• Author / Uploaded
• Diego F. Rodriguez

• Categories
• Masa
• Geodesia
• Ecuaciones
• Dipolo
• Derivado

Citation preview

G EO D E S IA

F I SI CA

WEIKKO A. HEISKANEN Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia

HELMUT MORITZ Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín

W. H. FREEMAN AND COMPANY San Francisco y Londres PREFACIO

Casi todas las mediciones geodésicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, el estudio de las propiedades físicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodésicas, las cuales constituyen la base de la geodesia física, representa una parte esencial de la educación de un geodesta. En los diez años que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, ―The Earth and Its Gravity Field‖ (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el tiempo resultaba cada vez más difícil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto teóricos como prácticos, en una nueva edición del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El gran aumento en la cantidad de información disponible requería que este se limitara concretamente a los aspectos geodésicos; los adelantos teóricos han hecho necesario un mayor énfa sis en los métodos matemáticos. Así nació este libro, cuyo propósito es exponer los aspectos teóricos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresión ―física teórica‖. Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado , se deberá contar con todos los conocimientos matemáticos y físicos requeridos por los departamentos de geodesia física. Los capítulos del 6 al 8 presentan varios temas más especializados y avanzados en los que actualmente se están realizando muchas investigaciones. (Es posible que estos capítulos sean más parcializados que los demás). El lector que logre conocer esta materia a fondo estará en capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado un capítulo sobre métodos celestes o astronómicos; este material podría formar parte del curso básico. Hemos puesto todo nuestro empeño para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deducciones detalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de los principios se han considerado más importantes que los desarrollos matemáticos formales pero sin omitir estos últimos. Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los últimos adelantos teóricos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el capítulo 8. Se han omitido intencionalmente aquellas técnicas de observación como las que se utilizan para las observaciones astronómicas o las mediciones gravimétricas ya que no tienen mucha relación con una presentación que, básicamente es teórica. Al final de cada capítulo hay una bibliografía de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cuales podrían resultar útiles para un estudio más detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el año de publicación –por ejemplo, Kellogg (1929). No ha sido nuestra intención establecer prioridades. Los nombres relacionados con las fórmulas deben considerarse principalmente rótulos o membretes convenientes. Así mismo, se ha indicado la obra de mayor acceso o más completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera. La mayoría de nuestras propias investigaciones que se han incluido en el libro se llevaron a cabo en la Universidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revisó cuidadosamente la redacción en inglés de partes del manuscrito.

Diciembre 1966

WEIKKO A. HEISKA NEN HELMUT MORITZ

INDICE

1 Principios de la Teoría del Potencial 1-1. 1-2. 1-3. 1-4. 1-5. 1-6. 1-7. 1-8. 1-9. 1-10. 1-11. 1-12. 1-13. 1-14. 1-15. 1-16. 1-17. 1-18. 1-19. 1-20.

Introducción. Atracción del Potencial. Potencial de un Cuerpo Sólido Potencial de una Superficie Material Potencial de una Doble Capa Fórmulas Integrales de Gauss y Green Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas Armónicas Esféricas Armónicas Esféricas de Superficie Funciones de Legendre Funciones de Legendre del Segundo Tipo Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas Desarrollo dela Distancia Recíproca en Armónicas Zonales. Fórmula de Descomposición Solución del Problema de Dirichlet por medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson Otros Problemas de Valores Límites La Derivada Radial de una Función Armónica La Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales Armónicas Elipsoidales

1 3 5 6 9 11 14 17 19 20 21 26 28 29 33 35 37 38 41 43

Referencias

48

2 El Campo de Gravedad de la Tierra 2-1. 2-2. 2-3. 2-4. 2-5. 2-6. 2-7. 2-8. 2-9. 2-10. 2-11. 2-12. 2-13. 2-14. 2-15. 2-16. 2-17. 2-18.

Gravedad 49 Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada 51 Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Líneas de la Plomada 53 Coordenadas Naturales 58 El Potencial e la Tierra en Términos de Armónicas Esféricas 60 Armónicas de Grado Inferior 64 El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel 67 Gravedad Normal 70 Desarrollo del Potencial Normal 74 Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal 77 Valores Numéricos. El Elipsoide Internacional 82 Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia 84 El Campo Anómalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical 85 Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas 90 Anomalías de la Gravedad 92 Fórmula de Stokes 95 Formas Explícitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas 98 Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario 101

2-19. 2-20. 2-21. 2-22. 2-23. 2-24.

Generalización dela Fórmula de Stokes para N 103 Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra 110 El Elipsoide Terrestre Medio 112 Desviaciones de la Vertical. Fórmula de Vening Meinesz 114 El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reducción de Aire Libre al Nivel del Mar Determinación Práctica del Valor de las Fórmulas Integrales 120 Referencias

117

126

3 Métodos Gravimétricos 3-1. 3-2. 3-3. 3-4. 3-5. 3-6. 3-7. 3-8. 3-9.

Reducción de la Gravedad 129 Fórmulas Auxiliares 130 La Reducción de Bouguer 133 Isostasia 136 Reducciones Isostáticas 140 El Efecto Indirecto 144 Otras Reducciones de la Gravedad 146 Efectos Esféricos 150 Determinación Práctica del Geoide 155 Referencias

162

4 Alturas Sobre el Nivel del Mar 4-1. 4-2. 4-3. 4-4. 4-5. 4-6. 4-7.

Nivelación con Nivel de Burbuja 164 Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey Alturas Ortométricas 170 Alturas Normales 174 Comparación de los Diversos Sistemas de Alturas Alturas Trianguladas 178 Referencias

166 167

176

182

5 Métodos Astrogeodésicos

5-1. 5-2. 5-3. 5-4. 5-5. 5-6. 5-7. 5-8. 5-9. 5-10. 5-11. 5-12.

Introducción 183 Proyecciones hacia el Elipsoide 184 Proyección de Helmert. Coordenadas Geodésicas y Rectangulares 186 Reducción delas Observaciones Astronómicas al Elipsoide 190 Reducción de los Ángulos Horizontales y Verticales y de las Distancias 194 Reducción de las Coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada La Determinación Astrogeodésica del Geoide 202 Interpolación de las Desviaciones de la Vertical. Nivelación Astrogravimétrica 206 Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum 209 Determinación del Tamaño de la Tierra 215 Elipsoides de Mejor Ajuste y el Elipsoide Terrestre Medio 220 Geodesia Tridimensional 223

198

Referencias

230

6 Campo de Gravedad Fuera de la Tierra 6-1. 6-2. 6-3. 6-4. 6-5. 6-6. 6-7. 6-8.

Introducción Gravedad Normal – Fórmulas Cerradas Gravedad Normal – Desarrollos en Serie Perturbaciones de la Gravedad – Método Directo Perturbaciones de la Gravedad – Método de Revestimiento Perturbaciones de la Gravedad – Prolongación Ascendente Otras Consideraciones Anomalías de la Gravedad Fuera de al Tierra Referencias

7 Métodos Estadísticos en la Geodesia Física 7-1. 7-2. 7-3. 7-4. 7-5. 7-6. 7-7. 7-8. 7-9. 7-10.

Introducción La Función de Covarianza Desarrollo de la Función de Covarianza en Armónicas Esféricas Influencia de Zonas Distantes en la Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz Interpolación y Extrapolación de las Anomalías de Gravedad Precisión de los Métodos de Predicción. Predicción Mínima Cuadrática Propagación del Error. Precisión de las Armónicas Esféricas Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalías de la Gravedad Precisión de las Anomalías Medias Correlación con la Elevación Referencias

8 Métodos Modernos para Determinar la Configuración de la Tierra 8-1. 8-2. 8-3. 8-4. 8-5. 8-6. 8-7. 8-8. 8-9. 8-10. 8-11.

Introducción Reducciones de al Gravedad y el Geoide El Problema de Molodensky Ecuaciones Integrales Lineales Aplicación de las Integrales de Green Ecuación Integral para la Capa Superficial Solución de la Ecuación Integral Interpretación Geométrica Desviaciones dela Vertical Prolongación Descendente hasta el Nivel del Mar Reducción de la Gravedad según la Teoría Moderna

8-12. Determinación del Geoide con las Anomalías a Nivel del Suelo 8-13. Repaso Referencias

9 Métodos Astronómicos 9-1. 9-2. 9-3. 9-4. 9-5. 9-6. 9-7. 9-8.

Introducción. Métodos de Observación Determinación del Tamaño de la Tierra con Observaciones de la Luna Efectos Dinámicos del Achatamiento de la Tierra Determinación del Achatamiento a partir de la Precisión Orbitas de los Satélites Artificiales Determinación de las Armónicas Zonales Coordenadas Rectangulares del Satélite y sus Perturbaciones Determinación de las Armónicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones Referencias

CAPITULO

1

1-1. Introducción. Atracción y Potencial

El propósito de este capítulo es presentar los principios de la teoría del potencial, incluyendo las armónicas esféricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir la plena comprensión de los capítulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de los teoremas y de las fórmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquier otra parte del textos sobre la teoría del potencial (léanse las referencias al fina l de este capítulo). Se ha tratado de hacer una presentación sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa y exacta. Aun así, es posible que el lector considere este capítulo más bien abstracto y hasta más difícil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prácticas ofrecerán más adelante un concepto más concreto de los temas expuestos en este capítulo, tal vez el lector prefiera leerlo por encima la primera vez para luego regresar a él cuando sea necesario. De acuerdo con la ley de la gravitación de Newton, dos puntos cuyas masas están representadas por m1, m2, separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a

F

k

m1m2 l2

(1-1)

Esta fuerza está orientada a lo largo de la línea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. En unidades de egs, dicha constante tiene un valor de

k = 66.7 X 10

8

cm 2 g

1

sec

2

(1-2) según las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930. Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simétrica, resulta conveniente denominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atraída. Para mayor sencillez podemos considerar la masa atraída igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La fórmula

F k

m l2

(1-3)

Aunque las masas representa la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia l de m. Ahora podemos incorporar un sistema de coordenadas rectangulares xyz, y denotar las coordenadas de la masa atrayente m por , , y las coordenadas del punto atraído P por x, y, z. La fuerza puede representarse mediante un vector con magnitud de F (fig. 1-1). Los componentes de F pueden expresarse así

X

F cos

Y

F cos

Z

F cos

km x l2 l km y l2 l

km km

km z l2 l

km

x l3 y

(1-4)

l3

z l3

en donde

l

(x

)2 ( y

)2

2

(z

)

(1-5)

Luego incorporamos una función escalar km , (1- 6) l conocida como el potencial de gravitación. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarán por consiguiente así V

X

V , Y x

V , Z y

V , z

(1-7)

Esto puede verificarse fácilmente diferenciando (1-6), dado que

1 ( ) x l

1 l l2 x

1 x l2 l

x l3

,........

(1-8)

El símbolo vectorial de (1-7) se expresa F = (X,Y,Z) – grad V (1-7‘) Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la función escalar V. Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (1-7), las tres componentes del vector F pueden sustituirse por una sola función V. Especialmente cuando estamos considerando la atracción de sistemas de ma sas puntuales o de cuerpos sólidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho más fácil tratar con el potencial que con las tres

componentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son válidas las relaciones (1-7); la función sería entonces sólo una suma de las contribuciones de las respectivas partículas. De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . . . . . , m n , que si tenemos el potencial del sistema sería la suma de las contribuciones individuales (1-6):

V

km 1 l1

km 2 l2

n

km n ln

.........

k i 1

mi li

(1-9)

FIGURA 1-1 Las componentes de la fuerza gravitacional. La figura superior muestra la componente y.

1-2. Potencial de un Cuerpo Sólido Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v (fig. 1-2) con una densidad de dm (1-10) , dv en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (1-9) se convierte en una integral

V

k v

dm l

k v

en donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm =

l

(1-11)

dv, dv y el punto atraído P.

FIGURA 1-2 Potencial de un cuerpo sólido

Si denotamos las coordenadas del punto atraído por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de ( ,

) , las coordenadas vemos que l está dada nuevamente por (1-5), y podemos escribir explícitamente

V( x, y, z)

( , , )

k v

(x

)

2

(y

)2

(z

)2

d d d ,

puesto que el elemento de volumen está expresado por Esta es la razón por la que tenemos integrales triples en (1-11) Las componentes de la fuerza de atracción están dadas por (1-7). Por ejemplo,

(1-11‘)

,

X

V x

k

k v

( , , ) d d d , x v l 1 ( , , ) d d d . xl

Nótese que hemos intercambiado el orden de la diferenciación y de la integración. Si sustituimos (1-8) en la expresión anterior, obtenemos finalmente

X

k v

x l3

dv.

Hay expresiones similares que son válidas para Y y Z. El potencial V es continuo en todo el espacio y se an ula cuando tiende a infinito como 1/ l . Esto es obvio por el hecho de que para distancias l muy grandes el cuerpo actúa más o menos como una masa puntual, con el resultado de que su atracción está representada aproximadamente por (1-6). E n consecuencia, los planetas se consideran generalmente masas puntuales en lo que se refiere a la mecánica celeste. Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, también son continuas en todo el espacio, pero no así las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las segundas derivadas presentan una discontinuidad. Esto se manifiesta por el hecho de que el potencial V satisface la ecuación de Poisson : (1-13) V 4 k en donde 2

V El símbolo

2

V x2

2

V y2

V z2

(1-14)

, llamado el operador de Laplace, tiene la forma 2

2

2

x2

y2

z2

Analizando (1-13 y 1-14) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrá que ser discontinua junto con . En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vacío, la densidad es cero y (1-13) se convierte en (1-15) V 0 Esta es la ecuación de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armónicas. Por consiguiente, el potencial de gravitación constituye una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas allí satisface la ecuación de Poisson.

1-3. Potencial de una Superficie Material Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con un espesor de cero y una densidad de

k

dm dS

en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso más o menos imaginario pero aun así de gran importancia teórica. Al igual que (1-11), el potencial está dado por

V

k S

en donde

l

dm l

k S

k dS l

(1-16)

representa la distancia entre el punto atraído P y el elemento de superficie dS (fig. 1-3).

En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior.

FIGURA 1-3 Potencial de una Superficie Material

Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el límite

dV dn

2 kk k

dV dn

2 kk k

k

1 dS; n l

k

1 dS. n l

S

(1-17a)

si es desde el interior

S

(1-17b)

Para efectos de este texto / n denotará la deriva en dirección de la normal exterior n (fig. 1-3). Por ende vemos que la derivada normal V / n tiene una discontinuidad en S :

V n

V n

?

4 kk

(1-18)

?

Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (1-17a,b) y representan la discontinuidad en S dela derivada de V a lo largo de una dirección arbitraria m :

V m

2 kk cos(m, n ) k

V m

2 kk cos(m, n ) k

k

1 dS. m l

(1-19a)

k

1 dS. m l

(1-19b)

S

S

en donde (m,n) denota el ángulo entre la dirección m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (1-17a,b) y de la continuidad de las derivadas tangenciales. Las discontinuidades ocurren únicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todas partes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la e cuación de Laplace para las funciones armónicas, V 0. En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo sólido, anulándose como 1/ l para l . El potencial de las superficies materiales también se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo del potencial de doble capa que se explica continuación.

1-4. Potencial de una Doble Capa Imagínese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y –m, separadas por una distancia h pequeña (fig. 1-4). En gravitación, éste sería un caso enteramente imaginario puesto que no existen masas negativas, no obstante, el concepto matemático resulta útil. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen en efecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva está dado por

V V

el potencial de la masa negativa por

km , l km , h

Luego el potencial total del dipolo estaría representado por

V

V

V

km

1 1 . l h

Si denotamos la dirección del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylor con respecto a h :

1 h

1 l

1 1 2 1 2 h h ........ n l 2 n2 l

FIGURA 1-4 Potencial de un Dipolo

Al sustituir en la fórmula anterior obtenemos

V

1 n l

k.mh.

k

mh 2 2 1 2 n2 l

.........

o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio de M,

V

1 n l

k.M.

k

Mh 2 1 2 n2 l

.........

La cantidad mh = M se conoce como el momento dipolar. Supongamos ahora que la distancia h disminuye indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolar M = mh permanece infinito. En consecuencia, los términos de orden superior tienden a cero cuando h 0 y la expresión para V llega a un limite :

V

kM

1 n l

(1-20)

Este es el potencial de un dipolo. Una doble capa en la superficie S podría considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequeña. La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P‘ que se encuentran muy cerca uno d el otro y cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 1-5). Por tanto, todo par de puntos correspondientes P, P‘ forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura anterior está representada por k (h muy pequeña, k muy grande). Aplicando (1-20) y sumando una sucesión (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidos en forma continua sobre la superficie S, obtenemos

V

k S

1 .dM n l

k S

1 .dS n l

(1-21)

Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.

FIGURA 1-5 El potencial de doble capa como límite del potencial de dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas.

Es continuo en todas partes excepto en la superficie S; allí obtenemos dos limites diferentes para el potencial, dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S :

Ve

2 k S

Vi

2 k S

1 dS. n l

(1-22a)

1 dS. n l

(1-22b)

La diferencia,

Ve

Vi

4 k ,

(1-23)

es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasa mos de afuera hacia adentro. Aunque las ecuaciones (1-22a,b) son similares a las (1-17a,b) la diferenciación / n se refiere a la normal a la superficie en el punto atraído P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las fórmulas para el potencial de doble capa, y por consiguiente en (1-22a,b), la diferenciación / n se toma a lo largo de la normal a la superficie en el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto la dirección de la normal a la superficie hacia fuera. La doble capa deberá distinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el mismo (se anulan como 1/ l), así como el hecho de que son armónicas tanto en el interior como en el exterior de S, satisfaciendo allí la ecuación de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezas

totalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan usarse matemáticamente, especialmente con relación a los teoremas de Green.

1-5. Fórmulas Integrales de Gauss y Green Los teoremas y fórmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones básicas de la teoría del potencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia teórica. Fórmula de Gauss. Empezando por la fórmula integral de Gauss,

divF.dv

Fn .dS,

v

(1-24)

S

en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proy ección del vector F sobre la normal exterior a la superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes X, Y, Z, es decir, F = (X, Y, Z) entonces

divF

X x

Y y

Z z

(1-25)

Como la fórmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemáticas para ingeniería o de física matemática, no es necesario desarrollarla aquí. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva. La fórmula (1-24) es válida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado físico. El caso en que F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden existir fuentes de flujo donde éste se genera, o sumideros donde éste muere. La intensidad de las fuentes o sumideros se mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (1-24) representa la cantidad de fluido generado (o muere) en el tiempo unitario a través de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempo unitario a través dela superficie S. La fórmula de Gauss (1-24) expresa el hecho de que ambas cantidades son equivalentes. En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretación intuitiva no es tan obvia, pero muchas veces puede aplicarse la analogía del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitación las componentes X, Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (1-7) :

V , Z y

V , Y x

X

V , z

Por tanto

divF

X x

Y y

Z z

2

2

V x2

V y2

2

V z2

V,

de manera que según la ecuación de Poisson (1-13) div F = -4

k ,

Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa . La parte derecha de (1-24) se conoce como el flujo de fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional análogo también al flujo del fluido. Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las ecuaciones (17), es posible expresar la fórmula de Gauss en términos de la función V. Para el momento tomamos el eje x positivo en la dirección de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F será la componente X: Fn = V / n ; la derivada de V en la dirección de la normal n exterior, vemos que de acuerdo X. Luego, como V / x con (1-7)

V n

F Incorporando esto y la relación div F =

V a (1-24), obtenemos

V.dv v

S

V .dS. n

(1-26)

Esta es la fórmula integral de Gauss para el potencial. Al deducir (1-26) de (1-24) únicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una función V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuación de Poisson para el campo gravitacional. Por lo tanto, la integral de Gauss también es válida para una función arbitraria V que sea suficientemente regular y diferenciable. Fórmulas de Green. Estas fórmulas se deducen de (1-24) mediante la sustitución

X

U

V , Y x

V , Z y

U

U

V , z

en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) está representado por

Fn

V . n

U

Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (1-25) la divergencia sería,

U V x x

divF

U V y y

U V z z

U V.

De esta manera (1-24) pasa a ser

U. V.dv

(

v

v

U V x x

U V y y

U V ).dv z z

U S

V .dS. n

(1-27)

Esta es la primera identidad de Green. Si en esta fórmula intercambiamos las funciones U y V y restamos la ecuación nueva de la original, obtenemos

( U. V V. U )dv v

(U S

V V V )dS. n n

(1-28)

Esta es la segunda identidad de Green. En estas fórmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la región espacial v (v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y segundo orden. Es de gran importancia en el caso que

1 , l

U

en donde l representa la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P está fuera de la superficie S, entonces 1/ l es regular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la misma, entonces 1/ l se torna infinito en algún punto de v y (1-28) no podrá aplicarse directamente sino que deberá modificarse. Pasando por alto la derivación mencionemos solamente el resultado :

v

1 V.dv l

pV S

1 V 1 [ V ].dS, l n n l

(1-29)

en donde p=4 2 0

si P está dentro de S, si P está en S, si P está fuera de S.

Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (1-28) en el término –pV. La razón por la que (129) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el término que contiene / n (1/ l), el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidade s en S. Si P está fuera de S, entonces 1/ l es regular en v, y la ecuación (1-29), con p = 0, es consecuencia inmediata de (1-28); v es el interior de la superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en dirección hacia fuera. La tercera identidad de Green (1-29) y también resulta válida si v es el exterior de la superficie S y la normal n es la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de , obteniendo así :

v

1 V.dv l

pV S

1 V 1 [ V ].dS, l n n l

(1-29‘)

en donde p = 4 si P está fuera de S, 2 si P está en S, 0 si P está dentro de S. Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es válida para las funciones V que, además de satisfacer los requerimientos generales para las identidades de Green, satisfacen asimismo ciertas condiciones en infinito, como el de anularse allí.

1-6.

Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green

Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales. 1. En la tercera identidad (1-29), hacemos que V≡1. De modo que

S

1 .dS n l

{ 4 si P está dentro de S, 2

si P está en S ó 0 si P está fuera de S.

(1-30)

Estas fórmulas, que a veces resultan útiles , también fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremas sobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como éste tiene un valor constante dentro de la superficie y es cero fuera de ésta, con la discontinuidad característica (1-23) en S.

V = 0. Si el punto P también está fuera de S,

2. En este caso, V es una función armónica fuera de S : entonces la tercera identidad (1-29) resultaría en (p = 4 ) :

V

1 4

S

1 l

V 1 .dS n 4

S

1 l

n

.dS.

(1-31)

Esta fórmula demuestra que toda función armónica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (116) con una densidad de

k

y un potencial de doble capa (1-21), con una densidad de

1

V , 4 k n

=V/ 4

k.

3. Aquí también V resulta armónica fuera de S. Supongamos además que S sea una superficie donde V = Vo = const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De manera que para un punto P fuera de S, aplicamos (1-31), obtenemos

V

1 4

S

1 l

V V .dS n 4

S

1 .dS. n l

La segunda integral es cero de acuerdo con (1-30). Por tanto

1 4

V

1 V .dS l n

S

(1-32)

Esta fórmula, atribuida a Chasles, muestra que toda función armónica puede presentarse como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si V es el potencial de Newton de un cuerpo sólido dentro de S, podemos decir que es posible reemplazar cualquier cuerpo sólido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 1-6).

Daremos a continuación dos ejemplos algo más elaborados que consideramos sumamente importantes desde el punto de vista de la geodesia física. 4.

En la segunda identidad (1-28) hacemos que U≡1. Volvemos a obtener la fórmula de Gauss (1-26) :

V.dv v

S

V .dS. n

FIGURA 1-6. Teorema de Chasles. En cualquier punto P fuera de S, el potencial de una capa superficial cuya densidad k

(4 k ) 1 . V / n es igual a la del sólido atrayente en sí.

Aplicamos esta fórmula al potencial de gravedad W (gravitación más fuerza centrífuga; refiérase a la sección 2-1) :

W.dv v

La función W satisface una ecuación (2-6)

S

W .dS. n

W

4 k

la cual es similar a la ecuación de Poisson (1-13); Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que

4 k

2

2

,

representa la velocidad angular de la rotación de la tierra S.

2

2

.dv

g n .dS.

v

S

ó M

2

1 4 k

g n .dS S

2 k

v,

(1-33)

en donde

M

.dv v

M es la masa de la tierra y v su volumen. Básicamente, esta ecuación es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partir de la gravedad medida. Nótese que no es necesario conocer la distribución detallada de la densidad en el interior de la tierra.

5. Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (1-29) a un punto sobre la superficie terrestre. Entonces p = 2 , de manera que tenemos

v

1 . W.dv 2 W l

1 W 1 W .dS 0 l n n l

S

Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos

v

1 .( 4 k l

2

2

).dv 2 W

W S

1 n l

gn .dS 0 l

y según (1-11),

W

k v

l

.dv

1 2

2

(x 2

y 2 ),

2

(x 2

y2 ) 2

finalmente obtenemos

2 W

W S

1 n l

gn .dS 2 l

2 v

dv l

0

(1-34)

T odas las cantidades de esta ecuación hacen referencia a la superficie S.

La ecuación (1-34) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, sería razonable suponer que la ecuación anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podríamos considerar esta ecuación como la base matemática para determinar la superficie física S de la t ierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdo con la famosa teoría de Molodensky (refiérase al capítulo 8).

1-7. Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet

Anteriormente se definieron las funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace

V 0. Específicamente, una función se considera armónica en una región v del espacio si satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos de v. Si dicha región consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendrá además que anularse como 1/ l para l . Es posible demostrar que toda función armónica es analítica (en la región donde satisface la ecuación de Laplace); quiere decir, que es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden.

La función armónica más sencilla es la que representa la distancia recíproca

1 l

entre dos puntos ( punto (

,

,

,

,

1 (x

)

2

)2

(y

(z

)2

) y (x, y, z), la cual se considera una función de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en el

); comparemos (1-5) y (1-6) para km = 1.

Puede demostrarse fácilmente que 1/ l es armónica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma manera que (1-8) :

x

1 x l

2

x2

1 l

l2

3(x l2

l

)2

,

1

2

,

y2

y

1 y l

1 l

Si sumamos las últimas tres ecuaciones y aplicamos la definición de

l

l2

1

3( y l2

,

x

1 z l

)2

l

2

,

;

z2

1

1 l

l2

)2

3(z l2

, hallamos que

1 l

0;

(1-35)

es decir que 1/ l es armónica.

El punto ( , , ), en donde l equivale a cero y 1/ l a infinito, es el único donde no puede aplicarse la deducción anterior; 1/ l no es armónica en este punto exclusivamente.

De hecho, el potencial algo más general (1-6) de una masa puntual arbitraria m también es armónico excepto en ( 35) no cambia al multiplicar ambos lados por km.

,

,

) dado que (1-

En el exterior de las masas atrayentes, no sólo el potencial de una masa puntual es armónico sino también cualquier otro potencial gravitacional. Consideremos ahora el potencial (1-11) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciación y de la integración, hallamos que de acuerdo con (1-11)

V

k v

l

.dv

k v

1 .dv l

0;

es decir, que el potencial de un cuerpo sólido también es armónico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes.

Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deducción anterior resulta nula puesto que 1/ l pasa a ser infinito para el elemento de masa dm ( , , ) que coincide con P (c, y, z), y (1-35) deja de ser válida. Esta es la razón por la que el potencial de un cuerpo sólido no es arm ónico en su interior y más bien satisface la ecuación diferencial de Poisson (1-13).

De la misma manera podemos demostrar que el potencial (1-16) de una capa atrayente en una superficie S es armónico en todos sus puntos con excepción de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (1-21) de una doble capa es también armónico en todas partes excepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el límite del potencial combinado de dos capas superficiales contiguas; compárese la fig. 1-5.

De manera que el potencial gravitacional es armónico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes y, por consiguiente, lo mismo ocurre con el potencial externo de la tierra si hacemos caso omiso de la atmósfera y la fuerza centrífuga. A esto se le debe la importancia que tienen las funciones armónicas en la geodesia física.

En general, es posible generar la misma función armónica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante c onocido es el del potencial externo de una esfera homogénea :

kM , l

V

en donde m representa la masa de la esfera y l la distancia desde su centro. 1 Por tanto, todas las esferas homogéneas concéntricas con la misma masa total M, cualquiera que sea su tamaño, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro, puesto que el potencial de una masa puntual se determina también con esta fórmula.

Otro ejemplo sería el teorema de Chasles (1-32). T omemos cualquier potencial V de Newton y denotemos una de sus superficies equipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sería el mismo que le de una capa superficial con una densidad

1 4 k

.

V ; n

véase la fig. 1-6.

Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una función V que sea armónica fuera de una superficie S está determinada por sus valores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un número infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la función armónica V dada.

1

Esto se ve enseguida analizando (2-39) : en el caso de una simetría esférica, tanto Jnm como Knm deberán ser cero. Ello es posible si U es armónica, puesto que siendo éste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de las secciones anteriores quedarán satisfechas. 2

Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teoría del potencial no tiene una solución única (problema directo : determinación del potencial a partir de las masas; problema inverso : determinación de las masas a partir del potencial). El problema inverso se presenta en la exploración geofísica con las mediciones gravimétricas : se deducen masa invisibles basándose en las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma más completa, es necesario contar con información adicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geología o de mediciones sísmicas.

Dada la importancia del teorema de Stokes, haremos aquí una prueba sencilla de su primera parte. Supongamos que determinada distribución de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos además que una distribución diferente de masa dentro de S genera un potencial V‘ que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V‘ – V por U, entonces, de acuerdo con nuestra hipótesis, obtenemos

U = 0 en S. T omando la primera identidad de Green (1-27) y poniendo una función igual a la otra,

U x

U. U.dv v

v

2

U y

2

U z

2

.dv

U. S

U .dS. n

Esta ecuación se aplica al exterior de S, de manera que v represente la región fuera de S. 2 Dado que U = V‘ – V, siendo esta la diferencia de dos funciones armónicas, también resulta armónica fuera de S y tenemos que integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos

v

U x

2

U y

U= 0 en v; además, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera

2

U z

2

.dv 0

Si solo una de las derivadas de U tiene otro valor que no sea cero, esta ecuación dejará de ser válida y a que el integrando debe ser siempre positivo cero. De manera que todas las derivadas de U tendrán que ser cero; es decir que U es una constante. Dado que U, como función armónica, tiene que ser cero en infinito, la constante tendrá que ser cero también. Por lo tanto, V‘ – V = 0 o sea V‘ = V en todo v, que es precisamente lo que se está tratando de demostrar.

El teorema de Stokes establece que hay una sola función armónica V que asume determinados valores límites en una superficie S, siempre que dicha función armónica exista. La aseveración de que para valores límites asignados arbitrariamente existe siempre una función V que a sume en S los valores límites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armónica fuera de S y V armónica dentro de S.

El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemáticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincaré y Hilbert; la demostración resulta bastante difícil.

El problema de calcular la función armónica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores límites en S se conoce comúnmente como el problema de Dirichlet, o el primer problema de los valores límites de la teoría del potencial. Se tratará con mayor detalle e n la sección 1-16.

Finalmente quisiéramos hacer notar que no hay función que sea armónica en todo el espacio (excepto en el caso de V ≡ 0) : siempre hay por lo menos una excepción. El potencial de una masa puntual, V = km / l, es singular para l = 0; el potencial de una distribución superficial o de una doble capa en una superficie S es armónico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S.

1-8.

Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas

Las funciones armónicas más importantes son las llamadas armónicas esféricas. Para su determinación, es necesario incluir las coordenadas esféricas : r (vector radial), ζ (distancia polar), λ (longitud concéntrica) (fig. 1 -7). Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadas rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones

x = r sin ζ cos λ, y = r sin ζ sin λ,

(1-36)

z = r cos ζ

o inversamente por (1-37)

r

x2

y2

tan

1

tan

1

z2 ,

x2

y2 z

y . x

,

FIGURA 1-7. Coordenadas esféricas y rectangulares.

Para expresar la ecuación de Laplace por medio de las coordenadas esféricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento de distancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos

x r r y r r x r r

dx dy dz

x

x

y

y

z

z

, , .

Diferenciando (1-36) e incorporándolas la fórmula básica

ds 2

dx 2

dy 2

dz 2

obtenemos

ds 2

dr 2

r 2d

2

r 2 sin 2 .d 2 .

(1-38)

Hubiera sido posible hallar esta conocida fórmula más fácilmente por medios geométricos, pero el método utilizado es más general y además puede aplicarse también a la coordenadas elipsoidales.

En (1-38) no hay términos con dr dζ, dr dλ y dζ dλ. Esto demuestra el hecho de que las coordenadas esféricas son ortogonales : las esferas r = const., los conos ζ = const. y los planos λ = const. se intersecan entre sí ortogonalmente.

La forma general del elemento de arco expresado en coordenadas ortogonales arbitrarias q1, q2, q3 es

ds 2

h 12 .dq 12

h 22 .dq 221

h 32 .dq 32 .

(1-39)

puede demostrarse que el operador de Laplace en estas coordenadas es

V

1 h1h 2 h 3

Para las coordenadas esféricas, tenemos que

q1

q1

h 2h3 h1

r, q 2 h1

, q3 1, h 2

q2

h 3h1 h2

q3

h1h 2 h3

(1-40)

. Una comparación de (1-38) con (1-39) mostrará que r, h 3

r. sin .

Si sustituimos esto en (1-40), obtenemos

1 V r2 2 r r r

V

1 2 r sin

V

sin

2

1 2 r sin 2

V

2

.

Al efectuar las diferenciaciones, hallamos

V

2

V

r

2

2 V r r

2

1 r2

V

cot r2

2

V

2

1 2 r sin 2

V

0.

2

(1-41)

que representa la ecuación de Laplace expresada en coordenadas esféricas. Se obtiene una expresión alterna multiplicando ambos lados por

r

2

V

r

2

2

V 2r r

2

V 2

cot

V

2

1 sin 2

V 2

0.

r2

(1- 41‘)

esta fórmula resulta mucho más conveniente para nuestro trabajo posterior.

1-9.

Armónicas Esféricas

T rataremos de resolver la ecuación de Laplace (1-41) o (1-41‘) separando las variables r, ζ, λ por medio de una sustitución tentativa

V(r, ζ, λ) = f (r) Y(ζ, λ)

(1- 42)

En donde f es una función de r solamente, y Y es una función de ζ y de λ solamente. Al sustituir esto en (1 – 41‘) y dividiendo por f Y, obtenemos

1 2 (r f ' ' 2rf ' ) f

1 Y

2

Y 2

Y

cot

2

1 sin 2

Y 2

,

en donde las primas denotan una diferenciación con respecto al argumento (r, en este caso). Como la parte izquierda depende solamente de r y al parte derecha solamente de ζ y λ, ambos lados deberán ser constantes. Por consiguiente, podemos separar la ecuación en dos :

r 2 f ' ' (r ) 2

Y 2

cot

Y

2rf ' (r ) 1 sin 2

n (n 1)f (r ) 2

Y

0,

n (n 1)Y

2

(1- 43)

0,

(1- 44)

en donde hemos representado la constante por medio de n (n + 1). Las soluciones de (1 - 43) están expresadas mediante las funciones

f (r )

rn

y

f (r )

r

( n 1)

;

(1- 45)

esto deberá comprobarse por sustitución. Si denotamos las soluciones de (1- 44) hasta ahora desconocidas por de Laplace (1- 41) se resuelve por medio de la funciones

r n Yn ( , )

V

y

Yn ( , )

Yn ( , )

V

rn

vemos que la ecuación

(1- 46)

1

Estas funciones se conocen como las armónicas esféricas sólidas, mientras que las funciones Yn ( , ) se conocen como las armónicas esféricas de superficie (de Laplace). Ambas se llaman armónicas esféricas; del tipo al que se está haciendo referencia por lo general se deduce del contexto.

Más adelante veremos que n no es una constante arbitraria sino que tiene que ser entero 0, 1, 2, .......... Si una ecuación diferencial es lineal y conocemos varias soluciones entonces, como es bien conocido, la suma de estas soluciones será también una solución en sí. Por lo tanto podemos concluir que

r n Yn ( , )

V

y

n 0

son también soluciones de la ecuación de Laplace

Yn ( , )

V

rn

n 0

1

(1- 47)

V 0 ; es decir, funciones armónicas.

Lo importante es que toda función armónica –con ciertas restricciones- puede expresarse en una de las formas indicadas en (1- 47).

1-10. Armónicas Esféricas de Superficie

Ahora tenemos que determinar las armónicas de superficie de Laplace

Yn ( , ) .

T rataremos de resolver (1- 44) por medio de una nueva sustitución tentativa

Yn ( , ) = g (ζ) h (λ),

(1 - 48)

en donde tanto la función g como la h dependen de una sola variable. Efectuando esta sustitución en (1 - 44) y multiplicando por sin hallamos que

sin (sin .g ' ' cos .g ' n (n 1) sin .g ) g

2

/ gh

h' ' , h

en donde las primas denotan diferenciación con respecto al argumento : ζ en g, λ en h. La parte izquierda es una función de ζ solamente, y la derecha es una función de λ solamente. Por lo tanto ambos lados tendrán que ser nuevamente constantes; supongamos que la constante sea esta manera se divide la ecuación diferencial parcial (1- 44) en dos ecuaciones diferenciales regulares para las funciones g (ζ) y h (λ) :

sin .g' ' ( ) cos .g' ( )

h' ' ( ) m 2 h( ) Las soluciones de la segunda ecuación son las funciones

m2 .g( ) 0; sin

[n (n 1) sin 0

(1- 49)

(1- 50)

m 2 . De

h( )

cosm

h( ) sin m ,

y

(1- 51)

tal como puede comprobarse por sustitución. La primera ecuación es más difícil. Puede demostrarse que sus soluciones tienen significado físico solamente si n y m son números enteros 1, 2, ........ y si m es menor que o igual a n. Una de las soluciones de (1- 49) es la llamada función de Legendre

Pnm (cos ) la cual será tratada con más detalle en la siguiente sección. Por tanto g( ) Pnm (cos )

(1- 52)

y las funciones

Yn ( , )

Pnm (cos ) cos m

y

Yn ( , )

Pnm (cos ) sin m

(1- 53)

son soluciones de la ecuación diferencial (1- 44) para las armónicas de superficie de Laplace.

Dado que esta ecuación es lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones (1 - 53) será también una solución en sí. Dicha combinación lineal tiene la siguiente forma general : n

Yn ( , )

[a nm Pnm (cos ) cos m

b nm Pnm (cos ) sin m ],

m 0

en donde

a nm

y

b nm

son constantes arbitrarias. Esta es la expresión general para la armónica de superficie

Yn .

Si incluimos esto en las ecuaciones (1- 47), vemos que

m

n

rn

V(r, , ) n 0 m

V(r, , ) n 0

[a nm Pnm (cos ) cos m

b nm Pnm (cos ) sin m ],

(1- 54a)

m 0 n

1 rn

[a nm Pnm (cos ) cos m

1

b nm Pnm (cos ) sin m ],

(1- 54b)

m 0

son soluciones de la ecuación de Laplace V 0 ; es decir, funciones armónicas. Además, tal como se ha mencionado anteriormente, son en realidad soluciones muy generales : toda función que sea armónica dentro de determinada esfera podrá desarrollarse para formar una serie (1 - 54a), y toda función que sea armónica fuera de determinada esfera (como por ejemplo, el potencial gravitacional de la tierra) podrá desarrollarse para formar una serie (1- 54b). Así vemos como las armónicas esféricas pueden resultar útiles en la geodesia.

