada en el banco de vegetación. Para ________________________________________________ 450 Hidráulica de las Conducciones Libres

4 ≤ N ≤16 el flujo que atraviesa el dominio de la zona vegetal es

parcialmente bloqueado.

FIGURA 6.38 RESULTADOS PARA UNA CANAL RECTANGULAR CON UN BANCO DE VEGETACION. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN LOS VALORES RELATIVOS RESPECTO A LA VELOCIDAD MAXIMA.

Todavía el flujo encima del domino es intenso y en el canal se desarrolla un factor similar al observado en el canal hidráulicamente liso de sección compuesta. Para N >16 las corrientes secundarias son intensas, el flujo en el dominio del vegetal es bloqueado y el flujo sobre él es considerablemente atenuado. El patrón es similar al observado en un canal de sección compuesta para fronteras hidráulicamente rugosas. ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 451

FIGURA 6.39 RESULTADOS PARA UNA CANAL RECTANGULAR CON UNA ESQUINA DE VEGETACION. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN LOS VALORES RELATIVOS RESPECTO A LA VELOCIDAD MAXIMA.

La relación VZmax/VZ crece también con la densidad y para estos casos 1,24; 1,36; 1,65; 1,77 y 1,81; para densidades similares al anterior caso. Para el último caso estudiado, llanura de inundación a la izquierda con vegetación, los resultados aparecen en la figura 6.40. Se mantuvo el canal ancho (b cp + b LLI = 5 y ) siendo LLI = 2.5 y

Para incrementos de la densidad (N) el flujo en la LLI es considerablemente atenuado. Para N ≥ 8 se forma una zona de ________________________________________________ 452 Hidráulica de las Conducciones Libres

líneas de igual velocidad y para N ≥ 16 va casi hasta toda la llanura con vegetación.

FIGURA 6.40 RESULTADOS PARA UNA CANAL RECTANGULAR CON UN CANAL CON LLI CON VEGETACION. LAS ISOLINEAS REPRESENTAN LOS VALORES RELATIVOS RESPECTO A LA VELOCIDAD MAXIMA.

La necesidad de predecir el perfil de velocidades con una función de densidad de la vegetación es evidente. Las corrientes secundarias en el CP aumentan con el incremento de la vegetación, resultando un desvío de las líneas de igual velocidad máxima lejos del dominio de la vegetación. El comportamiento hidrodinámico de un canal de sección compuesta con una llanura con vegetación depende de dos parámetros: SF y IV. Como el factor de sombra es inversamente proporcional en la medida en que un tronco es afectado por otro ________________________________________________ Diseño de la sección transversal 453

tronco, se espera un decrecimiento en el incremento de la vegetación: diámetro y densidad. Mientras la longitud de referencia de la vegetación, lv, caracteriza los varios que se forman detrás de los troncos y estos se incrementan con el incremento del diámetro de la vegetación y se reducen con la densidad de la vegetación. En los rangos estudiados SF mostró poca diferencia (2 yn ⇒ So – Se > 0; si, y = yn ⇒ So – Se = 0; si, y < yn ⇒ So – Se < 0. En resumen: y > yc ⇔1 – NF2 > 0; y = yc ⇔1 – NF2 = 0; y < yc ⇔1 – NF2 < 0;

y > yn ⇔So – Se > 0; y = yn ⇔So – Se = 0; y < yn ⇔So – Se < 0.

Ahora pueden analizarse las condiciones que darán lugar a los cinco rasgos básicos de las curvas superficiales en el caso del RPGV. En zona 1: Se < So y NF< 1 zona 2: Se < So y NF > 1 Se < So y NF < 1 zona 3: Se < So y NF < 1

por tanto dy/dx = + por tanto dy/dx = por tanto dy/dx = por tanto dy/dx = +

En zona 1: Si y → yn ⇒ Se → So, por tanto: dy/dx → 0 464 Hidráulica de las Conducciones Libres

Si y → ∞ ⇒ Se → 0 y NF → 0, por tanto: dy/dx→ So

Si y → yc ⇒ NF → 1 por tanto: dy/dx → ∞.

En zona 2: Si y → yn ⇒ Se → So, por tanto dy/dx→ 0 Si y → yc ⇒ NF → 1, por tanto dy/dx→ ∞ En zona 3: Si y → yn entonces: dy/dx → 0 Si y → yc entonces: dy/dx → ∞ Si y → 0 entonces: dy/dx → + El significado de cada valor del diferencial dy/dx, a partir del sentido positivo de los ejes declarados en la figura 2.32, es: dy/dx = + implica una superficie del agua creciente. dy/dx = implica una superficie del agua decreciente. dy/dx → 0 implica que el régimen tiende a ser uniforme. dy/dx → S0 implica una asíntota a una línea paralela al fondo. dy/dx → ∞ implica una asíntota a una perpendicular al fondo. Un resumen de los perfiles de flujo que pueden observarse en un canal aparece en la tabla 7.1. Mientras que en las figuras 7.4, 7.5 y 7.6 aparecen algunos ejemplos de donde pueden encontrarse las curvas superficiales. . FIGURA 7.4 CURVAS SUPERFICIALES EN ZONA 1 EN DOS CASOS ESPECIFICOS

El régimen permanente y variado

465

FIGURA 7.5 EJEMPLOS DE CURVAS EN ZONA 2.

FIGURA 7.6 EJEMPLOS DE CURVAS EN ZONA 3.

En la figura 7.7 aparece el perfil de un canal con una caída en el perfil del fondo, dos derivaciones y compuertas en los nodos de 466 Hidráulica de las Conducciones Libres

regulación. Las compuertas al canal principal están semicerradas (C1cp , C cp2 , C 3cp ) para elevar el nivel del agua en la derivación, mientras que las compuertas de los canales laterales están abiertas. Pendiente 0 yc yc < y < yn y < yc < yn y > yc > yn Yc > y > yn y < yn < yc y > yn = yn yn = yc = y y < yn = yc y > yc y < yc y > yc y < yc

Tipo de curva remanso caída creciente remanso caída creciente remanso RU creciente caída creciente caída creciente

Tipo de flujo subcrítico subcrítico supercrítico * subcrítico * supercrítico supercrítico subcrítico * crítico supercrítico * subcrítico supercrítico * subcrítico supercrítico *

* Nótese la diferencia entre la pendiente y el régimen de circulación. TABLA 7.1 RESUMEN DE LOS PERFILES DE FLUJO.

FIGURA 7.7 UN EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LOS PERFILES DE FLUJO.

Para realizar el análisis cualitativo del RPV hay que seguir un grupo de indicaciones que se verán a continuación: 7.3 Análisis del perfil del flujo.

El régimen permanente y variado

467

Para estudiar el perfil del flujo, en cualquier caso que se presente, el primer paso a dar es definir las secciones de control que se presentan a lo largo del tramo. Originalmente se denomina sección de control a aquella donde se produce la profundidad crítica. Aquí se ampliará el concepto denominándose sección de control generalizada (SCG) o simplemente sección de control (SC) a todas las secciones donde se conozca la relación profundidad-caudal. Las SCG suelen encontrarse en secciones correspondientes a: • estrechamientos, cambios de pendiente o escalones donde se produce el régimen crítico (caída libre, caída hidráulica.....) • obras hidrométricas • compuertas de control o regulación de caudal o nivel • obras hidráulicas (obras vertedoras, obras de pase, obras de derivación.....) • extremos de un tramo de canal donde se produzca régimen uniforme. Una sección de control regula el flujo ya que restringe la transmisión de cambios en las profundidades. En regímenes subcríticos la SCG regula las profundidades aguas arriba mientras que en régimen supercrítico la regulación se realiza aguas abajo.

FIGURA 7.8 UN EJEMPLO DE UNA SECCION DE CONTROL DUAL.

Hay casos en que una misma sección de control regula en ambas direcciones, por ejemplo en el caso de una compuerta semiabierta, figura 7.8, hay control de los niveles aguas arriba a partir de la 468

Hidráulica de las Conducciones Libres

carga que tiene la compuerta para que por su abertura inferior circule el gasto. Y hay control aguas abajo a partir de la abertura por la que circula el gasto. En realidad en este caso, son dos secciones ubicadas planimétricamente en la misma sección del canal. Las secciones de control dividen al canal en tramos de cálculo para el RPV. Todo tramo tendrá una sección de control para un mismo régimen, respecto a Froude, y si tiene dos, una en cada extremo, una debe dar una profundidad correspondiente al régimen subcrítico y la otra al supercrítico. Por su parte, cada curva superficial estará asociada a una y solo una sección de control. Mediante el análisis del comportamiento del perfil de flujo según las curvas superficiales, puede estudiarse el comportamiento de los niveles del agua en un canal dado, cuando por él circula un determinado caudal. Para una mejor comprensión se verán cuatro casos por separado: canal prismático de pendiente constante; canal prismático con un cambio de pendiente; canal prismático con varios cambios de pendiente y canal no prismático. 7.3.1 Canal prismático de pendiente constante.

Este caso puede estudiarse directamente, determinando la profundidad normal y la crítica en el canal en cuestión para el gasto dado y conociendo alguna condición de borde, ya sea aguas arriba o aguas abajo de este, para determinar cualitativamente la forma de la curva superficial que se originará la base del análisis de los cinco rasgos fundamentales. 7.3.2 Canal prismático con cambio de pendiente.

El régimen permanente y variado

469

FIGURA 7.9a PENDIENTE.

PRIMEROS CASOS DE CURVAS SUPERFICIALES EN CAMBIO DE

Se trata ahora de un canal prismático en el cual la pendiente del fondo cambia en un punto intermedio del trazado, se hace más fuerte o más suave. En la figura 7.9 aparecen los diferentes casos posibles. 470

Hidráulica de las Conducciones Libres

Es importante tener en cuenta que cuando la profundidad de circulación se aproxima a la crítica, la forma de la curva no se puede determinar con precisión, pues el régimen pasa a ser rápidamente variado y las hipótesis del RPGV pierden, hasta cierto punto, su validez y teóricamente, cuando el tirante alcanza ese valor, la curva superficial tiene una tangente perpendicular a la línea de yc en el punto en cuestión. Debe prestarse especial atención a los casos en que aún habiendo cambio de pendiente esta no cambia su tipo, sino que sencillamente pasa a ser más o menor subcrítica o más o menos supercrítica.

FIGURA 7.9b PENDIENTE

OTROS CASOS DE CURVAS SUPERFICIALES EN CAMBIO DE

7.3.3 Canal prismático con varios cambios de pendiente.

El régimen permanente y variado

471

En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varía de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales correspondientes hasta tener un cuadro completo del comportamiento del perfil del flujo. Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de dos tipos: secciones de control autónomas y secciones de control condicionadas. Secciones de control autónomas. Son aquellas que surgen en el primer análisis de las posibles secciones de control del canal, generalmente están asociadas a: Secciones donde se produce la profundidad crítica. Secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de obras hidráulicas. Secciones ubicadas en la entrega a otro canal o a un embalse donde el nivel de agua en la entrega está fijo. Secciones de control condicionadas. Son aquellas que se ubican, por lo general, en cambios de pendiente o de sección y su profundidad está condicionada a aquella que produzca la curva superficial que llega a ella. Las secciones de control también pueden clasificarse según su posición relativa a la curva superficial que controlan. De esta forma se encuentran dos alternativas: Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual o menor que la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de 472

Hidráulica de las Conducciones Libres

otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede “ahogarse”. Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcrítica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de una caída o la provocada por algún elemento como puede ser una obra asociada al canal). Hasta el momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. De ahí que se establezca que: El análisis cualitativo debe incluir todas las posibles hipótesis que puedan presentarse en el canal analizado. La tesis final, del grupo de hipótesis establecidas, se obtiene mediante el cálculo del perfil real del flujo, para la base de datos definida específicamente para el caso.

FIGURA 7.10 UN EJEMPLO DE CANAL CON VARIOS CAMBIOS DE PENDIENTE.

Véase como ejemplo el canal de la figura 7.10, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica. El régimen permanente y variado

473

Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control autónomas (SCa), donde los niveles están ya establecidos o bien pueden conocerse o calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida. Identificar y trazar a partir de las SCa, las curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Identificar las secciones de control condicionadas (SCc) y a partir de ellas establecer el trazado de las nuevas curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Analizar los tramos en que existen varias alternativas, o sea, aquellos casos en que hay dualidad, que son casos en que pueden ocurrir saltos hidráulicos. La dualidad se presenta en el tramo donde hay una sección de control que indica hipótesis en zonas subcríticas y otra sección de control que indica, para el mismo tramo, hipótesis en zonas supercríticas. En el ejemplo de la figura 7.10, las secciones de control autónomas están en: a. En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente supercrítica y por tanto y = yc. b. A la entrada de compuerta, donde la profundidad del agua es tal que asegura bajo dicha compuerta la circulación del caudal Q de diseño, esta profundidad puede calcularse a partir de la ecuación de gasto bajo una compuerta: Q = C Q A 2g∆h

donde, CQ A ∆h

474

es el coeficiente de gasto, es el área de la abertura inferior, es la diferencia en cotas del nivel del agua aguas arriba y aguas debajo de la compuerta. Hidráulica de las Conducciones Libres

c.

d.

A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje “ahogada”). En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad crítica, por cuanto se presenta una caída libre.

Una vez fijadas las secciones de control se pueden determinar las curvas superficiales que ocurren, figura 7.11: 1º. Aguas arriba de la sección A, se desarrolla una H2;

FIGURA 7.11 HIPOTESIS DEL EJEMPLO.

2º.

3º.

4º.

Aguas abajo la sección A, tiene lugar una F2, que iniciándose en la yc se desarrolla en forma decreciente y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva define la profundidad de una sección de control condicionada; Al definirse la profundidad en B, por la curva F2 y surgir una sección de control condicionada, esta define una nueva curva superficial en el tramo B-compuerta. Esta curva S3, nace en la sección B y se desarrolla hasta alcanzar la profundidad crítica (su límite superior). Aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de la carga aguas El régimen permanente y variado

475

5º.

arriba de la compuerta, se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva también define la profundidad de una sección de control condicionada, surgiendo una dualidad en esa sección y en todo el tramo que recorre la S3, ya que en esa zona el régimen puede ser supercrítico (dado por la S3) o subcrítico (dado por la S1). La solución de esta dualidad es un salto hidráulico, que pudiera comenzar en alguna sección de la S3 y alargarse hasta alguna sección, aguas abajo, correspondiente a la S1. Al llegar la S1 a la sección B, con un valor igual, o superior a la yn, se crea una nueva sección de control condicionada (esta vez por la S1), lo que implica que su continuidad hacia aguas arriba se produce a través de una F1 que terminará al encontrar la yC de ese tramo, creando una zona de dualidad entre la F2 y la F1 que tendrá su solución si ocurre un salto hidráulico entre secciones de esas dos curvas. Debe destacarse que ocurrirá el posible salto o entre la F2 y la F1 o entre la S3 y la S1, de esta manera se podrá tener una de estas tres alternativas: F2 ➙ SH ➙ F1 ➙ S1 F2 ➙ SH ➙ S1 F2 ➙ S3 ➙ SH ➙ S1

6º.

7º.

476

Aguas abajo de la compuerta, a partir de la vena contraida de la salida, aparece una S3, que, comenzando con un valor menor a la abertura de compuerta, se desarrolla en dirección aguas abajo aproximándose a la profundidad crítica, asintóticamente a una perpendicular a una línea imaginaria que siendo paralela al fondo dista de él el valor de yC. Si esta última S3 llega a la sección C sin haber alcanzado su límite superior, se generará en el canal de pendiente adversa una curva del tipo A3. Esta curva tiene dos posibilidades: terminar y alcanzar su límite superior antes de que se termine el canal o llegar a la sección D sin haber alcanzado la yC. Si esto último ocurre entonces el régimen Hidráulica de las Conducciones Libres

8º.

supercrítico generado a la salida de la compuerta, tiene una gran energía, es capaz de “barrer” el régimen subcrítico que pudiera producirse a partir de la sección de control en las inmediaciones de D y la solución de estos dos tramos de canal sería: S3 ➙ A3 Ahora, si la S3 alcanza en su tramo la yC, o si la A3 alcanza su límite antes de terminar físicamente el canal, entonces a partir de las inmediaciones de D (aguas arriba y a una distancia de aproximadamente 3yC) comienza una curva del tipo A2 que se prolongará hasta el final del tramo ya que no tiene límite superior, continuando en el tramo C-compuerta con una curva superficial S1 (como la de la figura) si el final de la A2 es por encima de la yn del tramo, o una curva S2 si el final de la A2 esta entre la yC y la yn del tramo. En cualquier caso se produce una zona de dualidad que puede prolongarse desde la salida de la compuerta hasta muy cerca de la sección D, cuya solución final será mediante un salto hidráulico que solucionará la dualidad de regímenes y unirá el tramo de curva superficial supercrítica con el correspondiente tramo subcrítico. Así se podrán tener como posibles soluciones: SH ➙ S1 ➙ A2 SH ➙ S2 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ S1 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ S2 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ A2 S3 ➙ A3 ➙ SH ➙ A2

Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control condicionada para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del El régimen permanente y variado

477

tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas. 7.3.4

Canal prismático en cambio de régimen.

En el caso de canales prismáticos bajo condiciones específicas de operación ocurren cambios bruscos de régimen de circulación de subcrítico a supercrítico y viceversa. Si el régimen cambia de subcrítico o supercrítico ocurre: o una caída hidráulica, o una caída libre y en ambos casos las soluciones están definidas por: las curvas superficiales que se producen la información empírica que abarca los casos específicos. Pero, si el régimen cambia de supercrítico a subcrítico entonces el cambio es mediante un salto hidráulico y el proceso de búsqueda de las secciones afectadas se realizará utilizando la ecuación de momentum. En el capítulo 3 se analizó esta situación poniendo como premisa que tanto el régimen subcrítico como supercrítico fuesen uniformes, aquí se analizará la ocurrencia de este fenómeno local en el caso en que tanto el régimen subcrítico como el supercrítico estén definidos por curvas superficiales, como los casos del ejemplo anterior. Las etapas de análisis del fenómeno pasan, primero por la ubicación de la zona donde puede producirse el salto y después por su ubicación específica. Pueden enunciarse estas etapas así: 1º. Estudio y perfeccionamiento de las hipótesis del perfil del agua a partir de las secciones de control establecidas para el régimen subcrítico y supercrítico. 2º. Establecimiento de las zonas de dualidad. Se refiere a los tramos del canal en que pudiera haber régimen subcrítico y supercrítico. 478

Hidráulica de las Conducciones Libres

3º.

4º.

Cálculo de las conjugadas y la longitud del salto que corresponde a uno de los regímenes en las zonas de dualidad. Ubicación definitiva del salto hidráulico.

Una explicación detallada puede ser más comprensible a partir de un caso de estudio. Caso de estudio. Sea el perfil de un canal de sección prismática, figura 7.12, donde existen dos tramos con pendientes de fondo diferentes, una mayor que la crítica y la otra menor.

FIGURA 7.12 PERFIL DEL CASO DE ESTUDIO.

Si la profundidad crítica (yC) está definida para el gasto de circulación y el segundo tramo entrega a un depósito u otro canal que tiene un nivel de agua definido por CE, entonces pueden ubicarse dos secciones de control: una a la entrada del canal de pendiente supercrítica y otra a la salida (en la entrega) del canal con pendiente subcrítica. Esta última sección de control puede tener cinco alternativas: 1º. Que CE coincida con la cota del agua del régimen crítico (CE = Cc) 2º. Que CE esté por debajo de la cota del agua del régimen crítico (CE < Cc) 3º. Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen crítico pero por debajo de la del régimen uniforme (CE > Cc ; CE < CN)

El régimen permanente y variado

479

4º. 5º.

Que CE coincida con la cota del agua del régimen uniforme (CE = CN) Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen uniforme (CE > CN).

En las tres primeras alternativas se produce una curva de caída S2 que tiende hacia la profundidad normal, figura 7.12b.

FIGURA 7.12b PRIMERAS ALTERNATIVAS EN FUNCION DE LOS POSIBLES VALORES DE CE

En la cuarta alternativa, no se produce curva superficial y el régimen será aparentemente uniforme en todo el tramo, figura 7.12b. En la quinta y última alternativa se produce una curva de remanso, S1, que tiende hacia la profundidad normal , figura 7.12b. Cada una de las cinco alternativas, definen una profundidad en la unión de los tramos de pendientes supercrítica y subcrítica y crean una sección de control condicionada, ya que la variación de CE y las características del perfil del flujo en el tramo hacen que la profundidad en esta sección varíe también. En cualquiera de los casos la profundidad será subcrítica y por tanto la sección de control condicionada, también lo será. Esta sección de control genera perfiles de flujo subcríticos en el tramo de pendiente supercrítica que en todos los casos tenderán hacia la profundidad crítica como límite inferior. Siempre que la longitud del tramo supercrítico sea suficientemente larga, estos 480

Hidráulica de las Conducciones Libres

últimos perfiles encontrarán la yC antes de que termine el tramo, figura 7.12 c. Por su parte, a partir de la sección de control del canal con pendiente supercrítica se establecen los posibles perfiles de flujo: F2 para el tramo de pendiente supercrítica y S3 para el tramo de pendiente subcrítica, si la F2 no encuentran a la profundidad normal (su límite inferior) antes de que termine el tramo, o sea, que la longitud de la F2 sea superior a la longitud del tramo, figura 7.12d.

FIGURA 7.12c ALTERNATIVAS DE LAS CURVAS SUPERFICIALES A PARTIR DE LA SECCION DE CONTROL AUTONOMA DEL FINAL DEL CANAL.

Concluido este análisis se tienen las hipótesis de los perfiles del flujo a partir de la variabilidad de CE y las zonas de dualidad supercrítica-subcrítica, o sea, las zonas en que el perfil del agua es supercrítico a partir del análisis desde una sección de control y subcrítico a partir de analizar desde la otra sección de control.

El régimen permanente y variado

481

FIGURA 7.12d TOTAL DE ALTERNATIVAS A PARTIR DE LAS DOS SECCIONES DE CONTROL AUTONOMAS Y DE LAS SECCIONES DE CONTROL CONDICIONADAS.

En esa zona de dualidad se producirá un salto hidráulico y el próximo paso será el cálculo y ubicación del mismo. Concéntrece la atención en una de las posibles hipótesis del perfil del flujo, figura 7.13, en la cual la zona de dualidad está definida en el tramo de canal de pendiente subcrítica. Antes de llegar a esta conclusión se analizó la conjugada de la profundidad definida por la F2 en el cambio de pendiente (supercrítica) con la profundidad definida por la S2 en una sección aguas abajo a una distancia igual a la longitud del salto (subcrítica), ver capítulo 3, epígrafe 3.4.3, y se llegó a definir que el salto hidráulico se producía aguas abajo del cambio de pendiente.

FIGURA 7.13 ZONA DE DUALIDAD EN EL TRAMO SUBCRÍTICO.

Para esta situación se tienen en la zona de dualidad dos curvas superficiales: una S2 provocada por la sección de control 482

Hidráulica de las Conducciones Libres

subcrítica y una S3 provocada por la sección de control supercrítica. Si la curva S3 se subdivide en intervalos de igual ∆x y se calculan las profundidades en cada sección (y iS3 ) entonces a cada una de estas profundidades supercríticas le corresponderán una profundidad conjugada (y iS3,CONJUGADA ) y si entre dos de esas profundidades ocurriera un salto hidráulico este tendría una longitud definida (LiSH ) . Con estos elementos se puede trazar la curva de las conjugadas de S3, figura 7.13b. Nótese que el punto de corte entre la curva de las conjugadas de S3 y la curva superficial S2 definiría la sección final del salto buscado y por tanto quedará también definida la conjugada subcrítica con lo cual queda definida la conjugada supercrítica, la longitud del salto y los tramos de curvas superficiales S3 y S2 válidos, figura 7.13c.

