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• Mauricio Siguenza

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GUIA DE LABORATORIO No 1 TRABAJO PRÁCTICO N° 1 Introducción de Matrices 1- Los siguientes ejemplos definen diferentes formas de introducir matrices en MATLAB. Pruebe y saque conclusiones. (!!CUIDADO!! ... los espacios en blanco tienen su significado) a) >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]

A=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

b) >> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

B=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c) >> C=[1 2 3 456 7 8 9]

C=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d) >> D=C'

D=

1

4

7

2

5

8

3

6

9

e) >> E=[3 0 5 6]'

E=

3 0 5 6

f) >> F=[1:9]

F=

1

2

3

4

5

6

7

10

12

g) >> G=[1:9]'

G=

1 2 3 4 5 6 7 8 9

h) >> H=[0:2:12]

H=

0

2

4

6

8

i)

>> I=[-1,3 sqrt(3) 6.4]

8

9

I=

-1.0000

3.0000

1.7321

6.4000

j) ¿Para qué se utiliza “,”? Indica el valor en ese espacio de la columna. k) ¿Para qué se utiliza “;”? Señala el cambio de una fila a la siguiente. l) ¿Para qué se utiliza “:”? Define una serie de valores m) ¿Para qué se utilizan los espacios en blanco? La misma función que la coma, indica el final del valor en la columna n) ¿Qué ocurre cuando al final de una matriz se escribe “ ’ “?¿Qué significa? De la matriz que se acaba de declarar se indica que se busca obtener la transpuesta, cambiando los valores de los campos de fila por columnas.

Trabajo Practico N° 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales 1- Para cada uno de los sistemas siguientes, llame A a la matriz de coeficientes y B a la matriz columna de términos independientes. Forme la matriz ampliada y use la función rref para encontrar la forma escalón reducida por filas. Muestre que cada uno de estos sistemas tiene solución única y que la solución está contenida en la última columna de la forma reducida de la matriz ampliada. Use la notación de submatrices para asignar la variable X a la solución.

a) >> A= [1/2 3 -3; 4 0 -1; 5 -1/3 2/5; 7/2 -3 2]

A=

0.5000 4.0000

3.0000 -3.0000 0

-1.0000

5.0000 -0.3333

0.4000

3.5000 -3.0000

2.0000

>> B= [1;-1;-1;-2]

B=

1 -1 -1 -2 >> X= [A B]

X=

0.5000

3.0000 -3.0000

4.0000

1.0000

0 -1.0000 -1.0000

5.0000 -0.3333

0.4000 -1.0000

3.5000 -3.0000

2.0000 -2.0000

>> rref (X)

ans =

1.0000

0

0

1.0000

0 0

0 -0.1795 0

0.6451

0

1.0000

0.2818

0

0

0

b) >> A=[1 4 -1 3; 2 2 -14 0; 1 8 4 -8; 5 17 -5 13]

A=

1

4

-1

3

2

2 -14

0

1

8

4

5

17

-5

-8 13

>> B=[10; 44; 3;44]

B= 10 44 3 44

>> X=[A B] X= 1

4

-1

3

10

2

2 -14

0

44

1

8

4

5

17

-5

13

-8

3 44

>> rref (X)

ans =

1

0

0

0

-1

0

1

0

0

2

0

0

1

0

-3

0

0

0

1

0

7. La función inv(A) devuelve la inversa de una matriz cuadrada inversible .para cada una de las siguientes matrices aplique la función inv, observe que ocurre en cada caso y extraiga conclusiones. En los casos que sea posible verifique que inv(A)*A= A*inv(A)=1. A=magic(5) B=rand(2,3) C=rand(6) D=[1:4;-2:1;ones(2,4)] (a) A = 17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

Inv(A)=ans -0.0049

0.0512 -0.0354

0.0012

0.0034

0.0431 -0.0373 -0.0046

0.0127

0.0015

-0.0303

0.0364

0.0031

0.0031

0.0031

0.0047 -0.0065

0.0108

0.0435 -0.0370

0.0028

0.0415 -0.0450

0.0050

0.0111

A*inv(A)=1. ans =

1.0000

0.0000

0

0.0000 -0.0000

0.0000

1.0000

0

0.0000

0

0.0000 -0.0000

1.0000

0.0000 -0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

1.0000

0.0000

-0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

1.0000

Al efectuar la multiplicación de nuestra matriz por su inversa obtenemos la matriz identidad, por ello se dice que es invertible.