1-11.

Funcione s de Legendre

En la sección anterior se definió la función denota el grado y m el orden de

Pnm (cos ) de Legendre como una solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 - 49). La n

Pnm .

Resulta conveniente transformar la ecuación de Legendre (1- 49) sustituyendo

t = cos ζ

Para evitar confusiones, utilizamos una raya para indicar que g es una función de t. Por lo tanto,

(1 - 55)

g (ζ) = g (t),

dg dg dt d dt d g ' ' ( ) g' ' ( t ) sin 2 g' ( )

Si insertamos esto en (1- 49), dividimos por sin ζ, y luego sustituimos

sin 2

2

(1 t )g ' ' ( t ) 2 t.g ' ( t )

La función de Legendre g (t) =

(t

2

1)

n

g ' ' ( t ) cos 2 .

= 1- t

2

n (n 1)

obtenemos

m2 1 t2

.g ( t )

0. (1- 56)

Pnm (t), definida por

Pnm ( t )

satisface (1- 56). Aparte del factor

g' ( t ) sin ,

n m 1 2 m/2 d ( 1 t ) ( t 2 1) n , 2 n n! dt n m

(1 t 2 ) m / 2 = sin m

y de una constante, la función

(1- 57)

Pnm es la (n +m)-ésima derivada del polinomio

. De esta manera es posible determinar su valor numérico sin ninguna dificultad. Por ejemplo,

P11 ( t )

(1 t 2 )1 / 2 d 2 2 ( t 1) 2 *1 dt 2

El caso m = 0, tiene especial importancia. A menudo las funciones

Pn ( t )

1 1 t2 *2 2

Pn ( t )

Pn ( t )Pnm ( t )

1 t2

se denotan sencillamente por

sin .

Pn ( t ) . Luego (1- 57) da

1 dn 2 ( t 1) n , n n 2 n! dt

(1- 57‘)

Como m = 0, no hay raíz cuadrada, es decir, no hay sin ζ. Por lo tanto, las son sencillamente polinomios de t. Se conocen como polinomios de Legendre. Aquí mostramos unos cuantos de los primeros polinomios para n = 0 hasta n = 2.

5 2 t 2

Pp ( t )

1,

P1 ( t )

t,

P4 ( t )

35 4 t 8

P2 ( t )

3 2 t 2

1 t, 2

P5 ( t )

P3 ( t )

3 t, 2 15 2 t 4 63 5 t 8

3 , 8 35 3 t 4

(1- 58)

15 t, 8

Recordemos que t = cos ζ.

Los polinomios podrán obtenerse por medio de (1- 57‘) o más fácilmente usando la fórmula de recursión

n 1 Pn 2 ( t ) n

Pn ( t )

mediante la cual es posible calcular

P2 a partir de P0

y

P1 , P3

a partir de

2n 1 t.Pn 1 ( t ), n

(1- 59)

P1 y P2 , etc. En la fig. 1-8 se muestran las graficadse los

polinomios de Legendre.

Las potencias de cos ζ pueden expresarse en términos de los cosenos de múltiplos de ζ, tales como

1 cos 2 2

cos2

Por consiguiente, también podemos expresar

1 , 2

cos2

1 cos3 4

3 cos . 4

Pn (cos ζ) en esta forma, obteniendo

3 1 cos 2 , 4 4 5 3 P3 (cos ) cos3 cos , 8 8 35 5 9 P4 (cos ) cos 4 cos 2 , 64 16 64 63 35 15 P5 (cos ) cos5 cos3 cos , 128 128 64 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... P2 (cos )

(1- 58‘)

Si el orden m no es cero, es decir, m = 1, 2, . . . . . , n, las funciones de Legendre Pnm (cos ζ) se conocen como las funciones asociadas de Legendre. Estas pueden reducirse fácilmente a polinomios de Legendre por medio de la ecuación

Pnm ( t )

(1 t 2 ) m / 2

d m Pn t , dt m

(1- 60)

que se desarrolla de (1- 57) y (1- 57‘). De esta manera es posible expresar las funciones asociadas de Legendre en términos de polinomios de Legendre del mismo grado n. Aquí damos algunas

P11 (cos )

Pnm , escribiendo t = cos ζ, 1 t 2

sin

P31

P21 (cos )

3 sin cos ,

P22 (cos )

3 sin 2 ,

P32 P33

sin

sin :

15 cos 2 2

15 sin 2 cos ,

3 , 2 (1- 61)

15 sin 2 .

T ambién mencionamos una fórmula explícita para cualquier función de Legendre (polinomio o función asociada) :

r

Pnm ( t )

2 n (1 t 2 ) m / 2

( 1) k k 0

(2n 2k )! tn k! (n k )! (n m 2k )!

m 2k

.

(1- 62)

donde r representa el número entero más alto ≤ (n -m) / 2; v. g. r es (n -m) / 2 o (n –m -1) / 2, cualquiera que sea un número entero. Esta fórmula resulta conveniente para la programación de una computadora electrónica.

Puesto que es difícil encontrar esta fórmula útil en trabajos publicados hemos incluido aquí su deducción la cual es bastante sencilla y sin complicaciones. La información requerida sobre factoriales puede obtenerse de cualquier colección de fórmulas matemáticas.

FIGURA 1-8 Polinomios de Legendre como funciones de t = cos ζ. Arriba, n es par; abajo, n es impar.

El teorema del binomio da

n

n

( t 2 1) n

( 1) k

n

t 2n

k

k 0

2k

( 1) k k 0

n! t 2n k!(n k)!

2k

.

De esta manera se convierte en

Pnm ( t )

n 1 1 2 m/2 ( 1 t ) ( 1) k t 2n n k ! ( n k )! 2 k 0

al suprimirse el factor común n! La r-ésima derivada de la potencia

dr r (t ) dt r

2k

,

t 8 es

s(s 1)......... (s r 1) t s

r

s! ts r. (s r )!

Si ponemos r = n + m y s = 2 n – 2k, tenemos

d n m 2n (t dt n m Al insertar esto en la expresión anterior para

2k

)

(2n 2k )! n t (n m 2k )!

m 2k

.

Pnm (t) y notar que el exponente más bajo posible de t es t ó t° = 1, obtenemos (1- 62).

Las armónicas esféricas de superficie son las funciones de Legendre multiplicadas por cos mλ o sin mλ :

Grado 0

Grado 1

P0 (cos ); P0 (cos );

P11 (cos ) cos , P11 (cos ) sin ; Grado 2

P2 (cos ); P21 (cos ) cos , P21 (cos ) sin , P22 (cos ) cos 2 , P22 (cos ) sin 2 ;

y así sucesivamente.

La representación geométrica de estas armónicas esféricas resulta útil. Las armónicas donde m = 0, es decir los polinomios de Legen dre , son polinomios de grado n en t, de manera que tienen n ceros. Estos n ceros son todos reales y están situados en el intervalo -1 ≤ t ≤ +1, es decir 0 ≤ ζ ≤ π (fig. 1-8). Las armónicas donde m = 0 cambian por lo tanto de signo n veces en este intervalo; además no dependen de λ . Su represent ación geométrica es por consiguiente similar al caso a de la fig. 1-9. Como dividen la esfera en zonas, también se conocen como armónicas zonales.

Las funciones asociadas de Legendre cambian de signo n – m veces en el intervalo 0 ≤ ζ ≤ π. Las funciones cos mλ y sin mλ tienen 2m ceros en el intervalo 0 ≤ λ ≤ 2 π, de manera que la representación geométrica de las armónicas para m ≠ 0 es similar a la del caso b. Dividen la esfera en compartimientos en los que son positivas y negativas alternativamente al igual que un tablero de ajedrez, y se con ocen como armónicas t e se rales. En el caso particular de n = m degeneran en funciones que dividen la esfera en sectores positivos y negativos, en cuyo caso se conocen como armónicas sectoriales (fig. 1-9, caso c).

FIGURA 1-9

1-12.

Los diferentes tipos de armónicas esféricas : (a) zonales, (b) T eserales, (c) sectoriales.

Funcione s de Legendre del Segundo Tipo

La función de Legendre no es la única solución de la ecuación diferencial de Legendre (1 - 56). Hay una función de naturaleza completamente diferente que también satisface esta ecuación. Se le conoce como la función de Legendre del segundo tipo, de grado n y de orden m, y que se denota por

Q nm ( t ) . Aunque

Q nm ( t )

son funciones de naturaleza totalmente diferente, satisfacen relaciones muy similares a las que satisfacen las

Pnm ( t ) . Las funciones ―zonales‖

Q n (t)

Q n (t)

están definidas por n

1 1 t Pn ( t ) ln 2 1 t

Q n (t)

k

1 Pk 1 ( t )Pn k ( t ), 1 k

(1- 63)

y las otras por

Q nm ( t )

2

(1 t )

m/2

La ecuación (1- 64)es completamente análoga a (1- 60); además, las funciones funciones .

Si determinamos el valor de las primeras

Q 0 (t) Q1 (t ) Q 2 (t)

Qn

d m Q n (t) dt m

Q n (t)

.

(1- 64)

satisfacen la misma fórmula de recursión (1- 59) que las

por medio de (1- 63) hallamos que

1 1 ln 2 1 t 1 ln 2 1 3 2 t 4

t tanh 1 t, t t 1 t tanh 1 t 1, t 1 1 t 3 3 2 ln t t 4 1 t 2 2

(1- 65)

1 3 tanh 1 t t. 2 2

Estas fórmulas y la fig. 1-10 muestran que las funciones ± en t = (v. G. = 0 ó π) vemos que es imposible sustituir armónicas tienen que ser regulares.

Q nm

Q nm

son en realidad muy distintas a las funciones

(cos ζ) por

Pnm

Pnm . Por la singularidad

(cos ζ)si ζ representa la distancia polar, ya que las funciones

No obstante, las hallaremos en la teoría de las armónicas elipsoidales (sección 1 - 20), la cual se aplica al campo de gravedad normal de la tierra (sección 2- 7). Por este motivo necesitamos las funciones de Legendre del segundo tipo como funciones de un argumento complejo. Si el argumento z es complejo tendremos que sustituir la definición (1- 63) por

Q n (z)

1 z 1 Pn (z) ln 2 z 1

n k

1 Pk 1 (z)Pn k (z), 1 k

(1- 63‘)

en

donde los polinomios de Legendre Pn ( z ) se definen mediante las mismas fórmulas que en el caso de un argumento real t. Así pues, el único cambio en comparación con (1- 63) es la sustitución de

1 1 t ln 2 1 t .

t tanh 1 t ,

FIGURA 1- 10 Funciones de Legendre del segundo tipo. Arriba n es par; abajo n es impar.

Por

1 z 1 ln 2 z 1 .

coth 1 z ,

específicamente tenemos

1 z ln 2 z z z Q1 ( z ) ln 2 z 3 2 Q2 ( z ) z 4 Q0 ( z )

1-13.

1 corh 1 z, 1 1 1 z coth 1 z 1, 1 1 z 1 3 3 2 ln z z 4 z 1 2 2

(1- 65‘)

1 3 coth 1 z z. 2 2

Te ore ma de Desarrollo y Relaciones de O rtogonalidad

En esta sección trataremos con las armónicas esféricas de superficie. En (1 - 54a,b) desarrollamos las funciones armónicas en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Similarmente es posible desarrollar una función f (ζ, λ) arbitraria (por lo menos en sentido muy general) en la superficie de una esfera para formar una serie de armónicas de esfera de superficie :

m

f( , )

m

n

Yn ( , ) n 0

en donde hemos utilizado las formas abreviadas

3

[anm Rnm ( , ) bnm S nm ( , )],

(1- 66)

n 0m 0

R nm ( , ) = Pnm (cos ) cos m

,

S nm ( , ) = Pnm (cos ) sin m .

(1- 67)

Los símbolos a nm y b nm son coeficientes constantes que ahora procederemos a determinar. Para ello, son esenciales las llamadas relaciones de Ortogonalidad. Estas relaciones poco comunes significan que la integral sobre la esfera unitaria del producto de cualesquiera dos funciones diferentes

R nm y S nm

es cero :

R nm ( , )R sr ( , ).d Snm ( , )Ssr ( , ).d

0

R nm ( , )Ssr ( , ).d

0

En el caso del producto de dos funciones equivalentes

3

0

R nm

ó

S nm

Si s ≠ n, r ≠ m o ambos En cualquier caso

tenemos

Se han usado las establecidas por M acM illan (1930); él utiliza las formas abreviadas

S nm ( , ) = Pnm (cos ) sin m .

Si s ≠ n, r ≠ m o ambos

C nm ( , ) = Pnm (cos ) cos m

, y,

4 ; 2n 1

2

[R n ( , )] .d 2

[R nm ( , )] .d

(No hay ninguna

2 (n m)! 2n 1 (n m)!

2

[S nm ( , )] .d

(m ≠ 0).

(1- 69)

S n 0 , ya que sin 0λ = 0.) En estas fórmulas hemos utilizado la forma abreviada 2 0

0

para la integral sobre la esfera unitaria. La expresión

dζ = sin ζ dζ dλ

denota el elemento de superficie de la esfera unitaria o el elemento de ángulo sólido, el cual se define como el área correspondiente en al esfera unitaria. Ahora resulta fácil determinar los coeficientes

Si multiplicamos ambas partes de la ecuación por un

a nm

y

b nm en (1- 66).

R sr ( , )

e integramos sobre la esfera unitaria, obtenemos

f ( , )R sr ( , )].d

a sr

2

[R sr ( , )] .d ,

ya que en el lado derecho de la integral doble se anularán todos los términos, salvo el que t iene n = s, m = r, de acuerdo con las relaciones de Ortogonalidad (1- 68). La integral del lado derecho tiene el valor dado en (1- 69) de manera que se ha determinado calcular

b sr multiplicando (1- 66) por S sr ( , )

Los coeficientes

a nm

y

a sr . En forma similar podemos

e integrando sobre la esfera unitaria. El resultado es

an

2n 1 4

a nm

2n 1 (n m)! 2 (n m)!

f ( , )R nm ( , ).d ;

b nm

2n 1 (n m)! 2 (n m)!

f ( , )Snm ( , ).d ;

f ( , )Pn (cos ).d ; (1- 70) ( m≠0)

b nm pueden por lo tanto determinarse mediante una integración.

Notamos que también es posible hallar directamente las armónicas esféricas de Laplace

Yn ( , )

2n 1 4

2 ' 0

' 0

Yn ( , )

en (1- 66) mediante la fórmula

f ( ' , ' )Pn (cos ) sin '.d '.d ' ,

en donde ψ es la distancia esférica entre los puntos (ζ,λ) y (ζ‘,λ‘), de modo que (fig. 1 -11)

(1- 71)

cos

cos . cos ' sin sin '

La ecuación (1- 71) puede verificarse fácilmente mediante cálculos directos, sustituyendo de la sección 1-5.

1-14.

(1- 72)

Pn (cos )

de la fórmula de descomposición (1- 82)

Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas

Las fórmulas de la sección anterior para el desarrollo de una función a una serie de armónicas de superficie son bastante dif íciles de manejar. Si analizamos las ecuaciones (1- 69) y (1- 70) vemos que hay diferentes fórmulas para m = 0 y m ≠ 0; además, las expresiones son relativamente complicadas y difíciles de recordar.

FIGURA 1-11 La distancia esférica ψ.

Por consiguiente, se ha propuesto reemplazar las armónicas ― convencionales‖ R nm y S nm definidas por (1- 67) y (1- 57) ó (1- 62), por otras funciones que difieran por un factor constante y sean más fáciles de manejar. Aquí consideramos solamente las armónicas totalme nte normalizadas 4 que parecen ser las más convenientes así como las más usadas. Las denotamos por

Rn ( , ) R nm ( , ) Snm ( , )

2n 1.R n ( , )

2(2n 1)

R nm

y

S nm ;están definidas por

2n 1.Pn (cos );

(n m)! R nm ( , ) (n m)! Snm ( , )

(1- 73)

( m ≠ 0).

Las relaciones de Ortogonalidad (1- 68) son válidas también para estas armónicas totalmente normalizadas, mientras que las ecuaciones (1 69) se simplifican completamente : se convierten en

4

Las armónicas totalmente normalizadas han sido sencillamente ―normalizadas‖ en la forma que establece la teoría de las funciones reales; hemos tenido que utilizar esta expresión extraña porque el término ―armónicas e sféricas normalizadas‖ ya se ha usado en otras funciones, lamentablemente muchas veces para funciones que no han sido realmente ―normalizadas‖ en el sentido matemático de la palabra. Jahnke -Emde-Losch (1960) utiliza una forma diferente de normalización.

1 4

R

2 nm.

d

S

2 nm.

d

1.

(1- 74)

Esto significa que el cuadro de medio de cualquier armónica totalmente normalizada es uno, en donde el promedio se calcula so bre la esfera (promedio = integral dividida por el área 4π). Esta fórmula para cualquier m sea esta cero o no.

Si desarrollamos una función arbitraria f (ζ, λ) para formar una serie de armónicas totalmente normalizadas, análoga a (1 - 66), m

n

f( , )

[a nm R nm ( , ) b nm S nm ( , )],

(1- 75)

n 0m 0

Entonces los coeficientes

a nm b nm

estarán dados sencillamente por

a nm

1 4

b nm

1 4

f ( , )R nm ( , ).dv, (1- 76)

f ( , )S nm ( , ).dv;

es decir, los coeficientes serán los productos medios de la función y la armónica correspondiente

R nm o S nm .

La sencillez de las fórmulas (1- 74) y (1- 76) representa la ventaja principal de las armónicas esféricas totalmente normalizadas, haciéndolas útiles en muchos respectos, aun cuando las funciones tenemos que

R nm y S nm (1- 73) sean algo más complicadas que las R nm y S nm

R nm ( , ) = P nm (cos ) cos m S nm ( , ) = P nm (cos ) sin m . .

,

convencionales :

En donde n 2k

r

Pnm(t)=

( 1) k (2n 2k )! / k!(n k )! (n 2k )!t

2n 1

(l-77a)

k 0

para m=0, y

2(2n 1)((n

m)!) * 2 n (1 t 2 ) m / 2

m)!/(n

n m 2k

r

( 1) k (2n 2k )! / k!(n k )!(n 2k )!t

(l-77b)

k 0

para m diferente de 0. Esto corresponde a (1-62): aquí, al igual que en (1-62), r es el numero entero mas alto Hay relaciones entre los coeficientes a nm y b nm b nm

para armónicas totalmente normalizadas y los coeficientes a nm y

para armónicas convencionales que por supuesto son las inversas de las expresadas en (1-73):

a ng = a

n0

/

1 / 2(2n

2n 1 (1-78)

1)((n

m)!/(n

m)!) *

a nm b nm

m diferente de cero

1-15. Desarrollo de la Distancia Reciproca en Armónicas Zonales. Formula de Descomposición La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas esféricas son: P(r,

, ) ), P(r´ ´, ´)

esta representada por

l2

r2

r´2 2rr´cos

(1-79)

en donde ψ es el ángulo entre los vectores radíales r y r´ (fig. 1-12), de manera que según (1-72),

• cos ψ - cos θ cos θ + sin θ sin θ cos λ´- λ). Suponiendo que r' < r, podemos escribir

(n-m)/2

1/l=1/

r2

1

r´2 =

2rr´cos

r 1 2 u

2

en donde hemos utilizado α =r'/r y ,u=cos ψ. Esto puede desarrollarse para formar una serle exponencial con respecto a α . Resulta notable que los coeficientes de α n sean las armónicas zonales (convencionales), o polinomios de Legendre Pn(u)=Pn(cos ψ)

1

a n Pn (u)

2

t 2 u

P0 (u)

P1 (u).........,

(1-80)

n 0

Por consiguiente, obtenemos

1 l

n

r´n P (cos ) (1-81) n 1 n 0 r

que es una formula importante. Aun asi sería conveniente expresar

Pn (cos ) en esta ecuación en términos funciones de las coordenadas es féricas

ζ,λ y ζ´,λ´ que componen ψ de acuerdo con (1-72). Esto se logra por medio de la formula de descomposición.

Pn(cos ψ)=Pn(cos ζ)Pn(cos ζ ´) n

2 m

(n m)! Rnm ( , ) Rnm ( ,´ ´) S nm ( , ) S nm ( ,´ ´´) (1-82) m)! 1 (n

Si sustituimos esto en (1-81), obtenemos 1-83 n 1 P(cos ) (n m)! * r ´ P (cos ´) 2 ( Rnm ( , ) / r n 1 )r´n Rnm ( ,´ ´) ( S nm ( , ) / r n 1 )r´n S nm ( ,´ ´´) n n 1 ln 0 r ( n m )! m 1

El uso de las armónicas totalmente normalizadas- simplifica estas formulas. Si reemplazamos las armónicas convencionales de (1-82) y (1-83) por armónicas totalmente normalizadas por medio de (1-73) hallamos que

Pn (cos )

1 n ( Rnm ( , ) / r n 1r´n Rnm ( ,´ ´) ( S nm ( , ) / r n 1 )r´n S nm ( ,´ ´´) ; 2n 1 m 0

(1-82')

1 l

m

m

n 0m 0

1 ( Rnm ( , ) / r n 1 )r´n Rnm ( ,´ ´) ( S nm ( , ) / r n 1 )r´n S nm ( ,´ ´´) 2n 1

(1-83') La ultima formula resulta esencial para el desarrollo del campo gravitación de la tierra con armónicas esféricas. 1-16. Solución del Problema de Dirichiet Por Medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson En la sección 1-7 se menciono el problema de Dirichiet, o sea el primer problema de valores limites de la teoría del potencial: con una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función V que sea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la función preestablecida.

Si la superficie S es una esfera, entonces el problema de Dirichict podrá resolverse fácilmente por medio de armónicas esféricas. Tomemos primero la esfera unitaria, r = 1, y desarrollamos !a función preestablecida, indicada en la esfera unitaria y denotada por V(1,λ,ζ), para formar una serie de armónicas de superficie (1-66);

V(1,λ,ζ)=

yn (

)

(1-84)

n 0

habiéndose determinado Y (λ,ζ) por medio de (1-71). las funciones

yn r n (

V(r,λ,ζ)=

) (1-85a)

n 0

V(r,λ,ζ)=

yn (

)/ rn

1

(1-85b)

n 0

asumen los valores dados V(1,λ,ζ)en la superficie r=1. La serie (1-84) converge y para r l

Yn / r n

1

Yn .

Por tanto 1a serle (l-85a) converge cuando r1; ademas, se ha determinado que ambas series representan funciones amónicas. Asi pues podemos resolver el problema de Dirichiet por medio de V(r,λ,ζ) para el interior de la esfera r = l, y por V(r,λ,ζ) para su exterior. En el caso de una esfera de radio arbitrario r •= R. la solución es similar. Desarrollamos la función dada V(R,λ,ζ)=

yn (

) (1-86)

n 0

Las armónicas de superficie Yn se determinan por

Yn (

)

2n 1 4

2x 2

x 0

V ( R, , ´) Pn (cos ) sin ´d ´d ´ Luego la serie .

V(r,λ,ζ)= n 0

r R

n

yn (

)

resuelve el primer problema para valores limites para el interior y la serie

V(r,λ,ζ)= n 0

R r

n 1

yn (

) (i-87b)

lo resuelve para el exterior de la esfera r = R. De manera que siempre sera posible resolver el problema de Dirichiet para la esfera. Obviamenté esto esta estrechamente relacionado con la posibildad de desarrollar una función arbitrarla en la esfera para formar una serie de

armónicas esféricas de superficie, y una función armónica en el espacio para formar una serie de armónicas esféricas sólidas. Integral de Poisson: Hay una solución mas directa la cual se explica a continuación. Consideremos solamente el problema exterior que tiene mayor aplicación en la geodesia. Si sustituimos Yn(λ,ζ) de (1-71) en (l-87b), Obtenemos

V (r , , ) n 0

n 1

R r

2n 1 4

2 2

0

V ( R, , ´) Pn (cos ) sin ´d ´d ´

Esto lo podemos reordenar asi:

1 4

V (r , , )

2x

x

2

0

V ( R, , ´)

2n 1 n 0

R r

n 1

Pn (cos ) sin ´d ´d ´ (1-88)

Es posible determinar el valor de la suma dentro de los paréntesis rectangulares. Denotamos la distancia espacial entre los puntos (r,λ,ζ) y (R,λ,ζ) por l. Luego, de acuerdo con (1-81)

1 l

1 r2

R2

1 Rn

2 R cos

R r

n 1

Pn cos

0

Diferenciando con respecto a r obtenemos

r

R cos l3

i Rn 1 (n 1) n 1 Pn cos Rn 0 r

Si multiplicamos esta ecuación por -2Rr, y multiplicamos la expresión para 1/l por -R y luego sumamos las dos ecuaciones, obtenemos como resultado

R( r 2 R 2 ) l2

R r

(2n 1) n 0

n 1

Pn (cos )

1a parte derecha es la expresión entre paréntesis rectangulares de (1-88).Si sustituimos la parte Izquierda, obtenemos finalmente '

R(r 2 R 2) V(r,λ,ζ)= 4

2 0

0

V ( R, ´, ´) sen ´d ´d ´ (1-89) l2

Esta es la integral de Poisson. Es una solución explícita del problema de Dirichlet para el exterior de la esfera que tiene muchas aplicaciones en la geodesia física. 1-17, Otros Problemas de Valores Límites Hay otros problemas de valores límites similares. En el problema de Neumann o sea el segundo problema de valores limites de la teoria del potencial, se da la derivada normal de V con respecto a n en la superficie S en lugar de la función V misma. La derivada normal es la derivada a lo Iargo de la normal superficial n a S en dirección hacia afuera. En el tercer problema de valores Iimites, se da una combinación lineal de V y de su derivada normal

hV+k*aV/an en S. En el caso de la esfera también es posible expresar fácilmente la solución de estos problemas de valores limites en terminos de armónicas esféricas. Consideremos ahora los problemas exteriores solamente, ya que son de especial ínteres en la geodesia. En el problema de Neúmmann desarrollamos los valores dados de aV/an en la esfera r = R para formar-una serie de armónicas de superficie:

V n

Y(

) 1-90

n 0

r R

La función armónica que resuelve el problema de Neinnann para el exterior de la esfera es por lo tanto

V (r , , )

R n 0

R r

n 1

Yn ( , ) n 1

Para verificarla, podemos diferenciarla con respecto a r. obteniendo

V n

n 0

n 1

R r

Yn ( , )

|Como en el caso de la esfera, la normal coincide con el vector radial tenemos que

V n

V r

r R

r R

y por lo tanto vemos que satisface (l-l0). El tercer problema de los valores limites es particularmente importante para la geodesia fsica, ya que la determinación de las ondulaciones del geoide a partir de 1as anomalias de la gravedad esprecisamente este tipo de problema. Para resolver el caso general desarrollamos nuevamente la función definida por los valores limites dado; para formar armónicas de superficie:

hV

k

V n

Yn ( , ) n 0

La función armónica

V (r , , )

R n 0

R r

n 1

Yn ( ) 1-91 h (k / R)(n 1)

resuelve el tercer problema de valores limites para el exterior de la esfera r=R. Su verificación es totalmente análoga al caso de (1-91). Al determinar las ondulaciones geoidales, las constantes h, k asumen los valores h=2/R, k=-1 de manera que

V (r , , )

n 1

R r

R n 0

Yn ( ) (1-92•) (n 1)

resuelve el llamado problema de 1os valores 1imites de la geodesia fisica. Como hemos podido apreciar en la sección anterior, también es posible resolver directamente el primer problema de valores limites por medio de la integral de Poisson. Existen asimismo formulas integrales similares para el segundo y tercer problema. La formula integral que corresponde a (l-92) para el problema de los valores limites de la geodesia física es 1a integral de Stokes que trataremos con mayor de-talle en el Capitulo 2.

1-18. La Derivada Radial de una Función Armónica Para poder aplicarla mas adelante a problemas relacionados con la gradiente vertical de la gravedad, deduciremos ahora una formula integral para 1a derivada a lo largo del vector radial r de una función armónica arbitraria que denotaremos por V. Una función armonica como esta satisface la integral de Poisson (1-89): V(r,λ,ζ) =

R(r 2 R 2) 4

V ( R, ´, ´) sen ´d ´d ´ 0 l2

2 0

Al formar la derivada radial aV/ar notamos que V(r´,λ´,ζ´) diferenciar (r2-R2)/l2 obteniendo

V (r , , ) R r 4

M (r. )V ( R, ´, ´)

2 0

0

no depende de r. De modo que solo necesitamos

sen ´d ´d ´

en donde

r2

M (r , )

r

R2 l

1 (5R 2 2 l

2

r3

Rr 2 cos

3R 2 cos ) (1-94)

Si aplicamos esta ecuación a la función armónica especial obtenemos

R r2

R 4

M ( r. )

2 0

0

sen ´d ´d ´

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por V(r,λ,ζ) y restándola de (1-93) nos da

V r

R Vr r2

R 4

2 0

0

M (r , )(v Vr)sen ´d ´d ´

en donde Vp=V(r,λ,ζ), V=(R, ,λ,ζ),

Para hallar la derivada radial en la superficie de una esfera de radio R,tenemos que usar r= R. Luego ( pasa a ser (fig. 1-31)

l 0 2 R sin

2

y la función M adquiere la forma sencilla

1

M ( R, )

2R l30

2

4 R sen 2

2

ψ(1-96) Para ψ 0 tenemos M(r, ψ)0 y no podemos utilizar la formula original (1-93) en la superficie de la esfera f = R. En la ecuación ransformada (1-95), sin embargo, tenemos v - v. —-> 0 para ψ0, y la singularidad de M para ψ 0 sera neutralizada.- Siempre que V sea dos veces diferencíable en P-. De esta manera obtenemos

V r

1 R2 Vr 2 R

2 0

0

(v Vr) sen ´d ´d ´ 1-97 l0

esta ecuación representa aV/ar en la esfera r = R en términos de V en dicha esfera; de modo que ahora tenemos Vr=(R,ζ,λ), V=(R´,ζ´,λ´) 1-98 SoÍución en términos de armónicas esféricas. Podemos expresar Vr como

V r

1 Rn

0

R r

n 1

Yn (

)

1-99

Una diferenciación nos da

V r

n 1 n 0

R n 1 Yn ( rn 1

)

1-100

Para r=R esto se convierte en

V r

1 ( Rn 0

1)Yn ( , )

Esto es el equivalente de (1-97} en términos de armonicas esféricas.

De esta ecuación obtenemos un resultado secundario interesante. La ecuación (1-100) podria escribirse

V r

1 Vp R

1 nYn ( , ) Rn 0

Si comparamos esto con (1-97) vemos que si estuviera en una esfera de radioR .

Vp

Yn ( , )

(1-101)

n 0

entonces

R2 2

2 0

0

(v Vr ) sen ´d ´d ´ l 30

1 nYn ( , ) Rn 0

(1-102)

Esta ecuación se formula en su totalidad usando cantidades que hacen referencia a la superficie esférica solamente. Además, para cualquier funcion preestablecida en la superficie de una esfera podemos hallar una función en el espacio que sea armónica fuera de la esfera y asuma los valores de la funcion preestablecida en la misma. Esto se hace resolviendo el problema exterior de Diricnlet. Según esto podemos concluir que (1-102) es valida para una función arbitrarla V definida sn la superficie de una esfera. Esto se usara en las secciones 2-23 y 8-8.

1-19. Ecuación de Laplace Expresada en Coordenadas Elipsoidales Las armónicas esféricas son las mas usadas en geodesia porque son relativamente sencillas y la tierra es casi esférica. Como la tierra se asemeja mas a un elipsoide de revolución es de esperar que las armónicas elipsoidales, las cuales se definen en una forma similar a las armónicas esféricas, sean hasta mas apropiadas.- todo se reduce a un asunto de conveniencia la matemática puesto que se pueden usar tanto las armónicas esféricas como las elipsoidales para cualquier cuerpo atrayente, cualquiera que sea su forma.- Como son mas complicadas, sin embargo, se usan solo en ciertos casos especiales que no dejan de ser Importantes, especificamente en problemas que requieren el calculo preciso de la gravedad normal.

Para ello, es necesario incluir las coordenadas elipsoidales (µ,λ,ζ) (F-fg. 1-14). En un sistema rectangular, el punto P tiene las coordenadas x,y,z. Ahora pasamos por P la superficie de un elipsoide de revolución cuyo centro es el origen O, cuyo eje coincide con el eje z y cuya excentriciflad lineal tiene un valor constante E. La coordenada µ es

el semieje menor de este elipsoide, ζ es el complemento de la latitud reducida" β de P con respecto a este elipsoide (su definición puede verse en 1a ,f1g. 1-14), y λ es la longitud geocéntrica en el sentido normal de la palabra.- estas coordenadas(µ,λ,ζ) estan especialmente adaptadas a un elipsoide de revolución; son distintas a las coordenadas elipsoidales de Lame que hacen referencia a un elipsoide de tres ejes diferentes. Por este,motivo nuestras armónicas elipsoidales son diferentes a las de Lame, las cuales son menos adecuadas para los problemas geodésicos -. Las coordenadas elipsoidales (µ,λ,ζ) estan relacionadas con x. y,z por medio de las ecuaciones

x

2

E 2 sen cos

x

2

E 2 sen sen

z

cos

1-103

2

que pueden leerse de la figura, considerando que

E 2 es el semieje mayor del elipsoide cuya superficie pasa

por P.

Si tomamos µ= const, hallamos

x2

y2 E2

2

z2 2

que representa un elipsoide de revolución. Para ζ= const. Obtenemos

x2 y2 E 2 sen 2

z2 E 2 cos 2

1

lo cual representa un hiperboloide de una hoja, y para λ = const. obtenemos el plano meridiano La distancia focal constante E = OF1, la cual es igual para todos los elipsoides µ= const. caracteriza el sistema de coordenadas. Para E = O tenemos las coordenadas esféricas usuales µ=r λ ζ como caso limite. Para hallar el elemento de arco expresado en coordenadas elipsoidales se procede de la misma forma que con las coordenadas esféricas, ec. (1-38) y se obtiene,

u2

ds

E 2 cos 2 u2 E2

du 2

(u 2

E 2 cos )d

2

(u 2

E 2 ) sen 2 d

2

1-104

El sistema de coordenadas (µ,λ,ζ) es aqui también ortogonal: los productos du, dζ,etc. hacen falta en la ecuación para ds. Si aplicamos ζ=q2,µ=q1,λ=q3 tenemos en (1-39)

h12

u2

E 2 cos 2 2 , h2 2 2 u E

u2

E 2 cos , h3

2

(u 2

E 2 ) sen 2

Sí sustituimos esto en (1-40) obtenemos

V

(u

2

1 2 E cos2 ) sen

u

(u

2

2

E ) sen

V u

( sen

V

)

Si efectuamos las diferenciaciones y suprimimos el factor común sin ζ, obtenemos

u 2 E 2 cos2 (u 2 E 2 ) sen

V

V

2

1 (u

2

2

2

E cos

)

(u 2

V u2

E2)

2

V u

2u

V 2

cot

(u 2 (u 2

V u

E 2 cos2 E 2 ) sen 2

2

V 2

(1-105)

que es la ecuación de Laplace expresada on coordenadas elipsoidales. Se obtiene una expresión alterna

(u 2

haciendo caso omiso del. factor 2

0

(u 2

E2)

V u2

2u

E 2 cos 2 ) 2

V u

V 2

1

(u 2 (u 2

V u

cot

E 2 cos2 E 2 ) sen 2

2

V 2

1-105´

En el caso limite E0, estas ecuaciones se reducen a las expresiones esféricas (1-41) y (1-41').

1-20 Armónicas Elipsoidales Para resolver (i-105) o (l-105'l procedemus de manera totalmente ana1oga al método utilizado para resolver la ecuación correspondiente (1-41') en coordenadas esféricas. Los pasos podran resumirse de la siguiente manera. Por medio de una sustitución tentativa V(r λ ζ)=f(r)g(ζ)h(λ) separamos 1as variables(r λ ζ) para descomponer la ecuacion diferencial parcial original (1-41') en tres ecuaciones difen'nctales regulares (1-43), (1-49) y (1-50). Para resolver la ecuación dé Laplace; en coordenadas elipsoidales (1-105') hacemos la respectiva sustituccion tentativa V(µ λ ζ)=f(µ)g(ζ)h(λ)

(1-106)

Sustituyendo y dividiendo por fgh obtenemos

0

((u 2

E 2 ) f ´´ 2uf ´)

1 ( g´´ g´cot ) g

(u 2 (u 2

E 2 cos2 h´´ E 2 ) sen 2 h

La variable λ solo ocurre por el cociente h"/h, que por consiguiente deberá ser constante._ 1 esto resulta mas claro si escribimos la ecuación en la forma

(u 2 E 2 )sen 2 u 2 E 2 cos2

1 ((u 2 f

E 2 ) f ´´ 2uf ´))

1 ( g´´ g´cot ) g

h´´ h

El lado izquierdo .depende solamente de µ y ζ y el lado derecho solamente de λ Los dos lados no pueden ser exactamente iguales a menos que ambos sean iguales a la misma constante-.

h´´ h

m2

El factor por el que se multiplica h"/h puede descomponerse de la. siguiente manera:

(u 2 E 2 ) cos 2 u 2 E 2 sen 2

1 sen 2

E2 u2 E2

,:

Si insertamos las ultimas dos expresiones en la ecuación anterior y combinamos las funciones de la misma variable obtenemos

1 2 ' (( u f

E2 m2 2 2 u E

2

E ) f ´´ 2uf ´)

1 ( g´´ g´cot ) g

m2 sen 2

Los dos lados son funcionas de diferentes variables independientes y por lo tanto deben ser constantes. Si denotamos dicha constante por n(n+1) obtenemos finalmente . '

(u 2

E 2 ) f ´´(u ) 2uf ´(u )

sen g´´( ) cos g´( )

h´´( ) m 2 h( )

n(n 1)

E2 m 2 f (u ) 2 2 u E

n(n 1) sen

m2 sen

g( )

0

0 (1-107)

(1-108)

0 (1-109)

Estas son las tres ecuaciones diferenciales regulares en que se descompone la ecuacion diferencial parcial (1-105) mediante la separacion de variables (1-106) La segunda y tercera ecuaciones son las mismas que en el caso esférico, ecuaciones, (1-49) y (1-50); la primera ecuación es diferente. las sustituciones

t

cos

transforman 1a primera y segunda ecuaciones en

m2 (1 r ) f ´´(r ) 2rf ´(r ) n(n 1) f (r ) 1 r2 2

(1 t 2 ) f ´´(t ) 2tf ´(t )

n(n 1)

m2 f (t ) 1 t2

0

0

en donde la raya inidica las funciones f y q están expresadas en términos de los nuevos argumentos r y t. Por las armónicas esféricas ya estamos familiarisados con la sustitución t =-cos ζ y con la ecu.icion correspondiente para g(t) en donde t=cosζ, las Qmn(t)"^fr) se cancela" por razones obvias, como hmos visto en la sección 1-12.Para f(r), sin embargo , ambos grupos de funciones Pnm(λ) y Qnm(r) son posibles soluciones; corresponden a1as dos 1( n 1)

soluciones diferentes, f = rn y f = r en el caso esférico. . , Finalmente, (1-1.09) tiene como antes la s soluciones cos(mλ) y sen(nλ). Resumimos todas las soluciones individuales:

f (u )

Pnm i

u u óQnm /(i i E E

.

g (u )

Pnm (cos );

( h( )

cos m)ó( senm )

aqui n y m < n son números enteros 0,1,2,...., como antes. Por lo tanto, las funciones

v(u , , )

u Pnm cos cos m , senm E

Pnm i

v(u, , ) Qnm i

u Pnm cos cos m , senm E V

son soluciones de la ecuación de Laplace

0

es decir, funciones armonicas. Con estas funciones y mediante

combinaciones lineales pdtemos formar' la Serie m

V(

n

)

p nm i n

0 m

0

m

V(

u / Pnm (anmPnm(cosζ)cosmλ+hnmPnm(cosζ)senmλ); E

n

)

p nm i n

0 m

0

a b / p nm i E E

Aquí b es el semieje menor de «n elipsoide arbitrario pero fijo que podra llamarse el elipsoide de referencia (fiq. 1-15). La división por Pnm(ib/E) Qnm(ib/E) es posible por ser constantes; su proposito es simplificar 1as expresiones y lograr que los coeficientes anm y bnm seran reales. SI la excentricidad E se reduce a cero, las coordenadas elipsoidales se convierten en coordenadas es féricas el elipsoide

u = b se convierten en _la. esfera r = R [porque entonces los. semiejes a y. b sera'n jguales al radio R); y hallamos

lim E

0

Pnm Pnm

u ( E) b i E i

u b

n

r R

n

,

lim E

Qnm 0 Qnm

u ( E) b i E i

r R

n 1

de manera que la serie (l-ll1)convierte en (l-87a), y (1-lllb) se convierte en (1-87) Por consiguiente, vemos que la n

fuincion Pnm(iu/E)corresponde a

r y Onm(iu/E) corresponde.' a r

1( n 1)

en las armónicas esféricas.

Por lo tanto la serie (1-111a) es armonica en ele interior del elipsoide a=b, y la serie (1-111b)es asrmonica en su exterior; este caso es pertinente a la geodesia: Para u=b, las dos series son iguales: m

n

a nm p nm ( co cos m

b nm Pnm cos senm

n 0m 0

» - Ü RI-O

(1-113)

De manera que 1a solución de1 problema de los valores limites de Dirichlet para el elipsoide revolucion es sencilla, desarrollamos la funcion (b,µ,λ) , dada en el elipsoide u = b, para formar una serie do armonicas esféricas de superficie con los siguientes argumentos: ζ= complemento de latitud reducida, λ=longitud geocéntrica. De modo que (l-llla) es la solución del problema interior y (1-111b)es la solución del problema extenor do Dirichlet. La fo'rmu1a [1-113) muestra quye no solo pueden desarrollarse las funciones que se definen en la superficie para formar una sene de armonicas esfericas de superficie. También es posible desarrollar funciones mas bien arbitrarias definidas en una superficie convexa. 46 Cabe hacer notar que en las armonicas esféricas, ζ es la distancia.polar, t no es mas que el complemento de la Iatitud geocentrica, mientras_que en las armonicas elipsoidales, ζ es el complemento de la latitud reducida..

2 EL CAMPO DE GRAVEDAD DE LA TIERRA 2-1. gravedad. La fuerza que activa sobre un cuerpo en reposo que se halla sobre la superficie, de la. tierra. es_ la_suma _ vectorial de 1a fuerza gravitacional y la fuerza centrifuga de la rotacion de la tierra. Tomemos un sistema de coordenadas rectangulares donde el origen es al centro de gravedad de la tierra y el eje z coincide con el eje medio de rotación de la tierra (Fig. 2-1). Los ejes x,y,z se escogen de tal manera que se obtiene

un sistema de coordenadas dextrorso: de 1o contrario son arbitrarios. Para mayor conveniencia podemos suponer que el eje x se halla paralelo al plano meridiano de Greenwich (refierase a la sección 2-4).

.

La fuerza centrifuga f sobre una masa unitaria ésta representada por

f

´p

en donde ω es 1a velocidad angular da 1a rotación de la tierra y

p

x2

y 2 (2-1)

es la distancia desde el eje de rotación. El vector f de esta fuerza tiene misma dirección del vector

p

( x, y,0)

y por lo tanto viene dado por

f

´p

(

2

2

x,

y.0) 2-2

La fuerza centrifuga puede deducirse tambien de un potencial

1 2

2

( x 2 y 2 ) 2-3

de manera que

f

grad

x y z

2-4

Si insertamos (2-3) en (2-4), obtenemos (2-2) La fuerza total, o sea la suma vectorial de 1a fuerza gravitacional y la Fuerza centrifuqa, se llama gravedad. El potencial de qravedad, W, es la suma de los potenciales de la fuerza gravítacional, V(l-ll) y la fuerzacentrffuga Ф:

W

W ( x, y , z ) V

k 1

p 1 dr´ l 2

en dónde la integracicn se extiende por toda la tierra..

2

x2

y2

2-5

Al diferenciar (2-.3) hallamos que

x

y

2

2

z

2-7

SÍ combinarnos esto con la ecuación de Poissón (l-13) para V obtenemos la ecuación generalizada de Poisson para el potencial de grayedad W:

W

4 kp 2

2

(2-6)

Como Ф es una función analitica, las discontinuidades de W son las de V: algunas de las segundas derivadas tienen interrupciones en la discontinuidad de la densidad. El vector de gradiente de W.

g

W W W x y z

gradW

2-7

con las componentes

W x

gz

gy gx

W y W z

x

k

p

1

y

k

p

1

x

k 1

p

2

pdv

pdv

2

x

y

pdv

se conoce como el vector de gravedad; es la fuerza total (fuerza gravitacional mas fuerza centrifuga) que actúa sobre una masa unitaria. Como es un vector tiene magnitud y dirección. La magnitud g se denomina gravedad en el sentido mas estricto de la palabra. Tiene la dimensión fisica de una aceleración y se mide en gales (1 gal ='1 cm|i seg"2), en honor a Galileo Galilei. El valor numerico de g es de unos 973 gales en el ecuador y unos 983 gales en los polos. En geodesia frecuentemente conviene utilizar otra unidad - el miligal, abreviado mgal (1 mgal = 1*10-3 gal). La direccion del vector de gravedad es la. dirección de la línea de la plomada, ósea la vertical; como_es por todos conocido su importancia_es es encial para las mediciones geodésicas y astronómicas. Ademas.,de 1a..fuerza centrffuga, hay. otra fuerza que actúa sobre_un...cuerpo en movimiento, la llamada fuerza .de Coriolis. Es proporcional .a 1.a _yelocidad con_respecto a la,tierra, de_manera que pa ra lus cuerpos en reposo sobre la tierra viene a ser_cero. Como en la geodesia tratamos por lo general con instrumentos en reposo con respecto a la tierra, la fuerza de Coriolis no ejerce efecto a uno aquí 'y por lo tanto no es necesario tomarla en cuenta.

2-2. Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada Las superficies.

W ( x, y, z ) W0

const -

(2.9)

en 1as que e1 potencial W es constante, se denominan superficiales equipotenciales o superficies de.nivel.,

Si diferenciamos el potencial de gravedad W = W(x,y,z) hallamos que

W dx x

dW

W dy y

W dz z

Según la notación vectorial, utilizando el producto escalar, esto seria:

dW

gradWdx

gdx

en donde

dx

(dx.dy.dz)

Si se toma el vector dx a lo largo de la superficie equipotencial W = W 0 entonces el potencial permanece constante y W=0, de manera que (2-10) se convierte en (2-12) g*dx=0

SÍ e1 producto escalar de dos vectores es cero, entonces dichos. Valores son perpendiculares entre si. Esta ecuación expresa por lo.tanto, el. hecho por todos conocido de que el vector de gravedad es normal a la superficie equipotencial que.pasa por el mismo punto. J Como las superficies de nivel son, por asi decirlo, horizontales en todas partes, comparten el signi focado intiutivo y Fisico de 1a horizontal ; y comparten..tambien. la importancia geodesica de linea de la plomada por ser normales a ella.. Por eso comprendemos por que' se les da tanta importancia a 1as superficies equipotenciales. La superficie de 1os océanos puede considerarse con cierta idealizacion, como parte de determinada superficie de nivel esta superficie equipotencial en particular Fue propuesto por C.F. Gauss, el "Principe de las Matemáticas", como la "figura matematica. de la tierra y mas adelante se le llamo geoide. Esta definición ha resultarlo sumamente apropiada, y todavia muchos la consideran como la superficie fundamental para la geodesia fisica. Si observamos en la ecuación (2-5)el potencial de gravedad W, vemos que las superficies equipotenciales M(x,y,z) = WQ son bastante complicadas matematicamente. Las superficies de nivel que están completamente fuera de la tierra son por lo menos superficies analiticas, si bien no tienen ninguna expresión ana1itica sencilla, puesto que fuera de la tierra el potencial de gravedad es analitico. Eso no es cierto para el caso de las superficies del .nivel..que.se hallan parcial o totalmente dentro de la tierra, como el geoide por ejemplo Estas ultimas son continuas y "lisa'." (v.q. sin bordes), pero dejan de ser superficies analíticas; en la siguiente seccion veremos que la curvatura de las superficies de nivel interiores cambian en Forma discontinua segun la.densidad. Las lineas que son nórmales a todas las superficies equipotenciales no se precisamente rectas sino 1iogeramente curvas (fig. 2-2). Se llaman lineasde fuerza o lineas de la plomada. El vector de gravedad en cualquier punto es tangente a la linea de la plomada en dicho punto, por tanto la "dirección del |vector de grvedad, la "vertical", y 1a dirección de la 1inea de la p1omadia son sinónimos. Algiunas veces la misma dirección se conoce la linea de la plomada".

La altura .H de.un .punto.sobre el nivel del mar, (denominada .tambien .la.altura .ortometrica). se mide a lo largo de la linea de la plomada curva, empezando en el geoide (fig. 2-2). Si tomamos el vector- dx a lo largo de la linea de la plomada en la dirección en que aumenta la altura H, entonces su longitud es

dx

dH

y su dirección es contraria al vector de gravedad g, que apunta hacia abajo, de manera 'que el ángulo entre dx y g es de 180 Como

gdx

gdH cos(gdx)

gdh cos180

gdH

de acuerdo con la definición del producto escalar, la ecuación (2-10) se convierte dW=-gdH

(2-13)

Esta ecuaci'n relaciona la altura H con el potencial W y es esencial para la teori'a do la determinación e de la altura(capftulo 4). Muestra claramente la interrelacion inseparable que caracteriza a la geodesia -la interrelacion de los conceptos geometricos (H) con los conceptos dinamicos (W) Otra forma oe la ecuación (2-13) es:

g

W (2-14) H

muestra que la gravedad es el gradiente vertical negativo del potencial W, o sea 1a componenete vertical del vector del vector gradienteW. Las mediciones geodesicas (mediciones con teodolito, nivelación, etc.) hacen referencia casi exclusivamente al sistema de superficies de nivel y de lineas de la plomada del que es parte importanteel geoide. Asi', pues, vemos porque se dice que el proposito de 1a geodesis fisica es determinar las superficies de nivel del campo de gravedad de la tierra, tambien puede decirse, en forma ma's abstracta pero equivalente, que e1 objetivo de la geodesia fisica es determinarla función potencial W(x,y,z). Tal vez.a primera vista e1 lector se sienta sorprendido por esta definición que Fue establecida por Bruns (1878), pero su significado no es difícil de comprender: si se expresa el potencial W como una función de las coordenadas x,y,z, entonces se conocerán todas las sup erficies de nivel, incluyendo al geoide, y estarán representadas por la ecuación.

W(x,y,z)=const

2-3. Curvatura de las Superficies de nivel y de las líneas de la Plomada Recordemos la conocida formula para la curvatura de una curva y "=f(x). Es

k

1 p

y2 (1 y 2 )1 / 2

en donde k es la curvatura, p el radio de la curvatura, y

y´

dy , dx

y´´

d´ y dx 2

En el caso especial donde una paralela al eje x es tanqente en el punto P bajo consideración (fig. 2-3), y' = O, sencillamente se obtiene

k

1 p

Fy dy 2

|

Superficies de Nivel. Consideremos ahora un punto P en una superficie de nivel S. Traemos un sistema local de coordenadas x,y,z cuyo origen es P y cuyo eje z es vertical, esto es, normal a la superficie S.(fig. 2-4). l.uecgo corta esta superf cié de nivel

w( x, y, z ) W0 con el plano x,z haciendo que y=0

Si comparamos la fi 2-4 con la 2-3, vemos que ahora z toma el luqar de y. itanto, en vez de (2-15) para la curvatura de la intersección de la superficie nivel con.el plano xz tenemos:

K1

d 2z 2-16 dx 2

'

Si diferenciamos W(x,y,z) = Wo con respecto a x, y considerando que y es cero y z ,una funcion de x. obtenemos

dz dx

Wz

Wz

Wz

2Wz

0

dz dz d 2z Wz ( ) 2 Wz 2 dx dx dx

0

en donde los subíndices denotan la diferenciación parcial

Wx

W , W xx x

2

W ,.... x z

Como el eje x es tangente en P, entonces dz/dx = O en P. de modo que

d 2z dx 2

Wxx Wx

Como el eje z es vertical, tenemos, según (2-14),

Wz

W z

W H

g

Por lo tanto (2-16) se convierte en

K1

Wxx 2-17 g

La curvatura de la intersección de la ^pprficie denfvel con el plano yz- se determina reemplazando x por y;

K2

W yy g

2-18

La curvatura media J de una superficie en el punto P se define cono la media aritmética de las curvas de las curvas en donde los planos perpendiculares entre si a traves de la normal a la superficie intersectanla superficie fig (25)Por consiguiente hallamos

J

1 K1 2

K2

Wxx W yy 2g

Aunque el signo negativo es solamente una regla convencional. Esta es una expresión para la curvatura media de la superficie de nivel, Mediante la ecuación generalizada de Poisson

W Wxx Wyy Wzz

4 kp 2w2

hallamos

4 kp 2 w 2

2 gJ W xx

Considerando

Wz

g z Wzz

g z

g H

Finalmente obtenemos

g H

2 gJ

4 p 2w 2

Esta ecuación importante que relaciona el gradiente vertical de la gravedad con la curvatura media de la superficie de nivel,tambien fue desarrollado por Bruns (1878).Es otro ejemplo notable de la interrelacion de los conceptos geometricos con los dinámicos en la geodesia. líneas de la Plomada. La curvatura de una linea de la plomada es necesario para la reduccion de las observaciones astronomicas al geoide. Una línea de la plomada se define como una curva cuyo vector de elemento

dx

(dx.dy, dz)

tiene la dirección de gravedad

g

(W xx ,W yy ,W zz )

es decir, que dx y g solamente difieren por un factor de proporcionalidad. se expresa mejor en la forma

dx Wx

dy Wy

dz 2-21 Wz

En el sistema de coordenadas de la fifí 2-4, la curvatura de la proyeccion en el plano xz de la línea de la plomada viene dada por

d 2x dz 2

y

esta es la ecuación (2-15) aplicada al caso que se esta considerando. Segun (2-21) tenemos

dx dz

Wx Wz

Diferenciamos con respecto a z considerando que y =.0:

d 2x dz 2

1 dx Wz Wxx Wzz 2 dz W

Wz Wzz Wzz

dx dz

En nuestro sistema de coordenadas en particular el vector do gravedad coincide con el eje z, por lo que sus componente x y y, son.cero:

Wz

Wx

0

La Fig. 2-4 muestra que tambien tenemos

dz dx

0

Por consiguiente.

d 2x dz 2

WxWxx W 2z

Wzx Wz

Wxz Wz

Considerando Wz = -g, Finalmente obtenemos

k1

1 g (2-22a) g x

y en fonna similar,

k2

1 g (2-22b) g y

Estas son las curvaturas de las proyecciones de la linea de la plomada en e1 plano xz y yz, siendo el eje z vertical, es decir que coincide con e1 vector de gravedad. Se conoce la curvatura total k de la Ifnea de la plomada, de acuerdo con la geometría diferencial, aplicando

k12

k

k 22

1 g

g x2

g z2 (2-23)

Para reducir las observaciones astronómica;; (Sec. 5-6) solamente se necesitaran las curvaturas de la proyección {222a,b}. Finalmente, 1as diversas formulas para la curvatura de superficies de nivel y de las lineas de la plomada son equivalentes a la ecuación de un solo vector

gradg

( 2 gJ

4 kp 2w 2 )n gn1 (2-24)

en donde n es ei vector unitario a lo largo de la linea de la plomada (su vector tangente unitario) y n1 es el vector unitario a lo largo de la normal principal ala linea de la plomada. Esto puede comprobarse fácilmente. En el.sistema xyz local utilizado, tenemos n = (0,0,1), n1=(cosα,senα,(1) en donde α es el ángulo entre la normal principal y el eje x-(Fig. 2-6) La componente Z de 2-24 resulta en la ecuación de Bruns (2-20), y las componentes horizontales resultan en

g x

gk cos ,

g y

gksen

La ecuac.ion generalizada de Bruns. 57 Estos son idénticos a (2-22a,b)puesto que K1=K cosα y K2=K senα, tal como lo demuestra la geometria diferencial. La ecuación 2-24 se conoce como la ecuación generalizada de Bruns En las publicaciones de Marussi (1949) y de Hottine [1957) podra hallarse mas información acerca de las propiedades de la curvatura y de 1a geometría interna" del campo gravitacional.

2-4. Coordenadas Naturales El sistema de superficies de nivel y de líneas de la plomada puede usarse como un sistema tridimensional curvilineo de coordenardas, el cual resulta adecuado para algunos propósitos; estas coordenadas pueden medirse directamente, todo lo contrario de las coordenadas rectangulares x,y,z. La dirección del eje de rotacion de la tierra y la posición del plano ecuatorial (normal al eje)estan bien definidas astronómicamente. l,a latitud geográfica Ф de un punto P en el angulo entre la vertical (direccion de la linea de la plomada) en P y el plano ecuatoria1 (Fiq. 2-7). Consideremos ahora un rectoa traves de P y paralela a1 eje de la tierra.

Esta paralela y la vertical en P definen conjuntamente el plano meridiano de P. 'El ángulo entre estar plano meridiano y el plano meridiano de Grrenwich (o algun otro plano fijo) constituye la longitud geográfica λ de P Definición de las coordenadas geograficas Ф y λ de P por medio de una esfera unitaria con centro en P. La 1inea PN paralela al eje- de rotación, el plano GPF normal a1 mis mo, es decir paralelo al plano ecuatorial: n es e1 vector unitario a lo largo do la linea de la plomada; el plano NPF es el plano meridiano de P, y el plano NPG es para1elo al plano meridiano de Greenwich. Las coordenadas geográficas, latitud Ф y longitud λ , forman dos de las tres coordenadas espaciales de P. Como tercera coordenada podemos tomar la altura ortométnca H de P o su potencial W. El numero geopotencial c = W0-W es equivalente a W, en donde W0 es el potencial del gaoide. La altura ortométrica H se definio en la sección 2-2; vease tambien la figura 2-2; Las relaciones entre W, C y H están dadas por las ecuaciones H

W

W0

gdH

W0

C

0

H

C W0 W gdH 0

W

H

C

dW g W0

dC g 0

que resultan de la interseccion de (2-13). La integral se toma a lo Largo de la linea de la plomada del punto P, empezando en el geoide,(H=0,W=W0)

Las cantidades Ф, ∆, W o Ф, ∆, H se conocen como las coordenadas naturales. A continuación se muestra c'mo estan relacionadas con las coordenadas rectangulares geocéntricas x.y.z de la seccion 2-1, siendo el eje x paralelo al plano meridiano de Greenwic Observando la Fig. 2-7 podemos apreciar que el vector unitario de 1a vertical n tiene los co.ponentes xyz

n

(cos cos , cos sen sen ) 2-26

se entiende que el vector de gravedad g es

g

(W x ,W x ,W z ) 2-27

Por otra parte, como n es el vector unitario que corresponde a g pero en dirección contraria, viene dado por

n

g g

g g

:

de modo que

g

gu

Esta ecuación, junto con (2-26) y (2-27) nos da

Wx

g cos cos

Wy Wz

g cos sen gsen

Despejando λ y Ф tenemos finalmente

W

tan

1

tan

1

Wz Wz2 W y2

Wy Wx

W ( x, y, z )

Estas tres ecuaciones relacionan las coordenadas naturales siempre y cuando se conozca la función W= W (x, y. z).

W con las coordenadas rectangulares x, y, z

Vemos que ΛФH estan relacionadas con x, y. z, y en una forma considerablemente mas complicada que las coordenadas esféricas de 1a sección 1-8. Nótese tambien que hay una diferencia de concepto entre la longitud geografica Λ y la longitud geocentrica λ. . . 2-S. El Potencial de la Tierra en Términos de Armónicos Esféricas Si obsérvanos en la expresión (2-5) el potencial de gravedad W, vemos que la parte mas difícil de tratar es el potencial gravítacional V, ya que el potencial centrífugo es una función analitica sencilla.

El potencial gravitacional V.podria manejarse mejor| para muichos propositos si tenemos presente el hecho de que es una_funcion armonica. fuera de las masa atrayentes y que por lo tanto puede desarrollarse hasta formar una serie de armonicas esfericas. Determinamos ahora el valor de los coeficientes de esta serie . El potencial gravitacional V esta representado por la ecuación basica (1-11)

V

k

dM 2-30 l

en donde ahora denotaremos el elemento de masa. por dM; la integral se extiende sobre toda la tierra. En esta integral insertamos la expresion (1-81)

1 l

r ´n p cos n 1 n 0 r

n

en donde P. son los polinomios de legendre convencionales, r es el vector radial del punto fijo p en el que se determinara V, r´ es el vector radial del elemento de masa variable dM y ψ es el angulo entre r y r´ [Fig. 2-9). Como r es una constante con respecto ii la integración sobre la tierra, puede sacarse de la integral. De manera que obtenemos

1

V n 0

rn

1

r´n pn (cos )dM

k

Si escribimos esto en la forma usual como una serie de armonicas esféricas solidas,

V n

Yn ( ) 2-31 n 1 0 r

vemos por comparación que la armónica esferica de superficie de Laplace Yn(λ,θ) viene dada por

r´n pn (cos )d´

Y( , ) k

2-32

y su dependencia de ζ y λ se manifiesta a través del ángulo ψ, dado que

cos

cos cos ´ sen sen cos ´

(2-33)

Las coordenadas esféricas se definieron en la sección 1-8. Se puede obtener una forma mas explicitá utilizando la formula de descomposición (1-83´):

1 l

n n 0m

Rnm ( ) n S nm ( ) n 1 r´ Rnm ( ´, ´) r´ S nm ( ´, ´) n 1 r rn 1 0 2n 1

Si insertamos esto en la integral (2-30.) y sacamos los términos que dependen de r,θ,λ, obtenemos (2-34) n

V

Anm n 0m 0

Rnm ( ) rn 1

Bnm

S nm ( ) rn 1

2-34

Figura 2-9

en donde los coeficientes constantes A y B están representados por

(2n 1) Anm

r ´n Rnm ( ´ ´)dM 2-35

k tierra

(2n 1) Bnm

r ´n S nm ( ´ ´)dM

k tierra

Estas Formulas son muy simetricas y fáciles de recordar: el coeficiente multiplicado por 2n solida

+

1. de la armónica

Rnm ( ) rn 1 es 1a Integral de la armónica solida Hay una relación similar que es valida para Snm Como el elemento de masa es

pdx´dy´dz´ pr ´2 sen ´dr´d ´d ´ (2-36)

dM

La determinación misma del valor de las integrales requiere que la densidad p este expresada como una función de r´ ,λ´,ζ´.Aunque en la actualidad no se dispone de dicha expresión, esta no afecta la importancia teórica y practica de las armonicas esféricas ya que los coeficientes Anm y Bnm pueden determinarse| con los valores limites de la gravedad en la superficie de la tierra. Este es un problema de valores limites que esta relacionado con los conceptos desarrollados en las secciones 1-16 y 1-L7 y que mas adelante se explicarán en detalle. Si recordamos 1as aplaciones (1-73) y (1-78) entre las armónicas esfericas completamente normal izadas y la'; convencionales, es posible escribir las ecuaciones (2-34) / (2-35) en terminos de armonicas convencionales, obteniendo asi: (2-37)

V

Anm

Rnm( ) rn 1

Bnm

Snm( ) en donde rn 1

r n pn cos( `) dM

Ano K Anm

2

(n m)! (n m)!

r n Rnm (

)dM (2.38) cuando m es diferente de cero

Bnm

2

(n m)! (n m)!

r n S nm (

)dM

Estas formulas no son tan simetricas como las formulas correspondientes(2-35). Con respecto a la dinamica de los satelites, el potencial V se expresa a menudo de la forma.

M 1 r

V

n

n

n 1m 0

a r

n

U nm Rnm (

) K nm S nm (

) 2.39

En donde a es el radio ecuatorial de la tierra, de manera que.

Anm

KMan J nm

Bnm

KMan K nm

n diferente de cero 2.40

Los coeficientes completamente normalizados correspondientes

J n0

J nm K nm

1 2n 1

J n0

J nm (n m)! 2(2n 1)(n m)! K nm

m sea dif de cero (2-41)

Tambien se utilizan . Es obvio que faltarian los terminos no zonales (m diferente de 0) en todos estos desarrollos si la tierra tuviera una simetría de revolucion total, puesto que los terminos mencionados dependen de la longitud. En cuerpos rotacionalmente simétricos no hay dependencia de landa porque todas lan longitudes son equvalentes. Las armonicas teserales y sectoriales seran, no obstante, pequeñas puesto que las desviaciones de la simetría de revolucion son triviales. Finalmente analicemos la convergenia de (234) o de desarrollos en series equivalentes del potencial de la tierra. Esta serie es un desarrollo por potencias de 1/r. Por consiguiente, cuando mas grande sea r tanto mejor la convergencia. Para r mas pequeños no es necesariamente convergentes. En el caso de un cuerpo arbitrario, puede demostrarse que el desarrollo de V en armonicas esfericas es siempre convergentes fuera de la efera mas pequeña r=rο que encierra el cuerpo totalmente . Dentro de esta esfera, la serie es po lo generalmente divergente. En algunos caso puede ser parcialmente convergente dentro de la esfera r=rο. Si la tierra fuera un elipsoide homogéneo con aproximaiones las mismas dimensiones, entonces la serie para V seria en efecto convergente en la superficie de la tierra. Dadas las irregularidades de la masa, sin embargo la serie del potencial real V de la tierra debera considerarse divergente en su superficie. Esto afecta el significado practico del desarrollo armonico de V para la geodesia terrestre; no obstante, ademas de su valor teorico tiene un gran uso practico en la dinamica de los satelites. No es necesario recalcar que el desarrollo armonico esferico, expresando siempre una funcion armonica, puede representarse solamente el potencial afuera de las masa atrayaentes, nunca dentro de las mismas.

ARMONICAS DE GRADO INFERIOR Resulta ilustrativo determinar en forma explicita el valor de los coeficientes de las primeras armonicas esfericas. Para referencia rápida establecemos el primero algunas funciones armonicas convencionales Rnm y Snm, utilizando (1-58)(1-61):

R00

1

R10

cos

R11

sen cos

R20

3 / 2 cos2

R21

3sen cos cos

R22

3sen 2 cos

S 00

0

S10

0

S11

sen sen

S 20

0

S 21

3sen cos sen

S 22

3sen 2 sen 2

1/ 2

2.42

las armonicas solidas correspondientes rnRnm y rnSm son sencillamente plinomios homogéneos expresados en x, y,z. Po ejemplo, ecuacion

r 2 S 22

6r 2 sen 2 sen cos

En esta forma hallamos

6(rsen cos )( rsen sen )

6 xy

R00

1

rR10

z

rR11

sen cos

rR20

1/ 2x 2 1/ 2 y 2

rR21

3xz

rR22

3x 2 3 y 2

S 00

z2

0

rS10

0

rS11

y

rS 20

0

rS 21

3 yz

rS 22

6 yz

3-43

Si sustituimos estas funciones en la expresión (238)para los coeficientes Anm y Bnm, obtenemos para el termino de cero grado.

Ano k

dM

kM 2-44a

Es decir el producto de la masa de la tierra por la constante gravitacional. Para los coeficientes de primer grado obtenemos Ecuación

Ano k

z`dM An k

x`dM Bn k

y`dM 2-44a

Y para los coeficientes de segundo grado

A

1 k 2

x2

A

1 k 2

x´z´dM B

A

1 k 2

x2

y2

z 2 dM k

y 2 dM B

y´z´dM

1 k 2

2-44c

x´ y´dM

De acuerdo con la mecánica sabemos que

1 M

x´dM

1 M

y´dM

1 M

z´dM 2-45

Son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad. Si el origen del sistema coordenadas coincide con el centro de gravedad entonces estas coordenadas y por tanto las integrales (2-44a)son cero. Si el origen r=0 es el centro de gravedad de la tierra, entonces no habra terminos de primer grado en el desarrollo armonico esferico del potencial V. Sto es por consiguente tambien cierto para nuestro sistema de coordenads egocéntricas. Las integrales

x´ y´dM

y´´z´dM

z´ y´dM

Son los productos de inercia. Seran cero si los ejkes de las coordenadas coinciden con los ejes principales de inercia. Como el eje z es idéntico al eje medio de rotación de la tierra, el cual coincide con el eje de máxima inercia, se anularan por lo meno el segundo y el tercero de estos productos de inercia. Por consiguiente A21 y B22 seran cero, peo no B22, el cual es proporcional al primer producto de inercia; B22 se anularia unicamente si al tierra tuviera una simetri de revolucion total o si de por casualidad el eje principal de inercia coincidiera con el meridiano de Greenwich. Las cinco armonicas A10,R11,S11,A21,R21 y B21,S21, todas armonicas de primer grado y las de segundo grado y primer orden que deben anularse de esta manera en cualquier desarrolloarmonico esferico del potencia l de la tierra, se conocen como armonicas esfericas o inadmisibles. Si incluimos los momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,z aplicando las definiciones por todos conocidas

A

(y2

z 2 )dM

B

(z 2

x 2 )dM 2-46a

C

(x2

y 2 )dM

Y denotamos el proucto xy de inercia, el cual no puede decirse que se anula, por

D

x´ y´dM 2-46b

Obtendremos finalmente.

Ecuaciones

A00

kM

A10

A11

B11

0

A21

A B C) 2-47 2 B21 C

A22

1 / 4k ( B

B22

1 / 2kD

A20

k(

A)

Supongamos ahora que los ejes x y y coinciden con los respectivos ejes principales de inercia de la tierra. (Esto es teóricamente posible ya que en la actualidad los ejes principales de inercia de la tierra solo se conocen aproximandamente). Luego B22=0, y teniendo en cuenta (2-42) podemos escribir explícitamente

V

kM r

k 1 (C r3 2

A B )(1 3 cos 2 ) 3 / 4( B 2

A) sen 2 cos 2

0(

1 ) 2-48 r4

En el caso de las oordenadas rectangulares se supne la forma simétrica.

V

kM r

k ( B C 2 A) x 2 2r 3

(C

A 2 B) y 2

( A B 2C ) z 2

0(

1 ) r 4 2-48´

Que se puede obtener fácilmente si se toma en cuenta las relaciones (1-36)entre las coordenadas rectangulares y las esfericas. Los erminos de oreden superior a 1/r³pueden omitirse en el caso de distancias mayores (digamos para la distancia a la luna)de amnera que tanto (2-48) como (2-48´), pasando pr alto los terminos de orden superior 0/(1/r4) resultan apropiados para muchos propósitos astronomicos. En el caso de distancias planetarias, aun el primer termino, V=kM/r Es por lo general sufuciente; representa el potencial de una masa puntual. Por lo tanto, para distancia muy grandes, todos los cuerpos actuan como masas puntuales.

Si se usa la forma (2-39)del desarrollo armonico esferico de V entonces los coeficientes de orden inferior se obtienen aplicando (2-40)y (2-47)hallando que

J 10

J 11

K11

0

J 20

A B 2 Ma 2 K 21 0 C

J 21 J 22

A B 4Ma 2 K 22

D 2Ma 2

La primera de estas formulas muestra qu la suma de una sucesión en (2-39 normalmete empieza con n=2, las otras realcionan los coeficientes de segundo grado con la mas y los momentos y productos de la inercia de la tierra. La notación 0(1,r4) se refier a los termino del orden de 1/r4 EL CAMPO DE GRAVEDAD DEL ELIPSOIDE DE NIVEL Como una primera aproximación,la tierra puede considerarse como una esfera; como una segunda aproximación puede considerarse un elipsoide de revolucion. Aunque la tierra no es un elipoide exacto, el campo de gravedad de un elipoide tiene una gran importancia practica porque es mas facil de manejar matemáticamente y las diferencias entre el campo real de gravedad y el campo normal elipsoidal son tan pequeñas que pueden considerarse lineales. Esta division del campo de gravedad de la tierra en uno normal y un campo pequeño pertubador restante simplifica considerablemnte el problema de su determinación; el problema difícilmente se podria resolver de otra forma. Por lo anto suponemos que la configuración normal de la tierra es un elipsoide de nivel, es deci, un elipsoide de revolucion que es una supeficie equipotencial de una campo de gravedad normal. Esta hipótesis es necesaria porque el elipsoide ha de ser la forma normal de geoide, el cual es una superficie equipotencial del campo real de la gravedad. Si denotamos el potencial del campo de gravedad normal por U=U(x,y,z) Vemos que el elipsoide de nivel, siendo este una superficie U=const, corresponde exactamente al geoide, definido omo una superficie W=const. Lo importante aquí es que al por sentado que el elipsoide dad es una supeficie equipotencial del campo de gravedad normal, y al suponer que la masa total es M, determinamos de una manera completa y exclusiva el potencial normal U. La distribución detallada de la densidad dentro del elipsoide, la cual origina el potencial U, es de poca importancia y no es necesario conocerla. Esta determinación resulta posible por el teorema de Stokes. Originalmente se demostro que era solamente valida para el potencial gravitacional V, pero tambien puede aplicarse al potencial de gravedad.

U

V 1/ 2

2

(x2

y2 )

Si se conoce la velocidad angular w. La prueba se deduce de la seccion 1-7 con ciertas modificaciones como es obvio. Por lo tanto, la funcion potencial normal U(x,y,z) se determina completamente por medio de: 1. La configuración del elipsoide de revolucion, es decir, sus semiejes a y b. 2. La masa total M 3. La velocidad angular. Ahora efestuaremos los calculos detalladamente. El elipsoide dado So

x2 y2 a2

z2 b2

1 2-51

Es por definición una superficie equipotencial

U ( x, y, z ) Uo 2-52 Se considera el elipsoide So como el elipsoide de referencia u =b. En este capitulo y los siguientes denotaremos las coordenadas elipsoidadles ζ por ζ´´reservando el símbolo ζ para la distancia polar esferica. Esta distinciones necesaria porque tanto ζ como ζ´´se usaran en el mismo contexto. Ademas usaremos

90 Es al latitud reducida muy utilizada en la geodesia geométrica Como la parte gravitacional V del potencial normal U es armonica fuera del elipsoide So, usamos la seri 1-111b el campo b tiene simetría de revolucion y pr consiguiente no depende de la longitud landa, Por lo tanto todos los terminos que no sean razonables y dependan de landa deben ser cero.

Por lo tanto el potencial de gravedad normal total puede expresarse

u Q(i ) b AnPn( sen ) 1 / 2 b Q(i ) p

U (u, )

2

(u 2

E 2 ) cos2

En el elipsoide So tenemos que u=b y U=Uo, por consiguiente

Uo

AnPn( sen ) 1/ 2

2

(b 2

E 2 ) cos2

Esta ecuación debe ser valida para todos los puntos de So, es decir, para todos los vslores de beta , como

b2

E2

cos 2

a2

2 / 3(1 psen )

Tenemos que

AnPn( sen ) 1 / 3

2

a 2 1/ 3

2

a 2 P2 ( sen ) Uo

0

n 0

del desarrollo de la anterior concluimos:

u E (Uo 1 / 3 2 a 2 ) b Qo i E Qo i

V (u, )

u E 1/ 3 2 a 2 p 2 ( sen ) 2-56 b Q2 i E Q2 i

Esta formula es esencialmente la solución del problema 'de Dinctilet para elelipsoide de nivel, pero podemos darle fnrmas mucho ina's convenientes. Como

De acuerdo con las expresiones (1-36) para las coordenadas esféricas y con las ecuaciones (1-103) para las coordenadas elipsoidales, hallamos

x2

y2

z2

r2

u2

E 2 cos 2 de modo que para los valores

grandes de r tenemos

1 u

1 1 0 3 r r

tan

1

E u

E r

0

1 r3

Para distancias r muy grandes, el primer termino en"(2-59) es dominante, de modo que asintoticamente .V

U0

1 2 2 E 1 1 w a 0 3 1 3 tan ( Eb ) r r

Según la sección anterior sabemos que

V

KM r

0

1 r3

|

La comparación de estas dos expresiones muestra que.

KM

U0

U0

1 2 2 E w a 2-60 3 tan 1 ( Eb )

KM b tan 1 E b

1 2 2 w a 3

san las relaciones deseadas entre la masa M y e1 potencial U 0 Estas relacionas pueden sustituirse en la expresión para V dada por (2-59) y-P2 expresarse como

p2 ( sen )

3 sen 2 2

1 2

Fina1mente si agregaramos e1 potencial centrifugo Ф (2-55), obtenemos el potencial de la gravedad normal U

U (u ,3)

KM tan E

1

E u

1 2 2q w a sen 2 2 q

1 3

1 w(u 2 2

E 2 ) cos 2

Las únicas constantes que so presentan en esta formula son a, b, kM, y w. cüncuerria plenamente con el teorema f.tp Stokes. 2-8. Gravedad Normal El elemento lineal expresado en coordenadas elipsoidales, esta dado por

dv 2

w 2 du w 2 (u 2

E 2 )d

(u 2

E 2 ) cos 2 dx

en donde

w

u2

E 2 sen 2 u2 E2

2-63

Por lo tanto tenemos, junto con las lineas de coordenadas: µ = variable β=const λ=const β= variable µ=const λ=const λ= variable µ=const β=const Las componentes del vector de gravedad normal Γ=gradU A lo largo de estas líneas de coordenadas están dados por

U su

1 U W u

U s

1

U s

W u

2

W u

2

U E

2

1

U 2

0

E cos

La componente Yt es cero puesto que U no contiene λ. Esto tambien resulta obvio por la simetría de la revolucion. A1 efectuar las diferenciaciones parcíales hallamos que:

W

u

KM 2 u E2

w

2

w 2 a 2 E q´ 1 sen 2 2 2 u E q0 2

w2 a 2 u

2

q E 2 q0

w2 u 2

1 6

E 2 sen cos

en donde hemos usado

q´ (2-67)

u2

E 2 dq E du

31

u2 E2

1

w 2 u cos2

u E tan 1 E u

1

Nótese que que no significa dq/qu; esta notacion se ha adoptado del trabajo deHirvonen (1960), en donde q' es la derivada con respecto a otra variable independiente α , que no estamos usando aqui"

.Para el misino elipsoide de nivel

0

0

S 0 tenemos que u = b, y obtenemos.

(2-6,8]

(Con Frecuencia denotaremos. 1as cantidades que hacen referencia a So por el subindice 0.) Esto también resulta evidente porque en

S 0 el vector de gravedad es normal a la superficie de nivel S 0 . Por consiguiente,

ademas de la componente λ también la componente β es cero en el elipsoide de referencia u = b.1 _ Los otros elipsoides coordenado', u x const. no son superficies equipotenciales U = const, de manera que en general lacomponente no sera cero-. Por lo tanto la gravedad total en el elipsoide.

KM

\

a ,0

a a 2 sen 2

b 2 cos2

S 0 que sencillamente denotaremos por γ, esta' dada por

1

w 2 a 2 E q´0 1 sen 2 KM q0 2

1 6

w2 a 2b cos2 KM

ya que las relaciones 2

u2

b2

E 1 2 b a

w0

E2

E 2 sen 2

son validas en

a 1 a 2 sen 2 a

b 2 cos2

S0

Si Incluimos la forma abreviada 2

m

w2 a b KM

2-70

y la segunda excentricidad- l La primera excentricidad es c = E/a.. La prima de e no denota diferenciación sino que sencillamente distingue la segunda excentricidad de la primera-.

e´

E b

a2 b2 b

2-71

y eliminamos los terminos constantes al notar que

l

cos 2

obtenemos

sen 2

KM a a 2 sen 2

(1

b 2 cos 2

m´ eq´0 ) sen 2 3 q0

1 m

m eq0 ´ cos 2 6 q0

2-72

En el ecuador β=0 hallamos.

KM m eq0 1 m ab 6 q0

2-73:

(2-74) en 1os polos (β=+-90) la gravedad normal está representada por

0

KM m eq0 1 2 3 q0 a

2-74

La gravedad normal en el ecuador γa y la gravedad normal en el polo, γb satisfacen a relación

a b a

b

a

w2b a

1

e´q´0 2q 0

(2-75)

que deberá comprobarse por susutitucion. Esta es la forma inflexible de una formula aproximado importante publicada por Clairaut en 1738. Por ello se le

conoce como el teorema de Clairaut. Su importancia se explica claramente en la sección 2-10. Si comparamos la expresión (2-73) para

a

y U. expresión (2-74) para

paréntesis en la formula (2-72), vemos que es posible escribir

a

b

sin 2

a 2 sin 2

b

con las cantidades encerradas con

en la forma simétrica

cos2

a

b

(2-76)

b 2 cos2

Finalmente, se incluye en el elipsoide la latitud geográfica, , que es el ángulo entre la normal al elipsoide y e1 plano ecuatorial (Fig. 2-11). Aplicando la conocida formula de la geodesia geométrica

b tan a

tan

(2-77)

obtenemos

a

a

cos2

b

a 2 cos2

b

sin 2

(2-78)

b 2 sin 2

Los calcu1os podrá efectuarlos el lector como práctica. Esta formula para 1a gravedad normal en el e1 elipsoide fue desarrollada por Somigliana (1929). Concluiremos esta sección con observaciones sobre e1 gradiente vertical de 1a gravedad en e1 elipsoide de referencia

su

h . La formula de Bruns (2-20) aplicada al campo de gravedad normal en donde

h

2J

2

1 1 2 M

1 N

2

=0; nos da

(2-79)

La curvatura media de1 elipsoide está dada por

J

(2-80)

en donde M y N son los radios principales de curvatura M es el radio en la misma dirección que el meridiano, y N e1 radio normal de la curvatura, tomado en la misma dirección que el primer vertical. Adoptando geométrica 1as formulas

elipsoide de referencia U = Uo

Figura 2-11: Latitud geográfica (elipsoidal)

, latitud geocéntrica

, latitud reducida

y sus complementos para un

punto P en el elipsoide.

c

M

1

1 e' 2 cos2

c

N

,

1 e' 2 cos 2

2

1

2

en donde

a2 b

c

es el radio de curvatura en el polo. El radio normal de curvatura, N, puede interpretarse geométricamente (Fig. 2-11), por lo que también se 1i? conoce como 1a "normal terminada por el eje menor" (Bomford. 1962, pag. 497). 2-9. Desarrollo del Potencial Normal en Armónicas Esféricas Hemos hallado que el potencial gravitacional de la configuración normal de la tierra en términos de armónicas elipsiodales tiene 1a siguiente forma

V

KM tan E

1

E u

1 3

2

a2

q P2 sin q0

(2-83)

Ahora deseamos expresar esta ecuación en términos de las coordenadas esféricas

r, ,

Primero tenemos que establecer una relación entre las coordenadas elipsoidales y las esféricas. Si comparamos las coordenadas rectangulares de estos sistemas de acuerdo con las ecuaciones (1-36) y (1-103), obtenemos

rsin cos

u2

E 2 cos cos

rsin cos

u2

E 2 cos sin

r cos Como la longitud

usin

es la misma en ambos sistemas, con estas ecuaciones podemos determinar fácilmente

u

cot

u2 u2

r

E2

tan (2-84)

E 2 cos 2

La transformación directa de (2-83) expresando u y

en términos de r y

por medio de las ecuaciones (2-84) es

sumamente difícil. Sin embargo el problema puede resolverse fácilmente en una forma indirecta. Desarrollamos tan-1(E/u) p-ira formar una serie exponencial conocida por

tan

1

E u

Si insertamos esta serie en la formula (2-57)

E u

1 E 3 u

3

1 E 5 u

5

... (2-85)

1 2

q

1 3

u2 tan E2

E u 3 u E

1

resulta, después de operaciones sencillas, en

q

3

1 E 2 3.5 u

5

2 E 5.7 u

3 E 7.9 u

7



(2-86)

Concretamente tenemos

tan

1

E u

E u

q

1

n

n 1

2n 2n 1 2 n 3

n

1 n 1

2n 1

1 E 2n 1 u E u

2n 1

Insertando esto en (2-83) obtenemos

V

kM u

kM E

2n 1

1 E 1 2n 1 u

a2 3q 0

n 1

n

2

n

1 n 1

2n 2n 1 2n 3

E u

2n 1

P2 ( sin )

Si incluimos m. definido por (2-70), y la segunda excentricidad e' = E/b, hallamos

V

kM u

1

n

n 1

kM E 2n 1 E u

2n 1

1

me' 2n P2 sin 3q 0 2n 3

(2-87)

Desarrollamos el potencial V en una serie de armónicas esféricas. Dada la simetría de revolución solamente habrán términos zonales, y dada la simetría con respecto al plano ecuatorial solamente habrá armónicas zonales pares. Las armónicas zonales de grado impar cambian de signo para las latitudes negativas y por lo tanto no se incluyen. En consecuencia, la serie tiene la forma

kM r

tV

A2

P2 cos r

Luego tenemos que determinar los coeficientes

A4

3

P4 cos



r5

(2-88)

A2 , A4 ,  .Para ello consideramos un punto sobre e1 eje de rotación,

afuera del elipsoide. Para dicho punto tenemos que

= 90°,

= O°, y de acuerdo con (2-84), u = r. Luego (2-87)

pasa a ser

kM r

V

1

n

n 1

kME2 n 2n me' 1 1 2n 2n 1 2n 3 3q 0 r

1

y (2-88) toma la forma

V

kM r

A3

A4

3

5

r

r



kM r

A2 n n 1

1 r

2n 1

Aquí hemos aplicado el hecho de que para todos los valores de n

Pn (1) 1; véase también la Fig. 1-8. Comparando los coeficientes, de ambas expresiones para V hallamos que

kME2 n 2n me' 1 2n 1 2n 3 3q 0

( 1) n

A2 n

(2-89)

Las ecuaciones (2-88) y (2-89) proporcionan 1a expresión deseada para el potencial del elipsoide de nivel como una serie de armónicas esféricas. El coeficiente de segundo

A2 es A2

k ( A C)

Esto resulta de (2-47); tenemos que A = B por motivos de simetría. La C constituye el momento de inercia con respecto al eje de rotación, y A es el momento de inercia con res pecto a cualquier eje en el plano ecuatorial. Usando n=1 en (2-89) obtenemos

1 2 me' kME2 1 3 15 q 0

A2

Comparando esto con la ecuación anterior, hallamos que

k (C

1 2 me' kME2 1 3 15 q 0

A)

(2-90)

Por lo tanto la diferencia entre los momentos principales de inercia se expresa en términos de las "constantes de Stokes" a, b. M y . Es posible eliminar qp de las ecuaciones (2-89) y (2-90), obteniendo

3kME 2 C A ( 1) 1 n 5n (2-91) (2n 1)( 2n 3) ME 2 n

A2 n

Si escribimos el potencial V en la forma

V

kM a 1 J2 r r

V

kM 1 r

J 2n n 1

2

P2 (cos ) J 4 a r

a r

4

P4 (cos ) 

2n

P2 n (cos )

luego J está dado por

J 2n

( 1) n

1

3e 2 n C A 1 n 5n (2n 1)( 2n 3) ME 2

(2-92).

Aquí hemos incluido la primera excentricidad e = E/a. Para n = 1 esto resulta en la formula importante

J2

C A Ma2

(2-92‘)

que esta de acuerdo con 1as ecuaciones (2-49). Finalmente observamos que al eliminar

q0

1 b Q2 i i E

usando (2-90), y Uo (2-60) podemos escribir el desarrollo

de V en armónicas elipsoidales, ecuaciones (2-56), en la forma

i u kMQ0 i E E

V (u , )

15i k C 2E

1 u ME 2 Q2 i P2 ( sin ) 3 E

A

(2-93)

Esto muestra que los coeficientes de las armónicas elipsoidales de los grados cero y dos son funciones de la masa y de la diferencia entre los dos momentos principales de inercia. La ana1ogía con 1os coeficientes armónicos esféricos correspondientes (2-47) es obvia. 2-10. Desarrollos en Serie para el Campo de Gravedad Normal Como e1 elipsoide de la tierra es casi una esfera, las cantidades

a2

E

b 2 , excentricidad lineal

E , primera excentricidad (numérica), a E , segunda excentricidad (numérica), e' b a b , achatamiento f a e

(2-94)

y los parámetros similares que caracterizan la desviación de una esfera, son pequeños. Por consiguiente, los desarrollos en serie en términos de estos parámetros o similares resultan convenientes para los cálculos numéricos. Aproximación Lineal. Para que el 1ector pueda entender y aplicar las siguientes formulas prácticas, se considerará primero una aproximación que es lineal en el achatamiento f. Aquí tratamos con fórmulas particularmente sencillas y simétricas que también demuestran claramente la estructura de 1os desarrollos de orden superior. Es conocido que el vector radial r de un elipsoide está dado aproximadamente por

r

a(1

fsin )

(2-95)

Como veremos más adelante, la gravedad normal con la misma aproximación, puede escribirse a

f * sin 2 )

(1

90 , en los polos, tenemos que a=b y

Para

b

(2-96)

. Por tanto podemos

escribir

b

a(1

f ),

b

a

(1

f *)

y despejando f y f* obtenemos

f f*

a b a

(2-97)

b

a

(2-98)

a

de manera que f es el achatamiento definido por (2-94), y f* es una cantidad análoga que podemos denominar el achatamiento por gravedad. Con esta misma aproximación, (2-75) se convierte en

f

en donde

f*

5 m, 2

(2-99)

2

m

fuerza _ centrifuga _ en _ el _ ecuador gra vedad _ en _ el _ ecuador

a

a

(2-100)

Este es el teorema de Clairaut en su forma original. Es una de las fórmulas más notables de la geodesia física: El achatamiento (geométrico) f (2-97) puede deducirse de f* y m, que son cantidades netamente dinámicas obtenidas mediante mediciones gravimétricas; es decir, que e1 achatamiento de la tierra puede determinarse de mediciones gravimétricas. Obviamente la formula de Clairaut es solamente una primera aproximación y debe mejorarse incluyendo primero en f los términos elipsoidales de orden superior y, en segundo lugar, tomando en cuenta la desviación del campo de gravedad de la tierra normal. Pero e1 principio sigue siendo el mismo. Desarrollo de segundo orden. Ahora desarrollaremos las formulas cerradas de las dos secciones anteriores para formar series de términos de la segunda excentricidad e‘ y del achatamiento f, genera1mente hasta

e' 4 of 2 inclusive.

e' 5 of 3 y superior.

Casi siempre se hace caso omiso do términos del orden de

Se empieza con la serie

tan q

1

E u

E u

1 E 2 3 5 u

1 E 3 u 3

1 E q' 6 3 5 u

2

3

1 E 5 u

2 E 5 7 u 1 E 5 7 u

5

4

5

7

1 E 7 u

3 E 7 9 u 1 E 7 9 u

, 7

,

(2-101)

8



Las primeras dos series ya se han usado en la sección anterior; la tercera se obtiene incorporando 1a serie de formula cerrada (2-67) para q‘. En el elipsoide de referencia So tenemos que u = b y

E u

E b

e' ,

De modo que

1 3 1 5 e' e'  , 3 5 2 3 6 2 e' 1 e'  , 15 7

tan 1 e' e' q0

q' 0 e' q 0 q0 También necesitaremos la serie

2 2 3 2 e' 1 e'  , 5 7 3 2 31 e'  7

(2-102)

(2-103)

tan 1 a la

a

b

1 e'

2

1 2 3 4 e' e'  2 8

a1

Potencial y gravedad. Si sustituimos estas expresiones en las formulas cerradas (2-61), (2-73). (2-74) y (2-75) obtenemos hasta el orden e‘4, inclusive: potencial :

kM 1 2 1 4 1 e' e' b 3 5

U0

1 3

2

a2,

(2-104)

gravedad en el ecuador y en el polo:

a

kM 3 3 2 1 m e' m , ab 2 14

(2-105a)

b

kM 3 2 1 m e' m , 2 7 a

(2-105b)

e1 teorema de Clairaut:

f La razón

2

a/

a

2

5 2

f*

b

1

a

9 2 e' 35

(2-106)

puede expresarse 2

a

3 2 m , 2

m

a

(2-107)

que es una versión más exacta de (2-100). De acuerdo con la ecuación (2-l05a) hallamos

kM

ab

a

1

3 3 2 m e' m 2 14

9 2 m , 4

(2-108)

que da como resultado la masa en términos de la gravedad ecuatorial. Por medio de esta ecuación podemos expresar 1a kM de 1a ecuación (2-104) en términos de a , obteniendo

U0 Aquí hemos eliminado

2

a

a

1

1 2 11 1 4 2 2 11 2 e' m e' e' m m 3 6 5 7 4

(2-109)

a 2 sustituyéndolo por kMm/b.

Ahora podemos considerar la ecuación (2-78) para la gravedad normal. Con una operación simple obtenemos

1

b

a

b

a

a

1

a

a

sin 2

b

2

b2 a2

sin 2

Se desarrolla el denominador para formar una serie binomia:

1 1 x

1

1 3 2 x x  2 8

Luego se incluye 1a serie abreviada

a2 b2 a2 b b a a a

e' 2 1 e' 2

e' 2 e' 4 , 5 13 2 15 2 m e' 4 e' m m 2 7 4

e' 2

a

y, después de la sustitución, obtenemos

a

1 2 5 1 4 13 2 15 2 e' m e' e' m m sin 2 2 2 2 7 4

1

1 4 5 2 e' e' m sin 4 8 4

(2-110)

También podemos expresar estas cantidades en términos del achatamiento f s ustituyendo la ecuación

1

e' 2

1 f

2

1 2f

3f

2



El achatamiento f se utiliza con mucha frecuencia; ofrece una pequeña ventaja sobre la segunda excentricidad e' puesto que es del mismo orden de magnitud que m: el hecho de que magnitud no se aprecia enseguida. De modo que obtenemos

a

1

kM

ab

U0

a

a

a

3 3 m fm 2 7 2 f 3

1

5 1 m f 2 2

f

1

2

m 2 , e' 2 m, e' 4 sean cantidades de1 mismo orden de

9 2 m 4

11 1 m f 6 5

2

(2-111)

4 11 2 fm m 7 4

26 15 2 fm m sin 2 7 4

1 f 2

(2-112)

2

5 fm sin 4 2

La ultima formula generalmente se abrevia de la siguiente manera a

1

f 2 sin 2

f 4 sin 4 ,

(2-114)

de modo que tenemos

f2 f4

5 1 m f 2 2 1 2 5 f fm 2 2

f

2

26 15 2 fm m 7 4

(2-115)

(2-113)

Si sustituimos

sin 4

1 sin 2 2 4

sin 2

finalmente obtenemos

1 f 4 sin 2 2 4

f * sin 2

1

a

(2-116)

en donde

f*

b

a

f2

f4

(2-117)

a

es el "achatamiento por gravedad‖ Coeficientes de las armónicas esféricas . La ecuación (2-90) para los momentos principales de inercia en seguida da como resultado

C A ME 2

1 3

2 me ' 45 q 0

Si la desarrollamos por medio de (2-102) hallamos

C A ME 2

1 1 2 1 2 2 e' m e' m 2 3 7 e' 3

Al insertar esto en (2-92) obtenemos

J2 J2

J4

C A 1 2 1 1 4 1 2 e' m e' e' m 2 3 3 3 21 Ma 2 1 1 2 2 f m f fm 3 3 3 21 1 4 2 2 e' e' m 5 7

4 f 5

2

1 fm 7

(2-118)

(2-119)

Las J superiores corresponden a un orden de magnitud que se ha omitido. Gravedad sobre el elipsoide. En el caso de una elevación pequeña h sobre el elipsoid e, es posible desarrollar la gravedad normal

h,

a esta elevación para formar una serie en términos de h:

b

en donde

1 2 h h2  2 h 2 h

y sus derivadas hacen referencia al elipsoide (h = 0).

La primera derivada

/ h está dada por la formula de Bruns (2-79):

-

1 M

h

1 N

2

2

(2-120)

en donde M, N son los radios principa1es de curvatura del elipsoide, definidos por (2-8l). Como

1 M

b 1 e'2 cos2 2 a

1 N

b 1 e' 2 cos 2 a2

1 M

1 N

b 3 2 1 e' cos2  2 a 2

32

b 1 2 1 e' cos 2  2 2 a

12

tenemos

b 2 2e'2 cos2 a2

3 2

2b 1 2 f cos2 a2

Aquí nos hemos limitado a términos lineales en f, dado que la elevación h es en sí una cantidad pequeña. Por tanto, después de algunas operaciones sencillas con (2-120) hallamos:

2 1 a

h

m 2 fsin2

f

(2-121)

La segunda derivada puede tomarse de la aproximación esférica, la cual se obtiene haciendo caso omiso de e’2 o f:

kM , a2 h

2kM 2 , 2 a3 h

a

2

a

6kM a4

2

De modo que 2

h

6 a2

2

(2-122)

Por 1o tanto obtenemos

h

1

2 1 a

Usando la ecuación (2-113) para

h

El símbo1o

h

f

m 2 fsin 2 h

3 2 h a2

(2-123)

, también podemos expresar la diferencia

2 a 1 f a

m

3f

5 m sin 2 2

denota 1a gravedad normal para un punto de latitud

representa la gravedad en el elipsoide mismo para la misma latitud equivalentes.

h

en la siguiente forma

h

3

4

a2

h2

(2-124)

, situado a una altura h sobre el elipsoide; , tal como se expresa en (2-116) o formulas

En la publicación de Hirvonen (1960) podrán hallarse desarrollos en serie de órdenes superiores así como fórmulas para calcular las diversas cantidades relativas al campo de gravedad normal. 2-11. Valores numéricos. El Elipsoide Internacional El elipsoide de referencia y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes. Por 1o general se incluyen tos siguientes cuatro parámetros:

a f

semieje principal; achatamiento; gravedad ecuatorial; y

a

velocidad angular. Los valores mas conocidos y usados son los que corresponden al elipsoide internacional: a= f=

6378688.00 metros 1/297000

a

=

=

978.049000 gal 0.72921151 x 10^-4 sec^-1

Los parámetros geométricos de a y F Fueron determinados por Hayford en 1909 a partir de datos astrogeodesicos do los Estados Unidos que habían sido reducidos isostáticamente. La asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia celebrada en Madrid en 1924 los adopto para el elipsoide internacinal. El valor de la gravedad ecuatorial a fue calculado por Heiskanen (l928) usamdo también datos gravimétricos reducidos isostaticamente,; La formula correspondiente para la gravedad Internacional,

g

978 .0490 (1 0.0052884 sin 2

0.0000059 sin 2 2 ) gal

cuyos coeficientes fueron calculados a partir de valores supuestos para a, f,

a

(2-126)

, mediante 1as ecuaciones de Cassinis

(19.10) [ecuaciones (2-115), (2-116), (2-117) fue adoptada por la asamblea de Estocolmo en 1930. Todos los parámetros del elípsoide internacional y su campo de gravedad pueden calcularse a cualquier grado de precisión utilizando (2-125), la cual por supuesto expresa únicamente la consistencia interna. En esta forma hallamos que b = 6 356 911 metros, E = 522 9/6.1 metros,

e' 2 = 0.006 768 q 0 = 0.000 0/3 8130.

(2-127)

q ' 0 = 0.002 699 44. m = 0.003 449 86. El potencial del elipsoide internacional es Uo = 6 263 978.7 kgal metros

(2-128)

El producto de la masa de la tierra y de la constante gravitacional tiene un valor de kM = 3.9863290 x 10^20 cm3 sec^-2

(2-129)

Como la constante gravitacional tiene un valor de k = 6.67 X 10^-8 cm3 g^-1 sec^-2 la masa de la tierra es M = 5.98 X lO^27 g. Como k no es muy precisa no tendría mucho sentido proporcionar una mayor precisión para M. En e1 caso de las constantes del desarrollo armónico esférico del campo de gravedad normal, hallamos los siguientes valores

J2 J4

C A 0.0010920 Ma 2 0.00000243

(2-130)

El cambio de la gravedad normal con respecto a la elevación esta expresado por la formula (2-124), la cual para el elipsoide internacional pasa a ser

en donde

hy

0.00045 sin 2 )h 0.000072 h 2

(0.30877

b

(2-131)

se miden en gales, y h es la elevación en kilómetros.

Aunque ya no podemos considerar al elipsoide internacional como la mejor aproximación de la tierra por medio de un elipsoide, aún puede utilizarse como elipsoide de referencia para fines geodésicos (véase la sección 2-21 para mayores detalles). Recientemente, la asamblea de la Unión Astronómica Internacional adopto en Hamburgo en 1964 (Fricke et al., 1965) una serie de valores que probablemente se adapte mejor a la situación actual: a= 6378160 metros, f 2 = 0.0010827 kM= 3.98603 x 10^20 cm3 sec^-2 El achatamiento correspondiente es f = 1/298.25. El valor de a. el cual es considerablemente menor que el del elipsoide internacional, incorpora determinaciones geodésicas obtenidas recientemente; el cambio en el valor de J 2 y por consiguiente de f, se debe a los resultados proporcionados por los satélites artificiales. Los países de oriente utilizan el elipsoide de Krasowsky: a= 6378245 metros, f= 1/298.3

(2-133)

En este libro continuaremos usando los valores (2-125) del elipsoide internacional, a menos que se indique lo contrario, ya que la mayoría de 1ª mayoría de los cálculos, tablas, etc. hacen referencia al mismo; además, dichos valores todavía no han sido cambiados oficialmente por la Unión Internacional de Geodesia y geofísica. 2-12. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia Como se menciono anteriormente, e1 campo de gravedad de la tierra se ha divido convenientemente en un campo normal y uno perturbador. El campo normal comprende las características de encala grande, de manera que las desviaciones del verdadero campo de gravedad del campo normal - las perturbaciones - son pequeñas. Además, el campo normal debe ser matemáticamente sencillo. De lo contrario sería bastante arbitrario. El uso del elipsoide como una superficie de referencia para el campo de gravedad es bastante reciente. No se utilizó oficialmente hasta 1930 cuando la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia en Estoco lmo adoptó la formula teórica de la gravedad (2-126) basada en un elipsoide de revolución. Anteriormente se usaban los primeros términos del desarrollo armónico esférico de W como un potencial normal U, es decir, las funciones,

U'

Y0 r

Y2 ( , )

U''

Y0 r

Y2 ( , ) Y3 ( , )

r

4

r

5

1 2

2

r

(x 2

5

y2) 1 2

(2-134a)

2

(x 2

y2)

(2-134b)

Aquí falta la armónica de primer grado porque se escogió el centro de la tierra como el origen de las coordenadas; se omitió la armónica de tercer grado porque se dio por sentado que el campo normal es simétrico con respecto al plano ecuatoria1. Las funciones Y0 kM , Y2 , y, Y4 supuestamente corresponden al verdadero campo de gravedad do la tierra.

Las superficies de referencia correspondientes U = Uo se llaman esferoides de la tierra (1) La superficie

U ' ( x, y , z ) U 0

(2-135a)

se conoce como el esferoide de Bruns; la superficie

U ' ' ( x, y , z ) U 0

(2-135b)

es e1 esferoide de Helmert. (1) Un esferoide es (1) cualquier superficie que se asemeje a una esfera: y (2) específicamente, un elip soide de revolución. En este texto usaremos la palabra "esferoide" en el primer sentido más amplio en lugar del segundo sentido especial. De acuerdo con (2-48), el esferoide de Bruns esta representado por la ecuación

kM r

k B C 2A x 2 2r 5

C

A 2B y 2

A B 2C z 2

1 2

2

x2

y2

U0

(2-136)

Sí eliminamos la raíz cuadrada

r

x2

y2

z2

hallamos que es una superficie algebraica de grado 14. E1 esferoide de Helmert es una superficie de grado 22. . . En la practica, estas superficies se aproximan mucho a los elips oides. Sin embargo, son mucho mas complicadas matemáticamente, de manera que prácticamente es imposible obtener formulas cerradas con ellas. A continuación se dan tres razones a favor del elipsoide como una superficie de referencia en la geodesia física. 1.

Como para las triangulaciones, etc. siempre se utiliza un elipsoide como superficie de referencia, es posible usar el mismo elipsoide como una superficie de referencia tanto geométrica como física.

2.

Las formulas cerradas para el elipsoide de nivel no solo permiten definir en una forma clara y precisa el campo de gravedad normal, sino también efectuar cálculos prácticos con cualquier precisión.

3.

Las funciones (2-134a) y (2-L34b) pueden considerarse las primeras aproximaciones naturales del campo de gravedad de la tierra. Sin embargo, el desarrollo armónico esférico del potencial de la gravedad no deja de ser mas "natural" que, digamos, un desarrollo en términos de 1as armónicas elipsoidales. Si desarrollamos W para formar una serie de armónicas elipsoidales, entonces e1 elipsoide de nivel constituirá la primera aproximación.

El concepto de superficie de referencia y de su campo de gravedad resultara más claro en "las siguientes secciones, específicamente en la sección 2-21. 2-13. El Campo Anómalo de 1a Gravedad, las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical La pequeña diferencia entre el potencial de la gravedad real W y el potencial de la gravedad normal U se denota por T, de modo que

W ( x, y, z ) U ( x, y, z ) T ( x, y, z ); T se conoce como el potencial anómalo, o potencial de perturbación. Comparamos el geoide

(2-137)

W ( x, y , z ) W 0 con un elipsoide de referencia

U ( x, y , z ) W 0

Figura 2-12. Geoide y elipsoide de referencia del mismo potencial Uo = Wo. Un punto P del geoide se proyecta hacia el punto q del elipsoide por medio de normal elipsoidal (Fig. 2-12). La distancia PQ entre el geoide y el elipsoide se conoce como la altura geoidal, u ondulación geoidal, y se denota por N.(1) Consideremos ahora e1 vector de gravedad g en el punto P y el vector de gravedad normal de la anomalía de la gravedad

en el punto Q. El vector

g se define como su diferencia: g

gP

(2-138)

Q

Un vector se caracteriza por magnitud y dirección. La diferencia en magnitud es la anomalía de la gravedad

g

gP

(2-139)

Q

la diferencia en dirección constituye la desviación de la vertical. La desviación de la vertical tiene dos componentes, una componente norte -sur y una componente este-oeste (Fig. 2-13). Como la dirección de la vertical es definida directamente por las coordenadas geográficas de latitud y longitud, 1as componentes y pueden expresarse fácilmente por medio de las mismas. Las coordenadas geográficas verdaderas del punto geoidal P, que definen la dirección de la línea de la plomada n o del vector de gravedad g, pueden determinarse mediante mediciones astronómicas. Por lo tanto se llaman coordenadas astronómicas y se han denotado por y . Las coordenadas geográficas elipsoidales dadas por la dirección de la normal elipsoidal n‘ se han denotado por

y . Resulta obvio que esta ultima es idéntica a la longitud geocéntrica. Por tanto, normal geoidal n, coordenadas astronómicas normal elipsoidal n‘, coordenadas "geodésicas"

,

;

, ;

En la Figura 2-13 vemos que

(

) cos

(2-140)

(1) Lamentablemente tenemos aquí un conflicto en la notación. En las publicaciones geodésicas tanto el radio normal de curvatura del elipsoide como la altura geoidal se han denotado por N. Continuaremos haciendo lo mismo ya que es poco probable que se produzcan confusiones.

Figura- 2-13. La desviación de 1ª vertical tal como se ilustra por medio de una esfera unitaria con centro en P. También es posible comparar los vectores g y la gravedad

en el mismo punto P. Luego obtenemos el vector de perturbación de

gP

(2-141)

P

De igual forma, la diferencia en magnitud es 1a perturbación de la gravedad

g

gP

(2-142)

P

La diferencia en dirección - es decir, la desviación de la vertical - es la misma que antes, puesto que las direcciones de Q prácticamente coinciden. P y La perturbación de 1a gravedad resulta en concepto, mucho más sencilla que la anomalía de la gravedad, pero no tiene tanta importancia en la geodesia terrestre. La importancia de la anomalía de la gravedad es que se obtiene directamente: la gravedad g se mide en e1 geoide (o se reduce al mismo, refiérase al capítulo 3) y la gravedad normal se calcula para el elipsoide. Relaciones. Hay varias relaciones matemáticas básicas entre las cantidades que acabamos de definir. Como

UP

U n

UQ

N UQ

N

Q

tenemos

WP

UP

TP

UQ

N T

Dado que

WP

UQ

W0

hallamos que

T

N

(2-143)

o

N

T

(2-144)

Esta es la conocida formula de Bruns, la cual relaciona la ondulación geoidal con el potencial de perturbación. Luego consideramos la perturbación de la gravedad. Como

g

gra dW gra dU

el vector de perturbación de la gravedad (2-141) pasa a ser

T T T , , x y z

gra d (W U ) gra dT

(2-145)

Luego

W , n

g

U n'

U n

ya que las direcciones dé las normales n y n‘ prácticamente coinciden. Por lo tanto, la perturbación de la gravedad se expresa mediante

g

gP

W n

P

U n'

W n

U n

O

T n

g

(2-146)

Como la elevación h se calcula a leí largo de la normal, también podemos escribir

T h

g

(2-146‘)

Si compararnos (2-146) con (2-145) vemos que la perturbación de la gravedad

g , además de ser la diferencia en

magnitud entre el vector de gravedad real y el de gravedad normal es también la componente normal del vector de perturbación de la gravedad

g . Como

Veamos ahora la anomalía de la gravedad

P

0

h

N

tenemos

T h

g

gP

P

gP

Q

h

N

Recordando 1a definición (2-139) de la anomalía de la gravedad y tomando en cuenta la formula de Bruns (2-144), hallamos las siguientes ecuaciones equivalentes

T h g

g T h

h

h

N

(2-147a)

N

(2-147b)

T h

g

g

g

g

g

1 h

h

T

(2-147c)

N

1 h

(2-147d)

T

0

(2-147e)

que relacionan las diferentes cantidades del campo de anomalías de la gravedad. Otra forma equivalente seria

T h

1 h

T

g

0

(2-148)

Esta expresión se conoce como la ecuación fundamental de la geodesia física, porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anoma1o desconocido T.

g en todo e1 espacio, entonces (2-148) podría considerarse y resolverse como una ecuación diferencial parcial real. No obstante, como solo se conoce g a lo largo Tiene la forma de una ecuación diferencial parcial. Si se conociera

de una superficie (el geoide), la ecuación fundamental (2-148) solo puede usarse como condición límite, porque sí sola no es suficiente para calcular T. Por consiguiente, el nombre "ecuación diferencial de geodesia física", que se utiliza en ocasiones para (2-148) muchas veces, resulta engañosa. Por lo general damos por hecho que no existen masas fuera del geoide. Esto, por supuesto, no es en realidad cierto. Pero tampoco se hacen observaciones directamente sobre e1 geoide; se hacen sobre la superficie física de la tier ra. Al reducir la gravedad medida al geoide, se elimina por medio de cálculos el efecto de las masas fuera del geoide, de manera que en efecto podemos suponer que todas las masas están encerradas por e1 geoide (refiérase a los capítulos 3 y 8). En este caso, como la densidad satisface la ecuación de Lap1ace

es cero en todas partes fuera de1 geoide, el potencial anoma1o T allí es armónico y

2

T x2

T

2

T y2

2

T z2

0

Esta es, desde luego, una ecuación diferencial parcial real, 1a cual es suficiente, si se complementa con la condición límite (2-148), para determinar T en todos los puntos fuera del geoide. Si expresamos la condición 1ímite en 1a forma

T n

1

en donde supuestamente se conoce

n

T

g

(2-148')

g para todos los puntos del geoide, vemos que una combinación lineal de T y

T n estaría representada sobre esa superficie. De acuerdo con la sección 1-17, la determinación de T constituiría por 1o tanto un tercer problema de valores 1ímites de la teoría del potencial. Si despejamos T, entonces podemos calcular 1a altura geoidal, que es la cantidad geométrica más importante de la geodesia física, mediante la formula de Bruns (2-144). Podemos decir por lo tanto que el problema básico de la geodesia física, es la determinación del qeoide a partir de mediciones de la gravedad, es esencialmente un tercer problema de valores límites de la teoría de1 potencial. 2-14. Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas

El elipsoide de referencia difiere de una esfera solo por cantidades correspondientes al orden del achatamiento, f = 3 X 10-3. Por consiguiente, si tratamos al elipsoide de referencia como una esfera en ecuaciones que relacionan las cantidades del campo anómalo, esto podría producir un error relativo del orden de 3x10^-3. Este error por lo general es permisible en N, T, Ag, etc. Por ejemplo. El efecto absoluto de este error relativo en la altura geoidal es de orden de 3x10^-3 N; como N difícilmente excede los 100 metros, generalmente, se espera que este error sea menor que un metro Como aproximación esférica tenemos que

kM , h r2

2

r

kM r 30

1 h

2 r

Le incorporaremos un radio medio R de 1a tierra. Casi siempre se define como radio de una es fera con el mismo volumen que el elipsoide terrestre; de acuerdo con la condición

4 4 R 3

4 2 a b 3

obtenemos 4

R

a 2b

En forma similar podemos definir un valor medio G de gravedad sobre la tierra. Normalmente se utilizan valores, numéricos de aproximadamente

R

6371KM , G

979.8gals (2-149)

Luego

1

2 R

h

(2-l50)

2G R

h

(2-150')

Como la normal a la esfera constituye la dirección del vector radial r, tenemos con la misma aproximación

n Según el teorema de Bruns (2-144), podemos sustituir

T h

h

r

por G, y las ecuaciónes (2-147) y (2-148) se convierten en

g

2G N R

(2-15la)

g

T r

2G N R

(2-151b)

g

T r

2 T R

(2-151c)

g

g

2G N R

(2-151d)

2 T R

g

g

T r

2 T R

(2-l51e)

g

0

(2-15lf)

La última ecuación representa la aproximación esférica de la condición límite fundamental. Hay que tener presente el significado) exacto de esta aproximación esférica. Se usa solamente en ecuaciones que relacionan cantidades pequeñas como T, N, g , etc. La superficie de referencia jamás es una esfera en el sentido geométrico, sino siempre un elipsoide. Dado que el achatamiento f es muy pequeño, pueden desarrollarse las formulas elipsoidales para formar series exponenciales en términos de f, y luego se omiten todos "los términos que contienen f, f^2, etc. En esta forma se obtienen formulas que son totalmente va1idas para la esfera, pero solo más o menos validas para el elipsoide de referencia en sí. No obstante, es necesario calcular con un alto grado de -precisión la gravedad normal en la anomalía de la gravedad g g para el elipsoide.

n

(0, ) Como el potencial anómalo T = W - U es una función armónica, puede desarrollarse fácilmente en una serie

de armónicas esféricas:

T (r , , ) n 0

R r

n 1

Tn ( , )

(2-152)

es la armónica de superficie de Laplace de grado n. En e1 geoide, que como aproximación esférica corresponde a la esfera r = R. formalmente tenemos

T

T ( R, , )

Tn ( , )

(2-152'}

n 0

(no hay que preocuparse aquí por el problema de la convergencia). Si diferenciamos la serie (2-152) con respecto a r hallamos que

T r

g

1 R (n 1) rn0 r

n 1

Tn ( , )

(2-153)

En el geoide (r = R) esto se convierte en

T r

g

1 R

(n 1)Tn ( , )

(2-153´)

n 0

Esta serie expresa la perturbación de la gravedad en términos de armónicas esféricas. El equivalente de (2-151c) fuera de la tierra obviamente es

g

T r

2 T r

(2-154)

Su significado exacto se tratara al final de la siguiente sección. Al incorporar (2-153) y (2-152) en esta ecuación, obtenemos:

g

1 R (n 1) rn0 r

n 1

Tn ( , )

(2-155)

En el geoide esto se convierte en

1 R

g

(n 1)Tn ( , )

(2-155')

n 0

Este es el desarrollo armónico esférico de la anomalía de 1a gravedad. Nótese que aun si el potencial anómalo T tuviera un termino esférico de primer grado

T1 ( , ) en 1a expresión para

g sería multiplicado por e1 factor 1-1=O, por lo que Ag no podrá tener jamás una armónica esférica de primer grado - aun si T tuviera uno. 2-15. Anomalías de la Gravedad fuera de la Tierra Si una función armónica H viene dada en la superficie de la tierra, entonces, como aproximación esférica, podrían calcu1arse los valores de H fuera de la tierra por medio de la formula integral de Poisson (1-89)

El símbolo

r2

R 4

HP

R2 l

Hd

es la forma abreviada usual para una integral que se extiende sobre 1a esfera unitaria total, o sobre el

ángulo sólido total, que viene a ser lo mismo;

d

denota el elemento de ángulo sólido, definido como el elemento 2

superficie de la esfera unitaria. Por consiguiente, el elemento de superficie de 1a esfera, terrestre r - R es R d significados de las demás notaciones pueden determinarse de la Fig. 2-14. £1 valor de la función armónica en el

los

Figura 2-14: Notaciones para la integral, integral de Poiss on u sus fórmulas derivadas. El elemento de superficie variable Obviamente, entonces,

l

R2d

r2

se denota senci11amente por H, en donde se refiere al punto fijo P.

R2

2rR cos

(3-156)

La función armónica H puede desarrollarse en una serie de armónicas esféricas:

H

R H0 r

R r

2

H1 n 2

R r

Omitimos los términos de grados uno y cero, obtenemos 1a nueva función

n 1

Hn

H' H

R H0 r

2

R r

H1 n 2

R r

n 1

Hn

(2-157)

Las armónicas de superficie están representadas por

1 4

H0

3 4

Hd , H 1

H cos d

(2-158)

Según la ecuación (1-71). Por tanto hallamos, de acuerdo con (2-157), expresando H mediante la integral de Poisson y sustituyendo las integrales (2-158) por Ho y H1, la formula bás1ca

H 'P

r2

R 4

R2 l

1 r

3

2R cos r2

Hd

(2-159)

La razón de esta modificación de la integra1 de Poisson es que las formulas de la geodesia física resultan mucho mas sencillas si 1as funciones comprendidas contienen armónicas de los grados cero y uno. Es por e11o conveniente comparar estos términos. Esto se hace automáticamente por medio d e la integral identificada de Poisson (2-159). Ahora aplicaremos estas formulas a las anomalías de 1a gravedad fuera de la tierra. La ecuación. (2-155) resulta en

R r

r g n 0

Al igual que

n 1

n 1 Tn

,

Tn ( , ) es una armónica de superficie de Laplace, también lo es

. Por consiguiente,

r g,

considerada como una función en el espacio, ha de desarrollarse en una serie de armónicas esféricas y por lo tanto es una función armónica. Por tanto podemos aplicar la formula de Poisson

r g , obteniendo así

r gr

R 4

r2

gr

R2 4 r

r2

l

l

R2

1 3R cos r r2

R2

1 r

3

3

3R cos r2

R gd

gd

(2-160)

Esta es 1a formula para calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra a partir de las anomalías de la gravedad en la superficie, o de la prolongada ascendente de las anomalías de la gravedad. Finalmente explicaremos e1 significado exacto de la anomalía de la gravedad Ag p de 1a tierra. Empezaremos por una definición conveniente. Las superficies de nivel del potencial real de gravedad, las superficies W=Const., se conocen frecuentemente como superficies geopotenciales; las superficies de nivel del campo de la gravedad normal, las superficies U=Const., se conocen como superficies esferopotenciales. Consideraremos ahora el punto P fuera de la tierra (Fig. 2-15) y denotaremos la superficie qeopotencial que pasa por él por medio de W = Wp.

También hay una superficie esferopotencial U = Wp de la misma constante Wp. La línea de la plomada normal a través de P corta esta su perficie esferopotencial en el punto Q, el cual se dice que corresponde a P. Vemos que las suprficies de nivel W=Wp y U=Wp están relacionadas entre sí en exactamente 1a misma forma que los geoides W = Wo y el elipsoide de referencia U = Wo. Por tanto, si la anomalía de la gravedad esta definida por

gP

gP

Q

como en la sección 2-13. entonces todas las deducciones y formulas de esa sección son también validas para la situación actual en donde la superficie geopotencial W = Wp reemplaza al ge oide W = Wo y la superficie esferopotencial U = Wp reemplaza al elipsoide U = Wo esta es también 1a razón por 1a que (2-154) es válida en P a1 igual que en el geoide. Nótese que en la sección 2-13, P es un punto en el geoide, el cual se denota por Po en 1a Fig. 2-15.

Figura 2-15. Superficie geopotencial y esferopotencial.

2-16. Formula de Stokes La ecuación básica (2-154),

T r

g

2 T r

puede considerarse solamente una condición límite, siempre y cuando se conozc an las anomalías de la gravedad g en la superficie de 1a tierra solamente. Sin embargo, por medio de la integral de la prolongación ascendente (2-160) ahora es posible calcular las anomalías de la gravedad fuera de la tierra. De esta manera nuestra ecuación básica cambia radicalmente de significado, convirtiéndose en una verdadera ecuación diferencial que puede integrarse con respecto a r.(1) Multiplicando por -r2, obtenemos

r2 g

T r

r2

2rT

r

(r 2 T )

Al integrar la formula

r entre los límites

(r 2 T )

r 2 g (r )

y r, hallamos r

2

r

r T

r 2 g (r )dr

en donde g (r) indica que g es ahora una función de r, calculada a partir de las anomalías de la gravedad de la superficie por medio de la formula (2-160). Como esta formula elimina automáticamente las armónicas esféricas de los grados uno y cero de g (r), el potencial anómalo T, tal como se calcula de g (r) no puede contener dichos términos. De modo que tenemos n 1

R r

T n 2

R3 T2 r3

Tn

R4 T3  r4

Por tanto,

lim(r 2T )

R3 T2 r

lim

r

r

R4 T4  r2

0

de manera que

r 2T

r

r 2T

lim(r 2 T )

r

r 2T

Por consiguiente,(2) r

tr

2

r 2 g (r )dr

T

(1)Nótese que esto solamente es posible porque T, además de satisfacer la condición límite, satisface también la ecuación de Laplace AT = 0. (2)E1 hecho de que se utilice r como unn variable de integración y como un límite superior no debería causar dificultad alguna. Y al incorporar la integral de la prolongación ascendente (2-160) obtenemos 2

r T

R2 4

r

r3

R2r l

3

1

3R cos r

1

3R cos r

gd

dr

Si intercambiamos el orden de las integraciones, obtenemos 2

r T

R2 4

r

r3

R2r l

3

dr

gd

Es posible determinar el valor de la integral entre paréntesis rectangulares mediante métodos convencionales. La integral Indefinida es(1)

r3

R2r

3R cos r

1

l3

2r 2 l

dr

3l 3P cos ln( r R cos

1) r 3R cos ln r

Para valores grandes de r tenemos

l

R cos  r

r 1

y por lo tanto hallamos que a medida que r—>

r R cos 

, 1a parte derecha de la integral indefinida anterior se aproxima a

5R cos

3R cos ln 2

Si restamos esto de la integral indefinida, obtenemos la integral definida, puesto que su límite inferior de integración es infinito. Por lo tanto r

r3

R2r l

3

3R 1 cos r

dr

2r 2 l

r 3l R cos

5 3 ln

r R cos 2r

1

De manera que obtenemos

T (r , , )

R 4

S (r , ) gd

(2-161)

en donde

r R cos 1 R2 cos 5 3 ln (2-162) 2 2r r En el mismo geoide tenemos que r = R, y si denotamos T (R, , ) sencillamente por T, hallamos que R T gS ( ) d (2-163a) 4 2R l

S (r , )

R Rl 3 2 r r

(1)Se recomienda al lector efectuar esta integración tonando en cuenta (2-156) o comprobar por lo menos el resultado diferenciando la parte derecha con respecto a r. en donde

S( )

1

6 sin 1 5 cos sin( / 2) 2 se obtiene de S (r , ) y haciendo que

r

Ryl

3 cos

2Rsin

ln sin

2

sin 2

2

(2-164)

2

Según el teorema de Bruns, N=T/G, finalmente obtenemos

N

R 4 G

gS ( )d

(2-163b)

Esta formula fue publicada por George Gabriel Stokes en 1894; por lo tanto se le conoce como 1a formula de Stokes o la integra1 de Stokes. Es sin duda alguna la formula mas importante de la geodesia física puesto que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La ecuación (2-163a) se denomina también la formula de Stokes y S ( ) conoce como la función de Stokes. Esta función y las relacionadas se encuentran tabuladds en la publicación de Lambert y Darling (1936). Utilizando la formula (2-161), la cual fue deducida por Pizzetti (1911) y posteriormente por Vening Meinesz (1928), podemos calcular el potencial anómalo T en cualquier punto fuera de la tierra. Al dividir T por la gravedad normal en el punto dado P (teorema de Bruns) obtenemos la separación N P entre la superficie geopotencial W= Wp y la superficie esferopotencial correspondiente U=Wp la cual, fuera de la tierra, toma el lugar de 1a ondulación geoidal N. (Véase la Fig. 2-15 y las explicaciones al final dé la sección anterior.) Quisiéramos mencionar nuevamente que estas fórmulas se basan en una aproximación esférica; se hace caso omiso de las cantidades de1 orden de 3 X 10"3 N. Esto da como resultado un error proba blemente menor que un metro en N, lo cual puede pasarse por alto para la mayoría de 1os propósitos prácticos. Zagrebin, Molodensky y Bjerhammar han desarrollado aproximaciones de grado superior, las cuales toman en cuenta el achatamiento f del elipsoide de referencia; refiérase a Sagrehin (1956), Molodenskii et al. (1962, p.53) y Bjerhammar (1962). Luego vemos de la deducción de la fórmula de Stokes por medio, de una integral de la prolongación ascendente (2 160) que los términos armónicos de los grados uno y cero se suprimen automáticamente en T y N. más adelante se discutirán las de esto. Veremos que la fórmula de Stokes en su forma inferencias original (2-163a,b) sólo es valida para

un elipsoide de referencia que (1)tiene el mismo potencial Uo=Wo que el geoide,(2)encierra una masa que es numéricamente igual a la de la tierra y (3) cuyo centro es e1 centro de gravedad de la tierra. Como las primeras dos condiciones no están debidamente satisfechas por los elipsoides de referencia utilizados en la actualida d, y difícilmente podrán serlo jamás, será necesario modificar la fórmula de Stokes en el caso de un elipsoide de referencia arbitrario. Finalmente, se supone que T sea armónica fuera del geoide. Esto significa que el efecto de las masas sobre el geoide tendrá que ser eliminado por las debidas reducciones de la gravedad. Esto se tratara en el capituló 3. 2-17, Formas Explícitas de 1a Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas Escribiremos ahora la fórmula de Stokes (2-l63b) en una forma más explícita incorporando a la esfera un sistema apropiado de coordenadas. E1 uso de coordenadas polares esféricas con origen en P ofrece 1a ventaja de que el ángulo que es el argumento de la función de Stokes, es una de las coordenadas, 1a distancia esférica. La otra coordenada es e1 acimut calculado desde el norte. Sus definiciones pueden apreciarse en la Fig. 2-16. La práctica común es usar P para denotar tanto un punto fijo la esfera r = R (o en el espacio) como su proyección en la esfera unitaria y no se producen dificultades. Si P coincide con el polo norte, entonces de ángulo sólido estará dado por

y

son idénticos a

d

y

. De acuerdo con la sección 1-13, el elemento

sin d d

Como todos los puntos de 1a esfera son equivalentes, esta relación es valida para un origen arbitrario P. De la misma manera tenemos que 2

0

0

Por lo tanto hallamos

N

R 4 G

2

g ( , ) S ( ) sin d d 0

(2-165)

0

como una forma explícita de (2-l63b). Al efectuar primero la integración con respecto a

N

R 2G

0

1 2

, obtenemos 2

g ( , )d

La expresión en paréntesis rectangulares es e1 promedio de promedio 1o denotamos por

S ( ) sin d

0

g a lo largo de un paralelo de, radio esférico

g ( ) de modo que

Figura 2-16. Coordenadas polares en la esfera unitaria.

g( )

1 2

Por consiguiente la formula de Stokes puede escribirse

2

g ( , )d 0

. Este

R G

N

g ( ) F ( )d

(2-165‘)

0

en donde hemos usado

1 S ( ) sin( ) 2

F( )

(2-166)

Las Funciones S( ) y F( ) se muestran en la Fig. 2-17.

, . Dado que una aproximación esférica

Otra alternativa es usar las coordenadas geográficas

es el complemento

de la latitud geográfica:

90

,

90

Tenemos por tanto 2

/2

d

cos d d 0

/2

de modo que la fórmu1a de Stokes se convierte en

N( , )

R 4 G

2

/2

g ( ' , ' ) S ( ) cos ' d ' d ' ' 0

'

Figura 2-17. Funciones de Stokes S( en donde

,

de superficie

son las coordenadas gráficas del punto de calculo y

d

La distancia esférica

cos

1

(2-167)

/2

) y F(

)

' , ' son las coordenadas del elemento variable

se expresa como una función de estas coordenadas por medio de

sin sin ' cos cos ' cos( '

)

(2-168) La función de Stokes en términos de armónicas esféricas . En la sección 2-14 hallamos

1 R

g( , ) También es posible expresar

(n 1)T0 ( , ) n 0

g ( , ) directamente como una serie de armónicas de superficie de Laplace:

g( , )

gn ( , ) n 0

Si comparamos estas dos series, obtenemos

gn ( , )

n 1 Tn ( , ), Tn R

de modo que

T

Tn n 0

R n

gn 0 n 1

R n 1

gn

Esta ecuación demuestra nuevamente que no debe haber ningún termino de primer grado en el desarrollo armónico esférico de g ; de lo contrario, el termino g n (n 1) sería infinito para n=1. Como siempre, daremos ahora por sentado que hacen falta las armónicas de los grados cero y uno. Por lo tanto, empezaremos la suma de la sucesión con n=2. Como de acuerdo con la ecuación (1-71)

gn

2n 1 4

R 4

2n 1 2 n 1

gPn (cos )d

la formula anterior pasa a ser

T

n

gPn (cos )d

Si intercambiamos el orden de la suma de la sucesión y de 1a integración, obtenemos

R 4

T

n

2n 1 Pn (cos ) 2 n 1

gd

Al comparar esto con la formula de Stokes (2-l63a) hallamos la expresión para función de Stokes en términos de polinomios de Legendre (armónicas zonales):

S( ) n

2n 1 Pn (cos ) 2 n 1

(2-169)

En realidad, la expresión analítica (2-164) de la función de Stokes pudo haberse deducido en una forma mas sencilla por medio de la suma directa de esta serie, pero estimamos que la deducción demostrada en la Sección anterior es mucho más ilustrativa ya que también muestra información secundaria sobre problemas relacionados importantes. 2-18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario. Como hemos visto, la fórmula de Stokes en su forma original elimina las armónicas esféricas de 1os qrados cero y uno en el potencial anómalo T y por consiguiente sólo es válida si dichos términos no se encuentran presentes. Tanto este hecho como la condición Uo=Wo imponen restricciones, en el elipsoide de referencia y en su campo de gravedad normal que difícilmente se satisfacen, en la practica. Por consiguiente generalizaremos la fórmula de Stokes para que pueda aplicarse a un elipsoide de referencia arbitrario, e1 cual únicamente debe satisfacer la condición de que se aproxima tanto al geoide que las desviaciones de este con respecto al elipsoide pueden considerarse lineales. Consideremos ahora el potencial anómalo T en 1a superficie de la tierra. Su expresión en armónicas esféricas de superficie está dada por

T( , )

Tn ( , ) n 0

Si separamos los términos de los grados cero y uno podemos escribir

T ( , ) To

T1 ( , ) T ' ( , )

(2-170)

En donde

T'( , )

Tn ( , )

(2-171)

n 2

En el caso general, esta función T‘ es, en lugar de la T misma, la cantidad dada por la fórmula de Stokes. Resulta igual a T solamente si hacen falta To y T1. De lo contrario tenemos que agregar To y T1 pan poder obtener 1a función T completa. E1 termino de grado cero en el desarrollo armónico esférico del potencial es igual a

kM r en donde M representa la masa. Por consiguiente, e1 termino de grado cero del potencial anómalo T =W -U en la superficie de la tierra (r=R) está representado por

To en donde

k M R

(2-172)

(2-173) M M M' es la diferencia entre la masa M de la tierra y la masa M' del elipsoide, la cual sería cero si ambas masas fueran iguales - pero como no conocemos la masa exacta de la tierra, ¿cómo podemos h acer que M‘ sea igual a M? Mas adelante veremos que la armónica de primer grado siempre podra considerarse cero. Dando esto por sentado, podemos sustituir (2-172) en (2-170) y expresar T‘ mediante la formula convencional de Stokes (2-163a). Asi obtendríamos

T

k M R

R 4

gS ( )d

(2-174)

Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para T. Resulta valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincida con el centro de la tierra. Términos de primer grado. Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial W, de acuerdo con (244b) y (2-45), están representados por

kM , kM , kM en donde , , son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra. En el caso del potencial normal U, tenemos las cantidades análogas

kM ' ' , kM ' ' , kM ' ' Dado que

' , ' , ' son de todos modos muy pequeños, prácticamente equivalen a kM ' , kM ' , kM '

Los coeficientes de la armónica de primer grado en el potencial anómalo T=W son por lo tanto equivalentes a (2-175) kM ( ' ), kM ( ' ), kM ( ') Son cero y no hay ninguna armónica de primer grado T1 ( , ) si el centro del elipsoide de referencia coincide con el centro de gravedad de la tierra, 1º cual suele darse por sentado. En el caso general, de acuerdo con el término de primer grado de (2-37) hay que fijar r=R y utilizar los coeficientes (244b) junto con (2-45).

T1 ( , )

kM R2

' P1 (cos ) (

' ) P2 (cos ) cos

(

' ) P2 (cos ) sin

Si consideramos el origen del sistema de coordenadas como el centro del elipsoide de referencia, entonces Usando P1 (cos ) armónica de primer grado

cos , P2 (cos )

sin

T1 ( , ) G( cos sin

y

kM

R

sin sin

2

'

'

'.

G obtenemos la siguiente expresión para la

cos )

(2-176a)

Dividiendo por G hallamos la armónica de primer grado de la altura geoidal

N1 ( , )

cos sin

sin sin

cos

(2-176b)

en donde ' , ' , ' son las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la tierra, siendo el origen el centro del elipsoide de referencia. Al incorporar el vector

( , , ) y el vector unitario de la dirección

( , ) e

(sin cos , sin sin , cos )

(2-l76b) puede escribirse como

N1 ( , )

e

(2-177)

lo cual se interpreta como la proyección del vector en la dirección ( , ) . Por consiguiente, si los dos centros de gravedad no coinciden, entonces solo tenemos que agregar los términos de primer grado (2-l76a) y (2-l76b) a la formula generalizada de Stokes (2-174) y a su análoga para N (ecuación (2-181 de abajo), respectivamente, para obtener la solución mas general para el problema de Stokes, el cálculo de T y N a partir de g . La ecuación (2-155') muestra que cualquier valor de T1 ( , ) es compatible con un campo g dado porque, para n=1, la cantidad {n-l)T1 es cero, de modo que T1, cualquiera que sea su valor, no entra del todo en

g.

, , que pueden considerarse 0 colocando de constantes de integracion para el problema de Stokes. En la practica, siempre se fija Por lo tanto, la solución más general para T y N contiene tres constantes arbitraria s

esta forma el centro del elipsoide de referencia en el centro de la tierra. Esto con stituye una gran ventaja de la

determinación gravimetrica del geoide en comparación con e1 método astrogeodesico en donde se desconoce la posición del elipsoide de referencia con respecto al centro do la tierra. 2-19. Generalización de la Fórmula de Stokes para N Desarrollemos primero la formula de Bruns (2-44) a una elipsoide de referencia arbitrario. Supongamos que

W ( x, y , z ) W U ( x, y , z , ) U son las ecuaiciones del geoide y del elipsoide, donde generalmente las constantes o

W o y U 0 son distintas; hemos

0

escrito W , U en 1ugar de Wo,Uo para que no se confundan con una armónica de grado cero. Al igual que en la sección 2-13, si nos referimos a la Fig. 2-12, tenemos pero ahora

WP

UQ

UQ

U

N T W

W

de modo que

N

T (W

U )

Si denotamos la diferencia entre los potenciales por

W W

U

obtenemos la siguiente generalización sencilla de 1a formula de Bruns

T

N

W

(2-178)

Asimismo tendremos que desarrollar las ecuaciones (2-147a-e). Aquellas formulas que contienen N en lugar de T obviamente también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario, pero en ese caso la transición de N a T se fectúa por medio de (2-178). Por tanto (2-147b)

T h

g

h

N

no cambia, sino que (2-147c) se convierte en

T h

g

1 h

T

1 h

W

(2-179)

W

(2-180)

Por lo tanto, la condición límite fundamental ahora es

T h

1 h

T

g

1 h

Las aproximaciones esféricas de estas ecuaciones son

T

N g T r

W G T 2 T r R 2 T g R

(2-178‘)

2 W R 2 W R

(2-179‘) (2-180‘)

Diversas formas de la fórmula genera1izada de Stokes . De acuerdo con (2-178) tenemos

T

GN

W

Si insertamos esto en (2-174) y dividimos por G obtenemos

N

k M RG

W G

R 4 G

gS ( )d

(2-181)

Esta es la generalización de 1a formula de Stokes para N. Es valida para un elipsoide de referencia arbitrario cuyo centro coincida con el centro de 1a tierra. Mientras que la formula (2-174) para T sólo contiene el efecto de una diferencia de masa M . la formula (2-181) para N contiene, además 1a diferencia potencial W . Estas formulas también muestran claramente que las integrales sencillas de Stokes (2-163a,b) solo son validas si M = W =0, es decir, si el elipsoide de referencia tiene el mismo potencial que el geoide y la misma masa que la tierra. De lo contrario, sólo darán N y T hasta las constantes aditivas si fijamos

k M RG

N0

W G

(2-182)

y tomamos en cuenta (2-17), tenemos

T

R 4

T0

N

N0

gS ( )d

R 4 G

(2-183a)

gN ( ) d

(2-183b)

Es posible obtener de la siguiente manera, formas alternativas de (2-181), a veces resultan útiles. Si incorporamos la serie (2-152') y (2-153') en (2-179'), obtenemos

2 (2-184a) W R n 0 como la generalización de (2-155'). Si desarrollamos la función g ( , ) en la serie usual de armónicas esféricas de g( , )

1 R

(n 1)Tn ( , )

superficie de Laplace,

g( , )

gn ( , )

(2-184b)

n 0

y comparamos los términos constantes (n = 0) (de estas dos ecuaciones, obtenemos

1 T0 R

2 W R

g0

en donde, según (1-71).

1 4

g0

gd

(2-185)

Si expresamos To por medio de (2-172) en términos de

M . obtenemos

1 2 k M W 2 R R Ahora podemos despejar M y W en las dos ecuaciones para No (2-182) y para k M R( R g 0 2GN 0 ) g0

W

R g 0 GN 0

(2-186)

g o (2-186): (2-187a) (2-187b)

La constante No puede expresarse por medio de cualquiera de las siguientes ecuaciones:

N0

R g0 2G

k M 2GR

R 8 G

gd

k M 2GR

R g0 G

W G

R 4 G

gd

W G

1 d 2

k M 2GR W G

N0 Al insertarlas en (2-183b) obtenemos

N0 N0

R 4 G R 4 G

g S gS

1d

(2-188)

(2-189)

Estas formulas son totalmente equivalentes a (2-181); también son validas para un elipsoide de referencia arbitrario. Si M=M‘, aun si U

Y si U

0

0

W 0 , tenemos R N 4 G

W 0 , aun si M' M tenemos R N 4 G

g S( )

1 d 2

g S( ) 1 d

(2-188‘)

(2-189‘)

Estas fórmulas son algo más generales que la integral sencilla i1e Stokes, en cuanto a que se ha establecido anteriormente solamente una de las condiciones M‘=M, la (2-189) por Hirvonen.

U0

W 0 . La ecuación (2-188') fue deducida por Pizzetti y

Determinación de No. Si se conocieran con exactitud la masa M de la tierra y el potencial W° del geoide, entonces sería posible calcular No por medio de (2-182). Las ondulaciones geoidales N podrían entonces calcularse con precisión mediante la formu1a de Stokes (2-l83b). Si aplicamos N al elipsoide de referencia fijo, el geoide estaría representado en forma absoluta, con la debida escala de largo, sin medir una sola distancia. En la práctica obviamente no conocemos los valores de M y W° con suficiente precisión para poder determinar No. Si sólo determinamos el valor de la integral original de Stokes

N'

R 4 G

gS ( )d

(2-190)

obtenemos entonces, en lugar del geoide S, una superficie S‘ paralela al geoide a una distancia No (Fiq. 2-l8a). Como ambas superficies son prácticamente esféricas, son geométricamente similares con un alto grado de precisión; es

Figura 2-18. Dos interpretaciones de la formula de Stokes. (a) N' es la altura sobre el elips oide V de 1a superficie S‘ paralela al geoide. (b)N' es la altura del geoide S sobre el elipsoide modificado E‘ paralelo a E. decir, que solamente difieren en escala. Por consiguiente, podemos decir que 1a integral original de Stokes (2-190) da como resultado un geoide al que solo le hace falta un factor de escala. Este factor puede determinarse por medio de una sola medición de distancia, mientras se conozca también la constante No. Esto se desarrolla matemáticamente a continuación. Supongamos que P1 y P2 son dos puntos geoidales, y que Q1 y Q2 son sus proyecciones en el elipsoide de referencia (Fig. 2-19); s representa la distancia entre P1 y P2 a lo largo del geoide, y s‘ la distancia entre Q1 y Q2 a lo largo, del elipsoide. Ahora deduciremos, la relación entre s, s' y N. si sustituimos el arco elipsoidal s‘=Q1Q2 por uno esférico cuyo radio R sea el radio medio de curvatura, entonces la Fig. 2-19 demuestra que

ds cos R N Como

cos

ds' R

1 , tenemos ds

N R

ds' 1

ds'

N N ds' ds R R

Al integrar obtenemos Q

s

1 2 s' Nds (2-191) R Q1

que es la relación deseada entre s, s‘ y N. Si insertamos N=No+N', hallamos Q

s s' de modo que

1 2 (N 0 R Q1

Q

N ' )ds

1 2 N ' ds R Q1

s N0 R

Q

R (s s

N0

s' )

1 2 N ' ds s Q1

(2-192)

Figura 2-19. Determinación de la escala del geoide. La cantidad N‘ esta dada por 1a integral de Stokes (2-190). Consideremos la distancia s que ha de medirse en el geoide o reducirse a1 mismo. La distancia elipsoidal s‘ puede calcularse si se conocen las coordenadas , de sus puntos extremos Q1 y Q2. De acuerdo con las ecuaciones (2-140) obtenemos (2-193)

cos Las coordenadas astronómicas pueden calcularse a partir de que se conocerán

y

y

se miden directamente; 1as componentes

y

de la desviación de la vertical

g por medio de la formula de Vening Meinesz; (refiérase a la sección 2-22), de modo

.

De esta manera es posible calcular No por medio de (2-L92). Vemos que, en principio, una distancia medida s es suficiente para ello. En la practica, se medirán por supuesto muchas distancias y también ángulos, y No se obtendrá por medio de un ajuste adecuado (refiérase a la sección 5-10). Interpretación de No. Finalmente mencionaremos que No, además de ser la distancia entre S y S' (Fig. 2-l8a), tiene otro significado geométrico sencillo (Fig. 2-18b). El vector radial r del geoide se obtiene con suficiente aproximación agregando la altura geoidal N al vector radial elipsoidal dado por (2-95):

a(1 fsin 2 ) N

r

Supongamos ahora que el semieje principal del elipsoide de referencia cambia por , y que e1 achatamiento F queda igual. Como el vector radial geocentrico del geoide es independiente del tamaño de1 elipsoide de referencia, no se ve afectado por este cambio. Si diferenciamos la ecuación r, obtenemos

0

r

a(1 fsin 2 )

N

a

N

de modo que el cambio en el semieje principal del elipsoide de referencia está compensado por un cambio en las ondulaciones geoidales de

N Si el cambio es

a

=No, entonces el semieje principal del nuevo elipsoide referencial E' es

a

a' N 0

y las nuevas ondulaciones geoidales son

N' N

N

N

N0

De acuerdo con (2-183b) esto sería

N'

R 4 G

gS ( )d

Por lo tanto, al cambiar el semieje principal del elipsoide de referencia por No, las nuevas ondulaciones geoidales estarán dadas por 1a formula original de Stokes. Es decir, los valores N' obtenidos aplicando la formula sencilla de

Stokes hacen referencia a un elipsoide con el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original y un semieje principal de a+No. Dado que N‘ no contiene armónicas de grado cero, tenemos

N' d

0

(2-194a)

El volumen v de la capa entre el elipsoide E‘ y el geoide esta dado por

N' R2d

v porque

R2d

es el elemento de superficie de E‘ como una aproximación esférica, de modo que (fig. 2-18b)

N' R2d

dv

Por tanto (2-194a) expresa e1 hecho de que el volumen total de esta capa es cero, o que e1 elipsoide nuevo E‘ con u' a‘=a+No encierra el mismo volumen que el geoide.

g 0 . La armónica de grado cero

Interpretación de

g 0 puede interpretarse en forma análoga. g a la gravedad normal representada por

La gravedad g del geoide se obtiene agregando la anomalía de la gravedad (2-96):

g

a

f * sin 2 )

(1

Supongamos ahora que la gravedad ecuatorial normal

g

cambia por

a

a,

y que el coeficiente f* permanece igual.

Como g no se ve afectado por este cambio, a1 diferenciar esta ecuación hallamos.

0

g

a

f * sin 2 )

(1

g

a

g

de modo que,

g Con un cambio de

a

a

g 0 os valores pasan a ser 'a

Notando la definición (2-185) de

g 0 , g'

a

g0

g 0 , hallamos

g' d

0

(2-194b)

g ' no contienen armónicas de grado cero.

lo cual significa que las nuevas anomalías de 1agravedad Como ni N‘ ni

g

g ' contienen armónicas de grado cero, deberán hacer referencia a un elipsoide que encierra la misma

masa que la tierra y que tiene el mismo potencial que el geoide. Este elipsoide tiene el mismo achatamiento que el elipsoide de referencia original, y sus otras constantes son

a' a No, ' a

a

g0

Esta interpretación esta relacionada con las ideas de Ledersteger (1957). 2-20, Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra Masa y potencial. En la sección anterior se determinaron las siguientes ecuaciones fundamentales para la mas -i y el potencial.

k M W

R( R g 0 R g0

2GN 0 )

GN 0

Vamos a resumir ahora como so determinan la masa de la tierra, M, y el potencial del geoide, W°. con estas ecuaciones. Supongamos que un elipsoide de referencia arbitrario pero fijo tiene 1as constantes M‘, (masa) y U° (potencial). Calculamos las anomalías de la gravedad g . que hacen referencia a este elipsoide y calculamos g 0 por medio de (2-lfl5). Midiendo por lo menos una distancia s, así como la latitud y longitud astronómicas de sus puntos extremos, podemos determinar No, utilizando la formula (2-192). Luego se calculan las correcciones y con las ecuaciones anteriores. Finalmente, la masa de la tierra M y e1 potencial geoidal W° se determinan agregando estas correcciones de los valores elipsoidales supuestos M' y U°:

M

M'

W

U

M W

La masa se expresa en la forma kM; es decir que la masa se multiplica por la constante gravitacional en lugar de representarse solamente como M dado que no se conoce k con mucha precisión. Nótese la estrecha relación entre las constantes geométricas y las físicas. Una vez que so conozcan las constantes físicas kM y W°, se conocerá también la escala lineal de la tierra, en otras palabras, su tamaño. A la inversa, es por hallar kM y Wo con la ayuda de mediciones de distancia. Otro hecho significativo es que como se requieren las anomalías de la gravedad en toda la tierra (2-185) no es posible determinar las constantes kM y W° a menos que se conozca la gravedad g en toda la tierra. Esto refleja nuevamente el principio general del método gravimetricoprincipalmente, que es necesario conocer g en todos 1os puntos de la superficie de la tierra. Armónicas superiores. En la sección 2-5 hallamos la siguiente expresión para el potencial gravitacional V fuera de la tierra:

V

n

kM 1 r

W

n 2

m 0

n

a r

( J nm cos m

K nm sinm ) Pnm (cos )

En forma similar, el potencial gravitacional normal puede escribirse como

kM ' 1 r

U

n n 2

a r

m 0

n

( J ' nm cos m

K ' nm sinm ) Pnm (cos )

Si tomamos un elipsoide de revolución como nuestra superficie de referencia, entonces todas las K'nm son cero. y de las J'nm solamente las J‘no donde n es par tendrán valor distinto de cero (refiérase a la sección 2-9). Si restamos las ecuaciones anteriores y fijamos r=a, obtenemos

T

W U

k M a

kM a

J nm

J nm

n

( J nm cos m n 2

K nm sinm ) Pnm (cos )

m 0

en donde

J ' nm , K nm

K nm

K ' nm

K nm

esto es posible ya que para los términos de segundo grado y superiores, podemos sustituir e1 factor k‘/a por kM/a. Al comparar esto con e1 desarrollo (2-152‘) de T, vemos que la armónica de superficie de Laplace

Tn ( , ) , para

n 2 esta representada por Tn ( , )

kM a

n

( J nm cos m

K nm sinm ) Pnm (cos )

m 0

De acuerdo con 1a aproximación esférica usual, reemplazamos a por R, obteniendo así

Tn ( , )

kM R

n

( J nm cos m

K nm sinm ) Pnm (cos )

m 0

Insertamos esta ecuación, junto con (2-172.}, en (2-184a) y obtenemos

kM R2

g( , )

n

(n 1)( J nm cos m n 2

K nm sinm ) Pnm (cos )

m 0

También podemos escribir el desarrollo armónico esférico de

k M R2

2 W (2-195a) R

g la forma usual (1-66):

n

g( , )

(c nm cos m n 2

en donde los coeficientes

c n0 c nm d nm

d nm sinm ) Pnm (cos )

(2-195b)

m 0

C nm yd nm están dados por (1-70):

2n 1 4

gPn (cos )d

2n 1 (n m)! 2 (n m)!

gPnm (cos )

cos m sinm

(2-196)

d (m

0)

Las ecuaciones (2-195a) y (2-i95b) ebviamente son idénticas a (2-184a) y (2-l84b), las armónicas de superficie de Laplace T n ( , ) y g n ( , ) se escriben explícitamente al igual que en la ecuación (1-66). Al comparar los coeficientes de (2-195a) y de (2-195b) vemos que

R2 c nm , K nm (n 1)kM

J nm Como Jnm =J‘nm+Jnm, lugo

Jn

K nm

R2 d nm (n 1)kM

K nm Y J‘nm=0 para m=0, finalmente obtenemos

R2 c n0 (n 1)kM

J 'n

J nm

R2 c nm (n 1)kM

K nm

R2 d nm (n 1)kM

(m

0)

(2-197)

Aquí hemos abreviado los coeficientes zonales Jno Por Jn. Por consiguiente podemos describir la determinación de los coeficientes armónicos esféricos de1 potencial de la tierra de la siguiente manera. Se desarrollan las anomalías de la gravedad g , que deben cubrir la tierra entera para formar una serie de armónicas esféricas, de acuerdo con (2-195b) y (2-196). Luego calculamos los coeficientes J'n para el elipsoide de referencia usando (2-92) por ejemplo. De esta manera las formulas (2-L97) proporcionaran el resultado deseado.

Jn

De especial importancia es el coeficiente

C A Ma 2

(2-198)

que expresa la diferencia entre los momentos principales de inercia de la tierra C es el momento polar y

A

1 ( A B) (2-199) 2

en el momento ecuatorial medio de inercia; refiérase a (2-49). 2-21- E1 Elipsoide Terrestre Medio Como e1 elipsoide de revolución de nivel y su campo de gravedad se determinan enteramente por medio de cuatro constantes, hay un solo elipsoide que tiene e1 mismo potencial Wo que el qeoide y la misma masa M, la misma diferencia entre los momentos de inercia C- A , y la misma velocidad angular ; que la tierra; A se define mediante (2-199). De acuerdo con (2-198) este elipsoide también tiene el mismo coeficiente J2. Puede considerarse en mucho aspectos la, mejor representación de la tierra por medio de un elipsoide; por lo tanto se le conoce como el elipsoide terrestre medio. E1 elipsoide terrestre medio, definido por

W0 , kM , C

A,

o, de una forma equivalente, por

W0 , kM , f 2 , tiene muchas propiedades convenientes. Como hemos observado en la seccion 2-19, encierra el mismo volumen que e1 geoide; en la sección 5-11 veremos que la suma de los cuadrados de las desviaciones N del geoide c on respecto al elipsoide terrestre medio es mínima. Si el elipsoide terrestre medio estuviera en una posición absoluta y su centro coincidiera con el centro de gravedad de la tierra, tendría entonces un potencial normal U que en el caso de distancias mayores seríaa prácticamente igual al potencial real W y de 1a tierra.

Esta última propiedad del elipsoide terrestre medio lo hace particularmente adecuado para la astronomía dinámica – por ejemplo, con respecto a la teoría del movimiento de la luna o de los satélites artificiales. El motivo de ello es que para distancias mayores solo resultan efectivas las armónicas hasta el segundo grado, las cuales son iguales para W y U debido a la igualdad de kM (grado 0), la posición absoluta del elipsoide (primer grado), y la igualdad e J 2 (segundo grado, zonal1 ). Esta definición del elipsoide terrestre medio nos permite proporcionar definiciones precisas del semieje principal a de la tierra de la gravedad ecuatorial 0 , etc., para fines geodésicos. De hecho, el ecuador real de la tierra es una curva irregular en lugar de un circulo de radio a, y si midiéramos la gravedad a lo largo del ecuador, obtendríamos muchos valores distintos en lugar de una constante definida 0 . Algo similar resulta cierto, por ejemplo, en el caso del achatamiento

f

a b / a . Esta constantes, a, f,

0

, etc., deben por lo tanto considerarse parámetros derivados

que hacen referencia a un elipsoide idealizado en lugar de directamente a la tierra. Para obtener estas cantidades a partir de valores dados W 0 , kM, J2 ,

W0

Con respecto a a y f calculamos

0

resolvemos las dos ecuaciones

kM 1 2 2 tan 1 e` a , E 3 E2 2 me` J2 1 2 15 qu 3a

por medio de (2 - 73). La primera de estas ecuaciones es (2-61); la segunda se

C A obtiene de (2-90) si notamos que J 2 serie correspondiente (2-104), (2-118) y (2-105ª).

/ Ma 2 . en la practica resulta mas conveniente usar el desarrollo en

Resulta aun mas conveniente usar las formulas diferenciales. Como b=a(1-f)podemos aproximar (2-111) y (2-112) por medio de

kM

0

obtenemos

0

1

f

2 f 3 kM 1 1 1 f m W0 3 3

W0 Despejando a y

a2

a

0

a

0

1

W02 1 1 f kM 3

3 m 2 11 m 6

13 m 6

Diferenciando estas formulas y haciendo caso omiso de f y m en los coeficientes, hallamos las siguientes como aproximaciones esféricas.

a

0

1 1 1 k M W a f a 0 3 0 1 2 1 k M W 0 f 2 a 3 a

(2-200´)

____________________________________________________________________________________________________________ 1 tamben habrían términos no zonales del segundo grado, por que A≠B, pero serán mucho mas pequeños que J2

Esta puede simplificarse considerablemente aplicando (2-182) y (2-186)

a 0

N0 g0

1 a f, 3 1 0 f, 3

De acuerdo con (2-118) obtenemos aproximadamente,

f

3 J2 2

1 m 2

La diferenciación nos proporciona finalmente

f

3 J2 2

(2-201)

Esta ecuación expresa el cambio de acatamiento en términos de la variación de J2 ; los cambios en a y

0

pueden

obtenerse de (2-200) o (2-200´). Cabe recordar, no obstante, que el elipsoide terrestre medio definido en esta forma no es en modo alguno la mejor superficie de referencia para propósitos geodésicos prácticos. Básicamente podemos definirlo empíricamente por medio de determinaciones empíricas de kM, W 0 , etc. Sus parámetros cambian cada vez que mejora la calidad o el número de mediciones pertinentes (gravedad, distancia, etc.). Y como gran cantidad de datos numéricos se basa en un elipsoide de referencia hipotético, seria un poco practico cambiarlo con frecuencia. Resulta mucho mejor usar un elipsoide de referencia fijo con parámetros establecidos, que pueden ser ma s o menos arbitrarios y siempre y cuando ofrezcan una buena aproximación. A este respecto, incluso el elipsoide internacional podría ser suficiente, aunque tal vez pueda considerarse deseable un cambio por otros motivos. Hay cierto conflicto de intereses entre los geodesias y los astrónomos con respecto al elipsoide terrestre. El geodesta necesita una superficie de referencia permanente, mientras que el astrónomo desea obtener la mejor aproximación de la tierra mediante un elipsoide. La mejor solución es usar un elipsoide de referencia geodésico fijo y calcular de vez en cuando para propósitos astronómicos las ―mejores‖ correspondientes para aplicar a los parámetros supuestos.

2-22. Desviaciones de la vertical. Formula de Vening Meinesz La formula de Stokes permite calcular las ondulaciones geoidales a partir de las anomalías de la gravedad Vening Meinesz (1928) desarrollo una formula similar para calcular las desviaciones de la vertical a partir de las anomalías de la gravedad.

Figura 2-20 La relación entra la ondulación geoidal la desviación de la vertical. La figura 2 -20 muestra la intersección del geoide y el elipsoide de referencia con un plano vertical azimut arbitrario. Si є es la componente de la desviación vertical en este plano, entonces

dN ds, dN ds;

(2-202)

o negativo responde a una regla convencional y su significado se explicara mas adelante. En una dirección norte sur tenemos y ds

ds

(2-203) El signo

Rd ;

En una dirección este oeste

ds

y En las formulas para ds

ds

R cos d ;

ds hemos utilizado nuevamente la aproximación esférica; de acuerdo con (1-38), el

y

elemento lineal de la esfera r=R esta dado por

ds 2

R2d

2

R 2 cos 2 d

2

Si especializamos (2-203) hallamos

dN ds

1 N , R

dN ds

1 R cos

N

(2-204)

Lo cual nos muestra la relación entre la ondulación geoidal N y las componentes

y

de la desviación de la vertical.

Como N esta dado por la integral de Stokes, nuestro problema es diferenciar esta formula con respecto a

y

. Para

ello usamos la forma (2-167).

R 4 G

N , En donde

se define como una función de

2

2

g `, N S ` 0 `

, , `, ` por medio de (2-168).

La integral del lado derecho de esta formula depende de diferenciar bajo el signo integral hallamos

N

R 4 G

N

Y una formula similar para

cos `d ´d ´,

2

2

y

2

g `, ` ` 0 `

2

solamente a través de

dS d

cos `d ´d ´,

en S

. por lo tanto, al

(2-205)

. Aquí tenemos

S

S

,

S

S

,

(2-206)

Escribiendo (2-168) en la forma

cos Y diferenciando con respecto a

y

sen sen ´ cos cos `cos `

(2-207)

obtenemos

sen

cos sen ´ sen cos `cos ` sen

cos cos ´sen `

Ahora incluimos el azimut , tal como se muestra en la Fig. 2-16. de acuerdo con el triangulo esférico de la Fig. 2-21 y aplicando conocidas formulas de la trigonometría esférica obtenemos

sen cos cos sen ´ sen cos `cos ` sen sen cos cos ´sen ` Si insertamos estas en las ecuaciones anteriores hallamos las expresiones sencillas

(2-208)

cos sen

cos ,

(2-209)

De modo que

S

S d

S( )

cos ,

S

N

Estas se sustituyen en (2-205) y la formula correspondiente para obtenemos

R 4 G

,

,

2

2

g `, ` ` 0 `

R 4 G

cos sen , y con las ecuaciones (2-204) finalmente

S

cos cos `d ´d ´,

2 2

2

S

g `, ` ` 0 `

sen cos `d ´d ´,

(2-210)

2

Figura 2-21 La relación entre las coordenadas geográficas y las polares en la esfera.

1 4 G 0 1 4 G 0

O expresando en la forma abreviada usual,

dS cos d d dS g sen d d g

(2-210)

Estas son las formulas de Vening Meinesz. Si diferenciamos la función de Stokes S(), ecuación (2-164), con respecto a obtenemos la función de Vening Meinesz

dS d

cos / 2 2sen 2 / 2

8sen

6 cos

/2

3

1 sen sen

/2

3sen

ln sen

/2

Esto puede verificarse rápidamente usando las identidades trigonométricas elementales. El azimut formula

tan

cos `sen ` cos sen ` sen cos `cos `

sen 2

/2

(2-211) esta dado por la

(2-212)

Que es el resultado inmediato de (2-208). La forma (2-210) es una expresión de (2-210`) en términos de las coordenadas geográficas y . Al igual que con la formula de Stokes (sección 2-17) podemos usar una expresión en términos de las coordenadas polares esféricas y :

1 4 G

2

g ` 0

0

,a

S

sen d d ,

(2-10‖)

El lector puede verificar fácilmente si estas ecuaciones proporciona las componentes y de la desviación con el signo correcto correspondiente a la definición (2-140): véase también la Fig. 2-13. este es el motivo por el cual incluimos el signo negativo en (2-203). Cabe anotar que la formula de Vening Meinesz, en la forma en que se encuentra es valida para un elipsoide de referencia arbitrario, mientras que la formula de Stokes tuvo que ser modificada agregando una constante N 0 : si diferenciamos la formula modificada de Stokes (2-183b) con respecto a y para obtener la formula de Vening Meinesz, entonces esta constante N0 queda eliminada y obtenemos las ecuaciones (2-210`). La aplicación practica de las formulas de Stokes da origen a muchos problemas importantes para los cuales el lector debe referirse a la sección 2-24 y al capitulo 3. La formula dS/d y las funciones relacionadas se encuentran tabuladas en la publicación de Sollins (1947).

2-23. El gradiente vertical de la gravedad. Reducción de aire libre al nivel del mar Para la reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide necesitamos el gradiente vertical de la gravedad, g h. si g es el valor observado en la superficie de la tierra entonces es posible obtener g 0 en el geoide como un desarrollo de Taylor:

g0

g H …, h

g

En donde H es la elevación de la estación gravimetría sobre el geoide. Pasando por alto todos los términos exc epto el lineal, tenemos (2-213) g1 g f , En donde

g H h

F

(2-214)

Es la reducción del aire libre al geoide. Aquí, al igual que en todo este capitulo, hemos dado por sentado que no hay ninguna masa sobre el geoide, o que se ha eliminado antes, de manera que en realidad esta reducción se lleva a cabo en ―aire libre‖.

g h

2gJ

2

2

0, no puede aplicarse directamente para este propósito porque se desconoce la curvatura media J de las superficies de nivel. Por consiguiente, se procede en la forma usual dividiendo g h en La formula de Bruns (2-20), con

una parte norma y en una parte anómala

g h El gradiente normal

g

g h

h

(2-215)

h está dado por (2-79) y (2-80), o por (2-121). Primero consideraremos la parte anómala

h.

Expresión en términos de

g . La ecuación 2-155 puede escribirse

g r, , n 0

R r

n 2

gn

,

Si diferenciamos con respecto a r y usando r=R, obtenemos el nivel del mar:

.

g r

1 Rn

Ahora podemos aplicar (1-102), usando

En esta ecuación,

1 n g0 Rn 0

n 2 g0 0

V

g y Y0 =

g r

R2 2

2 g R

g 0 . El resultado es

g

gr

2 gr R

d

Ì `0

(2-217)

g

gr hace referencia al punto fijo P en donde hay que calcular 2

R d

entre el punto fijo P y el elemento de superficie variable por

I0

(2-216)

, expresado en términos de la distancia angular

2 Rsen

2

.

R2d

Comparemos la figura 1-13 de la sección 1-18; el elemento

r ; I0 es la distancia espacial

no se halla en el punto P`.

La formula integral importante (2-217) representa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la misma anomalía de la gravedad. Como el integrando disminuye rápidamente al aumentar la distancia, es suficiente en esta formula para extender la integración a las cercanías del punto P mientras que en las formulas de Stokes y Vening Meinesz la integración debe incluir la tierra entera si se desea obtener suficiente precisión. Expresión en términos de N. Si diferenciamos la ecuación (2-154)

T r

g

2 T r

Con respecto a r, obtenemos 2

d g dr

T r2

A esta formula se le agrega la ecuación de Laplace 2

T r2 El resultado, al fijar

r

T

tan r2

2 T r2

T

0 , que en coordenadas esféricas tiene la forma 1

T

1 r2

2

T

1 2 r cos2

2

2

T

0

2

R , es

g r Como

2 T r r

2 T r r

2 T R2

tan R2

T

2

1 2

T

1 2 R cos2

2

2

T

(2-218)

2

GN , también podemos escribir g r

2G N R2

G tan Ri

N

G R2

2

N 2

G 2 R cos2

2

N 2

(2-219)

Esta ecuación expresa el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de la ondulación geoidal N y su primera y segunda derivadas son horizontales. Su valor puede determinarse por medio de una diferenciación numérica usando un mapa de la función 0 N no obstante es menos adecuada que (2-217) para aplicaciones practicas por que requiere un mapa geoidal local sumamente preciso y detallado, lo cual es prácticamente imposible de conseguir; las inexactitudes de N pueden simplificarse enormemente formando las segundas derivadas. Expresión en términos de

y

. De acuerdo con las expresiones (2-204) hallamos

N

N

R ,

R cos ,

De modo que 2

2

N

R

2

,

N

R

cos ,

2

_______________________________________________________________________________ 1. vease la ecuación (1-41); sustituya 0=900 - . Si incorporamos esto en (2-219), obtenemos

g r

2G N R2

G tan R

G R2

2

G R cos

(2-220)

Al incluir las coordenadas rectangulares locales, x, y en el plano tangente tenemos

Rd

ds

R cos d

dx,

ds

dy,

De modo que (2-220) pasa a ser

g r

2G N R2

G tan R

G

x

y

.

Puede demostrarse que los primeros dos términos del lado derecho son muy pequeños en comparación con el tercero; por lo tanto

g r

G

x

y

.

(2-221)

Con suficiente precisión. Estas formulas representan el gradiente vertical de la anomalía de la gravedad en términos de las derivadas horizontales de la desviación de la vertical. También es posible determinar su valo r por medio de una diferenciación numérica siempre que se disponga de un mapa de y . Son mas apropiados para aplicaciones practicas que (2-219) ya que solo se requieren las primeras derivadas. Para un calculo mas practico refiérase a Mueller (1961). Estas formulas se usaran en la sección 8-8 2-24 determinación practica del valor de las formulas integrales El valor de las formulas integrales cono las de Stokes y de Vening Meinesz se determina aproximadament e por medio de sumas de una sucesión. Los elementos de superficie d se remplazan por compartimientos pequeños pero finitos q . Los cuales se obtienen subdividiendo la superficie de la tierra en una forma conveniente. Se utilizaran dos métodos convenientes de subdivisión: 1. Plantillas (fig. 2-22). La subdivisión se efectúa mediante círculos concéntricos y sus radios. La plantilla de material transparente coloca sobre un mapa gravimétrico de la misma escala, de manera que el centro de la plantilla con el punto de calculo P en el mapa. Las coordenadas naturales para este fin son las coordenadas polares y con origen en P. 2. Líneas cuadriculares (fig. 2-23). La subdivisión se efectúa por medio de líneas cuadriculares de algún sistema fijo de coordenadas, especialmente de coordenadas geográficas , . Forman casillas rectangulares por ejemplo de 10`x 10´ o de 1o x 1o . estas casillas se conocen también como cuadrados aunque por lo general no son cuadrados de acuerdo a la definición de geometría plana. Como ejemplo para ilustrar los principios de la integración numérica, consultaremos ahora la formula de Stokes

N

R 4 G

gs

d

Figura 2-22 una plantilla

En sus formas explicitas (2-165) para el método de plantilla y (2-167) para el método que utiliza casillas fijas. Para cada comportamiento

q k las anomalías de la gravedad se remplazan por su valo medio

gk

en dichos

compartimientos. Por consiguiente la ecuación anterior se convierte en

N

R 4 G

gk S

R 4 G

d

k

N

gk

S

d

(2-222)

k

Ck g k k

λ

36o 20`

30´

40´

36o 50´ 45º30`

30`

45º10`

Figura 2-23 Casillas formadas por una cuadricula de coordenadas geográficas

En donde los coeficientes

R 4 G

Ck

Se obtienen mediante la integración del comportamiento

S

d

(2-223)

qk ; no dependen de g .

- es razonablemente constante en el compartimiento qk S en el centro de qk.

Si el integrando - en nuestro caso la función de Stokes

S

que puede reemplazarse por su valor Luego tenemos

R S S d R3d 4 G 4 GR La integral final es sencillamente el área Ak del compartimiento. Por lo tanto obtenemos Ak S Ck 4 G Ck

(2-224)

Esta forma es mucho mas sencilla, sin embargo cerca del punto de calculo podría se necesario utilizar los coeficientes integrados (2-223).

const

const ,

Si los compartimientos están formados por las líneas

entonces el cálculo de estos

coeficientes integrados resulta difícil. Para el método de plantilla, no obstante, donde los compartimientos están formados por las líneas const ., const ., resulta bastante sencillo. Tenemos.

R 4 G

Ck

R

2

1

1

S 1

sen d d

1

2

1

4 G

S

sen d

1

La función

1 2

J

0

S

sen d

F

0

d

(2-225)

(Refiriéndose a la sección 2-17) ha sido tabulada por Lambert y Darling (1936). Por consiguiente obtenemos

Ck

R

2

1

2 G

J

J

2

(2-226)

1

Como otro ejemplo, consideraremos ahora la formula (2-217) de la sección. Aquí

R2 2

Ck

qk

d G

En donde

I0

2 Rsen

2

Hallamos

Ck 2

16 R

1

2 sen

1 1

1 16 R

1

1

1

sen d d sen 2 / 2 1

/ 2 cos / 2 d sen 2 / 2

2

8 R

1

2 1

cos sen 2

/2 d /2

Esta integral se resuelve fácilmente sustituyendo

u

sen

2

Ck

/ 2 ; obtenemos

1

1

I 0.1

I 0.2

1

2

(2-227)

La ventaja del método de plantilla consiste en su gran flexibilidad. La influencia de los compartimientos cerca del punto de calculo P es mayor que la de los compartimientos mas distantes, y el integrando cambia mas rápidamente en la proximidad de P. por lo tanto, se necesita una subdivisión aun mayor alrededor de P. esto puede lograrse fácilmente por medio de plantillas. Además, el cálculo de los coeficientes integrados resulta mas sencillo con el método de plantilla. La ventaja de un sistema fijo de casillas formada por una cuadricula de coordenadas geográficas radica en el hecho de que se necesitan sus anomalías medias de la grav edad para diversos propósitos. Una vez determinadas, estas anomalías medias de las casillas de tamaño estándar pueden almacenarse y procesarse fácilmente por medio de una computadora electrónica. Además, se utiliza la misma subdivisión para todos los punt os de cálculo, mientras que los compartimientos definidos por una plantilla cambia cuando esta se corre al siguiente punto de cálculo. La flexibilidad del método de casilla estándar es limitada por supuesto; sin embargo, es posible utilizar casillas mas pe queñas (5`x5`, por ejemplo) en la proximidad de P y otras mas grandes (1ºx 1º, por ejemplo) a distancias mayores. Generalmente se prefiere este método para los cálculos electrónicos. También es posible combinar los dos métodos, calculando el efecto de la zona interior por medio de una plantilla y utilizando afuera las casillas estándar. Esto podría resultar ventajoso si el integrando cambia demasiado rápido en una casilla de 5`x5`, que normalmente es el tamaño estándar mas pequeño disponible. Efecto de la proximidad. Aun el la zona interior, el método de plantilla podría traer dificultades si el integrando fuera hacia el infinito como 0 . Esto sucede con la formula de Stokes, dado que

2

S

(2-228)

para un pequeño. Esto puede verse en la definición (2-164) ya que el primer termino es predominante y para un pequeño esta dado por

1 sen

1 /2

/2

2

La función de Vening Meinesz pasa a ser infinita también ya que, con el mismo grado de aproximación,

dS d

2

(2-229)

2

En la formula del gradiente (2-217), el integrando

1 I 03

1 R`

(2-230)

3

se comporta en forma similar. Por consiguiente resulta conveniente dividir el efecto de esta zona interior, la cual se supone sea un circulo de radio alrededor del punto de calculo. Por ejemplo, la integral de Stokes se convierte de esta manera en

N

Ni

Ne

Donde

Ni

R 4 G

2

gS 0

0

d

Y

Ne

R 4 G

2

gS 0

0

d

El radio

0

de la zona interior corresponde a una distancia lineal de unos cuanto kilómetros.

Dentro de esta distancia podemos considerar la esfera como un plano usando las coordenadas polares S,

s

R

Rsen

2Rsen

en donde

/2 ,

De modo que el elemento de área se convierte en

R2d

sdsd

De acuerdo con esta aproximación podemos usar de (2-228) a (2-230), haciendo que

2R 2 1 , s 2 I 03

2 R dS , s d

S

1 s3

Tanto en las funciones de Stokes como en las de Vening Meinesz, el error relativo de estas aproximaciones es de 1% 1

para s=10km, y un 3% para s=30km. En el caso de 1 / I 0 es aun menor. Por tanto el efecto de esta zona interior en nuestras formulas integrales pasa a ser

Ni

i

g h

1 2 G

2

1 2 G

2

s

0s 0

2

gr

xg x

g

sdsd

gp s

0s 0

3

(2-232)

sdsd

(2-233)

g en una serie de Taylor en el punto de calculo P:

1 2 x g xx 2!

yg y

(2-231)

g cos s 2 sen

s

Para determinar el valor de estas integrales desarrollamos

g

g sdsd s

0s 0

1 2

i

s

2 xyg xv

y 2 g yy +…

Las coordenadas rectangulares x, y se definen por

s cos , y

x

ssen

1

De modo que el eje x apunta hacia el norte. Además tenemos

g x

gs

2

, g ss

x

p

g

, etc.

2 p

esta serie de Taylor puede escribirse también

g

gp

s g x cos

s2 g xx cos 2 2

g v sen

2 g xy cos sen

g yy sen 2

...

Al incorporar esto en las integrales anteriores, podemos determinar fácilmente su valor. Efectuando primero la integración con respecto a y notando que 2

d

2 ,

0 2

2

sen d

2

cos d

0

sen cos d

0

0

2

2

sen 2 d

cos2 d

0

Hallamos

Ni

1 G

0 2

gp 0

s g xx 4

g yy

... ds ,

0,

1 2G g h

gx gy

0

1 g xx 40

... ds , ... g yy

... ds.

Ahora efectuamos la integración sobre s, reteniendo solamente los términos mas bajos que no se anulan. El resultado es

Ni i

s0 gx , 2G

i

s0 gp; G s0 gy; 2G

s0 g xx 4

g h

g yy

(2-234) (2-235)

(2-236)

Vemos que el efecto de la zona circular inferior de la formula de Stokes depende, en una primera aproximación, de el valor de g en P; el efecto de la formula de Vening Meinesz depende de las primeras derivadas horizontales de g ; y el efecto en el gradiente vertical depende de las segundas derivadas horizontales. Nótese que la contribución de la zona interior a la desviación total de la vertical tiene la misma dirección que la línea de mayor inclinación de la ―superficie de la anomalía de la gravedad‖ por que el vector planar

O,

1

,

1

Figura 2-24 Líneas de

g constante y líneas de descenso más inclinado. Es proporcional al gradiente horizontal de g , grad g gx, gy g define la línea de descenso mas inclinado (véase la Fig. 2-24). y g y pueden obtenerse de un mapa gravimétrico. Son la inclinaciones de perfiles norte sus y este

La dirección del grad Los valore de

gx

oeste a través de P. los valores de

g x x y g yy pueden determinarse ajustando un polinomio en x y y de segundo grado

a la función de anomalías de la gravedad en la proximidad de P. La influencia de las zonas distantes en las formulas de Stokes y Vening Meinesz refié rase a Hotila (1960). Los geofísicos han desarrollado técnicas numéricas interesantes para la integración y la diferenciación, las cuales resultan útiles para determinar el valor de formulas tales como (2-217) y (2-236); refiérase a Jung (1961).

3 METODOS GRAVIMETRICOS

3-1. REDUCCION DE LA GRAVEDAD La gravedad g que se mide en la superficie física de la tierra no puede compararse directamente con la gravedad normal que hace referencia a la superficie de l elipsoide. Es necesario efectuar una reducción de g a nivel del mar. Como hay masa sobre el nivel del mar, los métodos de reducción difieren según la forma en que se tratan estas masas topográficas. La reducción de la gravedad permite llevar a cabo tres objetivos principales: 1. la determinación del geoide 2. la interpolación y extrapolación de la gravedad 3. la investigación de la corteza terrestre. Únicamente los dos primeros son de naturaleza geodesica. El tercero es de interés para los geofísicos y los geólogos teóricos que estudian la estructura general de la corteza, y para los geofísicos exploradores que buscan detalles o accidentes de poca profundidad que pudieran indicar la presencia de depósitos minerales Para usar la formula de stokes en la determinación del geoide es necesario que las anomalías de la gravedad g representen valores limites en el geoide, para lo cual se requieren dos condiciones: primero, que la gravedad g haga referencia al geoide; y, segundo, que no haya masas fuera del geoide (sección 2 -13). Por consiguiente by hablando en sentido figurado, la reducción de la gravedad consta de los siguientes pasos: eliminar masas topográficas fuera del geoide completamente o correrlas por debajo del nivel del mar; luego se baja la estación gravimetriíta desde la superficie de la tierra (punto P), hasta el geoide (punto P 0, véase la Fig. 3-1)

Figura 3-1 Reducción de la gravedad

Para el primer paso hay que conocer la densidad de las masas topográficas lo cual es, por supuesto algo problemático. Mediante este procedimiento de reducción, se eliminan ciertas irregularidades en la gravedad producidas por las diferencias en alturas de las estaciones, facilitando así la interpolación e incluso la extrapolación a las áreas no observadas (sección 7-10) 3-2. Formulas auxiliares Calculemos el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro circular homogéneo con un radio a y una altura b en un punto P se encuentra arriba del cilindro c>b. luego el potencial estará dado por la formula general (1-11),

U

k

dv.

I

Figura 3-2 Potencial y atracción de un cilindro circular en un punto externo Si incorporamos las coordenadas polares

s,

en el plano x, y por medio de

x

s cos , y

Tenemos

ssen

s2

I

(3-2)

c z

2

Y

dv Por lo tanto hallamos que con una densidad

p

dxdydz

const , 2

U

sdsd dz

a

b

sdsdzd

kp

s2

0s 0z 0

2

c

z

2

sdsdz

2 k 0z 0

s

2

c

z

2

La integración con respecto a s proporciona a

0

De mod0o que tenemos

sds s

2

c

z

2

s2

c

z

2

a 0

a2

c

z2

c

z

b

U

2 k

c

z

c

z

a2

c z 2 dz

0

La integral indefinida es 2 k multiplicado por

1 c 2

z

1 c 2

2

a2

z

1 2 a ln c z 2

2

a2

c

z

2

Según puede verificarse por medio de una diferenciación. Por consiguiente U finalmente se convierte en

Ue

k

c

z

2

c2

c b

a 2 ln c b

a2

a2

c

2

z

c b2

c a2

a 2 ln c

c2

a2

(3-2)

c2

En donde el subíndice e indica que p esta externo al cilindro.

La atracción vertical a es la derivada negativa de U con respecto a la altura c [comparece con la ecuación (2-14)]:

A

U c

a2

c b

(3-2)

Diferenciando 3-2 obtenemos

A

2 k b

2

a2

c2

(3-4)

P sobre el cilindro. En este caso tenemos que q e c = b y que las ecuaciones (3-2) y (3-4) pasan a ser

U0

b2

k

b a2

b2

2 k a b2

A0

a 2 ln

b

a2

b2

a2 a

b2

(3-5)

(3-6)

P dentro del cilindro. Supongamos ahora que P se encuentra dentro del cilindro, c250km). De otro modo se tendría que usar la fórmula esférica (6-63) para T. Para la componente radial .δr, se puede demostrar que las ecuaciones (6-74) ó (6-75) que se dan más adelante, donde .δr reemplaza a.Δg, son validas. No se conocen las fórmulas esféricas correspondientes para la continuación ascendente de las componentes horizontales δФ y δλ. El motivo por el cual la misma fórmula, o sea la integral de continuación ascendente, resulta valida para T y las componentes de δ únicamente en el caso planas es que las derivadas de T son armónicas solamente cuando hacen referencia a un sistema de coordenadas cartesianas. 6-7. Consideraciones Adicionales Superficie de Referencia. Las fórmulas anteriores para el potencial de perturbación T y el vector de perturbación de la gravedad δ son solamente validas si la superficie de referencia es una esfera. En la práctica, las anomalías gravimétricas se refieren a un elipsoide. Las fórmulas anteriores para T y δ son también válidas para una superficie elipsoida1 de referencia, si se hace caso omiso de un error relativo del orden del achatamiento f = 0.3%, es decir, al igual que una aproximación esférica. Se le recuerda al lector que esto no significa que se está sustituyendo el e1ipsoide por una esfera en un sentido geométrico, sino que en las fórmulas originalmente elípticas se pasan por alto la primera y las potencias superiores del achatamiento, y por ello se convierten formalmente en fórmulas esféricas. Como las anoma1ias gravimétricas, etc., hacen referencia a un e1ipsoide, hay que ser sumamente cuidadosos al ca1cular t que forma parte de las fórmulas de las Secciones 6-4 y 6-5. Si se usara una esfera exacta de radio R, como superficie de referencia, entonces se tendría que usar r =.R + H, donde H es la e1evacion del punto de calculo sobre la esfera. En realidad se uti1iza un elipsoide de referencia; luego, nuevamente se tiene que

(6-68)

pero como H es ahora la elevación sobre el e1ipsoide (o, con suficiente precisión, sobre el nivel del mar), la constante R = 6371 Km. es el radio medio.de la tierra. Por lo tanto, r tal como se calcula en (6-68) difiere del radio vector geocéntrico r = ( x2 + y 2 + z2 )1/2 . De hecho, esto es sólo válido para las secciones 6-4 y 6-5, y no para las fórmulas de la Sección 6-3. que únicamente se refieren a las coordenadas esféricas.

Ya se ha mencionado que es posible sustituir la latitud geocéntrica Ф, y latitud geográfica Ф , en lo que respecta a T y δ -- por ejemplo, Ф = Ф en (6-35) o (6-38). Para todos los cálculos relacionados con el campo gravitacional de la tierra, hay que usar las anomalías gravimétricas de aire libre puesto que todos los demás tipos de anomalías gravimétricas corres ponden a alguna eliminación o transferencia de masas las cuales cambian el externo. Si, además de Δg, se usan las ondulaciones geoidales N (según recubrimiento) o las desviaciones de la vertical ξ , n (en la continuación ascendente) entonces estas cantidades deberán calcularse a partir de las anomalías de aire libre. como suele hacerse, se utiliza la gradiente normal de aire libre 0.3086 mgal/metro para la reducción de aire libre, entonces las formulas aire libre se refieren exclusivamente a la superficie física de la altura a nivel del terreno) en lugar del geoide (a nivel del mar). Los n calculados a partir de éstos por medio de la fórmula de Stokes las formulas son altura, δ , que se refieren al terreno en lugar de alturas del mismo. Esta diferencia, no obstante, es insignificante y puede omitirse en la mayoría de los casos, de modo que Δg puede considerarse como una altura nivel del mar (véase la sección 8-13). No podemos pasar esta diferencia por alto en busca de la mayor presión en montañas altas y empinadas para altitudes H bajas, entonces necesario proceder de otra manera (véanse las Secciones 8-8 y 8-10). Se mira la anomalía de aire libre Δg del punto A en el terreno al punto A 0 con pendiente a nivel del mar (véase la Figura 6-2):

(6-69) para la anomalía a nivel del mar Δg * obtenida así. La gradiente vertical Δg/ dh puede calcularse mediante la fórmula (2-217) usando las anomalías a nivel del terreno Δg . También se puede reducir a cualquier otra superficie de nivel W = Wl, por ejemplo la que pasa por F (Fig. 6-2) usando en lugar de h en (6-69). Luego, también habrá que usar H1 en lugar de H .para propósitos de escala grande, la reducción a nivel del mar es preferible. Es probable que dicha reducción sólo llegue a ser confidencia en casos excepcionales, de manera que por lo general puede omitirse de las fórmulas en las Secciones 6-4 hasta 6-6 puede considerarse como altura de P sobre el nivel del mar o sobre el terreno. Para otros métodos emplear la topografía refiérase a las publicaciones de Arnold (1959), levallois (1960) y Moritz (1966).

Comparación entre Métodos. de todos los métodos descritos en las tres secciones anteriores, las fórmulas del método directo son las más complicadas, pero pueden manejarse bastante bien si se tabu1an las funciones requeridas o si se programan para una computadora automática. Aquí sólo se requieren las anomalías gravimétricas. Si se conocen las alturas geoidales N además de Δg , resulta preferible el método de recubrimiento porque comprende fórmulas un poco más sencillas. Si bien los cómputos son más sencillos en el método de continuación ascendente requiere la mayor cantidad de datos: N para T, Δg Y N para δr, y ξ y ε para δФ y δλ . Para tener una mejor idea de la ap1icabi1idad de estos tres métodos, hay que considerar el efecto de las zonas distantes. La tabla 6-1, tomada de la publicación de Hirvone Moritz (1963, pág. 63), muestra la influencia de la raíz media cuadrática Δ δr , Δ δФ = Δ δλ de las zonas más allá de un radio esférico ψ0 sobre δr, δФ, δλ. El método usado para calcular esta tab1a se describirá en la Sección 7-4. Los valores de la tabla son validos para todas las altitudes H, desde cero hasta varios cientos de kilómetros. Se admite que para ψ0 > 20° o 30°. la influencia de las zonas distantes disminuye muy lentamente. Por tanto, no parece practico extender la integración mucho más a1la de 20° (Método de recubrimiento) o de 30°(método directo), a menos que se extienda a toda la tierra.

Influencia de la raíz media cuadrática de la zona mas allá de un radio ψ0 , δr, δФ, δλ

puede notarse además que el efecto de las zonas remotas sobre δФ y δλ no como menor en el método de recubrimiento que en el método di recto. La influencia sobre δr es .menor en el método de recubrimiento, pero si se conoce más de Δg, entonces no se deberá calcular δr por este método sino por el de continuación ascendente, donde la influencia de las zonas distantes es específicamente pequeña. Es fácil comprender porqué esta influencia es tan pequeña en el método continuación ascendente. Si H = O. entonces el efecto de las zonas remotas en el método directo y en el de recubrimiento esta dado aún por la tabla 6-1. el método de continuación ascendente., no obstante. este efecto es cero para P = F. puesto que el valor "calculado" en P es entonces idéntico al .correspondiente en el terreno en F, donde no hay influencia alguna en valores vecinos. Si H es diferente de O, entonces solamente el vecino más cercano a P es alguna importancia en este método. En la próxima sección se 'verá que por lo general es suficiente llegar hasta diez veces la elevación si se utiliza continuación ascendente. Esta también es la razón por la que se puede usar la aproximación al plano en el método de la Sección 6-6, pero no en los otros métodos que comprenden influencias mucho mayores para las que esta aproximación no resulta válida. En resumen, los siguientes métodos son adecuados para uso práctico: si se conocen Δg, el método directo; si se conocen Δg y N, el método de recubrimiento para las componentes horizontales y el de continuación ascendente.

para la componente vertical de δ y para T; si se conocen Δg, N, ξ, ,ε entonces la continuación ascendente para todo.

La precisi6n que puede obtenerse es más o menos la misma en los tres métodos si se aplican correctamente, especialmente si se extiende la integraci6n lo suficiente. Los errores típicos de las tres componentes son aproximadamente proporcionales a l / H y son muy pequeños en elevaciones grandes, pero la correlación entre los valores vecinos puede ser considerable. Integraci6n practica. Las fórmulas integrales de este capítulo tienen que evaluarse aproximadamente por medio de sumatorias exactamente en la misma forma como, por ejemplo, las fórmulas de Stokes y Vening Meinesz. Los procedimientos se describieron en la Sección 2-24. Los detalles del método de continuación ascendente se dan en la sección que sigue. En cuanto al método directo y al de recubrimiento utilizando bloques de tamaño estándar, los siguiente, tamaños pueden considerarse adecuados a unos 45° de latitud. Para diferencias en latitud con el punto de cómputo hasta de ΔФ = 1.5° y una diferencia en longitud de Δλ = 2°, se utilizan bloques de 5' X 5'; afuera de esta zona, hasta ΔФ = 3.5° y Δλ = 4.5°, se utilizan bloques de 20' X 20'; afuera de esta zona, hasta ΔФ = 12.5° y Δλ = 15., se utilizan bloques de 1°X l°; y afuera de esta zona, bloques de 5°X 5°. En el caso de puntos con elevaciones de sólo unos cuantos ki1ometros, algunos bloques de 5' X 5´ quizás no sean suficiente alrededor del punto de cómputo y haya que recurrir a otros medios, ta1es como el uso de una plantilla para la región interna o el uso de gradientes horizontales de la gravedad análogas a las de la formula de Vening Meinesz.

Por consiguiente, los detalles de estas integraciones numéricas son algo comp licados; el lector podrá hallar más información en la publicación de Hirvonen y Moritz (1~63). Calculo del vector de gravedad. Después de calcular las componentes δr, δФ, δλ. mediante la integración numérica, es posible transformar1as en coordenadas cartesianas δx, δy, δz. con respecto al sistema mundial de coordenadas. Las ecuaciones de transformación son (6-18), donde se sustituyen las componentes de γ por las componentes correspondientes de δ es fácil notar que (6-18) es válida para un vector arbitrario. También se puede formar primero las componentes del vector de gravedad g en coordenadas esféricas por medio de: .gr = γr + δr, gФ = γФ + δФ,

gλ = δλ

(6-70)

donde γ r. , γ Ф, γλ , están dados por las fórmulas de la Sección 6-3, y aplicar luego (6-18) a g.

Otra posibilidad es usar las componentes de coordenadas elipsoidales de acuerdo con la Sección 6-2. Para 1as cantidades pequeñas δu, δβ, δλ se puede aplicar aquí también la aproximación esférica, haciendo caso omiso de un error relativo del orden del achatam1ento. Si se pasa por alto el achatamiento, entonces las coordenadas elipsoidales u , β, λ se reducen a las coordenadas esféricas r, Ф, λ de manera que al igual que una aproximación esférica.

. δu = δr, δβ = δФ

(6-71)

Donde δλ es exactamente la misma en ambos sistemas. Por .tanto, también

δr, δФ, δλ pueden considerarse como componentes de δen coordenadas elipsoidales. Por consiguiente, se tiene que .gu = γ u + δr, g β = γβ + δФ,

gλ = δλ

(6-72)

Y gx, gy gz .se obtienen por medio de,(6-12), las componentes de g que, sustituyen las componentes correspondientes de γ . Obviamente la aproximación esférica sólo puede usarse para δ , de manera que hay que calcular γ u, γβ, por medio de las formulas exactas (6-10). El geopotencial W puede calcularse usando (6-4); el potencial gravitacional V se obtiene restando el potencial centrifugo w2 (x2 + y 2 )/2; y el vector de gravitación está dado por (6-6).

Arm6nicas esféricas. El potencial anómalo T y sus derivadas también pueden obtenerse por medio de su desarrollo armónico esférico, en donde los coeficientes se calculan por medio de un análisis armónico de las anomalías gravimétricas (véase la Sección 2-20). no obstante, como estas series tienen una convergencia lenta, solamente pueden aplicarse cálculos con elevaciones satelitales (unos 1000 Km.). Resultan útiles para el cálculo de las órbitas satelitales; véanse las Secciones de la 9-6 ,1 la 9-8.

6-8. Anomalías Gravimétricas Fuera de la Tierra . Supóngase que haya que calcular g en algún punto P fuera de la tierra (Fig. 6-3): aquí sólo se tomará en cuenta la magnitud del vector de gravedad. Esto se hace convenientemente añadiendo una corrección la gravedad normal γ. En la sección 2-13 se estudiaron dos tipos diferentes de dicha corrección, g - γ: l. La perturbación de la gravedad δg en la que tanto g como γ se refieren al mismo punto P. 2. La anomalía gravimétrica, Δg. En este caso g se refiere a P pero γ se refiere al punto correspondiente Q situado en la misma línea de plomada que P, y cuyo potencial normal U es igual al potencial real W de P, es decir, U Q = Wp.

esta forma sencilla es suficiente para alturas moderadas. La perturbación de la gravedad se utiliza cuando se conoce la posición espacial de P, es decir, sus coordenadas rectangulares geocéntricas x, y, z, como por ejemplo, en los cómputos de la gravedad a lo largo de trayectorias espaciales u órbitas satelitales. Luego, por lo general, se necesita el vector completo g y no solamente su magnitud g, y los cálculos se efectúan según los métodos descritos en las secciones anteriores. En la Sección 2-13 : se vio que la diferencia en magnitud δg es prácticamente igual a la componente vertical del vector de perturbación de la gravedad:

δg = - δr

I En esta sección se hace referencia a la anomalía gravimétrica Δg. Se usa cuandoquiera que se conozcan las coordenadas naturales (Sección 2-4).

Especialmente el potencial W de P. Entonces se podrá determinar Q como el punto cuyo potencial normal es igual al valor dado de W; es decir, será posible calcular la altura de Q sobre el elipsoide por medio de una, fórmula elipsoidal como (4-44) donde C = W 0 -W. luego la gravedad normal en Q estará dada, por ejemplo, por (2-123) En la superficie terrestre, el potencial W se determina mediante nivelación (Sección 4-1); es por ello que el material básico de la "geodesia gravimétrica lo constituyen las anomalías gravimétricas y no 1as perturbaciones de la gravedad. Si se conoce la altura H1 de P sobre el terreno, entonces el potencial en P podrá obtenerse mediante.

(6-73) donde W l es el potencial en el punto terrestre F debajo de P, y g es la gravedad media entre F y P. Por tanto, aun en este caso se conoce W en lugar e las coordenadas rectangulares x,y,z y lo apropiado es usar las anomalías gravimétricas Δg . Este es el caso, por ejemplo, de las mediciones de la gravedad desde el aire, en donde se mide la altura .de la aeronave sobre el terreno. Fórmulas. La fórmula básica es

(6-74)

la cual difiere de (2-160) en que las armónicas esféricas de grado 0 y 1 las cuales han sido excluidas aquí, se dejan en la formula actual. Si se hace las sustituciones usuales en (6-43) y (6-44) se obtiene.