FIGURA 7.13b ANALISIS DE LA UBICACIÓN

El régimen permanente y variado

483

FIGURA 7.13c SOLUCION FINAL

7.3.5

Canal no prismático.

FIGURA 7.14 ESQUEMA DE UN PERFIL PARA UNA CONDUCCION NO PRISMATICA. Tomada del Ven te Chow (1959)

En los canales no prismáticos artificiales o en ríos u otras conducciones libres naturales, la forma y dimensiones de la sección y la pendiente pueden estar variando continuamente. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 7.14. 484

Hidráulica de las Conducciones Libres

El análisis del perfil del flujo en estos casos debe ir acompañado de su cálculo ya que se debe tener un dato exacto de cómo varía, de una sección a otra, la profundidad respecto a la crítica. En el tránsito de subcrítico a supercrítico, o de supercrítico a subcrítico, se aconseja emplear la ecuación de conservación del momentum para definir los niveles. En general en canales no prismáticos, la definición del perfil del flujo debe seguir el siguiente análisis: Cálculo de las profundidades críticas. Cálculo de las profundidades de acuerdo al principio de conservación de la energía y sus alternativas correspondientes Definir el posible perfil del flujo. Calcular los cambios de supercrítico a subcrítico empleando la ecuación de conservación del momentum. En la sección dedicada al cálculo se estudiarán los métodos para enfrentar este problema en detalle. 7.4 Cálculo del perfil del flujo en canales prismáticos.

El cálculo del régimen permanente y gradualmente variado está basado en la solución de su ecuación diferencial o de su ecuación elemental. El principal objetivo de ese cálculo es determinar cuantitativamente la forma del perfil del agua, que es la llamada curva superficial. De forma general, los métodos de cálculo pueden agruparse de acuerdo con la ecuación que utilicen para la solución del problema. Por esta razón, los métodos que se tratarán en este capítulo se dividen en dos grupos, los que se basan en la ecuación diferencial del régimen permanente gradualmente variado y los que se basan en la ecuación elemental del propio régimen. Estos métodos serán ejemplificados con las soluciones particulares que mayores ventajas presenten. El régimen permanente y variado

485

7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales.

Como se plantea al inicio del capítulo, los métodos de cálculo del perfil de agua en canales con régimen permanente y gradualmente variado se subdividen en dos grandes grupos. Dentro de cada grupo la solución de la incógnita principal, varia de acuerdo con la metodología de cálculo empleada. En general, los problemas de cálculo de curvas superficiales que más frecuentemente se presentan son los siguientes: Calcular en qué secciones, a lo largo del canal, se producen las profundidades reales de circulación, previamente establecidas a partir de una sección de control, figura. 7.15. Calcular las profundidades reales de circulación en secciones previamente fijadas a lo largo del canal, a partir de la sección de control, figura. 7.16.

FIGURA 7.15 ESQUEMA DE CALCULO DE LA POSICIÓN DE CADA SECCION A PARTIR DE TENER DEFINIDAS LAS PROFUNDIDADES QUE SE DESEAN UBICAR.

486

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.16 ESQUEMA DE CALCULO PARA DEFINIR LA PROFUNDIDAD EN UNA POSICION DADA.

Calcular la profundidad real de circulación en la sección inicial o final de la curva, a partir de la profundidad real del perfil del flujo en una sección intermedia de la curva, figura. 7.17. La solución de uno u otro caso se realiza empleando, dentro de cada método, el procedimiento que más se adecue al objetivo. Cada metodología en particular podrá aplicarse solo a canales prismáticos y no a canales prismáticos y no prismáticos indistintamente, de acuerdo con la organización de la secuencia de cálculo; de esta forma, se tiene que:

FIGURA 7.17 ESQUEMA DE CALCULO PARA DETERMINAR LA SECCION FINAL O INICIAL

El régimen permanente y variado

487

1º.

2º.

Si el cálculo se realiza a partir de la definición de las profundidades reales del flujo, conocidas previamente las profundidades inicial y final de la curva superficial, el objetivo está encaminado a determinar a qué distancia de la sección de control se produce cada una de estas profundidades. Esta secuencia presupone que todas las secciones transversales del canal sean iguales (canal prismático), y por tanto, solo es aplicable en estas condiciones, figura 7.15. Si, por el contrario, el cálculo se realiza después de haber fijado en qué secciones del canal se quiere conocer la profundidad real de circulación, el objetivo de cálculo será determinar la profundidad real en estas secciones. Esta secuencia parte del conocimiento previo de la forma geométrica de cada sección transversal, por lo cual las metodologías que se basen en este principio podrán utilizarse indistintamente en canales prismáticos y no prismáticos, figuras 7.15 y 7.17.

Se presentan dos problemas al definir cuantitativamente el perfil del flujo: a) determinar la x para una y dada. b) determinar la y para una x dada. Esto se resuelve con una sola ecuación: la de energía, en cualquiera de sus formas. La ubicación del comienzo del eje x, para la ubicación de cada sección de cálculo de la curva, debe estar en la sección de control. Esta sección está definida por la presencia de la yC, alguna obra en particular, entrada o salida de flujo en la mayoría de los casos. En ella debe conocerse sin dudas la profundidad real del flujo. Habrán SC que tengan autonomía y otras que dependerán de las profundidades con la cual termine el cálculo del tramo de canal aguas arriba o agua abajo. La dirección de cálculo a partir del control será aquella en la que el control opere. 488

Hidráulica de las Conducciones Libres

El cálculo en canales prismáticos tiene muchas alternativas. Estos canales tienen como condición previa, para el tramo de cálculo: So, n, Q, sección y dimensiones constantes. Todos los métodos que se presentan son válidos para los dos esquemas de cálculo presentados en las figuras 7.16 y 7.17, en unos casos el cálculo se produce empleando la ecuación correspondiente y en todos los casos iterando con ella. A continuación diferentes alternativas de cálculo. 7.4.1.1 Ecuación elemental. A. Charnomskif, 1914.

Presentada y empleada por numerosos autores esta ecuación tiene que ser empleada con muchas cifras significativas, sobre todo en el cálculo de Se para obtener buenos resultados.El error se pone en función de ∆X cuando el proceso es iterativo, o sea cuando se tiene ∆X y una de las profundidades como dato. ∆X =

E 2 − E1 So − S2

---------------------------------------------------------

7.10 B. French, 1986. dE n2∇ 2 = So − Se = So − 4 dX R3

------------------------------------------

7.11 y en diferencias finitas, 2  ∆ y + v  2g ∆E n2 v 2 = = So − 4 / 3 ∆X ∆X R

------------------------------------

7.12 todas las variables excepto ∆X son funciones de y, por lo que, seleccionando valores de y y calculando v , R se soluciona el valor correspondiente de y, o sea,

El régimen permanente y variado

489

2  ∆ y + v 2g  --------------------------------------------- 7.13 ∆X =  n2 v 2  S o −  4 / 3  R  medio

[

]

como ∆E y ∆ y + v 2 / 2g son valores pequeños, se utiliza la ecuación E = y + v 2 / 2g en diferencias finitas según

(

∆E = ∆y 1 − NF 2

)

m

entonces: ∆E =

(

)

∆y 1 − NF 2  ∇2  S o −  n 2 4   R 3  medio

---------

7.14 En ambos casos al aproximarse S e → S o la diferencia se hace muy pequeña, pero esto no es grave desde el punto de vista práctico, ya que ese acercamiento asintótico no es interesante. En el método planteado por French se detectaron respecto al primero, diferencias de la X de 37,5% a 11,1% en secciones próximas a yc y de 1,08% en secciones cercanas a yn. Estos métodos son buenos en canales artificiales para predecir ∆x para una y dada, pero se hace engorroso para predecir y para un ∆x dado ya que debe solucionarse por aproximaciones sucesivas. En ambos casos el uso de valores medios implica imprecisión por lo cual deben emplearse pequeños valores de ∆x. 7.4.1.2 Integración directa.

Este método esta basado en la ecuación diferencial del RPGV. Para su desarrollo se parte de la ecuación del número de Froude, NF 2 =

αQ 2 T gA 3

, además se puede definir que,

g A3 que para NF= 1 puede escribirse como Q = Z c Tα α donde Zc es el factor de sección para régimen crítico. Q= g

490

Hidráulica de las Conducciones Libres

De esta forma puede escribirse Z c

A3 = T

Q g/ α

, para NF = 1 ó

Z = A 3 / T , para cualquier valor de y, Z2 entonces NF 2 = c2 ----------------------------------------------Z

7.15

También puede representarse So y Se así: So =

Q2

;

K n2

Se =

Q2 K2

2 1 Q A nR n3 = 1 , evaluada para yn, n S2 2 1 K = AR 3 , evaluada para cualquier y, entonces la n

donde K n =

ecuación diferencial puede ser escrita así:  K  2  1 −  n K   dy   ----------------------------------------------- 7.16 = So     Z 2  dx 1 −  c Z      

esta ecuación pude ser resuelta por integración directa siempre que Kn

K

y

Zc

Z

se pongan en función de y.

Para canales prismáticos, Q , entonces: Z 2 = Cy M Z=A D= g siendo C un coeficiente y M el exponente hidráulico para régimen crítico, entonces para calcular M se tiene que, 2 ln Z = C + M ln y d (ln Z ) = M dy 2y

por otra parte como, Z =

A3 T El régimen permanente y variado

491

d (ln Z ) = 3 T - 1 dT dy 2 A 2T dy

combinando ambas ecuaciones y despejando M M=

y A dT   3T −  ------------------------------------------------- 7.17 A T dy 

para una geometría dada, M puede calcularse para cada y. Así por ejemplo para la rectangular, M

=

by  y  (0) = 3 (constante)  3b − by  b 

M

=

 y  my 2  3(2my ) − (2m) = 6my − my = 5 (constante) 2  2my my my  

En análisis similar se puede asumir que K =

Q S

=

AR n

2

3

, entonces

K2 = C1yN, donde C1 es una constante y N el exponente hidráulico

para régimen uniforme. De forma semejante se llega empleando Manning a que, N=

2y  dP   5T − 2R  ------------------------------------------------ 7.18 3A  dy 

y evaluada para secciones rectangulares muy anchas y triangulares, N =

16 10 , mientras que N = . 3 3

En el resto N y M son funciones de y, tabla 7.2 Secc

Rect.

492

M

3

Hidráulica de las Conducciones Libres

N (según Manning) y  10 8  b  − 3 3 1 + 2y   b  

2   y    y  y   y  y 3 1 + 2m  − 2m  1 + m   8  1 + 2m 2   b   10 1 + 2m b   b  b Trap.     b −   y   y       y   y 1 + 2m  1 + m  3 1 + m  3 1 + 2  1 + m 2   b   b   b b          

Triang.

16 3

5

TABLA 7.2 . VALORES DE N Y M.

Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación diferencial se tiene que,   y N  1−  n y   dy   , si se hace u = y/y queda, = So   n   y M  dx c 1 −  y       M N−M  y  1  yc  u + dx = n 1 −    du ------------------------ 7.19 S o  1 − u N  y N  1 − u N 

Si se asume que se dividirá el canal en tramos pequeños y que N y M son constantes en estos tramos entonces la ecuación puede integrarse y queda, X=

yn  u − So  

donde la

u

∫

u

o

y  du +  c  N 1− u  yn 

du

∫ 1− u o

N

M

∫

u

o

 uN−M  + C ------------------ 7.20 du 1 − uN  

F = (u, N) ----------------------------------------- 7.21

es conocida como la función del régimen variado de Bakhmeteff. La segunda integral puede ser expresada como otra función del régimen variado, así Chow (1959) propone, n/J v=u donde J = N/(N-M+1) y entonces, u

u N −M

∫ 1− u o

N

du =

J N

v

∫ 1− v o

dv

J

=

J F(v, J) ------------------------------ 7.22 N El régimen permanente y variado

493

con estas definiciones se obtiene yn  Jy u − F(u, N) + +  c So  N  yn 

X=

M    F(v, J) + C ------------------------7.23   

La constante de integración C se elimina si se aplica entre dos estaciones surge la ecuación 7.24, L = X 2 − X1 = Α[(u 2 − u1 ) − [F(u 2 , N) − F(u1, N)] + Β[F(v 2 , J) − F(v 1, J)] ]

donde Α =

M yn J y y Β =  c  ⋅ y M, J, N son valores medios y So N n 

en el tramo. Tablas para calcular F(u,N) y F(v,J), existen ya preparadas (Chow, 1959 ; French, 1986). Para el cálculo con computadoras digitales la F(u,N) se puede expresar como una serie infinita, u < 1, ecuación 7.25:

1.

∫

U

0

du 1− u

N

= u+

1 1 1 u N +1 + u 2 N + 1 + ... + u (P − 1 )N + 1 + R N+1 2N + 1 (P − 1)N + 1

donde R es el resto e igual a, Resto < Si Si 2.

u PN+1  1    PN + 1  1 − u N 

la serie converge rápidamente la serie diverge mientras menor u la serie converge más rápido. u > 1, ecuación 7.26:

U

u < 0,7 u=1

du

∫ 1− u 0

N

=

1 1 1 + + ... + + Resto N−1 2N−1 (N − 1)u (2N − 1)u (PN − 1)uPN−1

donde, Resto < Si Si 494

u >1,5

u=1

1

(PN + 1)PN−1

uN uN−1

la serie converge rápidamente la serie diverge mientras menor u la serie converge más rápido.

Hidráulica de las Conducciones Libres

Debe notarse que se puede integrar exactamente en el caso especial que N=M=3 es decir, canal rectangular ancho y K expresada según Chezy. En ese caso, 1 x= So

  y    c − y y  n 1−    yn  

  

3

   φ --------------------------------------- 7.27    

donde,  u 2 + u + 1  3  1 1  + C -------- 7.28 − log tg -1   3 2   6 1− u 3  (u − 1)   2u + 1  que es la conocida como función de Bresse, donde C es la constante φ=

du

∫

=

de integración. Para  yc   yn

objetivos

computacionales

es

conveniente

expresar,

3

 C2So  = ------------------------------------------------------- 7.29 g 

La desventaja de este método es que tampoco puede predecir fácilmente la y para una distancia dada. •

Caso de la sección circular.

En canales de sección circular o en canales que tienen cambios abruptos en la sección no es válida la suposición de dividir el canal en muchas etapas de cálculo, para garantizar que N y M no varíen entre el comienzo y final de la etapa. En canales con cierre gradual de la sección, tal como los circulares, la integración propuesta por Kiefer y Chu (1955) es como sigue. Sea Qo el gasto de un conducto circular de diámetro do cuando y = do y Se = So, entonces, Qo = K o So

para régimen uniforme en ese conducto con gasto Q Q = K n So

entonces, El régimen permanente y variado

495

 Kn   K

2

K    =  n    Ko 

2

Ko   K

2

 Q     =    Qo 

2

Ko   K

  

2

como, 2

2

 y   Q   y   y  K Ko K   f1   , donde: f1   = 0 = f   ⇒   =  K K   do   Q o   do   d0  K     T 2 2 2 d o  αQ 2  y αQ T αQ   Zc  de igual forma,   = = 5 f 2  = 5  3  gA 3 do do  Z   do    g A     d o2  

  

sustituyendo en la ecuación diferencial queda,   Q2   y   f   1 −  α d 5o  2  d o    y d o   dx = d 2   d o So  y      1 −  Q Q  f1  d   o o    

  -------------------------- 7.30 

donde,  y f 2   do

  T  =    do

  

3     g A 2   --------------------------------------- 7.31   d 0  

e integrando queda la ecuación 7.32:   d x= o  So   

∫

d y   do 

y / d0

2

 f y  1 −  Q  1   Q o   do 

o

−

αQ d 5o

2

∫

o

y / d0

 f 2  y d y    do   do   +C 2     y  Q 1−   f1    Q o   do  

las integrales pueden evaluarse con métodos numéricos y f1  y  , f 2  y  evaluarse numéricamente. C desaparece al  do   do  evaluar ∆x. ∆X = (X 2 − X1 ) = A [(χ 2 − χ 1 ) − B(Γ2 − Γ1 )] ------------------------ 7.33

donde, A=

496

do So

;

B=

αQ 2 d 5o

;

Hidráulica de las Conducciones Libres

χ=−

∫

y

d y   do 

do

2

1 −  Q  f1  y   Q o   do 

o

y Γ=−

∫

y

do

o

f 2  y d y   do   do  2

1 −  Q  f1  y   Q o   do 

Los valores de χ y Γ se tabulan para comodidad en los cálculos. 7.4.1.3

Solución de Valle Cuéllar (1994).

Lo propone para calcular y dada ∆x a partir de la ecuación diferencial solucionada con el método de Runge-Kutta-Simpson de 4to. Grado.     dy S o − S e nQ   = = So  1/ 3  5 dx 1 − NF 2     A i 2   Pi   K + 2(K 2 + K 3 ) + K 4 ∆y = 1 6

2

 1 − πQ  gA i3 

  ----------------- 7.39  

donde: K 1 = ∆x

dy dx

K 4 = ∆x

K 2 = ∆x yi

dy dx (yi +K 3 )

dy dx (y i +K1 / 2 )

K 3 = ∆x

dy dx ( y i +K 2 / 2 )

y i+1 = y i + ∆y

siendo yi+1 es la profundidad a una distancia de ∆x. 7.5 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos.

Los canales no prismáticos presentan una problemática especial para el cálculo del perfil del flujo. En el caso más general la sección transversal y la cota de fondo cambian a cada paso presentando un primer problema: la discretización de esa superficie continua. El régimen permanente y variado

497

Evidentemente cuanto más cortos sean los subintervalos en que se divida el tramo de cálculo, más cercano se estará de la

representación fiel del continuo, pero mayor será el volumen de cálculo. Por esta razón, en estas conducciones, este primer problema debe resolverse para cada caso en particular, dándole peso a ambos elementos. El segundo problema que es común en una conducción no prismática es que no hay una continuidad lógica del perfil del agua. Esto es que puede existir un subtramo en régimen supercrítico, uno a continuación con un salto hidráulico y seguidamente otro con régimen subcrítico, o cualquier otra combinación. FIGURA 7.18 CAMBIO DE GEOMETRIA Y DIMENSIONES

Esto se debe a que tanto la pendiente de los subtramos como la sección puede variar para que el flujo pase en ella de un régimen a otro. En canales no prismáticos, los métodos deben siempre partir del cálculo de y a una determinada distancia donde se tienen definidas las geometría y dimensiones de la sección. 7.5.1

Estimación de parámetros.

Las secciones no prismáticas pueden presentarse de diversas formas, por ejemplo: 498

Hidráulica de las Conducciones Libres

Las secciones de un ensanchamiento gradual entre un canal de una geometría y dimensiones a otro canal de diferente geometría y/o dimensiones, figura 7.18. Las secciones de un tramo de canal con bermas asimétricas, figura 7.19. Las secciones de un tramo de un río, figura 7.20.

FIGURA 7.19 BERMAS ASIMETRICAS, CON O SIN RUGOSIDADES DIFERENTES.

FIGURA 7.20 SECCION DE UN RIO

En los dos últimos casos lo aconsejable es dividir la sección en subsecciones de acuerdo a otros criterios: que cada subsección tenga la misma n, que cada subsección tenga una geometría fácil de calcular.

El régimen permanente y variado

499

El HEC-RAS recomienda que si el cauce tiene más de un valor de n y la pendiente de los lados es mayor que 5:1, se tiene un valor único de n 7.3.3 Canal prismático con varios cambios de pendiente.

En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varía de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales correspondientes hasta tener un cuadro completo del comportamiento del perfil del flujo. Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de dos tipos: secciones de control autónomas y secciones de control condicionadas. Secciones de control autónomas. Son aquellas que surgen en el primer análisis de las posibles secciones de control del canal, generalmente están asociadas a: Secciones donde se produce la profundidad crítica. Secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de obras hidráulicas. Secciones ubicadas en la entrega a otro canal o a un embalse donde el nivel de agua en la entrega está fijo. Secciones de control condicionadas. Son aquellas que se ubican, por lo general, en cambios de pendiente o de sección y su profundidad está condicionada a aquella que produzca la curva superficial que llega a ella. Las secciones de control también pueden clasificarse según su posición relativa a la curva superficial que controlan. De esta forma se encuentran dos alternativas: 500

Hidráulica de las Conducciones Libres

Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual o menor que la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede “ahogarse”. Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcrítica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de una caída o la provocada por algún elemento como puede ser una obra asociada al canal). Hasta el momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. De ahí que se establezca que: El análisis cualitativo debe incluir todas las posibles hipótesis que puedan presentarse en el canal analizado. La tesis final, del grupo de hipótesis establecidas, se obtiene mediante el cálculo del perfil real del flujo, para la base de datos definida específicamente para el caso.

El régimen permanente y variado

501

FIGURA 7.10 UN EJEMPLO DE CANAL CON VARIOS CAMBIOS DE PENDIENTE.

Véase como ejemplo el canal de la figura 7.10, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica. Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control autónomas (SCa), donde los niveles están ya establecidos o bien pueden conocerse o calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida. Identificar y trazar a partir de las SCa, las curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Identificar las secciones de control condicionadas (SCc) y a partir de ellas establecer el trazado de las nuevas curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Analizar los tramos en que existen varias alternativas, o sea, aquellos casos en que hay dualidad, que son casos en que pueden ocurrir saltos hidráulicos. La dualidad se presenta en el tramo donde hay una sección de control que indica hipótesis en zonas subcríticas y otra sección de control que indica, para el mismo tramo, hipótesis en zonas supercríticas.

502

Hidráulica de las Conducciones Libres

En el ejemplo de la figura 7.10, las secciones de control autónomas están en: c. En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente supercrítica y por tanto y = yc. d. A la entrada de compuerta, donde la profundidad del agua es tal que asegura bajo dicha compuerta la circulación del caudal Q de diseño, esta profundidad puede calcularse a partir de la ecuación de gasto bajo una compuerta: Q = C Q A 2g∆h

donde, es el coeficiente de gasto, es el área de la abertura inferior, es la diferencia en cotas del nivel del agua aguas arriba y aguas debajo de la compuerta. A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje “ahogada”). En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad crítica, por cuanto se presenta una caída libre. CQ A ∆h

e.

f.

Una vez fijadas las secciones de control se pueden determinar las curvas superficiales que ocurren, figura 7.11: 9º. Aguas arriba de la sección A, se desarrolla una H2;

El régimen permanente y variado

503

FIGURA 7.11 HIPOTESIS DEL EJEMPLO.

10º.

11º.

12º.

504

Aguas abajo la sección A, tiene lugar una F2, que iniciándose en la yc se desarrolla en forma decreciente y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva define la profundidad de una sección de control condicionada; Al definirse la profundidad en B, por la curva F2 y surgir una sección de control condicionada, esta define una nueva curva superficial en el tramo B-compuerta. Esta curva S3, nace en la sección B y se desarrolla hasta alcanzar la profundidad crítica (su límite superior). Aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de la carga aguas arriba de la compuerta, se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva también define la profundidad de una sección de control condicionada, surgiendo una dualidad en esa sección y en todo el tramo que recorre la S3, ya que en esa zona el régimen puede ser supercrítico (dado por la S3) o subcrítico (dado por la S1). La solución de esta dualidad es un salto hidráulico, que pudiera comenzar en alguna sección de la S3 y alargarse hasta alguna sección, aguas abajo, correspondiente a la S1. Hidráulica de las Conducciones Libres

13º.

Al llegar la S1 a la sección B, con un valor igual, o superior a la yn, se crea una nueva sección de control condicionada (esta vez por la S1), lo que implica que su continuidad hacia aguas arriba se produce a través de una F1 que terminará al encontrar la yC de ese tramo, creando una zona de dualidad entre la F2 y la F1 que tendrá su solución si ocurre un salto hidráulico entre secciones de esas dos curvas. Debe destacarse que ocurrirá el posible salto o entre la F2 y la F1 o entre la S3 y la S1, de esta manera se podrá tener una de estas tres alternativas: F2 ➙ SH ➙ F1 ➙ S1 F2 ➙ SH ➙ S1 F2 ➙ S3 ➙ SH ➙ S1

14º.

15º.

16º.

Aguas abajo de la compuerta, a partir de la vena contraida de la salida, aparece una S3, que, comenzando con un valor menor a la abertura de compuerta, se desarrolla en dirección aguas abajo aproximándose a la profundidad crítica, asintóticamente a una perpendicular a una línea imaginaria que siendo paralela al fondo dista de él el valor de yC. Si esta última S3 llega a la sección C sin haber alcanzado su límite superior, se generará en el canal de pendiente adversa una curva del tipo A3. Esta curva tiene dos posibilidades: terminar y alcanzar su límite superior antes de que se termine el canal o llegar a la sección D sin haber alcanzado la yC. Si esto último ocurre entonces el régimen supercrítico generado a la salida de la compuerta, tiene una gran energía, es capaz de “barrer” el régimen subcrítico que pudiera producirse a partir de la sección de control en las inmediaciones de D y la solución de estos dos tramos de canal sería: S3 ➙ A3 Ahora, si la S3 alcanza en su tramo la yC, o si la A3 alcanza su límite antes de terminar físicamente el canal, entonces a partir de las inmediaciones de D (aguas arriba y a una distancia de aproximadamente 3yC) comienza una curva del El régimen permanente y variado

505

tipo A2 que se prolongará hasta el final del tramo ya que no tiene límite superior, continuando en el tramo C-compuerta con una curva superficial S1 (como la de la figura) si el final de la A2 es por encima de la yn del tramo, o una curva S2 si el final de la A2 esta entre la yC y la yn del tramo. En cualquier caso se produce una zona de dualidad que puede prolongarse desde la salida de la compuerta hasta muy cerca de la sección D, cuya solución final será mediante un salto hidráulico que solucionará la dualidad de regímenes y unirá el tramo de curva superficial supercrítica con el correspondiente tramo subcrítico. Así se podrán tener como posibles soluciones: SH ➙ S1 ➙ A2 SH ➙ S2 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ S1 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ S2 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ A2 S3 ➙ A3 ➙ SH ➙ A2

Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control condicionada para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas. 7.3.5

Canal prismático en cambio de régimen.

En el caso de canales prismáticos bajo condiciones específicas de operación ocurren cambios bruscos de régimen de circulación de subcrítico a supercrítico y viceversa. 506

Hidráulica de las Conducciones Libres

Si el régimen cambia de subcrítico o supercrítico ocurre: o una caída hidráulica, o una caída libre y en ambos casos las soluciones están definidas por: las curvas superficiales que se producen la información empírica que abarca los casos específicos. Pero, si el régimen cambia de supercrítico a subcrítico entonces el cambio es mediante un salto hidráulico y el proceso de búsqueda de las secciones afectadas se realizará utilizando la ecuación de momentum. En el capítulo 3 se analizó esta situación poniendo como premisa que tanto el régimen subcrítico como supercrítico fuesen uniformes, aquí se analizará la ocurrencia de este fenómeno local en el caso en que tanto el régimen subcrítico como el supercrítico estén definidos por curvas superficiales, como los casos del ejemplo anterior. Las etapas de análisis del fenómeno pasan, primero por la ubicación de la zona donde puede producirse el salto y después por su ubicación específica. Pueden enunciarse estas etapas así: 5º. Estudio y perfeccionamiento de las hipótesis del perfil del agua a partir de las secciones de control establecidas para el régimen subcrítico y supercrítico. 6º. Establecimiento de las zonas de dualidad. Se refiere a los tramos del canal en que pudiera haber régimen subcrítico y supercrítico. 7º. Cálculo de las conjugadas y la longitud del salto que corresponde a uno de los regímenes en las zonas de dualidad. 8º. Ubicación definitiva del salto hidráulico. Una explicación detallada puede ser más comprensible a partir de un caso de estudio. Caso de estudio.

El régimen permanente y variado

507

Sea el perfil de un canal de sección prismática, figura 7.12, donde existen dos tramos con pendientes de fondo diferentes, una mayor que la crítica y la otra menor.

FIGURA 7.12 PERFIL DEL CASO DE ESTUDIO.

Si la profundidad crítica (yC) está definida para el gasto de circulación y el segundo tramo entrega a un depósito u otro canal que tiene un nivel de agua definido por CE, entonces pueden ubicarse dos secciones de control: una a la entrada del canal de pendiente supercrítica y otra a la salida (en la entrega) del canal con pendiente subcrítica. Esta última sección de control puede tener cinco alternativas: 6º. Que CE coincida con la cota del agua del régimen crítico (CE = Cc) 7º. Que CE esté por debajo de la cota del agua del régimen crítico (CE < Cc) 8º. Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen crítico pero por debajo de la del régimen uniforme (CE > Cc 9º. 10º.

; CE < CN) Que CE coincida

con la cota del agua del régimen uniforme (CE = CN) Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen uniforme (CE > CN).

En las tres primeras alternativas se produce una curva de caída S2 que tiende hacia la profundidad normal, figura 7.12b.

508

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.12b PRIMERAS ALTERNATIVAS EN FUNCION DE LOS POSIBLES VALORES DE CE

En la cuarta alternativa, no se produce curva superficial y el régimen será aparentemente uniforme en todo el tramo, figura 7.12b. En la quinta y última alternativa se produce una curva de remanso, S1, que tiende hacia la profundidad normal , figura 7.12b. Cada una de las cinco alternativas, definen una profundidad en la unión de los tramos de pendientes supercrítica y subcrítica y crean una sección de control condicionada, ya que la variación de CE y las características del perfil del flujo en el tramo hacen que la profundidad en esta sección varíe también. En cualquiera de los casos la profundidad será subcrítica y por tanto la sección de control condicionada, también lo será. Esta sección de control genera perfiles de flujo subcríticos en el tramo de pendiente supercrítica que en todos los casos tenderán hacia la profundidad crítica como límite inferior. Siempre que la longitud del tramo supercrítico sea suficientemente larga, estos últimos perfiles encontrarán la yC antes de que termine el tramo, figura 7.12 c. Por su parte, a partir de la sección de control del canal con pendiente supercrítica se establecen los posibles perfiles de flujo: F2 para el tramo de pendiente supercrítica y S3 para el tramo de pendiente subcrítica, si la F2 no encuentran a la profundidad El régimen permanente y variado

509

normal (su límite inferior) antes de que termine el tramo, o sea, que la longitud de la F2 sea superior a la longitud del tramo, figura 7.12d.

FIGURA 7.12c ALTERNATIVAS DE LAS CURVAS SUPERFICIALES A PARTIR DE LA SECCION DE CONTROL AUTONOMA DEL FINAL DEL CANAL.

Concluido este análisis se tienen las hipótesis de los perfiles del flujo a partir de la variabilidad de CE y las zonas de dualidad supercrítica-subcrítica, o sea, las zonas en que el perfil del agua es supercrítico a partir del análisis desde una sección de control y subcrítico a partir de analizar desde la otra sección de control.

FIGURA 7.12d TOTAL DE ALTERNATIVAS A PARTIR DE LAS DOS SECCIONES DE CONTROL AUTONOMAS Y DE LAS SECCIONES DE CONTROL CONDICIONADAS.

En esa zona de dualidad se producirá un salto hidráulico y el próximo paso será el cálculo y ubicación del mismo.

510

Hidráulica de las Conducciones Libres

Concéntrece la atención en una de las posibles hipótesis del perfil del flujo, figura 7.13, en la cual la zona de dualidad está definida en el tramo de canal de pendiente subcrítica. Antes de llegar a esta conclusión se analizó la conjugada de la profundidad definida por la F2 en el cambio de pendiente (supercrítica) con la profundidad definida por la S2 en una sección aguas abajo a una distancia igual a la longitud del salto (subcrítica), ver capítulo 3, epígrafe 3.4.3, y se llegó a definir que el salto hidráulico se producía aguas abajo del cambio de pendiente.

FIGURA 7.13 ZONA DE DUALIDAD EN EL TRAMO SUBCRÍTICO.

Para esta situación se tienen en la zona de dualidad dos curvas superficiales: una S2 provocada por la sección de control subcrítica y una S3 provocada por la sección de control supercrítica. Si la curva S3 se subdivide en intervalos de igual ∆x y se calculan las profundidades en cada sección (y iS3 ) entonces a cada una de estas profundidades supercríticas le corresponderán una profundidad conjugada (y iS3,CONJUGADA ) y si entre dos de esas profundidades ocurriera un salto hidráulico este tendría una longitud definida (LiSH ) . Con estos elementos se puede trazar la curva de las conjugadas de S3, figura 7.13b. Nótese que el punto de corte entre la curva de las conjugadas de S3 y la curva superficial S2 definiría la sección El régimen permanente y variado

511

final del salto buscado y por tanto quedará también definida la conjugada subcrítica con lo cual queda definida la conjugada supercrítica, la longitud del salto y los tramos de curvas superficiales S3 y S2 válidos, figura 7.13c.

FIGURA 7.13b ANALISIS DE LA UBICACIÓN

FIGURA 7.13c SOLUCION FINAL

7.3.5

Canal no prismático.

En los canales no prismáticos artificiales o en ríos u otras conducciones libres naturales, la forma y dimensiones de la sección y la pendiente pueden estar variando continuamente. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 7.14. El análisis del perfil del flujo en estos casos debe ir acompañado de su cálculo ya que se debe tener un dato exacto de cómo varía, de una sección a otra, la profundidad respecto a la crítica. En el tránsito de subcrítico a supercrítico, o de supercrítico a subcrítico, 512

Hidráulica de las Conducciones Libres

se aconseja emplear la ecuación de conservación del momentum para definir los niveles. En general en canales no prismáticos, la definición del perfil del flujo debe seguir el siguiente análisis: Cálculo de las profundidades críticas. Cálculo de las profundidades de acuerdo al principio de conservación de la energía y sus alternativas correspondientes

Definir el posible perfil del flujo. Calcular los cambios de supercrítico a subcrítico empleando la ecuación de conservación del momentum. FIGURA 7.14 ESQUEMA DE UN PERFIL PARA UNA CONDUCCION NO PRISMATICA. Tomada del Ven te Chow (1959)

En la sección dedicada al cálculo se estudiarán los métodos para enfrentar este problema en detalle. El régimen permanente y variado

513

7.4 Cálculo del perfil del flujo en canales prismáticos.

El cálculo del régimen permanente y gradualmente variado está basado en la solución de su ecuación diferencial o de su ecuación elemental. El principal objetivo de ese cálculo es determinar cuantitativamente la forma del perfil del agua, que es la llamada curva superficial. De forma general, los métodos de cálculo pueden agruparse de acuerdo con la ecuación que utilicen para la solución del problema. Por esta razón, los métodos que se tratarán en este capítulo se dividen en dos grupos, los que se basan en la ecuación diferencial del régimen permanente gradualmente variado y los que se basan en la ecuación elemental del propio régimen. Estos métodos serán ejemplificados con las soluciones particulares que mayores ventajas presenten. 7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales.

Como se plantea al inicio del capítulo, los métodos de cálculo del perfil de agua en canales con régimen permanente y gradualmente variado se subdividen en dos grandes grupos. Dentro de cada grupo la solución de la incógnita principal, varia de acuerdo con la metodología de cálculo empleada. En general, los problemas de cálculo de curvas superficiales que más frecuentemente se presentan son los siguientes: Calcular en qué secciones, a lo largo del canal, se producen las profundidades reales de circulación, previamente establecidas a partir de una sección de control, figura. 7.15. Calcular las profundidades reales de circulación en secciones previamente fijadas a lo largo del canal, a partir de la sección de control, figura. 7.16. 514

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.15 ESQUEMA DE CALCULO DE LA POSICIÓN DE CADA SECCION A PARTIR DE TENER DEFINIDAS LAS PROFUNDIDADES QUE SE DESEAN UBICAR.

FIGURA 7.16 ESQUEMA DE CALCULO PARA DEFINIR LA PROFUNDIDAD EN UNA POSICION DADA.

Calcular la profundidad real de circulación en la sección inicial o final de la curva, a partir de la profundidad real del perfil del flujo en una sección intermedia de la curva, figura. 7.17. La solución de uno u otro caso se realiza empleando, dentro de cada método, el procedimiento que más se adecue al objetivo. Cada metodología en particular podrá aplicarse solo a canales prismáticos y no a canales prismáticos y no prismáticos indistintamente, de acuerdo con la organización de la secuencia de cálculo; de esta forma, se tiene que:

El régimen permanente y variado

515

FIGURA 7.17 ESQUEMA DE CALCULO PARA DETERMINAR LA SECCION FINAL O INICIAL

3º.

4º.

Si el cálculo se realiza a partir de la definición de las profundidades reales del flujo, conocidas previamente las profundidades inicial y final de la curva superficial, el objetivo está encaminado a determinar a qué distancia de la sección de control se produce cada una de estas profundidades. Esta secuencia presupone que todas las secciones transversales del canal sean iguales (canal prismático), y por tanto, solo es aplicable en estas condiciones, figura 7.15. Si, por el contrario, el cálculo se realiza después de haber fijado en qué secciones del canal se quiere conocer la profundidad real de circulación, el objetivo de cálculo será determinar la profundidad real en estas secciones. Esta secuencia parte del conocimiento previo de la forma geométrica de cada sección transversal, por lo cual las metodologías que se basen en este principio podrán utilizarse indistintamente en canales prismáticos y no prismáticos, figuras 7.15 y 7.17.

Se presentan dos problemas al definir cuantitativamente el perfil del flujo: c) determinar la x para una y dada. d) determinar la y para una x dada.

516

Hidráulica de las Conducciones Libres

Esto se resuelve con una sola ecuación: la de energía, en cualquiera de sus formas. La ubicación del comienzo del eje x, para la ubicación de cada sección de cálculo de la curva, debe estar en la sección de control. Esta sección está definida por la presencia de la yC, alguna obra en particular, entrada o salida de flujo en la mayoría de los casos. En ella debe conocerse sin dudas la profundidad real del flujo. Habrán SC que tengan autonomía y otras que dependerán de las profundidades con la cual termine el cálculo del tramo de canal aguas arriba o agua abajo. La dirección de cálculo a partir del control será aquella en la que el control opere. El cálculo en canales prismáticos tiene muchas alternativas. Estos canales tienen como condición previa, para el tramo de cálculo: So, n, Q, sección y dimensiones constantes. Todos los métodos que se presentan son válidos para los dos esquemas de cálculo presentados en las figuras 7.16 y 7.17, en unos casos el cálculo se produce empleando la ecuación correspondiente y en todos los casos iterando con ella. A continuación diferentes alternativas de cálculo. 7.4.1.2 Ecuación elemental. C. Charnomskif, 1914.

Presentada y empleada por numerosos autores esta ecuación tiene que ser empleada con muchas cifras significativas, sobre todo en el cálculo de Se para obtener buenos resultados.El error se pone en función de ∆X cuando el proceso es iterativo, o sea cuando se tiene ∆X y una de las profundidades como dato. ∆X =

E 2 − E1 So − S2

---------------------------------------------------------

7.10 D. French, 1986. El régimen permanente y variado

517

dE n2∇ 2 = So − Se = So − 4 dX R3

------------------------------------------

7.11 y en diferencias finitas, 2  ∆ y + v 2g  n2 v 2 ∆E  = So − 4 / 3 = ∆X ∆X R

------------------------------------

7.12 todas las variables excepto ∆X son funciones de y, por lo que, seleccionando valores de y y calculando v , R se soluciona el valor correspondiente de y, o sea, 2  ∆ y + v  2g ∆X =  n2 v 2  S o −  4 / 3  R  medio

-----------------------------------------------

7.13 como ∆E y ∆ y + v 2 / 2g son valores pequeños, se utiliza la ecuación E = y + v 2 / 2g en diferencias finitas según

[

(

∆E = ∆y 1 − NF 2

]

)

m

entonces: ∆E =

(

)

∆y 1 − NF 2  ∇2  S o −  n 2 4   R 3  medio

---------

7.14 En ambos casos al aproximarse S e → S o la diferencia se hace muy pequeña, pero esto no es grave desde el punto de vista práctico, ya que ese acercamiento asintótico no es interesante. En el método planteado por French se detectaron respecto al primero, diferencias de la X de 37,5% a 11,1% en secciones próximas a yc y de 1,08% en secciones cercanas a yn. Estos métodos son buenos en canales artificiales para predecir ∆x para una y dada, pero se hace engorroso para predecir y para un ∆x dado ya que debe solucionarse por aproximaciones sucesivas. En 518

Hidráulica de las Conducciones Libres

ambos casos el uso de valores medios implica imprecisión por lo cual deben emplearse pequeños valores de ∆x. 7.4.1.2 Integración directa.

Este método esta basado en la ecuación diferencial del RPGV. Para su desarrollo se parte de la ecuación del número de Froude, NF 2 =

αQ 2 T gA 3

, además se puede definir que,

g A3 que para NF= 1 puede escribirse como Q = Z c Tα α donde Zc es el factor de sección para régimen crítico. Q= g

De esta forma puede escribirse Z c

A3 = T

Q g/ α

, para NF = 1 ó

Z = A 3 / T , para cualquier valor de y, Z2 entonces NF 2 = c2 ------------------------------------------------Z

7.15 También puede representarse So y Se así: So =

Q2 K n2

;

Se =

Q2 K2

2 Q 1 A nR n3 = 1 , evaluada para yn, n S2 2 1 K = AR 3 , evaluada para cualquier y, entonces la n

donde K n =

ecuación diferencial puede ser escrita así:  K  2  1 −  n K   dy   = So     Z 2  dx 1 −  c Z      

-------------------------------------------------

7.16

El régimen permanente y variado

519

esta ecuación pude ser resuelta por integración directa siempre que Kn

y

K

Zc

Z

se pongan en función de y.

Para canales prismáticos, Q , entonces: Z 2 = Cy M Z=A D= g siendo C un coeficiente y M el exponente hidráulico para régimen crítico, entonces para calcular M se tiene que, 2 ln Z = C + M ln y d (ln Z ) = M 2y dy

por otra parte como, Z =

A3 T

d (ln Z ) = 3 T - 1 dT 2 A 2T dy dy

combinando ambas ecuaciones y despejando M M=

y A dT   3T −  ------------------------------------------------- 7.17 T dy  A

para una geometría dada, M puede calcularse para cada y. Así por ejemplo para la rectangular, M

=

by  y  (0) = 3 (constante)  3b − by  b 

M

=

 my 2 y   3(2my ) − (2m) = 6my − my = 5 (constante) 2  2my my my  

En análisis similar se puede asumir que K =

Q S

=

AR n

2

3

, entonces

K2 = C1yN, donde C1 es una constante y N el exponente hidráulico

para régimen uniforme. De forma semejante se llega empleando Manning a que, 520

Hidráulica de las Conducciones Libres

N=

2y  dP   5T − 2R  dy  3A 

-------------------------------------------------

7.18 y evaluada para secciones rectangulares muy anchas y triangulares, N =

16 10 , mientras que N = . 3 3

En el resto N y M son funciones de y, tabla 7.2 Secc

Rect.

M

3

N (según Manning) y  10 8  b  − 3 3 1 + 2y   b  

2  y  y   y     y  y 3 1 + 2m  − 2m  1 + m   8  1 + 2m 2  b b  b   10 1 + 2m      Trap.    b  b −   y    y      y   y 1 + 2m  1 + m  3 1 + m  3 1 + 2  1 + m 2   b    b       b  b

Triang.

5

16 3

TABLA 7.2 . VALORES DE N Y M.

Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación diferencial se tiene que,   y N  1−  n y   dy   , si se hace u = y/y queda, = So   n   y M  dx c 1 −  y       M N−M  y  1  u  yc dx = n 1 − +   du ------------------------ S o  1 − u N  y N  1 − u N 

7.19 El régimen permanente y variado

521

Si se asume que se dividirá el canal en tramos pequeños y que N y M son constantes en estos tramos entonces la ecuación puede integrarse y queda, y  X = n u − So  

∫

u

o

y  du +  c  N 1− u  yn 

M

∫

u

o

 uN−M +C du 1 − uN  

------------------

7.20 u

du

∫ 1− u

donde la

o

N

F = (u, N)

------------------------------------------

7.21 es conocida como la función del régimen variado de Bakhmeteff. La segunda integral puede ser expresada como otra función del régimen variado, así Chow (1959) propone, n/J v=u donde J = N/(N-M+1) y entonces, u

u N −M

∫ 1− u o

N

du =

J N

v

∫ 1− v o

dv

J

=

J F(v, J) N

-------------------------------

7.22 con estas definiciones se obtiene y X= n So

 Jy u − F(u, N) + +  c N  yn  

M    F(v, J) + C   

-------------------------

7.23 La constante de integración C se elimina si se aplica entre dos estaciones surge la ecuación 7.24, L = X 2 − X1 = Α[(u 2 − u1 ) − [F(u 2 , N) − F(u1, N)] + Β[F(v 2 , J) − F(v 1, J)] ]

donde Α =

M yn J y y Β =  c  ⋅ y M, J, N son valores medios y So N n 

en el tramo. Tablas para calcular F(u,N) y F(v,J), existen ya preparadas (Chow, 1959 ; French, 1986). 522

Hidráulica de las Conducciones Libres

Para el cálculo con computadoras digitales la F(u,N) se puede expresar como una serie infinita, u < 1, ecuación 7.25:

2.

∫

U

0

du 1 − uN

1 1 1 u N +1 + u 2 N + 1 + ... + u (P − 1 )N + 1 + R N+1 2N + 1 (P − 1)N + 1

= u+

donde R es el resto e igual a, Resto
1, ecuación 7.26:

Si Si

u < 0,7 u=1

3.

∫

U

0

u PN+1  1    PN + 1  1 − u N 

1 du 1 1 = + + ... + + Resto N N−1 2N−1 (N − 1)u (2N − 1)u (PN − 1)uPN−1 1− u

donde, Resto < Si Si

u >1,5

u=1

1

(PN + 1)PN−1

uN uN−1

la serie converge rápidamente la serie diverge mientras menor u la serie converge más rápido.

Debe notarse que se puede integrar exactamente en el caso especial que N=M=3 es decir, canal rectangular ancho y K expresada según Chezy. En ese caso, 1 x= So

  y  c y − y n 1 −  y     n

  

3

   φ    

----------------------------------------

7.27 donde,  u 2 + u + 1  3  du 1 1  + C -------- 7.28 log tg -1  − =  3 2   6 1− u 3  2u + 1   (u − 1)  que es la conocida como función de Bresse, donde C es la constante φ=

∫

de integración.

El régimen permanente y variado

523

Para

objetivos 3

 C So  = g 

 yc   yn

computacionales

es

conveniente

expresar,

2

---------------------------------------------------------

7.29 La desventaja de este método es que tampoco puede predecir fácilmente la y para una distancia dada. •

Caso de la sección circular.

En canales de sección circular o en canales que tienen cambios abruptos en la sección no es válida la suposición de dividir el canal en muchas etapas de cálculo, para garantizar que N y M no varíen entre el comienzo y final de la etapa. En canales con cierre gradual de la sección, tal como los circulares, la integración propuesta por Kiefer y Chu (1955) es como sigue. Sea Qo el gasto de un conducto circular de diámetro do cuando y = do y Se = So, entonces, Qo = K o So

para régimen uniforme en ese conducto con gasto Q Q = K n So

entonces,  Kn   K

2

K   =  n   Ko

  

2

Ko   K

2

 Q   =    Qo

  

2

2

2

Ko   K

  

2

como,  y Ko = f  K  do

  Q K   ⇒   =  K    Qo

  y  f1    do

  y  K  , donde: f1   = 0   d0  K     T 2 d o  αQ 2  y αQ 2 T αQ 2   Zc  = 5  = 5 f 2  de igual forma,   = 3  gA 3 do do  Z   do    g A   2    d o  

sustituyendo en la ecuación diferencial queda, 524

Hidráulica de las Conducciones Libres

  

  Q2   y   f   1 −  α d 5o  2  d o    y d o   d dx = 2   d o So  y      1 −  Q Q  f1  d   o o    

  -------------------------- 7.30 

donde,  y f 2   do

  T  =    do

  

3     g A 2     d 0  

---------------------------------------

7.31 e integrando queda la ecuación 7.32:   do  x= So   

∫

d y   do 

y / d0

2

 f y  1 −  Q  1   Q o   do 

o

−

αQ 2 d 5o

∫

y / d0

o

 f 2  y d y   d d o  o   +C 2     y  Q 1−   f1    Q o   do  

las integrales pueden evaluarse con métodos numéricos y f1  y  , f 2  y  evaluarse numéricamente. C desaparece al  do   do  evaluar ∆x. ∆X = (X 2 − X1 ) = A [(χ 2 − χ 1 ) − B(Γ2 − Γ1 )] ------------------------ 7.33

donde, A=

do So

χ=−

∫

o

; y

do

B=

αQ 2 d 5o

;

d y   do  2

1 −  Q  f1  y   Q o   do 

y Γ=−

∫

y

do

o

f 2  y d y   do   do  2

1 −  Q  f1  y   Q o   do 

Los valores de χ y Γ se tabulan para comodidad en los cálculos. 7.4.1.4

Solución de Valle Cuéllar (1994).

El régimen permanente y variado

525

Lo propone para calcular y dada ∆x a partir de la ecuación diferencial solucionada con el método de Runge-Kutta-Simpson de 4to. Grado.     dy S o − S e nQ   = = So  1/ 3  5 dx 1 − NF 2     A i    Pi2  

7.39 ∆y =

2

 1 − πQ  gA i3 

   

-----------------

K 1 + 2(K 2 + K 3 ) + K 4 6

donde: K 1 = ∆x

dy dx

K 4 = ∆x

K 2 = ∆x yi

dy dx (yi +K 3 )

dy dx (y i +K1 / 2 )

K 3 = ∆x

dy dx ( y i +K 2 / 2 )

y i+1 = y i + ∆y

siendo yi+1 es la profundidad a una distancia de ∆x. 7.6 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos.

Los canales no prismáticos presentan una problemática especial para el cálculo del perfil del flujo. En el caso más general la sección transversal y la cota de fondo cambian a cada paso presentando un primer problema: la discretización de esa superficie continua. Evidentemente cuanto más cortos sean los subintervalos en que se divida el tramo de cálculo, más cercano se estará de la representación fiel del continuo, pero mayor será el volumen de cálculo. Por esta razón, en estas conducciones, este primer problema debe resolverse para cada caso en particular, dándole peso a ambos elementos. El segundo problema que es común en una conducción no prismática es que no hay una continuidad lógica del perfil del 526 Hidráulica de las Conducciones Libres

agua. Esto es que puede existir un subtramo en régimen supercrítico, uno a continuación con un salto hidráulico y seguidamente otro con régimen subcrítico, o cualquier otra

combinación. FIGURA 7.18 CAMBIO DE GEOMETRIA Y DIMENSIONES

Esto se debe a que tanto la pendiente de los subtramos como la sección puede variar para que el flujo pase en ella de un régimen a otro. En canales no prismáticos, los métodos deben siempre partir del cálculo de y a una determinada distancia donde se tienen definidas las geometría y dimensiones de la sección. 7.6.1

Estimación de parámetros.

Las secciones no prismáticas pueden presentarse de diversas formas, por ejemplo: Las secciones de un ensanchamiento gradual entre un canal de una geometría y dimensiones a otro canal de diferente geometría y/o dimensiones, figura 7.18. Las secciones de un tramo de canal con bermas asimétricas, figura 7.19. Las secciones de un tramo de un río, figura 7.20.

El régimen permanente y variado

527

FIGURA 7.19 BERMAS ASIMETRICAS, CON O SIN RUGOSIDADES DIFERENTES.

FIGURA 7.20 SECCION DE UN RIO

En los dos últimos casos lo aconsejable es dividir la sección en subsecciones de acuerdo a otros criterios: que cada subsección tenga la misma n, que cada subsección tenga una geometría fácil de calcular. El HEC-RAS recomienda que si el cauce tiene más de un valor de n y la pendiente de los lados es mayor que 5:1, se tiene un valor único de n 7.3.3 Canal prismático con varios cambios de pendiente.

En este caso, como el canal es prismático, la profundidad crítica se mantiene constante en todo su trazado, no así la profundidad normal, cuyo valor varía de tramo en tramo según varíe la pendiente del fondo. A partir de las diferentes secciones de control, se pueden trazar las diferentes curvas superficiales 528

Hidráulica de las Conducciones Libres

correspondientes hasta tener un comportamiento del perfil del flujo.

cuadro

completo

del

Las secciones de control, o condiciones de borde, a partir de las cuales se inicia el trazado de cada curva, pueden ser de dos tipos: secciones de control autónomas y secciones de control condicionadas. Secciones de control autónomas. Son aquellas que surgen en el primer análisis de las posibles secciones de control del canal, generalmente están asociadas a: Secciones donde se produce la profundidad crítica. Secciones inmediatamente aguas arriba y aguas abajo de obras hidráulicas. Secciones ubicadas en la entrega a otro canal o a un embalse donde el nivel de agua en la entrega está fijo. Secciones de control condicionadas. Son aquellas que se ubican, por lo general, en cambios de pendiente o de sección y su profundidad está condicionada a aquella que produzca la curva superficial que llega a ella. Las secciones de control también pueden clasificarse según su posición relativa a la curva superficial que controlan. De esta forma se encuentran dos alternativas: Sección de control aguas arriba. En los tramos de pendiente supercrítica la sección de control suele estar aguas arriba del tramo, pues ahí el tirante es igual o menor que la profundidad crítica; aunque si el nivel de aguas abajo es muy alto (producto de otra sección de control) o el tramo es muy corto, esta sección puede “ahogarse”. Sección de control aguas abajo. En tramos largos con pendiente subcrítica el tirante se aproxima, en dirección aguas arriba, de forma asintótica a la yn y, por tanto, no es posible ubicar la El régimen permanente y variado

529

sección de control aguas arriba, sino aguas abajo, donde debe buscarse una condición de borde apropiada (que puede ser la profundidad crítica en caso de una caída o la provocada por algún elemento como puede ser una obra asociada al canal). Hasta el momento, el estudio de las curvas superficiales ha sido solo cualitativo, de modo que es posible que una misma situación presente soluciones alternativas, que no pueden precisarse hasta que no se realice un estudio cuantitativo del problema. De ahí que se establezca que: El análisis cualitativo debe incluir todas las posibles hipótesis que puedan presentarse en el canal analizado. La tesis final, del grupo de hipótesis establecidas, se obtiene mediante el cálculo del perfil real del flujo, para la base de datos definida específicamente para el caso.

FIGURA 7.10 UN EJEMPLO DE CANAL CON VARIOS CAMBIOS DE PENDIENTE.

Véase como ejemplo el canal de la figura 7.10, donde se señalan las profundidades normales de cada tramo (cuando existen) y la profundidad crítica. Para el trazado del perfil del agua se tienen en cuenta los siguientes aspectos: Determinar las secciones de control autónomas (SCa), donde los niveles están ya establecidos o bien pueden conocerse o 530

Hidráulica de las Conducciones Libres

calcularse directamente y su posición planimétrica está bien definida. Identificar y trazar a partir de las SCa, las curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Identificar las secciones de control condicionadas (SCc) y a partir de ellas establecer el trazado de las nuevas curvas superficiales que se originan aguas abajo o aguas arriba, o en ambas direcciones cuando es posible. Analizar los tramos en que existen varias alternativas, o sea, aquellos casos en que hay dualidad, que son casos en que pueden ocurrir saltos hidráulicos. La dualidad se presenta en el tramo donde hay una sección de control que indica hipótesis en zonas subcríticas y otra sección de control que indica, para el mismo tramo, hipótesis en zonas supercríticas. En el ejemplo de la figura 7.10, las secciones de control autónomas están en: e. En la sección A, que es el inicio de un tramo con pendiente supercrítica y por tanto y = yc. f. A la entrada de compuerta, donde la profundidad del agua es tal que asegura bajo dicha compuerta la circulación del caudal Q de diseño, esta profundidad puede calcularse a partir de la ecuación de gasto bajo una compuerta: Q = C Q A 2g∆h

donde, es el coeficiente de gasto, es el área de la abertura inferior, es la diferencia en cotas del nivel del agua aguas arriba y aguas debajo de la compuerta. A la salida de la compuerta, donde el tirante está dado por la abertura de compuerta (esto es válido siempre que la compuerta no trabaje “ahogada”). En la vecindad de la sección D, donde la profundidad de circulación coincide con la profundidad crítica, por cuanto se presenta una caída libre. CQ A ∆h

g.

h.

El régimen permanente y variado

531

Una vez fijadas las secciones de control se pueden determinar las curvas superficiales que ocurren, figura 7.11: 17º. Aguas arriba de la sección A, se desarrolla una H2;

FIGURA 7.11 HIPOTESIS DEL EJEMPLO.

18º.

19º.

20º.

532

Aguas abajo la sección A, tiene lugar una F2, que iniciándose en la yc se desarrolla en forma decreciente y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva define la profundidad de una sección de control condicionada; Al definirse la profundidad en B, por la curva F2 y surgir una sección de control condicionada, esta define una nueva curva superficial en el tramo B-compuerta. Esta curva S3, nace en la sección B y se desarrolla hasta alcanzar la profundidad crítica (su límite superior). Aguas arriba de la sección de la compuerta ocurre una S1, que iniciándose en el valor calculado de la carga aguas arriba de la compuerta, se desarrolla en dirección aguas arriba y tiende asintóticamente a la yn de este tramo, al llegar a la sección B esta curva también define la profundidad de una sección de control condicionada, surgiendo una dualidad en esa sección y en todo el tramo que recorre la S3, ya que en esa zona el régimen puede ser Hidráulica de las Conducciones Libres

21º.

supercrítico (dado por la S3) o subcrítico (dado por la S1). La solución de esta dualidad es un salto hidráulico, que pudiera comenzar en alguna sección de la S3 y alargarse hasta alguna sección, aguas abajo, correspondiente a la S1. Al llegar la S1 a la sección B, con un valor igual, o superior a la yn, se crea una nueva sección de control condicionada (esta vez por la S1), lo que implica que su continuidad hacia aguas arriba se produce a través de una F1 que terminará al encontrar la yC de ese tramo, creando una zona de dualidad entre la F2 y la F1 que tendrá su solución si ocurre un salto hidráulico entre secciones de esas dos curvas. Debe destacarse que ocurrirá el posible salto o entre la F2 y la F1 o entre la S3 y la S1, de esta manera se podrá tener una de estas tres alternativas: F2 ➙ SH ➙ F1 ➙ S1 F2 ➙ SH ➙ S1 F2 ➙ S3 ➙ SH ➙ S1

22º.

23º.

Aguas abajo de la compuerta, a partir de la vena contraida de la salida, aparece una S3, que, comenzando con un valor menor a la abertura de compuerta, se desarrolla en dirección aguas abajo aproximándose a la profundidad crítica, asintóticamente a una perpendicular a una línea imaginaria que siendo paralela al fondo dista de él el valor de yC. Si esta última S3 llega a la sección C sin haber alcanzado su límite superior, se generará en el canal de pendiente adversa una curva del tipo A3. Esta curva tiene dos posibilidades: terminar y alcanzar su límite superior antes de que se termine el canal o llegar a la sección D sin haber alcanzado la yC. Si esto último ocurre entonces el régimen supercrítico generado a la salida de la compuerta, tiene una gran energía, es capaz de “barrer” el régimen subcrítico que pudiera producirse a partir de la sección de control en las inmediaciones de D y la solución de estos dos tramos de canal sería: S3 ➙ A3 El régimen permanente y variado

533

24º.

Ahora, si la S3 alcanza en su tramo la yC, o si la A3 alcanza su límite antes de terminar físicamente el canal, entonces a partir de las inmediaciones de D (aguas arriba y a una distancia de aproximadamente 3yC) comienza una curva del tipo A2 que se prolongará hasta el final del tramo ya que no tiene límite superior, continuando en el tramo C-compuerta con una curva superficial S1 (como la de la figura) si el final de la A2 es por encima de la yn del tramo, o una curva S2 si el final de la A2 esta entre la yC y la yn del tramo. En cualquier caso se produce una zona de dualidad que puede prolongarse desde la salida de la compuerta hasta muy cerca de la sección D, cuya solución final será mediante un salto hidráulico que solucionará la dualidad de regímenes y unirá el tramo de curva superficial supercrítica con el correspondiente tramo subcrítico. Así se podrán tener como posibles soluciones: SH ➙ S1 ➙ A2 SH ➙ S2 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ S1 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ S2 ➙ A2 S3 ➙ SH ➙ A2 S3 ➙ A3 ➙ SH ➙ A2

Obsérvese que hay casos de curvas, como por ejemplo la A3 indicada en el tramo de pendiente adversa, que aparece al prolongarse la S3 del tramo anterior. Una vez concluido el trazado de la S3 desde la compuerta hasta la sección C, si la curva no concluye en ese tramo, el tirante alcanzado en C sirve como sección de control condicionada para el trazado de la A3 en cuestión. La misma explicación es válida para la curva F1 del tramo AB y la curva S3 del tramo BC, en las cuales la condición no está dada directamente, sino que aparece una vez trazada otra curva superficial, cuyo final sirve de condición de borde para dichas curvas. 7.3.6

534

Canal prismático en cambio de régimen. Hidráulica de las Conducciones Libres

En el caso de canales prismáticos bajo condiciones específicas de operación ocurren cambios bruscos de régimen de circulación de subcrítico a supercrítico y viceversa. Si el régimen cambia de subcrítico o supercrítico ocurre: o una caída hidráulica, o una caída libre y en ambos casos las soluciones están definidas por: las curvas superficiales que se producen la información empírica que abarca los casos específicos. Pero, si el régimen cambia de supercrítico a subcrítico entonces el cambio es mediante un salto hidráulico y el proceso de búsqueda de las secciones afectadas se realizará utilizando la ecuación de momentum. En el capítulo 3 se analizó esta situación poniendo como premisa que tanto el régimen subcrítico como supercrítico fuesen uniformes, aquí se analizará la ocurrencia de este fenómeno local en el caso en que tanto el régimen subcrítico como el supercrítico estén definidos por curvas superficiales, como los casos del ejemplo anterior. Las etapas de análisis del fenómeno pasan, primero por la ubicación de la zona donde puede producirse el salto y después por su ubicación específica. Pueden enunciarse estas etapas así: 9º. Estudio y perfeccionamiento de las hipótesis del perfil del agua a partir de las secciones de control establecidas para el régimen subcrítico y supercrítico. 10º. Establecimiento de las zonas de dualidad. Se refiere a los tramos del canal en que pudiera haber régimen subcrítico y supercrítico. 11º. Cálculo de las conjugadas y la longitud del salto que corresponde a uno de los regímenes en las zonas de dualidad. 12º. Ubicación definitiva del salto hidráulico. Una explicación detallada puede ser más comprensible a partir de un caso de estudio. El régimen permanente y variado

535

Caso de estudio. Sea el perfil de un canal de sección prismática, figura 7.12, donde existen dos tramos con pendientes de fondo diferentes, una mayor que la crítica y la otra menor.

FIGURA 7.12 PERFIL DEL CASO DE ESTUDIO.

Si la profundidad crítica (yC) está definida para el gasto de circulación y el segundo tramo entrega a un depósito u otro canal que tiene un nivel de agua definido por CE, entonces pueden ubicarse dos secciones de control: una a la entrada del canal de pendiente supercrítica y otra a la salida (en la entrega) del canal con pendiente subcrítica. Esta última sección de control puede tener cinco alternativas: 11º. Que CE coincida con la cota del agua del régimen crítico (CE = Cc) 12º. Que CE esté por debajo de la cota del agua del régimen crítico (CE < Cc) 13º. Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen crítico pero por debajo de la del régimen uniforme (CE > Cc 14º. 15º.

; CE < CN) Que CE coincida

con la cota del agua del régimen uniforme (CE = CN) Que CE esté por encima de la cota del agua del régimen uniforme (CE > CN).

En las tres primeras alternativas se produce una curva de caída S2 que tiende hacia la profundidad normal, figura 7.12b. 536

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.12b PRIMERAS ALTERNATIVAS EN FUNCION DE LOS POSIBLES VALORES DE CE

En la cuarta alternativa, no se produce curva superficial y el régimen será aparentemente uniforme en todo el tramo, figura 7.12b. En la quinta y última alternativa se produce una curva de remanso, S1, que tiende hacia la profundidad normal , figura 7.12b. Cada una de las cinco alternativas, definen una profundidad en la unión de los tramos de pendientes supercrítica y subcrítica y crean una sección de control condicionada, ya que la variación de CE y las características del perfil del flujo en el tramo hacen que la profundidad en esta sección varíe también. En cualquiera de los casos la profundidad será subcrítica y por tanto la sección de control condicionada, también lo será. Esta sección de control genera perfiles de flujo subcríticos en el tramo de pendiente supercrítica que en todos los casos tenderán hacia la profundidad crítica como límite inferior. Siempre que la longitud del tramo supercrítico sea suficientemente larga, estos últimos perfiles encontrarán la yC antes de que termine el tramo, figura 7.12 c. Por su parte, a partir de la sección de control del canal con pendiente supercrítica se establecen los posibles perfiles de flujo: F2 para el tramo de pendiente supercrítica y S3 para el tramo de pendiente subcrítica, si la F2 no encuentran a la profundidad El régimen permanente y variado

537

normal (su límite inferior) antes de que termine el tramo, o sea, que la longitud de la F2 sea superior a la longitud del tramo, figura 7.12d.

FIGURA 7.12c ALTERNATIVAS DE LAS CURVAS SUPERFICIALES A PARTIR DE LA SECCION DE CONTROL AUTONOMA DEL FINAL DEL CANAL.

Concluido este análisis se tienen las hipótesis de los perfiles del flujo a partir de la variabilidad de CE y las zonas de dualidad supercrítica-subcrítica, o sea, las zonas en que el perfil del agua es supercrítico a partir del análisis desde una sección de control y subcrítico a partir de analizar desde la otra sección de control.

FIGURA 7.12d TOTAL DE ALTERNATIVAS A PARTIR DE LAS DOS SECCIONES DE CONTROL AUTONOMAS Y DE LAS SECCIONES DE CONTROL CONDICIONADAS.

En esa zona de dualidad se producirá un salto hidráulico y el próximo paso será el cálculo y ubicación del mismo.

538

Hidráulica de las Conducciones Libres

Concéntrece la atención en una de las posibles hipótesis del perfil del flujo, figura 7.13, en la cual la zona de dualidad está definida en el tramo de canal de pendiente subcrítica. Antes de llegar a esta conclusión se analizó la conjugada de la profundidad definida por la F2 en el cambio de pendiente (supercrítica) con la profundidad definida por la S2 en una sección aguas abajo a una distancia igual a la longitud del salto (subcrítica), ver capítulo 3, epígrafe 3.4.3, y se llegó a definir que el salto hidráulico se producía aguas abajo del cambio de pendiente.

FIGURA 7.13 ZONA DE DUALIDAD EN EL TRAMO SUBCRÍTICO.

Para esta situación se tienen en la zona de dualidad dos curvas superficiales: una S2 provocada por la sección de control subcrítica y una S3 provocada por la sección de control supercrítica. Si la curva S3 se subdivide en intervalos de igual ∆x y se calculan las profundidades en cada sección (y iS3 ) entonces a cada una de estas profundidades supercríticas le corresponderán una profundidad conjugada (y iS3,CONJUGADA ) y si entre dos de esas profundidades ocurriera un salto hidráulico este tendría una longitud definida (LiSH ) . Con estos elementos se puede trazar la curva de las conjugadas de S3, figura 7.13b. Nótese que el punto de corte entre la curva de las conjugadas de S3 y la curva superficial S2 definiría la sección El régimen permanente y variado

539

final del salto buscado y por tanto quedará también definida la conjugada subcrítica con lo cual queda definida la conjugada supercrítica, la longitud del salto y los tramos de curvas superficiales S3 y S2 válidos, figura 7.13c.

FIGURA 7.13b ANALISIS DE LA UBICACIÓN

FIGURA 7.13c SOLUCION FINAL

7.3.5

Canal no prismático.

En los canales no prismáticos artificiales o en ríos u otras conducciones libres naturales, la forma y dimensiones de la sección y la pendiente pueden estar variando continuamente. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 7.14. El análisis del perfil del flujo en estos casos debe ir acompañado de su cálculo ya que se debe tener un dato exacto de cómo varía, de una sección a otra, la profundidad respecto a la crítica. En el tránsito de subcrítico a supercrítico, o de supercrítico a subcrítico, 540

Hidráulica de las Conducciones Libres

se aconseja emplear la ecuación de conservación del momentum para definir los niveles. En general en canales no prismáticos, la definición del perfil del flujo debe seguir el siguiente análisis: Cálculo de las profundidades críticas. Cálculo de las profundidades de acuerdo al principio de conservación de la energía y sus alternativas correspondientes

Definir el posible perfil del flujo. Calcular los cambios de supercrítico a subcrítico empleando la ecuación de conservación del momentum. FIGURA 7.14 ESQUEMA DE UN PERFIL PARA UNA CONDUCCION NO PRISMATICA. Tomada del Ven te Chow (1959)

En la sección dedicada al cálculo se estudiarán los métodos para enfrentar este problema en detalle. El régimen permanente y variado

541

7.4 Cálculo del perfil del flujo en canales prismáticos.

El cálculo del régimen permanente y gradualmente variado está basado en la solución de su ecuación diferencial o de su ecuación elemental. El principal objetivo de ese cálculo es determinar cuantitativamente la forma del perfil del agua, que es la llamada curva superficial. De forma general, los métodos de cálculo pueden agruparse de acuerdo con la ecuación que utilicen para la solución del problema. Por esta razón, los métodos que se tratarán en este capítulo se dividen en dos grupos, los que se basan en la ecuación diferencial del régimen permanente gradualmente variado y los que se basan en la ecuación elemental del propio régimen. Estos métodos serán ejemplificados con las soluciones particulares que mayores ventajas presenten. 7.4.1 Diferentes casos de cálculo de curvas superficiales.

Como se plantea al inicio del capítulo, los métodos de cálculo del perfil de agua en canales con régimen permanente y gradualmente variado se subdividen en dos grandes grupos. Dentro de cada grupo la solución de la incógnita principal, varia de acuerdo con la metodología de cálculo empleada. En general, los problemas de cálculo de curvas superficiales que más frecuentemente se presentan son los siguientes: Calcular en qué secciones, a lo largo del canal, se producen las profundidades reales de circulación, previamente establecidas a partir de una sección de control, figura. 7.15. Calcular las profundidades reales de circulación en secciones previamente fijadas a lo largo del canal, a partir de la sección de control, figura. 7.16. 542

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.15 ESQUEMA DE CALCULO DE LA POSICIÓN DE CADA SECCION A PARTIR DE TENER DEFINIDAS LAS PROFUNDIDADES QUE SE DESEAN UBICAR.

FIGURA 7.16 ESQUEMA DE CALCULO PARA DEFINIR LA PROFUNDIDAD EN UNA POSICION DADA.

Calcular la profundidad real de circulación en la sección inicial o final de la curva, a partir de la profundidad real del perfil del flujo en una sección intermedia de la curva, figura. 7.17. La solución de uno u otro caso se realiza empleando, dentro de cada método, el procedimiento que más se adecue al objetivo. Cada metodología en particular podrá aplicarse solo a canales prismáticos y no a canales prismáticos y no prismáticos indistintamente, de acuerdo con la organización de la secuencia de cálculo; de esta forma, se tiene que:

El régimen permanente y variado

543

FIGURA 7.17 ESQUEMA DE CALCULO PARA DETERMINAR LA SECCION FINAL O INICIAL

5º.

6º.

Si el cálculo se realiza a partir de la definición de las profundidades reales del flujo, conocidas previamente las profundidades inicial y final de la curva superficial, el objetivo está encaminado a determinar a qué distancia de la sección de control se produce cada una de estas profundidades. Esta secuencia presupone que todas las secciones transversales del canal sean iguales (canal prismático), y por tanto, solo es aplicable en estas condiciones, figura 7.15. Si, por el contrario, el cálculo se realiza después de haber fijado en qué secciones del canal se quiere conocer la profundidad real de circulación, el objetivo de cálculo será determinar la profundidad real en estas secciones. Esta secuencia parte del conocimiento previo de la forma geométrica de cada sección transversal, por lo cual las metodologías que se basen en este principio podrán utilizarse indistintamente en canales prismáticos y no prismáticos, figuras 7.15 y 7.17.

Se presentan dos problemas al definir cuantitativamente el perfil del flujo: e) determinar la x para una y dada. f) determinar la y para una x dada.

544

Hidráulica de las Conducciones Libres

Esto se resuelve con una sola ecuación: la de energía, en cualquiera de sus formas. La ubicación del comienzo del eje x, para la ubicación de cada sección de cálculo de la curva, debe estar en la sección de control. Esta sección está definida por la presencia de la yC, alguna obra en particular, entrada o salida de flujo en la mayoría de los casos. En ella debe conocerse sin dudas la profundidad real del flujo. Habrán SC que tengan autonomía y otras que dependerán de las profundidades con la cual termine el cálculo del tramo de canal aguas arriba o agua abajo. La dirección de cálculo a partir del control será aquella en la que el control opere. El cálculo en canales prismáticos tiene muchas alternativas. Estos canales tienen como condición previa, para el tramo de cálculo: So, n, Q, sección y dimensiones constantes. Todos los métodos que se presentan son válidos para los dos esquemas de cálculo presentados en las figuras 7.16 y 7.17, en unos casos el cálculo se produce empleando la ecuación correspondiente y en todos los casos iterando con ella. A continuación diferentes alternativas de cálculo. 7.4.1.3 Ecuación elemental. E. Charnomskif, 1914.

Presentada y empleada por numerosos autores esta ecuación tiene que ser empleada con muchas cifras significativas, sobre todo en el cálculo de Se para obtener buenos resultados.El error se pone en función de ∆X cuando el proceso es iterativo, o sea cuando se tiene ∆X y una de las profundidades como dato. ∆X =

E 2 − E1 --------------------------------------------------------So − S2

7.10 F. French, 1986. El régimen permanente y variado

545

dE n2∇ 2 = S o − S e = S o − 4 ----------------------------------------- 7.11 dX R3

y en diferencias finitas, 2  ∆ y + v 2g  n2 v 2 ∆E = S o − 4 / 3 ----------------------------------- 7.12 = ∆X ∆X R

todas las variables excepto ∆X son funciones de y, por lo que, seleccionando valores de y y calculando v , R se soluciona el valor correspondiente de y, o sea, 2  ∆ y + v  2g --------------------------------------------- 7.13 ∆X =  n2 v 2  S o −  4 / 3  R  medio

[

]

como ∆E y ∆ y + v 2 / 2g son valores pequeños, se utiliza la ecuación E = y + v 2 / 2g en diferencias finitas según

(

∆E = ∆y 1 − NF 2

)

m

entonces: ∆E =

(

)

∆y 1 − NF 2  ∇2  S o −  n 2 4   R 3  medio

---------

7.14 En ambos casos al aproximarse S e → S o la diferencia se hace muy pequeña, pero esto no es grave desde el punto de vista práctico, ya que ese acercamiento asintótico no es interesante. En el método planteado por French se detectaron respecto al primero, diferencias de la X de 37,5% a 11,1% en secciones próximas a yc y de 1,08% en secciones cercanas a yn. Estos métodos son buenos en canales artificiales para predecir ∆x para una y dada, pero se hace engorroso para predecir y para un ∆x dado ya que debe solucionarse por aproximaciones sucesivas. En ambos casos el uso de valores medios implica imprecisión por lo cual deben emplearse pequeños valores de ∆x. 7.4.1.2 Integración directa.

546

Hidráulica de las Conducciones Libres

Este método esta basado en la ecuación diferencial del RPGV. Para su desarrollo se parte de la ecuación del número de Froude, NF 2 =

αQ 2 T gA 3

, además se puede definir que,

g A3 que para NF= 1 puede escribirse como Q = Z c Tα α donde Zc es el factor de sección para régimen crítico. Q= g

De esta forma puede escribirse Z c

A3 = T

Q g/ α

, para NF = 1 ó

Z = A 3 / T , para cualquier valor de y, Z2 entonces NF 2 = c2 -----------------------------------------------Z

7.15

También puede representarse So y Se así: So =

Q2 K n2

;

Se =

Q2 K2

2 Q 1 A nR n3 = 1 , evaluada para yn, n S2 2 1 K = AR 3 , evaluada para cualquier y, entonces la n

donde K n =

ecuación diferencial puede ser escrita así:  K  2  1 −  n K   dy   ----------------------------------------------- 7.16 = So     Z 2  dx 1 −  c Z      

esta ecuación pude ser resuelta por integración directa siempre que Kn

K

y

Zc

Z

se pongan en función de y.

Para canales prismáticos,

El régimen permanente y variado

547

Q , entonces: Z 2 = Cy M g siendo C un coeficiente y M el exponente hidráulico para régimen crítico, entonces para calcular M se tiene que, Z=A D=

2 ln Z = C + M ln y d (ln Z ) = M 2y dy

por otra parte como, Z =

A3 T

d (ln Z ) = 3 T - 1 dT 2 A 2T dy dy

combinando ambas ecuaciones y despejando M y A dT   3T −  ------------------------------------------------- 7.17 T dy  A para una geometría dada, M puede calcularse para cada y. Así por M=

ejemplo para la rectangular, M

=

y  by  (0) = 3 (constante)  3b − by  b 

M

=

 y  my 2  3(2my ) − (2m) = 6my − my = 5 (constante) 2  2my my my  

En análisis similar se puede asumir que K =

Q S

=

AR n

2

3

, entonces

K2 = C1yN, donde C1 es una constante y N el exponente hidráulico

para régimen uniforme. De forma semejante se llega empleando Manning a que, N=

2y  dP   5T − 2R  ------------------------------------------------ 7.18 dy  3A 

y evaluada para secciones rectangulares muy anchas y triangulares, N = 548

16 10 , mientras que N = . 3 3

Hidráulica de las Conducciones Libres

En el resto N y M son funciones de y, tabla 7.2 M

Secc

Rect.

N (según Manning) y  10 8  b  − 3 3 1 + 2y   b  

3

2  y  y   y     y  y 3 1 + 2m  − 2m  1 + m   8  1 + 2m 2  b b  b   10 1 + 2m      Trap.    b  b −   y    y      y   y 1 + 2m  1 + m  3 1 + m  3 1 + 2  1 + m 2   b    b       b  b

Triang.

16 3

5

TABLA 7.2 . VALORES DE N Y M.

Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación diferencial se tiene que,   y N  1−  n y   dy   , si se hace u = y/y queda, = So   n   y M  dx c 1 −  y       M N−M  y  1  u  yc dx = n 1 − +   du ---------------------- 7.19  S o  1 − u N  y N  1 − u N 

Si se asume que se dividirá el canal en tramos pequeños y que N y M son constantes en estos tramos entonces la ecuación puede integrarse y queda, X=

yn  u − So  

∫

u

o

y  du +  c  N 1− u  yn 

M

∫

u

o

 uN−M  + C ------------------ 7.20 du 1 − uN   El régimen permanente y variado

549

donde la

u

du

∫ 1− u o

N

F = (u, N) ----------------------------------------- 7.21

es conocida como la función del régimen variado de Bakhmeteff. La segunda integral puede ser expresada como otra función del régimen variado, así Chow (1959) propone, n/J v=u donde J = N/(N-M+1) y entonces, u

u N −M

∫ 1− u o

N

du =

J N

v

∫ 1− v o

dv

J

=

J F(v, J) ------------------------------ 7.22 N

con estas definiciones se obtiene y X= n So

 Jy u − F(u, N) + +  c N  yn  

M    F(v, J) + C ------------------------7.23   

La constante de integración C se elimina si se aplica entre dos estaciones surge la ecuación 7.24, L = X 2 − X1 = Α[(u 2 − u1 ) − [F(u 2 , N) − F(u1, N)] + Β[F(v 2 , J) − F(v 1, J)] ]

donde Α =

M yn J y y Β =  c  ⋅ y M, J, N son valores medios y So N n 

en el tramo. Tablas para calcular F(u,N) y F(v,J), existen ya preparadas (Chow, 1959 ; French, 1986). Para el cálculo con computadoras digitales la F(u,N) se puede expresar como una serie infinita, u < 1, ecuación 7.25:

3.

∫

U

0

du 1 − uN

= u+

1 1 1 u N +1 + u 2 N + 1 + ... + u (P − 1 )N + 1 + R N+1 2N + 1 (P − 1)N + 1

donde R es el resto e igual a, Resto < Si Si 550

u < 0,7 u=1

u PN+1  1    PN + 1  1 − u N 

la serie converge rápidamente la serie diverge mientras menor u la serie converge más rápido.

Hidráulica de las Conducciones Libres

4.

∫

U

0

u > 1, ecuación 7.26: 1 du 1 1 = + + ... + + Resto N N−1 2N−1 (N − 1)u (2N − 1)u (PN − 1)uPN−1 1− u

donde, Resto < Si Si

u >1,5

u=1

1

(PN + 1)PN−1

uN uN−1

la serie converge rápidamente la serie diverge mientras menor u la serie converge más rápido.

Debe notarse que se puede integrar exactamente en el caso especial que N=M=3 es decir, canal rectangular ancho y K expresada según Chezy. En ese caso, 1 x= So

  y    c y y −  n 1−    yn  

  

3

   φ --------------------------------------- 7.27    

donde,  u 2 + u + 1  3  du 1 1  + C ------- 7.28 = log − tg -1   3 2   6 1− u 3  (u − 1)   2u + 1  que es la conocida como función de Bresse, donde C es la constante φ=

∫

de integración. Para  yc   yn

objetivos

computacionales

es

conveniente

expresar,

3

 C2So  = ------------------------------------------------------- 7.29 g 

La desventaja de este método es que tampoco puede predecir fácilmente la y para una distancia dada. •

Caso de la sección circular.

En canales de sección circular o en canales que tienen cambios abruptos en la sección no es válida la suposición de dividir el canal en muchas etapas de cálculo, para garantizar que N y M no varíen entre el comienzo y final de la etapa. En canales con cierre El régimen permanente y variado

551

gradual de la sección, tal como los circulares, la integración propuesta por Kiefer y Chu (1955) es como sigue. Sea Qo el gasto de un conducto circular de diámetro do cuando y = do y Se = So, entonces, Qo = K o So

para régimen uniforme en ese conducto con gasto Q Q = K n So

entonces, 2

 Kn  Kn   K  =  K    o

  

2

Ko   K

2

 Q   =    Qo

  

2

2

2

Ko   K

  

2

como,  y Ko = f  K  do

  Q K   ⇒   =  K    Qo

  y  f1    do

  y  K  , donde: f1   = 0   d0  K     T 2 d o  αQ 2  y αQ 2 T αQ 2   Zc  = 5 f 2  = 5  de igual forma,   = 3  do gA 3 do  Z   do    g A   2   d o  

  

sustituyendo en la ecuación diferencial queda,   Q2   y   f   1 −  α d 5o  2  d o    y d o   d dx = 2   d o So  y      1 −  Q Q  f1  d   o o    

  -------------------------- 7.30 

donde,  y f 2   do

  T  =    do

  

3     g A 2   --------------------------------------- 7.31   d 0  

e integrando queda la ecuación 7.32:

552

Hidráulica de las Conducciones Libres

  d x= o  So   

∫

d y   do 

y / d0

2

 f y  1 −  Q  1   Q o   do 

o

−

αQ d 5o

2

∫

y / d0

o

 f 2  y d y   d d o  o   +C 2     y  Q 1−   f1    Q o   do  

las integrales pueden evaluarse con métodos numéricos y f1  y  , f 2  y  evaluarse numéricamente. C desaparece al  do   do  evaluar ∆x. ∆X = (X 2 − X1 ) = A [(χ 2 − χ 1 ) − B(Γ2 − Γ1 )] ------------------------ 7.33

donde, A=

do So

χ=−

∫

o

; y

do

B=

αQ 2 d 5o

;

d y   do  2

1 −  Q  f1  y   Q o   do 

y Γ=−

∫

y

do

o

f 2  y d y   do   do  2

1 −  Q  f1  y   Q o   do 

Los valores de χ y Γ se tabulan para comodidad en los cálculos. 7.4.1.5

Solución de Valle Cuéllar (1994).

Lo propone para calcular y dada ∆x a partir de la ecuación diferencial solucionada con el método de Runge-Kutta-Simpson de 4to. Grado.     dy S o − S e nQ   = = So  1/ 3  2 5 dx 1 − NF     A i 2   Pi   K + 2(K 2 + K 3 ) + K 4 ∆y = 1 6

2

 1 − πQ  gA i3 

  ----------------- 7.39  

donde: El régimen permanente y variado

553

K 1 = ∆x

dy dx

K 4 = ∆x

K 2 = ∆x yi

dy dx (yi +K 3 )

dy dx (y i +K1 / 2 )

K 3 = ∆x

dy dx ( y i +K 2 / 2 )

y i+1 = y i + ∆y

siendo yi+1 es la profundidad a una distancia de ∆x. 7.7 Cálculo del perfil de flujo en canales no prismáticos.

Los canales no prismáticos presentan una problemática especial para el cálculo del perfil del flujo. En el caso más general la sección transversal y la cota de fondo cambian a cada paso presentando un primer problema: la discretización de esa superficie continua. Evidentemente cuanto más cortos sean los subintervalos en que se divida el tramo de cálculo, más cercano se estará de la representación fiel del continuo, pero mayor será el volumen de cálculo. Por esta razón, en estas conducciones, este primer problema debe resolverse para cada caso en particular, dándole peso a ambos elementos. El segundo problema que es común en una conducción no prismática es que no hay una continuidad lógica del perfil del agua. Esto es que puede existir un subtramo en régimen supercrítico, uno a continuación con un salto hidráulico y seguidamente otro con régimen subcrítico, o cualquier otra combinación.

554

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.18 CAMBIO DE GEOMETRIA Y DIMENSIONES

Esto se debe a que tanto la pendiente de los subtramos como la sección puede variar para que el flujo pase en ella de un régimen a otro. En canales no prismáticos, los métodos deben siempre partir del cálculo de y a una determinada distancia donde se tienen definidas las geometría y dimensiones de la sección. 7.7.1

Estimación de parámetros.

Las secciones no prismáticas pueden presentarse de diversas formas, por ejemplo: Las secciones de un ensanchamiento gradual entre un canal de una geometría y dimensiones a otro canal de diferente geometría y/o dimensiones, figura 7.18. Las secciones de un tramo de canal con bermas asimétricas, figura 7.19. Las secciones de un tramo de un río, figura 7.20.

El régimen permanente y variado

555

FIGURA 7.19 BERMAS ASIMETRICAS, CON O SIN RUGOSIDADES DIFERENTES.

FIGURA 7.20 SECCION DE UN RIO

En los dos últimos casos lo aconsejable es dividir la sección en subsecciones de acuerdo a otros criterios: que cada subsección tenga la misma n, que cada subsección tenga una geometría fácil de calcular. El HEC-RAS recomienda que si el cauce tiene más de un valor de n y la pendiente de los lados es mayor que 5:1, se tiene un valor único de n que se obtiene empleando la ecuación 4.67. En caso contrario el cauce debe ser subdividido también. Una vez realizadas las subdivisiones los módulos de gasto de cada una de ellas dan los valores de cada margen y del cauce.

556

Hidráulica de las Conducciones Libres

A mi = A md =

m

∑A

, área mojada de la margen izquierda

i

L =1 P

∑A

i

, área mojada de la margen derecha

∑A

i

, área mojada del cauce

L =1 g

A CP =

L =1

K=

m

∑K

i

, módulo de gasto de la margen izquierda

L =1

K md = K c4 =

P

∑K

i

, módulo de gasto de la margen derecha

i

, módulo de gasto del cauce principal o cauce.

L =1 q

∑K L =1

La aplicación de la ecuación de Bernoulli se presenta de la siguiente forma: V12 V22 z1 + y 1 + α1 = z2 + y2 + α2 + hf1−2 + h ce ------------------ 7.40 2g 2g

donde hce son las pérdidas por remolinos y corrientes secundarias por contracciones o expansiones de la sección: h e = K ce ⋅ ∆h v ----------------------------------------------------- 7.41 Para información hay sobre el valor de Kce. El HEC-RAS (1998), aconseja tomar los valores siguiendo la tabla 7.3 En la siguiente tabla la decisión de si la sección entre una contracción o una expansión estarán en dependencia del cambio de la energía cinética. Si aguas abajo la energía cinética es mayor que aguas arriba hay contracción. régimen subcrítico

Cambio de la Sección Gradual Brusca

Valores de Kce Contracción Expansión 0,1 0,3 0,3 0,5 El régimen permanente y variado

557

crítico

Puentes Gradual Brusca

0,6 0,1 0,1

0,8 0,1 0,2

TABLA 7.3 VALORES DE KCE RECOMENDADOS POR HEC-RAS.

Si hf1-2 es la pérdida por fricción e igual a S e ⋅ ∆x entonces la ecuación 7.40 se convierte en H1 = H 2 + Se ∆x + K ce ∆h v ----------------------------------------- 7.42 la ecuación debe solucionarse por tanteo-error para las dos secciones determinadas. La recomendación más común de la literatura especializada es tantear hasta una diferencia entre ambos términos de 0,02 a 0,1%, o sea: H1 = H 2 + hf1−2 + h ce ± de 0,0002H1 a 0,001H1 Parece más lógico para la práctica de la ingeniería confrontar el resultado en función del ∆x impuesto, así quedaría, hf1−2 = H1 − H 2 − h ce , y entonces, ∆x =

(H1 − H2 − h ce ) --------- 7.43 Se

y el cálculo se realiza hasta que el ∆x de cálculo esté en el intervalo de exactitud lineal deseado: ∆ximpuesto ± (%error*∆ximpuesto), o sea ∆x cálculo = ∆x impuesto ± (%e ⋅ ∆x impuesto ) --------------------7.44 Para realizar el tanteo, French recomienda una rutina para estimar el siguiente valor de y2 que es en definitiva el término a tantear. Así, propone: e = (H 2 + hf + he ) − H1 y lograr que e → 0. Despreciando la influencia de he, quedará e = H 2 + hf − H1 , derivando respecto a la única variable (y2) de d = dy 2 dy 2

558

S ∆x S ∆x   v  z 2 + y 2 + α 2 2 + e1 − e 2  , y entonces: 2g 2 2  

Hidráulica de las Conducciones Libres

2   de d (y 2 ) + d  α 2 v  − d = dy 2  2g  dy 2 dy 2 dy 2

 S e 2 ∆x    ,  2 

que

derivando

queda:

3S e 2 ∆x de = 1 − NF22 + , y entonces dy 2 2R 2

∆y 2 =

e  3S ⋅ ∆x   1 − NF22 +  e2  2K 2 

donde: e ∆y2

es el error en tanto por uno del primer tanteo. es la cantidad a la que hay que ajustar y2 para el e ≈ 0.

En la mayoría de los canales naturales la posibilidad de una sección compuesta es grande y debe ser considerada. En esta situación las profundidades en las bermas difieren de la del canal principal y el coeficiente de resistencia es significativamente diferente. El método anterior puede aplicarse en estos casos haciendo ligeras modificaciones. Recordatorio sobre el valor de α. Tradicionalmente (Chow, 1959; Henderson, 1966; HEC-RAS,

∑ = (∑ A ) ∑  Q  1998) α se calcula según: α = v A (∑ Q )  A      A ∑  K  1  como K = AR entonces quedará: α =  ∑  A  n    K  ∑    2

v i3 A i

3 i 2 i

i

3

3

i

2

n

i

2

n

1=1

3

3

n

1=1

3 i 2 i

i

1=1

donde n es el número de subdivisiones. La longitud del tramo en curva. El régimen permanente y variado

559

Cuando el tramo considerado está sobre una curva entonces la longitud del tramo depende de la subsección que se considere. El más simple de los métodos para incluir esto es variar el valor del coeficiente de resistencia. Por ejemplo, si la longitud de la berma (considérese sólo una) es menor que la del canal principal el valor del coeficiente de resistencia se reduce para mantener Se constante en el tramo. En el caso de la n de Manning, Henderson (1966), propone que la n de la berma se reduzca en proporción a la ecuación 7.45,  long. por la berma   Fn =   long. del canal principal 

1/ 2

, o sea nberma en curva = Fn . nberma

El U.S. Army Corps of Engineer (HEC-2, 1979) y Shearman, 1976, calculan el coeficiente de peso de la descarga del tramo según L=

∑L K ∑K i

i

---------------------------------------------------------- 7.46

i

donde Li es el largo de cada subsección por el eje. Si la metodología del Hydrologic Engineering Center (HEC) fuera usada el ∆x se modifica para el cálculo del tramo en curva y aumenta o disminuye su longitud en función de las posiciones y longitudes de las bermas. El modelo HEC-2 recomienda cesar el cálculo cuando la diferencia entre la profundidad asumida en la sección de cálculo y la calculada no difieran de 0,003 m. El cálculo de la hf. El cálculo de las pérdidas de energía se basa en hf = S e ⋅ ∆x . Anteriormente se analizó los valores de ∆x en caso de encontrarse el tramo en curva que es el caso que pudiera traer errores.

560

Hidráulica de las Conducciones Libres

En el caso del cálculo de Se para una sección a partir de las consideraciones iniciales del RPGV se cumple que, Se =

Q2  n   Ki     L =1 

∑

2

-------------------------------------------------------- 7.47

ecuación que se aplicará a las n subdivisiones realizadas en la sección transversal. En el caso del cálculo de la S e el modelo HEC-2 y HEC-RAS proponen en cuatro variantes:  (Q + Q 2 )  Se =  1  (media del Factor de Sección) -------------- (K 1 + K 2 )  2

7.48 S e1 + S e 2 2 S e = S e1 ⋅ S e 2 Se =

Se =

2S e1 ⋅ S e 2 S e1 + S e 2

(media aritmética) ---------------------------- 7.49 (media geométrica) -------------------------- 7.50 (media armónica) ---------------------------- 7.51

El modelo HEC-RAS toma la ecuación 7.48 por defecto. Como recomendación HEC-RAS propone que si el tramo tiene una corta longitud (menor de 160 metros) las ecuaciones proporcionan iguales resultados. Si la longitud es mayor se recomienda emplearlas según aparece en la tabla 7.4. PERFIL

Reed Y Wolkfill

HEC-RAS

S1 (subcrítico)

7.48

7.48

S2 (subcrítico)

7.50

7.50

S3 (supercrítico)

7.51

7.49

FI (subcrítico)

7.50

7.48

F2 (supercrítico)

7.48

7.48

El régimen permanente y variado

561

F3 (supercrítico)

7.49

7.49

RECOMENDACIÓN DEL HEC-RAS.

TABLA 7.4

Reed y Wolkfill (1976) proponen otros cuatro modelos: Se =

Q 2n 2

[2A 1A 2 / (A 1 + A 2 )]2 [(R1 + R e ) / 2]4 / 3

------------------------

7.52 Se = Se = Se =

Q 2n 2

[(A 1 + A 2 ) / 2][(A 1 + A 2 ) / (P1 + P2 )]4 / 3 Q 2n 2

[(A 1 + A 2 ) / 2]2 [(R1 + R 2 ) / 2]4 / 3

[(A R 1

Q 2n 2 2

3

1

2

----------------------- 7.53

------------------------------ 7.54

) ] --------------------------------------------

+ A 2R 23 / 2

7.55 Deben tomarse en consideración las siguientes recomendaciones: - Los datos de la sección transversal deben ser precisos y detallar con fidelidad todos los aspectos geométricos de la misma. - La distancia entre secciones es función del grado de detalle requerido y de los recursos humanos y financieros que se cuenten. Canales con pendiente fuerte y de sección no uniforme requieren distancias de 50-60 metros mientras que canales con pendiente suave y secciones quasi-uniformes admiten hasta 3000 metros entre ellas para curvas de remanso en zona 1. Por otra parte el modelo E431, del U.S. Geological Survey, presenta las siguientes propuestas, Se =

Q2 --------------------------------------------------------- 7.56 K1 + K 2

donde Q es el gasto medio en el tramo. 562

Hidráulica de las Conducciones Libres

Cada una de las soluciones posibles de la ecuación de energía se comprueban calculando NF y comparándolo con el de la sección de origen. El Froude se calcula según la proposición de Shearman (1976), NF =

KM KA M

Q A  g M TM  

donde M designa la subsección con el mayor valor de K. En todos los casos es importante destacar que debe llevarse un control estricto del cálculo en cada sección, acompañado de un análisis de la curva E-y de cada sección, para precisar si se está en la situación correcta, o si, por alguna causa, se cambió el régimen de circulación de un tramo a otro. No debe descartarse que numerosos autores todavía hoy recomiendan los métodos híbridos: numérico-gráficos, para solucionar algunos problemas sin tener que recurrir al tanteo. En casos de régimen subcrítico la sección de control estará aguas abajo y el cálculo se desarrollará hacia aguas arriba mientras que en el régimen supercrítico, los cálculos se desarrollarán, a partir de una sección de control aguas arriba, en dirección aguas abajo. 7.5.2 Algoritmo de cálculo para el perfil del flujo.

Antes de emprender los cálculos se deben hacer un grupo de consideraciones. Como ya se ha dicho en este tipo de conducciones, la rapidez de cambio de la sección y/o el fondo hacen que en un corto tramo exista un cambio de régimen de circulación, acompañado, o no, de la presencia de un salto hidráulico. En estos casos, cuando existan cambios de subcrítico a supercrítico o viceversa, que significa que el régimen sea rápidamente variado, la ecuación a emplear será la derivada del El régimen permanente y variado

563

principio de conservación de la cantidad de movimiento, que expresada entre dos secciones es, Q 22 β 2  A + A2 + A 2 z c 2 +  1 gA 2 2 

  A + A2 LS o −  1 2  

Q 2β  LS e = 1 1 + A 1z c 1 -7.57 gA 1 

y se emplea Q1 y Q2 para generalizar e incluir el posible cambio de gasto entre secciones. Un algoritmo para emprender el cálculo del perfil del flujo entre las secciones 1 y 2, figura 7.21, a partir de una sección de control subcrítica, sección 1, tomado de la propuesta del HEC-RAS, es el siguiente:

FIGURA 7.21 PERFIL ENTRE DOS SECCIONES.

Algoritmo. 1.

2. 3.

Establecer la base de datos necesaria. En este paso es posible la calibración de n en el tramo de cálculo siempre que exista una base de datos suficientemente grande y confiable de gastos y niveles del agua. Fijar el valor inicial del contador i de iteraciones: i = 1. Calcular todos los parámetros de la sección 1. Siendo CA1 = z1+y1, la cota del agua en la sección de control o sección base del cálculo si ya se ha avanzado este a secciones

564

Hidráulica de las Conducciones Libres

aguas arriba. Llámese H1 = z 1 + y 1 + α 1 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10.

las futuras fórmulas. Asumir en un primer CA a2 (i) = z 2 + y 2 .

tanteo

y2

v 12 , para simplificar 2g

=

y1,

por

tanto

2

Con K = AR 3 n ; calcular K mi , K md y K CP en la sección 2. Calcular α 2 (capítulo 2, ecuación 2. ). Calcular longitud del intervalo L, ecuación 7.46. Calcular S e con la ecuación 7.48 (por defecto es la que emplea el HEC-RAS). Puede emplearse la sugerida en la tabla 7.4 o las propuestas por Reed o por el USGS. Así se puede obtener hf = S e L . Calcular las pérdidas por corrientes secundarias hce según la ecuación 7.41. Se calcula la cota del agua en la sección 2 según: CA C2 (i) = H1 + hf1−2 + h ce − α 2

v 22 . 2g

11. Cada vez que se calcula la cota del agua en la sección deseada

se debe guardar la diferencia con el valor asumido, ya que si se superan las 40 iteraciones se asumirá como cota del agua la de mínima diferencia. DIF(i) = CA a2 (i) − CA C2 (i)

12. Si,

CA C2 (i) − CA a2 (i) ≤ 0,0025 entonces

CA 2 = CA C2 (i)

y se

termina el cálculo. Si, CA C2 (i) − CA a2 (i) > 0,0025 pasar al siguiente paso 13. Se incrementa el contador de iteraciones: i = i+1.

Si i > 40 ir al algoritmo "i > 40" Si i < 40 se pasa a estimar un nuevo valor de CA a2 . 14. Si i = 2 entonces, CA a2 (2) = CA a2 (1) + 0,7 CA C2 (1) − CA a2 (1) y se regresa al paso 5. 15. Si i > 2 entonces se comprueba si

[

]

El régimen permanente y variado

565

{[CA

a 2

(i − 1) − CA c2 (i − 1)] + [(CA a2 (i − 2) − CA C2 (i − 2))]} ≤ 10 −10

Si la respuesta es positiva el denominador del método de la secante (propuesto por el HEC-RAS) es tan pequeño que invalida su uso y entonces CA a2 (i) = CA a2 (i − 1) + CA C2 (i − 1) / 2 y se regresa al paso 5. Si la respuesta es negativa entonces el método de la secante, como técnica de aproximación sucesiva, es factible de emplearse y el nuevo valor asumido será,

[

]

CA a2 (i) = CA a2 (i − 2) − −

[CA

CA a2 (i − 2) − CA a2 (i − 1)

a 2

(i − 1) − CA C2 (i − 1)] + [CA a2 (i − 2) − CA C2 (i − 2)]

y se regresa al paso 5. El algoritmo "i > 40" que se emplea cuando se analizaron 40 valores sin tener respuesta con la exactitud deseada.

Algoritmo i > 40. 1.

Buscar la DIF (i) mínima y su iteración correspondiente

2.

CA 2 = CA c2 (iDIF −MIN ) .

3. 4.

5.

(iDIF−MIN )

Se calcula la profundidad crítica de la sección yc2 (ver capítulo 2). Si [DIF(iDIF−MIN ) ≤ 0,1] y [CA 2 > (Z 2 + y c 2 )] se termina el cálculo con una nota de haber llegado a una diferencia de cierre menor o igual que 0,1 metro. Si [DIF(iDIF−MIN ) > 0,1] o [CA 2 < (Z 2 + y c 2 )] se termina el cálculo con una diferencia de cierre mayor que 0,1 metro o con una solución en la zona supercrítica, en ambos casos el algoritmo asume como cota del agua: CA 2 = z 2 + y c 2 .

Este algoritmo se plantea emplearlo también si la sección de control es supercrítico. En ese caso, el cálculo se realiza hacia aguas abajo, o sea, la sección 1 es la extrema izquierda. De igual forma en el caso del algoritmo "i > 40" en el paso 4 el signo de desigualdad cambia y queda la pregunta establecida así: 566

Hidráulica de las Conducciones Libres

CA 2 < (Z 2 + y c 2 ) , para garantizar que la solución esté en la zona

supercrítica. De igual forma en el paso 5 del algoritmo "i > 40" la pregunta queda así: CA 2 > (Z 2 + y c 2 ) para verificar que se encontró la solución en la zona incorrecta, en este caso la subcrítica. El algoritmo descrito y que se emplea el HEC-RAS en sus cálculos reserva el uso de la ecuación 7.57 para casos de cambio de régimen. En casos en que se produzca cambio de régimen es de vital importancia profundizar y precisar los cálculos para realmente obtener una respuesta satisfactoria. Dos cuestiones deben tenerse en cuenta inicialmente: • No necesariamente el cálculo de todo el perfil de un tramo en zona subcrítica o zona supercrítica, garantiza que no se ha producido un cambio de régimen. La distancia entre secciones puede conspirar y no ser representativas del modelo real del tramo de conducción, en estos casos un análisis detallado de las variaciones del perfil y de los cambios de las secciones transversales pueden indicar como subdividir los intervalos. No obstante una segunda comprobación con nuevas secciones incorporadas puede dar una solución diferente y esclarecer sobre el final a seguir en el cálculo. Es importante verificar la tendencia de los niveles de agua entre secciones respecto al nivel de la profundidad crítica. Un acercamiento a esta indica la necesidad de incrementar la información en esa zona y rehacer los cálculos.

•

La segunda cuestión está relacionada con el cambio de zona al buscar la solución. Cuando se está tanteando la solución para una sección dada, en zona subcrítica por ejemplo y el tanto del nuevo valor se acerca al valor de la yc de esa sección, sin encontrar una solución adecuada, queda definido que hay una El régimen permanente y variado 567

solución en la zona contraria (supercrítica en este caso) y su alternativa en la zona subcrítica, pero con un valor tal (muy alto) que puede desestimarse por simple inspección. Debe recordarse que la ecuación de energía tiene dos soluciones, una correspondiente al régimen subcrítico y otra al supercrítico y que la aparición de una u otra estará en dependencia de como se tantee el nuevo valor buscado de la profundidad.

En estos casos se hace necesario subdividir el intervalo, donde se detecta el cambio, para precisar las profundidades en ese subtramo que da la ecuación de energía. Hay dos casos bien diferentes que deben analizarse. Un tramo con una sola sección de control. Un tramo con dos secciones de control.

• Tramo con una sola sección de control. Este caso puede dividirse en dos variantes: que la sección de control sea subcrítica y por tanto esté ubicada en la salida del tramo (aguas abajo) o que la sección de control sea supercrítica y esté ubicada en la entrada del tramo (aguas arriba). En ambos casos lo importante es detectar cuando la posible solución salta de zona y coincidentemente su alternativa toma un valor ilógico, para ser tomado en cuenta como solución. Si se comienza el cálculo en una sección de control supercrítica al avanzar aguas abajo y detectarse un cambio de la solución hacia la zona por encima de la yc se está en presencia de un salto hidráulico. Si por el contrario el cálculo nace en la sección de control subcrítico y al avanzar hacia aguas arriba se detecta un cambio de la solución hacia la zona por debajo de la yc, también se está en presencia de un salto hidráulico. 568 Hidráulica de las Conducciones Libres

• Tramo con dos secciones de control. Este caso es menos frecuente de encontrarse en la práctica. Su cálculo inicial se basa en el cálculo del perfil desde ambas secciones. Puede ocurrir durante el cálculo de los dos perfiles que exista un cambio como en el caso anterior y puede ocurrir que ambos perfiles culminen su cálculo sin cambiar su zona. En el primer caso, se debe analizar la ocurrencia de salto hidráulico en los subtramos que los soliciten. En el segundo caso, existirá en todo el tramo una zona de dualidad y a uno de los dos perfiles se le calculará su curva de las conjugadas para compararla con el otro perfil. En todos los casos que se presente, la ubicación del salto hidráulico se realizará sin tomar en consideración su longitud. Recuérdese que en canales prismáticos esto se hace posible por la cantidad de información que existe sobre este parámetro. Aquí la ocurrencia se acepta si en una sección las profundidades son conjugadas. Una secuencia del análisis a realizar, para el siguiente caso, con una sola sección de control, pudiera ser la siguiente, Caso de Estudio: Supóngase que entre dos secciones se detecta un cambio de régimen que implica un salto hidráulico, figura 7.22. La sección de control inicial es subcrítica, por lo que, el cálculo es hacia aguas arriba.

El régimen permanente y variado

569

FIGURA 7.22 PERFIL DE UNA CONDUCCION LIBRE CON CAMBIO DE RÉGIMEN

Pasos a dar: a. Subdividir el intervalo y calcular de las profundidades críticas en cada nueva subsección y la profundidad de acuerdo a la Ecuación de Energía. A la vez calcular la profundidad alternativa de cada nueva profundidad. Al acercarse la profundidad a la crítica la alternativa también se acercará. b. Calcular las conjugadas de cada una de las nuevas profundidades. c. Si el cálculo transcurre obteniéndose a lo largo de todo el tramo profundidades subcríticas en un orden de magnitud lógico, no hay evidencia de la ocurrencia de un salto hidráulico. d. Si el cálculo de la profundidad en una nueva subsección, indica que la profundidad que satisface a la ecuación de energía, no sigue un comportamiento lógico (por ejemplo crece desmesuradamente cuando lo que indicaba la tendencia era un decrecimiento) hay evidencias claras que entre esas secciones hay un cambio de régimen y por tanto, o se vuelve a subdividir el intervalo, o se da por concluido el análisis estableciéndose como nueva profundidad la supercrítica alternativa con lo cual se tiene el caso de un tramo con dos secciones de control. 7.5.3

Consideraciones para el cálculo.

Al emprender el cálculo del régimen variado en una conducción no prismática deben tenerse en cuenta todo un grupo de consideraciones para organizar el trabajo de gabinete. 570

Hidráulica de las Conducciones Libres

Sección de control. Al establecer el tramo a estudiar se debe precisar la sección de control para lo cual debe establecerse con mucha exactitud el valor de su profundidad. Pueden existir dos casos: que se conozca con certeza dicho valor, que éste no se pueda definir con exactitud. En el segundo caso, es recomendable incorporar al estudio un tramo de conducción adicional, en ella establecer como profundidad inicial la correspondiente al régimen uniforme y calcular el perfil del flujo hasta la sección de control. La validez de esta suposición estará garantizada cuando al alargar aún más el tramo la profundidad calculada en la sección de control converja a un valor consistente. Efecto de obras. Cuando en una sección del tramo de estudio existan obras que modifiquen el perfil del flujo aguas arriba o aguas abajo, se deben prolongar las secciones y por tanto la longitud del tramo hasta que el efecto de la obra no se aprecie en el nivel del agua. Esquema de cálculo. Antes del cálculo debe establecerse un esquema de la planta del tramo o tramos a estudiar estableciendo las confluencias y bifurcaciones, entrada y salida de gasto, así como obras que afecten el flujo. Geometría de la sección. Debe realizarse un gran trabajo para que las secciones representen la realidad que impone la topografía en los cauces naturales. Al establecer cada sección debe analizarse su interacción con las cercanas a ellas y determinar las longitudes de los subtramos que tienen:

El régimen permanente y variado

571

FIGURA 7.23 AREAS DE FLUJO INEFECTIVO

Áreas de flujo ineféctivo. Aquellas zonas en que para una cota del nivel del agua, almacenan agua pero no la conducen debido a que las secciones aguas abajo bloquean su salida. Estas zonas son particularmente importantes para establecer los parámetros mojados y áreas mojadas reales para cada nivel de circulación, figura 7.23. FIGURA 7.24 ELEVACIONES INTERIORES (MOTAS).

Elevaciones interiores. La sección puede presentar en subtramos elevaciones que hagan que el flujo se bifurque en una pequeña longitud de tramo. Esta bifurcación creada por la pequeña isla que queda aislada debido al nivel del agua, debe considerarse en toda su longitud y establecer secciones que la cualifiquen para así garantizar que los cálculos sean correctos. Estas elevaciones funcionan de una u otra forma en función del nivel agua respecto a su punto más alto, figura 7.24. Obstrucciones. 572

Hidráulica de las Conducciones Libres

En un subtramo puede presentarse obstrucciones debidas a estribos de puentes u otras obras que reduzcan en una corta longitud la sección transversal. Estas obstrucciones deben analizarse a partir de crear varias secciones dentro de ellas ya que en ese subtramo el régimen se acelerará si es subcrítico o se desacelerará si es supercrítico creando un fenómeno local de gran importancia al cuantificar el perfil del agua a lo largo del tramo, figura 7.25. FIGURA 7.25 OBSTRUCCIONES (ESTRIBOS DE UN PUENTE)

. . FIGURA 7.25a OBSTRUCCIONES (COLUMNAS O PILOTES)

El régimen permanente y variado

573

7.6

Flujo espacialmente variado.

Por definición es el flujo en el cual la descarga varía en la dirección del flujo convirtiendo la pared del canal en un vertedor, bien para descargar parte del gasto o bien para recibir un nuevo gasto. 7.6.1

Gasto Creciente.

Este caso se ejemplifica con un canal vertedor lateral. En él una porción significante de las pérdidas de energía resultan del mezclado del agua al entrar al canal y por tanto no son fácilmente cuantificables. Por esta razón, el principio de momentum se utiliza tradicionalmente para el desarrollo de las ecuaciones gobernantes.

FIGURA 7.26 PERFIL DE UN CANAL CON GASTO CRECIENTE

La ecuación de continuidad, en el volumen de control, es: dQ = q * --------------------------------------------------------------- 7.58 dx donde q* gasto lateral por unidad de longitud al lado izquierdo de

la ecuación puede desarrollarse así, dQ d (vA ) = v dA + A dv = q * -------------------------------- 7.59 = dx dx dx dx En el mismo volumen de control el momentum en la dirección x es

574

Hidráulica de las Conducciones Libres

∆M = M 2 − (M1 + MLATERAL ) ----------------------------------------- 7.60 M 2 − M1 =

∫∫ ρV A

2 x dA

------------------------------------------------

7.61 y ML = ρq * ∆xv cos φ ---------------------------------------------- 7.62 Si se desprecian las fuerzas de tensión superficial y las creadas por la turbulencia, las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son: - la componente del peso en la dirección longitudinal - la fricción periférica - las presiones en 1 y 2. entonces, d dx

∫∫ ρ V A

2

dA − ρq * V cos φ = γS o A − τ ρ − o

d dx

∫∫ ρdA ---------- 7.63 A

Esta ecuación puede simplificarse introduciendo expresiones convencionales en el primer término de la izquierda y el último de la derecha. Yen y Wenzel en 1970, proponen unir esta ecuación con la de Continuidad, y llegar a la ecuación 7.64, 2  dβ  *   − y[d(α' cos θ) / dx ] S o − S e +  q (v cos φ − 2β v ) −  v   gA  g  dx  dy   = dx α' cos θ1 + y  − β v 2 / gD D 

donde β es el factor de corrección del momentum α’ es el factor de corrección de la presión (por no ser hidrostática) Si θ es constante, 2  *  dβ So − Se +  q (v cos φ − 2β v ) −  v g  dx  gA    dy   -------- 7.65 = dx   y    v2    d ' α cos θ α' 1 + + y − β D  dy   gD    

y si se asume que: El régimen permanente y variado

575

- la distribución de presiones es hidrostática - v cos φ = 0 - cos θ ≈ 1 - β =1 queda,  dQ  S o − S e  2q * v  S o − S e −  2Q 2  gA gA dy  dx    ----------- 7.66 = = 2 2 dx     v 1−   1− Q   gD  gA 2D  

que es la forma más común de la ecuación diferencial del FEV (Chow, 1959; Henderson, 1966) para gasto creciente. Chow (1959) plantea introducir el coeficiente de distribución de la velocidad de la ecuación de energía (α) como factor de corrección  de los términos  2Q 

(

)

2  dQ  respectivamente. y  v   dx gA   gD  2

La solución comenzará en la sección de control, así en un canal con entrada lateral de gasto la situación debe examinarse para determinar: si el régimen crítico ocurre. El régimen crítico ocurre si

dy = 0 , o sea, el numerador de la dx

ecuación es cero, So − Se −

2Q dQ =0 gA 2 dx

Si la razón de entrada es constante entonces: dQ dx

=

Q x

, donde x es la distancia desde el inicio del canal.

Por consecuencia Chezy se empleará para calcular S e , entonces, Se =

Q 2P C2 A 3

y queda, 576

Hidráulica de las Conducciones Libres

So =

Q 2P 2

C A

3

+

2Q 2

 gP 2A  = NF 2  2 +  gA x  C T Tx  2

Sustituyendo NF2 por 1 y arreglando la ecuación queda, x=

[

8Q 2x

(

gT 2 S o − gP / C 2 T

)]

3

------------------------------------------ 7.67

donde, Q x = dQ / dx

Esta ecuación se utiliza para estimar la localización de la sección crítica, si existe. La ecuación fue presentada por vez primera por Keulegan (1952). Si la x estimada es mayor que la longitud del canal (x > L) la sección crítica no ocurre. Si existe la sección crítica y más allá hay un control aguas abajo, es posible que la sección crítica se ahogue si la profundidad aguas abajo es suficiente alta. Keulegan (1952), demostró que para casos especiales (secciones rectangulares muy anchas) se pueden obtener soluciones explícitas de la ecuación, 3   X = 8q 2x / g S o − g 2   ------------------------------------------ 7.68 C    

En general la ecuación hay que resolverla por tanteo-error ya que ni T ni P son conocidas. Un algoritmo para esto puede ser el siguiente:

Algoritmo. 1. 2. 3. 4.

Recopilar la base de datos necesario. Asumir la posición de la sección crítica x aSC Calcular el gasto hasta esa sección (Q x = q * x qsc ) Calcular y c El régimen permanente y variado

577

5. 6. 7.

1

Calcular A, P, T, R, C = R / n Calcular X csc según ecuación 7.67 Comparar X csc y X asc . Si X csc = X asc ± error se encontró la posición. Si X csc ≠ X asc ± error se asume como nuevo valor x asc = x csc y se repite desde el paso 3. El perfil del flujo espacialmente variado puede ser determinado por un método de tanteo-error. French (1986) recomienda la integración numérica combinada con tanteo-error, para esto la 2da ley del movimiento puede escribirse así, γ [Q∆v + (v + ∆v )∆Q] = δA∆y + δS o A∆x − δS e A∆x g

donde A es el área promedio entre dos secciones separadas una distancia ∆x . A=

Q1 + Q 2 (entre las secciones 1 y 2). v1 + v 2

Si se hace Q = Q1 y v 2 = v + ∆v y se sustituye en la ecuación de momentum queda: ∆y =

 Q 1 (v 1 + v 2 )  v  ∆v + 2 ∆Q  + S o ∆x − S e ∆x ------------- 7.69 g(Q1 + Q 2 )  Q1 

la caída de la superficie del agua según análisis gráfico es ∆y' = − ∆y + S o ∆x, entonces sustituyendo queda: ∆y' =

 Q1 (∇ 1 + ∇ 2 )  ∇  ∆∇ + 2 ∆Q  + S e ⋅ ∆X ------------------ 7.70 g(Q1 + Q 2 )  Q1 

que es la ecuación del perfil del flujo para incremento de gasto. El primer término representa las pérdidas por impacto y el segundo las pérdidas de energía. Si ∆Q = 0 y S e = 0 entonces Q1 = Q 2 y ∆y' = α (v 22 − v 12 ) / 2g , que es la ecuación de energía para gasto constante. 578

Hidráulica de las Conducciones Libres

El algoritmo para calcular este problema es el siguiente:

Algoritmo. Recopilar la base de datos necesaria. Comprobar si existe la sección crítica dentro de la longitud del canal. 2.1 Calcular x según ecuación 7.67 2.2 Comparar x y L. 3. Comprobar si existe una sección de control aguas abajo del tramo de canal con REV. Si es así, calcular para todo el gasto (q*L) la curva superficial hasta la sección final del canal lateral y de ahí hasta la sección inicial con gasto variable (q*x). 4. Si existe la sección crítica y la sección de control y la curva superficial ahoga la sección crítica, este perfil prevalece. 5. Si existe la sección crítica (SC) y esta no es alterada por otro control se procede al cálculo del perfil del agua desde SC hasta la estación inicial y desde SC hasta la estación final. 6. Calcular el perfil desde SC hasta estación inicial 1. Sección 1 = sección crítica, i = 1. 2. Definir un ∆x 3. Para i = 1: calcular cota fondo del canal, (z 1o ) como profundidad tomar la y c , calcular cota del agua (z 1o + y c ) , calcular A 1, P1, R1, Q1, v 1, S e,1 . 4. i = 2 5. Calcular x = (x sc − ∆x ) . 6. Calcular cota fondo del canal: z io = z io−1 + S o ∆x . 7. Asumir una profundidad (y ia < y c ) y calcular: 6.7.1 a a ∆y i como ∆y i = S o ∆x − (y i − y i−1 ) ag 6.7.2 Calcular cota del agua z i . 6.7.3 Calcular A i , Pi , R i , Q i , v i . 6.7.4 Calcular S e = (n 2 Q i2 / A i2 R i4 / 3 ) . 1. 2.

( )

El régimen permanente y variado

579

6.7.5 Calcular ∆y ic según ecuación 7.70.

8. Si ∆y ic = ∆y ia ± error se llegó a obtener la profundidad en la sección i. Ir a 6.9. Si ∆y ic ≠ ∆y ia ± error se regresa a 6.7. 9. i = i + 1y se regresa a 6.5 y así hasta calcular la sección anterior a la inicial (x = ∆x ) . 10. Para la sección inicial (x = 0 ) se asume que ∆y i = 2v i2−1 / 2g . Por tanto la z 1ag = z iag −1 + ∆y i y la y i = z iag − z io 7. Calcular el perfil desde la SC hasta la estación final. 7.1 Sección 1 = sección crítica, i = 2. 7.2 Definir un ∆x . ag o 7.3 Para i = 1, calcular: ( z 1 , y 1 = y c , z 1 ); A, Q X , v ,Se. 7.4 i =2. 7.5 Calcular x = (x sc + ∆x ) . 7.6 7.7

Calcular z io = z io−1 − S o ⋅ ∆x ; A, Qx, v. Asumir: y io (y io > y c ) ; 7.7.1 Calcular ∆y ia = S 0 ⋅ ∆x − (yi − y i−1 ) ;

( ); ag

7.7.2 Calcular la cota del agua z i

 n 2 Q i2

7.7.3 Calcular S e,i = 



7.7.4 Calcular

7.8

7.9

7.6.2

580

∆y ic

 ; A i2R i4 / 3 

según ecuación 7.70. Si = ± error se llegó a obtener la profundidad en la sección i. Ir a 7.9. Si ∆y ic ≠ ∆y ia ± error se regresa a 7.7. i = i + 1 y se regresa a 7.5 y así hasta concluir con la última versión. ∆y ic

∆y ia

Gasto Decreciente.

Hidráulica de las Conducciones Libres

En este caso, ejemplificado por los vertedores laterales y las descargas de fondo, no hay pérdidas de energía significativas y el perfil del flujo puede estimarse por la ecuación de energía.

FIGURA 7.27 VERTEDOR LATERAL.

Como se sabe, H=Z+y+

Q2

2gA 2 donde Q = f (X ); A = g(X ) .

Para encontrar el diferencial que represente la superficie del agua, se diferencia respecto a X. dH dz dy 1  2Q dQ 2Q 2 dA    pero se sabe que, = + + − 3 dx dx dx 2g  A 2 dx A dx  dy dz dH dA dA dy = −S o ; = −S e y = =T dx dx dx dy dx dx

entonces,

( (

)

(

)

dy S o − S e − Q 2 / gA 2 (dQ / dx ) = ------------------------------- 7.71 dx 1 - Q 2 / gA 2D y si α ≠ 1 queda, dy S o − S e − α Q gA 2 (dQ dx ) = -------------------------------- 7.72 dx 1 - α Q 2 gA 2D

(

)

)

que representa la ecuación diferencial para gasto decreciente y es muy semejante a la ecuación diferencial para gasto creciente, sólo que x sustituye a β y el término (Q 2 / gA 2 ) no está multiplicado por 2. El régimen permanente y variado

581

En un vertedor lateral, colocado en la pared de un canal, Frazer, 1957, clasifica en cinco las posibles soluciones.

FIGURA 7.28 ALTERNATIVAS DEL VERTIMIENTO LATERAL.

En el caso de los vertedores laterales si se asume que E1 = E2 , que el canal es rectangular con So = 0 y Se ≈ 0 y α ≈ 1, entones la ecuación 7.72 queda, Qy − dQ  dy  dy  ----------------------------------------------= 2 3 dx gb y − Q 2

7.73

El gasto en cualquiera de las secciones del vertedor puede calcularse como: dQi dQ 1 .5 =− = CQ 2g (y − p ) ------------------------------------ 7.74 dx dx

582

Hidráulica de las Conducciones Libres

donde CQ es el coeficiente de descarga. Si E = y +

Q2 2gb 2 y 2

Q 2 = 2gb 2 y 2 (E − y )

entonces: y

Q = by 2g(E − y )

por tanto puede plantearse, dy 2C Q = dx b

(E − y ))(y − p)3 3 y − 2E

-------------------------------------- 7.75

resolviendo queda, X=

b y f   + constante -------------------------------------------- 7.76 c E

donde, E−y  y  2E − 3p E − y f  = − 3 sen −1 E−p y −p y −p E

que se denomina función de flujo variado. La integración numérica presentada por Chow (1959), es muy similar a la obtenida para flujo con gasto corriente. ∆y' =

αQ1 (v 1 + v 2 )∆v  ∆Q  1 −  + S e ∆x ----------------------g(Q1 + Q 2 )  2Q1 

7.77

donde, ∆Q es el gasto vertido en un ∆x que para propósitos prácticos se puede asumir por la fórmula del vertedor en cuestión, tomando como valor de CQ uno reducido en un 5%. 7.7 Problemas Especiales.

A continuación se desarrollan algunas aplicaciones que ejemplifican las múltiples aplicaciones que este régimen de circulación tiene. Si bien no se recogen todas las más importantes, las soluciones planteadas sirven como ejemplo metodológico de cómo enfrentar estos problemas. 7.7.1 Entrega de un canal. El régimen permanente y variado

583

Cuando un canal comunica dos embalses, depósitos o canales existen numerosas condicionales que hacen que la entrega de gasto varíe. Por vez primera este problema fue discutido por Bakhmeteff en su Hydraulic for Open Channel, en 1932.

•

RÉGIMEN SUBCRÍTICO.

FIGURA 7.29 PERFIL DE LA ENTREGA DE UN CANAL CON REGIMEN SUBCRITICO.

Si el canal de la figura comunica dos embalses de altura de flujo y1 y y2 respecto al fondo del canal, pueden ocurrir 3 situaciones diferentes para el análisis. Primer caso: y1 constante. En este caso las fluctuaciones de y2 condiciona el gasto Q. La relación Q = f (y2) se denomina curva de entrega. S1

FIGURA 7.30 CURVA DE ENTREGA PARA y1 CONSTANTE. Los puntos característicos son: 584 Hidráulica de las Conducciones Libres

a. b. c.

2 3 1 1 AR S 2 n Si y 2 = y1 + SoL ⇒ cota agua 1 = cota agua 2 ⇒ Q = 0 Si y 2 > y 2a , Q > Q a debido al incremento de desnivel y llegara un momento en que yc para Q sea igual a y2 habiéndose llegado a la condición de gasto máximo y será Q = A gD .

Si y 2 = y 1 ⇒ régimen uniforme y Q =

Si en esas condiciones y2 decrece aún más una caída libre se produce sin alterar el gasto. Un análisis de la curva S2 que se produce, deja evidentemente demostrado que se ha alcanzado la frontera inferior de la zona 2. Entre los puntos a y c cualquier valor de y2 hace que Qc > Q > Qn. Las curvas que se producen son todas de zona 2 (S2) con sección de control en 2. Por esa razón para pequeñas diferencias de y2 (y2 > ya) respecto a yn si el canal es muy largo la S2 para Q puede alcanzar la normal antes de terminarse la longitud del canal (L). Si esto sucede entonces se debe chequear si la curva S2 que se 2 1 produce con Q c = Q n = (1/ n)AR 3 S 2 cuando y 2 = y c para Qn, toca la normal antes de L, de ser así no hay curva b-c sino recta paralela al eje y entre b-c. Entre los puntos b y a cualquier valor de y 2 produce 0 < Q < Qn. Las curvas que se producen son todas de zona 1. Nótese que en el primer caso las curvas S 2 tienden a la normal de su gasto, que crece como función del decrecimiento de y2. En el segundo caso las S1 tienden a la normal de su gasto que decrece con el crecimiento de y2. Si el canal es muy largo es posible que las variaciones factibles de y 2 no alteren el gasto.

El régimen permanente y variado

585

FIGURA 7.31 PENDIENTE

CASO ESPECIAL PARA CANALES MUY LARGO Y DE POCA

Por último debe anotarse que dado que la curva a-c es muy inclinada y que las longitudes de los perfiles del flujo son inversamente proporcionales a la pendiente de fondo, puede plantearse que para canales muy largo y de pendiente suave, el gasto máximo corresponde al normal. Cambio de profundidad debido a cambio de la pendiente. Si un canal con entrega como función de y2 tiene una relación ∆q = f (∆y ) muy plana, lo cual dificulta el control, puede rediseñarse con una S o < S o anterior y así la curva de entrega cambiará. Al disminuir So (curva interior) el punto N y C variarán, debido al desnivel total ya que L es la misma y la curva se hará más pendiente y como consecuencia ∆y crece.

FIGURA 7.32 CAMBIO DE LA PENDIENTE Y SU INFLUENCIA CON LA PROFUNDIDAD Y EL GASTO.

586

Hidráulica de las Conducciones Libres

Chow pone un ejemplo similar pero al revés, esto es, si se desea disminuir la fluctuación de Q como consecuencia de las fluctuaciones de y se rediseña con una So mayor. Segundo caso: y2 constante. En este caso las fluctuaciones de Q las condicionan las variaciones de y1 y se obtiene un gráfico de entrega como el mostrado en la figura 7.33.

FIGURA 7.33 CASO DE ENTREGA CON y2 CONSTANTE. Los puntos característicos del gráfico son: a. b. c.

2 1 1 AR 3 S 2 n y 1 = y 2 − S o ⋅ L → cota agua 1 = cota agua 2 → Q = 0 Cuando y 1 > y 1a el desnivel produce Q > Q a cuando ese gasto

y 1 = y 2 → Reg. Uniforme → Q =

alcanza el valor del gasto crítico para esa sección, o sea, Q = A gD , y 1 habrá alcanzado un valor tal que el gasto en esas condiciones es el máximo. Si se incrementa y 1 > y 1C , por ejemplo a y 1c ' la curva superficial que se crea (cuya sección de control está aguas abajo) se desplaza hacia arriba paralela a la anterior alterando el valor de y1. Entre los puntos c y a se producen perfiles de flujo en zona 2, nótese que la y n correspondiente a Q es mayor que Q a y se El régimen permanente y variado

587

produciría si y 2 = y 1 mientras, entre a y b los perfiles que se producen son en zona 1, cada vez más suaves hasta su límite Q = 0. Tercer caso: Q constante.

FIGURA 7.34 CURVA DE Q CONSTANTE PARA y1 Y y2 VARIABLES.

De igual forma a las situaciones anteriores puede encontrarse las relaciones de y 1, y 2 para que se mantenga un gasto constante en la entrega del canal. De esta forma puede ubicarse en un gráfico y1-y2, la familia de curvas de gasto que se deseen calcular. Los límites (fronteras de estas curvas) son: a. Frontera de Q=0, representada por la ecuación: y 1 = y 2 − S 0 L b. Frontera de Q max la cual debe calcularse para cada caso en particular: se selecciona y2; yC = y2; Q 2 = A 2 gD 2 ;

se calcula y 1 según lo que imponga la curva superficial. 588

Hidráulica de las Conducciones Libres

Punto obligado: 2 1 Definido por y 1 = y 2 y por tanto : Q = ( AR 3 S 2 ) / n , representa por la recta y 1 = y 2

que

se

Zonas características: a. la zona entre la frontera Q max y la línea y 1 = y 2 es característica de perfiles tipo S2. b. la zona entre la línea y 1 = y 2 y y 1 = y 2 − S 0 L , es característica de perfiles tipo S1.

•

Régimen supercrítico.

Este caso es poco práctico ya que su aplicación está limitada. Como S o > S c el flujo en el canal puede ser supercrítico. Estos canales son usualmente cortos. Las características de la entrega son: a. Gasto: La sección de control en un canal así está aguas arriba, por tanto Q = A 1 gD1 FIGURA 7.35 CASO DE ENTREGA EN CANAL CON REGIMEN SUPERCRITICO

b.

Perfiles de flujo: Los perfiles dependen de la situación aguas abajo. El régimen permanente y variado

589

Cuando el nivel y 2 está relativamente bajo, esto es y 2 ≤ y n para Q los perfiles son del tipo F2. Si y 2 > y c para Q aguas abajo tendrá un régimen subcrítico y se producirá un salto hidráulico que avanzará aguas arriba si y 2 se incrementa hasta ahogar la sección de control. Aquí los perfiles antes del salto son F1. 7.7.1

Condiciones de entrada y salida.

FIGURA 7.36

DOS CASOS DE ENTRADA A UN CANAL.

Cuando entra libremente el flujo a un canal con pendiente subcrítica, figura 7.36 derecha, la y 1 con relación a la profundidad del depósito, según la ecuación de energía, es: y a = y 1 + hf + α

v 12 donde la carga a velocidad por ser pequeña se 2g

desprecia y queda, y a = y 1 + hf

----------------------------------------------------------

7.77 En flujo subcrítico hf es la pérdida de carga debida a la fricción y se expresa como h f = C e redondeada), entonces: v 1 =

v 12 2g 1

(vale 1.25 si la entrada es

Ce

2gh f ------------------------ 7.78

y así, o lo que es igual, Q=

590

1 ce

A 1 2g(y a − y 1 ) ----------------------------------- 7.79

Hidráulica de las Conducciones Libres

que nos permite relacionar Q, y a , y 1 para la solución de los problemas reales. Cuando la entrada es regulada por una compuerta o alguna otra obra, figura 7.36 izquierda, la relación y 1 = f (y a ) no existe y la diferencia (y a − y 1 ) dependerá de la obra.

FIGURA 7.37 DESEMBOCADURA A UN LAGO

Por su parte, cuando un canal desemboca en un lago, figura 7.37, la energía cinética del flujo se restablece como potencial elevando el nivel en el lago. Esta energía en realidad es disipada en torbellinos y expansión del flujo y en la práctica se ignora tomándose. En el caso que el nivel en el embalse esté por debajo de y 2 , y 2 toma el valor de y c produciéndose una caída libre. 7.7.2

Flujo dividido: bifurcación de cauces.

En este problema, figura 7.38, la información necesaria de longitudes y secciones es importantísima para la correcta ejecución de los cálculos. Las secciones deben situarse muy próximas para así minimizar los errores de las pérdidas de carga. En el caso particular de emplear la ecuación de la variación de la cantidad de movimiento, el ángulo de la bifurcación, o de la confluencia, es importante. Tanto la ecuación de energía, como la de cantidad de movimiento pueden emplearse para la solución de este problema. En el primer El régimen permanente y variado

591

caso los ángulos de cada rama con el principal no se consideran, por tanto, su uso será adecuado en aquellos casos que las pérdidas que se introduzcan no sean considerables.

FIGURA 7.38 BIFURCACION DE CAUCES.

Sin embargo, hay situaciones en que los ángulos, o las altas velocidades, pueden ocasionar pérdidas significativas y entonces la ecuación de la cantidad de movimiento será la indicada. En caso de inflexiones con ángulos grandes, pero con curvas con radios que superan 20 T, se procederá como en tramos rectos. A esta consideración debe añadirse que si hay cambios de régimen de subcrítico a supercrítico o a la inversa, la ecuación de momentum será la indicada para enfrentar la solución. Hay 3 casos posibles: bifurcación en régimen subcrítico, bifurcación en régimen supercrítico y bifurcación en régimen mixto.

•

Una solución propuesta por Chow (1959).

592

Hidráulica de las Conducciones Libres

Ven te Chow (1959), propone para un flujo que se divide al encontrar un obstáculo y vuelve a reencontrarse una vez salvado éste, una solución de fácil implementación. Para el caso del régimen lento en que se separa el caudal en un tramo de canal la solución propuesta por Chow se genera dependiendo si el flujo es uniforme o variado. Si el flujo es uniforme, la solución es simple y entonces, Q = Q 4 −2 + Q 4 −3 ----------------------------------------------------- 7.80 Q 4 −2 = K 2 S 2 ------------------------------------------------------ 7.81 Q 4 −3 = K 3 S 3

-------------------------------------------------------

7.82 Si el flujo es variado entonces debe seguirse un procedimiento de tanteo hasta la solución. Si el flujo es subcrítico, figura 7.39, entonces el control estará en 1 y y 1 estará en función de lo que ocurra en el canal aguas abajo. Como el punto 4 debe tener la misma cota del agua, o sea, igual energía cualquiera que sea el camino que se tome para calcularla y esa cota está en función del gasto de esa rama, entonces el proceso de cálculo se convierte en un proceso de tanteo-error.

Algoritmo. 1. 2. 3. 4. 5.

Suponer Q 4−2 Calcular y a4 como función de Q 4−2 mediante la curva superficial. Calcular Q4-3: Q4-3 = Q - Q4-2. Calcular y b4 como función de Q 4−3 calculando la curva superficial que se establece. Si y a4 = y b4 ± error entonces se habrá encontrado la solución. Si y a4 ≠ y b4 se debe regresar al paso 1. El régimen permanente y variado

593

FIGURA 7.39 ESQUEMA DE LA BIFURCACION

Una solución gráfica del problema sería como aparece en la figura 7.40.

FIGURA 7.40 SOLUCION GRAFICA

Algoritmo. Se supone Q 4−2 y se calcula y a4 2. Con Q 4 −3 = Q − Q 4 −2 se calcula y b4 3. Y se plotea la gráfica hasta obtener suficientes puntos. La solución estará en la intersección de la curva y a4 = f (y b4 ) con la recta y a4 = y b4 . 1.

Este método es aplicable hasta canales moderadamente no prismáticos (sin cambios rápidos).

En el caso del flujo supercrítico el control estará aguas arriba y Chow aconseja tratarlo como si ambos fueran flujos uniformes. • Una solución propuesta por Wylie, 1972: Flujo dividido por varias islas u obstáculos. 594

Hidráulica de las Conducciones Libres

E. B. Wylie, describió el proceso de cálculo en el caso que la división de caudales sea más de dos ramas. El método propuesto se basa en descomponer el sistema en una serie de nodos

conectados por eslabones.

FIGURA 7.41 FLUJO DIVIDIDO POR VARIOS OBSTACULOS

La solución del nodo y el eslabón se basa en dos principios: Cada nodo tiene asociada una energía total que es común a cada eslabón que termina en él. La ecuación de continuidad se cumple en cada nodo. El tipo más común de eslabón es un canal simple sin pérdidas menores. En este caso la energía del eslabón k conectado aguas arriba con i y aguas abajo con j es: k i

j

 S ei + S ej Hi = Hj + S e ⋅ L k = Hj +  2  2 2 4/3 10 / 3 donde: S e = Q n P A

 L k ---------------------------- 7.83  

entonces la ecuación de flujo en un eslabón (canales prismáticos) es, 1  2Hi − H j  Qk =   n  Lk 

1 2

4  P 43 Pj 3  i  10 + 10  Ai 3 A j 3   

− 12

------------------------------

7.84 pero esta ecuación sólo es aplicable, teóricamente, a canales prismáticos y moderadamente no prismáticos. El régimen permanente y variado 595

Si hay un rápido cambio de la sección, es necesario incluir un término que cuantifique las pérdidas menores asociadas al cambio. King y Brater (1963) sugieren en el caso de flujo subcrítico, C e Q k2 2g

Ei = E j +

 1 1   A 2i − A 2 j 

   

---------------------------------------

7.85 donde C e es un coeficiente de pérdidas. Así la ecuación de flujo en el eslabón queda,

[ (

Q k = 2g Hi − H j

)]

1 2

  1 1  C e  2 − 2  A j    A i

− 12

---------------------------- 7.86

Combinando esta ecuación con la continuidad, escrita para cada nodo, se genera en: sistema de ecuaciones no lineales. Aplicando continuidad se tiene, Fi =

M

∑Q

k

+ Q Ni = 0

-------------------------------------------------

k −1

7.87 donde M es el número de eslabones en el nodo i. QNi es un gasto que pudiera entrar directo al nodo i. En un ejemplo simple igual al ejemplo de una isla, si se aplica la ecuación al nodo 2 queda, F2 = Q1 − Q 2 − Q 3 + Q N2 = 0 --------------------------------------7.88 como Q N2 = 0 (no entra gasto adicional), entonces sustituyendo cada término por la ecuación deducida para el flujo en el eslabón se obtiene la expresión siguiente,

596

Hidráulica de las Conducciones Libres

FIGURA 7.42 ESQUEMA DE NODOS Y ESLABONES DE UNA ISLA

1  2(H1 − H 2 )  F2 = n1  L1 

 P14 / 3 P24 / 3  +  A 10 / 3 A 10 / 3 2  1

   

1  2(H 2 − H 3 )  − n2  L2 

 P24 / 3 P34 / 3  +  A 10 / 3 A 10 / 3 3  2

   

1/ 2

1  2(H 2 − H 3 )  − n3  L3 

 P24 / 3 P34 / 3  +  A 10 / 3 A 10 / 3 3  2

   

1/ 2

1/ 2

−

−

= 0 ------------------------ 7.89

y para los otros nodos, F1 = Q N1 − Q1 = 0 -----------------------------------------------------7.90 P24 / 3  1  2(H1 − H 2 )  P14 / 3   + F1 = Q N1 −  A 10 / 3 A 10 / 3  n1  L1 2  1   F3 = Q 2 + Q 3 − Q 4 + Q N3 = 0 y Q N3 = 0

1/ 2

=0

------------- 7.91 ---------------------

7.92  2(H − H ) 2 3  L 2 

1/ 2

 P24 / 3 P 4 / 3   + 3   A10 / 3 A10 / 3  3   2

F3 =

1 n2

1 + n3

 2(H − H )  P4 / 3 P34 / 3  2 3  2 / 10 / 3 + 10   A L3 A 3 / 3   2 

1 − n4

 2(H − H )  P 4 / 3 P44 / 3 3 4  3  / 10 / 3 + 10 A L4  A4 /3  3

+

1/ 2

−

   

1/ 2

= 0 ------------------------- 7.93

El régimen permanente y variado

597

La profundidad del flujo y el gasto en 4 generalmente se conocen (sección de control en 4) y por tanto H4. Si el flujo es impermanente, el sistema de ecuaciones que gobiernan el problema es no lineal y no es posible una solución directa. Los pasos para obtener la solución en este caso son:

Algoritmo. 1. 2.

Asumir H1, H2 y H3. Wylie aconseja para comenzar: E1 = E2 = E3 = E4. Calcular y k para K = 1, 2 y 3 con: Hk = z k + y k +

(

Q k2 2gA k2

1  2 Hi − H j Qk = nk  Lk 

3. 4.

)

 P4/3 Pkj4 / 3  ki +  A 10 / 3 A 10 / 3 kj  ki

   

1/ 2

Se calculan los valores de F1, F2 y F3. Si F1 ≅ F2 ≅ F3 ≅ 0 los valores de F1, F2 y F3 asumidos son buenos. Si F1 ≠ 0 ó F2 ≠ 0 ó F3 ≠ 0 entonces se asumen nuevos valores de H1, H2 y H3 y se regresa a 2.

Wylie (1972), utilizando la técnica numérica de Newton-Raphson, resolvió el problema partiendo de suponer: H1 = H2 = H3 = H4. Esta técnica es aplicable también al flujo en canales para un sistema de drenaje pluvial. En el sistema inicial los nodos están ubicados para considerar las pérdidas por corrientes secundarias en las divisiones. Una aproximación podría ser despreciar este valor y simplificar el número de nodos para al final tomar esa solución como aproximación del problema final. •

La solución propuesta en el HEC-RAS.

598

Hidráulica de las Conducciones Libres

Régimen subcrítico. El algoritmo propuesto por este programa para régimen lento se basa en el esquema de la figura 7.43. FIGURA 7.43 ESQUEMA DE LA BIFURCACION.

El algoritmo que se propone puede enunciarse así,

Algoritmo. 1.

Calcular los caudales. 1.1. Asumir Q4-2 y Q4-3 tal que Q4-2 + Q4-3 = Q41.2. Ubicar la sección de control aguas debajo de 2 y calcular con Q4 la curva superficial desde SC hasta 2. 1.3. Ubicar la sección de control aguas abajo de 3 y calcular con Q4--3 la curva superficial desde SC hasta 3.

Si E 2 = E 3 ± error los caudales asumidos son correctos y se pasa al punto 2. 1.5. Si E 2 ≠ E 3 ± error se asumen nuevos caudales y se regresa a 1.2. 2. Calcular la cota del agua en 4. 2.1. Calcular las fuerzas específicas en 2 y 3: Fe2 y Fe3. 2.2. Si Fe2 > Fe3 calcular la cota de 4 desde la cota de 4 desde la sección 2 con la ecuación de energía. 2.3. Si Fe3 > Fe2 calcular la cota de 4 desde la sección 3 con la ecuación de energía. 1.4.

El HEC-RAS acepta que el método propuesto por Chow es ideal y apunta que para secciones próximas entre si su algoritmo da una solución aceptable. Empleando la ecuación de momentum el programa HEC-RAS propone emplear la ecuación, El régimen permanente y variado

599

Fe 4 = Fe 2 ⋅ cos θ1 + Ff 4 −2 − W x 4−2 + Fe3 cos θ 2 + Ff 4−3 − W x 4 −3 --- 7.94

que descomponiendo en sus términos básicos queda,  Q 24 β 4   β 2 Q 22   A4 + A2   =  + A z .L 4 −2 S o 4 −2 − 4 4  gA   gA + A 2 z 2  cos θ1 +  2  4 2      β Q2   A + A2  − 4 .L 4 −2 S f 4 −2 +  3 3 + A 3 z 3  cos θ 2 + 2    gA 3   A + A3  +  4 L 4 −3 S f 4 −3 ---------------------------------------------- 7.95 2  

En el caso del régimen lento esta ecuación se utiliza para el cálculo de la cota del agua en 4. Esto es, se calculan los caudales tal como se planteó en el algoritmo anterior y el paso 2 de ese algoritmo se realiza con la ecuación de momentum 7.95. En ella, para este caso, son conocidas como datos θ1 y θ2 y se calculan a partir del desarrollo del punto 1 del algoritmo anterior, Fe2 y Fe3. Para el cálculo de W x 4 −2 , W x 4 −3 , Ff 4 −2 y Ff4-3 es necesario conocer y4 que es justamente lo que se busca. Así la ecuación 7.95 se resuelve por aproximaciones necesarias, suponiendo y4 hasta que el término de la izquierda y el de la derecha se igualen. Régimen supercrítico. En el caso de régimen supercrítico el análisis se realiza de acuerdo al siguiente algoritmo:

Algoritmo. 1. 2. 3.

Ubicar la sección de control aguas arriba de 4 y calcular la curva superficial hasta ahí, definiendo y4 y E4. Se igualan las profundidades en las secciones 2 y 3 con el valor de la profundidad en la sección 4. Con la ecuación 7.95 y la de continuidad en el nodo se calculan los gastos por cada ramal.

En el caso del uso de la ecuación de energía el proceso sería: 600

Hidráulica de las Conducciones Libres

Algoritmo. 1. 2.

Repetir el paso 1 y 2 del algoritmo anterior. Con la ecuación de energía suponer Q4-2 y Q4-3 y calcular la energía de 2 a 4 y de 3 a 4. Los gastos serán los buscados cuando por ambos caminos la energía en 4 sea la misma.

7.7.3

Flujo dividido: confluencia de cauces.

Este problema es semejante al de la bifurcación respecto a la información necesaria. Aquí las ecuaciones de la energía y el momentum son también empleadas con los mismos señalamientos que en el caso anterior.

FIGURA 7.44 ESQUEMA DE UNA CONFLUENCIA. La confluencia presenta también tres casos: confluencia en régimen subcrítico, confluencia en régimen supercrítico y confluencia en régimen mixto.

• Una solución propuesta por Chow (1959). Si el esquema de la figura 7.44 se analiza con cuidado en el caso del régimen subcrítico se llega a las siguientes conclusiones: - Los gastos Q4-3 y Q5-3 son datos de entrada. - La sección de control de la sección 3 está aguas debajo de ella. - Las pérdidas por corrientes secundarias para velocidades menores que 3m/s pueden calcularse como h ce = 0,1 ∆h v ----------------------------------------------------- 7.96 donde ∆h v es el mayor valor entre ∆h v 4-3 y ∆h v 5-3. El régimen permanente y variado

601

Con estas premisas entonces el algoritmo de cálculo sería:

Algoritmo. 1. 2. 3. 4.

Calcular Q3-SC = Q4-3 y Q5-3. Con la ecuación de energía calcular las cotas del agua desde SC hasta 3. Con Q4-3 y la cota del agua en la sección 3, calcular la cota del agua en la sección 4. Con Q5-3 y la cota del agua en la sección 3, calcular la cota del agua en la sección 5.

• La solución que presenta el HEC-RAS. El Manual de Referencia de este programa enuncia la ecuación de energía entre 4 y 3, así: CA 4 + α 4

v2 v 24 = CA 3 + α 3 3 + S f 2g 2g

4 −3 L 4 −3 + C α 4

v2 v 24 − α 3 3 -7.97 2g 2g

donde CAi es la cota del agua (zi + yi) en la sección i. Para el caso del régimen lento se plantea una solución idéntica a la de Chow y que se precisa en el algoritmo anterior, si es la ecuación de energía la empleada. En caso del régimen rápido y el empleo de la ecuación de energía se propone: Algoritmo. 1. Calcular la CA4 a partir de la sección de control aguas arriba por su ramal y del gasto conocido Q4-3. 2. Calcular CA5 a partir de la sección de control aguas arriba por su ramal y el gasto conocido Q5-3. 3. Se calculan las fuerzas específicas en las secciones 4 y 5. Se considera que el afluente que controla la confluencia es el que mayor fuerza específica tiene. 4. Entonces, si Fe 4 ≥ Fe5 se calcula CA3 con la ecuación de

energía a partir de 4. Si Fe5 ≥ Fe 4 se calcula CA3 con la ecuación de energía a partir de 5. 602

Hidráulica de las Conducciones Libres

Si se emplea la ecuación de momentum en el caso de que los ángulos de confluencia sean grandes o muy diferentes entre sí el análisis sería, para el régimen lento, con el siguiente algoritmo:

Algoritmo. Se calcula CA3 con la ecuación de energía de la SC. Se calculan las cotas del agua en 4 y 5 (CA4, CA5) al resolver la ecuación de momentum evaluando únicamente las fuerzas en la dirección del cauce principal (3-SC). La ecuación quedaría así: Fe3 = Fe 4 ⋅ cos θ1 + Ff 4 −3 + W x 4 −3 + Fe5 cos θ 2 − Ff 5 −3 + W x 5−3 ---7.98

1. 2.





2

Q + zA  donde Fe es la fuerza Específica   gA

 Wx es la componente del peso en la dirección 3-Sc. Ff la fuerza de fricción.

Las fuerzas de fricción y el peso se calculan, cada una de ellas, con los sumandos considerando la hipótesis de que el centroide de la confluencia equidista de las secciones extremas del volumen de control. El primer sumando corresponde al recorrido desde 4 hasta el centroide de la confluencia, empleando el área A4 como representativa de dicho recorrido. El segundo sumando corresponde al recorrido restante (desde el centroide hasta 3) usando, esta vez, el área A3 como representativa de dicho recorrido, pero ponderada con la relación entre caudales, porque de no hacerlo así, el área A3 aparecería dos veces, tanto en el cálculo de la fuerza total de fricción como en el de la fuerza debida al peso. Entonces, Ff 4 −3 = Sf 4 −3 ⋅ Ff 5−3 = Sf 5 −3 ⋅

L4−3 2 L 5− 3 2

⋅ A 4 cos θ1 + Sf 4−3 A 5 cos θ 2 + Sf 5 −3

L 4 −3 Q ⋅ A 3 4 --------- 7.99 2 Q3

Q L 5 −3 A 3 5 ------------7.100 2 Q3

El régimen permanente y variado

603

Wx 4 −3 = S 0 4−3 ⋅ Wx 5 −3 = S 0 5 −3 ⋅

L4−3 2 L5−3 2

A 4 cos θ1 + S 0 4 −3

L 4−3 Q A 3 4 -------- 7.101 2 Q3

A 5 cos θ 2 + S 0 5 −3

L 5 −3 Q A 3 5 --------- 7.102 2 Q3

La solución de la ecuación 7.98 implica tener que asumir una hipótesis adicional: CA4 = CA5. Para que esto sea válido las secciones 3, 4 y 5 deben estar muy próximas para así minimizar el error asociado a esta hipótesis. En el caso de régimen rápido (supercrítico) el análisis del problema con la ecuación de momentum lleva al siguiente algoritmo.

Algoritmo. 1.

2.

Se calculan, con la ecuación de energía, la CA en las secciones 4 y 5 a partir de las respectivas secciones de control aguas arriba. Con la ecuación 7.98 se resuelve las CA3 conocida toda la parte derecha de la ecuación.

7.7.4

Régimen mixto en la confluencia y en la bifurcación de cauces.

Este problema se trata aparte por su especialidad. Como se definió anteriormente uno de los casos que puede ocurrir en la confluencia y en la derivación es la ocurrencia de régimen subcrítico y supercrítico en los canales. Si bien es cierto que la confluencia y la bifurcación en régimen subcrítico son los casos que más aparecen en la práctica, el resto de los casos pueden presentarse ocasionalmente y su estudio y definición de sus algoritmos de cálculo mantienen un uso práctico indiscutible. . 604

Hidráulica de las Conducciones Libres

•

Solución del HEC-RAS para la confluencia.

Para la confluencia se considera régimen mixto si en uno de los afluentes se produce régimen supercrítico y en el otro subcrítico. La solución del problema definirá cual de los afluentes domina en la confluencia y por tanto impone las condiciones de circulación. Un algoritmo para su solución sería:

Algoritmo. Calcular la confluencia como si fuera régimen subcrítico. Si el resultado obtenido tiene un comportamiento lógico respecto a los perfiles de flujo y esos no tienden a cortar la línea de la profundidad crítica para encontrar la solución en el otro régimen, la confluencia no es mixta y se dará por terminado el cálculo. Este paso implica tener aguas debajo de la sección 3, una sección de control con régimen subcrítico para el gasto suma. Si se detecta en la sección 4, en la 5, o en ambas, que el régimen es supercrítico se avanza al siguiente paso, siendo la confluencia en este caso de régimen mixto. 2. Si el régimen supercrítico se detecta en 4 o en 9 se busca la necesaria sección de control aguas arriba para definir, a partir de ella, la profundidad correspondiente. La otra profundidad se definirá en régimen subcrítico a partir de la sección 3. Se pasa al paso siguiente. Si el régimen supercrítico se detecta en 4 y 5, se buscan las secciones de control correspondientes aguas arriba y se definen las cotas del agua solucionándose la confluencia para régimen supercrítico y se da por terminado el cálculo. 3. Se calculan las fuerzas específicas en las secciones 3, 4 y 5 con el régimen de circulación que le corresponde. Supóngase que la sección 4 es de régimen supercrítico y la sección 5 tiene régimen subcrítico. Si Fe5 > Fe4 el control de la confluencia lo ejerce el régimen subcrítico (sección 5) y por tanto la cota de agua en la sección 3 es válida, debiendo ubicarse el salto hidráulico 1.

El régimen permanente y variado

605

que se produce en el cambio de niveles entre la sección 4 y la sección 3. Si Fe4 > Fe5 el control de la confluencia lo ejerce el afluente con régimen supercrítico. Se calcula la cota del agua en 3 a partir de 4 y se recalcula la fuerza específica de la sección 3 (Fe3), siendo el valor anterior calculado para régimen lento. Si FeL 3 < FeR 3 asume que la cota de agua en 3 es la calculada para régimen supercrítico y se continúa hacia abajo el cálculo de la curva superficial hasta encontrar el salto hidráulico. En este caso se asume que la cota de agua en la sección 5 es la crítica y a partir de ella se calcula hacia aguas arriba los niveles en el canal correspondiente. Si FeL 3 < FeR 3 se considera válida la cota subcrítica para la sección 3 y se pasa a resolver el salto hidráulico entre 4 y 3. Si se toma la ecuación de momentum para resolver esta situación la lógica es análoga el caso en que se utiliza la ecuación de energía, salvo que el cálculo de las cotas del agua en las secciones 3, 4 y 5 se realizan con la ecuación 7.98.

•

Solución de HEC-RAS para la bifurcación.

Aquí se considerará régimen mixto si en la sección 4 existe régimen supercrítico mientras que en las secciones 2 y 3 el régimen sea subcrítico. El algoritmo en este caso será:

Algoritmo. 1.

Calcular la bifurcación como si el régimen fuera subcrítico, esto implica definir las secciones de control correspondientes. Si en el cálculo del perfil de flujo entre 2 y 4 o entre 3 y 4 se detecta que la solución está por debajo de la crítica ya que la correspondiente (alternativa) subcrítica es ilógica, se recalcula la conducción para régimen rápido teniendo que ubicarse la sección de control (aguas arriba) que controla el nivel en 4.

606

Hidráulica de las Conducciones Libres

2. 3.

Con la cota en 4 CA R4 se recalculan las cotas en las secciones 2 y 3. Se calculan las fuerzas específicas en las secciones 2 y 3 para régimen rápido y lento (Fe Ri ) y lento. Si Fe R2 > Fe L2 la cota del agua en 2 es la del régimen supercrítico. Si Fe L2 > Fe R2 la cota del agua en 2 es la del régimen subcrítico y habrá que seleccionar el salto hidráulico que se presenta. Si Fe R3 > Fe L3 la cota del agua en 3 es la del régimen supercrítico. Si Fe L3 > Fe R3 la cota del agua en 3 es la del régimen subcrítico y habrá que solucionar el salto hidráulico que se produce.

El régimen permanente y variado

607

8 EL RÉGIMEN IMPERMANENTE

El régimen impermanente en canales, llamado también no establecido o transitorio, se caracteriza porque: el gasto, la velocidad y la profundidad varían en el tiempo. Este régimen de circulación en canales, se asocia generalmente a la propagación de ondas. Una onda es definida como: una variación temporal o espacial, del flujo, o de la superficie libre.

FIGURA 8.1 UNA ONDA DE AVENIDA EN UN CAUCE SECO Tomada del Eagleson (1970).

El análisis de los problemas asociados a este régimen es mucho más complejo, al aparecer el tiempo como una variable ________________________________________________ 608 Hidráulica de las Conducciones Libres

independiente adicional. Las ecuaciones resultantes por tanto, son ecuaciones diferenciales en derivados parciales. El tránsito del agua por un canal es un proceso distribuido a lo largo del espacio y en el tiempo. La estimación de los gastos o de las profundidades se obtiene utilizando un modelo de régimen impermanente y variado basado en las ecuaciones diferenciales parciales de Saint-Venant que permiten el cálculo del gasto y las profundidades como función del espacio y el tiempo.

FIGURA 8.2 UNA ONDA DE AVENIDA. Tomada de Chow (1959).

El cálculo de las profundidades de una crecida, es necesario ya que este nivel delinea la planicie de inundación, determinando la altura requerida para las obras de protección y de pase. El cálculo de los caudales como función del espacio y del tiempo es importante al definir los hidrogramas de diseño de una obra hidráulica y la operación de los sistemas de abasto. ________________________________________________ El régimen impermanente 609

Como alternativa al modelo impermanente-variado, está el uso de un modelo para calcular el caudal como función del tiempo en la sección deseada y luego calcular los niveles, suponiendo un modelo permanente-variado a lo largo del canal. La ventaja del modelo impermanente-variado, sobre la segunda alternativa, es que el primero calcula simultáneamente gasto y nivel, por lo cual se aproxima mejor a la naturaleza del fenómeno. 8.1 El régimen impermanente: clasificación y generalidades.

El régimen impermanente se subclasifica en: régimen impermanente gradualmente variado régimen impermanente rápidamente variado. En el primer caso la curvatura del perfil de la ola es moderada, el cambio de la profundidad es gradual y la componente vertical de la aceleración es despreciable, mientras el efecto de la fricción debe tomarse en cuenta en un análisis cuidadoso. En el segundo caso el perfil de la ola es abrupto, con una gran curvatura. En este caso la componente vertical de la aceleración es apreciable mientras que los efectos de la fricción pueden despreciarse frente al efecto dinámico del flujo. Ejemplos de régimen impermanente se encuentran en: RIGV: - ondas de avenida - operaciones lentas de estructuras de control (compuertas, tomas laterales). RIRV: - operaciones rápidas de estructuras de control - rompimiento de un dique de contención - arranque o parada de bombas que abastecen un canal El tránsito de una avenida por un canal se modela a partir de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento, deducidas para régimen impermanente en un canal, ecuaciones 1.41, 1.42, ________________________________________________ 610 Hidráulica de las Conducciones Libres

1.44, 1.55, 1.56, 1.57, 1.58, o cualquiera de sus otras formas, para flujo unidimensional, o sea, a lo largo del canal en la dirección del flujo. Barre de Saint-Venant, presentó en 1871, las formulaciones de esas ecuaciones, partiendo de las siguientes hipótesis: flujo unidimensional e incompresible, donde la velocidad y la profundidad solo varían a lo largo del eje de la conducción. Flujo gradualmente variado. El eje del canal es aproximadamente recto. La ecuación de Manning describe los fenómenos de resistencia. Distribución hidrostática de presiones. Aceleración vertical despreciable. Pendiente media del fondo suave y lecho de fondo fijo. Al estarse produciendo una onda, en avance o en retroceso, en el canal se produce, en estas condiciones, un fenómeno importante: el gasto cambia sección a sección, al igual que la velocidad y la profundidad. En el ejemplo de la figura 8.3 el régimen permanente avanza con v, y, Q propias y el impermanente crea una onda de retroceso con otras características.

FIGURA 8.3 GENERACION DE UNA ONDA.

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Nótese que la velocidad que aparecerá en las EDP es la resultante en cada sección, de las dos velocidades predominantes, por tanto no representa un valor específico. 8.1.1 Objetivo del cálculo del RI.

El objetivo del cálculo de un régimen impermanente y variado puede enunciarse así, –– Conocer la profundidad, así como el gasto y la velocidad del flujo en los diferentes intervalos de tiempo, teniendo como frontera superior, o de fin del impermanente, el flujo uniforme o variado permanente, o una nueva situación (cambio de gasto, nuevo cierre de una compuerta, etc.) que varíe la condición del cálculo anterior. Por tanto, si hay dos incógnitas: y y v, o, y y Q; se necesitan dos ecuaciones para resolver el problema que se presenta. 8.1.2

Las ecuaciones de Saint Venant.

Las ecuaciones de Saint-Venant tienen varias formas simplificadas en su forma conservativa y no conservativa. La ecuación dinámica consta de términos para los procesos físicos que gobiernan el momentum. Estos términos son: aceleración local, que describe el cambio de momentum debido a los cambios de velocidad con el tiempo, la aceleración convectiva, la cual describe el cambio de momentum debido al cambio de velocidad a lo largo del canal; el término fuerza de presión, proporcional al cambio de profundidad del agua; el término fuerza gravitacional proporcional a la pendiente del fondo; el término fuerza de fricción proporcional a la pendiente de fricción.

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Los términos aceleración local y convectiva representan el efecto de las fuerzas de inercia del flujo. Entonces puede escribirse la forma conservativa así, 1 ∂Q 1 ∂  Q2  ∂y  + g + g(So − S f ) = 0  +   A ∂t A ∂x  A  ∂x

El modelo de onda dinámica compuesto por las ecuaciones de conservación de masas y momentum, esta última en su forma más completa, describe el fenómeno de tránsito de la onda con bastante fidelidad, pero como debilidad tiene su complejidad que genera para su solución: una base de datos muy grande, soluciones informático-matemáticas complejas, tiempo de máquinas relativamente altos, necesidades computacionales de alta tecnología. Por los motivos anteriores existen tres tendencias para la solución numérica del RI: • Abordar la solución con el modelo de onda dinámica. • Simplificar el modelo de onda dinámica en los casos posibles. • Buscar soluciones alternativas, que no impliquen la modelación numérica del fenómeno. El modelo simplificado más sencillo es el de onda cinemática el cual no tiene en cuenta los tres primeros términos y entonces supone que: So = S f , o sea que hay balance entre las fuerzas de fricción y gravitatorias. Este modelo, al igual que el inmediato en complejidad, el de difusión, es útil cuando no hay remansos, se estudia la propagación aguas abajo y las pendientes son mayores que 0,01%. El modelo de onda de difusión incorpora al de onda cinemática el término de la fuerza de presión ( g(dy / dx ) + g(S o − S f ) = 0 ), mientras que el modelo de onda dinámica considera todos los términos. ________________________________________________ El régimen impermanente 613

Las ondas dinámicas dominan al flujo cuando las fuerzas inerciales y de presión son importantes (flujo subcrítico, propagación aguas arriba...), mientras que las ondas cinemáticas dan una buena representación del fenómeno físico cuando el régimen es supercrítico y se están analizando transmisión hacia aguas abajo. 8.2 Simplificaciones de la onda dinámica.

A continuación se analizarán, sin pretender profundizar en todas sus complejidades, las simplificaciones, comenzando por las de mayor complejidad hasta analizar dos aplicaciones sencillas. 8.2.1

La onda de difusión u onda difusiva.

Chow (1959) expone un modelo difusivo a partir del trabajo de G. Joss, que, en 1950, presenta en su libro “Física Teórica” una solución, usando la teoría estadística clásica, apropiada para el problema de las ondas de avenidas. Esta teoría es comunmente aplicada a problemas de transferencia de calor debida al choque entre partículas bajo la ley general de la conducción del calor de Fourier. En corrientes naturales las perturbaciones del flujo causadas por irregularidades locales tienen una magnitud definida para cualquier tiempo y en cualquier sección. Estas perturbaciones se mezclan, se disipan y se propagan en la dirección del flujo. En la aplicación de la teoría de la difusión del flujo, se puede asumir que la difusión de las perturbaciones es análoga a la difusión de las partículas. En corrientes naturales las irregularidades locales proveen de un almacenamiento irregular y las ecuaciones obtenidas reflejan la razón de cambio de la capacidad de almacenamiento debido a las irregularidades. ________________________________________________ 614 Hidráulica de las Conducciones Libres

En cauces anchos, al despreciar los términos de inercia en la ecuación de momentum, Hyami en 1951, referenciado por Chow (1959) y Eagleson (1970), propone como ecuación de continuidad una de las ya conocidas formas, δq δy + =0 δx δt

y como ecuación de momentum para una onda que se propaga aguas abajo, q = cy − D 0

δy ------------------------------------------------------- 8.1 δx

donde, c q D0

es la celeridad de la onda difusiva, es el gasto específico, es el coeficiente de difusividad, –– para NF