(b)B=rand(2,3) B= 0.8147

0.1270

0.6324

0.9058

0.9134

0.0975

Inv(B) Error using inv Matrix must be square. En la matriz B no se puede calcular la matriz inversa porque se nos indica que esta debe ser cuadrada.

(c) C=rand(6) C= 0.2785

0.9572

0.7922

0.6787

0.7060

0.6948

0.5469

0.4854

0.9595

0.7577

0.0318

0.3171

0.9575

0.8003

0.6557

0.7431

0.2769

0.9502

0.9649

0.1419

0.0357

0.3922

0.0462

0.0344

0.1576

0.4218

0.8491

0.6555

0.0971

0.4387

0.9706

0.9157

0.9340

0.1712

0.8235

0.3816

-0.7564 -0.5025

0.2668

0.7103

0.5118

0.4780

2.4408

1.2366 -3.6177 -11.3020 -1.3030

inv(C) ans =

8.5446

-1.3171 -0.9872 -0.3545 -0.1324

2.7323

0.9718

1.2107 -0.7428 -0.9851

1.7666

1.4375 -0.9467

0.0420 -5.9201 -1.6573

2.8747

6.6943

1.0138

-1.3437 -3.7025

0.2031

4.0421

0.3900

1.2402

inv(C)*C

ans =

1.0000 -0.0000 0

0 -0.0000 -0.0000 1.0000 0

-0.0000 0

0.0000

0 -0.0000

0.0000

0 -0.0000

1.0000

0.0000 -0.0000

0.0000

0.0000

1.0000 -0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0

0.0000

1.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000

0

1.0000

Al efectuar la multiplicación de nuestra matriz por su inversa obtenemos la matriz identidad, por ello se dice que es invertible.

(d)D=[1:4;-2:1;ones(2,4)] D= 1

2

3

4

-2

-1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

inv(D) Warning: Matrix is singular to working precision.

ans =

Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf inv(D)*D Warning: Matrix is singular to working precision.

ans = NaN NaN NaN Inf NaN NaN NaN Inf NaN NaN NaN Inf NaN NaN NaN Inf Para este caso se nos indica que la matriz D es una matriz singular por lo cual no se puede obtener la matriz inversa. 8- La función det calcula el determinante de una matriz cuadrada. Proponga diversas matrices y calcule su determinante a fin de poder determinar. Si o no son invertibles.

(1) >> A=[5,3,6;4,3,2;9,7,5] A= 5

3

6

4

3

2

9

7

5

>> det(A) ans = 5.0000 >> inv(A)

ans = 0.2000

5.4000 -2.4000

-0.4000 -5.8000

2.8000

0.2000 -1.6000

0.6000

Conclusion: Es invertible.

(2) >> B=[6.5,3.4,5;6.5,3.4,5;8.14,19/25,23] B= 6.5000

3.4000

5.0000

6.5000

3.4000

5.0000

8.1400

0.7600 23.0000

>> det(B) ans = 0 >> inv(B) Warning: Matrix is singular to working precision. ans = Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf

Conclusión: Su determinante es cero por lo tanto su matriz inversa no está definida.

(3) >> C=[1,2,3;4,5,7;8,9,10] C= 1

2

3

4

5

7

8

9

10

>> det(C) ans = 7 >> inv(C) ans = -1.8571

1.0000 -0.1429

2.2857 -2.0000 -0.5714

0.7143

1.0000 -0.4286

Conclusión: Es invertible.

10- Se pueden resolver sistemas cuadrados AX=b en los cuales la matriz de coeficientes es invertible realizando X=inv(A)*B (Teorema de Cramer). Confeccione un archivo –M de función que resuelva, cuando sea posible, los siguientes sistemas cuadrados. (a) >>A=[1,1,-3,1;2,-1,1,-1;1,-2,4,-2;3,1,2,-1] A= 1

1

-3

1

2

-1

1

-1

1

-2

4

-2

3

1

2

-1

(b) >> B=[-6;5;-6;8] B=

-6 5 -6 8

(c) >> A2=rand(10),B2=[1:10]