(6-75) nuevamente,

donde H es la altura sobre el nivel al que hace referencia las anomalías Δg dadas; véanse los comentarios al respecto en la sección anterior. hasta con alturas de vuelo, es posible usar otra vez la aproximación al plano de la sección 6-6, de manera que (6-75) se reduce a una integral de continuación ascendente del tipo (6-75):

(6-76)

O en las coordenadas polares s y α

(6-76´)

donde

Integración practica. Se pueden volver a usar bloques estándar ( 5´ X 5´ , 10´ X 10´ ó 1° X 1°, digamos), adecuados para cálculos automáticos, o se pueden utilizar plantillas. La integral (6-76) puede sustituirse entonces por

(6-77)

donde Δg k es la media en k-esimo compartimiento. Si se utilizan bloques estándar con lados de ΔФ y Δλ, entonces.

(6-78) donde Фk y lk se refieren al centro del bloque. Estos coefiencientes son del tipo (2-224). Para una plantilla polar, los coeficientes integrados preferibles del tipo (2-223) también tienen una forma sencilla si se usa (6-76´) y las notaciones de la figura 2-22 ( donde se ha sustituido ψ por s ), se tiene que

y después de integrar,

(6-79)

donde l1 pertenece al radio interno y l2 al radio externo.

Hirvonen (1962) preparo un diseño óptimo para una plantilla. Se construye de tal manera que el error producido por cada compartimento tiene la misma raíz media cuadrática. La tabla 6-2 contiene los coeficientes de Hirvonen. Los radios S1 y S2 y la elevación H tienen que medirse en la misma unidad.

Tal como se vio en la sección anterior, la continuación ascendente es básicamente un problema local. La contribución principal a las integrales (6-76) ó (6-76´) se originan del área alrededor del punto P, dado que la influencia de las regiones distantes es insignificantemente pequeña, considérese el efecto de la zona que esta mas allá de una distancia dada S0 desde P fig 6-4 de acuerdo con (6-76), este efecto esta dado por.

por que cuando S es grande se reemplaza 1 = ( S 2 + H2 ) ½ por S. si se introduce cierto valor promedio Δg de las anomalías gravimétricas en la zona S > S0 entonces, según el teorema del valor medio del calculo integral, es posible expresar el valor promedio del efecto de esta zona así

Lo cual equivale a

Con esta formula puede vers e que S0 debe ser más o menos proporcional a H si se desea obtener el mismo error ε para las diferentes elevaciones H. Por ejemplo, si So = 10H, entonces ε = 0.1 Δg . Si Δg no excede de 10 mgals, entonces ε será menor que 1 mgal. Esto por lo general puede darse por sentado porque se espera que los valores de Δg para la zona S > So tienden a promediarse cuando So tiene un valor alto. Siendo ese el caso , solo es necesario extender la integración hasta 10 veces la elevación. Las consideraciones de la sección anterior también pueden aplicarse en muchos aspectos a la continuación ascendente de las anomalías gravimétricas. Nuevamente, se tendrá que usar anomalías de aire libre que hagan referencia al nivel del terreno o, para mayor exactitud, a alguna superficie de nivel. Si el terreno está sobre el nivel del mar, pero es razonablemente plano, resulta mejor considerar H como la elevación sobre el terreno y no sobre el nivel del mar, porque entonces el terreno podrá considerarse localmente como parte de una superficie de nivel. Para mayor información sobre la precisión, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1962). El problema inverso, o sea la continuación descendente de las anomalías gravimétricas, ocurre cuando se reduce la gravedad medida a bordo de una aeronave, y también en determinada solución del problema geodésico de los valores límites que se describirá en la Sección 8-10. No hay una fórmula integral cerrada inversa para (6-75) o (6-76), pero es posible resolver el problema de la continuación descendente con el método iterativo de la Sección 8-10. La continuación ascendente y la descendente también se usan en la exploración geofísica pero aqu í el propósito es bastante diferente. Se han desarrollado varios métodos relacionados, algunos de los cuales también pueden aplicarse con fines geodésicos; véanse, por ejemplo, las publicaciones de Jung (1961, Sección 7.22), Oean (195R), Hellderson (1960) y Tsuboi (1961).

Referencias Arnold, K. (1959). Zur Bestinlmung der geoidllndulationen aus Freiluftanomalien. Schwerewerte in grossen Hohen über der Erdoberflache. Veroff. Geod. Inst. Potsdam, No. 12. Brovar, V.V. (1963). Computation of the disturbing potential and its deriva- tives above the earth. English Transl. of the Iussian journal."Geodesy and Aerophotography" by .AJn. Geophys. Union, ~Io. 3, pp. 1.42-144. Dean, W. C. (1958). Frequency analysis for Gravity interpretation Geophysics, v. XXIII, pp. 97-127. . Henderson, R. G. (1960). A comprehensive system of automatic computation in magnetic and gravity interpretation. Geophysics, v. XXV, pro 569-585.

Hirvonen, R. A. (1962). On the statistical analysis of gravity anomalies. Helsinki. Publ. Isostat. Inst. Int. Assoc. Geod., No. 37.

Hirvonen, R. A., and H. Moritz (1~63). Practical computation of gravity at high altitudes. Report ~Io. 27, Inst. Geod. Phot. Cart., Ohio State Univ. Jung, K. (1961). Schwerkraftverrilhren in der Angewandten Geophysik. Leipzig Akademische VerlagsgesellschaftGeest & Portig I Levallois, J. J. (1960). Sur lc I)rohlerle du champ exterieur de la pesanteur. París, Institut Géogrclphique N,lt.ionrll, No. 26956. Moritz, H. (1962). Studies on the occuracy of the computation of gravity in high elev ations. Helsinki, Publ. Isostat. Inst. Int. Assoc. Geod., Mo. 38. Moritz, H. (1966). The computation of the exterrnal gravity field und the geodetic boundary value problen. Proceedings of the Symposium "Extension of Gravity Anomalies to Unsurveyed Areas"(H. Orlin, ed.), Am. (geophys. Unían, Geophys. Monograph ~Io. 9, pp. 127-136. Orlin, H. (1959). The three components of the external anomalous gravity field. J. Geophys. Rrsearch, v. 64. pp. 2393-2399~ Tsuboi, C. (1961). Upward cont.inuation of gravity values based on the cylindrical coordinate system. Rcport No. 16, Inst. Geod. Phot. Cart Ohio Statc tlniv.

METODOS ESTADISTICOS EN LA GEODES IA FISICA 7-1. introducción

Los problemas más importantes de la geodesia física se formulan y resuelven en términos de integrales extendidas a toda la tierra. Un ejemplo típico sería la fórmula de Stokes. Por consiguiente, es necesario conocer, en principio, la gravedad g en todos los puntos de la superficie de la tierra. En realidad, aun en el caso de la red gravimétrica más densa., solo se mide g en relativamente pocos puntos, de modo que para los otros es necesario estimar g mediante interpolación. En muchas partes extensas de los océanos no se ha efectuado absolutamente ninguna observación; estos vacíos tienen que llenarse con algún tipo de extrapolación.

Matemáticamente, no hay diferencia alguna entre la interpolación y la extrapolación: por lo tanto se denotan mediante el mismo término, predicción. La predicción (interpolación o extrapolación) no puede, por supuesto, proporcionar valores exactos; por tanto, el problema es estimar los errores que pueden esperarse en la gravedad g o en la anomalía gravimétrica Δg. Como Δg se utiliza también para calcular otras cantidades, tales como la ondulación geoidal N o las componentes de la desviación ξ y ε , hay que investigar la influencia de los errores de predicción de Δg sobre N., ξ y ε, etc. A esto se le conoce como propagaci6n de errores. Además es importante saber qué métodos de predicción proporcionan la mayor precisión, bien sea en Δg o en las cantidades derivadas N., ξ y ε, etc. Para poder determinar los "mejores" métodos de predicción, obviamente resulta necesario, haber resuelto primero el problema anterior, conocer el error de predicción de Δg y su influencia en las cantidades derivadas. Hay otro aspecto incluido. En principio, las fórmulas integrales presentadas comprenden siempre integraciones sobre toda la tierra. En la práctica, no obstante, muchas veces las integraciones sólo abarcan un área limitada, ya sea porque no existen mediciones gravimétricas , más allá de la misma o porque si se extienden no se observa prácticamente ningún aumento en la precisión. Después habrá que estimar el efecto de las zonas distantes no tomadas en cuenta. En resumen, se tienen los siguientes problemas: l. Estimación de los errores de interpolación y extrapolación de Δg; 2. Estimaci6n del efecto de estos errores en las cantidades derivadas N., ξ y ε, etc. 3. Determinación del mejor método de predicción.' 4. Estimación del efecto de las zonas distantes omitidas. Como los que interesan son los errores promedio y no los individuales, se requieren procedimientos estadísticos. Este es el tema del presente capítulo. 7.

7-2. La función de Covarianza ,

Es realmente notable que todos los problemas arriba mencionados pueden resolverse mediante una sola función de una variable sin ninguna otro información. Esta es la función de Covarianza de las an omalías gravimétricas.

Primero se necesita una medida del tamaño promedio de las anomalías gravimétricas Δg. Si se halla el promedio de Δg en toda la tierra, se obtiene el valor cero:

(7-1)

El símbolo M representa el promedio sobre toda la tierra (sobre la esfera unitaria), este promedio es igual a la integral sobre la esfera unitaria dividida por su área 4π. La integral es cero si no hay término de grado cero en el desarrollo de las anomalías gravimétricas Δg en armónicos esféricos, es decir si se usa un elipsoide de referencia con la misma masa que la tierra y con el mismo Potencial que el geoide. Esto se dará por sentado en todo este capítulo 2 . Evidentemente la cantidad M { Δg }, que es cero, no puede usarse para caracterizar el tamaño promedio de las anomalías gravimétricas. Considérese entonces el cuadrado promedio de Δg

(7-2)

Se le llama la varianza de las anomalías gravimétricas. Su raíz cuadrada es la anomalía media cuadrática ( r.m.s.):

(7-3)

la anomalía media cuadrática es una medida muy útil del tamaño promedio d e las anomalías gravimétricas; por lo general se da en la forma: r.m.s { Δg}= ± 35 m.gals; Los signos de más y de menos expresan la ambigüedad del signo de la raíz cuadrada e indican que ésta puede s er positiva o negativa. La anomalía media cuadrática es muy intuitiva pero la varianza de Δg es mucho más fácil de manejar matemáticamente y se presenta para una generalización significativa. 1

Se está omitiendo primero la correlación con la elevación.

2

De no ser ese el caso, es decir si M {Δg} = m diferente de cero entonces es posible formar anomalías gravimétricas nuevas Δg* = Δg – m, restando el valor promedio m. Luego M Δg* = 0 y todos los desarrollos subsiguientes se aplican a es anomalías Δg* ―centradas".

En lugar del cuadrado promedio de Δg, considérese el producto promedio de las anomalías gravimétricas Δg Δg´ en cada par de puntos P y P´ que tienen una distancia constante s, de separación. Este producto promedio se llama la Covarianza de las anomalías gravimétricas para la distancia s y se define por . Covs {Δg} = M {Δg Δg´}

(7-4)

E1 promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P´ en donde PP' = s = constante.' La Covarianza caracteriza la correlaci6n estadística de las anomalías gravimétricas Δg y Δg´, que viene a ser su tendencia a tener más o menos el mismo tamaño y signo. Si la Covarianza es cero, entonces las anomalías Δg Δg´ no están correlacionadas , o sea que son independientes 1 la una de la otra; en otras palabras, ni el tamaño ni el signo de Δg tienen influencia alguna sobre el tamaño o el signo de Δg´. Las anomalías gravirnétricas en puntos que se encuentran muy separados pueden considerarse no correlacionadas o independientes dado que las perturbaciones locales que producen Δg casi no tienen influencia sobre Δg´ y viceversa. Si se considera la Covarianza como una función de s = PP´, entonces se obtiene la función de Covarianza C(s) mencionada al principio:

C(s) = Covs {Δg} = M {Δg Δg´}

(PP'=S).

(7-5)

para s = O se tiene que C(O)= M{Δg 2 }= var {Δg}

(7-51)

de acuerdo con (7-2). La Covarianza para s = O es la varianza:

1

En el sentido estricto de la estadística matemática la correlación cero y la independencia no son exactamente lo mismo, pero en este caso puede hacerse caso omiso de la diferencia.

En la figura 7-1 se muestra una forma típica de la función C(s) .Para distancias s pequeñas (de 1 Km., por ejemplo) es casi igual a Δg de manera que la Covarianza es casi igua1 a la varianza; en otras palabras, hay una correlación muy fuerte. La Covarianza C(s) disminuye al aumentar s, porque entonces las anomalías Δg y Δg´ se vuelven cada vez más independientes. En el caso de distancias muy grandes, la Covarianza será muy pequeña, pero en general no exactamente cero porque las anomalías gravimétricas no sólo se ven afectadas por las perturbaciones locales de la masa sino también por factores regionales . De. manera que en su lugar puede esperarse una osci1ación entre valores positivos y negativos pequeños 1 La determinación práctica de la función de Covarianza C(s) es un tanto problemática. Si tuviera que determinarse con exactitud, sería necesario conocer la gravedad en todos los punt os de la superficie terrestre. Esto obviamente no

es así puesto que, si se conociera, entonces la función de Covarianza perdería gran parte de su importancia porque sería posible resolver los problemas con exactitud sin necesidad de estadísticas. De hecho, la función de Covarianza solo puede estimarse usando muestras distribuidas en toda la tierra. Pero en la actualidad hasta eso resulta imposible porque los datos gravimétricos de los océanos son imperfectos o no existen del todo. Para una explicación sobre el muestreo y los problemas relacionados refiérase a la publicación de Kau1a (1963, 1966). La estimación más completa que se ha hecho hasta la fecha es la de Kaula (1959). Algunos de sus valores se dan en la Tabla 7-1. Se refieren a las anoma1ías de aire libre. El argumento es la distancia esférica.

(7-6)

que corresponde a una distancia linea1 s medida sobre la superficie terrestre; R es un radio medio de la tierra. La anomalía media cuadrática de aire libre es

(7-7)

1

Las covarianzas positivas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño y el mismo signo; las covarianzas negativas significan que Δg y Δg´ tienden a tener el mismo tamaño pero signos opuestos. Cuanto mayor sea esta tendencia, tanto Mayor será C(s); el valor absoluto de C(s ), no obstante, jamás podrá exceder la varianza C(O).

Puede notarse que C(s) disminuye al aumentar ,s y que para, s/R > 30°, los valores son muy pequeños y oscilan entre positivo y negativo. Para ciertos fines se necesita una función de Covarianza local en lugar: de una global; luego el promedio M se extiende solamente a un área limitada y no a toda la tierra como en el caso anterior. Esta función de Covarianza local resulta útil para estudios más detallados en un área limitada --por ejemplo, para problemas de interpolación. Como ejemplo se puede mencionar; que Hirvonen (1962), al investigar la función de Covarianza local de las anomalías de aire libre en Ohio, halló valores numéricos que están debidamente representados por un expresión analítica de la forma .

(7-8)

Donde

(7-9)

Esta función es válida para s < 100 Km. 7-3 Desarrollo de la Función de Covarianza en Arm6nicos Esféricos Las fórmulas integrales más o menos complicadas de la geodesia física adquieren por lo general una forma mucho más sencilla si se vuelven a escribir en términos de armónicos esféricos. Un buen ejemplo es la fórmula de Stokes (Véase la Sección 2-17). Lamentablemente esta ventaja teórica se pierde en la mayoría de los casos frente a 1a desventaja de que en la práctica las series pertinentes convergen muy lentamente. En ciertos casos, sin embargo, la convergencia es buena. Por consiguiente, los armónicos esféricos son convenientes en la práctica; en la próxima sección se presenta un caso de éstos. El desarrollo armónico-esférico de las anomalías gravimétricas Δg puede expresarse de muchas formas diferentes, tales como (7-10)

Donde Δg n (ζ,λ) es el armónico de superficie de Laplace de grado n, o más específicamente.

(7-11) Donde (7-12)

son los armónicos esféricos convencionales, o en términos de armónicos totalmente normalizados ( vease la sección 1-14):

(7-13)

en este caso ζ es la distancia polar ( complemento de la latitud geocéntrica) y λ es la longitud. Hay que determinar los productos promedio de dos armónicos de Laplace.

(7-14)

Estos productos promedio son.

(7-15)

Dado que el promedio se extiende a toda la tierra, es decir, a toda la esfera unitaria. Primero se toma n´ = n que da el cuadrado promedio del armónico de Laplace de grado n.

(7-16)

Si se inserta (7-14) y se toma en cuenta las relaciones de ortoganalidad (1-68) y la normalización (1-74) se halla fácilmente.

(7-17) Considérese ahora el producto promedio (7-15) de dos armónicos de Laplace de diferente grado n´ diferente n debido a la ortogonalidad de los armónicos esféricos, la integral de (7-15) es cero.

(7-18)

En términos estadísticos, esto significa que dos armónicos de Laplace de diferente grado no están correlacionados o, en un sentido más amplio son estadísticamente independientes. En una forma similar a las que se utiliza para las anomalías gravimétricas, también la función de Covarianza C(s) puede desarrollarse en una serie.

de armónicos esféricos. Tómese un punto P arbitrario, pero fijo, como el p olo de dicho desarrollo. De esta manera se introducen las coordenadas polares esféricas ψ, (distancia angular desde P) y α (azimut) (Figura 7-2). La distancia angular ψ, corresponde a la distancia lineal s según (7-6). Si se desarrolla la función de Covarianza, con el argumento ψ en una serie de armónicos esféricos con respecto al polo P y a las coordenadas ψ, y α, se tiene

que es del mismo tipo que (7-11). Pero como C depende solamente de la distancia ψ, y no del azimut α, los armónicos esféricos no pueden contener ningún término que dependa explícitamente de α. Los únicos armónicos independientes de α son las funciones zonales.

los cn =cn° son los únicos coeficientes que no son iguales a cero. también se usa la expresión equivalente en términos de armónicos completamente normalizados

(7-20)

los coeficientes de estas series de acuerdo 1-13 y 1-14 están dadas por

(7-21)

(7-22)

Ahora hay que determinar la relación entre los coeficientes Cn de C(ψ) en (7-19) y los coeficientes anm y bnm de Δg en (7-14). Por este motivo se necesita una expresión para C (ψ) en términos de Δg , la cual se obtiene fácilmente escribiendo (7-5) en una forma mas explicita. Considérense los dos puntos p (ζ,λ.) y p´( ζ´,λ´) de la figura 7-2. Su distancia esférica ψ está representada por

(7-23)

En este caso ψ, y el azimut α son las coordenadas polares de p´( ζ´,λ´) con respecto al polo p (ζ,λ.) El símbolo M en (7-5) denota el promedio sobre la esfera unitaria. Para calcularlo se necesitan dos pasos. En primer lugar se halla el promedio sobre el circulo esférico cuyo radio es ψ (indicado en la figura 7-2 por medio de una línea de trazos), manteniendo el polo P fijo y desplazando p ´ a lo largo del circulo de manera tal que la distancia PP' permanezca constante. Esto resu lta en

Donde C* sigue dependiendo del punto P que se escogió como el polo ψ = 0. en segundo lugar se calcula el promedio de C* sobre la esfera unitaria

esto es igual a la función de Covarianza C(ψ) y el símbolo M en (7-5) se expresa ahora explícitamente así.

(7-24)

Se ha dado por sentado que las coordenadas ζ´,λ´ de esta fórmula están relacionadas con ζ, λ por medio de (7-23) donde, ψ = const. ; pero que de otra manera son arbitrarias; esto expresa, por supuesto, el hecho de que en (7-5) el promedio se extiende a todos los pares de puntos P y P' para los que PP' = ψ = const. Par calcular los coeficientes Cn, se inserta (7-24) en (7-21) obteniendo así.

(7-25) considerese primero la integración con respecto a α y ψ. Deacuerdo con (1-71) se tiene que

donde el cambio de las variables de integración es evidente. Por tanto, (7-25) se convierte en

(7-26) esto también puede expresarse como (7-27) Ahora se le inserta (7-10) que puede escribirse

donde el índice de la sumatoria se denota por n´ en lugar de n se obtiene.

Según (7-18), solamente el termino donde n´=n es distinto de cero, de manera que por (7-17) se obtiene.

(7-28)

por tanto Cn es el cuadrado promedio del armónico de Laplace Δg n (ζ,λ) de grado n, o su varianza. Los Cn también se conocen como varianzas de grado. ( las covarianzas de grado son cero, debido a (7-18)

a nm y bnm de

La ecuación (7-28) relaciona los coeficientes

g y c n de C(s) de la forma más sencilla

a nm y bnm son coeficientes de armónicos totalmente normalizados, mientras que c n son coeficientes de armónicos convencionales. De hecho, también pueden usarse los anm y bnm (convencionales) o los posible. Nótese que

c n (totalmente normalizados); pero obviamente (7-28) se tornará un poco más complicado. 7-4.

Influencia de las Zonas Distantes sobre las Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz.

Los desarrollos armónicos esféricos de la sección anterior se usarán ahora para evaluar los efectos de omitir las zonas distantes en los cálculos de la altura geoidal y de la desviaci6n de la vertical. La integral de Stokes (2-165) se divide en dos partes:

N

R 4 G

0

2

g S cos 0

sin

d

(7-29)

d

0

R 4 G

2

g S cos 0

sin

d

d

0

Ahora se denota la funci6n de Stokes por S(cos ) en lugar de S( ). Para tener mas adelante en la sección una notación sencilla y coherente. Si la integraci6n no se extiende sobre toda la tierra sino sólo hasta una distancia esférica solamente se considera la primera integral de (7-29). El error de

0

N

0

, entonces

que resulta al Omitir las zonas que están más allá

está dado, por 10 tanto, por la segunda integral de (7-29),

N

R 4 G

2

g S cos 0

sin

d

(7-30)

d

0

Si se introduce la función (discontinua), (figura 7-30):

S cos

0

si 0

S cos

si

o o

, ,

(7-31)

Figura 7-3 La Función

S cos

l

Cabe mencionar que la matemática en que se basa la descripción estadística de las anomalías gravimétricas es la teoría de los procesos estocásticos, donde el campo de las anomalías gravimétricas se considera como un proceso estocástico estacionario en una esfera; los desarrollos esféricos - armónicos de está sección no son más que el análisis espectral de dicho proceso. El trabajo de Miller (1956) incluye una introducción elemental a los procesos estocásticos

(7-30) puede expresarse en la forma 2

R 4 G

N

g S cos 0

sin

d

(7-32)

d

0

La integración puede extenderse ahora formalmente a toda la esfera unitaria porque las zonas con

0

no

contribuyen en nada al valor de la integral. Dado que la función (armónicos zonales):

S cos

es continua por partes, puede desarrollarse en una serie de polinomios de Legendre

S cos n

2n 1 Qn Pn cos 2 0

.

(7-33)

Por razones formales, los coeficientes de este desarrollo se denotan por medio de (2n + 1)Qn/2. De acuerdo con la Sección 1-13, ecuación (1-70), están dados por

2n 1 Qn 2

La integración con respecto a

2

2n 1 4

S cos 0

Pn cos

sin

d

d

0

puede efectuarse de inmediato, dando así

2

d

2 ,

0

de modo que

Qn

S cos

Pn cos

sin

d

0

Si se usa (7-31), finalmente se halla que

Qn

S cos 0

Pn cos

sin

d

( 7 - 34)

Esta ecuación determina los Qn como funciones del radio limitador

0

.

La evaluación de esta integral es un asunto de rutina; se mostrará más adelante.

Ahora se inserta (7-31) en (7-32). Después de intercambiar el orden de la integración y la sumatoria, se obtiene

N

R 8 Gn

2

2n 1 Qn

g Pn cos

0

0

Según (1- 71), la integral doble es igual a

4

sin

d

d

0

g n / 2n 1 , de modo que R Qn g n 2G n 2

N ,

,

donde es, al igual que antes, el armónico de Laplace de n -ésimo

(7-35)

g.

La ecuación (7-35) da como resultado el error en N en un punto dado P anomalías gravimétricas más allá de un circulo de radio

0

,

causado por la omisión de las

y cuyo centro es P. Si se desea hallar el efecto de la

raíz media cuadrática , hay que calcular el promedio M sobre la esfera unitaria:

N2

R M 4G 2

M N2 R2 M 4G 2

n 2

R2 M 4G 2

n 2 n' 2

R2 4G 2

Qn g n

2

Qn g n n 2

Qn ' g n ' n' 2

Qn Qn ' g n g n ' Qn Qn ' M

g n g n'

n 2 n' 2

Las operaciones realizas aquí son obvias . Primero se insertó (7 - 3 5 ); luego se introdujo otro índice de sumatoria n', para transformar el cuadrado de una suma en una suma doble; finalmen te, se intercambió E1 orden de la integración (símbolo M) y la sumatoria.

De acuerdo con la ecuación (7-18) de la sección anterior, todos los n' = n. Por tanto, finalmente se

obtiene

M

g n g n ' son cero excepto cuando

R2 4G 2

N2

2

Qn M

gn

R2 4G 2

2

n 2

2

(7-36)

Qn c n n 2

De manera que la influencia de la raíz media cuadrática de las zonas distantes sobre la altura geoidal N puede calcularse a partir de las varianzas de grado 0, lo que viene siendo lo mismo, a partir de la función de covarianza. Este es un ejemplo del papel fundamental que desempeña la función de covarianza en los problemas estadísticos de la geodesia física.

Las fórmulas para la influencia de las zonas remotas sobre la desviación de la vertical son mucho más difíciles de desarrollar. Por lo tanto, sólo se resumirán los puntos principales; si se desea un desarrollo detallado podrá hallarse en el trabajo de Hirvonen y Mortiz (1963), al cual se hace referencia en el Capítulo 6.

De acuerdo con las ecuaciones (2-204) y (7-35) se tiene que

1 R

N

1 R cos

N

El error medio cuadrático total

2

gn

1 Qn 2G n 2

gn

1 1 Qn 2G n 2 cos

de la desviación dé la vertical está dado entonces por

2

M 1 4G 2

2

gn

Qn Qn ' M

g n'

gn

1 cos2

n 2 n' 2

g n'

Puede mostrarse que para un armónico de superficie arbitrario de Laplace Yn de grado n, las siguientes relaciones son válidas:

Yn

M

2

1 cos2

Yn Yn '

M

1 cos2

Yn

2

n(n 1) M Yn

2

(7-37)

Yn Yn '

0

si n' n;

véase también el trabajo de Jeffreys (1962, pág. 1-35). Por consiguiente, para 2

1 4G 2

2

n n 1 Qn M n 2

gn

2

1 4G 2

Yn

g n , se obtiene 2

n n 1 Qn c n n 2

(7-38)

Esta fórmula da como resultado la influencia media cuadrática de las zonas remotas sobre la desviación total de la vertical ; corresponde a la ecuación (7- 36) para N. Los Coeficientes Qn. Para obtener los Qn expresamente como funciones del radio

0

, hay que evaluar la integral

(7-34). Si se sustituye

sin

2

Z,

sin

0

2

( 7 - 39 )

t

se obtiene 1

Qn

S cos

Pn cos

sin

4 Pn 1 2 z 2 S 1 2 z 2 z dz,

d

t

0

porque

cos sin

d

1 2 sin 2 4 sin

2

2

* cos

1 2z 2 ,

2

d

2

4 z dz

Si se intercambian los límites de integración, finalmente se halla t

Qn

4 Pn 1 2 z 2 S 1 2 z 2 z dz

(7-40)

1

La S 1 2 z 2 significa que en la función de Stokes S cos

S 1 2z 2

1 3 ln z 1 z z

hay que sustituir cos por 1 2z 2 y sin

6 z 2 ln z 1 z

por z:

2

4 6 z 10z 2 ;

(7-41)

en forma similar, Pn 1 2 z 2 significa que el argumento del armónico, zonal Pn [t en las ecuaciones (1-58)] tiene que sustituirse por 1 2z 2 , por ejemplo.

P0 1 2 z 2

1, P1 1 2 z 2

1 2 z 2 , P2 1 2 z 2

3 1 2z 2 2

2

1 2

Por lo tanto, la integral (7-40) puede evaluarse aplicando los métodos usuales de integración; se obtiene, por ejemplo,

(7-42)

Q0

4t 5t 2

6t 3 7t 4

Q1

2t 4t 2

28 3 32 6 t 14t 4 8t 5 t 3 3 6t 2 24t 4 86 ln t 1 t

Q2

6t 2

6t 4 ln t 1 t ,

(7-43)

2 ln 1 t ,

53 4 51 8 t 30t 5 47t 6 18t 7 t 2 2 6t 2 24t 4 36t 6 18t 8 ln t 1 t ,

2 4t 5t 2 14t 3

En el trabajo de Molodenskii et al. (1962, págs. 148-150) pueden hallarse las fórmulas para los Qn hasta n = 8 y una tabla de valores.

Si

0

0 , entonces la función S cos

todos los valores de

de la ecuaci6n (7-31) se reduce a la función de Stokes

S cos

para

:

S cos n

2n 1 Qn Pn cos 2 0

S cos n

2n 1 Pn cos 2 n 1

,

de modo que

Q0

0

Q1

0,

Qn

2

n 2

n 1

si

0

0

(7-44)

Resultados Numéricos. Como el tamaño de. los Qn disminuye rápidamente al aumentar n, excepto cuando es pequeño, las series (7-36) y (7-38) convergen rápidamente, de manera que por lo general unos cuantos

términos son suficientes.

Kaula (1959, pág. 2419) propone los siguientes valores máximos razonables (mgals ) para las varianzas de grado:

c21 15, c3

43,

c4

30 ,

c5

c6

c7

c8

25,

(7-45)

los cuales concuerdan con los valores de la función de covarianza de la Tabla 7 - 1 . Luego, el efecto medio de las anomalías gravimétricas más allá de un radio esférico 0 está dado por la Tabla 7-2. Los primeros tres valores de 0

corresponden a distancias lineales de 1000, 1500 y 2000 km. La sumatoria de (7-36) y (7-38) se extendió hasta n

= 8. 1

Anteriormente se usó el símbolo para denotar la distancia polar.

Tabla 7-2 Influencia Media Cuadrática de la Zona Más Allá del Radio

0

sobre la Altura

Geoidal N y la Desviación de la Vertical . 0

9.0° 13.5° 18.0° 30°

N 25 m

2.4"

21 18 14

2.0 1.8 1.2

0

60° 90° 135° 180°

Molodenskii et al. (1962, páq. 167) hizo estimaciones numéricas de aproximadamente 70% más altas. Se basan en valores de

cn

gn

2

N 14 m

1.2"

.11 8 0

1.1 0.8 0.0

N y

las cuales son

que corresponden a un desarrollo esférico

armónico obtenido por Zhongolovich en 1952.

7-5. Interpolaci6n y Extrapol aci6n de Anomalías Gravimétricas Tal como se indicó en la Sección 7-1, el propósito de la predicción (interpolación y extrapolación) es complementar las observaciones gravimétricas que sólo pueden efectuarse en relativamente pocos puntos, estimando los valores de la gravedad o de las anomalías gravimétricas en todos los demás puntos P de la superficie t errestre. Si P se encuentra rodeado por estaciones gravimétricas, es necesario interpolar; si las estaciones gravimétricas se encuentran lejos de P, hay que extrapolar. Aparentemente no hay mucha diferencia entre estos dos tipos de predicciones y en ambos casos la formulación matemática es la misma. Para predecir una anomalía gravimétrica en P, se necesita información sobre la función de la anomalía gravimétrica. La información más importante es, por supuesto, los valores que se observan en ciertos puntos . Además, se necesita cierta información sobre la forma de la función de anomalía. Si las mediciones gravimétricas son muy densas, entonces la continuidad o ―regularidad‖ de la función es suficiente - para interpolación lineal, por ejemplo. De lo contrario se podría tratar de usar información estadística sobre la estructura general de las anomalías gravimétricas. En este caso hay que considerar dos tipos de correlación estadística: la autocorrelación de las anomalías gravimétricas -- la correlaci6n entre ellas, y la correlación de las anomalías gravimétricas con la elevación. Por el momento se hará caso omiso de la correlación con la elevación la Sección 7-10 estará dedicada a este tema . La autocorrelación se caracteriza por la función de covarianza que se consideró en la Sección 7-2. Matemáticamente, el propósito de la predicción es hallar una función de las anomalías gravimétricas g1 , g 2 , , g n de manera que la anomalía desconocida g p en P pueda ser aproximada por la observadas función

gp

F

En la práctica, sólo se usan funciones lineales de la

g1 , g 2 , , g n

(7-46)

g i . Si el valor . pronosticado de g p se denota por g p ,

dicha predicción lineal tendrá la forma n

gP

p1 g1

p2 g 2 

pn g n

pi g i i 1

(7-47)

pi dependen Únicamente de la posición relativa de P y de las estaciones gravimétricas 1, 2, ..., n; son independientes de g i . Según la forma como se escojan estos coeficientes, se obtienen los diferentes Los coeficientes

métodos de interpolación o extrapolación. A continuación se dan algunos ejemplos. Interpolación Geométrica. La ―superficie‖ de anomalías gravimétricas, ―tal corno se halla representada en un mapa de anomalías gravimétricas, puede aproximarse por medio de un poliedro, dividiendo el área eh triángulos cuyas esquinas están formadas por las estaciones gravimétricas y pasando un plano por las tres esquinas de cada triángulo (véase la figura 7-4). Esto es más o menos lo que se hace cuando se construyen las curvas de nivel de un mapa de anomalías gravimétricas por medio de interpolación gráfica.

Analíticamente, esta interpolación puede formularse de la siguiente manera. Supóngase que el punto P se encuentra situado dentro de un triangulo con esquinas 1,2,3 (figura 7-4). A cada punto se le asigna su valor g como coordenada z, de modo que los puntos 1, 2, y 3 tengan 1as coordenadas ―espaciales‖ (x1 , y 1 , z1 ), (x2 , y 2 , z2 ) y (x3 , y 3 , z3 ); x y y son coordenadas planares normales. El plano que pasa por 1, 2, 3 tiene la ecuación

z

x2 x y3 x2 x1 y3 x3

y2 y2

y x3 x 2 z1 y1 x3 x2

x y1 x2 y1

y3 y3

y3 y x1 x3 z2 y3 y 21 x1 x3

x1 x y 2 x1 x3 y 2

y1 y1

y1 y1

x3

Si sustituimos zl , z2 , z3 por

y2 y2

( 7 - 48 )

y x2 x1 z3 y3 x2 x1

g 1 , g 2 , g 3 entonces z será el valor interpolado

gp en el punto P, que tiene las

coordenadas planares x, y. Por tanto,

gP

l

Aquí

p1 g1

p2 g 2

p3 g 3

(7-49)

g 1 denota el valor de g en un punto i y no un armónico esférico. donde los

p i son los coeficientes de zi

de la ecuaci6n anterior.

Representación. Con frecuencia se usa la anomalía medida de una estación gravimétrica 1 para representar toda la vecindad, de manera que

gp

g1

(7-50)

siempre y cuando P esté dentro de cierta vecindad del punto l. En este caso,

p1 1,

p2

p3

 pn

0

Este método es más bien general, pero lo suficientemente sencillo y preciso para servir para muchos propósitos.

Figura 7-4 Interpolación Geométrica

Anomalía Cero. Si no hay ninguna medición gravimétrica en un área extensa -- por ejemplo, los océanos -- entonces se usa la estimación

gp

para esa área. En este caso común todos los

0

(7-51)

p i son cero.

Si todas las estaciones gravimétricas conocidas se encuentran distantes. y no se conoce nada mejor. entonces se aplica este método rudimentario de extrapolación, si bien la precisión es deficiente. Para tal efecto, las anomalías isostáticas resultan más convenientes

Ninguno de estos tres métodos ofrece una precisión óptima. En la próxima sección se estudiará la precisión de la fórmula general de predicción (7-47) y se hallarán los coeficientes precisos.

7-6.

Precisión de los Métodos de Predicción Pred1cción Mínimo-Cuadrática.

p i que proporcionen los resultados más

Para comparar los diversos métodos posibles de predicción, determinar el alcance de sus aplicaciones y hallar el método más exacto, resulta necesario evaluar sus precisiones. Considérese el caso general de la ecuación (7-47). La anomalía gravimétrica correcta en P es , el valor pronosticado es: n

gp

pi g i i 1

La diferencia es el error P de la predicción,

p

gp

gp

gp

(7-52)

pi g i i 1

Si se eleva al cuadrado se halla que

p2

gp

pi g i

gp

p ki g k

i

g2p

(7-53)

k

2

pi g P g i

pi

i

i

pk g i g k

k

Después se calcula el promedio M de esta fórmula sobre el área considerada (sea ésta una región limitada o toda la tierra). Luego, según (7-5), se tiene que

M

gi g k

C ik

Cik ,

M

g p gi

C Pi

C Pi ,

M

gp

2

C0

(7-54)

C0

Estos son valores específicos de la función de covarianza C(s), para s = ik, s = Pi, y s=0; por ejemp1o ik es la distancia entre las estaciones gravimétricas i y k. Las notaciones compendiadas Cik y CPi se explican por sí mismas.

Además, se fija

M

2

p

m2 P

(7-55)

De esta manera, mp es el error medio cuadrático de una anomalía gravimétrica pronosticada en P o, en otras palabras, el error típico de predicción M (interpolación o extrapolación).

Al tomar en cuenta todas esta relaciones, se halla que el promedio M de (7- 53) es

n

mP2

C0

n

2

n

pi C Pi

pi

i 1

(7-56)

p k Cik

i 1 k 1

Esta es la fórmula fundamental para el error típico de la fórmula general de predicción (7-47). En los casos especiales descritos en la sección anterior, hay que insertar los valores específicos de

pi

Como ejemplo, considérese el caso de la representación, ecuación (7-50); todos los por uno. Aquí, (7-56) da como resultado

m P2

C0

2C Pi

C0

2C 0

, son cero excepto

2C Pi

Muchas veces no solamente se necesita el error típico mP de predicción sino también la correlación de los errores de predicción p y 0 en dos puntos diferentes P y Q, expresada por medio de la “covarianza de los errores” PQ , la cual se define por

Pk

(Si los errores

P

y

Q

M

p

(7-57)

k

no están corre1acinados, entonces la covarianza de los errores

PQ

= 0) Según (7-52) se

tiene que

n PQ

M

n

gP

Pi g i

gQ

i 1 n

M

Qk g k k 1

g P gQ

n

n

Pi g Q g i i 1

n

Qk g P g k

Pi Qk g i g k

k 1

i 1 k 1

y finalmente n PQ

C PQ

n

Pi CQ i i 1

n

n

Qi C Pi i 1

Pi Qk Cik

(7-58)

i 1 k 1

Las notaciones se explican por sf mismas; por ejemplo, CP Q = C(PQ).

La Función de Covarianza de los Errores. Los valores de la covarianza de los errores

PQ

para diferentes

posiciones de los puntos P y Q. forman una función continua de las coordenadas de P y Q. Esta función se conoce como la función de covarianza de los errores, o en breve, la función error, y se denota mediante (xp , y p , xQ, y Q ). Si P y Q son diferentes, entonces sencillamente se tiene

x P , y P , xQ , y Q

(7-59 a)

PQ

si P y Q coinciden, entonces (7-58) se reduce a (7-56), de modo que

mP2

xP , yP , xQ , yQ

(7-59 b)

es el cuadrado del error típico de predicción en P.

Por consiguiente, las covarianzas de los errores

pueden considerarse como valores especiales de la función de

PQ

covarianza de los errores, de la misma manera como las covarianzas CPQ de las anomalías gravimétricas pueden considerarse como valores especiales de la función de covarianza C(s) A modo de repetición, la función de error es la función de covarianza de los errores de predicción, definida como

M

p

Q

,

mientras que C(s) es la función de covarianza de las anomalías gravimétricas, definida como

M

g P gQ ,

El término "función de covarianza", en el sentido más estricto de la palabra, se reserva para C(s). Aplicando (7-56) y (7-58), la función de error puede expresarse en términos de la función de covarianza; puede escribirse en forma más explicita

n

x P , y P , xQ , y Q

n

C PQ

Pi i 1

C Qi

n Qi

i 1

n

C Pi

Pi

Qk

C ik

(7-60)

i 1 k 1

Como puede verse, la función de covarianza tiene un papel esencial en los estudios de precisión. La función de error, por otra parte, es fundamental para los problemas de propagación de errores, como podrá notarse en las siguientes secciones.

Predicción Mínimo-Cuadrática. Los valores de

Pi

para el método más preciso de predicción se obtienen

minimizando el error típico de predicción expresado por (7-56) como una función de los . Las. condiciones familiares necesarias para un mínimo son

m 2p pi

ó

n

2C Pi

2

Pk

Cik

0

i 1,2,, n

k 1

(7-61)

n

Cik

C Pi ,

Pk

k 1

Este es un sistema de n ecuaciones lineales expresadas con n incógnitas

Pk

; la solución es

n

Cik1C Pi ,

Pk

(7-62)

i 1

1

donde C ik denotan los elementos de la inversa de la matriz (Cik). Si se inserta (7-62) en (7- 47) se obtiene.

n

n

gP

Pk

n

Cik1C Pi

gk

k 1

gk

i 1 k 1

En notación matricial esto se escribe así:

1

C11 C12  C1n CP1 , C P 2 ,C Pn

gP

g1

C 21 C 22 C 2 n

g2

   C n1 C n 2 C nn

 gn

(7-63)

Puede verse que para una predicción óptima es necesario conocer el comportamiento estadístico de las anomalías gravimétricas mediante la función de covarianza C(s). Hay una estrecha relación entre este método óptimo de predicción y el método de a juste mínimocuadrático. Si bien se refieren a problemas distintos, ambos han sido diseñados de manera que proporcionen los resultados más precisos las ecuaciones lineales (7-61) corresponden a las "ecuaciones normales‖ de los cálculos de ajuste. Por lo tanto, las predicciones que se basan en la fórmula (7.-63) se conocen como ―predicciones mínimo-cuadráticas". Los detalles podrán hallarse en el trabajo de Kaula (1963) y en el de Moritz (1965 ). Resulta fácil determinar la precisión de la predicción mínimo - cuadrática. Los de la ecuación (7-62) se insertan en (7-56) después de efectuar los debidos cambios en los índices de la sumatoria. Esto da como resultado

n

mP2

Co

n

2

Pk k 1

Se ti ene que

Co

n

C Pk

Pk

Pi

C ki

i 1 k 1

Cik 1 C Pi CPk

2 i

k

Cik 1 CPi C jl 1 CPj Ckl i

j

k

l

C jl 1 Ckl

1

sij

k

0

sij

k

jk

l

La matriz

kl

es la matriz unidad. Esta fórmula establece que el producto de una matriz y de su inversa es la matriz

unidad. Por tanto, también se tiene que

Cik 1 C jl 1 Ckl k

l

Cik 1

Cij

jk

1

k

Dado que una matriz no cambia al multiplicarse por la matriz unidad. Por consiguiente se obtiene.

mP2

Co

Cik 1 C Pi C Pk

2 i

Co

C ij 1 C Pi C Pj

k

j

Cik 1 C Pi C Pk

2 i

k

C ik 1 C Pi C Pk i

j

Cik 1 C Pi C Pk

Co i

k

De manera que el error típico de la predicción mínimo-cuadrática está dado por

n

mP2

n

Cik 1 C Pi C Pk

Co i 1 k 1

C11 C12  C1n C0

CP1 , C P 2 ,C Pn

1

C P1

C 21 C 22 C 2 n

CP2

   C n1 C n 2 C nn

 C Pn

(7-64)

De igual manera se puede hallar la covarianza de los errores en los puntos P y Q: n PQ

n

Cik 1 C Pi CQk

C PQ i 1 k 1

C11 C12  C1n C PQ

CP1 , C P 2 ,C Pn

1

CQ1

C21 C22 C2 n

CQ 2

   Cn1 Cn 2 Cnn

 CQn

(7-65)

Con estas dos fórmulas se determina la función de la covarianza de los errores para la predicción mínimo -cuadrática. Ambas fórmulas tienen una forma parecida a la de (7-63) y son adecuadas para cálculos automáticos, de modo que es posible calcular y su precisión al mismo tiempo. Consideraciones Prácticas. La interpolación geométrica (Sección 7-5) se presta para interpolar las anomalías de punto en una red gravimetrica densa, donde, las distancias entre estaciones son de 10 km. o menos. Si se necesitan anomalías medias para bloques de 5‘ x 5‘, o más grandes, en lugar de anomalías de punto, entonces una representación como la que se consideró en la sección anterior podría resultar mucho más sencil1a y tener casi la misma precisión. La predicción mínimo-cuadrática es, por supuesto, más precisa que la interpolación o representación geométricas, pero incremento en la precisión no es impresionante. La ventaja principal .de la predicción mínimocuadrática es que permite un procesamiento sistemático y puramente numérico de los datos gravimétricos; ya no es necesario elaborar mapas de las anoma1ías gravimétricas. La misma fórmula se aplica tanto a la interpolación como a la extrapolación, de manera que la falta de datos gravimétricos no afecta el método de cálculo, el cual es completamente esquemático. Como se requieren matrices grandes, es esencial contar con una computadora electrónica de alta velocidad. Para mayores detalles prácticos y sobre los cálculos, véase la publicación de Rapp (1964). Cuando las distancias entre estaciones son mayores, de 50 km o más la predicción de los valores de puntos individuales no tiene sentido. En tal caso, es necesario trabajar, por ejemplo, con las anomalías medias de bloques de 1° x 1°. Este será el tema de la Sección 7-9.

7-7.

Propagación de Errores. Precisión de los Armónicos Esféricos.

Las anomalías gravimétricas son aquellos datos de observación a partir de los cu ales se ca1culan otras cantidades de interés geodésico, tales como las ondulaciones geoidales, las desviaciones de la vertical o e1 campo gravitacional externo. Todos estos cálculos se realizan mediante fórmulas integrales. El problema es estimar la precisión de estas cantidades derivadas a partir de la precisión conocida de las anomalías gravimétricas. La teoría del error convencional no incluye este caso directamente. Debe modificarse ligeramente; esto se logra mediante una ampliación natural y lógica d e la teoría común de la propagación de errores. Los lectores interesados en el método general pueden referirse a las publicaciones de Mor1tz (1961. 1964a); aquí sólo se expondrán dos casos prácticos que se tratarán en esta sección y en la que sigue. . El primer problema es el siguiente. El campo de las anomalías gravimétricas se desarrolla en una serie de armónicos esféricos completamente normalizados (7-13):

g ,

a nm Rnm ,

bnm S n m ,

2

Rnm ,

n 2m 0

donde

a nm bnm

1 4

g , 0

Se conoce la función de covarianza de los errores de los coeficientes

0

Sn m ,

sin d d

(7-66)

de las anomalías gravimétricas; hay que determinar la precisión

anm y bnm , es decir. las varianzas y covarianzas de sus errores (errores típicos).

El error individual εp de la anomalía gravimétrica en un punto P cuyas coordenadas son medio de

y λ, se denota por

, La totalidad de estos errores en todos los puntos de la esfera obviamente forma una función de covarianza de los errores según (1-59a) y (7-57), esta dada entonces por

, , ', '

M

,

', '

y λ. La función de

(7-67)

Como el producto promedio de los errores individuales en dos puntos donde las coordenadas son , λ y ‘, λ‘. La covarianza de los errores se consideran aquí como una función de las coordenadas esféricas , λ y no como una función de las coordenadas planares x, y. . El efecto de estos errores ε ( , λ) en el coeficiente

1 4

anm , según (7-66), está representado por

2

, 0

Donde n es entonces el error individual de

Rnm ,

sin d d

(7-68)

0

anm La varianza de los errores anm , el cuadrado de su error típico, está

obviamente dada por

m2

2

Como el promedio de los

2

1 16 1 16 1 16

2

M

(7-69)

individuales. Por tanto, hay que hallar primero

2

. Se tiene que

2

2

,

2 0

Rnm ,

sin d d

0

2

2

,

2 0 2

Rnm ,

sin d d *

0

' , ' Rnm

' , ' sin ' d ' d '

' 0 ' 0 2

,

2 0

' , ' Rnm ,

Rnm

' , ' sin sin ' d d d ' d '

0 ' 0 ' 0

En este caso se han usado dos teoremas muy conocidos del cálculo integral:

1.

2.

Los símbolos que denotan las variables de integración en una integral definida no tienen importancia; pueden sustituirse por cualquier otro símbolo. En este caso, , λ se han sustituido por ‘, λ‘en la segunda integral. Los productos de las integrales definidas pueden escribirse como una integral múltiple.

Ahora se calcula el promedio de la última ecuación para obtener el error típico m según (7-69). Se tiene que

m

2

1 16

2

2

, , ' , ' Rnm ,

2 0

Rnm

' , ' sin sin ' d d d ' d '

0 ' 0 ' 0

El símbolo M se colocó dentro de la integral porque M, por su definición como el promedio sobre la esfera un itaria, es en realidad una integral doble, y el orden de las integrales con límites finitos fijos puede intercambiarse.

La definición (7-67) finalmente proporciona

m2

1 16

2

2

, , ' , ' Rnm ,

2 0

Rnm

' , ' sin sin ' d d d ' d '

(7-70)

0 ' 0 ' 0

Esta es la fórmula deseada para el error típico del coeficiente esférico armónico

anm Si se desea el error típico del

coeficiente bnm , sencillamente hay que sustituir R nm por la función correspondiente S nm .

Esta fórmula resuelve así un problema específico de propagación de errores en los cálculos gravimétricos. Al igual que (7-66), es una fórmula integral. La función de covarianza de los errores interviene en una forma básica; de esta manera se ve la importancia fundamental de para la propagación de errores. Si se conoce la función de error, entonces será posible hacer la evaluación de la integral (7-70) sin dificultades teóricas usando, por ejemplo, una integración numérica.

Se obtendrá un resultado particularmente sencillo si a la función de error se le aplican dos hipótesis: 1. 2.

Sólo los errores de puntos vecinos estarán correlacionados significativamente; más allá de cierta distancia no hay correlación alguna. La precisión es la misma para todos los puntos de la superficie terrestre.

Analicemos lo que significan estas hipótesis en la práctica. Las principales faltas de precisión de las anomalías gravimétricas son causadas por la interpolación. Si se pasan por alto los otros errores, entonces se podría calcular la función de covarianza de los errores mediante las fórmulas de la sección anterior. La primera hipótesis es natural dado que en una red gravimétrica razonablemente densa, los errores de interpolación en aquellos puntos que se encuentran bastante separados prácticamente no están correlacionados. La segunda hipótesis es valida para el caso ideal de un cubrimiento uniforme de mediciones gravimétricas en toda la tierra. Sencillamente establece que la precisión es la misma en todos los puntos; sin embargo, la precisión puede ser diferente en las diferentes direcciones, como es el caso de las mediciones para perfiles.

El punto crucial que. permite simplificar drásticamente la integral cuádruple (7-70) es que, según la hipótesis 1, el integrando puede ser significativamente diferente de cero solamente si ‘= y λ‘= λ, porque la función de error para dos puntos distantes es cero. Por consiguiente, es posible hacer una aproximaci6n (7-70) por

m

2

1 16

2

2

2

, , ' , ' Rnm ,

2 0

sin sin ' d d d ' d '

0 ' 0 ' 0

y realizar primero la integración sobre ‘ y λ‘. Si se fija

2

S R2

, , ' , ' sin ' d ' d ' ' 0 ' 0

(7-71)

(R = 6371 km.); de acuerdo con la hipótesis 2, esto será una constante independiente de la posición. La cantidad S se llamará la constante de error en la Sección 7-9 se mostrará una forma práctica de calcularla y se darán valores numéricos. Luego, la fórmula para

m 2 se convierte en

m

16

2

2

2

S

2

R2

Rnm 0

,

sin

d d

(7-72)

0

Según la ecuación (1-74), la integral es 4π, de manera que finalmente se obtiene el resultado sencillo

m2

S 4 R2

donde m es el error típico de cualquier coeficiente

(7-73)

anm . Para bnm hay que reemplazar la función R nm por S nm , que

obviamente da el mismo resultado.

Por consiguiente, los errores típicos de todos los coeficientes completamente normalizados

anm y bnm son

iguales y están dados por (7-73). Luego se calcula la covarianza de los errores de dos coeficientes esféricos armónicos diferentes El error individual

de

anm está dado por (7-68); el error individual * de a pq es

*

1 4

2

' , ' R pq ' 0 ' 0

' , ' sin ' d ' d '

anm y a pq .

La covarianza de los errores de

anm y a pq se define como a nm , a pq

M

*.

Si se repite el procedimiento que da (7-70) como resultado se hallará que

a nm , a pq

1 16

2

2

, , ' , ' Rnm ,

2 0

R pq

' , ' sin sin ' d d d ' d '

0 ' 0 ' 0

En lugar de (7-72) ahora se tiene que

anm , a pq

2

S 16

2

R2

Rnm , 0

R pq ,

sin d d

0

Dada la ortogonalidad de dos armónicos esféricos diferentes, esto es cero. . Se hubiera obtenido el mismo resultado sustituyendo los coeficientes

R pq

por

S pq

para obtener la covarianza de los errores entre

anm y b pq . Por consiguiente, ninguno de los coeficientes anm y bnm están correlacionados.

En realidad, estos resultados sencillos solamente tienen validez cuando es factible la sus titución aproximada que permite pasar de (7-70) a (7-72). Como puede verse, en el caso de los armónicos esféricos de grado n muy alto no se cumple, pero es válido para los armónicos de grado más bajo, que son los de mayor interés geodésico. Con estos resultados, es posible calcular fácilmente la precisión de los coeficientes

J nm y K nm del potencial

gravitacional V (Moritz, 1964a). 7-8.

Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas a Partir de las Anomalías Gravimétricas.

Este problema dio origen a la aplicación de las técnicas estadísticas a la geodesia gravimétrica. Dos trabajos básicos (de Graaff-Hunter, 1915; Hirvonen, 1956) tratan este tema a fondo. El segunda de ellos dio lugar a un intenso desarrollo moderno. . Hay que volver a considerar una red gravimétrica idealizada que sea tanto uniforme como homogénea sobre toda la tierra para estudiar la precisión de la ondulaci6n geoidal N que puede obtenerse con dicha red gravimétrica. Este es un aspecto importante porque el resultado indica cómo debe planificarse un levantamiento gravimétrico para lograr una determinada precisión para N. Por lo tanto se trata en detalle en varios trabajos: de Graaff-Hunter (1935), Kaula (1957)~ Groten y Moritz (1964).

Por ello se estudiará la propagación de errores en la fórmula de Stokes.

R 4 G

N

2

g 0

,

S

sin

d d

0

Esto se hace en una forma muy similar a la sección. anterior. El error individual de N está dado por

R 4 G

2

, 0

S

sin

d d ;

0

y su cuadrado se convierte en

2 2

R 4 G

2

, 0

S

sin

d d

0

ó 2

', ' S ' 0

2

R 4 G

2 2

' sin ' d ' d '

' 0

2

, 0

0 ' 0

', ' S

S

' sin

sin

'd d d 'd '

' 0

Si se calcula el promedio M de ambos lados de esta ecuación se halla que

m

2

R 4 G

2 2

2

, , ', ' S 0

0 ' 0

S

' sin

sin

'd

d d 'd '

(7-74)

' 0

, , ' , ' es la función de error de las anomalías gravimétricas. Esta es la Aquí m es el error típico de N y fórmula general para la propagación de errores de la fórmula de Stokes. Es válida para una forma arbitraria de la función de error Esta ecuación puede simplificarse drásticamente una vez más aplicando las dos hipótesis - ninguna correlación de errores más allá de cierta distancia pequeña y precisión uniforme - que se mencionaron en,.la sección anterior. Se aplicae1 mismo truco que con la ecuación (7-70). Se fija S ' S y luego se efectúa la integración sobre ' Usando la constante de error S según (7-71) se obtiene

m

La integración con respecto a

m2

2

S

2

16

2

G

2

S

2 0

sin

d d

0

puede efectuarse ahora enseguida; finalmente se obtiene

S 8 G2

2

S

sin

d

0

Esta fórmula es muy sencilla pero lamentablemente no es válida en esta forma; de hecho el valor que proporciona es . La razón es que si se reemplaza S ' por S en una forma aproximada hay que suponer que para ' también se tiene que

S

'

S

S

rápidamente y es, en efecto, discontinuo en el origen:

si

0

pequeño) en lugar de

aumenta

0 0

Por consiguiente hay que excluir el origen empezando la integración en (

0 porque S

. Esto no es cierto en la vecindad del origen

0: S 8 G2

m2

2

S

sin

(7-75)

d

0

Luego hay que considerar la pequeña vecindad de

0

de otra forma, para lo cual el lector podrá referirse a

Groten y Moritz {1964).

La integral (7-75) puede evaluarse de diversas maneras. Una de las posibilidades es tomar las funciones y S sin de las tablas de Lambert y Darling (1936), a las que se hace referencia en el capítulo 2, y calcular la integral por integración numérica. En el trabajo de Groten y Moritz antes citado se ha tabulado la integral

S

2

S

sin

d

0

calculada de esta forma para ciertos valores de

0

. También hay una fórmula cerrada para la integral dada en

Molodenskii et al., (1962, pág. 157), pero es un tanto complicada.

Los valores numéricos de la Tabla 7-3 se calcularon a base de los resultados , particularmente para la constante de error S, de la siguiente sección. También incluyen la zona central, que se excluye de (7-75), y 0 que corresponde a aquellos casos en que hay un punto situado arbitrariamente, o una medici6n grav imétrica central del perfil este-oeste en cada bloque de l° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° ó 10° x 10°, sobre toda la superficie de la tierra.

Bloque

l° x 1°

2° x 2°

5° x 5° .

10° x 10°

1.5 1.2

Punto Perfil

5 3

13 7

25 9

Cabe hacer aquí un último comentario acerca de la constante de error S, la cual no debe confundirse con la función de Stokes S , en problemas generales de propagaci6n de errores. Supóngase que la función de covarianza de los

, , ' , ' satisface las hipótesis 1 y 2 de la sección anterior y que se puede aplicar el truco de reemp1azar ' , ' por , en parte del integrando. Esto es posible si la parte específica del integrando cambia lenta y continuamente con y , que son los casos que se han tratado en las últimas dos secciones. Luego la errores

función de covarianza de los errores solamente entra en la fórmula de propagación de errores por la constante de error S, la cual puede calcularse una sola vez para todos y es independiente del problema específico de la propagación de errores. Por tanto, la función central de S es obvia.

7-9.

.Precisión de las Anomalías Medias

La anomalía gravimétrica media de un bloque rectangular AB C D, cuyos lados son a y b, está expresada por

g

1 ab x

a

b

g x, y dx dy

(7-76)

0y 0

(Fig.7-5). Esta fórmula inflexible da por sentado que la anoma1fa gravimétrica g está dada en todos los puntos (x,y) dentro del rect~ngulo ABCD.

En la practica solo se ha medido la anomalía media

g en unos cuantos puntos dentro del rectángulo; el problema es estimar

g a partir de estas mediciones. Una manera es interpolar o predecir g en todos los demás

puntos del bloque según los métodos de 1a Sección 7-5 y ca1cular estimadas

g mediante la fórmula (7-76).

Figura 7-5 La Anomalía Media de un Rectángulo.

g a partir de estas anomalías de punto

También puede usarse una forma más directa. Análogamente a (7-47), es posible aproximar una combinación lineal de los valores medidos

g mediante

g1 , g 2 , g n :

~ g

n

g1

1

2

g2 

gn

n

i

gi

(7-77)

i 1

~ g es a diferencia

como es evidente, e1 error del valor pronosticado

g

~ g

n

~ g

gi

i

(7-78)

i 1

Si se eleva al cuadrado, se obtiene

n 2

g2

2

n

n

gi g

i

i

i 1

k

gi g k

i 1 k 1

Para hallar el error típico m de la anomalía media estimada, se forma el promedio M, obteniendo así

n

m2

C

2

n i

i

i 1

La cantidad

n

Ci

k

Cik

(7-79)

i 1 k 1

Cik se define mediante (7-54); la cantidad

C

es la covarianza entre el punto

(7-80)

g o su varianza; y

es el cuadrado medio de la anomalía media del bloque

Ci

g2

M

M

g i y la anomalía media

gi g

(7-81)

g

Estas cantidades pueden expresarse en términos de la función de covarianza C(s). Al insertar (7-76) en (7-80) y aplicar la definición. (7-5) de la func16n de covarianza, se obtiene fácilmente

C

1 a b2 2

a

b

a

b

C

x 0 y 0 x' 0 y' 0

x x'

2

y

y'

2

dx dy dx' dy'

(7-82)

En forma similar

Ci

donde

1 ab

a

b

x 0 y 0

C

x x'

2

2

y y'

dx dy

xi , y i son 1as coordenadas del punto donde se mi de

gi .

g 1 en el b1oque, la fórmula de predicci5n (7-77) se

Si sólo hay una anomalía gravimétrica medida convierte en:

~ g

(7-83)

g1

(7-84)

y la ecuac16n (7-79) se simplifica a

m2

donde se ha fijado El

i

en (7-77) Y el

1

y C0

C

2 Ci

2

Co

(7-85)

C0 .

en (7-84) pueden escogerse de diferentes maneras.

El caso más senci1lo es el de representación directa, 1 1 . Se hace una aproximación, o representación, directa de la anomalía media E9 por medio de la anomalía medida g 1 . La ecuación (7- 84) se convierte entonces en

~ g

g1

(7-86)

y (7-85) se reduce a

m2 La ecuaci6n (7-87) depende de la posición

C

2C i

Co

xi , y i de la estación gravimétrica por medio de 1a C1 ecuación (7-83) .

También resu1ta útil considerar la varianza del error promedio la observaci6n gravimétrica dentro del cuadrado:

m2

1 ab

a

b

x1 0 y1 0

m 2 para una situación arbitraria de

m 2 x1 , y1 dx1 dy1

Si se calcula el promedio (7-87) hay que tener presente que como C y mientras que el promedio de C1 pasa a ser

(7-87)

(7-88)

C 0 son constantes no sufren cambios,

1 ab

a

b

x1 0 y1 0

C1 dx1 dy1

C

Esto se ve enseguida al comparar (7-82) y (7-83). Por tanto, sencillamente se obtiene

m2

C0

C

(7-89)

Hirvonen (1956), el autor de esta fórmula, la escribió en una forma especialmente elegante e instructiva:

Ei2 En ella usó

G02

G12

(7 – 89‘)

E s para el error (típico) de representación. El símbolo G s es la anomalía gravimétrica media de la raíz

media cuadrática de un bloque cuyo lado es s (usó bloques cuadrados donde a = b = s); lo cual resulta dela definición

Gs2 Por consiguiente, G s es la anomalía media cuadrática de punto que puede considerarse como una 2 anomalía media de un bloque cuyo lado s = 0; según nuestra notación Go C 0 . (7-80),

C

Las fórmulas anteriores pueden aplicarse a otros métodos de predicción asumiendo diferentes valores de 2 i . Los valores de i que minimizan m ecuación (7-79), pueden hallarse fácilmente (predicción mínimocuadrática). Todo esto se efectúa a lo largo de líneas similares a las de las Secciones 7-5 y 7-6. 2

Las generalizaciones y ampliaciones son obvias. Además de las varianzas de los errores m , también pueden considerarse las varianzas de los errores de diferentes bloques. Estas pueden usarse para calcular la constante de error S mencionada en las secciones anteriores. Otra ampliación comprende observaciones de perfiles, en donde la gravedad se mide a 10 largo de perfiles en lugar de estaciones de punto. No obstante, como no es el propósito de este libro incluir dichos temas, el lector puede referirse a la publicación de Moritz (1964b). Resultados Numéricos. Sólo se darán algunos valores numéricos del lib ro de Moritz (1964b) con su 2

explicación correspondiente pero sin f6rmu1as detalladas. Básicamente, las varianzas de los errores m de (7-85), y las covarianzas correspondientes, se calcularon con diferentes . Este es el caso donde hay una sola estación gravimétrica en cada bloque. Hay una serie similar de fórmulas para las varianzas y covarianzas de los errores para un perfil gravimétrico medido en cada bloque; también estas fórmu1as se evaluaron. Las integracione s se realizaron sobre la base de las covarianzas estimadas C de la Tabla 7-1, usando una computadora electr6nica. El autor usó bloques de 1° x 1°, 2° x 2°, 5° x 5° y 10° x10° en una latitud de 45o , de manera que un bloque de 10° x 10° es un rectángulo de 1112 km x 788 km. La Tabla 7-4 muestra las varianzas y covarianzas de los errores para observaciones gravimétricas de puntos. El primer valor de la línea superior de cada sección (para anomalía cero, representaci6n, etc.) es la varianza de los errores; el segundo valor de la línea superior de cada sección es la covarianza de los errores entre un bloque y su vecino al este (u oeste); el tercer valor de cada línea superior es la covarianza de los errores entre dos bloques que tienen la misma latitud y que están separados por otro bloque, etc. De manera que la posición relativa de cualesquier dos bloques que se estén considerando estará representada directamente por el lugar que ocupa su covarianza en la tabla. Tabla 7-4 Var1anzas y Covar1anzas de los Errores (mgal s 2 ). Observaciones de Puntos

El significado de la anomalía cero ( corresponde al valor de

= O) Y de la representación (

que minimiza a

=1) está claro. El "error típico mínimo"

2

m (7-85) :

C1 C0 la "constante mínima de error" se refiere al

(7-90)

que minimiza la constante de error S.

Para estos primeros cuatro ítems se dio por sentado que la estación gravimétrica estaba en el centro de cada bloque. El último ítem, ―representación promedio" se refiere a una posición aleatoria de la estación gravimétrica dentro del bloque. Las varianzas correspondientes de los errores se expresan por medio de (7-89), mientras que la varianza de los errores para la ―representación‖ está dada por (7-87). La Tabla 7-5 muestra los resultados análogos con respecto a 1a precisión de las mediciones gravimétricas para perfiles. ―Representación‖, ―error típico mínimo‖ y ―constante mínima de error‖ se refieren a perfiles de este a oeste espaciados uniformemente a través del centro de cada bloque, mientras que "representación promedio" corresponde a una posición aleatoria del perfil este-oeste dentro del bloque.

Tabla 7-5 Varianzas y Covarianzas de los Errores (mgals2).Observac1ones de Perfiles

Las varianzas son obviamente más pequeñas en el caso de una estación. gravimétrica o un perfil situado centralmente. Son más. grandes para otros casos de observaciones. Esto puede apreciarse al comparar "representación", que se ref1ere.al caso central, con ―representación promedio‖, donde se determina el promedio de las observaciones distribuidas en todo el bloque. N6tese q ue para bloques más grandes, la ubicación de las observaciones tiene menos influencia.

Tabla 7-6 2 2 Constantes de Error S/R (mgal s )

Finalmente, la tabla 7-6 muestra las constantes de. error correspondientes, o más bien las cantidades S/R2 , donde R = 6371 km. [ Estas tablas muestran que los diversos métodos de estimación difieren significativamente en cuanto a la precisión y a la correlación de errores. El ―error típico mínimo‖ tiene una corre1ación de errores bastante grand e, de manera que no es lo mejor en lo que se refiere a la propagación de errores. Esto lo demuestran claramente las constantes. de error de la Tabla 7-6; en la sección anterior pudo observarse que la constante de error S, y no el error típico m, es el factor importante en la propagación de errores. De manera que en general debería minimizarse la constante de error en lugar del error típico, pero los resultados de la representación d1recta ( =1) son casi igualmente buenos. El "error típico mínimo" es notablemente inferior con respecto a la propagación de errores. Produce un demasiada pequeño; si < 1 se interpreta como un promedio ponderado de 1a anomalía observada y 1a anomalía cero, entonc es se 1e está asignando demasiado peso a 1a anomalía cero, 1a cua1 tiene una corre1ación a1ta . 7-10.

Correlación con la Elevación

Hasta el momento sólo se ha tomado en cuenta la correlación mutua de las anomalías gravimétricas, su autocorrelación, pasando por alto la correlación con la elevación que en muchos casos es importante. Por consiguiente, nuestras fórmulas sólo son válidas para las anomalías gravimétricas que no están correlacionadas con la elevación, como las isostáticas o hasta cierto punto las anomalías de Bouguer; o para las anomalías de aire libre en áreas de relativamente planas. las anomalías aire libre en montañas deberán tratarse en una forma diferente . la figura 7-6, según Uotila (1960), muestra la correlación de las anomalías de aire libre con la elevación. Allí, se trazaron las anomalías gravimétricas g en comparación con la elevación h. Si hubiera una dependencia funcional exacta entre g y h, entonces todos los puntos estarían en una recta (o, como es el caso general, en una curva). En realidad solamente hay una relación funcional aproximada, una tendencia general de las anomalías de aire a aumentar proporcionalmente con la elevación; puede haber excepciones, algunas veces hasta grandes. Es to muestra claramente el significado de la correlación. la correlación mutua de las anomalías gravimétricas está representada por la función de autocovarianza (7-5),

Cs donde

S

M

g g'

PP' Asimismo pueden formarse las funciones Bs

M

g h'

M

g' h

( 7 -91 )

que expresan la correlación entre la gravedad y la elevación, y

As

M

h h' ,

( 7 -92 )

que es la función de autovarianza de las diferencias de elevación

h

h M h ;

( 7 -93 )

el símbolo M{h} denota la elevación media de toda el área considerada. Si g y h no están correlacionadas, entonces la funci5n B(s) es idénticamente cero. De no ser este el caso, entonces también hay que tomar en cuenta la elevación en la interpolación., Es fáci1 ampliar la fórmula de predicción (7-47) con este fin. Si las predicciones se limitan a aquellas que son lineales tanto en h como g , es posible escribir

g~p donde los coeficientes

Pi gi Pi ,

Pi , y

Pi hi

(7-94)

hp

no dependen de

g ni de

h.

Figura 7-6

Correlación de las Anomalías de Aire Libre con la Elevación. Según la terminología estadística, esto equivale a eliminar la tendencia (con respecto a la elevación) por una regresión lineal. En forma similar, (7-47) es una fórmula autorregresiva. El error de predicción es P

gP

g~P

gP

hP

Pi

gi

Pi

hi

i

Si se eleva al cuadrado y se halla el promedio de la forma usual, se obtiene

mP2

Co

2

2 Bo

A0

2

Pi

C Pi

2

Pi

Pi

i

2

Pi i

APi

Pi i

k

Pk

Cik

2

Pi i

Pi

i Pk

k

(7-95) ik

Pi i

Pk

Aik

k

donde A 0 = A(0), B0 = B(0), C0 = C(0), A pi = A(Pi), Bpi , = B(Pi), Cpi = C(Pi), A ik = A(ik), Bik = B(ik), Cik = C(ik); siendo P el punto en el que se va a predecir g , y i o k denotan las estaciones gravimétricas conocidas. Esta fórmula, la cual evidentemente, es una ampliación de (7-56), da como resultado el error típico de predicción si se toma en cuenta la correlación con' la elevación. Resulta fácil hallar una fórmula para la función de covarianza de los errores, generalizando (7-60), y las fórmulas matriciales correspondientes a (7-63) usando (7-65) para una predicción mínimo-cuadrática que minimice (7-95); refiérase al trabajo de Moritz (19 63 ) . Cabe hacer notar que en estas fórmulas intervienen las funciones A, B y C pero ninguna otra cant1dad estadística. Aplicación de las Anomalías de Bouguer. El asunto de que si es posible lograr que las anomalías de aire libre sean independientes de la elevación agregando un término que sea proporcional a la elevación es de suma importancia. En otras palabras, ¿en qué momento 1a cantidad

z

(7-96)

g b h

con un coeficiente b determinado, no tiene correlación alguna con la elevación? La forma de z es 1a de una anoma1ía de Bouguer; para una verdadera anomalía de Bouguer, según la sección 3-3, se tiene ( 7 -97 ) b 2 kP si la densidad

= 2.67 g/cm3 , entonces

b

0.112 mgal /

(7-97 ‘)

La funci6n de covarianza Z(s) de la ―anomalía de Bouguer" (7-96) con la elevac16n se forma de la siguiente manera:

Z s

M z h'

M

g h' b h h '

Bs

bA s

Si z ha de ser independiente de h, entontes Z(s) deberá ser idénticamente cero. La condición es

Bs

bA s

0

( 7 -98 )

la cual debe satisfacerse para todas las s y cierta constante b. Vemos que la ―anomalía de Bouguer‖ z no está correlacionada con la elevación si las funciones A(s) y B(s) son proporcionales para el área considerada luego, la constante b está representada por

b

Bs As

(7-99)

Puede mostrarse que esto equivale a la condición de que los puntos de la figura 7-6 deben estar situados más o menos en línea recta y no en alguna otra curva. Luego, el coeficiente b estará dado por

b

tan

(7-100)

como la inclinación de la línea hacia el eje h. En la práctica estas condiciones se cumplen a menudo bastante bien; y, además, si se calcula b a partir de la ecuación (7-99) o se determina gráficamente por medio de (7-100), se obtiene un valor que se aproxima bastante a la gradiente normal de Bouguer (7-97‘). Si se da por sentado que b depende solamente de la densidad de la roca , entonces se dispondrá de un medio para determinar 1a densidad promedio que muchas veces es difíci1 medir di rectamente. Este es el "método de Nett1eton", el cual se usa para la prospección geofísica: el coeficiente b se determina estadísticamente mediante las ecuaciones (7-99) o (7-100), y 1uego se calcula 1a densidad de la roca a partir de (7 - 97) . La figura 7-7 ilustra el principio de este método; véase también el trabajo de Jung (1956, Pág. 600).

Figura 7-7 Las anomalías de Bouguer que corresponden a diferentes densidades . La mejor densidad es = 2.4 g/cm3 ninguna correlación); para otras densidades, las anomalías de Bouguer están correlacionadas con la elevación (correlación positiva para = 2.2, correlación negativa para = 2.6). Si se cumple 1a condición (7-98) ,-entonces la ―anoma1ía de Bouguer‖ z podrá considerarse una anomalía gravimétrica que no tiene correlación alguna con la elevación; se le puede aplicar directamente la teoría completa de las secciones anteriores. Pero aun cuando no se cumpla esta condición totalmente, las anomalías de Bouguer generalmente están mucho menos correlacionadas con la elevación que las anomalías de aire libre. El hecho de que en (7-96), la gravedad se reduce a una elevación media y no al nivel del mar, no tiene, importancia en este respecto puesto que es literalmente cuestión de una constante aditiva. Desde este punto de vista estadístico el elemental, también puede hacerse caso omiso de tales refinamientos como, las correcciones del terreno, etc. Por eso es posible considerar la reducción de Bouguer como un medio para obtener aquellas anomalías gravimétricas que dependen menos de la elevación y que por tanto son más representativas que las anomalías de aire libre. Más específicamente, las anomalías de Bouguer toman en cuenta la dependencia en las irregularidades locales de la elevación. Además, las anomalías isostáticas también son, en gran medida, independientes de las características regionales de la topografía. Véase también el Capítulo 3.

REFERENCIAS Graaff-Hunter, J. (1935). The figure of the earth from gravity observations and the precision obtainable. Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A., v. 243, pp. 37 7 – 431. roten, E. and H. Moritz (19ó4). deflections of the vertical. Ohio State Univ. On the accuracy of geoid heights and Report No. 3B, Inst. Geod. Phot. Cart., Ohio State Univ. Irvonen, R. A. (1956). On the precision of the gravimetric determination of the geoid . T r a n s. Aro. Geophys. Union, v. 37, pp. 1- 8 . Irvonen, R. A. (1962). On the statistical analysis of gravity anomalíes. Helsinki, Pub 1. Isostat. Inst. lnt. Assoc. Geod., No. 37. Jeffreys, H. (1962). The earth, 4th ed., Cambridge University Press. Wung, K. (1956). Figur der Erde. Handbuch der' Physik, v. 47, pp. 534-639, Berlin, Springer. Kaula, W. H. (1957). Accurac)L of grav;rnetricitlly computed deflections of the vertical. Trans. Am. Geophys. Unian, V. 38, pp. 297-305. Kaula, W. M. (1959). Statistical and harrnonic analysis of gravity. J.Geophys. Research. V. 64, pp. 2401-2421. Kaula, W. M. (1963). Determination of the earth's gravitational field. Reviews of Geophysics, v. 1, pp. 507-551. Kaulla, W.M. (1966). Global harmonic and statistical ana'1ysis of gravimetry. Proceedings of the SymposilJm "Extension of Gravity Anomalies. to Unsurveyed Areas.' (H. Orlin, .ed.), Am. Geophys. Union;.Geophys. Monograph No. 9, pp. 58- 6 7

M11ler, K. S. (1956). Engineering mathematics. New York'-. Holt, Rinehart and Winston (New York, Dover Publications, 1963). Molodenski1, M.S., V.F. Eremeev, and M. r. Yurk1na (1962). Methods for study of the external qravitational field and figure of the earth". Transl. from Russian (1960). ,Jerusalem, Israel Program for Sc1ent1fic Translations. Mor1tz, H. (1961). Fehlertheorie der graphisch-mechanischen Integration; Grundzüge e;ner allgeme1nen Fehlcrtheorie 1m Funkt1onenraum. tlsterreichische Ze1t~chr1ft fUr Vermessungswesen, Sonderheft 22. Horitz, H. (1963). Interpolation anct prediction of point gravity anomalies. Helsinki, Publ. Is~stat. Inst. [nt. Assoc. Geod., No. 40. Mor1tz, H. (1964a). Anextension Qf error theory with application to spherical harmonics. Ibid., No. 44. Mor1tz, H (1964b). Accuracy of mean gravity anomalies obtained from point and profile measuretnents. Ibid., No. 45. Mor1tz, H (1965). Schwerevor~ersage und Ausgleichung~rechnung. für Vermessungswesen, v. 90, pp. 181-184. Zeitschr1ft Rapp, R. (1964). The prediction of point and mean gravity anomalies through