A2 =

Columns 1 through 8

0.1622

0.4505

0.1067

0.4314

0.8530

0.4173

0.7803

0.2348

0.7943

0.0838

0.9619

0.9106

0.6221

0.0497

0.3897

0.3532

0.3112

0.2290

0.0046

0.1818

0.3510

0.9027

0.2417

0.8212

0.5285

0.9133

0.7749

0.2638

0.5132

0.9448

0.4039

0.0154

0.1656

0.1524

0.8173

0.1455

0.4018

0.4909

0.0965

0.0430

0.6020

0.8258

0.8687

0.1361

0.0760

0.4893

0.1320

0.1690

0.2630

0.5383

0.0844

0.8693

0.2399

0.3377

0.9421

0.6491

0.6541

0.9961

0.3998

0.5797

0.1233

0.9001

0.9561

0.7317

0.6892

0.0782

0.2599

0.5499

0.1839

0.3692

0.5752

0.6477

0.7482

0.4427

0.8001

0.1450

0.2400

0.1112

0.0598

0.4509

Columns 9 through 10

0.5470

0.9294

0.2963

0.7757

0.7447

0.4868

0.1890

0.4359

0.6868

0.4468

0.1835

0.3063

0.3685

0.5085

0.6256

0.5108

0.7802

0.8176

0.0811

0.7948

B2 =

1

2

3

4

5

6

>> A1=[2,1,-2;3,2,2;5,4,3] B) A1 =

2

1

-2

3

2

2

5

4

3

7

8

9

10

>> B1=[10;1;4]

B1 =

10 1 4

(d) >> A3=magic(7),B3=eye(7,1)

A3 =

30

39

48

1

10

19

28

38

47

7

9

18

27

29

46

6

8

17

26

35

37

5

14

16

25

34

36

45

13

15

24

33

42

44

4

21

23

32

41

43

3

12

22

31

40

49

2

11

20

B3 =

1 0

0 0 0 0 0

GUIA DE LABORATORIO No 2

A través de MATLAB se pueden desarrollar fracciones simples de B(s) / A (s). En la presente guía se presentará el enfoque de MATLAB para realizar fracciones simples de B(s)/A(s). Después se analizará el procedimiento para obtener los ceros y polos de B(s)/A(s). Parte I. Desarrollo de Fracciones Simples 1. Considere la función de transferencia:

2. Especifique vectores fila num y den los cuales corresponderán a los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia: [ [ >> num=[2 5 3 6] num = 2

5

3

6

>> den=[1 6 11 6] den = 1

6

11

3. Digite la orden

6 [

4. ¿Qué resultado obtuvo? >> [r,p,k]=residue(num,den) r= -6.0000 -4.0000

]

] ]

3.0000

p= -3.0000 -2.0000 -1.0000

k= 2 5. ¿Qué indica el resultado? Se muestra los residuos (r), los polos (p), y el término directo (k), para representar las fracciones parciales de la función de transferencia. Y queda así:

6. Ahora digite la orden: [

]

7. ¿Qué resultado obtuvo? >> [num,den]=residue(r,p,k) num = 2.0000

5.0000

3.0000

6.0000

6.0000 11.0000

6.0000

den = 1.0000

Se obtuvo de nuevo la función de transferencia a partir de los residuos, polos y el término directo. 8. Digite nuevamente la orden anterior seguido de punto y coma (;) para no mostrar ninguna salida y seguidamente digite el siguiente comando:

>> printsys(num,den,'s') 2s^3 + 5s^2 + 3s + 6 -------------------------------s^3 + 6s^2 + 11s + 6 Devuelve la función de transferencia en su forma original y representada de forma gráfica. 9. Encuentre el residuo, polos y termino directo de la siguiente ecuación:

Resolviendo el cubo de la suma entre “s” y “1” ubicado en el denominador se tiene:

Rescribiendo:

>> num=[1 2 3] num = 1

2

3

>> den=[1 3 3 1] den = 1

3

3

1

>> [r,p,k]=residue(num,den) r= 1.0000 0.0000 2.0000

p=

-1.0000 -1.0000 -1.0000

k= []

Parte II. Ceros y Polos de B(s) / A (s) con MATLAB 1. MATLAB tiene una función para obtener los ceros, polos y ganancia K de B(s) / A (s): [

]

2. Encuentre los ceros (z), polos (p) y ganancia (K), de la siguiente función de transferencia:

>> num=[4 16 12] num = 4

16

12

>> den=[1 12 44 48 0] den = 1

12

44

48

0

>> [z,p,k]=tf2zp(num,den) z= -3 -1

p= 0 -6.0000 -4.0000

-2.0000

k= 4 Por lo tanto la función de transferencia queda así: